Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến - Phan Trung Hiếu

1. 15/10/2018 Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm một biến §1. Đạo hàm và vi phân của GV. Phan Trung Hiếu hàm một biến §1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến §2. Đạo hàm và vi phân cấp cao §3. Ứng dụng trong toán học LOG §4. Ứng dụng trongO kinh tế 2 I. Đạo hàm cấp một: Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số ln(1 x2 ) khix 0 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên f() x x khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của 0 khix 0 hàm số f(x) tại x , ký hiệu y ()() x f x , được tại 0 0 0 x0 0. tính bởi Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f()() x f x 0 f()() x f x0 f ( x0 ) lim f ( x0 ) lim x x x x 0 x x0 0 x x0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) f()() x f x Chú ý 1.2. Nếu f () x0 tồn tại thì f(x) được 0 f ( x0 ) lim x x gọi là khả vi tại x0. 0 x x0 3 4 Định lý 1.5: Định lý 1.6: f ()()() x0 L f x 0 f x 0 L f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 1 x , x 1, ex ( x2 x ) khi x 0 f() x f() x (1 x )(2 x ), x 1 mkhi x 0 tại x 1. 0 có đạo hàm tại x0 0. 5 6 1
2. 15/10/2018 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). u u( x ), v v ( x ) -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có (.).k u k u đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm x thuộc (a,b). ()u v u v (.) u v u v u v u u v u v 2 v v 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y ( x ) u ( x ). y u ( x ) 7 8 Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau III. Vi phân cấp một: a) y arctan x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là y (arcsin x )2 b) df()() x f x dx c) y exarctan e x ln 1 e2 x hay 3 dy y dx d) y ( x2 1)x 2 Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y ex . Ví dụ 1.5: Nếu F ()() x f g x , trong đó f ( 2) 8, f ( 2) 4, f (5) 3, g(5) 2, g (5) 6. Tìm F (5). 9 10 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1)d ( u v ) du dv . 2)d ( k . u ) k . du . 3)d ( u . v ) vdu udv . u vdu udv 4)d . 2 §2. Đạo hàm và vi phân v v Ví dụ 1.7. Tính cấp cao a)() d x3 ex b)() d x3 ex x3 c) d ex 11 12 2
3. 15/10/2018 Ví dụ 2.2. Cho hàm số y x sin x . Chứng I. Đạo hàm cấp cao: minh xy 2( y sin x ) xy 0. Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) Định lý 2.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và là v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó n y  f ()() x  f x  ()()()n k k n k (.)u v  Cn u v Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là k 0 (n ) ( n ) ( n 1) y f()() x f x Ví dụ 2.3. Tính y (20) của hàm số Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp y x2 e 2x . ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y ekx ,. k const 13 14 II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.3. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là n n 1 ( n ) n d y d d y y dx §3. Ứng dụng trong toán học Ví dụ 2.4. Cho y (2 x 3) 3 . Tính dy,,. d2 y d 3 y 15 16 Chú ý 3.2. I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định: Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) limf ( x ) lim g ( x ) 0 hay 0 x x x x hoặc . 0 0 0 limf ( x ) lim g ( x ) x x0f () x x x 0  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital và lim tồn tại x x0 g () x nhiều lần. thì f()() x f x lim lim x x0g()() x x x 0 g x 17 18 3
