Chụp ảnh cắt lớp phân tử N₂ định phương không hoàn toàn từ phổ sóng điều hòa bậc cao

Nội dung text: Chụp ảnh cắt lớp phân tử N₂ định phương không hoàn toàn từ phổ sóng điều hòa bậc cao

1. TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 Vol. 18, No. 6 (2021): 1085-1099 ISSN: 2734-9918 Website: Bài báo nghiên cứu* CHỤP ẢNH CẮT LỚP PHÂN TỬ N2 ĐỊNH PHƯƠNG KHƠNG HỒN TỒN TỪ PHỔ SĨNG ĐIỀU HỊA BẬC CAO Trần Cơng Minh1, Trương Quân Hào1, Trần Phúc Khang1, Lê Thị Cẩm Tú2, Phan Thị Ngọc Loan1* 1Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam 2Trường Đại học Tơn Đức Thắng, Việt Nam *Tác giả liên hệ: Phan Thị Ngọc Loan – Email: loanptn@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 18-01-2021; ngày nhận bài sửa: 22-4-2021; ngày duyệt đăng: 08-6-2021 TĨM TẮT Chúng tơi tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp đám mây electron lớp ngồi cùng (HOMO) từ phổ phát xạ sĩng điều hịa bậc cao (HHG) của phân tử N2 khi xét đến hiệu ứng định phương khơng hồn tồn. Chúng tơi đã sử dụng hai cách khác nhau để mơ tả hàm phân bố định phương – (i) giải chính xác bằng số phương trình Schrӧdinger phụ thuộc vào thời gian, và (ii) gần đúng bằng hàm giải tích. Kết quả cho thấy rằng, mức độ định phương giảm dần, độ chính xác của HOMO của phân tử giảm dần. Khi mức độ định phương nhỏ hơn 0.5, thì khơng cịn tái tạo được chính xác HOMO của phân tử. Ngồi ra, sử dụng hai cách mơ tả hàm phân bố định phương đều cho kết quả tương tự nhau. Từ khĩa: sĩng điều hịa bậc cao; phân tử N2; định phương khơng hồn tồn; chụp ảnh cắt lớp 1. Giới thiệu Kể từ khi ra đời vào năm 1960 (Maiman, 1960), laser ngày càng tạo ra nhiều đột phá trong khoa học, kĩ thuật và cơng nghệ. Khi laser xung cực ngắn, cường độ cao tương tác với vật chất, một trong những hiệu ứng quang phi tuyến xảy ra là sự phát xạ sĩng điều hịa bậc cao (High-order Harmonic Generation – viết tắt là HHG), tức là phát ra sĩng HHG cĩ tần số bằng số nguyên lần tần số của laser chiếu vào) (Lewenstein, Balcou, Ivanov, & Huillier, 1994). Phổ HHG cĩ dạng đặc trưng với ba vùng rõ rệt: (i) đầu tiên là vùng nhiễu loạn ở vùng tần số thấp, tại đĩ cường độ HHG giảm nhanh; (ii) sau đĩ là miền phẳng trải dài trên một miền của tần số, ở đĩ, cường độ HHG được giữ ổn định; (iii) cuối cùng, miền phẳng kết thúc tại điểm dừng, sau đĩ, cường độ HHG giảm nhanh đột ngột. HHG cĩ nhiều ứng dụng quan trọng như thu nhận thơng tin cấu trúc nguyên tử, phân tử (Baker et al., 2006; Haessler et al., 2015); thăm dị động lực học của electron (Zhang, Yu, Chen, Jiang, & Sun, 2015) và hạt nhân (Jin et al., 2012); chụp ảnh cắt lớp orbital lớp ngồi cùng (Highest-Occupied Molecular Orbital – viết tắt là HOMO) của phân tử (Itatani et al., Cite this article as: Tran Cong Minh, Truong Quan Hao, Tran Phuc Khang, Le Thi Cam Tu, & Phan Thi Ngoc Loan (2021). Tomography of partially aligned N2 molecules from high-order harmonic generation. Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(6), 1085-1099. 1085
2. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 2004, Qin, & Zhu, 2017). Trong đĩ, phương pháp chụp ảnh cắt lớp HOMO phân tử lần đầu tiên được thực hiện bởi Itatani và các cộng sự (Itatani et al., 2004) từ HHG đo đạc từ thực nghiệm cho phân tử N2. Sau đĩ, các tác giả (Le, Le, Xie, & Lin, 2007) đã bằng lí thuyết, chụp ảnh cắt lớp cho phân tử đối xứng như N2 và O2. Các tác giả (Le et al., 2007) đã chỉ ra những hạn chế của quy trình chụp ảnh cắt lớp của Itatani (Itatani et al., 2004), và đồng thời, đề xuất rằng, để nâng cao hiệu quả của hình ảnh tái tạo HOMO, nên sử dụng laser cĩ bước sĩng dài. Bên cạnh đĩ, một số các cơng trình đã phát triển phương pháp để khắc phục những khuyết điểm của mơ hình được đề xuất bởi Itatani, như sử dụng hàm sĩng tán xạ thay vì sĩng phẳng của electron ở vùng liên tục (Zhai et al., 2016). Sau đĩ, phương pháp chụp ảnh cắt lớp đã được ứng dụng khi HHG phát xạ khi tương tác với laser hai màu (Zhai et al., 2018). Gần đây, phương pháp chụp ảnh cắt lớp đã được mở rộng cho phân tử bất đối xứng CO (Qin, Zhu, Zhang, & Lu, 2012; Chen, Fu, & Liu, 2013; Xie, Yu, Li, Wang, & Chen, 2018; Zhai et al., 2018; Yuan et al., 2018). Theo quy trình chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử, đầu tiên, các phân tử cần phải được định phương trước khi tương tác với laser mạnh để phát ra