Đề thi giữa học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20181

Nội dung text: Đề thi giữa học kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20181

1. ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 HỌC KÌ 20181 – NHÓM NGÀNH 2 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∞ (−1)n a) ∑ n ln n n=2 √ Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu 1 { } là dãy dương, đơn điệu giảm dần về 0 √n ln n → Chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 2 ∞ n n − 1 b) ∑ ( ) n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có ∶ 2 n n − 1 n 1 n lim √( ) = lim (1 − ) = e−1 < 1 n→+∞ n n→+∞ n → Chuỗi đã cho hội tụ Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∞ (x − 1)2n a) ∑ n2 − n + 1 n=1 Đặt (x − 1)2 = t , t ≥ 0 ∞ 1 Chuỗi đã cho trở thành ∑ a tn , với a = n n n2 − n + 1 n=1 Bán kính hội tụ là ∶ 2 2 an (n + 1) − (n + 1) + 1 n + n + 1 R = lim | | = lim | 2 | = lim | 2 | = 1 n→+∞ an+1 n→+∞ n − n + 1 n→+∞ n − n + 1 ∞ ∞ 1 1 Xét t = 1, ∑ ~ ∑ hội tụ n2 − n + 1 n2 n=1 n=1 → Chuỗi hội tụ khi 0 ≤ t ≤ 1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
2. → 0 ≤ (x − 1)2 ≤ 1 → −1 ≤ x − 1 ≤ 1 → 0 ≤ x ≤ 2 Miền hội tụ là x ∈ [0; 2] ∞ 2 b) ∑ n2−x n=1 Chuỗi đã cho hội tụ ↔ 2 − x2 3 → x > √3 ∪ x < −√3 → Miền hội tụ là x ∈ (−∞; −√3) ∪ (√3; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân y a) y′ + = x3 x 1 dx Thừa số tích phân p(x) = e∫x = eln x = x. Nhân cả 2 vế với p(x) → x. y′ + y = x4 → (x. y)′ = x4 x5 → x. y = + C 5 x4 C → y = + 5 x x4 C → Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là y(x, C) = + 5 x −x + 2y b) y′ = , y(1) = 2 x 2 → y′ = −1 + . y x 2 → y′ − . y = −1 x 2 − dx 1 Thừa số tích phân p(x) = e∫ x = e−2 ln x = . Nhân cả 2 vế với p(x) x2 1 2 −1 → . y′ − . y = x2 x3 x2 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
3. 1 ′ −1 → ( . y) = x2 x2 1 1 → . y = + C x2 x → y = x + C. x2 Lại có y(1) = 2 → 2 = 1 + C → C = 1 → Nghiệm riêng của phương trình vi phân đã cho là y(x) = x + x2 c) (1 − y. e−x)dx + e−xdy = 0 ∂(1 − y. e−x) ∂(e−x) Ta thấy = = −e−x ∂y ∂x → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần Giả sử du(x, y) = (1 − y. e−x)dx + e−xdy ′ −x Xuất phát từ điều kiện ux = 1 − y. e → u(x, y) = ∫ 1 − y. e−xdx = x + y. e−x + g(y) ′ −x ′ −x → uy = e + g (y) = e → g′(y) = 0. Ta chọn g(y) = 0 → tích phân tổng quát của ptvp đã cho là u(x, y) = x + y. e−x = C 1 Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa của x − 3 x2 − 3x + 2 Đặt t = x − 3 → x = t + 3 1 1 1 f(t) = = = (t + 3)2 − 3(t + 3) + 2 t2 + 3t + 2 (t + 1)(t + 2) 1 1 1 1 1 = − = − . t t + 1 t + 2 t + 1 2 + 1 2 → Khai triển Maclaurin của f(t) là ∶ ∞ ∞ ∞ 1 tn 1 f(t) = ∑(−1)n. tn − . ∑(−1)n. = ∑(−1)n. tn. (1 − ) 2 2n 2n+1 n=0 n=0 n=0 → Khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa của x − 3 là ∞ 1 f(x) = ∑(−1)n. (x − 3)n. (1 − ) 2n+1 n=0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
4. Câu 5: Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R ∞ sin nx ∑ 3 4 4 n=1 √(n + 1) + x sin nx 1 1 1 Khi n → +∞ ∶ | | ≤ ≤ ~ 3 4 4 3 4 4 3 4 4 √(n + 1) + x √(n + 1) + x √(n + 1) n3 ∞ 1 mà ∑ 4 là chuỗi hội tụ n=1 n3 → chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên R Câu 6: Khai triển hàm số f(x) tuần hoàn chu kì 2π f(x) = x − 2π, π < x < 3π Ta khai triển chuỗi fourier g(x) = x , −π < x < π tuần hoàn chu kì 2π g(x) là hàm số lẻ → a0, an đều bằng 0 π 2 2 −x. cos nx sin nx π bn = ∫ x. sin nx dx = . ( + 2 )| π π n n 0 0 2 π. (−1)n−1 2. (−1)n−1 = . = {cos nπ = (−1)n} π n n → Chuỗi fourier của g(x) là ∞ 2 F(x) = ∑(−1)n−1. . sin nx n n=1 Theo định lí Dirichlet, chuỗi fourier tại những điểm không xác định là ∶ f(−π−) + f(−π+) π − π F(−π) = = = 0 2 2 f(π−) + f(π+) −π + π F(π) = = = 0 2 2 0 , với x = −π ∞ 2 → F(x) = ∑(−1)n−1. . sin nx , với − π < x < π n n=1 {0 , với x = π Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64