4. 15/10/2018 Ví dụ 3.1. Tính các giới hạn sau II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân: x2 5 x 6 2 4 x2 a)lim 3 2 b)lim Phép xấp xỉ f ( x ) f ( a ) f ( a )( x a ) (*) x 2 x x x 2 x 0 2 x 9 3 được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến x sin x x2 x của f tại a. c)lim 3 d) lim x 0 x x ex 3 Hàm tuyến tính L( x ) f ( a ) f ( a )( x a ) được gọi là tuyến tính hóa của f tại a. ln 2 x f) lim sin x .ln x e) lim x x3 x 0 1 1 1 cot x g)lim h)lim(1 sin4 x ) x 0 t an2x sin x x x 0 Ví dụ 3.2: Tính gần đúng giá trị của 3,98. 19 20 Đặt x x a . Từ (*), ta có Ví dụ 3.3: Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình f()()() a x f a f a x vuông, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả là 100m. Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác f()()() a x f a f a x trong phạm vi 6mm (sai số cho phép). y f () a x a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm phép nói trên. So sánh kết quả đó với sai số thực sự. 2 một lượng là x b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1 m và một hộp gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót đủ gạch cho nền nhà? 21 22 I. Trung bình của hàm: Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). Tỉ số f() x Ay x §4. Ứng dụng trong kinh tế được gọi là trung bình của y. Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R = P.Q. PQ. Khi đó AR P là doanh thu trung bình. Q Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q). CQ() Khi đó AC là chi phí trung bình. 23 Q 24 4
5. 15/10/2018 Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại II. Tốc độ biến thiên: x = x1 là Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x). y f()() x2 f x 1 lim lim f ( x1 ) Nếu x biến thiên từ x đến x thì độ thay đổi của x là x 0 x x 1 2 x2 1 x2 x 1 x x2 x 1 và độ thay đổi tương ứng của y là Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của y f()() x2 f x 1 Tỉ số hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm y f()() x f x 2 1 2005. x x2 x 1 được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương ứng với x. 25 26 a) Tìm mức tăng trưởng trung II. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: bình của nợ quốc gia (i) từ năm 1985 đến 1990. 4.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value): (ii) từ năm 1990 đến 1995. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến b) Ước tính mức tăng trưởng số kinh tế (x là biến đầu vào, y là biến đầu ra). Gọi x0 D. tức thời của nợ quốc gia vào Trong kinh tế, ta thường quan tâm đến sự biến thiên của năm 1990 bằng cách lấy trung y như thế nào tại một mức x x0 khi x tăng lên 1 đơn vị bình của hai tốc độ biến thiên từ x0 lên x0 1 . trung bình. Đơn vị tính của nó Gọi y là lượng thay đổi của y tại mức x = x khi biến x là gì? Giải thích ý nghĩa của kết 0 tăng thêm 1 đơn vị từ x lên x + 1. Khi đó, y được gọi quả đó. 0 0 là giá trị cận biên (Marginal value) hay biên tế của biến y tại mức x0. y f( x0 1) f ( x 0 ) 27 28 Từ định nghĩa f()() x f x0 f ( x0 ) lim x x Như vậy, cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là 0 x x0 các biến số kinh tế, gọi x0 D. ta đặt x x x 0 và y f ()() x f x 0 , ta có y Hàm số My f () x được gọi là hàm biên tế (hàm cận f ( x0 ) lim x 0 x biên) của biến y. y f ( x0 ). x Giá trị My()() x0 f x 0 được gọi là biên tế (giá trị cận Khi x 1 thì y f () x 0 . Nghĩa là, f () x 0 là xấp xỉ biên) của hàm số f(x) tại điểm x0. của giá trị cận biên của y tại mức x0. 29 30 5
