Bài tập môn Giải tích 2

Nội dung text: Bài tập môn Giải tích 2

1. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 B€I TŠP GIƒI TCH 2 (Nhâm 2 ¡p döng tø 06-2018) CH×ÌNG 1 H m sè nhi·u bi¸n sè 1. T¼m mi·n x¡c ành cõa c¡c h m sè sau: 1 a) z = . b) z = p(x2 + y2 − 1)(4 − x2 − y2). px2 + y2 − 1 y − 1 √ c) z = arcsin . d) z = x sin y. x 2. T¼m giîi h¤n (n¸u câ) cõa c¡c h m sè sau: y2 πx a) f(x, y) = (x → 0, y → 0). b) f(x, y) = sin (x → ∞, y → ∞). x2 + 3xy 2x + y y4 1 − cos px2 + y2 c) f(x, y) = (x → 0, y → 0). d) f(x, y) = (x → 0, y → 0). x4 + y2 x2 + y2 3. T½nh c¡c ¤o h m ri¶ng cõa c¡c h m sè sau: s x x2 − y2 a) z = ln(x + px2 + y2). b) z = y2 sin . c) z = arctan . y x2 + y2 1 3 p3 d) z = xy (x > 0). e) u = e x2+y2+z2 . f) z = x3 + 2y3. 4. Kh£o s¡t sü li¶n töc v sü tçn t¤i cõa c¡c ¤o h m ri¶ng cõa c¡c h m sè sau:  y 2 x sin y − y sin x x arctan n¸u x 6= 0,  n¸u (x, y) 6= (0; 0), a) z = x b) z = x2 + y2 0 n¸u x = 0. 0 n¸u (x, y) = (0; 0). 5. Gi£ sû z = yf(x2 − y2), trong â f l h m sè kh£ vi. Chùng minh r¬ng èi vîi h m sè z h» thùc sau luæn thäa m¢n 1 1 z z0 + z0 = . x x y y y2 6. T¼m ¤o h m ri¶ng cõa c¡c h m sè hñp sau ¥y 2 2 x a) z = eu −2v , u = cos x, v = px2 + y2. b) z = ln(u2 + v2), u = xy, v = . y c) z = arcsin(x − y), x = 3t, y = 4t3. 7. Cho f l h m sè kh£ vi ¸n c§p hai tr¶n R. Chùng minh r¬ng h m sè w(x, t) = f(x − 3t) ∂2w ∂2w thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh truy·n sâng = 9 . ∂t2 ∂x2 8. T¼m vi ph¥n to n ph¦n cõa c¡c h m sè sau y x + y 2 a) z = sin(x2 + y3). b) z = ln tan . c) z = arctan . d) u = xy z. x x − y 1
2. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 9. T½nh g¦n óng a) A = p(2.02)3 + e0.03. b) B = (1.02)1.01. 10. T¼m ¤o h m, ¤o h m ri¶ng cõa c¡c h m sè ©n x¡c ành bði c¡c ph÷ìng tr¼nh sau a) 3 3 4, t½nh 0. b) 2 3 z , t½nh 0 0 . x y − xy = a y x + y + z + e = 0 zx, zy x + y y c) arctan = , t½nh y0. d) x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, t½nh z0 , z0 . a a x y 11. Cho h m sè ©n z = z(x, y) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh 2x2y + 4y2 + x2z + z3 = 3. T½nh ∂z ∂z (0; 1), (0; 1). ∂x ∂y x + z 12. Cho u = , t½nh u0 , u0 bi¸t r¬ng z l h m sè ©n cõa x, y x¡c ành bði ph÷ìng y + z x y tr¼nh zez = xex + yey. 2 13. Ph÷ìng tr¼nh z2 + = py2 − z2, x¡c ành h m sè ©n z = z(x, y). Chùng minh r¬ng x 1 1 x2z0 + z0 = . x y y z 14. T½nh c¡c ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa c¡c h m sè sau 1 y a) z = p(x2 + y2)3. b) z = x2 ln(x+y). c) z = arctan . d) z = sin(x3 +y2). 