Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính - Hoàng Phi Dũng

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính - Hoàng Phi Dũng

1. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ 5.1.1 Định nghĩa và ví dụ Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả ánh xạ tuyến tính (1888) mãn với mọi u, v V, R: Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép f()()() u v f u f v nhân hai ma trận f()() u f u Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính Khi V W thì f được gọi là tự đồng cấu và ngược lại 10/07/2017 1 10/07/2017 2 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.1 6) Cho ma trận Aa Ta có thể kiểm tra được đẳng thức ij mn 1) Ánh xạ không 0:VW x1 x'' 1 x 1 x 1 uu ( ) 0 0     AAA   2) Ánh xạ đồng nhất Id :VV V xn x'' n x n x n u Id ( u ) u V Do đó ánh xạ T : nm 3) Phép vị tự tỉ số k f :V V (x1 , , xn ) a T(x1 , , xn ) (y1 , , ym ) u a f (u) ku yx11  a Xác định bới ij là một ánh xạ tuyến tính yxmn Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; vào Rm đều có dạng như trên 10/07/2017 3 10/07/2017 4 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7) Phép quay góc  5.1.2. Tính chất f()(,) v X Y Nếu f : V W là một ánh xạ tuyến tính thì f : 22 Định lý 5.1  (i) f (0) 0 (,)(,)(,)x y f x y X Y v (,) x y (ii) với mọi v V : f ( v) f (v) nn i (iii) f  xi v i x i f() v i , x11, , xnn  ,  v , , v V . XiYexiy ( ) (cos i sin )( xiy ) ii 11 X iY ( x cos y sin  ) i ( x sin  y cos  ) Định lý 5.2 Ánh xạ f : V W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi f( x , y ) ( x cos y sin  , x sin  y cos  ) với mọi u, v V, R: Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính f()()() u  v f u  f v 10/07/2017 5 10/07/2017 6 1
2. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác Hệ quả 5.4 f , g : V W là hai ánh xạ tuyến tính định bởi ảnh một cơ sở của V. B {e1, , en} là một cơ sở của V Nghĩa là với cơ sở B {e1, , en} cho trước của V Khi đó khi đó với mỗi hệ véc tơ u1, , un W f g f( eii ) g ( e );  i 1, , n Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V W sao cho Ví dụ 5.2 Giả sử f : V W là đồng cấu tuyến tính f (ei ) ui , i 1, , n  Tồn tại: Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu Với mọi v V, giả sử (x1, ,xn) là tọa độ của v trong cơ sở B , nghĩa g : W V sao cho f g(v) v, v W là v x1e1 xnen. Đặt f (v) x1u1 xnun W f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (ei ) ui , với mọi i 1, ,n Giả sử f toàn cấu, B ee1, , n là một cơ sở của W  Duy nhất: Tồn tại u, , u V sao cho f() u e Giả sử g :V W là ánh xạ tuyến tính sao cho g(ei) ui, với mọi 1 n ii i 1, ,n khi đó với bất kỳ v V,v x1e1 xnen Xét ánh xạ tuyến tính g :W V xác định bởi g() eii u gv( ) gxe (1 1 xen n ) xge 1 ( 1 ) xge n ( n ) xu 1 1 xu n n fv ( ) Vì f g(); e e  e B do đó fg Id Vậy g f i i i W 10/07/2017 7 10/07/2017 8 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức (f g )( v ) f ( v ) g ( v ) Ví dụ 5.3: Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3 R2 có công thức xác định ảnh (kf )( v ) kf ( v ) f(,,)(3 x y z x 5 y 2,4 z x y 6) z g(,,)(2 x y z x 6 y 7, z x 5) z 3(,,)f x y z (9 x 15 y 6,12 z x 3 y 18) z 2(,,)g x y z (4 x 12 y 14,2 z x 10) z (3fgxyz 2 )( , , ) (5 x 27 y 20 zxyz ,10 3 8 ) 10/07/2017 9 10/07/2017 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH n Cho f và đa