6. 15/10/2018 Khi xét từng hàm kinh tế cụ thể, biên tế sẽ có tên gọi 4.2. Ý nghĩa của biên tế: My() x0 cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 tương ứng: đơn vị, từ x lên x + 1. Cụ thể, ta có Nếu hàm tổng chi phí C = C(Q), trong đó Q là mức 0 0 sản lượng thì hàm chi phí biên là C’(Q). Chi phí biên My( x ) 0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x lên 0 0 là chi phí xấp xỉ của một đơn vị sản phẩm được tăng x0 + 1 thì y sẽ tăng khoảng My() x0 đơn vị. thêm. Nếu hàm tổng doanh thu R = R(Q), trong đó Q là My( x0 ) 0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x0 lên mức sản lượng thì hàm doanh thu biên là R’(Q). x + 1 thì y sẽ giảm khoảng My() x đơn vị. 0 0 Doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi bán thêm một đơn vị sản phẩm. Nếu hàm tổng doanh thu R = R(L), trong đó L là lượng lao động thì hàm sản phẩm doanh thu biên là R’(L). Sản phẩm doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi thuê thêm một đơn vị lao động. 31 32 Nếu hàm sản xuất Q = Q(L), trong đó L là lượng lao Ví dụ 4.4: Giả sử chi phí trung bình AC để sản suất động thì hàm sản phẩm hiện vật biên là Q’(L). Sản một đơn vị sản phẩm là phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện AC 0,0001 Q2 0,02 Q 5 500 Q 1 , ( Q 0) vật gia tăng khi tăng thêm một đơn vị lao động. a) Tìm hàm chi phí biên. Nếu hàm tiêu dùng C = C(Y), trong đó Y là mức thu b) Tìm chi phí biên tại mức sản lượng Q = 50 đơn vị nhập thì hàm xu hướng tiêu dùng biên là C’(Y). Xu và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. hướng tiêu dùng biên là xấp xỉ của lượng tiêu dùng khi c) Hãy ước tính chi phí để sản xuất sản phẩm thứ 51. thu nhập tăng thêm một đơn vị. Hơn nữa, hàm xu So sánh ước tính đó với chi phí thực sự của nó. hướng tiết kiệm biên là S’(Y) = 1 - C’(Y). Xu hướng d) Nếu sản lượng tăng thêm 1/3 đơn vị sản phẩm từ tiết kiệm biên là xấp xỉ của lượng tiết kiệm khi thu Q = 50 thì chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị tiền? nhập tăng thêm một đơn vị. 33 34 Ví dụ 4.5: Cho hàm tiêu dùng theo thu nhập Y như Ví dụ 4.7: Nhu cầu tiêu thụ D của một loại sản phẩm dưới đây phụ thuộc vào giá P của sản phẩm đó. Giả sử rằng, giá 5(2Y 3 3) C . P phụ thuộc vào thời gian t. Cho biết nhu cầu tiêu thụ Y 10 sản phẩm này giảm 5000 pounds khi giá tăng 1$ mỗi Hãy xác định xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết pound, và giá mỗi pound sản phẩm này tăng 0,05$ mỗi kiệm biên khi Y = 100. tuần. Hỏi lượng cầu giảm bao nhiêu pounds mỗi tuần? Ví dụ 4.6: Giả sử hàm sản xuất Q (khối lượng sản Ví dụ 4.8: Gọi C là hàm chi phí, Q là mức sản lượng phẩm) của một doanh nghiệp cho bởi và P là giá bán. Biết rằng P.Q = 100 và chi phí biên khi QQLL ( ) 5 , Q = 200 là 0,01 (đơn vị tiền). trong đó L > 0 là số công nhân. dC Hãy ước tính sản phẩm hiện vật biên khi thêm 1 công Tính khi Q = 200. nhân nếu doanh nghiệp đang có 100 công nhân. dP 35 36 6
7. 15/10/2018 4.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối: Ví dụ 4.9: Một căn hộ có giá cũ là 200 triệu Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có đồng. Nếu tăng giá lên 201 triệu đồng thì độ -Độ thay đổi (tăng, giảm) tuyệt đối của biến x tại x là 0 tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối x x x0 là bao nhiêu? Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị Ví dụ 4.10: Một chiếc điện thoại Samsung có chọn để đo biến x. giá cũ là 4 triệu đồng. Nếu tăng giá lên 5 triệu -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ x 100% tăng tương đối là bao nhiêu? x0 Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. 