Các Mode dao động quang trong dây lượng tử tự do

Nội dung text: Các Mode dao động quang trong dây lượng tử tự do

1. TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 5 CÁC MODE DAO ĐĐỘỘỘỘNGNG QUANG TRONG DÂY LƯLƯỢỢỢỢNGNG TTỬỬỬỬ T TỰỰỰỰ DO Đng Trn Chin1(1) , Nguyn Anh 1, Nguyn S Hi1, T Anh Tn2 1Trưng Đi hc Tài nguyên và Mơi trưng Hà Ni 2Trưng Đi hc Th đơ Hà Ni Tĩm tttttt: Chúng tơi áp dng mơ hình liên tc ti biên vt liu đ mơ t các phonon quang dc (LO) trong dây lưng t t do. S giam gi các mode dao đng quang trong dây lưng t ch to bng vt liu bán dn phân cc đưc mơ phng bng lí thuyt lai cp ba gia các mode quang dc (LO), quang ngang (TO), và dao đng b mt (IP). Trong cơng trình này chúng tơi tp trung mưu t các mode LO, TO, IP mt cách riêng l cĩ s dng hai điu kin biên cơ và đin t. TTTT khốkhố: LO, TO, IP, điu kin biên cơ đin t. 1. M ĐU Mt trong các lí do làm cho cu trúc nanơ đưc đc bit quan tâm là tính cht đin t và dao đng ca chúng b bin dng do chúng tr thành thp chiu và đi xng thp. H chun mt chiu (quasionedimesional) đưc chú ý vì chúng cho hàng lot hin tưng vt lí hp dn. Khi áp dng trong các thit b vi đin t thì s vn chuyn ht ti ca chúng đưc đc bit chú ý. K t khi Sakaki [3] tiên đốn v s tăng cao ca đ linh đng do s tán x khơng tinh khit xa gây nên, tương tác ca electron vi phonon quang dc (LO) đã đưc nhiu tác gi nghiên cu và cho rng các phonon là phonon khi và nhng hiu ng giam gi ca phonon đưc b qua. Điu này làm cho vn đ tr nên đơn gin. Trong h hai chiu tương ng (ví d ging lưng t GaAs/Al xGa 1xAs), hàng lot các nghiên cu ch ra rng hiu ng giam gi phonon to ra s thay đi quan trng trong vic vn chuyn các ht ti [6, 7]. Trong bài báo này, chúng tơi quan tâm đn s giam nht ca các mode quang trong dây lưng t. Vn đ này cũng đã đưc nhiu nhà vt lí lí thuyt quan tâm nghiên cu như: cơng trình [4] nghiên cu các mode quang dc và ch rõ đưc tán sc ca chúng và tính tc (1) Nhn bài ngày 05.8.2016; gi phn bin và duyt đăng ngày 15.9.2016 Liên h tác gi: Đng Trn Chin; Email: dtchien@hunre.edu.vn
2. 6 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H NỘI đ chuyn mc ca electron đi vi dây freestanding cũng như dây cĩ mơi trưng ngồi bao quanh. Tuy nhiên cho đn nay trong h chun mt chiu, hu như các nghiên cu vn tp trung nhiu vào tác đng ca các phonon quang b giam gi lên tính cht vn chuyn ca electron trong dây mà b qua tác dng do s giam gi ca các mode dao đng quang ngang (TO) cũng như nh hưng ca lưng t ánh sáng khi liên kt vi các mode TO. Mơ hình nghiên cu là mt si GaAs đưc đt t do (mơi trưng vt liu th 2 là chân Hình 1. Mơ hình nghiên cu khơng, (hình 1). 