›
›

Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết

pdf 121 trang cucquyet12 5831
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_bai_tap_co_hoc_ly_thuyet.pdf

Nội dung text: Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết

  1. LỜI NÓI ĐẦU Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi suốt bốn mươi năm qua. So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương môn học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi. Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học Thủy lợi, ngành công trình và ngành máy(chương trình A). Tuy nhiên những sinh viên học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Ngoài ra giáo trình này còn làm tài liệu ôn tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành cơ học. Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và người sử dụng về nội dung và hình thức để giúp chúng tôi hoàn thiện hơn về giáo trình này. Hà Nội, tháng 10-2003 Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết GS.TS.Nguyễn Thúc An PGS.TS.Khổng Doãn Điền PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ PGS.TS.Nguyễn Bá Cự PGS.TS.Lê Đình Don TS.Nguyễn Đình Thông TS.Nguyễn Thị Thanh Bình 4
  2. PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa tĩnh học là vật rắn đứng yên. Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân bằng của vật rắn với khái niệm cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó. Do đó để nghiên cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ. Nội dung chủ yếu của các bài toán tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng. Cơ sở lý luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học. HỆ TIÊN ĐỀ: Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng) F F Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau. rr r rr (F12, F ) 0 ⇔=−F12F và cùng giá. Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng ) Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ lực cân bằng rr r r r r r r r (F12,FF , , n ) (F1 ,F 2 , ,F n ;P 1 ,P 2 , ,P m ) r r r r Trong đó: (P1 ,P 2 , ,P m ) 0 Tiên đề 3: ( Tiên đề về hợp lực ) F2 F Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình F1 hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho. rr r ururur (F12, F ) R ; RF= 12+ F Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng) Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau. 5
  3. Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng. Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn ) Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hoá rắn lại, nó vẫn cân bằng. HỆ QUẢ: Những hệ quả phát biểu dưới đây được trực tiếp rút ra từ hệ tiên đề tĩnh học đã nêu ở trên: Hệ quả 1: ( Định lý trượt lực) Tác dụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá của nó. Do đó lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véc tơ trượt. Hệ quả 2: Nếu một hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, sẽ là hợp lực của hệ lực còn lại. Hệ quả 3: Có thể phân tích một lực thành 2 lực theo qui tắc hình bình hành lực. Hệ quả 4: Vật rắn chịu tác dụng của một lực khác không, sẽ không ở trạng thái cân bằng. Hệ quả 5: (Định lý về 3 lực cân bằng ) Nếu ba lực không song song, cùng nằm trong một mặt phẳng mà cân bằng thì giá của chúng đồng quy tại một điểm. Liên kết và phản lực liên kết Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng để giải đúng các bài toán tĩnh học. • Liên kết tựa: NC N NB C N A NA B 6
  4. • Liên kết thanh không trọng lượng: S S SC A B A B C RA • Liên kết ngàm: X A MA Y A A M A • Liên kết dây mềm, thẳng, khôngdãn: A B T T A TB • Liên kết bản lề: + Bản lề trụ: Z x Y y X y Y X x X + Bản lề cầu Z Z Y Y X X + Bản lề cối Z Z Z Z R Z Y y y y Y X X x x x 7
  5. Nguyên lý giải phóng liên kết Vật không tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên kết tương ứng. N D B K B K C N C D A D P A T P A O Vật không tự do Vật tự do Để lập hệ phương trình cân bằng cho các loại hệ lực, chúng ta phải nắm vững cách chiếu véc tơ lực lên các trục toạ độ và cách lấy mômen của lực đối F với một tâm cũng như đối với trục. α X Chiếu lực: Lực và trục cùng nằm trên một mặt phẳng: X= F.cosα Lực và trục không cùng nằm trên một mặt phẳng: z F X= Fxy.cosϕ= F.cosθcosϕ Y= Fxy.sinϕ= F.cosθ.sinϕ y O θ Z= F.sinθ x ϕ r rrr F F =++Xi Y j Zk . xy Mômen của lực: + Mômen của lực đối với 1 tâm: rrrr mF0 ()=∧ r F r ijkrr z B r F mFr = x y z 0 () h XYZ r A y r O mF()= Fh . B' 0 x d F r r r xy mFr ()= 0 khi giá của lực F đi qua tâm lấy 0 A' mômen 0. + Mô men của lực lấy đối với một trục: 8
  6. r mFzx()=± dF .y r Ta có mFz ()= 0 khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là r r giá của lực F cắt trục z, hoặc giá của lực F song song với trục z. 9
  7. CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC I. Bài toán thu gọn hệ lực rr r rr (F12,FF , , n ) ∼ (,RM00 ) r ⎛⎞⎛⎞⎛⎞nnnrr r RXiYjZk0 =++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∑∑∑KK K ⎝⎠⎝⎠⎝⎠KKK===111 rr⎡ nn⎤⎡rr r ⎤⎡ n r ⎤r M =++mF() i mF () j mF () k 00⎢∑∑∑xK⎥⎢0yK ⎥⎢0zK ⎥ ⎣KK==11⎦⎣ ⎦⎣ K = 1 ⎦ Các trường hợp có thể gặp khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm được tóm tắt ở bảng dưới đây r r r r = 0 R0 . M 0 ≠ 0 R0 . M 0 ≠ 0 = 0 r r R R r r r r r r r r R0 . M 0 > 0 R0 . M 0 < M 0= 0 M 0 ≠ 0 M 0≠ 0 M 0 = 0 0 Hệ lực thu Hệ lực thu Hệ lực Hệ lực thu Hệ lực thu về Hệ về xoắn về xoắn thu về về hợp lực một ngẫu có lực hợp lực có fgiá r thuận nghịch mômen là M 0 cân có giá đi không không phụ bằng qua tâm 0 đi qua tâm 0 thuộc tâm 0 1. Thí dụ r rrrrr Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực F123456,,,,,FFFFF có chiều như hình vẽ. Z Biết F1 = F6 = 10N, F1 C F F2 = F4 = 5N , 2 K RK F3 MO y R 0 F3 = F5 = 5 2 N, F5 0 B F6 0 OA =2.OB = 10m , α= 45 . F4 α x A Thu gọn hệ lực về dạng tối giản. Hình 1 Bài giải 10
  8. 6 ∑ XFFK =+16= 20N K =1 6 2 ∑YFFK =−()53 = 0 K =1 2 6 2 ∑ ZFFFFK =−+42() 35 − = 0 K =1 2 r rrr Rijk0 =++20. 0. 0. ⇒ R0 = 20N 6 r 2 ∑mF035xK()=−() F F 0 B = 0 K =1 2 6 r 2 ∑mF015yK()=+ FCF .0 . .0 AFA −=+− 4154 .0( FF 22)050 FB = Nm K =1 2 6 r 2 ∑mF05zK()=−=−= F 0 AFB 656 .0( F 2 F ).00 B K =1 2 r r r r M 0 =+0.ijk 50. + 0. ⇒ M0 = 50Nm. rrrrrr Vậy, khi thu gọn hệ lực ( F123456,,,,,FFFFF) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính r uur R0 có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mômen chính M 0 có chiều trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm. r r rr R0 ≠ 0 , M 0 ≠ 0 , RM00.0= suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực. Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ r M 0 50 chính R0 . Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực: 02Km===,5 R0 20 r rrrrr r Điểm K là điểm đặt của hợp lực: ( F123456,,,,,FFFFF) ∼ R K Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn r 2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính R0 và mômen chính r M 0 . z 2. Thí dụ B rrr F2 Hệ ba lực ( F123,,)FFđặt tại các điểm A, B, C và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a. F1 O y a. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực. A x C F b. Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực. 3 11
  9. Bài giải Hình 2 r r Trước hết ta cần tìm véc tơ chính R0 và mômen chính M 0 khi thu gọn hệ lực về gốc toạ độ 0. ⎧ 3 2 ⎪∑ XFFK =−()23 ⎪K =1 2 ⎪ 3 2 r 2 rrr YFF=−() suy ra RFFiFFjFFk=−+−+−⎡()()()⎤ ⎨ ∑ K 31 0233112⎣ ⎦ ⎪ K =1 2 2 ⎪ 3 2 ⎪ ∑ ZFFK =−()12 ⎩⎪ K =1 2 Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta r rr dễ dàng tìm thấy tổng mômen của các lực F123,,FF đối với các trục tọa độ 0xyz. ⎧ 3 r 2 ⎪∑mF01xK()= Fa ⎪ K =1 2 ⎪ 3 r 2 r a 2 rrr ⎨∑mF02yK()= Fa suy ra MFiFjFk0123= () 0++ ≠ ⎪K =1 2 2 ⎪ 3 r 2 ⎪∑mF03zK()= Fa ⎩⎪ K =1 2 rr r RM00.0= ; M 0 ≠ 0 r rr Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho ( F123,,FF). a. Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực: Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện : r R0 = 0 suy ra F1 = F2 = F3. r Ngẫu lực có véc tơ mômen là M 0 . b. Điều kiện để hệ lực thu về một lực: Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện: ⎧−≠F123FF ≠; r ⎪ RFFF02≠⇒−0;⎨ ≠3 ≠1 ⎪ ⎩−≠F312FF ≠. 12
  10. Z Z K P2 P1 P5 A P3 y P O 2 P1 P4 y P4 B P5 α C A x x P3 Hình 3 Hình 5 3. Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P1=40N, P2=P5=10N; P3=15N; P4 = 5N và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 300. Thu gọn hệ lực về dạng tối giản. r Trả lời: Hệ lực thu về hợp lực RK đặt tại điểm K có chiều trùng với chiều trục y, có trị số RK= 20 3 N . r r r 4. Cho 3 lực P 1, P 2, P 3 đặt tại các Lực X Y Z r điểm tương ứng A1(0,2,1) ; A2(1,-1,3); P 1 3 5 4 A3(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục r P 2 -2 2 -6 toạ độ cho trong bảng bên. r P 3 -1 -7 2 Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ. r r r Trả lời: R0 =0; M0 = 23,4Nm; cos(M 0 ,i )= 0,679 r r r r cos(M 0 , j ) =0,085 ; cos(M 0 ,k ) =- 0,727 r r r r r 5. Cho hệ lực P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 đặt ở các đỉnh của hình hộp chữ nhật có chiều như hình vẽ. Biết P1=60N, P2=P3=10N, P4=10 5 N, P5=20N, 0A=0B=20cm, 0C=10cm. Thu gọn hệ lực trên về dạng tối giản. r Trả lời: R0 có chiều ngược với chiều trục 0y và R=30N, r M 0 nằm trong mặt phẳng 0yz và M0=100 5 Nm. Hệ lực thu về xoắn. r r 6. Trên hình hộp chữ nhật có lực P và Q tác dụng. Tìm mômen của các lực ấy đối với các trục toạ độ. Biết 0A = 3cm, 0C = 4cm, 0L=5cm, P= Q = 3N. r 60 r 45 r 36 Trả lời: m0x ()P = Nm ; m0y ()P =− Nm ; m0z ()P = Nm 34 34 34 13
  11. r r r m0x ()Q =− 62Nm ; m0y ()Q = 4,52Nm ; m0z ()Q = 0Nm Z Z P F K 6 D Q P5 P1 E y y P2 O P C O P A 4 x x B P3 Hình 6 Hình 7 7. Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều như hình vẽ. Rút gọn hệ lực về dạng tối giản. Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M0 = 20 3 P đơn vị mômen lực z z D E P P P 3 1 P A 1 B 3 y O y P2 O x x P C 2 Hình 8 Hình 9 r r 8. Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực P1 hướng theo AB, P2 hướng theo CD và r r r r P3 có điểm đặt tại trung điểm E của BD. Giá trị của P1 , P2 tuỳ ý. Chiếu của P3 lên 3 53 1 2 trục toạ độ là X3 = P2 ; Y3 =− P2; Z3 =− P2. Thu gọn hệ lực trên. 6 2 3 rr Trả lời: RM00.0= . Hệ lực thu về hợp lực. r r r 9. Ba lực P1 , P2 , P3 đặt tại các điểm A, B, C cách gốc toạ độ 0 tương ứng a, b, c nằm trong các mặt phẳng toạ độ và song song với các trục toạ độ. Hệ lực đã cho phải thoả mãn điều kiện gì để hệ lực có hợp lực, điều kiện nào để hệ lực đưa về một xoắn có trục đi qua gốc toạ độ. Trả lời: a b c a. + + =0 P1 P2 P3 14
  12. PPP b. 12==3 bP31 cP aP 2 F P b 6 E F P2 a F4 H G P F5 3 A P c P P4 1 B P F2 D C F1 F3 Hình 10 Hình 11 Hình 12 10. Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác r dụng 3 lực P có trị số bằng nhau. Tìm quan hệ giữa a, b và c để hệ lực đó thu về một lực. Trả lời: b = a+ c 11. Tại các đỉnh của một hình lập phương ta đặt các lực theo phương của cạnh như r r r r r r hình vẽ. Tìm điều kiện để hệ lực ( F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6) cân bằng. Trả lời: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 12. Tại 4 đỉnh A, B, D, H của hình lập phương đặt 4 lực có trị số bằng nhau P1 = P2 r r r = P3 = P4 = P, trong đó P1 hướng theo AC, P2 hướng theo HF, P3 hướng theo BE r và P4 theo hướng DG. Hãy thu gọn hệ lực về điểm D. Tìm dạng tối giản của hệ lực. r r r r Trả lời: RP=+2( jk ) ; M D = 0. Hệ lực thu về một lực. A II. Bài toán cân bằng của hệ lực 13. Thí dụ y S b A Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C. Thanh BC SB x nằm ngang. Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối B C với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng r r Q bản lề A, B. Biết β= 600. Xác định ứng lực SS′ , ′ trong thanh A B Hình 13 AC, BC. Bài giải 15
  13. a) Khảo sát cân bằng bản lề C. b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC. (Hình 13) c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản lực liên kết: r • Lực tác dụng tích cực là Q • Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai r r phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là SSA , B và giả sử có chiều như hình vẽ. r rr • Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: (,QSA , SB ) ∼ 0. d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng. Ta có thể giải bằng phương pháp hình học hoặc phương pháp giải tích. Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín. r LựcQ đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta dựng uur r Q S A ab = Q . Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai rr β giá của SSA , B . Chúng cắt nhau tại C. Để được tam giác lực khép b c rr S B kín ta chọn chiều của SSA , B sao cho phù hợp với chiều (quay) r r r của Q . Vậy ta đã xác định được chiều của SSA , B dựa vào tam giác lực khép kín. rr Chiều giả sử của SSA , B ở trên là đúng. Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC. Từ đó trị số SA, SB được xác định theo định lý hàm số sin trong tam giác lượng: SSS Q Q 1 AB==C ⇒==SN18 ; SN==9 . sin90000 sin30 sin 60 A 3 B 3 2 2 2 Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ. Nên chọn gốc toạ độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất. Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có: 3 ∑ XSSKBA=−cosβ = 0 (1) K =1 3 ∑YSKB=−=sinβ Q 0 (2) K =1 16