37 38 4.4. Độ co dãn: Ví dụ 4.11: Một nhà kinh tế học đã ước lượng -Để đo mức độ phản ứng của biến y khi biến x thay đổi, rằng khi giá thuốc tăng 10% thì sẽ gây ra sự sụt người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn. giảm về nhu cầu thuốc lá của những người -Độ co dãn của đại lượng y theo đại lượng x là tỉ số giữa độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối của trung niên là 12%. a) Tìm độ co dãn của nhu cầu thuốc lá theo giá x, ký hiệu là  yx Ta có thuốc lá. y b) Nếu chính phủ muốn giảm nhu cầu thuốc lá % yy y x  . đến 20% thì chính phủ cần tăng giá thuốc lá lên yx % x x x y x bao nhiêu phần trăm? Từ đó, với x khá bé, ta có y x x  yx lim . y ( x ). x 0 x y y 39 40 4.5. Hệ số co dãn: Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau: Hệ số co dãn của biến y theo biến x tại x0 là  Nếu  yx (x0 ) 1thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm x số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi  ()()x y x  0 yx 0 0 y y() x0 đó, điểm (x0; 0) được gọi là điểm co dãn. 4.6. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx () x 0 cho biết xấp xỉ  Nếu  yx (x0 ) 1thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0 độ thay đổi tương đối của biến y tại x = x0 khi biến x Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn tăng tương đối lên 1% (từ x0 lên x0+1%x0=1,01x0). (điểm co dãn đơn vị). Cụ thể, ta có  Nếu  yx (x0 ) 1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại  (x ) 0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x , khi x yx 0 0 x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến tăng 1% thì y sẽ tăng  (x )%. yx 0 số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co dãn.  yx (x0 ) 0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ giảm  yx (x0 )%. 41 42 7
8. 15/10/2018 Ví dụ 4.12: Cho hàm cầu QP 600 2 . a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức V. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế: giá P = 100; P = 200 và giải thích ý nghĩa kết quả 5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất: nhận được. Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. b) Tại mức giá P = 100, nếu giá tăng 2% thì sự thay Gọi đổi xấp xỉ của cầu là bao nhiêu phần trăm? P: đơn giá. c) Khi giá giảm 4% thì lượng cầu tăng hay giảm bao QD = QD(P): hàm cầu. nhiêu phần trăm tại mức giá P = 100. Q = Q(P): hàm sản lượng. d) Khi lượng cầu tăng 6% thì mức giá tăng hay giảm C = C(Q): hàm tổng chi phí. bao nhiêu phần trăm tại mức giá P = 100. R = P.Q: doanh thu. e) Tìm mức giá P để hàm cầu đẳng co dãn. RC : lợi nhuận (trước thuế). 43 44 Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế mà Ví dụ 5.1: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1 số. Chẳng hạn: đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền. -Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa. Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sản 1 lập hàm R(P) hoặc R(Q). phẩm (Q > 1) là CQQQ 3 2 10 20 đơn vị tiền. -Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu. 3 lập hàm C(Q). Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận -Tìm mức Q để lợi nhuận đạt tối đa. tối đa. lập hàm (Q ). Ví dụ 5.2: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một Chú ý 5.1: loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = 300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm QQP ( ). D chi phí sản xuất của doanh nghiệp là CQQQ 3 19 2 333 10. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận 45 tối đa. 46 Ví dụ 5.3: Hàm chi phí của một nhà máy được cho bởi 5.2. Bài toán thuế doanh thu: Q2 Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. CQ 3 400, 4 Gọi trong đó C là tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm. t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm. Với mức sản lượng là bao nhiêu thì chi phí trung bình T=t.Q: tổng số thuế doanh thu. tính trên mỗi đơn vị sản phẩm là thấp nhất? Khi đó, chi t RCT : lợi nhuận sau thuế. phí trung bình tối thiểu bằng bao nhiêu? Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng Ví dụ 5.4: Công ty truyền hình cáp Vista hiện có số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất. 100.000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao Phương pháp: 40$/tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuế t (QQ ), 0. giảm 0,25$ cước thuê bao thì công ty có thêm 1000 Bước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để t đạt GTLN. thuê bao. Để doanh thu được tối đa, công ty cần xác Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu, và có thuế t để T đạt GTLN. bao nhiêu thuê bao ở mức cước này? 47 48 8
