›
›

Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết - Phần 2: Động lực học

pdf 82 trang cucquyet12 5780
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết - Phần 2: Động lực học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_bai_tap_co_hoc_ly_thuyet_phan_2_dong_luc_hoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết - Phần 2: Động lực học

  1. HỌC PHẦN III: ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH LUẬT CỦA CƠ HỌC NEWTON - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1. Thí dụ Chất điểm khối lượng m chuyển động theo phương trình: x= acoskt ; y = bsinkt ( a, b, k là các hằng số ). r Xác định lực F tác dụng lên chất điểm, coi rằng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí. Bài giải Phương trình chuyển động của chất điểm M cho dưới Y dạng toạ độ Đề các do đó ta có: y M(x,y) X = m x = - mak2coskt; Y = m y = - mbk2sinkt && && F r Khi sử dụng phương trình chuyển động của điểm, nhận được: X= - mk2x ; Y=-mk2y X Môđun của lực bằng: O x F= XY22+= mkxymkr 222 += 2 Hình 1 r Hướng của lực F là: r r Xx r r Yy cos F,i = =− ; cos F, j = = − ( ) F r ( ) F r r Vậy lực F tác dụng lên chất điểm ngược chiều với r và đó là lực xuyên tâm đặt r r lên chất điểm, F = -mk2 r . 2. Thí dụ Một máy bay bổ nhào trong mặt phẳng thẳng đứng rồi lái ngoặt lên. Tại điểm thấp nhất của quĩ đạo máy bay có vận tốc V = 1000 km/h và bán kính cong của quĩ đạo ρ = 600m . Khối lượng của người phi công m = 80kg. Tìm áp lực pháp tuyến do người phi công tác dụng lên ghế ngồi tại vị trí thấp nhất n đó. (C) Bài giải R N1 Khảo sát người phi công như một chất điểm M chuyển động theo đường cong (C) trong mặt phẳng M τ thẳng đứng, tại vị trí thấp nhất của quĩ đạo. Lực tác dụng O T r r lên chất điểm gồm trọng lượng P và phản lực R của ghế P ngồi. 124
  2. uur rr Ta có phương trình: mW=+ P R Hình 2 r Để xác định phản lực pháp tuyến N1 ta chiếu phương trình trên lên trục pháp r tuyến chính ( n ), ta được: mWn = - P + N1 V 2 ⎛⎞V 2 Suy ra: N1 = P + m = mg⎜⎟+ ρ ⎝⎠ρ 2500 Thay các giá trị đã cho: m = 80 kg ; V= 1000km/h = m/s; ρ= 600m; 9 2 g=9,81m/s vào công thức tính N1 ta có: N1 = 11065 (N). Như thế người phi công đã ép lên mặt ghế ngồi một áp lực pháp tuyến có trị số bằng 11065 N lớn gấp gần 14 lần trọng lượng bản thân anh ta. 3. Thí dụ Một người có trọng lượng P đứng trong cabin của thang máy. Thang máy chuyển động xuống dưới với gia tốc W = αg ( 0<α <1; g là gia tốc trọng trường ). Xác định áp lực của người lên sàn cabin và gia tốc của thang máy sao cho người ở trạng thái không trọng lượng. Bài giải Khảo sát người như một chất điểm M. Lực tác dụng lên chất điểm r r N gồm trọng lượng P và phản lực của sàn N .Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm M theo trục x là : m &&x = P - N M P Do &&x = W = αg ; m = nên N = P- m &&x = P (1- α). P g x r Áp lực phải tìm N ' có trị số bằng N nhưng hướng ngược lại. Hình 3 Khi người ở trạng thái không trọng lượng thì N = 0, nghĩa là α=1 và do đó W= g. 4. Một chất điểm khối lượng m chuyển động trên trục x theo phương trình ⎛⎞V0 x=aln⎜⎟1+ t ; trong đó a, b là hằng số. Xác định lực F tác dụng lên chất điểm là hàm ⎝⎠a theo thời gian và hàm theo vận tốc của nó. 2 maV0 m 2 Trả lời: F = - 2 và F = - V ()aVt+ 0 a 125
  3. 5. Một chất điểm có trọng lượng P = 2N chuyển động theo phương trình x = 3cos2πt ; y = 4sinπt (x, y tính bằng cm). Xác định phần chiếu của lực tác dụng lên chất điểm trên các trục toạ độ là hàm theo toạ độ điểm ? Trả lời: X = 0,08x (N) ; Y = - 0,02y (N). 6. Một tải trọng được kéo thẳng đứng lên trên, chuyển động nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên. Sau t giây nó dời được một đoạn S. Xác định trọng lượng P của tải trọng, biết rằng trị số của phản lực dây kéo tải trọng bằng T. gt 2 Trả lời: P = T . 2Sgt+ 2 7. Bán kính cong của một chiếc cầu tại đỉnh A là R. Xác định áp lực lên cầu của r chiếc ôtô trọng lượng P, chuyển động với vận tốc V khi nó lên tới đỉnh A. ⎛⎞V 2 Trả lời: N = P⎜⎟1− . ⎝⎠gR r 8. Píttông của máy hơi nước chuyển động ngang theo qui luật x=r(cosωt+ cos2ωt), 4l trong đó r là chiều dài của tay quay được tính ra mét; l là chiều dài thanh truyền cũng được tính ra mét; ω là vận tốc góc không đổi của tay quay tính bằng rad/s. Khối lượng của pít tông là m. Xác định giá trị lớn nhất của hợp lực tác dụng lên pit tông theo phương x. r Trả lời: F = mrω2 (1+ ) ( tính bằng N). l 9. Mặt cắt của những đoạn đường vòng trên đường đua xe đạp phải làm nghiêng với đường ngang để cho mép ngoài của mặt đường cao hơn mép trong. Hỏi vận tốc lớn nhất và bé nhất bằng bao nhiêu thì xe đạp có thể đi được trên đường vòng ấy mà không đổ. Cho biết bán kính cong của đường vòng là R, góc nghiêng với phương nằm ngang của mặt cắt là α, hệ số ma sát giữa lốp xe với mặt đường là f. tgα − f Trả lời: Vmin,max = gR . 1± tgα 10. Thí dụ. Một viên gạch trọng lượng P trượt xuống dưới theo mặt phẳng nghiêng cố định nghiêng góc α = 300 so với phương ngang. Vận tốc ban đầu của viên gạch bằng V0= 2m/s. Xác định quãng đường đi được của viên gạch trong khoảng thời gian t=2giây, nếu hệ số ma sát giữa viên gạch và mặt O N nghiêng là f = 0,4. FMS Bài giải P α 126 x
  4. Khảo sát viên gạch như một chất điểm M. Lực tác dụng lên nó gồm trọng lượng r r r P , phản lực pháp tuyến N và lực ma sát trượt F ms hướng lên trên theo mặt nghiêng ngược chiều chuyển động của viên gạch. Hình 10 Chọn trục Ox theo hướng chuyển động của viên gạch, có gốc toạ độ O trùng với vị trí ban đầu của nó. Khi đó điều kiện đầu của chuyển động có dạng: Khi t= t0= 0 thì x= 0 và x& = V0 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm M viết trong toạ độ Đề các (trên trục Ox ): P XmxPKm=⇔&& sinα −= Fs&& x ∑ g Vì Fms = f.N = f.Pcosα nên phương trình trên có dạng: &&xg=−(sinα f cosα ) (1) dx& Để tích phân phương trình (1) ta thay &&x = và có: dt dx& =− g(sinα f cosα ) dt Sau khi tích phân ta có: x& =−gftC(sinα cosα ) +1 (2) Khi t = t0 = 0 thì x& = V0, ta xác định được C1 = V0. Do đó: x& =+Vg0 (sinα − f cosα ) t (3) Muốn tìm qui luật chuyển động của M, trong phương trình (3) ta có: dx= Vdt0 +− g(sinα f cosα ) tdt . Sau khi tích phân ta nhận được: 1 x =+Vt g(sinαα − f cos ) t2 + C (4) 022 Hằng số C2 xác định từ điều kiện đầu: C2= 0 Vậy phương trình chuyển động của viên gạch là: 1 x =+Vt g(sinα − f cosα ) t2 (5) 0 2 Quãng đường S mà viên gạch đi được trong khoảng thời gian 2 giây bằng: 1 S= Vg.2+− (sinαα f cos ).22 = 7,02 (m) 0 2 11. Để đo chiều sâu của sông, người ta buộc tải trọng vào dây và thả vào nước. Vận tốc ban đầu của tải trọng bằng V0 và sau thời gian T giây tải trọng đạt đến đáy sông. 127
  5. Xác định khoảng cách H từ vị trí thả tải trọng đến đáy sông, biết lực cản của nước tỷ lệ với vận tốc của tải trọng với hệ số tỷ lệ bằng k.m ( k là hằng số, m là khối lượng của tải trọng). Bỏ qua lực đẩy của nước lên tải trọng. Bài giải O Khảo sát tải trọng như một chất điểm M. Lực tác R r r r dụng lên nó gồm trọng lực P và lực cản R = - kmV M H Chọn trục Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, có gốc V P O trùng với vị trí ban đầu thả tải trọng. Điều kiện đầu của tải trọng có dạng: X Khi t= t = 0 ; x = 0 ; x = V 0 & 0 Hình 11 Phương trình vi phân chuyển động của M chiếu lên trục Ox: m &&x = P+ Rx Thay Rx = -km x& , ta được : &&x =−gkx & (1) dx Từ (1) ta có: & = dt ; Sau khi tích phân tìm được: gkx− & 1 −−=+ln(gkxtC& ) 1 (2) k Để xác định hằng số tích phân C1, sử dụng điều kiện đầu t = t0 = 0 ; x& = V0 , ta 1 nhận được: C1 = −−ln(gkV ) . k 0 g gkV− −kt Từ đó: x& =− 0 e (3) kk g gkV− 0 −kt Từ (3) ta có: x =+te+ C2 (4) kk2 gkV− 0 Sử dụng điều kiện đầu: t = t0 = 0 ; x = 0 ta có C2 = − k 2 Từ đó qui luật chuyển động của tải trọng được xác định: g gkV− xt=+0 (1) e−kt − (5) kk2 Khoảng cách H từ vị trí thả tải trọng đến đáy sông bằng: g gkV− −kT H = xT=+0 (1) e − FT δt δt tT= kk2 O O δ 12. Thí dụ P F x M P 128 X X
  6. Dưới tác dụng của tải trọng treo ở mút, lò xo có độ dãn tĩnh δt = 5cm. Tìm qui luật dao động của tải trọng này trên lò xo, nếu thời điểm đầu tải trọng ở vị trí cân bằng tĩnh và có vận tốc ban đầu V0 = 28cm/s hướng lên trên. Hình 12 Bài giải r Khảo sát tải trọng như chất điểm M. Lực tác dụng lên nó gồm trọng lượng P và r lực đàn hồi của lò xo F . Chọn trục Ox hướng thẳng đứng xuống dưới theo phương chuyển động của M, gốc toạ độ O trùng với vị trí cân bằng tĩnh của tải trọng. Điều kiện đầu của chuyển động của tải trọng có dạng: Khi t = t0 = 0 ; x = 0 ; x& = −V0 = - 28cm/s. Gọi C là hệ số đàn hồi của lò xo (độ cứng của lò xo), ta có: P- Ft = 0 hay P- C.δt= 0 (1) Lập phương trình vi phân chuyển động của chất điểm M trên trục Ox, ta có: m&&x = P- F Trong đó: F= C.δ = C (δt +x ) (2) 2 Từ (1) và (2) ta có: &&xkx+=0 (3) Cg980 Trong đó k === =14 s-1 m δt 5 Phương trình đặc trưng của (3) có dạng: λ2 + k2 = 0 suy ra λ = ± ik Nghiệm tổng quát của phương trình (3) viết ở dạng: x = C1.coskt + C2.sinkt (4) Từ đó: x& = - C1k.sinkt + C2k.coskt (5) x&0 28 Sử dụng điều kiện ban đầu ta có C1 = 0 ; C2 = = − =−2 cm k 14 Ta nhận được phương trình chuyển động của tải trọng: x x = &0 sinkt (6) k Tải trọng thực hiện dao động điều hoà trên lò xo theo phương trình: x = - 2.sin14t (cm) = 2.sin (14t + π) (cm) Biên độ dao động A = 2cm; pha ban đầu α = π; tần số vòng riêng của dao động k = 14 s-1. Chu kỳ T tính theo công thức: 129
  7. 22π π T ===0,45 s k 14 13. Một vật nặng chuyển động theo mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng α = 300 so với phương ngang. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là f = 0,1. Vật chuyển động lên trên với vận tốc ban đầu V0 = 15m/s. Hỏi vật đã đi được quãng đường dài bao nhiêu và trong thời gian bao lâu cho tới khi nó dừng lại ? Trả lời: S = 19,55m ; t = 2,61s. 14. Một vật nặng chuyển động theo mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng α so với phương ngang. Tìm thời gian để vật đi được quãng đường dài l, nếu vận tốc ban đầu của nó bằng không và hệ số ma sát với đường là f. 2l Trả lời: t = gf(sin α − cosα) 15. Một chất điểm chuyển động thẳng dưới tác dụng của lực biến đổi theo qui luật : F = F0cosωt ( F0 và ω là hằng số). Ở thời điểm ban đầu chất điểm có vận tốc V0. Tìm phương trình chuyển động của chất điểm. F Trả lời: x = 0 (1−+ cos ωtVt) mω2 0 16. Một vật trọng lượng P = 10N chuyển động ngang dưới tác dụng của lực biến đổi F = 10(1- t) ( F tính bằng N, t tính bằng giây). Sau bao lâu thì vật dừng lại nếu vận tốc ban đầu V0 = 20m/s và lực có phương trùng với phương vận tốc của vật; khi đó vật đã đi được quãng đường dài bao nhiêu ? Trả lời: t = 2,02s ; S = 692m. 17. Một hạt có khối lượng m mang điện tích e ở trong một điện trường đồng chất có cường độ biến đổi là: E = A sinkt ( A, k là hằng số).Xác định qui luật chuyển động của r r hạt, cho biết điện trường tác dụng lên hạt một lực F = eE hướng theo cường độ điện trường. Vị trí ban đầu của hạt ở gốc toạ độ và không có vận tốc ban đầu; bỏ qua sức cản của môi trường. eA⎛⎞sin kt Trả lời: x = ⎜⎟t − mk⎝⎠ k 18. Một chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo một dây nằm ngang của một vòng tròn bán kính R dưới tác dụng của lực hút vào tâm vòng tròn có độ lớn tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ điểm M tới tâm O, hệ số tỷ lệ k. Khoảng cách từ dây tới tâm vòng tròn bằng r. Tìm vận tốc của M khi nó ở trung điểm của dây nếu lúc đầu nó đứng yên tại vị trí xa tâm O nhất; bỏ qua lực cản. 130
  8. kR Trả lời : V = 2ln mr 19. Chất điểm M bị hút về tâm O cố định bởi lực F tỷ lệ nghịch với lập phương khoảng cách giữa chúng với hệ số tỷ lệ k. Tìm khoảng thời gian khi điểm tới tâm O nếu khối lượng của chất điểm là m. Khoảng cách ban đầu là x0 và vận tốc ban đầu bằng 0. m 2 Trả lời: t = xo k 20. Một vật nặng được bắn thẳng từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu V0, chịu tác C dụng của lực hấp dẫn F = ( C - hằng số hấp dẫn; r - khoảng cách từ tâm quả đất r 2 đến vật nặng). Với giá trị nào của V0 thì vật nặng thoát khỏi được sức hút của quả đất. Xem như quả đất đứng yên và bỏ qua sức cản của không khí. Tính cụ thể với g=9,8m/s2 ; bán kính quả đất R = 6,4. 106m. gh Trả lời: VgR0 = 2 = 11000m/s - Vận tốc vũ trụ cấp II. km 21. Chất điểm M bị hút về tâm O cố định bởi lực F = . Tại thời điểm ban đầu x4 x0 OM0 = x0 và không có vận tốc ban đầu. Xác định vận tốc của chất điểm khi OM = ; 2 m là khối lượng chất điểm; k là hằng số và x = OM. 114k Trả lời: V = x003x 22. Một máy bay trọng lượng P = 13000N lao thẳng đứng xuống dưới với vận tốc 2 2 ban đầu V0 = 270km/h. Lực cản của không khí là R = CV với C = 0,08 N/s . Tìm độ dời S của máy bay khi vận tốc của nó đạt V1 = 400km/h. 2 P P − CV0 Trả lời: S = ln 2 = 8300m. 2Cg P− CV1 23. Một quả cầu khối lượng m rơi không có vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng dưới tác dụng của trọng lực và lực cản R = kmV (k - hằng số). Tìm qui luật chuyển động của quả cầu. gt g Trả lời: S = +−()e−kt 1 . kk2 24. Một tầu thủy có khối lượng toàn bộ là m, mở máy chuyển động từ trạng thái nghỉ trên mặt nước yên tĩnh. Cho biết tổng hợp các lực phát động và lực cản tác dụng vào tầu hướng theo phương chuyển động và có cường độ F = a - bV. 131
