Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân - Phan Trung Hiếu

1. 11/1/2018 Chương 4: Tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Nguyên hàm §1. Nguyên hàm §2. Tích phân xác định §3. Các phương pháp tính tích phân §4. Tích phân suyLOG rộng §5. Ứng dụng củaO tích phân trong kinh tế 2 Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu I. Nguyên hàm: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng D. D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D đều có dạng F(x) + C. F ( x ) f ( x ),  x D . Ví dụ 1.1: 2  x2 là nguyên hàm của 2x, vì (x ) 2 x . 2  x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì (x 3) 2 x .  x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2 2x, vì (x C ) 2 x . 3 4 Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là II. Tích phân bất định: hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất f()()()() x dx F x C F x f x cả các nguyên hàm của f trên D. 2x dx x2 C (x2 ) 2 x . Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được Ví dụ 1.2. vì ký hiệu là f(), x dx trong đó : dấu tích phân. x : biến lấy tích phân. f(): x hàm lấy tích phân. f(): x dx biểu thức dưới dấu tích phân. 5 6 1
2. 11/1/2018 III. Tính chất: IV. Bảng công thức tích phân cơ bản: k.()() f x dx k f x dx  với k là hằng số khác 0. fx()()()(). gx dx fxdx gxdx  f()(). x dx f x C Xem Bảng 3.   f( x ) dx f ( x ). 7 8 I. Công thức Newton-Leibniz: Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích §2. Tích phân xác định phân xác định của f từ a đến b là b f()()()() x dx F xb F b F a a a 9 10 II. Tính chất: a  f( x ) dx 0 a a b  f()() x dx f x dx b a b b k.().() f x dx k f x dx §3. Các phương pháp  với k là hằng số a a b b b tính tích phân fx()()()() gx dx fxdx gxdx  a a a b c b  fxdx()()() fxdx fxdx a a c b f( x ) 0  trên [a,b] f( x ) dx 0. a 11 12 2
3. 11/1/2018 I. Phương pháp đổi biến số loại 1: Tích phân dạng: I f u()() x u x dx Bước 1 (đổi biến): Đặt t u() x dt u () x dx Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp sao cho t biểu thức còn lại trong hàm số. Bước 2 (thay vào tích phân): Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi I f()()() t dt F t C F u x C hàm số. 13 14 b Dấu hiệu đổi biến thường gặp: Tích phân dạng: I f u()() x u x dx a Có Đặt n Bước 1 (đổi biến): Đặt t u() x dt u() x dx (u(x)) t u(x) Bước 2 (đổi cận): x a b căn t = căn t u(a) u(b) e x t ex , const 1 Bước 3 (thay vào tích phân): ln x và t ln x x u() b I f() t dt 1 1 1 và 2 t u() a x x x (cận mới, biến mới). 15 16 Dạng Đặt Dạng Đặt 1 1 có tan x và 2 t = tanx có arctanx và t = arctanx cos x 1 x2 1 1 có cot x và 2 t = cotx sin x có arccotx và 2 t = arccotx 1 1 x có arcsinx và t = arcsinx 1 x2 f(sin x )cosx dx t sin x 1 có arccosx và t = arccosx 1 x2 f(cos x )sinx dx t cos x 17 18 3
