Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5a: Ma trận nghịch đảo. Phân tích input/output

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5a: Ma trận nghịch đảo. Phân tích input/output

1. 12/09/2017 Nội dung • Chương 1: Toán cho tài chính • Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng • Chương 3: Hàm nhiều biến TOÁN TÀI CHÍNH • Chương 4: Tích phân và ứng dụng • Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng • Chương 6: Phương trình vi phân • Chương 7: Chuỗi thời gian • Thời lượng: 75 tiết, 25 buổi Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 1 Chương 2 • Lãi suất • Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng • 1.1 Dãy số, chuỗi số • 1.2 Lãi đơn, Lãi gộp • 2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm • 1.3 Khấu hao • 2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm • 1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ • 1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp bình quân • 1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu • 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị • Số chỉ số • 1.7 Số chỉ số và năm cơ sở • 2.4 Ứng dụng kinh tế • 1.8 Ghép các dãy số chỉ số • 2.5 Độ cong và ứng dụng • 1.9 Số chỉ số hỗn hợp • 1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI • 2.6 Hệ số co dãn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 3 Chương 4 • Chương 3: Hàm nhiều biến số • Chương 4: Tích phân và ứng dụng • 3.1 Đạo hàm riêng • 4.1 Nguyên hàm, Tích phân • 3.2 Áp dụng của đạo hàm riêng • 4.2 Các tính chất • • 3.3 Tối ưu không điều kiện 4.3 Tích phân của hàm mũ exp • 4.4 Diện tích dưới một đường • 3.4 Tối ưu có điều kiện và nhân tử Lagrange • 4.5 Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất • 4.6 Giải phương trình vi phân bậc 1 • 4.7 Phương trình vi phân cho tăng trưởng giới hạn và tăng trưởng không giới hạn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
2. 12/09/2017 Chương 5 Chương 6 • Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng • Chương 6: Phương trình vi phân • 5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến • 6.1 Giới thiệu phương trình vi phân • 5.2 Ma trận • 6.2 Giải phương trình vi phân bậc 1 • 5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử • 6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1 • 5.4 Định thức • 5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output • 5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 7 (đọc thêm) Kiểm tra – Đánh giá • Chương 7 : Chuỗi thời gian • Điểm danh: 10% • 7.1 Thành phần và mô hình chuỗi thời gian • Kiểm tra giữa kì: 20% (01 bài) • 7.2 Dự báo xu hướng tuyến tính • Thi cuối kì: 70% • 7.3 Dự báo thành phần theo mùa • Hình thức: • 7.4 Điều chỉnh theo mùa – Giữa kỳ: trắc nghiệm hoặc tự luận (60 phút) • 7.5 Dịch chuyển theo trung bình – Cuối kỳ: tự luận (75 phút) • 7.6 Đánh giá các mô hình dự báo Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tài liệu học tập chính Tài liệu tham khảo • 1. Nguyễn Thị Toàn (chủ biên), Lý thuyết Toán cao • 5. Graham Eaton: CIMA C03 Fundamentals of cấp 1, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. Business math (Study text) • 2. Phùng Duy Quang (chủ biên), Hướng dẫn giải • 6. Marvin L. Bittinger, David J. Ellenbogen, bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh Scott: Calculus and its applications (10th- tế, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. edition) • 3. Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp (phần giải • 7. Linda Almgren Kime, Judith Clark, Beverly K. tích), NXB Giáo dục, 2007. Michael: Explorations in College Algebra (3rd Edition) • 4. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I, II), NXB ĐH KTQD, 2013. • 8. G. Keller : Statistics for Management and Economics (9th edition) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
3. 12/09/2017 Tài liệu giảng viên Yêu cầu • Slide bài tập • Đi học đầy đủ, đúng giờ • Slide lý thuyết • Học bài và làm bài tập đầy đủ. • File bài giảng • Tinh thần tự học và chú ý cao • Đề thi tham khảo • Giữ trật tự trong khi học. (đang chỉnh sửa lại) • Liên lạc: nguyenvantien0405@yahoo.com • Website: nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 5a Nhắc lại về ma trận nghịch đảo • Ma trận A khả nghịch khi? • Công thức: 1 AC 1 T MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO det A PHÂN TÍCH INPUT/OUTPUT • Ma trận C là gì? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận nghịch đảo_1 Ví dụ • Ta có: • Tìm ma trận nghịch đảo của A nếu có: 1 1 ACP 1 T 2 5 7 detAA det A A 6 3 4 5 2 3 • Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. • Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A i j c A 1 det M ijij ij Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
4. 12/09/2017 Phương trình ma trận Giải phương trình ma trận • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số a) Xét phương trình: A.X=B ẩn. AXB. Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B • Nếu ma trận A khả nghịch thì: Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 AXBAAXAB 1 1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 AAXABXAB 1 1 1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Mô hình cân đối liên ngành • Tìm các ma trận X và Y sao cho: A.X=B và Y.A=B • Mô hình Input-Output Leontief • Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản 1 2 3 1 3 0 xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa AB 3 2 4 10 2 7 vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, 2 1 0 10 7 8 tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bảng vào ra (I/O) Mô hình I/O • Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 • Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành • Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền – Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phân phối như thế nào phẩm kinh tế mỗi ngành – Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào • Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản – Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
