Bài giảng Phương pháp tính giải tích số - Chương 3: Nội suy - Ngô Thu Lương

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp tính giải tích số - Chương 3: Nội suy - Ngô Thu Lương

1. CChhưươơnngg IIIIII :: NNOOÄÄIÄI SSUUYY 111))) NNNoooääiäii sssuuuyyy ñññaaa ttthhhöööùùcùcc 22)) NNooääiäi ssuuyy SSpplliinnee bbaaääcäc 33 33)) PPhhööôônngg pphhaaùùpùp bbììnnhh pphhööôônngg ttooááiái tthhiieeååuåu Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 1
2. 11 11)) NNooääiäi ssuuyy ññaa tthhööùùcùc tthheeoo LLaaggrraannggee = aaa))) NNNoooääiäii ddduuunnnggg : Bieát caùc giaù trò yi f( x i ) cuûa haøm = y f( x ) taïi caùc ñieåm xi theo baûng Tìm haøm laïi haøm f( x ) Lôøi giaûi : VVVoooââ â sssoooáá á hhhaaaøømømm Tìm fx()= Px () chæ laø ñññaaa ttthhhöööùcùcùc bbbaaaäcäcäc nnn thoûa P(xi) = yi Lôøi giaûi laø ddduuuyyy nnnhhhaaaáátátt Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 2
3. Caùc böôùc tìm ña thöùc P(x) BBööôôùùcc 11 :: Thieát laäp ñññaaa ttthhhöööùùcùcc cccôôô sssôôôûû û LLLaaagggrrraaannngggeee n ( x − x ) L ( x) = ∏ k i − k =0, k ≠i ( xi xk ) = VVíí dduuï : L0(x) − − − − = (x x1) ( x xi−1)( x xi) ( x xn) − − − − (x0 x1) ( x0 xi−1)( x0 xi) ( x0 xn) Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 3
4. BBööôôùùcc 22 :: CCCoooâânânnggg ttthhhöööùùcùcc tttííínnnhhh PPP(((xxx))) n P(x) = ∑ yiL i (x) = i=0 y0L 0 (x) + y1L1(x) + + yn L n (x) bbb))) SSSaaaiii sssoooáá á : fx()− Px () ≤ + M (n 1) ≤ (x − x )( x − x ) ( x − x ) (n + 1)! 0 1 n Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 4
5. ccc))) NNNhhhaaaäänänn xxxeeeùùtùtt : *) Soá moác noäi suy caøng lôùn thì sai soá caøng nhoû , tuy nhieân baäc cuûa ña thöùc seõ lôùn, tính toaùn seõ daøi . + *)Sai soá phuï thuoäc vaøo M (n 1), thöïc teá khoâng bieát vì haøm f( x ) chöa bieát *)Ña thöùc noäi suy P(x) laø duy nhaát Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 5
6. VVVííí ddduuuï : Tìm ña thöùc noäi suy P(x) töø baûng soá lieäu x0 =−1 , x1 = 0 , x2 = 1 1 y = , y = 1 , y = 3 0 3 1 2 Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bảng taïi x = 0.7 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 6
7. GGiiaaaûûiûi : Ta tìm caùc ña thöùc Lagrange (x − 0)( x −1) x2 − x L (x) = = 0 (−1− 0)( −1−1) 2 [x − (−1)]( x −1) x2 −1 L (x) = = 1 [0 − (−1)]( 0 −1) −1 [x − (−1)]( x − 0) x2 + x L (x) = = 2 [1− (−1)]( 1− 0) 2 1 2x2 + 4x +3 P(x) = L (x) +1L (x) +3L (x) = 3 0 1 2 3 2.( 0.7)2 + 4.( 0.7) + 3 P(0.7) = = 2.26 3 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 7
8. ddd))) TTTyyyûû û sssaaaiii ppphhhaaaâânânn Tyû sai phaân baäc 0 cuûa f taïi x0 : f [x0] = f (x0) Tyû sai phaân baäc 1 cuûa f taïi x0, x1 : f [x1] − f [x0] f [x0, x1] = x1 − x0 Tyû sai phaân baäc 2 cuûa f taïi x 0, x1, x 2 f [x1, x 2] − f [x0, x1] f [x0, x1, x2] = x 2 − x0 Töông töï cho tyû sai phaân baäc cao hôn Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 8
9. eee))) BBBaaaûûnûnnggg tttyyyûû û sssaaaiii ppphhhaaaâânânn Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 9
10. fff))) NNNoooääiäii sssuuuyyy NNNeeewwwtttooonnn tttiiieeeáánánn ttthhheeeooo bbbaaaûûnûnnggg tttyyyûû û sssaaaiii ppphhhaaaâânânn Ña thöùc P(x) coù theå tìm döôùi daïng = + − + − − + P(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)( x x1) + an(x − x0)( x − x1) ( x − xn−1) Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 10
11. 1 2 2 2 2 4 P(x) = + (x +1) + (x +1)( x − 0) = x + x +1 3 3 3 3 3 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 11
12. gg)) NNooäiäi ssuuyy NNeewwttoonn lluuøiøi = + − + − − + P(x) a0 a1(x xn) a2(x xn)( x xn−1) + an (x − xn )( x − xn−1) ( x − x1) = a0 f [ xn ] = a1 f [xn , xn−1 ]. a 2 = f [ xn , xn−1, xn−2 ] ak = f [xn, xn−1, xn−k +1, xn−k ] = an fxx[ n , n −1 , , xxxx 3 210 ,, ] Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 12