4. 11/1/2018 Ví dụ 3.1. Tính Đặt 1 Dạng 3 5 2 3 2 a) ( x x ) (3 x 1) dx b) x 1 x dx 0 Thay sinx sin x 4 dx c) 4 x f đổi dấu t cos x 2 d) dx 1 x 1 x x Thay cosx cos x x e dx dx t sin x e) f ) f đổi dấu ex 1 x(2 ln2 x ) f(sin x ,cos x ) dx sinx sin x 1 3 Thay 12 1 x 3 cosx cos x g) sin dx h) dx t tan x 2 11 1/2 x x x f không đổi dấu x 4 tan x t tan e 2 4 Tổng quát i) dx j) tan x tan x dx 2 2 0 cos x 19 20 arccos x 2 dx sinx cos x k) dx 2 sin x s) 2 t) dx 1 x l) e cos xdx 4x2 4 x 5 sinx cos x 0 6 2 2 sin x x2 x 7 5 u) dx v) 4 x 2 e dx m) (1 cos3 x )sin3 xdx n) sin x cos xdx 3 xcos x 0 0 0 sin(2x 1) o) cos2 x tan 3 xdx p) dx cos2 (2x 1) sin2 x dx q) dx r) cos6 x 3cosx 4sin x 5 21 22 Ví dụ 3.2. Tính II. Phương pháp đổi biến số loại 2 dx a) x 1 xdx b) , x 1 Phương pháp (đổi biến): 2 2 x x 1 Đặt x u() t dx u () t dt Dấu hiệu đặt thông thường: 3 3 2 x3 Có Đặt c) dx 2 3/2 0 (4x 9) 2 2 u( x ) a sin t , t ; a u() x 2 2 t 0; nếu u() x a 2 2 a 2 u() x a u(), x 3 sin t t ; nếu u() x a 2 2 2 u() x a u( x ) a tan t , t ; 2 2 23 24 4
5. 11/1/2018 Mẫu có ()ax b n : Đặt t ax b. III. Tích phân hàm hữu tỉ: 2 P() x Mẫu là tam thức bậc hai ax bx c : dx , P(x), Q(x) là các đa thức. dx Q() x , Vô nghiệm và tích phân có dạng 2 ta Phương pháp: ax bx c 2 2 2 Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức. biến đổi ax bx c a u () x . Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = Có nghiệm kép x ta phân tích một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta 0 , ax2 bx c a() x x 2 làm như sau 0 P()() x P x 2 2 . ax bx c a() x x0 25 26 Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các hệ số như sau P() x ABC Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 2 (x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) x x 1 x x 2 x x 3 ax bx c a( x x1 )( x x 2 ). Tìm hệ số A, B sao cho P() x ABC P() x A B (x x )( x x )2x x x x() x x 2 . 1 2 1 2 2 a( x x1 )( x x 2 ) x x 1 x x 2 P() x A Bx C 2 2 (x x0 )( ax + bx + c ) x x 0 ax bx c trong đó ax 2 bx c 0 vô nghiệm. 27 28 P() x A B Cx D Ví dụ 3.3. Tính ()()x x2 ax 2 + bx + c x x() x x 2 ax 2 bx c sin3 x 1 4x 3 0 0 0 a) dx b) dx 2 cos x 2x 1 P() x A Bx C Dx E 0 (x x )( ax2 + bx+ c ) 2x x ax 2 bx c() ax 2 bx c 2 2 xdx 0 0 dx d) c) 3 2 2 sin x (2x 1) trong đó ax bx c 0 vô nghiệm. 0 4 (x2 1) 2x3 4 x 2 x 3 Đặc điểm: e) dx f) dx x3 3 x 2 4 x 12 x2 2 x 3 -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng. 1 2 -Mẫu là lũy thừa của tam thức ax bx cvô nghiệm: Tử (x 2)2 2x2 3 x 11 g) dx h) dx là nhị thức. x( x 1)2 x3 x 2 3 x 5 x2 2 x 1 2x3 5 x 2 8 x 4 i) dx j) dx (x 1)2 ( x 2 1) (x2 2 x 2) 2 29 30 5
6. 11/1/2018 dx k) 1 x IV. Phương pháp tích phân từng phần: 2 2 l) dx x( x 1) x Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log); e2x dx m) đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); e2x 3 e x 2 mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân. Phương pháp: u f()() x du f x dx B1: Đặt dv g() xdx v Nguyên hàm của g(x) 31 32 B2: Dùng công thức tích phân từng phần Ví dụ 3.4. Tính 1 udv uv vdu a) x cos xdx b) x2 ex dx hoặc 0 b b e b ln x udv uv vdu. 2 d) dx a c) ln( x x ) dx 2 a a 1 x e) arctan 4 xdx f) x2 arccos xdx g) ex sin xdx 2 h) sin2 x ln(2 cos x ) dx i) x ln2 xdx 0 33 34 I. Các loại tích phân suy rộng: Loại 1: b fxdx();();(). fxdx fxdx a §4. Tích phân suy rộng Loại 2: b f() x dx trong đó lim f ( x ) với c [ a , b ]. x c a 35 36 6