  14. Q 23 Từ (2) ta tìm được SQN== =18 A sinβ 3 1 Từ (1) ta có: SNcosβ == 18. 9 B 2 e) Nhận xét: Nếu giải bằng phương pháp hình học thì dựa vào chiều của tam giác lực khép kín ta xác định được phương chiều của các phản lực trước sau đó tìm môđuyn của các phản lực sau. Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì dựa vào hệ phương trình cân bằng của hệ lực ta tìm được môđuyn của các phản lực trứơc. Dựa vào kết quả tìm được, môđuyn của phản lực nào dương thì phương chiều của phản lực đó đúng như chiều giả thiết, môđuyn của phản lực nào âm thì phản lực đó có phương chiều ngược lại với phương chiều giả thiết. rr Trong bài toán này SA= 18N > 0; SB = 9N > 0 nên hai phản lực SSA , B có chiều như giả thiết trên hình vẽ. r Ứng lực của thanh AC có môđuyn bằng môduyn của phản lực S A . r r SSAA′ ==18 N ; SSA′ = − A r Ứng lực của thanh BC có môđuyn bằng môduyn của phản lực SB . r r SSBB′ ==9 N ; SSBB′ = − Áp dụng tiên đề 4 và tiên đề 1 tĩnh học ta thấy thanh AC bị kéo với cường độ 18N, còn thanh BC bị nén với cường độ 9N. A a b B 14. Thí dụ. T A TB x Một sợi dây không dãn hai đầu buộc vào trần nằm ngang C tại hai điểm A, B. Tại điểm C treo tải trọng trọng lượng P. Các nhánh dây AC, BC lập với đoạn AB các góc α, β. Hãy xác P3 r định sức căng T của các nhánh dây AC, BC theo P, α và β. Hình 14 Bài giải a) Vật khảo sát : Nút C b) Vật liên kết: hai nhánh dây AC, BC (Hình 14) 90- b r rr TB c) Hệ lực tác dụng lên nút C: P,,TTA B r rr a+b d) Lập điều kiện cân bằng của hệ lực trên: (,P TT , )∼ 0 P 3 A B TA + Phương pháp hình học: 90-a 17
  15. Ta dễ dàng dựng được tam giác lực abc như hình vẽ và có: TT P AB== cosβ cosααβ sin(+ ) cos β cosα Suy ra : TP= ; TP= A sin(αβ+ ) B sin(αβ+ ) + Phương pháp giải tích: 3 ∑ XTKB=−=cosβα T A cos 0 (1) K =1 3 ∑YTKB=+−=sinβα T A sin P 0 (2) K =1 Nhân hai vế phương trình (1) với sinα , phương trình (2) với cosα rồi cộng từng vế với nhau ta được: TPB (sinα cosββα+ sin cos )−= cos α 0 cosα Suy ra: TP= B sin(αβ+ ) cos β Thay giá trị TB vào (1) thu được: TP= A sin(αβ+ ) e) Nhận xét Các góc α, β nhọn ; 0 0 ; TB > 0 rr Chiều của các phản lực TTA , B chọn như hình vẽ là đúng ( phản lực của dây cũng như phản lực tựa là loại phản lực đã biết chiều). Sức căng của dây: Một sợi dây mềm căng thẳng sẽ tách thành hai phần (I) và (II) ur nếu ta cắt dây tại một điểm K. Nếu ký hiệu t0 là véc tơ đơn vị định hướng từ (I) đến (II), thì sức căng T của dây tại điểm K là đại lượng vô hướng xác định bởi hệ thức : uur ur uur ur TTt12 =− . 0 hay TTt21= . 0 Sợi dây xét luôn căng, và sức căng T là dương. Vậy, O sức căng T′ của nhánh dây AC, T′ của nhánh dây BC A B D có môđuyn bằng môđuyn TA, TB tương ứng: TTA′ = A ; TTBB′ = . RA N B 15. Thí dụ A C B Xà AB bỏ qua trọng lượng nằm ngang, đầu A gắn vào P bản lề A, đầu B là gối tựa con lăn đặt lên mặt phẳng Hình 15 18
  16. nghiêng so với phương nằm ngang một góc α= 450. Tại điểm C của xà treo vật nặng P 1 = 20N. Biết AC = BC = 2m. Xác định phản lực tại A, B. 3 Bài giải a) Vật khảo sát: Xà AB cân bằng. b) Liên kết: Bản lề A, gối tựa con lăn B. (Hình 15) rr r c) Hệ lực tác dụng lên xà: (,P NRBA , ) ∼ 0 r d) Trong hệ ba lực cân bằng trên ta đã biết được phương chiều của hai lực P r và N B , giá của chúng giao nhau tại điểm O, còn phương chiều của phản lực r r RA chưa biết. Theo hệ quả 5 ta có giá của RA cũng phải đi qua 0. Do đó ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ trên. Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui) nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, còn o muốn sử dụng phương pháp giải tích không nhất thiết phải tìm uuur N B tâm đồng qui. a d Phương pháp hình học ur b P r uur Từ điểm 01 tùy ý dựng véc tơ 0C = P . Từ gốc 0 và mút C dựng các nửa q R r r A đường thẳng song song với các giá của lực N B , RA , hai nửa đường r r c thẳng này cắt nhau tại điểm d. Dựa vào chiều của lực P và phản lực N B ta có tam giác lực ocd. Tam giác giác lực ocd đồng dạng với tam giác hình học 0CD. Dựa vào các điều kiện hình học ta dễ dàng tính được các cạnh: 0C = 6m; 0D=2 2 m ; CD= 2 5 m. RNP 5205 Do đó ta có: AB== suy ra RP== (N); 25 22 6 A 33 2202 NP== (N). B 33 r Từ tam giác lực khép kín ocd ta có chiều của phản lực RA . B 16. Thí dụ: α R O Thanh đồng chất AB nặng P=2N treo vào tường thẳng đứng A 0 r T nhờ bản lề A và dây BC. Biết α= 30 . Xác định phản lực RA A α C của bản lề A, sức căng của dây BC. P Bài giải Hình 16 a) Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng 19
  17. c b) Liên kết: Bản lề A, dây BC. (Hình 16) r rr c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: (,,P TRA ) ∼ 0, trong đó giá của T r r P trọng lực P và giá của phản lựcT cắt nhau tại 0 nên giá của o r phản lực RA cũng phải qua 0. RA a d) Ta sử dụng phương pháp hình học để giải. Dựng tam giác lực o1ac. Tam giác lực o1ac đồng dạng với tam giác hình học 0AC nên các góc tương ứng bằng nhau do đó ta có: RTP A == sin30000 sin 60 sin90 0 1 Suy ra: RA = P.sin30 = 2. = 1N 2 3 T= P.sin600= 2. = 3 N 2 e) Sức căng của dây BC có cường độ T′ = T = 3 N và có chiều ngược với chiều r của phản lực T : r r T ' = - T Bài toán này cũng như các bài toán tĩnh học khác có thể được giải bằng phương pháp giải tích: Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai r r trục toạ độ trùng với giá của RA , T : 3 0 ∑ XTPK =− +cos30 = 0 (1) K =1 3 0 ∑YRPKA=−cos60 = 0 (2) K =1 3 1 TP===cos300 2. 3 N ; RP= cos600 == 2. 1N. 2 A 2 17. Thanh AC nằm ngang được nối với thanh BC bởi bản lề C và A C cùng gắn vào tường thẳng đứng bởi bản lề A, B. Tại bản lề C treo tải trọng Q = 30N. Biết AC=1,2m; BC=1,5m. Bỏ qua trọng lượng hai Q thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC. Trả lời: Thanh AC bị kéo với cường độ S′A = SA = 40N B Hình 17 20
  18. Thanh BC bị nén với cường độ SB′ = SB = 50N. 18. Dây AB được buộc chặt tại A đầu B treo vật nặng P. Dây BCD luồn qua ròng rọc C và đầu D treo vật nặng Q=10N. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc C. Biết dây AB và BC lập với phương thẳng đứng các góc tương ứng α=450; β=600. Tìm lực căng của dây AB và trọng lượng P. . A Trả lời: T= 12,2N ; P= 13,7N C α β D Q B P Hình 18 19. Thanh AC và BC được nối với nhau và gắn vào tường thẳng đứng nhờ các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N.Bỏ qua trọng lượng hai thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC cho các trường hợp: 0 a. α=60 ; β=300 Trả lời: a) S1=866N ; S2= - 500N. 0 0 b. α=30 ; β=60 b) S1= 577N ; S2= - 1154N. 0 0 c. α=60 ; β=30 c) S1= 1154N ; S2= -577N A A A 1 C 1 β 1 β β Q α α 2 C α C 2 B Q 2 B B Q Hình 19a Hình 19b Hình 19c 20. Thanh AC và BC không trọng lượng được nối với nhau và gắn vào trần nằm ngang bởi các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N. Xác định phản lực của hai thanh AC, BC. Trả lời: SA= SB= 707N 21
  19. 21. Một vật nặng 15N treo tại trung điểm B của dây ABC dài 20m. Biết A,C,D nằm ngang, BD = 0,1m. Tìm lực căng của đoạn dây AB, BC. Trả lời: TA= TC= 750N O O A 45 D C β α A 45 B A C B C B Q Q Hình 20 Hình 21 Hình 22 22. Một đèn nặng 2N treo tại điểm B của dây ABC. Xác l định lực căng của các đoạn dây AB, BC. Biết α=600 , A B 0 β=135 . x D Trả lời: T = 1,46N ; T = 1,04N. C Q A C Q E P Hình 23 23. Đoạn dây CAEBD vắt qua hai ròng rọc nhỏ nằm ngang A, B, AB = l. Tại mút C và D treo hai tải trọng cùng trọng lượng Q, tại E treo tải trọng P. Bỏ qua ma sát ở hai ròng rọc. Tìm khoảng cách x từ E đến AB khi hệ ở vị trí cân bằng. Pl Trả lời: x = 24QP22− C 24. Thanh AB bỏ qua trọng lượng được gắn bản lề ở A, đầu B Q được treo tải trọng P và buộc dây vắt qua ròng rọc nhỏ không ma B sát C có treo vật nặng Q. A, C cùng trên đường thẳng đứng, α AC=AB. Xác định ứng lực trong thanh AB và góc α khi hệ cân A P bằng. Hình 24 α Q Trả lời: S =-P, sin = 22P 25. Vật P=20KN treo trên cần trục ABC nhờ xích vắt qua hai B ròng rọc bỏ qua ma sát A và D. Các góc cho trên hình vẽ. Trọng lượng các thanh và xích không đáng kể. Tìm ứng lực trong thanh 60 A D o AB và AC. 30 o Trả lời: S1=0 ; S2=-34,6KN 30 o Q r 26. Tìm trị số tối thiểu của lực ngang P để nâng con lăn nặng 40KN, bán kính 50cm lên khỏi nền gạch cao 10cm. C Hình 25 22
  20. Trả lời: P=30KN 27. Trên hai mặt phẳng nhẵn vuông góc với nhau AB và BC đặt quả cầu D đồng chất nặng 60N. Xác định áp lực của quả cầu lên mỗi mặt phẳng nghiêng nếu BC tạo với phương ngang góc 600. Trả lời: RD = 52N ; RE = 30N 28. Trên tường nhẵn, thẳng đứng AB treo một quả cầu đồng chất D nặng P nhờ dây AC tạo với tường một góc α. Xác định lực căng của dây và áp lực của quả cầu lên tường. P Trả lời: T = ; R=Ptgα. cosα A C P O O A α r E C D O 60 O B B Hình 26 Hình 27 Hình 28 29. Xà AB được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ thanh CD và D các bản lề A, C, D. Xác định phản lực ở bản lề A, D nếu A C 45 B tại B tác dụng lực thẳng đứng xuống dưới F=5KN. Bỏ qua 0 trọng luợng xà và thanh, AC=2m, BC=1m. F 2 1 Trả lời: RA=7,9KN RD=10,6KN Hình 29 30. Thanh đồng chất AB nặng 2N được treo vào tường nhờ bản lề A và dây BC. Xác định phản lực tại A. r 0 Trả lời: RA= 1N,(,RACA )= 60 23
  21. 31. Thanh đồng chất AB=2m, nặng 5N đầu A tựa vào tường thẳng đứng, đầu B buộc vào sợi dây BC, biết góc ∠(DAB) =450. Xác định khoảng cách AC cần thiết để buộc dây vào tường, phản lực ở A và lực căng của dây khi thanh cân bằng. Trả lời: AC=AD=1,41m T=5,6 N ; NA=2,5N C C l A A P h O A 30 O 45 60O B B B Hình 30 Hình 31 Hình 32 32. Một cần trục được giữ bởi bản lề A, và bản lề cối B mang tải trọng P. Các kích thước cho trên hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng cần trục. Xác định phản lực các bản lề. 2 l l O α Trả lời: RA= P ; RB= 1+ 2 P h h r B 33. Thanh đồng chất nặng P dài 2a tựa lên nửa hình cầu lõm nhẵn bán kính r như hình vẽ. Xác định phản lực ở A A, B và góc α giữa thanh và phương ngang khi thanh Hình 33 cân bằng. aa++2232 r cos2α Trả lời: cosα = ; RA= Ptgα ; RB= P 8r cosα 34. Tại điểm giữa của xà AB=4m bắt bản lề ở đầu A còn đầu B đặt trên con lăn tác dụng lực P=20KN tạo với xà góc 450. Xác định phản lực ở A, B trong hai trường hợp (a) và (b). Bỏ qua trọng lượng xà. Trả lời: a. RA= 15,8KN ; RB = 7,1KN b. RA= 22,4KN; RB = 10KN P P O O A 45 B A 45 B 45 O 2m 2m 2m 2m Hình34 Hình35 24
  22. r 35. Lực P tác dụng vào khung ABCD bỏ qua trọng lượng tại B theo phương nằm ngang. Xác định phản lực tại bản lề A, con lăn D. P 5 P Trả lời: RA = ; RD = 2 2 36. Ở trục ròng rọc C treo tải trọng P=18N có thể trượt dọc theo dây cáp ACB, hai đầu dây A, B được buộc chặt vào 2 tường có khoảng cách 4m, dây dài 5m. Bỏ qua trọng lượng dây cáp và ma sát ở ròng rọc. Xác định sức căng của dây cáp khi ròng rọc cân bằng. Trả lời: T=15N và không phụ thuộc vào độ cao BF. B C 4m P B 2a A F a A D C P Hình35 Hình 36 37. Thí dụ: z Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AC tạo với cột góc α=300 , góc giữa hai mặt phẳng R 0 F2 0AB và 0AC là β=60 . Tại đầu Acủa cột buộc hai dây A F1 vuông góc với nhau và song song với các trục 0x, 0y. T B TC Biết lực kéo mỗi dây F=200N. Tìm áp lực thẳng đứng của cột lên nền và sức căng của mỗi dây AB, a AC. Bỏ qua trong lượng cột và hai dây. a Bài giải y a) Vật khảo sát : Nút A cân bằng O b) Liên kết: Cột AB, hai dây AB, AC.(Hình 37) B b x ururururur C c) Hệ lực tác dụng lên nút A: ( RT,,,,)Bc T F12 F 0 Hình 37 d) Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ và áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực đồng qui không gian ta có: ⎧ 5 XT= sinααβ+−= T sin cos F 0 ⎪ ∑ KB C 1 ⎪ K =1 ⎪ 5 ⎨ ∑YTKC=−=sinαβ sin F2 0 ⎪ K =1 ⎪ 5 ⎪∑ ZRTKB=−cosαα − T C cos = 0 ⎩K =1 25