3 x 15. T½nh vi ph¥n c§p hai cõa c¡c h m sè sau a) z = xy3 − x2y. b) z = e2x(x + y2). c) z = ln(x3 + y2). 16. T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau a) z = 4x3 + 6x2 − 4xy − y2 − 8x + 2. b) z = 2x2 + 3y2 − e−(x2+y2). 4 3 xy c) z = 4xy − x4 − 2y2. d) z = + − . e) z = e2x(4x2 − 2xy + y2). x y 12 17. T¼m cüc trà câ i·u ki»n z = x2 + y2 vîi i·u ki»n 3x − 4y = 5. 18. T¼m mët iºm thuëc elip 4x2 + y2 = 4 sao cho nâ xa iºm A(1; 0) nh§t. 19. T¼m gi¡ trà lîn nh§t v b² nh§t cõa c¡c h m sè a) z = x2 + y2 + xy − 7x − 8y trong h¼nh tam gi¡c giîi h¤n bði c¡c ÷íng th¯ng x = 0, y = 0 v x + y = 6. b) z = sin x + sin y + sin(x + y) trong h¼nh chú nhªt giîi h¤n bði c¡c ÷íng th¯ng x = 0, x = π/2, y = 0 v y = π/2. 2
3. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 CH×ÌNG 2 Ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n trong h¼nh håc Ùng döng trong h¼nh håc ph¯ng 1. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n v ph¡p tuy¸n vîi ÷íng cong: a) y = x3 + 2x2 − 4x − 3 t¤i iºm (−2; 5). b) y = e1−x2 t¤i giao iºm cõa ÷íng cong vîi ÷íng th¯ng y = 1 c) x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t t¤i iºm ùng vîi t = π/2. 2. T½nh ë cong cõa: ( x = t3 + 2 a) y = ln(cos x) t¤i iºm ùng vîi x = π/4. b) t¤i iºm M(3; 0). y = ln(2t − 1) 3. T¼m iºm M tr¶n parabol P : y = x2 − 4x + 6 sao cho ë cong cõa P t¤i M ¤t lîn nh§t. Ùng döng trong h¼nh håc khæng gian 1. Gi£ sû ~p(t), ~q(t), α(t) l c¡c h m kh£ vi. Chùng minh r¬ng: d d~p(t) d~q(t) d d~p(t) a) (~p(t) + ~q(t)) = + . b) (α(t)~p(t)) = α(t) + α0(t)~p(t). dt dt dt dt dt 2. ÷íng cong C ÷ñc biºu di¹n bði h m vectì ~r(t). Gi£ sû ~r(t) l h m kh£ vi v ~r 0(t) luæn vuæng gâc vîi ~r(t). Chùng minh r¬ng C n¬m tr¶n mët m°t c¦u t¥m t¤i gèc tåa ë. 3. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n v ph¡p di»n cõa ÷íng: a) x = a sin2 t, y = b sin t cos t, z = c cos2 t t¤i iºm ùng vîi t = π/4, (a, b, c > 0). √ b) x = 2 cos t, y = 4 sin t, z = 4 cos2 t + 1 t¤i iºm M( 2; 2; 4). 4. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ph¡p tuy¸n v ti¸p di»n cõa m°t cong: a) x2 + 3y + 2z3 = 3 t¤i iºm (2; −1; 1). b) z = ln(2 + 3x2 − 4y2) t¤i iºm (1; 1; 0). c) 2x2 − y2 + 2z2 = 3 t¤i iºm (1; −1; 1). d) x2 + 2y3 − yz = 0 t¤i iºm (1; 1; 3). e) (x − 1)2 + (y − 1)2 + z2 = 25 t¤i iºm (4; 1; −4). 5. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n v ph¡p di»n cõa ÷íng: ( ( x2 + y2 + z2 = 25 2x2 + 3y2 + z2 = 47 a) t¤i iºm (4; −3; 0). b) t¤i iºm (−2; 1; 6). 3x + 4y + 5z = 0 x2 + 2y2 = z 3
4. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 CH×ÌNG 3 T½ch ph¥n k²p T½ch ph¥n k²p 1. Thay êi thù tü l§y t½ch ph¥n cõa c¡c t½ch ph¥n sau √ √ Z 1 Z x Z 1 Z 1+ 1−y2 a) dx f(x, y)dy. b) dy f(x, y)dx. 0 x3 0 2−y Z π/2 Z 1+y2 √ √ 2 y 2 4−y2 c) . d) R R R√ R . dy f(x, y)dx 0 dy 0 f(x, y)dx + 2 dy 0 f(x, y)dx 0 sin y 2. T½nh c¡c t½ch ph¥n sau x a) RR , trong â 2 . 2 2 dxdy D = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} D x + y b) RR (2y − x)dxdy, trong â D l mi·n giîi h¤n bði c¡c ÷íng cong y = x2 v y = 1. D RR 2 c) |x − y|dxdy, trong â D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. D d) RR xpy2 − x2dxdy, trong â D l mi·n giîi h¤n bði c¡c ÷íng y = x, x = 0 v y = 1. D e) RR 2xydxdy, trong â D giîi h¤n bði c¡c ÷íng x = y2, x = −1, y = 0 v y = 1. D 1 1 dy f) RR (|x| + |y|)dxdy. g) R dx R . √ 5 |x|+|y|≤1 0 4 x y + 1 3. T¼m cªn l§y t½ch ph¥n trong to¤ ë cüc cõa RR f(x, y)dxdy, trong â D l mi·n x¡c ành D nh÷ sau √ a) a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2. b) x2 + y2 ≥ x, x2 + y2 ≤ 2x, x ≤ y, y ≤ 3x. x2 y2 c) + ≤ 1, y ≥ 0, (a, b > 0). a2 b2 4. Dòng ph²p êi bi¸n trong h» to¤ ë cüc, h¢y t½nh c¡c t½ch ph¥n sau √ R Rx−x2 a) R dx R pRx − x2 − y2dy, (R > 0). b) RR xpx2 + y2dxdy, vîi D : x2 +y2 ≤ x. √ 0 − Rx−x2 D RR 2 2 2 2 2 c) (x + y )dxdy, vîi D := {(x, y) ∈ R : 1 ≤ x + y ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}. D d) RR xydxdy, vîi D 1) D l m°t trán: (x−2)2+y2 ≤ 1. 2) D l nûa m°t trán: (x−2)2+y2 ≤ 1, y ≥ 0. 4
5. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 e) RR |x − y|dxdy vîi D : x2 + y2 ≤ 1. D 5. Chuyºn t½ch ph¥n sau theo hai bi¸n u v v: ( Z 1 Z x u = x + y, a) dx f(x, y)dy, n¸u °t b) p döng t½nh vîi f(x, y) = (2−x−y)2. 0 −x v = x − y. 6. T½nh c¡c t½ch ph¥n sau ( ZZ dxdy y ≤ x2 + y2 ≤ 2y, a) , trong â D : √ (x2 + y2)2 x ≤ y ≤ 3x. D ZZ dxdy b) , trong â D : x2 + y2 ≤ 1. p1 + x2 + y2 D  2x ≤ x2 + y2 ≤ 12, ZZ xy  √ c) , trong â 2 2 2 2 dxdy D : x + y ≥ 2 3y, x + y  D x ≥ 0, y ≥ 0. ZZ x2 y2 d) |9x2 − 4y2|dxdy, trong â D : + ≤ 1. 