7. 11/1/2018 Ví dụ 4.1: Tích phân nào sau đây là tích phân II. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy cho biết nó thuộc loại nào. TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn 1 dx tại điểm suy rộng của tích phân xác định để a) dx b) x2 2 tính tích phân. 1 x 1 1 TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu /2 sin xdx dx c) d) chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả x 0 cos x 1 hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. 1 dx Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay e). phân kỳ. 2 x 37 38 Chú ý 4.1: TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): b b  f( x ) dx lim f ( x ) dx Phương pháp: a -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm a b c [,] a b mà limf ( x ) .  f( x ) dx lim f ( x ) dx x c b -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích a a phân xác định để tính tích phân. b  fxdx() fxdx () fxdxb (), (0,) tùy ý a a b c  fxdx()()(), fxdx fxdxc tùy ý c 39 40  Điểm suy rộng tại a limf ( x )  Điểm suy rộng tại c (,)a b x a bc b b b fxdx()()() fxdx fxdx f( x ) dx lim f ( x ) dx a a c t a a t -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn Điểm suy rộng tại b limf ( x ) x b tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược b t lại là tích phân phân kỳ. f( x ) dx lim f ( x ) dx t b -Trong công thức ,, , nếu cả 2 tích a a Điểm suy rộng tại a và b phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân b c b hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. f()()(),(,) x dx f x dx f x dx c a b a a c 41 42 7
8. 11/1/2018 Định lí 4.2: Ví dụ 4.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích phân sau (trong trường hợp hội tụ) a) f() x dx hội tụ và g() x dx hội tụ dx 0 ln x a) b) e x dx c) dx a a 2 1 x 1 x f()() x g x dx hội tụ và   2xdx dx a d) xe x dx e) f ) 1 x2 1 x2 0  fx()()()(). gxdx fxdx gxdx 1 dx /2 sin xdx 1 ex dx a a a g) h) i) 2 x 0 1 x 1 cos x e 1 b) f() x dx hội tụ và k là một hằng số 0 1 2 dx a j) k.() f x dx hội tụ và k.().() f x dx k f x dx 2 2 4 x a a a 43 44 [,)a TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): Định lí 4.3: f(x), g(x) dương trên và khả tích trên mọi đoạn [a,b], b a. f() x Phương pháp: Xét lim k . i) 0 k : x g() x -Chú ý những điểm suy rộng: , điểm c [,] a b mà limf ( x ) . f(),() x dx g x dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. x c a a -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã ii) k 0 : g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ. có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên a a hàm. f() x dx phân kỳ g() x dx phân kỳ. a a iii) k : f() x dx hội tụ g() x dx hội tụ. a a g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ. 45 a 46 a Hệ quả 4.4: f(x), g(x) dương, liên tục trên [,) a và Chú ý 4.5: f()() x g x khi x Với 0 a , ta có thì hội tụ n 1 f() x dx và g() x dx 1 n dx a a a x cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. phân kỳ n 1  Với 0 b , ta có Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên hội tụ [a , b ),( a , b ] b 1 n 1 dx n 0 x phân kỳ n 1 47 48 8
