Bài tập môn Giải tích III (Phương trình vi phân và chuỗi)

Nội dung text: Bài tập môn Giải tích III (Phương trình vi phân và chuỗi)

1. Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi) Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9 Thi cuối kỳ : Tự luận I. CHUỖI 1) Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau 1 1 1 1 1 1 a)   2 3 22 32 2n 3n 1 1 1 b)  1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 n c)   9 225 2n 1 2 2n 1 2 2) Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét sự hội tụ cả các chuỗi sau 2 n n 1 n a) b) c)  2   2 n 1 10n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 n 1 n n 1 n 1 1 1 n 1 d) e) f)  3/ 4  2 n  ln n n 1 n n 1 n n 2 ln n 1 1 n 1 1 n g) h) ln i) ln   n 1  n n n 2 n n 2 n n 1 n2 n 1 3n 1 ! 1.3.5 2n 1 k) ln tan l) m)  2 2  2 n  2n n 2 n n n n 1 n 8 n 2 2 n 1 ! 3) Xét sự hội tụ của các chuỗi số n2 2 1 1 3n n! n2 5 a) 1 b) c)  n n  2n !  n n 1 5 n 1 n 1 2 n 1 n 2 2n n 1 7n n! n d) e) f) n  n 1  2n  4n 3 n 1 n 1 n n 1 1
2. 1 ln * n 1 g) n h) sin 2 3 i)  2   2 n 1 n n 1 n 3 nln n ln ln n en.n! k)  n n 1 n 4) Xét sự hội tụ của các chuỗi số 2 1 1 n 1 a) n en 1 b)   n ln n n 1 n 2 c) arcsin e n d) sin n2 a2 , a n 1 n 1 n3 1.3.5 2n 1 a e) f) cos , a  n  n n 1 3 .n! n 1 2 nn 2n 1 g) h) , ( 0,  0)  n2   n 1 n 1 n 3 n ln n 1 n 2cosn na i) 3 , ( ) k) , (a , 0 a 1)   2 n n 3 n ln n 2 n 1 1 a 5) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau 1 xn n 1 a) b) c)  n  2n  x n 1 1 x n 1 1 x n 1 xn n cosnx 1 n 1 ln x 1 d) e) f) n  nx  2  n 1 2 n 1 1 n x n 1 x e n n 3x 2 n 1 g) , h) x  x  n n n 1 n 1 n 1 2 x xn 2n 1 i) k) x 2 1 2n  nn  5 n 1 x n 1 n 1 6) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên các tập tương ứng n xn 1 2x 1 a) trên b) trên 1;1 n 1    2 n  x 2 n 1 1 x n 1 2 2
3. 2 2 1 e n x c) trên [0 ; ) d) trên .  n 1  2 n 1 2 1 nx n 1 n 7) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau x 2 n 1 x 3 2n 5 a) b) c)  2  2 n  2 n 1 n n 1 n x 1 n 1 n 4 2n n n 2x 1 n 2x 1 x 1 d) e) f)  n  n 1 x 1  n 1 n 1 n2 n 1 2 n 1 x 5 2n 1 1 n 1 2n 1 2n x 1 n n! g) h) i) x 3 n  n  2n  n n 1 2n.4 n 1 3n 2 n 1 n 8) Tính tổng của các chuỗi sau x2n 5 1 n 1 a) , x 3 ; 3 b)  2n  n 1 n 0 3 2n 1 n 1 2n 1 .3 2n 2 x 1 2n n c) , x 1;1 d) x , x 1;1  2n 1 2n 2  2 n 0 n 1 n n 9) Khai triển thành chuỗi Maclaurin x3 x 1 a) f x b) f x sin3x xcos3x x2 4x 3 1 c) f x d) f x ln 1 x 2x2 4 x2 10) a) Khai triển f (x) x thành chuỗi luỹ thừa của x 4 x b) Khai triển f x sin thành chuỗi luỹ thừa của x 1 3 1 c) Khai triển f x thành chuỗi luỹ thừa của x + 4 x2 3x+2 1 x d) Khai triển f x ln x thành chuỗi luỹ thừa của 1 x 11) a) Khai triển Fourier các hàm số sau 1/ f x x , x 1, 2/ f x 2x, 0 x 1, 3/ f x 10 x, 5 x 15 b) Cho f x x2 trên  ;  . Hãy khai triển Fourier của hàm f x , sau đó 1 1 tính tổng các chuỗi số 1 n ,  2  2 n 1 n n 1 n 3