9. 15/10/2018 Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, ta 5.3. Bài toán thuế nhập khẩu: tính T, Q, R, C, t , P. Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thì Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt kết quả t tìm được là phù hợp. hàng. Gọi Q = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. Ví dụ 5.5: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một S QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. 800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốc chi phí sản xuất của doanh nghiệp là tế. CQQ 2 200 100. P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên một chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế). từ doanh nghiệp là lớn nhất? t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm P t P0 49 50 ()P P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t ()Q hoặc t ): trường nội địa sau khi nhập hàng. Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là Q + QS (P). Khi đó: P t P P0 QQPQPQQPQPPPQ SDDS() () () () (). Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng để Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là t RCT lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của P Q P Q t Q doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN. trường quốc tế). t Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế Phương pháp: t để T đạt GTLN. Bước 1 (Tìm P ): Trước khi nhập khẩu, các nhà sản 0 Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng P t P P0 QQSD . 51 52 Ví dụ 5.6: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu 5.4. Bài toán thuế xuất khẩu: một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các hàng. Gọi nhà sản xuất cung cấp được Q = -200+P đơn vị. Để S QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mức Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nội thuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số địa. thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ? P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)). t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm P t P0 53 54 9
10. 15/10/2018 ()P P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa để Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t ()Q hoặc t ): xuất khẩu. Khi doanh nghiệp mua hàng, thị trường nội địa có P0 P P t lượng cầu là Q + QD . Khi đó: Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản QQPQPQQPQPPPQ DSSD() () () () (). phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu t RCT của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị P Q P Q t Q trường quốc tế). Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để t đạt GTLN. Phương pháp: Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế Bước 1 (Tìm P0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng, t để T đạt GTLN. các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện hết hàng QQSD . P0 P P t 55 56 Ví dụ 5.7: Một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Nếu xuất mặt hàng này ra nước ngoài thì doanh nghiệp sẽ thu về 3200 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (trừ chi phí xuất khẩu nhưng chưa trừ thuế). Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? 57 10
