Giáo trình Giải tích 2 - Tạ Lê Lợi

94 trang cucquyet12 8110

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Tạ Lê Lợi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_2_ta_le_loi.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Tạ Lê Lợi

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z TAÏ LEÂ LÔÏI GIAÛI TÍCH 2 (Giaùo Trình) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
Höôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình Ñaây laø giaùo trình Giaûi tích 2 daønh cho sinh vieân ngaønh Toaùn hay ngaønh Toaùn Tin. Noäi dung ñeà caäp ñeán moät soá khaùi nieäm cô baûn nhaát veà daõy vaø chuoãi haøm, khoâng gian Rn, tính lieân tuïc, ñaïo haøm vaø tích phaân Riemann cuûa haøm nhieàu bieán thöïc. Ñeå ñoïc ñöôïc giaùo trình naøy sinh vieân caàn coù kieán thöùc caên baûn cuûa Giaûi tích 1 (pheùp tính vi tích phaân haøm thöïc moät bieán thöïc) vaø Ñaïi soá tuyeán tính (e.g. aùnh xaï tuyeán tính, ma traän, ). Giaùo trình ñöôïc trình baøy theo loái tuyeán tính, vaäy ngöôøi ñoïc laàn ñaàu neân ñoïc laàn löôït töøng phaàn theo thöù töï. Ñeå ñoïc moät caùch tích cöïc, sau caùc khaùi nieäm vaø ñònh lyù sinh vieân neân ñoïc kyõ caùc ví duï, laøm moät soá baøi taäp neâu lieàn ñoù. Ngoaøi ra hoïc toaùn phaûi laøm baøi taäp. Moät soá baøi taäp caên baûn nhaát cuûa moãi chöông ñöôïc neâu ôû phaàn cuoái cuûa giaùo trình. Veà nguyeân taéc neân ñoïc moïi phaàn cuûa giaùo trình. Tuy vaäy, coù theå neâu ôû ñaây moät soá ñieåm caàn löu yù ôû töøng chöông: I. Daõy haøm - Chuoãi haøm. Coù theå boû qua tính hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi Fourier (muïc 4.5). II. Khoâng gian Rn. Tieát 5 laø phaàn ñoïc theâm neân coù theå boû qua. III. Haøm lieân tuïc treân Rn. Coù theå khoâng ñoïc muïc 3.4. IV. Ñaïo haøm. Phaàn naøy söû duïng moät soá kieán thöùc veà ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính. V. Tích phaân Riemann. Coù theå boû qua caùc chöùng minh: Tieâu chuaån Darboux (muïc 1.3) vaø Coâng thöùc ñoåi bieán (muïc 3.3) . Ñeå vieäc töï hoïc coù keát quaû toát sinh vieân neân tham khaûo theâm moät soá taøi lieäu khaùc coù noäi dung lieân quan (ñaëc bieät laø phaàn höôùng daãn giaûi caùc baøi taäp). Khoù coù theå neâu heát taøi lieäu neân tham khaûo, ôû ñaây chæ ñeà nghò caùc taøi lieäu sau (baèng tieáng Vieät): [1] Jean-Marier Monier, Giaûi tích 2 , NXB Giaùo duïc. [2] Y.Y. Liasko, A.C. Boâiatruc, IA. G. Gai, G.P. Goâloâvac, Giaûi tích toaùn hoïc - Caùc ví duï vaø caùc baøi toaùn, Taäp II , NXB Ñaïi hoïc vaø trung hoïc chuyeân nghieäp. Ngoaøi ra, sinh vieân neân tìm hieåu vaø söû duïng moät soá phaàn meàm maùy tính hoã trôï cho vieäc hoïc vaø laøm toaùn nhö Maple, Mathematica, Chuùc caùc baïn thaønh coâng!
Giaûi Tích 2 Taï Leâ Lôïi Muïc luïc Chöông I. Daõy haøm - Chuoãi haøm 1. Daõy haøm 1 2. Chuoãi haøm 3 3. Chuoãi luõy thöøa 5 4. Chuoãi löôïng giaùc 9 Chöông II. Khoâng gian Rn 1. Khoâng gian Euclid Rn 19 2. Topo trong Rn 21 3. Taäp compact 22 4. Taäp lieân thoâng 23 5. Toång quaùt hoaù 24 Chöông III. Haøm lieân tuïc treân Rn 1. Giôùi haïn haøm 27 2. Tính lieân tuïc 30 3. Söï hoäi tuï ñeàu 34 4. Ñònh lyù Stone-Weierstrass 36 Chöông IV. Ñaïo haøm 1. Ñaïo haøm 41 2. Caùc qui taéc cô baûn - Ñònh lyù phaàn gia 45 3. Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor 49 4. Ñònh lyù haøm ngöôïc - Ñònh lyù haøm aån 54 Chöông V. Tích phaân Riemann 1. Tích phaân Riemann 59 2. Lôùp haøm khaû tích Riemann 62 3. Caùc coâng thöùc tính tích phaân 65 Baøi taäp. 73
I. Daõy haøm - Chuoãi haøm Chöông naøy ta seõ xeùt ñeán daõy haøm vaø chuoãi haøm. Ngoaøi söï hoäi tuï ñieåm, moät khaùi nieäm quan troïng laø tính hoäi tuï ñeàu, noù baûo toaøn moät soá tính chaát giaûi tích cuûa daõy haøm khi qua giôùi haïn. Ñaëc bieät seõ neâu caùc keát quaû cô baûn nhaát cuûa vieäc khai trieån moät haøm thaønh chuoãi luõy thöøa (khai trieån Taylor) hay chuoãi löôïng giaùc (khai trieån Fourier). 1. DAÕY HAØM 1.1 Ñònh nghóa. Moät daõy haøm treân X laø moät hoï caùc haøm fn : X → R (n ∈ N). Kyù hieäu (fn)n∈N. Vôùi x ∈ X, (fn(x))n∈N laø daõy soá. Taäp D = {x ∈ X : daõy soá (fn(x))n∈N hoäi tuï } goïi laø mieàn hoäi tuï cuûa daõy (fn). Khi ñoù, ta coù → ( ) = lim n( ) xaùc ñònh moät haøm vaø ta noùi ( n) hoäi tuï D x f x n→∞ f x f (ñieåm hay ñôn giaûn) veà haøm f treân D. Ví duï. 1 a) Cho fn(x)=1− |x| (n ∈ N), laø daõy haøm treân R. Daõy naøy hoäi tuï treân R veà haøm n 1 ( ) = lim (1 − | |)=1 ∀ f x n→∞ x , x. nn b) Cho fn(x)=x (n ∈ N), laø daõy haøm treân R. Mieàn hoäi tuï cuûa daõy laø (−1, 1]. Treân mieàn ñoù daõy hoäi tuï veà haøm 0 neáu |x| 0, toàn taïi N, sao cho n ≥ N ⇒|fn(x) − f(x)| <, ∀x ∈ D Noùi moät caùc khaùc: Mn =sup|fn(x) − f(x)|→0, khi n →∞. x∈D Ví duï. Trong caû hai ví duï neâu treân, ta coù Mn =sup|fn(x) − f(x)| =1. Vaäy caùc daõy haøm treân hoäi tuï khoâng ñeàu.
2 Meänh ñeà. Neáu (fn) vaø (gn) hoäi tuï ñeàu veà f vaø g treân D, thì (fn + gn) vaø (cfn) hoäi tuï ñeàu veà f + g vaø cf treân D. 1.3 Tieâu chuaån Cauchy. Daõy haøm (fn) hoäi tuï ñeàu treân D khi vaø chæ khi ∀>0, ∃N : n, m ≥ N ⇒ sup |fn(x) − fm(x)| 0, ∃N : n ≥ N ⇒ sup |fn(x) − f(x)| 0. Do söï hoäi tuï ñeàu, toàn taïi N sao cho: |fN (x) − f(x)| 0, sao cho: |fN (x) −fN (x0)| </3, ∀x, |x −x0| <δ. Vaäy khi |x − x0| <δ, |f(x)−f(x0)|≤|f(x)−fN (x)|+|fN (x)−fN (x0)|+|fN (x0)−f(x0)| </3+/3+/3=
I.2 Chuoãi haøm. 3 Vaäy f lieân tuïc taïi x0, i.e. lim f(x) = lim lim fn(x)=f(x0) = lim lim fn(x) x→x0 x→x0 n→∞ n→∞ x→x0 (2) Gæa söû fn lieân tuïc vaø hoäi tuï ñeàu. Theo (1) haøm giôùi haïn f laø lieân tuïc neân khaû tích treân [a, b]. Hôn nöõa b b fn − f ≤|b − a| sup |fn(x) − f(x)|→0, khi n →∞ a a x∈[a,b] b b b Vaäy lim fn = f = lim fn. n→∞ a a a n→∞ x (3) Ñaët Fn(x)= fn. Theo (2) daõy (Fn) hoäi tuï ñeàu veà haøm F treân [a, b], trong ñoù c x F (x)= lim fn. c n→∞ Ta coù Fn(x)=fn(x) − fn(c). Suy ra fn = Fn + fn(c) hoäi tuï ñeàu treân [a, b] veà = + lim n( ). Hôn nöõa, ta coù f F n→∞ f c x f (x)=F (x)= lim fn = ( lim fn) (x) n→∞ c n→∞ 2. CHUOÃI HAØM 2.1 Ñònh nghóa. Moät chuoãi haøm treân X laø toång hình thöùc ∞ fk = f0 + f1 + ···+ fn + ··· k=0 trong ñoù fk laø haøm xaùc ñònh treân X. Xeùt chuoãi töông ñöông vôùi xeùt daõy haøm toång rieâng thöù n: Sn = f0 + ···+ fn. Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi: D = {x ∈ X : daõy haøm (Sn(x))n∈N hoäi tuï }. ∞ Khi ñoù S(x)= fk(x) xaùc ñònh moät haøm treân D. k=0 ∞ Ta noùi fk laø chuoãi haøm hoäi tuï ñeàu treân D neáuu daõy haøm toång rieâng (Sn)n∈N laø k=0 hoäi tuï ñeàu veà S treân D, i.e. ∞ Mn =sup|Sn(x) − S(x)| =sup| fk(x)|→0, khi n →∞ x∈D x∈D k=n+1 ∞ Ví duï. Xeùt chuoãi haøm xk =1+x + x2 + ···+ xn + ···. k=0 Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi laø D = {x ∈ R : |x| < 1}. 1 Chuoãi laø hoäi tuï ñeàu veà S(x)= treân mieàn Dr = {x : |x|≤r}, vôùi 0 <r<1. 1 − x 1 − xn+1 Thaät vaäy, ta coù Sn(x)= neân 1 − x xn+1 rn+1 sup |Sn(x) − S(x)| =sup ≤ → 0, khi n →∞ |xleqr |x|≤r 1 − x 1 − r
4 Tuy nhieân chuoãi khoâng hoäi tuï ñeàu treân D,vì sup |Sn(x) − S(x)| =+∞ |x|≤1 ∞ 2.2 Tieâu chuaån Cauchy. Chuoãi haøm fk hoäi tuï ñeàu treân D khi vaø chæ khi k=0 m ∀>0, ∃N : n, m ≥ N ⇒ sup | fk(x)| < x∈D k=n ∞ 2.3 Meänh ñeà. Gæa söû chuoãi haøm fk hoäi tuï ñeàu treân [a, b]. Khi ñoù k=0 (1) Neáu lieân tuïc treân [ ] vôùi moïi ∈ N, thì chuoãi treân xaùc ñònh moät haøm lieân tuïc fk a, b k treân [a, b]. Ñaëc bieät khi ñoù coù theå chuyeån lim vaøo daáu ∞ ∞ lim fk(x)= lim fk(x) x→x0 x→x0 k=0 k=0 (2) Neáu fk lieân tuïc treân [a, b], thì coù theå chuyeån vaøo daáu b ∞ ∞ b fk(x) dx = fk(x)dx a k=0 k=0 a ∞ ∞ (3) Neáu fk khaû vi lieân tuïc treân [a, b] vaø chuoãi fk hoäi tuï ñeàu treân [a, b], thì fk k=0 k=0 laø moät haøm khaû vi treân [a, b] vaø coù theå laáy ñaïo haøm vaøo daáu ∞ ∞ fk (x)= fk(x) k=0 k=0 2.4 Moät soá daáu hieäu hoäi tuï ñeàu cho chuoãi haøm. ∞ ∞ Weierstrass M-test: Neáu |fk(x)|≤ak, ∀x ∈ D vaø ak hoäi tuï, thì fk hoäi tuï ñeàu k=0 k=0 treân D. ∞ Dirichlet: Neáu (fk) daõy giaûm, hoäi tuï ñeàu veà 0 vaø ϕk laø chuoãi haøm coù daõy toång k=0 ∞ rieâng bò chaën treân D, thì fkϕk hoäi tuï ñeàu treân D. k=0 ∞ ∞ Abel: Neáu (fn) laø daõy ñôn ñieäu bò chaën vaø ϕk hoäi tuï ñeàu treân D, thì fkϕk hoäi tuï. k=0 k=0 m m Chöùng minh: Neáu |fk(x)|≤ak, thì |f(x)|≤ ak. Theo tieâu chuaån Cauchy k=n k=n ∞ chuoãi fk hoäi tuï ñeàu. k=0 Hai tieâu chuaån sau chöùng minh nhö phaàn chuoãi soá (Baøi taäp).
I.3 Chuoãi luõy thöøa. 5 3. CHUOÃI LUÕY THÖØA ∞ k Phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu chuoãi luõy thöøa laø chuoãi haøm daïng akx , hay toång k=0 ∞ k quaùt hôn chuoãi luõy thöøa taâm taïi x0, ak(x − x0) . k=0 Nhaän xeùt. Khi thay bieán z = x − x0 ta ñöa chuoãi luõy thöøa taâm taïi x0 veà daïng chuoãi luõy thöøa. ∞ k 3.1 Ñònh lyù Abel. Cho chuoãi S(x)= ak(x − x0) . Khi ñoù toàn taïi R, 0 ≤ R ≤ +∞, k=0 sao cho, neáu R>0, thì (1) S(x) hoäi tuï treân khi |x − x0| R. (2) S hoäi tuï ñeàu treân Dr = {x : |x − x0|≤r}, vôùi moïi 0 k0. Suy ra |akz | R. Choïn ρ : R . Vaäy |akz | > vôùi voâ soá chæ soá k. Suy ra akz → 0, neân theo ñieàu ρ ρ ∞ k kieän caàn akz phaân kyø. k=0 Nhaän xeùt. Do nhaän xeùt ôû phaàn chuoãi soá, coù theå duøng coâng thöùc D’Alembert ñeå tính baùn kính hoäi tuï (neáu giôùi haïn toàn taïi): 1 | | = lim ak+1 R k→∞ |ak| Ví duï. ∞ |an| k! a) Chuoãi k!xk coù baùn kính hoäi tuï laø R = lim = lim =0. k→∞ | | n→∞ ( +1)! k=0 an+1 k ∞ k b) Chuoãi x coù baùn kính hoäi tuï laø ∞. ! k=0 k c) Ñònh lyù Abel khoâng cho keát luaän veà söï hoäi tuï hay phaân kyø cuûa chuoãi khi |x−x0| = R. ∞ ∞ k ∞ k Chaúng haïn caùc chuoãi k x x ñeàu coù baùn kính hoäi tuï laø 1, nhöng tính x , , 2 k=0 k=1 k k=1 k
6 hoäi tuï khi |x| =1khaùc nhau. ∞ Chuoãi xk phaân kyø khi x = ±1, theo ñieàu kieän caàn. k=0 ∞ k Chuoãi x hoäi tuï khi | | =1, theo tieâu chuaån so saùnh. 2 x k=1 k ∞ xk Chuoãi phaân kyø khi x =1, nhng hoäi tuï khi x = −1 theo tieâu chuaån Leibniz. k=1 k ∞ k 3.2 Meänh ñeà. Gæa söû chuoãi luõy thöøa ak(x − x0) coù baùn kính hoäi tuï R>0. k=0 ∞ k Khi ñoù S(x)= ak(x − x0) xaùc ñònh haøm khaû vi moïi caáp treân (x0 − R, x0 + R) vaø k=0 ta coù theå laáy ñaïo haøm vaø tích phaân vaøo daáu toång: ∞ ∞ k k−1 ak(x − x0) = kak(x − x0) k=0 k=1 ∞ ∞ ( − )k = ak ( − )k+1 + ak x x0 dx +1 x x0 C k=0 k=0 k Chöùng minh: Suy töø Ñònh kyù Abel vaø caùc keát quûa töø tính hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi haøm. Ví duï. ∞ 1 a) Ta coù (−1)k k = , | | 1. x 1+ x < k=0 x ∞ 1 Ñaïo haøm töøng töø ta coù (−1)k k−1 = − , | | 1. kx (1 + )2 x < k=1 x ∞ (−1)k k+1 Tích phaân töøng töø ta coù x =ln(1+ ), | | 1. +1 x x < k=0 k b) Ta coù khai trieån 1 1 ∞ = =1− 2 + 4 − 6 + ···= (−1)k 2k | | 1 1+ 2 1 − (− 2) x x x x , x < x x k=0 Tích phaân töøng töø ta coù 3 5 7 ∞ 2k+1 arctan = − x + x − x + ···= (−1)k x | | 1 x x 3 5 7 2 +1, x < k=0 k k Baøi taäp: AÙp duïng daáu hieäu Abel cho söï hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi vôùi fk(x)=x vaø ϕk(x)=ak chöùng minh Ñònh lyù Abel sau ñaây: ∞ ∞ k Neáu chuoãi ak hoäi tuï vaø coù toång S, thì S(x)= akx hoäi tuï khi |x| < 1 vaø k=0 k=0 lim S(x)=S. x→1−
I.3 Chuoãi luõy thöøa. 7 c) Deã thaáy caùc chuoãi cuoái ôû hai ví duï treân thoûa ñònh lyù Abel, suy ra ta coù coâng thöùc tính gaàn ñuùng 1 1 1 1 (−1)n+1 ln 2 = 1 − + − + −···+ + Rn 2 3 4 5 n +1 π 1 1 1 1 (−1)n =1− + − + −···+ + Rn 4 3 5 7 9 2n +1 1 Baøi taäp: Chöùng minh sai soá Rn ôû hai coâng thöùc treân laø O( n ). Heä quûa. Neáu haøm f coù theå bieåu dieãn thaønh chuoãi luõy thöøa taïi laân caän x0, i.e. ∞ k f(x)= ak(x − x0) , thì bieåu dieãn ñoù laø duy nhaát. Cuï theå k=0 (k) f (x0) ak = k =0, 1, 2, ··· k! Chöùng minh: Qui naïp meänh ñeà treân, vôùi moïi n ∈ N vaø x ôø laân caän x0, ta coù ∞ (n) ∞ k k−n ak(x − x0) = k(k − 1) ···(k − n +1)ak(x − x0) k=0 k=n Cho x = x0 ta coù coâng thöùc treân. 3.3 Chuoãi Taylor. Cho f laø haøm khaû vi voâ haïn ôû moät laân caän x0. Khi ñoù chuoãi Taylor cuûa f taïi x0 ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa ∞ (k)( ) ( )= ( − )k trong ñoù = f x0 Tf x ak x x0 , ak ! k=0 k Baøi toaùn laø khi naøo thì Tf(x)=f(x) ? Coù 3 khaû naêng xaûy ra: ∞ sin 2k (1) ( ) khoâng hoäi tuï. Ví duï chuoãi Taylor haøm ( )= x. Tf x f x ! k=0 k − 1 (2) Tf(x) hoäi tuï nhöng Tf(x) = f(x). Ví duï haøm f(x)=e x2 , khi x =0, f(0) = 0, laø haøm khaû vi voâ haïn vaø f (k)(0) = 0, ∀k. Vaäy Tf(x) ≡ 0 = f(x). (3) Tf(x)=f(x), |x − x0| <R. Khi ñoù ta noùi f laø haøm giaûi tích treân D = {x : |x − x0| <R}. Meänh ñeà. Neáu f laø haøm khaû vi voâ haïn vaø toàn taïi C sao cho |f (k)(x)|≤C, ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R), thì f laø haøm giaûi tích treân khoaûng ñoù. Chöùng minh: Theo coâng thöùc Taylor, vôùi moãi x ∈ (x0 − R, x0 + R), toàn taïi θ ∈ (0, 1), sao cho (n+1) n+1 f (x0 + θR) n+1 CR |f(x) − Tn(x)| = |Rn(x)| = (x − x0) ≤ (n +1)! (n +1)!
