Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 4: Lý thuyết dải năng lượng (Phần 2) - Phạm Đỗ Chung

Nội dung text: Bài giảng Vật lí chất rắn - Chương 4: Lý thuyết dải năng lượng (Phần 2) - Phạm Đỗ Chung

1. VẬT LÍ CHẤT RẮN Phạm Đỗ Chung Bộ mơn Vật lí chất rắn – Điện tử Khoa Vật lí, ĐH Sư Phạm Hà Nội 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2019 Lớp Y20 – Sư phạm Vật lí
2. Chương 4 Lí thuyết dải năng lượng 1. Electron trong trường thế tuần hồn của tinh thể 2. Mơ hình electron liên kết yếu (định tính) 3. Mơ hình electron liên kết mạnh (định tính) 4. Kim loại, bán dẫn và điện mơi 5. Hàm Bloch 6. Mơ hình electron liên kết yếu (định lượng) 7. Mơ hình electron liên kết mạnh (định lượng) 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2019 2
3. Electron Mạng khơng gian Mạng tinh thể Gốc Các cấu trúc xếp chặt Gốc hình Các loại tinh cầu cứng thể (ion, ) Gốc tương tác lẫn nhau Gốc dao động Dải năng lượng PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 3
4. 5. Hàm Bloch Phương trình Schrưdinger qui định hàm sĩng (trạng thái) của electron 2 ⎡− " 2 ! ⎤ ! ! ⎢ ∇ + V(r)⎥ψ(r) = Eψ(r) ⎣ 2m ⎦ Nếu trường thế tuần hồn � �⃗ + � = � �⃗ , thì hàm riêng của phương trình sĩng là hàm Bloch: ⃗ � �⃗ = � �⃗ � ở đĩ: � �⃗ = � �⃗ + � (tuần hồn theo chu kỳ mạng tinh thể) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 4
5. 5. Hàm Bloch Chứng minh: định lí Bloch cho mạng 1 chiều (dài L=Na) với điều kiện hàm sĩng khơng suy biến: Thế tuần hồn (chu kỳ a): � � + �. � = � � Từ điều kiện tuần hồn tịnh tiến của hàm sĩng � x + � = �� x Áp dụng điều kiện biên tuần hồn � x + �� = � x = � � x C = �/; s =0, 1, , N-1 / � x = �(x)� PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 5
6. 5. Hàm Bloch Các tính chất của hàm Bloch • Là dạng chung của mọi electron trong tinh thể. • Là hệ quả trực tiếp của tính tuần hồn của tinh thể. Xác suất để tìm thấy electron trong tinh thể: ∗ ∗ � = � �⃗ � �⃗ = � �⃗ � �⃗ = � �⃗ Do � �⃗ là hàm tuần hồn nên kết quả này cho thấy electron khơng định xứ tại một nút mạng cụ thể mà nĩ thuộc về tồn bộ tinh thể. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 6
7. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Electron chuyển động trong trường thế tuần hồn chu kỳ a và biên độ nhỏ (� � + � = � � ) ⃗⃗ 1 ⃗⃗ � �⃗ = � � ; � = � � �⃗ dr � Do điều kiện biên tuần hồn nên ta cĩ thể giả sử rằng tinh thể đối xứng qua gốc và �� = �. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 7
8. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Xét hàm thế của tinh thể tại vị trí: x+a () � � + � = �� = �� � Từ điều kiện (� � + � = � � , ta cĩ: 2� � = 1 ⟹ �� = 2�� ⟹ � = � � như vậy G chính là vector mạng đảo. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 8
9. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Thay hàm thế � �⃗ vào phương trình ℋ� = ��: ℏ (− � + � �)� �⃗ = �� �⃗ 2� Hàm sĩng � �⃗ cĩ dạng: ⃗ � �⃗ = � � • Do điều kiện biên tuần hồn nên: � = 2π�/L (�, � , � là số nguyên dương hoặc âm) • Khơng phải lấy tổng theo mọi vector sĩng mà chuỗi Fourier chỉ chứa các vector sĩng dạng k+G với G là vector mạng đảo PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 9
10. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Thay � �⃗ vào phương trình Schrodinger ta cĩ: ℏ �� �⃗ + � � �(⃗)⃗ = � � �⃗ 2� ℏ� �⃗ − � � + � � = 0 2� Với mỗi giá trị của k ta cĩ phương trình trung tâm: (� − �)� + � � = 0 ℏ với � = PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 10
11. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Nghiệm của phương trình trung tâm: (� − �)� + � � = 0 • Để hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm khơng tầm thường thì định thức phải bằng 0 • Xét mạng 1 chiều cĩ chu kỳ a nên vector cơ sở của mạng đảo là g=2�/a • Giả thiết hàm thế chỉ cĩ 1 thành phần của chuỗi Fourier: U(x)=U-g= Ug=U • Tổng theo G cĩ thể là chuỗi vơ hạn nên định thức sẽ cĩ vơ số bậc Nghiệm của phương trình trung tâm ứng với mỗi k là tổ hợp tuyến tính của các sĩng phẳng cĩ vector sĩng dạng � ± �� PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 11
12. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Hàm sĩng của electron cĩ vector sĩng k: (⃗)⃗ � �⃗ = � � ⃗ � �⃗ = � �⃗ � ⃗⃗ với � �⃗ = � � ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ � �⃗ + � = � � = � � � ⃗ � �⃗ + � = � � � ⃗ Do � =0 nên hàm sĩng � �⃗ cĩ dạng hàm Bloch PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 12
13. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Các tính chất quan trọng của hàm sĩng cĩ dạng Bloch ⃗ � �⃗ + � = � �⃗ + � � ⃗ � �⃗ + � = � � �⃗ � = � � �⃗ • Khi tịnh tiến theo mạng tinh thể thì hàm sĩng chỉ thay đổi thừa số pha � • Khi thế năng trường tinh thể bằng 0 thì hàm sĩng của electron từ dạng Bloch trở về dạng sĩng phẳng • Xung lượng của electron trong tinh thể là �⃗ = ℏ� • Hàm sĩng ứng với vector sĩng k’=k+G là tương đương. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 13
14. 6. Mơ hình electron liên kết yếu Định thức: Từ định thức sẽ rút ra được phương trình bậc n của �, một cách tổng quát � sẽ cĩ n nghiệm ứng với một giá trị của k. Bộ nghiệm được ký hiệu � k tuần hồn với chu kỳ mạng đảo nên mỗi vùng năng lượng (��� ) cũng tuần hồn theo chu kỳ mạng đảo PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 14
15. 6. Mơ hình electron liên kết yếu PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 15
16. 6. Mơ hình electron liên kết yếu • Giả sử thế năng trường tinh thể là rất nhỏ, và electron cĩ vector sĩng k: ℏ� � = 2� • Tại vector sĩng k’=k+G, nằm ngồi vùng Brillouin thứ nhất, thoả mãn điều kiện: � − � >> � �⃗ ℏ(� + �) � � , � , � = 2� ℏ = (� + � )+(� + � )+(� + � ) 2� PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 16
17. 6. Mơ hình electron liên kết yếu ℏ � = (� + � )+(� + � )+(� + � ) 2� • Phổ năng lượng phụ thuộc vector sĩng k vẽ dọc theo phương [111] của mạng đảo PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 17
18. 6. Mơ hình electron liên kết yếu � • Để đơn giản xét trường hợp: � = � = = ta cĩ: � � = �/2 ; � = � − � = �/2 − � = �/2 • Như vậy ở biên vùng Brillouin hai thành phần của sĩng cĩ cĩ cùng năng lượng. Xét hàm sĩng ở k=G/2 ở gần đúng bậc 1 của hàm sĩng và gần đúng bậc 2 của năng lượng: (� − �)� + � � = 0 / / (� − �)� + � � = 0 / / � − � � = 0 � � − � ℏ 1 � = � ± U = � ± � 2� 2 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 18
19. 6. Mơ hình electron liên kết yếu • Tại biên vùng Brillouin xuất hiện khe năng lượng Eg=2U �/ � − � = = ±1 �/ � / / � � = � ± � • Khi k ở gần biên vùng Brillouin sao cho � − � ≤ � �⃗ • Khi đĩ hàm sĩng cĩ dạng � � = � � +� � PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 19
20. 6. Mơ hình electron liên kết yếu • Ta cĩ hệ phương trình (� − �)� + � � = 0 (� − �)� + � � = 0 � − � � = 0 � � − � 1 1 / � = � + � ± � + � + � 2 4 • Để biết dáng điệu của phổ năng lượng gần biên vùng Brillouin, ta viết lại phương trình năng lượng theo: � ≡ k − G/2 (độ lệch giữa vector sĩng k và biên vùng) PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 20
21. 6. Mơ hình electron liên kết yếu ℏ ℏ � ± = � ± + 1 ± với � = � PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 21
22. 6. Mơ hình electron liên kết yếu PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 22
23. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • Electron liên kết chặt chẽ với lõi nguyên tử, mặc dù vẫn chịu tác dụng của thế của trường tinh thể. Trong trường hợp này, trạng thái của electron gần với trạng thái trong nguyên tử hơn là trạng thái electron tự do. • Phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh phù hợp để nghiên cứu tính chất của electron lớp ngồi đã được điền đầy của nguyên tử. • Phù hợp để nghiên cứu tinh thể cĩ liên kết ion PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 23
24. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • Xét 1 electron trong nguyên tử tự do ℏ (− � + � (r⃗))� �⃗ = � � �⃗ 2� • Vnt(r) thế năng tương tác giữa electron và lõi nguyên tử với r là khoảng cách đến tâm nguyên tử. • � �⃗ hàm sĩng đã chuẩn hố của electron trong nguyên tử tự do • � là năng lượng của electron ở trạng thái lượng tử n PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 24
25. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • Thế năng V(r) của electron trong tinh thể là chồng chất của các thế năng Vnt(r) của nguyên tử. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 25
26. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • Electron ở gần hạt nhân thứ j (� ≈ ��) ít chịu ảnh hưởng của các nguyên tử khác. • Hàm sĩng của electron là tổ hợp tuyến tính của các hàm sĩng nguyên tử • Năng lượng của electron gần với năng lượng của electron trong nguyên tử tự do 1 �� �� � = � � � − � N � • Trong đĩ � � − � là hàm sĩng của electron trong nguyên tử tự do ở trạng thái n . PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 26
27. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • Electron nằm trong trường tuần hồn của tinh thể, nên hàm sĩng là hàm Bloch: �� �� � + � = � �� � • Thay hàm sĩng vào phương trình Schrodinger: 1 � � = ��(���) �∗ � − � �� � − � d� � � � �� • Đây là tích phân 3 tâm, để viết lại phương trình năng lượng đơn giản hơn, ta đặt � = �� + �; � = � − �� PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 27
28. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh 1 � � = ��� �∗ � + � � � � d� � � � � � � • Vì biểu thức trong dấu tổng bây giờ khơng cịn phụ thuộc R nên cĩ thể đưa ra ngồi. 1 1 = � � � �� � � = � �(�) � ∗ � � = � � + � �� � d� < � PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 28
29. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh • �(r) là hàm sĩng nguyên tử (định xứ mạnh quanh khu vực các nguyên tử). • �(r) và �(r+h) phủ nhau rất ít và sự phủ của chúng giảm nhanh khi khoảng cách h giữa hai nguyên tử tăng lên. • Chỉ xét các số hạng ứng với h=0 và h=h1 là vector nối nút đang xét với các nút lân cận gần nhất. ��� � � = � � + � �(��) �� PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 29
30. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh Mang một chiều • Phối vị 2 • Lưu ý: � � < � � � = � � + � � (� + � ) � � = � � − 2�cos�� �=|εn(a)| ; -1 ≤ cos � ≤ 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 30
31. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh Mạng tinh thể lập phương đơn giản • Phối vị 6, ta cĩ 6 vector h1 cĩ tọa độ: (±a,0,0), (0,±a,0), (0.0, ±a) a • Hàm sĩng của nguyên tử cĩ tính đối xứng cầu (khơng cĩ phương ưu tiên). • Lưu ý: � � < � � � = � � + � � (� + � +� + � + � + �) � � = � � − 2� cos�� + cos�� + cos�� �=|εn(a)| ; -1 ≤ cos � ≤ 1 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 31
32. 7. Mơ hình electron liên kết mạnh PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 32
33. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Năng lượng của dải được phép: � � = � � − 2� cos�� + cos�� + cos�� �=|εn(a)| ; -1 ≤ cos � ≤ 1 • Khi �� ≪ 1: cos� � = 1 − � � � � = � 0 + 6� � − � � a � PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 3
34. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Khối lượng hiệu dụng • Quy luật tán sắc gần tâm vùng Brillouin cĩ dạng parabol: ℏ � � = � 0 + 6� � + ∗ ∗ ℏ Với � = − 2a � � PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 4
35. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Tensor khối lượng hiệu dụng: ⎛ 1 ⎞ 1 d2E ⎜ * ⎟ = 2 ⎝ m ⎠αβ ! dkαdkβ • Trong trường hợp 3 chiều và mặt đẳng năng khơng đẳng hướng, ta cĩ: ⎛ ∂ 2 E ∂ 2 E ∂ 2 E ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂k1 ∂k1∂k 2 ∂k1∂k 3 ⎟ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ∂ 2 E ∂ 2 E ∂ 2 E ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ m* 2 k k k 2 k k ⎝ ⎠ ! ⎜ ∂ 2∂ 1 ∂ 2 ∂ 2∂ 3 ⎟ ⎜ ∂ 2 E ∂ 2 E ∂ 2 E ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ∂k 3∂k1 ∂k 3∂k 2 ∂k 3 ⎠ PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 5
36. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Mặt đẳng năng: • Xét vector sĩng ở biên vùng khi � � = �: �� � = −2� � sin�� �� • Mặt đẳng năng vuơng gĩc với biên vùng Brillouin • Ở các gĩc của vùng khối lượng hiệu dụng của electron ngược dấu với khối lượng hiệu dụng tại tâm. PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 6
37. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Mặt đẳng năng: Năng lượng E của electron trong tinh thể là một hàm phức tạp theo vectơ sĩng k. Trong vùng Brillouin, E(k) cĩ một số cực trị (VD: k=k0) 3 ! ! ∂E n E n (k) = E n (k 0 ) + ∑ (k α − k 0 ) + α=1 ∂k α 0 1 3 3 ∂ 2 E + ∑∑ (k α − k 0α )(kβ − k 0β ) + 2 1 1 ∂k ∂k α= β= α β 0 " " ! 2 3 3 1 E (k) E (k ) ⎛ ⎞ (k k )(k k ) n = n 0 + ∑∑⎜ * ⎟ α − 0α β − 0β 2 α=1 β=1 ⎝ m ⎠αβ,n PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 7
38. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Xét trong hệ tọa độ mà tenxơ nghịch đảo khối lượng hiệu dụng cĩ dạng chéo 2 3 " " ! 1 2 E (k) E (k ) ⎛ ⎞ (k k ) n = n 0 + ∑⎜ * ⎟ α − 0α 2 α=1 ⎝ m ⎠α,n 2 2 2 (k x − k 0x ) (k y − k 0y ) (k z − k 0z ) 2 + 2 + 2 = 1 a x a y a z PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 8
39. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Phương trình chuyển động của electron !! ! ikr ! ! ! ψ k (r) = e uk (r) ! ! ! ! ! uk (r + R) = uk (r) Vận tốc của electron dω v = dk 1 dE v = E ω = ! dk ! Trong trường hợp ba chiều: ! 1 1 ! v = grad ! E = ∇ ! E " k " k PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 9
40. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Phương trình chuyển động của electron • Khi cĩ trường ngồi, cơng δE mà điện trường thực hiện trên electron trong khoảng thời gian δt δE = −eξvδt dE δE = δk = !vδk ! dk dk dk ! eξ ! = −eξ F δk = − δt dt " = ! dt Trong từ trường khơng đổi (đủ nhỏ) ! ! dk ! ! dk e ! ! " = −ev ∧ B = − ∇ ! E ∧ B dt dt "2 k PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 10
41. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Phương trình chuyển động của lỗ trống, khi cĩ và khơng cĩ điện trường: j = −∑e.vi = 0 i j = −∑e.vi ≠ 0 i kh j =-evel. lẻ đơi =+evel. đáng lẽ cĩ mặt ở chỗ trống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 11
42. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Trạng thái trống nằm ở vị trí cao nhất trong tập hợp các electron cĩ khối lượng hiệu dụng âm. • Khi cĩ điện trường tác dụng thì cĩ dịng điện chạy. • Dịng điện này như được gây nên bởi một chuẩn hạt cĩ điện tích +e và cĩ vận tốc bằng vận tốc của electron đáng lẽ cĩ mặt ở chỗ trống. Thay cho trạng thái bị trống, ta đưa vào chuẩn hạt gọi là lỗ trống PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 12
43. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống • Lỗ trống cĩ điện tích dương, cĩ vận tốc: vh = vel. đáng lẽ cĩ mặt ở chỗ trống = -vel. lẻ đơi Chuẩn xung lượng của lỗ trống là chuẩn xung lượng tổng cộng của tồn bộ các electron trong dải hố trị: 1 !k = !k = !k vh = * !kh h ∑ i el. lẻ đơi m i h Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống là dương * * mh = −m > 0 PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 13
44. 8. Phương trình chuyển động của electron và lỗ trống Năng lượng của lỗ trống càng lớn khi càng đi xuống phía dưới theo trục năng lượng của electron. Ở đỉnh dải hố trị, lỗ trống cĩ năng lượng thấp nhất. * Cần phân biệt m và m*e (nĩi chung là khác nhau) * ! * me dk ! ! ! ! m " h = e(ξ + v ∧ B) = F h * dt h h m 1 1 v = grad E (k ) = ∇ E h ! k h h ! k h PHẠM Đỗ Chung-HNUE-2018 14