Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Các phân phối xác suất thông dụng - Nguyễn Ngọc Phụng

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Các phân phối xác suất thông dụng - Nguyễn Ngọc Phụng

1. Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM ÑT: 0989 969 057 E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com phungvl@yahoo.com 10-10-2010 Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
2. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ñònh nghóa (Normal Distribution) 2 Bnn X coù phaân phoái chuaån, ñöôïc kí hieäu X ∼ N(µ; σ ), coù haøm mñxs (x−µ)2 1 − f(x, µ, σ) = √ e 2σ2 σ 2π 1 X(Ω) = R 2 ModX = EX = µ 3 VarX = σ2 Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
3. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ñoà thò haøm f(x,4,1) Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
4. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ñònh nghóa (Standard Normal Distribution) Tröôøng hôïp µ = 0, σ = 1 ta ñöôïc X ∼ N(0; 1). Khi ñoù X coù phaân phoái 2 1 − x chuaån chuaån taéc vôùi haøm mñxs f(x) = √ e 2 (Haøm Gauss) 2π Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
5. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ñoà thò cuûa haøm Gauss Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
6. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
7. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
8. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson x Haøm ϕ(x) = R f(t)dt (Haøm Laplace). Ñoà thò cuûa haøm Laplace 0 Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
9. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
10. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
11. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
12. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
13. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson b R Neáu X ∼ N(0; 1): P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx = ϕ(b) − ϕ(a) a 2 a−µ X−µ b−µ Neáu X ∼ N(µ; σ ): P(a ≤ X ≤ b) = P( σ ≤ σ ≤ σ ) = b−µ a−µ ϕ( σ ) − ϕ( σ ) Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
14. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Moät soá löu yù: 1 f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 8 2 f(−x) = f(x), ∀x 3 ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 5 4 ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x 5 ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5 Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
15. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ví duï: Moät trang traïi troàng thöû nghieäm 2 gioáng taùo A vaø B cho thaáy taùo thu hoaïch cuûa 2 gioáng naøy coù ñöôøng kính toái ña laàn löôït tuaân theo phaân phoái chuaån N(8,35;48,65)(cm) vaø N(8,21;12,26)(cm). Taùo loaïi I laø taùo coù ñöôøng kính toái ña khoâng nhoû hôn laø 8cm. Haõy cho bieát gioáng taùo naøo cho tæ leä taùo loaïi I cao hôn? Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
16. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Quy taéc nσ 2 Cho bnn X ∼ N(µ; σ ) n=2: P(|X − µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 0, 9545% n=3: P(|X − µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 0, 9973% n=6: P(|X − µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 0, 99999999803% Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
17. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Phaân phoái nhò thöùc Ñònh nghóa (Binomial Distribution) Thöïc hieän n pheùp thöû ñoäc laäp, cho bieát bieán coá A xaûy ra ôû moãi pheùp thöû vôùi xaùc suaát khoâng ñoåi laø p. Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra trong soá n pheùp thöû. Khi ñoù X coù phaân phaân phoái nhò thöùc, kí hieäu X ∼ B(n; p). Tröôøng hôïp n=1, ta ñöôïc phaân phoái Bernoulli. Ta coù 1 X(Ω) = {0 n} 2 k k n−k P(X = k) = Cnp q vôùi k ∈ X{Ω}, q = 1 − p 3 EX = np 4 VarX = npq 5 ModX = n0 vôùi (n + 1)p − 1 ≤ n0 ≤ (n + 1)p Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
18. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Phaân phoái nhò thöùc Ví duïï: Moät ngöôøi moãi ngaøy ñi baùn haøng ôû 5 nôi khaùc nhau. Xaùc suaát baùn ñöôïc haøng ôû moãi nôi laø 0,3. a. Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù baùn ñöôïc haøng trong moät ngaøy. b. Trung bình moãi naêm ngöôøi ñoù ñi baùn haøng 300 ngaøy. Tìm soá ngaøy baùn ñöôïc haøng nhieàu khaû naêng nhaát trong moät naêm cuûa ngöôøi ñoù. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
19. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Phaân phoái Poisson Ñònh lyù (Poisson) Xeùt moät daõy bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp {Xn} : Xn ∼ B(n; p(n)), np(n) = λ. F Khi ñoù Xn → P(λ). Trong ñoù P(λ) laø phaân phoái Poisson vôùi thoâng soá λ. X ∼ P(λ) thoûa 1 X(Ω) = N k 2 −λ λ P(X = k) = e . k! 3 EX = λ 4 VarX = λ 5 ModX = n0 vôùi λ − 1 ≤ n0 ≤ λ Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn vaø p khaù nhoû sao cho np < 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ P(λ) vôùi λ = np Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
20. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân phoái Poisson Ví duïï: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm töï ñoäng vôùi khaû naêng saûn xuaát ra moät pheá phaåm ôû moãi laàn saûn xuaát laø 0, 1%. Cho maùy naøy saûn xuaát 1000 saûn phaåm. Tính xaùc suaát a. Coù ñuùng 2 pheá phaåm trong soá ñoù. b. Coù ít nhaát 5 pheá phaåm trong soá ñoù. Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
21. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Ñònh lyù (Moivre-Laplace) Xeùt moät daõy bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp {Xn} : Xn ∼ B(n; p). Khi ñoù F √ X → N(µ; σ2) vôùi µ = np, σ = npq Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn sao cho 2 np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ N(µ; σ ) 1 1 k−µ P(X = k) ≈ σ f( σ ) 2 k2−µ k1−µ P(k1 ≤ X < k2) ≈ ϕ( σ ) − ϕ( σ ) Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
22. Phaân phoái chuaån Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái nhò thöùc Phaân phoái Poisson Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