8 Veá phaûi tieán veà 0, khi n →∞, neân ta coù f(x)=Tf(x). 3.4 Chuoãi Taylor cuûa moät soá haøm. Töø khai trieån Taylor vaø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa ta coù 1 1 ex =1+x + x2 + ···+ xn + ··· 2! n! 1 1 (−1)n cos x =1− x2 + x4 + ···+ x2n + ··· 2! 4! (2n)! 1 1 (−1)n sin x = x − x3 + x5 + ···+ x2n+1 + ··· 3! 5! (2n +1)! 1 =1+x + x+ ···+ xn + ··· , |x| < 1 1 − x 1 1 (−1)n+1 ln(1 + x)=x − x2 + x3 + ···+ xan + ··· , |x| < 1 2 3 n α(α − 1) α(α − 1) ···(α − n +1) (1 + x)α =1+αx + x2 + ···+ xn + ··· , |x| < 1 2! n! Ví duï. Döïa vaøo caùc chuoãi treân coù theå bieåu dieãn thaønh chuoãi luõy thöøa caùc haøm khaùc: x 2 a) Haøm erf(x)= e−t dt khoâng laø haøm sô caáp. Ñeå bieåu dieãn haøm naøy döôùi daïng 0 chuoãi luõy thöøa ta döïa vaøo bieåu dieãn cuûa ex vôùi x = −t2: n 2 1 (−1) e−t =1− t2 + t4 + ···+ t2n + ··· 2! n! Tích phaân töøng töø ta coù 3 2 (−1)n ∞ (−1)k erf( )= − x + x + ···+ 2n+1 + ···= 2k+1 ∈ R x x 3 2!5 !(2 +1)x !(2 +1)x x n n k=0 k k x sin t b) Haøm Si(x)= dt cuõng khoâng laø haøm sô caáp. Töø bieåu dieãn cuûa haøm sin x 0 t ta coù x 1 1 (−1)n ∞ (−1)k Si( )= (1− 2+ 4+···+ 62 +···) = 2n+1 x 3!t 5!t (2 +1)!t n dt (2 + 1)!(2 +1)x 0 n k=0 k k Ví duï. Coâng thöùc sau cho tính xaáp xæ ln 2 vôùi toác ñoä nhanh hôn coâng thöùc ôû ví duï muïc 4.3. Töø bieåu dieãn ln(1 + x) suy ra 1 1 xn ln(1 − x)=x + x2 + x3 + ···+ + ··· , |x| < 1 2 3 n Laáy ln(1 + x) − ln(1 − x) ta coù 1+x 1 x2n+1 ln =2(x + x3 + ···+ + ···), |x| < 1 1 − x 3 2n +1 1 Thay = ,ta coù x 3 1 1 1 ln 2 = 2( + + ···+ )+Rn 3 3.33 (2n +1)32n+1
I.4 Chuoãi löôïng giaùc. 9 Trong ñoù sai soá 1 1 1 1 (1 9)n 1 = = / = ( ) Rn (2 +1)32k+1 n k n k>n n / 4. CHUOÃI LÖÔÏNG GIAÙC Coù nhieàu baøi toaùn lieân quan ñeán haøm tuaàn hoaøn. Phaàn naøy ta xeùt ñeán vieäc bieåu dieãn haøm tuaàn hoaøn döôùi daïng chuoãi. Vì haøm sin vaø haøm cos laø tuaàn hoaøn, neân bieåu dieãn qua chuùng töï nhieân vaø thuaän tieän hôn qua haøm luõy thöøa. Moät chuoãi löôïng giaùc laø chuoãi haøm daïng ∞ a0 + ( cos + sin ) 2 ak kx bk kx k=1 T Nhaän xeùt. Khi haøm f coù chu kyø T , haøm ϕ(x)=f( x) coù chu kyø 2π. Nhö vaäy, ta 2π chæ caàn xeùt haøm coù chu kyø 2π, roài sau ñoù ñoåi bieán. 4.1 Tính tröïc giao. Treân khoâng gian caùc haøm lieân tuïc treân [−π,π], ta ñònh nghóa π tích voâ höôùng : = f(x)g(x)dx, f,g ∈ C[−π,π]. −π Khi ñoù heä caùc haøm löôïng giaùc 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ··· , cos nx, sin nx, ··· laø heä haøm tröïc giao theo nghóa tích voâ höôùng cuûa 2 haøm baát kyø cuûa heä baèng 0. Cuï theå π cos kxcos lxdx =0 k = l −π π sin kxsin lxdx =0 k = l −π π cos kxsin lxdx =0 ∀k, l −π Ngoaøi ra, ta coù π π π dx =2π, vaø cos2 kxdx = sin2 kxdx = πk=1, 2, ··· −π −π −π 4.2 Heä soá Fourier. Gæa söû haøm f coù theå bieåu dieãn thaønh chuoãi löôïng giaùc ∞ ( )=a0 + ( cos + sin ) ∈ [− ] f x 2 ak kx bk kx ,x π,π k=1 Khi ñoù ∞ ( )cos = a0 cos + ( cos cos + sin cos ) f x lx 2 lx ak kx lx bk kx lx k=1 ∞ ( )sin = a0 sin + ( cos sin + sin sin ) f x lx 2 lx ak kx lx bk kx lx k=1
10 Laáy tích phaân hình thöùc vaøo daáu toång, töø tính tröïc giao neâu treân, ta coù 1 π ak = f(x)coskxdx, k =0, 1, 2, ··· π −π 1 π bk = f(x)sinkxdx, k =1, 2, ··· π −π Caùc heä soá treân goïi laø heä soá Fourier cuûa haøm f. 4.3 Chuoãi Fourier. Cho f laø haøm khaû tích treân [−π,π]. Khi ñoù chuoãi löôïng giaùc sau goïi laø chuoãi Fourier cuûa f ∞ ( )=a0 + ( cos + sin ) Ff x 2 ak kx bk kx k=1 trong ñoù ak,bk laø heä soá Fourier cuûa f ñöôïc cho bôûi coâng thöùc ôû phaàn treân. Nhaän xeùt. • Neáu f laø haøm chaün, i.e. f(−x)=f(x), thì f(x)sinkx laø haøm leû neân bk =0, i.e. ∞ 1 Ff(x)= 2 a0 + ak cos kx. k=1 • Neáu f laø haøm leû, i.e. f(−x)=−f(x), thì f(x)coskx laø haøm leû neân ak =0, i.e. ∞ Ff(x)= bk sin kx. k=1 • Tính tuyeán tính: F (af + bg)=aF f + bF g, vôùi f,g laø caùc haøm khaû tích vaø a, b ∈ R. Ví duï. Haøm f(x), |x|≤π Chuoãi Fourier Ff(x) 4 ∞ sin(2 +1) sign k x. x 2 +1 π k=0 k ∞ sin kx x 2 (−1)k+1 k=1 k 2 ∞ cos 2 π +4 (−1)k kx x 3 2 k=1 k 2 ∞ cos ∞ sin 2 + + π + +4 (−1)k kx +2 (−1)k+1 kx Ax Bx C A 3 C A 2 B k=1 k k=1 k Baøi toaùn ñaët ra laø khi naøo Ff(x)=f(x) ?
I.4 Chuoãi löôïng giaùc. 11 Cuõng nhö chuoãi Taylor, ta cuõng coù 3 khaû naêng: (1) Ff(x) khoâng hoäi tuï. Ngöôøi ta ñaõ xaây döïng ví duï haøm lieân tuïc coù chu kyø 2π maø chuoãi Fourier khoâng hoäi tuï taïi moät ñieåm. (2) Ff(x) hoäi tuï nhöng Ff(x) = f(x). Ñònh lyù veà hoäi tuï ñieåm sau seõ thaáy ñieàu ñoù. (3) Ff(x)=f(x). Phaàn sau ñaây ta seõ xeùt caùc ñieàu kieän ñeå Ff(x)=f(x). Hôn nöõa, xeùt ñieàu kieän ñeå söï hoäi tuï laø hoäi tuï ñeàu. 4.4 Hoäi tuï ñieåm. Kyù hieäu toång rieâng thöù n cuûa chuoãi Fourier cuûa f: n ( )=a0 + ( cos + sin ) Fnf x 2 ak kx bk kx k=1 Coâng thöùc cho toång rieâng Fnf. Ñeå ñaùnh giaù söï hoäi tuï ta bieán ñoåi n ( )=a0 + ( cos + sin ) Fnf x 2 ak kx bk kx k=1 1 π n 1 π = f(u)du + f(u)(cos kucos kx +sinkusin kx)du 2π −π π −π k=1 1 π 1 n = ( ) + cos ( − ) f u 2 k u x du π −π k=1 a+T T Ñeå yù neáu g coù chu kyø T , thì g(t)dt = g(t)dt. AÙp duïng cho haøm laáy tích a 0 phaân ôû treân (sau khi ñoåi bieán t = u − x) vôùi T =2π vaø a = −π − x, ta coù 1 π 1 n π ( )= ( + ) + cos = ( + ) ( ) Fnf x f x t 2 kt dt f x t Dn t dt π −π k=1 −π 1 1 n trong ñoù ( )= + cos goïi laø nhaân Dirac. Dn t 2 kt π k=1 1 1 Töø 2sin t cos =sin( + ) − sin( − ) , thay vaøo toång 2 kt k 2 t k 2 t 2 +1 sin n 1 2 t Dn(t)= π 2sin t 2 Deã thaáy Dn laø haøm chaün, coù chu kyø 2π, vaø π Dn(t)dt =1 −π Boå ñeà Riemann. Gæa söû g laø haøm khaû tích Riemann treân [a, b]. Khi ñoù b b lim g(t)cosλtdt = lim g(t)sinλtdt =0 λ→+∞ a λ→+∞ a
12 Chöùng minh: Tröôøng hôïp g khaû vi lieân tuïc: b b b g(t)sinλt 1 lim g(t)cosλtdt = − g (t)sinλtdt λ→+∞ a λ a λ a Do g bò chaën neân bieåu thöùc treân → 0, khi λ → +∞. Tröôøng hôïp g khaû vi lieân tuïc töøng khuùc: ta aùp duïng chöùng minh treân cho moãi ñoaïn maø g lieân tuïc. Tröôøng hôïp g khaû tích: töø ñònh nghóa tích phaân vôùi moïi >0, toàn taïi haøm baäc thang sao cho s π |g − s| < −π Khi ñoù b b b g(t)cosλtdt = (g(t) − s(t)) cos λtdt + s(t)cosλtdt a a a AÙp duïng keát quûa treân cho s,do| cos λx|≤1, ta coù b b lim g(t)cosλtdt ≤ |g(t) − s(t)|dt < λ→+∞ a a b Vaäy lim g(t)cosλtdt =0. Giôùi haïn thöù hai chöùng minh töông töï. λ→+∞ a Haøm f goïi laø lieân tuïc töøng khuùc treân [a, b] neáuu toàn taïi höõu haïn ñieåm: a = a0 <a1 < ···<as = b, sao cho f lieân tuïc treân moãi khoaûng (ai−1,ai) vaø toàn taïi lim f(x)=f(a+), lim f(x)=f(a−), i =0, ··· ,s. + i − i x→ai x→ai Khi ñoù ñaïo haøm phaûi vaø traùi cuûa f taïi x, ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa − f(x + t) − f(x6+) f(x − t) − f(x ) f+(x) = lim ,f−(x) = lim , t→0+ t t→0+ t neáu giôùi haïn veá phaûi toàn taïi. Ví duï. Haøm f(x)=|x|, khoâng khaû vi taïi 0, nhöng f+(0) = 1,f−(0) = −1. Haøm f(x)=sign x, khoâng lieân tuïc taïi 0, nhöng lieân tuïc töøng khuùc vôùi + − f(0 )=1,f(0 )=−1, coøn f (0+)=f−(0) = 0. Ñònh lyù. Gæa söû haøm f coù chu kyø 2π, lieân tuïc töøng khuùc treân [−π,π] vaø f+(x),f−(x) toàn taïi höõu haïn. Khi ñoù Fnf(x) hoäi tuï veà giaù trò trung bình coäng cuûa f taïi x, i.e. 1 ( )= ( ( +)+ ( −)) Ff x 2 f x f x Ñaëc bieät, neáu f khaû vi lieân tuïc taïi x, thì Ff(x)=f(x)
I.4 Chuoãi löôïng giaùc. 13 1 Chöùng minh: Ñeå cho goïn kyù hieäu ( )= ( ( +)+ ( −)). Töø tính chaát cuûa Af x 2 f x f x Dn, ta coù π Fnf(x) − Af (x)= (f(x + t) − Af (x))Dn(t)dt −π π f(x + t)+f(x − t) =2 − Af (x) Dn(t)dt 0 2 π 1 =2 g(t)sin(n + )tdt 0 2 f(x + t) − f(x+)+f(x − t) − f(x−) t trong ñoù g(t)= t . t 2π sin 2 1 Do f+(x),f−(x) toàn taïi höõu haïn, lim g(t)= (f+(x) − f−(x)). Vaäy g laø haøm lieân t→0+ π tuïc töøng khuùc (neân khaû tích). Töø boå ñeà Riemann, tích phaân cuoái tieán veà 0 khi n →∞, i.e. Fnf(x) → Af (x), khi n →∞. Ví duï. Töø ñònh lyù treân vaø ví duï ôû muïc 5. 3, ta coù 4 ∞ sin(2 +1) a) sign = k π , vôùi 0 | | . x 2 +1 < x <π π k=0 k 1 Khi =0 − chuoãi veá phaûi nhaän gía trò ( sign ( +)+ sign ( −)) = 0. x , π,π 2 x x ∞ (−1)k Khi cho = 2,tacoù = π . x π/ 2 +1 4 k=0 k 2 2 4 ∞ cos b) 1 − x = − (−1)k kx, vôùi | |≤ . 2 3 2 2 x π π π k=1 k Ñeå yù haøm veá traùi nhaän giaù trò nhö nhau taïi x = ±π, neân coù cuøng trung bình coïng taïi ñoù. ∞ 1 2 Khi cho = ,tacoù = π x π 2 6 k=1 k ∞ (−1)k π2 Khi cho x =0, ta coù = − . k2 12 k=1 ∞ 1 1 ∞ 1 ∞ (−1)k 2 Suy ra = − = π . (2 − 1)2 2 2 2 8 k=1 k k=1 k k=1 k 4.5 Hoäi tuï ñeàu. Baát daúng thöùc Bessel. Neáu f 2 khaû tích treân [π,π], thì 2 ∞ 1 π a0 + ( 2 + 2) ≤ 2( ) 2 ak bk f x dx k=1 π −π Ñaëc bieät, chuoãi veá traùi laø chuoãi hoäi tuï. Chöùng minh: Do tính tröïc giao neâu ôû 5.1, tính tích phaân ta coù: π π 2 n ( ( )− ( )) ( ) =0, ( ( ))2 = a0 + ( 2 + 2) . f x Fnf x Fnf x dx Fnf x dx π 2 ak bk −π −π k=1
14 Suy ra π π 2 2 f (x)dx = (f(x) − Fnf(x)+Fnf(x)) dx −π −π π π π 2 2 = (f(x) − Fnf(x)) dx + (Fnf(x)) dx +2 (f(x) − Fnf(x))Fnf(x)dx −π −π −π 2 n = 6 ( ( ) − ( ))2 + (a0 + ( 2 + 2)) π f x Fnf x dx π 2 ak bk −π k=1 2 n π Vaäy a0 + ( 2 + 2) ≤ 2( ) . 2 ak bk f x dx k=1 −π Cho n → +∞ ta coù baát daúng thöùc caàn tìm. Do chuoãi coù soá haïng döông neân tính bò chaën töông ñöông tính hoäi tuï. Ñònh lyù. Giaû söû haøm f coù chu kyø 2π, lieân tuïc vaø f lieân tuïc töøng khuùc treân [−π,π]. Khi ñoù chuoãi Ff hoäi tuï ñeàu veà f treân R. Chöùng minh: Do ñònh lyù treân ta coù Fnf(x) hoäi tuï veà f(x). Ta chöùng minh söï hoäi tuï ñeàu theo M-test. Goïi ak,bk laø caùc heä soá Fourier cuûa f . Tích phaân töøng phaàn, ta coù π π 1 1 sin kx π 1 1 ak = f(x)coskxdx = f(x) |−π − f (x)sinkxdx = − bk π −π π k k −π k π π 1 1 cos kx π 1 1 bk = f(x)sinkxdx = −f(x) |−π + f (x)coskxdx = ak π −π π k k −π k Suy ra 1 2 1 1 2 1 |ak cos kx + bk sin kx|≤|ak| + |bk|≤ (b k + )+ (a k + ) 2 k2 2 k2 ∞ ∞ 1 Töø baát ñaúng thöùc Bessel ( 2 + 2) hoäi tuï, vaø hoäi tuï. Vaäy chuoãi hoäi a k b k 2 Ff k=0 k=1 k tuï ñeàu theo M-test. 4.6 Khai trieån Fourier. T • Khai trieån haøm f(x) coù chu kyø T thaønh chuoãi haøm löôïng giaùc: Ñoåi bieán x = X. 2π T Khi ñoù f(x)=f( X) laø haøm coù chu kyø 2π theo bieán X. Chuoãi Fourier theo bieán 2π X coù daïng ∞ a0 + ( cos + sin ) 2 ak kX bk kX k=1 trong ñoù 1 π T 1 π T ak = f( X)coskXdX, bk = f( X)sinkXdX π −π 2π π −π 2π
I.4 Chuoãi löôïng giaùc. 15 2π Thay laïi X = x, ta coù chuoãi löôïng giaùc daïng T ∞ 2 2 a0 + ( cos kπ + sin kπ ) 2 ak x bk x k=1 T T trong ñoù caùc heä soá Fourier cuûa f laø 2 T/2 2kπ ak = f(t)cos tdt, k =0, 1, 2, ··· T −T/2 T 2 T/2 2kπ bk = f(t)sin tdt, k =1, 2, ··· T −T/2 T • Khai trieån haøm f xaùc ñònh treân [a, b] thaønh chuoãi löôïng giaùc: Tröôùc heát thaùc ˜ trieån f thaønh haøm tuaàn hoaøn f xaùc ñònh treân R vaø coù chu kyø T ≥ b − a, i.e. f˜(x + kT)=f(x),x∈ [a, b],k ∈ Z Sau ñoù khai trieån f˜ nhö caùch ñaõ neâu ôû treân. • Khai trieån chuoãi theo cos hay theo sin: Cho f xaùc ñònh treân [0,l]. Khi ñoù: - Muoán bieåu dieãn f(x) döôùi daïng chuoãi löôïng giaùc chæ coù haøm cos, ta thaùc trieån f thaønh haøm chaün treân (−l, l] baèng caùch xem f(x)=f(−x), neáu x ∈ (−l, 0). Sau ñoù khai trieån Fourier haøm thaùc trieån ñoù. - Muoán bieåu dieãn f(x) döôùi daïng chuoãi löôïng giaùc chæ coù haøm sin, ta thaùc trieån f thaønh haøm leû treân (−l, l] baèng caùch xem f(x)=−f(−x), neáu x ∈ (−l, 0). Sau ñoù khai trieån Fourier haøm thaùc trieån ñoù. Ví duï. Khai trieån Fourier caùc haøm xaùc ñònh treân [−π,π], chu kyø 2π: 4 ∞ sin(2 +1) a) Khai trieån haøm ( )=sign ∈ [− ]: ( )= k x f x x, x π,π Ff x 2 +1 π k=0 k y 6 - - - - - r r r r r r r r r r - −ππ x - - - - - ∞ sin kx b) Khai trieån haøm f(x)=x, x ∈ [−π,π]: Ff(x)=2 (−1)k+1 k=1 k