  23. Với F1= F2 = F = 200N Giải hệ phương trình trên ta thu được: F F ⎛⎞β TC = ; TgB =−()1cotβ ; RF=+⎜⎟1cot tg gα sinα sin β sinα ⎝⎠2 Để đảm bảo dây luôn căng, thì cần điều kiện β > 450. Thay số vào ta có: TC = 461N ; TB = 172N ; R= 546N rr r e) Các phản lực liên kết RT,,BC T có chiều như hình vẽ là đúng vì TC > 0 ; TB > 0; R >0. Vậy áp lực thẳng đứng của cột, sức căng của các dây AB, AC tương ứng là: rrrr r r RR′ =− ; TTBB′ =− ; TTCC′ = − . 38. Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AD tạo với cột góc α=300 , góc giữa các mặt phẳng 0AB và 0AD là ϕ=600. Tại đầu A của cột z P1 A buộc hai dây vuông góc với nhau và song song với 0x, 0y. P 2 Biết lực kéo mỗi dây P1=P2=P=100N. Bỏ qua trong lượng cột α và dây AB, AD. Tìm áp lực thẳng cột và sức căng mỗi dây. α 0 Trả lời: ϕ>45 ; TD = 231N ; TB= 85N ; R= 273N O x y ϕ B H Hình 38 39. Hai dây điện thoại được buộc vào cột AB tại A lập với nhau góc ∠(DAE)=900. Sức căng của các dây AD và AE tương ứng bằng 12N và 16N. Cột chống AC lập với phương ngang góc 600. Bỏ qua trọng lượng hai cột. Xác định góc α lập bởi hai mặt phẳng BAC và BAE và ứng lực cột chống AC. Trả lời : α = 36o50', S = -40 N. D A A α P C E B O O 60 B C D 26
  24. Hình 39 Hình 40 40. Tại đỉnh A của giá 3 chân AB, AC, AD treo vật P=100N. Khoảng cách từ A đến đất 0A=3m, độ dài mỗi chân l=10m, 3 đỉnh B, C, D tạo thành tam giác đều. Tìm lực nén lên mỗi thanh. Trả lời: S= - 41,67N 41. Cột AB được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ 4 dây neo sắt đặt đối xứng. Góc giữa hai dây kề nhau là α=600 Sức căng mỗi dây bằng 1000N, trọng lượng cột là 2000N. Xác định áp lực của cột lên mặt đất. Trả lời: R= 4828N B D a D ϕ B a C O E D E a B A A A Q P C F Hình 41 Hình 42 Hình 43 42. Vật nặng Q=100N được giữ bởi xà 0A, bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A và nghiêng so với phương thẳng đứng góc α=450 và hai xích nằm ngang 0B, 0C dài như nhau trọng lượng không đáng kể. Biết ∠(CBO)= ∠(BCO)=α=450. Tìm sức căng của xích và ứng lực của xà. Trả lời: T= 71N ; S= 41N r r r 43. Tìm ứng lực SS12, trong các thanh AB, AC và sức căngT của dây AD của cần trục, nếu CBA=BCA=600, EAD=300, P=300N, mặt phẳng ABC nằm ngang. Các thanh được bắt bản lề tại A, B, C. Trả lời: T = 600N ; S1 = S2= - 300N 27
  25. D A C D E α Q C α y A C O α D B y Q B O A Q V W B x Hình 44 Hình 45 Hình 46 r 44. Tìm ứng lực S trong thanh AB và sức căng của dây xích AC, AD giữ trọng vật Q = 42N nếu AB = 145cm, bỏ qua trọng lượng, AC = 80cm, AD=60cm, mặt phẳng chữ nhật ACED nằm ngang, mặt phẳng V, W thẳng đứng, B là bản lề. Trả lời: S= -58N ; TC = 32N ; TD= 24N 45. Vật nặng Q=1000N treo ở điểm D như hình vẽ. Các thanh được gắn với nhau bằng bản lề A, B, C, D. Tìm phản lực tại A, B và C, α=450. Trả lời: SA= SB= 2640N; SC= 3350N 46. Tại các điểm A, B, C nằm trên 3 trục toạ độ cách đều gốc toạ độ 0 một khoảng l buộc 1 các sợi dây AD=BD=CD=L và nối với nhau tại D có toạ độ x=y=z= lLl−−3222. 3( ) 2 Tại D treo tải trọng Q. Biết l < L <l . Tìm sức căng của các dây AD, BD, CD. 3 lLl−−3222 Trả lời: TA= TB= LQ ; 33lL22− 2 l lLl+−2322 2 TC= LQ 33lL22− 2 l 47. Thí dụ y Trên dầm công xông CD nằm ngang, bỏ F qua trọng lượng, tác dụng ngẫu lực có mômen C RA M R B x M= 50Nm. Tại đầu D tác dụng lực thẳng đứng D r A B F có giá trị F= 4N. Biết AB= 10m ; BD= 5m. Tìm phản lực tại A, B. Hình 47 28
  26. Bài giải a) Vật khảo sát: Dầm CD. b) Liên kết: Tựa tại A, B (Hình 47) r rr r c) Hệ lực tác dụng lên vật: ( M ,,FRAB , R ) 0 d) Hệ lực trên là hệ lực song song phẳng. Sử dụng hệ phương trình cân bằng cho loại hệ lực này ta có: ⎧ 5 YRRF=+−=0 ⎪ ∑ KAB ⎪ K =1 ⎨ 5 ⎪ r ∑mFAz() K=+−= RABMFAD B . . 0 ⎩⎪K =1 FAD. − M Giải ra ta được: R = =1N B AB RA= F- RB = 3N r r e) Nhận xét: RA = 3N > 0 ; RB = 1N >0 như vậy chiều của các phản lực RRA , B như trên hình vẽ là đúng. 48. Thí dụ Thanh AB nằm ngang trọng lượng 100N có C thể quay xung quanh bản lề A cố định. Đầu B y được giữ nhờ quả tạ trọng lượng G= 150N vắt RA K T qua ròng rọc không ma sát bằng dây nhẹ, không A B dãn. Tại điểm K với BK=20cm treo vật nặng Q= Q P 500N. Tìm phản lực tại A và độ dài thanh AB khi G Q thanh cân bằng. Hình 48 G Bài giải 1. Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng. 2. Liên kết: Bản lề A, dây. r r rr 3. Hệ lực tác dụng lên AB: ( PQY,,A , T) 0 Ròng rọc C là lý tưởng (bỏ qua khối lượng và ma sát). Với dây mềm nhẹ không dãn (lý tưởng) vắt qua ròng rọc lý tưởng thì sức căng T trên dây là đồng đều. Ta thừa nhận được T = G = 150 N. (Có thể xem chứng minh phần ma sát - công thức Ơle). 29
  27. 4. Hệ phương trình cân bằng của hệ lực song song phẳng trên: ⎧ 4 YYTPQ=+−−=0 ⎪ ∑ KA ⎪ K =1 ⎨ 4 ⎪ r AB ∑mFAz() K = TABP .−−= . QAK . 0 ⎩⎪K =1 2 Trong đó: AK = x; AB = x + 20. Thay các trị số đã cho vào hệ phương trình trên và giải ra ta thu được: YA = 450N ; AB= 25cm. 5. Nhận xét: r YA = 450N > 0 như vậy chiều của phản lực YA chọn là đúng. 49. Một dầm đồng chất AB=1,5m có trọng lượng P=80N. Tại mút B treo vật nặng r r Q=200N, ngoài ra còn tác dụng vào dầm ngẫu lực ( F12, F ) có mômen M=100Nm. Các kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực tại C, D. F1 D B P A M C F C 2 A B 0.23 0.3 0.23 0.75 Q Hình 49 Hình 50 Trả lời: NC= 1020N ; ND =1300N 50. Trên dầm công xon nằm ngang, bỏ qua trọng lượng tác dụng một ngẫu lực có r mômen M=60KNm. Tại C tác dụng lực thẳng đứng P có giá trị P=20KN. Biết AB=3,5m; BC=0,5m. Tìm phản lực ở A, B. r Trả lời: RA= - 20KN ; RA hướng xuống dưới. r RB= 40KN ; RB hướng lên trên. r r 51. Trên dầm hai côngxon nằm ngang tác dụng ngẫu lực ( PP,'), bên công xon trái tác ur r dụng lực phân bố đều q , tại D bên công xon phải chịu tác dụng lực thẳng đứng Q . Xác định phản lực tại A, B. Biết P=10KN, Q=20KN, q=20KN/m; a=0,8m. 30
  28. Trả lời:RA= 15KN ; RB= 21KN. q P' Q a A D B C C A P B D a a a a P Hình 51 Hình 52 52. Dầm AB=1,5m trọng lượng 80N đặt giữa hai gối đỡ C và D nằm ngang. Tại mút B treo tải trọng 200N. Biết AC=25cm, CD=30cm. Tìm phản lực tại C, D. Trả lời: RC= 688,7N ; RD= 966,7N C A B C B A P P P1 Hình 53 Hình 54 53. Xà đồng chất BC=4m nặng 5KN. Đầu C treo vật nặng P=40KN đầu kia tựa vào hai điểm cố định A và B với AB=0,5m. Xác định phản lực tại A, B khi xà cân bằng. Trả lời: RA= 340KN ; RB= 295KN 54. Tìm giá trị phản lực của cần trục cầu tại A và B trên đường ray, phụ thuộc vào vị AC trí của xe nhỏ C trên có gắn ròng rọc ở nửa bên trái cầu, đặt = n. Trọng lượng cầu AB P=6KN, trọng lượng xe kể cả ròng rọc P1=4KN. AC Trả lời: RA=(7- 4n)KN ; RB= (3+4n)KN ; n = AB 55. Trên một dầm ngang đặt lên hai bệ đỡ cách A B nhau 4m đặt hai tải trọng: C nặng 200N, D nặng C D 100N, CD=1m. Bỏ qua trọng lượng dầm và thanh x nối CD. Tìm khoảng cách x từ A đến C để phản lực Hình 55 31
  29. ở A gấp đôi phản lực ở B khi dầm cân bằng. Trả lời: x= 1m D A o 56. Hai thanh đồng chất có cùng tiết diện AB và BC nối cứng 60 B với nhau tạo thành góc 600 và được treo tại điểm A bởi dây ϕ AD. Biết BC=2AB. Xác định góc ϕ tạo giữa thanh BC và C phương nằm ngang khi thanh gẫy khúc ABC cân bằng. Hình 56 3 D Trả lời: ϕ= arctg = 1905’ 5 C ϕ 57. Hai thanh đồng chất cùng tiết diện AC=2a, CB=2b nối α B cứng với nhau tại C tạo thành góc α và được treo bởi dây CD. Tìm góc ϕ giữa thanh AC và phương nằm ngang khi A thanh cân bằng. Hình 57 ab22+ cosα Trả lời: tgϕ= b2 sinα 58. Một cửa cống hình chữ nhật rộng b=2m nối với đáy công trình bằng bản lề trụ nằm ngang còn phía trên có móc giữ chặt. Chiều sâu của nước phía trước cửa cống là h =4m, phía sau cửa cống là h =2m. 0,5 m 1 2 K Chốt bản lề và móc chịu tất cả áp lực phân bố của nước lên cửa cống từ phía trái và từ phía phải. Biết áp lực riêng của 2 nước là σ=10KN/m ; HK=0,5m. Xác định phản lực của chốt h 1 bản lề B và phản lực của móc H. Trả lời: h2 RB= 78,5KN ; Rm= 41,5KN B 59. Supap an toàn A của nồi hơi nối liền với thanh AB có Hình 58 cánh tay đòn CD=50cm nặng 1N có thể quay quanh trục cố r định C. Đường kính supap d=6cm, BC=7cm. Tìm trị số của lực Q để supap tự mở khi áp suất nồi hơi là 11N/cm2. Trả lời: Q=43N C B D M2 A A B O Q 30 M1 M3 d Hình 59 Hình 60 32
  30. 60. Xà AB=10m, đầu A nối bản lề cố định, đầu B đặt trên con lăn nghiêng so với 0 phương ngang góc α=30 . Trên xà có 3 ngẫu lực tác dụng với mômen M1=8KNm, M2=10KNm, M3=7KNm và có chiều như hình vẽ. Tìm phản lực ở A, B. rr Trả lời: (RRA , B )- ngẫu lực: RA=RB=0,58KN P 61. Vật nặng Q=50N được treo vào trục bán kính r=10cm nhờ dây cáp. Tay quay có độ dài l=1,25m bắt chặt vào trục và cùng r O nằm trong mặt phẳng của dây vuông góc với trục. Tìm phản lực ở uuruur uur bản lề trụ O và trị số lực của ngẫu ( PP, ′) nếu giá của P vuông góc Q với tay quay. P' Trả lời: R= 50N ; P= 4N Hình 61 62. Bộ phận chính của ròng rọc visai được cấu tạo bằng hai bánh xe răng khía luồn chặt vào nhau cùng quay quanh trục cố định A R A r bán R và r. Một dây xích dài luồn qua hai bánh xe răng khía tạo P thành hai nhánh. Tại một trong hai nhánh đó đặt ròng rọc B mang vật r nặng Q. Tác dụng áp lực động P vào nhánh tự do ở phía tiếp xúc với B ròng rọc lớn. Tìm sự liên hệ giữa P và Q. Tính P khi Q=500N, R=25cm, r=24cm. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc. Q 1 ⎛⎞r Hình 62 Trả lời: PQ=−=⎜⎟110N 2 ⎝⎠R 63. Thí dụ Một tấm hình tam giác vuông đồng chất 0'A'B' trọng lượng P= 120N được giữ nằm ngang bởi ba thanh thẳng đứng, bỏ qua trọng lượng AA', BB', 00'. Tại điểm K với 1 B'K'= A'B' đặt vật nặng trọng lượng Q= 240N. Tìm ứng lực trong các thanh. 4 Bài giải a) Vật khảo sát: Tấm 0'A'B' cân bằng. b) Liên kết: các thanh không trọng lượng AA', BB', 00'. c) Hệ lực song song không gian tác dụng lên vật khảo sát: r r rrr ( PQS,,0 , SA , SB ) 0. d) Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên: 33
  31. ⎧ 5 Z=++−−= SSSPQ0 z ⎪ ∑ KAB0 K =1 ⎪ O' ⎪ 5 r bb3. B' mF()=−− SbP . . Q . = 0 ⎨ ∑ 0 xK B K' ⎪ K =1 34 ⎪ 5 r aa A' P Q O B y ⎪∑mF0 yK()=+ p Q . − SaA . = 0 b ⎩K =1 34 a K Từ hệ ba phương trình đại số trên dễ dàng tìm A được: x Hình 63 PQ P 3 SN=+=100 ; SQN=+ =220 ; A 34 B 34 P SN==40 0 3 e) Nhận xét: r rr Các SA, SB, S0 tìm được đều dương, chứng tỏ chiều của SSSAB,,0 như trên hình vẽ là đúng. Vậy chiều của ứng lực sẽ ngược lại: rrrrr r SSA′ =− A ; SSBB′ =− ; SS00′ = − Bài toán thuộc dạng này luôn luôn có thể giải được bằng phương pháp hợp lực song song hoặc phân tích một lực thành hai lực song song và cùng nằm trong một mặt phẳng. 64. Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a= 6m và b=12m, trọng lượng P= 180N được đặt nằm ngang lên 3 điểm nhọn 0, A và K như hình vẽ. Biết phản lực tại 0 là 10N và điểm K có toạ độ K(2,yK). Tìm phản lực tại A, K và toạ độ yK. Trả lời: NA = 50N; NK = 120N; yK = 9m. 65. Một bàn tròn có ba chân A1, A2, A3. Tại tâm 0 đặt một vật nặng. Tìm điều kiện các góc ở tâm ϕ1, ϕ2, ϕ3 sao cho áp lực lên các chân A1, A2, A3 theo tỷ lệ 1:2: 3. 0 0 0 Trả lời: ϕ1= 150 ; ϕ2 =90 ; ϕ3 = 120 . C O b y A ϕ β a . K P O A A O ϕ 3 α B P1 x A B ϕ P2 A Hình 64 Hình 65 Hình 66 34
  32. 66. Một đĩa tròn trọng lượng không đáng kể nằm yên ở mặt phẳng ngang tâm tựa lên r r r điểm nhọn 0. Xác định góc α, β sao cho khi tác dụng các lực P 1, P 2, P 3 theo phương thẳng đứng từ trên xuống đĩa vẫn cân bằng. Biết P1=1,5N, P2=1N, P3=2N. Trả lời: α = 75030’ ; β = 1510 67. Cần trục ba bánh xe A, B, C với kích thước AD=DB=1m, CD=1,5m, CM=1m, KL=4m, ở cân bằng nhờ đối trọng F. Trọng lượng của cần trục và của đối trọng là 10KN đặt tại điểm G nằm trong mặt phẳng MLNF với khoảng cách GH=0,5m kể từ trục cần trục MN, tải z y z 4m E b L D K P B z N Q . y F h G b 1m 1m E A D B x x x G H A a B 1,5m O C 1m M A a C Hình 67 Hình 68 Hình 69 trọng Q=3KN. Tìm áp lực của các bánh xe lên ray khi mặt phẳng MLN song song với mặt phẳng Dyz. 5 5 1 Trả lời: RA = KN ; RB = 7 KN ; RC = 4 KN 6 6 3 68. Một cần trục có hình tứ diện ABCD. Mặt đáy ABC là tam giác đều. Mặt bên thẳng đứng ADB là tam giác cân. Trục thẳng đứng của cần trục được giữ bởi bản lề 0 và D, thanh chống 0E mang tải trọng P có thể quay quanh trục đó. Đáy ABC được giữ chặt bởi bản lề trụ A, B và bulông thẳng đứng C. Xác định phản lực ở A, B, C khi cần nâng 0DE nằm trong mặt phẳng đối xứng của cần trục, nếu P=1200N, trọng lượng cần trục Q=600N với trọng tâm ở G, h=1m, a=b=4m. Trả lời: ZA = ZB = 1506 N ; ZC = -1212 N ; XA=XB=0 69. Một tấm chữ nhật đồng chất có cạnh a và b, trọng lượng P được đặt nằm ngang trên 3 điểm nhọn A, B và E như hình vẽ. Biết áp lực lên điểm A và B tương ứng là P/4 và P/5. Tìm áp lực lên điểm E và toạ độ của nó. 11 6 10 Trả lời: NE = P ; x = a ; y = b 20 11 11 70. Thí dụ Xà AB đồng chất trọng lượng P=100N được giữ trong mặt phẳng thẳng đứng như hình vẽ. Biết các góc α= 300 ; β= 600. Bỏ qua ma sát trượt. Tìm phản lực tại A, B. Bài giải a) Vật khảo sát: Xà AB. 35
