Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

1. 14/09/2018 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): TOÁN CAO CẤP Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. C1 Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. GV. Phan Trung Hiếu Chỉ được vắng 1 ngày có phép. 45 tiết -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): LOG Tự luận, không được sử dụng tài liệu. O 2 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không Khi không có SV xung phong lên làm thì GV trừ điểm). sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. 3 4 Trang web môn học: Nội dung: SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng Chương 1: Hàm số một biến số. tuần, điểm quá trình trên trang web sau: Chương 2: Hàm số liên tục. Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến. Chương 4: Tích phân. Chương 5: Hàm nhiều biến. Chương 6: Phương trình vi phân. 5 6 1
2. 14/09/2018 Tài liệu học tập: Dụng cụ hỗ trợ học tập: [1] Bài giảng trên lớp. Máy tính FX 500MS, FX 570MS, [2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải FX 570ES, FX 570ES Plus. tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB Giáo dục. 7 8 Chương 1: Hàm số một biến số §1. Các khái niệm cơ bản GV. Phan Trung Hiếu về hàm số một biến số §1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số §2. Giới hạn của hàm số §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số LOG O 10 Các biến số kinh tế: I. Biến số: Ký Ý Tiếng Ký Ý Tiếng Anh Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một hiệu nghĩa Anh hiệu nghĩa số bất kì thuộc tập số X  cho trước (X  ). Lợi Đơn Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và Profit Price (pi) nhuận P giá mỗi số thực x X được gọi là một giá trị của biến 0 Chi Sản Cost Quantity số đó. C phí Q lượng Lượng Quantity D Cầu Demand Q Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: D cầu Demanded Doanh Lượng Quantity x, y, z, Revenue R thu QS cung Supplied S Cung Supply T Thuế Tax Xuất Thu Export Income X khẩu Y nhập 11 12 2
3. 14/09/2018 G ( x , f ( x )) x D : Đồ thị của hàm số f. II. Hàm số: 2.1. Định nghĩa: Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính Một hàm số f xác định trên một tập hợp D  là là TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT. một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D với một số thực y xác định duy nhất f: D x y f() x D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f. x: biến độc lập (biến số). y: biến phụ thuộc (hàm). f(x): giá trị của hàm số f tại x. f( D ) { y y f ( x ),  x D }:Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 13 14 Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện 1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số: trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa  Biểu diễn hàm số bằng biểu thức: đêm). Ví dụ 2.2: Tổng chi phí sản xuất x đơn vị sản a) Mức tiêu thụ điện phẩm được cho bởi C( x ) 100 x x 500. vào lúc 6h sáng và Tìm chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản phẩm. 6h tối là bao nhiêu? b) Hãy cho biết tập xác định và tập giá trị của hàm số P(t). c) Mức tiêu thụ điện khi nào là thấp nhất? Cao nhất? Thời gian đó có hợp lý không? 15 16 Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu: Hàm số xác định từng khúc: Ví dụ 2.3: Một doanh nghiệp muốn biết lợi Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các nhuận có quan hệ như thế nào với sản lượng công thức khác nhau trong từng khúc khác nên lập bảng theo dõi và có được kết quả sau nhau của tập xác định của nó. Sản lượng Q 1000 1100 1200 1300 1400 (kg) Lợi nhuận 25 27 28 31 27 (triệu đồng) a) Tìm lợi nhuận khi sản lượng là 1100kg. b) Tìm sản lượng sao cho lợi nhuận là 27 triệu đồng. 17 18 3