16 y 6 r r r r r - −ππ x 2 ∞ cos c) Khai trieån haøm ( )= 2 ∈ [− ]: ( )=π +4 (−1)k kx f x x ,x π,π Ff x 3 2 k=1 k y 6 r r - −ππ x Ví duï. Khai trieån Fourier caùc haøm xaùc ñònh treân [0, 2π], chu kyø 2π: Haøm f(x), 0 ≤ x<2π Khai trieån Fourier Ff(x) ∞ sin kx x π − 2 k=1 k 4 ∞ cos ∞ sin 2 2 +4 kx − 4 kx x 3π 2 π k=1 k k=1 k 4 ∞ cos ∞ sin 2 + + 2 + + +4 kx − (4 − 2 ) kx Ax Bx C A3π Bπ C A 2 πA B k=1 k k=1 k r r r r r - 02π x Ff(x)=x, 0 <x<2π
I.4 Chuoãi löôïng giaùc. 17 r r r r r - 02π x Ff(x)=x2, 0 <x<2π Nhaän xeùt. Caùc haøm coù cuøng bieåu thöùc f(x) nhöng xaùc ñònh treân caùc mieàn khaùc nhau hay choïn chu kyø khaùc nhau, thì caùc haøm thaùc trieån noùi chung khaùc nhau. Chaúng haïn, thaùc trieån cuûa f(x)=x, x ∈ [−π,π] vaø f(x)=x, x ∈ [0, 2π] (vôùi cuøng chu kyø 2π) laø khaùc nhau. Vì vaäy khai trieån Fourier cuûa chuùng noùi chung laø khaùc nhau. Ví duï. Cho f(x)=x, x ∈ [0,π]. a) Muoán khai trieån f(x) thaønh chuoãi löôïng giaùc chæ coù cos. Thaùc trieån f thaønh haøm chaün, i.e. f(x)=|x|,x∈ [−π,π]. Khai trieån Fourier vaø do haøm f thoûa ñieàu kieän cuûa ñònh lyù veà hoäi tuï ta coù 4 ∞ cos(2 +1) | | = π − k x − ≤ ≤ x 2 (2 +1)2 , π x π π k=1 k y 6 @ @ @ @ @ @@ @@ @@ @@ @@ - −ππ x b) Muoán khai trieån f(x) thaønh chuoãi löôïng giaùc chæ coù sin. Thaùc trieån f thaønh haøm leû, i.e. f(x)=x, x ∈ [−π,π]. Khai trieån Fourier vaø do haøm f thoûa ñieàu kieän cuûa ñònh lyù veà hoäi tuï ta coù ∞ sin kx x =2 (−1)k+1 , −π<x<π k=1 k y 6 r r r r r - −ππ x
18 Ví duï. Töø caùc ví duï treân vaø tính hoäi tuï ñieåm, ta coù caùc giaù trò toång ∞ sin − kx = π x vôùi 0 2 2 <x< π k=1 k ∞ cos 3 2 − 6 +2 62 kx = x πx π vôùi 0 2 2 12 <x< π k=1 k ∞ sin (−1)k+1 kx = x vôùi | | 2 x <π k=1 k ∞ cos 2 − 3 2 (−1)k+1 kx = π x vôùi | | 2 12 x <π k=1 k Töø caùc coâng thöùc treân suy ra ∞ sin(2 +1) k x = π vôùi 0 2 +1 4 <x<π k=0 k ∞ cos(2 +1) 2 − 2 k x = π πx vôùi 0 2 (2 +1)2 8 <x< π k=0 k ∞ sin 2 − 2 kx = π x vôùi 0 2 4 <x<π k=1 k ∞ cos 2 6 2 − 6 + 2 kx = x πx π vôùi 0 2 (2 )2 24 <x< π k=1 k Vôùi caùc gía trò x cuï theå caùc coâng thöùc treân suy ra ∞ 1 2 ∞ (−1)k+1 2 ∞ (−1)k = π = π = π 2 6 , 2 12, 2 +1 4 k=1 k k=1 k k=0 k
II. Khoâng gian Rn 1. KHOÂNG GIAN EUCLID Rn n n 1.1 Khoâng gian vector R . Trong R = {x =(x1, ··· ,xn):xi ∈ R,i =1, ··· ,n} coù trang bò 2 pheùp toaùn: x + y =(x1, ··· ,xn)+(y1, ··· ,yn)=(x1 + y1, ··· ,xn + yn) αx = α(x1, ··· ,xn)=(αx1, ··· ,αxn),α∈ R. Vôùi 2 pheùp toaùn treân Rn laø khoâng gian vector n-chieàu treân R. Ta thöôøng duøng cô sôû chính taéc: e1 =(1, 0, ··· , 0), ··· ,en =(0, ··· , 0, 1). n Vaäy x =(x1, ··· ,xn)= xiei. Ta cuõng kyù hieäu vector khoâng laø 0=(0, ··· , 0). i=1 Ngoaøi caáu truùc ñaïi soá, Rn coøn coù caáu truùc hình hoïc xaùc ñònh bôûi tích voâ höôùng Euclid: n 1.2 Tích voâ höôùng-Chuaån-Metric. Cho x =(x1, ··· ,xn),y =(y1, ··· ,yn) ∈ R . Tích voâ höôùng: = x1y1 + ···+ xnyn. √ 2 2 1 Chuaån: x = =(x1 + ···+ xn) 2 . 2 2 1 Metric: d(x, y)= x − y = {(x1 − y1) + ···+(xn − yn) } 2 . Sau ñaây laø caùc tính chaát cô baûn cuûa caùc aùnh xaï treân: Tính chaát. Cho x, y, z ∈ Rn vaø α, β ∈ R. Tính chaát cuûa tích voâ höôùng: (S1) = α +β . (S2) = . (S3) ≥ 0, vaø =0 khi vaø chæ khi x =0. Tính chaát cuûa chuaån: (N1) x≥0, vaø x =0 khi vaø chæ khi x =0. (N2) αx = |α|x. (N3) x + y≤x + y. Tính chaát cuûa metric: (M1) d(x, y) ≥ 0, vaø d(x, y)=0 khi vaø chæ khi x = y. (M2) d(x, y)=d(y, x). (M3) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z,y). Chöùng minh: Tröôùc heát ta chöùng minh baát ñaúng thöùc tam giaùc (N3). Ta coù baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz: | |≤xy. Thöïc vaäy, tam thöùc baäc 2: tx + y2 = x2t2 +2 t+ y2 ≥ 0, ∀t ∈ R. Suy ra ∆= 2 −x2y2 ≥ 0, i.e. baát ñaúng thöùc treân ñuùng.
20 Vaäy x + y2 = x2 + y2 +2 ≤x2 + y2 +2xy =(x + y)2, i.e ta coù baát ñaúng thöùc (N3). (N3) suy ra (M3). Coøn caùc tính chaát khaùc laø roõ raøng. Baøi taäp: Chöùng minh | | = xy khi vaø chæ khi x, y tæ leä nhau. Baøi taäp: Haõy chöùng minh baát ñaúng thöùc ñaùng chuù yù sau: √ max |xi|≤x≤ n max |xi|. 1≤i≤n 1≤i≤n 1.3 Tính ñuû cuûa Rn. n Moät daõy trong X ⊂ R laø aùnh xaï x : N −→ X, x(k)=xk =(xk,1, ··· ,xk,n). Thöôøng kyù hieäu daõy bôûi (xk)k∈N hay ngaén goïn (xk). n 1 Daõy (xk) goïi laø hoäi tuï veà a ∈ R , kyù hieäu lim xk = a, hay xk → a, neáuu k→∞ ∀>0, ∃N : k ≥ N =⇒ d(xk,a) 0). kp ek kp k k! Baøi taäp: Töø meänh ñeà treân haõy phaùt bieåu vaø chöùng minh caùc tính chaát hoäi tuï cuûa daõy toång, hieäu, tích voâ höôùng, chuaån, cuûa caùc daõy hoäi tuï. Daõy (xk) goïi laø daõy Cauchy hay daõy cô baûn neáuu ∀>0, ∃N : k, l ≥ N =⇒ d(xk,xl) <. Meänh ñeà. Moät daõy trong Rn laø hoäi tuï khi vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy. Chöùng minh: Tröôùc heát nhaéc laïi laø moät daõy soá trong R hoäi tuï khi vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy sau ñoù aùp duïng meänh ñeà treân suy ra keát quûa. 1Trong giaùo trình naøy qui öôùc: neáuu = neáu vaø chæ neáu .
II.2 Topo trong Rn. 21 2. TOPO TRONG Rn 2.1 Hình caàu. Cho a ∈ Rn vaø r>0. Hình caàu môû taâm a baùn kính r, ñònh nghóa: B(a, r)={x ∈ Rn : d(x, a) 0: B(a, r) ⊂ X. a goïi laø ñieåm bieân cuûa X neáuu ∀r>0: B(a, r) ∩ X = ∅,B(a, r) ∩ (Rn \ X) = ∅. Ví duï. Ñoaïn [α, β] trong R coù caùc ñieåm trong laø x sao cho α 0:B(a, r) ⊂ X. o Kyù hieäu int X hay = Taäp moïi ñieåm trong cuûa X, vaø goïi laø phaàn trong cuûa X. X o Nhaän xeùt. Roõ raøng, X môû khi vaø chæ khi X =X. Baøi taäp: Chöùng minh khoaûng môû trong R, hình caàu môû laø caùc taäp môû. Tìm ví duï taäp khoâng môû. Meänh ñeà. (i) ∅ vaø Rn laø caùc taäp môû (ii) Hôïp moät hoï taäp môû laø môû (iii) Giao höõu haïn taäp môû laø môû. Chöùng minh: (i) laø roõ raøng. (ii) Giaû söû Ui,i ∈ I laø caùc taäp môû. Cho x ∈ U = Ui. i∈I Khi ñoù toàn taïi i0 ∈ I,x ∈ Ui0 . Do tính môû, toàn taïi caàu B(x, r) ⊂ Ui0 (⊂ U). Vaäy x laø ñieåm trong cuûa U, neân U môû. (iii) ñôïc chöùng minh töông töï. 1 1 Nhaän xeùt. Giao voâ haïn taäp môû noùi chung khoâng môû. Chaúng haïn, (− , ). i∈N i i 2.3 Taäp ñoùng. Taäp con X ⊂ Rn goïi laø ñoùng neáuu phaàn buø Rn \ X laø môû. Ví duï. Caùc taäp höõu haïn, caùc taäp rôøi raïc nhö Z, khoaûng ñoùng [a, b], hình caàu ñoùng laø caùc taäp ñoùng. Khoaûng môû hay Q khoâng laø taäp ñoùng. (taïi sao?) Töø Meänh ñeà treân vaø qui taéc De Morgan suy ra Meänh ñeà. (i) ∅ vaø Rn laø caùc taäp ñoùng (ii) Giao moät hoï taäp ñoùng laø ñoùng (iii) Hôïp höõu haïn taäp ñoùng laø ñoùng. Ñeå hieåu caùc ñaëc tröng khaùc cuûa taäp ñoùng ta caàn khaùi nieäm: a ∈ Rn goïi laø ñieåm tuï hay ñieåm giôùi haïn cuûa X neáuu ∀r>0,B(a, r) ∩ X chöùa moät phaàn töû khaùc a (vaø do ñoù coù voâ soá phaàn töû). Kyù hieäu Cl X hay X = X∪ taäp moïi ñieåm giôùi haïn cuûa X, goïi laø bao ñoùng cuûa X. Baøi taäp: Trong R tìm caùc ñieåm giôùi haïn cuûa: taäp rôøi raïc, khoaûng [a, b), taäp {1/k : k ∈ N}, vaø Q.
22 Meänh ñeà. Cho X ⊂ Rn. Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông: (i) X laø taäp ñoùng (ii) X = X (iii) X chöùa moïi ñieåm giôùi haïn cuûa noù (iv) Moïi daõy (xk) trong X hoäi tuï veà x, thì x ∈ X. Chöùng minh: (i) ⇒ (ii): Giaû söû x laø ñieåm giôùi haïn cuûa X. Khi ñoù ∀r>0,B(x, r)∩X = ∅, i.e. ∀r>0,B(x, r) ⊂ Rn \ X. Suy ra x ∈ int(Rn \ X)=Rn \ X (do (i)). Vaäy x ∈ X. (ii) ⇒ (iii): Töø ñònh nghóa. (iii) ⇒ (iv): Giaû söû (xk) ⊂ X, xk → x. Neáu taäp {xk} caùc phaàn töû cuûa daõy laø höõu haïn, thì toàn taïi k0,x = xk0 , do vaäy x ∈ X. Neáu taäp {xk} voâ haïn, thì x laø ñieåm giôùi haïn cuûa X, do (iii) x ∈ X. (iv) ⇒ (i): Phaûn chöùng, giaû söû Rn \ X khoâng môû. Khi ñoù toàn taïi x ∈ Rn \ X khoâng laø ñieåm trong, i.e. ∀r>0,B(x, r) ∩ X = ∅. Vaäy x laø ñieåm giôùi haïn cuûa X. Theo (iv) x ∈ X voâ lyù. 3. TAÄP COMPACT 3.1 Taäp compact. Taäp con K ⊂ Rn goïi laø compact neáuu K ñoùng vaø giôùi noäi, i.e. K ñoùng vaø toàn taïi R>0: K ⊂ B(0,R). Ví duï. Ñoaïn [a, b] trong R, taäp höõu haïn, hình caàu ñoùng B(a, r), hình hoäp ñoùng n [a1,b1] ×···×[an,bn] trong R laø caùc taäp compact. Ñeå neâu caùc ñònh nghóa töông ñöông cuûa taäp compact, nhaèm muïc ñích thuaän tieän khi söû duïng, ta coù khaùi nieäm sau. 3.2 Phuû môû. Hoï P = {Ui,i ∈ I} (I laø taäp chæ soá) goïi laø phuû môû cuûa taäp con n n K cuûa R neáuu moãi i ∈ I, Ui laø taäp môû trong R vaø K ⊂ Ui. i∈I 1 1 Ví duï. Hoï caùc khoaûng (a − ,b + ),k∈ N, laø hoï phuû môû cuûa [a, b]. Hoï k k (a, a +1),a∈ R, laø hoï phuû môû cuûa R. 3.3 Ñònh lyù. Cho K laø taäp con cuûa Rn. Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông: (i) K ñoùng vaø giôùi noäi. (ii) K thoaû ñieàu kieän Bolzano-Weierstrass: 2 Moïi daõy (xk) trong K, toàn taïi daõy con (xσ(k)) hoäi tuï veà x vaø x ∈ K. (iii)K thoaû ñieàu kieän Heine-Borel: Moïi phuû môû P = {Ui,i∈ I} cuûa K, toàn taïi phuû con höõu haïn {Ui1 , ··· ,Uis } cuûa K. Chöùng minh: Ta chöùng minh (ii) ⇔ (i) ⇔ (iii). (i) ⇒ (ii): Giaû söû (xk) ⊂ K. Do tính giôùi noäi, toàn taïi R>0, sao cho xk <R. Vaäy caùc daõy toïa ñoä töông öùng (xk,i)k∈N, (i =1, ···n) laø caùc daõy soá bò chaën. Vaäy theo nguyeân lyù Weierstrass cho R, ( ) coù daõy con ( ) hoäi tuï veà . Töông töï, xk,1 xσ1(k),1 a1 2 Moät daõy con cuûa (xk) coù daïng (xσ(k)), vôùi σ : N → N laø moät daõy taêng.
II.4 Taäp lieân thoâng 23 ( ) coù daõy con ( ) hoäi tuï veà , ··· , ( ) coù daõy con ( ) xσ1(k),2 xσ2(k),2 a2 xσn−1(k),n xσn(k),n hoäi tuï veà . Vaäy daõy con ( ) hoäi tuï veà =( ··· ).Do ñoùng ∈ . an xσn(k) a a1, ,an K x K (ii) ⇒ (i): Giaû söû x laø ñieåm giôùi haïn cuûa K. Vaäy x laø giôùi haïn cuûa moät daõy trong K. Töø (ii) suy ra x ∈ K. Vaäy K ñoùng. Neáu K khoâng giôùi noäi, thì toàn taïi daõy (xk) ⊂ K, xk >k. Deã thaáy daõy naøy khoâng theå coù daõy con naøo hoäi tuï. (iii) ⇒ (i): Hoï caàu môû {B(0,i),i∈ N} phuû K, neân (iii) suy ra K coù theå phuû bôûi höõu haïn caàu B(0, 1), ··· ,B(0,s). Vaäy K giôùi noäi. Ñeå chöùng minh K ñoùng, ta kieåm tra Rn \ K laø môû. Cho x ∈ Rn \ K. Khi ñoù K ⊂ Rn \{x} = Rn \ ( B(x, 1/i)) = (Rn \ B(x, 1/i)). i∈N i∈N N Theo (iii) toàn taïi N sao cho K ⊂ (Rn \ B(x, 1/i)) = Rn \ B(x, 1/N ), i.e. i=1 B(x, 1/N ) ⊂ Rn \ K. Vaäy x laø ñieåm trong cuûa Rn \ K. (i) ⇒ (iii): Phaûn chöùng, giaû söû P = {Ui,i∈ I} laø phuû môû cuûa K maø moïi hoï con höõu haïn cuûa noù khoâng theå phuû K. Vôùi k =1,doK giôùi noäi, toàn taïi höõu haïn caàu baùn kính 1 phuû K. Theo giaû thieát, toàn taïi caàu B1 baùn kính 1 sao cho K ∩ B1 khoâng theå phuû bôûi höõu haïn Ui. Laäp luaän töông töï, vôùi k ∈ N, toàn taïi caàu Bk baùn kính 1/k sao cho Bk ⊂ Bk−1 vaø K ∩ Bk khoâng theå phuû bôûi höõu haïn Ui. Vôùi moãi k, choïn xk ∈ K ∩ Bk. Khi ñoù toàn taïi lim xk = a ∈ K. Vaäy toàn taïi chæ soá i0 sao cho a ∈ Ui0 . Do tính môû, toàn taïi r, B(a, r) ⊂ Ui0 . Mt khaùc, khi k ñuû lôùn, Bk ⊂ B(a, r). Vaäy Bk ⊂ Ui0 . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính chaát cuûa daõy Bk. Nhaän xeùt. Hoï {Ui,i ∈ [0, 1]} vôùi Ui = {i} laø phuû taäp compact [0, 1], khoâng coù phuû con höõu haïn. Ñeå yù laø Ui khoâng môû. Baøi taäp: Hôïp, giao, tích caùc taäp compact coù compact? 4. TAÄP LIEÂN THOÂNG 4.1 Ñònh nghóa. Taäp con C ⊂ Rn goïi laø lieân thoâng neáuu noù khoâng theå taùch bôûi 2 taäp môû, i.e. khoâng toàn taïi caëp taäp môû U, V sao cho: C ⊂ U ∪ V, C ∩ U = ∅ = C ∩ V , vaø C ∩ U ∩ V = ∅. Noùi moät caùch khaùc, vôùi moïi caëp taäp môû U, V , sao cho C ⊂ U ∪ V, C ∩ U ∩ V = ∅, thì C ⊂ U hay C ⊂ V . 4.2 Phaân loaïi taäp lieân thoâng trong R. C ⊂ R lieân thoâng khi vaø chæ khi ∀x, y ∈ C, x , trong ñoù daáu ñeå kyù hieäu ] hay [ . Chöùng minh: (⇒) Phaûn chöùng, giaû söû x, y ∈ C, x < y nhöng (x, y) ⊂ C, i.e. toàn taïi z ∈ (x, y),z ∈ C. Khi ñoù deã thaáy U =(−∞,z),V=(z,+∞) laø caùc taäp môû taùch C.