  9. Trong đó a, b là những hằng số dương đã cho, V là vận tốc chuyển động của tầu. Xác định vận tốc tới hạn của tàu thủy và phương trình chuyển động của tàu. bt − aa⎛⎞m Trả lời: Vth = limVe=−= lim⎜⎟ 1 t→∞ bb⎝⎠ bt aam− x = te+ m bb2 25. Một toa xe trọng lượng P nhận được vận tốc ban đầu V0, chịu lực cản của không khí tỷ lệ với bình phương vận tốc của xe với hệ số tỷ lệ là k. Xác định độ dời của xe tới khi nó dừng lại, nếu hệ số ma sát giữa xe và mặt đường nằm ngang là f. 2 P ⎛⎞kV0 Trả lời: s = ln⎜⎟ 1+ 2gk⎝⎠ fP 26. Một chất điểm trọng lượng P chịu tác dụng của lực tỷ lệ với thời gian, hệ số tỷ lệ là k và lực cản có giá trị R = μV (μ = const), chuyển động theo một đường thẳng ngang. Tìm qui luật biến thiên của vận tốc theo thời gian, nếu tại thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm bằng không. μt − g kkP⎛⎞P Trả lờ i: V = te+−2 ⎜⎟1 . μμg ⎝⎠ 27. Một vật trọng lượng P = 9,8N chuyển động trong một môi trường đồng chất có 2V 2 lực cản biến đổi theo qui luật: F = (N) 3 + S Trong đó: V - Vận tốc của vật tính bằng m/s. S - quãng đường đi được tính bằng mét. Xác định quãng đường đi được của vật là hàm theo thời gian, nếu vận tốc ban đầu là V0 = 5m/s. Trả lời: S = 3( 3 511t +−) y 28. Thí dụ V o M Một vật được ném lên trong mặt phẳng P thẳng đứng nghiêng góc α so với phương nằm α r x ngang với vận tốc ban đầu V0 . Xác định phương trình quĩ đạo của vật, bỏ qua ma sát. Bài giải Hình 28 r Khảo sát vật như chất điểm M. Lực tác dụng lên chất điểm: Trọng lực P Chọn hệ toạ độ Oxy, có gốc O trùng với vị trí ban đầu của vật. 132
  10. Điều kiện đầu: Khi t = t0 = 0 thì x = 0; y = 0; x& = V0cosα ; y& = V0sinα . Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm M viết trong hệ toạ độ Đề các: m&&x = 0 ; m &&y = -mg Hay rút gọn: &&x = 0 ; &&y = -g (1) Lần lượt tích phân hệ (1), ta có: xC& ==+11; xCtC2⎫ ⎪ gt 2 ⎬ (2) y& =− gtC +33; y =− + CtC + 4⎪ 2 ⎭ Từ điều kiện đầu ta có: C1 = V0.cosα ; C2 = 0 ; C3 = V0.sinα ; C4 = 0 Phương trình chuyển động của vật nhận được: gt 2 x = V0t.cosα ; y = −+Vt.sinα (3) 2 0 Khử t trong hệ phương trình (3), ta có phương trình quĩ đạo của vật: g 2 y = xtgα- 22x 2cosV0 α Quĩ đạo của vật là parabol, có trục đối xứng song song với trục Oy. 29. Một máy bay bay ở độ cao H = 4000m so với mặt đất và với tốc độ ngang V=500km/h. Muốn thả một vật rơi đúng vị trí B trên mặt đất máy bay cần phải thả nó cách B một khoảng cách ngang bằng bao nhiêu. Bỏ qua sức cản không khí và coi trái đất đứng yên. Trả lời: x = 3960m. 30. Một viên đạn có tầm đi xa nhất là L. Xác định độ xa l và độ cao h của viên đạn khi bắn dưới một góc α = 300 so với phương nằm ngang. Bỏ qua sức cản của không khí. 3 L Trả lời: l = L ; h = 2 8 r 31. Một viên đạn được bắn đi trong trọng trường đều với vận tốc V0 nghiêng với phương ngang một góc α. Khối lượng viên đạn là m, gia tốc trọng trường là gr , lực r r cản của không khí tác dụng lên viên đạn là R = - mgkV , trong đó k là hằng số tỷ lệ đã biết trước. Viết phương trình chuyển động của viên đạn. Trả lời: x = 0 V cosα y = 0 ()1− e− gkt gk 133
  11. 11⎛⎞− gkt t z = ⎜⎟+−Ve0 sinα () 1 - gk⎝⎠ k k 32. Một máy bay bay ngang ở độ cao h với tốc độ V1. Từ mặt đất một khẩu pháo bắn lên theo phương chuyển động của máy bay khi máy bay và pháo cùng nằm trên một đường thẳng đứng. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi vận tốc đầu của viên đạn V0 phải thoả mãn điều kiện nào để nó có thể trúng máy bay và góc nghiêng α phải bằng bao nhiêu để viên đạn trúng được máy bay. 22 V1 Trả lời: VV01≥+2 gh ; cosα = . V0 33. Từ một khẩu súng đại bác đặt ở điểm O, người ta bắn một viên đạn với góc α so r với phương nằm ngang và với vận tốc ban đầu V0 . Đồng thời từ điểm A cách điểm O r một đoạn l theo đường ngang ( mặt phẳng thẳng đứng qua OA cũng chứa V0 ) người ta bắn lên một viên đạn khác theo đường thẳng đứng. Bỏ qua sức cản của không khí. Xác định vận tốc bắn V1 của viên đạn thứ hai để nó chạm vào viên đạn thứ nhất. Trả lời: V1 = V0 sinα 34. Xác định quĩ đạo của phần tử có khối lượng m mang điện tích e, nếu nó được bắn vào một điện trường đồng chất có cường độ biến đổi: E = Acoskt (A, k - hằng số) với r r vận tốc ban đầu V0 thẳng góc với hướng của cường độ điện trường E . Bỏ qua tác r r dụng của trọng lực, còn điện trường tác dụng lên phần tử một lực F =−eE eA⎛⎞ k Trả lời: y = 2 ⎜⎟1cos− x mk⎝⎠ V0 Y Y M O B M F2 F a 1 M X X a a O1 O O2 A O C Hình 35 Hình 36 r 2 uuuur 35. Chất điểm M có khối lượng m bị hút về hai tâm O1 và O2 bởi lực F1 = mk MO1 ; r 2 uuuur F2 =mk MO2 ; k - hằng số. Xác định quĩ đạo của điểm nếu M0O = O1O = O2O = a. M0 là vị trí r ban đầu của điểm và vận tốc ban đầu của điểm là V0 song song với trục Ox. Bỏ qua trọng lượng của điểm. kx22 y 2 Trả lời : 22+=1 Va0 134
  12. 36. Tại đỉnh C của tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AC = 2a, một chất điểm M khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của các lực hút về các đỉnh của tam giác tỷ lệ tương ứng với khoảng cách từ M đến các đỉnh với hệ số tỷ lệ mk2 (k - hằng số). Biết vận tốc ban đầu của điểm bằng không và bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực. Xác định quĩ đạo và tốc độ chuyển động của chất điểm. Trả lời: x + 3y = a 10 V = ak sin 3 kt. 3 37. Một chất điểm khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực đẩy từ tâm O cố r 2 định bằng F = kmrr , trong đó r là bán kính véc tơ xác định vị trí của điểm ; k - hằng r số. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí M0 (a, 0) và có vận tốc ban đầu V0 hướng song song với trục Oy. Xác định chuyển động và quĩ đạo của điểm. Trả lời: x = achkt ; 2 2 V0 ⎛⎞xky⎛⎞ y = sh kt; ⎜⎟− ⎜⎟=1 k ⎝⎠aV⎝⎠0 38. Lực tác dụng lên một điện tử khối lượng m khi nó ở trong điện trường bằng : rrrr⎡ 1 ⎤ F =−eE +() V ∧ H ⎣⎢ C ⎦⎥ r r Trong đó: E là vectơ cường độ điện trường; H là vectơ cường độ từ trường ; e là điện tích điện tử; C là vận tốc ánh sáng. Tìm phương trình chuyển động của điện từ, nếu tại thời điểm đầu nó ở gốc toạ độ và có vận tốc ban đầu bằng không. Vec tơ cường r r độ điện trường E không đổi hướng theo trục Ox, vec tơ cường độ từ trường H cũng không đổi hướng theo trục Oz. Bỏ qua trọng lượng của điện tử. mC2 E⎛⎞ eH Trả lời: x = 2 ⎜⎟cos− 1 eH⎝⎠ mC mC2 E⎛⎞ eH eH y = 2 ⎜⎟sin − t eH⎝⎠ mC mC z = 0 39. Thí dụ y Tải trọng A trọng lượng P trượt xuống O Fms dưới theo mặt nghiêng của lăng trụ B nghiêng A N góc α so với phương ngang. Lăng trụ chuyển qt động theo mặt ngang về bên phải với gia tốc Fe r P W . Xác định gia tốc của tải trọng đối với lăng W B x 135 Hình 39
  13. trụ và áp lực của tải trọng lên mặt nghiêng của lăng trụ, cho hệ số ma sát của tải trọng với mặt bên của lăng trụ là f. Bài giải Hướng trục x theo mặt bên của lăng trụ xuống dưới. Chuyển động của tải trọng A là phức hợp. r r Các lực đặt lên chất điểm A gồm : trọng lượng P , phản lực pháp tuyến N , r lực ma sát trượt Fms hướng về phía ngược với chiều chuyển động của A. Các lực r e r C quán tính theo Fqt và lực quán tính Côriôlít Fqt . Ở đây: rrre P rrC F =−mW =− W ; FmW=− =0 ( Do lăng trụ chuyển động tịnh tiến ). qt e g qt C Phương trình cơ bản trong chuyển động tương đối của A có dạng: rrrrre mWrmsqt=++ P N F + F (1) Để xác định gia tốc của tải trọng A đối với lăng trụ, ta chiếu phương trình trên lên trục Ox: e mx&& =−− P.sinα Fms F qt cosα (2) e P Chú ý rằng: Fms = f.N ; F = W ta có: qt g gfN &&xg=−−.sinα Wcosα (3) P Giá trị phản lực pháp tuyến N được xác định khi chiếu (1) lên trục Oy: e my&& =− N Pcosα − Fqt sinα W Do &&y = 0 , nên NP=+(cosα sinα ) (4) g r Áp lực của tải trọng A lên mặt bên của lăng trụ hướng ngược với phản lực N r và có trị số bằng trị số của N . Thay (4) vào (3) ta nhận được gia tốc tương đối cần tìm: Wxgr ==&& (sinα − f cosααα ) − W (cos + f sin ) (5) Khi sử dụng (5) có thể xác định góc α tới hạn ( αth ) để tải trọng A đứng yên tương đối, khi này Wr = &&x = 0 136
  14. W f + g W Từ đó: α = arctg = arctg ( ϕ là góc ma sát). th W 1− f g g 40. Một toa xe chuyển động thẳng với gia tốc không đổi ar . Xác định quĩ đạo tương đối của vật thể rơi tự do trong toa xe, nếu vận tốc tương đối ban đầu của nó bằng không. Tìm độ dịch chuyển ngang tương đối của vật thể khi nó rơi được độ cao bằng h. Trả lời: ay + gx = 0 h S = -a g 41. Trong một cái ống thẳng nhẵn nằm ngang quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω, có một quả cầu khối lượng m. Tại thời điểm đầu quả cầu cách trục quay một khoảng bằng a và vận tốc đối với ống bằng không. Tìm qui luật chuyển động của quả cầu theo ống và phản lực nằm ngang của ống. Trả lời: x = ach(ωt) N = 2aω2sh(ωt). 42. Một quả cầu khối lượng m nằm trong một cái ống thẳng nhẵn nằm ngang quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω. Tại thời điểm ban đầu quả cầu đứng yên đối với ống và cách trục quay một khoảng là a. Xác định vận tốc tuyệt đối, vận tốc tương đối và khoảng thời gian để quả cầu ra khỏi ống, nếu ống dài 2a. 1 Trả lời: Va = 7 aω ; Vr = 3 aω ; t1 = ln(2+ 3 ) ω B a A M w ω Hình 43 Hình 44 43. Thanh nhẵn AB quay đều quanh trục thẳng đứng và lập với trục một góc α. Xác định giá trị lớn nhất của vận tốc góc để con chạy M ở vị trí cân bằng tương đối tại A, nếu A cách trục quay một khoảng bằng a. g Trả lời: ωmax = cot gα a 137
  15. 44. Một ống quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω, lập với trục một góc vuông. Trong ống có một quả cầu khối lượng m được gắn chặt với một lò xo có độ cứng C. Tại thời điểm ban đầu quả cầu nằm yên trong ống và và cách trục quay một khoảng là a; khi đó lò xo chưa biến dạng. Xác định chuyển động tương đối của quả cầu, bỏ qua ma sát. aω 2 C C Trả lời: x = (1-coskt) với > ω 2 ; k2 = −ω 2 ; k 2 m m 45. Một điểm M có thể chuyển động theo thanh OA nhẵn quay quanh trục thẳng đứng và lập với nó một góc α. Tại thời điểm ban đầu M ở cách O một khoảng là a và vận tốc tương đối bằng không. Xác định chuyển động của M dọc thanh. Với giá trị nào của ω thì M chuyển động lên, chuyển động xuống. ggcosαα⎛⎞cos Trả lời: x = 22+−⎜⎟ac22 ht()ω sinα ωαsin ⎝⎠ ωαsin ag cosα Chuyển động lên khi ω > sinα ag cosα Chuyển động xuống khi ω < sinα A M B α O M A O ω ω Hình 45 Hình 46 46. Một đĩa tròn quay xung quanh trục thẳng đứng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của đĩa với vận tốc góc không đổi ω. Trên đĩa có một rãnh trơn AB. Trong rãnh có một con chạy M trọng lượng P được giữ bởi hai lò xo có cùng độ cứng C. Xác định chu kỳ dao động của M trong chuyển động tương đối nếu vị trí cân bằng tương đối ở trung điểm của dây. P Trả lời: T = 2π 2Cg− Pω2 47. Một chất điểm khối lượng m có thể chuyển động tự do không ma sát trong mặt phẳng xOz. Mặt phẳng đó lại quay xung quanh trục Oz thẳng đứng với vận tốc góc 138
  16. không đổi ω. Tìm chuyển động tương đối của điểm nếu tại thời điểm ban đầu nó đứng yên tương đối tại vị trí M0(x0, z0). Xác định phản lực N của mặt. x Trả lời: x = 0 ()eeωωtt− − 2 gt 2 z = z0 - 2 2 N = 2mx0ω sh(ωt) 139
  17. CHƯƠNG II: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC I. Định lý động lượng và định lý chuyển động của khối tâm a) Định lý động lượng 48. Thí dụ r Ở một thời điểm nào đó khi vận tốc của xuồng đạt được là V0 người ta tắt máy. Xuồng chuyển động theo đà của nó và chịu sức cản của nước là R = αV (α là hằng V số). Khối lượng của xuồng là m. Sau bao lâu vận tốc của xuồng giảm xuống V = 0 ? 1 2 Bài giải Khảo sát xuồng như một chất điểm. Áp dụng định lý đạo hàm động lượng ta có: d rr ()mV= R dt Chiếu hệ thức trên lên phương chuyển động của xuồng: d dV ()mV=− R =−α V hay mdt=−α dt V Tích phân theo cận tương ứng nhận được: Vt11dV V α =−α dt hay ln 1 =− t ∫∫V Vm1 V0 0 0 V m Thay V = 0 , suy ra : t = ln 2 . 1 2 1 α 49. Một tầu hoả chuyển động theo đường thẳng nằm ngang - khi hãm tầu chịu sức cản bằng 0,1 trọng lượng của nó. Lúc bắt đầu hãm, tầu chuyển động với vận tốc là V0=72km/h. Tìm thời gian và quãng đường tầu đi được cho tới khi dừng lại. Trả lời: t1 = 20,4s ; S = 204m. 50. Một chiếc thuyền nhận được vận tốc ban đầu V0 = 6m/s ; Sau 69s vận tốc của nó giảm đi một nửa. Tìm qui luật chuyển động của thuyền nếu sức cản của nước tỷ lệ với vận tốc của thuyền. Trả lời: x = 600(1- e - 0,01t). r 51. Một chất điểm khối lượng m bắt đầu chuyển động với vận tốc V0 và chịu lực cản R = k V (k - hằng số). Tìm thời gian và quãng đường đi được của chất điểm cho tới khi nó dừng lại. 2m 2 m Trả lời: t = V ; S = VV k 0 3 k 00 140
