Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 4: Đạo hàm – vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

Nội dung text: Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 4: Đạo hàm – vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

1. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0 (a,b). Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim x x0 x x0 Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0 y y' lim x 0 x 87
2. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm một phía: f (x0 ) - Đạo hàm bên phải: f '(x0 ) lim x 0 x f (x0 ) - Đạo hàm bên trái: f '(x0 ) lim x 0 x + - Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0 ) = f’(x0 ) Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0. Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 88
3. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm trên khoảng, đoạn: - f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Ý nghĩa của đạo hàm: • Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị 89
4. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u ' u u'v v'u • (v 0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số) v v2 Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Đạo hàm của hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90
5. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì: 1 ( f 1)' y ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 91
6. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 Đạo hàm (c)’ = 0 (log a x)' -1 x ln a các hàm số (x )’ = x 1 x x (ln x)' sơ cấp cơ (a )’ = a lna x x x 1 bản: (e )’ = e (arcsin x)' (sinx)’ = cosx 1 x2 1 (cosx)’ = -sinx (arccos x)' 1 1 x2 (tgx )' 2 1 cos x (arctgx )' 1 1 x2 (cot gx)' 1 sin 2 x (arc cot gx)' 1 x2 Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) 92
7. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d 2 y d 2 f , dx2 dx2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). d n y d n f , dxn dxn 93
8. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: 1. y = ex 2. y = ax 3. y = lnx 4. y = x Một vài công thức: y sin x y(n) sin( x n ) 2 y cos x y(n) cos( x n ) 2 94
9. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (n) k (n k ) (k ) (0) (0) (uv)  Cn u .v trong đó u = u, v = v k 0 95
10. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x0 nếu tồn tại A sao cho  f = A. x + 0 (x). Biểu thức df = A. x được gọi là vi phân của f tại x0. Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d 2 v v 96
11. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi | x| gần 0 ta có: f(x+ x) – f(x) f’(x) x hay f(x+ x) f(x) + f’(x) x Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 97
12. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (b) f (a) f '(c) b a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 98
13. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (b) f (a) f '(c) g(b) g(a) g'(c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 99
14. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f '(x ) f "(x ) f (x) f (x ) 0 (x x ) 0 (x x )2 0 1! 0 2! 0 f (n)(x ) f (n 1)(c) 0 (x x )n (x x )n 1 n! 0 (n 1)! 0 Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange f (n 1)(c) R (x) (x x )n 1 n (n 1)! 0 100
15. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: n (k) f (x0) k Pn(x)  (x x0) k 0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f '(0) f "(0) f (n)(0) f (n 1)(c) f (x) f (0) x x2 xn xn 1 1! 2! n! (n 1)! 101
16. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b) f (x) f '(x) lim f (x) lim g(x) 0 lim lim L x a x a x a g(x) x a g'(x) Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f (x) lim g(x) 0 lim f (x) lim g(x) x x x a x a lim f (x) lim g(x) x x • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 102
17. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x sin x tgx x arctgx lim lim lim 2 x 0 x3 x 0 x sin x x 1 x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng / ) ln x xn ln x lim lim lim n x x 0 cot gx x x x e 103
18. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0. , - : Chuyển chúng về dạng 0/0, / . Ví dụ: 1 lim x5 ln x lim (4 x2 )tg ( x / 4) lim ( tgx ) x 0 x 2 x / 2 cos x 3. Dạng vô định: 00, 1 , 0: Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0) Ví dụ: 2 1 2 lim x x lim x1 x lim (cot gx)ln x x 0 x 1 x 0 104
19. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) f(x0) (f(x) f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a,b) thì f giảm. 105
20. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 106
21. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. 3 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y (x 1). x2 107
22. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc 1 tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x). 3. Lập bảng biến thiên. 4. Suy ra điểm cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y (x 1). 3 x2 108
23. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Quy tắc 2 tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. 1. Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm nghiệm f’(x)=0, xi. 3. Tính f’’(x) và f’’(xi) 4. Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x) 109
24. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định trên D: • M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M. • M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = m. 110
25. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]: 1. Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b) 2. fmax (fmin) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị tìm được. 3 2 Ví dụ: tìm fmax ,fmin của f(x) = x – 3x +1 trên [-1, 1] 111
26. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí 112
27. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu: TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC • Hàm lợi nhuận : = TR - TC Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày Ví dụ: Một quán bún bình dân, điện nước hãy tính mỗi ngày bán bao Bún 300đ/tô nhiêu tô thì có lời với giá bán Gia vị 200đ/tô 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nhân viên 500đ/tô 113
28. MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn thêm một đơn vị. Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: Q 5 L 114
29. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 115
30. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng hay giá tăng thêm 1 đơn vị. • Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 116
31. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. 117
32. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Hệ số co giãn: (Elasticity) • Lượng thay đổi tuyệt đối: x • Lượng thay đổi tương đối: x x • Hệ số co dãn: Đo lường sự thay đổi tương đối của y phụ thuộc vào sự thay đổi tương đối của x. y y y x y x x  yx .  yx lim . y'(x) x x x y x 0 x y y • Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2. Tìm hệ số co dãn tại điểm P = 3. 118
33. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: = TR – TC = Px – TC(x) d d(TR TC) 0 0 dx dx d 2 d 2(TR TC) 0 0 dx2 dx2 119
34. MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 120