Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 6: Không gian vecto euclide, dạng toàn phương - Hoàng Phi Dũng

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 6: Không gian vecto euclide, dạng toàn phương - Hoàng Phi Dũng

1. CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực Ánh xạ Q : V R xác định bởi công thức sau được gọi là một tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm dạng toàn phương của không gian véc tơ V chiều n. riêng tuyến tính cấp 2, khảo sát cực trị của hàm nhiều biến B {e1, , en} là một cơ sở của V : v V; v x11 e xnn e n Q() v  aij x i x j ij,1 Như vậy dạng toàn phương có biểu thức tọa độ là một đa thức đẳng cấp bậc 2 10/07/2017 1 10/07/2017 2 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 5.2.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng Dạng toàn phương: Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B 22 Q( v ) 2 x1 4 x 1 x 2 7 x 2 Qv() Qxyz (,,)2 x2 4 y 2 3 z 2 2 xy 5 yz ký hiệu A [Q]B và xác định như sau A a, a a Dạng cực của Q ijnn ij ji Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng Dạng cực của Q được xác định bởi công thức Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở B được 1 (,)()()()u v Q u v Q u Q v viết dưới dạng ma trận 2 t Q() v  vBBB Q  v 10/07/2017 3 10/07/2017 4 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 v ( x , x ), Q ( v ) 2 x22 4 x x 7 x 2 2 2 1 2 1 1 2 2 Qxxx(123 , , ) x 1 2 xxx 122 4 xx 13 4 x 3 6 xx 23 Dạng cực tương ứng Dạng cực tương ứng uxxv (,),12 (,);(,)2 yy 12 uv xy 11122122 2 xy 2 xy 7 xy 22 x ( x , x , x ), y ( y , y , y ) Có ma trận trong cơ sở chính tắc A 1 2 3 1 2 3 27 (xy , ) xy11 xy 12 xy 21 xy 22 2 xy 13 2 xy 31 4 xy 33 3 xy 23 3 xy 32 Ngoài cách trên, ta viết lại dạng toàn phương rồi đồng nhất hệ số Có ma trận trong cơ sở chính tắc 22 a11 a 12 x 1 2x 4 x x 7 x x x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 a a x 21 22 2 A 1 1 3 22 a11 x 1 2 a 12 x 1 x 2 a 22 x 2 2 3 4 10/07/2017 5 10/07/2017 6 1
2. CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phƣơng Trường hợp 1: Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trên Q trong cơ sở nào Giả sử có aii 0, chẳng hạn a11 0, ta có thể sắp xếp lại đó của V có dạng nn 2 a1i Q( x ) a11 xx1 2 1 xii aij x x j 2 2 2 a Q( x ) a11 x 1 a 22 x 2 ann x n ii 2,11 j 2 22 n n n được gọi là biểu thức tọa độ có dạng chính tắc của Q aa11ii a11 x1 xi aij x i x j a 11 x i aa   a. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Lagrange i 2 11 i, j 2 i 2 11 2 nna Giả sử trong cơ sở B {e1, , en} của không gian véc tơ V 1i aa11 x1 xxi 'ij i x j a dạng toàn phương Q có biểu thức tọa độ ij 2 11 i,2 nn n a1i n Q(),; x a x x a a x x e y1 x1 xi ij i j ij ji i i Đặt  thì 2 i, j 1 i 1 i 2 a11 Q()' x a11 y 1  aij y i y j Ta thực hiện các phép đổi tọa độ như sau ij,2 ynj x j ; j 2, , 10/07/2017 7 10/07/2017 8 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trường hợp 2: Tiếp tục quá trình trên cuối cùng nhận được Nếu mọi aii 0 và có aij 0 chẳng hạn a12 0  x1 a 11 a 1n z 1 thỏa mãn      Đặt x1 y 1 y 2 2 2 2 Q( v ) 1 z 1  2 z 2 nn z x2 y 1 y 2 xn a n1  a nn z n xy ; jn 3, , jj Xét hệ véc tơ có tọa độ là các cột của ma trận trên nn e' ( a , , a ), thì 1 11n 1 , e'n ( a1 n , , a nn ) Q()' x  aij x i x j a ij y i y j có aa'011 12 i, j 1 i , j 1 vVvxe :'' 1 1  xezen n 1 1 ze n n vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1 2 2 2 n Q( v ) 1 z 1  2 z 2 nn z Tiếp tục quá trình này với biểu thức a' y y  ij i j Nói cách khác {e’1, , e’n} là cơ sở cần tìm để biểu thức tọa độ ij,2 của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc 10/07/2017 9 10/07/2017 10 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 b. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Jacobi 2 2 2 xxxxQxx (,,);()123 1 4 x 23 x 4 xx 1213 2 xx 2 xx 23 Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả 2 2 2 Q( x ) x1 2 x 1 (2 x 2 x 3 ) 4 x 2 x 3 2 x 2 x 3 thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng  (x 2 x x )2 (2 x x ) 2 4 x 2 x 2 2 x x 1 2 3 2 3 2 3 2 3 có ma trận trong cơ sở B {e1, , en} (x 2 x x )2 2 x x 2 2 2 1 2 3 2 3 z1 22 z 2 z 3 A aij: a ij  ( e i , e j ); i , j 1, , n z1 x 1 2 x 2 x 3 xz11 1 3 1 x z z xz 0 1 1 Giả sử các định thức con chính của A đều khác không 2 2 3 22 x z z xz 0 1 1 3 2 3 33 aa11 1n aa11 12 e'1 (1,0,0) x (,,)''' x1 x 2 x 3 z 1 e 1 z 2 e 2 z 3 e 3 D1 a 11 0, D 2 0, , Dn    0 Cơ sở mới aa e'2 ( 3,1,1) 21 22 2 2 2 aan1 nn Q( x ) z1 2 z 2 2 z 3 e'3 ( 1,1, 1) 10/07/2017 11 10/07/2017 12 2
3. CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Khi đó với mỗi j 1, 2, , n; hệ phương trình Ta sẽ chứng minh hệ véc tơ B’ {f1, , fn} là một cơ sở của V mà biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc a11 x 1 a 12 x 2 a 1 jj x 0 , , nên hệ độc lập tuyến tính a21 x 1 a 22 x 2 a 2 j x j 0 det B{f1 fn} 11 22 nn 0 B ’ (6.20) vì vậy là một cơ sở của V a x a x a x 1 Ta có j1 1jj 2 2 j j (fj , e i ) a i1 1 j a i 2 2 j a ij jj 0;  i 1, , j 1 là hệ Cramer do đó có duy nhất nghiệm, ký hiệu 12j, j , , jj (fj , e j ) a j1 1 j a j 2 2 j a jj jj 1 Xét hệ véc tơ fe1 11 1 (fji , f ) 0 ;  i j D f2 12 e 1 22 e 2 (f , f )  ( f , e e )  ( f , e ) j 1 j j j11 j jj j jj j j jj jj 0 ; jn 1, , Dj Mặt khác dạng song tuyến tính  đối xứng nên (f ,f ) 0 với mọi j i fn 1 n e 1 2 n e 2 nn e n i j 10/07/2017 13 10/07/2017 14 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 3 Vậy 0 nÕu ij Ví dụ 6.9 Cho dạng toàn phương Q của R có biểu thức tọa độ trong 2 2 2 (,)ff Dj 1 với i, j 1, ,n cơ sở chính tắc Qvx ( ) 4 x x 4 xx 2 xx 2 xx ij nÕu ij 1 2 3 1 2 1 3 2 3 D j Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính Gọi A’ là ma trận của Q trong cơ sở B’ 1 2 1 T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì 12 A 2 4 1 DDDA1 1, 2 8, 3 9 11 12 1n 24 11 1 1 1 22 2n t T ;'(,) T AT A  ff  1  ij  j 1 ta có 1 11 D nn 1 xx12 2 0 nn  j 2 : Hệ phương trình (7.20) có dạng 24x x 1 Biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B ’ có dạng chính tắc 11 12 Có nghiệm 1 22D1 Dn 1 2 xx12 , v y1 f1 ynnfn Q ( v ) y12 y y 48 DD1 2 Dn 10/07/2017 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG x1 20 x 2 x 3 Ví dụ 6.10 Cho dạng toàn phương Q của P2 có biểu thức tọa độ  j 3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng trong cơ sở chính tắc 24x1 xx 2 3 0 2 1 8 vaatatQva 2; ( ) 2 2 aa 2 a 2 4 aa 4 a 2 2 aa Có nghiệm x ,, x x xx1 x 2 3 1 012 0 011 022 12 19 2 3 3 9 Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính fe (1,0,0) Chọn cơ sở 11 1 1 2 f 1/4 e 1/8 e 1/4, 1/8,0 11 2 1 2 A 1 2 1 DDDA1 1, 2 1, 3 9 f3 29 e 1 13 e 2 89 e 3 (29,13,89) 12 2 1 4 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng  j 1 ta có v (,,) xxx xe xe xe yf yf yf 123 11 22 33 11 22 33 x x 0 1DD 1 8  j 2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng 12 Q() v y2 12 y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 1 2 3 1 2 3 xx1 212 DDD1 2 3 89 Có nghiệm xx12 1 10/07/2017 17 10/07/2017 18 3
4. CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG x1 x 2 20 x 3 Nhận xét  j 3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng x1 20 x 2 x 3 Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc theo phương 5 1 1 2x x 4 x 1 pháp Jacobi khi mọi định thức con góc bên trái Dk 0,  k 1, 2, Có nghiệm x1 ,, x 2 x 3 1 2 3 9 3 9 Vì vậy có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange 5 1 1 2 nhưng chưa chắc có dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi Chọn cơ sở f 1 ft 1 f t t 1 2 3 9 3 9 Chẳng hạn dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng 2 2 2 xxxxQxx (,,);()123 1 4 x 23 x 4 xx 1213 2 xx 2 xx 23 22 5 1 1 không sử dụng phương pháp Jacobi được vì D2 0 vaatatbb 0 1 2 0 1(1 tb ) 2 tt 9 3 9 Cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc 112DD12 2 2 2 2 2 với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số Q() v b0 b 1 b 2 b 0 b 1 b 2 âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính DDD1 2 3 9 10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG 5.2.4 Luật quán tính Định lý (Sylvester - Jacobi) Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong biểu thức tọa độ Giả sử A [aij] [Q]B; A’ [a’ij] [Q]B’ là hai ma trận của Q dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến trong hai cơ sở B {e , , e }, B’ {e’ , , e’ } của V 1 n 1 n của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở) B Tt ij là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’ B ' Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dƣơng và số các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn Ta có A’ T tAT Do đó r (A’) r (T tAT ) r (A) phương t 1 1 Mặt khác A (T ) A’T Do đó r (A) r (A’) Giả sử (p,q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì p q r (hạng Do đó ta có thể định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng của Q) của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó 10/07/2017 21 10/07/2017 22 CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG  Trường hợp r n: Q được gọi là không suy biến Ví dụ 6.11 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong 2 2 2  Trường hợp p n: Q được gọi là xác định dương cơ sở chính tắc Qvx ( ) 1 4 x 2 x 3 4 xx 1 2 2 xx 1 3 2 xx 2 3  Trường hợp q n: Q được gọi là xác định âm  Phương pháp Lagrange 2 2 2 Q( v ) x1 2 x 1 ( 2 x 2 x 3 ) 4 x 2 x 3 2 x 2 x 3 Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v) 0, với mọi v 0 2 2 239 2 2 (2xxx123 )86 xxxxxx 223123 (2 )2(2 xx 23 ) x 3 Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v) 0, với mọi v 0 42  Phương pháp Jacobi Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương Q thì 1 2 1 12 DDDA 1, 8, 9 A 2 4 1 Q xác định dương khi và chỉ khi  xác định dương 1 2 24 3 1 1 1 Q xác định âm khi và chỉ khi  xác định âm 12DD12 2 2 2 1 2 8 2 Q không suy biến khi và chỉ khi  xác định Q() v y1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 DDD1 2 3 89 10/07/2017 23 10/07/2017 24 4
5. CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định lý (Sylvester) Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó (i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương (ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm a11 a 12 a 1n a a a A 21 22 2n     an12 a n a nn 10/07/2017 25 5