  18. 52. Một vật trọng lượng P = 20N nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang. Trên vật tác r dụng lực F kéo thẳng đứng lên trên với F tỷ lệ với thời gian, hệ số tỷ lệ bằng 2 N/s. Sau bao lâu kể từ lúc lực tác dụng vật bắt đầu chuyển động. Tìm qui luật chuyển động của nó. Trả lời: t = 10s ; y = 0,163(t-10)3 r 53. Coi rằng trị số của tổng hợp lực tác dụng do hơi nước lên pít tông là R thay đổi theo qui luật: R = 0,4P(1-kt) Trong đó: P - trọng lượng củapít tông ; k - hằng số. Xác định vận tốc của pít tông tại thời điểm t = 0,5s ; nếu tại thời điểm t = 0 vận tốc của nó là V0 = 0,2 m/s. Lấy K = 0,8. Trả lời: V = 1,4m/s. 54. Thí dụ Vật A trọng lượng P nằm trên mặt nghiêng của chèn B trọng lượng Q có góc nghiêng α. Lúc đầu hệ đứng yên, sau đó A trượt xuống dưới với vận tốc tương đối ur . Bỏ qua ma sát. Xác định vận tốc của chèn B ? VB A A I VB u VA P O ω0 Q N B x II Hình 54 Hình 56 Bài giải ⎯ Cơ hệ khảo sát bao gồm: vật A và chèn B. r r r ⎯ Các ngoại lực tác dụng: P,,QN. ⎯ Áp dụng định lý biến thiên động lượng ta có: rr rr e QQ−=0 ∑ SF()K K r e Hướng trục Ox theo phương ngang và dễ thấy ∑ SFxK()0= , do đó ta có: K QX = QOX = const Vì ban đầu cơ hệ đứng yên, nên QOX= 0, suy ra QX = 0. Bây giờ ta cần tính động lượng của cơ hệ tại thời điểm khi A trượt xuống theo mặt nghiêng với vận tốc tương đối ur . r r Gọi vận tốc chèn B là VB , vận tốc kéo theo của vật A cũng chính bằng VB . Do đó: rrr VVuAB=+ ta có: 141
  19. r rrPQr rr P Q r QQ=+= Q V + V =() V ++ ur V A BABggg B g B r Để tìm VB , ta chiếu hệ thức trên lên trục x: PQ QVuV=−+(cosα)0 − = xBggB P Từ đó: Vu= cosα B PQ+ 55. Một bánh xe trọng lượng P = 100N, bán kính R = 50cm lăn không trượt theo đường ray với n = 60v/phút. Tính động lượng của bánh xe. Trả lời: K = 10,2π N/s. A l C C l l B ωt ϕ O O B Hình 57 Hình 58 56. Bánh xe I bán kính R lăn không trượt theo bánh xe II cố định có cùng bán kính nhờ tay quay OA quay với vận tốc góc không đổi ω0. Xác định động lượng của hệ nếu bánh xe I trọng lượng là P1, tay quay OA là thanh đồng chất trọng lượng P2. Rω Trả lời: K = 0 (2PP+ ) . g 12 57. Xác định động lượng của thước vẽ êlíp, trong đó tay quay OC là thanh đồng chất trọng lượng P1, thước AB cũng là thanh đồng chất trọng lượng 2P1, trọng lượng của mỗi con chạy A, B là P2. Cho OC = AC = BC = l. Vận tốc góc của tay quay là ω. ωl Trả lời: K = (5PP+ 4 ) . 2g 12 58. Cơ cấu cu lít như hình vẽ được truyền chuyển động nhờ tay quay OC quay với vận tốc góc không đổi ω0 quanh trục O. Xác định động lượng của hệ tại thời điểm t π = s , nếu tại thời điểm ban đầu tay quay nhận vị trí bên phải ngoài cùng. Trọng 4ω0 lượng của tay quay, con chạy và culít lần lượt là P1, P2, P3. Khoảng cách OB = a; OC = a 2 , AB = 2a. Tay quay, cu lít là các thanh đồng chất. 142
  20. ω a 1 Trả lời: K = 0 PPPPPP22++(2)(2) ++ g 3123122 59. Một khẩu súng trọng lượng P1 = 11000N đặt nằm ngang, trọng lượng của viên đạn là P2 = 54N. Tốc độ của viên đạn khi ra khỏi nòng súng là V = 900m/s. Xác định vận tốc giật lùi của súng, bỏ qua ma sát. Trả lời: u = 4,42 m/s. 60. Cho cơ hệ gồm vật nặng A trọng lượng P1 đặt trên mặt nghiêng của một lăng trụ trọng lượng P2 nghiêng với phương ngang góc là α. Lăng trụ được đặt trên mặt ngang nhẵn. Ban đầu vật nặng nằm yên tương đối trên mặt lăng trụ, A còn chính lăng trụ thì trượt ngang sang trái với tốc độ V0. Sau u đó cho vật A trượt xuống theo mặt nghiêng lăng trụ với vận tốc V tương đối u = at (a - hằng số). Tìm vận tốc của lăng trụ khi đó. α x P1 Hình 60 Trả lời: V = V0 - u cosα PP12+ 61. Một quả pháo trọng lượng P = 120N đang bay với vận tốc 15m/s thì nó vỡ làm hai mảnh: mảnh thứ nhất có trọng lượng 80N bay về hướng chuyển động với vận tốc 25m/s. Xác định vận tốc của mảnh thứ hai ? Trả lời: 5m/s về hướng ngược chiều chuyển động của mảnh thứ nhất. 62. Một xe con trọng lượng 24000N chuyển động thẳng đều với vận tốc 3,6km/h. Một người trọng lượng 500N nhẩy lên bậc xuống theo phương vuông góc với hướng chuyển động của xe. Xác định vận tốc của xe và người sau lúc đó. Trả lời: V = 2,98m/s 63. Một chiếc thuyền dài AB = 2a trọng lượng P đứng yên trên mặt nước. Tại đầu A của thuyền một người trọng lượng Q đi về phía đầu kia của thuyền. Xác định độ dịch chuyển của thuyền khi người đó đi tới đầu B. Q Trả lời: S = 2a PQ+ 64. Một dòng nước được phóng ra với vận tốc V = 8m/s và nghiêng với phương ngang góc α = 300 từ một vòi có diện tích S = 16cm2. Xác định áp lực nằm ngang của dòng nước lên tường thẳng đứng. Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực và các lực khác, coi rằng sau khi gặp tường các hạt lỏng chuyển động dọc theo mặt tường. Trả lời: Nx = 90,5N. V2 α V1 V A o 60 α α V2 Hình 64 Hình 65 Hình 66 143
  21. 65. Xác định áp lực phụ lên gối đỡ A của ống tròn đường kính D = 20cm. Trục của ống được đặt trong mặt phẳng nằm ngang. Dọc theo ống nước chẩy với tốc độ V=4m/s. Vận tốc khi nước đi vào ống lập góc α = 600 so với vận tốc nước khi đi ra khỏi ống. Trả lời: R = 502N 66. Xác định thành phần ngang của áp lực nước lên cánh cố định của bánh xe tuốc bin nếu lưu lượng nước là Q, khối lượng riêng của nước là γ, vận tốc nước khi đi vào cánh r r là V1 hướng nằm ngang, vận tốc nước khi đi ra là V2 lập với phương ngang góc α. Trả lời: Nx = γQ(V1 + V2cosα). b) Định lý chuyển động của tâm khối lượng 67. Thí dụ: Trên chèn đồng chất A nằm trên mặt ngang nhẵn ta đặt chèn đồng chất B. Các chèn có tiết diện ngang là các tam giác vuông có cạnh góc vuông nằm ngang là a, b. Trọng lượng chèn A gấp 3 lần trọng lượng chèn B. Xác định độ dời l của chèn A khi chèn B hạ xuống vị trí thấp nhất. Bỏ qua b ma sát, ban đầu hệ đứng yên. B Bài giải PB Cơ hệ khảo sát gồm chèn A và B. Ngoại lực tác dụng lên nó là: Trọng N rr lượng các chèn PA , PB và phản lực pháp PA A r x tuyến N của nền. a Các lực đều vuông góc với trục x. Áp dụng định lý chuyển dời khối tâm, ta có: Hình 67 rrrr MWPPNCAB= ++ Chiếu lên trục Ox: Mx&&C = 0 suy ra : x&C = C1 . 0 Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên: x&C = 0 nên C1 = 0. Do đó: xC = C2 . Như vậy trong quá trình chuyển động của hệ, toạ độ khối tâm C trên trục Ox không 10 thay đổi và xCC= x . 0 Toạ độ trên trục Ox của khối tâm C ở thời điểm đầu ( xC ) khi chèn B ở vị trí cao nhất là: 0 12 ∑mxKK mambAB. + 0 K 3323ba+ xC == = MmmAB+ 12 144
  22. Tiếp tục tính toạ độ khối tâm C trên trục Ox khi chèn B ở vị trí thấp nhất và giả sử chèn A đã dời đoạn l về bên trái ⎛⎞⎛ab ⎞ 1 mlmal−+ −− ∑mxKK AB⎜⎟⎜ ⎟ 1 K ⎝⎠⎝33 ⎠612alb− − xC == = MmmAB+ 12 ab− Từ đó khi cho x10= x ta nhận được: l = CC 4 68. Xác định quĩ đạo trọng tâm của cơ cấu elíp gồm hai con chạy A, B trọng lượng mỗi con chạy là Q; Tay quay OC trọng lượng P. Thanh AB trọng lượng 2P. Cho OC = AC = BC = l. OA, AB là các thanh đồng chất; A, B coi như là chất điểm. 54PQl+ Trả lời: Vòng tròn bán kính R = 322PQ+ A V2 l C l l B α B O A V1 Hình 68 Hình 69 69. Hai chất điểm tự do A, B khối lượng m1, m2 hút nhau theo qui luật Niutơn. Tại r r thời điểm đầu B có vận tốc V2 hướng theo AB và A có vận tốc V1 hướng vuông góc với AB. Xác định quĩ đạo và vận tốc tâm khối lượng của cơ hệ. 22 22 mV11+ mV 22 Trả lời: Quĩ đạo thẳng . V = 2 ()mm12+ 70. Tìm quĩ đạo của quả cầu A khối lượng m trượt theo một mặt trụ tròn nhẵn khối lượng M bán kính R nằm trên một mặt phẳng ngang nhẵn. Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên. 2 x2 ( yR− ) Trả lời: Elíp 2 + 2 =1 ⎛⎞MR R ⎜⎟ ⎝⎠Mm+ A ϕ l C O R l y A α Hình 70 Hình 71 145
  23. 71. Thanh đồng chất AB dài 2l có mút A tựa trên nền ngang nhẵn và lập với nền một góc α . Xác định quĩ đạo của mút B khi ta thả cho thanh rơi xuống, cho rằng A luôn trượt trên nền nhẵn nằm ngang. y2 Trả lời: Cung elíp: (x - lcosα)2 + = l 4 72. Một tấm đồng chất ABC có dạng tam giác vuông cân, cạnh đáy AB = 12cm. Đỉnh A đặt trên nền nhẵn nằm ngang sao cho cạnh huyền AB thẳng đứng. Sau đó tấm rơi xuống do tác dụng của trọng lực. Xác định quĩ đạo của trung điểm M của cạnh BC. Trả lời: 9(x - 2)2 + y2 = 90 73. Ba tải trọng P1 = 20N, P2 = 15N , P3 = 10N nối với nhau bằng sợi dây không dãn, trọng lượng không đáng kể và được luồn qua các ròng rọc M, N gắn chặt với chèn hình thang AMNO trọng lượng P = 100N đặt trên nền nhẵn nằm ngang như hình vẽ. Bỏ qua ma sát. Xác định độ dời của chèn khi tải trọng P1 hạ xuống dưới 1m. Trả lời: l = 14cm B P M 2 N α P3 A P1 O 60 A O Hình 73 Hình 74 74. Xác định di chuyển ngang của tàu mang cần cẩu nổi khi cần AB mang vật nặng có trọng lượng P = 20000N cất thẳng đứng lên từ vị trí ban đầu nghiêng góc α = 300. Trọng lượng của tầu và cần cẩu bằng Q = 200000N; chiều dài AB = 8m. Bỏ qua sức cản của nước và trọng lượng của cần AB. Trả lời: Tầu di chuyển ngang ngược chiều với di chuyển ngang của vật nặng một đoạn bằng 0,36m. A ωt O 2l B ωt O A C D E Hình 75 Hình 76 146
  24. 75. Một mô tô điện gồm vỏ và trục động cơ xem là đồng chất và đặt đối xứng trọng lượng P1 đặt tự do trên nền nhẵn nằm ngang. Trên trục quay của mô tơ gắn một thanh đồng chất dài 2l trọng lượng P2 vuông góc với trục động cơ. Đầu thanh mang vật nặng Q. Vận tốc của trục động cơ là ω. Xác định chuyển động ngang của mô tơ trên nền. Nếu gắn chặt mô tơ với nền bằng bu lông thì áp lực ngang tổng cộng lớn nhất tác dụng lên bu lông bằng bao nhiêu ? PQ+ 2 Trả lời: Dao động điều hoà với biên độ A = 2 l ; PPQ12++ 2π PQ+ 2 và chu kỳ T = ; Rmax = 2 lω 2 ω g 76. Xác định áp lực lên nền đất của một máy bơm nước lúc bơm chạy không tải. Trọng lượng của phần cố định gồm vỏ D và móng E bằng P1. Tay quay OA dài a và có trọng lượng bằng P2. Trọng lượng của máng trượt B cùng với pít tông C là P3. Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ω. Xem như các vật khảo sát là những vật đồng chất và có cấu tạo đối xứng. aω 2 Trả lời: N = P1 + P2 + P3 + (2)cosPP+ ω t 2g 23 II. Định lý mô men động lượng 77. Thí dụ Điểm M chuyển động xung quanh tâm cố định dưới tác dụng của lực hút về tâm đó. Hãy tìm vận tốc V2 tại điểm thuộc quĩ đạo cách xa tâm nhất, nếu biết vận tốc tại điểm thuộc quĩ đạo gần tâm nhất V1 = 30cm/s, r2 = 5r1. O V1 V M 1 C 1 2 r 1 F r2 O C M A Hình 77 Hình 79 Bài giải r Khảo sát chất điểm M. Lực tác dụng F đặt lên nó luôn luôn qua tâm cố định O. Ta có: r dl r 0 ==mFr () 0 dt 0 r uuuuur Do đó: lconst0 = ; nghĩa là: Trong suốt quá trình chất điểm chuyển động mômen động lượng của chất điểm đối với tâm O là không đổi: 147
  25. rrrr rmVrmV2211∧=∧ Suy ra: rmV2211 = rmV rV11 r 1.30 V2 == =6cm/s rr215 78. Một chất điểm vẽ lên một quĩ đạo cong dưới tác dụng của lực xuyên tâm. Tại thời r r r r điểm ban đầu chất điểm có bán kính vectơ r0 và vận tốc V0 với r0 vuông góc với V0 . r r Sau một thời gian điểm có bán kính vectơ r1 và khi đó vận tốc V1 của chất điểm lập r r với r1 một góc α. Xác định vận tốc V1 đó. Vr00 Trả lời: V1 = r sinα 79. Quả nặng M được buộc vào dây không dãn MOA. Phần OA được luồn vào trong ống thẳng đứng. M quay quanh ống theo vòng tròn bán kính MC=R với n = 120v/phút. Dây được rút vào trong ống đến khi M vẽ lên vòng tròn bán kính M1C1=R/2. Xác định số vòng quay trong 1 phút của quả nặng M khi đó. Trả lời: n = 480v/phút. 80. Một chất điểm khối lượng m vẽ lên một êlíp có các bán trục a và b dưới tác dụng r của lực hút về một tâm của êlíp đó. Khi điểm ở mút bán trục lớn nó có vận tốc V0 . Xác định giá trị của lực đó khi điểm ở mút bán trục nhỏ. mV 2 Trả lời: F = 0 b 81. Thí dụ Tính mômen động lượng đối với trục quay của đĩa tròn khối lượng M bán kính r. Đĩa gắn lệch tâm với trục quay và quay với vận tốc góc ω. Mặt phẳng đĩa thẳng góc với trục quay và độ lệch tâm bằng nửa bán kính. Bài giải Ta có: LJ= ω C1 ZZ O r 2 22 ⎛⎞rMrMr3 2 ω ở đây: J ZCZ=+JM⎜⎟ = + =Mr ⎝⎠2244 3 Do đó: LJ= ω = Mr 2ω Hình 81 ZZ 4 82. Thí dụ Dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc đồng chất có trục OZ cố định, trọng lượng p. Mút của dây treo các tải trọng trọng lượng P, Q. Bỏ qua ma sát ổ trục. Xác định gia tốc các tải trọng khi hệ chuyển động. Bài giải 148