4 9 D ZZ e) (4xy + 3y)dxdy, trong â D : 1 ≤ xy ≤ 4, x ≤ y ≤ 9x. D Ùng döng cõa t½ch ph¥n k²p ( y2 = x, y2 = 2x, 1. T½nh di»n t½ch cõa mi·n D giîi h¤n bði c¡c ÷íng x2 = y, x2 = 2y. ( y = 0, y2 = 4ax, 2. T½nh di»n t½ch cõa mi·n D giîi h¤n bði x + y = 3a, y ≤ 0, (a > 0). ( 2x ≤ x2 + y2 ≤ 4x, 3. T½nh di»n t½ch cõa mi·n D x¡c ành bði 0 ≤ y ≤ x. 2 4. T½nh di»n t½ch cõa mi·n D x¡c ành bði r ≥ 1, r ≤ √ cos ϕ. 3 5. T½nh di»n t½ch cõa mi·n D giîi h¤n bði ÷íng r = a(1 + cos ϕ),(a > 0). 6. Chùng minh r¬ng di»n t½ch mi·n D x¡c ành bði x2 + (αx − y)2 ≤ 4 khæng êi ∀α ∈ R. 7. T½nh thº t½ch cõa mi·n x¡c ành bði x + y ≥ 1, x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 2 − x − y. 8. T½nh thº t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði c¡c m°t z = 4 − x2 − y2, 2z = 2 + x2 + y2. 5
6. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 √ 9. T½nh thº t½ch cõa mi·n x¡c ành bði 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2, x ≤ y ≤ 3x. 10. T½nh thº t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði c¡c m°t z = 1 + x2 + y2, m°t trö 4x2 + y2 = 4 v m°t ph¯ng Oxy. 11. T½nh thº t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði m°t c¦u x2 + y2 + z2 = 4a2 v n¬m trong m°t trö x2 + y2 − 2ay = 0, (a > 0). x2 y2 x2 y2 2x 12. T½nh thº t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði c¡c m°t z = 0, z = + , + = ,(a, b > 0). a2 b2 a2 b2 a 13. T½nh thº t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði c¡c m°t az = x2 + y2, z = px2 + y2, (a > 0). CH×ÌNG 4 T½ch ph¥n ÷íng T½ch ph¥n ÷íng lo¤i 1 T½nh c¡c t½ch ph¥n sau: Z 1. (xy + x + 2y)ds, trong â C l ÷íng cong x = cos t, y = sin t vîi 0 ≤ t ≤ π/2. C Z x2 2. xyds, trong â C l nûa ÷íng elip + y2 = 1, y ≥ 0. 4 C Z 3. (x − y)ds, trong â C l ÷íng trán x2 + y2 = 2x. C ( Z x = a(t − sin t), 4. y2ds, trong â C l ÷íng câ ph÷ìng tr¼nh y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0). C T½ch ph¥n ÷íng lo¤i 2 T½nh c¡c t½ch ph¥n sau: Z 1. (x2 + y2)dx + (3xy + 1)dy, trong â L l cung parabol y = x2 i tø O(0; 0) ¸n M(1; 1). L ( Z x = a(t − sin t), 2. (2x − y)dx + xdy, trong â C l ÷íng cong theo chi·u t«ng y = a(1 − cos t), C cõa t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0). Z 3. 2(x2 + y2)dx + x(4y + 3)dy, trong â ABCA l ÷íng g§p khóc i qua A(0; 0), ABCA B(1; 1), C(0; 2). 6
7. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 Z dx + dy 4. , trong â ABCDA l ÷íng g§p khóc i qua A(1; 0), B(0; 1), C(−1; 0), |x| + |y| ABCDA D(0; −1). 5. T½nh t½ch ph¥n sau Z (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy C b¬ng hai c¡ch: t½nh trüc ti¸p, t½nh nhí cæng thùc Green rçi so s¡nh c¡c k¸t qu£, vîi C l ÷íng: x2 y2 a) x2 + y2 = R2. b) x2 + y2 = 2x. c) + = 1, (a, b > 0). a2 b2 I x y 6. x2(y + )dy − y2(x + )dx. 4 4 x2+y2=2x I 7. ex[(1 − cos y)dx − (y − sin y)dy], trong â OABO l ÷íng g§p khóc qua O(0; 0), OABO A(1; 1), B(0; 2). I 8. (xy + ex sin x + x + y)dx − (xy − e−y + x − sin y)dy. x2+y2=2x I x3  9. (xy4 + x2 + y cos(xy))dx − + xy2 − x + x cos(xy) dy, trong â C l ÷íng cong 3 C x = a cos t, y = a sin t, (a > 0). 10. Dòng t½ch ph¥n ÷íng lo¤i hai t½nh di»n t½ch cõa mi·n giîi h¤n bði mët nhàp xycloit : x = a(t − sin t); y = a(1 − cos t) v tröc Ox, (a > 0). (3;0) (2;2π) Z Z  y2 y   y y y  11. (x4+4xy3)dx+(6x2y2−5y4)dy. 12. 1 − cos dx+ sin + cos dy. x2 x x x x (−2;−1) (1;π) Z 13. T½nh t½ch ph¥n ÷íng (y2 − ey sin x)dx + (x2 + 2xy + ey cos x)dy, vîi C l nûa ÷íng C trán x = p2y − y2, i tø O(0; 0) ¸n P (0; 2). 14. T¼m h¬ng sè a, b º biºu thùc (y2 + axy + y sin(xy))dx + (x2 + bxy + x sin(xy))dy l vi ph¥n to n ph¦n cõa mët h m sè u(x, y) n o â. H¢y t¼m h m sè u(x, y) â. 15. T¼m h m sè h(y) º t½ch ph¥n Z h(y)[y(2x + y3)dx − x(2x − y3)dy] AB khæng phö thuëc v o ÷íng i trong mi·n x¡c ành. Vîi h(y) vøa t¼m ÷ñc, h¢y t½nh t½ch ph¥n tr¶n tø A(0; 1) ¸n B(−3; 2). 7
8. Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 CH×ÌNG 5 Lþ thuy¸t tr÷íng 1. T½nh ¤o h m theo h÷îng ~` cõa h m u = 3x3 + y2 + 2z3 − 2xyz t¤i iºm A(1; 2; 1) vîi −→ ~` = AB, B(2; 4; 2). ∂u 2. Cho h m sè u(x, y, z) = x3 + 3x2y + 2yz3. T½nh ¤o h m t¤i iºm A(1; 1; −1), trong ∂~n â ~n l vectì ph¡p tuy¸n h÷îng ra ngo i cõa m°t c¦u x2 + y2 + z2 = 3 t¤i iºm A. −−→ 3. T½nh mæun cõa gradu, vîi u = x3 + y3 + z3 − 3xyz, −−→ −−→ t¤i A(2; 1; 1). Khi n o th¼ gradu vuæng gâc vîi Oz, khi n o th¼ gradu = 0? −−→ 4. T½nh gradu, vîi 1 p u = r2 + + ln r, vîi r = x2 + y2 + z2. r 5. Theo h÷îng n o th¼ sü bi¸n thi¶n cõa h m sè u = x sin z − y cos z tø gèc O(0; 0; 0) l lîn nh§t? −−→ √ 6. T½nh gâc giúa hai vectì gradz cõa c¡c h m sè z = px2 + y2, z = x − 3y + 3xy t¤i (3; 4). 7. Trong c¡c tr÷íng vectì sau ¥y, tr÷íng n o l tr÷íng th¸? T¼m h m th¸ và (n¸u câ). a) F~ = (x2 − 4xy)~i + (2x3 − 2z)~j + ez~k. b) F~ = (yz + 1)~i + (xz + 2y)~j + (xy − 3)~k. x~i + y~j + z~k c) F~ = (x + y)~i + (x + z)~j + (z + y)~k. d) F~ = C , C 6= 0 h¬ng sè. p(x2 + y2 + z2)3 e) F~ = (3x2 + 2yz)~i + (y2 + 2xz + ey)~j + (9z2 + 2xy)~k. 8