Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

1. 10/11/2019 NỘI DUNG . Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm .Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss . Giải và biện luận hệ Cramer .Hệ phương trình thuần nhất . Ứng dụng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 2 10/10/2019 1 10/10/2019 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát Dạng ma trận axaxaxb11 112211 nn aaaxb1112111 n axaxaxb21 122222 nn aaaxb2122222 n axaxaxbmmmnnm1 122 aaaxbmmmnnm12 aij gọi là các hệ số bj: hệ số tự do AXB 10/10/2019 3 10/10/2019 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM Dạng ma trận . Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0 Hệ Crammer . Nếu hệ số tự do triệt tiêu Hệ thuần nhất Ma trận A gọi là ma trận hệ số. . Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu X: ma trận cột các ẩn số chúng cĩ cùng tập nghiệm. B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do . Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng Nghiệm của phương trình là một bộ số: a11 a 12 a 1n b 1 x, x , , x c , c , , c 1 2nn 1 2 a a a b Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa AAB 21 22 2n 2 Augmented matrix mãn. am12 a m a mn b m 10/10/2019 5 10/10/2019 6 1
2. 10/11/2019 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM VÍ DỤ Các hệ phương trình sau cĩ nghiệm hay khơng? xxxxxx21242 aaab 231234 111211 n axxbxxxx)2)21 131234 aaab 212222 n 222174115xxxxxxx AA BrArA 1231234 aaabmmmnm12 xxx123 22 241xxx aaab c) 123 111211 n 340xxx 123 aaab 212222 n xxx 241 rArA 123 0000 b 10/10/2019 7 10/10/2019 8 VÍ DỤ 2 HỆ CRAMER  Phương pháp ma trận nghịch đảo AXBXAB 1 Phương pháp định thức Định lý. Hệ Cramer với ma trận hệ số là A cĩ nghiệm duy nhất và nghiệm của nĩ được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đĩ D=detA và Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do. detAD x ii i detAD 10/10/2019 9 10/10/2019 10 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC a aabaa b 11 1211121 nn1 Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Do đĩ: a aabaa b ABA 21 2222222 nn; 2 1 Ta cĩ: an12 aabaa nnnnnnn bn 2 b1 aa12 1n b aa DAdet 2 22 2n 11 bn aan2 nn 10/10/2019 11 10/10/2019 12 2
3. 10/11/2019 VÍ DỤ 3 VÍ DỤ 3 Cách 2. Ta cĩ: Giải hệ phương trình sau: Ta tính được: Giải. Cách 1. Ta cĩ: Vậy nghiệm của hệ là: Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất. 3305181 11 XAB 1 1218121181 1818 12665362 Nghiệm của hệ (1,1,-2) 10/10/2019 13 10/10/2019 14 VÍ DỤ 4 SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn. của hệ trong trường hợp này. i) Hệ pt có nghiệm duy nhất r Ar An ii) Hệ pt có vô số nghiệm r Ar An iii) Hệ pt vô nghiệm r Ar A iv) Hệ pt có nghiệm r Ar A Trong trường hợp ii) hệ cĩ vơ số nghiệm phụ thuộc vào n- r(A) tham số. 10/10/2019 15 10/10/2019 16 PP KHỬ GAUSS - JORDAN PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma  trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. - Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ cĩ nghiệm hay khơng và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn. bdsc hang AA BAA B rr Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng? - - - 10/10/2019 17 10/10/2019 18 3
4. 10/11/2019 VÍ DỤ 5 VÍ DỤ 6  Giải và biện luận hệ phương trình: Giải. Ma trận hệ số bổ sung: 10/10/2019 19 10/10/2019 20 VÍ DỤ 6 BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER Biện luận. Cho hệ phương trình tuyến tính cĩ ma trận hệ số A là ma trận vuơng. Đặt: DADADAdet;det; ;det11nn iD)0Nếuthì hệ có nghiệm duy nhất: D x i i D iiDD)00Nếu và tồn tạithì hệ vô inghiệm. iiDDD) 0Nếu thì hệ vô1 nghiệm n hoặc vô số nghiệm. Ta giải tiếp bằng phương pháp Gauss. 10/10/2019 21 10/10/2019 22 VÍ DỤ 6 VÍ DỤ 7 Ta cĩ: Giải và biện luận hệ phương trình sau m 1 1 1 1 1 Ddet A 1 m 1 D detA 1 m 1 11 mx x x14 ax y z 1 1mm 1 1 1 2 3 mm1 1 1 1 ax)1 mx 2 x 3 m bxbyz ) 8 DdetA 1 1 1 D det A 1 m 1 2 1 3 3 2 x24 by z 1 1m 1 1 1 x1 x 2 mx 3 m Sinh viên tự làm tiếp 10/10/2019 23 10/10/2019 24 4