  26. Cơ hệ khảo sát là ròng rọc, dây và các tải trọng.Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: r r Trọng lượng ròng rọc pr , trọng lượng các tải trọng P,Q và phản lực ổ trục ròng r rọc N . Chọn trục OZ hướng thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ. Để xác định ta giả thiết rằng P > Q và hệ chuyển động theo chiều mũi tên chỉ trên hình vẽ. dL r e Ta có: Z = mF() ∑ Z K N dt K R O PQ LZ=LZ (0)+LZ (P)+LZ (Q) = JZ ω + VR+ VR P gg V Trong đó: ω là vận tốc góc của ròng rọc; R là bán kính của ròng V rọc; V là vận tốc của tải trọng P pV Ta có: JR==0,52 ; ω Z gR Q ⎛⎞pR Ta nhận được: LZ =++⎜⎟PQ V Hình 82 ⎝⎠2 g r e rrr r ∑mFZK()=+++ mP Z () mQ Z () mp Z () mN Z () =− PRQR K r (Vì N, pr có giá qua O nên mômen của chúng bằng không). Thay các kết quả vừa tính vào hệ thức trên, ta có: RdV (22)pPQ++ =− ( PQR ) 2gdt dV2( P− Q ) Từ đó: Wg== dt p++22 P Q 83. Một đĩa tròn đồng chất trọng lượng P = 50N và bán kính R = 30cm lăn không trượt theo mặt phẳng nằm ngang với n = 60v/phút xung quanh trục của nó. Tính mô men động lượng của đĩa: a. Đối với trục đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt phẳng của nó; b. Đối với trục quay tức thời. Trả lời: Joz = 0,23Nms ; Jcz = 4,32 Nms. 84. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R, trọng lượng P có trục quay thẳng đứng đi qua trục của nó. Theo vành đĩa có con chạy B trọng lượng Q chuyển động theo qui 1 luật: S = at2 . Tại thời điểm ban đầu đĩa đứng yên. Xác định vận tốc góc và gia tốc 2 góc của đĩa. 149
  27. 2Qat 2Qa Trả lời: ω = ; ε = RP(2)+ Q RP(2)+ Q O R O O B ω B C A Hình 83 Hình 84 Hình 87 85. Một tấm tròn đồng chất nằm ngang bán kính R, trọng lượng P có trục quay thẳng đứng đi qua tâm của nó. Vận tốc góc ban đầu của tấm là ω0. Một người trọng lượng Q từ tâm O của tấm đi dọc theo bán kính. Tìm vận tốc góc của tấm là hàm khoảng cách x từ người tới tâm của tấm. PR2 Trả lời: ω = ω0 PR22+ 2 Qx 86. Một ống đồng chất dài 2a trọng lượng P chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang xung quanh trục thẳng đứng đi qua mút của nó với vận tốc góc ω0. Trong ống có một quả cầu trọng lượng Q được buộc bằng một sợi dây nằm cách trục quay một khoảng bằng a. Sau đó dây đứt. Tìm vận tốc góc của ống tại thời điểm quả cầu ra khỏi ống. 43PQ+ Trả lời: ω = ω0 4(PQ+ 3 ) 87. Qua một ròng rọc khối lượng không đáng kể luồn một sợi dây. Đầu A của dây có một người giữ, đầu B của nó buộc một tải trọng có trọng lượng bằng trọng lượng của người. Có hiện tượng gì xẩy ra nếu người leo lên dây với vận tốc bằng a so với dây. a Trả lời: Tải trọng chuyển động lên với vận tốc V = 2 88. Một tấm ván dài l trọng lượng P có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng r O1O2. Tại trung tâm ván bị một viên đạn trọng lượng Q bắn vào với vận tốc V0 vuông góc với tấm. Xác định vận tốc góc của tấm ván khi viên đạn chạm vào tấm. 6QV Trả lời: ω = 0 l 43PQ+ 89. Một vật rắn đứng yên, sau đó được truyền một mômen quay không đổi và chịu 2 một mômen cản MC tỷ lệ bậc hai với vận tốc góc của nó: Mc = αω (α - hằng số). Tìm qui luật biến đổi vận tốc góc của vật. Biết mômen quán tính của vật đối với trục quay bằng J. 150
  28. Meβt −1 2 Trả lời: ω = ; βα= M α eβt +1 J O2 O2 l A N O B O1 O ω ω M l ω O1 O1 Hình 88 Hình 90 Hình 91 90. Một quả cầu A khối lượng m được gắn vào thanh AB = l quay xung quanh trục O1O2 thẳng đứng qua B và vuông góc với thanh. Vận tốc góc ban đầu là ω0. Quả cầu chuyển động trong chất lỏng và chịu lực cản FC = αmω. Xác định khoảng thời gian và số vòng quay khi vận tốc góc của trục giảm đi một nửa. l lω Trả lời: t = ln 2 ; n = 0 α 4πα 91. Dọc theo rãnh MN của một đĩa đồng chất bán kính R quay xung quanh trục thẳng đứng cố định qua tâm đĩa có tải trọng dao động. Khi qua trung điểm O của MN tải trọng có vận tốc tương đối u, còn khi nó ở M hay N vận tốc góc của đĩa là ω1. Xác 1 định vận tốc góc ω2 của đĩa khi tải trọng qua O. Trọng lượng của tải trọng bằng 2 1 trọng lượng của đĩa. Rãnh MN cách tâm đĩa một khoảng bằng R . 2 Bỏ qua ma sát và cho rằng: chiều chuyển động quanh trục của tải trọng và chiều quay của đĩa trùng nhau. 4 2 u Trả lời: ω2 = ω1 - 3 gR 92. Một ống rỗng A bán kính ngoài R lồng khít vào một trục bán kính r cố định nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu vành A có vận tốc góc ω0. Hỏi đến khi dừng nó quay được bao nhiêu vòng nếu hệ số ma sát trượt giữa vòng và trục bằng f. ω 22()Rr+ 2 Trả lời: n = 0 8 fgr 151
  29. A R I Z1 r M Z2 ω II Hình 92 Hình 93 93. Tải trọng trọng lượng P được nâng lên nhờ một tời điện. Trên trục chủ động tác dụng một mômen quay không đổi M. Xác định gia tốc của tải trọng, nếu mômen quán tính của trục chủ động I và bị động II cùng với các chi tiết đặt trên trục đối vơí trục quay tương ứng bằng J1, J2. Bán kính của trống cuốn dây là R. Bỏ qua ma sát và Z1 khối lượng của dây. Tỷ số truyền = k (Z1, Z2 - số răng của bánh xe I, II ). Z2 gR() Mk− PR Trả lời: W = 22 PR++() J12 k J g 94. Trên một sàn nằm ngang quay xung quanh trục thẳng đứng đi qua tâm O của nó, có một người đi theo vành tròn bán kính r với tâm ở trên trục quay. Tìm vận tốc góc của sàn, nếu vận tốc tương đối của người là u, trọng lượng của sàn là P, trọng lượng của người là Q, mômen quán tính của sàn đối với trục quay là J, ban đầu hệ đứng yên. Qur Trả lời: Ω = Qr2 + gJ 95. Với điều kiện bài toán trên, hãy tìm độ dịch chuyển góc tuyệt đối của người sau khi người ấy đi được một vòng trên sàn. Biết rằng mômen quán tính của sàn bằng P R2 và P = Q ; R = r. 2g 2 Trả lời: ϕ = π . 3 96. Với điều kiện bài toán trên nhưng sàn có dạng một hình vuông cạnh a, trọng lượng của người bằng trọng lượng của sàn, trục quay của sàn đi qua tâm của nó. Người đi theo cạnh hình vuông với vận tốc tương đối u = const bắt đầu từ đỉnh hình vuông. Biểu thị góc quay θ của sàn theo thời gian t. 3 ⎛⎞15ut Trả lời: θ = arctg ⎜⎟ 5 ⎝⎠83aut− III. Định lý động năng 97. Thí dụ Tải trọng trọng lượng P được treo vào sợi dây dài l đăt lệch so với phương thẳng đứng một góc ϕ và rơi xuống 0 l M O ϕο 152 ϕ T h M P
  30. không có vận tốc ban đầu. Xác định vận tốc của tải trọng ở thời điểm khi dây tạo với phương thẳng đứng góc ϕ. Bài giải Coi tải trọng như chất điểm M. Lực tác dụng lên nó: r r Trọng lượng P và phản lực dây T . Hình 97 Áp dụng định lý biến thiên động năng của chất điểm khi nó dời từ M0 về M: 11 mV22−= mV AM0M 220 ∑ K r r Ở đây: V0= 0 ; A()TAPPh== 0; () . 1 Từ đó: mV2 =⇒= mgh V2 gh 2 Trong trường hợp khảo sát: h = l.cosϕ - l.cosϕ0 Do đó : Vgl=−2(coscos)ϕ ϕ0 r 98. Một chất điểm khối lượng m nhận vận tốc ban đầu V0 chuyển động theo mặt phẳng ngang nhẵn. Lực cản chuyển động của môi trường được xác định theo công thức: R = km V ; k - hằng số. Xác định qui luật chuyển động của điểm. 3 2 ⎡⎤⎛⎞kt Trả lời: x = ⎢⎥VV00−−⎜⎟ V 0 32k ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ 99. Người ta nâng một tải trọng P nặng 20N lên mặt phẳng nghiêng nhờ sợi dây đặt nghiêng góc α = 300 so với mặt phẳng này. Mặt nghiêng nghiêng góc β = 300 so với phương ngang, sức kéo dây T = 15N. Ở vị trí ban đầu tải trọng nằm yên. Tìm độ dịch chuyển l của tải trọng dọc theo mặt nghiêng cho đến lúc nó có vận tốc V = 2m/s. Hệ số ma sát trượt giữa tải trọng và mặt phẳng nghiêng là f = 0,2. Trả lời: l = 3,54m. 100. Thiên thạch rơi xuống mặt đất năm 1751 có trọng lượng 39N. Khi rơi nó lún sâu xuống mặt đất khoảng l = 1,85m. Quan sát người ta thấy rằng: tại chỗ thiên thạch rơi nó chịu lực cản của đất là F = 50KN. Xác định vận tốc của thiên thạch khi nó rơi đến mặt đất coi như nó không có vận tốc ban đầu. Tìm độ cao ban đầu của thiên thạch coi lực trọng trường không đổi và bỏ qua sức cản của không khí. Trả lời: V = 217m/s; h = 2390m. 153
  31. r 101. Một vật được ném lên với vận tốc ban đầu V0 lập với phương nằm ngang góc α. r Xác định chiều cao h mà vật đạt được là hàm của góc θ hợp giữa vận tốc V của vật và phương nằm ngang. Bỏ qua sức cản của không khí. 22 V0 ⎛⎞cos α Trả lời: h = ⎜⎟1− 2 2cosg ⎝⎠θ 102. Thí dụ Tải trọng A trọng lượng P trượt theo mặt nghiêng R r B xuống dưới với vận tốc V làm quay trống B trọng lượng Q ω nhờ một sợi dây mềm nhẹ quấn quanh nó. Tính động năng của A hệ biểu thị qua vận tốc V của tải trọng A. Coi trống như hình V trụ tròn đồng chất. Hình 102 Bài giải Hệ để tính động năng bao gồm tải trọng A, trống B và dây mềm. Vì bỏ qua khối lượng dây, nên động năng của dây bằng không. Ta có: T = TA + TB Động năng của A chuyển động tịnh tiến tính theo công thức: 11P TmVV==22 AAA22g Động năng của trống B quayquanh trục cố định, tính theo công thức: 2 2 2 1122mRB 1 QR⎛⎞ V 1 Q 2 TJBz==ωω =⎜⎟ =V 222224gR⎝⎠ g PQ2 PQ+ Từ đó ta nhận được: TT=+= T V22 + V = V 2 AB24gg g 103a. Thí dụ r Con trượt A khối lượng M trượt theo mặt ngang với vận tốc V . Quả cầu M nối bằng sợi dây mềm nhẹ không dãn dài l buộc vào trục O của con trượt. Tính động năng của hệ. Giả sử rằng qui luật chuyển động của con lắc OM là : ϕ= ϕ(t). Bài giải Khảo sát hệ tính động năng gồm con trượt A và A V chất điểm M. O V l r VM 154 ϕ M Ve
  32. Động năng cơ hệ bằng: T = TA+ TM 1 Con trượt A chuyển động tịnh tiến, nên TMV= 2 A 2 1 Động năng của chất điểm M bằng: mV 2 Hình 103a 2 M r rrr VM là vận tốc tuyệt đối của quả cầu M. Theo định lý hợp vận tốc ta có: VVVM =+er Ở đây: Ve = V; Vr = l.ϕ& . 2222 Trên cơ sở hình bình hành vận tốc, ta nhận được: VVlM =+ϕ&& +2cos lVϕϕ 112222 Do đó : TmVmVllVMM==() ++ϕ&&2cosϕϕ 22 11222 Động năng của cơ hệ bằng: T= TA+ TM = ()MmV++ mlϕ&& + mlVϕϕcos 22 103b. Thí dụ Trong các tời visai có hai trục hình trụ k1 và k2 với bán kính tương ứng r1 và r2 và momen quán tính tương ứng đối với trục O1O2 là J1 và J2; chúng gắn liền vào nhau và quay được nhờ tay quay AB. Ròng rọc động C treo vào sợi dây mềm nhẹ không dãn, nhánh trái của dây quấn vào trụ k1, còn nhánh phải dây quấn vào trụ k2. Khi quay tay quay AB, nhánh trái dây tuột khỏi trục k1, còn nhánh phải quấn vào trục k2. Tải trọng D trọng lượng P treo vào ròng dọc C; momen quay không đổi M tác dụng vào tay quay AB. Tìm vận tốc của tay quay khi đã nâng tải trọng lên được một đoạn bằng S. Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên, bỏ qua khối lượng của tay quay và ròng rọc. K B 2 K 2 ϕ r K1 2 r ω M 1 A K1 O1 O2 VM S M O VO N C Hình 103b C V N D D Bài giải: - Hệ khảo sát gồm: Các trục k1,k2, tải trọng D, ròng rọc C, dây và tay quay AB 155
  33. - Ngoại lực tác dụng lên hệ: Trọng lượng tải trọng D, trọng lượng các trục k1, k2 và lực ở trục quay O1,O2; Mômen M đặt lên tay quay AB - Áp dụng định lí biến thiên động năng của cơ hệ: ei T - To = ∑∑AK + AK Do ban đầu hệ đứng yên nên To = 0. Mặt khác vì hệ gồm các vật rắn chuyển động dây không dãn, do đó i 0. Hệ thức trên trở thành ∑ AK = e T= ∑ AK Khi bỏ qua khối lượng ròng rọc C, dây và tay quay AB ; động năng T của hệ được tính T = TK1+TK2+TD Gọi ω là vận tốc của tay quay, khi đó vận tốc của M, N bằng : VM = ωr2 ; VN =ωr1 Như vậy vận tốc của trục O ròng rọc C là : VVMN− ω Vo= = ()rr− 2221 Từ đó khi ròng rọc C dời chuyển một đoạn S thì trục tời quay được một góc ϕ và: φ 2S Vo= ()r−= r , suy ra : φ 2 21 rr− 2 1 Bây giờ trở lại tìm T: 2 1 2 1 2 11PP22ω TK1= J1ω ; TK2= J 2ω ; TK1= Vrr=−() 2 2 224ggo 21 2 ω ⎡ 2 ⎤ T = TK1+ TK1+TD = 4(gJ++ J ) Pr ( − r ) 8g ⎣⎢ 12 21⎦⎥ uur ur Tổng công ngoại lực tác dụng lên cơ hệ chỉ có công của M và trọng lực P : e uur ur s ∑ AK =A( M )+A( P )=Mϕ - Ps = []2()M −−Pr21 r rr21− e Cho T = ∑ AK , Ta nhận được 2()MPrr−− ω =2 2gs 21 ⎡⎤2 ()()4()rrPrr21−−++⎣⎦ 21 gJJ 1 2 104. Một puli bán kính R có mômen quán tính đối với trục quay là J1 quay với vận tốc góc ω và truyền chuyển động bằng dây xích cho một puli nhỏ bán kính r, có mômen 156
  34. quán tính đối với trục quay là J2. Trọng lượng của các dây xích căng trên các puli bằng Q. Tính động năng của cơ hệ. 2 2 ω ⎡⎤⎛⎞RQ2 Trả lời: T = ⎢⎥J12++⎜⎟JR 2 ⎣⎦⎢⎥⎝⎠rg A ω a R O ϕ r r ω O1 O2 O3 O2 O1 ω I II III Hình 104 Hình 105 Hình 106 105. Tính động năng của cơ cấu culít nếu mômen quán tính của tay quay OA đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng của hình vẽ bằng J0. Độ dài của tay quay bằng a, khối lượng của culít là m, khối lượng của con chạy A bỏ qua; tay quay OA quay với vận tốc góc ω. Tại vị trí nào thì động năng đạt giá trị cực đại, cực tiểu 1 Trả lời: T= (sin)Jma+ 22ϕ ω 2 2 0 π Cực đại khi ϕ = ; cực tiểu khi ϕ = 0 2 106. Cơ cấu hành tinh đặt trong mặt phẳng nằm ngang được truyền chuyển động nhờ tay quay O1O3 nối với 3 bánh xe I, II, III và quay với vận tốc góc ω. Bánh xe I cố định; Trọng lượng của mỗi bánh xe là P, bán kính R; trọng lượng của tay quay là Q. Tính động năng của cơ hệ. Coi mỗi bánh xe là đĩa đồng chất; Tay quay O1O3 là thanh đồng chất. R22ω Trả lời: T = (33PQ+ 8 ) 3g 107. Trong cơ cấu culít, tay quay OC là thanh đồng chất khối lượng m1, con chạy A khối lượng m2, thanh AB khối lượng m3. Tay quay dài R và OK = l. Tính động năng của hệ theo vận tốc góc ω và góc quay ϕ của tay quay. ω 2 Trả lời:T = ⎡⎤mR22cosϕ ++ 3 l 2 ( m m ) 6cos4 ϕ ⎣⎦113 108. Một chiếc thùng hình trụ bán kính đáy R quay xung quanh trục thẳng đứng của nó với vận tốc góc ω. Khi đó chất lỏng trong thùng có mặt thoáng là parabollôit. Biết khoảng cách H, h và trọng lượng riêng γ của chất lỏng. Tìm động năng của khối chất lỏng đó. 157
