Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_4_cac_quy_luat_phan_phoi.ppt
Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
- Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản 1. Phân phối đều rời rạc: X x1 x2 xk P 1/k 1/k .1/k 2. Phân phối không – một A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1 P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(P) thì E(X) = P, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): k k n− k Định nghĩa 1.2: (n, p) ( = k) = Cn . p . q , k = 1, n Định lý1.2: (n, p) =( X) np , D( =) npq , Mod ==+ k0 ( n 1) p Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 1 @Copyright 2010
- 4. Phân phối siêu bội Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn lại), n không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số bi trắng lấy được. k n− k Giải: CCMNM. − ( =k) =n , k = 0, n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối siêu bội H(N,M,n) Định lý 1.3: Giả sử H(,,), N M n ( ) = np N− n M D() = npq, p = NN−1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 2 @Copyright 2010
- Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội 5. Phân phối Poisson P(a),a>0: ak Định nghĩa 1.4: (a) ( = k) = e−a. , k = 0,1,2 k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson) (0 x 12) = 0,936204(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm ) (6XX 12) = ( 0 12) − ( 0 5) Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch vụ công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 3 @Copyright 2010
- Ví dụ 1.2: Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện. Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó. Giải: Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy: 54 ( =4.) = e−5 4! Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 4 @Copyright 2010
- §2: Các quy luật phân phối liên tục 2 1. Phân phối chuẩn a, , 0 2 ( ) −−(xa) 1 2 Định nghĩa 2.1: (a, 2 ) f( x) = e 2 2 Định lý 2.1: X có phân phối ( a , 2 ) thì E(X) = a, D(X) = 2 Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc N(0,1) nếu: 1 2 (hàm mật độ Gauss). f( u) = e−u /2 2 Định lý 2.2: u 1 2 U có phân phối N(0,1) thì F u=0,5 + e−t /2 dt = 0,5 + U U ( ) ( ) 0 2 với ( U ) là tích phân Laplace (hàm lẻ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 5 @Copyright 2010
- Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có: (1;)(u1 U u 2) = ( u 2) − ( u 1 ) (2)( U ) = 2 ( ) . Xa− Định lý 2.4: Giả sử (aU, 2 ) = ( 0,1) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 6 @Copyright 2010
- Định lý 2.5: Giả sử ( a , 2 ) .Khi ấy ta có: −−aa (1)( ) = − (2)( −a ) = 2. Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn N(165, 5 2 ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn. 160− 165 − ( X 160) = −− ( ) 5 = −(1) +( + ) = − 0,34134 + 0,5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 7 @Copyright 2010
- Ví dụ 2.2: Cho U ( 0,1 ) hãy tính kỳ vọng của U m • Giải: + 1 2 Um = u m.0 e− u /2 du = nếu m lẻ vì cận đối xứng, ( ) − 2 hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. + 1122 + (U2) = u 2 e−−uu /2 du = u. u e /2 du − 22 − 1122 dv= u e−−uu/2 v = − e /2 22 + 1122+ (U2) = − u.1 e−−uu /2 + e /2 du = 2 − − 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 8 @Copyright 2010
- Tương tự: + 1 2 =(Uu43/2) uedu . −u − 2 + 1122+ = −+==ueueduU3/22/22.3.3.3.1;−−uu( ) 22 − − =(UU =64) 55.3.1;( ) =−(Un2n ) (21 !! ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 9 @Copyright 2010
- Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì dừng .Tính xác suất để lấy được 3 trắng, 2 đen. 32 Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên: CC65. 4 P = 5 . C15 10 2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK) 3. Phân phối mũ e :(Xem SGK) 4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK) 5. Phân phối Student:(Xem SGK) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 10 @Copyright 2010
- §3. Các định lý giới hạn. 1. Định lý Chebyshev (Xem SGK) 2. Định lý Bernoulli (Xem SGK) 3. Các định lý giới hạn trung tâm. Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử 12 , , , n đôi một độc n lập và 3 EXEXkk− () k =1 lim3/2 = 0 n→ n D(k ) k =1 Khi ấy ta có: 11nn −E ( ) nnii UN= ii==11 (0,1) khi n đủ lớn (n 30) 1 n Dx( i ) n i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 11 @Copyright 2010
- Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có 2 E( Xii )= a , D ( X ) = , i = 1, n 1 n ( .X− a ). n n i UN =i=1 (0,1) khi n đủ lớn m (− pn ). Hệ quả 3.2: UN = n (0,1) khi n đủ lớn pp(1− ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 12 @Copyright 2010
- Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối: 12 , , n với phương sai: D(k ) =5( k = 1,2, n) Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973. a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01 b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005. Bài giải: n 1 2 = = i,E ( i ) a E( X) =→== a D( i ) 5 n i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 13 @Copyright 2010
- . aE)( −( ) 0,01) 0,9973 (−an) 0,01 n . U = 0,9973 5 0,01 n +0,5 0,9973 5 0,01 n 0,4973 = ( 2,785) 5 2 0,01n 2,875. 5 2,785 n 5 0,01 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 14 @Copyright 2010
- . b) . (UE = −( ) 0,005) 0,9973 0,005 n 2. 0,9973 5 0,005n 0,9973 = (3) 5 2 2 0,005n 3 5 3 n 5 0,005 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 15 @Copyright 2010
- $4.Các công thức tính gần đúng 1. Công thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức. M Định lý 4.1:Khi n<N nhiều thì H( N,,,, M n) = B( n p) p N Nghĩa là: k n− k CCMNM. − k k n− k ( X = k) =n Cn p q CN Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20 bi,tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng. 12 8 CC600. 400 12 12 8 ( XC =12) =20 20 .0,6 .0,4 C1000 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 16 @Copyright 2010
- 2. Nhị thức và Poisson: Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé B ( n , p ) ( a ) với a=np ak Nghĩa là: ( X = k) = Ck ,, p k q n−− k e a k = o n n k! Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm xác suất để khi vận chuyển: a) Có đúng sáu chai bị vỡ b) Có không quá 12 chai bị vỡ. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 17 @Copyright 2010
- . Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân phối B(n,p) n=8000, p = 0,001 a = np = 8 86 1)( = 6) =C6 . p 6 . q 8000−− 6 e 8 . = 0,1221338 8000 6! 2)( 0 12) 0,936204 Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có thể coi q là p mới ( tức là đổi p thành q,q thành p). Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 18 @Copyright 2010
- 3. Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn Định lý: Khi n đủ lớn,p không quá bé và cũng không quá lớn thì B(n,p) N(np,npq), nghĩa là: 1 k− np =kf . ( ) npq npq k−− np k np kk 21 − ( 12) npq npq Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 19 @Copyright 2010
- Ví dụ 4.3:Xác suất trúng đích của một viên đạn là 0,2. Tìm xác suất để khi bắn 400 viên thì có tất cả: a)70 viên trúng b)Từ 60 đến 100 viên trúng. Giải: Gọi X là là số đạn bắn trúng thì 70 70 330 1 70− 80 1 a)( = 70) = C400 . p . q = f = . f ( 1,25) 8 8 8 100−− 80 60 80 b)( 60 100) − = 2. ( 2,5) 88 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 4 20 @Copyright 2010