thức bậc n p() t a0  an t 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính ta ký hiệu p( f ) a Id  a f n 0 Vn Nhân của f Kerf f 1 00 v V f ( v )   V n f f  f 0 1 Trong đó  f IdV ff v V: v Ker f f ( v ) 0 n lÇn Ví dụ 5.4: Ảnh của f Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 R2 có công thức xác định ảnh Imf f ( V ) f ( v ) v V  W f( x , y ) (3 x 5 y ,4 x y ) u W: u Im f  v V : u f ( v ) 2 fxy( , ) 3(3 xy 5 ) 5(4 xyxyxy ),4(3 5 ) (4 ) ( 11 xyxy 20 ,16 19 ) Hạng của f r( f ) dimIm f Cho đa thức p( t ) 50 9 t 2 t2 Định lý 5.5 pfxy()(,) 50Id 9 ffxyxyxy 22 (,)( 5,4 3) V Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W 10/07/2017 11 10/07/2017 12 2
3. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.6 Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V W ta có S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f dimV r ( f ) dimKer f Giả sử ee1, , m là một cơ sở của Ker f (khi Ker f 0 thì m = 0) Đặc biệt nếu B ee1, , n là một cơ sở của V thì f( e1 ), , f ( en ) Ta có thể bổ sung để e11, , em , e m , , e m k  là một cơ sở của V là một hệ sinh của Im f Ta sẽ chứng minh f( em 1 ), , f ( e m k ) là một hệ sinh, độc lập tuyến tính của Im f (do đó là một cơ sở)   uIm fvVufvvxe ,  : ( ); xexe xe 1 1m m m 1 m 1 m k m k Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của f( e1 ), , f ( en ) là cơ ufvxfe () 1 () 1 xfem () m xfe m 1 ( m 1 ) xfe m k ( m k ) sở của Im f u xm 11 f( e m ) x m k f ( e m k )  yfe1(m 1 ) yfe k ( m k ) 0 ye 1 m 1 ye k m k Ker f y1 em 1 y k e m k z 1 e 1 z m e m y1 em 1 y k e m k z 1 e 1 z m e m 0 y 1 y k 0 10/07/2017 13 10/07/2017 14 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.5 Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được Xét ánh xạ tuyến tính f : R4 R3 có công thức xác định ảnh: 2135 a 1036 c 1036 c 3234 b   0137 a 2 c 0137 a 2 c fxyzt(,,,) 2 xy 3 ztx 5,3 2 y 3 z 4, tx 3 z 6 t 1036c 0137 b a c 0000 b 2 a c Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. Từ đó suy ra hạng r ( f ) Hệ phương trình có nghiệm khi b 20 a c Giải: (,,)Imabc f  (,,,) xyzt 4 :(,,) abc fxyzt (,,,) uabc ( , , ) Im f uaacca ( ,2 , ) (1,2,0) c (0, 1,1) Nói cách khác (a , b , c ) Im f khi và chỉ khi hệ phương trình sau có Vậy Im f có một cơ sở là (1,2,0), (0, 1,1) Hạng r ( f ) 2 nghiệm v ( x , y , z , t ) Ker f khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ 2x y 3 z 5 t a 2x y 3 z 5 t 0 3x 2 y 3 z 4 t b x 36 z t Vậy Ker f có một cơ sở là 3x 2 y 3 z 4 t 0 y 37 z t ( 3, 3,1,0), ( 6, 7,0,1) x 36 z t c x 3 z 6 t 0  v ( 3 z 6 t , 3 z 7 t , z , t ) z ( 3, 3,1,0) t ( 6, 7,0,1) 10/07/2017 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.1 Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính 5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU B {e1, , en} là một cơ sở của V 5.3.1Toàn cấu Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu. Có thể chứng minh được { f(e1), , f(en)} là một hệ sinh của Im f Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính Ba mệnh đề sau tương đương do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1), , f(en)} là cơ sở của Im f (i) f toàn cấu (ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W Ví dụ trên có hạng r ( f ) 2 Vì vậy ngoài cơ sở (iii) r( f ) dimW 2 1 3 5 (i) (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận 3 2 3 4 f(S) là một hệ sinh của W (ii) (i): Giả sử ee, ,  là một cơ sở của V thì f( e ), , f ( e ) là đều là cơ sở của Im f 1 0 3 6 1 n 1 n hệ sinh của W W span f ( e1 ), , f ( en ) f ( V ) f toàn cấu ()i (): iiifVW () dim()dim fV Wrf ()dim W 10/07/2017 17 10/07/2017 18 3
4. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.2 Đơn cấu (i) (ii): Hiển nhiên Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu ()():()ii ifvfv1 () 2 00 fvfv ()() 1 2 fvv ( 1 2 ) vv 1 2 vv 1 2 Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính ()()ii iii : Giả sử vv1, , m độc lập Bốn mệnh đề sau tương đương xx1, ,m 3 : xfv 1 ( 1 ) xfv m ( m ) 00 xv 1 1 xv m m Ker f  x1 v 1 xm v m 0 x 1 x m 0 (i) f đơn cấu Do đó f( v ), , f ( v ) độc lập (ii) Ker f {0} 1 m ()()iii iv : Giả sử ee, ,  là một cơ sở của V thì f( e ), , f ( e ) là (iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập 1 n 1 n hệ sinh độc lập tuyến tính của fV(). Do đó r() f dim V tuyến tính của W dimV r( f ) dim Ker f  ()():iv ii  dimKerff 0 Ker 0 (iv) r( f ) dimV dimV r() f  10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.3 Đẳng cấu Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính f : 22 xác định bởi Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu f( x , y ) 2 x y , x y là một đơn cấu vì Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến f(,) x y (0,0) 2 x y , x y (0,0) x , y (0,0) tính đẳng cấu f : V W do đó f là một đẳng cấu Định lý 5.8 3 Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính f : P2 xác định bởi Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV dimW fxyz(,,)( x 2 yz 3)(2 x 5 y 6) ztxzt ( 8) 2 Định lý 5.9 x 2 y 3 z 0 chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử f : V W là ánh xạ tuyến tính và dimV dimW Hệ phương trình 2x 5 y 3 z 0 Khi đó do đó f là một đẳng cấu f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu xz 80 10/07/2017 21 10/07/2017 22 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V 5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của f trong cùng một cơ sở B {e1, , en} của V Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính được ký hiệu Af  B B {e1, , en} là một cơ sở của V Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là B’ {1, ,  m} là một cơ sở của W ma trận chính tắc Ma trận của hệ véc tơ { f (e1), , f (en)} trong cơ sở B’ Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 R2 xác định bởi Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’ f(,,)(2 x y z x y 4,3 z x 5) z Ký hiệu B ' Af  B f (1,0,0) (2,3) 2(1,0) 3(0,1) m 2 1 4 Xác định như sau Aa f( e ) a  ; j 1, , n f (0,1,0) (1,0) 1(1,0) 0(0,1) A ij mn j ij i 3 0 5 i 1 f (0,0,1) ( 4,5) 4(1,0) 5(0,1) 10/07/2017 23 10/07/2017 24 4
5. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.2 B {e1, , en} là một cơ sở của không gian véc tơ V Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng B’ {1, ,  n} là một cơ sở của không gian véc tơ W Ánh xạ tuyến tính f : mn với công thức xác định ảnh Định lý 5.10 Với BB'' A f, B g fxx(, ,)(1m ax 11 1  ax 1 m m , , ax n 1 1 ax nm m )  BB  Có ma trận chính tắc aa11 1m ta có các tính chất sau: A    BBB''' aa  f gBBB  f  g Ví dụ 5.9 n1 nm ma trận chính tắc BB''   : ff  Ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 xác định bởi 1 2 2  BB  fxyz(,,)(22,3 x y zxy 5, zxyz ) A 3 1 5 r()() f