Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hàm liên tục - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hàm liên tục - Phan Trung Hiếu

1. 21/09/2018 TOÁN CAO CẤP Chương 2: C1 Hàm liên tục GV. Phan Trung Hiếu GV. Phan Trung Hiếu 45 tiết LOG LOG O O I. Hàm số liên tục tại một điểm: (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu limf ( x ) f ( x0 ). Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định x x0 trong một khoảng chứa x0. Ta nói: Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu sau: f(x) xác định tại x . limf ( x ) f ( x ). 0 0 x x0  limf ( x ) tồn tại. x x0 (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu  limf ( x ) f ( x ). limf ( x ) f ( x ). 0 0 x x0 x x0 3 4 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì đoạn tại x nếu xảy ra một trong các điều sau: 0 f f(x) không xác định tại x . f g, f . g , ( g 0) cũng liên tục tại x0. 0 g  f(x) xác định tại x0, nhưng Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau limf ( x ) không tồn tại x x0 sin3x hoặc khix 0 tại limf ( x ) không tồn tại a)() f x x x0 0. x x0 hoặc 3 khix 0 limf ( x ) lim f ( x ). 2 x x x x x 1 khi x 1 0 0 2 tại x 1.  f(x) xác định tại x0, lim f ( x ) tồn tại, nhưng b)() f x x 0 x x0 khix 1 2 limf ( x ) f ( x0 ). x x0 5 6 1
2. 21/09/2018 Ví dụ 1.2: Cho hàm số Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số xtan x f( x ) , x k 2 ( k ). 3mx khi x 3, 1 cos x f( x ) x n khi x 3, Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại x 0. 0 2 xkhi x 3. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 3 liên tục tại x0 3. ex 1 khix 0 f() x ln(1 x2 ) liên tục tại x0 0. 2 1 m khi x 0 7 8 Ví dụ 1.5: Thầy Hiếu bán một loại sản phẩm trang trí Ví dụ 1.6: Giả sử một người bán hàng được trả lương cơ với số lượng lớn. Nếu khách hàng mua với số lượng ít bản là 800$/tháng cộng với tiền hoa hồng và tiền thưởng hơn hoặc bằng 225kg thì thầy Hiếu bán với giá 57,5 (nếu có) dựa trên doanh thu của người đó. Giả sử rằng nghìn đồng/kg. Nếu khách hàng mua với số lượng trên tiền hoa hồng là 15% doanh thu, còn tiền thưởng là 225kg thì thầy Hiếu sẽ giảm giá và bán với giá 46 nghìn 1.000$ nếu doanh thu hàng tháng vượt 10.000$ và được đồng/kg. Tuy nhiên, thầy Hiếu nhận thấy điều chưa hợp cộng thêm 2.500$ nếu doanh thu hàng tháng vượt lý trong cách bán này, chẳng hạn khi khách hàng mua 15.000$. 230kg thì số tiền phải trả ít hơn khi mua 225kg. Vì vậy, a) Tìm hàm số thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu với thầy Hiếu quyết định thêm vào phụ phí k (nghìn đồng) thu nhập của người bán hàng này và vẽ đồ thị. cho việc giảm giá khi khách hàng mua trên 225kg. Tìm b) Hàm số ở câu a gián đoạn các điểm nào? Tìm các giới k để cách bán hàng trở nên hợp lý hơn. hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại các điểm đó. c) Từ các kết quả ở câu b, ta thấy phương pháp tính lương này tạo động lực gì cho người bán hàng để tăng doanh thu hàng tháng? 9 10 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: thị là một đường liền nét (không đứt khúc) Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) trên đoạn đó. khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên (a,b) a b a b f(x) liên tục trên [a,b] limf ( x ) f ( a ) x a Không liên tục limf ( x ) f ( b ) Liên tục x b 11 12 2
3. 21/09/2018 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các Ví dụ 2.1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, định y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. 2x 3 khi x 0 Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì f( x ) 1 khi x 0 . đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. 2 x 3 khi x 0 13 14 Ví dụ 2.2: Tìm m để hàm số mx2 2 x khi x 2 f() x 3 x mxkhi x 2 liên tục trên . Ví dụ 2.3: Tìm m và n để hàm số 1 khix 1 x 1 f( x ) mx n khi 1 x 2 1 1 khi x x 2 liên tục trên . 15 3
4. Bài tập Toán Cao cấp C1 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước arcsin(x2 2 x ) ln(1 4x2 ) khix 0 khix 0 2x2 1) f() x 3x tại x0 0 . 2) f() x 1 e tại x0 0 . 2 / 3 khix 0 2 khix 0 lnx ln 2 Bài 2: Cho hàm số f( x ) , x 2. Tìm f(2) để hàm số liên tục tại x 2. x 2 Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm x0 0 ln(2 cos(mx )) 3tan2x sin 2 x khix 0 khix 0 1) f() x x4 2 x 2 . 2) f(). x 2x mkhi x 0 mkhi x 0 msin 2 x khix 0, x Bài 4: Tìm m và n để hàm số f( x ) 2 khi x 0, liên tục tại điểm x0 0. 2n 1 x 1 khix 0 x Bài 5: Một nhà máy kẹo bán kẹo theo pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng ít hơn hoặc bằng 20 pounds thì nhà máy bán với giá 1,5$/pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng trên 20 pounds thì nhà máy bán với giá 1,25$/pound (tính cho toàn bộ lượng kẹo) cộng thêm một phụ phí k. Gọi x là số pounds, p(x) hàm đơn giá. a) Viết hàm đơn giá p(x). b) Tìm k sao cho hàm đơn giá p(x) liên tục tại x = 20. c) Giải thích tại sao hàm đơn giá p(x) sẽ phù hợp hơn khi nó liên tục tại x = 20. Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định sin( x ) x khix 1 cos khix 1 1) f() x x 1 . 2) f() x 2 . khix 1 x 1 khi x 1 Bài 7: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định e5mx cos x (1 cos(mx )).( ex e5 x ) khix 0 khix 0 1) f() x x . 2) f() x x5 x 3 . 2 m 4 khi x 0 3m 1 khi x 0 Bài 8: Giả sử một người bán hàng được trả lương cơ bản là 500$/tháng cộng với tiền hoa hồng là 10% doanh thu nếu doanh thu hàng tháng không vượt quá 20.000$ nhưng nếu doanh thu hàng tháng trên 20.000$ thì người bán hàng sẽ nhận được tiền hoa hồng là 20% doanh thu. a) Tìm hàm số thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu với thu nhập của người bán hàng này và vẽ đồ thị. b) Hàm số trong câu a gián đoạn tại các điểm nào? Tìm các giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại các điểm đó. 4 GV. Phan Trung Hiếu