  33. b) Liên kết: tựa tại A, B. c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát AB: rr r r ( P,,,XYNA AB) 0. d) Hệ lực trên là hệ lực phẳng, trong đó các phản lực phải tìm đều đã biết phương chiều. Sử dụng hệ phương trình cân bằng của hệ lực C phẳng ta sẽ tìm được cường độ của chúng. ⎧ 4 XXN=−cosα = 0 ⎪ ∑ KAB K =1 ⎪ NB 4 ⎪ B ⎨∑YNKB=−+=sinα PYA 0 ⎪K =1 ⎪ 4 r AB YA mF()=−= NAB . sinβα P . cos0 β ⎪∑ Az K B α P ⎩ K =1 2 XA A Thay các giá trị đã cho P=100N, α= 300 ; Hình 70 β= 600 vào hệ phương trình trên ta được: X A = 25 3 N ; YA= 75N , NB = 50N. r rr e) Nhận xét: XA > 0 ; YA > 0 ; NB > 0 như vậy chiều của X AA,,YN B đã chọn là đúng. 71. Thí dụ Xác định phản lực bệ đỡ của khung cứng dưới tác y r dụng của lực P nằm ngang và lực phân bố theo tam P C l D giác. Bỏ qua trọng lượng khung. Biết P= 2KN, cường độ phân bố lớn nhất q=0,2KN/m ; h= 3m ; ℓ = 1,5m h Q E Bài giải NB YA x 1) Vật khảo sát: Khung ABCD. q X A 2) Liên kết: Bản lề A, con lăn B. A B 3) Hệ lực tác dụng lên khung ABCD: Hình 71 rrrrr ( PQN,,BAA , X , Y) 0 q Trong đó lực phân bố tam giác có cường độ của hợp lực Qh= = 0,3 KN và đặt tại 2 h điểm E với AE = = 1m, có phương chiều trùng với phương chiều của qr . 3 4) Lập hệ phương trình cân bằng: 36
  34. ⎧ 5 XXPQ=++=0 ⎪∑ KA ⎪K =1 ⎪ 5 ⎨ ∑YYNKA=+ B =0 ⎪ K =1 ⎪ 5 r h ⎪ ∑mFAz() K=−−= NlPhQ B . . 0 ⎩ K =1 3 Thay các trị số đã cho và giải hệ phương trình trên ta tìm được: NB= 4,2KN ; XA = -2,3KN ; YA =- 4,2KN 5) Nhận xét: rr Vì XA < 0 ; YA <0 nên X AA,Y có chiều ngược với chiều giả thiết trên hình vẽ. 72. Thanh AB đồng chất, trọng lượng P, đầu A tựa trên nền nhẵn nằm ngang, đầu B tựa lên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng β và được giữ bởi dây luồn qua ròng rọc và buộc vào tải trọng Q. Bỏ qua ma sát. Xác định phản lực ở A, B và Q theo P khi thanh cân bằng. P P P Trả lời: NA= ; NB= cosβ ; Q= T= = sinβ 2 2 2 Β B Q B Ο 30 D β O A Α C 45 . A Hình 72 Hình 73 Hình 74 73. Xà đồng chất trọng lượng 60N dài 4m một đầu tựa trên nền nhẵn và tại điểm B của xà gác lên cột cao 3m, góc giữa xà và cột là 300 còn tại đầu C của xà buộc dây vào chân cột A. Tìm phản lực ở B, C và sức căng của dây AC. Trả lời: T= 15N ; NB= 17,3N ; NC= 51,3N 74. Một thang AB nặng 200N được tựa trên tường nhẵn lập với phương ngang một góc 1 450. Một người nặng 600N đứng tại điểm D với AD= AB. Tìm phản lực tại A, B. 3 Trả lời: NB= 300N ; XA= 300N ; YA= 800N 37
  35. 75. Thanh đồng chất dài 2l trọng lượng P tựa vào hai tường tại đầu B và điểm A. Khoảng cách giữa hai tường là a. Xác định phản lực tại A, B và góc nghiêng α giữa thanh và phương nằm ngang. P a Trả lời: RA= ; RB= P.tgα ; α= arccos 3 ; a≤ l cosα l C A a B A B F C B . D 4m D 2m a A 1m E Hình 75 Hình 76 Hình 77 76. Thanh đồng chất AB nặng 100N tựa tự do tại A và được giữ bởi hai thanh BC, BD trọng lượng không đáng kể bằng các bản lề B, C, D. BCD là tam giác đều. AB nghiêng so với phương nằm ngang một góc 450 còn C, D cùng trên tường thẳng đứng. Xác định phản lực tại A và ứng lực trong các thanh. Trả lời: NA=35,4N ; SC= 89,5N ; SD= - 60,6N 77. Người ta cần nâng một dầm cầu bằng ba dây cáp như hình vẽ. Trọng lượng của dầm cầu là 4200N, trọng tâm đặt tại D. Biết AD=4m, BD=2m, BF=1m và AC nằm ngang. Tìm sức căng của ba dây. Trả lời: TA= 1800N ; TB= 1757N; TC= 1243N 78. Thanh đồng chất AB trọng lượng P được tựa trên một mặt phẳng nằm ngang và một mặt phẳng nghiêng. Α Hai mặt phẳng lập với nhau góc một α. Thanh được giữ D lập với mặt phẳng nằm ngang một góc β nhờ dây CD α γ β Β lập với phương ngang góc γ. Tìm sức căng của dây, C phản lực tại A, B. Góc γ phải thỏa mãn điều kiện nào Hình 78 thanh mới có thể cân bằng. cosβ cosγ Trả lời: NA= −P ; 4cos(α +−βγ ) ⎡ cosβ cos(αγ− )⎤ NB= P ⎢1− ⎥ ; ⎣ 2cos(α +−βγ ) ⎦ 38
  36. sinα cos β π T= −P ; γαβ< +−; 2cos(α +−βγ ) 2 O O E C D ϕ ϕ B C a β B C M β D A A α P D Hình 79 Hình 80 Hình 81 79. Một tấm ván hình vuông đồng chất ABCD trọnglượng P được treo bởi sợi dây BE=BA, đỉnh A tựa trên tường nhẵn thẳng đứng. Xác định phản lực của tường, sức căng của dây và góc ϕ khi tấm cân bằng. P 1 Trả lời: N= Ptgϕ ; T= ; ϕ= arctg cosϕ 3 80. Quả cầu đồng chất trọng lượng Q, bán kính a và vật nặng P được treo nhờ sợi dây buộc tại D, khoảng cách OM = b. Xác định góc ϕ tạo bởi 0M và phương thẳng đứng khi quả cầu cân bằng. Pa Trả lời: ϕ= arcsin ()PQb+ 81. Tấm ván đồng chất AB=2l trọng lượng Q được treo bằng hai sợi dây AC=CB và cùng lập với ván một góc β. Một người trọng lượng P đứng tại D với AD=m. Xác định góc nghiêng α của ván với phương nằm ngang khi ván cân bằng. ⎡⎤()lmP− Trả lời: α = arctg ⎢⎥cot gβ ⎣⎦lP()+ Q 82. Xà AB=l =3m bỏ qua trọng lượng được giữ bởi bản lề A và con lăn B chịu tác dụng lực phân bố đều q=2KN/m và F=4KN có phương nghiêng so với xà góc α=600. Biết a=1m. Tính phản lực tại A, B. Trả lời: NA= 2,48KN ; XA= 2KN ; YA= 2,98KN. 83. Xà AB=l =3m bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A, còn B tựa trên con lăn nghiêng so với phương nằm ngang góc α=300 chịu tác dụng của lực phân bố đều q=2KN/m trên một đoạn a=2m và một ngẫu lực có mômen M=3KNm. Tìm phản lực tại A, B. 39
  37. Trả lời: NB= 4,24KN ; XA= 2,12KN ; YA=0,33KN. F q q A α B A B α a a M a l l Hình 82 Hình 83 84. Một xà đồng chất AB=l =27dm trọng lượng Q=10N tựa trên một mặt trụ nhẵn bán kính r = 6dm tại D. Đầu A bắt bản lề còn đầu B treo vật nặng P trọng lượng P= 5N, góc α=600. Xác định phản lực ở A, D. Trả lời: ND=39N ; XA= 33,5N ; YA= 4,5N B C A P G o o 30 45 D D r A α O B Q Hình 84 Hình 85 85. Một xà đồng chất AB trọng lượng P=100N gắn vào tường bằng bản lề A và nghiêng với phương thẳng đứng một góc 450. Đầu B được buộc vào dây luồn qua ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G. Biết đoạn đây BC lập với phương thẳng đứng một góc 300. Tại D với BD = 1 AB treo vật nặng Q=200N. Tìm trọng lượng G và phản lực tại A khi xà cân bằng. 4 Trả lời: G= 146N ; XA= 73N ; YA= 173N C B F 4m B P A α a l l P A Hình 86 Hình 87 40
  38. 86. Xà AB đồng chất trọng lượng 100N đầu A bắt bản lề vào tường , đầu B buộc vào dây nằm ngang BC và treo vật nặng P=200N, nghiêng với phương thẳng đứng góc α=450. Tìm sức căng của dây BC và phản lực tại A. Trả lời: T= 250N ; XA= 250N ; YA= 300N 87. Một dàn có bệ đỡ bản lề cố định tại A và xe di động B có độ dài AB=20m, nặng 100KN chịu lực ép tổng hợp của gió là F=20KN tác dụng song song với AB từ phải sang trái và cách AB là 4m. Tìm phản lực tại A, B. Biết α=300. Trả lời: NB= 62,4KN ; XA= 11,2KN ; YA= 46KN z 88. Thí dụ: ZA AYA y Khung gấp khúc ABCD có phần ABC nằm ngang, phần XA BCD thẳng đứng. Khung được giữ bởi bản lề cầu A, bản lề trụ E m1 và dây không dãn DK song song với BA. Khung chịu tác dụng ZE E C K r r r B của lực thẳng đứng P tại D và các ngẫu lực mm12, . Biết 0 x ∠(ABC) = ∠(BCD) = 90 ; AB = 40cm; BE = 20cm; EC= XE m2 40cm ; CD = 40cm; P = 100N; m1 = 60Ncm ; m2 = 40Ncm. Bỏ qua T trọng lượng khung. Xác định phản lực tại A, E và sức căng của D dây DK. P Hình 88 Bài giải a) Vật khảo sát: Khung ABCD cân bằng. b) Liên kết: Bản lề cầu A, bản lề trụ E và dây DK. c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát: Với khung ABCD đã cho ta có thể lập hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. rrrrrrrr r Ta có: ( X AA,,YZ A , X E , ZTPmm E ,,,,12) 0 d) Lập hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian trên ta có: 41
  39. ⎧ 7 XXXT=+−=0 ⎪∑ KAE ⎪K =1 ⎪ 7 ∑YYKA==0 ⎪ K =1 ⎪ 7 ⎪ ZZZP=+−=0 ⎪ ∑ KAE K =1 ⎨ 9 ⎪ r ∑mFAx() K=−−= ZBEPBCm E . .1 0 ⎪ K =1 ⎪ 9 ⎪ r ∑mFAy() K =+− TCDPABZAB . .E . = 0 ⎪ K =1 ⎪ 9 r ⎪ ∑mFAz() K =− TBCXBEm .E . +=2 0 ⎩ K =1 Thay các trị số đã cho vào 6 phương trình cân bằng trên và giải ra, ta tìm được: YA = 0 ; ZE = 303N ; T = 203N ; ZA = -203N ; XE = 611N ; XA =-408N. r rr e) Nhận xét: ZE > 0 ; T > 0 ; XE > 0 nên chiều của Z EE,,TX giả thiết như hình r r vẽ là đúng, còn ZA < 0 , XA < 0 nên chiều của Z A , X A ngược lại với chiều giả thiết trên hình vẽ. 89. Xác định ứng lực trong 6 thanh đỡ giữ tấm vuông ABCD bỏ qua trọng lượng dưới r tác dụng của lực nằm ngang P dọc theo AD. Kích thước như hình vẽ. Trả lời: S1= P ; S2=-P 2 ; S3=-P ; S4=P 2 ; S5=P 2 ; S6= -P . B C B C A D 3 a D 6 P A a 5 4 2 1 3 5 6 1 2 4 a a a Hình 89 Hình 90 90. Một tấm đồng chất có dạng hình chữ nhật nặng P nằm ngang được giữ cố định bởi 6 thanh thẳng trọng lượng không đáng kể hai đầu gắn bản lề. Xác định ứng lực trong các thanh. P Trả lời: S1= S3= S4= S5 = 0; S2= S6 =- 6 C z 100 K y G B 25 25 y D y A z H 60 D B F B C D C 75 Q 60O 60o x A E x E E A x 42 Hình 91 Hình 92 Hình 93
  40. 91. Nắp đồng chất ABCD của hộp chữ nhật được giữ nhờ thanh chống DE. Nắp nặng 12N, AD = AE, góc DAE = 600, bỏ qua trọng lượng thanh. Tìm phản lực tại A, B và ứng lực trong thanh DE. Trả lời: XA= 1,73N ; ZA = 3N ; XB= 0; ZB = 6N ; S = 3,46N; 92. Giá đỡ hàng ABCD của một toa xe có thể quay qunh trục AB nhờ hai bản lề trụ H, K được giữ ở vị trí nằm ngang bởi thanh bỏ qua trọng lượng ED. Trọng lượng tổng cộng trên tấm là P = 80N và đặt tại tâm của tấm. Kích thước như hình vẽ (đơn vị là cm ). Xác định phản lực tại H,K và ứng lực thanh DE. 1 2 Trả lời: XH=13 N ; ZH=50N ; XK=66 N; 3 3 2 ZK=-10N; S=66 N. 3 93. Nắp chữ nhật đồng chất nặng 40N được mở so với phương nằm ngang một góc 600 nhờ đối trọng Q, bỏ qua ma sát ở ròng rọc A, D trên đường thẳng đứng và AD = AC. r Tìm trị số lực Q và phản lực ở bản lề A, B. Trả lời: Q= T= 10,4N ; XB= 0 ; ZB=20N ; XA=10N ; ZA=17,3N Z D y Z E C M H A B C E D P Z α C P D B Y O Y A 30 x X B X A B FE Hình 94 Hình 95 Hình 96 94. Nắp hộp chữ nhật ABCD có thể quay quanh bản lề A, B. Dây CE song song với Ax giữ nắp hộp tạo với phương nằm ngang góc α = 300. Biết nắp hộp đồng chất và nặng 2N. Xác định phản lực ở A, B và sức căng dây CE. Trả lời: XA= 0 ; ZA = 1N ; XB= 1,73N ; ZB= 1N ; T= 1,73N 95. Cánh cửa đồng chất ABCD nặng Q = 100N được giữ bởi dây EF// HD, cánh cửa mở ra góc α = 600. Cho BD= BH ; CE= ED. Xác định trị số của lực P để cánh cửa cân bằng ở vị trí đang xét và phản lực ở bản lề A, B Trả lời: P= T= 50N ; XA= 21,6N ; ZA= 37,5N ; 43
  41. XB= 21,6N ; ZB= 37,5N 96. Cánh cửa dồng chất hình chữ nhật ABCE nặng 640N có trục quay thẳng đứng AB được mở một góc α = 600, AC = AD = 18dm ;AB = 24dm. Cửa được giữ nhờ hai dây CD và EF, P = 320N, EF// By, bỏ qua ma sát ở ròng rọc D. Tìm sức căng của dây EF và phản lực ở A, B. Trả lời: T= T1= 320N ; XA= 69N ; YA= -280N XB= 208N ; YB= 440N ; ZB= 640N Z Z A Y E α A B Y B D H E D X X C F C Hình 97 Hình 98 97. Nắp chữ nhật đồng chất nặng 200N được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và dây CE; E, A cùng trên một đường thẳng đứng. Góc ∠ACE= ∠CAB = 300. Xác định sức căng của dây và phản lực tại A, B. Trả lời: XA= 86,6N ; YA= 150N ; ZA= 100N XB= 0 ; ZB= 0 ; T= 200N 98. Một tấm đồng chất ABCD hình vuông cạnh 30cm nặng 50N được giữ ở vị trí nghiêng so với phương nằm ngang một góc α=300 nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và điểm nhọn E. r Cạnh AB nằm ngang. Tại H tác dụng lực F song song với AB. Biết CE = ED, BH = 10cm, F=100N. Tìm phản lực tại A, B và E. Trả lời: NE= 21,6N ; XA= 100N ; YA= 23,5N ZA= 1,1N ;YB= -34,3N ; ZB= 32,3N 44
  42. E O z C 30 P A D y D B K Y x C Q B E K X A Hình 99 Hình 100 99. Một nhịp cầu sắt ABCD nặng 15000N được kéo lên nhờ dây xích CE luồn qua ròng rọc E và tời K. Ba điểm C, E, K cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Byz. Xác định sức căng của dây xích CE và phản lực tại A, B. Trả lời: T= 3750N ; YA= 0 ; ZA= 7500N ; YB= -3250N ; ZB = 5625N 100. Thanh gẫy khúc ADEK được giữ trong mặt phẳng nằm ngang nhờ các gối trụ A, r B, C. Tại mút A tác dụng lực nằm ngang P hướng dọc theo AD. Tại K tác dụng lực r thẳng đứng Q . Bỏ qua trọng lượng thanh. Biết P = 20N, Q=40N, AD= 20cm, BD = 10cm, ED = 25cm; CE = 20cm, EK = 30cm. Xác định phản lực tại A, B và C. Trả lời: XA= 5N ; XC= -5N ; YB= -20N ; ZA= -60N; ZC= 0; ZB = 100N. 101. Một máy tời gồm hình trụ bán kính r và bánh xe bán kính R cùng quay quanh trục AB, trục này được giữ nhờ 2 bản lề trụ A, B. Ở hình trụ cuốn một sợi dây có treo r tải trọng Q. Một sợi dây khác cuốn vào bánh xe và ở mút đặt lực P lập với phương r thẳng đứng góc 300. Biết trọng lượng Q, AB= l; AC=a; AD = b. Tìm trị số lực P và phản lực ở A, B. 1 ar ⎛⎞3 ar Q Trả lời: P= Q ; XB= − Q ; ZB=⎜⎟b + ; R 2lR ⎝⎠2 Rl −()lar− ⎡ rQ3 ⎤ XA= Q ; ZA= ⎢lb−+() la − ⎥ 2lR ⎣ 2Rl⎦ 45