24 (⇐) Phaûn chöùng, giaû söû C khoâng lieân thoâng. Khi ñoù toàn taïi caùc taäp môû U, V taùch C. Goïi x ∈ U ∩ C, y ∈ V ∩ V . Khoâng maát toång quaùt, giaû söû x : V × V → R, (x, y) → ,thoaû caùc tính chaát (S1)(S2)(S3) ôû 1.2.
II.5 Toång quaùt hoùa 25 Baøi taäp: a) Neáu laø tích voâ höôùng treân V , thì x = ,x∈ V , xaùc ñònh moät chuaån treân V . b) Neáu laø chuaån treân V , thì d(x, y)=x−y,x,y∈ V xaùc ñònh moät metric treân V . Treân khoâng gian metric, khoâng gian ñònh chuaån hay khoâng gian coù tích voâ höôùng, caùc khaùi nieäm daõy, daõy hoäi tuï, daõy Cauchy, hình caàu, taäp môû, taäp ñoùng, ··· ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhö trong Rn. Moät khoâng gian metric maø moïi daõy Cauchy ñeàu hoäi tuï goïi laø khoâng gian metric ñuû . Moät khoâng gian ñònh chuaån ñuû goïi laø khoâng gian Banach. Moät khoâng gian coù tích voâ höôùng ñuû goïi laø khoâng gian Hilbert. Nhö vaäy Rn laø khoâng gian metric ñuû, chính xaùc hôn noù laø khoâng gian Hilbert höõu haïn chieàu. Ví duï. a) Trong Rn ngoaøi chuaån Euclid, coù theå xaùc ñònh nhieàu chuaån khaùc nhau (vaø vì vaäy coù nhieàu khoaûng caùch khaùc nhau), chaúng haïn: p p 1 x∞ =max|xi| (chuaån max), hay xp =(|x1| + ···+ |xn| ) p (p ≥ 1). 1≤i≤n ÔÛ chöông sau ta seõ chöùng minh moïi chuaån trong Rn ñeàu cho khaùi nieäm hoäi tuï nhö nhau. b) Trong khoâng gian C[a, b] caùc haøm lieân tuïc treân [a, b], d(f,g)= sup |f(t) − g(t)|,f,g∈ C[a, b], t∈[a,b] xaùc ñònh moät metric (töông öùng khaùi nieäm hoäi tuï ñeàu). c) Bieåu thöùc sau xaùc ñònh moät tích voâ höôùng trong C[a, b]: b = f(t)g(t)dt, f, g ∈ C[a, b]. a Söï hoäi tuï öùng vôùi metric sinh bôûi tích voâ höôùng treân goïi laø söï hoäi tuï trung bình. Baøi taäp: Haõy veõ hình caàu trong R2 vôùi caùc chuaån cho ôû ví duï a).
III. Haøm lieân tuïc treân Rn 1. GIÔÙI HAÏN HAØM 1.1 Ñònh nghóa. Cho X laø taäp con cuûa Rn. AÙnh xaï m f : X → R ,x=(x1, ··· ,xn) → f(x)=(f1(x), ··· ,fm(x)) ñöôïc goïi laø aùnh xaï (thöïc) cuûa n bieán (thöïc) x1, ··· ,xn, vôùi m haøm thaønh phaàn fi : X → R,i=1, ··· ,m. Khi m =1ta goïi aùnh xaï laø haøm . Ñoâi luùc, do thoùi quen, ta duøng thuaät ngöõ “haøm” thay cho “aùnh xaï” khi m>1. Khi n =1thöôøng kyù hieäu bieán laø x; khi n =2kyù hieäu 2 bieán laø x, y; coøn n =3kyù hieäu 3 bieán laø x, y, z. Cho f töông ñöông vôùi vieäc cho ñoà thò cuûa f , i.e. taäp graph f = {(x, f(x)) : x ∈ X}⊂Rn × Rm. Do tính tröïc quan ñoà thò coù vai troø ñaëc bieät quan troïng trong caùc tröôøng hôïp maø n + m ≤ 3, khi xeùt tính chaát cuûa aùnh xaï. Ví duï. a) f(x, y)= 1 − x2 − y2 coù ñoà thò laø nöûa treân maët caàu ñôn vò trong R3. b) f(x, y)=x2 + y2 coù ñoà thò laø moät maët Paraboloid. Baøi taäp: haõy tìm caùch moâ taû hình hoïc cho f : R2 → R2, f(x, y)=(x2 − y2, 2xy). 1.2 Giôùi haïn haøm. Giaû söû a laø ñieåm giôùi haïn cuûa X ⊂ Rn vaø f : X → Rm. Khi ñoù goïi laø coù giôùi haïn ∈ Rm khi tieán veà , kyù hieäu lim ( )= hay f L x a x→a f x L f(x) → L, khi x → a; neáuu ∀>0, ∃δ>0:x ∈ X \{a},d(x, a) <δ⇒ d(f(x),L) <. Deã thaáy ñònh nghóa theo ngoân ngöõ (, δ) cuûa Cauchy ôû treân hoaøn toaøn töông ñöông vôùi ñònh nghóa theo daõy cuûa Heine: lim f(x)=L neáuu moïi daõy (xk) ⊂ X \{a}, lim xk = a ⇒ lim f(xk)=L. x→a k→∞ k→∞ Ñeå yù laø veà maët hình thöùc ñònh nghóa treân hoaøn toaøn gioáng tröôøng hôïp haøm moät bieán, cuøng vôùi tính chaát giôùi haïn daõy ta coù Meänh ñeà. lim ( )= =( 1 ··· m) ⇐⇒ lim i( )= i =1 ··· x→a f x L L , ,L x→a f x L ,i , ,m. Baøi taäp: Töø meänh ñeà treân phaùt bieåu vaø chöùng minh caùc tính chaát veà giôùi haïn cuûa toång, hieäu, tích voâ höôùng, chuaån, hôïp caùc aùnh xaï, ñoàng thôøi tính baûo toaøn quan heä thöù töï ≤ khi qua giôùi haïn caùc haøm.
28 Ví duï. ( + ) a) lim xy x y =0, 2 + 2 (x,y )→(0,0) x y 2 2 xy(x + y) 1 |x + y ||x + y| vì ≤ ≤|x + y|→0, khi (x, y) → (0, 0). x2 + y2 2 |x2 + y2| sin xy sin xy b) lim = lim x =1.0=0. (x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) xy − c) lim x y khoâng toàn taïi. Ñeå chöùng minh ñieàu naøy chæ caàn choïn 2 döõay, chaúng (x,y)→(0,0) x + y 1 1 1 haïn (xk,yk)=(k , k ) vaø (xk,yk)=(k , 0) ñeàu tieán veà (0, 0), nhng f(xk,yk) → 0 coøn f(xk,yk) → 1. 1.3 Giôùi haïn laëp. Giôùi haïn treân coøn goïi laø giôùi haïn ñoàng thôøi ñeå phaân bieät vôùi khaùi nieäm giôùi haïn laëp sau ñaây. Cho f(x, y) laø haøm hai bieán (hay toång quaùt hôn, haøm hai boä bieán). Giaû söû (x0,y0) laø ñieåm giôùi haïn cuûa mieàn xaùc ñònh cuûa f. Xeùt caùc giôùi haïn a12 = lim lim f(x, y),a21 = lim lim f(x, y),a= lim f(x, y). y→y0 x→x0 x→x0 y→y0 (x,y)→(x0,y0) Vaán ñeà: Moái quan heä giöõa caùc giôùi haïn treân ? Traû lôøi: loûng leûo, xeùt caùc ví duï sau Ví duï. Vôùi x0 =0,y0 =0. 1 1 a) f(x, y)=(x + y)sin x sin y . Ta coù a12,a21 khoâng toàn taïi, a =0. x2 − y2 b) f(x, y)= . Ta coù a12 =0,a21 =1, coøn a khoâng toàn taïi. x2 + y xy c) f(x, y)= . Ta coù a12 = a21 =0, coøn a khoâng toàn taïi. x2 + y2 1 d) f(x, y)=x sin y . Ta coù a12 =0, a21 khoâng toàn taïi, a =0. Baøi taäp: Tìm ñieàu kieän ñeå caùc giôùi haïn neâu treân toàn taïi vaø a = a12 = a21. Moät trong caùc ñieàu kieän laø: m Meänh ñeà. Cho f : X × Y → R , x0,y0 laø ñieåm tuï cuûa X, Y töông öùng. Giaû söû (i) Toàn taïi lim f(x, y)=g(x), ∀x ∈ X. y→y0 (ii) Toàn taïi lim f(x, y)=h(y) ñeàu theo y, i.e. x→x0 ∀>0, ∃δ>0:x ∈ X, d(x, x0) <⇒ d(f(x, y),h(y)) <, ∀y ∈ Y. Khi ñoù caùc giôùi haïn sau toàn taïi vaø lim f(x, y) = lim lim f(x, y) = lim lim f(x, y). (x,y)→(x0,y0) x→x0 y→y0 y→y0 x→x0
III.1 Giôùi haïn. 29 1.4 Giôùi haïn voâ cuøng - Giôùi haïn ôû voâ cuøng. Ta coøn xeùt caùc giôùi haïn khi x tieán ra “voâ cuøng” hay giôùi haïn “voâ cuøng”, vaø coù caùc khaùi nieäm töông öùng cho caùc kyù hieäu sau: lim ( )= lim ( )=∞ lim ( )=∞ x→∞ f x L, x→a f x , x→∞ f x . Baøi taäp: haõy neâu caùc ñònh nghóa sao cho phuø hôïp vôùi caùc khaùi nieäm töông öùng cuûa haøm moät bieán. Coù bao nhieâu “ñieåm voâ cuøng” trong Rn ? Hieåu theá naøo laø hình caàu hay laân caän cuûa ñieåm voâ cuøng ? n n m 1.5 Kyù hieäu o vaø O. Cho a ∈ R hay a = ∞. Kyù hieäu Fa(R , R ) laø khoâng gian caùc haøm töø laân caän cuûa a trong Rn vaøo Rm. Ñeå so saùnh caùc haøm trong laân caän a, ngöôøi ta thöôøng duøng caùc kyù hieäu sau. n m Cho f,ψ ∈ Fa(R , R ). Khi ñoù kyù hieäu vaø ñònh nghóa: f(x) f = o(ψ) khi x → a ⇔ lim =0. x→a ψ(x) n m Baøi taäp: Cho f,g,ψ ∈ Fa(R , R ). Chöùng minh: (1) Neáu f = o(ψ) vaø g = o(ψ) khi x → a, thì f + g = o(ψ) khi x → a. (2) Neáu f = o(ψ) khi x → a vaø g bò chaën, thì = o(ψ) khi x → a. n m Cho f,ψ ∈ Fa(R , R ), kyù hieäu vaø ñònh nghóa: f = O(ψ) khi x → a ⇔∃C>0,r >0:f(x)≤Cψ(x), ∀x ∈ B(a, r). n m Baøi taäp: Cho f,g,ψ ∈ Fa(R , R ). Chöùng minh: (1) Neáu f = O(ψ) vaø g = O(ψ) khi x → a, thì f + g = O(ψ) khi x → a. (2) Neáu f = O(ψ) khi x → a vaø g bò chaën, thì = O(ψ) khi x → a. Nhaän xeùt. Nhö vaäy kyù hieäu o(ψ),O(ψ) chæ moät lôùp haøm chöù khoâng phaûi moät haøm cuï theå naøo. Chaúng haïn, töø f = o(ψ) vaø g = o(ψ) khoâng theå suy ra f = g. n Cho f,g ∈ Fa(R , R), kyù hieäu vaø ñònh nghóa: f(x) f ∼ g khi x → a ⇔ lim =1. x→a g(x) Baøi taäp: Chöùng minh quan heä ∼ laø quan heä töông ñöông. Ví duï. Khi n →∞, ta coù: p p−1 p P (n)=apn + ap−1n + ···+ a0 ∼ apn (ap =0) ( +1) 1+2+···+ = n n = ( 2) n 2 O n n(2n +1)(n +2) 12 +22 + ···+ n2 = = O(n3) 6 n n+ 1 n √ n 2 n! ∼ 2πn = O e e
30 Baøi taäp: So saùnh 2n,np, lnq n, np lnq n khi n → +∞. Baøi taäp: Chöùng minh vôùi p ∈ N, ta coù: 1p +2p + ···+ np = O(np+1) khi n →∞ 2. TÍNH LIEÂN TUÏC 2.1 Ñònh nghóa. f : X → Rm, X ⊂ Rn, goïi laø lieân tuïc taïi a ∈ X neáuu lim ( )= ( ) x→a f x f a . Baøi taäp: vieát ñònh nghóa lieân tuïc theo ngoân ngöõ (, δ), vaø theo ngoân ngöõ daõy. Töø ñònh nghóa deã thaáy f lieân tuïc taïi a töông ñöông vôùi ñieàu kieän hình hoïc: ∀>0, ∃δ>0: B(a, δ) ⊂ f −1(B(f(a),) Baøi taäp: Cho f : Rn → Rm. Chöùng minh caùc ñieàu sau töông ñöông (i) f lieân tuïc treân Rn. (ii) Moïi taäp môû V ⊂ Rm, f −1(V ) laø môû. (iii) Moïi taäp ñoùng F ⊂ Rm, f −1(F ) laø ñoùng. Kyù hieäu C(X, Rm) khoâng gian caùc haøm f : X → Rm lieân tuïc taïi moïi ñieåm cuûa X. Haøm f goïi laø giaùn ñoaïn taïi a neáuu f khoâng lieân tuïc taïi a. Töø tính chaát giôùi haïn deã suy ra Meänh ñeà. Toång, hieäu, tích voâ höôùng, thöông (m =1vaø maãu khaùc khoâng), hôïp caùc haøm lieân tuïc laø lieân tuïc. Ví duï. a) Lôùp caùc haøm sô caáp laø caùc haøm ñöôïc laäp thaønh bôûi caùc haøm sô caáp cô baûn: haøm x haèng, haøm chieáu f(x1, ··· ,xn)=xi (i =1, ··· ,n), haøm exponent e , haøm logarithm ln x, haøm sine sin x vaø haøm arcsine arcsin x; baèng caùc pheùp toaùn soá hoïc (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caùc pheùp hôïp thaønh. Theo meänh ñeà treân haøm sô caáp laø lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh cuûa noù. i1 in b) Haøm ña thöùc f(x1, ··· ,xn)= ai1,··· ,in x1 ···xn , 0≤i1···in≤N n laø lieân tuïc treân R vì laø toång caùc tích caùc haøm lieân tuïc: x → xi,x→ a. c) Nhaéc laïi aùnh xaï T : Rn −→ Rm goïi laø tuyeán tính neáuu T (αx + βy)=αT (x)+βT(y), ∀x, y ∈ Rn,α,β ∈ R. Khi coá ñònh cô sôû chính taéc, T hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ma traän m doøng n coät (aij)m×n, m trong ñoù T (ej)= aijei,j=1, ··· ,m. i=1
III.2 Tính lieân tuïc. 31 Neáu bieåu dieãn y = Tx döôùi daïng vector coät, ta coù quan heä theo qui taéc nhaân ma traän:       y1 a11 a12 ··· a1n x1  .   . . .   .   .  =  . . .   .  ym am1 am2 ··· amn xn Moãi haøm thaønh phaàn laø ña thöùc baäc 1, suy ra moïi aùnh xaï tuyeán tính laø lieân tuïc. Baøi taäp: Cho T laø aùnh xaï tuyeán tính. Chöùng minh ∃M>0: Tx≤Mx, ∀x ∈ Rn. Ta seõ kyù hieäu T =maxTx , goïi laø chuaån cuaû T x=1 2.2 Caùc ñònh lyù cô baûn cuûa haøm lieân tuïc treân taäp compact. Ñònh lyù (Weierstrass). Cho f : K −→ Rm. Neáu f lieân tuïc vaø K compact, thì f(K) compact. Heä quûa. Neáu f : K → R laø haøm lieân tuïc treân taäp compact K ⊂ Rn, thì f ñaït ñöôïc max, min treân K, i.e. toàn taïi a, b ∈ K sao cho f(a)=supf(x),f(b)= inf f(x). x∈K x∈K Chöùng minh: Giaû söû (yk) laø daõy trong f(K). Goïi xk ∈ K, yk = f(xk).DoK compact, toàn taïi daõy con xσ(k)) hoäi tuï veà x ∈ K. Do tính lieân tuïc cuûa f daõy con (yσ(k) = f(xσ(k))) hoäi tuï veà f(x) ∈ f(K). Vaäy f(K) compact. Khi m =1, theo chöùng minh treân f(K) laø ñoùng vaø giôùi noäi. Töø tính giôùi noäi, suy ra toàn taïi M =supf(K) vaø m =inff(K). Töø f(K) ñoùng, toàn taïi a, b ∈ K, sao cho f(a)=M,f(b)=m. Ñònh lyù (Cantor). Cho f : K −→ Rm. Neáu f lieân tuïc vaø K compact, thì f lieân tuïc ñeàu treân K, i.e. ∀>0, ∃δ>0:x, x ∈ K, d(x, x) 0, ∀k ∈ N, ∃xk,xk ∈ K : d(xk,xk) < , nhöng d(f(xk),f(xk)) ≥ . k Do K compact, toàn taïi daõy con (xσ(k)) cuûa (xk) hoäi tuï veà x ∈ K. Töø baát ñaúng thöùc 1 d(xσ(k),x )) < , suy ra daõy con (x ) cuûa (x ) cuõng hoäi tuï veà x. Töø tính σ(k) σ(k) σ(k) k lieân tuïc cuûa f suy ra d(f(xσ(k)),f(xσ(k))) hoäi tuï veà d(f(x),f(x)) = 0. Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi giaû thieát. Baøi taäp: Tìm ví duï haøm lieân tuïc nhöng khoâng lieân tuïc ñeàu (HD: Chaúng haïn xeùt
