Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể (Phần 3) - Phạm Đỗ Chung

Nội dung text: Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 2: Dao động của mạng tinh thể (Phần 3) - Phạm Đỗ Chung

1. VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ môn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020
2. Chương 2 • Dao động của mạng tinh thể 1. Dao động của mạng 3 chiều 2. Dao động của mạng một chiều một loại nguyên tử 3. Dao động của mạng một chiều hai loại nguyên tử 4. Lượng tử dao động: Phonon 5. Nhiệt dung của vật rắn • Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển • Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Nhiệt dung theo lí thuyết Debye 6. Sự giãn nở vì nhiệt PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 2
3. 5. Nhiệt dung của vật rắn • Nhiệt dung là đại lượng vật lí đặc trưng cho sự thay đổi năng lượng của vật rắn theo nhiệt độ. • Sự thay đổi năng lượng là sự thay đổi động năng của các nguyên tử tại nút mạng. • Nhiệt dung của vật rắn có mối liên hệ chặt chẽ với dao động mạng. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 3
4. Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển 1. Tinh thể là hệ các nguyên tử, mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do. 2. Các nguyên tử ở nút mạng, luôn luôn dao động nhiệt. 3. Ở nhiệt độ đủ cao, coi như các nguyên tử dao động độc lập nhau. 휀ҧ = kB là hằng số Boltzmann T là nhiệt độ tuyệt đối PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 4
5. Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển Nội năng của tinh thể có N nguyên tử là: = 3 Nhiệt dung của vật rắn là: C = = 3 T Nếu xét 1 mol vật rắn, trong đó chứa NA nguyên tử thì nhiệt dung của nó là: C = 3 = 3푅 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 5
6. Nhiệt dung theo lí thuyết cổ điển • Nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc nhiệt độ và như nhau với mọi chất (định luật Dulong-Petit). • Ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung cổ điển không phù hợp với thực nghiệm: T→0 thì nhiệt dung thực nghiệm tiến đến không (định lí Nernst) Cần có một lí thuyết mới để xác định nhiệt dung của vật rắn phù hợp hơn với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ thấp. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 6
7. Sửa đổi mô hình cổ điển Năng lượng của dao động của mạng tinh thể 1 2 3 4 휔2 휔1 휔4 휔3 n 푛 휔푛 E = ෍ 푖 휔 E = ෍ 휔푖 1 휔푖 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 7
8. Sửa đổi mô hình cổ điển Tổng năng lượng của N nguyên tử trong tinh thể Tổng năng lượng của tất cả các loại phonon 푛 휔푛 E = ෍ 푖 휔 E = ෍ 휔푖 1 휔푖 Trong mạng tinh thể các dao động mạng có tần số 휔 khác nhau là độc lập nhau (không tương tác) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 8
9. Sửa đổi mô hình cổ điển Yêu cầu phù hợp với các định luật cơ bản của vật lí, phù hợp với thực nghiệm và không mâu thuẫn với cổ điển: 1. Nhiệt dung ở 0K phải bằng không (C=0) 2. Nhiệt dung ở nhiệt độ thấp tỉ lệ với T3 3. Nhiệt dung ở nhiệt độ cao tiến tới giá trị cổ điển (phù hợp định luật Dulong-Petit) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 9
10. Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein 1. Các nguyên tử trong vật rắn dao động với cùng một tần số ωE (tần số Einstein)-tức là chỉ có một loại phonon trong tinh thể. 2. Năng lượng trung bình của dao động tử có tần số ωE là: 푈 = 푛 ℏ휔 Trong đó: 1 푛 = ℏ휔 푒 − 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 10
11. Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein Xét tinh thể có N nguyên tử, tổng năng lượng của tinh thể là tổng năng lượng của 3N dao động tử có giá trị là: 3 ℏ휔 푈 = ℏ휔 푒 − 1 Ta tính được nhiệt dung của mạng tinh thể là: ℏ휔 휕푈 2 푒 = = 3 ℏ휔 2 휕 ℏ휔 2 푒 − 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 11
12. Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Ở nhiệt độ cao nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein là: ℏ휔 2 푒 = 3 ℏ휔 2 = 3 ℏ휔 2 푒 − 1 Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein phù hợp với định luật Dulong-Petit PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 12
13. Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein • Ở nhiệt độ thấp nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein giảm theo nhiệt độ: ℏ휔 − ~푒 • Khi T = 0 K nhiệt dung giảm đến không. Nhiệt dung tính theo lí thuyết Einstein chưa phù hợp với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ thấp vì trong thực tế C ~ T3 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 13