HHG, nhằm tránh hiệu ứng trung bình (Itatani et al., 2004). Trong các cơng trình trước đây, các phân tử được giả thuyết là định phương hồn tồn trong quá trình phát xạ HHG (Itatani et al., 2004; Le et al., 2007; Qin et al., 2012; Chen et al., 2013; Zhai et al., 2018; Yuan et al., 2018). Tuy nhiên, trong thực tế, các phân tử chỉ cĩ thể định phương một phần (Zhou, Tong, Zhao, & Lin, 2005; Qin, & Zhu, 2017). Đại lượng đặc trưng cho chất lượng định phương của một khối khí phân tử được gọi là mức độ định phương. Các kĩ thuật định phương hiện nay được ứng dụng trong thực nghiệm sử dụng phương pháp va chạm (Pullman, Friedrich, & Herschbach, 1990; Aquilanti et al., 1994), phương pháp trường điện tĩnh (Cho, & Bernstein, 1991; Friedrich, & Herschbach, 1991; Seideman, 1995) và phương pháp định phương bằng trường laser yếu (Bretislav Friedrich, & Herschbach, 1995; Stapelfeldt, & Seideman, 2003). Hiện nay, trong thực nghiệm, người ta đã cĩ thể định phương khối khí với mức độ định phương cao, đến 0,8 (De et al., 2009). Các cơng trình nghiên cứu trước đây (Zhou, Tong, Zhao, & Lin, 2005; Qin, & Zhu, 2017) đã chỉ ra rằng, tín hiệu HHG của phân tử nhạy với gĩc định phương và mức độ định phương. Nguyên nhân là do HHG phát ra phụ thuộc vào sự phân bố của electron, hay nĩi cách khác, sự đối xứng của orbital phân tử (Zhou et al., 2005). Chú ý rằng theo mơ hình chụp ảnh cắt lớp của Itatani (Itatani et al., 2004), HHG là cơng cụ nhằm tái tạo HOMO của phân tử. Do đĩ, sự định phương khơng hồn tồn của phân tử ảnh hưởng đến chất lượng hình ảnh HOMO của phân tử được tái tạo từ HHG. Trong cơng trình (Qin, & Zhu, 2017), các tác giả đã tiến hành chụp ảnh cắp lớp cĩ tính đến sự định phương khơng hồn tồn cho các phân tử với orbital phân tử cĩ đối xứng khác nhau. Các tác giả nhận thấy ảnh hưởng của mức độ định phương đến hình ảnh chụp cắt lớp phụ thuộc vào dạng đối xứng của orbital và vùng tần số HHG được sử dụng để chụp ảnh cắt lớp. Cụ thể, với phân tử cĩ đối xứng πg như CO2, thì 1086
3. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk hình ảnh orbital tái tạo được từ vùng HHG khơng chứa cực tiểu giao thoa sẽ khơng bị ảnh hưởng bởi mức độ định phương phân tử. Trong khi đĩ, hình ảnh được tái tạo từ vùng HHG cĩ chứa cực tiểu giao thoa bị ảnh hưởng đáng kể bởi sự định phương phân tử. Cịn đối với phân tử cĩ đối xứng σg như N2, dù lấy bất cứ vùng tần số HHG nào, thì hình ảnh orbital tái tạo được đều nhạy với mức độ định phương của phân tử. Tuy nhiên, trong cơng trình trên (Qin, & Zhu, 2017), các tác giả tái tạo orbital phân tử chỉ từ một vùng tần số trong miền phẳng của phổ HHG, vì vậy, hình ảnh HOMO tái tạo được cĩ nhiều cấu trúc phụ, chưa thể hiện cấu trúc của orbital phân tử. Các cơng trình về chụp ảnh cắt lớp HOMO phân tử trước đây (Itatani et al., 2004; Le et al., 2007; Qin et al., 2012; Yuan et al., 2018; Zhai et al., 2018) đều sử dụng tồn bộ miền phẳng của HHG cho mục đích chụp ảnh cắt lớp. Do đĩ, trong bài báo này, chúng tơi nghiên cứu ảnh hưởng của sự định phương phân tử lên hình ảnh HOMO tái tạo được từ tồn bộ miền phẳng của HHG phân tử. Chúng tơi khảo sát sự tương quan giữa mức độ định phương phân tử và hình ảnh HOMO được tái tạo từ tồn bộ miền tần số – tương ứng với miền phẳng của phổ HHG được sử dụng. Bên cạnh đĩ, để mơ tả sự phân bố định phương phân tử bởi trường laser yếu, người ta thường giải phương trình Schrӧdinger (TDSE) cho phân tử quay trong điện trường laser (Lin, Le, Jin, & Wei, 2018). Tuy nhiên, để giảm khối lượng tính tốn, nhiều cơng trình sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích để mơ tả sự định phương phân tử ( Lein et al., 2005; Kraus, Baykusheva, & Wưrner, 2014; Yu, Li, Li, & Chen, 2017). Do đĩ, chúng tơi sẽ kiểm chứng tính chính xác của việc áp dụng hàm phân bố định phương giải tích bằng việc so sánh chúng với kết quả giải chính xác TDSE trong bài tốn chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử. Cấu trúc của bài báo được trình bày như sau. Trong mục 2, chúng tơi sẽ trình bày phương pháp định phương phân tử bằng TDSE; phương pháp tính HHG cho khối khí phân tử định phương khơng hồn tồn; và quy trình chụp ảnh cắt lớp HOMO phân tử từ HHG. Trong mục 3, chúng tơi lần lượt trình bày kết quả định phương phân tử, và HOMO tái tạo được từ HHG phát ra từ phân tử định phương khơng hồn tồn với mức