  35. 1 24⎛⎞h Trả lời: T = πγω RH⎜⎟− 43⎝⎠ 109. Một đĩa tròn bán kính R trọng lượng Q quay xung quanh trục nằm ngang O. Quanh đĩa có cuốn một sợi dây mà một đầu buộc vào trọng lượng P. Lúc đầu hệ đứng yên. Tìm vận tốc góc của đĩa khi tải trọng hạ xuống một đoạn bằng h 2 Pgh Trả lời: ω = RPQ2 + C A R h O H ω ϕ O K P l B R Hình 107 Hình 108 Hình 109 110. Thanh đồng chất OA = 2a quay xung quanh trục O trong mặt phẳng thẳng đứng. Thanh cần một vận tốc góc như thế nào để lúc đầu nó ở vị trí thẳng đứng sau đó có góc lệch 900 ? 3g Trả lời: ω = 2a 111. Thanh có khối lượng m có thể dịch chuyển tự do trong rãnh A theo phương thẳng đứng. Mút dưới thanh tựa trên mặt nghiêng nhẵn của chèn khối lượng M đặt trên r r mặt ngang nhẵn. Xác định gia tốc W1 của thanh và gia tốc W2 của chèn ; góc nghiêng của chèn là α. mg Trả lời: W = ; WW= cot gα 1 mM+ cot gα 21 O A 90O l2 2a O α l1 Hình 110 Hình 111 Hình 112 112. Hai thanh đồng chất dài l1 và l2 (l2 > l1) có tiết diện và trọng lượng riêng như nhau được nối cứng với nhau thành góc vuông. Thanh có thể quay trong mặt thẳng 158
  36. đứng quanh trục đi qua giao điểm của chúng. Lúc đầu thanh lớn nằm ngang và không có vận tốc ban đầu. Tìm vận tốc của mút thanh nhỏ khi nó ở vị trí nằm ngang. 3(gl21− l ) Trả lời: V = ωl1 = 22l1 llll2121−+ 113. Một sợi dây một đầu buộc chặt ở điểm A vắt qua ròng rọc động O có treo tải trọng có trọng lượng P và ròng rọc cố định O1 rồi buộc vào tải trọng Q. Lúc đầu hệ đứng yên. Xác định vận tốc và gia tốc của tải trọng Q phụ thuộc vào độ cao rơi h của nó. 2QP− 2QP− Trả lời: V = 2 gh ; Wg= 2 4QP+ 4QP+ II A A I O1 M O ϕ O Q I O O 60 A P II Hình 113 Hình 114 Hình 115 114. Bánh xe I trọng lượng Q bán kính R có thể lăn không trượt trong bánh xe II cố định trong mặt phẳng thẳng đứng và truyền chuyển động cho tay quay OA dài l trọng lượng P. Tại thời điểm đầu tay quay ở vị trí lập một góc α=600 so với phương thẳng đứng và không có vận tốc ban đầu. Xác định vận tốc góc của tay quay tại thời điểm nó đi qua vị trí cân bằng. Bỏ qua ma sát; tay quay coi là thanh đồng chất; bánh xe I coi như đĩa đồng chất. 3(gP+ 2) Q Trả lời: ω = lP(2+ 9 Q ) 115. Cơ cấu Epixyclôit đặt trong mặt phẳng nằm ngang được truyền chuyển động từ trạng thái đứng yên nhờ mômen quay không đổi M đặt lên tay quay OA. Xác định vận tốc góc của tay quay phụ thuộc theo góc quay ϕ của nó, nếu bánh I cố định bán kính R1, bánh II động bán kính R2 là đĩa đồng chất trọng lượng P lăn không trượt trên bánh I ; tay quay 0A là thanh đồng chất trọng lượng Q. 23gMϕ Trả lời: ω = RR12++29 Q P 159
  37. A C R A a M A ϕ h O B R l B P B P1 O F D Hình 116 Hình 117 Hình 118 116. Trên tay quay OA của cơ cấu culít tác dụng một mômen không đổi M. Tại thời điểm ban đầu cơ cấu đứng yên và góc A0B = ϕ. Độ dài của tay quay là R và mômen quán tính của nó đối với trục quay là J; trọng lượng của culít là P, khối lượng con chạy bỏ qua ; lực ma sát trong đường dẫn B của culít không đổi và bằng F. Xác định vận tốc góc của tay quay khi nó quay được một vòng. 2(2gMRFπ − 4 ) Trả lời: ω = Jg+ PR22sin ϕ 117. Cơ cấu then truyền tay quay đặt trong mặt phẳng thẳng đứng gồm tay quay OA dài R và then truyền AB dài l là các thanh đồng chất. Tại thời điểm tay quay hướng thẳng đứng lên trên điểm A nhận được vận tốc rất nhỏ hướng sang phải. Xác định vận r tốc điểm A khi tay quay nằm ngang. Biết rằng tại con chạy B tác dụng lực hãm F có trị số bằng tổng trọng lượng của tay quay và then truyền. Bỏ qua khối lượng của con chạy và ma sát 3g Trả lời: VlRRl222=−+− 2 ( ) 118. Tại hai mút của sợi dây không dãn luồn qua ròng rọc nhỏ A treo hai tải trọng P và P1. Tải trọng P1 có thể trượt theo thanh nhẵn CD thẳng đứng cách trục ròng rọc một khoảng bằng a. Lúc đầu P1 ở vị trí nằm ngang với trục ròng rọc và rơi xuống không có vận tốc ban đầu. Tìm sự phụ thuộc giữa vận tốc của tải trọng P1 và độ cao rơi h. 22 Ph1 − P a+− h a 222 ( ) Trả lời: Vgah1 =+2( ) 22 2 Pa1()++ h Ph C A A O O M h B P α α Hình 119 Hình 120 Hình 121 160
  38. 119. Một băng truyền chuyển động từ trạng thái đứng yên nhờ mô tơ gắn với puli B gây cho nó một mômen quay không đổi M. Xác định vận tốc của khối vật liệu A trọng lượng P theo độ dịch chuyển S của nó. Puli B và C là các đĩa đồng chất có cùng bán kính R và trọng lượng Q. Bỏ qua khối lượng của băng truyền. Góc nghiêng của băng truyền là α. Sự trượt giữa băng truyền và Puli coi như không có. 2(gM− PR sin)α Trả lời: V = S RP()+ Q 120. Một bánh xe lăn hình trụ đường kính D = 60cm trọng lượng P = 392N chuyển động do một người đẩy nó bằng một tay đòn OA với lực không đổi F theo hướng AO; độ dài OA = 1,5m . Độ cao của A so với mặt nằm ngang là h = 1,2m. Bỏ qua ma sát. Hãy tìm lực F của người đẩy, biết rằng sau khi dời được S = 2m trục của 2 bánh xe có vận tốc V0 = 80cm/s (lấy g = 980cm/s ). Trả lời: F = 12N 121. Theo hai đường ray song song nghiêng một góc α so với phương nằm ngang đặt một ống trụ tròn đồng chất trọng lượng Q. Trên ống trụ quấn sợi dây treo tải trọng trọng lượng P. Với giá trị nào của α thì ống trụ chuyển động lên; khi đó tìm sự phụ thuộc giữa vận tốc V0 và độ dời S của ống trụ. P gS[( P−+ P Q )sin]α Trả lời: sinα < ; V = PQ+ 0 PQP+−sinα 122. Thanh đồng chất AB = 2a rơi xuống có mút A trượt trên nền nhẵn nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu thanh đứng yên ở vị trí thẳng đứng. Xác định vận tốc trọng tâm C của thanh phụ thuộc vào độ cao h của nó đối với nền. 6(ga+ h ) Trả lời: Vah=−() C 43ah22− A ω B O a B B a C D E h C A h FG A C D Hình 122 Hình 123 Hình 124 123. Một thang ghép ABC có bản lề ở B đặt trên nền ngang nhẵn. AB = BC = 2l. Trọng tâm đặt ở trung điểm D, E các thang. Bán kính quán tính của mỗi thang đối với 161
  39. trục đi qua trọng tâm bằng ρ. Khoảng cách từ bản lề B đến sàn bằng h. Tại thời điểm nào đó thang ghép bị sập xuống do dây FG bị đứt. Bỏ qua ma sát ở bản lề. Xác định: a) Vận tốc của B khi nó rơi đến sàn. b) Vận tốc của B khi nó cách sàn một khoảng bằng h/2. gh Trả lời: a) V = 2l lP22+ 116lh22− b)V = gh 22()lP22+ 124. Một trục tời gồm khối trụ tròn đồng chất có hai tầng A và B gắn đồng trục, có bán kính lần lượt là R1, R2, quay quanh trục O cố định trùng với trục đối xứng hình học của khối trụ ấy. Quấn một dây mềm nhẹ không dãn vào hai tầng puli A và B sao cho khi khối trụ quay thì quấn một nhánh dây vào và nhả một nhánh dây ra. Đặt vào vòng dây buông một puli nhẹ C và treo vào trục của nó một vật nặng D. Hai nhánh dây treo puli song song với nhau. Khối lượng của khối trụ là m1, của vật nặng D là m2, bán kính quán tính của khối trụ đối với trục quay của nó là ρ. Dưới tác dụng của trọng lực tải trọng D rơi xuống. Bỏ qua ma sát, xác định vận tốc rơi của vật nặng D theo quãng đường rơi của nó. 2 2 mR21()+ R 2 Trả lời: V = Vg0 + 2 2 S 4()mmRR1212ρ +− 125. Tải trọng trọng lượng P treo trên sợi dây không dãn đồng chất dài l cuốn vào trống hình trụ bán kính R có trục nằm ngang và mômen quán tính đối với trục quay bằng J. Trọng lượng một đơn vị dài dây bằng q. Xác định vận tốc tải trọng khi đầu tự do của nó dài x, nếu tại thời điểm ban đầu vận tốc tải trọng V0 = 0 và đầu dây tự do dài x0. Ma sát, độ dày dây và biến thiên thế năng của dây bỏ qua. gPqxx[2++ ( )]( xx − ) Trả lời: V = R 00 Jg++() P ql R2 126. Một dây đồng chất dài L có một phần nằm trên mặt bàn nhẵn, một phần buông tự do. Xác định thời gian T để dây rời khỏi mặt bàn, biết rằng tại thời điểm ban đầu chiều dài phần dây thả buông là l và vận tốc ban đầu bằng không. L ⎛⎞LLl+−22 Trả lời: T = ln ⎜⎟ ⎜⎟ g ⎝⎠l 162
  40. L-l R O C B XO R O X l A P Hình 125 Hình 126 Hình 127 127. Vật nặng A có khối lượng m1 được treo vào đầu một sợi dây cáp đồng chất không dãn dài L và có khối lượng m. Dây cáp được vắt qua ròng rọc nhẹ có trục cố định B, rồi buộc vào trục quay của con lăn C. Con lăn là khối trụ đồng chất có bán kính R và khối lượng m2. Dưới tác dụng của trọng lực vật nặng A rơi xuống và kéo theo con lăn chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát lăn là k. Cho rằng đoạn dây cáp nằm ngang không bị võng xuống và một nửa trọng luợng của nó đè lên trục con lăn. Ban đầu hệ đứng yên và đoạn dây treo dài l. Bỏ qua ma sát các ổ trục. Tính vận tốc rơi của A là hàm theo quãng đường rơi của nó. 2(A + BS ) S Trả lời: V = M 3m Trong đó: M = m + m1 + 2 2 kRlRkLl2(+ )−− ( ) A = P1 - P + RR2 2 L 2Rk+ B = Q . Q - Trọng lượng đoạn dây treo 4Rl 128. Hai chất điểm tự do khối lượng m1, m2 hút nhau bởi lực tỷ lệ với khối lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng với hệ số tỷ lệ là k. Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên và khoảng cách giữa chúng bằng a. Tìm vận tốc giữa các điểm đó tại thời điểm khi khoảng cách giữa chúng giảm đi một nửa. 2k 2k Trả lời: Vm12= ; Vm21= am()12+ m am()12+ m 129. Một tấm nặng khối lượng m được đặt nằm ngang trên hai con lăn. Mỗi con lăn là r một khối trụ đồng chất bán kính R, khối lượng m1. Tác dụng vào tấm lực F nằm ngang có cường độ không đổi. Hệ số ma sát lăn giữa các con lăn với nền ngang là k. Các con lăn lăn không trượt trên nền và tấm cũng không trượt trên chúng. Tìm gia tốc 163
  41. r r (W ) của tấm và lực ma sát trượt tổng cộng (∑ Fms ) do mặt nền tác dụng lên các con lăn. k F −+(2)mmg1 Trả lời: W = 4 R 43mm+ 1 32mm++11 mmk Fms=− F (2)m + m1 g 43mm++11 43 mmR F Hình 129 Hình 130 130. Một chiếc xe tăng được khởi động nhờ một động cơ làm quay 4 bánh xe ( mỗi bên 2 bánh ) kéo theo xích chuyển động. Sau 8 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động xe đạt được tốc độ 36km/h. Hãy xác định công suất trung bình của động cơ nếu trọng lượng hòm xe P1 = 50000N; trọng lượng mỗi bánh xe P2 = 2000N ; trọng lượng mỗi xích P3 = 5000N; bánh xe coi như đĩa tròn đồng chất. 2 ⎛⎞PV1 Trả lời: N = ⎜⎟++3PP23 2 = 51250 KW ⎝⎠2 gt 164
  42. HỌC PHẦN IV: MỘT VÀI NGUYÊN LÝ CƠ HỌC CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN ẢO (DI CHUYỂN CÓ THỂ ) 131. Thí dụ Trong cơ cấu culít tay quay OC = R quay xung quanh trục nằm ngang O. Con chạy A chuyển động dọc theo tay quay truyền chuyển động cho thanh AB chuyển r động dọc theo rãnh thẳng đứng K với OK = l. Xác định lực Q đặt vuông góc với tay r quay sao cho cân bằng với lực P đặt dọc theo AB và hướng lên trên. Bài giải C P Q A A R l C l ϕ M B K ϕ O O B l P Hinh 131 Hinh 132 - Khảo sát cơ hệ gồm: Tay quay OC, con chạy A và cần đẩy AB. - Cơ hệ có 1 bậc tự do. - Chọn toạ độ suy rộng độc lập là góc quay ϕ của tay quay OA. r r - Các lực hoạt động đặt lên cơ hệ: P,Q - Cho hệ một di chuyển ảo δϕ ≠ 0 r r Theo nguyên lý di chuyển ảo: δδAAPAQ= ()+= δ () 0 r δδAPy=−.() 0AZ mQ0 δϕδ =− PyA QR δϕ = l TaDcó: yltg=⇒=. ϕ δδϕ y AAcos2 α ⎛⎞Pl. Do đó: δδAQ=−=⎜⎟2 Rϕ0 ⎝⎠cos α Pl. Vì δϕ ≠ 0 do đó: − QR = 0 cos2 α Pl Vậy: Q = Rcos2 ϕ 165
  43. r 132. Trên con chạy A của cơ cấu máy vẽ Elíp đặt lực P hướng dọc theo đường dẫn của con chạy về trục O của tay quay OC. Phải đặt lên tay quay một mômen không đổi r M bằng bao nhiêu để cơ cấu cân bằng tại vị trí tay quay OC lập với đường dẫn con chạy B một góc ϕ ? Cơ cấu đặt trong mặt phẳng nằm ngang. Biết OC = AC = BC = l Trả lời: M = 2Plcosϕ 133. Trên tay quay OA của cơ cấu culít trong máy bào ngang tác dụng một ngẫu lực r r có mômen M . Culít BC chịu tác dụng lực F nằm ngang tại B. Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc ϕ. Bỏ qua ma sát và trọng lượng bản thân các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu ở vị trí đó. Biết rằng: OA = a; BC = l, khoảng cách OC = d. l Trả lời: MaF−−cosαϕα cos( )= 0 l1 Trong đó CA = l1; α là góc nghiêng của CB so với phương thẳng đứng được tính theo a và d. r 134. Trên tay quay O1A của cơ cấu bốn bản lề đặt mômen quay M1 . Xác định r mômen quay M 2 đặt lên tay quay O2B để cơ cấu cân bằng tại vị trí góc 0 0 ∠(A0102)=90 ; góc ∠(B0201 )= 120 . Biết O1A = 6cm; O1O2 = 3 cm; O2B=7 3 cm. Trả lời: M2 = 7/6 M1 F B ϕ M A a A O d l α M2 l1 M1 O1 O C 2 Hình 133 Hình 134 r 135. Trên pít tông tác dụng lực F . Xác định M đặt lên tay quay dài r phụ thuộc vào ϕ và ψ để hệ cân bằng. Trọng lượng của các phần bỏ qua. sin(ϕ +ψ ) Trả lời: MFr= cosψ 166
  44. r 136. Tại đỉnh A1 và A2 của cơ cấu bốn bản lề O1A1A2O2 đặt các lực tương ứng F1 và r F2 vuông góc với các thanh O1A1 và O2A2. Cơ cấu ở cân bằng. Tìm sự phụ thuộc giữa mômen các lực đó và khoảng cách O1B1 và O2B2 từ trục lấy mômen O1, O2 tới thanh A1A2. OA. F OB Trả lời: 11 1= 11 OA22. F 2 OB 22 F B B 1 A 1 ψ A 2 A ϕ F1 B2 O M1 F O1 2 O 2 Hình 135 Hình 136 137. Thanh đồng chất AOB trọng lượng P có dạng một góc vuông OA = l1 ; OB = l2. Thanh được giữ bởi bản lề O và tựa trên thanh đồng chất trọng lượng Q nằm ngang. Thanh CD được gắn bản lề tại C và được treo bằng lò xo tại D. Bỏ qua ma sát, xác 1 định lực kéo của lò xo, biết: CB= CD ; α=450. 3 QPll()− Trả lời: F = + 21 26l2 138. Hai thanh AB và BC đồng chất cùng độ dài và trọng lượng P. Thanh AB được gắn bản lề cố định tại A và tại trung điểm của nó treo tải trọng M trọng lượng Q. Thanh BC nối với AB bằng bản lề tại B và tựa trên nền ngang nhẵn. Tại đầu C tác r r dụng lực ngang F . Xác định lực F để hệ cân bằng tại vị trí: ∠(0AB) = ∠(0CB) = 600. 3 Trả lời: F =+(2)QP 4 O l1 O α l 60 B A 2 M O O 60 C F C B D 167