11. Bài tập Toán Cao cấp C1 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Các hàm số sau có khả vi tại x x0 không? sin2 x ,x 1 2 2x 7, x 3, a) f() x x 1 , x0 1. b) f( x ) x 4 , x0 2 . c) f() x , x0 3. 16 x , x 3 0,x 1 e4mx cos x ,x 0, Bài 2: Cho hàm số f() x x 2 m 3, x 0. a) Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên . b) Với các giá trị m vừa tìm được ở trên, hàm số f(x) có tồn tại f (0) hay không? Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau arcsin x 2x2 1) y . 2) y ln(arcsin 5 x ) . 3) y arcsin . x 1 x4 sinx 1 sin x x 4) y ln . 5) y (sin x )x , với sinx 0. 6) y x x x , với x 0. cos2 x cos x x2.(2 x 1) 2 7) y xln x (ln x ) x với x 1. 8) y . x 1 1 dyln x Bài 4: Cho xy e x y , x 0, x . Chứng minh rằng . e dx(1 ln x )2 Bài 5: arcsin x 1) Chứng minh y thỏa mãn đẳng thức (1 x2 ) y xy 1. 1 x2 2) Chứng minh y xln x , x 0 thỏa mãn đẳng thức x2. y . y y x ,  x , x 0. 3) Chứng minh y sin(ln x ) cos(ln x ) thỏa mãn đẳng thức x2 y xy y 0. Bài 6: Cho F( x ) f 3 f 4 f ( x ) , trong đó f (0) 0 và f (0) 2. Tìm F (0). Bài 7: 1 a) Tìm đạo hàm cấp n của f() x . b) Cho y xe x . Tìm y()n ( x ). x2 x 1 c) Cho y ex sin x . Tính y(2017) (0). d) Cho y . Tính y(2018) (1). x2 Bài 8: 1) Cho y esin x . Tìm dy . x 2 2) Cho y . Tìm dy tại điểm x = 1. x2 1 3) Cho y x(ln x 1) Tính d2 y . 11
12. Bài tập Toán Cao cấp C1 Bài 9: Tính các giới hạn sau x2 4 x 1 1 x2 1 ln x 1) lim2 . 2) lim . 3) limx . x 2 x 3 x 2 x 0 3 2x 9 x 1 e e ex e x 2 x x3 x 2 x 1 e3x 1 4) lim . 5) lim . 6) lim . x 0 x sin x x 1 x ln x 1 x 0 tan x xtan x cos 2x cos x sin2x x 2 cos 2 x 7) lim . 8) lim2 . 9) lim2 2 . x 0 1 cos x x 0 sin x x 0 xsin x cosx 3 cos x arcsin(3 x ) 5 arctan(4 x ) 7 10) lim . x 0 sinx .arcsin(2 x ).arctan(5 x ) ln(1 ex ) x2 x3 11) lim . 12) lim . 13) lim . x 1 x x (lnx )3 x ex x xe 2 14) lim x x x e Bài 10: Tính các giới hạn sau 1 1 1 1 1 1) lim cotx . 2) lim 2 2 . 3) lim x . x 0 x x 0 xsin x x 0 x e 1 1 1 1 1 4) lim . 5) limex ln x . 6) limx e x 1 . x 0 lnx x2 1 ln x 1 x 0 x x 1 7) lim lnx tan . 8) lim (x 1) x . 9) lim (sinx )tan x x 1 2 x x 0 x 1 1 tan 2 x x 10) lim x x 1 . 11) lim(x e )x . 12)lim tan . x 1 x 0 x 1 4 Bài 11: Tính gần đúng giá trị của 1 a) f(1,2) f (1) nếu f (1) 4 . b) (1,999)4 . c) . 4,002 d) ln 5 32,005 1 . e) arctan(1,004) 1,004. Bài 12: Để sơn trang trí cho bốn bức tường hình vuông của một căn phòng, một người thợ sơn đã đo chiều dài một cạnh của bức tường được kết quả là 10 ft với sai số cho phép là 0,25 ft. a) Hãy ước tính sai số diện tích của bốn bức tường theo sai số cho phép nói trên. b) Nếu một thùng sơn có thể sơn được 12 ft2 có giá 9$ thì người thợ sơn cần dự trù kinh phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo sơn phủ hết 4 bức tường? Bài 13: Số lượng N thuê bao điện thoại di động tại Mỹ (đvt: triệu đồng) được biểu thị trong bảng. (Cho các con số ước tính vào giữa năm) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 12
13. Bài tập Toán Cao cấp C1 a) Tìm mức tăng trưởng trung bình của điện thoại di động i) Từ 2002 đến 2006. ii) Từ 2002 đến 2004. iii) Từ 2000 đến 2002. b) Ước tính mức tăng trưởng tức thời vào năm 2002 bằng cách lấy trung bình của hai tốc độ biến thiên trung bình. Đơn vị tính của nó là gì? Bài 14: Cho hàm doanh thu RQQ 1200 2 . a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tại Q 590 đơn vị, khi Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? c) Tính doanh thu biên tại mức sản lượng Q 610 đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Bài 15: Cho hàm chi phí CQQQQ( ) 1200 12 0,12 0,0005 3 . a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C '(200) và giải thích ý nghĩa của nó. Nó dự báo điều gì? c) So sánh C '(200) với chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 201. Bài 16: Quan hệ giữa số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe buýt như sau QP 10000 125 . Tìm doanh thu biên khi PP 30, 42 . YY 2 8 Bài 17: Cho hàm tiết kiệm S , trong đó hàm tiết kiệm quốc gia S và tổng thu nhập quốc Y 2 gia Y có đơn vị là tỷ USD. Hãy tìm xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết kiệm biên khi tổng thu nhập quốc gia là 150 tỷ USD. Bài 18: Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là PQ 100 2 20 . a) Tìm tốc độ thay đổi của P theo Q. b) Tìm độ thay đổi tương đối của P theo Q. c) Tìm giá trị cận biên của doanh thu. Bài 19: Chi phí hàng tháng C (đơn vị: USD) để sản xuất ra x (cái) ghế cho bởi phương trình C 0,001 x3 0,07 x 2 19 x 700 . Hiện tại, có 25 cái ghế được sản xuất hàng tháng. a) Chi phí hàng tháng hiện tại là bao nhiêu? b) Chi phí hàng tháng tăng thêm bao nhiêu khi sản xuất 26 cái ghế? c) Chi phí biên là bao nhiêu khi x = 25? d) Sử dụng chi phí biên để ước tính sự khác biệt về chi phí giữa việc sản xuất 25 cái ghế và 27 cái ghế mỗi tháng? e) Sử dụng kết quả câu d để dự đoán cho C(27). Bài 20: Một hãng sản xuất quyết định sử dụng L lượng lao động để sản xuất Q đơn vị sản phẩm trong 10L2 900 mỗi ngày, trong đó Q . Cho biết hàm cầu là P . L2 19 Q 9 a) Tìm doanh thu biên khi L = 12. b) Tìm sản phẩm doanh thu biên khi L = 12. 13
14. Bài tập Toán Cao cấp C1 55 Bài 21: Giá trứng bán sỉ (cent/tá) được cho bởi công thức P , trong đó Q là lượng cung (Q 1)2 trứng (chục nghìn tá). Giả sử lượng cung vào ngày 1/7/1986 là Q = 2,1 và kể từ đó lượng cung này giảm với tốc độ 0,03 mỗi tháng. Hỏi giá trứng tăng với tốc độ bao nhiêu? Bài 22: Cho hàm cầu QPP 2 60 900 . a) Tìm độ co dãn của hàm cầu. b) Khi giá tăng 1% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? c) Khi giá tăng 2% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? d) Khi giá giảm 4% thì lượng cầu tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? e) Khi lượng cầu giảm 9% thì mức giá tăng hay giảm bao nhiêu %, tại P = 20? Bài 23: Hàm cầu của một loại hàng theo giá có phương trình QP 50 2 . a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 5, P = 12,5 và P = 14. Giải thích ý nghĩa các kết quả nhận được. b) Tìm tất cả các mức giá P để hệ số co dãn bé hơn 1. Bài 24: Một công ty sản xuất và độc quyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu cho bởi Q = 3000 – 10P (tính bằng số lượng sản phẩm), P được tính bằng USD. Giả sử chi phí bình quân là AC = 0,1Q + 50. a) Xác định hệ số co dãn của cầu theo giá và phân tích trạng thái của điểm ứng với P = 200. b) Xác định doanh thu cận biên, chi phí cận biên và hệ số co dãn của doanh thu theo sản lượng cầu Q. Áp dụng cụ thể tại mức Q = 500 và giải thích ý nghĩa các giá trị thu được. c) Xác định lợi nhuận cận biên và hệ số co dãn của lợi nhuận theo Q. Áp dụng cụ thể tại mức Q = 500 và giải thích ý nghĩa các giá trị thu được và phân tích trạng thái điểm tương ứng. 500 Bài 25: Cho hàm tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm CQQ 2 2000 . Q a) Tìm hàm chi phí biên tế. b) Xác định mức sản lượng Q để chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại mức sản lượng trên. Bài 26: Số vé Q bán được của một hãng xe buýt liên hệ với giá vé P là QP 10000 125 . a) Tìm mức giá P0 để doanh thu đạt tối đa và tìm doanh thu khi đó. b) Tính lượng vé bán được ở mức giá P0. Bài 27: Q là lượng dự trữ của một cửa hàng và chi phí dự trữ lượng hàng đó như sau 4860 CQ 15 750000 . Q Tìm mức dự trữ Q để chi phí là tối thiểu. Bài 28: Cho hàm doanh thu và hàm chi phí theo sản lượng hàng hóa Q của một doanh nghiệp lần lượt là RQQCQQQ 1400 7,52 , 3 6 2 140 750. Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. 14