5. 12/09/2017 Các giả thuyết Ma trận hệ số kỹ thuật • Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một • Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ • Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị lệ cố định. hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố • Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu định aij các hàng hóa loại I vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu ra. • Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì? • Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận hệ số kỹ thuật Tổng cầu, cầu trung gian và cầu cuối cùng • Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào • xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức hay ma trận hệ số kỹ thuật. sản xuất hàng hóa ngành i Đầu ra 1 2 n • xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần 1 a11 a 12 a 1n sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); 2 a a a Đầu vào 21 22 2n A • bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng); n a a a n n1 n 2 nn a 1 , j 1,2, ,n  ij xij i 1 i) x x x  x b ii ) a i i1 i 2 in i ij x • Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì? j Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bảng I-O dạng giá trị Mô hình I-O Mua của ngành 1 • Ta có: Bán của ngành 1 • Ta có mô hình I-O: xaxax  axb x aa a x b Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng 1 11 1 12 2 1n n 1 1 11 12 1 n 1 1 xaxax  axb xaa ax b 2 21 1 22 2 2n n 2 2 21 22 2 n 2 2 x1 x11 x12 x1n b1 hay  x2 x21 x22 x2n b2 xaxaxn n1 1 n 2 2  axb nn n n xn aa n 1 n 2 a nn xn b n • xn xn1 xn2 xnn bn Dạng ma trận: XAXBXAXBIAXB • Công thức: 1 xik XIAB i) xi x i1 x i 2  x in b i ii ) a ik xk Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
6. 12/09/2017 Một số thuật ngữ Ví dụ • Cho bảng I/0: • A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng số kĩ thuật 1 100 20 10 8 62 • X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) 2 50 10 16 14 3 40 10 10 8 12 • B là ma trận cầu cuối cùng GTGT 60 88 • T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ GTSX 100 50 40 • C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ • A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng • Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản • B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21 xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án Đáp án • Ta có: • Ta có: 0,2 0,2 0,2 1,3681 0,495 0,594 A 0,1 0,2 0,4 1 CIA 0,297 1,5346 0,8415 0,1 0,2 0,2 0,2475 0,4455 1,5346 1,3681 0,495 0,594 1 • c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá CIA 0,297 1,5346 0,8415 0,2475 0,4455 1,5346 trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là • a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối 0,297 lượng sp có giá trị là 0,2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Giải • Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: • a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ số kĩ thuật: hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ 0,2 0,3 0,2 hàng hóa của ngành 2 0,4 0,1 0,2 • b) Ta có: 0,1 0,3 0,2 0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24 1 1 • a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A IAIA 0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24 0,384 • b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của 0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60 các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
7. 12/09/2017 Giải Phân tích thêm • Ma trận tổng cầu: • Với j=2 ta có: 3 0,66 0,30 0,24 10 24,84 1 ai2 1 0,3 0,1 0,3 0,3 a 02 0 1 1 i 1 XIAB 0,34 0,62 0,24 5 20,68 0,384 • 0,21 0,27 0,60 6 18,36 Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0,3$. Tiền lãi này được dành để trả • Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu xuất ra 1$ hàng hóa loại 2). USD) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích thêm Dạng bài tập • Ta có: • Xác định ma trận tổng cầu X 28,84 a01 0,3 1 • Xác định tổng chi phí mỗi ngành X I A. B 20,68 ; a 0,3 02 • Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử 18,36 a03 0,4 • Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại • Mức lương ngành 1: a01. x 1 0,3.28,84 8,65($) • Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, • Mức lương cả nền kinh tế: tổng cầu, cầu cuối 3 • Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, a0 j. x j 0,3.28,84 0,3.20,68 0,4.18,36 21($) toàn ngành j 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải toán ma trận bằng FX570 ES Giải toán ma trận bằng FX570 ES 1. Nhập ma trận. 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 • Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần = tính toán. 3. Tìm ma trận nghịch đảo • Nhập kết quả vào bằng phím =, Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1 • Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 4. Giải phương trình: AX = B (Dim) 2 (MatB) Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 • Lập lại tương tự cho MatC. x MatB để cho kết quả của X. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
8. 12/09/2017 Bài 1 Bài 2 • Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận • 0,2 0,3 0,2 hệ số kỹ thuật: A 0,4 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,3 0,2 A 0,4 0,1 • Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng) • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của • a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ • đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành ngành. công nghiệp. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 3 Bài 4 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ thuật: • Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau: 0,4 0,1 0,2 A 0,2 0,3 0,2 Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input) 1 2 3 B 0,1 0,4 0,3 1 20 60 10 50 • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng 2 50 10 80 10 ngành là 40, 40, 110 3 40 30 20 40 • Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx • Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành • Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của • Lập ma trận hệ số kỹ thuật A các ngành sx tương ứng. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 5 Bài 6 • Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho • Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại 0,05 0,25 0,34 hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại A 0,33 0,10 0,12 hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một 0,19 0,38 0 lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng • Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng) hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được • a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng. trận A • a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và • b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế trận A trên. • c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công • b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu nghiệp đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành • d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với phần mở. từng ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8