32 1 haøm f(x)= ,x∈ (0, +∞).) x ÖÙng duïng. Moïi khoâng gian vector höõu haïn chieàu E ñeàu toàn taïi chuaån vaø moïi chuaån trong E laø töông ñöông. Tröôùc heát ta neâu caùc ñònh nghóa. Cho E laø moät khoâng gian vector treân R. AÙnh xaï N : E → R goïi laø chuaån neáuu noù thoaû caùc ñieàu kieän (N1)(N2)(N3) cuûa tính chaát n n I.1.3. Chaúng haïn, trong R , x → max1≤i≤n |xi| hay x → i=1 |xi| laø caùc chuaån khaùc chuaån Euclid x. Nhaän xeùt. Neáu moät khoâng gian coù chuaån, thì treân khoâng gian ñoù coù khaùi nieäm hoäi tuï theo chuaån ñaõ cho. Ta noùi 2 chuaån N1,N2 laø töông ñöông neáuu toàn taïi 2 soá döông M,m sao cho mN1(x) ≤ N2(x) ≤ MN1(x), ∀x ∈ E. Nhaän xeùt. Nhö vaäy 2 chuaån töông ñöông cho hai khaùi nieäm hoäi tuï nhö nhau, i.e. moät daõy hoäi tuï theo chuaån naøy thì cuõng hoäi tuï theo chuaån kia. Ñeå chöùng minh söï toàn taïi chuaån treân E, coá ñònh moät cô sôû f1, ··· ,fn cuûa E. Khi ñoù n ñaúng caáu tuyeán tính T : E → R ,x1f1 + ···+ xnfn → (x1, ··· ,xn), caûm sinh chuaån −1 n NE = T ◦ N treân E töø chuaån N treân R . Cuõng töø ñaúng caáu ñoù, ñeå chöùng minh moïi chuaån treân E ñeàu töông ñöông, ta chæ caàn chöùng minh moïi chuaån N trong Rn ñeàu töông ñöông vôùi chuaån Euclid , nhö vaäy moïi chuaån trong Rn (vaø vì vaäy treân E) laø töông ñöông. Goïi Sn−1 = {x ∈ Rn : x =1} laø maët caàu ñôn vò . Khi ñoù vì N lieân tuïc (taïi sao?), vaø Sn−1 compact (taïi sao?), suy ra toàn taïi M =maxN(x), vaø m = min N(x). x∈Sn−1 x∈Sn−1 x Roõ raøng M,m > 0. Vôùi moïi x ∈ Rn \{0}, ta coù ∈ Sn−1. Töø tính chaát (N2) suy x ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh mx≤N(x) ≤ Mx. 2.3 Ñònh lyù cô baûn cuûa haøm lieân tuïc treân taäp lieân thoâng. Ñònh lyù (Cauchy). Cho f : C → Rm. Neáu f lieân tuïc vaø C lieân thoâng, thì f(C) lieân thoâng. Heä quûa 1. Cho f : C → R. Neáu f lieân tuïc vaø C lieân thoâng, thì f(C) laø moät khoûang. Suy ra, neáu a, b ∈ C vaø µ ∈ R maø f(a) <µ<f(b), thì toàn taïi c ∈ C : f(c)=µ. Heä quûa 2. Cho f laø haøm lieân tuïc treân taäp lieân thoâng C. Neáu f(C) laø taäp rôøi raïc (chaúng haïn f chæ nhaän caùc giaù trò nguyeân), thì f laø haøm haèng. Chöùng minh: Phaûn chöùng, giaû söû f(C) khoâng lieân thoâng, i.e. toàn taïi caùc taäp môû A, B taùch f(C). Töø tính lieân tuïc cuûa f suy ra toàn taïi caùc taäp môû U, V sao cho f −1(A)=C ∩ U vaø f −1(B)=C ∩ V . Deã kieåm tra U, V laø caùc taäp môû taùch C. Vaäy C khoâng lieân thoâng. Do taäp lieân thoâng trong R1 laø moät khoûang vaø taäp hôïp rôøi raïc lieân thoâng khi vaø chæ khi noù laø moät ñieåm, suy ra caùc heä quûa
III.2 Tính lieân tuïc. 33 Baøi taäp: Cho f :[a, b] → [a, b] laø haøm lieân tuïc. Chöùng minh toàn taïi x∗ ∈ [a, b], sao cho f(x∗)=x∗. Baøi taäp: Cho f :[a, b] → R lieân tuïc vaø f(b),f(a) traùi daáu. Duøng phöông phaùp chia ñoâi ñoaïn, xaây döïng daõy (xk) hoäi tuï veà moät nghieäm cuûa phöông trình f(x)=0 ÖÙng duïng. (Ñònh lyù Ulam-Borsuk) Moïi haøm lieân tuïc f : Sn −→ R,n ≥ 1, ñeàu n toàn taïi x0 ∈ S sao cho f(x0)=f(−x0). (trong ñoù Sn = {x ∈ Rn+1 : x =1} laø maët caàu ñôn vò.) Ñeå chöùng minh, xeùt g(x)=f(x) − f(−x). Khi ñoù g lieân tuïc treân Sn laø taäp lieân thoâng (taïi sao?). Vaäy g(Sn) laø khoaûng trong R. Maët khaùc g(x)g(−x) ≤ 0, neân g(Sn) phaûi chöùa 0. Töø ñoù suy ra ñieàu caàn chöùng minh. 2.4 Nguyeân lyù aùnh xaï co Ñònh lyù (Banach). Cho M ⊂ Rn laø taäp ñoùng. Giaû söû f : M → M laø aùnh xaï co (theo metric d), i.e. ∃θ, 0 <θ<1: d(f(x),f(y)) ≤ θd(x, y), ∀x, y ∈ M. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng cuûa f, i.e. ∃!x∗ ∈ M : f(x∗)=x∗. Cuï theå, cho x0 ∈ M xaây döïng daõy (xk) vôùi x1 = f(x0),xk+1 = f(xk)(k =2, 3, ···). ∗ Khi ñoù (xk) hoäi tuï veà ñieåm baát ñoäng x cuûa f. Chöùng minh: Vôùi daõy (xk) ñöôïc xaây döïng nh treân, ta coù k d(xk+1,xk)=d(f(xk),f(xk−1) ≤ θd(xk,xk−1) ≤···≤θ d(x1,x). Töø ñoù suy ra vôùi m =1, 2, ··· k+m k d(xk+m,xk) ≤ d(xk+m,xk+m−1)+···+ d(xk+1,xk) ≤ (θ + ···θ )d(x1,x0) θk ≤ d(x1,x) → 0, khi k →∞. 1 − θ ∗ ∗ Vaäy (xk) laø daõy Cauchy, neân toàn taïi lim xk = x .DoM ñoùng x ∈ M. Deã thaáy f co thì f lieân tuïc vaø töø caùch xaây döïng daõy suy ra f(x∗)=x∗. Neáu x¯ ∈ M laø ñieåm baát ñoäng cuûa f, i.e. f(¯x)=¯x, thì d(¯x, x∗)=d(f(¯x),f(x∗)) ≤ θd(¯x, x∗). Do θ<1, neân d(¯x, x∗)=0, i.e. x¯ = x∗. Ví duï. Cho f : R → R laø haøm khaû vi. Gæa söû toàn taïi 0 <θ<1 sao cho |f (x)| <θ,∀x. Khi ñoù theo ñònh lyù Lagrange |f(x) − f(y)| = |f (c)||x − y|≤θ|x − y|, ∀x, y ∈ R Vaäy f laø aùnh xaï co. Baøi taäp: Tìm ví duï haøm f : M → M thoûa d(f(x),f(y)) <d(x, y), ∀x, y ∈ M,x = y,
34 1 nhöng khoâng phaûi laø aùnh xaï co, vaø khoâng coù ñieåm baát ñoäng. ( Hd: Xeùt f(x)=x + , x vôùi x ∈ M =[1, ∞)). n n Baøi taäp: Cho T : R → R laø aùnh xaï tuyeán tính coù ma traän bieåu dieãn laø (tij). Chöùng minh T laø aùnh xaï co (ñoái vôùi metric töông öùng) neáu n n 2 tij 0, ∃N(): k ≥ N ⇒ d(fk(x),f(x)) ≤ , ∀x ∈ X, noùi moät caùch khaùc, neáu ñaët Mk =supd(fk(x),f(x)), thì lim Mk =0. x∈X k→∞ Moät chuoãi haøm treân X, laø toång hình thöùc daïng ∞ m fk = f0 + f1 + ···+ fk + ··· , vôùi fk : X → R k=0 Xeùt daõy haøm toång rieâng thöù kSk = f0 + f1 + ···+ fk. Khi ñoù chuoãi goïi laø hoäi tuï ñieåm (t.ö. hoäi tuï ñeàu) treân X neáuu (Sk) hoäi tuï ñieåm (t hoäi tuï ñeàu) treân X. Nhö vaäy khaùi nieäm chuoãi haøm xem laø tröôøng hôïp rieâng cuûa daõy haøm. Ví duï.  1  1 − | | neáu | |≤ a) Cho daõy haøm treân R xaùc ñònh bôûi ( )= x x k, fk x  k 0 neáu |x| >k. Khi ñoù (fk) hoäi tuï veà f(x) ≡ 1. Tuy nhieân söï hoäi tuï laø khoâng ñeàu vì sup |fk(x) − f(x)| =1 → 0, khi k →∞. x∈R ∞ 1 b) Chuoãi haøm k hoäi tuï ñieåm veà ( )= , treân [−1 1) vaø neáu 0 ≤ 1, thì x f x 1 − , r< k=0 x söï hoäi tuï laø ñeàu treân [−r, r]. k+1 k 1 − x Ñeå chöùng minh, xeùt daõy haøm Sk(x)=1+x + ···+ x = . Ta kieåm tra tính 1 − x hoäi tuï ñeàu treân [−r, r]: xk+1 rk+1 sup |Sk(x) − f(x)| =sup = → 0, khi k →∞. |x|≤r |x|≤r 1 − x 1 − r Vaäy tính hoäi tuï ñeàu ñöôïc chöùng minh. Baøi taäp: Chöùng minh chuoãi treân hoäi tuï ñieåm veà f treân (−1, 1), nhöng söï hoäi tuï laø
III.3 Söï hoäi tuï ñeàu. 35 khoâng ñeàu treân taäp ñoù. 3.2 Meänh ñeà. Daõy (fk) hoäi tuï ñeàu treân X khi vaø chæ khi noù thoûa ñieàu kieän Cauchy ∀>0, ∃N : k, l > N ⇒ d(fk(x),fl(x)) ≤ , ∀x ∈ X. Chöùng minh: Xem nhö baøi taäp Nhieàu haøm ñöôïc ñònh nghóa qua daõy haøm hay chuoãi haøm. Baøi taäp: Döïa vaøo meänh ñeà treân, chöùng minh caùc chuoãi haøm sau laø hoäi tuï treân R vaø hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [a, b]. 1 1 a) 1+ x + ···+ xk + ··· (ñònh nghóa haøm ex) 1! k! 1 1 b) x − x3 + ···+ x2k+1 + ··· (ñònh nghóa haøm sin x) 3! (2k +1)! 1 1 c) 1+ x + ···+ x2k + ··· (ñònh nghóa haøm cos x) 2! 2k! k Ví duï. Cho fk(x)=x ,x ∈ [0, 1]. Khi ñoù (fk) laø daõy caùc haøm lieân tuïc, nhöng haøm giôùi haïn khoâng lieân tuïc. Meänh ñeà sau minh hoïa laø ñieàu kieän hoäi tuï ñeàu baûo toaøn moät soá tính chaát giaûi tích cuûa daõy. 3.3 Meänh ñeà. Cho (fk) laø daõy haøm. Neáu fk lieân tuïc vôùi moïi k vaø (fk) hoäi tuï ñeàu veà f, thì f lieân tuïc. Chöùng minh: Vôùi moïi x0 vaø >0, do tính hoäi tuï ñeàu, toàn taïi N sao cho khi k>N, ( ( ) ( )) vaø ( ( ) ( )) d f x ,fk x 0, sao cho ( ( ) ( )) khi ( ) d fk x ,fk x0 0:f(x)≤M,∀x ∈ X.
36 Treân khoâng gian naøy ñònh nghóa chuaån f =supf(x). x∈X Deã daøng chöùng minh caùc khaúng ñònh sau: (i) BF(X, Rm) laø khoâng gian ñònh chuaån vôùi chuaån ñôïc ñònh nghóa treân. Nhö vaäy, nhö trong Rn, chuaån treân cho pheùp ño khoaûng caùch giöõa caùc haøm nhôø metric d(f,g)=f − g,f,g∈ BF(X, Rm) m (ii) Cho f,fk ∈ BF(X, R ). Khi ñoù daõy haøm (fk)k∈N hoäi tuï ñeàu veà f khi vaø chæ khi m fk → f trong BF(X, R ) theo metric neâu treân, i.e. d(fk,f) → 0, khi k →∞. (iii) Neáu X compact, thì C(X, Rm) laø khoâng gian ñuû, i.e. trong khoâng gian naøy moät daõy hoäi tuï khi vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy. Khaúng ñònh (iii) naøy suy töø meänh ñeà 3.3, (iv) suy töø meänh ñeà 3.2, vôùi chuù yù laø ñieàu kieän compact baûo ñaûm tính giôùi noäi cuûa haøm lieân tuïc treân ñoù. 4. ÑÒNH LYÙ STONE-WEIERSTRASS Phaàn naøy ta nghieân cöùu vieäc xaáp xæ ñeàu haøm lieân tuïc bôûi haøm ñôn giaûn, deã xöû lyù (nhö haøm tuyeán tính töøng khuùc, haøm baäc thang hay haøm ña thöùc). 4.1 Xaáp xæ bôûi haøm tuyeán tính töøng khuùc. Haøm lieân tuïc g :[a, b] → R ñöôïc goïi laø tuyeán tính töøng khuùc neáuu toàn taïi phaân hoaïch a = a0 <a1 < ···<ak = b, sao cho treân moãi ñoaïn con g laø haøm baäc nhaát: g(x)=Aix + Bi,x∈ [ai−1,ai],i=1, ··· ,k Do g lieân tuïc caùc heä soá Ai,Bi phaûi thoûa heä thöùc naøo ñoù. Deã thaáy ñoà thò g laø moät ñöôøng gaáp khuùc. Baøi taäp: Cho f :[a, b] → R lieân tuïc. Khi ñoù toàn taïi daõy haøm tuyeán tính töøng khuùc hoäi tuï ñeàu veà f. Hd: Vôùi moãi phaân hoaïch ñoaïn [a, b], xeùt haøm tuyeán tính töøng khuùc maø ñoà thò laø ñöôøng gaáp khuùc noái caùc ñieåm thuoäc ñoà thò f öùng vôùi caùc ñieåm chia. Döïa vaøo tính lieân tuïc ñeàu cuûa f chöùng toû khi phaân hoaïch caøng mòn thì haøm tuyeán tính ñoù caøng gaàn ñeàu haøm f. 4.2 Xaáp xæ bôûi haøm baäc thang. Haøm g : K → R goïi laø haøm baäc thang neáuu toàn taïi phaân hoaïch K thaønh höõu haïn taäp X1, ··· ,Xk sao cho g laø haèng treân moãi taäp ñoù. Baøi taäp: Cho f :[a, b] → R lieân tuïc. Khi ñoù toàn taïi daõy haøm baäc thang hoäi tuï ñeàu veà f. Hd: Vôùi moãi phaân hoaïch ñoaïn [a, b], xeùt haøm baäc thang maø giaù trò treân moãi ñoaïn chia laø moät giaù trò naøo ñoù cuûa f treân ñoaïn ñoù (chaúng haïn giaù trò ñaàu muùt hay max, min). Döïa vaøo tính lieân tuïc ñeàu cuûa f chöùng toû khi phaân hoaïch caøng mòn thì haøm baäc thang ñoù caøng gaàn ñeàu haøm f. Baøi taäp: Toång quaùt baøi taäp treân cho haøm lieân tuïc treân taäp compact trong Rn. Phaàn sau ta xeùt ñeán vieäc xaáp xæ haøm bôûi ña thöùc hay ña thöùc löôïng giaùc.
III.4 Ñònh lyù Stone-Weierstrass. 37 4.3 Ñònh lyù (Weierstrass). Vôùi moïi haøm f lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] toàn taïi daõy haøm ña thöùc hoäi tuï ñeàu veà f. Chöùng minh: Caùch chöùng minh sau cuûa Bernstein (1912) coù tính xaây döïng daõy ña thöùc cuï theå hoäi tuï veà f. Baèng pheùp ñoåi bieán x = a + t(b − a), ta ñöa veà tröôøng hôïp [a, b]=[0, 1]. Daõy ña thöùc Bernstein ñôïc ñònh nghóa nhö sau laø hoäi tuï ñeàu veà f: k p p p k−p Bk(x)=Bkf(x)= Ck f( )x (1 − x) . p=0 k Ñeå chöùng minh, tröôùc heát ta chuaån bò moät soá ñaúng thöùc. k k p p k−p Coâng thöùc nhò thöùc: (x + y) = Ck x y . p=0 k k−1 p p k−p Ñaïo haøm theo x vaø nhaân x: kx(x + y) = pCk x y . p=0 k 2 2 k−2 p p k−p Ñaïo haøm laàn nöõa vaø nhaân x : k(k − 1)x (x + y) = p(p − 1)Ck x y . p=0 p p k−p Ñaët y =1− x vaø rp(x)=Ck x (1 − x) , thay vaøo caùc ñaúng thöùc treân k k k 2 rp(x)=1, prp(x)=kx, p(p − 1)rp(x)=k(k − 1)x . p=0 p=0 p=0 Suy ra k k k 2 2 2 2 (p − kx) rp(x)=k x rp(x) − 2kx prp(x)+ p rp(x)=kx p=0 p=0 p=0 p=0 = k2x2 − 2kx +(kx + k(k − 1)x2)=kx(1 − x) Baây giôø ñaët M =max|f(x)|. Cho >0. Do tính lieân tuïc ñeàu toàn taïi δ>0, sao cho, |x|≤1 neáu |x − y| <δ, thì |f(x) − f(y)| <. Ta caàn ñaùnh gía k k p p p k−p p f(x) − Bk(x)=f(x) − Ck f( )x (1 − x) = (f(x) − f( ))rp(x). p=0 k p=0 k Chia toång cuoái chia thaønh 2 toång: p p 1 goàm caùc p : | − x| <δ. Khi ñoù |f(x) − f( )| <vaø rp(x) ≥ 0, neân k k k | 1 |≤ rp(x)=. p=0
38 p p − kx 2 goàm caùc p : | − x|≥δ. Khi ñoù | |≥1, neân k kδ k p − kx 2 | 2 |≤2M rp(x) ≤ 2M rp(x) |p−kx|≥kδ p=0 kδ 2M M ≤ kx(1 − x) ≤ . kδ2 2δ2k Toùm laïi, vôùi >0, toàn taïi δ>0, sao cho M |f(x) − Bk(x)|≤| 1 | + | 2 | <+ 2δ2k 2 Vaäy khi k ≥ M/2δ , ta coù: sup |f(x) − Bk(x)| < 2. |x|≤1 Baøi taäp: Chöùng minh giaû thieát compact laø caàn thieát trong ñònh lyù Weierstrass. ( Hd: Chöùng minh haøm f(x)=ex khoâng theå xaáp xæ ñeàu bôûi ña thöùc treân R.) Baây giôø ta xeùt ñeán tröôøng hôïp toång quaùt. 4.4 Ñònh nghóa. Taäp A caùc haøm xaùc ñònh treân K ⊂ Rn goïi laø ñaïi soá neáuu ∀f,g ∈A,α∈ R,f+ g, fg vaø αf ∈A. Ñaïi soá haøm A goïi laø taùch ñieåm neáuu ∀x, y ∈ K, x = y, ∃ϕ ∈A: ϕ(x) = ϕ(y). Ví duï. n a) Taäp R[x1, ··· ,xn] caùc ña thöùc n bieán thöïc laø ñaïi soá haøm treân R . b) Taäp caùc ña thöùc löôïng giaùc daïng k a0 + (ap sin px + bp cos px),ap,bp ∈ R,k ∈ N, p=1 laø moät ñaïi soá haøm treân R. c) Cho ϕ1, ··· ,ϕs : K → R. Lôùp caùc haøm coù daïng sau laø moät ñaïi soá haøm treân K k p1 ps ap1···ps ϕ1 (x) ···ϕ (x), vôùi ap1···ps ∈ R,k ∈ N. p1+···+ps=0 Baøi taäp: Chöùng minh caùc ñaïi soá ôû ví duï a) vaø b) laø taùch ñieåm. 4.5 Ñònh lyù (Stone-Weierstrass) Cho K laø taäp compact trong Rn. Giaû söû A⊂C(K) laø moät ñaïi soá caùc haøm lieân tuïc treân K, taùch ñieåm vaø chöùa haøm haèng. Khi ñoù vôùi moïi haøm haøm lieân tuïc treân K coù theå xaáp xæ ñeàu bôûi haøm trong A, i.e. ∀f ∈ C(K), ∃gk ∈A:(gk)k∈N hoäi tuï ñeàu veà f.