4. 14/09/2018 Ví dụ 2.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá III. Các hàm số cơ bản: 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100 km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì 3.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả Hàm hằng: y C. thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và Hàm lũy thừa: y x ( ). C(x) là chi phí thuê xe. x a) Viết hàm số C(x). Hàm mũ: y a(0 a 1). b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy Hàm logarit: y loga x (0 a 1). được 50km. Hàm lượng giác: c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy được 150km. y sin, x y cos, x y tan, x y cot. x d) Vẽ đồ thị hàm số C(x). Hàm lượng giác ngược: y arcsin x , y arccos x , y arctan x , y arccot x 19 20 Chú ý: 3.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo  sin(arcsinx ) x ( 1 x 1). thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản. arcsin(sinx ) x x . 2 2 Ví dụ 3.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các  cos(arccosx ) x ( 1 x 1). dạng hàm số sơ cấp sau arccos(cosx ) x (0 x ). Hàm đa thức (hàm nguyên):  tan(arctanx ) x ( x ). n n 1 y an x a n 1 x a 0 . arctan(tanx ) x x . Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): 2 2 P() x  cot(arccotx ) x ( x ). y Q() x arccot(cotx ) x (0 x ). P(x) và Q(x) là các đa thức. 21 22 3.3. Hàm hợp: Giả sử y=f(u) là hàm số của 3.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị y0 Y chỉ tồn tại duy nhất một giá trị sao cho , nghĩa là số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của x0 X f() x0 y 0 biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký pt f() x y0 chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ hiệu thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức tính được x theo y, ký hiệu là x f 1( y ). (f g )( x ) f g ( x ) . Khi đó hàm số x f 1 ( y ), y Y được gọi là hàm Ví dụ 3.2: Cho hàm số ngược của hàm số y f( x ), x X . f( x ) x2 , g ( x ) x 3. Ví dụ 3.3: a) Hàm số y x 2 có hàm ngược là x y 2. Tìm f g và 2 g f . b) Hàm số y x không có hàm ngược. 23 24 4
5. 14/09/2018 Ví dụ 3.4: Lượng cầu D của một mặt hàng phụ thuộc 3.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế: vào giá P trên một đơn vị sản phẩm được cho bởi Hàm sản xuất:Q f() L , Q: sản lượng, L: lao động. 30 D . Hàm doanh thu:RRQ ( ). 1 P 3 Hàm chi phí:CCQ ( ). Nếu D = 10 thì P bằng bao nhiêu? Hàm lợi nhuận: (Q ). Hàm cung: QSPs ( ). Hàm cầu: QDPD ( ). 25 26 I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: Ví dụ 1.1: Xét hàm số f( x ) x2 x 2 khi các giá trị của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2 §2. Giới hạn của hàm số 27 28 Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập Ví dụ 1.2: Dự đoán giá trị của D và x0 D hoặc x0 D. Ta nói hàm số f(x) có x 1 giới hạn là L khi ký hiệu là a) lim . x x0 x 1 x2 1 limf ( x ) L 8 4 4 x x0 b) lim x x x 2 . Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x) x gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ gần x0 nhưng không được bằng x0. Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu khi f() x L x x0 đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về x0. 29 30 5
