Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

1. 10/11/2019 KHÁI NIỆM Một ánh xạ f R: R nm được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn: fxyfxfyxyR()()(),,  n fxfxxRR()(),,   n ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5 10/10/2019 1 10/10/2019 2 VÍ DỤ VÍ DỤ 1 Kiểm tra điều kiện đầu tiên. Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính 10/10/2019 3 10/10/2019 4 VÍ DỤ 2 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH nm Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay f: R R không? a) f :, RR22 (,) f x (23;65)yxy xy b) f :, RR22 ( , f ) x (yxy 23 xy ;655) A f f f , 1  2 n  10/10/2019 5 10/10/2019 6 1
2. 10/11/2019 XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F VÍ DỤ 3 32 fRRfxxxxxxxx:,(,,)(23,2) 12312313 E (1,1,1);(1,0,1);(1,1,0) F (1,1);(1,2) fxAx  ,   10/10/2019 7 10/10/2019 8 GIẢI VÍ DỤ 4 33 fRRf:,(,,)(,,) x x xxx123131223 xxxx ()(1,1,1);( 123 1,1,2);(1,2,3)  ()(0,1,1);(1,0,1);(1,1,0) 123  Ma trận cần tìm: 10/10/2019 9 10/10/2019 10 VÍ DỤ 5 VÍ DỤ 6 fRR:, nm Cho ánh xạ tuyến tính: f: R32 R fxx(,,,)(,, x axax axaxax ax 12n 111122 1 n n 211222 2 n n Biết ma trận của f trong cặp cơ sở: ,,)am1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n EF 1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0  1,1 , 2,1  Là: 2 1 3 AEF, 0 3 4 A) Tìm f(3,1,5) B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3) 10/10/2019 11 10/10/2019 12 2
3. 10/11/2019 VÍ DỤ 6 VÍ DỤ 6 Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E) 10/10/2019 13 10/10/2019 14 VÍ DỤ 6 VÍ DỤ 7 Cho ánh xạ tuyến tính: fRR: 33 f xf x x 1,,,2,34 xxxxxxxxxx 2 3123123123 A) Tìm f(2,1,5) B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở: E 1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2  C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a) 10/10/2019 15 10/10/2019 16 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG VÍ DỤ 8 a11 a 12 a 1n a a a A 21 22 2n an12 a n a nn A x  x 10/10/2019 17 10/10/2019 18 3
4. 10/11/2019 VÍ DỤ 9 GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG 10/10/2019 19 10/10/2019 20 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG aaa11121  n aaa21222  n PA () aaannnn12  PA()0 10/10/2019 21 10/10/2019 22 KHÔNG GIAN CON RIÊNG BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG 10/10/2019 23 10/10/2019 24 4
5. 10/11/2019 VÍ DỤ 10 3 1 1 VÍ DỤ 10 Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận A 242 1 1 3 10/10/2019 25 10/10/2019 26 VÍ DỤ 11 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. 210 A 011 024 10/10/2019 27 10/10/2019 28 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG CHÉO HÓA MA TRẬN - Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A. - Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n ma trận A không chéo hóa được - Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính. TATD 1 Định lý. Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số của chúng. 10/10/2019 29 10/10/2019 30 5
6. 10/11/2019 VÍ DỤ 12 VÍ DỤ 13 Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được. Ma trận nào sau đây chéo hóa được? 133 546311 A 353 AB 456751 331 445662 10/10/2019 31 10/10/2019 32 VÍ DỤ 13 VÍ DỤ 13 10/10/2019 33 10/10/2019 34 VÍ DỤ 14 VÍ DỤ 15 Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được. A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được: 243 5 0 0 0 0 5 0 0 A 463 A 1 4 3 0 331 B) Tính A100 1 2 0 3 Giải. 10/10/2019 35 10/10/2019 36 6