4. II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1) Phương trình phân li: a) tan y dx xln x dy 0 b) y cos x y 4 y2 3y 2 c) y d) y acos y b, b a 0 x2 4x 13 x 1 e) y y2 3y 4 0 f) y 2x y 1 x y 1 g) y sin y x 1 h) y x y 2 i) x2 y3 5 dx y3 5 y2dy, y 0 1 k) xy dx 1 y2 1 x2 dy 0, y 8 1 2) Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một y x y a) y 1 b) xy xsin y x y x c) x2 y y2 xy x2 0 d) x 2y dx xdy 0 y e) xy dy y2dx x y 2 e x dx f) x 2y 3 dy 2x y 1 dx 0 y g) xy y ln , y 1 1 h) xy x dy y dx 0, y 1 1 x 3) Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 1 a) y 2xy 1 2x2 b) y 2y xex 2ex x c) x 1 x2 y y arctan x d) y x y2 y e) 2xy 3 dy y2dx 0 f) 1 y2 dx arctan y x dy g) y y cos x sin xcos x, y 0 0 h) y 1 x2 y arcsin x, y 0 0 4) Phương trình Bernoulli xy y a) y x y b) y x2 y4 1 x2 x c) y 2y tan x y2 sin2 x 0 d) y dx x x2 y2 dy 0 e) 3dy 1 3y3 ysin x dx 0, y / 2 1 f) y2 2y x2 y 2x 0, y 1 0 5) Phương trình vi phân toàn phần 4
5. 2 3 a) x2 y dx x 2y dy 0 b) y dx x dy 0 2 2 x y c) ex y sin y dx e y x xcos y dy 0 d) e ydx xe y 2y dy 0, y 1 0 6) Tìm thừa số tích phân (y) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với tìm được 2xy2 3y3 dx y 3xy2 dy 0 7) Tìm thừa số tích phân (x) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với tìm được 1 1 ln x y dx dy 0 x y x y 8) Giải các phương trình sau a) y 4x 2y 1 b) y2 3x2 dy 2xy dx 0, y 0 1 y 1 x c) y 0 d) y y e 2 y, y 0 9/ 4 1 x2 9) Chứng minh rằng x 2 2 a) y x et dt là nghiệm của phương trình xy y x2ex 1 xn b) y x là nghiệm của phương trình 1 x dy 1 x y dx  n n 1 n 2 10) Giải các phương trình sau a) y 2 2yy 0 b) yy y 2 1 c) y xy y 1 d) xy y x2 yy e) y y 4xsin x f) y y x 0 g) y y xex 3e x h) 2xy y y 2 1 i) y 3y 10y xe 2x k) y y 2cos xcos2x l) y 4y 8y e2x sin 2x x3 1 m) y 2y y sin x sinh x n) x2 y 3xy 4y , y 1 , y 1 0 2 2 y y 2 o) y x x2 x 11) Giải các phương trình sau ex ex a) y y b) y y tan x c) y 2y y 1 ex x 5
6. 12) Giải các phương trình sau a) xy xy 2 y , y 2 2, y 2 1 b) 1 yy y 2 0, y 1 0, y 1 1 13) Giải phương trình 2x x2 y 2 x 1 y 2y 2 biết nó có hai nghiệm riêng y1 x, y2 1 4y 2x 14) Giải phương trình x2 1 y 2xy với phép biến đổi x tant 2 2 x 1 x2 1 y 2 15) Giải phương trình x y e y cos y bằng cách coi x là hàm của y. y 3 y 16) Giải các phương trình sau a) y 2my m2 y x 1 emx 2sin x, m ex b) y 2y y 2x 1 ex 2 x 17) Tìm bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi luỹ thừa mà tổng của chuỗi đó là nghiệm của phương trình sau a) y x y2 0, y 0 0, y 0 1 b) y 2x 1 y 1, y 0 0, y 0 1 c) x2 1 y 4xy 2y 0, y 0 0, y 0 1 d) y xy y 0, y 0 0, y 0 2 18) Giải các hệ phương trình sau dy dx y z 2x 5y dx dt a) b) dz dy x y z 5x 6y dx dt dx dx y y dt dt x y c) d) dy 1 dy x x dt cost dt x y III. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 3.1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược 1. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau a) f(t) = t ; b) f(t) = e3t + 1 ; c) f(t) = sinh(kt) d) f(t) = sin2t 2. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau 6