III.4 Ñònh lyù Stone-Weierstrass. 39 Chöùng minh: (Stone-1948) Ta chuaån bò moät soá boå ñeà. Boå ñeà 1. Ñaët A = {g : g laø giôùi haïn ñeàu cuûa daõy haøm thuoäc A}. Khi ñoù A⊂C(K) laø ñaïi soá, taùch ñieåm, chöùa haøm haèng. Hôn nöõa, neáu daõy haøm (hk) ⊂ A hoäi tuï ñeàu veà h, thì h ∈ A, i.e. A = A. Thöïc vaäy, roõ raøng A laø ñaïi soá haøm lieân tuïc, do Meänh ñeà 3.3, vaø taùch ñieåm chöùa haøm haèng vì chöùa A. Hôn nöõa, giaû söû (hk) ⊂ A hoäi tuï ñeàu veà h. Khi ñoù, vôùi moïi k, toàn taïi daõy (gk,i) ⊂Ahoäi tuï ñeàu veà hk (khi i →∞). Theo qui taéc ñöôøng cheùo (Baøi taäp: laäp luaän kieåu ) toàn taïi daõy ( = ) ⊂Ahoäi tuï veà . Vaäy ∈ A. 2 gk gσ(k),i(k) h h Boå ñeà 2. Vôùi moïi x, y ∈ K, α, β ∈ R, toàn taïi haøm h ∈ A, h(x)=α, h(y)=β. Ñeå xaây döïng h,doA taùch ñieåm toàn taïi ϕ ∈A, ϕ(x) = ϕ(y). Ñònh nghóa h(z)= ϕ(z) − ϕ(x) α +(β − α) . Khi ñoù h laø haøm caàn tìm. ϕ(y) − ϕ(x) Boå ñeà 3. Neáu h1,h2 ∈ A, thì max(h1,h2), min(h1,h2) ∈ A + + | − | + −| − | Thaät vaäy, do max( )=h1 h2 h1 h2 vaø min( )=h1 h2 h1 h2 , h1,h2 2 h1,h2 2 neân chæ caàn chöùng minh raèng: h ∈ A⇒|h|∈A. Ñeå chöùng minh ñieàu ñoù, ta coù h lieân tuïc treân taäp compact, neân toàn taïi M>0, sao cho |h(x)| 0, ∃g ∈ A : d(f(x),g(x)) <, ∀x ∈ K, i.e. f(x) − <g(x) <f(x)+, ∀x ∈ K. Vôùi moïi x, y ∈ K, theo Boå ñeà 2, toàn taïi hx,y ∈ A : hx,y(x)=f(x),hx,y(y)=f(y). Coá ñònh x. Khi ñoù vôùi moïi y ∈ K,dohx,y(y)=f(y), toàn taïi caàu môû Uy taâm y sao cho hx,y(z) <f(z)+, ∀z ∈ Uy ∩ K. Hoï Px = {Uy,y ∈ K} laø moät phuû môû cuûa K,doK compact, toàn taïi höõu haïn taäp môû Uy1 , ··· ,Uyp phuû K. Ñaët hx = min(hx,y1 , ··· ,hx,yp ). Theo Boå ñeà 3, hx ∈ A vaø hx(z) <f(z)+, ∀z ∈ K. Vôùi moïi x ∈ K,dohx(x)=f(x) vaø tính lieân tuïc, toàn taïi caàu môû Vx taâm x sao cho f(z) − <hx(z), ∀z ∈ Vx ∩ K. Hoï P = {Vx,x ∈ K} laø phuû môû cuûa K. Töø tính chaát Heine-Borel, toàn taïi höõu haïn taäp Vx1 , ··· ,Vxq phuû K. Ñaët g =max(hx1 , ··· ,hxq ). Theo Boå ñeà 3, g ∈ A vaø f(z) − <g(z),z∈ K.
40 Deã thaáy g laø haøm caàn tìm. 4.6 Heä quûa. Moïi haøm lieân tuïc treân R vaø coù chu kyø T coù theå xaáp xæ ñeàu bôûi daõy N k 2πpx 2πpx ña thöùc löôïng giaùc Pk(x)=ak,0 + (ak,p sin( )+bk,p cos( )). p=1 T T Chöùng minh: Ñeå yù laø moät haøm lieân tuïc treân R, coù chu kyø T>0 laø thaùc trieån cuûa moät haøm thuoäc C[0,T]. Vaäy ñeå chöùng minh chæ caàn kieåm tra taäp caùc ña thöùc löôïng giaùc thoûa ñieàu kieän ñònh lyù Stone-Weierstrass. 4.7 Heä quûa. Moïi haøm lieân tuïc treân taäp compact trong Rn ñeàu coù theå xaáp xæ ñeàu bôûi daõy haøm ña thöùc n bieán. n n 4.8 Heä quûa. Cho K1 ⊂ R 1 vaø K2 ⊂ R 2 laø caùc taäp compact, A1 vaø A2 laø caùc ñaïi soá haøm treân K1,K2 töông öùng. Neáu A1 vaø A2 laø taùch ñieåm vaø chöùa haøm haèng, k thì moïi haøm f ∈ C(K1 × K2) ñeàu coù theå xaáp xæ ñeàu bôûi haøm coù daïng gi(x)hi(y) , i=1 trong ñoù gi ∈A1,hi ∈A2,k ∈ N. Chöùng minh: Chæ caàn kieåm tra caùc haøm coù daïng treân laø ñaïi soá haøm lieân tuïc treân K1 × K2, taùch ñieåm vaø chöùa haøm haèng, roài aùp duïng ñònh lyù Stone-Weierstrass. Nhaän xeùt. Ñònh lyù Stone-Weierstrass tuy khaúng ñònh khaû naêng xaáp xæ ñeàu haøm lieân tuïc treân taäp compact bôûi ña thöùc hay ña thöùc löôïng giaùc, nhöng vieäc chöùng minh khoâng cho pheùp xaây döïng töôøng minh daõy haøm xaáp xæ. Ñeå tính toaùn cuï theå (xaùc ñònh heä soá ña thöùc xaáp xæ) caàn nhieàu giaû thieát hôn veà hình hoïc cuûa taäp hay veà tính chaát cuûa haøm. Chaúng haïn, haøm lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] coù theå xaáp xæ bôûi daõy ña thöùc Bernstein. Toång quaùt hôn, neáu K laø hình hoäp trong Rn, ta coù n Baøi taäp: Cho f ∈ C[0, 1] . Ña thöùc Bernstein thöù k cuûa f ñöôïc ñònh nghóa p1 pn p1 pn p1 pn k−p1 k−pn Bk(x1, ··· ,xn)= C ···C f( , ··· , )x ···xn (1−x1) ···(1−xn) . k k k k 1 0≤p1,··· ,pn≤k Chöùng minh daõy (Bk) hoäi tuï ñeàu veà f. Moät höôùng phaùt trieån khaùc laø vieäc nghieân cöùu lôùp caùc haøm coù theå bieåu dieãn moät caùch ñòa phöông nhö chuoãi luõy thöøa: lyù thuyeát haøm giaûi tích.
IV. Ñaïo haøm 1. ÑAÏO HAØM Tröôùc khi ñöa ra ñònh nghóa, ta coù nhaän xeùt sau: Cho U laø taäp môû trong R. Haøm f : U → R laø khaû vi taïi a ∈ U neáu toàn taïi soá thöïc f (a), sao cho f(x) − f(a) f(a + h) − f(a) lim = lim = f (a) x→a x − a h→0 h i.e. f(a + h)=f(a)+f (a)h + o(h), i.e. f(x) coù theå xaáp xæ bôûi haøm baäc nhaát T (x)=f(a)+f (a)(x − a), vôùi x ñuû gaàn a. 1.1 Ñònh nghóa. Cho U laø taäp con môû trong Rn. AÙnh xaï f : U → Rm goïi laø khaû vi taïi a ∈ U neáuu toàn taïi aùnh xaï tuyeán tính A : Rn → Rm, sao cho f(a + h) − f(a) − Ah → 0, khi h → 0. h Khi ñoù, A goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi a vaø kyù hieäu Df(a) hay f (a). Nhaän xeùt. Theo ñònh nghóa, neáu f khaû vi taïi a, ta coù f(a + h)=f(a)+Df(a)h + o(h), ϕ(h) trong ñoù o(h) kyù hieäu caùc haøm ϕ(h) thoûa: lim =0. h→0 h Nhö vaäy f khaû vi taïi a khi vaø chæ khi f coù theå xaáp xæ baäc nhaát ôû laân caän a, bôûi aùnh xaï affin T . Khi ñoù T (x)=f(a)+Df(a)(x − a) goïi laø aùnh xaï tieáp xuùc vôùi f taïi a . Veà maët hình hoïc, tính khaû vi cuûa f taïi a töông ñöông vôùi söï toàn taïi phaúng tieáp xuùc vôùi ñoà thò taïi (a, f(a)). Khi ñoù ñoà thò cuûa f n m Gf = {(x, y) ∈ R × R : y = f(x),x∈ U} , coù phaúng tieáp xuùc laø ñoà thò cuûa aùnh xaï tieáp xuùc T n m n Ta = {(x, y) ∈ R × R : y = T (x)=f(a)+Df(a)(x − a),x∈ R }. Vì ta coù d((x, f(x)); Ta) ≤ d(f(x),T(x)) = o(x − a), khi x → a.
42 Meänh ñeà. (i) Neáu f khaû vi taïi a thì aùnh xaï tuyeán tính Df(a) laø duy nhaát. (ii) Neáu f khaû vi taïi a, thì noù lieân tuïc taïi ñoù. Chöùng minh: Neáu A, B laø caùc aùnh xaï tuyeán tính thoaû Ñònh nghóa 1.1, khi ñoù A(h) − B(h) lim =0. h→0 h Töø tính tuyeán tính, suy ra vôùi moïi x ∈ Rn \ 0, ta coù ( ) − ( ) ( ) − ( ) A x B x = lim A tx B tx =0 x t→0 tx Vaäy A(x)=B(x), ∀x ∈ Rn, i.e. A = B. Neáu f coù ñaïo haøm Df(a), thì lim( ( ) − ( )) = lim( ( ) − ( ) − ( )( − )) + lim ( )( − )=0 x→a f x f a x→a f x f a Df a x a x→a Df a x a Vaäy f lieân tuïc taïi a. Ví duï. a) Ñaïo haøm cuûa haøm haèng taïi moïi ñieåm laø aùnh xaï tuyeán tính 0. b) Ñaïo haøm cuûa aùnh xaï tuyeán tính T taïi moïi ñieåm laø chính noù, i.e. DT(a)=T,∀a. Baøi taäp: Tìm ví duï caùc haøm soá khoâng khaû vi. Nhaän xeùt. (i) Tröôøng hôïp haøm 1 bieán, ñeå yù laø moïi aùnh xaï tuyeán tính R → Rm, ñeàu coù daïng h → , vôùi A ∈ Rm naøo ñoù. Nhö vaäy trong tröôøng hôïp naøy ñaïo haøm ñöôïc ñoàng nhaát moät caùch töï nhieân vôùi vector (hay ma traän coät) A ∈ Rm. f(a + h) − f(a) Trong tröôøng hôïp naøy, ñaïo haøm haøm 1 bieán ñöôïc tính bôûi f (a) = lim . h→0 h
IV.1 Ñaïo haøm. 43 (ii) Khoâng theå tính ñaïo haøm baèng giôùi haïn neâu treân trong tröôøng hôïp soá bieán n>1, y vì noùi chung pheùp chia , vôùi y ∈ Rm,h∈ Rn, laø khoâng ñöôïc ñònh nghóa. h Theo quan ñieåm tính toaùn: moïi aùnh xaï tuyeán tính Rn −→ Rm ñöôïc ñoàng nhaát vôùi moät ma traän caáp m × n, khi ta coá ñònh cô sôû treân Rn vaø Rm. Vaäy khi söû duïng côû sôû chính taéc, ma traän Jf(a) bieåu dieãn ñaïo haøm Df(a) ñöôïc xaùc ñònh nhö theá naøo ? n Tröôùc heát ñeå yù raèng vôùi vector thöù j, ej ∈ R , trong cô sôû chính taéc (khi vieát dôùi daïng ma traän coät), theo pheùp nhaân ma traän, ta coù Jf(a)ej = coät thöù j cuûa ma traän Jf(a). Töø ñònh nghóa ñaïo haøm taïi a, ta coù Df(a)(tej)=f(a + tej) − f(a)+o(t). Ta coù ñònh nghóa: 1.2 Ñaïo haøm rieâng. Ñaïo haøm rieâng theo bieán thöù j cuûa haøm f taïi a , kyù hieäu Djf(a) ∂f hay (a), laø giôùi haïn (neáu toàn taïi) ∂xj ∂f f(a + tej) − f(a) Djf(a)= (a) = lim . ∂xj t→0 t ∂f Nhö vaäy ñeå tính taïi a =(a1, ··· ,an) ta coá ñònh caùc bieán xk = ak, vôùi k = j, vaø ∂xj laáy ñaïo haøm haøm moät bieán xj → f(a1, ··· ,xj, ··· ,an) taïi aj. n Toång quaùt hôn, cho e ∈ R \ 0, ta ñònh nghóa ñaïo haøm theo höôùng e cuûa haøm f taïi a, laø giôùi haïn (neáu toàn taïi) ∂f f(a + te) − f(a) Def(a)= (a) = lim . ∂e t→0 t Nhaän xeùt. Ñaïo haøm theo höôùng ñaùnh gía ñoä bieán thieân cuûa f theo höôùng e taïi a. Ví duï. a) Cho f(x, y)=xy. Töø coâng thöùc tính ñaïo haøm haøm moät bieán, ta coù ∂f ∂f (x, y)=yxy−1, (x, y)=xy ln y (x, y > 0). ∂x ∂y b) Cho f(x, y)= |xy|. Tính theo ñònh nghóa, ta coù ∂f f(t, 0) − f(0, 0) ∂f (0, 0) = lim =0, töông töï (0, 0) = 0. ∂x t→0 t ∂y 1.3 Ma traän Jacobi. Cho f(x1, ··· ,xn)=(f1(x1, ··· ,xn), ··· ,fm(x1, ··· ,xn)). Neáu f khaû vi taïi a ∈ U, thì ma traän bieåu dieãn Df(a) trong cô sôû chính taéc goïi laø ma traän Jacobi cuûa f taïi a , kyù hieäu Jf(a). Töø caùc nhaän xeùt treân suy ra:
44 ∂fi Meänh ñeà. Neáu f khaû vi taïi a, thì noù coù moïi ñaïo haøm rieâng (a), (i =1, ··· ,m; j = ∂xj 1, ··· ,m), vaø ma traän Jacobi   ∂f1 ∂f1  (a) ··· (a)   ∂x1 ∂xn    Jf(a)= ··· ··· ···  .  ∂fm ∂fm  (a) ··· (a) ∂x1 ∂xn Nhö vaäy Df(a):Rn → Rm laø aùnh xaï tuyeán tính xaùc ñònh bôûi     dx1 dy1  .   .  dx =  .  → dy =  .  = Jf(a)dx dxn dym Ta coù caùch vieát vi phaân coå ñieån:   ∂f1 ∂f1  df 1 = (a)dx1 + ···+ (a)dxn  ∂x1 ∂xn . .  . .   ∂fm ∂fm  df m = (a)dx1 + ···+ (a)dxn ∂x1 ∂xn Ví duï. a) Haøm f : R2 −→ R3, f(x, y)=(x2 + y2,x+ y, xy) laø khaû vi taïi moïi (x, y) ∈ R2, vaø ma traän Jacobi   2x 2y   Jf(x, y)= 11 . yx b) Xeùt haøm f(x, y)=x2 + y2. 2 2 Haøm coù haøm tieáp xuùc taïi (x0,y0) laø T (x, y)=x0 + y0 +2x0(x − x0)+2y0(y − y0). Ñoà thò haøm laø paraboloid cho bôûi phöông trình z = x2 + y2, trong R3. Phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi ñoà thò taïi (x0,y0,z0) laø ñoà thò haøm T z − z0 =2x0(x − x0)+2y0(y − y0). Ñeå yù laø phöông trình treân coù theå suy töø vi phaân dz =2x0dx +2y0dy. 1.4 Quan heä giöõa ñaïo haøm vaø ñaïo haøm rieâng. Neáu f coù ñaïo haøm taïi a, thì f coù ñaïo haøm rieâng theo moïi höôùng taïi a. Neáu f coù caùc ñaïo haøm rieâng taïi a, thì khoâng theå suy ra f khaû vi taïi a. ∂f ∂f Ví duï haøm f(x, y)= |xy|, coù caùc ñaïo haøm rieâng (0, 0) = (0, 0) = 0. Nhöng ∂x ∂y Df(0, 0) khoâng toàn taïi. Thaät vaäy, do f coù caùc ñaïo haøm rieâng, neân theo ñònh nghóa vaø meänh ñeà treân, f khaû vi taïi (0, 0) khi vaø chæ khi ∂f ∂f h f(h, k) − f(0, 0) − (0, 0) (0, 0) ∂x ∂y k √ → 0 , khi (h, k) → (0, 0). h2 + k2
IV.2 Caùc qui taéc cô baûn - Ñònh lyù phaàn gia. 45 |hk| i.e. √ → 0, khi (h, k) → (0, 0), ñieàu naøy khoâng coù. h2 + k2 Tuy nhieân, neáu theâm ñieàu kieän, ta coù ∂f Meänh ñeà. Cho f : U → Rm, U ⊂ Rn môû. Neáu caùc ñaïo haøm rieâng ,i=1, ··· ,n, ∂xi lieân tuïc treân U, thì f khaû vi taïi moïi x ∈ U. Chöùng minh: Chæ caàn chöùng minh cho m =1(?). Vôùi h =(h1, ··· ,hn) gaàn 0, n f(x + h) − f(x)= (f(x + vj) − f(x + vj−1)), vôùi vj =(h1, ··· ,hj, 0, ··· , 0). j=1 Vôùi moãi j, aùp duïng ñònh lyù giaù trò trung bình cho haøm 1 bieán gj(hj)=f(x + vj),ta coù ∂f f(x + vj) − f(x + vj−1)= (cj)hj, vôùi cj = vj−1 + θjhjej, 0 <θj < 1. ∂xj Töø giaû thieát lieân tuïc cuûa caùc ñaïo haøm rieâng taïi x suy ra 1 ∂f 1 ∂f ∂f lim |f(x + h) − f(x) − (x)hj| = lim | ( (cj) − (x))hj| =0, h→0 h→0 h j ∂xj h j ∂xj ∂xj i.e. haøm f khaû vi taïi x. 2. CAÙC QUI TAÉC CÔ BAÛN - ÑÒNH LYÙ PHAÀN GIA Döïa vaøo ñònh nghóa ñaïo haøm, baèng phöông phaùp chöùng minh nhö tröôøng hôïp moät bieán deã daøng suy ra 2.1 Caùc qui taéc cô baûn. Toång : Neáu f,g khaû vi taïi x, thì f + g cuõng khaû vi taïi x vaø D(f + g)(x)=Df(x)+Dg(x) Tích : Neáu f,g khaû vi taïi x vaø m =1, thì fg khaû vi taïi x vaø D(fg)(x)=Df(x)g(x)+f(x)Dg(x) f Thöông : Neáu f,g khaû vi taïi x vaø g(x) =0, thì khaû vi taïi x vaø g f Df(x)g(x) − f(x)Dg(x) D( )(x)= g g(x)2 Hôïp : Cho f : U −→ V vaø g : V −→ W , U, V, W laø caùc taäp môû trong Rn, Rm, Rp töông öùng. Neáu f khaû vi taïi x, g khaû vi taïi y = f(x), thì g ◦ f khaû vi taïi x vaø Dg ◦ f(x)=Dg(f(x))Df(x)
46 Chöùng minh: ÔÛ ñaây chæ trình baøy chöùng minh coâng thöùc ñaïo haøm haøm hôïp. Theo gæa thieát, ta coù f(x + h)=f(x)+Df(x)h + ϕ1(h), vôùi ϕ1(h)=o(h). Töông töï, g(f(x)+k)=g(f(x)) + Dg(f(x))k + ϕ2(k), vôùi ϕ2(k)=o(k). Suy ra ◦ ( + )= ( ( )+ ( ) + ( )) g f x h g f x Df x h ϕ1 h k = g(f(x)) + Dg(f(x))Df(x)h + Dg(f(x))ϕ1(h)+ϕ2(Df(x)h + ϕ1(h)) Xeùt 2 haïng töû cuoái cuûa ñaúng thöùc treân. Töø baøi taäp II.2.1 ta coù Dg(f(x))ϕ1(h)≤Dg(f(x))ϕ1(h) = o(h), ϕ2(Df(x)h + ϕ1(h)) = o(Df(x)h + ϕ1(h))=o(h). Töø ñoù suy ra g ◦ f khaû vi taïi x vaø D(g ◦ f)(x)=D(g(fx))Df(x). Qui taéc daây chuyeàn: Trong thöïc haønh coâng thöùc ñaïo haøm haøm hôïp töông öùng pheùp nhaân caùc ma traän Jacobi Jh(x)=Jg(f(x))Jf(x) Cuï theå, neáu kyù hieäu f(x)=(f1(x1, ··· ,xn), ··· ,fm(x1, ··· ,xn)), g(y)=(g1(y1, ··· ,ym), ··· ,gp(y1, ··· ,ym)), vaø thay bieán y = f(x), ta coù haøm hôïp h(x)=g ◦ f(x)=(h1(x1, ··· ,xn), ··· ,hp(x1, ··· ,xn)), thì pheùp nhaân caùc ma traän treân laø       ∂h1 ∂h1 ∂g1 ∂g1 ∂f1 ∂f1  ···   ···   ···   ∂x1 ∂xn   ∂y1 ∂ym   ∂x1 ∂xn         ··· ··· ···  =  ··· ··· ···   ··· ··· ···        ∂hp ··· ∂hp ∂gp ··· ∂gp ∂fm ··· ∂fm ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ∂x1 ∂xn Suy ra qui taéc sau m ∂hi = ∂gi ∂f1 + ∂gi ∂f2 + ··· ∂gi ∂fm = ∂gi ∂fk ∂xj ∂y1 ∂xj ∂y2 ∂xj ∂ym ∂xj k=1 ∂yk ∂xj Ví duï. Giaû söû f(x, y) laø haøm khaû vi theo 2 bieán x, y. Neáu x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ñaët h(r, ϕ)=f(r cos ϕ, r sin ϕ). Khi ñoù ∂h ∂f ∂f ∂h ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ, = (−r sin ϕ)+ r cos ϕ. ∂r ∂x ∂y ∂ϕ ∂x ∂y Gradient - Vector vaän toác. Cho f : Rn −→ R khaû vi. Khi ñoù gradient cuûa f taïi x, ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa laø vector ∂f ∂f ∇f(x)= grad f(x)=( (x), ··· , (x)). ∂x1 ∂xn
