Bài giảng Xác suất thống kê - Lê Xuân Lý

115 trang haiha333 08/01/2022 4510

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Lê Xuân Lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_thong_ke_le_xuan_ly.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Lê Xuân Lý

[SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất Lê Xuân Lý (1) Hà Nội, tháng 8 năm 2018 (1)Email:Lê Xuânlexuanly@gmail.com Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 1 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ 1 Có 2 loại phương tiện để sinh viên đi học: phương tiện cá nhân hoặc phương tiện công cộng Phương tiện cá nhân: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện công cộng: bus, taxi, xe ôm, xích lô, Có bao nhiêu cách sinh viên có thể đi học? (sv chỉ chọn một trong các loại trên, không đi bộ hoặc bồ chở). Có 3 cách đi bằng phương tiện cá nhân và 4 cách đi bằng phương tiện công cộng. Có 3 + 4 = 7 cách. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 3 / 68
Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ 2 Có 3 loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt hoặc bàn inox. Bàn gỗ: có 3 kiểu, Bàn sắt có 6 kiểu, Bàn inox có 4 kiểu, Có bao nhiêu cách mua 1 bàn ăn. Có 3 + 6 + 4 = 13 cách. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 4 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Chú ý 1.1 Một công việc có thể chia làm k trường hợp: trường hợp thứ nhất có n1 cách giải quyết, trường hợp thứ 2 có n2 cách giải quyết, trường hợp thứ k có nk cách giải quyết. Khi đó có n1 + n2 + + nk cách giải quyết công việc trên. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 5 / 68
Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ 3 Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân tại Hong Kong. Có 2 hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) và có 4 hãng hàng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines). Hỏi có bao nhiêu cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Để đi theo cách này ta chia làm 2 bước thực hiện: Bước 1: HN ⇒ HK: có 2 cách chọn, Bước 2: HK ⇒ LĐ: có 4 cách chọn, Số cách đi là: 2.4 = 8 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 6 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ 4 Một người có 5 cái áo,4 cái quần và 2 đôi giày. Hỏi người đó có bao nhiêu cách mặc đồ (gồm 1 áo, 1 quần và 1 đôi giày) Công việc chia làm 3 bước: Bước 1: chọn 1 áo: có 5 cách, Bước 2: chọn 1 quần: có 4 cách, Bước 3: chọn 1 đôi giày: có 2 cách, Số cách mặc đồ: 5.4.2 = 40 cách. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 7 / 68
Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Chú ý 1.2 Một công việc được chia làm k giai đoạn: giai đoạn thứ nhất có n1 cách giải quyết, giai đoạn thứ 2 có n2 cách giải quyết, giai đoạn thứ k có nk cách giải quyết. Khi đó có n1 × n2 × nk cách giải quyết công việc trên. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 8 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Ví dụ Có bao nhiêu cách đi từ A1 đến A3 Đi từ A1 đến A3 có 2 trường hợp: Đi trực tiếp từ A1 đến A3: có 2 cách Đi gián tiếp từ A1 đến A3 thông qua A2: có 3.2 = 6 Tổng số cách đi từ A1 đến A3: 2 + 6 = 8. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 9 / 68
Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Ví dụ Có 5 khóa được mắc như hình vẽ. Mỗi khóa có 2 trạng thái là đóng và mở. 1 Có bao nhiêu cách thực hiện với 5 khóa trên mạch AC. 2 Có bao nhiêu cách thực hiện với 5 khóa để AC thông mạch. 1 Mỗi khóa có 2 cách, nên số cách thực hiện với 5 khóa: 25 = 32. 2 AC thông mạch tương đương AB và BC thông mạch. +) AB thông mạch: tổng có 23 cách thực hiện với 3 khóa. Có 1 cách duy nhất là mạch không thông. Ab thông mạch: 23 − 1 = 7 cách. +) BC thông mạch: 22 − 1 = 3 cách. AC thông mạch: 7.3 = 21 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 10 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Câu hỏi trắc nghiệm Có 4 cửa hàng cạnh nhau. Có 4 khách đến, mỗi khách chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng để vào. 1 số trường hợp chọn cửa hàng là: A. 1 B. 4 C. 24 D. 256 Đáp án: 1D 2 Số trường hợp chọn cửa hàng sao cho mỗi cửa hàng có đúng 1 khách vào A. 1 B. 4 C. 24 D. 256 Đáp án: 2C Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 11 / 68
Giải tích kết hợp Giải tích kết hợp TỔNG KẾT Ta có một tập hợp gồm n phần tử, từ n phần tử này ta sẽ chọn ra k phần tử. Tuỳ vào điều kiện chọn các phần tử như thế nào (có thứ tự, có lặp) thì số cách chọn k phần tử cũng có sự khác nhau. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 12 / 68 Giải tích kết hợp Giải tích kết hợp Câu hỏi trắc nghiệm III. Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ. GV cần chọn 5 em. 1 Số cách chọn 5 em tùy ý A. 2520 B. 252 C. 60 D. 30240 Đáp án: 1B 2 Số cách chọn 5 em có ít nhất 1 nữ và 3 nam A. 105 B. 11025 C. 630 D. 210 Đáp án: 2D IV. Một bàn dài có 10 ghế và có 10 học sinh(có bạn An và Bình). 1 Số cách xếp 10 học sinh tùy ý vào bàn đó là: A. 14400 B. 3628800 C. 100 D. 125470 Đáp án: 1B 2 Số cách xếp 10 học sinh ngồi vào bàn đó để An và Bình ngồi cạnh nhau là: A. 362880 B. 80640 C. 725760 D. 40320 Đáp án: 2C Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 13 / 68
Sự kiện và các phép toán Phép thử và sự kiện Phép thử và sự kiện Định nghĩa 2.1 phép thử : là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó. Kết cục : là một kết quả mà ta không chia nhỏ hơn được. Không gian mẫu : tập gồm tất cả các kết cục có thể xảy ra. Ký hiệu: Ω Sự kiện : là một tập con của không gian mẫu. Đơn giản hơn: kết quả mà ta quan tâm là sự kiện. Sự kiện được ký hiệu bằng chữ in: A, B, C, Ví dụ 5 Khảo sát thời điểm ngủ dậy buổi sáng. Ngày hôm nay mình có ngủ dậy muộn không? Sáng nay bước ra khỏi nhà. Xét xem bước chân trái hay chân phải ra trước. Quan sát thời tiết ngày hôm nay. Ngày hôm nay có mưa hay không? Mua xổ số Vietlott. Hôm nay có trúng xổ số Vietlott không? Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 15 / 68 Sự kiện và các phép toán Phép thử và sự kiện Phép thử và sự kiện Như vậy sự kiện chỉ có thể xảy ra nếu ta thực hiện phép thử. Sự kiện sơ cấp : Là sự kiện không thể phân tích được nữa Sự kiện chắc chắn : Là sự kiện luôn xảy ra trong phép thử, ký hiệu là Ω Sự kiện không thể : Là sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu là ∅. Sự kiện ngẫu nhiên : Là sự kiện có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử ngẫu nhiên : Phép thử mà các kết quả của nó là các sự kiện ngẫu nhiên. Để thuận tiện, các sự kiện thường được ký hiệu bằng chữ in: A, B, C, . . . Ví dụ 6 Gieo một con xúc xắc, khi đó Ω= “Gieo được mặt có số chấm ≤ 6 và ≥ 1 ” là sự kiện chắc chắn; ∅= “Gieo được mặt 7 chấm” là sự kiện không thể; A = “Gieo được mặt chẵn” là sự kiện ngẫu nhiên. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 16 / 68
Sự kiện và các phép toán Phép thử và sự kiện Phép thử và sự kiện Ví dụ 7 Xét một gia đình có 2 con. Gọi: A: “gia đình có 1 trai và 1 gái” B: "gia đình có 2 con" C: "gia đình có 3 con" Sự kiện nào là sự kiện chắc chắn, sk không xảy ra, sự kiện ngẫu nhiên? Ví dụ 8 Hộp có 8 viên bi trong đó có 6 bi xanh và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi xem màu. Gọi: A: “lấy được 3 bi xanh” B: "lấy được 3 bi màu đỏ" C: "lấy được 3 bi" Sự kiện nào là sự kiện chắc chắn, sk không xảy ra, sự kiện ngẫu nhiên? Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 17 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ của các sự kiện Giả sử A và B là hai sự kiện trong cùng một phép thử. Quan hệ kéo theo Sự kiện A được gọi là kéo theo sự kiện B, ký hiệu A ⊂ B (hoặc A ⇒ B), nếu A xảy ra thì B xảy ra. Quan hệ tương đương Sự kiện A được gọi là tương đương với sự kiện B, ký hiệu A ⇔ B (hoặc A = B), nếu A ⇒ B và B ⇒ A. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 18 / 68
Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Ví dụ 9 Sinh viên mua một tờ vé số. Gọi: A: “sv có vé số trúng giải đặc biệt” B: "sv có vé số trúng giải" A ⇒ B hay B ⇒ A dùng biểu đồ Ven để minh họa Ví dụ 10 Tung một con xúc xắc 1 lần. Gọi: A: “xúc xắc ra mặt có số chấm chẵn” B: "xúc xắc ra mặt có số chấm 2 hoặc 4" C: "xúc xắc ra mặt có số chấm 2, 4, 6" D: "xúc xắc ra mặt có số chấm nhỏ hơn 4" A ⇒ B hay B ⇒ A A ⇒ C hay C ⇒ A A ⇒ D hay D ⇒ A Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 19 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Sự kiện tổng C = A + B: xảy ra khi có ít nhất một trong 2 sự kiện A và B xảy ra. Ví dụ 11 A:"sinh viên X thi qua môn a" B: "sinh viên X thi qua môn b" A + B: "Sinh viên thi qua ít nhất 1 trong 2 môn a, b" Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 20 / 68
Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Chú ý 2.1 A1 + A2 + ··· + An là sự kiện xảy ra khi có ít nhất một trong n sự kiện đó xảy ra Mọi sự kiện ngẫu nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số sự kiện sơ cấp nào đó. Sự kiện chắc chắn Ω còn được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp. Ví dụ 12 Gieo một con xúc xắc. Ta có 6 sự kiện sơ cấp Ai (i = 1, 6), trong đó Ai là sự kiện xuất hiện mặt i chấm i = 1, 2, , 6. A= “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta suy ra A = A2 + A4 + A6 B = “Xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 3”, ta suy ra B = A1 + A2 + A3. Khi đó C = A + B = A1 + A2 + A3 + A4 + A6. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 21 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Sự kiện tích Sự kiện C = A.B (hoặc AB): xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. H = A1.A2 An: là sự kiện xảy ra khi cả n sự kiện cùng xảy ra. Ví dụ 13 A:"sinh viên X thi qua môn a" B: "sinh viên X thi qua môn b" A.B: "Sinh viên thi qua cả 2 môn a, b" Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 22 / 68
Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Sự kiện đối lập Sự kiện đối lập với sự kiện A, ký hiệu là A, là sự kiện xảy ra khi A không xảy ra. Ví dụ 14 Gieo một con xúc xắc một lần, khi đó A = “Gieo được mặt chẵn” suy ra A= “Gieo được mặt lẻ” A = “Gieo được mặt 1 chấm” suy ra A= “Gieo không được mặt 1 chấm” Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 23 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Sự kiện hiệu C = A − B: là sự kiện xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Trường hợp hay sử dụng: A¯ = Ω − A A = Ω − A¯ Trường hợp tổng quát: A − B = A.B Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 24 / 68
Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Hai sự kiện xung khắc Hai sự kiện A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. A và B xung khắc ⇔ A.B = ∅. Ví dụ 15 Gieo một con xúc xắc một lần. A = “Gieo được mặt chẵn”, B = “Gieo được mặt 1 chấm”. Khi đó A.B = φ Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 25 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Quan hệ và phép toán của các sự kiện Các tính chất Giao hoán A + B = B + A A.B = B.A Kết hợp A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A.B.C = (A.B).C = A.(B.C) Phân phối của phép cộng và phép nhân A.(B + C) = A.B + A.C Đặc biệt A + A = A A.A = A A + Ω = Ω A.Ω = A A + ∅ = A A.∅ = ∅ Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 26 / 68
Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Trắc nghiệm I. Miền được tô màu ở hình dưới được biểu diễn bởi: A. (A.B¯).(A.B¯ ) B. (A + B¯)(A¯ + B) C. A.B¯ + A.B¯ D. cả 3 kết quả trên đều sai Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 27 / 68 Sự kiện và các phép toán Quan hệ và phép toán của các sự kiện Trắc nghiệm III. Có 3 sv A, B, C cùng thi môn XSTK. Gọi Ai: "có i sv thi qua môn XSTK", i = 0, 1, 2, 3 Gọi A, B, C lần lượt là sự kiện sinh viên A, B, C thi qua môn XSTK. 1 Sự kiện A2.B¯ là: A. sv B thi hỏng B. chỉ có sv B thi qua môn C. có 2 sv thi qua môn D. chỉ có sv B thi hỏng 2 Sự kiện A0.B¯ là: A. sv B thi hỏng B. sv B thi hỏng và sv A hoặc C thi qua môn C. có 2 sv thi qua môn D. sv A và C thi qua môn 3 Gọi H: "có đúng một sinh viên thi hỏng". Kết quả nào ĐÚNG A. A.B.C = H B. C = H C. A.B.C ⇒ H D. B.C ⇒ H Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 28 / 68
Các định nghĩa xác suất Xác suất của một sự kiện Xác suất của một sự kiện Định nghĩa 3.1 Xác suất của một sự kiện là một số nằm giữa 0 và 1, số này đo lường khả năng xuất hiện của sự kiện đó khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu xác suất của sự kiện A là P (A). Một số tính chất cơ bản 0 ≤ P (A) ≤ 1; P (Ω) = 1; P (∅) = 0; P (A) + P A = 1. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 30 / 68 Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa 3.2 Xét một phép thử có hữu hạn kết cục có thể xảy ra (có nΩ kết cục), đồng thời các kết cục này là đồng khả năng xuất hiện; trong đó có nA kết quả thuận lợi cho sự kiện A. Khi đó: n Số kết cục thuận lợi cho A P (A) = A = . (3.1) nΩ Số kết cục có thể xảy ra Ví dụ 16 Một người gọi điện thoại nhưng lại quên 2 chữ số cuối của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ là 2 chữ số đó khác nhau. Tìm xác suất để người đó chọn ngẫu nhiên 1 số để gọi thì trúng số cần gọi. Giải: • Gọi A: “Người đó chọn ngẫu nhiên 1 số gọi thì trúng số cần gọi”. n 1 • P (A) = A = . nΩ 90 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 31 / 68
Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo cổ điển Ví dụ 17 Từ bộ bài túlơkhơ 52 cây đã trộn kỹ rút ngẫu nhiên ra 2 cây. Tính xác suất xảy ra các sự kiện sau: 1 A: “2 cây rút ra đều là Át”; 2 B: “2 cây rút ra có 1 cây Át, 1 cây K”; 3 C: "2 cây rút ra có ít nhất 1 cây Át" Giải: 2 Số kết cục lấy 2 cây bài: nΩ = C52 = 1326. 2 nA C4 1 1 P (A) = = = . nΩ nΩ 221 1 1 nB C4 .C4 8 2 P (B) = = = . nΩ nΩ 663 3 Ta có C = "2 cây đều không phải là Át". 2 C48 188 33 P (C) = 1 − p(C) = 1 − 2 = 1 − = C52 221 221 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 32 / 68 Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo cổ điển Trắc nghiệm 1 Tung 2 lần liên tiếp một đồng xu (khả năng ra sấp và ngửa như nhau). Xác suất cả 2 lần đều xuất hiện mặt sấp là: A. 0 B. 1/4 C. 1/2 D. 1 2 Trong hộp có 10 viên bi cùng kích cỡ (6 trắng 4 đen). Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất cả 2 bi màu trắng là: A. 1/5 B. 1/3 C. 1/2 D. 1 3 Trong hộp có 10 viên bi cùng kích cỡ (6 trắng 4 đen). Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất có 1 bi trắng và 1 bi đen là: A. 1/45 B. 10/45 C. 24/45 D. 1 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 33 / 68
Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa 3.3 Giả sử tập hợp vô hạn các kết cục đồng khả năng của một phép thử có thể biểu thị bởi một miền hình học Ω có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích, . . . ) hữu hạn khác 0, còn tập các kết cục thuận lợi cho sự kiện A là một miền A. Khi đó xác suất của sự kiện A được xác định bởi: Độ đo của miền A |A| P (A) = = (3.2) Độ đo của miền Ω |Ω| Khái niệm đồng khả năng trên Ω có nghĩa là điểm gieo có thể rơi vào bất kỳ điểm nào của Ω và xác suất để nó rơi vào một miền con nào đó của Ω tỉ lệ với độ đo của miền ấy. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 34 / 68 Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Ví dụ 18 Đường dây điện thoại ngầm nối một tổng đài với một trạm dài 1km. Tính xác suất để dây đứt cách tổng đài không quá 100m. Giải Rõ ràng nếu dây đồng chất thì khả năng bị đứt tại một điểm bất kỳ trên dây là như nhau, nên tập hợp các kết quả có thể xảy ra có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng đài với trạm dài 1km. Còn sự kiện A := “Dây bị đứt cách tổng đài không quá 100m” được biểu thị bằng độ dài 100m. Khi đó ta có 100 P (A) = = 0.1. 1000 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 35 / 68
Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Do tính đồng khả năng là rất khó có được trong thực tế, nên cần có một cách khác để xác định xác suất của một sự kiện. Định nghĩa 3.4 Giả sử một phép thử có thể thực hiện lặp lại nhiều lần trong những điều kiện giống nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử trên có m lần xuất hiện sự kiện A, khi đó tỉ lệ m f (A) = được gọi là tần suất xuất hiện của sự kiện A trong n phép thử. n n Cho số phép thử tăng lên vô hạn: m P (A) = lim fn(A) = lim . n→∞ n→∞ n m Thực tế P (A) ≈ với n đủ lớn. n Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 36 / 68 Các định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Ví dụ 19 Để xác định xác suất của một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chết trong vòng 1 năm sắp tới, người ta theo dõi 100000 nam thanh niên 25 tuổi và thấy rằng có 138 người chết. Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ bằng: 138 = 0.00138. 100000 Chú ý 3.1 Định nghĩa này chỉ dùng được cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong các điều kiện giống nhau. Ngoài ra để xác định một cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành một số đủ lớn các phép thử, mà việc này đôi khi không thể thực hiện được do hạn chế về thời gian và kinh phí. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 37 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất: Nếu A và B là hai sự kiện bất kỳ thì ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). (4.3) Nếu A và B là hai sự kiện xung khắc thì P (A + B) = P (A) + P (B) . (4.4) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 39 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất tổng quát: Cho n sự kiện bất kỳ {Ai} , i = 1, n. Khi đó ta có n ! X X X X P Ai = P (Ai) − P (AiAj ) + P (AiAj Ak) − · · · + i=1 i i<j i<j<k ! n−1 Y (−1) P Ai . (4.5) i Trường hợp đặc biệt: Khi các sự kiện Ai, i = 1, n xung khắc từng đôi, tức là AiAj = ∅ ∀i 6= j thì ta có P (A1 + A2 + ··· + An) = P (A1) + P (A2) + ··· + P (An) . (4.6) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 40 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Ví dụ 20 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ lô hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 41 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Bài làm Gọi A: “không có phế phẩm trong sản phẩm” B: “có đúng 1 phế phẩm trong sản phẩm” C: “có không quá 1 phế phẩm trong sản phẩm” Dễ dàng thấy A và B là 2 sự kiện xung khắc và C = A + B. Ngoài ra 6 1 5 C8 2 C2 C8 8 P (A) = 6 = ; P (B) = 6 = . C10 15 C10 15 2 8 2 Do đó P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) = + = . 15 15 3 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 42 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Ví dụ 21 Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có: 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn trên. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 43 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất Bài làm Gọi A : “sinh viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn ngoại ngữ, tin học” N : “sinh viên đó giỏi ngoại ngữ” T : “sinh viên đó giỏi tin học” Dễ thấy A = T + N, do đó 30 40 20 50 P (A) = P (T + N) = P (T ) + P (N) − P (TN) = + − = = 0.5. 100 100 100 100 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 44 / 68
Một số công thức tính xác suất Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện Định nghĩa 4.1 Xác suất xảy ra sự kiện A với điều kiện sự kiện B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện B của sự kiện A. Ký hiệu là P (A|B). Ví dụ 22 Từ một bộ bài tú lơkhơ 52 cây đã trộn kỹ rút ngẫu nhiên ra một cây bài. Biết đó là cây đen, tính xác suất đó là cây át. Bài làm Gọi A "rút được cây át" và B “rút được cây đen”. Xác suất cần tính là P (A|B). 2 n n /n P (AB) P (A|B) = = AB = AB = . 26 nB nB /n P (B) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 45 / 68 Một số công thức tính xác suất Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện Công thức tính P (AB) P (A|B) = . (4.7) P (B) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 46 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B) . Định nghĩa 4.2 Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện kia. Ta có: ( P (A) = P (A|B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) = P (B|A). Hai sự kiện A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P (AB) = P (A).P (B). Chú ý 4.1 Nếu A và B độc lập thì các cặp sau cũng độc lập: A và B ; A và B ; A và B Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 47 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Tổng quát Cho n sự kiện A1,A2, ,An. Khi đó xác suất tích được tính như sau: P (A1A2 An) = P (A1) .P (A2|A1) .P (A3|A1A2) P (An|A1A2 An−1) . Định nghĩa 4.3 Các sự kiện A1,A2, ,An được gọi là độc lập (hay độc lập trong tổng thể) nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ k sự kiện (1 ≤ k ≤ n) không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của các sự kiện còn lại. Khi đó ta có: P (A1.A2 An) = P (A1).P (A2) P (An) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 48 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Ví dụ 23 Ba xạ thủ độc lập với nhau, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0.7; 0.8 và 0.9. Tính xác suất: 1 Có đúng 2 người bắn trúng; 2 Có ít nhất 1 người bắn trúng. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 49 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Giải Gọi Ai: "người thứ i bắn trúng bia" với i = 1, 2, 3. Theo bài ra ta có A1,A2,A3 xung khắc với nhau (từng đôi) và P (A1) = 0.7; P (A2) = 0.8; P (A3) = 0.9. 1 Gọi A: "Có đúng hai người bắn trúng", khi đó A = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3. Dùng tính xung khắc của ba số hạng trong tổng và tính độc lập của các sự kiện A1,A2,A3 ta có: P (A) = P A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 = P A1A2A3 + P A1A2A3 + P A1A2A3 = P (A1) P (A2) P A3 + P (A1) P A2 P (A3) + P A1 P (A2) P (A3) = 0.7 × 0.8 × (1 − 0.9) + 0.7 × (1 − 0.8) × 0.9 + (1 − 0.7) × 0.8 × 0.9 = 0.398. 2 Gọi B: “Có ít nhất 1 người bắn trúng bia” suy ra B: “Không có ai bắn trúng”. Ta có B = A1A2A3, suy ra P (B) = 1 − P (B) = 1 − P A1A2A3 = 1 − P A1 P A2 P A3 = 1 − 0.3 × 0.2 × 0.1 = 0.994. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 50 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Trắc nghiệm 1 Cho P (A) = 1/3,P (B) = 1/4,P (AB) = 1/12. A và B là 2 sự kiện: A. độc lập B. xung khắc C. không độc lập và không xung khắc 2 Cho P (A) = 1/3,P (B) = 1/4,P (A + B) = 6/12. A và B là 2 sự kiện: A. độc lập B. xung khắc C. không độc lập và không xung khắc 3 Cho P (A) = 1/3,P (B) = 1/4,P (A + B) = 7/12. A và B là 2 sự kiện: A. độc lập B. xung khắc C. không độc lập và không xung khắc Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 51 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Ví dụ 24 Một người thỏa thuận với vợ sắp cưới như sau: anh ta chỉ cần có con trai. Nếu vợ anh sinh cho anh một đứa con trai thì lập tức dừng lại liền, không sinh nữa. Giả sử một người phụ nữ sinh tối đa n lần, và xác suất sinh con trai ở mỗi lần là 1/2 (khả năng sinh con trai ở mỗi lần sinh không ảnh hưởng tới nhau). a. Hỏi khả năng anh này có con trai là bao nhiêu? b. Hỏi n phải là bao nhiêu thì khả năng anh này có con trai lớn hơn hoặc bằng 90%. Giải a. Gọi Ti : "sinh con trai ở lần sinh thứ i", i = 0, 1, 2, , n T: "anh này có con trai ". P (T ) = 1 − P (T ) = 1 − P (T1.T2 Tn) = 1 − 0, 5n. b. P (T ) ≥ 0, 99 ⇔ 1 − 0, 5n ≥ 0, 90 ⇔ 0, 5n ≤ 0, 01 ln0, 1 ⇔ n ≥ ⇔ n ≥ 3, 322 ln0, 5 Vậy n ≥ 4. :( Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 52 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức nhân xác suất Công thức nhân xác suất Ví dụ 25 Có 4 que thăm, trong đó có 3 que thăm dài bằng nhau và 1 que thăm ngắn hơn. Bốn người lần lượt lên rút ngẫu nhiên một que thăm. Tính xác suất người thứ i rút được thăm ngắn (i = 1, 2, 3, 4). Giải Gọi Ai: “Người thứ i rút được thăm ngắn” với i = 1, 2, 3, 4. Ta có 1 P (A ) = ; 1 4 3 1 1 P (A ) = P A A = P A .P A |A = . = ; 2 1 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 1 P (A ) = P A A A = P A P A |A P A |A A = . . = ; 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 4 3 2 4 1 P (A ) = . 