7. a) f t t 3t b) f(t) = t 2e3t c) f(t) = 1 + cosh(5t) d) f(t) = cos2(2t) e) f(t) = (1 + t)3 f) f t tet g) f t sin3t cos3t h) f t sinh2 3t 3. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược của hàm số sau 3 1 2 3 a) F s b) F s c) F s s4 s s5/ 2 s 4 5 3s 10s 3 d) F s e) F s f) F s 2s 1e 3s s2 9 25 s2 3.2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu 1. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán giá trị ban đầu a) x'' + 4x = 0, x(0) = 5, x'(0) = 0 b) x'' x' 2x = 0, x(0) = 0, x'(0) = 2. c) x'' + x = sin2t, x(0) = 0, x'(0) = 0 d) x'' + x = cos3t, x(0) = 1, x'(0) = 0 e) x 4x 3x 1, x 0 0 x 0 f) x 3x 2x t, x 0 0, x 0 2 2. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x 2x y, x 0 1 a) y 6x 3y, y 0 2 x 2y x 0, x 0 0 b) x y y 0, y 0 1 x x y 2x y 0, x 0 y(0) 1 c) y x y 4x 2y 0, x (0) y 0 0 x 2x 4y 0, x 0 y 0 0 d) y x 2y 0, x 0 y 0 1 3. Dùng Định lí 2 để tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm số sau 1 1 1 a) F s b) F s c) F s s s 3 s s2 4 s2 s2 1 1 1 d) F s e) F s s2 s2 1 s s 1 s 2 4. Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng n n! a) L tneat  L tn 1eat b) L tneat  , n 1, 2, 3 s a s a n 1 7
8. 2sk s2 k 2 c) L t sinh kt d) L t coskt 2 2 2 s k s2 k 2 s2 k 2 e) t cosh kt L 2 s2 k 2 3.3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản 1. Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau t 4 t 2t a) f(t) = t e b) f(t) = e sin3 t c) f t e 2 cos2 t 8 2. Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau 3 1 3s 5 a) F s b) F s c) F s 2s 4 s2 4s 4 s2 6s 25 3. Sử dụng các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau 1 5 2s 1 a) F s b) F s c) F s s2 4 s2 7s 10 s3 5s2 1 s2 2s s2 3 d) F s e) F s g) F s 4 4 2 2 s 16 s 5s 4 s2 2s 2 4. Sử dụng phép phân tích s4 4a4 s2 2as 2a2 s2 2as 2a2 , chứng minh rằng s3  a) L 1  cosh at cos at s4 4a4  s2  1 b) L 1  cosh at sin at sinh at cos at s4 4a4  2a 1 s  1 c) L  sinh at sin at s4 4a4  2a2 5. Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu a) x'' + 6x' + 25x = 0, x(0) = 2, x'(0) = 3 b) x'' 4x = 3t , x(0) = x'(0) = 0 c) x 3 x 6x 0, x 0 0, x 0 x 0 1 d) x 4 x 0, x 0 0, x 0 x 0 0, x 3 0 1 e) x 4 8x 16x 0, x 0 x 0 x 0 0, x 3 0 1 f) x 4x 13x te t , x 0 0, x 0 2 8
9. g) x 6x 18x cos2t, x 0 1, x 0 1 3.4. Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi 1. Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 1 a) F s b) F s 2 s s 3 s2 9 s2 s c) F s d) F s 2 2 s2 4 s 3 s 1 2. Dùng các định lí vi, tích phân của phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace của các hàm sau 3t 2t sint e 1 a) f(t) = t sin3t b) f t te cos3t c) f t d) f t t t 3. Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau s 2 s2 1 1 a) F s ln b) F s ln c) F s ln 1 s 2 s 2 s 3 s2 4. Biến đổi các phương trình vi phân sau để tìm nghiệm không tầm thường sao cho x 0 0 a) tx t 2 x x 0, b) tx'' (4t + 1)x' + 2(2t + 1)x = 0, c) tx 2x tx 0, d) tx 4t 2 x 13t 4 x 0 5. Giải bài toán với giá trị ban đầu mx cx kx f t , x 0 x 0 0 1, 0 t a) m 1, k 4, c 0, f t 0, t sin t, 0 t 2 b) m 1, k 9, c 0, f t 0, t 2 t, 0 t 2 c) m 1, k 4, c 4, f t 0, t 2 9