  45. Hình 137 Hình 138 139. Trong máy ép có dạng như hình vẽ. Trên tay quay A tác dụng một mômen M truyền chuyển động cho các con chạy B và C nhờ các đường đinh ốc có bước là h. Xác định lực nén S khi thanh BD và OD lập với phương thẳng đứng các góc ψ và ϕ. Trọng lượng của máy và ma sát bỏ qua. π M sin(ϕψ+ ) Trả lời: S= hcosϕ sinψ C B M A ψ A K D r ϕ B M O 3 M1 M2 . Hình 139 Hình 140 140. Hệ gồm hai ròng rọc trọng lượng không đáng kể: A cố định còn B động và ba tải trọng M1, M2, M3 được treo nhờ các dây mềm nhẹ không dãn như hình vẽ. Xác định hệ thức giữa các trọng luợng của các tải trọng khi hệ cân bằng. Bỏ qua ma sát. Trả lời: P3 = 2P2 = 2P1 r O 3 O 1 O1 P2 O2 P1 O2 P2 P1 M A α P β Hình 141 Hình 142 141. Cơ hệ có dạng như hình vẽ. Xác định mômen M của mô tơ A bán kính R để cân bằng với tải trọng P1, P2. Tìm sự phụ thuộc giữa các tải trọng P1, P2. Bỏ qua ma sát, trọnglượng các ròng rọc và dây. Trả lời: M = P2R ; P1 = 4P2. 142. Tìm trọng lượng P1, P2 của hai tải trọng được giữ cân bằng trên hai mặt phẳng nghiêng α và β nhờ trọng lượng P. Hai đầu của sợi dây buộc P1, P2 cùng được vắt qua 168
  46. ròng rọc cố định O1 và mang ròng rọc động O2. Bỏ qua ma sát và trọng lượng các ròng rọc và dây. P P Trả lời: P1 = ; P2 = 2sinα 2sinβ O D 2l1 ϕ1 2 3 A 2l2 A 1 C 4 B B P3 ϕ 2 P Hình 143 Hình 144 143. Hai thanh đồng chất OA và AB nối với nhau bằng bản lề A; đầu O là bản lề cố r định; đầu B tác dụng lực ngang P3 . Biết OA = 2l1 ; AB = 2l2. Trọng lượng OA là P1, trọng lượng AB là P2. Tìm góc lệch ϕ1 , ϕ2 của OA và AB so với phương thẳng đứng khi cơ hệ ở cân bằng. 2P3 2P3 Trả lời: tgϕ1 = ; tgϕ2 = PP12+ 2 P2 144. Áp dụng nguyên lý di chuyển ảo ( hay có thể) để tìm nội lực trong thanh số 3 của dàn như hình vẽ. Biết AD = BD = 8m; CD = 4m ; P = 3KN. Trả lời: S3 = 3KN. 20KN 60KN 30KN P A D B C A B C a a a a 2a 2a 2a 2a 2a Hình 145 Hình 146 145. Một dầm ghép AD và CD nằm trên ba gối tựa. Trên dầm tác dụng các lực thẳng đứng có trị số 20KN; 60KN; 30KN. Kích thước cho trên hình vẽ. Xác định phản lực các gối tựa A, B, C. Trả lời: RA = 10KN ; RB = 105KN ; RC = -5KN. 146. Cho hệ dầm chịu lực như hình vẽ. Tìm phản lực ở gối tựa C và ngàm A. Các kích thước như trên hình vẽ. Bỏ qua ma sát. 169
  47. P P Trả lời: R = ; XA = 0 ; YQ= + ; MA = a(P+Q). C 2 A 2 Trong đó: Q = 2qa 170
  48. CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE 147. Thí dụ Một vật trọng lượng P chuyển động thẳng theo y F r mặt phẳng ngang với gia tốc W dưới tác dụng của lực α r F tạo với phương ngang một góc α. Xác định giá trị Fqt N w r Fms x của lực F nếu hệ số ma sát giữa vật và mặt là f. P Bài giải rrrr r Hệ lực cân bằng: ( PFNF,,,qt , F ms ) 0 Hình 147 rrP Trong đó: F =− W qt g Phương trình cân bằng : ∑ XFKm= .cosα −−= FFsqt0 (1) ∑YNPFK = −+sinα = 0 (2) Từ (2) ta có N = P - Fsinα Suy ra: Fms = f.N = f.(P - Fsinα) P Từ (1) ta có: FfPFWcosαα− (−−= sin ) 0 g ⎛⎞W ⇒+=+FfPf(cosαα sin ) ⎜⎟ ⎝⎠g fg+ W Vậy: F = P gf(cosαα+ sin ) 148. Một con tầu chuyển động thẳng, trên nóc của nó treo một vật. Tại một thời điểm nào đó dây treo vật lệch với phương thẳng đứng một góc α không đổi. Xác định gia tốc của tầu lúc đó. Trả lời: W = gtgα α α h 149. Một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2α quay xung quanh ω trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω. Trong nón có một quả cầu trọng lượng P ở vị trí cân bằng tương đối không ma sát trên nón. Xác định độ cao h của quả cầu so với mặt ngang và phản Hình 149 lực của mặt nón lên quả cầu. 171
  49. g P Trả lời: h = cot g 2α ; N= ω 2 sinα 150. Một Elipsoit tròn xoay có các bán trục là a và b quay xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω. Trong nó có một quả cầu M trọng lượng P ở vị trí cân bằng tương đối. Xác định chiều cao h của quả cầu. ag2 Trả lời: h = a − b22ω 151. Quả cầu M trọng lượng P buộc vào sợi dây AM với A cố định. Quả cầu vạch nên vòng tròn nằm ngang với vận tốc không đổi. Biết AM = l và dây lập với phương thẳng đứng góc α. Xác định sức căng T của dây, vận tốc V và thời gian t khi nó vạch được một vòng. P gl l cosα Trả lời: T = ; V = sinα ; t = 2π cosα cosα g 152. Một con lắc toán học dài l trọng lượng P lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0 r 90 . Tại vị trí M0 nó nhận được vận tốc V0 có phương thẳng đứng. Xác định sức căng T của dây phụ thuộc góc α. V 2 Trả lời: T = P(3sinα + 0 ) gl A b O MO α VO a ϕ ω h O M M Hình 150 Hình 151 Hình 152 r 153. Một vật nặng treo vào dây dài l. Hỏi cần một vận tốc ban đầu V0 nhỏ nhất bằng bao nhiêu để nó có thể vẽ nên được toàn bộ vòng tròn thẳng đứng. Bỏ qua sức cản của không khí. Trả lời: Vgl0min = 5 r 154. Một viên đá M có vận tốc ban đầu V0 nằm ở đỉnh một bán cầu tuyệt đối nhẵn bán r kính R. Ở vị trí nào thì viên đá rời khỏi mặt cầu. Với trị số V0 bằng bao nhiêu thì viên đá rời khỏi mặt cầu ngay ở vị trí ban đầu. 172
  50. 2 ⎛⎞2 V0 Trả lời: ϕ =+arccos⎜⎟ ; VgR0 ≥ ⎝⎠33gR M C A VO A O a M O α R h ϕ VO O B MO Hình 153 Hình 154 Hình 155 155. Trên đường ray ABCB người ta thả một xe goòng nhỏ từ A với vận tốc đầu bằng không. Trọng lượng của xe bằng P, bán kính vòng cuốn bằng a. Tìm áp lực pháp tuyến của xe trên đoạn ray cuốn tròn. Xác định độ cao h của A so với phương ngang sao cho xe goòng chạy trên ray hết vòng cuốn. Bỏ qua ma sát. 2h Trả lời: N = P( −+23cosϕ ) ; ha≥ 2,5 . a 156. Chất điểm có khối lượng 9,81 Kg chuyển động trong rãnh tròn nhẵn có bán kính a = 50cm đặt trong mặt phẳng thẳng đứng. Ban đầu chất điểm ở M0 với góc 0 ∠(C0M0)=60 và có vận tốc V0 = 350cm/s. 1) Tìm vị trí M1 tại đó chất điểm rời vành tròn để chuyển động tự do. Xác định vận r tốc V1 của chất điểm tại thời điểm đó. 2) Tìm vị trí mà chất điểm rơi trở lại vào vành tròn. Trả lời: 1) M1D = 25cm ; V1 = 157cm/s. 2) Điểm thấp nhất C của vành tròn. 157. Một vật thể trọng lượng Q đặt trên mặt phẳng nằm ngang được buộc vào sợi dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc không ma sát và buộc vào tải trọng trọng lượng r r P. Tìm gia tốc W khi hệ chuyển động và sức căng T của dây, nếu hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là f. PfQ− PQ(1+ f ) Trả lời: Wg= ; T = PQ+ PQ+ V1 M1 r O Q R a D O o 60 MO Q P C VO P Hình 156 Hình 157 Hình 158 173
  51. 158. Tìm gia tốc ε của ròng rọc hai tầng khối lượng không đáng kể và xác định sức căng của mỗi nhánh dây, phản lực của trục ròng rọc. Biết rằng trọng lượng các tải trọng là P và Q, bán kính vòng ngoài và trong của ròng rọc tương ứng là R và r. 2 PR− Qr (Rr) Trả lời: ε = g ; NPQ= PR22+ Qr 0 PR22+ Qr rR()+ r RR()+ r TPQ= ; TPQ= 1 PR22+ Qr 2 PR22+ Qr 159. Một chèn có mặt sườn nghiêng góc α so với phương ngang. Chèn phải chuyển động theo mặt ngang với gia tốc bằng bao nhiêu để cho một tải trọng nằm trên mặt sườn của chèn không dịch chuyển đối với chèn. Trả lời: W = gtgα C ω Q P α A α β B α β Hình 159 Hình 160 Hình 161 160. Một chèn tam giác có góc nghiêng α và β so với phương ngang. Trên chèn đặt một dây xích đồng chất sao cho trung điểm của dây trùng với đỉnh của chèn. Chèn phải chuyển động với gia tốc như thế nào để dây xích không dịch chuyển đối với chèn. α − β Trả lời: Wgtg= 2 161. Hai tải trọng A và B trọng lượng tương ứng P và Q được nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua ròng rọc trọng lượng không đáng kể và có thể trượt trên hai mặt r nghiêng của chèn với hệ số ma sát đều bằng f. Tìm gia tốc W của tải trọng khi chúng chuyển động, biết góc nghiêng α, β và α > β. Pf(sinα −−+ cosαββ ) Qf (sin cos ) Trả lời: Wg= PQ+ 162. Chèn A trọng lượng P có góc nhọn α tựa trên tường nhẵn thẳng đứng và một mặt nhẵn của chèn B có trọng lượng Q. Chèn B có thể trượt trên nền nhẵn nằm ngang. r r r Tìm gia tốc W , W1 của các chèn và phản lực N giữa các chèn. P Trả lời: Wg= ; PQtg+ 2α 174
  52. Ptgα Wg= ; 1 PQtg+ 2α PQsinα N = PQcos22α + sin α A A P1 α α P2 α B B α Hình 162 Hình 163 Hình 164 163. Một cái chèn nhẵn trọng lượng P có góc ở đỉnh là 2α phân chia hai tấm mỗi tấm có trọng lượng P1 nằm yên trên bàn ngang nhẵn. Viết phương trình chuyển động của chèn và tấm. Tìm áp lực của chèn lên mỗi tấm. t 2 Trả lời: Chèn: S = W ; 2 Pgcot α Wg= Pgcotα + 2 Ptg1 α t 2 P Tấm: SW11= ; Wg1 = 2 Pgcotα + 2 Ptg1 α PP N = 1 (cotPgα + 2 Ptg1 αα )cos 164. Một chèn vuông có góc nhọn α trọng lượng P đặt trên mặt ngang nhẵn. Trên chèn đặt vật trọng lượng Q có thể trượt không ma sát theo mặt nghiêng của nó. Xác định chuyển động của hệ, áp lực lên mặt ngang và áp lực của vật lên chèn. Ban đầu hệ đứng yên. Trả lời: Chuyển động của chèn: t 2 Qsin 2α SW= ; Wg= 2 2(PQ+ sin2 α ) Chuyển động của vật trên chèn: t 2 ()sinPQ+ α SW= ; Wg= 112 1 PQ+ sin2 α PP()+ Q Áp lực lên mặt ngang: N = PQ+ sin2 α 175
  53. PQcosα Áp lực của vật lên chèn: N = 1 PQ+ sin2 α 165. Tải trọng A có trọng lượng P1 hạ xuống dưới đã làm cho tải trọng B có trọng lượng P2 chuyển động nhờ nối với nó bằng sơị dây mềm nhẹ không dãn và vắt qua ròng rọc cố định C. Hãy xác định áp lực của bàn D lên sàn, biết rằng trọng lượng của bàn bằng P3. 2 P1 Trả lời: N = PPP123++− PP12+ C B D A O C B D B D A α A E α Hình 165 Hình 166 Hình 167 166. Tải trọng A có trọng lượng P1 hạ xuống dưới theo mặt phẳng nghiêng của chèn D hợp với phương nằm ngang góc α đã làm cho tải trọng B có trọng lượng P2 chuyển động nhờ nối với nó bằng sợi dây mềm không dãn không trọng lượng và vắt qua ròng rọc cố định C. Hãy xác định thành phần áp lực nằm ngang của chèn D lên gối đỡ E. PP12sinα − Trả lời: NP= 1 cosα PP12+ 167. Hai tải trọng A và B nối với nhau bằng một sợi dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc D. Khi A trọng lượng P1 hạ xuống dưới, ròng rọc D trọng lượng P3 coi như đĩa đồng chất quay xung quanh trục cố định của nó còn B trọng lượng P2 được nâng lên theo mặt nghiêng góc α so với phương ngang. Xác định gia tốc các tải trọng A, B và phản lực hai nhánh dây. Biết hệ số ma sát trượt giữa B và mặt nghiêng là f. PP−+(sinα f cosα ) Trả lời: Wg= 2 12 22PPP123++ 2(1sincos)PP12 ++α f α T1 = 22PPP123++ 2(1sincos)[PP12 ++α fααα −− P3 P 1 P 2 (sincos)] + f T2 = 22PPP123++ 176
  54. O O B ϕ O α α ϕ b A B a ω A A ω ω M B C Hình 168 Hình 169 Hình 170 168. Một thanh mỏng đồng chất 0B = l trọng lượng P quay xung quanh bản lề cầu O với vận tốc góc không đổi ω vạch nên một mặt nón với trục OA, đỉnh O. Tính góc lệch ϕ của thanh so với phương thẳng đứng và áp lực của thanh lên bản lề cầu O. 3g Trả lời: ϕ = arccos ; 2lω 2 Plω 227 g N =+1 0 gl4 22ω 169. Thanh AB mỏng đồng chất nối bản lề với trục quay thẳng đứng tại O. Trục quay quay với vận tốc góc không đổi ω. Xác định góc lệch giữa trục quay và thanh, biết OA = a; OB = b. 3gab− Trả lời: cosϕ = 2ω 22aabb−+ 2 170. Hai thanh đồng chất OA, OB có cùng độ dài 2a trọng lượng P cùng gắn vào thanh OC thẳng đứng nhờ bản lề O và có thể quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh O. Một sợi dây có độ dài mỗi nhánh là 2a nối các đầu A, B của các thanh với con chạy M trọng lượng Q trượt tự do trên trục OC. Tìm góc nghiêng ϕ của các thanh với phương thẳng đứng và sức căng T của dây, nếu vận tốc góc của hệ quay quanh trục OC không đổi và bằng ω. 32gQ⎛⎞ Trả lời: cosϕ =+2 ⎜⎟ 1 4aPω ⎝⎠ 2aPQω 2 T = 3(gP+ 2) Q 177
  55. CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE – LAGRĂNG (PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC) PHƯƠNG TRÌNH LAGRĂNG LOẠI II I. Phương trình tổng quát của động lực học (Phương trình Đalămbe- Lagrăng) 171. Thí dụ Tại đĩa C ở dưới tác dụng một mômen quay M. Xác định M qt D D gia tốc của tải trọng A trọng lượng P1 được kéo lên trên, nếu R O trọng lượng của đối trọng B là P2. Các đĩa C và D đồng chất F 1 cùng bán kính R, trọng lượng Q. Bỏ qua khối lượng của dây. qt Bài giải FB ⎯ Xét cơ hệ gồm: đĩa C, D, tải trọng A, B và dây B A ⎯ Hệ có 1 bậc tự do P2 qt ⎯ Chọn tọa độ suy rộng độc lập là x - Độ dịch chuyển của FA tải trọng A. P1 O2 r r r r uur E R ⎯ Lực hoạt động đặt lên cơ hệ: QQPPM,,,, CD12 M qt C Mc ⎯ Lực quán tính: r P P Gọi W là gia tốc của tải trọng A: F qt = 1 W ; F qt = 2 W Hình 171 A g B g W WWWWττ===εε. R ⇒ =. Từ đó: FEA R QR2 WQR WQR MJqt ==εε. = ; MJqt ==ε. CCZgg22 DDZ2g ⎯ Áp dụng phương trình Đalămbe- Lagrăng cho hệ 1 di chuyển ảo δx ≠ 0 ta có: rrr rr δδAAQAQAPAPAMAM= ()+++++ δ () δ () δ () δ () δ (qt ) + CD12 C qt rrqt qt +++=δδδAM(DA ) AF () AF ()0 B δ xxxδδ δδδAPxPxM=−++−−−−= Mqt Mqt FxFxqtδδqt 0 12 RRRCDAB MMM qt qt ⇒δδAPP =−++−−−−()C D FFxqt qt =0 12RR R AB 178