IV.2 Caùc qui taéc cô baûn - Ñònh lyù phaàn gia. 47 n −1 Vôùi c ∈ R, taäp Mc = {x ∈ R : f(x)=c} = f (c) goïi laø maët möùc (Ñeå hình dung haõy veõ ñoà thò f vaø caùc maët möùc khi n =2). Cho γ :(−1, 1) −→ Rn khaû vi. Khi ñoù aûnh cuûa γ laø moät ñöôøng cong trôn trong Rn (hình dung noù moâ taû quõy ñaïo cuûa chuyeån ñoäng naøo ñoù theo thôøi gian t). Khi ñoù dγ(t) γ(t +∆t) − γ(t) γ(t)= = lim . dt ∆t→0 ∆t Vì vaäy γ (t) ñöôïc goïi laø vector vaän toác cuûa chuyeån ñoäng γ taïi thôøi ñieåm t. Veà maët hình hoïc, vector γ(t) laø vector chæ phöông tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong γ taïi γ(t). Neáu γ naèm treân maët möùc Mc, i.e. γ(t) ∈ Mc, ∀t, thì theo coâng thöùc ñaïo haøm haøm hôïp (f ◦ γ)(t)=f (γ(t))γ(t)= =0. Veà maët hình hoïc vector grad f(x) vuoâng goùc vôùi maët möùc cuûa Mc taïi x. Vaäy phöông trình phaúng tieáp xuùc vôùi Mc taïi a =(a1, ··· ,an) laø =0 hay D1f(a)(x1 − a1)+···+ Dnf(a)(xn − an)=0. Nhaän xeùt. Cho v ∈ Rn. Khi ñoù f(a + tv)=f(a)+ t+ o(t). Vaäy quyeát ñònh söï bieán thieân cuûa f ôû laân caän a theo höôùng v. Theo baát ñaúng thöùc Schwarz: | |≤grad f(a)v, vaø daáu = xaûy ra khi vaø chæ khi v = λ grad f(a). Nhö vaäy höôùng ± grad f(a) chính laø höôùng maø haøm f bieán thieân nhanh nhaát (cuøng höôùng thì taêng nhanh nhaát, ngöôïc höôùng thì giaûm nhanh nhaát). Vì vaäy, höôùng gradient thöôøng ñöôïc choïn ñeå tìm cöïc trò haøm f.
48 2.2 Haøm khaû vi lieân tuïc. Cho f : U −→ Rm, U ⊂ Rn môû. Ta noùi f khaû vi 1 ∂f lieân tuïc treân U hay f thuoäc lôùp C , neáuu , i =1, ··· ,n, lieân tuïc treân U. ∂xi Noùi caùch khaùc aùnh xaï Df : U −→ L(Rn, Rm) laø aùnh xaï lieân tuïc. (?) 2.3 Ñònh lyù phaàn gia. Trong lyù thuyeát haøm moät bieán ta coù Ñònh lyù giaù trò trung bình (Lagrange).Cho g :[a, b] −→ R lieân tuïc. Giaû söû g khaû vi treân (a, b). Khi ñoù g(b) − g(a)=g(c)(b − a), vôùi c naøo ñoù maø a 1,m=1, ta coù theå môû roäng ñònh lyù treân: Meänh ñeà. Cho f : U → R, U ⊂ Rn môû. Giaû söû f khaû vi treân U. Khi ñoù, neáu ñoaïn [x, x + h]={x + th, t ∈ [0, 1]}⊂U, thì f(x + h) − f(x)=Df(x + θh)h, vôùi 0 1, khoâng theå coù daïng ñaúng thöùc nhö ñònh lyù treân. Noùi chung khoâng theå tìm ñöôïc giaù trò trung bình ñeå coù ñöôïc ñaúng thöùc. Chaúng haïn, haøm f : R → R2,f(x)=(x2,x3). Khi ñoù phöông trình sau laø voâ nghieäm f(1) − f(0) = Df(c)(1 − 0) ⇔ (1, 1) − (0, 0) = (2c, 2c2) Baøi taäp: Cho f(x, y)=(ex cos y, ey sin y). Khi ñoù ñaúng thöùc cho ñònh lyù giaù trò trung bình khoâng theå coù. Tuy nhieân ta coù daïng baát ñaúng thöùc cuûa ñònh lyù giaù trò trung bình cho tröôøng hôïp toång quaùt: Ñònh lyù phaàn gia. Cho f : U → Rm, laø khaû vi treân taäp môû U ⊂ Rn. Neáu ñoaïn [x, x + h] ⊂ U, thì f(x + h) − f(x)≤ sup Df(x + th)h. t∈[0,1] Chöùng minh: Tröôùc khi chöùng minh caàn nhaéc laïi laø ôû Chöông I, chuaån cuûa aùnh xaï tuyeán tính T ñöôïc ñònh nghóa laø T =supTh vaø ta coù Th≤T h. h=1 Ñeå chöùng minh ñònh lyù, xeùt g(t)=f(x + th). Khi ñoù g(t)=Df(x + th)h. Theo ñònh lyù cô baûn cuûa giaûi tích (hay coâng thöùc Newton-Liebniz), ta coù 1 1 g(1) − g(0) = g(t)dt = Df(x + th)hdt, 0 0
IV.3 Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor. 49 1 1 1 trong ñoù (φ1(t), ··· ,φm(t))dt =( φ1, ··· , φm). Töø ñoù suy ra baát ñaúng thöùc 0 0 0 neâu treân. Ví duï. Neáu f : U → Rm khaû vi, U môû lieân thoâng, vaø Df(x)=0, ∀x ∈ U, thì f ≡ const . Nhaän xeùt. Neáu f : U → Rn, U ⊂ Rn, laø thuoäc lôùp C1, vaø K laø taäp compact chöùa trong U, thì toàn taïi L>0 sao cho f thoaû ñieàu kieän Lipschitz sau: f(x) − f(y)≤Lx − y, ∀x, y ∈ K. Ñaëc bieät, neáu 0 <L<1, vaø f : K → K, thì f laø aùnh xaï co treân K. 3. ÑAÏO HAØM CAÁP CAO - COÂNG THÖÙC TAYLOR Nhaän xeùt: Giaû söû f : U −→ Rm khaû vi treân taäp môû U ⊂ Rn. Khi ñoù ta coù aùnh xaï ñaïo haøm Df : U → L(Rn, Rm), trong ñoù L(Rn, Rm) kyù hieäu khoâng gian moïi aùnh xaï tuyeán tính Rn → Rm, noù ñoàng nhaát vôùi khoâng gian caùc m × n-ma traän, vaø do vaäy vôùi khoâng gian vector Rmn. Vaäy coù theå ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm Df taïi a ∈ U, vaø goïi laø ñaïo haøm caáp 2. Ñaïo haøm caáp 2 taïi a seõ laø aùnh xaï tuyeán tính Rn −→ L(Rn, Rm) ≡ Rmn. Töông töï, coù theå ñònh nghóa qui naïp cho ñaïo haøm caáp cao. Tuy nhieân, ñònh nghóa nhö vaäy ñoøi hoûi phaûi “leo” leân caùc khoâng gian: L(Rn,L(Rn, Rm)),L(Rn,L(Rn,L(Rn, Rm))), ··· (!). Ta seõ ñònh nghóa ñaïo haøm caáp cao theo quan ñieåm tính toaùn, deã tieáp caän hôn. ∂f 3.1 Ñaïo haøm rieâng caáp cao. Giaû söû toàn taïi ñaïo haøm rieâng treân U. Khi ñoù ∂xi ∂ ∂f (a), neáu toàn taïi, goïi laø ñaïo haøm rieâng caáp 2 cuûa haøm f theo bieán thöù (i, j), ∂xj ∂xi taïi a . Kyù hieäu ∂2f DjDif(a) hay (a). ∂xj∂xi ∂kf Töông töï, coù theå ñònh nghóa ñaïo haøm rieâng caáp k ( ) ··· a . ∂xik ∂xi1 Ta noùi f khaû vi lieân tuïc caáp k treân U hay f thuoäc lôùp Ck treân U , neáuu f coù moïi ñaïo haøm rieâng caáp ≤ k vaø chuùng lieân tuïc treân U. ∂2f ∂2f Baøi taäp: Haøm f(x, y)=yx2 cos y2 coù = ? , = ? ∂y∂x ∂x∂y 2 2 Ví duï sau chæ ra ∂ f = ∂ f , i.e. noùi chung ñaïo haøm caáp cao khoâng coù tính ∂x∂y ∂y∂x ñoái xöùng.
50 x2 − y2 Xeùt f(x, y)=xy neáu (x, y) =(0, 0), f(0, 0) = 0. x2 + y2 ∂2f ∂2f Khi ñoù (0, 0) = 1, coøn (0, 0) = −1 (?) ∂y∂x ∂x∂y Tuy nhieân ta coù Meänh ñeà (tính ñoái xöùng cuûa ñaïo haøm caáp cao). Neáu f coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc taïi x (ñaëc bieät khi f thuoäc lôùp C2), thì ∂2f ∂2f (x)= (x), ∀i, j. ∂xi∂xj ∂xj∂xi Keát quûa coù theå suy roäng cho f ∈ Ck ñoái vôùi caùc ñaïo haøm rieâng caáp ≤ k. Chöùng minh: Moät chöùng minh ñôn giaûn laø döïa vaøo coâng thöùc Fubini maø ta seõ ñeà caäp ôû chöông tích phaân. (baøi taäp Chöông IV). ÔÛ daây chöùng minh döïa vaøo sai phaân. Chæ caàn laäp luaän cho haøm 2 bieán. Xeùt Sh,k = f(x + h, y + k) − f(x + h, y) − f(x, y + k)+f(x, y) Ñaët gk(u)=f(u, y + k) − f(u, y). Khi ñoù theo ñònh lyù gía trò trung bình ta coù Sh,k = gk(x + h) − gk(x)=gk(c)h, vôùi c ∈ (x, x + h) ∂f ∂f =( (c, y + k) − (c, y))h ∂x ∂x ∂2f = (c, d)hk, vôùi d ∈ (y, y + k). ∂y∂x Hoaùn vò hai soá haïng giöõa cuûa Sh,k. Ñaët gh(v)=f(x + h, v) − f(x, v). Laäp luaän töông töï, ta coù 2 ∂ f Sh,k = (c ,d)kh, vôùi c ∈ (x, x + h),d ∈ (y, y + k). ∂x∂y Töø tính lieân tuïc cuûa ñaïo haøm caáp 2, qua giôùi haïn h, k → 0 cuûa Sh,k, ta coù keát quûa caàn tìm. 3.2 Coâng thöùc Taylor. Nhaéc laïi coâng thöùc Taylor cho haøm 1 bieán. Cho g :(a, b) → R ∈ Ck. Khi ñoù neáu x, x + h ∈ (a, b), thì toàn taïi θ ∈ (0, 1), sao cho 1 1 1 1 g(x+h)=g(x)+ g(x)h+ g(x)h2 +···+ g(k−1)(x)hk−1 + gk(x+θh)hk. 1! 2! (k − 1)! k! Coù theå chuyeån coâng thöùc treân cho haøm nhieàu bieán f : Rn → R, baèng caùch ñöa veà xeùt haøm moät bieán g(t)=f(x + th),t∈ [0, 1]. Ñeå thuaän tieän cho vieäc phaùt bieåu coâng thöùc, tröôùc heát ta ña vaøo caùc kyù hieäu. ∂ ∂ ∇ =(D1, ··· ,Dn)=( , ··· , ). ∂x1 ∂xn
IV.3 Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor. 51 Neáu h =(h1, ··· ,hn), ñaët ∂ ∂ h∇ = h1 + ···+ hn , ∂x1 ∂xn n k k ∂ (h∇) = hi ···hi . 1 k ··· ∂xi1 ∂xik i1,··· ,ik=1 Ta xem caùc kyù hieäu treân nhö laø caùc “toaùn töû”, khi taùc ñoäng vaøo haøm f thì bieåu thöùc hình thöùc seõ coù moät noäi dung roõ raøng, chaúng haïn ∂f ∂f (h∇)f = h1 + ···+ hn . ∂x1 ∂xn Toång quaùt k k ( ∇)k = ∂ f ···∂ f ··· ña thöùc thuaàn nhaát baäc theo ··· h f hi1 hik k h1, ,hn. ∂xi1 ∂xik i1,··· ,ik Vôùi caùc kyù hieäu neâu treân ta coù Ñònh lyù. Cho f : U → R laø haøm lôùp Ck treân taäp môû U ⊂ Rn. Khi ñoù vôù moïi ñoaïn [x, x + h] ⊂ U, toàn taïi θ ∈ (0, 1), sao cho 1 1 f(x + h)=f(x)+h∇f(x)+···+ (h∇)k−1f(x)+ (h∇)kf(x + θh) (k − 1)! k! Chöùng minh: Chæ laø vieäc aùp duïng coâng thöùc Taylor cho haøm 1 bieán g(t)=f(x + th), vôùi chuù yù laø theo coâng thöùc ñaïo haøm hôïp deã qui naïp g(k)(t)=(h∇)kf(x + th). Nhaän xeùt: Coâng thöùc Taylor cho pheùp xaáp xæ haøm khaû vi lôùp C k f taïi laân caän moãi ñieåm x bôûi ña thöùc Taylor baäc k taïi x: k 1 k Tx (h)=f(x)+h∇f(x)+···+ (h∇) f(x), k! vôùi phaàn dö 1 k k Rk(x, h)= (h∇) f(x + θh) − (h∇) f(x) , 0 <θ<1. k! k k k Ta coù |f(x + h) − Tx (h)| = |Rk(x, h)| = o(h ),dof ∈ C . ∞ Chuù yù: Neáu f ∈ C , thì ta coù chuoãi Taylor cuûa f taïi x0 laø chuoãi luõy thöøa ∞ 1 ( )= (( − )∇)k ( ) Tf x ! x x0 f x0 . k=0 k
52 ∞ Noùi chung Tf(x) khoâng hoäi tuï, chaúng haïn f(x)= e−k cos k2x. k=0 Hôn nöõa, ngay caû trong tröôøng hôïp Tf(x) hoäi tuï khoâng chaéc ta coù Tf(x)=f(x). − 1 Chaúng haïn f(x)=e x2 . Trong tröôøng hôïp chuoãi Taylor cuûa f hoäi tuï veà chính haøm f, ta noùi f giaûi tích taïi x0. Chaúng haïn, haøm soá f thoûa |f (k)(x)|≤M k, ∀x ∈ (a, b), ∀k ∈ N, laø giaûi tích treân (a, b). 3.3 ÖÙng duïng vaøo baøi toaùn cöïc trò. Cho f : U → R,U⊂ Rn môû. Haøm f goïi laø ñaït cöïc ñaïi taïi a ∈ U neáuu f(a) ≥ f(x) vôùi moïi x ôû laân caän a. Haøm f goïi laø ñaït cöïc tieåu taïi a ∈ U neáuu f(a) ≤ f(x) vôùi moïi x ôû laân caän a. Haøm f goïi laø ñaït cöïc trò taïi a neáuu f ñaït cöïc tieåu hay cöïc ñaïi taïi ñoù. Neáu f khaû vi, thì a goïi laø ñieåm döøng hay ñieåm tôùi haïn cuûa f neáuu Df(a)=0. Chuù yù: Haõy phaân bieät max, min (coù tính toaøn cuïc) vaø cöïc tieåu, cöïc ñaïi (coù tính ñòa phöông). Phaàn naøy ta aùp duïng coâng thöùc Taylor ñeå xeùt cöïc trò ñòa phöông cuûa f. Ñieàu kieän caàn. Giaû f khaû vi treân U. Neáu f ñaït cöïc trò taïi a ∈ U, thì Df(a)=0, i.e. taäp caùc ñieåm cöïc trò chöùa trong taäp caùc ñieåm döøng. Chöùng minh: Vôùi moãi i haøm 1 bieán gi(t)=f(a + tei) ñaït cöïc trò taïi t =0. ∂f Suy ra gi(0) = (a)=0. Vaäy Df(a)=0. ∂xi Nhaän xeùt: (i) Ñieàu kieän treân chæ laø ñieàu kieän caàn. Chaúng haïn, haøm coù ñieåm uoán f(x)=x3 hay haøm coù ñieåm yeân ngöïa f(x, y)=x2 − y2. (ii) Trong tröôøng hôïp 1 bieán ñeå xem ñieåm döøng coù phaûi laø cöïc trò hay khoâng, ta coù theå xeùt chieàu bieán thieân cuûa f thoâng qua daáu cuûa f . Ngoaøi ra, khi f coù ñaïo haøm caáp 2, neáu f (a) > 0, thì f ñaït cöïc tieåu taïi a; coøn neáu f (a) < 0, thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi ñoù. (iii) Ñoái vôùi f laø daïng toaøn phöông 2 bieán, ta coù caùc daïng chính taéc: x2 + y2, −x2 − y2,x2 − y2,x2, −x2, 0. Hai daïng ñaàu (0, 0) laø cöïc trò (ñieåm loaïi Parabol). Daïng thöù ba (0, 0) khoâng laø cöïc trò (ñieåm loaïi Hyperbol hay ñieåm yeân ngöïa). Caùc daïng coøn laïi suy bieán. Ñeå xem ñieåm döøng coù laø cöïc trò khoâng trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta caàn phaàn baäc hai cuûa khai trieån Taylor. 2 Hess. Neáu f thuoäc lôùp C , thì Hess cuûa f taïi a , kyù hieäu Hf(a), laø daïng toaøn phöông (sinh töø ñaïo haøm caáp 2): n 2 n 2 ∂ f(a) R h → Hf(a)(h)=(h∇) f(a)= hihj ∈ R. i,j=1 ∂xi∂xj Töø coâng thöùc Taylor suy ra
IV.3 Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor. 53 Ñieàu kieän ñuû. Giaû söû f thuoäc lôùp C2 vaø Df(a)=0. Khi ñoù Neáu Hf(a) xaùc ñònh döông, i.e Hf(a)(h) > 0, ∀h ∈ Rn \ 0, thì f ñaït cöïc tieåu taïi a. Neáu Hf(a) xaùc ñònh aâm, i.e. Hf(a)(h) 0, thì toàn taïi m = min Hf(a)(h) > 0. Suy ra h=1 Hf(a)(h) ≥ mh2, ∀h ∈ Rn. Vaäy f ñaït cöïc tieåu taïi a. Caùc tröôøng hôïp khaùc chöùng minh töông töï. Theo giaùo trình Ñaïi soá tuyeán tính, ta coù phöông phaùp Lagrange ñeå ñöa moät daïng toaøn phöông veà daïng chính taéc. Töø ñoù (döïa vaøo chæ soá quaùn tính) suy ra tính xaùc ñònh daáu cuûa daïng toaøn phöông. Ngoaøi ra, ta coøn coù tieâu chuaån sau n n Tieâu chuaån Sylvester. Cho daïng toaøn phöông H(h)= aijhihj,h∈ R . i,j=1 Xeùt daáu caùc ñònh thöùc chính Dk =det(aij)1≤i,j≤k. Khi ñoù (i) H xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi D1 > 0,D2 > 0, ··· ,Dn > 0. n (ii) H xaùc ñònh aâm khi vaø chæ khi D1 0, ··· , (−1) Dn > 0. Ví duï. Xeùt cöïc trò haøm f(x, y)=x3 + y3 − 3xy. Ñieåm tôùi haïn cuûa f laø nghieäm heä phöông trình ∂f ∂f =3x2 − 3y =0, =3y2 − 3x =0. ∂x ∂y Suy ra caùc nghieäm: (0, 0) hay (1, 1). Ma traän Hess cuûa f  2 2  ∂ f ∂ f  2  6x −3 Hf =  ∂x ∂x∂y  =  ∂2f ∂2f  −36y ∂y∂x ∂y2 Taïi (0, 0): D2 = −9 0,D2 =27> 0, i.e. Hf(1, 1) > 0. Vaäy f ñaït cöïc tieåu taïi (1, 1). Nhaän xeùt: Neáu Hess suy bieán, döïa vaøo coâng thöùc Taylor caàn xeùt ñeán ñaïo haøm caáp cao hôn. Baøi taäp: tìm ñieàu kieän toång quaùt cho baøi toaùn cöïc trò ñoái vôùi haøm 1 bieán khaû vi.