6. 14/09/2018 Định nghĩa 2.2 (Giới hạn một phía): Chú ý: ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x x và x x x x0 x x 0. 0 0 thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x . Ký  x x0 x x 0 và x x0. 0 hiệu  x x x x và x x . limf ( x ) L . 0 0 0  x x0 ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x x0 và x x0 lim()f x L lim f () x lim f () x L . x x x x x x thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0. Ký 0 0 0 hiệu  limf ( x ) L1  limf ( x ) L . x x x x 0 0 limf ( x ) L lim f ( x ) không tồn tại. Định lý 2.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất. 2  x x0 x x 0 LL1 2  31 32 Định nghĩa 2.4 (Giới hạn vô cùng): Định nghĩa 2.5 (Giới hạn tại vô cùng): ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x x0 ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị thì limf ( x ) . chặn với các giá trị dương thì limf ( x ) L . x x0 x ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x x0 thì limf ( x ) . ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị x x Ví dụ 1.3: 0 chặn với các giá trị âm thì limf ( x ) L . Ví dụ 1.4: x 1 lim . limf ( x ) 3. x 0 x2 x limf ( x ) 7. x 33 34 ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng không bị chặn với các giá trị dương thì không bị chặn với các giá trị dương thì limf ( x ) . limf ( x ) . x x ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm không bị chặn với các giá trị âm thì không bị chặn với các giá trị âm thì limf ( x ) . limf ( x ) . x Ví dụ 1.5: x Ví dụ 1.6: n lẻ: n chẵn: limxn . limxn . x x limxn . limxn . x x 35 36 6
7. 14/09/2018 Ví dụ 2.2: Cho II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 1 x2 khi x 1, 2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: f() x Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm x0 thuộc 2, khix 1. TXĐ của nó được tính theo công thức Tìm limf ( x ), lim f ( x ),lim f ( x ). limf ( x ) f ( x0 ). x 1 x 1 x 1 x x0 Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn a)lim( x2 x 2). khi x 2 x 1 sinx 3 x2 mx 1 khi x 2 b)lim . f(). x x 0 cos x 2 2x x 1 khi x 2 c) lim x 2. x 2 37 38 2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bảnV.: Một số kết quả giới hạn cần nhớ: III. Một số định lý về giới hạn hàm số: ĐL 3.1: limk k ( k ). x x0 ĐL 3.2: Giả sử limf () x A ,lim g () x B . x x x x Khi đó: 0 0 Xem Bảng 1. i)lim k .() f x k .lim f ()( x k ). x x0 x x 0 ii) lim f ( x ) g ( x ) A B . x x0 iii)lim f ().() x g x A B x x0 f() x A iv) lim ( B 0). x x0 g() x B v)lim f () xg() x AB (0 A 1). x x0 39 40 ĐL 3.3: f( x ) 5 Ví dụ 3.1: Cho lim 1,tìm limf ( x ). i) lim f ( x ) 0 lim f ( x ) 0. x 4 x 2 x 4 x x0 x x 0 f() x ii) Nếu Ví dụ 3.2: Cho lim 1, tìm limf ( x ). x 0 x x 0 g() x f () x h (), x  x ( x0  , x 0  ), Ví dụ 3.3: Cho hàm số f(x) thỏa limg ( x ) lim h ( x ) L 4x 9 f ( x ) x2 4 x 7, x 0 x x0 x x 0 thì Tìm limf ( x ). x 4 limf ( x ) L . x x0 Ví dụ 3.4: Tính lim(x 1)sin . x 1 x 1 41 42 7
8. 14/09/2018 Chú ý 3.4: Trong tính toán về giới hạn hàm IV. Vô cùng bé (VCB): số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng vô định: bé khi x x0 (x0 có thể là vô cùng) nếu 0 0 0 , ,0., ,0, ,1. limf ( x ) 0. 0 x x0 Khi đó, ta không thể dùng định lý 6.2, mà phải Ví dụ 4.1: dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô a)sin x ,tan x ,1 cos x là VCB khi x 0. định đó. 3 b) x 3sin 2 x là VCB khi x 0. c) cos x , cot x là VCB khi x . x 1 2 d) là VCB khi x . x2 2 43 44 Tính chất 4.2: V. Vô cùng lớn (VCL): 1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB. Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng 2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là lớn khi x x0 (x0 có thể là vô cùng) nếu một VCB. limf ( x ) . 3) Thương của hai VCB chưa chắc là một x x0 VCB. Ví dụ 5.1: 1 1 a) , , cot x là VCL khi x 0. xsin x b) x2 , 2 x 1 là VCL khi x . 45 46 Tính chất 5.2: Quan hệ ~ trong VI và VII là quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau 1)f ( x ) f ( x ). 2)f ( x ) g ( x ) g ( x )  f ( x ). §3. Phương pháp tính f()() x g x 3) f ( x ) h ( x ). giới hạn của hàm số g()() x h x 47 48 8
