Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker

Nội dung text: Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker

1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 196-200, DOI 10.15625/vap.2019000278 Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker Nguyễn Thái Minh Tuấn Bộ môn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: nguyenthaiminhtuan@yahoo.com Tóm tắt a11BBB a 12 a 1s Sử dụng tích Kronecker là một cách để lưu trữ các thông tin có a21BBB a 22 a 2s nhiều hơn hai chỉ số trong một mảng hai chiều, nhờ đó mà khả AB= . (1) năng của đại số ma trận được mở rộng. Báo cáo này dùng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector của Nguyễn ar12BBB a r a rs Văn Khang và tích Kronecker, đồng thời đưa ra một số định nghĩa cũng như tính chất khác để phân tích động lực học một Tích Kronecker có những tính chất sau đây [7-9] vật rắn không gian. Nhờ đó, một dạng ma trận mới của các phương trình Newton-Euler sẽ được thiết lập. ()()ABCABC  =   , (2) ()ABAB=TTT , (3) Từ khóa: Newton-Euler, tích Kronecker, dạng ma trận. ABCABAC+=+() , (4) ()BCABACA+=+ , (5) 1. Mở đầu ()()()()ABCDACBD= . (6) Các phép tính ma trận được sử dụng rất phổ biến trong động lực học hệ nhiều vật bởi sự thuận tiện trong Để các phép tính có thể thực hiện được, trong các việc viết các công thức tổng quát. Tuy nhiên, các phép công thức (4) và (5) thì các ma trận B và C phải cùng cỡ, tính căn bản như nhân hoặc cộng các ma trận là không đủ trông công thức (6) thì cỡ của các ma trận phải thỏa mãn trong nhiều trường hợp, nhất là khi ta cần làm việc với điều kiện cần để thực hiện các phép nhân ma trận AC và các đạo hàm theo biến vector. BD. Sử dụng tích Kronecker, các nghiên cứu của Nguyễn Văn Khang [1-3] trình bày một định nghĩa nhất quán của 2.2. Đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector, một số tính Định nghĩa 2. Đạo hàm riêng của một hàm ma trận chất của phép toán này và dạng ma trận của phương trình matrix Ax() cỡ rs theo biến vector x cỡ n 1là Lagrange loại hai và phương trình Lagrange với nhân tử. một ma trận cỡ r s n được xác định như sau [1-3] Các kết quả đó giúp cho việc thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật trở nên tiện lợi hơn, Ax() aa12 as khi các phép tính cần thực hiện đều là các phép tính với = , (7) ma trận, thay vì phải thực hiện với từng phần tử của ma x  x  x  x trận như khi sử dụng các ký hiệu Christoffel [4]. Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo trong đó ai là cột thứ i của ma trận A biến vector, tác giả cũng đã đưa ra một dạng mới của phương trình Lagrange loại hai, trong đó thể hiện rõ các A=  a a a . (8) thành phần bậc hai [5]. 12 s Báo cáo này sẽ xây dựng một dạng ma trận mới của các phương trình Newton-Euler. Một phần kết quả đã Ta có một số định lý sau đây. được trình bày trước trong phụ lục của luận án của tác giả Định lý 1. [1-3] [6]. dA( xA )( x ) A( xEx )()== . (9) 2. Một số phép tính ma trận dt x s 2.1 Tích Kronecker Định lý 2. [1-3] Định nghĩa 1. Tích Kronecker của hai ma trận A = []a và B là một ma trận cỡ [7-9] r s ij pq rp sq (A ( x ) B ( x ))  A ( x )  B ( x ) =(())()B x  E + A x .(10) x  xn  x Định lý 3.