13. 2 P(x) = 3 + 2(x −1) + (x −1)( x − 0) 3 = 22 + 4 + 3x 3 x 1 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 13
14. 222))) NNNoooääiäii sssuuuyyy SSSpppllliinnnee bbaaaääcäcc 333 aaa))) NNNoooääiäii ddduuunnnggg ::: Cho baûng soá lieäu Tìm mmooäätt hhaaømøm S(x) thoûa caùc ñieàu kieän : S(x) : Đi qua các điểm đã cho trong bảng S(x) laø ññaa tthhööùùcc bbaaäcäc 33 ttrreeânân mmooããii ññooaaïnïn nnhhooûû [ x j , x j +1] ( caùc ña thöùc naøy coù caùc heä soá khaùc nhau) Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 14
15. Goïi Sj ( x ) laø ña thöùc treân moãi ñoaïn nhoû [xj , x j +1 ] Sj ( x ) thoûa caùc ñieàu kieän : aaa))) S j (x j ) = y j S j (x j+1) = y j+1 b) / = / bb)) S j (x j+1) S j+1(x j+1) c) // = // cc)) S j (x j+1) S j+1(x j+1) //= // ddd))) Sx0() 0 Sn− 1 () x n ñññiiieeeààuàuu kkkiiieeeäänänn bbbiiieeeâânânn tttöööïï ï nnnhhhiiieeeâânânn Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 15
16. = − hj x j+1 x j a j = y j (c j+1 − c j ) d j = 3h j (a − a ) h (c + 2c ) = j +1 j − j j +1 j b j h j 3 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 16
17. = Ñeå tìm c j ta giaûi töø heä Ax b  1 0 0 0 0 0   +  h0 2(h0 h 1) h1 . . 0  +  0 h1 2(h1 h2 ) h2 . 0  A =    0 0 . . . 0   0 0 . h − 2(h − + h − ) h −   n 2 n 2 n 1 n 1  0 0 0 0 0 1   c0   0   c   3 − − 3 −  1  (a 2 a 1 ) (a 1 a0 )    h 1 h0     x =  .   .  B =  .      cn−1 3 3  ( a n − a n −1 ) − (a n −1 − a n − 2 )  cn   hn −1 hn − 2   0  Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 17
18. VVíí dduuïï :: Noäi suy Spline baäc 3 cuûa baûng = = = = x0 0 x1 1 x2 2 x3 3 = = = = y0 0 y1 1 y2 4 y3 0 a0 = y0 = 0 a1 = y1 = 1 a2 = y2 = 4 a3 = y3 = 0 Caùc heä soá ci tính theo heä phöông trình 1 0 0 0 c0  0  c0  0            1 4 1 0 c 6 c 3    1 =    1 =   − 0 1 4 1 c2 − 21  c2  6           0 0 0 1 c3  0  c3  0  = = = b00 b 1 3 b 2 0 d0 = 1 d1 = −3 d2 = 2 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 18
19. Ta coù haøm : S (x) =  1(x − 0)3 0≤ x≤1   1+ 3(x −1) + 3(x −1)2 − 3(x −1)3 1≤ x≤ 2  − − 2 + − 3 ≤ ≤ 4 6(x 2) 2(x 2) 2 x 3 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 19
20. Spline v ới ñieàu kieän bieân raøng buoäc /= / = d ) Sx00() fx '(), 0 Sn− 1 () x n f '( x n ) trong ñoù f '(x0), f '(xn) laø caùc ñaïi löôïng cho tröôùc 2h h 0000   0 0  +  h02( hh 01 ) h 1 . . 0   0h 2( hh+ ) h . 0  A=  1 12 2   00 . 0   +   0 0 .hn−2 2( hh nn −− 21 ) h n − 1   00 00hn−1 2 h n − 1  Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 20
21. 3  (aa− ) − 3 fx '( ) h 1 0 0  0  3 3  (aa− )( − aa − ) h21 h 10  1 0  B =     3− − 3 − (aann−1 )( aa nn − 1 − 2 )  hn−1 h n − 2    −3 − 3fx '(n ) ( aa n n −1 )  hn−1  Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 21
22. Ví dụ :: Hàm S(x) Spline bậc 3 nội suy bảng s ố li ệu x 3 5 y 2.5 6 với điều ki ện bi ên rà ng buộc : = = = = S'(3) fx '(0 ) 2 ; S '(5) fx '(n ) 0.25 Tính giá tr ị của hàm S(x) t ại điểm x =4 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 2222
23. 33))) PPPhhööôônnngg ppphhaaùùpùpp bbìììnnnhhh pphhöööôônnnggg ttooááiái ttthhhiiieeeååuåuu NNNoooääiäii ddduuunnnggg ::: Töø baûng soá lieäu tìm nnnhhhöööõõnõnnggg hhhaaaøømømm sssoooáá á cccoooùù ù dddaaaïïnïnnggg bbbiiieeeáátátt tttrrröööôôôùùcùcc sao cho toång bình phöông ñoä leäch so vôùi baûng soá lieäu đã cho laø nhoû nhaát Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 23
24. y= af() x + bgx () y= a + bx n n + = anb. . ∑ xi ∑ y i i=1 i = 1 n n n +2 = axbx.∑i . ∑ i ∑ yx ii . i=1 i = 1 i = 1 Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 24
25. y= a + bx =1.02 + 1.984 x Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 25
26. Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 26
27. Cho bảng s ố li ệu x 0 1 2 3 4 y 2.0 2.2 3.5 4.2 5.3 b Tìm hàm y= a + 1+ x theo ph ươ ng pháp bình ph ươ ng t ối thi ểu của bảng trên. Ngô Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 27