9. 14/09/2018 3.1. Khử dạng 0 và : Phương pháp tính limf ( x ) : 0 x x0 Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây Thế x vào f(x) 0 1)lim()f x L \{0} f () x  L . x x0 f()() x g x con số cụ thể 2) limf ( x ) lim g ( x ). vô định limg ( x ) toàn taïi x x0 x x 0 x x biện luận 0 f( x ). g ( x ) f ( x ). g ( x ) xem ? 1 1 f()() x f1 x 0 0 0 3) f() x f() x , ,0., ,0, ,1. g()() x g x  1 0 1 g()() x g1 x khử 4)f ( x ) g ( x ) n f ( x )  n g ( x ) nếu căn có nghĩa. 49 50 2 Chú ý 3.2: Ví dụ 3.1: Cho f ( x ) x 2 5 và g( x ) x 3. Tính: Ta không thể viết f( x ) 0 hay f() x  ngay cả khi f( x ) 0 hay f() x vì điều f() x a) lim . b) lim f ( x ) g ( x ) . này vô nghĩa. x g() x x  Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau fx()()()()()() fx1 fxgx  fxgx 1 1 x2 2 x x2 2 x 3 a) lim . gx()()()()()() gx1 fxgx  fxgx 1 1 3 b) lim 3 x 0 x 3 x x 2x x 1 (x 2)( x2 5 x 1) 2x2 3 x 5 c) lim2 . d) lim . x x( x 2) x 5x 1 51 52 sin 2x x2 e)lim . f )lim . Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao): x 0 x x 0 arcsin 3x Nếu (x ),  ( x ) đều là tổng của các VCB khác 7x arctan ()x 1 cos3x cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng g)lim . 4 x x0 2 h)lim 2x . ()x x 0 x x 0 e 1 giới hạn của tỉ số hai VCB cấp bé nhất trong 1 2x 1 ln(1 2x ) i)lim . j)lim3x . (x ),  ( x ). x 0 tan3x x 0 1 e ln(cosx ) 1 cos x k)lim . l)lim2 . x 0 x2 x ()x 53 54 9
10. 14/09/2018 Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi Ví dụ 3.3: x 0 sao cho afx)()2,() xgx2  4 x 4 fxgx () ()2.  x 2 m n f(),() x ax g x  bx 4 4 4 Khi đó: bfx)()2,() xgx  4 x fxgx () ()  2. x m Ví dụ 3.4: Tính axneáu m n 2 3 n x 3sin x 4sin x f( x ) g ( x ) bx neáu m n a) lim3 8 . x 0 5x x x (a b ) xm neáu m n , a b 0 e3x e 5 x tanx sin x b)lim . c)lim3 . Nếu m n, a b 0 thì ta không thể viết x 0 x x 0 x f( x ) g ( x ) 0. 55 56 Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi thấp): x sao cho Nếu (x ),  ( x )đều là tổng của các VCL khác f(),() x axm g x  bx n ()x Khi đó: cấp thì giới hạn của tỉ số khi x x0 bằng ()x axm neáu m n n giới hạn của tỉ số hai VCL cấp lớn nhất trong f( x ) g ( x ) bx neáu m n (x ),  ( x ). m (a b ) x neáu m n , a b 0 Nếu m n, a b 0 thì ta không thể viết f( x ) g ( x ) 0. 57 58 0 Ví dụ 3.5: Tính 3.3. Dạng 0 . : biến đổi đưa về dạng hoặc . 0 x2 4 2 x 3 x Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau lim . x 2 2x 1 x 4 x a) lim ( x 1) . x 1 x x 3 b)limsin tan . 3.2. Khử dạng : x x 2 x 1 2 2 Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng 3.4. Dạng 0 0 , 0 ,1 : Giới hạn có dạng lim f ( x )g() x liên hợp để đưa về dạng x x0 g() x g() x 0 hoặc Đặt a lim f ( x ) lna lim ln f ( x ) x x   . 0 x x0 0 Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau lna lim g ()ln x f () x b x x x3 x 2 0 a) lim . b) lim x2 x 1 x . a eb. 2 x x x 3x 4 3 x 2 1 3 Ví dụ 3.8: Tính a) lim(1 x )x . b) lim 1 . x 0 x x 59 60 10
11. 14/09/2018 Ví dụ 3.9: Hằng năm, doanh thu y của một doanh nghiệp có liên quan đến số tiền x dùng để chi trong quảng cáo và cho bởi phương trình 500x y(). x x 20 Tìm lim y ( x ) và giải thích ý nghĩa của kết quả x tìm được. 61 11
12. Bài tập Chương 1 Một số kết quả giới hạn thường gặp x ,a 1 lim a ,n chaün x 0, 0 a 1  limxn ; lim x n  x x ,n le û x 0,a 1 lim a x , 0 a 1  limlnx ; limln x  limtanx  , limtan x  x x 0 x x 2 2  lim cotx , lim cot x  lim arctan x x 0 x x 2 ln x x lim arccotx 0, lim arccot x  Nếu 1,  1 thì lim lim 0 x x x x x  x u() x 1 x x 1 x x  lim 1 u ( x ) u() x e u ( x )  0 0  lim 1 e u ( x )  0 x x x x 0 0 u() x Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp STT Hàm tương đương Với m n, an 0, a m 0 : n n 1 m m 1 ▪ Khi x 0 : an x a n 1 x am x a m x nn 1 m n ▪ Khi x : an x an 1 x a m x a n x 2 sinu ( x ) u ( x ) u ( x ) x x0 0 3 arcsin()u x u () x u () x  x x0 0 4 tanu ( x ) u ( x ) u ( x ) x x0 0 5 arctan()u x u () x u () x  x x0 0 6 ln 1 u ( x )  u ( x ) u ( x )  x x0 0 u() x x x0 7 loga  1 u ( x )  u ( x )  0 ln a 8 eu() x 1 u ( x ) u ( x )  x x0 0 9 au() x 1 u ( x ).ln a u ( x )  x x0 0 10 1 u ( x ) 1 u ( x ) u ( x )  x x0 0 u() x 2 11 cosu ( x ) 1 u ( x )  x x0 0 2 12 GV. Phan Trung Hiếu