2. Nguyễn Thái Minh Tuấn d(())Jqq Jq() là rsn 1 =+Jqqqq()() . (11) dt q TTT 0 −αα32 TTT Chứng minh. Áp dụng (9) và (6), ta có A =− α0α31. (17) TTT −αα021 dd(())(())JqqJq =+Jqqq() dtdt Định lý 5. Từ (15) và (17), dễ dàng chứng minh được Jq() rằng =+JqqqEEq()()() n 1 q . Jq() A x A= E x()3 . (18) =+JqqqEEq()()() 1 n q Jq() =+Jqqqq()() 3. Dạng ma trận của các phương trình q Newton-Euler Xét một vật rắn B di chuyển trong một hệ quy chiếu Định lý 4. quán tính (0): O x y z . Hệ quy chiếu động gắn với vật 0 0 0 0 được ký hiệu là (b): O x y z . Ma trận cosine chỉ hướng ()()()ExAdAEdxpnpmmn= 11 . (12) b b b b (0) của B là Aqb (), trong đó qn 1 là vector các tọa độ suy Chứng minh. Áp dụng (6) hai lần liên tiếp, ta có (0) rộng độc lập. Ab được xác định như sau ()()()Ex= AdExAdE pp1 (0)(0)(0)(0) (19) Axyzbbbb= ,, =()()E AdxE p 1 . (0) (0) (0) =()()AdE x n trong đó xb , yb và zb lần lượt là các vector đơn =()()AEdxn vị của hệ Oxyzbbbb viết trong hệ quy chiếu quán tính (0). Một số tính chất của ma trận cosine chỉ hướng liên Định nghĩa 3. Lũy thừa Kronecker bậc k của ma trận quan đến vector [10, 11] A được xác định như sau (0)(0)(T ) −1 b k AAA ==, (20) AAA= k N . (13) ( bb) ( ) 0 k A (0)()(0)b Auub = , (21) (bb ) (0) ( ) A0 u= u , (22) (0)(0)(0) T 2.3. Ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân có ωAA= bb( ) , (23) hướng và dạng mở rộng ()(0)(0)b T Định nghĩa 4. Ứng với phép nhân có hướng, ma trận ωAA= ( bb) (24) đối xứng lệch của vector trong đó u(0) và u()b lần lượt là vector đại số của một T a = aaa123  (14) vector hình học u bất kỳ trong hệ quy chiếu (0) và (b),  là vận tốc góc của vật rắn B. là [10], [11] Ta biết rằng tensor hạng hai 0 −aa m 32 T= a b , (25)  kk a =−aa0 . (15) k =1 31 −aa210 với ab là tích dyad của hai vector a và b còn kk k k Định nghĩa 5. Ma trận khối đối xứng lệch của một ma m là một số nguyên dương nào đó, có ma trận như sau trận có ba hàng [10] m αT T 1 T=  akk b . (26) T k =1 A = α2 (16) T α3 Từ (21) ta có
3. Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker 0 0 (0)(0)(0)()()(0)TTT bb abAabA ==km1, . (27) trong đó vC và aC là vận tốc và gia tốc khối tâm C kkbkkb( ) ( ( ) )( ) của B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), m là khối lượng của B. Định lý 6. Từ (27) ta có thể suy ra được rằng Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi tịnh tiến [5, 10, 11], và ma trận Hesse tịnh tiến, ta có [5] (0)(0)()(0) b T TATA= bb( ) (28) 0(0)0(0)v J q= , (37) CTC 0(0)0(0)0(0)0(0)2  (0) ()b vaJqHq==+ . (38) với T và T lần lượt là ma trận của tensor T CCTCTC biểu diễn trong hệ quy chiếu (0) và (b). 0 (0) Tương tự, ta cũng có trong đó JTC là ma trận Jacobi tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và ()()(0)()bbb T TATA= 00( ) . (29)  0(0)J 0(0) TC HTC = (39) Định lý 7. Với một vector u bất kỳ, ta có hệ thức q T là ma trận Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy A(0)() ub A (0)= u (0) . (30) bb( ) chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0). Như vậy phương trình (36) sẽ được viết về dạng tiện Chứng minh. Xét một vector r bất kỳ, ta có phép dụng như sau nhân có hướng 0(0)0(0)2(0)  e mmJqHqfTCTC += (40) l u= r . (31) b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật Viết (31) lần lượt trong hai hệ quy chiếu (0) và (b), ta Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận có [10, 11] Jacobi và Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (b) l (0)(0)(0)= ur , (32) ()()()bbb 0( )0(bbb )( ) 0(0) l = ur . (33) vJqAJqCTCTC==0 , (41) 0( )0(bbb )0( )2  vJqHqCTCTC=+ , (42) Từ (21), (33) và (20), ta suy ra 0() b 0() b  JTC HTC = . (43) (0)(0)( ) b q ll= Ab = Aur(0)( )(bb ) b Tuy nhiên cần chú ý rằng (0)( )(0)(0)(bb ) T = AuAArbbb ( ) 0()0()bb avCC . (44) hay Ta cần sử dụng hệ thức sau đây [5] T l (0)(0)(= )(0)(0)AuArb , (34) ( bb( ) ) A(0) 0(0)(0)HAHJqE 0(=+ )0( ) bbb (( )) . (45) TCbTCTCn q So sánh (32) và (34), chú ý rằng r là một vector bất kỳ, ta suy ra định lý cần chứng minh. ()b Nhân trái cả hai vế của (45) với A0 , ta có 3.1. Dạng ma trận của các phương trình Newton (0) a) Viết trong hệ quy chiếu quán tính ()0bbbb (0) 0 ()()0 () Ab AHHAJ00TCTCTCn=+ qE (( )) . (46) Gọi F e là tổng các ngoại lực tác dụng vào vật rắn q B. Phương trình Newton dạng vector hình học [10] ()b Nhân trái cả hai vế của (40) với A0 và chú ý đến 00e m vmCC== aF (35) (46), ta có 0 (b ) có thể viết về dạng ma trận như sau m JqTC (0) .(47) 0(0) 0(0)e (0) 0()()b bAb 0() b 2 e () b mmv== a f (36) +m HTC + A0 (()) J TC q  E n q = f CC q
4. Nguyễn Thái Minh Tuấn Jacobi và Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết Việc sử dụng (40) hay (47) phụ thuộc vào việc ta dễ trong hệ quy chiếu (b) dàng viết được (37) hay (41) hơn. Nếu không có sự khác biệt thì thông thường (40) sẽ được sử dụng do công thức 0()0()()0(0)ωJqAJqbbb== , (56) CRR bb0 này gọn gàng hơn (47). 0()0()0()2ωJqHqbbb=+ , (57) bRR bb 3.2. Dạng ma trận của các phương trình Euler  0()J b 0()H b = Rb . (58) a) Viết trong hệ quy chiếu quán tính Rb q Gọi me là tổng moment đối với khối tâm C của các C ngoại lực và ngoại ngẫu lực tác dụng vào vật rắn B. Chú ý rằng, khác với trường hợp tịnh tiến, trong Phương trình Euler dạng vector hình học [10] trường hợp này 000 e 0()0()bb IImCbbCbC+ = () (48) αωbb= . (59) có thể viết trong hệ quy chiếu quán tính như sau Do đó, dạng của phương trình Euler viết trong hệ quy chiếu gắn với vật có dạng rất giống với (54) (0)0(0)0(0)(0)0(0)(0) e ICbbCbCωωIωm+= (49) IJq(bb ) 0( ) CRb 0 00 .(60) (bbbbbeb ) 0( )0( )( ) 0( )2( )  trong đó b và  bb= là vận tốc góc và gia tốc ++=IHJIJEqm (()) ( CRRCRnCbbb ) góc B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), IC là tensor (0) quán tính khối của B đối với khối tâm C. Thông thường IC biến đổi theo thời gian trong khi Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi quay [5, 10, 11], I()b là một ma trận hằng số nên (60) thường được ưa và ma trận Hesse quay, ta có [5] C dùng hơn (54). Kết hợp (40) và (60), ta có 0(0)0(0)ωJq= , (50) bRb 0(0)0(0)0(0)0(0)2ωαJqHq==+  . (51) *2 e bbRR bb MqC+= q Σ . (61) 0(0) trong đó trong đó J R là ma trận Jacobi quay của B đối với hệ b quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và 0(0) m JTC M = , (62) 0(0) ()0()bb  J IJCR 0(0) Rb b H = (52) Rb q m 0(0)H * TC C = , (63) IHJIJE(bbbbb ) 0( )0( )(+ ) 0( ) (()) là ma trận Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết ( CRRCRn bbb ) trong hệ quy chiếu (0). f e(0) Để ý đến (50), (18) và (12), ta có Σ e = . (64) meb() C 0(0) (0) 0(0)0(0)(0) 0(0) ωIωJEqbCbRCR IJq=()3 bb. (53) Về mặt hình thức, (61) không khác gì dạng ma trận =0(0)(0)JIJEqq(())() (0) RCRnbb của phương trình Lagrange loại 2 được thiết lập trong [5]. Công thức của C* có vẻ phức tạp, nhưng không khó để Như vậy phương trình (49) sẽ được viết về dạng tiện tính toán trên máy tính, thực tế hoàn