  43. B α c R C z b B a E P D A y r D α A x F Q Q Hình 101 Hình 102 102. Trục cơ có thể quay trong gối đỡ A và B. Tại mút của trục có pi nhông bán kính R r = 20cm. Tại tâm D của khuỷu nằm ngang đặt lực F nằm trong mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với trục và tạo với phương thẳng đứng góc α=300 . Biết F = 2000N, r ED = 15cm, a = 15cm, b=20cm, c=25cm. Tìm trị số lực Q và phản lực ở A, B. Trả lời: Q= 1298N ; YA= -2286N ; ZA= 964N ; YB= -11,7N ; ZB= 764N z B a c b 60O A B y z C C D R Q T2 t1 P A x α O x t2 90 y T1 D K Hình 103 Hình 104 103. Nhờ trục quay như hình vẽ mà tải trọng Q=100N được nâng lên. Biết R=5cm, KD = 40cm, KA=30cm, AC=40cm, CB=60cm. Sợi dây rời khỏi tay quay hướng theo r tiếp tuyến và nghiêng với phương ngang góc 600 và KD nằm ngang. Tìm trị số lực P và phản lực ở A, B. Trả lời: P= 12,5N ; XA= -30N ; ZA= -35,7N ; XB= -20N ; ZB= -38,4N 104. Một trục nằm ngang có hai pu-li C và D mang đai truyền có thể quay trong gối đỡ A, B. Bán kính pu-li rC =20cm, rD=25cm, a=b=50cm, c=100cm. Lực căng ở pu-li C nằm 46
  44. 0 ngang T1=2t1=500N, còn ở pu-li D thì tạo với phương thẳng đứng góc α=30 và T2=2t2. Xác định lực căng t2 và các phản lực ở A, B khi trục cân bằng. Trả lời: t2= 200N; XA= -637,5N; ZA= 130N ; XB= - 412,5N ; ZB = 390N. z 10cm B B 0.5m 0.5m Q 80cm O C P 0.5m 30 z 10cm Q A y x D P P 1m A 1m y P P x Hình 105 H×nh 106 105. Trên trục nằm ngang đặt hai gối đỡ A, B có bánh răng C bán kính 1m và D bán r kính 10cm; Kích thước khác cho trên hình vẽ. Tại bánh răng D đặt lực thẳng đứng Q , r tại C đặt lực nằm ngang P có trị số 10N. Xác định Q và phản lực ở A, B khi trục cân bằng. Trả lời: Q= 100N ; XA= -1N ; ZA= -90N z O D 30 106. Nhờ một cơ cấu như hình vẽ mà một xe goòng C r c nặng Q=10.000N đi xuống đều. Xác định lực P đặt B vào 4 tay đòn vuông góc với trục tay quay và phản b lực tại A, B nếu trọnglượng trục quay q=1000N, E K đường kính d=24cm, độ dài tay đòn l=1m, trục tay quay ở vị trí thẳng đứng. a Trả lời: P= 150N ; XA= 0 ; YA= -1250N Q A y ZA= 1000N; XB= 0 ; YB= - 3750N x Hình 107 107. Một vật nặng Q=500N được nâng lên nhờ tời thẳng đứng có trọng lượng G=200N bán r kính r=10cm, các khoảng cácha=25cm,b=35cm,c=15cm, CD=50cm. Tại D đặt lực ngang P 47
  45. dưới góc 300 . Xác định trị số lực P và phản lực tại A, B khi cân bằng. Biết đoạn dây EK//CD. Trả lời: P= 200N ; XA= 25N ; YA= -335N ; ZA= G= 200N ; XB=-125N ; YB=7,9N 108. Thanh gẫy khúc ABCD có mặt phẳng BCD thẳng đứng, các góc ∠(ABC)= ∠(BCD)=900. Thanh được giữ nhờ bản lề cầu D và bản lề trụ A. Trên thanh có 3 ngẫu lực tác dụng m1 nằm trong các mặt phẳng vuông góc tương ứng với các m 2 C phần của thanh. Biết trị số m2, m3, AD = a, BC = b, CD = c, B bỏ qua trọng lượng thanh. Xác định mômen m1, phản lực tại A, D. m3 D bm23+ cm m3 m2 Trả lời: m1= ; YA= ; ZA= a a a m3 m2 XD=0 ; YD= − ; ZD= − a a Hình 108 109. Thanh gẫy khúc ACDE bỏ qua trọng lượng có mặt z A y phẳng ACD nằm ngang, mặt phẳng CDE thẳng đứng. Thanh được giữ nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B và dây B C D EK,biết EK // AC, AC = 40cm, BC = 20cm, CD = 60cm, K 0 x DE = 40cm, ∠(ACD)= ∠(CDE)=90 . Tại E đặt lực thẳng E r đứng P và ngẫu lực nằm ngang có mômen m với P=10N, m=60Nm. Xác định phản lực tại A , B và sức căng của dây P EK. Hình 109 Trả lời: XA= -43N ; YA= 0 ; ZA= -20N XB= 53N ; ZB= 30N ; T= 20N 110. Thanh AB đồng chất trọng lượng P=8N được giữ ở vị trí nghiêng nhờ hai dây nằm ngang AD và BC. Mút A tựa trên tường nhẵn thẳng đứng còn mút B tựa lên nền nhẵn nằm ngang. Biết ∠(ABC)=∠(BCE)=α=600, A và C cùng trên đường thẳng đứng. Xác định phản lực của tường và nền cùng sức căng của hai dây. Trả lời: RA= 2N ; RB= 8N; TA= 1,15N ; TB= 2,3N 48
  46. C D A E C 60O 60O B B ϕ Hình 110 Hình 111 111. Thanh AB trọng lượng P treo trên hai sợi song song Ac và BD. Nó được giữ ởvị trí mới tạo với vị trí cũ một góc ϕ nhờ một ngẫu lực nằm ngang có mômen M. Tìm góc ϕ nếu AC=BD=AB=l. ϕ 2M Trả lời: sin = 2 Pl 49
  47. CHƯƠNG III. MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC I. Bài toán cân bằng đòn phẳng Vật rắn có thể quay xung quanh một trục cố định dưới tác dụng của hệ lực cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ấy được gọi là đòn phẳng. Giao điểm giữa trục và mặt phẳng chứa các lực được gọi là điểm tựa của đòn. Nếu điểm tựa của đòn ký hiệu là 0 thì điều kiện cần và đủ để đòn phẳng cân bằng là tổng đại số mômen của các lực đặt lên đòn lấy đối với điểm O bằng không. n r ∑mF0 ()K = 0 K =1 112. Thí dụ Thanh đồng chất 0A= 100cm nặng 4N có thể quay quanh bản lề 0. Đầu A buộc các tải trọng G nặng 10N, tải trọng Q nặng 20N vắt qua ròng rọc không ma sát B. Tại điểm K treo 0 vật nặng P1= 10N. Biết 0B thẳng đứng, đoạn dây AB nằm ngang, α= 45 . Xác định độ dài 0K khi thanh cân bằng. Bài giải B T a) Vật khảo sát: Đòn OA A b) Liên kết: Bản lề O, dây AB. K G α Q P c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát: P1 rrr rr O R ( PPGTR,,,,10) 0 O d) Phương trình cân bằng của đòn: Hình 112 5 r 0A ∑mF0 (K )=−−−= T .0 A cosαα G .0sin P sin α P1 .0 K sin α 0 K =1 2 Trong đó: T= Q Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên và giải ra ta thu được 0K= 80cm. e) Nhận xét: Nếu phải tìm phản lực ở bản lề 0 thì bài toán cân bằng đòn đưa về bài toán cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Ngược lại một số bài toán cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực phẳng có thể đưa về bài toán cân bằng đòn phẳng nếu số ẩn số phải tìm chỉ có một. 50
  48. 113. Thí dụ R A C A Một xà đồng chất AB trọng lượng P = 100N gắn vào tường bằng bản lề A và lập với phương thẳng đứng một O 30O 45 góc 450. Đầu B được buộc vào sợi dây không dãn luồn qua G D P ròng rọc không ma sát có treo vật nặng G. Biết đoạn dây BC T 0 lập với phương thẳng đứng một góc 30 . Tại điểm D trên xà B 1 P với BD= AB treo một vật nặng 200N. Tìm trọng lượng 1 4 Hình 113 G khi xà cân bằng. Bài giải a) Vật khảo sát: Xà AB b) Liên kết: Bản lề A, dây BC. r rrr c) Hệ lực tác dụng lênvật khảo sát AB: ( P,,,PTR1 A ) 0 Xà AB chính là đòn phẳng với điểm tựa là bản lề A. d) Sử dụng phương trình cân bằng đòn phẳng ta có: 4 r AB 0003 ∑mFA ()K = P sin 45+−=PAB1 .sin 45 TAB . sin 75 0 K =1 24 Trong đó: G = T Thay các giá trị đã cho vào phương trình trên ta tìm được: G = T = 146N. 114. Thanh đồng chất nặng 2N có thể quay quanh bản lề A. mút B treo quả cân nặng 1N buộc ở diểm C. Một dây khác luồn qua ròng rọc D có buộc quả cân nặng 2N và cũng buộc vào B. Biết AB=AD, bỏ qua ma sát ở ròng rọc. Tìm góc α khi thanh cân bằng. Trả lời: α= 1200 B C P 1N α D A K A B 2N Q Hình 114 Hình 115 115. Thanh đồng chất AB nằm ngang trọng lượng 100N có thể quay quanh bản lề A cố định. Đầu B được giữ nhờ quả tạ P=150N buộc vào sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc không ma sát . Tại K, với BK=20cm treo vật nặng Q=500N. Tìm độ dài AB để thanh cân bằng. 51
  49. Trả lời: AB= 25cm 116. Thanh đồng chất AB trọng lượng P đầu A gắn bản lề với tường, đầu B buộc vào dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C cùng trên tường thẳng đứng với A và buộc vào tải trọng Q. Cho AB = AC. Tìm góc α khi thanh cân bằng. Q Trả lời: α= 2arcsin P C A C α Q B Q a A B Hình 116 Hình 117 117. Thanh AB đồng chất trọng lượng P, đầu A găn bản lề với trần còn đầu B buộc dây không dãn luồn qua ròng rọc không ma sát C treo tải trọng trọng lượng Q. Biết AB = AC. Xác định góc α khi thanh cân bằng. α QQ++2 2 P Trả lời: cos = 22P 118. Đòn bẩy ABC nặng 80N có trục B cố định, cánh tay đòn AB = 4dm, BC =1m, trọng tâm đòn bẩy cách đường thẳng đứng BD về phía phải là 2,12dm. Tại A và C buộc dây vắt qua hai ròng rọc bỏ qua ma sát E và F có mang hai vật nặng 0 P1=310N, P2=100N. Góc ∠BAE = 135 khi đòn bẩy cân bằng. Tính góc ϕ = ∠BCF. ⎧ 450 Trả lời: ϕ = ⎨ 0 ⎩135 D C b j A F a A D a P2 C B E o α 135 P1 B P 1 P2 Hình 118 Hình 119 119. Hai thanh AB và CD đồng chất trọng lượng riêng 2p nối chặt vuông góc với nhau tại C. Thanh CD có thể quay quanh trục nằm ngang tại D. Cho AC=CB=a; 52
  50. CD=b. Tại A và B treo hai quả cân P1, P2 biết P1<P2. Tìm góc nghiêng α giữa thanh AB và phương ngang khi nó cân bằng. aPP− Trả lời: tgα = 21 bP21+ P++ρ(4 a b ) II. Bài toán vật lật Trong khi xét sự cân bằng của vật rắn chúng ta thường gặp những bài toán trong đó cần phải xác định giá trị giới hạn của lực hay kích thước của vật rắn để đảm bảo sự cân bằng đã định. Nếu tăng hoặc giảm giới hạn ấy thì vật có thể bị lật quanh một điểm nào đó gọi là điểm tựa hay một trục vuông góc với mặt phẳng chứa các lực. Để giải các bài toán loại này trước tiên ta phải tìm hiểu xem vật có thể bị lật quanh điểm (trục ) nào, trong điều kiện nào. Sau đó xác định giá trị của lực hay kích thước của vật để nó không bị lật quanh điểm (trục ) ấy. Liên kết gặp trong các bài toán vật lật thường là liên kết tựa. Khi xét vật lật quanh điểm tựa nào thì phản lực của những điểm tựa khác có thể bỏ qua (coi như bằng không ). Do đó điều kiện để vật không lật quanh điểm tựa đang xét là mômen của hợp lực của hệ lực đã cho lấy đối với điểm ấy bằng không. Giả sử điểm tựa đang xét là điểm 0 n r thì: ∑mF0 ()K =0 K =1 Căn cứ vào hướng lật của vật quanh một điểm tựa nào đó, người ta còn phân các lực uur đã cho Fk , kn= 1, thành hai loại là lực lật và lực giữ đối với điểm tựa ấy. Nếu gọi tổng mômen của tất cả các lực của từng loại đối với trục đi qua điểm tựa và vuông góc vơí mặt phẳng hệ lực lần lượt là mômen lật (M0 lật ) và mômen giữ (M0 giữ) thì điều kiện cân bằng của vật lật có thể viết dưới dạng: M0 lật ≤ M0 giữ. 120. Thí dụ Cần trục nặng P=30KN có trọng tâm nằm trên đường trung trực của bề rộng AB= 4m, tay đòn dài 8m. Đối trọng đặt cách chân bánh xe A là 3m. Tìm trọng lượng lớn nhất của đối trọng Q để cần trục không bị lật quanh bánh xe A khi C G cần trục không có tải trọng cũng như khi cần trục Q P có tải trọng. Xác định trọng lượng lớn nhất của tải A B trọng G cần trục có thể nâng được để nó không bị lật quanh bánh xe B. Hình 120 Bài giải 53
  51. Vật khảo sát là cần trục, nó là vật lật, có thể bị lật quanh hai điểm tựa là hai bánh xe A, B. Khi cần trục có đối trọng mà không có tải trọng thì cần trục chỉ có thể bị lật quanh bánh xe A( Khi đó NB =0). Điều kiện để cần trục không lật quanh A là mômen lật quanh A không lớn hơn mômen giữ quanh A. 2 MAl ≤ MAg ⇒≤⇒≤=QP.3 .2 QP20 KN 3 Khi cần trục có cả đối trọng và tải trọng thì nó có thể bị lật quanh B ( Khi đó NA =0). Điều kiện để cần trục không bị lật quanh B là mômen lật quanh B không lớn hơn mômen giữ quanh B. 2.PQ+ 7. MBl ≤ MBg ⇒≤+⇒≤GPQ.8 .2 .7 G ≤25KN 8 Với kích thước của cần trục trên, trọng lượng lớn nhất của đối trọng và trọng lượng lớn nhất của tải trọng là: Q= 20KN ; G=25KN. Q G G B A 25KN A B X 3 m 1.5 m 8.5 m l a b Hình 121 Hình 122 121. Trọng lượng cần trục không có đối trọng là 50KN đặt cách bánh xe bên phải A một khoảng 1,5m. Tải trọng nâng của giá treo là 25KN. Tay đòn dài 10m kể từ bánh xe A. Xác định đối trọng bé nhất Q và khoảng cách lớn nhất x kể từ trọng tâm đối trọng đến đường thẳng đứng qua B để cần trục không bị lật đổ khi cần trục có tải trọng cũng như khi nó không có tải trọng. Bỏ qua trọng lượng giá treo. AB=3m. 1 Trả lời: Q=31 KN ; x=6,75m 3 122. Cần trục nặng Q=200KN có độ dài tay đòn l =5m, chiều rộng của đáy AB=a=4m. Đối trọng có hình lập phương cạnh b=2m nặng P=50KN. Trọng tâm của cần trục nằm trên đường trung trực của AB. Tìm tải trọng lớn nhất cần trục có thể nâng được mà nó không bị lật quanh A. Trả lời: G=130KN 123. Một cần trục được bắt chặt trên nền đá có trọng lượng Q=35KN và trọng tâm A cách trục của cần trục một khoảng AB=0,8m. Cách tay đòn CD=4m. Nền có đáy là 54
  52. hình vuông cạnh EF=2m và tỉ trọng 0,02N/cm3. Tính chiều sâu cực tiểu để cần trục nâng tải trọng dưới 30KN không bị lật quanh mép F. Trả lời: h= 1,1m. D 4m C 0,8m G A .A B C B D E 4m 1.5m 2m X=? E F Hình 123 Hình 124 124. Cần trục được bắt chặt trên một ôtô vận tải. Trọng lượng của đối trọng B là P2=20KN. Trọng lượng của ôtô và cần trục không kể đối trọng là P1=20KN được đặt ở điểm C. Xác định khoảng cách ngắn nhất DE giữa hai trục của bánh xe ôtô và tải trọng lơn nhất P3 cần trục có thể nâng để ôtô không bị lật khi có tải trọng cũng như khi không có tải trọng. Kích thước cho trên hình vẽ. Trả lời: DE= 3,5m ; P3=35KN 125. Áp lực của nước lên diện tích yếu tố của thành đập tỷ lệ thuận với chiều cao của cột nước kể từ mặt thoáng và có môduyn bằng trọng lượng của cột nước ấy còn diện tích đáy bằng diện tích đã lấy. Xác định bề dầy của đáy đập để nó không bị lật quanh mép B trong 2 trường hợp: H H a. Khi diện tích ngang của đập là hình chữ nhật. b. Khi diện tích ngang của đập là hình tam giác. Biết hệ số ổn định là 2, chiều cao của đập cũng là chiều cao của Hình 125 3 cột nước H =5m. Tỷ trọng của nước γ =10KN/m , của vật liệu xây dựng đập γ1 = 22KN/m3. Hướng dẫn: Hệ số ổn định bằng tỷ số giữa mômen giữ và mômen lật. Áp lực của nước lên một diện tích của đập có bề dài 1m và chiều cao dy bằng γ(h-y)dy ( trong đó y được tính từ đáy và đo bằng m). Mômen của áp lực này đối với mép B là γ(h-y)ydy. h Mômen lật quanh mép B là ∫γ ()hyydy− . 0 Trả lời: a= 2,75m ; b=3,37m 55
