Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hàm nhiều biến

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hàm nhiều biến

1. 27/09/2017 CHƯƠNG 3 Khái niệm hàm hai biến • Định nghĩa: Cho không gian: R2 x,:, y x y R va D  R 2 • Ánh xạ: HÀM NHIỀU BIẾN f: D R x,, y z f x y • Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z • x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm hai biến Đạo hàm riêng • Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số • Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo thực. x. • Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau: • Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x. a), f x y y x 2 • Ký hiệu: z b) f x , y ln 2 x y 1 z' hay x x • Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng Ví dụ • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. • Cho hàm số • Các đạo hàm riêng của z theo x,y: z x3 3 xy 2 y 4 z f x,,, y f x y f x y z ' 0 0 lim 0 0 0 x x x x  x0 x x 0 • Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) z f x,,, y f x y f x y z ' 0 0 lim 0 0 0 y y y 0 2 2 y  y y y 0 z'x 3 x 3 y • Lấy đạo hàm riêng theo từng biến là đạo hàm của hàm một biến khi xem các biến còn lại như • Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) 3 hằng số. z'y 6 xy 4 y Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 27/09/2017 Ý nghĩa đạo hàm riêng Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng z’x; z’y • Khi đó biểu thức: dz z''x dx z y dy • Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho. • Ý nghĩa: Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần Ví dụ • Ta có: • Hàm số fxy ,,',', fxy f xyxx f xyyy 0 0x 0 0 0 y 0 0 0 z x3 y 2 xy f x,,, y f x0 y 0 df x 0 y 0 • Ví dụ. Tính gần đúng: • Có vi phân toàn phần là 3 3 A 1,02 1,97 dz 3 x2 y dx x 2 y dy Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm hợp Đạo hàm của hàm hợp • Giả sử z=f(x,y) và x,y lại là các hàm theo biến t • Giả sử z=f(x,y) và x,y lại là các hàm theo biến s, t • Trong đó: x=x(t) và y=y(t) • Trong đó: x=x(s,t) và y=y(s,t) • Ta có: • Ta có: dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy dz dz dx dz dy ; dt dx dt dy dt ds dx ds dy ds dt dx dt dy dt • Ví dụ. Tính dz/dt biết • Ví dụ. Tính dz/ds và dz/dt biết 2x 3 y s z e; x cos t ; y sin t z f x,;.; y x s t y t Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 27/09/2017 Đạo hàm của hàm hợp Khái niệm hàm ẩn • Cho: z=f(x,y,t) biết x=x(t) và y=y(t) • Cho phương trình F(x,y)=0 • Tìm dz/dt=??? • Nếu với mỗi giá trị của x ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị của y thỏa mãn phương trình trên thì F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y theo x. • Kí hiệu: y = , ∈ (; ) • Nếu giải được phương trình F(x,y)=0 để có thể biểu diễn y theo x bằng biểu thức thì ta có thể đưa y về dạng hàm tường minh. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Cho phương trình: • Cho phương trình: 2 2 F x, y x y3 1 0 F x, y x y 1 0 • Với mỗi giá trị của x ta có: • Giải phương trình này ta có được hàm của y y 1 x2 theo x: • Ta nói phương trình x2+y2-1=0 không xác định y 3 1 x hàm ẩn nào của y theo x. • Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y theo x trong R. y 3 1 x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ẩn Ví dụ • Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương • Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác trình F(x,y)=0. Ta có: định bởi phương trình: dy F ' 2 2 x 2x y 1 0 y 0 dx F 'y • Đ/S: 2x y ' x y Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 27/09/2017 Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm riêng cấp 2 • Giả sử z=f(x,y) là hàm ẩn xác định bởi phương • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng trình F(x,y,z)=0. Ta có: z’x; z’y • dzF ' dz F ' Đây là các đạo hàm riêng cấp 1 x y dx F'' dy F • Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi là z z đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2 '' z'' z'' z '' z z '' x xxx x2 x y xy '''' '' '' z'' zyx z z yy z 2 y x y y y Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp 2 Đạo hàm riêng cấp 2 • Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lần • Bài tập: Tính các đhr cấp 2 của hàm số: lượt là: 2 2 2 2 z  z  z  z y xy x ;;; a) z x b ) z e c ) z ln x2  x  y  y  x  y 2 y • Ví dụ: Các đạo hàm riêng của: z x3 y 2 xy 2 z'x 3 x y z ' y 2 y x z"xx 6 x z " xy 1 z"yx 1 z "yy 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn Vi phân cấp 2 • Trường hợp F(x,y)=0 và y=y(x) • Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểu • Ta có: thức có dạng: F x, y 0 d2 z z" dx 2 2 z " dxdy z " dy 2 x2xy y 2 F' F ' . y ' 0 x y • Chú ý: F"xx F ".' xy y F "yx F yy ".y'.' y F '."0 y y 2 d z d dz d z''x dx z y dy • 2 2 2 Từ đây ta rút ra y”. d z zxx"""" dx z xy dxdy z yx dydx z yy dy d2 z z" dx 2 2 z " dxdy z " dy 2 x2xy y 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 27/09/2017 Ví dụ Cực trị hàm nhiều biến • VD1. Vi phân cấp 2 của hàm số: • Điểm dừng (critical point) z x3 y 2 xy • Ma trận Hessian • là • Cực trị hàm hai biến d2 z 6 xdx 2 2 dxdy 2 dy 2 • Cực trị hàm ba biến • Cực trị có điều kiện (ràng buộc) • VD2. Tính vi phân cấp 2 của hàm số: a) z ln x2 y 2 b ) z xy 2 x 3 y 3 c) z sin x2 y 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat Điểm dừng • Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị địa phương tại • Nếu hàm số f(x1,x2, ,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và điểm (x0;y0) và có các đạo hàm riêng tại (x0;y0) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm thì: M( x1 , x 2 , , xn ) D f f'x x0 ; y 0 0 f ' y x 0 ; y 0 0 thì (x1 , x 2 , , xn ) 0 , i 1,2, , n xi • Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 gọi là • Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm các điểm dừng của hàm số. dừng của hàm số • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. • Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận Hess Ví dụ • Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2, ,xn) có đạo hàm • Ma trận Hess của hàm 3 biến riêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n f(,,) x y z x3 y 4 z 5 f f  f x1 x 1 x 1 x 2 x 1 xn • là ma trận f f  f x2 x 1 x 2 x 2 x 2 xn H 6x2 y 4 z 5 12 x 2 y 3 z 5 15 x 2 y 4 z 4     2 3 5 3 2 5 3 3 4 f f  f H 12 x y z 12 x y z 20 x y z xn x1 x n x 2 x n x n 2 4 4 3 3 4 3 4 3 gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm số 15x y z 20 x y z 20 x y z f(x1,x2, ,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì ma trận Hess là ma trận đối xứng. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 27/09/2017 Cực trị hàm 2 biến Cực trị hàm 2 biến • Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 • i) Nếu A>0, ∆>0 thì M0 là điểm cực tiểu liên tục xung quanh M0(x0, y0) và điểm M0(x0, y ) là điểm dừng của hàm số. 0 • ii) Nếu A 0 thì M là điểm cực đại • Ta đặt: 0 2f  2 f A ( x ; y ) B ( x ; y ) • iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị x2 0 0  x  y 0 0 0 2 f AB C ( x ;y ) AC B2 y2 0 0 BC • iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận. • Chú ý: Δ là gì? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các bước tìm cực trị hàm 2 biến Ví dụ • 1. Tìm tập xác định • Tìm cực trị của hàm số • 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 3 3 • 3. Giải hệ pt tìm điểm dừng f( x , y ) x y 3 xy z 'x 0 z 'y 0 • Đ/S: cực tiểu tại M(1;1) • 4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng • 5. Xét dấu định thức cấp 2 • 6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Cực trị hàm nhiều biến • Khảo sát cực trị của các hàm số: • Tương tự như hàm hai biến a) z x4 y 4 x 2 2 xy y 2 • Xét dấu các định thức con chính của ma trận Hess b) z x3 3 xy 2 15 x 12 y • +, +, +, , +: cực tiểu • Đáp số: • +, -, +, - : cực đại • A) Cực tiểu tại (-1;-1) và (1;1). Tại (0;0) ko đạt • Trường hợp khác cực trị • B) Cực tiểu tại (2;1); Cực đại tại (-2;-1) • Không đạt cực trị tại (-1;-2) và (1;2) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 27/09/2017 Điều kiện đủ để có cực trị Tiêu chuẩn xét cực trị • Ma trận Hess: • i) Nếu D1>0, D2>0, , Dn>0 thì M là điểm cực a a a 11 12 1n tiểu của hàm số a a a H 21 22 2n n     • ii) Nếu D1 0, , (-1) Dn>0 thì M là điểm an1 a n 2  a nn cực đại của hàm số • i • Xét các định thức con chính: iii) Nếu Di≥0 (hay (-1) Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phương a a a a a  a 11 12 1k 11 12 1 n của hàm số tại. a a a a a a a  a D a,,,,, D 11 12  D 21 22 2k  D 21 22 2 n • iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải 1 11 2 a a k    n     21 2 là điểm cực trị. ak1 a k 2 a kk a n 1 a n 2  a nn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Bài tập • Tìm cực trị của hàm số • Tìm cực trị của hàm số: a) z x4 y 4 x 2 2 xy y 2 b ) z 5 xy x 5 y 5 3 2 2 fxyz( , , ) x xyy 2 xz 2 z 3 y 1. 