toàn có thể viết gọn dụng như sau trong một dòng lệnh. Hơn nữa, C* chỉ phụ thuộc vào q, không phụ thuộc vào q , đây cũng chính là một ưu điểm IJqIH(0)0(0)+ (0)0 (0) + 0(0) JIJ(( (0)0(0) )  Eqm )  2 = e (0) C Rb( C R b R b C R b n) C của phương trình đề xuất so với các cách viết cũ [10, 11] (54) khi cần thực hiện trên máy tính. 4. Kiểm chứng b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật Phương trình (48) viết trong hệ quy chiếu (b) Với các định nghĩa, tính chất và định lý đã nêu, có thể chứng minh được rằng phương trình đề xuất hoàn ()0()b b 0()()0() b b b e () b toàn giống với các cách viết các phương trình ICω b+= ω b I C ω b m C (55) Newton-Euler khác [10, 11]. Dạng ma trận của các phương trình Euler đã được sử Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận dụng trong [6] để khảo sát một vật rắn quay quanh điểm
5. Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker cố định chịu các tiếp xúc có ma sát và cho kết quả hoàn [11] Schiehlen, W. and Eberhard, P.: Applied Dynamics (Vol. toàn giống với [12]. 57). Berlin: Springer, 2014. 5. Kết luận [12] von Wagner, U., Hochlenert, D., and Hagedorn, P.: Minimal models for disk brake squeal. Journal of Sound Báo cáo đã nêu ra các cơ sở toán học với tích and Vibration, 302(3), 527-539, 2007. Kronecker và ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân có hướng của hai vector. Từ đó, các phương trình Newton và các phương trình Euler trong hệ quy chiếu quán tính cũng như trong hệ quy chiếu gắn với vật được thiết lập. Các phương trình được đề xuất có dạng MqCq+=*2 Σ e với M và C* đều chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng chứ không phụ thuộc vào các vận tốc suy rộng, rất tiện dụng trong tính toán, nhất là khi sử dụng máy tính. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể sẽ là mở rộng các phương trình trên cho hệ nhiều vật, hệ nhiều vật có cấu trúc phức tạp hoặc hệ nhiều vật đàn hồi. Tài liệu tham khảo [1] Khang, N. V.: Partial derivative of matrix functions with respect to a vector variable, Vietnam Journal of Mechanics 30(4), 269-279, 2008. [2] Khang, N. V.: Consistent definition of partial derivatives of matrix functions in dynamics of mechanical systems, Mechanism and Machine Theory 45, 981-988, 2010. [3] Khang, N. V.: Kronecker product and a new matrix form of Lagrangian equations with multipliers for constrained multibody systems, Mechanics Research Communications 38, 294-299, 2011. [4] Spong M. W., Hutchinson S., and Vidyasagar, M.: Robot modeling and control. John Wiley & Sons Inc., New York 2006. [5] Tuan, N. T. M., Pham, C. T., Khoa, D. D., and Phong, P. D.: Kinematic and dynamic analysis of multibody systems using the Kronecker product, Vietnam Journal of Science and Technology, 57(1), 112-127, 2019. [6] Tuan, N. T. M.: Effect of vibrations on friction in the context of brake squeal (Doctoral dissertation). TU Berlin, 2019. [7] Zhang, F.: Matrix theory: basic results and techniques. Springer Science & Business Media, 2011. [8] Brewer, J.: Kronecker products and matrix calculus in system theory, IEEE Transactions on circuits and systems, 25(9), 772-781, 1987. [9] Laub, A. J.: Matrix analysis for scientist and engineers (Vol. 91). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2005. [10] Khang, N. V.: Động lực học hệ nhiều vật (In lần thứ hai có sửa chữa và bổ sung). Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017.