54 4. ÑÒNH LYÙ HAØM NGÖÔÏC - ÑÒNH LYÙ HAØM AÀN Cho f : U → Rm. Neáu f khaû vi lieân tuïc, thì theo ñònh nghóa ñaïo haøm (vaø tính lieân tuïc cuûa noù), coù theå ñoaùn nhaän laø tính chaát ñòa phöông cuûa f taïi a, i.e. tính chaát cuûa f ôû laân caän a, ñöôïc xaùc ñònh bôûi aùnh xaï tuyeán tính Df(a). Cuï theå: (i) Neáu Df(a) laø ñôn aùnh, thì f ñôn aùnh treân moät laän caän cuûa a. (ii) Neáu Df(a) laø toaøn aùnh, thì f aùnh xaï moät laän caän cuûa a leân moät laân caän cuûa f(a). (iii) Neáu Df(a) laø song aùnh, thì f song aùnh töø moät laän caän cuûa a leân moät laân caän cuûa f(a). Caùc ñoaùn nhaän treân ñöôïc khaúng ñònh qua ñònh lyù raát quan troïng sau. 4.1 AÙnh xaï ngöôïc ñòa phöông. Nhaän xeùt : Xeùt heä phöông trình tuyeán tính: Ax = y, A ∈ Mat(n, n). Theo ñònh lyù Cramer, neáu det A =0, thì A khaû nghòch vaø ta coù theå giaûi x = A−1y. Coù theå noùi gì veà heä phöông trình phi tuyeán ? Coù theå giaûi x1, ··· ,xn töø heä   f1(x1, ··· ,xn)=y1 ···  fn(x1, ··· ,xn)=yn , theo bieán y1, ··· ,yn ? Caàn chuù yù theâm trong tröôøng hôïp haøm soá 1 bieán soá f : R → R, neáu f khaû vi lieân tuïc vaø f (a) =0, thì toàn taïi haøm ngöôïc f −1 taïi laân caän a, hôn nöõa f −1 cuõng thuoäc lôùp C1. Vôùi caùc nhaän xeùt treân vaø aùnh xaï khaû vi ñöôïc “xaáp xæ” bôûi ñaïo haøm ta coù Ñònh lyù haøm ngöôïc. Cho f : U −→ Rn, U ⊂ Rn môû. Giaû söû f thuoäc lôùp Ck (k ≥ 1), vaø taïi a ∈ U, det Jf(a) =0. Khi ñoù toàn taïi laân caän V cuûa a, W cuaû f(a), sao cho f : V −→ W coù aùnh xaï ngöôïc f−1 : W −→ V . Hôn nöõa, f−1 thuoäc lôùp Ck vaø Df−1(y)=(Df(x))−1,y= f(x),x∈ V. Chöùng minh: Tröôùc heát ta coù caùc nhaän xeùt Nhaän xeùt 1: Baèng pheùp tònh tieán vaø bieán ñoåi tuyeán tính khaû nghòch Df(a)−1,tañöa vieäc chöùng minh ñònh lyù veà tröôøng hôïp a = f(a)=0vaø Df(0) = In (aùnh xaï ñoàng nhaát treân Rn). (?) Nhaän xeùt 2: Ñeå xaây döïng aùnh xaï ngöôïc ñòa phöông caàn giaûi x theo y töø phöông trình n y = f(x) taïi laân caän 0. Vôùi moïi y ∈ R xeùt haøm gy(x)=y + x − f(x). Neáu gy,ôû laân caän 0, laø aùnh xaï co thì toàn taïi duy nhaát x sao cho gy(x)=x, i.e. phöông trình f(x)=y coù theå giaûi x theo y. Töø caùc nhaän xeùt treân ta tieán haønh chöùng minh ñònh lyù theo caùc böôùc sau (vôùi giaû thieát cuûa nhaän xeùt 1) Böôùc 1: Duøng nguyeân lyù aùnh xaï co ñeå xaây döïng aùnh xaï ngöôïc ñòa phöông. Xeùt g(x)=x − f(x). Ta coù Dg(0) = 0.Dog ∈ C1, aùp duïng ñònh lyù giaù trò trung bình ta coù r>0 ñuû beù sao cho 1 ( ) − ( )≤ − ∈ (0 ) g x g x 2 x x ,x,x B ,r .
IV.4 Ñònh lyù haømï ngöôïc - Ñònh lyù haøm aån. 55 Suy ra vôùi y≤r/2,gy : B(0,r) −→ B(0,r), vaø thoaû 1 ( ) − ( )≤ − gy x gy x 2 x x . Theo nguyeân lyù aùnh xaï co, toàn taïi duy nhaát x ∈ B(0,r) laø ñieåm baát ñoäng cuûa gy, i.e. f coù aùnh xaï ngöôïc ñòa phöông f −1 : B(0,r/2) −→ B(0,r). Böôùc 2: Chöùng minh f −1 lieân tuïc. Cho y, y ∈ B(0,r/2). Khi ñoù x = f −1(y),x = f −1(y) ∈ B(0,r). Theo ñònh nghóa cuûa g ta coù 1 − ≤ ( ) − ( ) + ( ) − ( )≤ ( ) − ( ) + − x x f x f x g x g x f x f x 2 x x . Suy ra f −1(y) − f −1(y)≤2y − y. Vaäy f −1 lieân tuïc. Böôùc 3: Neáu r>0 ñuû beù, thì f −1 ∈ Ck. Do tính lieân tuïc cuûa det, f ∈ Ck, vaø det Df(a) =0; suy ra vôùi r>0 ñuû beù, toàn taïi (Df(x))−1, ∀x ∈ B(0,r). Vôùi y = f(x),y = f(x),x,x ∈ B(0,r),tacoù f −1(y) − f −1(y) − (Df(x))−1(y − y) = x − x − (Df(x))−1(Df(x)(x − x)+ +o(x − x) = (Df(x))−1(ox − x) = o(y − y) (do böôùc 2) . Vaäy Df−1(y)=(Df(x))−1, vôùi y = f(x). −1 1 Cuï theå hôn Jf (y)= (Aij(x))n×n, det Jf(x) trong ñoù Aij(x) laø phaàn phuï ñaïi soá cuaû Jf(x)=toång caùc tích caùc ñaïo haøm rieâng cuaû f taïi x. Do vaäy caùc phaàn töû cuûa ma traän Jf−1 laø caùc haøm thuoäc lôùp Ck−1. Vaäy f −1 thuoäc lôùp Ck. Vi phoâi. Moät aùnh xaï f : U → V goïi laø moät vi phoâi lôùp C k hay laø moät pheùp −1 k bieán ñoåi lôùp Ck neáuu f laø song aùnh vaø f,f laø thuoäc lôùp C . AÙnh xaï f goïi laø vi phoâi ñòa phöông taïi a neáuu f laø moät vi phoâi töø moät laân caän cuûa a leân moät laân caän cuûa f(a). Ví duï. Xeùt phöông trình u(x, y)=ex cos y, v(x, y)=ex sin y. Khi ñoù coù theå giaûi x, y theo u, v moät caùch ñòa phöông vì ex cos y −ex sin y det J(u, v)= = e2x =0. ex sin yex cos y Chuù yù: (i) Ñònh lyù treân chæ khaúng ñònh tính khaû nghòch ñòa phöông. Chaúng haïn ví duï treân cho thaáy f : R2 → R2,f(x, y)=(u(x, y),v(x, y)) laø khaû nghòch ñòa phöông taïi moãi (x, y) nhöng khoâng khaû nghòch (toaøn cuïc), i.e. vi phoâi ñòa phöông maø khoâng phaûi laø vi phoâi (toaøn cuïc), duø det Jf(x, y) =0, ∀(x, y) ∈ R2. (Haõy kieåm tra) (ii) Ñònh lyù treân chæ cho ñieàu kieän caàn ñeå aùnh xaï laø khaû nghòch ñòa phöông. Chaúng √ haïn, haøm f : R → R, f(x)=x3, coù haøm ngöôïc f −1(y)= 3 y, nhng f (0) = 0.
56 4.2 Heä quûa. Cho f : U → Rm,U⊂ Rn laø taäp môû. Giaû söû f thuoäc lôùp C1 vaø a ∈ U. Khi ñoù (i) Neáu n mvaø Df(a) laø toaøn aùnh, i.e. rankDf(a)=m, thì toàn taïi moät vi phoâi ñòa phöông h töø laân caän cuûa 0 leân laân caän a trong Rn, sao cho f ◦ h(x1, ··· ,xn)=(x1, ··· ,xm) (pheùp chieáu) Chöùng minh: (i) Giaû söû Df(a) laø ñôn aùnh. Baèng pheùp hoaùn vò toïa ñoä, coù theå giaû thieát Jf(a) coù n doøng ñaàu ñoäc laäp tuyeán tính. Xeùt aùnh xaï m−n m Φ:U × R → R , Φ(x, yn+1, ··· ,ym)=f(x)+(0, ··· , 0,yn+1, ··· ,ym) Khi ñoù deã kieåm tra Φ ∈ C1 vaø JΦ(a, 0) khaû nghòch. Theo ñònh lyù treân Φ laø vi phoâi ñòa phöông taïi (a, 0). Ta coù f(x)=Φ(x, 0). Vaäy g =Φ−1 thoûa (i). (ii) Giaû söû Df(a) laø toaøn aùnh. Coù theå giaû thieát Jf(a) coù m coät ñaàu ñoäc laäp tuyeán tính. Xeùt aùnh xaï m n−m Ψ:U → R × R , Ψ(x)=(f(x) − f(a),xm+1 − am+1, ··· ,xn − an). Khi ñoù deã kieåm tra Ψ ∈ C1 vaø JΨ(a) khaû nghòch. Theo ñònh lyù treân Ψ laø vi phoâi ñòa phöông taïi a. Töø caùch xaây döïng Ψ, ta coù f(x)=pr ◦ (Ψ(x) − f(a)), vôùi pr laø pheùp chieáu xuoáng m toïa ñoä ñaàu. Vaäy h =(Ψ− f(a))−1 thoûa (ii) 4.3 Haøm aån. Khi xeùt haøm aån, i.e. phöông trình F (x, y)=0, ta caàn xaùc ñònh khi naøo y coù theå giaûi theo x, y = g(x), vaø tính khaû vi cuûa g ? Baøi taäp: Xeùt cuï theå F (x, y)=x2 + y2 − 1=0. Chöùng minh: ∂F Coù theå giaûi y = g(x) taïi laân caän moãi x = a ∈ (−1, 1) vaø ñeå yù khi ñoù =0(gradF ∂y khoâng song song vôùi 0x). Khoâng theå giaûi y theo x taïi moïi laân caän a = ±1. Nhaän xeùt: Tröôùc heát xeùt heä phöông trình tuyeán tính:   a11x1 + ··· +a1nxn +b11y1 + ··· +b1mym =0 ··· ··· ··· ··· ··· ···  am1x1 + ··· +amnxn +bm1y1 + ··· +bmnym =0 Ñaët A =(aij)m×n,B=(bij)m×m. Khi ñoù, neáu det B =0, thì coù theå giaûi y theo x: y = −B−1Ax. Ñoái vôùi heä phöông trình phi tuyeán   F1(x, y)=0 ···  Fm(x, y)=0
IV.4 Ñònh lyù haømï ngöôïc - Ñònh lyù haøm aån. 57 trong ñoù x ∈ Rn,y∈ Rm. Khi naøo coù theå giaûi y theo x ? Laïi döïa vaøo yù nghóa cuûa ñaïo haøm vaø ñònh lyù aùnh xaï ngöôïc ta coù Ñònh lyù haøm aån. Cho F : A → Rm,A⊂ Rn × Rm laø taäp môû, (a, b) ∈ A. Giaû söû F thuoäc lôùp Ck (k ≥ 1), F (a, b)=0, vaø ñònh thöùc ñaïo haøm F theo bieán y ∂F1 ∂F1 (a, b) ··· (a, b) ∂y1 ∂ym D(F1, ··· ,Fm) ∂F (a, b) = det (a, b)= ··· ··· ··· =0. D(y1, ··· ,ym) ∂y ∂Fm ∂Fm (a, b) ··· (a, b) ∂y1 ∂ym Khi ñoù toàn taïi laân caän U ⊂ Rn cuûa a, V ⊂ Rm cuûa b, vaø aùnh xaï duy nhaát g : U → V thuoäc lôùp Ck, sao cho phöông trình F (x, y)=0, (x, y) ∈ U × V ⇐⇒ y = g(x),x∈ U, y ∈ V. Hôn nöõa, ta coù ∂F −1 ∂F Dg(x)=− (x, g(x)),x∈ U. ∂y ∂x Chöùng minh: Ñaët f(x, y)=(x, F (x, y)), roài aùp duïng ñònh lyù aùnh xaï ngöôïc. Suy ra toàn taïi f −1(x, z)=(x, G(x, z)), (x, z) thuoäc laân caän (a, 0). Khi ñoù haøm g(x)=G(x, 0) thoaû keát luaän cuûa ñònh lyù. Coâng thöùc ñaïo haøm suy töø coâng thöùc ñaïo haøm hôïp. (Caùc chi tieát xem nh baøi taäp) Nhaän xeùt: Ñeå tính ñaïo haøm haøm aån, thöôøng ta khoâng duøng pheùp nhaân ma traän treân, maø tính tröïc tieáp nhö sau. Töø F (x, g(x)) = 0,x∈ U, aùp duïng qui taéc daây chuyeàn suy ra ñaïo haøm haøm aån Dg, töø heä phöông trình: m ∂Fi ∂Fi ∂gk + =0,i=1, ··· ,m; j =1, ··· ,k, ∂xj k=1 ∂yk ∂xj Ta cuõng coù theå duøng coâng thöùc vi phaân coå ñieån ñeå tính Dg. Chaúng haïn, vôùi m =1, ∂F neáu (a, b) =0, thì y = g(x1, ··· ,xn) taïi laân caän (a, b). Khi thay y = g(x),tacoù ∂y F (x1, ··· ,xn,y)=0,x∈ U, suy ra ∂F ∂F ∂F dF = dx1 + ···+ dxn + dy =0. ∂x1 ∂xn ∂y ∂F ∂F ∂F Töø dg = − dx1 + ···+ dxn , ∂y ∂x1 ∂xn ∂g ∂F/∂xj suy ra caùc ñaïo haøm rieâng = − ,j=1, ··· ,n. ∂xj ∂F/∂y Ví duï. Caùc ví duï sau yeâu caàu chi tieát hoùa a) Xeùt heä phöông trình xu + yv2 =0 xv3 + y2u6 =0