15. Bài tập Toán Cao cấp C1 Bài 29: Một loại sản phẩm độc quyền có hàm cầu và hàm chi phí trung bình lần lượt là 80 PQC 42 4 , 2 . Q Hãy tìm mức giá làm tối đa lợi nhuận. Bài 30: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất ngắn hạn là QL 50 Cho biết giá 1 đơn vị sản phẩm là 40 ngàn VNĐ và giá tiền công một lao động là 50 ngàn VNĐ. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 31: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là QPD 1200 . Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là CQQQ 0, 253 30,625 2 1528, 5 20000. a) Hãy tìm mức sản lượng và giá bán để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt tối đa. b) Giả sử hiện nay năng lực doanh nghiệp chỉ cho phép sản xuất tối đa 72 đơn vị sản phẩm. Hãy xác định mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Bài 32: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là 2 QP 148 . Hàm chi phí biên tế là MC 3 Q2 6 Q 132. Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận D 3 của doanh nghiệp đạt tối đa. Bài 33: Một nhà sản xuất bán 1000 chiếc TV màn hình phẳng/tuần với giá 450$/chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy nếu người mua được giảm 10$/chiếc thì số lượng TV bán được sẽ tăng lên thêm 100 chiếc/tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa doanh thu? c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là CQ 68000 150 thì nhà sản xuất cần đưa ra mức giảm giá là bao nhiêu để tối đa hóa lợi nhuận? Bài 34: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một sản phẩm. Lượng cầu QD của sản phẩm này là 2 QPD 2640 . Tổng chi phí để đạt mức sản lượng Q là CQQ 1000 100. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. b) Nếu ta muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 300 đơn vị sản phẩm thì ta có thể định mức thuế tổng trên một đơn vị sản phẩm tối đa là bao nhiêu. Bài 35: Một công ty độc quyền nhập khẩu một loại hàng. Hàm cung và hàm cầu của loại hàng trên khi chưa có hàng nhập là QPS 200 và QPD 4200 (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế) là P 1600 đơn vị tiền. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị hàng nhập để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất của công ty. b) Nếu muốn đơn giá bán loại hàng trên tại thị trường nội địa không thấp hơn 990 thì mức thuế nhập khẩu ít nhất là bao nhiêu? Bài 36: Một công ty độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Hàm cung và hàm cầu của mặt hàng tại thị trường nội địa là QPS 20 và QPD 400 (P là đơn giá). Giá bán một đơn vị hàng đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế) là P 310 đơn vị tiền. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị hàng để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. 15
16. BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 (C ) 0 ()C const 2 ().x x 1 () u u 1 u () const 1 1 1 u 3 2 2 x x u u 1 u 4 ()x ()u 2 x 2 u 5 (ax ) a x .ln a , ( a : hằng > 0) (au ) a u .(ln a ). u 6 ()ex e x ().eu e u u 1 u 7 (logx ) , (0 a 1) (logu ) a x.ln a a u.ln a 1 u 8 (lnx ) (lnu ) x u 9 (sinx ) cos x (sinu ) (cos u ). u 10 (cosx ) sin x (cosu ) (sin u ). u 1 u 11 (tanx ) 1 tan2 x (tanu ) (1 tan2 u ). u cos2 x cos2 u 1 u 12 (cotx ) (1 cot2 x ) (cotu ) (1 cot2 u ). u sin2 x sin2 u 1 u 13 (arcsinx ) (arcsinu ) 1 x2 1 u 2 1 u 14 (arccosx ) (arccosu ) 1 x2 1 u2 1 u 15 (arc tanx ) (arc tanu ) 1 x2 1 u2 1 u 16 (arccotx ) (arccotu ) 1 x2 1 u2 16