8 x c) z y d ) z x2 xy y 2 3 x 6 y x y e) z x3 y 3 6 xy • Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Cực trị có điều kiện • Khái niệm • Xét hàm số z=f(x,y) với điều kiện ϕ(x,y)=0 • Điều kiện cần • Hàm số đạt cực đại tại (x0;y0) với điều kiện (*) • Điều kiện đủ nếu (x0;y0) thỏa (*) và với mọi điểm (x,y) thỏa • Trường hợp đặc biệt (*) khá gần (x0;y0) ta có: f x0;; y 0 f x y • Hàm số đạt cực tiểu có điều kiện??? • Hàm số đạt cực trị có điều kiện??? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 27/09/2017 Ví dụ Hai biến chọn – ĐK cần • Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 • Tìm cực trị của hàm số: • Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với f x, y xy 2 x ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho: • Với điều kiện: f  (x , y )  ( x , y ) 0 8x 4 y 120 x0 0  x 0 0 f  (x0 , y 0 )  ( x 0 , y 0 ) 0 y  y • Cách 1. Đưa về cực trị hàm một biến (x , y ) 0 0 0 • Cách 2. Dùng nhân tử Lagrange • Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. • Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK cần Hai biến chọn – ĐK đủ • Ta viết lại phương trình đã cho dạng: • Ta xét giá trị của định thức L LLL xx xy x  (x , y ) 0 x 0 0 DLLL yx yy y L LLL (x0 , y 0 ) 0 x  y  y • Hoặc L (x0 , y 0 ) 0 LLL 0   x  y x y DLLLLL x xx xy x xx xy • Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) LLLLL y yx yy y yx yy • Giải phương trình ta có λ, x0,y0 • Tại các điểm dừng tìm được Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hai biến chọn – ĐK đủ Sử dụng dấu vi phân cấp 2 • Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều • Xét vi phân cấp 2: kiện của hàm số. 2 2 2 d L Lxx x0; y 0 dx 2 L xy x 0 ; y 0 dxdy L yy x 0 ; y 0 dy • Nếu D 0 với mọi giá trị có thể có của dx, dy z=f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện • Nếu d2L<0 thì là cực đại. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
9. 27/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Tìm cực trị của hàm số 1. Tìm cực trị của hàm số: f x, y 5 x y 2 2 f( x , y ) 6 4 x 3 y Với điều kiện: x y 1 • với điều kiện: 2. Tìm cực trị của hàm số: f x, y 8 x 15 y 2 2 2 x2 y 2 1. Với điều kiện: 2x 3 y 107 • Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3) • Cực đại tại N(-4/3;-5/3) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa của nhân tử Lagrange GTLN, GTNN (tham khảo) • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, bị chặn • Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi phương trình ϕ(x1,x2, ,xn)=0 • Giả sử f(x1,x2, ,xn) là hàm số liên tục trên D. • Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GTLN, GTNN (tham khảo) Ví dụ • B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với • Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm điều kiện ϕ(x ,x , ,x )=0. 1 2 n f( x , y ) x2 2 y 2 x • B2. Tìm các điểm dừng của f(x ,x , ,x ) thuộc D. 1 2 n • trong miền • B3. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm D: x2 y 2 1 tại các điểm tìm được ở trên. • Đ/S: 1 1 1 3 9 minf f ,0 ; max f f , D 2 4D 2 2 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
10. 27/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Miền D: 2 + 2 ≤ 1 • Bước 1. 2 2 • Biên của miền D là + = 1 • Hàm Lagrange: • Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều 2 2 2 2 L x, y , x 2 y x  x y 1 kiện: 2 2 x y 1 0 • Ta có hệ phương trình: • Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số 2 2 x 1 2 2 x 1 Lx 0 2x 1 2 x 0 f( x , y ) x2 2 y 2 x y 0 Ly 0 4 y 2 y 0 y 2  0  2 2 2 2 2 L 0 x y 1 0 x y 1 0 • Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm x2 y 2 1 0 được và kết luận. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm • Bước 2.  1/ 2  3 / 2  2  2 • Hệ phương trình tìm điểm dừng: y 0 y 0 x 1/ 2 x 1/ 2 f x 0 2x 1 0 x 1/ 2 M 1/ 2;0 x 1 x 1 y 3 / 2 y 3 / 2 5 f y 0 4y 0 y 0 • Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều • Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do: kiện: 1 1 2 2 x2 y 2 0 1 x y 1 0 4 4 • Đặt 4 điểm như sau: MMMM1 1;0; 2 1;0; 3 1/2;3/2; 4 1/2;3/2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Bước 3. • So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 • Ta có: ta có: 2 2 f M1 f 1;0 1 2.0 1 0 1 1 minf f M5 f ,0 • Tương tự: D 2 4 2 2 f M2 f 1;0 1 2.0 1 2 1 3 9 maxf f M3 f M 4 f , 1 3 9 1 3 9 D 2 2 4 f M3 f ;;; f M 4 f 2 2 4 2 2 4 1 1 f M5 f ;0 2 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10
