Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20182

Nội dung text: Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20182

1. ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 KSTN, KHÓA 63 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 ∞ 1 1 1 Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (en − en+1) n n=1 √ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ (en − en+1) = ∑ (en − 1) − ∑ (en+1 − 1) n n n n=1 √ n=1 √ n=1 √ Ta có 2 chuỗi trên đều là chuỗi dương ∀n ≥ 1 1 1 1 n Khi n → +∞ ∶ (e − 1) ~ 3 √n n2 1 1 1 1 (en+1 − 1) ~ ~ ( ) 3 √n √n n + 1 n2 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 1 Mà ∑ là chuỗi hội tụ, suy ra ∑ (en − 1) và ∑ (en+1 − 1) hội tụ 3 √n √n n=1 n2 n=1 n=1 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ ∞ n n2 Câu 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 2n. ( ) n + 1 n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có: n n n2 n n 1 n lim √2n. ( ) = lim 2. ( ) = lim 2. (1 − ) n→+∞ n + 1 n→+∞ n + 1 n→+∞ n + 1 1 −n lim ln(1− ).n lim 2 = 2. en→+∞ n+1 = 2. en→+∞n+1 = < 1 e Suy ra chuỗi đã cho hội tụ ∞ n 2x − 1 2n Câu 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ ( ) n2 − 1 x n=1 ∞ 2x − 1 2 n Đặt ( ) = t , t ≥ 0 → ∑ tn x n2 − 1 n=1 n Đặt a = , ta có bán kính hội tụ là: n n2 − 1
2. 2 an n n + 1 n. (n + 2n) R = lim | | = lim | 2 ÷ 2 | = lim | 2 | = 1 n→+∞ an+1 n→+∞ n − 1 (n + 1) − 1 n→+∞ (n + 1). (n − 1) ∞ ∞ ∞ n n 1 Xét t = 1 → ∑ tn = ∑ ~ ∑ khi n → +∞, chuỗi này phân kỳ n2 − 1 n2 − 1 n n=1 n=1 n=1 Suy ra chuỗi hội tụ khi 0 ≤ t 0) 2 1 ↔ y′ − . y = x. ln x x 2 − dx 1 Thừa số tích phân là p(x) = e∫ x.ln x = e−2 ln ln x = ln2 x Nhân cả 2 vế với p(x), ta có: 1 2 1 . y′ − . y = ln2 x x. ln3 x x. ln2 x 1 ′ 1 ↔ (y. ) = ln2 x x. ln2 x 1 1 ↔ y. = − + C ln2 x ln x ↔ y = − ln x + C. ln2 x . Ngoài ra phương trình không có nghiệm kì dị Vậy nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là y(x, C) == − ln x + C. ln2 x Câu 5: Giải phương trình vi phân (y3 + x3. (1 + ln y))dy + 3x2. (1 + y ln y)dx = 0 Ta có ∶ ∂(y3 + x3. (1 + ln y)) ∂(3x2. (1 + y ln y)) = = 3x2(1 + ln y) ∂x ∂y