  53. III. Bài toán hệ vật Bài toán xét sự cân bằng của nhiều vật rắn có liên kết với nhau được gọi là bài toán hệ vật. Giả sử hệ vật gồm n vật rắn S1, S2, , Sn chịu tác dụng của hệ lực phẳng rr r ( F12,FF , , m ), như vậy mỗi vật rắn cũng chỉ chịu tác dụng của một hệ lực phẳng nào đó. Giải bài toán hệ vật tức là tìm một số phản lực liên kết hoặc cũng có thể tìm một số lực tác dụng tích cực chưa biết hoặc điều kiện hình học nào đó để hệ vật cân bằng Chúng ta có hai phương pháp giải bài toán này: 1. Phương pháp 1:(Phương pháp tách vật) Xét cân bằng của từng vật, mỗi vật chịu tác dụng của hệ lực phẳng nên ta có 3 phương trình cân bằng. Lần lượt xét cân bằng của cả n vật ta sẽ có 3n phương trình cân bằng đủ để tìm 3n ẩn số. Phương pháp này thường áp dụng khi phải tìm tất cả phản lực liên kết là nội lực. 2. Phương pháp 2:(Phương pháp hoá rắn) Áp dụng tiên đề hoá rắn coi toàn bộ hệ n vật như một vật rắn ta có 3 phương trình cân bằng, sau đó xét (n-1) vật nào đó riêng biệt ta có 3(n-1) phương trình cân bằng. Tổng cộng ta cũng có 3n phương trình cân bằng để xác định 3n ẩn. Phương pháp này thường được sử dụng trong truờng hợp không cần tìm tất cả phản lực liên kết là nội lực hoặc chỉ cần tìm phản lực liên kết là ngoại lực. Trong nhiều bài toán hệ vật phải tìm N (N < 3n) ẩn số, khi đó ta chỉ cần lập đủ N phương trình cân bằng độc lập có chứa N ẩn số đó là đủ. Tổng quát hơn, nếu mỗi vật của cơ hệ hoặc cả cơ hệ chịu tác dụng của loại hệ lực nào thì ta áp dụng hệ phương trình cân bằng cho loại hệ lực ấy sao cho số phương trình cân bằng độc lập bằng số ẩn số cần tìm. 126. Thí dụ. YC C C XC -XC C Thang di động cấu tạo bằng D D hai thanh đồng chất AC và BC -YC Q bắt bản lề ở C. Đầu A và B tựa E F T Q A E F N NB trên nền ngang nhẵn. AC và BC α α P -T P được nối với nhau bằng dây EF. A B A B Tại D treo vật nặng Q= 72N. Biết Hình 126 AC= BC= l = 3m có cùng trọng 56
  54. lượng P=12N , AE= BF= 1m, CD= 0,6m; α= 450. Tìm phản lực tại A,B, C và sức căng dây EF. Bài giải Hệ vật gồm hai thanh AC và BC. Có thể dùng cả hai phương pháp để giải bài toán này đều thuận tiện như nhau. Chúng ta sử dụng phương pháp 1: Tách vật ngay từ đầu. r rr r r • Xét cân bằng thanh AC: ( NTXYPACC,, , , ) 0 Hệ lực trên là hệ lực phẳng nên ta có hệ phương trình cân bằng sau: ⎧ 5 XTX=+ =0 ⎪ ∑ KC ⎪ K =1 ⎪ 5 ⎨ ∑YNYPKAC=+−=0 ⎪ K =1 ⎪ 5 r AC ⎪∑mFCz() K= NAC A . cosααα−−= P cos. TEC sin0 ⎩K =1 2 • Xét cân bằng thanh BC. Hệ lực cân bằng đặt lên BC là: r rr rrr ( N BCC,,−−TX , − YPQ ,, ) 0 Hệ lực trên cũng là hệ lực phẳng nên hệ phương trình gồm có 3 phương trình. Nhưng chỉ cần tìm 5 ẩn số nên lập thêm 2 phương trình độc lập nữa là đủ: ⎧ 6 YNYPQ=−−−=0 ⎪ ∑ KBC ⎪ K =1 ⎨ 6 ⎪ r BC ∑mFCz( K )= TCF . .sinααα++− QCD . .cos P cos NBCB . .cos α = 0 ⎩⎪K =1 2 Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 5 phương trình trên và giải ra ta tìm được kết quả: NA= 40,8N ; NB = 55,2N ; T= 52,2N ; XC =- 52,2N ; YC = -28,8N. r r Vì XC < 0 ; YC < 0 nên chiều đúng của X CC,Y là chiều ngược với chiều giả thiết trên hình vẽ. 127. Thí dụ. Với điều kiện bài toán trên, tại bản lề C treo thêm vật G nặng 50N. Tìm phản lực tại A,B và sức căng của đoạn dây EF. Bài giải Trường hợp bài toán này nên sử dụng phương pháp 2 mới thuận lợi. Trước hết xét cân bằng của cả hệ vật gồm hai thanh AC, BC chịu tác dụng của hệ lực song song: 57
  55. rrrrr r ( N A,,,,,NP B AC PQG BC ) 0 Y C C X C C D G Q E F E T NA NB P P NA α α P A B A Hình 127 Hệ phương trình cân bằng của hệ lực trên: ⎧ 6 YNN=+−−−=20 PQG ⎪∑ KAB ⎪K =1 ⎨ 6 r 8 BC ⎪ ∑mFBK()=+ GBC . cosααα Q . BC .cos + PBC cos ⎩⎪K =1 10 2 3 +PBCcosαα−= 2. NBC . .cos 0 AC 2 A Để tìm sức căng đoạn dây EF ta xét cân bằng thanh AC. Thanh này chịu tác dụng của rrrrr hệ lực phẳng: ( NTXYPACC,, , , ) 0 Vì không cần tìm phản lực tại bản lề C nên chỉ lập thêm một phương trình mômen của hệ lực trên đối với điểm C. 5 r 2 AC ∑mFCz() K =+−= TAC . sinαα P cos NACA . cos0 α K =1 32 Thay thế các giá trị đã cho vào hệ 3 phương trình trên và giải ra ta có kết quả: NA= 65,8N ; NB=80,2N; T=89,7N. P B a E a C P E a a a a a a a a a a a a A D A D B C Hình 128 Hình 129 58
  56. uur 128. Trên khung ABECD bỏ qua trọng lượng bắt bản lề tại A, E và D đặt lực P theo phương nằm ngang tại B. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực ở A, D. P 2 Trả lời: RA= RD= 2 129. Cho hệ thống khung bỏ qua trọng lượng, có kích thước như hình vẽ. Tại E tác r dụng lực P nằm ngang. Xác định phản lực tại A, B, C và D khi khung cân bằng. P 2 P 2 Trả lời: RA= ; RB= P ; RC= P ; RD= . 2 2 r 130. Tại bản lề A của máy ép tác dụng lực P nằm ngang. Trọng lượng của thanh và pittông không đáng kể. Xác định lực ép của pít tông lên vật M theo các góc α, β. P Trả lời: Q= tgα + tgβ D B A α A o 30o 30 R o P 90o 60 Q β B C D M Hình 130 Hình 131 131. Cho khung ABCD bỏ qua trọng lượng, các đỉnh A, B, C và D là các bản lề. Tại r A tác dụng lực Q=10N. Xác định trị số của lực R đặt vào B để khung cân bằng. Chiều r r của lực QR, và các góc cho trên hình vẽ. Trả lời: R= 16,3N 132. Cột AB được giữ thẳng đứng nhờ thanh chống AC. Tại điểm D của dây cáp ADE có treo vật nặng Q=51,8N. Các góc của thanh chống và các đoạn dây cáp so với phương nằm ngang cho trên hình vẽ. Xác định lực căng của dây cáp ở các đoạn AD, DE cùng ứng lực trong cột AB và thanh chống AC, bỏ qua trọng lượng cột và thanh. Trả lời: TE= 173,2N ; TA= 141,5N ; SC= 245,1N ; SB= 141,5N. E B α O D D 45 α E 30 C A OQ N 59 F C 60O B
  57. Hình 132 Hình 133 133. Để kéo vật nặng từ dưới đất lên, người công nhân buộc đầu A của dây vào vật, đầu B vào xà ngang và lấy sợi dây thứ hai buộc một đầu vào điểm C của dây thứ nhất còn đầu kia buộc vào điểm D của cột thẳng đứng. Sau đó anh ta nắm chặt lấy điểm E của dây thứ hai rồi đu người lên. Biết trọng lượng của người công nhân là 800N, khi đó đoạn dây AC thẳng đứng, EC nằm ngang và các góc ∠(,CE ED )=∠ (,) AC CB = α = 40. Xác định lực căng của đoạn dây AC. Trả lời: T= 163592N 134. Trên dầm đồng chất AB=10m nặng 30KN đặt cần trục nặng 50KN với trọng tâm ở trên trục CD mang tải trọng P=10KN. Biết KL=4m, AC=3m. Tìm phản lực tại A, B khi cần trục nằm trong mặt phẳng thẳng đứng chứa AB và hệ cân bằng. Trả lời: RA= 53KN ; RB= 37KN 135. Một số tấm đồng chất có cùng tiết diện và dài 2l được xếp chồng lên nhau sao cho mỗi tấm đều có phần nhô ra ngoài. Xác định độ dài giới hạn của phần nhô ra ngoài của mỗi tấm khi chúng cân bằng. llll Trả lời: l,,,,, 2345 K 4m L P D 2l C A B 1m 1m 3m 7m Hình 134 Hình 135 136. Xà AB=4m nặng 200N có thể quay quanh trục nằm ngang A còn đầu B tựa trên xà CD=3m, nặng 160N được đỡ tại E và nối với tường nhờ bản lề D. Tại M và N đặt hai vật đều nặng 80N. Kích thước cho trên hình vẽ. Tìm phản lực A, B, E, D. Cho AB và CD là các thanh đồng chất Trả lời: RA= 120N ; RB= 160N ; RE= 400N ; RD= 0 60
  58. C D A F B A B E D E M C N Hình 136 Hình 137 137. Một cái cầu công xôn gồm có dầm chính AB và hai dầm bên AC, BD. Trọng lượng của mỗi mét trên AB là 15KN, trên AC, BD là 10KN. Xác định phản lực ở các bệ đỡ C, D, E, F khi FD chịu tác dụng của tải trọng 30KN/m. Biết EF=50m,AC=BD=20m,AE=FB=15m. Trả lời: RC=100KN;RD= 400KN ; RE= 542,5KN ;RF=1607,5KN 138. Hai thanh AC và BC trọng M P Q lượng không đáng kể được giữ nằm A C D B E M ngang nhờ bản lề A và hai gối trụ con 5m 1m 2m 1m 3m lăn B, D được nối với nhau bằng bản lề C. Trên thanh AC tác dụng mômen Hình M=12Nm và lực P=6N tại E, trên thanh BC tác dụng lực Q=8N tại M. Tìm phản lực ở A, B, C và D. Kích thước cho trên hình vẽ. Trả lời: RA= 1N ; RB= 1,5N RC= 7N ; RD= 16,5N 139. Hai xà AC và CB nằm ngang, K 4m L nối với nhau bằng bản lề C, đầu A ngàm vào tường, đầu B tựa trên con P lăn. Trên xà đặt cần trục có trọng D lượng Q=50KN, trọng tâm nằm trên đường thẳng đứng CD mang tải A C B trọng P=10KN. Kích thước như hình 1m 1m vẽ. Hai xà và cần trục cùng nằm 4m 8m trong mặt phẳng thẳng đứng. Tìm Hình 139 phản lực tại A, B. Trả lời: RA= 53,75KN ; MA= 205KNm ; RB= 6,25KN 140. Thanh đồng chất CD trọng lượng P được treo bởi dây DE và tựa trên thanh AB được giữ bởi bản lề 0 tại trọng tâm của nó với OC =l. Tại F treo vât nặng Q. Xác định khoảng cách 0F để thanh AB cân bằng ở vị trí nằm ngang. 61
  59. lP Trả lời: x= 0F= 2Q 141. Để xác định trọng tâm của xà không đồng chất AB người ta treo mút A và đặt xà lên trên đĩa cân tại C. Khoảng cách AC=30cm, trọng lượng của xà là 1,5N, trọng lượng của quả cân trên đĩa là 1N. Xác định khoảng cách x từ A đến trọng tâm xà. Trả lời: x= 20cm A B C E 30cm A FCB D 1N Q X E F O x l P D A F O B a b c l x Q C Hình 140 Hình 141 Hình 142 142. Để đo độ lớn của lực Q người ta dùng hệ đòn ABC và EDF được nối với nhau bằng thanh CD, B và E là bản lề. Tải trọng P=12,5N có thể dịch chuyển trên đòn EDF. r Lực Q đặt tại A cân bằng với tải trọng đặt tại một điểm cách D một khoảng l. Xác định độ dài x mà tải trọng cần dịch chuyển để giữ nguyên vị trí cân bằng khi tăng độ lớn của Q lên 1000N. Biết a=3,3mm; b=660mm; c=50mm. Trả lời: x= 2cm r 2 B A r1 r B C ϕ A O O' D 4a a 45O E P 45O C Q D Q A Q Hình 143 Hình 144 Hình 145 143. Thanh AB đồng chất, nặng P có thể quay quanh A, tựa trên thanh CD cũng đồng chất có thể quay quanh E trên đường thẳng đứng với A (điểm E là trung điểm CD ). Biết AB=CD=2l; AE=l. Tại mút D treo tải trọng Q=2P. Tìm góc ϕ giữa AB và phương thẳng đứng khi hệ cân bằng. 1 Trả lời: ϕ= arccos = 82050’ 8 144. Bán kính trục quay của tời r =5cm, bán kính các bánh xe răng cưa tương ứng r r1=10cm, r2=20cm, 0A=40cm. Tìm lực P vuông góc với tay quay 0A để cân bằng với Q=200N. 62
  60. Trả lời: P= 12,5N 145. Cho cơ hệ như hình vẽ. Các thanh đồng chất AB=4a, nặng G=20N, CD=a, nặng P=10N. Tải trọng Q=10N. Các góc ∠(CAD) =∠(ADC)=450. Mặt phẳng ABCD thẳng đứng và bản lề A, D cùng nằm trên đường thẳng đứng. Xác định phản lực tại A, C và D Trả lời: XA=XC=-XD=42,5N; YA=-7,5N; YC=-37,5N ; YD= 47,5N D F O 90 E B a C b 60O O A C B D A E 30 Hình 146 Hình 147 146. Hai thanh đồng chất AB và CD như nhau, dài 4a nặng 20N. AB nằm ngang nhờ bản lề B và con lăn A đặt trên mặt phẳng nghiêng 300 so với phương ngang. Thanh CD tựa trên AB tại C và lập với AB một góc 600 nhờ bản lề D. Hai thanh cùng nằm r trên mặt phẳng thẳng đứng. Tại E tác dụng lực F có giá vuông góc với CD. Biết F=10N, CB=DE=a. Tìm phản lực tại A, B, C và D. Trả lời: NA=16N; NC=15N; XB=8N YB=21N; XD=8,65N; YD=10N 147. Hai thanh đồng chất AB và AC có đầu A tựa lên nhau theo mặt phẳng thẳng đứng và trên nền nhẵn nằm ngang. Hai đầu B và C tựa lên hai tường thẳng đứng. Xác định khoảng cách giữa hai tường khi hệ cân bằng. Biết góc ∠(BAC)=900, AB=a, AC=b. Trọng lượng thanh AB là P1, AC là P2. aP+ bP Trả lời: DE= 21 PP12+ 148. Thanh AB đồng chất dài l nặng Q được nối bản lề với hai nửa khối cầu đồng chất nặng P1 và P2, bán kính r1 và r2. Hệ được đặt trên nền ngang. Xác định các góc ϕ, ϕ1, ϕ2 của thanh và hai đáy với phương ngang khi hệ cân bằng. 1 Trả lời: sinϕ= []rr1122(1−−− sinφ ) (1 sinφ ) l 8Q tgϕK= ; K= 1, 2 3PK 63
  61. 149. Giữa hai mặt phẳng nghiêng 0A và 0B đặt hai quả cầu đồng chất C1 nặng P1=10N, C2 nặng P2=30N chạm nhau. Xác định góc ϕ tạo bởi C1C2 với phương ngang, áp lực của hai quả cầu lên hai mặt phẳng nghiêng và áp lực giữ chúng nếu góc 0 0 ∠(A0x1)=60 ; ∠(B0x2)=30 . Trả lời: ϕ= 0 ; N1= 20N ; N2= 34,6N ; N3= 17,3N B r1 O1 C1 r2 A ϕ1 A O2 ϕ l ϕ C2 ϕ B 2 O O B O 60 30 A x1 O x 2 Hình 148 Hình 149 Hình 150 150. Xà đồng chất AB=3r, nặng 16N có thể quay quanh bản lề A và tựa trên hình cầu nhẵn bán kính r nằm trong mặt phẳng nằm ngang nhẵn và được giữ chặt nhờ dây không giãn. Biết 0A=2r. Tìm lực căng của dây và áp lực của xà lên bản lề A. Trả lời: T= 6,92N ; XA= 6N ; YA= 12,5N 151. Một hệ gồm 2 xà AB=1m, CD=0,8m nối với nhau bằng bản lề D và treo lên trần nằm ngang tại bản lề A và C. Trọng lượng của xà AB là 60N đặt tại E với AE=0,4m. uur Trọng lượng của xà CD là 50N đặt tại F với CF=0,4m. Tại B có lực Q tác dụng thẳng đứng với Q=200N. Biết α=600, β=450. Tìm phản lực tại A,C. Trả lời: XA= - XC= - 135N ; YA= 150N ; YC= 160N 152. Hai xà đồng chất AC và BC độ dài như nhau, cùng nặng P được nối với nhau bằng bản lề C, tại A và B gắn bản lề treo vào trần nằm ngang. Tại C treo vật nặng Q. Biết AB= d, khoảng cách từ C đến đoạn thẳng AB là b. Xác định phản lực tại A và B. dP()+ Q Q Trả lời: XB= -XA= ; YB= YA = P+ 4b 2 d α β O Q A C A 45 F A ϕ ϕ B C E b D O C 60 D Q B B Q Hình 151 Hình 152 Hình 153 64