9. 11/1/2018 Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân dx 2xdx a) b) 3 5 1 x x 1 1 x x 1 (x 5) dx dx c) d) §5. Ứng dụng của tích phân 3 3 x3 1 x1 x 0 trong kinh tế 1 1 dx ln(1 x ) dx f ) e) 3/2 0 sin x 0 x 49 50 Ví dụ 5.1: Nếu C(x) là chi phí sản xuất x đơn I. Tìm mức biến thiên: vị sản phẩm, C’(x) là chi phí biên. Khi đó Chúng ta biết rằng F’ (x) là tốc độ biến thiên 15 C() x dx của y = F(x) theo x. Khi đó, mức biến thiên của 10 y khi x biến thiên từ a đến b là biểu thị cho cái gì? b Ví dụ 5.2: Một công ty khai thác mỏ ước tính F()()() b F a F x dx a rằng chi phí biên chiết xuất x tấn quặng đồng từ mỏ là C ( x ) 0,6 0,008 x (nghìn USD/tấn). Chi phí thành lập là C(0) = 100000USD. Hãy cho biết chi phí chiết xuất 50 tấn đồng đầu tiên là bao nhiêu? 50 tấn kế tiếp là bao nhiêu? 51 52 Ví dụ 5.3: Nếu hàm giá trị cận biên của doanh II. Xác định hàm tổng theo biên tế: thu theo sản lượng của một loại sản phẩm là Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng MR10000 Q2 chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng, ) là hàm số được xác định theo giá trị của biến số x: Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này. y = f (x) My f() x Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên thì ta Ví dụ 5.4: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức có thể xác định được hàm tổng y = f (x) thông qua sản lượng Q là phép toán tích phân 0,2Q y Mydx f'( x ) dx MC = 8.e và chi phí cố định là FC = 50. Tìm hàm tổng chi Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác phí C(Q) và chi phí khả biến VC(Q). định nếu ta biết giá trị của y tại một điểm x0 nào đó: y0 = f(x0). 53 54 9
10. 11/1/2018 Giả sử: III. Tính thặng dư: Điểm cân bằng của thị trường là (P0,Q0), nghĩa Trong kinh tế học: là khi giá P = P0 thì QS=QD -Tổng tất cả các giá trị hưởng lợi của mọi người P(QS) là hàm cung (ngược). tiêu dùng được gọi là thặng dư của người tiêu P(QD) là hàm cầu (ngược). dùng (Consumers’Surplus), ký hiệu là CS. Khi đó: Q 0 -Tổng tất cả các giá trị mà mọi nhà sản xuất được CS P(). Q dQ P Q hưởng lợi khi giá cân bằng là thặng dư của nhà DD 0 0 0 sản xuất (Producers’Surplus), ký hiệu là PS. Q 0 PS P.() Q P Q dQ 0 0 SS 0 55 56 Ví dụ 5.5: Biết hàm cung, hàm cầu của một loại hàng hóa được cho bởi QP 1, QP 113 . Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất đối với hàng hóa đó trong điều kiện thị trường cân bằng. 57 10