  56. MMM qt qt Do δx ≠ 0 suy ra: −++−−−−=PP CDFFqt qt 0 12RR R AB MWQWQP P ⇒−+PP + − − −12WW − =0 12Rg22 ggg M +−()PPR Vậy: Wg= 21 ()PPQR12++ 172. Trục của một tời bán kính r chịu mômen quay không đổi M đặt lên tay quay AB. Xác định gia tốc của tải trọng C trọng lượng P nằm trên nền ngang, nếu hệ số ma sát trượt giữa tải trọng và nền là f. Bỏ qua khối lượng của dây và tời. Mf− Pr Trả lời: W = g Pr 173. Tải trọng A trọng lượng P được hạ xuống dưới theo một mặt phẳng nhẵn nằm nghiêng một góc α so với phương nằm ngang truyền chuyển động cho trống B trọng lượng Q bán kính R nhờ dây mềm nhẹ không dãn luồn qua ròng rọc C. Xác định gia tốc góc của trống coi nó như hình trụ đồng chất. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc. 2sinPg α Trả lời: ε = RPQ(2+ ) M A B C O1 r B A A B C C O α 30 D O2 Hình 172 Hình 173 Hình 174 174. Con lăn A trọng lượng Q lăn xuống dưới theo mặt phẳng nghiêng nhẵn với góc nghiêng α. Buộc vào trục con lăn một dây mềm nhẹ không dãn luồn qua ròng rọc B và lại buộc vào tải trọng C trọng lượng P. Con lăn và ròng rọc coi là hai đĩa đồng chất như nhau. Xác định gia tốc của trục con lăn. QPsinα − Trả lời: W = g PQ+ 2 M R2 R1 175. Hai đĩa bán kính R1 và R2, trọng lượng P1 và P2, được truyền chuyển động qua nhau nhờ dây đai da và quay xung quanh hai trục cố định nằm ngang song song với nhau. Hình 175 179
  57. Tìm gia tốc góc ε1 của đĩa thứ nhất nếu trên đĩa đó tác dụng một mômen quay M. Khối lượng các đĩa coi như phân bố đều trên vành của nó. Bỏ qua ma sát, khối lượng dây đai và giả thiết không có sự trượt giữa dây đai và các đĩa. Mg Trả lời: ε1 = 2 ()PPR121+ 176. Một sợi dây mỏng nhẹ không dãn luồn qua ròng rọc cố định. Hai O đầu của nó được buộc vào hai tải trọng M1, M2 trọng lượng P1, P2 với P2 > P1. Tìm giá trị gia tốc của tải trọng và sức căng của dây. Bỏ qua M2 khối lượng của ròng rọc. M1 PP− 2PP Trả lời: Wg= 21 ; T = 12 Hình 176 PP21+ PP12+ 177. Một chèn A trọng lượng P trượt theo một mặt phẳng nghiêng nhẵn với góc nghiêng α của chèn B trọng lượng Q. Bỏ qua ma sát, xác định gia tốc của chèn B. Psin 2α Trả lời: Wg= 2(QP+ sin2 α ) 178. Trên mặt nhẵn nằm ngang đặt một lăng trụ tam giác ABC trọng lượng P. Lăng trụ có thể trượt không ma sát theo mặt ngang. Trên biên AB của lăng trụ có hình trụ tròn đồng chất trọng lượng Q lăn không trượt xuống dưới. Viết phương trình vi phân chuyển động của lăng trụ. Qsin 2α Trả lời: &&xg−=2 0 3(PQ+− ) 2 Q cos α A A l2 l1 B B A α α ω C B Hình 177 Hình 178 Hình 179 179. Máy điều chỉnh cosin gồm một đòn bẩy là một góc vuông, các mút của chúng được gắn bởi hai tải trọng cùng trọng lượng, độ dài các tay đòn tương ứng là l1 và l2 (l1 ≠ l2). Bỏ qua trọng lượng của đòn và ma sát ổ trục. Xác định vận tốc góc ω của máy sao cho đường thẳng nối hai tâm của hai tải trọng nằm ngang. 180
  58. ll22+ Trả lời: ω 2 = 12g ll12 180. Máy tiết chế li tâm có trục quay đều với vận tốc góc ω. Tìm sự phụ thuộc giữa ω và góc nghiêng α của các thanh với phương thẳng đứng nếu trọng lượng con chạy là P, độ cứng của lò xo là C. Khi α = 0 lò xo không biến dạng. Trọng lượng mỗi quả cầu là Q, độ dài các thanh bằng l; Trục mang các thanh cách trục quay một khoảng bằng a. Bỏ qua trọng lượng các thanh và lò xo. PQ++2(1cos) Cl − α Trả lời: ω 2 = gtgα Qa(sin)+ l α a a a a l/2 l/2 l l ϕ ϕ a α l/2 l/2 M α M A B l l l ω l l B C A ω D ω Hình 180 Hình 181 Hình 182 181. Tìm sự phụ thuộc giữa vận tốc góc ω của máy điều chỉnh li tâm với góc ϕ tại vị trí cân bằng tương đối, nếu độ dài các thanh là l, trọng lượng của mỗi quả cầu là P, trọng lượng của con chạy là Q, độ cứng của lò xo là C. Lò xo được gắn chặt tại hai đầu A và B và không dãn khi ϕ = 0. Trục mang các thanh cách trục quay một khoảng bằng a. Cl PQ++ cosϕ Trảllời:ω 2 = 4 gtgϕ Pa(sin)+ l ϕ 182. Trong máy tiết chế li tâm hai tải trọng A và B có cùng trọng lượng P và con chạy C có trọng lượng Q. Bỏ qua trọng lượng các thanh. Xác định độ dịch chuyển của con chạy nếu máy quay đều quanh trục của nó với vận tốc góc ω. Lúc đầu ϕ = 0 ; vận tốc góc ω1 của máy như thế nào thì con chạy không thể dịch chuyển được. Bỏ qua ma sát và kích thước của con chạy. ⎛⎞Pl+ aQ 1 g Trả lời: x =−21ag⎜⎟22 ; ω1 ≥+()Pl aQ ⎝⎠Plω lP 181
  59. A A A B O M1 C B C P1 P2 B M 2 P M 3 Hình 183 Hình 184 Hình 185 183. Hình trụ đồng chất trọng lượng P1 được quấn bằng sợi dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc O và buộc vào vật A trọng lượng P2. Vật A trượt trên mặt phẳng ngang không nhẵn có hệ số ma sát giữa nó với mặt ngang là f. Tìm gia tốc của vật A và gia tốc tâm C của hình trụ. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc O. PfP12− 3 PfP12+ (2− ) Trả lời: WgA = ; WgC = PP12+ 3 PP12+ 3 184. Qua hai ròng rọc cố định A, B luồn sợi dây mềm không dãn khối lượng không đáng kể mang ròng rọc động C có treo tải trọng trọng lượng P = 4 N. Hai mút dây buộc các tải trọng P1 = 2N ; P2 = 3N. Xác định gia tốc mỗi tải trọng; bỏ qua ma sát khối lượng các ròng rọc. 1 Trả lời: Wg= (lên) ; 11 1 Wg= (lên) ; 1 11 3 Wg= (xuống) 2 11 185. Cho cơ cấu gồm hai ròng rọc. Ròng rọc A cố định, B động và ba tải trọng M1, M2, M3 được treo nhờ các dây không dãn. Khối lượng của các tải trọng tương ứng là m1, m2, m3; với m1 ; mm23+ 8mmm123 Tg1 = mm12()4++ m 3 mm 23 182
  60. II. Phương trình Lagrăng loại II. 186. Thí dụ Hai con chạy A và B có khối lượng bằng nhau là m được nối với nhau bằng một thanh dài l. A chuyển động theo phương thẳng đứng, B chuyển động theo phương nằm ngang. Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ đối với góc ϕ là góc tạo bởi thanh với phương ngang. Bỏ qua ma sát và trọng lượng thanh. Bài giải ⎯ Xét cơ hệ gồm con chạy A, B và thanh AB. ⎯ Hệ có 1 bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng độc lập là A góc ϕ. Phương trình Lagrăng II có dạng: l dT⎛⎞∂∂ T ϕ B ⎜⎟−=Qϕ O dt ⎝⎠∂ϕ& ∂ϕ rr ⎯ Lực hoạt động: PA , PB ⎯ Cho hệ một di chuyển ảo δϕ ≠ 0. Hình 186 rr δ AAPAPQ=+=δδ() () δϕ BAϕ δδAPymgy=−AA. =− δ A Theo hình vẽ ta có: yA= l.sinϕ ⇒ δyA = l.cosϕ.δϕ r δ A() PA =− mgl .cos.ϕδϕ ⇒Qϕ =− mgl.cosϕ Ta có: VylAA==&&.cosϕ .ϕϕ&& ; VxBB==− l.sin .ϕ 1112222222222 1 1 T= T(A) +T(B) = mVAB+= mV ml cosϕ .ϕϕ&&& +ml sin .ϕϕ =ml . 222 2 2 ∂∂∂TdTT22⎛⎞ ===ml ϕϕ&&;;0⎜⎟ml & ∂ϕ&&dt ⎝⎠∂ϕ ∂ϕ Thay vào phương trình Lagrăng II ta có: 2 g mlϕ&& =− mgl cosϕ hay ϕϕ&& + cos= 0 l 183
  61. 187. Thí dụ : r Trong cơ cấu bánh răng, bánh I đặt mômen 1 r2 r3 M1, bánh II đặt mômen cản M2, bánh III đặt mômen cản M3. Xác định gia tốc góc của bánh xe M 1 M 2 M 3 I, coi các bánh là các đĩa đồng chất có bán kính III I II tương ứng r1, r2, r3 và khối lượng m1, m2, m3. Giả thiết không có sự trượt giữa các bánh răng. Hình 187 Bài giải ⎯ Xét cơ hệ gồm bánh xe I, II, III. ⎯ Cơ hệ có 1 bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng độc lập là góc quay ϕ1 của bánh xe I. dT⎛⎞∂∂ T Phương trình Lagrăng loại II: −=Q ⎜⎟ ϕ1 dt ⎝⎠∂ϕ&11 ∂ϕ rrr ⎯ Các lực hoạt động: P123,,,PPM 1 , M 2 , M 3 Cho hệ một di chuyển ảo δϕ1 ≠ 0 ta có: rrr δ AAPAPAPAMAMAMQ=+++δδδδ() () () ( ) + δ ( ) + δ ( ) = δϕ 123 1 2 3ϕ1 1 δ AM=−−11.δϕ M 22 δϕ M 33 δϕ Xét các điểm tiếp xúc giữa các bánh răng ta có: rrr11.ϕ&&&= 22ϕϕ= 33 rr11 Suy ra: δϕδϕδϕδϕ2131==; rr23 ⎛⎞rr rr δδAMMM=−11 −ϕ ⇒ QMMM =−−11 ⎜⎟12 3 1 ϕ1 12 3 ⎝⎠rr23 rr23 T= T(I) + T(II) +T(III) 111 1mr22 1 mr 1mr2 TJ=++=ωωω2222 J J ϕ11 + ϕ 22 2 + ϕ 233 10123ZZZ 20 30&&& 1 2 3 222 222222 1 22 =++rmmm11ϕ& () 1 2 3 4 ∂∂∂Td1122⎛⎞TT =++=++=rmmm11φφ&&();();0 1 2 3⎜⎟ rmmm 11& 1 2 3 ∂φ&&11122dt ⎝⎠∂φ ∂φ Thay vào phương trình Lagrăng II ta có: 184
  62. 1 2 rr11 rmmmMM11ϕ&& () 1++ 2 3 = 1 − 2 − M 3 2 rr23 ⎛⎞rr11 2⎜⎟M123−−MM ⎝⎠rr23 Vậy: εϕ11==&& 2 rm11()++ m 2 m 3 188. Tải trọng M1 trọng lượng P1 được hạ xuống theo mặt phẳng nghiêng cố định với góc nghiêng α ; truyền chuyển động cho tải trọng M2 trọng lượng P2 nhờ sợi dây không dãn có trọng lượng không đáng kể luồn qua ròng rọc A không ma sát trọng lượng P3, bán kính R và buộc vào M2. Xác định gia tốc góc của ròng rọc, coi nó như đĩa đồng chất. 2(PP sinα − ) Trả lời: ε = 12g RP(2123++ 2 P P ) A I M 1 r M2 M 2 II d α M 1 Hình 188 Hình 189 189. Trên cơ cấu như hình vẽ, bánh xe II được truyền chuyển động từ bánh xe I có trục nằm ngang cắt trục của bánh xe II. Trên trục của bánh xe chủ động I đặt mômen quay M1, trên trục của bánh xe bị động II chịu mômen cản M2 , bán kính bánh xe I là r, mômen quán tính của nó đối với trục quay của nó là J1; còn mômen quán tính của bánh xe II đối với trục quay của nó là J2; khoảng cách từ tâm bánh II đến điểm tiếp xúc của nó với bánh I là d. Xác định phương trình chuyển động của bánh II nếu tại thời điểm ban đầu nó đứng yên. 2 RMd()12− Mr t Trả lời: ϕ = 22 Jr21+ Jd 2 190. Trong cơ cấu hành tinh, bánh xe với trục O1 cố định. Trên tay quay O1O3 đặt mômen M. Cơ hệ đặt trong mặt phẳng nằm ngang. Xác định gia tốc góc của tay quay, coi các bánh xe là các đĩa đồng chất có cùng khối lượng m và bán kính R. Bỏ qua khối lượng của tay quay. M Trả lời: ε = 22mR2 185
  63. A a A r O1 O 2 O 3 C l l M a a M B B M α F II III O o O I Hình 190 Hình 191 Hình 192 191. Xác định gia tốc góc của tay quay trong máy vẽ Elíp đặt trong mặt phẳng nằm ngang, nếu tác dụng lên tay quay mômen quay MO. Tay quay và thước vẽ là các thanh đồng chất trọng lượng P và 2P. Cho OC = AC = BC = a. Trọng lượng của mỗi con chạy là Q. Bỏ qua ma sát. Mg Trảlời: ε = 0 aP2 (3+ 4 Q ) 192. Cơ cấu then truyền tay quay đặt trong mặt phẳng nằm ngang gồm tay quay và then truyền là các thanh đồng chất khối lượng m, dài l. Trên con chạy B tác dụng lực r F có chiều như hình vẽ, còn trên tay quay chịu mômen cản M. Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ đối với góc quay của tay quay. Bỏ qua khối lượng của con chạy. 2 22 2 2 Trả lời: (1+ 3sinϕϕ )ml&& +−+= ml sin 2 ϕϕ .& 2Fl sin ϕ M 0 3 A 193. Thanh OA đồng chất dài l bắt bản lề tại O và tựa trên con trượt chữ nhật có thể trượt theo phương nằm ngang. Viết l phương trình vi phân chuyển động của hệ đối với góc ϕ , h nếu trọng lượng thanh là P, của con trượt là Q; chiều cao O của con trượt bằng h. Bỏ qua ma sát. Hình 193 22 2 2 2 4 Trả lời: 2(Pl sinϕϕ+− 3 Qh )&& 12 Qh cot g ϕϕϕϕ .& + 3 Pl cos sin = 0 194. Lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc coi r như một chất điểm có khối lượng m được treo bởi dây mềm O θ nhẹ không dãn quấn quanh hình trụ cố định bán kính r. Độ dài của phần dây tự do ở vị trí cân bằng của con lắc là lo. Trả lời: Lo M Nếu θ là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng thì: ()lr+++θθ&& r θ & 2 g sin0 θ = 195. Xác định gia tốc góc của tay quay OA trong cơ cấu như hình Hình 194 vẽ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Bánh xe II bán kính r, trọng lượng P2 coi như đĩa đồng 186
  64. chất lăn không trượt trong bánh xe I bán kính R cố định. Tay quay OA trọng lượng P coi như thanh đồng chất chịu tác dụng mômen M0. Bỏ qua ma sát. 2(2)()cosMPPRr−+ − ϕ Trả lời: ε = 3g 02 29PP+ 2 196. Một chất điểm N có khối lượng m chuyển động dọc theo thanh AB với vận tốc r tương đối V không đổi. Thanh AB khối lượng M dài 2a có các đầu mút trượt theo vòng tròn nhẵn nằm ngang. Bán kính vòng tròn là R. Xác định chuyển động của thanh. Vt Trả lời: θθ−=0 Carctg 2 22M ⎛⎞ 22a Ra−+⎜⎟ R − m ⎝⎠3 θ0 , C - Các hằng số tuỳ ý r B R M o A ϕ II ω O A R O N O θ M I θ B A Hình 195 Hình 196 Hình 197 197. Một chất điểm khối lượng m chuyển động theo vòng tròn bán kính a. Vòng tròn này quay xung quanh trục qua đường kính AB với vận tốc góc không đổi ω. Lập phương trình vi phân chuyển động cuả điểm và xác định mômen M cần thiết để giữ cho vận tốc góc không đổi. ⎛⎞g 2 Trả lời: θωθθ&& +−⎜⎟cos sin = 0 ⎝⎠a Mma= 2sincos2ωθθ& θ y m 2 l 2 r ω A O A ω M ϕ l 1 ψ x r O θ B m 1 O Hình 198 Hình 199 Hình 200 187
