Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20192

Nội dung text: Đề thi cuối kì Giải tích 3 - Học kỳ 20192

1. Đề thi cuối kì GT3 kì 20192 – nhóm ngành 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu & Nguyễn Tiến Được Câu 1: ∞ √푛2 + 1 − √푛2 − 1 ∑ 푛 푛=1 √ √푛2 + 1 − √푛2 − 1 2 푛 = = > 0 ∀ 푛 ≥ 1 √푛 √푛. (√푛2 + 1 + √푛2 − 1) 2 1 퐾ℎ푖 푛 → ∞: 푛 ~ = 3 √푛 .2푛 푛2 ∞ 1 à ∑ 3 푙à ℎ ỗ푖 푅푖푒 푛푛 ℎộ푖 푡ụ 푛=1 푛2 → ℎ ỗ푖 đã ℎ표 ℎộ푖 푡ụ Câu 2: ∞ 1 1 − 2 푛 ∑ ( ) 2푛 + 1 1 + 푛=1 ∞ 1 − 2 1 Đặ푡 푡 = → ℎ ỗ푖 đã ℎ표 푡 ở 푡ℎà푛ℎ ∑ . 푡푛 1 + 2푛 + 1 푛=1 2푛 + 3 é푡 lim = 1 → 푅 = 1 푛→∞ 2푛 + 1 푖푗 푡 = 1 → ℎ ỗ푖 ℎâ푛 ì 표 푙à ℎ ỗ푖 đ푖ề ℎò ∞ (−1)푛 ạ푖 푡 = −1 → ∑ 푙à ℎ ỗ푖 ℎộ푖 푡ụ 푡ℎ푒표 퐿푒푖 푛푖푡 2푛 + 1 푛=1 1 − 2 → 푖ề푛 ℎộ푖 푡ụ − 1 ≤ 푡 0 −1 0 ≠ −1 − 1 = − < 0 1 + 1 + ậ 푖ề푛 ℎộ푖 푡ụ ầ푛 푡ì 푙à (−∞; 2)/{−1} Câu 3: 퐾ℎ 푖 푡 푖ể푛 퐹표 푖푒 ( ) = − ℎ푖 − 2 ≤ ≤ 2 푣à 푡 ầ푛 ℎ표à푛 = 4 ễ 푡ℎấ ( ) = − (− ) → ( ) 푙à ℎà 푙ẻ → 푛 = 0 1 2 푛 2 2 푛 푛 = ∫ − . sin → 푛 = ∫ ( cos ) 2 −2 2 0 nπ 2
2. 2 2 푛 2 2 푛 1 4 푛 2 → 푛 = cos | − ∫ cos = cos 푛 − ( 2 2 sin ) | 푛 2 0 0 푛 2 푛 푛 2 0 4 4 (−1)푛 → = cos 푛 − sin 푛 = 푣ớ푖 푛 = 1,2,3, 푛 푛 푛2 2 푛 ∞ (−1)푛 푛 ậ ℎ 푖 푡 푖ể푛 퐹표 푖푒 ủ ( ) 푙à ∑ 4. sin 푛 2 푛=1 Câu 4: a) ′ − 2 2√ = 4 +) = 0 푙à 푛 ℎ푖ệ ỳ ị 4 ′ +) ≠ 0 → − − 2 = 0 √ √ ′ Đặ푡 √ = 푡 → 2푡′ = √ 4 2 → 2푡′ − 푡 = 2 → 푡′ − 푡 = 2 2 − 푃푡 ó 푛 ℎ푖ệ 푡 = 푒∫ (푙푛 + ∫ . 푒∫ ) = 2(ln + ln| |) = 2 ln ậ 푛 ℎ푖ệ 푃 đã ℎ표 푙à = ( 2 ln )2 = 4 ln2 b) ′′ + = 2 sin2 Xét PT thuần nhất ′′ + = 0 Có PT đặc trưng là 2 + 1 = 0 → = 0 ± 푖 → ̅ = 1 cos + 2 sin 푆 ℎươ푛 ℎá 푖ế푛 푡ℎ푖ê푛 ℎằ푛 푠ố 퐿 푛 푒 ′ 1 cos + 2′ sin = 0 { ′ ′ 2 − 1 sin + 2 cos = 2 sin 0 sin ′ = | | = −2 sin3 cos sin 1 | | = 1 ≠ 0 → { 1 − cos 2 cos cos 0 − sin cos ′ = | | = 2 cos . sin2 2 − sin 1 − cos 2 2 → ( ) = ∫ 2 − 2 cos2 (cos ) = 2 cos − cos3 + 퐾 1 3 1 2 → ( ) = ∫ 2 sin2 (sin ) = sin3 + 퐾 2 3 2 ậ 푃 đã ℎ표 ó 푛 ℎ푖ệ 푙à 2 2 = 2 cos2 − cos4 + 퐾 cos + sin4 + 퐾 sin 3 1 3 2
3. c) ′′ − ′ = 2푒 ′′ − ′ ′ ′ ′ → = 푒 → ( ) = 푒 → = 푒 + → ′ = 푒 + 2 1 1 → = ( − 1)푒 + 1 2 + 2 2 Câu 5: 7푠 + 13 1 20 1 퐿−1 { } = 퐿−1 {− + + } (푠 − 1)2(푠 + 2) 9(푠 + 2) 3(푠 − 1)2 9(푠 − 1) 1 20 1 = − 푒−2푡 + 푒푡. 푡 + 푒푡 9 3 9 Câu 6: (4) − = 0 Với (0) = 0; ′(0) = 1; ′′(0) − 0; (3)(0) = 0 á độ푛 푡표á푛 푡ử 퐿 푙 푒 푣à표 2 푣ế ủ 푃 푡 đ : 푠4 (푠) − 푠2 − (푠) = 0 푠2 푠2 → (푠) = = 푠4 − 1 (푠 − 1)(푠 + 1)(푠2 + 1) 1 1 1 = − + + 2 4(푠 + 1) 4(푠 − 1) 푠2 + 1 1 1 1 1 → (푡) = 퐿−1{ (푠)} = − 푒−푡 + 푒푡 + 퐿−1 { } 4 4 2 (푠2 + 1) 1 1 1 = − 푒−푡 + 푒푡 + sin 푡 4 4 2 Câu 7: ∞ ∞ ∑ 푛 ; ∑ 푣푛 Đ → lim | 푛| = lim |푣푛| = 0 푛→∞ 푛→∞ 푛=1 푛=1 | ||푣 | é푡 lim 푛 푛 = 0 푛→∞ |푣푛| ∞ → ∑| 푛||푣푛| ℎộ푖 푡ụ 푡ℎ푒표 푆푆 푛=1 ∞ → ∑ 푛. 푣푛 ℎộ푖 푡ụ 푡 ệ푡 đố푖 (đ ) 푛=1 Câu 8:
4. ∞ 3푛+2 ∑ (푛 + 2)푛! 푛=0 ∞ 푛+2 é푡 푆( ) = ∑ (푛 + 2)푛! 푛=0 ∞ ∞ 푛+1 푛 푆′( ) = ∑ = ∑ = . 푒 ∀ ∈ 푅 푛! 푛! 푛=0 푛=0 → 푆( ) = ∫ . 푒 = 푒 ( − 1) + 푆(0) = 0 = −1 + → = 1 ∞ 푛+2 → 푆( ) = ∑ = 푒 ( − 1) + 1 (푛 + 2)푛! 푛=0 푆(3) = 2푒3 + 1 푙à 푡ổ푛 ầ푛 푡ì