5. 10/11/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT TÍNH CHẤT Hệ thuần nhất cĩ dạng: 1. Hệ phương trình thuần nhất luơn luơn cĩ nghiệm. axaxax1111221 nn 0 2. (0,0, ,0) luơn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm axaxax2112222 nn 0 thường. 3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất axaxax 0 cũng là nghiệm. Do đĩ, hệ thuần nhất hoặc chỉ cĩ mmmnn1122 nghiệm tầm thường hoặc cĩ vơ số nghiệm. Hoặc dạng ma trận: AX.0 Q. Khi nào thì hệ cĩ nghiệm tầm thường? Vơ số nghiệm? Ma trận mở rộng: AArArA |0 Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A. A. 10/10/2019 25 10/10/2019 26 VÍ DỤ 8 VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình Hệ đã cho tương đương với hệ: Giải. Xét ma trận hệ số của phương trình. Tập nghiệm của hệ là: Nghiệm cơ sở (basic solutions): 8, 6,1,0 ; 7,5,0,1 10/10/2019 27 10/10/2019 28 BÀI 1 BÀI 2 Giải các phương trình sau Cho hai ma trận: x x x x 0 1 231 21 x2 x 2 x 1 1 2 3 4 1 2 3 3x x x 2 x 5 AB 3 243 1 0 a) 2 x 3 x 6 x 1 b ) 1 2 3 4 1 2 3 54x x x 2 1 02 1 1 1 2 3 x1 x 27 x 3 m 7x1 x 2 x 3 3 x 4 10 Tìm ma trận nghịch đảo của A. Tìm X biết: X.A=3B 10/10/2019 29 10/10/2019 30 5
6. 10/11/2019 BÀI 3 BÀI 4 Giải các hệ phương trình sau Tìm m để ma trận sau khả nghịch 2396xyzxyz axyzbxyz)354)23421 11 m 475736xyzxyz Am 11 111mm 224xxxx1234 4326xxxx c) 1234 853412xxxx1234 331156xxxx1234 10/10/2019 31 10/10/2019 32 BÀI 5 BÀI 6 Cho hệ phương trình tuyến tính. Giải và biện luận theo m xymz 1 xxmxm 123 xmyza am)2224 xxmx123 2 xmymzb(1)(1) xxxmm123 333 A) Tìm a, b để hệ cĩ nghiệm duy nhất mxyzm B) Tìm a, b để hệ trên cĩ nghiệm với mọi m bxmymzm)2(1)(1)1 xymz 1 10/10/2019 33 10/10/2019 34 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ GIẢI Cơng ty Honda cĩ hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ Ta cĩ: chuyên bán xe Dream II và xe mơtơ. Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau: 90000 180000 X a) A B Tháng 8 Tháng 9 126000 108000 Y Dream II Mơtơ Dream II Mơtơ Đại lý X $ 18,000 $ 36,000 Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 54000 108000 X b) B A Đại lý Y $ 36,000 $ 0 Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000 54000 108000 Y a/ Tính tốn doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi 3600 7200 X loại xe. cB)5%. 4500 5400 Y b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9. c/ Nếu tiền huê hồng Cơng ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9. 10/10/2019 35 10/10/2019 36 6
7. 10/11/2019 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ VÍ DỤ  a/ Kích thước của M, N và M*N Số giờ cơng lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:  b/ Tính M*N và giải thích kết quả. cut assemble package  Giải. 0.6 0.6 0.2 product A 911 productA  A) M 1.0 0.9 0.3 product B MNproductB.14.117.2  B) Ta cĩ: 1.5 1.2 0.4 product C 19.824.1 productC Tiền lương tính theo giờ: 6 FactoryFactory a11 0.60.60.289$ III 3 67cut  a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I. N 810 assemble  Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy. 34package 10/10/2019 37 10/10/2019 38 BÀI 1 BÀI 2 A) Giải phương trình: A) Tìm a để hệ phương trình cĩ nghiệm 322xxx 2 xxx 1 123 1234 0 xaxx123 32 3222 233xxax123 92318 B) Tìm ma trận nghịch đảo: B) Tìm m để ma trận sau cĩ hạng bé nhất: 123 112m A 253 Bm 215 108 11061 10/10/2019 39 10/10/2019 40 7