r A 1 1 1 10/07/2017 25 10/07/2017 26 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH fg Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : VVV '"  Khi V V’ V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương B {e1, , en}, B’ {e’1, , e’m}, B” {e”1, , e”l} lần ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n lượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V” Định lý 5.11 Af   B ' m B Giả sử Af   Aa f( e ) a e ' ; j 1, , n B ij mn j ij i có các tính chất: i 1 B" l Bg   Bb   B ' ki lm g( e 'i )  b ki e " k ; i 1, , m  f gBBB  f  g k 1 m m m l l m   :  ffBB   gfegae ()'(')""j  ij i  age ij i  a ij  be ki k   bae ki ij k i 1 i 1 i 1 k 1 k 1 i 1  f gBBB  f  g BBB""' Vậy g f BA g  f  BBB' r()() f r f B 10/07/2017 27 10/07/2017 28 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính f : 33 xác định bởi Hệ quả 5.12 fxyz(,,)(22,3 x y zxy 5, zxyz ) Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ] B 1 2 2 6 4 8 1 1 f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch Ma trận chính tắc của f là A 3 1 5 có A 2 1 1 2 1 1 1 4 3 5 Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1] A 1 B Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau 1 Hệ quả 5.13 fxyz 1(,,) (6 xyzxyzxyz 4 8,2 ,4 3 5) n 2 Giả sử p() t a  a t là một đa thức bậc n 2 0 n Cho đa thức p( t ) 2 4 t 3 t n 25 2 34 Ma trận của p( f ) a0 IdVn  a f trong cơ sở B là Ma trận chính p( A ) 2 I 4 A 3 A2 21 4 28 p() A a I  a An tắc của p(f) là 0 n 7 4 8 10/07/2017 29 10/07/2017 30 5
6. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH m 5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau B2 A  f  aki f() e i a ki  k B1 mn  Giả sử là một ánh xạ tuyến tính i 1 f : V W m B B '2 1 là ma A''(')''  f aij f e j a ij  i Tt ij B ee, ,  sang B' e' , ,e'  của V B '1 mn  B ' trận 11n 1 1 n i 1 1 m n B chuyển B2 B1 2 , , P  pki ' i p ki  k T t e' t e Pp  ki  B21 m B'2 '1 , ,'m của W B '2  ij j ij i B '2 cơ sở B '  i 1 1 i 1 B2 m m m m m Af   là ma trận BB12, B1 f (e' j )  a'ij 'i  a'ij  pkik   pkia'ij k của f i 1 i 1 k 1 k 1 i 1 B '2 Af'   trong cơ sở ',' n n n m m n B '1 BB12 fefte(')()j  ij i  tfe ij i  ta ij  ki  k   at ki ij  k i 1 i 1 i 1 k 1 k 1 i 1 A' P 1 AT mn suy ra pki a' ij a ki t ij ;  j 1, , n ; k 1, , m PA' AT Hoặc PA' AT ii 11 10/07/2017 31 10/07/2017 32 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V Ví dụ 5.14 1 2 0 1 Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B’ và T là ma trận Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận 3 0 1 2 A chuyển từ cơ sở sang ’ thì 1 trong cơ sở B {e , e , e , e } 2 5 3 1 B B A' T AT 1 2 3 4 1 2 1 3 1 BBBB'  f t  f t t  f t Ta tìm ma trận A’ của f trong cơ sở B’ {e1, e3, e2, e4} BBB' ij BBBB''' ij ij ij Đặt e',',',' e e e e e e e Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không 1 1 2 3 3 2 4 4 suy biến sao cho 1 T B T AT fe(')()1 feee 1 1 3 2 2 eee 3 4 '2'3'' 1 e 2 ee 3 4 Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau 1 0 2 1 là đồng dạng f( e '2 ) f ( e 3 ) e 2 3 e 3 e 4 3 e ' 2 e ' 3 e ' 4 2 3 5 1 A' Nếu A, B đồng dạng thì detA det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa f(') e f ()2 e e 5 e 2 e 2'5'2' e e e 3 1 0 2 3 2 1 3 4 1 2 4 định thức của một tự đồng cấu f là 1 1 2 3 fe(')()4 feeeeeee 4 1 2 2 3 3 4 ''2'3' 1 2 e 3 e 4 detff det B 10/07/2017 