  62. 153. Hai xà đồng chất AC và BD dài như nhau và nặng 40N nối với nhau bằng bản lề D, đầu A, B gắn bản lề vào tường thẳng đứng. Xà AC nằm ngang, xà BD lập với r phương thẳng đứng góc 600. Tại C tác dụng lực Q có giá lập với mặt phẳng nằm ngang một góc 450,có trị số Q= 400N. Tìm phản lực tại A, B Trả lời: XA= - 287N ; YA= 6N ; XB= 216N ; YB= 145N 154. Hai xà AC và BC có độ dài như nhau và gắn bản lề với nhau tại C, hai đầu A và B được giữ trên mặt phẳng ngang nhờ hai mấu A và B. Góc giữa mỗi xà và mặt phẳng nằm ngang là α với tgα= 0,5. Tại trung điểm mỗi xà đặt vật nặng 900N. Tìm áp lực giữa hai xà tại C và áp lực tại A. Trả lời: XA= - 900N ; YA= -900N ; XC= ± 900N ; YC= 0. 155. Hai xà AC và BC dài như nhau bắt bản lề tại C. Hai đầu A và B tựa tự do lên mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Xà EF bắt bản lề tại E, F vào xà AC và BC. Biết tgα=0,5 ; AC= 3.EC. Tại điểm giữa mỗi xà AC, BC đặt vật nặng 800N. Tìm áp lực tại A và ứng lực trong xà EF. Trả lời: YA= -800N ; S= 2400N. C C P E F B a C A D E 1 2 O O 3 4 Q Q 60 60 A ααB α α A B Hình 154 Hình 155 Hình 156 156. Cầu gồm hai xà dài như nhau được nối với nhau bởi bản lề A và bắt bản lề với các thanh cứng 1, 2, 3, 4 như hình vẽ. Thanh 1, 4 thẳng đứng; Thanh 2, 3 nghiêng với mặt phẳng ngang góc 600. BC= 6m, AB= 8m. Cầu chịu tải trọng P=150N đặt cách B một khoảng a= 4m. Tìm ứng lực trong các thanh và phản lực tại A. Trả lời: S1= 62,5N ; S2= S3=-57,7N ; S4=12,5N ; XA= ± 28,9N ; YA= ± 37,5N. 65
  63. IV. Bài toán ma sát 157. Vật A nặng P nằm trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương nằm ngang. Tác r dụng lên A một lực Q lập với mặt nghiêng góc β. Hệ số ma sát giữa A và mặt nghiêng là f. Xác định điều kiện của Q để A cân bằng trong hai trường hợp: a. Vật A có xu hướng trượt lên trên. b. Vật Acó xu hướng trượt xuống. Psin(α −ϕ ) Psin(α +ϕ ) Trả lời: a) ≤ Q ; b) Q ≤ cos(ϕβ+ ) cos(β −ϕ ) y Q β Q β C N N Fms h Fms α α P P x A ϕ O Hình 157(a) Hình 157(b) Hình 158 158. Dầm đồng chất dài 2l được tựa vào điểm C cố định có độ cao là h và mút dưới của nó tựa trên mặt phẳng nằm ngang tại A. Biết giá trị nhỏ nhất của góc j=∠(0AC) khi dầm còn ở cân bằng là ϕ0. Tìm hệ số ma sát f tại điểm A. Bỏ qua ma sát tại C. sin(β −+ϕβϕ )P sin( ) Trả lời: ≤≤ sin(α +−ϕαϕ )Q sin( ) 159. Chèn A có độ nghiêng tga=0,05 được chôn xuống độ sâu BB1 bởi lực có cường độ Q=6KN. Xác định áp lực pháp tuyến N lên má của chèn và cường độ lực P cần thiết để kéo chèn lên nếu hệ số ma sát f = 0,1. Trả lời: N =20KN; P=2KN. Q Q B A A B B T β α 1 Q α P 66
  64. Hình 159 Hình 160 Hình 161 160. Một khối hộp trọng lượng P nằm trên mặt phẳng ngang không nhẵn với hệ số ma sát f. Xác định góc b và trị số nhỏ nhất của lực Q để có thể đẩy được khối hộp. 1 P Trả lời: b=arctgf ; Qmin =tgα ≥− f 2(fP+ Q ) 161. Một vật A nặng P nằm trên mặt phẳng nghiêng góc a. Buộc vào A một sợi dây song song với mặt phẳng nghiêng luồn qua ròng rọc B và treo quả cân ở đầu kia. Khi A bắt đầu chuyển động xuống thì đĩa cân nặng Q. Xác định hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng. ACn Trả lời: f= = CB m 162. Hai vật A và B trọng lượng P và Q nằm trên hai mặt phẳng nghiêng, nghiêng các góc a và b so với phương ngang, được nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua một P ròng rọc ma sát không đáng kể. Xác định tỷ số khi hệ cân bằng. Biết góc ma sát Q giữa mặt phẳng nghiêng với các tải trọng là j. sin(β −+φβφ )P sin( ) Trả lời: ≤≤ sin(α +−φαφ )Q sin( ) H A B G C α β A α α B Hình 162 Hình 163 Hình 164 163. Trên hai mặt AB và BC của khung tam giác vuông cân có hai vật G và H cùng trọng lượng nối với nhau bằng sợi dây luồn qua ròng rọc B, ma sát không đáng kể. Hệ số ma sát giữa các vật và các mặt, đều là f. Xác định góc nghiêng a của AC với phư- ơng ngang để G bắt đầu trượt xuống. Trả lời: tga = f 164. Thang AB nặng P dựa trên tường nhẵn và nền ngang không nhẵn với hệ số ma sát f1. Tìm góc a giữa thang với phương ngang để một người nặng Q có thể trèo lên tới đỉnh thang. 1 P Trả lời: tgα ≥− f 2(fP+ Q ) 67
  65. A n C C C α m D B O 60 B α A Hình 165 Hình 166 Hình 167 165. Thang AB một đầu tựa trên tường thẳng đứng có hệ số ma sát là f1, đầu kia tựa trên nền ngang với hệ số ma sát f2. Trọng lượng thang và người đứng trên thang là P ACn đặt tại C với = . Tìm góc amax giữa thang và tường để thang cân bằng và phản CB m lực tại A và B. ()mnf+ 2 f2 P P Trả lời: tgα = ; NA= ; NB= mnff− 12 1+ f12f 1+ f12f 166. Thang AB đầu A tựa trên nền thẳng đứng, đầu B tựa lên nền ngang không nhẵn với góc ma sát giữa thang và tường cũng như mặt phẳng ngang là 150. Thang lập với mặt phẳng ngang một góc 600. Trên thang tại C một người đứng có trọng lượng P bỏ qua trọng lượng thang. Tìm khoảng cách BC lớn nhất để thang cân bằng. 1 Trả lời: BC= AB 2 167. Thanh đồng chất AB nặng P đặt giữa hai gối cố định C và D. Hệ sô ma sát giữa thanh và gối là f. Tìm độ dài 2l của thanh để nó có thể ở cân bằng nếu góc giữa thanh và phương ngang là a, CD=a; AC=b. Bỏ qua bề dầy thanh a Trả lời: l > a + b ; 22lbatg≥++ α f C β C B B Q A α A α Hình 168 Hình 169 168. Một dầm đồng chất đầu A tựa trên nền nằm ngang với hệ số ma sát là f, còn đầu B được giữ bởi sợi dây làm với phương ngang một góc b. Với giá trị nào của b thì dầm bắt đầu trượt ở vị trí lập với phương ngang 1 góc a=450. 68
  66. 1 Trả lời: tgβ = 2+ f 169. Một thanh đồng chất nặng P đầu dưới tựa trên nền không nhẵn có hệ số ma sát là f, đầu trên được giữ nhờ một sợi dây luồn qua ròng rọc cố định ma sát không đáng kể và buộc vào tải trọng Q. Tìm Qmax để thanh cân bằng khi nó tạo với phương ngang góc a. P f22++(1 2 ftgα ) Trả lời: Qmax= 2(1+ ftgα ) 170. Thanh đồng chất AB, hai đầu có thể trượt theo vòng tròn không nhẵn bán kính a. Hệ số ma sát giữa thanh và vòng tròn là f. Khoảng cách 0C từ trung điểm của thanh đến tâm vòng tròn là b. Xác định góc a hợp giữa 0C và đường kính thẳng đứng của vòng tròn khi thanh cân bằng. bf22(1+ ) Trả lời: cot gfα ≥− af2 R O Ro 1 R r A B A O a 2r α P C B P 1 Hình 170 Hình 171 Hình 172 171. Trục tròn nặng Q bán kính R có thể quay nhờ trọng vật P treo ở đầu sợi dây luồn R Q qua nó. Bán kính cổ trục r = . Hệ số ma sát trong gối đỡ là f=0,05. Tìm tỷ số để 2 P vật hạ đều. Q Trả lời: = 39 P 172. Một ròng rọc nặng Q bán kính R có cổ trục bán kính r tựa trên mặt trụ AB có các đường sinh nằm ngang với hệ số ma sát f. Trên ròng rọc có một sợi dây vắt qua hai đầu được treo hai tải trọng P và P1 với P > P1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P1 để ròng rọc ở cân bằng. Chỉ dẫn: Vị trí biểu diễn trên hình vẽ không phải là vị trí cân bằng mà vị trí đó chúng ta cần phải tìm. 69
  67. Trả lời: Ở vị trí cân bằng mặt phẳng đi qua các trục của hình trụ AB và ròng rọc lập với phương thẳng đứng một góc bằng góc ma sát. P(1R+− f2 fr .) − frQ P1= Rffr1.++2 2r A P P B a O1 b α α α O Hình 173 Hình 174 173. Giữa hai tấm OA và OB nối với nhau bằng bản lề O đặt một hình trụ đồng chất trục O1 song song với trục bản lề. Biết hệ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Trọng lượng hình trụ là Q, bán kính r, hệ số ma sát giữa trục và tấm là f, góc AOB= 2a ; AB= a. Xác định trị số lực nén P ở A và B để trụ cân bằng. Trả lời: rQ rQ a. tgα > f ; ≤≤P afsinα +− cosααα af sin cos rQ b. tgα ≤ f ; P ≥ afsinα + cosα 174. Một hình chữ nhật đồng chất trọng lượng P tựa trên mặt phẳng nghiêng không nhẵn với hệ số ma sát f. Góc nghiêng a tăng dần đến giá trị nào thì hình bắt đầu trượt và bắt đầu lật. Trả lời: 1) Bắt đầu trượt a= arctgf a 2) Bắt đầu lật α = arctg b P α O P R Hình 175 Hình 176 70
  68. r 175. Tìm trị số lực P để con lăn đường kính 60cm nặng 300N lăn đều trên mặt phẳng r không nhẵn với hệ số ma sát lăn k= 0,5cm và góc giữa P với phương ngang là a= 300. Trả lời: P= 5,72N. 176. Quả cầu nặng Q bán kính R nằm trên mặt phẳng ngang không nhẵn với hệ số ma r sát trượt f, hệ số ma sát lăn là k. Trong điều kiện nào lực nằm ngang P đặt vào tâm quả cầu làm quả cầu lăn đều. k k Trả lời: PQ= ; f > R R A B A P Q O P Q α Hình 177 Hình 178 177. Một con lăn hình trụ bán kính r nặng Q được giữ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng so với phương ngang góc a nhờ sợi dây luồn qua ròng rọc A. Ở mút dây treo tải trọng P. Hệ số ma sát lăn là d. Xác định giá trị lớn nhất, bé nhất của P để con lăn cân bằng. Tìm giá trị bé nhất của hệ số ma sát trượt f để con lăn khi chuyển động thì lăn không trượt. δ δ δ Trả lời: QP(sinα −≤≤+ cosααα )Q (sin cos ) ; f > rrr r 178. Xác định trị số của lực ngang P tác dụng vào xe trọng lượng G chuyển động đều trên đường ray nếu trọng lượng các bánh xe là Q, bán kính R, hệ số ma sát lăn là k, OA= OB. kQ()+ G Trả lời: P = R b 179. Trục tời quay quanh trục A cố định được giữ r B A ở cân bằng nhờ lực tiếp tuyến Q và lực ma sát P gây ra do hãm dây da hai đầu buộc vào một đòn α b a bẩy. Biết hệ số ma sát giữa dây da và trục tời là f, góc ôm là a. Kích thước như hình vẽ. Tìm P khi Q cân bằng. Hình 179 fa Trả lời: T1= T2e ; 71
  69. bef α +1 PQ= aef α −1 V. Bài toán trọng tâm 180. Xác định vị trí trọng tâm C của một tiết diện giới hạn bởi nửa vòng tròn AOB bán kính R và hai đường thẳng bằng nhau AD= BD; OD= 3R. 316π + Trả lời: OC== R1,19 R 312π + 2 20cm 2cm o1 20cm 15cm O D Xc r1 r1 2 2cm / Hình 180 Hình 181 Hình 182 181. Tìm trọng tâm của hình đồng chất. Kích thước cho trên hình vẽ. Trả lời: xC= 9cm. 182. Tìm trọng tâm của đĩa có lỗ hổng tròn, biết bán kính đĩa là r1, bán kính lỗ hổng là r1 r2. tâm lỗ nằm cách tâm đĩa 1 khoảng . 2 2 rr12 Trả lời: xC = 22 2(rr12− ) 0.7m A B C E B O 0.5m 2m x O1 K C D D A Hình 183 Hình 184 72
  70. 183. Xác định toạ độ trọng tâm của một tấm hình vuông đồng chất cạnh 2m bị hổng một lỗ cũng hình vuông cạnh là 0,7m và song song với các cạnh hình vuông ABCD, OK= O1K= 0,5m, O và O1 là tâm của 2 hình vuông; OK và O1K song song với các cạnh tương ứng của hình vuông Trả lời: x= y= - 0,07m. 184. Vẽ một đường thẳng DE qua đỉnh D của một hình chữ nhật đồng chất ABCD sao cho khi treo hình thang ABED tại E thì cạnh DA nằm ngang biết DA= a. Trả lời: BE= 0,366a. 185. Tìm tọa độ trọng tâm của chu tuyến hình hộp chữ nhật thẳng mà các cạnh xem như những thanh đồng chất; cạnh 0A= 8dm; 0B= 4dm; 0C= 6dm. Trọng lượng thanh 0A là 25N, thanh 0B, 0C, CD là 7,5N; CG nặng 20N; AF nặng 12,5N; AG và GF nặng 5N ; DE, BD, BF, EF mỗi thanh nặng 2,5 N Trả lời: x= 2,625dm ; y= 4dm ; z= 1,05dm 186. Xác định trọng tâm cơ cấu thước vẽ ellíp gồm hai con chạy A và B, trọng lượng mỗi con chạy là Q. Tay quay OK trọng lượng P, thước AB trọng lượng là 2P. Biết OK= AK= BK= l. Coi tay quay và thước vẽ là các thanh đồng chất và con chạy coi như chất điểm, góc KOB= j. 54PQl+ 54PQl+ Trả lời: xC= cosφ ; yC= sinφ 322PQ+ 322PQ+ y z B F A D E K y O B A ϕ x x C O G Hình 185 Hình 186 187. Hai nửa hình trụ đồng chất được gắn với nhau bằng sợi dây vắt qua hình trụ nặng Q. Ở hai nút dây có 2 quả cân trọng lượng P. Mặt phẳng tiếp xúc của hai nửa hình trụ thẳng đứng. Tìm P nhỏ nhất để cho 2 nửa hình trụ đứng yên trên mặt phẳng ngang. 2 Q Trả lời: P= N 3 π r h A H r P P 73
  71. Hình 187 Hình 188 188. Tìm chiều cao giới hạn h của hình trụ thuộc vật, bao gồm: hình trụ và nửa quả cầu mật độ như nhau và cùng bán kính r để vật mất ổn định tại vị trí cân bằng, khi bề mặt nửa quả cầu tựa trên mặt ngang nhẵn. Chỉ dẫn : Trọng tâm toàn bộ vật thể phải trùng với tâm bán cầu .Khoảng cách của trọng tâm bán cầu đồng chất đến đáy của nó bằng 3/8 r r 2 Trả lời: h= 2 74
  72. HỌC PHẦN II: ĐỘNG HỌC CHƯƠNG I: ĐỘNG HỌC ĐIỂM Bài tập chương động học điểm có thể chia làm 3 loại sau: 1. Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của động điểm. 2. Tính vận tốc và tìm phương trình tốc độ của động điểm. 3. Tính gia tốc và bán kính cong quĩ đạo của động điểm. I. Loại 1: Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của động điểm 1. Thí dụ Tay quay OA quay quanh trục O với vận tốc A Không đổi là w =10s-1 và j=w t. Chiều dài 0 0 80cm M OA = AB = 80cm. Tìm phương trình chuyển YM B động, phương trình quĩ đạo trung điểm M ϕ=ωt x O X của then truyền AB và phương trình chuyển M động của con chạy B ? Hình 1 Bài giải a) Phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của động điểm M: Áp dụng phương pháp toạ độ Đề các, chọn hệ trục như hình vẽ ta có: 3 ⎫ xOA= .cosφ M 2 ⎪ ⎬ (1) 1 yOA= .sinφ ⎪ M 2 ⎭⎪ −1 Với ϕ = ω0 t và thay ω0 = 10s vào (1) ta có: xM =120.cos10t⎫ ⎬ (2) ytM = 40.sin10 ⎭ (2) là hệ phương trình chuyển động của trung điểm M của then truyền AB. Để có phương trình quĩ đạo của điểm M, ta khử t từ (2). 75