11. 27/09/2017 Hàm nhiều biến trong kinh tế • Hàm sản xuất ỨNG DỤNG • Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận HÀM NHIỀU BIẾN • Hàm lợi ích TRONG KINH TẾ • Hàm cung, hàm cầu Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm sản xuất Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận • Hàm sản xuất là hàm dạng: • Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính Q=Q(K,L) theo các yếu tố sản xuất thì: • trong đó K là vốn, L là lao động. TC=WKK+WLL+C0 • Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng: • trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là Q aK L  , giá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định. • • trong đó a, α, β là hằng số dương. Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm. • Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lợi ích Hàm cung, hàm cầu • Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức • Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ tương ứng là P1, P2, ,Pn. Khi đó hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ • Hàm cung: hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ QSPPP (,,,) Si i1 2 n hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy • Hàm cầu: nhất u=u(x,y,z) QDPPP (,,,) Di i1 2 n Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
12. 27/09/2017 Đạo hàm riêng và giá trị cận biên Giá trị cận biên_hàm sx • Xét mô hình hàm kinh tế: • Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L) w f x, x , , x • Các đạo hàm riêng: 1 2 n f  f QKLQKL' ( , ); ' ( , ) KLKL  • trong đó xi là các biến số kinh tế. • Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M • được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó. của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên • Biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá của lao động (MPL) tại điểm (K, L) trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm sx Ví dụ f • Đạo hàm riêng:QKL'(,) • Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: K K • Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia 1 3 tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ QKL 20 4 4 nguyên mức sử dụng lao động. • trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử f doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị sản • Đạo hàm riêng: QKL'(,) L L phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức • Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận biên của tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý giữ nguyên mức sử dụng tư bản. nghĩa. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị cận biên_hàm lợi ích Ví dụ • Cho hàm lợi ích: • Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa là. U U( x1 , x 2 , , xn ) 3 1 • Đạo hàm riêng: 2 2 U 2 x1 x 2 U • Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và MUi ( i 1, n ) xi hàng hóa 2, U là lợi ích của người tiêu dùng hàng • MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i. ngày. • Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu • Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một điều kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa đổi. tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
13. 27/09/2017 Hệ số co giãn riêng Ví dụ • Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai • Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2, ,xn). hàng hóa có liên quan có dạng: • Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại 5 Q 6300 2 p2 p 2 điểm M là số đo lượng thay đổi tính bằng phần 1d 13 2 trăm của w khi xi thay đổi 1% trong điều kiện • p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2. giá trị của các biến độc lập khác không đổi, a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá được ký hiệu và xác định như sau: của hàng hóa đó tại (p1,p2) b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá 0 0 0 của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2) f x, x , , x 0 f 1 2 n xi 0 0 0  x .voi M x1 , x 2 , , x n c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và i x 0 0 0 i f x1, x 2 , , xn cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30). Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải Quy luật lợi ích cận biên giảm dần • Ta có: • Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y) p10 p QQ1d 4p .1 ;  1 d p . 