4 4 1 Vậy khả năng rút được thăm ngắn của 4 người là như nhau và bằng . 4 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 53 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức Bernoulli Công thức Bernoulli Định nghĩa 4.4 (Dãy phép thử Bernoulli) Tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc sự kiện A xảy ra hoặc sự kiện A không xảy ra. Xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi phép thử luôn bằng p. Đó chính là dãy phép thử Bernoulli. Công thức Bernoulli Xác suất để sự kiện A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử của dãy phép thử Bernoulli là: k k n−k pn(k) = Cnp q , q = 1 − p; k = 0, 1, . . . , n. (4.8) Ví dụ 26 Gieo một đồng tiền 10 lần. Ta quan tâm ra mặt sấp 5 xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên vào mục tiêu. Ta quan tâm đến số người bắn trúng Gieo một con xúc xắc 100 lần, ta quan tâm đến sự kiện ra mặt lục Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 54 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức Bernoulli Công thức Bernoulli Ví dụ 27 Xác suất thành công của một thí nghiệm sinh hóa là 40%. Một nhóm gồm 9 sinh viên tiến hành cùng thí nghiệm trên độc lập với nhau. Tìm xác suất để: 1 Có đúng 6 thí nghiệm thành công 2 Có ít nhất 1 thí nghiệm thành công Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 55 / 68 Một số công thức tính xác suất Công thức Bernoulli Công thức Bernoulli Giải Phép thử là tiến hành thí nghiệm. A là sự kiện thí nghiệm thành công. Ta có p = P (A) = 0.4; q = 1 − p = 0.6; n = 9. 6 6 3 6 6 3 1 Xác suất cần tính: p9(6) = C9 p q = C9 (0.4) (0.6) = 0.0743. 2 Gọi B là sự kiện “có ít nhất 1 thí nghiệm thành công”. Ta có B: “không có thí nghiệm nào thành công”. Khi đó P (B) = 1 − P B = 1 − (0.6)9 = 0.9899. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 56 / 68
Một số công thức tính xác suất Công thức Bernoulli Công thức Bernoulli Ví dụ 28 Một người chơi đánh đề trong 10 ngày, mỗi ngày chơi 5 số. Tính xác suất người đó trúng đề: 1 đúng 2 ngày 2 được ít nhất 1 ngày Đáp án 2 2 10 1 P (A) = P10(2) = C10.0, 05 .0, 95 = 0, 0746 2 P (B) = 1 − P (B) = 1 − 0, 9510 = 0, 4013 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 57 / 68 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Mục tiêu: Tính xác suất xảy ra kết quả H sau công đoạn 2. Khó khăn: Kết quả công đoạn 2 phụ thuộc vào kết quả công đoạn 1. Các kết quả của công đoạn 1 được chia làm n tập Ai, mỗi một tập sẽ gồm một số kết quả có ảnh hưởng giống nhau đến khả năng xảy ra H. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 59 / 68
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Định nghĩa 5.1 Nhóm các sự kiện A1,A2, ,An (n ≥ 2) của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu thỏa mãn 2 điều kiện: AiAj = ∅ ∀i 6= j; A1 + A2 + ··· An = Ω. Tính chất: P (A1) + P (A2) + + P (An) = 1 Chú ý 5.1 Đối với một sự kiện A thì ta có nhóm đầy đủ A, A Đối với 2 sự kiện A và B,một nhóm đầy đủ: AB, AB, AB, A.B . Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 60 / 68 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Ví dụ 29 Xét phép thử gieo một con xúc xắc 1 lần. Gọi Ai: “Gieo được mặt i chấm” với i = 1, 2, , 6. Ta có nhóm đầy đủ A1,A2, ,A6. Gọi A: “Gieo được mặt chẵn” B: “Gieo được mặt 1 chấm hoặc 3 chấm” C: “Gieo được mặt 5 chấm” Khi đó A, B, C là một nhóm đầy đủ. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 61 / 68
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giả sử A1,A2, ,An là một nhóm đầy đủ các sự kiện. Xét sự kiện H sao cho H chỉ xảy ra khi một trong các sự kiện A1,A2, ,An xảy ra. Nói cách khác H xảy ra thì một sự kiện Ai nào đó xảy ra. Khi đó ta có công thức xác suất đầy đủ n X P (H) = P (Ai) .P (H|Ai) . (5.9) i=1 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 62 / 68 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 30 Xét một lô sản phẩm có số lượng rất lớn trong đó số sản phẩm do phân xưởng I sản xuất chiếm 20%, phân xưởng II sản xuất chiếm 30%, phân xưởng III sản xuất chiếm 50%. Xác suất phế phẩm của phân xưởng I là 0.001; phân xưởng II là 0.005; phân xưởng III là 0.006. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của lô hàng. Tìm xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 63 / 68
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giải Gọi H: “Sản phẩm lấy ra là phế phẩm”; Ai: “Sản phẩm đó do phân xưởng i sản xuất” i = 1, 2, 3. Ta có {A1,A2,A3} là một nhóm đầy đủ và P (A1) = 0.2; P (A2) = 0.3; P (A3) = 0.5 P (H|A1) = 0.001; P (H|A2) = 0.005; P (H|A3) = 0.006. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A1) .P (H|A1) + P (A2) .P (H|A2) + P (A3) .P (H|A3) = 0.2 × 0.001 + 0.3 × 0.005 + 0.5 × 0.006 = 0.0047. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 64 / 68 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 31 Có hai chuồng thỏ. Chuồng thỏ thứ nhất có 3 thỏ trắng và 3 thỏ nâu. Chuồng thỏ thứ hai có 6 thỏ trắng và 4 thỏ nâu. Bắt ngẫu nhiên 2 con thỏ từ chuồng thứ nhất bỏ vào chuồng thứ hai rồi sau đó bắt ngẫu nhiên 1 con thỏ từ chuồng thứ hai ra. Tính xác suất bắt được thỏ nâu từ chuồng thứ hai. Giải Gọi Ai: “Trong 2 con thỏ bắt từ chuồng một có i con thỏ nâu” , i = 0, 1, 2. Ta có A0,A1,A2 lập thành một nhóm đầy đủ. Gọi H: “Bắt được thỏ nâu từ chuồng hai”. Ta có 2 1 1 2 C3 1 C3 C3 3 C3 1 P (A0) = 2 = ; P (A1) = 2 = ; P (A2) = 2 = C6 5 C6 5 C6 5 4 1 5 6 1 P (H|A ) = = ; P (H|A ) = ; P (H|A ) = = . 0 12 3 1 12 2 12 2 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: 2 X 1 1 3 5 1 1 5 P (H) = P (A ) P (H|A ) = . + . + . = . i i 5 3 5 12 5 2 12 Lê Xuân Lý i=0 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 65 / 68
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Trong công thức xác suất đầy đủ, H là sự kiện kết quả, còn các sự kiện Ai i = 1, n là các sự kiện nguyên nhân. Nếu biết nguyên nhân nào xảy ra thì ta xác định được xác suất xảy ra H. Bây giờ ngược lại, người ta đã biết được kết quả xảy ra H, muốn tính xác suất để nguyên nhân thứ i xảy ra là bao nhiêu, tức là đi tính P (Ai|H). P (Ai) được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn P (Ai|H) được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ta có công thức Bayes: P (Ai)P (H|Ai) P (Ai|H) = Pn , i = 1, 2, . . . , n. (5.10) j=1 P (Aj ).P (H|Aj ) Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 66 / 68 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Chứng minh. Theo công thức xác suất có điều kiện ta có: P (A H) P (A ).P (H|A ) P (A |H) = i = i i . i P (H) P (H) n P Mặt khác theo công thức xác suất đầy đủ: P (H) = P (Aj ).P (H|Aj ). Thay vào công j=1 thức trên ta có đpcm. Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 67 / 68
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Ví dụ 32 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn tốt là 90%. Trước khi xuất ra thị trường, mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn toàn nên một bóng đèn tốt có xác suất 0.9 được công nhận là tốt, còn một bóng đèn hỏng có xác suất 0.95 bị loại bỏ. 1 Tính tỷ lệ bóng qua được kiểm tra chất lượng. 2 Tính tỷ lệ bóng hỏng qua được kiểm tra chất lượng. Giải. Gọi A: “Bóng đèn thuộc loại tốt”; B: “Bóng đèn thuộc loại hỏng”. Ta có A, B là một nhóm đầy đủ và P (A) = 0.9; P (B) = 0.1. Gọi H: "Bóng qua được kiểm tra chất lượng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05. 1 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9 × 0.9 + 0.1 × 0.05 = 0.815. P (B).P (H|B) 0.1 × 0.05 2 Ta có P (B|H) = = = 0.0061. P (H) 0.815 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng 8 năm 2018 68 / 68
Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất Lê Xuân Lý (1) Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng 9 năm 2018 (1)Email: lexuanly@gmail.com Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 1/69 tháng 9 năm 2018 1 / 69 Mở đầu Biến ngẫu nhiên Bài toán mở đầu Một công ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá 100 ngàn đồng/1 người/1 năm. Nếu người bảo hiểm gặp rủi ro trong năm đó thì nhận được số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Theo thống kê biết rằng tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro trong năm là 0.05. Hãy tính tiền lãi trung bình khi bán mỗi thẻ bảo hiểm Nếu bán bảo hiểm được cho 10000 khách hàng thì số tiền lãi trung bình thu về được là bao nhiêu? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 3/69 tháng 9 năm 2018 3 / 69
Mở đầu Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) là một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, phụ thuộc vào kết quả phép thử. Ký hiệu biến ngẫu nhiên: X, Y, Z, X1,X2, Giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận: a, b, c, . . . , x, y, z, x1, x2, Ví dụ 1 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 4/69 tháng 9 năm 2018 4 / 69 Mở đầu Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Gieo một con xúc xắc. Ta quan tâm đến số chấm xuất hiện. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc, ta có X là một biến ngẫu nhiên và tập giá trị có thể nhận là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Ta quan tâm có bao nhiêu bé gái. Gọi X là số bé gái trong nhóm. Khi đó X là một biến ngẫu nhiên và tập giá trị có thể nhận là {0, 1, 2, 3}. Khoảng thời gian giữa 2 ca cấp cứu ở một bệnh viện nào đó là một biến ngẫu nhiên. Nó có thể nhận giá trị bất kỳ trong khoảng [0; +∞). Nhiệt độ của Hà Nội lúc 6h sáng hàng ngày Số iphone phải đi bảo hành Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 5/69 tháng 9 năm 2018 5 / 69