3. → thỏa mãn điều kiện ptvp toàn phần Giả sử du(x, y) = (y3 + x3. (1 + ln y))dy + 3x2. (1 + y ln y)dx ′ 2 Xuất phát từ phương trình ux = 3x . (1 + y ln y), ta có ∶ u(x, y) = ∫ 3x2. (1 + y ln y) dx = x3. (1 + y ln y) + g(y) ′ 3 3 3 → uy = x . (1 + ln y) + g′(y) = (y + x . (1 + ln y)) y4 → g′(y) = y3. Chọn g(y) = 4 y4 → Tích phân tổng quát là u(x, y) = x3. (1 + y ln y) + = C 4 π Câu 6: Tìm biến đổi laplace của ℒ{e2t. sin (t + )}(s) 4 π π ℒ{e2t. sin (t + )}(s) = ℒ {sin (t + )} (s − 2) 4 4 √2 √2 = ℒ { sin t + cos t} (s − 2) 2 2 √2 √2 1 s − 2 √2(s − 1) = ℒ{sin t + cos t}(s − 2) = ( + ) = 2 2 (s − 2)2 + 1 (s − 2)2 + 1 2(s − 2)2 + 2 Câu 7: Sử dụng phương pháp toán tử Laplace giải PTVP x(3) − x′′ − x′ + x = 2e2t, x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0 Ta có: ℒ{x(3)}(s) = s3. F(s) − s2. f(0) − s. f ′(0) − f ′′(0) = s3. F(s) ℒ{x′′}(s) = s2. F(s) − s. f(0) − f ′(0) = s2. F(s) ℒ{x′}(s) = s. F(s) − f(0) = s. F(s) ℒ{x}(s) = F(s) 2 ℒ{2e2t}(s) = s − 2 Tác động biến đổi Laplace vào 2 vế, ta được: 2 s3. F(s) − s2. F(s) − s. F(s) + F(s) = s − 2 2 ↔ F(s) = (s − 2)(s3 − s2 − s + 1)
4. 2 −1 1 1 2 ↔ F(s) = = − − + (s − 2)(s − 1)2(s + 1) 2(s − 1) 6(s + 1) (s − 1)2 3(s − 2) −1 1 1 2 ↔ ℒ−1{F(s)}(t) = ℒ−1 { − − + } (t) 2(s − 1) 6(s + 1) (s − 1)2 3(s − 2) 1 1 2 ↔ x(t) = − . et − . e−t − t. et + . e2t 2 6 3 x Câu 8: Tìm hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(x) = 2 + 2 ∫ tf(t)dt , ∀x ∈ R 0 x f(x) = 2 + 2 ∫ tf(t)dt 0 ↔ f ′(x) = 2x. f(x) d(f(x)) ↔ = 2x. f(x) dx d(f(x)) ↔ = 2xdx f(x) ↔ ln|f(x)| = x2 + C 2 ↔ f(x) = ex +C 2 0 0 +C ( ) Thay x = 0, ta có: e = 2 + 2 ∫0 tf t dt → eC = 2 → C = ln 2 2 Vậy hàm f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài là ∶ f(x) = 2. ex Câu 9: Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f(x) = x2 trên [−π; π] ∞ 1 và tính ∑ n2 n=1 π 1 2 a = ∫ x2dx = π2 0 π 3 −π π π 1 2 a = ∫ x2. cos nx dx = ∫ x2. cos nx dx n π π −π 0 π 2 x2. sin nx 2x. cos nx 2 sin nx 4. (−1)n = . ( + − ) = π n n2 n3 n2 0
5. π 1 b = ∫ x2. sin nx dx = 0 ( do f(x) là hàm chẵn ) n π −π → khai triển chuỗi Fourier của hàm số là: ∞ π2 4. (−1)n f(x) = + ∑ . cos nx 3 n2 n=0 Thay x = π, suy ra ∶ ∞ π2 4. (−1)n f(π) = + ∑ . cos nπ 3 n2 n=0 ∞ π2 4 ↔ π2 = + ∑ 3 n2 n=0 2 ∞ π 1 π2 − π2 ↔ ∑ = 3 = n2 4 6 n=0 ∞ (−1)n. x2n Câu 10: Xét sự hội tụ đều của chuỗi lũy thừa ∑ trên [−1; 1] n n=1 √ 2n 1 1 1 1 1 Xét |S(x) − Sn(x)| = |x . ( − + − + + ⋯ )| √n + 1 √n + 2 √n + 3 √n + 4 √n + 5 1 1 1 1 1 1 = |x2n. ( − ( − ) − ( − ) + ⋯ )| ≤ x2n. √n + 1 √n + 2 √n + 3 √n + 4 √n + 5 √n + 1 1 1 ≤ − 1 √n + 1 ε2 1 Do đó ∀ε > 0, ta lấy n > − 1. Khi đó ∀n > n , |S(x) − S (x)| < ε, ∀x ∈ [−1; 1] 0 ε2 0 n ∞ (−1)n. x2n Vậy chuỗi ∑ hội tụ đều trên [−1; 1] n n=1 √