2 p115 p 2 2 5 6300 2p2 p 23 6300 2 p 2 p 2 13 2 1 3 2 z  f • z'(,)x x y là hàm cận biên của hàm kinh x  x • Tại điểm (20,30) ta có: QQ1d 1 d p 0,4;  p 0,75 1 2 tế trên theo biến x. • Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa z  f 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa • z'(,) x y là hàm cận biên của hàm kinh y y  y 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng tế trên theo biến y. thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Quy luật lợi ích cận biên giảm dần • Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm • Cơ sở toán học: dần nói rằng 2 2 • Giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x z  f z  f • (,)x y là hàm số giảm khi 2 2 (x , y ) 0 tăng và y không đổi. x  x x  x • Giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x không đổi z  f 2z  2 f • (,)x y là hàm số giảm khi (x , y ) 0 • Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của y  y y2  y 2 các biến x, y đủ lớn. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
14. 27/09/2017 Ví dụ Hàm thuần nhất • Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng • Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất Cobb – Douglas như sau: cấp k nếu với mọi t>0 ta có: Q aK L  ( a , ,  0) f(,)(,) tx ty tk f x y • Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân • Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. (α+β) vì với mọi t>0 ta có: Q(,)()()(,) tK tL a tK tL  t  aK L  t  Q K L Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hiệu quả theo quy mô sản xuất • Các hàm sau có là hàm thuần nhất không? Tìm • Xét hàm sản xuất Q=f(K;L) cấp tương ứng. • trong đó K, L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu 1 4 4 ra. a) Q K K0,5 L 0,5 L 9 9 9 • Bài toán đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L 2xy tăng gấp m lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần b) z x2 y 2 hay không ? • Ta tiến hành so sánh: Q(,)(,) mK mL vs mQ K L Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hiệu quả theo quy mô sản xuất Hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất • Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có • Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất hiệu quả tăng theo quy mô. cấp k. • + Nếu k>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng • Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có theo quy mô. hiệu quả giảm theo quy mô. • + Nếu k<1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô. • Nếu Q(mK; mL)=m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có • + Nếu k=1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không hiệu quả không đổi theo quy mô. đổi theo quy mô. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
15. 27/09/2017 Ví dụ Cực trị hàm kinh tế – VD1 • Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm • Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. sản xuất sau: Biết hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian là: 1 4 4 a) Q K K0,5 L 0,5 L 1230 5PPPP 1350 3 QQ 1 2, 1 2 9 9 9 114 2 14  b) Q aK L • và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là 2 2 CQQQQQQ(,)1 2 1 1 2 2 • Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm kinh tế – VD1 Cực trị hàm kinh tế – VD1 • Hướng dẫn: • Hàm tổng chi phí: 2 2 • Ta có: TC Q1 Q 1 Q 2 Q 2 1230 5PP Q 1 2 • Hàm lợi nhuận: 1 14 5PPQPQQ1 2 1230 14 1 1 360 3 1 2 2 2 2 2 TRTC3 Q1 5 Q 2 2 QQ 1 2 360 Q 1 570 QQQQQ 2 1 1 2 2 1350 PPPPQPQQ1 3 2 1 3 2 1350 14 2 2 570 1 5 2 Q2 2 2 14 4QQQQQQ1 3 1 2 6 2 360 1 570 2 • Hàm tổng doanh thu: • Hệ pt tìm điểm dừng: TRPQPQ 360 3 QQQ 570 QQQ 5 8QQ 3 360 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 Q1 1 2 Q1 30 TR 3 Q2 5 Q 2 2 Q Q 360 Q 570 Q 3QQQ 12 570 0 40 1 2 1 2 1 2 Q2 1 2 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm kinh tế – VD1 Cực trị hàm kinh tế – VD2 • Ta có: • Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một 8 3 12 sản phẩm là: R C PQ w L rK QQQQQQ1 1 1 2 2 2 A 8 0; 8 12 3 2 87 0 • trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho • Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại Q1=30; Q2=40 một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm. • Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng: QLK 1/3. 1/3 • Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15