14. Nhiệt dung theo lí thuyết Einstein Hạn chế của lí thuyết Einstein: 1. Cho rằng chỉ có một tần số dao động duy nhất trong tinh thể. Tức là chỉ xét đến các phonon quang có tần số thay đổi không đáng kể theo vectơ sóng K. 2. Bỏ qua vai trò của các phonon âm, trong khi ở khu vực nhiệt độ thấp phonon âm đóng vai trò chủ yếu. Cần có lí thuyết phù hợp hơn cho nhiệt dung trong vùng nhiệt độ thấp PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 14
15. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye • Năng lượng trung bình của dao động có tần số ωs là: ℏ휔 퐾 휖 (퐾) = ℏ휔 퐾 푒 − 1 • Năng lượng trung bình của các dao động trong tinh thể là: ℏ휔 퐾 푈 = ෍ ෍ 휖 (퐾) = ෍ ℏ휔 퐾 퐾 퐾, 푒 − 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 15
16. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Tinh thể có chứa N nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của K. Do N rất lớn nên ta có thể thay tổng theo K bằng tích phân theo K như sau: 푈 = න 휖 퐾 퐾 퐾 퐾 D(K) là mật độ trạng thái theo K Do 휔 là hàm của K, ta có: ℏ휔 푈 = න 휖 휔 휔 휔 = න ℏ휔 휔 휔 휔 휔 푒 − 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 16
17. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái một chiều 푠+ = 푠 푖 퐾 푠+ = 푠푒 2 ∆퐾 = 퐿 Mật độ trạng thái trong không gian K là: 퐿 (퐾) = 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 Fig 4, p110, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th 17
18. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái một chiều 퐿 퐿 퐾 퐿 휔 휔 휔 = 2 퐾 = 휔 = 2 휔 휔/ 퐾 휔/ 퐾 là vận tốc nhóm trong tinh thể Hàm mật độ trạng thái một chiều trong gần đúng Debye: 퐿 휔 퐿 휔 휔 = ⟹ 휔 = 휔/ 퐾 휐 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 18
19. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Hàm mật độ trạng thái ba chiều Mật độ trạng thái trong không gian K là: 퐿 3 퐾 = = 2 8 3 Số mode dao động trong hình cầu có bán kính K là: 퐿 3 4 = 퐾3 2 3 Mật độ trạng thái theo tần số là: 퐾2 퐾 휔 = = 휔 2 2 휔 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 19
20. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye • Trong gần đúng Debye: 퐾2 퐾 휔2 휔 = = 2 2 휔 2 2휐3 • Nếu tinh thể có chưa N nguyên tử (N ô sơ cấp) thì số mode dao động cũng là N: 1/3 6 2 퐾 = 1/3 6 2 6 2휐3 휔 = 휐퐾 = 휐 휔 3 = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 20
21. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Biết qD ta sẽ tính được giá trị của tích phân Chú ý: Tích phân theo φ được kết quả là 2π, tích phân theo θ được kết quả là 2. 휔 ℏ휔 휔2 푈 = න 휔 ℏ휔 2 2휐3 0 푒 − 1 휔 3 ℏ 휔2 3 4 4 3 푈 = න 휔 = න 2 2휐3 ℏ휔 2 2휐3ℏ3 푒 − 1 0 푒 − 1 0 ℏ휔 ℏ휔 휃 = → = = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 21
22. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Nhiệt độ Debye: ℏ휐 휃 = (6 2 )1/3 3 3 푈 = 9 න 휃 푒 − 1 0 휕푈 3 4푒 = = 9 න 휕 휃 푒 − 1 2 0 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 22
23. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Ở nhiệt độ T rất nhỏ (T<< 휃) 3 12 4 T C NkB 5  Fig 10, p115, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Phù hợp tốt với định luật T3. Do trong vùng nhiệt độ này chỉ có dao động của nhánh âm học ứng với các bước sóng dài được kích thích. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 23
24. Nhiệt dung theo lí thuyết Debye Fig 7&8, p113, C. Kittel, Introduction to Solid state physics, 8th Với T>>θ nhiệt dung tiến tới giá trị cổ điển là 3NkB Với T rất nhỏ nhiệt dung tiến đến không PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 24
25. Einstein vs Debye • Lí thuyết Einstein và lí thuyết Debye đã giải thích khá tốt các kết quả mà thực nghiệm tìm ra. • Trong vùng nhiệt độ cao cả hai lí thuyết đều chỉ ra được là nhiệt dung tiến tới một giá trị không đổi và bằng nhiệt dung cổ điển. • Thiếu sót: Lí thuyết Einstein chỉ tính đến các phonon quang; lí thuyết Debye chỉ tính đến các phonon âm. Kết hợp giữa lí thuyết Einstien và Debye Xét đến đóng góp của cả hai loại dao động (âm học và quang học) vào nhiệt dung. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 25
26. 6. Sự giãn nở vì nhiệt • Thế năng phi điều hòa (với c, g, f>0) • Độ lệch trung bình khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử 푈( ) +∞ ׬−∞ 푒 dx ҧ = 푈( ) +∞ ׬−∞ 푒 dx PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 26
27. 6. Sự giãn nở vì nhiệt • Giả thiết U(x)<<kBT, ta sử dụng gần đúng: 1 훽 = • Khai triển tích phân ở tử số: • Khai triển tích phân ở mẫu số: 3 ҧ = 4 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2020 27