2. CÁC MODE DAO ĐNG QUANG TRONG DÂY LƯNG T Áp dng lí thuyt liên tc cho bán dn khi và các điu kin liên tc ti biên đ gii bài tốn cho mt si dây t do (free standing wires) cĩ bán kính R 0 và chiu dài L. Như vy điu kin biên áp dng đây là s tin ti 0 ca mi dch chuyn ti biên. Bài tốn si dây hình tr cĩ chiu dài L và bán kính R 0 đưc s dng h to đ tr do tính cht đi xng ca dây (hình 1). Chn trc z hưng theo chiu dài ca dây. Các biu thc div, rot và tốn t laplaxien đưc vit như sau: 2 2 2 1∂∂ 1 ∂ ∂  ∇=u(r u )( +2 uu ) + r 2  (1) rrrr∂∂ ∂ϕ ∂ z  1 ∂∂()L () L   ∂∂ () LL ()  []∇×=uuz (,,)rzϕ −() rrze uϕ (,,). ϕ  r + u r (,,) rz ϕϕ − u z (,,). rze  ϕ r∂ϕ ∂ z   ∂∂ zr  (2) 1 ∂()L ∂ () L  +()ruϕ (,,) rzϕ − u r (,,). rze ϕ  z = 0 (2) r∂ r ∂ ϕ  (P ) 1∂ 1 ∂ ∂ ()∇=.uur (,,)rzϕ + u r (,,) rz ϕ + uϕ (,,) rz ϕ + u z (,,) rz ϕ (3) r∂ rr ∂ϕ ∂ z
   
   
   Các mode quang dc (LO mode) Đ tìm phương trình cho đ dch chuyn ca mode LO trong dây thì s dng (1) ta đưc: 2 2 2 1∂∂ 1 ∂ ∂ 2  L ++ ++kL  u = 0 (4) rrrr∂∂2 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2  
3. TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 7 Nghim ca (4) đưc tìm dưi dng: u()Lrzϕ = A u () L ree is ϕ iqz z (,,) . (). . (5) Thay (5) vào phương trình (4) đưc: 2 2 2 1∂∂ 1 ∂ ∂ 2  (L ) is ϕ iq z ++++k  A. u ( ree ). .z = 0 (6) rrrr∂∂2 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2   Cĩ th vit li: ∂2 1 ∂ m2 u()Lr+ u () L r − u () LL rqr −+ 2() uku 2() L r = 2 () ()2 ()z () L ()0 (6a) ∂r rr ∂ r Phương trình (6a) là phương trình vi phân ch vi mt bin r cho nên ta cĩ th vit li chúng như sau: 2 2 d()L1 d () L m () LL 2() 2()  L u()r+ u () r +− uquku () rr −z () + L  ()0 r = (7) dr2 r dr r 2   Đt: L 2 22 2 222− (qkqsp) =−=− L z(ω L ω ) β − q z (8) Ta đưc: 2 2 d()L1 d () LL2 m  () L u()r+ u () r +−() qsp  u ()0 r = (9) dr2 r dr r 2   L Đưa vào bin s mi χsp,= q sp , r sau đĩ đt chúng vào phương trình (9) sau khi bin đi, thu đưc phương trình sau: d2 1 d m 2 u()L()r+ u () L ()(1 r +− )()0 u () L r = (10) dχ2 χχ d χ 2 sp, spsp ,, sp , Đây là phương trình Bessel, theo điu kin ca bài tốn (r≤ R 0 ) nên (2.10) cĩ nghim là dng th nhât ca hàm Bessel đĩ là hàm J s(χ s, p ) . Ta tìm đưc nghim ca phương trình (1) như sau: (L ) is ϕ iqz z u(,rzϕ , ) = AJ s( χ s, p ) ee (11) S dng điu kin th 2 ca mode quang dc: [∇×u ] = 0 , vit trong to đ tr: 1 ∂∂   ∂∂  ∇×=u urz()Lϕ − rurz () L ϕe + urz () LL ϕϕ − urz () e [] z (,,)()ϕ (,,).  r r (,,) z (,,)  ϕ r∂ϕ ∂ z   ∂∂ zr  1 ∂()L ∂ () L  +()ruϕ (,,) rzϕ − ur (,,).0 rz ϕ  e z = (12)(12) r∂ r ∂ ϕ 
4. 8 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H NỘI Thay (11) vào (12) ly đo hàm và chú ý rng các véc tơ đơn v đc lp tuyn tính nên ta tìm đưc phương trình cho đ dch chuyn ion ca mode LO trong dây là:  −iqL Ls, p ' L is ϕ iqz z uAr= zJ msp() q , ree  qz   Lm Lis ϕ iqz z uAϕ = zJ s() q sp, ree (13)  rqz uL= AJ q L ree is ϕ iqz z  z zs() sp,  Hay cĩ th vit: −iqL  L s, p ' Lm L Lis ϕ iqz z u= Asp Jq msp(), r; JqJq ssp()() , r ; ssp , ree (14)  kz r q z    L Trong đĩ: Az ta đã thay bng A sp là h s ca mode, qs, p là véc tơ sĩng đưc xác đnh L bi χsp,= q sp , r vi χ s, p là nghim ca hàm Bessel J s,p ( χ s, p ) và p là ch s nghim ca hàm Bessel.