  65. 198. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R nối bản lề với một thanh mà hai đầu của nó mang các tải trọng có khối lượng m1, m2 với các khoảng cách tới bản lề là l1, l2. Đĩa quay xung quanh trục thẳng đứng (Oz) vuông góc với mặt phẳng của nó với vận tốc góc ω. Lập phương trình vi phân chuyển động của thanh và xác định vị trí cân bằng tương đối của nó. Trục quay của thanh song song với trục quay của đĩa. 22 2 Trả lời: (ml11+− ml 2 2)ψω&& R( ml 11 − ml 2 2)cos(ψω −= t ) 0 Nếu m1l1 = m2l2 thì thanh không cân bằng. Nếu m1l1 ≠ m2l2 thì thanh có hai vị trí cân bằng; π khi đó thì ψ =+ωt tức thanh hướng dọc bán kính. 2 199. Hai mút của thanh nặng đồng chất AB dài 2a trượt theo các cạnh nhẵn của một khung quay với vận tốc góc không đổi ω quanh trục thẳng đứng. Lập phương trình vi phân chuyển động của thanh và xác định vị trí cân bằng tương đối của nó. Trả lời: 1) 42sin23sin0aaθω&& −−=2 θ g θ θ là góc giữa thanh với phương thẳngđứng. 2) Ở vị trí cân bằng θ = 0 (cân bằng không ổn định) 200. Xác định gia tốc góc của tay quay OA = l mang ở đầu A một đĩa bán kính r và quay quanh tâm một đĩa cố định cùng bán kính nhờ mômen M. Đĩa động và đĩa cố định nối với nhau bằng đai truyền sao cho khi hệ chuyển động dây đai không trượt theo vành đĩa. Cơ cấu đặt trong mặt phẳng nằm ngang. Tay quay là thanh đồng chất trọng lượng P, các đĩa coi là đồng chất trọng lượng Q. 3Mg Trả lời: ε = lP2 (3)+ Q D II a I O 1 O 2 a M O A B x K α P Hình 201 Hình 202 Hình 203 201. Trong cơ cấu chỉ trên hình vẽ, nhờ tay quay O1O2 bánh xe II lăn không trượt theo mặt trong của bánh xe III cố định và làm cho bánh xe I quay xung quanh trục cố định O1. Biết bánh xe I quay nhanh gấp 10 lần tay quay. Coi các bánh xe như các đĩa 188
  66. đồng chất, dầy đều như nhau và làm cùng một loại vật liệu. Tìm qui luật chuyển động của hệ với giả thiết rằng bánh I chịu mômen cản M1 nằm ngang. Bỏ qua khối lượng của tay quay. M −10M Trả lời: ε = 1 1300J J - mômen quán tính của bánh xe I đối với trục quay của nó. 202. Tải trọng A có trọng lượng nP được hạ xuống nhờ sợi dây không dãn trọng lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc động D bán kính r. Dây lại cuộn vào trống cuốn B làm bánh xe K lăn không trượt trên đường ray. Trống cuốn B bán kính r gắn chặt vào bánh xe K có bán kính R và trọng lượng của chúng là Q; bán kính quán tính đối với trục nằm ngang đi qua tâm C là ρ. Xác định gia tốc của tải trọng A, gia tốc của bánh xe K và gia tốc của tâm C. gR()[()sin]++− r nPR r QR α Trả lời: W = A [(nP R++ r )222 Q ( R +ρ )] gnPR[(+ r )− QR sin]α ε = K [(nP R++ r )222 Q ( R +ρ )] Rg[( nP R+ r )− QR sin]α W = C [(nP R++ r )222 Q ( R +ρ )] 203. Tìm qui luật chuyển động của tải trọng trọng lượng P treo trên một sợi dây đồng chất trọng lượng P1 dài l. Dây cuốn vào cái trống bán kính a trọng lượng P2 có trục quay nằm ngang. Bỏ qua ma sát, coi khối lượng của trống phân bố đều trên vành trống. Tại thời điểm ban đầu hệ đứng yên và độ dài phần dây treo là l0. PP⎛⎞ Pg1 Trả lời: xlllch=− +⎜⎟0 + t PPPPPl11⎝⎠()++ 12 204. Lập phương trình chuyển động của con lắc Enlíptíc gồm con trượt khối lượng m1 trượt có ma sát trên nền ngang và một quả cầu có khối lượng m2 nối với con trượt bởi thanh AB = l bắt bản lề tại A. Hệ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Bỏ qua khối lượng của thanh. Hệ số ma sát giữa con trượt và nền ngang là f. Trả lời: d 2 []()mmyml12++&& 2ϕ&& cos[()cos.sin.] ϕ =−++ fmmgml 12 2ϕϕ + ml 2 ϕϕ&& signy dt lygϕ&& ++=cosϕϕ .&& sin 0 ⎧ 10khi y& > Ở đây: signy& = ⎨ ⎩−<10khi y& 189
  67. x y A y O A X A O R ϕ ϕ F x x B B Hình 204 Hình 205 Hình 206 205. Lập phương trình chuyển động và tìm qui luật dao động nhỏ của hệ (khi ϕ khá bé) như hình vẽ. Con lăn là hình trụ đồng chất bán kính R trọng lượng P lăn không trượt trên mặt ngang. Thanh AB = l đồng chất trọng lượng Q nối bản lề tại A. Hệ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. ⎧ d [](3PQxQl++ 2 )& ϕϕ& cos = 0 ⎪ dt Trả lời: 1) ⎨ d ⎛⎞2 ⎪ ⎜⎟xlxg&&cosϕ +−ϕϕϕ&& sin =− sin ϕ ⎩⎪dt ⎝⎠3 ⎧ Q xlkt=−ϕ (1 cos ) ⎪ 0 ⎪ 32PQ+ 2) ⎨ ⎪ 2 3(3PQg+ 2 ) ϕϕ==0 coskt ; k ⎩⎪ 6PQ+ l 206. Trên mặt phẳng ngang nhẵn đặt tấm ván trọng lượng P1 ; trên ván có một ống hình trụ trọng lượng P2. Giả thiết hình trụ lăn không trượt trên tấm ván. Xác định gia r r tốc W1 của tấm ván và W2 của hình r trụ, nếu trên tấm ván tác dụng lực ngang F . 2F F Trả lời: Wg1 = ; Wg2 = 2PP12+ 2PP12+ A 207. Hai hình trụ A và B hoàn toàn giống nhau cùng trọng lượng P1 bán D O1 kính R được cuốn vào sợi dây một đầu buộc tải trọng C trọng lượng P2. Hình trụ A có trục cố định, còn hình trụ B hạ xuống dưới dưới tác dụng của B O2 trọng lực. Xác định gia tốc của tải trọng C và sức căng T của dây CD. C 2(3PP21− ) 7PP12 Trả lời: WgC = ; T = 56PP12+ 56PP12+ Hình207 208. Hãy xác định gia tốc của một chiếc xe tời khi có một trụ tròn lăn không trượt dọc theo sàn của nó còn bản thân xe lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Mặt nghiêng nghiêng góc α so với phương ngang và song song với sàn xe. Đường sinh 190
  68. của hình trụ vuông góc với đường dốc chính của sàn. Khối lượng của xe không kể các bánh bằng M. Khối lượng tổng cộng các bánh xe bằng m, khối lượng của trụ bằng M1. Các bánh xe coi là đĩa đồng chất. 662MmM++ Trả lời: Wg= 1 sinα 692MmM++1 ω x 2 O x1 ϕ A m1 m O 2 l α ψ B Hình 208 Hình 209 Hình 210 209. Xác định chuyển động của hệ gồm hai khối lượng m1 và m2 lồng trên một thanh nằm ngang và nhẵn trục Ox). Các khối lượng được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng C và có thể trượt tịnh tiến dọc theo thanh, khoảng cách giữa trọng tâm các vật lúc lò xo không biến dạng là l. Trạng thái ban đầu của hệ được xác định bằng các trị số sau đây của vận tốc và toạ độ trọng tâm các khối lượng. Lúc t = 0 thì x1 = 0; x& 1 = V0; x2 = l; x& 2 = 0. 1 ⎡⎤mV Trả lời: x =+mV t20sin kt 110⎢⎥ mm12+ ⎣⎦ k 1 ⎡⎤mV x =−+mV t20sin kt l 21⎢⎥0 mm12+ ⎣⎦ k ⎛⎞11 kC=+⎜⎟ ⎝⎠mm12 210. Một đĩa đồng chất có bán kính R và khối lượng M quay đều quanh trục nằm ngang với vận tốc góc ω. Một vật có khối lượng m được treo vào đĩa bằng dây không dãn dài l. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Bỏ qua khối lượng của dây. ω 2 Rg Trả lời: ψ&& −−+=sin(ωψt ) sin ψ 0 ll C y ψ - góc lệch của dây so với phương thẳng đứng. X E 211. Xác định chuyển động của hệ gồm: lăng trụ A khối D O z lượng 3m có thể trượt theo mặt ngang nhẵn; trên mặt A α B nghiêng của nó nghiêng góc α=300 so với phương ngang có hình trụ đồng chất B khối lượng 2m được quấn bằng sợi Hình 211 191
  69. dây không dãn khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc lý tưởng C và buộc vào tải trọng D khối lượng m dịch chuyển theo phương thẳng đứng. Dây CE song song với mặt nghiêng của lăng trụ A. Tại thời điểm đầu hệ đứng yên. Bỏ qua kích thước và khối lượng của ròng rọc C. 3 1 3 Trả lời: x = gt 2 ; y = gt 2 ; zgt= 2 . 16 8 48 LÝ THUYẾT VA CHẠM 212. Thí dụ 2 1 Quả cầu trọng lượng P = 10N đập vào quả C2 C1 cầu P2 = 20N đứng yên, vận tốc của trọng tâm V2 V1 quả cầu 1 trước khi va chạm phải bằng bao nhiêu để sau khi va chạm không đàn hồi vận tốc của chúng đều bằng 6m/s. Hình 212 Bài giải r Chọn trục n đi qua tâm của hai quả cầu theo chiều của V1 chiếu vận tốc khối tâm của quả cầu lên trục trước khi va chạm là: V1n = V1 ; V2n = 0 Chiếu vận tốc chung của hai quả cầu lên trục n ở cuối va chạm không đàn hồi bằng: mV11nn+ mV 2 2 Vn = mm12+ Từ đó ta có: ()mmVmV1+− 2nn 22 () PPVPV 1 +− 2 nn 22 (1020)620.0+ − Vm1n ===18 / s mP1110 213. Thí dụ V1 Quả cầu trọng lượng P1 = 2N rơi độ cao h1 = 1m lên 1 tấm cố định trọng lượng P2 = 20N, nẩy lên ở độ V2 cao h2 = 25cm. Tính lượng tiêu hao động năng khi va chạm. n Bài giải Hình 213 Lượng tiêu hao động năng khi va chạm lên mặt cố định được tính theo công thức: 192
  70. 22mm12 TT12−=−(1 k ) V 1 (a) 2(mm12+ ) Để tính (a) ta phải tìm k là hệ số khôi phục. Hướng trục n vuông góc với mặt phẳng cố định ta có: r Chiếu vận tốc v1 của quả cầu lên trục n tính theo công thức: vvkvV11nn=+() n − n (b) Trong đó chiếu vận tốc chung vr lên n bằng: mV11nn+ mV 2 2 vn = mm12+ mV11n Vì tấm phẳng trước va chạm đứng yên nên V2n = 0. Vậy: vn = mm12+ mkm12− Từ (b) ta suy ra: vV11nn= mm12+ mmm+ v Từ đó: k =−1121n (c) mmV221n Ta thấy rằng quả cầu rơi tự do nên: VV==2 gh 11n 1 vV11n =− =− 2 gh 2 Thay kết quả vào (c ) ta có: PPPh+ k =+1122 =0,65 PPh221 2 PP12. Thay kết quả vào (a) ta có: TT12−=−(1 k ) h 1 = 1, 05 Nm PP12+ 214. Thí dụ Ba quả cầu đàn hồi tuyệt đối khối lượng m1, m2, m3 nằm trên rãnh phẳng và cách nhau. Ta truyền cho quả cầu thứ nhất một vận tốc ban đầu nào đó, để nó va chạm vào quả cầu thứ hai, và do đó quả cầu thứ hai va chạm vào quả cầu thứ ba. Hỏi khối lượng của quả cầu thứ hai m2 phải bằng bao nhiêu để quả cầu thứ ba nhận được vận tốc lớn nhất. Bài giải rr Gọi VV12, là vận tốc của hai quả cầu A và B trước khi va chạm. 193
  71. rr uu12, là vận tốc của hai quả cầu sau khi va chạm. Theo kết quả bài toán va chạm thẳng xuyên tâm của hai quả cầu ta có: 2()mV21 mV 11+ m 2 V 1− V 2 uV11=− = mm12++ mm 12 2(mV11+ V 2 ) ( m 1++ mV 2 ) 2 2( mV 11 − V 2 ) uV22=+ = mm12++ mm 12 2()mV11+ V 2 m 2− m 1 u2 = mm12+ 2mV11 Vì V2 = 0, nên u2 = mm12+ 2()mu22+ V 3 m 3− m 2 Lý luận tương tự ta có: u3 = mm23+ 22.mu22 m22 mV 11 Giả thiết cho V3 = 0, do đó u3 == mm23+++()() mmmm 2312 du3 Điều kiện để quả cầu m3 có vận tốc lớn nhất là: = 0 dm2 ⇒++−++=4(mV111223 m m )()4.( m m m 121123 mV m 2 m m )0 Vậy: m2= mm13 215. Hai quả cầu A và B đồng chất chuyển động ngược chiều nhau. Hỏi tỉ số vận tốc của hai quả cầu trước khi va chạm phải bằng bao nhiêu để sau khi va chạm quả cầu A đứng yên. Hệ số khôi phục là k. Vk1+ Trả lời: A = VkB 1− 216. Xác định tỉ số khối lượng của hai quả cầu đàn hồi trong các trường hợp sau: a) Quả cầu thứ nhất đứng yên, sau khi quả cầu thứ hai va chạm thẳng vào quả cầu thứ nhất thì quả cầu thứ nhất chuyển động và quả cầu thứ hai đứng lại. b) Hai quả cầu va chạm thẳng vào nhau với vận tốc cùng giá trị nhưng ngược chiều, sau đó quả cầu thứ nhất đứng lại. m m Trả lời: a) 2 = k b) 2 =12+ k m1 m1 194
  72. 217. Để xác định bằng thực nghiệm hệ số khôi phục của vật liệu, người ta thả một quả cầu rơi tự do từ độ cao h1= 50cm xuống mặt phẳng ngang. Quả cầu bật lên độ cao h2= 45cm thì lại rơi xuống. Tìm hệ số khôi phục k. Trả lời: k = 0,95 218. Quả cầu đàn hồi rơi thẳng đứng từ độ cao h xuống mặt tấm phẳng ngang rồi lại bật lên và rơi xuống lần nữa. Cứ tiếp tục như thế cho đến khi quả cầu ngừng chuyển động. Hãy xác định quãng đường mà quả cầu đã đi được, cho biết hệ số khôi phục là k. 1+ k 2 Trả lời: S= h 1− k 2 219. Tấm B nặng P được ghép chặt vào một lò xo có độ cứng A C thả một vật A có trọng lượng Q rơi tự do xuống B từ độ cao h h. Giả thiết va chạm hoàn toàn mềm. Tìm đoạn đường co ép S B của lò xo sau khi va chạm ( k = 0 ). QQ Q Trả lời: S= ++2h CC2 CPQ()+ Hình 219 220. Một cái búa hơi có trọng lượng P1 = 117,6 KN đập vào mặt đe với vận tốc V1=5m/s, khối lượng của đe và sắt nén trên đe là P2 = 2450KN. Biết rằng va chạm hoàn toàn mềm. Tìm công A1 tiêu hao vào công tác làm biến dạng khối sắt rèn, công A2 tiêu hao làm nung nóng và tính hiệu suất hữu ích η. Trả lời: A1 = 143080 Nm ; A2 = 6860Nm; η = 0,95. 221. Để làm chặt đất dưới một nền nhà người ta đóng những cột trọng lượng P =500N, búa đóng cột nặng P1 = 4500 N rơi không vận tốc ban đầu với độ cao h = 2m, hệ số khôi phục bằng không. Sau 10 cái va chạm (đóng) cột lún sâu xuống một đoạn δ =5cm. Xác định lực cản trung bình của đất khi đóng cột. Trả lời: F = 162KN. O O A B B L C A B h K C A C D Hình 222 Hình 223 Hình 224 195
  73. 222. Tìm tâm va chạm của 1 tấm chữ nhật đồng chất quay quanh 1 cạnh của nó. Lấy cạnh đó làm trục, chiều cao của tấm bằng h. 2h Trả lời: s = 3 223. Con lắc đập của một máy thử gồm có thanh đồng chất hình trụ B và đĩa tròn đồng chất A. Thanh dài 90cm, có đường kính 2cm. Đĩa có bán kính 10cm dày 5cm. Đĩa và thanh cũng bằng thép. Hỏi phải gắn mấu đập C ở cách trục quay O một đoạn l bằng bao nhiêu để khi máy làm việc không xảy ra va chạm ở ổ trục O? Trả lời: l = 97,5cm. 224. Con lắc thử đạn gồm có khối trụ AB được treo vào trục ngang O. Khối trụ đứng đầy cát. Viên đạn bay xuyên vào cát đẩy khối trụ quay quanh trục O một góc α nào đó. Cho biết M là khối lượng của cả con lắc OD = a là khoảng cách từ đường va chạm đến trục treo, và giả thiết rằng trục O không chịu va đập ( nghĩa là có hệ thức ah = ρ2 ). Tìm vận tốc của viên đạn theo góc lệch cực đại α của con lắc ( bài ra được mô tả như trên hình vẽ ). 2(Mh+ ma ) g α Trả lời: V= sin ma2 O 225. Một thanh đồng chất khối lượng M, dài l gắn chặt đầu trên vào 45o bản lề trụ O rơi không có vận tốc ban đầu từ vị trí hợp với phương thẳng đứng 1 góc 450. Khi rơi đến vị trí thẳng đứng nó va M chạm vào khối vật nặng có khối lượng m, làm cho vật này chuyển l động theo mặt nằm ngang không nhẵn, hệ số ma sát trượt f. Xác định đoạn đường vật nặng đi được, xem như va chạm không đàn hồi. m 3lM2 Trả lời: S= 2(f Mm+ 3)2 Hình 225 226. Một cái sàn xe chở một vật nặng hình hộp chữ nhật AB. Sàn xe chạy trên đường ray với vận tốc V. Trên sàn A có một mấu B để cản không cho khối AB B C V trượt đi về phía trước. Cho chiều cao 2h của vật nặng, bán kính quán tính ρ của nó đối với mép B. Tìm vận tốc góc của khối AB quanh cạnh B khi sàn xe bị hãm dừng tức thời. Cho chiều dài và chiều cao của khối AB là 4m, 3m. Hình 226 Tìm vận tốc V giới hạn ứng với trường hợp khối AB bị lật khi sàn xe dừng tức thời như trên (hình vẽ). 196