Bài tập môn Lý thuyết trường điện từ - Chương 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive

Nội dung text: Bài tập môn Lý thuyết trường điện từ - Chương 3: Dịch chuyển điện - Luật Gauss - Dive

1. Ch ươ ng 3: Dịch chuy ển điện - Lu ật Gauss – Dive 1. Xét không gian Descartes g ồm: 01 điện tích điểm Q = 20 nC đặt t ại A(4, -1, 3), và 01 dây dẫn th ẳng dài vô h ạn có ρL = -25nC/m đặt t ại giao điểm c ủa 2 m ặt ph ẳng x = -4, z = 6. a. Tính D tại điểm B(3, -1, 0) 2 Đ/S: -0.086ax - 0.12az nC/m b. Xác định thông l ượng Φ ch ảy ra kh ỏi m ặt c ầu, có bán kính 5m, tâm đặt t ại g ốc t ọa độ Đ/S: 0 c. Thông l ượng d ịch Φ ch ảy ra kh ỏi m ặt c ầu s ẽ thay đổi nh ư th ế nào khi bán kích c ủa m ặt cầu là 10m. Đ/S: Φ = -319,12nC 2. Xét không gian Descartes g ồm: 01 điện tích điểm Q = 12 nC đặt ở gốc t ọa độ, 04 dây d ẫn th ẳng dài cùng n ằm trên m ặt ph ẳng x = 0, có t ọa độ lần l ượt là : ρL1 = 80nC/m tại y = -1m và y = -5m, ρL2 = -50nC/m tại y = -2 và y = -4. a. Tính D tại điểm P(0, -3, 2) Đ/S : DP = -0,061 ay + 0,041 az b. Xác định s ố lượng và h ướng thông l ượng Φ ch ảy qua m ặt ph ẳng y = -3 c. Xác định thông l ượng d ịch chuy ển điện Φ ch ảy ra kh ỏi m ặt c ầu, có bán kính 4m, tâm đặt t ại điểm C(0, -3, 0) -20|z| 2 3. Cho m ặt tr ụ tròn bánh kính ρ = 8cm có hàm m ật độ điện tích m ặt ρS = 5e nC/m . a. Tính t ổng điện tích Q ch ứa trong m ặt tr ụ tròn. Đ/S: Q = 0,25nC b. Tính t ổng thông l ượng Φ đi ra kh ỏi m ặt cong gi ới h ạn b ởi: ρ = 8cm, 1cm < z < 5cm, 30 0 < φ < 90 0 Đ/S : Φ = 9,45pC 4. Xét ba m ặt tr ụ tròn có bán kính là ρ = 1, 2 và 3cm, các m ặt tròn này có m ật độ điện tích 2 mặt l ần l ượt là ρS = 20, -8, và 5 nC/m . a. Tính t ổng thông l ượng Φ đi qua m ặt kín gi ới h ạn b ởi ρ = 5cm, 0 < z < 1m Đ/S: Φ =5,34nC b. Tính D tại điểm P(1cm, 2cm, 3cm) 2 2 5. Cho D = 4 xy ax + 2( x + z )ay + 4 yz az. Tính t ổng thông l ượng đi qua m ặt kín c ủa hình h ộp gi ới h ạn b ởi các m ặt ph ẳng 0 < x < 2, 0 < y < 3, 0 < z < 5m. Đ/S: Φ = 360C 6. Trong chân không, xét m ột v ật mang điện dạng hình c ầu 0 < r < 1mm có m ật độ điện tích -1000r 3 kh ối ρV = 2e nC/m . Ngoài kho ảng không gian trên, không có v ật mang điện nào khác. a. Tính t ổng điện tích c ủa v ật mang điện bao b ởi m ặt c ầu có bán kính r = 1mm.