Mở đầu Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử. + Nói một cách khác đối với biến ngẫu nhiên rời rạc ta có thể liệt kê tất cả các giá trị nó có thể nhận bằng một dãy hữu hạn hoặc vô hạn. + Ví dụ: số điểm thi của học sinh, số cuộc gọi điện thoại của một tổng đài trong một đơn vị thời gian, số tai nạn giao thông trong một ngày, . . . Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó lấp kín một miền hoặc một số miền của trục số hoặc cũng có thể là cả trục số. + Một miền có dạng (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] + Ví dụ: huyết áp của một bệnh nhân, độ dài của một chi tiết máy, tuổi thọ của một loại bóng đèn điện tử,. . . Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 6/69 tháng 9 năm 2018 6 / 69 Mở đầu Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là F (x) và được xác định như sau: F (x) = P (X < x), x ∈ R. (1.1) Hàm phân phối xác suất F (x) phản ánh độ tập trung xác suất ở bên trái của điểm x. Các tính chất 0 ≤ F (x) ≤ 1 lim F (x) = 0 , lim F (x) = 1 x→−∞ x→+∞ F (x) là hàm không giảm: ∀a < b, F (a) ≤ F (b) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 7/69 tháng 9 năm 2018 7 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Định nghĩa 2.1 Phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là một bảng trên đó ta ghi cả giá trị mà X có thể nhận kèm theo xác suất để nó nhận các giá trị đó X = x x1 x2 . . . xn P (X = x) p1 p2 . . . pn Trong đó tập các giá trị của X là {x1, x2, . . . , xn} được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Các xác suất pi thỏa mãn pi = P (X = xi) > 0 ∀i = 1, 2, ; P pi = 1. i Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X : P P F (x) = P (X < x) = P (X = xi) = pi i:xi<x i:xi<x Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 9/69 tháng 9 năm 2018 9 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Câu hỏi: Để lập được bảng phân phối xác suất ta cần làm gì? Trả lời: Xác định các giá trị xi mà X có thể nhận Tìm các xác suất pi tương ứng với các giá trị xi Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 10/69 tháng 9 năm 2018 10 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Ví dụ 1 Tung một đồng tiền cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 P (X = x) 1/2 1/2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 11/69 tháng 9 năm 2018 11 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Ví dụ 1 Tung đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 2 P (X = x) 1/4 1/2 1/4 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 12/69 tháng 9 năm 2018 12 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Ví dụ 2 Một người đem 10 nghìn đồng đi đánh một số đề. Nếu trúng thì thu được 800 nghìn đồng, nếu trượt thì không được gì. Gọi X (nghìn đồng) là số tiền thu được. Ta có bảng phân phối xác suất của X X = x 0 800 P (X = x) 99/100 1/100 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 13/69 tháng 9 năm 2018 13 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Ví dụ 3 Từ bộ bài tú lơ khơ 52 cây đã trộn kỹ rút ngẫu nhiên ra 3 cây. Gọi X là số cây Át có trong đó. Ta có bảng phân phối xác suất của X. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 14/69 tháng 9 năm 2018 14 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Kỳ vọng Kỳ vọng: là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình. (Đôi khi người ta có thể gọi nó là giá trị trung bình bởi công thức tính của nó chính là tính giá trị trung bình cho trường hợp thu được vô hạn số liệu) Ký hiệu: E(X) hoặc EX P Công thức tính: với X rời rạc ta có: EX = xi.pi i Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 15/69 tháng 9 năm 2018 15 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Ví dụ 1 Tung một đồng tiền cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 P (X = x) 1/2 1/2 Kỳ vọng của X : EX = 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 16/69 tháng 9 năm 2018 16 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Ví dụ 2 Tung đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 2 P (X = x) 1/4 1/2 1/4 Kỳ vọng của X : EX = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1 Như vậy trong 2 lần tung đồng xu thì trung bình có một lần ra mặt sấp. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 17/69 tháng 9 năm 2018 17 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Ví dụ 3 Một người đem 10 nghìn đồng đi đánh một số đề. Nếu trúng thì thu được 800 nghìn đồng, nếu trượt thì không được gì. Gọi X (nghìn đồng) là số tiền thu được. Ta có bảng phân phối xác suất của X X = x 0 800 P (X = x) 99/100 1/100 Kỳ vọng của X : EX = 0.99/100 + 800.1/100 = 8 Như vậy bỏ ra 10 nghìn đồng, trung bình thu được 8 nghìn đồng, người chơi về lâu dài sẽ lỗ 20% tổng số tiền chơi. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 18/69 tháng 9 năm 2018 18 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Các tính chất của kỳ vọng Ec = c với c là hằng số E(aX) = a.EX E(X + b) = EX + b Ta suy ra kết quả: E(aX + b) = aEX + b P Tổng quát với X là biến ngẫu nhiên rời rạc: Eg(X) = g(xi).pi i 2 P 2 Ví dụ: E(X ) = xi .pi i E(X + Y ) = EX + EY Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 19/69 tháng 9 năm 2018 19 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Ví dụ 4 Một công ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá 100 ngàn đồng/1 người/1 năm. Nếu người bảo hiểm gặp rủi ro trong năm đó thì nhận được số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Theo thống kê biết rằng tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro trong năm là 0.05. Hãy tính tiền lãi trung bình khi bán mỗi thẻ bảo hiểm Nếu bán bảo hiểm được cho 10000 khách hàng thì số tiền lãi trung bình thu về được là bao nhiêu? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 20/69 tháng 9 năm 2018 20 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Ví dụ 5 Một người chơi trò chơi gieo 3 con xúc xắc cân đối đồng chất cùng một lúc. Giải thưởng như sau: Số mặt lục 0 1 2 3 Tiền thưởng(nghìn đồng) 0 50 100 200 Mỗi ván chơi gieo 3 con xúc xắc cần nộp phí là 40 nghìn đồng. Hỏi trò chơi này chơi lâu dài thì người chơi lỗ lãi bao nhiêu trong mỗi ván chơi? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 21/69 tháng 9 năm 2018 21 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Ví dụ Bài làm Gọi X(nghìn đồng) là số tiền thưởng người chơi thu được trong mỗi ván. Số mặt lục 0 1 2 3 X(nghìn đồng) 0 50 100 200 Xác suất 125/216 75/216 15/216 1/216 P EX = xi.pi = 5450/216 = 25, 23(nghìn đồng) i Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 22/69 tháng 9 năm 2018 22 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phương sai Phương sai Phương sai: trung bình của bình phương sai số. Ký hiệu: V (X) hoặc VX Công thức tính: VX = E(X − EX)2 Với (X − EX) là sai số, hoặc là độ lệch khỏi giá trị trung bình Người ta biến đổi để đưa công thức tính phương sai về dễ tính hơn: VX = E(X − EX)2 = E(X2) − (EX)2 Với X là biến ngẫu nhiên rời rạc: n P EX = xi.pi i=1 n 2 P 2 E(X ) = xi .pi i=1 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 23/69 tháng 9 năm 2018 23 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Ý nghĩa của phương sai Phương sai thể hiện mức độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình EX, phương sai càng lớn thì độ phân tán dữ liệu càng cao và ngược lại. Trong công nghiệp, X thường là kích cỡ của các sản phẩm. VX lúc này biểu thị độ chính xác của các sản phẩm. Trong chăn nuôi, X thường là chiều cao hay cân nặng của gia súc gia cầm. VX lúc này biểu thị độ tăng trưởng đồng đều của các gia súc gia cầm. Trong trồng trọt, X thường là năng suất của giống cây trồng. VX lúc này biểu thị mức độ ổn định của năng suất giống cây trồng. Trong kinh tế, X thường là lãi suất thu được của khoản đầu tư. VX lúc này sẽ biểu thị cho mức độ rủi ro của đầu tư. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 24/69 tháng 9 năm 2018 24 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phương sai Ví dụ 1 Tung một đồng tiền cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 P (X = x) 1/2 1/2 EX = 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2 2 2 2 E(X ) = 0 .1/2 + 1 .1/2 = 1/2 2 2 Phương sai VX = E(X ) − (EX) = 1/2 − 1/4 = 1/4 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 25/69 tháng 9 năm 2018 25 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phương sai Ví dụ 2 Tung đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau: X = x 0 1 2 P (X = x) 1/4 1/2 1/4 EX = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1 2 2 2 2 E(X ) = 0 .1/4 + 1 .1/2 + 2 .1/4 = 3/2 2 2 2 Phương sai VX = E(X ) − (EX) = 3/2 − 1 = 1/2 Nhận xét: Phương sai của VD2 lớn hơn phương sai của VD1 cho ta kết luận rằng biên độ dao động của X xung quanh giá trị trung bình ở VD2 lớn hơn VD1. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 26/69 tháng 9 năm 2018 26 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phương sai Các tính chất của phương sai V c = 0 với c là hằng số V (aX) = a2.V X V (X + b) = VX Ta suy ra kết quả: V (aX + b) = a2VX Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 27/69 tháng 9 năm 2018 27 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Độ lệch chuẩn Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Để dễ đánh giá mức độ phân tán hơn, người ta đưa ra khái niệm độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn Ý nghĩa: dùng để đo độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình EX. Ký hiệu: σ(X) hoặc σ √ Công thức tính: σ = VX Ví dụ: Phân tích kỹ thuật giá chứng khoán: SMA(n) và Bollinger Band(n). Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 28/69 tháng 9 năm 2018 28 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Ví dụ 3 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 29/69 tháng 9 năm 2018 29 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Mode Mode Khái niệm: Mode của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là mod(X), là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất. Như vậy một biến ngẫu nhiên có thể có một mode hoặc nhiều mode. Ký hiệu: mod(X) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 30/69 tháng 9 năm 2018 30 / 69
Biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phân vị mức p Khái niệm: Phân vị mức p của biến ngẫu nhiên X là giá trị zp sao cho. F (zp) = P (X < zp) = p Một số phân vị đặc biệt: + Phân vị mức 25% được gọi là tứ phân vị thứ nhất + Phân vị mức 50% được gọi là tứ phân vị thứ hai hay trung vị. + Phân vị mức 75% được gọi là tứ phân vị thứ ba Trung vị: Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành hai phần có xác suất bằng nhau. Kí hiệu là med(X): P (X < med(X) = P (X ≥ med(X)) = 0, 5 Ta có thể tìm trung vị bằng cách giải phương trình: F (x) = 0, 5. Trong ứng dụng, trung vị là đặc trưng vị trí tốt nhất, nhiều khi tốt hơn cả kỳ vọng, nhất là trong những trường hợp số liệu có nhiều sai sót hoặc sai sót thái quá. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 31/69 tháng 9 năm 2018 31 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, không thể dùng bảng phân phối xác suất do xác suất nó nhận tại mỗi điểm luôn bằng "0". Do đó người ta thay thế bằng hàm mật độ xác suất. Định nghĩa 3.1 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm f(x) xác định trên R thỏa mãn: f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R; Z P (X ∈ B) = f(x)dx ∀B ⊂ R. B Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 33/69 tháng 9 năm 2018 33 / 69
Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Chú ý 3.1 Hàm mật độ xác suất f(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X thể hiện mức độ tập trung xác suất của X xung quanh điểm x. Tức là với ∆x đủ nhỏ cho trước ta có thể tính xấp xỉ: P (x ≤ X ≤ x + ∆x) ≈ f(x).∆x. Do đó ta thấy xác suất để X nhận giá trị thuộc lân cận khá bé (x, x + ∆x) gần như tỉ lệ thuận với f(x). Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 34/69 tháng 9 năm 2018 34 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Tính chất +∞ Z f(x)dx = 1; −∞ b Z P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = f(x)dx a x Z Hàm phân phối xác suất: F (x) = P (X < x) = f(t)dt −∞ Từ đó suy ra f(x) = F 0(x) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 35/69 tháng 9 năm 2018 35 / 69
Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Ví dụ 4 Cho hàm số f(x) = a. sin 2x. Tìm a để hàm này trở thành hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong [0, π/2]. Lời giải Để hàm này trở thành hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong [0, π/2] thì: ( a sin 2x, x ∈ [0, π/2] f(x) = 0, x∈ / [0, π/2] . Do sin 2x ≥ 0 với mọi x ∈ [0, π/2] nên a ≥ 0. Ta có: Z +∞ Z π/2 1 = f(x)dx = a sin 2xdx = a. Vậy a = 1. −∞ 0 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 36/69 tháng 9 năm 2018 36 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Ví dụ 5 Tuổi thọ của một loài côn trùng là biến ngẫu nhiên X(tháng tuổi) có hàm mật độ xác ( ax2(4 − x2), x ∈ [0, 2] suất f(x) = 0, x∈ / [0, 2] . a. Xác định a b. Tính P (0 ≤ X ≤ 1),P (X > 1) c. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) Lời giải a. Do ax2(4 − x2) ≥ 0 với ∀x ∈ [0, 2] nên a ≥ 0 +∞ 2 Z Z 64 15 Ta có 1 = f(x)dx = ax2(4 − x2)dx = a. ⇒ a = 15 64 −∞ 0 1 1 Z Z 17 17 b. P (0 ≤ X ≤ 1) = f(x)dx = ax2(4 − x2)dx = a. = = 0, 266 15 64 0 0 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 37/69 tháng 9 năm 2018 37 / 69
Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Lời giải +∞ 2 Z Z 47 b. P (X > 1) = f(x)dx = ax2(4 − x2)dx = = 0, 734 64 1 1 x Z c. Hàm phân phối F (x) = f(t)dt −∞ x x Z Z x 2 suy ra F (x) = f(t)dt = at2(4 − t2)dt = 1 −∞ 0 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 38/69 tháng 9 năm 2018 38 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Nhận xét Qua tính toán trên ta thấy 26.6% côn trùng sống không quá một tháng tuổi, và 73,4% côn trùng sống hơn một tháng tuổi. Do đó ta có thể nhận xét rằng tuổi thọ trung bình của loài này sẽ lớn hơn một tháng tuổi. Tuy nhiên tuổi thọ trung bình của loài côn trùng này chính xác là bao nhiêu? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 39/69 tháng 9 năm 2018 39 / 69
Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X Ý nghĩa: nó đặc trưng cho giá trị trung bình của X Ký hiệu: E(X) hoặc EX +∞ Z Công thức tính: EX = x.f(x)dx −∞ Tính chất: + E(aX + b) = a.EX + b +∞ Z + Eg(X) = g(x).f(x)dx −∞ +∞ Z Ví dụ: g(X) = X2 ta có E(X2) = x2.f(x)dx −∞ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 40/69 tháng 9 năm 2018 40 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Phương sai Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X Ý nghĩa: nó đặc trưng cho độ phân tán dữ liệu xung quanh EX Ký hiệu: V (X) hoặc VX Công thức tính: VX = E(X − EX)2 = E(X2) − (EX)2 +∞ +∞ Z Z với: EX = x.f(x)dx và E(X2) = x2.f(x)dx −∞ −∞ Tính chất: V (aX + b) = a2VX Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 41/69 tháng 9 năm 2018 41 / 69
Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn Ý nghĩa: dùng để đo độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình EX. Ký hiệu: σ(X) hoặc σ √ Công thức tính: σ = VX = pE(X2) − (EX)2 +∞ Z với X liên tục: EX = xf(x)dx −∞ +∞ Z E(X2) = x2f(x)dx −∞ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 42/69 tháng 9 năm 2018 42 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Mode - phân vị mức p Mode Khái niệm: Mode của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là mod(X), là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, mod(X) là giá trị của X ứng với f(x) đạt cực đại địa phương. Ký hiệu: mod(X) Phân vị mức p Khái niệm: Phân vị mức p của biến ngẫu nhiên X là giá trị zp sao cho. F (zp) = P (X < zp) = p Trung vị: Trung vị của biến ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành hai phần có xác suất bằng nhau. Kí hiệu là med(X): P (X < med(X) = P (X ≥ med(X)) = 0, 5 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 43/69 tháng 9 năm 2018 43 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối xác suất thông dụng Các quy luật thông dụng sẽ học: Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối nhị thức Luật phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối đều liên tục Phân phối chuẩn Phân phối mũ Phân phối Khi bình phương Phân phối Student Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 45/69 tháng 9 năm 2018 45 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức (Binomial Distribution) Định nghĩa 4.1 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong tập {0; 1; 2; ; n} với xác suất được tính theo công thức Bernoulli: k k n−k P (X = k) = Cn.p .(1 − p) với k = 0, 1, . . . , n; 0 ≤ p ≤ 1 gọi là tuân theo phân phối nhị thức với các tham số n và p. Ký hiệu: X ∼ B(n; p) Các tham số đặc trưng Với X ∼ B(n; p) ta có: EX = np VX = np(1 − p) = npq với q = 1 − p (n + 1)p − 1 ≤ mod(X) ≤ (n + 1)p Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 46/69 tháng 9 năm 2018 46 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức Ứng dụng Ta thực hiện n phép thử độc lập cùng điều kiện. Trong mỗi phép thử xác suất xảy ra sự kiện A luôn là p. Gọi X là số phép thử xảy ra A. Ta có kết quả: X ∼ B(n; p) Ví dụ 1 Gieo một con xúc xắc 3 lần. Gọi X là số lần ra mặt lục trong 3 lần gieo. Lập bảng phân phối xác suất của X, biết rằng khả năng ra mặt lục ở mỗi lần gieo là 1/6. Gợi ý: 1 k k n−k X ∼ B(n; p) với n = 3; p = /6 , P (X = k) = Cn.p .(1 − p) X = x 0 1 2 3 P (X = x) 125/216 75/216 15/216 1/216 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 47/69 tháng 9 năm 2018 47 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức Ví dụ 2 Một người chơi đề trong 10 ngày, mỗi ngày người đó chơi 5 số. Tính xác suất trong 10 ngày chơi: +) Người đó trúng được đúng 2 ngày. +) Người đó trúng được ít nhất 2 ngày +) Xác định số ngày trúng có khả năng xảy ra cao nhất? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 48/69 tháng 9 năm 2018 48 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức Biến nào sau đây là tuân theo phân phối nhị thức: Tung một đồng xu 3 lần. Gọi X là số lần được mặt ngửa. Hộp có 4 bi trắng và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Gọi X là số bi xanh lấy được theo 2 cách: +) Lấy lần lượt 3 bi +) Lấy có hoàn lại 3 bi Một máy sản xuất ra sản phẩm có tỷ lệ phế phẩm là 2%. Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm có được. Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào bia. Ở lần bắn sau do rút được kinh nghiệm các lần bắn trước nên xác suất bắn trúng của 3 phát lần lượt là 0, 7; 0, 8; 0, 9. Gọi X là số phát bắn trúng bia. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 49/69 tháng 9 năm 2018 49 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Phân phối Poisson Định nghĩa 4.2 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong tập {0; 1; 2; ; n; } với xác suất : λk P (X = k) = e−λ ; k = 0, 1, 2, k! gọi là tuân theo phân phối Poisson với tham số λ Ký hiệu: X ∼ P (λ) Các tham số đặc trưng Với X ∼ P (λ) ta có: EX = λ VX = λ λ − 1 ≤ mod(X) ≤ λ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 50/69 tháng 9 năm 2018 50 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Phân phối Poisson Quá trình Poisson còn có thể gọi là quá trình đếm. Trong tình huống nào ta gặp phân phối Poisson? Xét một sự kiện E xuất hiện ở những thời điểm ngẫu nhiên. Giả sử số lần xuất hiện E trong một khoảng thời gian không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của E trong các khoảng thời gian kế tiếp. Hơn nữa cường độ xuất hiện của E là không thay đổi, nghĩa là số lần trung bình xuất hiện E trong khoảng thời gian tỉ lệ với độ dài khoảng thời gian đó. Gọi X là số lần xuất hiện E trong khoảng thời gian (t1, t2). Ta có X ∼ P (λ) với λ = c(t2 − t1), trong đó c là hằng số được gọi là cường độ xuất hiện của E. Phân phối này có nhiều ứng dụng đối với nhiều quá trình có liên quan đến số quan sát đối với một đơn vị thời gian hoặc không gian. Ví dụ: Số cuộc điện thoại nhận được ở một trạm điện thoại trong một phút, số khách hàng đến nhà băng đối với mỗi một chu kỳ 30 phút, số lỗi in sai trong một trang, . . . . Nói chung dòng vào của một hệ phục vụ (quán bia, hiệu cắt tóc, hiệu sửa xe, trạm điện thoại, một cửa hàng nào đó, . . . ) là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 51/69 tháng 9 năm 2018 51 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Ví dụ 3 Ở một tổng đài bưu điện, các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong một phút. Tìm xác suất để: a) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong vòng 2 phút b) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây c) Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây. Lời giải a. Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 2 phút. X ∼ P (λ) λ chính là số cuộc điện thoại trung bình đến trong vòng 2 phút. λ = 4 −λ λ5 −4 45 P (X = 5) = e 5! = e 5! = 0, 156 b. Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 30 giây. X ∼ P (λ) với λ = 1. Ta có −λ λ0 −1 P (X = 0) = e 0! = e = 0, 3679 c. Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 10 giây. X ∼ P (λ) với λ = 1/3. Ta có P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e−1/3 = 0, 2835 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 52/69 tháng 9 năm 2018 52 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Chú ý 4.1 Khi n lớn và p nhỏ (n > 50; p < 0, 1) thì X ∼ B(n; p) có thể chuyển thành X ∼ P (λ) với λ = np Ví dụ 4 Trong một lô thuốc, tỷ lệ ống thuốc hỏng là p = 0, 003. Kiểm nghiệm 1000 ống. Tính xác suất để gặp 3 ống bị hỏng. Lời giải: Gọi X là số ống thuốc hỏng trong 1000 ống. Ta có X ∼ B(n; p) với n = 1000; p − 0, 003 Do n lớn và p bé nên ta xấp xỉ X ∼ P (λ) với λ = np = 3 λ3 33 P (X = 3) = e−λ = e−3 = 0, 224 3! 3! Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 53/69 tháng 9 năm 2018 53 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối đều rời rạc Phân phối đều rời rạc Định nghĩa 4.3 Biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều rời rạc với tham số n nếu X có bảng phân phối xác suất như sau: X = x 1 1 n P (X = x) 1/n 1/n 1/n Ký hiệu: X ∼ U(n) Các tham số đặc trưng n + 1 EX = 2 n2 − 1 VX = 12 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 54/69 tháng 9 năm 2018 54 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối đều liên tục Phân phối đều liên tục Định nghĩa 4.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối đều liên tục trên [a;b] nếu X có hàm mật độ:  1  , x ∈ [a, b] f(x) = b − a  0, x∈ / [a, b] Ký hiệu: X ∼ U([a, b]) Các tham số đặc trưng a + b EX = 2 (b − a)2 VX = 12 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 55/69 tháng 9 năm 2018 55 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối đều liên tục Phân phối đều liên tục - Ví dụ Ví dụ 5 Lịch chạy của xe bus tại một trạm xe bus như sau: chiếc xe bus đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành từ trạm này lúc 7 giờ, cứ sau 15 phút sẽ có một xe khác đến trạm. Giả sử một hành khách đến trạm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30. Tìm xác suất để hành khách này chờ: a) Ít hơn 5 phút b) Ít nhất 12 phút. Lời giải: Gọi X là số phút sau 7 giờ hành khách đến trạm, ta có X ∼ U([0, 30]) a) Hành khách chờ ít hơn 5 phút nếu đến trạm giữa 7 giờ 10 và 7 giờ 15 hoặc giữa 7 giờ 25 và 7 giờ 30. Do đó xác suất cần tìm là: 5 5 1 P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + = 30 30 3 b) Hành khách chờ ít nhất 12 phút nếu đến trạm giữa 7 giờ và 7 giờ 03 hoặc giữa 7 giờ 15 và 7 giờ 18. Xác suất cần tìm là: 3 3 P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + = 0, 2 30 30 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 56/69 tháng 9 năm 2018 56 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Định nghĩa 4.