33 10/07/2017 34 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Hoặc áp dụng công thức A' T AT Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính f :23 g : 32 Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B {e1, e2, e3, e4} f( x , y ) ( x 2 y , x , 3 x 4 y ) g(,,)( x y z x 2 y 5,3 z x 4) y sang cơ sở B’ {e1, e3, e2, e4} 1 0 0 0 1 0 0 0 12 10001000 10001000 1 2 5 0 0 1 0 00100100 01000010 1 0 0 1 0 Ma trận chính tắc của f và g: A 10B T T 3 4 0 0 1 0 0 01000010 00100100 0 1 0 0 34 00010001 00010001 0 0 0 1 0 0 0 1 14 22 100012011000 12011000 10211 0 2 1 Ma trận chính tắc của g◦f : BA 76 1 00103030 120010 32 3 102 5 1 A' T AT AT 010025310100 25310100 23513 1 0 2 14 22 Định thức det(gf ) 70 000112130001 12130001 11231 1 2 3 76 10/07/2017 35 10/07/2017 36 6
7. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’ Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính B {e1, , en} là một cơ sở của V n n m m n f()() v x f e x a  a x  B’ {1, ,  m} là một cơ sở của W i i  i  ki k   ki i k i 1 i 1 k 1 k 1 i 1 (x1, , xn) (v)B là tọa độ của v V trong cơ sở B n yx11 (y , , y ) ( f (v)) là tọa độ của f (v) W trong cơ sở B’ 1 m B ’ yk a ki x i  a  ij mn B ' i 1  fa là ma trận của f trong cơ sở ’ yx B ij mn B , B mn n m m B ' v  xii e f() ei  a ki k f() v  ykk  f()() v  f  v f v Av i 1 k 1 k 1 BBB' 10/07/2017 37 10/07/2017 38 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giả sử f : V W là một ánh xạ tuyến tính 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính B {e1, , en} là một cơ sở của V yx 11 { , ,  } là một cơ sở của W B’ 1 m Đẳng thức  a ij mn Tìm Im f : b W, b b11   bmm  yxmn a11 x 1 a 1nn x b 1 y1 a 11 x 1 a 1nn x có thể viết dưới dạng hệ bf ImHệ phương trình có nghiệm phương trình tuyến tính am11 x a mn x n b m ym a m11 x a mn x n Tìm Ker f : v x11 e  xnn e V a11 x 1 a 1nn x 0 Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính thông qua hệ phương trình tuyến tính vf Ker am11 x a mn x n 0 10/07/2017 39 10/07/2017 40 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.3: 5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán Trong phần này ta giải quyết bài toán: ma trận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V, hãy tìm một cơ Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A [f ]B là đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng 1 có duy nhất nghiệm  dimKer f là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình  thuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f n Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết ma trận không suy biến T sao cho T 1AT có dạng chéo dimV r ( f ) dimKer f 10/07/2017 41 10/07/2017 42 7
8. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng  được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tại  được gọi là giá trị riêng của ma trận A [aij]n n nếu tồn tại véc tơ v V, v 0 sao cho f (v) v x1, , xn không đồng thời bằng 0 sao cho v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  xx11 x1 0 Ví dụ 5.17 A   hay AI   (6.30) a) Xét ánh xạ đồng nhất IdV: V V. Với mọi v V, IdV(v) v xxnn xn 0 Vậy 1 là một giá trị riêng của IdV n Khi đó v (x1, , xn) R được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị b) : R2 R2 xác định bởi: , riêng  của ma trận A f f (x,y) (3x y 2x 4y) Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  