Đề thi giữa kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20172

Nội dung text: Đề thi giữa kì môn Giải tích 3 - Học kỳ 20172

1. ĐỀ THI GIỮA KÌ GIẢI TÍCH 3 – HỌC KỲ 20172, NHÓM NGÀNH 1 K62 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số ∞ 3n2 + 1 a) ∑ n n=0 (√3) Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0 Áp dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có: 3(n + 1)2 + 1 3n2 + 1 1 3(n + 1)2 + 1 1 lim n+1 ÷ n = lim . 2 = < 1 n→+∞ (√3) (√3) n→+∞ √3 3n + 1 √3 → Chuỗi đã cho hội tụ ∞ n2 + 3 b) ∑ √n + 1. ln ( ) n2 + 1 n=0 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0 Khi n → +∞, ta có: n2 + 3 2 2√n + 1 2 √n + 1. ln ( ) = √n + 1. ln (1 + ) ~ ~ n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 3 n2 ∞ 2 Mà ∑ 3 là chuỗi hội tụ n=1 n2 → Chuỗi đã cho hội tụ Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∞ (−1)n−1(n + 1) ∑ n2. 3n. (x + 4)n n=1 ∞ ∞ (−1)n−1(n + 1) (−1)n−1(n + 1) 1 Đặt ∑ = ∑ u tn với u = , t = (x ≠ −4) n2. 3n. (x + 4)n n n n2. 3n x + 4 n=1 n=1 Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶ 3 un (n + 1) (n + 2) 3. (n + 1) R = lim | | = lim | 2 n ÷ 2 n+1| = lim | 2 | = 3 n→+∞ un+1 n→+∞ n . 3 (n + 1) . 3 n→+∞ n . (n + 2) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
2. Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành ∞ (−1)n−1(n + 1) ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt n2 n=1 Xét tại biên t = −3, chuỗi đã cho trở thành ∞ ∞ (n + 1) 1 − ∑ ~ − ∑ là chuỗi phân kỳ n2 n n=1 n=1 → Chuỗi hội tụ khi − 3 < t ≤ 3 1 → −3 < ≤ 3 x + 4 13 11 → x < − ∪ x ≥ − 3 3 13 11 Vậy miền hội tụ của chuỗi là x ∈ (−∞; − ) ∪ [− ∪ +∞) 3 3 1 Câu 3: Khai triển f(x) = thành chuỗi Maclaurin 3x + 2 1 1 1 f(x) = = . 3 3x + 2 2 . x + 1 2 3 Đặt x = u 2 Khai triển Maclaurin của f(u)là ∞ 1 1 1 f(u) = . = ∑ . (−1)n. un , −1 < u < 1 2 u + 1 2 n=0 3x Thay t = , suy ra chuỗi maclaurin của f(x) là: 2 ∞ ∞ 1 3 n 1 3 n 2 2 f(x) = ∑ . (−1)n. ( x) = . ∑(−1)n. ( ) . xn , − < x < 2 2 2 2 3 3 n=0 n=0 ∞ n. x4n Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ (n + 1)3n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1, x ∈ R ∞ ∞ n. x4n n Đặt ∑ = ∑ u tn với u = , t = x4 , (t ≥ 0) (n + 1)3n n n (n + 1)3n n=1 n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
3. Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶ n+1 un n n + 1 n(n + 2). 3 R = lim = lim n ÷ n+1 = lim 2 n = 3 n→+∞ un+1 n→+∞ (n + 1)3 (n + 2)3 n→+∞ (n + 1) . 3 ∞ n n Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành ∑ có lim = 1 ≠ 0 (n + 1) n→+∞ (n + 1) n=1 → Chuỗi phân kì tại t = 3. Suy ra chuỗi đã cho hội tụ khi chỉ khi t 0 √(2n)2 + 1 √(4n2 + 1)3 1 Và lim = 0 n→+∞ √(2n)2 + 1 → f(n) là một dãy đơn điệu , tiến tới 0 khi n → +∞ Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz ∞ nx2 Câu 6: Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số ∑ trên R n6 + 4x4 n=1 Theo định lí Cauchy, ta có n6 + 4x4 ≥ 4n3x2 nx2 nx2 1 → ≤ = n6 + 4x4 4n3x2 4n2 ∞ 1 Mà ∑ là chuỗi hội tụ 4n2 n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
4. → Chuỗi đã cho hội tụ đều và tuyệt đối trên R 1 Câu 7: Khai triển f(x) = thành chuỗi lũy thừa của x + 2 (x + 1)(x + 3) Đặt x + 2 = t → x = t − 2 1 1 −1 → f(t) = = = (t − 1)(t + 1) t2 − 1 1 − t2 Khai triển Maclaurin của f(t) là ∶ ∞ ∞ f(t) = ∑ −(t2)n = ∑ −t2n , −1 < t < 1 n=0 n=0 Thay t = x + 2 , khai triển Maclaurin của f(x) là ∶ ∞ f(t) = ∑ −(x + 2)2n , −3 < x < −1 n=0 ∞ − ln 3 Câu 8: Cho f(x) = ∑ n. enx với x < 0. Tính ∫ f(x)dx n=1 − ln 4 − ln 3 − ln 3 ∞ ∞ − ln 3 Ta có: ∫ f(x)dx = ∫ ∑ n. enx dx = ∑ ∫ n. enxdx − ln 4 − ln 4 n=1 n=1 − ln 4 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 1 = ∑enx|− ln 3 = ∑ − ∑ = 3 − 4 = − ln 4 n n 1 1 3 4 1 − 1 − 6 n=1 n=1 n=1 3 4 ∞ Câu 9: Tính tổng của chuỗi hàm số ∑(−1)n−1n2xn với − 1 < x < 1 n=1 Với − 1 < x < 1, chuỗi đã cho là khả vi, khả tích với mọi x thuộc khoảng đang xét ∞ ∞ Gọi S(x) = ∑(−1)n−1n2xn = x. ∑(−1)n−1n2xn−1 = x. P(x) n=1 n=1 x x ∞ ∞ x ∫ P(t)dt = ∫ ∑(−1)n−1n2tn−1 dt = ∑ ∫(−1)n−1n2tn−1dt 0 0 n=1 n=1 0 ∞ ∞ = ∑(−1)n−1nxn = x. ∑(−1)n−1nxn−1 = x. Q(x) n=1 n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
5. x x ∞ ∞ x ∫ Q(t)dt = ∫ ∑(−1)n−1ntn−1 dt = ∑ ∫(−1)n−1ntn−1dt 0 0 n=1 n=1 0 ∞ x = ∑(−1)n−1xn = 1 + x n=1 x ′ 1 → Q(x) = ( ) = 1 + x (x + 1)2 ′ ′ x 1 − x → P(x) = (x. Q(x)) = ( ) = (x + 1)2 (1 + x)3 x(1 − x) → S(x) = x. P(x) = (1 + x)3 ∞ x(1 − x) Vậy ∑(−1)n−1n2xn = , với x ∈ (−1; 1) (1 + x)3 n=1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64