độ định phương khác nhau. Cuối cùng là so sánh kết quả khi sử dụng hai phương pháp mơ tả hàm định phương khác nhau – chính xác từ TDSE và gần đúng bằng hàm giải tích. 2. Phương pháp Để tái tạo HOMO của phân tử, chúng tơi cần cĩ nguồn dữ liệu HHG thực nghiệm. Tuy nhiên, do khơng cĩ đủ dữ liệu HHG thực nghiệm cần thiết, chúng tơi tạo dữ liệu HHG “thực nghiệm” bằng cách mơ phỏng bằng số. Trong phần này, trước tiên, chúng tơi sẽ mơ phỏng sự định phương phân tử bằng giải chính xác bằng số phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian (TDSE). Sau đĩ, chúng tơi mơ phỏng HHG phát ra từ khối khí phân tử N2 định phương khơng hồn tồn bằng mơ hình Lewenstein. Cuối cùng, chúng tơi trình bày tĩm tắt quy trình chụp ảnh cắt lớp HOMO phân tử từ phổ HHG. 1087
4. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 Hình 1. Mơ hình phân tử và chùm laser định phương E' , laser thăm dị E Để định phương phân tử, chúng tơi sử dụng phương pháp dùng laser yếu – hay cịn gọi là laser định phương (Bretislav Friedrich, & Herschbach, 1995; Stapelfeldt, & Seideman, 2003). Mơ hình bài tốn được thể hiện trên Hình 1, trong đĩ E là vector phân cực của laser định phương, hợp với trục phân tử gĩc  . Sau đĩ chiếu chùm laser mạnh hay cịn gọi là laser thăm dị E để kích thích quá trình tương tác trường mạnh, tức tạo phổ HHG. Gĩc tạo bởi vector với trục phân tử được kí hiệu là  ; gĩc giữa và là  ; gĩc hợp bởi mặt phẳng chứa phân tử và vectơ với mặt phẳng chứa E , E là . 2.1. Tính hàm định phương phân tử bằng giải số phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian Chúng tơi sử dụng phương pháp giải trực tiếp phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian, được mơ tả cụ thể trong nhiều tài liệu, như trong cơng trình (Lin et al., 2018). Xét phân tử đối xứng, được đặt trong trường laser yếu với cường độ và tần số sao cho khơng gây ra sự ion hĩa. Hamiltonian của hệ laser-phân tử cĩ dạng 2 1 H=− BJ E ( t) E( t), (1) eff 2 1 trong đĩ, Jˆ là tốn tử quay của phân tử, BI= là hằng số quay và I là moment quán tính 2 của phân tử. là tensor phân cực của phân tử cĩ thể được phân tích thành thành phần song song và thành phần vuơng gĩc với phân tử α và α⊥ . Phương trình (1) trở thành 2 2 Et ( ) HBJ= − − cos2  + , (2) eff 2 ( ‖ ⊥⊥) trong đĩ, Et ( ) là vector phân cực của laser chỉ phương,  là gĩc giữa trục phân tử vectơ chỉ phương của điện trường của laser . Thành phần ⊥ khơng phụ thuộc vào gĩc  nên cĩ thể bỏ qua. Ban đầu, các phân tử ở trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T , với các trạng thái quay JM được phân bố bởi hàm phân bố Boltzmann như sau 1 JJ( +1) JM (T ) =−exp , (3) Z( T) 2 IkB T 1088
5. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk trong đĩ, kB là hằng số Boltzmann và ZT( ) là hàm tổng thống kê của các trạng thái. Đối với phân tử đối xứng, xác suất spin của hạt nhân cần được tính đến. Đối với N2, cơng thức trên phải được nhân với một hệ số bổ sung gs = 2 cho các trạng thái cĩ số lượng tử quay J chẵn và gs =1 cho các J lẻ. Khi các phân tử thẳng được đặt trong trường điện của một laser, điện trường của laser kích thích sự chồng chập của các trạng thái quay hay cịn gọi là bĩ sĩng quay của từng phân tử. Sự tiến hĩa của bĩ sĩng quay theo thời gian từ trạng thái ban đầu là JM ( ,,t = − ) = JM , với  là gĩc phương vị, được tính từ TDSE với Hamiltonian tương tác trong phương trình trên 2  ( , ,t) 2 E( t) iJM = BJ − − cos2    ,  ,t . (4) ( ‖ ⊥ ) JM ( ) t 2 Phương trình trên phải được giải cho từng trạng thái JM ban đầu. Cần chú ý, với các chuyển dời trạng thái quay của phân tử, tức chuyển dời Raman, quy tắc lọc lựa với J =0, 2 được áp dụng. Khi sử dụng laser phân cực thẳng, số lượng tử M được bảo tồn, nên nghiệm phương trình trên cĩ dạng như sau =JM(,,,,. t)  C J ( JM t) Y J M (   ) (5) J Phương trình này được giải số bằng phương pháp tách tốn tử (Lin et al., 2018). Đối với phương pháp định phương gần đúng đoạn nhiệt, sau khi tắt trường laser yếu tại thời điểm t f , bĩ sĩng quay sẽ tiếp tục tiến hĩa theo thời gian −iEJf t =JM(,  , t) C J ( JM , t) e Y J M (  ,  ) , (6) J với EJ =+ BJ ( J 1) là trị riêng của hàm cầu. Sau khi giải phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian cho từng trạng thái ban đầu JM , mật độ xác suất phân bố định phương theo gĩc và thời gian của các phân tử được biểu diễn như sau 2 ( ,,,.tt) = JM JM (   ) (7) JM Mức độ định phương lúc này được tính như sau cos22 = 2 (  ,td) cos  sin   . (8) 0 2.2. Phương pháp tính HHG của phân tử định phương khơng hồn tồn Sau khi khối khí N2 được định phương, laser mạnh được chiếu vào nhằm thu nhận HHG. Hàm phân bố định phương (7) được chuyển từ hệ quy chiếu gắn với laser định phương sang hệ quy chiếu gắn với laser mạnh như sau  ( ,,,,,, tt) = (  (   ) ) (9) trong đĩ, định lí cosin trong hình cầu mơ tả mối liên hệ giữa các gĩc như sau 1089
6. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 cos =+ cos  cos  sin  sin  cos . Cường độ HHG của khối khí, được phát ra theo hai phương song song (được kí hiệu với chỉ số z), và vuơng gĩc (chỉ số x) với vector phân cực của laser mạnh, được mơ tả 2 SA,,,,() (  ) (  )sin  d  d z z (10) 2 SA,,,.() (  ) (  )sin  d  d x x S  và S  được gọi là HHG song song và HHG vuơng gĩc, được lấy trung z ( ) x ( ) bình theo hàm phân bố định phương. A,,x ( ) và A,,z ( ) là biên độ của HHG song song và vuơng gĩc của phân tử, được định phương cố định với gĩc  và trong khơng gian. Biên độ HHG của một phân tử được chúng tơi tính bằng mơ hình Lewenstein, được trình bày chi tiết trong (Lewenstein et al., 1994). 2.3. Phương pháp chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử Quy trình chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử được đưa ra bởi Itatani và các cộng sự (Itatani et al., 2004). Chúng tơi trình bày lại phương pháp này cho trường hợp phân tử cố định trong khơng gian với gĩc và . Khi khối khí định phương khơng hồn tồn, quy trình tương tự. Trong gần đúng trường mạnh cường độ HHG được biểu diễn như sau 2 4 S( , ) N( )  a k( ) d(  , ) , (11) trong đĩ, S,() là cường độ HHG mà phân tử, nguyên tử phát ra với tần số  . N () là tốc độ ion hĩa của phân tử, nguyên tử. ak () là biên độ sĩng phẳng mơ tả electron quay trở lại tương tác với ion mẹ, d(, ) =( 2 )−3/2 d r( r , ) r exp ik( ) x là vector lưỡng 0 cực chuyển dời từ trạng thái ban đầu 0 (r,) – được mơ tả bởi hàm sĩng HOMO, lên trạng thái electron tự do. Hệ số tán sắc kI() =−2(p ) thể hiện mối liên hệ giữa số sĩng của electron tự do và tần số HHG, với I p là thế ion hĩa của phân tử. Để tính giá trị ak () ta sẽ dùng nguyên tử tham chiếu cĩ thế ion hĩa tương đương thế ion hĩa của phân tử cần khảo sát, từ đĩ tính được biên độ sĩng phẳng như sau 1 1 − −2 2 2 a k() =  Sref ( ) dref ( k) , (12) với Sref () và dkref ( ) lần lượt là cường độ HHG và lưỡng cực dịch chuyển của nguyên tử tham chiếu tương ứng. Từ biểu thức (11) và (12) ta cĩ thể tính được giá trị tuyệt đối của lưỡng cực dịch chuyển của phân tử −1 dk,( ) = N( ) dkS,/Sref ( ) (  ) ref ( ) . (13) 1090
7. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk Hàm sĩng trong hệ quy chiếu phân tử thu được từ dữ liệu lưỡng cực dịch chuyển bằng cách áp dụng định lí cắt lớp Fourier (Kak, & Slaney, 2001) + x x,y =d d  eik( x cos+ y sin ) cos  d  ,  + sin  d  ,  , ( ) xy( ) ( ) 00 + y x,y =d d  eik( x cos+ y sin ) − sin  d  ,  + cos  d  ,  , (14) ( ) xy( ) ( ) 00 1 ( x,y) =( x ( x,y/x) + y ( x,y/y.) ) 2 Chú ý rằng trong cơng thức (14), lưỡng cực dịch chuyển được trích xuất từ “thực nghiệm” bằng cơng thức (13), tức là trong hệ quy chiếu gắn với phịng thí nghiệm, đã được xoay về hệ quy chiếu gắn với phân tử. Từ đĩ, ta thu được hàm sĩng của HOMO phân tử. 3. Kết quả và thảo luận Trong phần này, trước tiên, chúng tơi trình bày kết quả mơ phỏng sự định phương của phân tử N2 trong trường laser yếu. Sau đĩ, chúng tơi trình bày kết quả tính tốn phổ HHG “thực nghiệm” với các mức độ định phương khác nhau. Từ đĩ, tái tạo hình ảnh HOMO của phân tử. Cuối cùng, chúng tơi sẽ so sánh chất lượng hình ảnh chụp cắt lớp HOMO của phân tử khi sử dụng cách mơ phỏng sự định phương phân tử khác nhau – sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích, và hàm chính xác giải từ TDSE. 3.1. Kết quả mức độ định phương của phân tử N2 sử dụng trường laser yếu Hình 2. (a) Sự phụ thuộc của mức độ định phương theo thời gian trễ; (b) hàm phân bố định phương ( ,t). Xung laser được sử dụng cĩ bước sĩng 800 nm, độ dài xung 60 fs, và cường độ 7×1013 W/cm2, 2×1013 W/cm2, và 5×1012 W/cm2 để đạt mức độ định phương lần lượt là 0.73, 0.50, và 0.33. Nhiệt độ của khối khí là 20K Đầu tiên, chúng tơi trình bày kết quả TDSE định phương cho khối khí phân tử N2 ở nhiệt độ 20 K, sử dụng laser định phương cĩ bước sĩng 800 nm với chu kì của laser là 60 fs, 1091
8. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 cường độ laser là 7 1013 W/cm2. Hình 2(a) thể hiện sự phụ thuộc của mức độ định phương cos2  vào thời gian trễ, tức thời gian sau khi tắt laser định phương. Kết quả cho thấy, mức đạt giá trị cực đại ( 0.73 ) vào khoảng thời điểm 3.9 ps sau khi tắt laser định phương. Bên cạnh đĩ, giá trị chất lượng định phương đạt cực đại tại thời điểm 12.3 ps. Ở các thời điểm cực đại này, phân tử ưu tiên sắp xếp theo phương phân cực của laser định phương. Tuy nhiên, vào thời điểm 8.1ps, giá trị mức độ định phương đạt cực tiểu, tức là các phân tử định phương vuơng gĩc với vector phân cực của laser định phương. Kết quả này phù hợp với cơng trình nghiên cứu trước đây (Lin et al., 2018). Để khảo sát các quá trình trường mạnh của phân tử, người ta thường chọn thời điểm các phân tử được định phương tốt nhất để chiếu laser mạnh vào. Trong bài báo này, để khảo sát hình ảnh chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử N2 chúng tơi lấy mức độ định phương cao nhất trong quá trình định phương. Tại thời điểm thời gian trễ ps, tức mức độ định phương đạt cos2 = 0.73, hàm phân bố định phương ( ,t) được biểu diễn trên Hình 2(b). Đồng thời, chúng tơi cũng biểu diễn hàm phân bố định phương cho các trường hợp mức độ định phương cos2 = 0.50 , và cos2 = 0.33 ứng với laser định phương cĩ cường độ 2×1013 W/cm2, và 5×1012 W/cm2. Kết quả cho thấy, các phân tử hầu như tập trung xung quanh gĩc  = 00 hoặc  =1800 . Khi mức độ định phương giảm dần, mật độ phân bố ở các gĩc này giảm dần, và tăng sự phân bố ở các gĩc khác. Với cos2 = 0.33 hàm phân bố cĩ dạng phân bố đều, tức ứng với khối khí phân tử phân bố đẳng hướng. 3.2. Chụp ảnh cắt lớp HOMO phân tử N2 định phương khơng hồn tồn Sử dụng hàm phân bố định phương thu được ở mục trên, chúng tơi áp dụng cơng thức (10) để tính HHG trung bình của khối khí định phương khơng hồn tồn. Kết quả được tính bằng mơ hình Lewenstein với hàm sĩng ban đầu của phân tử N2 được tính từ phần mềm GAUSSIAN (Frisch, Plata, & Singleton, 2009). Laser mạnh cĩ bước sĩng 1200 nm, cường độ 2×1014 W/cm2, độ dài xung 11 chu kì quang học. Chúng tơi sử dụng xung laser cĩ hàm bao là hàm Gaussian. Kết quả được thể hiện trên Hình 3(a) cho HHG song song và Hình 3(b) cho HHG vuơng gĩc trong hệ quy chiếu gắn với phịng thí nghiệm, phát ra từ khối khí  N2, khi gĩc θ = 30 , với mức độ định phương 1 (hồn tồn), 0.73, và 0.50 (khơng hồn tồn). Kết quả cho thấy, sự định phương khơng ảnh hưởng đến điểm dừng của phổ HHG, tại bậc 99, phù hợp bậc 97 theo định luật điểm dừng IUpp+ 3. 17 , với U p là thế trọng động. Tuy nhiên, mức độ định phương ảnh hưởng đến cường độ HHG và vị trí điểm cực tiểu trong phổ HHG. Cụ thể, khi mức độ định phương giảm, cường độ HHG giảm, điểm giao thoa cực tiểu dịch về phía bậc HHG cao. Nguyên nhân là do khi mức độ định phương giảm, đĩng gĩp của HHG gây ra bởi các gĩc  lớn trở lên đáng kể, làm ảnh hưởng đến cường độ và cấu trúc phổ HHG. 1092
9. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk Hình 3. Cường độ HHG song song (a) và vuơng gĩc (b) với các mức độ định phương khác nhau, khi  = 300 . Xung laser với bước sĩng 1200 nm, cường độ 2×1014 W/cm2, độ dài xung 11 chu kì quang học được sử dụng Từ phổ HHG, chúng tơi tách lưỡng cực dịch chuyển theo phương song song và vuơng gĩc theo cơng thức (13). Hình 4 biểu diễn độ lớn của lưỡng cực dịch chuyển trong hệ tọa độ gắn với phịng thí nghiệm cho giá trị k 2 =0.,. 13 13 96 , tức sử dụng các bậc HHG trong vùng miền phẳng từ bậc 17 đến điểm dừng – bậc 99. Kết quả cho thấy khi phân tử định phương hồn tồn, cos2 = 1, lưỡng cực dịch chuyển phụ thuộc mạnh vào k 2 . Tuy nhiên, khi giảm dần mức độ định phương, độ lớn của lưỡng cực dịch chuyển thay đổi, và tiến dần về 0. Sự giảm dần về 0 ngụ ý rằng, lưỡng cực dịch chuyển mất dần tính cấu trúc theo , tức theo năng lượng; tiên đốn sự mất dần cấu trúc trong khơng gian đảo của nĩ, tức khơng gian tọa độ. Như vậy, mức độ định phương phân tử ảnh hưởng đến lưỡng cực dịch chuyển, do đĩ, dự đốn sẽ ảnh hưởng đến hình ảnh chụp cắt lớp của HOMO của phân tử. Hình 4. Lưỡng cực dịch chuyển của phân tử N2 với mức độ định phương khác nhau. Gĩc định phương là  = 300 . Laser cĩ thơng số như trên Hình 3 được sử dụng 1093
10. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 Hình 5. HOMO của phân tử N2 được tái tạo từ HHG định phương khơng hồn tồn với mức độ định phương khác nhau Với lưỡng cực dịch chuyển gắn với hệ quy chiếu phịng thí nghiệm thu được từ HHG “thực nghiệm”, chúng tơi dùng phép quay để chuyển chúng về hệ quy chiếu gắn với phân tử, sau đĩ dùng phép biến đổi Fourier ngược để thu được hàm sĩng (xem phương trình (14)). Hình ảnh HOMO phân tử N2 được tái tạo từ HHG với mức độ định phương khác nhau được trình bày trên Hình 5. Hình 5(a) thể hiện hình ảnh mơ phỏng HOMO của khối khí phân tử N2 được định phương hồn tồn. Chúng tơi nhận thấy, HOMO của N2 cĩ cấu trúc ba thùy rõ rệt, phù hợp với kết quả các cơng trình cơng bố trước đây (Itatani et al., 2004; Le et al., 2007; Qin, & Zhu, 2017)]. Hình 5(b)-5(d) thể hiện hình ảnh HOMO của phân tử N2 khi mức độ định phương giảm dần. Ở Hình 5(a)-5(b), khi mức độ định phương cao, chúng tơi vẫn cĩ thể nhìn thấy rõ các thùy của phân tử N2. Tuy nhiên, khi giảm mức độ định phương, sự tương phản giữa các thùy giảm càng rõ rệt. Ở Hình 5(c) và 5(d), với mức độ định phương thấp, chúng tơi khơng cịn thấy rõ hai thùy của phân tử N2. Lúc này, hình ảnh HOMO của phân tử gần giống như orbital của nguyên tử, tức phân bố của đám mây electron khơng cịn phụ thuộc vào gĩc cực. Điều này cĩ thể giải thích là do khi khối khí được định phương kém, thì hiệu ứng trung bình làm mất đi tính cấu trúc của phổ HHG, và lưỡng cực dịch chuyển. Do đĩ, sử dụng HHG trung bình hĩa bị mất tính cấu trúc, sẽ khơng cịn phù hợp để chụp ảnh cắt lớp HOMO của phân tử. Chúng tơi kết luận rằng, với mức độ định phương đạt được trong phịng thí nghiệm hiện nay (~0.8), thì cấu trúc của HOMO của phân tử vẫn cĩ thể được tái tạo từ phổ HHG với chất lượng tốt. Tuy nhiên, khi mức độ định phương thấp, khơng cịn thu nhận được HOMO phân tử. Chúng tơi nhận thấy mức độ định phương giới hạn để hình ảnh thu được vẫn cịn thấy rõ hai thùy của phân tử N2 là 0.50. 1094
11. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk 3.3. Sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích mơ tả hàm phân bố định phương Ngồi việc sử dụng hàm phân bố định phương thu được bằng cách giải chính xác bằng số TDSE (xem mục 2.1), trong nhiều cơng trình như (Lein et al., 2005; Kraus et al., 2014; Yu et al., 2017), các tác giả sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích để mơ tả chúng. Sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích cho phép tính tốn nhanh, tiết kiệm thời gian và tài nguyên tính tốn, và cho phép đưa ra các kết luận cả về mặt định tính và định lượng về ảnh hưởng của mức độ định phương lên các hiệu ứng vật lí trường mạnh (Lein et al., 2005). Trong tiểu mục này, chúng tơi kiểm tra xem, liệu rằng việc sử dụng gần đúng bằng hàm phân bố giải tích (Lein et al., 2005) cĩ ảnh hưởng đến kết luận về ảnh hưởng của chất lượng định phương đến hình ảnh HOMO tái tạo từ HHG của khối khí phân tử N2 định phương khơng hồn tồn. Hàm phân bố định phương được mơ tả gần đúng bằng hàm giải tích như sau  1 ( ) = A, (15)  +1 22 2 ln − cos  −1 trong đĩ, tham số  1 để kiểm sốt hàm phân bố và mức độ định phương (Lein et al., 2005). Khi  =1, các phân tử được định phương hồn tồn. A là hệ số chuẩn hĩa. Hình 6. Phân bố định phương của hàm giải tích (nét đứt) và hàm chính xác từ TDSE (nét liền) cho hai mức độ định phương 0.73 và 0.50 Để so sánh trực quan hàm phân bố định phương giải tích (15), và phân bố định phương giải chính xác từ TDSE (mục 2.1), trên Hình 6, chúng tơi biểu diễn chúng cho hai trường hợp mức độ định phương cos2 = 0.73 và cos2 = 0.50 . Kết quả cho thấy, hai cách biểu diễn hàm phân bố (gần đúng và chính xác) dạng và độ lớn tương tự nhau. Sự tương tự này sẽ dẫn đến sự tương tự về HHG, và lưỡng cực dịch chuyển khi sử dụng hai cách biểu diễn khác nhau của hàm phân bố. Cuối cùng, chúng tơi sử dụng HHG phát ra từ phân tử N2 định phương khơng hồn tồn, mà sự định phương được mơ tả bằng hàm giải tích gần đúng, để tái tạo hình ảnh HOMO. 1095
12. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 Kết quả được biểu diễn trên Hình 7, và so sánh với trường hợp hàm định phương được giải chính xác từ TDSE. Kết quả cho thấy, với cùng một mức độ định phương, về mặt định tính, chất lượng hình ảnh HOMO tái tạo được từ HHG với hai cách mơ tả hàm định phương khác nhau, là tương đương nhau. Để phân tích định lượng, trên Hình 8, chúng tơi trình bày ảnh chụp lát cắt hàm sĩng cho các trường hợp y =−0.5, y = 0 , y = 0.5 khi so sánh hai cách mơ tả định phương ở các mức độ định phương lần lượt là cos2  = 0.50 , và cos2  = 0.73. Kết quả cho thấy, mặc dù sử dụng cách mơ tả hàm phân bố định phương khác nhau, nhưng lát cắt của HOMO giống nhau. Như vậy, chúng tơi kết luận rằng mơ tả định phương phân tử gần đúng bằng hàm giải tích, vẫn cho kết quả chính xác về mặt định tính và định lượng. Hình 7. So sánh HOMO của phân tử N2 với các mức độ định phương khác nhau. Sự định phương của phân tử được mơ tả gần đúng bằng hàm giải tích [(a) – (b)], và hàm chính xác từ TDSE [(c) - (d)] Hình 8. Lát cắt tại :(a) y =−05. , (b) y = 0, (c) y = 05. của HOMO phân tử N2 với các mức độ định phương khác nhau. Sự định phương của phân tử được mơ tả gần đúng bằng hàm giải tích [(a) – (b)], và hàm chính xác từ TDSE [(c) - (d)] 1096
13. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk 4. Kết luận Trong bài báo này, chúng tơi đã khảo sát ảnh hưởng của sự định phương khơng hồn tồn lên hình ảnh HOMO tái tạo được từ phổ HHG. Kết quả cho thấy, sự định phương ảnh hưởng rõ rệt đến chất lượng hình ảnh HOMO. Mức độ định phương giảm dẫn đến giảm sự tương phản, tức làm mất đi tính cấu trúc của hình ảnh HOMO. Khi mức độ định phương nhỏ hơn 0.5, hình ảnh HOMO của phân tử N2 khơng thể hiện được cấu trúc của phân tử, mà gần cĩ đối xứng cầu tương tự như nguyên tử. Cuối cùng, chúng tơi kết luận rằng sử dụng gần đúng bằng hàm giải tích để mơ tả hàm định phương phân tử vẫn cho kết quả đáng tin cậy, và giảm được khối lượng tính tốn so với giải chính xác từ TDSE. ❖ Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng cĩ xung đột về quyền lợi. ❖ Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi đề tài cơ sở trọng điểm của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, mã số CS2020.19.05TĐ. TÀI LIỆU THAM KHẢO Aquilanti, V., Ascenzi, D., Cappelletti, D., & Pirani, F. (1994). Velocity dependence of collisional alignment of oxygen molecules in gaseous expansions. Nature, 371, 399-402. Baker, S., Robinson, J. S., Haworth, C. A., Teng, H., Smith, R. A., Chirilǎ, C. C., Marangos, J. P. (2006). Probing proton dynamics in molecules on an attosecond time scale. Science, 312(5772), 424-427. Chen, Y. J., Fu, L. B., & Liu, J. (2013). Asymmetric Molecular Imaging through Decoding Odd- Even High-Order Harmonics. Physical Review Letters, 111(7), 073902. Cho, V. A., & Bernstein, R. B. (1991). Tight focusing of beams of polar polyatomic molecules via the electrostatic hexapole lens. Journal of Physical Chemistry, 95(21), 8129-8136. De, S., Znakovskaya, I., Ray, D., Anis, F., Johnson, N. G., Bocharova, I. A., & Kling, M. F. (2009). Field-Free Orientation of CO Molecules by Femtosecond Two-Color Laser Fields. Physical Review Letters, 103(15), 153002. Friedrich, B., & Herschbach, D. R. (1991). On the possibility of orienting rotationally cooled polar molecules in an electric field. Zeitschrift Für Physik D Atoms, Molecules and Clusters, 18(2), 153-161. Frisch, Ỉ., Plata, R. E., & Singleton, D. A. (2009). Gaussian 09W Reference. J. Am. Chem. Soc., 137, 3811-3826. Haessler, S., Caillat, J., Boutu, W., Ruchon, T., Diveki, Z., Breger, P., & Ruchon, T. (2015). Attosecond imaging of molecular electronic wave-packets. Nature Physics, 200-206. Itatani, J., Levesque, J., Zeidler, D., Niikura, H., Pépin, H., Kieffer, J. C., & Villeneuve, D. M. (2004). Tomographic imaging of molecular orbitals. Nature, 432(7019), 867-871. Jin, C., Bertrand, J. B., Lucchese, R. R., Wưrner, H. J., Corkum, P. B., Villeneuve, D. M., & Lin, C. D. (2012). Intensity dependence of multiple orbital contributions and shape resonance in high-order harmonic generation of aligned N2 molecules. Physical Review A, 85(1), 013405. 1097
14. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1085-1099 Kak, A. C., & Slaney, M. (2001). Principles of Computerized Tomographic Imaging. Society for Industrial and Applied Mathemathics, New York. Kraus, P. M., Baykusheva, D., & Wưrner, H. J. (2014). Two-pulse field-free orientation reveals anisotropy of molecular shape resonance. Physical Review Letters, 113(2), 023001. Le, V.-H., Le, A.-T., Xie, R.-H., & Lin, C. D. (2007). Theoretical analysis of dynamic chemical imaging with lasers using high-order harmonic generation. Physical Review A, 76(1), 013414. Lein, M., De Nalda, R., Heesel, E., Hay, N., Springate, E., Velotta, R., & Marangos, J. P. (2005). Signatures of molecular structure in the strong-field response of aligned molecules. Journal of Modern Optics, 52(2-3), 465-478. Lewenstein, M., Balcou, P., Ivanov, M. Y., & Huillier, A. L. (1994). Theory of high-harmonic generation by low-frequency laser fields. Physical Review A, 49(3), 2117-2132. Lin, C. D., Le, A. T., Jin, C., & Wei, H. (2018). Attosecond and Strong-Field Physics: Principles and Applications. In Cambridge University Press. Maiman, T. H. (1960). Stimulated Optical Radiation in Ruby. Nature, 187(4736), 493-494. Pullman, D. P., Friedrich, B., & Herschbach, D. R. (1990). Facile alignment of molecular rotation in supersonic beams. The Journal of Chemical Physics, 93(5), 3224-3236. Qin, M., & Zhu, X. (2017). Molecular orbital imaging for partially aligned molecules. Optics and Laser Technology, 87, 79–86. Qin, M., Zhu, X., Zhang, Q., & Lu, P. (2012). Tomographic imaging of asymmetric molecular orbitals with a two-color multicycle laser field. Optics Letters, 37(24), 5208. Seideman, T. (1995a). On the selection of magnetic states in angle-resolved photodissociation. The Journal of Chemical Physics, 102(16), 6487-6498. Seideman, T. (1995b). On the selection of magnetic states in angle‐resolved photodissociation. The Journal of Chemical Physics, 102(16), 6487-6498. Stapelfeldt, H., & Seideman, T. (2003). Colloquium: Aligning molecules with strong laser pulses. Rewiews of Modern Physics, 75, 543-557. Xie, X., Yu, S., Li, W., Wang, S., & Chen, Y. (2018). Routes of odd-even harmonic emission from oriented polar molecules. Optics Express, 26(14), 18578. Yu, S. J., Li, W. Y., Li, Y. P., & Chen, Y. J. (2017). Probing degrees of orientation of top molecules with odd-even high-order harmonics. Physical Review A, 96(1), 013432. Yuan, H., He, L., Wang, F., Wang, B., Zhu, X., Lan, P., & Lu, P. (2018). Tomography of asymmetric molecular orbitals with a one-color inhomogeneous field. Optics Letters, 43(4), 931. Zhai, C., He, L., Lan, P., Zhu, X., Li, Y., Wang, F., & Lu, P. (2016). Coulomb-corrected molecular orbital tomography of nitrogen. Scientific Reports, 6, 23236. Zhai, C., Zhang, X., Zhu, X., He, L., Zhang, Y., Wang, B., & Lu, P. (2018). Single-shot molecular orbital tomography with orthogonal two-color fields. Optics Express, 26(3), 314573. Zhang, B., Yu, S., Chen, Y., Jiang, X., & Sun, X. (2015). Time-resolved dynamics of odd and even harmonic emission from oriented asymmetric molecules. Physical Review A, 92(5), 053833. Zhou, X., Tong, X. M., Zhao, Z. X., & Lin, C. D. (2005). Alignment dependence of high-order harmonic generation from N2 and O2 molecules in intense laser fields. Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics, 72(3), 033412. 1098
15. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Cơng Minh và tgk TOMOGRAPHY OF PARTIALLY ALIGNED N2 MOLECULES FROM HIGH-ORDER HARMONIC GENERATION Tran Cong Minh1, Truong Quan Hao1, Tran Phuc Khang1, Le Thi Cam Tu2, Phan Thi Ngoc Loan1* 1Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam 2Ton Duc Thang University, Vietnam *Corresponding author: Phan Thi Ngoc Loan – Email: loanptn@hcmue.edu.vn Received: January 18, 2021; Revised: April 22, 2021; Accepted: June 08, 2021 ABSTRACT Using the molecular tomography method, we reconstruct the highest-occupied molecular orbital (HOMO) from the high-order harmonic generation (HHG) emitted from N2 molecules when considering the alignment effect. We utilize two different approaches to describe the alignment distribution – (i) exactly by numerically solving the time-dependent Schrӧdinger equation and (ii) by an approximately analytical function. The results show that when lowering the degree of alignment, the accuracy of the reconstructed molecular HOMO decreases. When the alignment degree is less than 0.5, the HOMO cannot be reconstructed exactly. Also, the two different approaches of the alignment distribution offer the same results. Keywords: high-order harmonic generation; N2 molecules; partially alignment; tomography 1099