là các nghiệm khác Dễ dàng thấy f (x,x) 2(x,x) không của phương trình thuần nhất (6.30). Không gian nghiệm của Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v (x,x); x 0 là véc (6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng  tơ riêng tương ứng 10/07/2017 43 10/07/2017 44 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH c) Phép quay góc  Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi  R, ký hiệu 22 f : V v V f( v )  v Ker f IdV (x , y ) f ( x , y ) ( x cos y sin  , x sin  y cos  ) fv() Định lý 5.14  v 1)  là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V {0} 2) Nếu  là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v 0 của V đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  Khi  0, f là ánh xạ đồng nhất Id : chỉ có giá trị riêng là 1.  3 2 Khi  , f: chỉ có giá trị riêng là 1. Khi  0, , f không có giá trị riêng. 10/07/2017 45 10/07/2017 46 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.4 5.5.3 Đa thức đặc trƣng Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ]B  A là một ma trận vuông cấp n. Định thức Khi đó v V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của f khi và P ( ) det(AI ) chỉ khi ( v)B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của A là một đa thức bậc n của  được gọi là đa thức đặc trưng của A Nghĩa là  Cho f End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A [ f ]B Khi đó định thức x1 0 vVv ; ( xxv , , ), 0 : fv ( )  v AI   P ( ) det f  IdV det( A  I ) B 1 n xn 0 không phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thức đặc trưng của f 10/07/2017 47 10/07/2017 48 8
9. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.15 Ví dụ 5.18 0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không nghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f ) gian R2 (ví dụ 6.13) 2 2  là giá trị riêng khi và chỉ khi V 0 f : R R xác định bởi: f (x,y) (3x y, 2x 4y) 0 0  Điều này tương đương với các điều sau: 31 có ma trận chính tắc A a) Ánh xạ f 0 IdV không đơn cấu x 0 1 24 b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  có nghiệm AI 0 Đa thức đặc trưng không tầm thường xn 0 Vậy  là giá trị riêng khi và chỉ khi r f  Id n 3  1 2  1 2  1 0 0 V P ( ) (2  )(5  ) do đó det f 0 IdV 0 hoặc det AI 0 0 2 4  2  4  0 5  Nghĩa là P (0 ) 0 10/07/2017 49 10/07/2017 50 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.19  Véc tơ riêng v (x,y) ứng với giá trị riêng 1 2 là nghiệm của hệ Phép quay góc  có công thức xác định ảnh x 0 3 2 1 x 0 f( x , y ) ( x cos y sin  , x sin  y cos  ) AI  hay  1 y 0 2 4 2 y 0 Đa thức đặc trưng Hệ phương trình tương đương với phương trình x y 0 y x cos  sin  22 Vậy v (x,x) x (1,1) , x 0 P ( ) det f  IdV (cos   ) sin  sin cos    Véc tơ riêng v (x,y) ứng với giá trị riêng 2 5 là nghiệm của hệ Do đó f chỉ có giá trị riêng khi x 0 2 1 x 0  0 AI  hay 2  cos  1 y 0 2 1 y 0 2 sin 0  Hệ phương trình tương đương với phương trình 2x y 0 y 2 x Vậy v (x, 2x) x (1, 2) , x 0  1 10/07/2017 51 10/07/2017 52 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.16 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc Giả sử v1, , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt  , ,  của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệ Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu 1 m véc tơ {v , , v } độc lập tuyến tính tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có 1 m dạng chéo Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ vv1, , k  độc lập tuyến tính với 1 km Giả sử hệ vv1, , k  với 11 km độc lập tuyến tính Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của x1 v 1 xk v k x k 1 v k 1 0 (*) V gồm các véc tơ riêng của f fxv(1 1 xvxvk k k 1 k 1 )  00 1 xv 1 1 k xv k k  k ! xv k 1 k 1 ( ) Nhân  vào (*) rồi trừ cho ( ) ta được Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không k 1 (k 1  1 )x 1 v 1 (  k 1  k ) x k v k 0 suy biến T sao cho T 1AT là ma trận chéo Vì vv1, , k  độc lập và các 1, , m khác nhau từng đôi một suy ra x11 xkk 0 x 0 10/07/2017 53 10/07/2017 54 9
10. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (): Trong mỗi V ta chọn một cơ sở gồm m véc tơ Hệ quả 5.17 i i Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực Vậy f chéo hoá được phân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được () : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma trận có dạng chéo Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm 1 các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được  n P( ) ( 1) (  1 ) (  n )  n m1 mk n Hệ quả 5.18 Giả sử P ( ) ( 1) (  1 ) (  k ) Do đó các giá trị riêng 1, , n phải trùng với 1, , k m1 mk n và các giá trị 1, , k khác nhau từng đôi một Vì vậy trong các giá trị riêng , , có đúng m giá trị bằng  , với Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi 1 n i i ik 1, , và có đúng mi véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng dimV mi ;  i 1, , k Nói cách khác dimVm i i i 10/07/2017 55 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 2: Với mỗi giá trị riêng i tìm một cơ sở của không gian riêng Vi Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng Các véc tơ riêng v x11 e xnn e có xx1 , , n m1 mk P ()( 1  ) ( k  )Q ()  là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trong đó Q() là đa thức không có nghiệm thực x1 0  Nếu m  m n (khi bậc của Q() 2): không chéo hóa AI i  dimV d n r A  I 1 k i ii được xn 0  Nếu  thì chéo hóa được. là các giá m1 mk n 1, , k  Nếu di mi với i nào đó, 1 i k thì f không hoá chéo được trị riêng; tiếp tục bước 2  Nếu di mi, i:1 i k. Tiếp tục bước 3 10/07/2017 57 10/07/2017 58 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 3: Với mỗi giá trị riêng i ; i 1, , k ta đã chọn được Đa thức đặc trưng của A m véc tơ riêng độc lập tuyến tính i 2  1 0 3  3  3  Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1 mk n véc P ( ) 9 4  6 9 4  6 tơ riêng độc lập, đó là cơ sở B’ cần tìm 8 0 3  8 0 3 Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’ 1 0 0  53 (3  ) 9 5  3 (3  ) Ví dụ 5.21 85 2 1 0 8 8 5  Chéo hóa ma trận A 9 4 6 2 (3  ) (  25) 24 (  1)(  1)(3  ) 8 0 3 Do đó A có các giá trị riêng 1 1,  2 1,  3 3 10/07/2017 59 10/07/2017 60 10
11. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ hệ phương trình phương trình 3 1 0 x 0 1 1 0 x 0 9 5 6 y 0 9 3 6y 0 8 0 2 z 0 8 0 4 z 0 Ta có Ta có 3 1 0 3 1 0 3 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 9 5 6  0 0 0 0 0 0 9 3 6  9 3 6 0 0 0 8 0 2 8 0 2 4 0 1 8 0 4 2 0 1 2 0 1 Vậy hệ phương 3x y 0 y 3 x v x,3x, 4x x(1,3, 4) Vậy hệ phương x y 0 x y v x, x, 2x x(1,1, 2) trình trên tương trình trên tương chọn e' (1,1, 2) đương với hệ 4x z 0 z 4 x chọn e'1 (1,3, 4) đương với hệ 2x z 0 z 2 x 2 10/07/2017 61 10/07/2017 62 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng  3 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng phương trình B ' e',','1 e 2 e 3  1 1 0 x 0 9 1 6 y 0 8 0 6 z 0 1 1 3 Ta có Vậy hệ phương trình trên Ma trận chuyển cơ sở T 3 1 3 1 1 0 1 1 0 tương đương với hệ 424 9 1 6  0 0 0 xy xy 0 8 0 6 4 0 3 4 1 0 0 4xz 3 0 zx 1 3 Ma trận chéo T AT 0 1 0 4 x v x, x , x (3, 3, 4) chọn e'3 (3, 3, 4) 0 0 3 33 10/07/2017 63 10/07/2017 64 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.22 Xét tự đồng cấu f :3333 xác định bởi Giá trị riêng  5 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình f( x , y , z ) 3 x 2 y , 2 x 3 y , z 2 2 0 x 0 Ma trận chính tắc 3 2 0 2 2 0 y 0 A 2 3 0 0 0 4 z 0 Đa thức đặc trưng 0 0 1 3  2 0 1 2 0 Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ P ( ) 2 3  0 1  3  0 x y 0 x y 0 0 1  0 0 1 zz 0 0 1  2 0 2 0 5  0 (5  )(  1) v y, y,0 y( 1,1,0) chọn e'1 ( 1,1,0) 0 0 1  10/07/2017 65 10/07/2017 66 11
12. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu f : PP22 có công thức xác định ảnh phương trình 22 faatat()()()()012 aaa 012 aaataaat 012 012 2 2 0 x 0 Vậy hệ phương trình Ma trận chính tắc Đa thức đặc trưng xy 0; 2 2 0y 0 trên tương đương với 1 1 1 1 1 1 phương trình z tuỳ ý 0 0 0 z 0 A 1 1 1 2 1 1  1 (1  )(  2) v x, x , z x (1,1,0) z (0,0,1) 1 1 1 1 1 1  chọn e' (1,1,0) e' (0,0,1) 2 3 Chọn cơ sở B '',',' e1 e 2 e 3 2  Véc tơ riêng p a0 a 1 t a 2 t 0 ứng với giá trị riêng 1 1 là f(') e 5', e f (') e e ', f (') e e ' nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất 1 1 2 2 3 3 500 2 1 1 a0 0 2 1 1 2 1 1 1 0 1 Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng Af'   0 1 0 1 2 1 a 0 B ' 1 1 2 1  3 3 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 a2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 10/07/2017 67 10/07/2017 68 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH a a 0 a a Vậy hệ phương trình trên tương đương với 0 2 0 2 Xét cơ sở B '',',' p1 p 2 p 3 a0 a 1 0 a 0 a 1 pV paatat 22 a(1 tt ) chọn p'1 t t2 Gồm các véc tơ riêng 1 0 0 0 0 1 2 2 2 p'1 t t pt'1 pt'13  Véc tơ riêng p a0 a 1 t a 2 t 0 ứng với giá trị riêng 2 2 là 1 2 nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất Thỏa mãn 1 1 1 a0 0 f(')' p11 p f( p '22 ) 2 p ' f( p '33 ) 2 p ' 1 1 1 a 0 1 Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng 1 1 1 a2 0 1 0 0 Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: a a a 0 0 1 2 22 Af' 0 2 0 pV paaatata ( 1 ta ) ( 1 t )   ' 2 1 2 1 2 1 2 B 2 0 0 2 chọn p'23 1 t , p ' 1 t 10/07/2017 69 10/07/2017 70 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.24 1 3 4 Đa thức đặc trưng có nghiệm 1 1 (kép) và 2 3 Xét ma trận A 4 7 8 Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v (x,y,z) là nghiệm của hệ 6 7 7 phương trình Đa thức đặc trưng 2 3 4 x 0 2 3 4 2 3 4 2 0 2 1  3 4 1  3 4 5  3 4 4 6 8y 0 4 6 8  0 0 0  0 0 0 P ()47  8221   0(1)0  10 6 7 8 z 0 6 7 8 0 2 4 0 1 2 6 7 7  6 7 7  8 7 7  yz 2 1  3 4 1 3 4 hệ có nghiệm v z,2 z , z z (1,2,1) (1)0  1 0 (1)0  1 0 (3)(1)   2 xz 1  7 7  0 4 3  Không gian riêng V z(1,2,1) z  , dim V 1 2 11  Đa thức đặc trưng có nghiệm 1 1 (kép) và 2 3 Vì vậy ma trận không chéo hoá được BÀI TẬP 10/07/2017 71 10/07/2017 72 12