   
   
   Các mode dao đng interface polariton (IP) Các mode quang ngang TO tho mãn điu kin ∇.∇.∇. u=0with Ο u0≠ và cĩ phương trình cho đ dch chuyn là: ω2 ω 2   εωεω2−2  + εβωω 22+ −∇∇∇ 2 2222 + β u=0  20 T∞   2 ∞ bT  b  (15)  c c      Theo [9] mode TO cĩ hưng vuơng gĩc vi các b mt phân cách ca các mơi trưng vt liu bán dn s tương tác vi photon và tr thành polariton. Ti b mt vt liu, khi b qua hiu ng tr tc là coi vn tc c ca ánh sáng là ln vơ cùng thì ta thu đưc mode interface polariton (IP). Mode này gim rt nhanh khi tin ra xa mt phân cách hai mơi trưng như mt sĩng đin t. Khi xét đn các mode ngang, chn trc z theo chiu dài ca dây, nên các mode TO cĩ hưng truyn tin v b mt dây và s tương tác mnh vi ánh sáng to ra polariton. Theo [5] thì đ dch chuyn ca mode polariton tho mãn phương trình: 2 ω 22 2 2 2  εω0 T− εω∞  +() ω T −∇ ω  u = 0 (16) c2     Gii phương trình này tương t như mode LO, ta thay biu thc ca vi phân cp 2 theo to đ tr vào trong phương trình trên đng thi đt:
5. TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 9 ω 2 εω2 − εω 2  2 0 L ∞  k 2 = c (17) p ω2 − ω 2 L Chúng ta s tìm đưc phương trình chuyn đng cho mode IP là: ∇2 + k 2 u=0 (18) { p } 2 2 dp1 d p2 s  p ur()+ ur () +−q p  ur ()0 = (19) dr2 r dr r 2   2 2 2 đây ta đã đt: qp= k p − q z Phương trình (19) là phương trình Bessel. Đ ý đn biu thc: 2 εω2 − εω 2  2 2 2 ω 0 T ∞  2 q=−=k q − q p p z c 2ω2 − ω 2 z T Đng thi, mode IP đưc xét trong gii hn b qua mi hiu ng tr tc là 1/c 2 =0, nên q2= − q 2 (20) p z T (20) ta thy rng véc tơ sĩng ca mode IP bt buc phi là phn o, cho nên ta phi cĩ: q= − i q (21) p z Vy phương trình (19) tr thành: 2 2 dp1 d p2 s  p ur()+ ur () −+qz  ur ()0 = (22) dr2 r dr r 2   Phương trình (22) nghim ca mode IP đưc tìm cĩ dng sau: uprϕ z= C I ree is ϕ iq z z (,,)s () (23) Biu thc ca (∇.u(P ) ) đưc vit trong to đ tr như sau: ()PP1 ()∂ () P 1 ∂ () P ∂ () P ()∇=.uur (,,)rzϕ + u r (,,) rz ϕ + uϕ (,,) rz ϕ + u z (,,)0 rz ϕ = (24) r∂ r r ∂ϕ ∂ z Thay (23) vào (24) và ly đo hàm chúng ta cĩ 1 ' is CrIqsz() rCk+ r zsz Iq () rC +ϕ Iq sz () riC +z qIq zsz ()0 r = (25) r r S dng (25) ta tìm đưc 2 mode IP như sau:
6. 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H NỘI
   
   
   Mode IP th nht T nhn xét v tính cht ca các Mode IP trong dây ta thy ngồi tho mãn (25) thì mode IP cịn trc giao vi mode LO đây ta cĩ th chn mode IP1 trc giao vi trc z và tìm đưc phương trình ca mode IP1 như sau:   ()1p i η  is ϕ iqz z u= Csp 1; ;0  eer Im ( q z ) (26) sIs() q z R  0  Trong đĩ ta đã đt: η =(s +1)Iq( RR) − qI( q R )  (27) sz0 0 zs+ 1 z 0  Cr đã đưc thay bng C sp là h s ca mode, qz là véc tơ sĩng dc theo trc dây.
   
   
   Mode IP th hai Mode IP2 tho mãn tính cht như mode IP1 nhưng đng thi nĩ li trc giao vi chính mode IP1 vì vy ta tìm đưc phương trình ca mode IP2 là: 2 2 2 isq q R η − sIs() q z R   ()2 p s() z 0 i 0   is ϕ iqz z u = Bsp 1; ;  Is ( q z r ) e e (28) ηqzR0 η I s() q z R 0    3. KT LUN Chúng tơi đã xây dng tưng minh mode dao đng LO và IP1, IP2 là các mode tương tác ca phonon quang ngang TO vi photon to thành polariton. Trong nghiên cu ti đây chúng tơi s s dng điu kin biên liên tc ca mt si dây t do tìm phương trình chuyn đng ca các mode hybrid LO, IP1, IP2 trong dây lưng t bán dn phân cc. Lưng t hố ln th 2 tìm các ht lai hybridons và các h thc tán sc ca chúng. S dng phương pháp hàm bao đ gii bài tốn cho electron trong si dây lưng t. Sau đĩ dùng lí thuyt nhiu lon Dirac đ thành lp biu thc xác đnh tc đ tán x và thi gian hi phc cho electron trong dây lưng t cu trúc như trên.
7. TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 11 Ph lc XÁC ĐNH MODE QUANG DC (LO) Xét phương trình (12), các véc tơ đơn v theo các trc là đc lp tuyn tính đi vi nhau cho nên thu đưc h phương trình sau:  ∂()L ∂ () L uz (,,)rzϕ− () r u ϕ (,,) rz ϕ ∂ϕ ∂ z   ∂()L ∂ () L  ur(,,)rzϕ− u z (,,) rz ϕ (P.1) ∂z ∂ r  ∂()L ∂ () L ()rrzuϕ (,,)ϕ− u r (,,) rz ϕ ∂r ∂ ϕ  Ta đi tìm nghim thành phn theo các trc ca to đ tr dưi dng như sau: L is ϕ iqz z ur(,rzϕ , ) = A rSSP J ( χ ) ee   L is ϕ iqz z uϕ(,rzϕ , ) = A ϕ J S() χ SP ee (P.2)  L is ϕ iqz z uz(,rzϕ , ) = A zSSP J () χ ee  Trong đĩ: Ar, Aϕ , A z là các h s. Thay (A.2) vào (A.1) và ly đo hàm ta tìm đưc:  isϕizqz is ϕ iz q z isAzJ s(χ sp) e e− ri q z Aϕ J m( χ sp ) e e = 0   isϕizqz L' is ϕ iz q z iAqJz r s()()χ sp ee− qJ sp A z m χ sp ee = 0 (P.3)  isϕizqz L' is ϕ iz qz is ϕ iz q z AϕJs()()()χ sp e e+ qJ sp rA ϕ s χ sp e e − isA r J s χ sp e e = 0  Gii h phương trình (A.3) ta biu din đưc các h s A, A qua A rϕ z  s A= A  ϕ z rq  z  L ' L (P.4) −iq Js() q sp r A= A sp  r z L qz Js() q sp r  Thay (A.5) vào (A.2) ta tìm đưc phương trình đ dch chuyn cho mode LO −iqL  Lsp ' Ls L L  is ϕ iqz z u(rz ,ϕ , ) = A z Jq ssp() r; JqJq ssp()() r ; ssp ree  qzr q z   
8. 12 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H NỘI XÁC ĐNH CÁC MODE INTERFACE POLARITON (IP) S dng phương trình: 1()P∂ () P 1 ∂ () P ∂ () P urzr(,,)ϕ+ urz r (,,) ϕ + urzϕ (,,) ϕ + urzz (,,)0 ϕ = r∂ r r ∂ϕ ∂ z Thay (22) vào (24) và ly đo hàm ta đưc: 1 ' is CrIqsz() rC+ r qIq zsz () rC +ϕ Iq sz () riC +z qIq zsz ()0 r = (P.5) r r S dng tinh cht đo hàm ca hàm Bessel: s Iq' ()r= Iq()() r − Iq r (P.6) szq r sz sz+1 z Chúng ta đưc: 1 is Csr()()()+−1 Iqsz rCr r qIq zsz+1 rC  +ϕ Iq sz()() riC +z qIq zsz r = 0 (P.7) r r Vi chú ý rng phương trình này ca mode phi đúng cho tồn b vt liu vì vy nĩ cũng phi đúng cho mt đim bt kì nào đĩ nm trên biên, ta cĩ h thc sau 1 is Cs+−Iq RR qIq RC  + Iq RiC + qIq R = (P.8) r ()()()1 sz001 zsz+ 0  ϕ sz()() 0z zsz 0 0 R r Đt: η=(s +1) Iq( RR) − qIq( R )  (P.9) sz0 0 zs+ 1 z 0  Ta vit li (P.8) 1 is Cη+ C Iq()() R + iC qIq R = 0 (P.10) r Rϕ r sz0z zsz 0 0 Như trên ta đã nĩi trong vt liu luơn tn ti hai mode dao đng ngang trc giao nhau cho nên mode IP cũng s tn ti hai mode trc giao nhau. Mode IP th nht Đ tìm mode IP th nht chúng ta chú ý rng mode IP trc giao vi mode LO và do tính cht đi xng ca vt liu theo to đ tr cho nên ta cĩ th xoay h to đ sao cho mode IP th nht trc giao vi trc z ta cĩ: u(P ) e = 0 (P.11) z Hay: u(P ) e =u = Cee is ϕ iqz z I( q r ) = 0 (P.12) zzz sz
9. TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 13 Và như vy thì thành phn theo trc z ca mode IP th nht s bng 0. T điu kin ca mode IP div u = 0 cĩ: 1 is Cs()()()+−1 Iq RR qIq RC  + Iq()() RiC + qIq R = 0 (P.13) r Rsz001 zsz+ 0  ϕ r sz 0z zsz 0 0 Ta tìm đưc: i η Cϕ = C r (P.14) sIs() q z R 0 Thay (P.14) vào (22) đưc phương trình đ dch chuyn cho mode IP th nht:   (1p ) iη is ϕ iqz z u= C1; ;0  eer Is ( q z ) sIs( q z R 0 )  Mode IP th 2 Như đã nĩi trên mode IP th hai trc giao vi mode th nht cho nên ta s cĩ phương trình sau: i η BCeeisϕiqz zIq() Ree is ϕ i q z z Iq () RBC+ eeisϕizqz Iq () Ree is ϕ iz q z Iq ()0 R = (P.15) r s z0 s z 0 ϕ sI() q R sz0 sz 0 s z 0 i η isI( q R ) BB+ =⇒=0 BB s z 0 (P.16) r ϕsI() q R ϕ r η s z 0 Hồn tồn tương t thì mode IP th hai này cũng phi tho mãn điu kin ca mode IP đĩ là div u=0 cho nên ta cĩ: 1 is Br η+ Bϕ Iqsz()() R0 + iBz qIq zsz R 0 = 0 (P.17) R0 R 0 2 1 sIs( q z R ) Bη− B0 + iB qIq() R = 0 (P.18) rRr R η z zsz 0 0 0 η2 −s2 I 2 q R  i s( z 0 )  ⇒B = B (P.19) z r qR ηI() q R z0 s z 0 Như vy, phương trình cho đ dch chuyn ca mode IP th 2 là: 2 2 2 isI q R η− s Is() q z R   ()2 p s() z 0 i 0   is ϕ iqz z u = B 1; ;  Is ( q z r ) e e η qzR0 ηI s() q z R 0   
10. 14 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H NỘI TÀI LIU THAM KHO 1. Nguyn Quang Báu (2001), Lí thuyt bán dn, Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên Đi hc Quc gia Hà Ni. 2. Nguyn Văn Hùng (2000), Lí thuyt cht rn, Đi hc Quc gia Hà Ni. 3. Constantinou N. C. (1993), "Interface optical phonons near perfectly conducting boundaries and their coupling to electrons", Physical Review B 48, pp.1193111935. 4. Constantinou N. C., Ridley B. K. (1990), "Interaction of electrons with the confined LO phonons of a freestanding GaAs quantum wire", Physical Review B 41, pp.1062210626. 5. M. Babiker (1996), " Longitudinal polar optical modes in semiconductor quantum wells ", J. Phys.C: Solid State Phys 19, pp.683697. 6. M. Babiker, M. P. Chamberlain, B. K. Ridley (1987), "Resonance effect in intersubband transitions of single quantum wells", Semiconductor Science and Technology 2, p582. 7. M.Babiker, B.K. Ridley (1986), " Effective mass eigenfunctions in superlattices and their role in wellcapture ", Superlatt. and Microstruct 2, p287 8. Melnikov D. V., Fowler W. B. (2001), "Electronphonon interaction in a spherical quantum dot with finite potential barriers: The Fr\"ohlich Hamiltonian", Physical Review B 64, p245320. 9. Redley B. K. (1991), "Electron –hybridon interaction interaction a quan tum well", Department of physic, Univercity of Esex, Wivenhoe Park, Colchester, Esex CO4 3SQ, England. Rev , p4592. 10. Redley B. K. (1993), " Opticalphonon tunning ", Phys. Rev. B.49 p17253. 11. Silin A. P. (1995), "Semiconductors superlattice ", Sov. Phys. Usp 28, p972. OPTICAL MODES IN A FREE STANDING QUANTUM WIRE AbstractAbstract: A continuum model is employed to describe the allowed longitudinaloptical (LO) phonons of a cylindrical freestanding GaAs wire. The confinement of optical modes in a quantum wire of polar material is described by a theory involving the triple hybridization of LO, transverse optical (TO) phonon, and IP (interface polariton) modes. In this work, we tried to calculate the LO, TO, and IP modes in a quantum wire using conditions of both mechanical and electromagnetic boundary. KeywordsKeywords: LO, TO, IP, mechanical and electromagnetic boundary.