2. Đ/S : Q = 4.10 -9nC b. Sử dụng lu ật Gauss để tính giá tr ị Dr trên m ặt cong có bán kính r = 1mm -4 2 Đ/S : Dr = 3,2.10 nC/m 3 7. Một v ật mang điện có ρV = 80 C/m gi ới h ạn trong không gian 8mm 10mm) không t ồn t ại v ật mang điện nào khác. Tính Dr tại r = 20mm. 2 Đ/S : Dr = 32,5nC/m 3 8. Xét m ột tr ụ tròn bi ết: ρV = 0 v ới ρ 1,5mm. Tính vector m ật độ dịch chuy ển điện D trong không gian với: a. ρ 1,5 .mm −1,51.10 −16 Đ/S : D= C/ m 2 ρ ρ 9. Xét ba m ặt c ầu có bán kính r = 2, 4, 6m, có hàm m ật độ điện tích m ặt l ần l ượt là 20nC/m 2, 2 -4nC/m , và ρS0 . a. Tính vector m ật độ dịch chuy ển điện D tại r = 1m, r = 3m và r = 5m Đ/S: Tại r = 1m: Dr = 0 -9 2 Tại r = 3m: Dr = 8,9.10 C/m -10 2 Tại r = 5m: Dr = 6,4.10 C/m b. Xác định ρS0 để vector m ật độ dịch chuy ển điện D = 0 t ại r = 7m -9 2 Đ/S : ρS0 = -0,44.10 C/m 3 10. Một v ật mang điện có ρV = 0 khi ρ 2mm, và ρV = 4 ρ C/m khi 1 < ρ < 2mm. a. Tính t ổng điện tích Q của v ật mang điện trong không gian gi ới h ạn b ởi 0 < ρ < ρ1, 0 < z < L trong đó 1 < ρ1 < 2mm 8π L − Đ/S : Q=()ρ3 − 10 9 µ C 3 1 b. Áp d ụng lu ật Gauss xác định Dρ tại ρ = ρ1
3. 4(ρ 3− 10− 9 ) Đ/S : D(ρ )= 1 µ C / m 2 ρ 1 ρ 3 1 c. Tính Dρ tại ρ = 0,8mm, ρ = 1,6mm và ρ = 2,4mm Đ/S: Dρ (ρ = 0,8 mm ) = 0 −6 2 Dρ (ρ= 1,6 mm ) = 2,58.10 µ C / m −6 2 Dρ (ρ= 2,4 mm ) = 3,9.10 µ C / m 11. Một hình l ập ph ươ ng gi ới h ạn b ởi các m ặt ph ẳng 1 < x, y, z < 1.2, bi ết vector m ật độ 2 2 2 2 dịch chuy ển điện D = 2 x yax + 3 x y ay C/m . a. Áp d ụng lu ật Gauss để tính t ổng thông l ượng Φ đi ra kh ỏi m ặt kín c ủa hình l ập ph ươ ng. Đ/S: Φ = 0,1028C ∂D ∂D ∂D b. Tính x +y + z tại tâm c ủa hình l ập ph ươ ng. ∂x ∂ y ∂ z Đ/S : 12,83 12. Tính giá tr ị div D nếu bi ết: =1  +2 +− 3 2  a. D2 10xyz aax 5 x z y (2 z 5) x y a z  tại điểm P(-2, 3, 5) z Đ/S: 8,96 =2 + ρ 0 b. D5z aρ 10 z a z tại điểm P(3, -45 , 5) Đ/S: 71,67 =θφ + θφ + φ 0 0 c. D2sinr sin ar r cos sin aaθ r cos φ tại điểm P(3, 45 , -45 ) Đ/S: -2 13. Xét m ột điện tích điểm Q nằm t ại g ốc t ọa độ. a. Hãy ch ứng minh r ằng, div D = 0 t ại m ọi v ị trí trong không gian tr ừ điểm g ốc t ọa độ. b. Thay điện tích điểm Q bằng m ột điện tích kh ối có hàm phân b ố điện tích kh ối ρV0 tại 0 ≤ r ≤ a. Tính ρV0 theo Q và a để vật mang điện có cùng t ổng điện tích b ằng Q. Tính div D tại m ọi v ị trí trong không gian. 3Q Đ/S: ρ = C/ m 3 ; div D = 0 V 0 4π a3 3 14. Bên trong m ặt tr ụ có bán kính 3 < ρ < 4m, hàm m ật độ dịch chuy ển điện D = 5( r - 3) ar C/m 2. a. Tính hàm m ật độ điện tích kh ối ρV tại r = 4m 3 Đ/S: ρV = 17,5C/m b. Tính hàm m ật độ dịch chuy ển điện tích D tại r = 4m 2 Đ/S: D = 5 ar C/m c. Tính s ố thông l ượng Φ đi ra kh ỏi m ặt c ầu bán kính r = 4m
4. Đ/S: Φ = 1005,3 C d. Tính t ổng điện tích ch ứa bên trong m ặt c ầu r = 4m Đ/S: Q = 1005,3 C 2 2 15. Cho vector m ật độ dịch chuy ển điện D = 5 r ar mC/m với r ≤ 0,08m, và 0,205 D= a µC/ m 2 với r ≥ 0,08m. r 2 r a. Tính hàm m ật độ phân b ố điện tích kh ối ρV với r = 0,06m và r = 0,1m Đ/S: 3 ρV (r = 0,06m)= 1,2 mC/m ρV (r = 0,1m)= 0 b. Tính hàm m ật độ phân b ố điện tích m ặt ρS tại r = 0,08m để hàm m ật độ dịch chuy ển điện D = 0 t ại r > 0,08m 2 Đ/S: ρS = -16.04 C/m 16. Trong chân không, xét m ột v ật mang điện có kích th ước gi ới h ạn b ởi 2 < x, y, z < 3, bi ết 2 vector m ật độ dịch chuy ển điện D=(yz aa + xz − 2)/ xy a C m 2 . z2 x y z a. Tính tích phân kh ối c ủa ∫∇ .Ddv của v ật mang điện. V Đ/S: 3,47C b. Tính tích phân mặt
   ∫ D.d S của v ật mang điện. S Đ/S: 3,47C 16 17. Cho hàm m ật độ dịch chuy ển điện D= cos 2θ a C / m 2 . S ử dụng hai ph ươ ng pháp r θ khác nhau tính t ổng điện tích c ủa v ật mang điện gi ới h ạn b ởi 1 < r < 2m, 1 < θ < 2rad, 1 < φ < 2rad. Đ/S : -3,91C