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 (với σ > 0) nếu hàm mật độ của X có dạng: 1 (x−µ)2 f(x) = √ e 2σ2 σ 2π Ký hiệu: X ∼ N(µ, σ2) Các tham số đặc trưng EX = µ VX = σ2 mod(X) = med(X) = µ Mục tiêu là ta tính xác suất dạng P (a < X < b) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 57/69 tháng 9 năm 2018 57 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn tắc Đặc biệt: X ∼ N(0; 1) với (µ = 0, σ = 1), X được gọi là tuân theo phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hoá). Hàm mật độ xác suất hay còn gọi là hàm mật độ Gauss: 1 − 1 x2 ϕ(x) = √ e 2 2π x Z Để tính xác suất ta dùng hàm Laplace: φ(x) = ϕ(t)dt 0 Tính chất: φ(x) là hàm lẻ, tăng thực sự. φ(+∞) = 0, 5 X ∼ N(0; 1) ta có: P (a < X < b) = φ(b) − φ(a) Giá trị của hàm Laplace được tính sẵn thành bảng số liệu. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 58/69 tháng 9 năm 2018 58 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn tổng quát 2 X−µ Kết quả: Nếu X ∼ N(µ; σ ) ta có Z = σ ∼ N(0; 1) Từ đó ta xây đựng được công thức tính: a − µ P (X a) = 0, 5 − φ( ) σ b − µ a − µ P (a ≤ X 20) = 0, 5 − φ( ) = 0, 5 − φ(0) = 0, 5 σ 19, 5 − µ P (X < 19, 5) = 0, 5 + φ( ) = 0, 5 + φ(−1) = 0, 5 − φ(1) = σ 0, 5 − 0, 3413 = 0, 1587 21 − µ 19 − µ P (19 < X < 21) = φ( ) − φ( ) = φ(2) − φ(−2) = 2φ(2) = σ σ 2.0, 4772 = 0, 9544 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 60/69 tháng 9 năm 2018 60 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Với X ∼ B(n; p) thoả mãn np(1 − p) > 20. Khi đó ta xấp xỉ X ∼ N(µ, σ2) với µ = np, σ2 = np(1 − p) Tuy nhiên vì chúng ta xấp xỉ một phân phối rời rạc bằng một phân phối liên tục, nên cần một sự hiệu chỉnh để giảm sai số. Cụ thể với k, k1, k2 là số tự nhiên ta có: k + 0, 5 − µ k − 0, 5 − µ P (X = k) = φ( ) − φ( ) σ σ k + 0, 5 − µ k − 0, 5 − µ P (k ≤ X ≤ k ) = φ( 2 ) − φ( 1 ) 1 2 σ σ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 61/69 tháng 9 năm 2018 61 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Ví dụ 7 Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95. Tìm xác suất để số chính phẩm trong lô kiểm tra từ 940 đến 960. Lời giải : Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số chính phẩm trong lô sản phẩm kiểm tra, ta có X ∼ B(1000; 0, 95) Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 và npq = 47, 5 đủ lớn nên ta xấp xỉ X ∼ N(950; 47, 5): 960 + 0, 5 − 950 940 + 0, 5 − 950 P (940 ≤ X ≤ 960) = φ( √ ) − φ( √ ) 47, 5 47, 5 = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 62/69 tháng 9 năm 2018 62 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn - Ý nghĩa Phân phối chuẩn được Gauss phát minh năm 1809 nên cũng có khi nó được mang tên là phân phối Gauss. Ta thấy biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn nhận giá trị trên cả trục số, tuy nhiên có thể xấp xỉ một số biến ngẫu nhiên không nhận tất cả các giá trị trên R theo phân phối chuẩn, đó là do qui tắc 3 − σ, tức là nếu ta có xác suất X rơi vào miền có xác suất bằng 0,9974 rất gần 1, nên hầu hết người ta chỉ cần quan tâm đến các giá trị trong lân cận 3 − σ của kỳ vọng. Phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng trong lý thuyết xác suất, là vị trí trung tâm trong các kết luận thống kê sau này. Trong thực tế, ví dụ trong lĩnh vực kinh tế, khoa học xã hội, . . . nhiều phân phối không giống phân phối chuẩn, nhưng phân phối của trung bình cộng đối với mỗi trường hợp lại có thể xem là phân phối chuẩn miễn là cỡ mẫu n đủ lớn. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 63/69 tháng 9 năm 2018 63 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối mũ Định nghĩa 4.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo phân phối mũ với tham số λ > 0 nếu nó có hàm mật độ xác suất có dạng: ( λe−λx, x > 0 f(x) = 0, x ≤ 0 Ký hiệu: X ∼ E(λ) Các tham số đặc trưng 1 EX = λ 1 VX = λ2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 64/69 tháng 9 năm 2018 64 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối mũ Ta có P (X > x) = eλx Phân phối mũ có tính chất không nhớ: P (X > t + s|X > t) = P (X > s) Ý nghĩa: Phân phối mũ có nhiều nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Nói chung với một giả thiết nào đó, khoảng thời gian giữa hai lần xuất hiện của một sự kiện E nào đó sẽ có phân phối mũ. Vì lý do này phân phối mũ còn có tên gọi là phân phối của thời gian chờ đợi (“Waiting time distribution”). Ví dụ khoảng thời gian giữa 2 ca cấp cứu ở một bệnh viện, khoảng thời gian giữa 2 lần hỏng hóc của một chiếc máy, khoảng thời gian giữa 2 trận lụt hay động đất, . . . Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 65/69 tháng 9 năm 2018 65 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối mũ Ví dụ 8 Giả sử tuổi thọ (tính bằng năm) của một mạch điện tử trong máy tính là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng là 6,25. Thời gian bảo hành của mạch điện tử này là 5 năm. Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành. Lời giải 1 1 Gọi X là tuổi thọ của mạch. X tuân theo phân phối mũ với tham số λ = = EX 6, 25 P (X ≤ 5) = 1 − e−5λ = 1 − e−0,8 = 0, 5506 Vậy có khoảng 55% mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 66/69 tháng 9 năm 2018 66 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối Khi bình phương Định nghĩa 4.7 Giả sử Xi, (i = 1, 2, . . . , n) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chuẩn tắc. n P 2 Biến ngẫu nhiên Y = Xi được gọi là tuân theo phân phối Khi bình phương với n i=1 bậc tự do. Ký hiệu: Y ∼ χ2(n) Các tham số đặc trưng EY = n VY = 2n Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 67/69 tháng 9 năm 2018 67 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối Student Định nghĩa 4.8 Giả sử X ∼ N(0; 1) và Y ∼ χ2(n) là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó: X T = r Y n được gọi là tuân theo phân phối Student với n bậc tự do. Ký hiệu: T ∼ T (n) Các tham số đặc trưng ET = 0 n VT = n − 2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 68/69 tháng 9 năm 2018 68 / 69
Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Chú ý Phân phối Student có cùng dạng và tính đối xứng như phân phối chuẩn nhưng nó phản ánh tính biến đổi của phân phối sâu sắc hơn. Phân phối chuẩn không thể dùng để xấp xỉ phân phối khi mẫu có kích thước nhỏ. Trong trường hợp này ta dùng phân phối Student. Khi bậc tự do n tăng lên (n > 30) thì phân phối Student tiến nhanh về phân phối chuẩn. Do đó khi n > 30 ta có thể dùng phân phối chuẩn thay thế cho phân phối Student. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suấtHà Nội, 69/69 tháng 9 năm 2018 69 / 69
[SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Lê Xuân Lý (1) Hà Nội, tháng 3 năm 2018 (1)Email:Lê Xuânlexuanly@gmail.com Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 1/35 tháng 3 năm 2018 1 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Ở chương trước chúng ta quan tâm đến xác suất của biến ngẫu nhiên riêng rẽ. Nhưng trong thực tế nhiều khi ta phải xét đồng thời nhiều biến khác nhau có quan hệ tương hỗ (ví dụ khi nghiên cứu về sinh viên một trường đại học thì cần quan tâm đến chiều cao, cân nặng, tuổi, . . . ). Do đó dẫn đến khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều hay véctơ ngẫu nhiên. Để cho đơn giản, ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), trong đó X, Y là các biến ngẫu nhiên một chiều. Hầu hết các kết quả thu được đều có thể mở rộng khá dễ dàng cho trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều. Biến ngẫu nhiên hai chiều được gọi là rời rạc (liên tục) nếu các thành phần của nó là các biến ngẫu nhiên rời rạc (liên tục). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 3/35 tháng 3 năm 2018 3 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Định nghĩa 3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định như sau F (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R. (3.1) Nhiều tài liệu gọi hàm trên là hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến X và Y . Tính chất 0 ≤ F (x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R; F (x, y) là hàm không giảm theo từng đối số; F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, ∀x, y ∈ R và F (+∞, +∞) = 1; Với x1 < x2, y1 < y2 ta luôn có P (x1 ≤ X ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2) = F (x2, y2) + F (x1, y1) − F (x1, y2) − F (x2, y1) . Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 4/35 tháng 3 năm 2018 4 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Tính chất (tiếp) Các hàm F (x, +∞) = P (X < x, Y < +∞) = P (X < x) =: FX (x) F (+∞, y) = P (X < +∞, Y < y) = P (Y < y) =: FY (x) là các hàm phân phối riêng của các biến ngẫu nhiên X và Y và còn được gọi là các phân phối biên của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ). Định nghĩa 3.2 Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập nếu F (x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ R. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 5/35 tháng 3 năm 2018 5 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Định nghĩa 3.3 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) rời rạc được xác định như sau H H Y P H y1 . . . yj . . . yn X HH j x1 p11 . . . p1j . . . p1n P (X = x1) x2 p21 . . . p2j . . . p2n P (X = x2) . . . . . . . . . . . . . . xi pi1 . . . pij . . . pin P (X = xi) . . . . . . . . . . . . . . xm pm1 . . . pmj . . . pmn P (X = xm) P P (Y = y1) P (Y = yj ) P (Y = yn) 1 i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 6/35 tháng 3 năm 2018 6 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Trong đó pij = P (X = xi,Y = yj ) ∀i = 1, m, j = 1, n. Kích thước bảng này có thể chạy ra vô hạn khi m, n chạy ra vô hạn. Tính chất pij ≥ 0 ∀i, j; P pij = 1; i,j P Hàm phân phối xác suất được xác định theo công thức F (x, y) = pij ; i,j: xi<x, yj <y Các phân phối biên được xác định như sau: X X P (X = xi) = P (X = xi,Y = yj ) = pij j j X X P (Y = yj ) = P (X = xi,Y = yj ) = pij . i i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 7/35 tháng 3 năm 2018 7 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 1 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) như sau: H Y HH 1 2 3 X HH 1 0.10 0.25 0.10 2 0.15 0.05 0.35 Tìm bảng phân phối xác suất của X và Y , sau đó tính F (2; 3). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 8/35 tháng 3 năm 2018 8 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Giải Lấy tổng của hàng, cột tương ứng ta thu được X 1 2 Y 1 2 3 P (X = x) 0.45 0.55 P (Y = x) 0.25 0.30 0.45 Ta có X X F (2, 3) = pij = p11 + p12 = 0.35. xi<2 yj <3 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 9/35 tháng 3 năm 2018 9 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 2 Ta lấy ngẫu nhiên 3 pin từ một nhóm gồm 3 pin mới, 4 pin đã qua sử dụng nhưng vẫn dùng được và 5 pin hỏng. Nếu ký hiệu X, Y tương ứng là số pin mới và số pin đã qua sử dụng nhưng vẫn dùng được trong 3 pin lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho (X, Y ). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 10/35 tháng 3 năm 2018 10 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài làm 3 3 P (X = 0,Y = 0) = C5 /C12 = 10/220 1 2 3 P (X = 0,Y = 1) = C4 .C5 /C12 = 40/220 2 1 3 P (X = 0,Y = 2) = C4 .C5 /C12 = 30/220 3 3 P (X = 0,Y = 3) = C4 /C12 = 4/220 1 2 3 P (X = 1,Y = 0) = C3 .C5 /C12 = 30/220 1 1 1 3 P (X = 1,Y = 1) = C3 .C4 .C5 /C12 = 60/220 1 2 3 P (X = 1,Y = 2) = C3 .C4 /C12 = 18/220 2 1 3 P (X = 2,Y = 0) = C3 .C5 /C12 = 15/220 2 1 3 3 3 P (X = 2,Y = 1) = C3 .C4 /C12 = 12/220 , P (X = 3,Y = 0) = C3 /C12 = 1/220 H Y HH 0 1 2 3 P (X = i) X HH 0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220 1 30/220 60/220 18/220 0 108/220 2 15/220 12/220 0 0 27/220 3 1/220 0 0 0 1/220 P (Y = j) 56/220 112/220 48/220 4/220 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 11/35 tháng 3 năm 2018 11 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 3 15% các gia đình trong một cộng đồng nào đó không có con, 20% có 1, 35% có 2, và 30% có 3 con. Giả sử rằng các con được sinh ra là độc lập với nhau và khả năng là trai hay gái đều là 0,5. Một gia đình được lựa chọn ngẫu nhiên từ cộng đồng này, sau đó gọi B là số con trai và G là số con gái. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho (B, G) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 12/35 tháng 3 năm 2018 12 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài làm H G HH 0 1 2 3 P (B = i) B HH 0 0,15 0,10 0,0875 0,0375 0,3750 1 0,10 0,175 0,1125 0 0,3875 2 0,0875 0,1125 0 0 0,2000 3 0,0375 0 0 0 0,0375 P (G = j) 0,3750 0,3875 0,2000 0,0375 P (B = 2,G = 1) = P (có 3 con và có đúng 1 gái) 1 2 = P (có 3 con).P (có đúng 1 gái|có 3 con) = 0, 3.C3 .0, 5.0, 5 = 0, 1125 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 13/35 tháng 3 năm 2018 13 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Chú ý 3.1 Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập với nhau nếu ta có P (X = xi,Y = yj ) = P (X = xi).P (Y = yj ), ∀i = 1, m, j = 1, n Các xác suất có điều kiện vẫn được tính như thông thường, tức là P (X = xi,Y = yj ) P (X = xi|Y = yj ) = hoặc P (Y = yj ) P (X = x ,Y ∈ D) P (X = x |Y ∈ D) = i i P (Y ∈ D) Công thức cũng tương tự với P (Y = yj |X = xi) ,P (Y = yj |X ∈ D). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 14/35 tháng 3 năm 2018 14 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Định nghĩa 3.4 Hàm hai biến không âm, liên tục f(x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X < Y ) nếu nó thỏa mãn ZZ 2 P ((X, Y ) ∈ D) = f(x, y)dxdy ∀D ⊂ R . (3.2) D Tính chất x y Z Z F (x, y) = f(u, v)dudv; −∞ −∞ +∞ +∞ Z Z f(x, y)dxdy. −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 15/35 tháng 3 năm 2018 15 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Tính chất (tiếp) ∂2F (x, y) f(x, y) = ; ∂x∂y Các hàm mật độ biên +∞ Z theo x : fX (x) = f(x, y)dy; −∞ +∞ Z theo y : fY (y) = f(x, y)dx. −∞ Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu f(x, y) = fX (x).fY (y) ∀x, y. Hàm mật độ có điều kiện của X khi đã biết Y = y: f(x, y) ϕ (x|y) = . fY (y) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 16/35 tháng 3 năm 2018 16 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Ví dụ 4 Hàm mật độ đồng thời của X, Y được cho bởi: ( 2.e−x.e−2y 0 1, Y 1, Y < 1) = 2.e−x.e−2ydxdy = e−1(1 − e−2) 0 1 Z ∞ Z y P (X < Y ) = 2.e−x.e−2ydxdy = 1/3 0 0 Z a Z ∞ P (X < a) = 2.e−x.e−2ydydx = 1 − e−a 0 0 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 17/35 tháng 3 năm 2018 17 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Trường hợp (X, Y ) rời rạc X X X X X X EX = P (X = xi) = xipij ; EY = yj P (Y = yj ) = yj pij i i j j i j X X 2 2 X X 2 2 VX = xi pij − (EX) ; VY = yj pij − (EY ) . i j i j Trường hợp (X, Y ) liên tục +∞ +∞ +∞ +∞ Z Z Z Z EX = x.f(x, y)dxdy; EY = y.f(x, y)dxdy −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ Z Z Z Z VX = x2.f(x, y)dxdy − (EX)2 ; VY = y2.f(x, y)dxdy − (EY )2 . −∞ −∞ −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 19/35 tháng 3 năm 2018 19 / 35 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Chú ý 4.1 Đối với biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ) ta có +∞ +∞ Z Z EZ = E [g(X, Y )] = g(x, y).f(x, y)dxdy −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 20/35 tháng 3 năm 2018 20 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.1 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), hiệp phương sai của hai thành phần X và Y , kí hiệu là cov(X, Y ) , được xác định bởi cov(X, Y ) = E [(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EX.EY, (4.3) trong đó E(XY ) được xác định theo công thức P P x y p , đối với biến ngẫu nhiên rời rạc  i j ij  i j  +∞ +∞ E(XY ) = Z Z  xy.f(x, y), đối với biến ngẫu nhiên liên tục  −∞ −∞ Ý nghĩa: Hiệp phương sai là một chỉ báo quan hệ của X, Y : cov(X, Y ) > 0 cho thấy xu thế Y tăng khi X tăng cov(X, Y ) < 0 cho thấy xu thế Y giảm khi X tăng Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 21/35 tháng 3 năm 2018 21 / 35 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.2 Ta nói rằng X và Y không tương quan nếu cov(X, Y ) = 0. Nhận xét cov(X, Y ) = cov(Y, X); VX = cov(X, X),VY = cov(Y, Y ); Nếu X, Y độc lập, ta có E(XY ) = EX.EY tức là X và Y không tương quan. Điều ngược lại chưa chắc đã đúng. cov(aX, Y ) = a.cov(X, Y ) cov(X + Z, Y ) = cov(X, Y ) + cov(Z, Y ) Pn Pn cov( i=1 Xi,Y = i=1 cov(Xi,Y ) Pn Pn X1,X2, , Xn độc lập: V ar( i=1 Xi) = i=1 V ar(Xi) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 22/35 tháng 3 năm 2018 22 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.3 Ma trận hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định bởi cov(X, X) cov(X, Y ) V X cov(X, Y ) Γ = = cov(Y, X) cov(Y, Y ) cov(X, Y ) VY Định nghĩa 4.4 Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y , ký hiệu là ρXY và được xác định theo công thức cov(X, Y ) ρXY = √ (4.4) V X.V Y Chú ý 4.2 |ρXY | ≤ 1. Nếu ρXY = ±1 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y có quan hệ tuyến tính. Nếu ρXY = 0 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y là không tương quan. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 23/35 tháng 3 năm 2018 23 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Nếu ta xác định là một hàm của biến ngẫu nhiên X thì Z trở thành một biến ngẫu nhiên mới. Ta sẽ tìm hàm phân phối xác suất cho Z trong một số trường hợp đơn giản. Định nghĩa 5.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất. Khi đó hàm phân phối xác suất của Z được xác định theo cách sau: FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X) < z) = P (X ∈ D), (5.5) trong đó D = {x|g(x) < z}. Tuy nhiên tùy vào từng bài có thể có các cách giải ngắn hơn. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 25/35 tháng 3 năm 2018 25 / 35
Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Ví dụ 5 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X −1 0 1 2 3 P (X = x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 Xác định luật phân phối xác suất của Z = X2 và tìm kỳ vọng của Z. Giải Ta có X ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}, suy ra Z ∈ {0, 1, 4, 9} với các xác suất tương ứng: P (Z = 0) = P (X = 0) = 0.2; P (Z = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) = 0.4; P (X = 4) = P (X = 2) = 0.2; P (Z = 9) = P (X = 3) = 0.2. Z 0 1 4 9 P (Z = z) 0.2 0.4 0.2 0.2 P Kỳ vọng EZ = zipi = 3. i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 26/35 tháng 3 năm 2018 26 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Ví dụ 6 Thanh AB dài 10cm bỗng nhiên bị gãy ở một điểm C bất kỳ. Hai đoạn AC và BC được dùng làm hai cạnh của một hình chữ nhật. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ diện tích hình chữ nhật đó. Giải Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ độ dài đoạn AC, ta có X ∼ U(0; 10). Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ diện tích hình chữ nhật, ta có Y = X(10 − X). Do X ∈ (0; 10) ⇒ Y = X(10 − X) ∈ (0; 25). Vậy ta có hàm phân phối xác suất của Y là ( 0, y ≤ 0 FY (y) = . 1, y > 25 Với 0 0 = P X 5 + p25 − y √ 5 − 25 − y = P 0 X > 5 + p25 − y = . 5 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 27/35 tháng 3 năm 2018 27 / 35
Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Xét biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ), trong đó (X, Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều đã biết luật phân phối. Ta sẽ xét luật phân phối xác suất của Z trong một số trường hợp đơn giản theo cách sau: FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X, Y ) < z) = P ((X, Y ) ∈ D) , trong đó D {(x, y)|g(x, y) < z}. Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) với hàm mật độ đồng thời f(x, y) ta có ZZ P ((X, Y ) ∈ D) = f(x, y)dxdx, D đồng thời kỳ vọng +∞ +∞ Z Z EZ = E (g(X, Y )) = g(x, y).f(x, y)dxdy. −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 28/35 tháng 3 năm 2018 28 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 7 Hai người bạn hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 17h đến 18h. Họ hẹn nhau nếu người nào đến trước thì sẽ đợi người kia trong vòng 10 phút. Sau 10 phút đợi nếu không gặp sẽ về. Thời điểm đến của hai người là ngẫu nhiên và độc lập với nhau trong khoảng thời gian trên. Tính xác suất hai người gặp được nhau. Giải Quy gốc thời gian về lúc 17h. Gọi X, Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời điểm người A, B đến, ta có X, Y ∼ U(0; 60). Do X, Y độc lập nên chúng có hàm mật độ đồng thời  1  , (x, y) ∈ [0; 60]2 f(x, y) = 3600 . Gọi Z là biến ngẫu nhiên chỉ khoảng thời gian giữa  0, ngược lại thời điểm hai người đến. Ta có Z = |X − Y |. Khi đó, xác suất hai người gặp nhau là P (Z < 10) = P (|X − Y | < 10) = P ((X, Y ) ∈ D) , trong đó D là giao miền |X − Y | < 10 và hình vuông [0; 60]2. Vậy S 1100 11 P (Z < 10) = D = = . Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều3600 chiều3600 36 Hà Nội, 29/35 tháng 3 năm 2018 29 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Bất đẳng thức Trebyshev Định lý 1: Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: E(Y 2) P (Y ≥ ) 0 tuỳ ý cho trước ta có: σ2 P (|X − µ| ≥ ) < 2 hay tương đương σ2 P (|X − µ| ≤ ) ≥ 1 − 2 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục. Ta chỉ cần đặt Y = |X − µ|, lập tức áp dụng định lý 1 ta có ĐPCM. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 32/35 tháng 3 năm 2018 32 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn n 1 P Áp dụng định lý 2 với X = n Xi ta có luật số lớn Trebyshev i=1 Luật số lớn Trebyshev Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X1,X2, Xn, độc lập, có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn (VXi ≤ C với C là hằng số), khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: n n 1 X 1 X lim P (| Xi − EXi| 0 tuỳ ý cho trước ta có: n 1 X lim P (| Xi − µ| 0 tuỳ ý cho trước ta có: m lim P (| − p| < ) = 1 n→+∞ n Với luật số lớn Bernoulli ta đã chứng minh được điều thừa nhận trong phần ĐỊNH m NGHĨA XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ, đó là với n → +∞ thì n → p Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 34/35 tháng 3 năm 2018 34 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm 2 Giả sử {Xn} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với EXi = µ, V Xi = σ . n P Đặt Xn = Xi. Khi đó với n đủ lớn ta có: i=1 σ2 X ∼ N(µ, ) n n hay là X − µ √ n n ∼ N(0; 1) σ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiềuHà Nội, 35/35 tháng 3 năm 2018 35 / 35
Chương 4: Thống kê - Ước lượng tham số Lê Xuân Lý (1) Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng 9 năm 2018 (1)Email: lexuanly@gmail.com Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 1/37 tháng 9 năm 2018 1 / 37 Mẫu và thống kê mô tả Tổng thể và tập mẫu Tổng thể Khi nghiên cứu về một vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó, các dấu hiệu này được thể hiện trên nhiều phần tử. Định nghĩa 1.1 Tập hợp các phần tử mang dấu hiệu ta quan tâm được gọi là tổng thể hay đám đông (population). Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 3/37 tháng 9 năm 2018 3 / 37