11. Bài tập Toán Cao cấp C1 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tính các tích phân sau x 1 1 x x3 ex x 2 1) 7x2 dx . 2) (x2 1) xdx . 3) dx . 2 3 5 cos x 0 x (1 ex )2 e3x 1 2 x 4) dx 5) dx . 6) 2cos2 dx . 3x x e e 1 0 2 4 7) tan 2 xdx . 8) (tanx cot x )2 dx . 9) 1 cos 4xdx . 0 2 1 cos x 10) dx . 11) sinx cos3 x cos5 xdx . 12) 2x .32 x .5 3 x dx . 0 2 3dx 2 dx 13) . 14) . 2 2 1 9x 0 8 2x Bài 2: Tính các tích phân sau x 1 1) (x2 3 x 1) 10 (2 x 3) dx 2) dx. 3) 3x2 x 3 1 dx . 2 3 x 4 1 2 dx 2xdx x 2 4) . 5) . 6) dx. 2 3 2 1 x(1 x ) x 1 x 1 dx ex 7) . 8) dx. 9) ex1 e x dx . 2 x 2 x x 1 (1 e ) 2X ln 4 ex dx dx 10) dx. 11) . 12) X 2x 2x 2 3 0 e 9 1 e 4 e dx ln x e dx 13) . 14) dx 15) . 2 e xln x x1 ln x 1 x4 ln x 1 1 x 1 cot xdx 16) 2 cos 1 dx . 17) 5 dx. 18) 2 . x x x cos x 2 x 2 2 /2 cot 1 tan x tan x 2 19) dx. 20) 4 dx. 21) dx . cos x 2 x 1 tan x /3 sin 2 1/2 arcsin x x (arccos3 x )2 arcsin x 22) dx . 23) dx . 24) dx . 2 2 1/4 x(1 x ) 1 9x 1 x sin3 x 2 sin x 25) cos3 x sin xdx . 26) dx. 27) dx. 4 2 cos x 0 3 2cos x 11
12. Bài tập Toán Cao cấp C1 cos x x x 1 1 1 28) dx . 29) sin5 cosdx . 30) sin cosdx . sin2x 2 tan 2 x 3 3 x2 x x 2 sin2 x 31) dx. 32) 1 sin2 x 1 sin x 1 cos x 1 dx . 1 cos x 3 1 3 sin 2x sin x 1 x 33) dx . 34) dx . 35) . 4 2 4 sin x (1 sinx ) x 1 4 2dx x4 3 x 2 1 x 36) dx. 37) dx 38) dx. 5 3 3 1 x 4 x x x 5 x 5 x 1 x 12 Bài 3: Tính các tích phân sau dx x2 dx x2 25 dx xdx 1) . 2) . 3) ,x 5. 4) . 2 2 2 3 4 x x 1 9 x x 1 x Bài 4: Tính các tích phân sau x 1 x4 2x3 7 x 2 12 x 11 1) dx . 2) dx . 3) dx . x 1 x2 4 2x 3 1 x3 4 x 10 0 x3 dx x2 8 4) . 5) . 6) dx . 2 2 2 0 x x 6 1 x 2 x 1 x 5 x 6 4 x3 2 x 2 4 x4 9 9x3 3 x 1 7) dx. 8) dx. 9) dx. 3 2 4 2 3 2 3 x 2 x x 9 x x x x2 4 x 1 x 4 6x 7 10) dx. 11) dx. 12) dx. 3 2 2 x 1 x 1 x 3 x 3 x 10 x x 2 x2 3 3x2 x 4 x3 x 2 2 x 1 13) dx. 14) dx. 15) dx . 2 3 2 2 x 1 ( x 2 x 1) 1 x x (x 1)( x 1) x2 2 x 1 x4 81 x2 16) dx. 17) dx. 18) dx. 2 2 2 4 (x 1) x x2 9 x 1 1 x dx 2x3 x 19) dx. 20) . 21) dx . 2 2 4 4 0 x 4 x 13 x x x 1 sin x ex ex 22) dx . 23) dx . 24) dx . cos2 x 3cos x (ex 2)( e2 x 1) (ex 2)( e2 x 1) dx dx dx 25) . 26) . 27) . 1 ex sinx (1 cos x ) 4cosx 3sin x 5 x 1 dx dx 28) dx . 29) . 30) . x 2x 3 x x2 x x 12
13. Bài tập Toán Cao cấp C1 1 1 dx 31) dx. 32) . 3 3 0 1 x x x Bài 5: Tính các tích phân sau x 2 1) xsin dx . 2) x2 cos xdx . 3) xln xdx . 2 1 4) x2 2 x 1 e 2x dx . 5) e2x cos3 xdx . 6) sin lnx dx . arctan x 2 2 earctan x xln( x 1 x ) 7) x ln x dx . 8) dx 9) dx . 2 2 1 x 1 x xearctan x ln 2 1 ln(2x2 4 x 1) 10) dx . 11) xe x dx . 12) dx . 2 3/2 3 (1 x ) 0 0 (x 1) 3 /2 /2 13) xarctan xdx . 14) esin x sin 2 xdx . 15) (2x 1)cos2 xdx . 0 0 0 2 1 4 16) x2ln(1 x 2 ) dx . 17) sin xdx . 18) ex cos2 xdx . 0 0 0 Bài 6: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ x 1 a) e2 dx b) e 2x dx c) (2 x4 ) dx 4 e x 0 dx d) dx e) f) x3 e x dx 4 x2 1 x 0 xdx dx dx g) h) i) 2 2 3 (x 2) 2 xln x xln x ln x 0 e e 1 xdx 3 dx j) k) x2 e x dx l) 1 x2 0 x 1 dx 1 xdx 2 x5 dx m) n) o) x2 2 2 0 0 1 x 0 4 x 1 dx 1 dx 4 dx p) q) r) (2 x ) 1 x x2 (x 1)2 0 1 0 1 (lnx )3 dx dx s) t) x x2 x 2 0 2 13