  73. x ⎫ M = cos10t 120 ⎪ xy22 ⎬ hay MM+ =1 y 12022 40 M = sin10t ⎪ 40 ⎭⎪ Đây là phương trình êlíp, tâm O, bán trục lớn bằng 120cm và bán trục nhỏ bằng 40cm. b) Phương trình chuyển động của con chạy B: Nhận xét rằng: Con chạy B luôn luôn chuyển động dọc theo phương Ox, nên có thể dùng phương pháp toạ độ tự nhiên để khảo sát. Chọn gốc toạ độ O, chiều dương trùng với chiều dương Ox. Khi đó ta có phương trình chuyển động của con chạy B: S = xB = 2.OA.cosj hay S = xB= 160 cos10t Chú ý: khi biết quĩ đạo của M là elíp bằng cách tương tự chúng ta dễ dàng viết phương trình chuyển động của nó dới dạng toạ độ tự nhiên (sinh viên tự suy lấy). Bây giờ nếu chọn trục cực OB trùng với Ox, góc giữa 0M = r với trục OP (hay Ox) là j1, ta viết phương trình chuyển động của động điểm M dưới dạng toạ độ cực (r, j) 22 2 2 rxy=+=MM ()120cos10 t + (40sin10 t ) =4022 (9cos 10tt+− 1 cos 2 10 ) = 40 1 + 8cos2 10 t (5) ytM 40sin10 1 Mặt khác: tgj1= ==tg10 t xtM 120cos10 3 ⎛⎞tg10 t Suy ra : j1= arctg⎜⎟ (6) ⎝⎠3 Kết hợp (5) và (6) ta được phương trình chuyển động của điểm M viết dưới dạng toạ ⎧rt=+40 1 8cos2 10 ⎪ độ cực: ⎨ ⎛⎞tg10 t ⎪ φ1 = arctg ⎜⎟ ⎩ ⎝⎠3 Cần chú ý phương pháp này chỉ dùng được khi quĩ đạo của điểm là đường cong phẳng. 2. Cho phương trình chuyển động, xác định quĩ đạo của động điểm. ⎧xt=+202 5 1) ⎨ 2 Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y = 3. ⎩ yt=+15 3 Điểm gốc (x=5, y=3). 76
  74. ⎧ x =−42tt2 2) ⎨ 2 Trả lời: Quĩ đạo là nửa đường thẳng: 3x- 4y = 0. ⎩yt=−31,5 t Với − ∞ < x≤ 2 ; − ∞ < y≤ 1,5 3. Cho phương trình chuyển động của điểm, xác định phương trình quĩ đạo của nó: ⎧x =+53cost (5)xy− 22 1) ⎨ Trả lời: Quĩ đạo là elíp + =1 ⎩yt= 4sin 916 ⎧ ⎛⎞π ⎪x =+3cos⎜⎟πt ⎪⎝⎠8 2) ⎨ Trả lời: Quĩ đạo là elíp ⎪ ⎛⎞π yt=+4sin⎜⎟π ⎩⎪ ⎝⎠4 xyxy22 π π +−sin = cos2 9166 8 8 4. Cho phương trình chuyển động của chất điểm, hãy xác định phương trình quĩ đạo và luật chuyển động theo quĩ đạo ? Biết rằng gốc toạ độ là vị trí ban đầu của chất điểm. ⎧ x = 3t 2 1) ⎨ 2 Trả lời: Quĩ đạo: 4x- 3y = 0. ⎩yt= 4 Luật chuyển động: S = 5t2 2 ⎧x = 5cos5t 2 2 2) ⎨ 2 Trả lời: Quĩ đạo: x + y = 25. Luật chuyển ⎩ yt= 5sin5 B động: S = 25t2 5. Tìm qui luật chuyển động của thanh AB nếu đườngkính bánh xe lệch tâm d = 2r và trục quay O ở cách tâm của đĩa một khoảng OC = a ? Trục A a ϕ C Ox hứơng dọc theo thanh, gốc tọa độ O ở trục quay và = λ . a r O Hình 5 Trả lời: x =+acosϕ r 1sin− λ 22ϕ 6. Viết phương trình chuyển động của pít tông lệch tâm trong cơ cấu then truyền tay quay ( hình vẽ ). Khoảng cách từ trục quay của tay quay tới đường dẫn hướng của pít tông là h chiều dài của tay quay là OA = r.Chiều dài của then truyền AB = l. Trục x có phương theo hướng chuyển động của pít tông, gốc tọa độ lấy ở vị trí xa nhất của pít l h tông về phía bên phải. Cho biết = λ ; = k ; φ = ω t . r r 0 77
  75. Trả lời: x = r ⎡ (1)λ +−−22kkλφ 2 − (sin)cos +2 − φ⎤ ⎣ ⎦ A A r O ϕ=ωt l r ϕ N x O h C x B B Hình 6 Hình 7 7. Thanh AB = l chuyển động sao cho mút A của nó luôn luôn ở trên một vòng tròn bán kính r < l/2 và thanh luôn đi qua một điểm N cố định trên vòng tròn đó. Tìm phương trình chuyển động của điểm B, biết j = wt. ⎧ ωt xr=+cosω tl sin ⎪ 2 Trả lời: ⎨ A ωt ⎪yr=−sinω tl cos ⎩⎪ 2 8. Thanh AB = l chuyển động sao cho đầu mút A trượt C x dọc theo trục Oy cố định, còn thanh AB ở mọi thời điểm O a đều đi qua điểm C cố định cách trục Oy một khoảng B OC = a. Tìm phương trình quĩ đạo của điểm B ? Hình 8 ()()x −−al22 x 2 Trả lời: y2 = x2 9. Tìm phương trình đường cong trong toạ độ cực (r, j) do tầu vạch nên mà góc phương vị a giữa hướng vận tốc của tầu và hướng từ nó đến điểm cố định luôn luôn không đổi. Nếu cho a, r/j = r0. Tầu coi như điểm chuyển động trong mặt phẳng và cực lấy ở điểm cố định bất kỳ trong mặt phẳng này. Khảo sát trường hợp riêng khi π a = 0, và p. 2 -jtga Trả lời: Đường logarit: r = r0e π Khi a = . Đường tròn r = r0 2 Khi a = 0, p: Đường thẳng II. Loại 2: Tính vận tốc và tìm phương trình tốc độ của động điểm 10. Thí dụ Một chất điểm chuyển động theo phương trình như sau: 78
  76. ⎧x = 2cost ⎨ x, y tính bằng cm, t tính bằng giây. ⎩ yt= 2sin Xác định trị số và phương vận tốc của chất điểm, khi nó ở trên trục Oy trong toạ độ Đề các và trong toạ độ cực ? Bài giải: a) Toạ độ Đề các: Ta tính M r x& =−2sint⎫ ϕ ⎬ (1) O x yt& = 2cos ⎭ Khi chất điểm ở trên trục Oy thì x = 2cost = 0,do đó cost = 0 π hay t = ± (K=0). Thay giá trị của t vào (1): Hình 10 2 x& =−2 ; y& = 0 và x& = 2 ; y& = 0 π 22 2 Vậy với t= thì V= xy&&+=−=(2) 2cm/s; 2 r r x r r y cos(V , i ) = & =−1 ; cos (V , j ) = & =0 V V π r r r r Với t = - thì V = 2cm/s; cos(V , i ) = 1 ; cos (V , j ) = 0. 2 b) Toạ độ cực: Từ phương trình chuyển động, bằng cách khử t, ta có phương trình quĩ đạo của điểm: x2 + y2 = 4. Chọn cực hệ toạ độ cực ở tâm vòng tròn và hướng trục cực theo trục Ox ta có: x = rcosj y= rsinj B Từ đó x2 + y2 = r2 nên suy ra r = 2 = const. C x y Mặt khác : cosj= = cost ; sinj= = sint nên suy ra j = t. M r r O ϕ A x Vậy phương trình chuyển động của điểm trong toạ độ cực là: ⎧r = 2 ⎨ (2) Hình 11 ⎩φ = t Để tìm vận tốc từ (2) ta có: Vr = r& = 0 ; Vj= rφ& = 2 22 hay V= rr& +=()φ& 2cm/s = const 79
  77. Rõ ràng chất điểm chuyển động trên đường tròn có mô đuyn vận tốc không đổi và có phương vuông góc với bán kính. 11. Thí dụ Cho cơ cấu thước vẽ elíp OC = AC = BC = 20cm. Tay quay OC quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Góc j giữa OC và trục Ox tỷ lệ với thời gian j = w0t (w0 là hằng số ). Tìm phương trình chuyển động, π phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm M tại j = nếu AM = 10cm, tại thời điểm 2 ban đầu B trùng với O. Bài giải a) Thành lập phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo của điểm M. Sử dụng toạ độ Đề các. Chọn hệ trục tọa độ Oxy ta có: 1 ⎫ xOC= cosφ 1 M 2 ⎪ AM = OC = 10cm nên ⎬ 2 1 yOC= sinφ ⎪ M 2 ⎭⎪ Thay j = w0t vào (1) ta được phương trình chuyển động của trung điểm M của đoạn AC: ⎧xM = 30cosω0t ⎨ (2) ⎩ ytM =10sinω0 Khử t từ (2) ta có phương trình quĩ đạo của trung điểm M: x y M = cosω t ; M = sinω t 30 0 10 0 Sau đó bình phương hai vế rồi cộng lại ta được phương trình quĩ đạo là êlíp: xy22 +=1 900 100 b) Tính vận tốc của điểm M: Xuất phát từ phương trình chuyển động (2) ta có: ⎧x& =−30ω00 sinω t ⎨ ⎩ yt& =10ω00 cosω 80
  78. π ⎧x& =−30ω0 Tại j = w0t = thì ⎨ 2 ⎩ y& = 0 22 r r x& r r y& Vậy: Vxy=+=&&30ω0 cm/s ; cos(V , i ) = = −1 ; cos (V , j ) = =0 V V π Kết quả chỉ rằng: Tại j = thì AB nằm dọc theo trục Oy, vận tốc điểm M có phương 2 song song và ngược chiều với trục Ox. 12. Một chất điểm chuyển động theo luật: π ⎫ x = 4sin t 2 ⎪ ⎬ x, y tính bằng cm, t tính bằng giây. π yt= 3sin ⎪ 2 ⎭⎪ Xác định vận tốc của điểm khi: t = 0; t = 1; t = 2s ? Trả lời: 5 r r 4 r r 3 1) V0 = π cm/s ; cos (,)Vi = ; cos (,)Vj= 2 0 5 0 5 2) V1 = 0 5 r r 4 r r 3 3) V2 = π cm/s ; cos (,)Vi = - ; cos (,)Vj= - 2 0 5 0 5 13. Một quả cầu được ném từ máy bay chuyển động theo phương trình: ⎧ x = V t ⎪ 0 ⎨ gt 2 ⎪y=h- ⎩ 2 Ở đây trục Ox chọn theo phương ngang, trục Oy chọn theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Xác định vận tốc của quả cầu khi nó rơi tới đất ? 2 Trả lời: V = Vgh0 + 2 ; r r V cos(,)Vi = 0 ; 2 Vgh0 + 2 81
  79. r r 2gh cos (,)Vj=− 2 Vgh0 + 2 y v M 0 α R Vo O h j i x O Hình 13 Hình 14 14. Một bánh xe lăn không trượt theo đường ray ngang với vận tốc của tâm bánh xe là V0 = 72km/h. Bán kính bánh xe là R = 1m. r a) Xác định vận tốc của điểm M nằm trên vành bánh xe có bán kính lập với V0 một góc π +α . 2 r b) Vẽ hôđôgrap vận tốc điểm M và xác định vận tốc V1 của điểm vạch nên hôđôgrap đó. Trả lời: α r a) V = 40cos (m/s) , chiều V từ M đến A. 2 2 α V0 2 b) Vòng tròn r = 2V0cosq trong đó q = , bán kính r = V0, V1 = = 400m/s . 2 R y b y A e f x A o B r M l l l B d c C ϕ ϕ=ω t x O a E D H Hình 15 Hình 16 Hình 17 15. Hãy tìm vận tốc trung điểm M của cơ cấu then truyền tay quay và vận tốc con chạy khi r = l = a, j = wt (w là const). a 2 Trả lời: VM = ωω8sint + 1 ; VB = 2awsinwt. 2 16. Một cơ cấu gồm hai thanh AB và BC cùng độ dài l và gắn bản lề tại B. Mỗi thanh lại được gắn bản lề với hai thanh khác là ED và DF sao cho hình DEBF là hình thoi có cạnh có cạnh là a. Xác định vận tốc của điểm D phụ thuộc vào góc j=∠ (BAC) ? Nếu 82
  80. điểm A cố định, điểm C chuyển động theo phương thẳng góc với BD và có vận tốc là V. V 22 Trả lời: VD = ll−−4(aa )cos 2sinl 17. Tải trọng D được treo nhờ hai dây EAC và HBC vắt qua hai ròng rọc A và B. ở vị trí đầu độ võng OC = 10 3 m, và AC = BC. Khoảng cách giữa hai ròng rọc AB = 2a = 20cm. Dây HBC được quấn vào cái tang quay làm nó chuyển động với vận tốc V không đổi, V = 1m/s. Dây EAC tởi ra nhờ cái tang thứ hai cũng chuyển động với vận tốc đó. Xác định quĩ đạo của điểm C mà nó nâng tải, cũng như vận tốc của điểm này. xy22 Trả lời: + =1 ( E líp ) bba222− r rr3t Vi=+2 j 300− 3t 2 18. Chuyển động của điểm cho theo phương trình r = aekt, j = kt ( với a, k là hằng số). Tìm phương trình quĩ đạo và vận tốc của điểm là hàm của bán kính véc tơ r . Trả lời: r = aej ; V = kr 2 . 19. Chuyển động của điểm trong mặt phẳng cho theo phương trình: r r r = acos60ti + asin60t j a) Tìm phương trình quĩ đạo, phương trình chuyển động của điểm ở dạng toạ độ cực, cho chuyển động của điểm ở dạng tự nhiên. b) Tìm vận tốc của chất điểm từ phương trình chuyển động đã biết ở dạng trên ? Trả lời: a) Quĩ đạo là đường tròn x2 + y2 = a2 r = a ; j = 60t S = 60at b) |Vr| = 0 ; Vj = 60a (cm/s) VS = 60a (cm/s). III. Loại 3: Tính gia tốc và bán kính cong quĩ đạo của động điểm 20. Thí dụ. Một viên đạn được bắn lên chuyển động theo phương trình: x = 300t y = 400t - 5 t2 Xác định: a) Vận tốc và gia tốc của nó ở thời điểm ban đầu ( t = 0). 83
  81. b) Tầm cao và tầm xa của viên đạn ? c) Bán kính cong của quĩ đạo viên đạn ở thời điểm ban đầu và ở thời điểm khi viên đạn ở vị trí cao nhất? Bài giải r r Vo a) Xác định V0 và W0 Từ phương trình chuyển động ta có: H=Ymax α x O x& = 300 &&x = 0 Xmax/2 Wo yt& =−400 10 &&y =−10 L Tại thời điểm ban đầu t = 0: Hình 20 x&&0 = x t=0 = 300 ; yy&&0 = t=0 = 400 và &&x0 = &&x t=0 = 0; &&yy0 = && t=0 = -10 22 2 2 Vậy V0= xy&&00+=300 + 400 = 500 m/s; r r &&x0 r r &&y0 4 cos(,)Vi0 = = 0 ; cos (,)Vj0 = = ; W0 W0 5 22 2 2 2 W0= &&xy00+= && (0) +− ( 10) =10 m/s ; r r &&x0 r r &&y0 cos (,)Wi0 = = 0 ; cos (,)Wj0 = = -1 W0 W0 Kết quả tính toán cho phép ta biểu diễn như ở hình vẽ b) Xác định tầm cao và tâm xa của viên đạn, tức là xác định vị trí cao nhất và xa nhất mà viên đạn đạt tới: Như hệ trục toạ độ đã chọn, trục Ox nằm ngang trên mặt đất, trục Oy hướng thẳng đứng lên trên, gốc tọa độ tại thời điểm ban đầu và từ phương trình chuyển động của viên đạn, ta thấy quĩ đạo của viên đạn là parabol ( như hình vẽ). Vậy lúc viên đạn ở vị trí xa nhất thì y = 0, nghĩa là: y = 400t - 5t2 = t(400-5t) = 0 Ta suy ra: hoặc t = 0 ứng với thời điểm ban đầu hoặc t = 80s ứng với thời điểm đạn ở xa nhất. Ta có: l = x = x = 80s = 300. 80= 24000m ; max t Do parabol đối xứng qua trục song song với 0y nên vị trí có độ cao lơn nhất ứng với ⎛⎞xmax 0,5xmax. Vì thế ta có : h= ymax = y⎜⎟= y t=40s ⎝⎠2 h= ymax = 400. 40 - 5.402 = 8000m 84
  82. c) Xác định bán kính cong quĩ đạo: Để tính bán kính cong ta áp dụng các công thức sau: 2 2 2 22 22 ⎛⎞dV⎛⎞ V V= x&&+ y ; W= &&x + &&y và W= ⎜⎟+ ⎜⎟ ⎝⎠dt ⎝⎠ρ Từ đó suy ra công thức xác định bán kính cong: 224 2 ( xy&&+ ) r = 2 (*) 22()x&&&xyy+ &&& &&xy+− && 22 x&&+ y Thay biểu thức x, y vào (*) với t = 0 ta có r0 = 41667m . Tương tự, nếu thay t = 40s ta được: rh = 9000m. 21. Thí dụ Chất điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R = 6cm theo qui luật: S = 6 + 9t2 - 12t3 . Xác định vận tốc, gia tốc của điểm đó sau 1 giây. Bài giải Chọn gốc toạ độ O. Vị trí đầu của điểm là S0 = S t=0 = 6cm. + 2 3 Sau 1 giây điểm cách O: S1 = S t=1s = 6 + 9. 1 - 12. 1 = 3cm O1 R O a) Tính vận tốc: V d V = (6 + 9t2 - 12t3)= 18t - 36t2. M dt Mo Tại t = 1s thì: V1 = V t=1s = 18.1- 36.12 = -18 cm/s Hình 21a Dấu (-) chứng tỏ vận tốc có chiều ngược với chiều dương đã chọn trên quĩ đạo. r r r b) Xác định gia tốc: Ta có : WW= t +W n dV d2 S V 2 (18− 36.t 22 ) Wt = = = 18-72t ; Wn = = dt dt 2 R 6 W tại t= 1s thì: Wt = 18- 72 = -54 cm/s2; R O1 22 Wτ (18− 36.1 ) 2 Wn Wn = = 54cm / s M 6 22 Vậy : W1 = (−+ 54) (54) = 54 2 cm/s2 Hình 21b Căn cứ vào kết quả tính toán, ta có thể biểu diễn trên hình vẽ: 85