Mẫu và thống kê mô tả Tổng thể và tập mẫu Một số lý do không thể khảo sát toàn bộ tổng thể Giới hạn về thời gian, tài chính: Ví dụ muốn khảo sát xem chiều cao của thanh niên VN hiện nay có tăng lên hay không ta phải khảo sát toàn bộ thanh niên VN (giả sử là 40 triệu người). Để khảo sát hết sẽ tốn nhiều thời gian và kinh phí. Ta có thể khảo sát một triệu thanh niên VN, từ chiều cao trung bình thu được ta suy ra chiều cao trung bình của người VN. Phá vỡ tổng thể nghiên cứu: Ví dụ ta cất vào kho N = 10000 hộp sản phẩmvà muốn biết tỷ lệ hộp hư sau 1 năm bảo quản. Ta phải kiểm tra từng hộp để xác định số hộp hư M = 300, tỷ lệ hộp hư trong kho là M/N. Một hộp sản phẩm sau khi kiểm tra thì mất phẩm chất, và vì vậy sau khi kiểm tra cả kho thì cũng "tiêu" luôn kho. Ta có thể lấy ngẫu nhiên n = 100 hộp ra kiểm tra, giả sử có m = 9 hộp bị hư. Tỷ lệ hộp hư 9% ta suy ra tỷ lệ hộp hư của cả kho. Không xác định được chính xác tổng thể: Ví dụ muốn khảo sát tỷ lệ người bị nhiễm HIV qua đường tiêm chích là bao nhiêu. Tổng thể lúc này là toàn bộ người bị nhiễm HIV, nhưng ta không thể xác định chính xác là bao nhiêu người (những người xét nghiệm thì bệnh viện biết, những người không xét nghiệm thì ). Do đó ta chỉ biết một phần tổng thể. Ngoài ra số người bị nhiễm HIV mới và bị chết do HIV thay đổi liên tục nên tổng thể thay đổi liên tục. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 4/37 tháng 9 năm 2018 4 / 37 Mẫu và thống kê mô tả Tổng thể và tập mẫu Tập mẫu Do đó người ta nghĩ ra cách thay vì khảo sát tổng thể, người ta chỉ cần chọn ra một tập nhỏ để khảo sát và đưa ra quyết định. Định nghĩa 1.2 Tập mẫu là tập con của tổng thể và có tính chất tương tự như tổng thể. Số phần tử của tập mẫu được gọi là kích thước mẫu. Câu hỏi: Làm sao chọn được tập mẫu có tính chất tương tự như tổng thể để các kết luận của tập mẫu có thể dùng cho tổng thể ? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 5/37 tháng 9 năm 2018 5 / 37
Mẫu và thống kê mô tả Tổng thể và tập mẫu Một số cách chọn mẫu cơ bản Một số cách chọn mẫu Chọn mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại: Lấy ngẫu nhiên 1 phần tử từ tổng thể và khảo sát nó. Sau đó trả phần tử đó lại tổng thể trước khi lấy 1 phần tử khác. Tiếp tục như thế n lần ta thu được một mẫu có hoàn lại gồm n phần tử. Chọn mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại: Lấy ngẫu nhiên 1 phần tử từ tổng thể và khảo sát nó rồi để qua một bên, không trả lại tổng thể. Sau đó lấy ngẫu nhiên 1 phần tử khác, tiếp tục như thế n lần ta thu được một mẫu không hoàn lại gồm n phần tử. Chọn mẫu phân nhóm: Đầu tiên ta chia tập nền thành các nhóm tương đối thuần nhất, từ mỗi nhóm đó chọn ra một mẫu ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả mẫu đó cho ta một mẫu phân nhóm. Phương pháp này dùng khi trong tập nền có những sai khác lớn. Hạn chế là phụ thuộc vào việc chia nhóm. Chọn mẫu có suy luận: dựa trên ý kiến của chuyên gia về đối tượng nghiên cứu để chọn mẫu. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 6/37 tháng 9 năm 2018 6 / 37 Mẫu và thống kê mô tả Biểu diễn dữ liệu Biểu diễn dữ liệu Từ tổng thể ta trích ra tập mẫu có n phần tử. Ta có n số liệu. Dạng liệt kê Các số liệu thu được ta ghi lại thành dãy số liệu: x1, x2, . . . , xn Dạng rút gọn Số liệu thu được có sự lặp đi lặp lại một sô giá trị thì ta có dạng rút gọn sau: Dạng tần số: (n1 + n2 + + nk = n) Giá trị x1 x2 . . . xk Tần số n1 n2 . . . nk Dạng tần suất: (pk = nk/n) Giá trị x1 x2 . . . xk Tần suất p1 p2 . . . pk Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 7/37 tháng 9 năm 2018 7 / 37
Mẫu và thống kê mô tả Biểu diễn dữ liệu Biểu diễn dữ liệu Ví dụ dạng rút gọn Ta có bảng số liệu như sau: Giá trị 1 2 3 4 5 6 Tần số 10 15 30 20 14 11 Tần suất 0.10 0.15 0.30 0.20 0.14 0.11 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 8/37 tháng 9 năm 2018 8 / 37 Mẫu và thống kê mô tả Biểu diễn dữ liệu Biểu diễn dữ liệu Dạng khoảng Dữ liệu thu được nhận giá trị trong (a, b). Ta chia (a, b) thành k miền con bởi các điểm chia: a0 = a < a1 < a2 < < ak−1 < ak = b. Dạng tần số: (n1 + n2 + + nk = n) Giá trị (a0 − a1](a1 − a2] (ak−1 − ak] Tần số n1 n2 . . . nk Dạng tần suất: (pk = nk/n) Giá trị (a0 − a1](a1 − a2] (ak−1 − ak] Tần suất p1 p2 . . . pk Một số vấn đề chú ý: • k = 5 → 15. • Độ dài các khoảng thường chia bằng nhau. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 9/37 tháng 9 năm 2018 9 / 37
Mẫu và thống kê mô tả Biểu diễn dữ liệu Biểu diễn dữ liệu Dạng khoảng • Nếu độ dài các khoảng bằng nhau ta có thể chuyển về dạng rút gọn. Giá trị x1 x2 . . . xk Tần suất p1 p2 . . . pk Trong đó xi là điểm đại diện cho (ai−1, ai] thường được xác định là trung điểm của 1 miền: xi = 2 (ai−1 + ai) • Dạng rút gọn thường được thể hiện bằng đồ thị dạng đường hoặc dạng hình tròn. • Dạng khoảng thường được thể hiện bằng đồ thị dạng hình cột. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 10/37 tháng 9 năm 2018 10 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên Tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X là một biến ngẫu nhiên. Do đó khi nói về X là nói về tổng thể. Từ tổng thể trích ra n phần tử làm một tập mẫu. Ta có 2 loại tập mẫu: mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể Gọi Xi là biến ngẫu nhiên chỉ giá trị thu được của phần tử thứ i, i = 1, 2, . . . , n. Ta có X1,X2, ,Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 2.1 Mẫu ngẫu nhiên: là véctơ WX = (X1,X2, ,Xn), trong đó mỗi thành phần Xi là một biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên này độc lập và có cùng phân phối xác suất với X. Mẫu cụ thể: là véctơ Wx = (x1, x2, . . . , xn), trong đó mỗi thành phần xi là một giá trị cụ thể. Với một mẫu ngẫu nhiên thì có nhiều mẫu cụ thể ứng với các lần lấy mẫu khác nhau. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 12/37 tháng 9 năm 2018 12 / 37
Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên Ví dụ 1 Một kệ chứa các đĩa nhạc với giá như sau: Giá (ngàn đồng) 20 25 30 34 40 Số đĩa 35 10 25 17 13 Ta cần lấy 4 đĩa có hoàn lại để khảo sát. Ta xét trong 2 trường hợp: Xét về mặt định lượng: giá của từng đĩa là bao nhiêu? Xét về mặt định tính: đĩa đó có phải đĩa lậu không? (Đĩa lậu là đĩa có giá dưới 25 ngàn đồng) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 13/37 tháng 9 năm 2018 13 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên Xét tổng thể về mặt định lượng Lấy ngẫu nhiên một đĩa nhạc trong kệ. Gọi X là giá của đĩa nhạc này. Ta có bảng phân phối xác suất của X. X 20 25 30 34 40 P 0, 35 0, 10 0, 25 0, 17 0, 13 Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 4 đĩa nhạc từ kệ. Gọi Xi là giá của đĩa nhạc thứ i lấy được, i = 1, 2, 3, 4. Ta thấy các biến Xi độc lập và có cùng phân phối xác suất với X. Ta có WX = (X1,X2,X3,X4) là một mẫu ngẫu nhiên. Bây giờ ta khảo sát giá cụ thể của 4 đĩa lấy ra, ta thấy: • Đĩa 1: giá 20 ngàn đồng • Đĩa 2: giá 30 ngàn đồng • Đĩa 3: giá 20 ngàn đồng • Đĩa 4: giá 40 ngàn đồng Lập Wx = (x1, x2, x3, x4) = (20, 30, 20, 40), đây là mẫu cụ thể. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 14/37 tháng 9 năm 2018 14 / 37
Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên Xét tổng thể về mặt định tính Đĩa có giá dưới 25 ngàn đồng là đĩa "lậu". Lấy ngẫu nhiên một đĩa từ kệ. Gọi X là số đĩa lậu lấy được. X 0 1 P 0, 65 0, 35 Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 4 đĩa nhạc từ kệ. Gọi Xi là só đĩa lậu lấy được khi lấy một đĩa lần thứ i, i = 1, 2, 3, 4. Ta thấy các biến Xi độc lập và có cùng phân phối xác suất với X. Ta có WX = (X1,X2,X3,X4) là một mẫu ngẫu nhiên. Bây giờ ta khảo sát giá cụ thể của 4 đĩa lấy ra, ta thấy: • Đĩa 1: giá 20 ngàn đồng → x1 = 1 • Đĩa 2: giá 30 ngàn đồng → x2 = 0 • Đĩa 3: giá 20 ngàn đồng → x3 = 1 • Đĩa 4: giá 40 ngàn đồng → x4 = 0 Lập Wx = (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 1, 0), đây là mẫu cụ thể. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 15/37 tháng 9 năm 2018 15 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Thống kê Cho (X1,X2, , Xn) là một mẫu ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên Y = g(X1,X2, , Xn) (với g là một hàm nào đó) được gọi là một thống kê Các tham số đặc trưng Xét tổng thể về mặt định lượng: tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X,(X là biến ngẫu nhiên). Ta có: • Trung bình tổng thể: EX = µ • Phương sai tổng thể: VX = σ2 • Độ lệch chuẩn của tổng thể: σ. Xét tổng thể về mặt định tính: tổng thể có kích thướcN, trong đó có M phần tử có tính chất A. Khi đó p = M/N gọi là tỷ lệ xảy ra A của tổng thể. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 16/37 tháng 9 năm 2018 16 / 37
Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Trung bình mẫu Cho (X1,X2, , Xn) là một mẫu ngẫu nhiên. Thống kê - Trung bình mẫu ngẫu nhiên: n 1 X X = X n i i=1 Mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thì X nhận giá trị: n 1 X x = x n i i=1 x được gọi là trung bình mẫu. n 1 P Nếu mẫu dạng rút gọn thì: x = k xini i=1 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 17/37 tháng 9 năm 2018 17 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Phương sai mẫu(chưa hiệu chỉnh) Cho (X1,X2, , Xn) là một mẫu ngẫu nhiên. Thống kê - Phương sai mẫu ngẫu nhiên: n 2 1 X 2 S = (X − X) n i i=1 2 Mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thì S nhận giá trị: n 2 1 X 2 S = (x − x) n i i=1 S2 được gọi là Phương sai mẫu (chưa hiệu chỉnh). n − 1 Vấn đề: E(S2) = σ2 n Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 18/37 tháng 9 năm 2018 18 / 37
Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Các đặc trưng mẫu Phương sai mẫu hiệu chỉnh Ta phải hiệu chỉnh đi để thu được giá trị thay thế σ2 tốt hơn. Thống kê - Phương sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh: n 2 1 X 2 s = (X − X) n − 1 i i=1 2 Mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) có mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thì s nhận giá trị: n 2 1 X 2 s = (x − x) n − 1 i i=1 s2 được gọi là Phương sai mẫu hiệu chỉnh. s được gọi là độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh. Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 19/37 tháng 9 năm 2018 19 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Ứớc lượng điểm Ước lượng điểm Vấn đề Cho biến ngẫu nhiên gốc X có phân phối xác suất đã biết nhưng chưa biết tham số θ nào đó. Mẫu số liệu thu thập được của X là: (x1, x2, , xn). Khi đó θ = g(x1, x2, , xn) được gọi là một ước lượng điểm của θ Muốn biết ước lượng này tốt hay xấu ta phải so sánh với θ. Ước lượng không chệch Thống kê θ được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu thoả mãn: Eθ = θ Kết quả 2 Cho biến ngẫu nhiên X có EX = µ, V X = σ . Mẫu số liệu quan sát (x1, x2, , xn). Khi đó ta có kết quả: Ước lượng không chệch cho µ là: x Ước lượng không chệch cho σ2 là: s2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 20/37 tháng 9 năm 2018 20 / 37
Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Ứớc lượng điểm Tính tham số đặc trưng mẫu-máy CASIO FX570 ES 1 Bật thống kê: Mode + ST AT + 1 − var Tắt thống kê: Mode + 1 2 Nhập dữ liệu: Có 2 dạng bảng số liệu sẽ gặp. xi xi freq — ===> — — x1 shift x1 n1 x2 Mode x2 n2 ⇓ xn on xk nk 3 Xem kết quả: ấn AC Trung bình mẫu: Shift + 1 + var + 2 + = Phương sai mẫu hiệu chỉnh: Shift + 1 + var + 4 + = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 21/37 tháng 9 năm 2018 21 / 37 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng mẫu Ứớc lượng điểm Xác định ước lượng điểm Ví dụ 2 Khảo sát mẫu gồm 12 người cho thấy số lần đi xem phim trong 1 năm như sau: 14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35 Tính trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần đi xem phim của một người trong 1 năm. x = 22, 333; s = 7, 512 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham sốHà Nội, 22/37 tháng 9 năm 2018 22 / 37