14. Bài tập Toán Cao cấp C1 Bài 7: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau dx xdx x x 1 a) b) c) dx 5 10 33 5 25 4 1 x1 x x 1 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1 3 x ln 1 1 x 2 x dx d) dx e) dx f) 2x2 x 1 x2 1 x( x 1) 1 1 0 2 ln(1 5 x3 ) 1 x 1 dx g) dx h) dx i) esin x 1 sin2 x x 0 0 0 e 1 xdx dx 5x 1 j) k) l) dx 2 3 x 2 2 0 2 x 0 x x 2 0,026t Bài 8: Tốc độ thay đổi dân số của một thành phố A được mô hình bởi P'( t ) 11,7. e (nghìn người/năm), trong đó t là thời gian (năm) kể từ năm 1960 và P là dân số (nghìn người). Biết rằng, năm 1980, thành phố A có 790.000 người. a) Tìm P(t). b) Tìm dân số của thành phố A vào năm 2012. Bài 9: Hiệu quả E của người vận hành máy (tính bằng %) có tốc độ thay đổi theo thời gian t được cho dE bởi biểu thức 30 10t , trong đó t là số giờ mà người vận hành làm việc. dt a) Tìm E(t) biết rằng hiệu quả của người vận hành là 72% sau hai giờ làm việc. b) Tìm hiệu quả vận hành sau 3 giờ, sau 5 giờ. dC Bài 10: Tốc độ tăng chi phí sản xuất của một xí nghiệp được cho bởi biểu thức 0,2Q 8, trong dQ đó Q là sản lượng sản xuất (kg), C là chi phí sản xuất (triệu đồng). Xác định chi phí sản xuất khi tăng sản lượng từ 65 kg đến 75 kg. Bài 11: Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q của một loại sản phẩm là MR 50 2 Q 3 Q2 . Hãy xác định hàm tổng doanh thu R(Q) và hàm cầu đối với sản phẩm này. Bài 12: Giả sử chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q của một loại sản phẩm là MC 25 30 Q 9 Q2 và chi phí cố định là FC = 55. Hãy xác định hàm tổng chi phí C(Q) và hàm chi phí khả biến VC(Q). Bài 13: Cho hàm sản phẩm biên của lao động MP = 40.L-0,5. Hãy tìm hàm sản xuất Q = f(L), biết Q (100) = 4000. 14
15. Bài tập Toán Cao cấp C1 Bài 14: Hàm tiêu dùng C = C(Y) biểu diễn lượng tiêu dùng C tùy ý theo mức thu nhập Y. Xu hướng tiêu dùng cận biên MPC ở mỗi mức thu nhập Y là đạo hàm của hàm tiêu dùng MPC = C’(Y). Giả sử ở mỗi mức thu nhập Y ta xác định được 0,1 MPC = 0,6 + . 3 Y và mức tiêu dùng thiết yếu là 50. Hãy tìm hàm tiêu dùng C(Y). 0,75 Bài 15: Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t được xác định bởi hàm số I( t ) 140. t và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) 150. Tìm hàm quỹ vốn K(t). Bài 16: Cho hàm giá trị cận biên của lợi nhuận theo sản lượng là MQ 5 500 và nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì bị lỗ 13500 đơn vị tiền. Tìm hàm lợi nhuận ()Q . Bài 17: Trong quá trình sản xuất một loại sản phẩm, chi phí cố định trên mỗi tuần là 4000USD. Nếu dC hàm chi phí biên là 0,000001.(0,002QQ2 25 ) 0,2, trong đó C là tổng chi phí (USD) sản xuất dQ ra Q (kg) sản phẩm trong một tuần. Tìm chi phí sản xuất ra 1000 kg sản phẩm trong một tuần. Bài 18: Cho phương trình hàm cầu của một loại sản phẩm là QP 10 100 . Tìm thặng dư của người tiêu dùng khi thị trường xảy ra cân bằng tại mức giá là 84 USD. Bài 19: Biết hàm cung và hàm cầu của hàng hóa cho bởi QP 3; QP 185 . Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất đối với hàng hóa đó khi thị trường xảy ra cân bằng. Bài 20: Cho phương trình hàm cầu của một loại sản phẩm là (PQ 10)( 20) 1000 và phương trình hàm cung là QP 4 10 0 . Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất đối với hàng hóa đó trong điều kiện thị trường cân bằng. 15