13. Bài tập Chương 1 Bài 1: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất QL 100.3 2 , trong đó L là lượng sử dụng lao động và Q là lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần. a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác. b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao động mỗi tuần thì sản lượng đầu ra mỗi tuần tăng bao nhiêu? Bài 2: Doanh thu R (triệu USD) từ chương trình TV của giải bóng đá quốc gia theo thời gian t (năm) được biểu diễn bằng một hàm số R(t) có bảng giá trị như sau (tính từ năm 1975): t 0 5 10 15 20 25 30 R(t) 201 364 651 1075 1159 2200 2200 a) Tìm R(25) và giải thích ý nghĩa của kết quả đó. b) Vào năm thứ bao nhiêu (kể từ năm 1975) thì doanh thu là 1159 triệu USD? Bài 3: Trong một quốc gia, thuế thu nhập được xác định như sau: thu nhập dưới 10.000 USD không bị đánh thuế, trên 10.000 USD đến 20.000 USD thì chịu thuế 10%, trên 20.000 USD thì chịu thuế 15%. a) Vẽ đồ thị hàm thuế suất R (tốc độ tăng thuế) theo thu nhập I. b) Thuế suất là bao nhiêu nếu thu nhập là 14.000 USD? 26.000 USD? c) Vẽ đồ thị hàm thuế T theo thu nhập I. Bài 4: f() x f() x a) Cho lim 1, tìm limf ( x ) và lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x f( x ) 5 b) Cho lim 3, tìm limf ( x ) . x 2 x 2 x 2 c) Cho 5 2x2 f ( x ) 5 x 2 , 1 x 1, tìm limf ( x ) . x 0 Bài 5: Tính các giới hạn sau 7 4 x10 3 x 5 2 x x2 x 1 2x3 8 1) lim1 2 1 . 2) lim2 . 3) lim2 . x 0 x3 4 x 3 2 x 5 x 2x 5 x x 1 2 x 2 sin x 3 3 arcsin 2x 4) lim . 5) lim2 . 6) lim . x 3 x3 1 x 0 3x x 0 x t an5x 1 cos 4x esin x 1 6) lim . 7) lim . 8) lim . x 0 s in3x x 0 s in4x x 0 x ln(1 3x2 ) 1 x 1 sin(sinx ) 9) lim . 10) lim . 11) lim . 2 4 x 0 sin (3x ) x 0 1 x 1 x 0 sin x 1 cos 2x 5 (1 x x2 ) 3 1 12) lim . 13) lim . x 0 2 x 0 tan x sin 2x sinx cos x ex 1 1 sin(ex 1 1) 14) lim . 15) lim . 16) lim . 13 x 1 x 1 x ln x ln x 4 x 4 GV. Phan Trung Hiếu
14. Bài tập Chương 1 Bài 6: Tính các giới hạn sau (x2 1)(1 2 x ) 5 sin(3 x )ln(1 3 x ) 1) lim . 2) lim3 . x x7 x 3 x 0 2 5 x (arctanx )( e 1) (1 1 x )(1 cos2) x (1 e4x )(1 cos x ) 3) lim . 4) lim . x 0 ln(1 x )arcsin2 x x 0 x3 sin 4 x 1 cos2 x ln(1 2x sin2 x ) 5) lim . 6) lim2 . x 0 xsin3 x x 0 sin(x )tan x 2 x2 x 3 1 8 x 3 ex cos x 7) lim . 8) lim2 . x 4 1 x4 x 0 x sin2x x 2 cos 2 x sin2x arcsin2 x arctan 2 x 9) lim2 2 . 10) lim3 . x 0 xsin x x 0 3x 4 x 1 cosx 2 sin x sin3 x x 2 3 x 4 x2 11) lim3 2 3 . 12) lim . x 0 tanx 6sin x x 5 x x 0 1 x sin x cos x x arctan(2 x ) 2 sin( x 2) cosx sin 13) lim . 14) lim2 . x 2 2 x 1 2 x 4 (x 1) 2 2 2x 3 x cosx 3 cos x 15) limx x 2 . 16) lim2 . x 0 (2 3 ) x 0 sin x Bài 7: Tính các giới hạn sau 2 2x x 1) lim cot x . 2) lim . x 0 s in2x x x 1 x 1 2) lim 1 x x2 1 x x 2 . 3) limx2 2 x 2 x 2 x x . x x 1 sin x 4) limx x x2 1 . 5) lim tan x . x x cos 2x 2 x 6) lim(1 x )tan . 7) lim 2 x .sin . x 1 2 x x 8 x2 x 2 x 2 x 2 x 8) lim3 1 cos cos cos .cos . 9) limx arctan . x 0 x 2 4 2 4 x 4x 1 3x 1 1 cot2 x 2x 1 2 2 x 10) lim . 11) lim 1 x . 12) lim 1 sin(x x ) . x 2x 3 x 0 x 0 1 1 tan x sin x x sin x 13) lim . 14) lim . x 0 1 sin x x 2x 7 5sin x Bài 8: Hàm chi phí C của x đơn vị sản phẩm nào đó được cho bởi C( x ) 50000 20 x 0,3 x2 . Tìm limC ( x ) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được. x 14 GV. Phan Trung Hiếu