16. 27/09/2017 Cực trị hàm kinh tế – VD3 Cực trị hàm kinh tế – VD4 • Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp • Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. sản xuất 3 loại sản phẩm là: Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau: QQQQQQQ2 3 2 7 2 300 1200 4 20 1 2 3 2 3 1 3 Q1 1300 p 1 Q 2 675 0,5 p 2 • Với hàm chi phí kết hợp là: • Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh 2 2 nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. CQQQQ 1 3 1 2 2 • Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200 • Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án Cực trị hàm kinh tế – VD5 • Ta có: • Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là: Q1 250; p 1 1050 2 2 TC1 128 0,2 Q 1 ; TC 2 156 0,1 Q 2 Q2 100; p 2 1150 • Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2. • Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: PQQQQ 600 0,1 ; trong do 1 2 600 • A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa lợi nhuận. • B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án Cực trị hàm kinh tế – VD6 • A) Q1=600; Q2=1200 • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: • B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6 QKLKL 0,5 0,5 0; 0 • Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị lao động là 4$. Giá bán một sản phẩm là 2$. • Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp tối đa. • Đáp số: K=1/36; L=1/16 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 16
17. 27/09/2017 Cực trị có điều kiện – VD1 Cực trị có điều kiện – VD2 • Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng • Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào hóa: thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và U x,. y x0,4 y 0,6 trên đài truyền hình (y phút). Hàm doanh thu: 2 2 • (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng R x, y 320 x 2 x 3 xy 5 y 540 y 2000 hóa 2; x>0, y>0). • Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 • Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD, triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân 3USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là sách chi cho quảng cáo là B=180 triệu đồng. 130USD. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi • a) Tìm x, y để cực đại doanh thu. mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích • b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì tối đa. doanh thu cực đại tăng lên bao nhiêu ? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 1 Bài tập 1 • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất • B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để Q=40K0,75L0,25 trong đó Q_sản lượng; K_vốn; sản lượng tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho L_lao động. Doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn yếu tố đầu vào 1$ thì sản lượng tối đa tăng lên là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân sách chi bao nhiêu đơn vị? cho yếu tố đầu vào là B=160$. • C) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận • A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản biên giảm dần hay không? xuất thì hiệu quả thay đổi như thế nào? Nếu K • D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, tăng lên 1%; L tăng lên 3% thì sản lượng tăng theo lao động? lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K,L)? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án Bài tập 3 • A) Hiệu quả không đổi • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 • Sản lượng tăng 1,5% (Q: sản lượng, K: vốn và L: lao động) • A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô • B) K=L=40; Qmax=1600 sản xuất. • Tăng yếu tố đầu vào thì Qmax tăng khoảng 10 • B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là đơn vị 3$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân • C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm sách cố định là 1050$. Hãy cho biết doanh dần nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 17
18. 27/09/2017 Đáp án • A) Hiệu quả theo quy mô • B) Q(150;150) là lớn nhất. KIỂM TRA 30PH Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 1. Bài 2. • 1.1 Tìm các giới hạn sau: • Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A có thông tin như sau: 1 e2x 1 cosx ln cos3x • Hàm cầu là: P=600-2Q 2 a)lim3 b )lim • Hàm chi phí là: TC=0,2Q +28Q+200 x 0x 4sin x x 0 ln 1 3sin2 x • A) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được • 1.2 Tìm a để hàm số có đạo hàm tại 0: là bao nhiêu. • B) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q công ty phải nộp x e, x 0 thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là f x bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa. Khi ấy x2 ax 1 , x 0 lợi nhuận là bao nhiêu. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 18