7. 10/11/2019 VÍ DỤ 15 VÍ DỤ 15 B) Ta có: Sinh viên tự tính kết quả sau cùng. 10/10/2019 37 10/10/2019 38 VÍ DỤ 16 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO 10/10/2019 39 10/10/2019 40 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO ĐỊNH LÝ Chú ý. - Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được. - Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực giao P. - Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng. 10/10/2019 41 10/10/2019 42 7
8. 10/11/2019 CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO VÍ DỤ Chú ý. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên không cần kiểm tra. Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram-Schmidt. 10/10/2019 43 10/10/2019 44 VÍ DỤ 10/10/2019 45 10/10/2019 46 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định nghĩa. Dạng toàn phương trong không gian Rn là một hàm số thực: f : n Được xác định bởi: x1 x f x xTn Ax, x 2 xn Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc) 10/10/2019 47 10/10/2019 48 8
9. 10/11/2019 VÍ DỤ DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3 x 23 Thường được ghi dưới dạng sau: Cho: xA1 x2 34 222 fxfxxxAxBxCxDx1231231,,222 xEx 22 33 xFx 1 x Ta có dạng toàn phương trong R2 Ma tận dạng toàn phương: 23xx xAxxxxxxxT 112334 ADF 121212 12 34xx 22 2221 MDBE T 2222 xAxxx xx2334264 xxxx11 21 xx 2211 22 FEC Dễ thấy: Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn ADF x1 phương. T fxxxxDBExxMx1232 FEC x3 10/10/2019 49 10/10/2019 50 VÍ DỤ DẠNG CHÍNH TẮC Cho dạng toàn phương trong R3 222 q( xxxxx )2346. xx1231 xx 22 x 31 3 Tìm ma trận A của q(x). Đáp án 1 23 2 1 A 3 2 . 2 3 2 1 10/10/2019 51 10/10/2019 52 DẠNG CHÍNH TẮC ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bằng phép biến đổi trực giao. Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương. Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chính tắc. Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sở khác (cơ sở trực giao) 10/10/2019 53 10/10/2019 54 9
10. 10/11/2019 VÍ DỤ. VÍ DỤ Ma trận của dạng toàn phương: Chéo hóa bằng ma trận trực giao: 10/10/2019 55 10/10/2019 56 VÍ DỤ ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Dạng chính tắc cần tìm: Phép biến đổi Lagrange 222 - Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng fyyyyyy 123123,,772 toàn phương về dạng chính tắc Phép biến đổi cần tìm: - Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận. xy11 - Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn. xPyxPy 22 Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma xy33 trận P không suy biến. 10/10/2019 57 10/10/2019 58 PP LAGRANGE VÍ DỤ xi y i y j xj y i y j 10/10/2019 xkk  x,, k i j 59 10/10/2019 60 10
11. 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Một cách tương tự: Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1 14 + Chọn số hạng: x2 3 2 + Tạo 2 nhóm: Ta có: + Lập dạng tổng bình phương: Bước 4. Lặp lại cho dạng toàn phương sau: 10/10/2019 61 10/10/2019 62 VÍ DỤ VÍ DỤ Ta có dạng: Phép biến đổi cần tìm: Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương. Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2): Dạng chính tắc cần tìm: 10/10/2019 63 10/10/2019 64 VÍ DỤ DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ta có: fxx  0,0 fxx  0,0 f x 0,  x  x11 : f x 0 f x 0,  x  x11 : f x 0 x1, x 2 : f x 1 0, f x 1 0 10/10/2019 65 10/10/2019 66 11
12. 10/11/2019 DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG LUẬT QUÁN TÍNH 10/10/2019 67 10/10/2019 68 ĐỊNH THỨC CON CHÍNH TIÊU CHUẨN SYLVESTER. Ký hiệu các định thức con chính: 10/10/2019 69 10/10/2019 70 VÍ DỤ VÍ DỤ 10/10/2019 71 10/10/2019 72 12
13. 10/11/2019 ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2 VÍ DỤ 10/10/2019 73 10/10/2019 74 VÍ DỤ KIỂM TRA 45PH Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được) 342133 AB177353 144111 10/10/2019 75 10/10/2019 76 13