Giáo trình Giải tích II - Bùi Xuân Diệu

207 trang haiha333 08/01/2022 3421

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích II - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_ii_bui_xuan_dieu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích II - Bùi Xuân Diệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TS. BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải Hà Nội- 2018 (bản cập nhật Ngày 9 tháng 7 năm 2018)
Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về địa chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos. Use at your own risk! Hà Nội, Ngày 9 tháng 7 năm 2018.
MỤC LỤC Mục lục 1 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc. . . . . . . 5 1 Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọcphẳng . . . . . . 5 1.1 Đường cong trong mặt phẳng R2 5 1.2 Hìnhbaocủahọđườngcongphụthuộcmộtthamsố . . . . . . . . . . 9 1.3 Bàitập 9 2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . 12 2.1 Hàmvéctơ 12 2.2 Đường cong trong Rn 13 2.3 Chuyểnđộngcủavậtthểtrongkhônggian . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Độdàicủađườngcong 16 2.5 Độcongcủađườngcong 16 2.6 Đường cong trong không gian R3 18 2.7 Mặt cong trong không gian R3 19 2.8 Đườngcongchodướidạnggiaocủahaimặtcong . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Bàitập 24 Chương2.Tíchphânbội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 Tíchphânkép 27 1.1 Địnhnghĩa 27 1.2 TínhtíchphânképtronghệtoạđộDescartes . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3 Phépđổibiếnsốtrongtíchphânkép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4 Bàitậpôntập 56 2 Tíchphânbộiba 59 2.1 Địnhnghĩavàtínhchất 59 2.2 TínhtíchphânbộibatronghệtoạđộDescartes . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Đổibiếnsốtrongtíchphânbộiba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4 Bàitậpôntập 80 1
2 MỤC LỤC 3 Cácứngdụngcủatíchphânbội 83 3.1 Tínhdiệntíchhìnhphẳng 83 3.2 Tínhthểtíchvậtthể 89 3.3 Tínhdiệntíchmặtcong 96 3.4 Bàitậpôntập 97 Chương3.Tíchphânphụthuộcthamsố . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1 Tíchphânxácđịnhphụthuộcthamsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.1 Giớithiệu 99 1.2 Cáctínhchấtcủatíchphânxácđịnhphụthuộcthamsố. . . . . . 99 1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. 103 1.4 Bàitập 104 2 Tíchphânsuyrộngphụthuộcthamsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.1 Cáctínhchấtcủatíchphânsuyrộngphụthuộcthamsố. . . . . . . . 107 2.2 Bàitập 117 2.3 Mộtsốtíchphânquantrọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.4 Bàitậpôntập 122 3 TíchphânEuler 126 3.1 HàmGamma 126 3.2 HàmBeta 127 3.3 Bàitập 130 3.4 Đọc thêm: Tích phân Euler và Phép tính vi tích phân cấp phân số . . 132 Chương4.Tíchphânđường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 1 TíchphânđườngloạiI 139 1.1 Địnhnghĩavàtínhchất 139 1.2 CáccôngthứctínhtíchphânđườngloạiI . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.3 Tíchphânđườngtrongkhônggian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.4 Bàitập 144 1.5 Bàitậpôntập 146 2 TíchphânđườngloạiII 148 2.1 Địnhnghĩavàtínhchất 148 2.2 CáccôngthứctínhtíchphânđườngloạiII. . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.3 Tíchphânđườngtrongkhônggian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.4 Bàitập 151 2.5 CôngthứcGreen. 153 2.6 ỨngdụngcủatíchphânđườngloạiII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2.7 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 161 2.8 Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường đi 163 2
MỤC LỤC 3 2.9 Tích phân đường không phụ thuộc đường đi và định luật bảo toàn năng lượng164 Chương5.Tíchphânmặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 1 TíchphânmặtloạiI 167 1.1 Diệntíchmặtcong 167 1.2 BàitoándẫnđếntíchphânmặtloạiI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1.3 CáccôngthứctínhtíchphânmặtloạiI . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 1.4 Bàitập 171 2 TíchphânmặtloạiII 175 2.1 Địnhhướngmặtcong 175 2.2 BàitoándẫnđếntíchphânmặtloạiII. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.3 CáccôngthứctínhtíchphânmặtloạiII . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.4 CôngthứcOstrogradsky 182 2.5 DạngvéctơcủacôngthứcGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.6 CôngthứcStokes 186 2.7 CôngthứcliênhệgiữatíchphânmặtloạiIvàloạiII . . . . . . . . . 188 Chương6.Lýthuyếttrường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 1 Trườngvôhướng 191 1.1 Địnhnghĩa 191 1.2 Đạohàmtheohướng 191 1.3 Gradient 192 1.4 Bàitập 193 2 Trườngvéctơ 195 2.1 Địnhnghĩa 195 2.2 Thônglượng,trườngống 195 2.3 Hoànlưu,véctơxoáy 196 2.4 Trườngthế-hàmthếvị 197 2.5 Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường đi 197 2.6 Bàitập 198 3
4 MỤC LỤC 4
CHƯƠNG 1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Đường cong trong mặt phẳng R2. Ở chương trình học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đường cong cho bởi phương trình y = f (x), chẳng hạn như đường parabol y = x2, đường cong bậc ba y = x3. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng "may mắn" biểu diễn một đường cong được dưới dạng y = f (x), vì có thể với một giá trị x = x0, ứng với nó có hai hoặc nhiều hơn giá trị y tương ứng. Chẳng hạn như, tưởng tượng rằng có một hạt chuyển động dọc theo đường cong C như hình vẽ dưới đây. Đường cong C này không thể biểu diễn được dưới dạng y = f (x). Tuy nhiên, các tọa độ x và y của hạt này là một hàm số phụ thuộc thời gian t. Chính vì 5
6 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc x = x(t), vậy sẽ là thuận lợi nếu ta biểu diễn đường cong C dưới dạng Đây chính là y = y(t).  phương trình đường cong cho dưới dạng tham số đã được giới thiệu ở học phần Giải tích I.  Ví dụ 1.1 (Đường Cycloid). Giả sử có một bánh xe hình tròn và cố định một điểm P trên bánh xe đó. Cho bánh xe đó lăn không trượt trên một đường thẳng. Quỹ tích điểm P đó được gọi là đường Cycloid. Hãy viết phương trình tham số của đường cong này. y (πa, 2a) a y θ x x a θ 2πa [Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính r và điểm xuất phát của P là gốc tọa độ, đồng thời cho bánh xe lăn không trượt trên trục Ox. Gọi θ là góc quay của bánh xe (θ = 0 nếu P ở gốc tọa độ). Khi đó, vì bánh xe lăn không trượt, nên OT = độ dài cung PT = rθ. Do đó, x = OT PQ = rθ r sin θ = r(θ sin θ) | |−| | − − y = TC QC = r r cos θ = r(1 cos θ).  | |−| | − −  Một số điều thú vị về đường Cycloid. 6
1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọcphẳng 7 Một trong những người đầu tiên nghiên cứu đường cong Cycloid là Galileo. Ông đề • xuất rằng các cây cầu nên được xây theo đường cong Cycloid và cũng là người đi tìm diện tích của miền nằm phía dưới một cung Cycloid. Đường cong Cycloid này về sau xuất hiện trong bài toán "Brachistochrone" sau. Cho • hai điểm A và B sao cho điểm A cao hơn điểm B. Hãy tìm đường cong nối A với B sao cho khi ta thả một viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong đó (dưới tác dụng của lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn nhất. Nhà toán học người Thụy Sĩ, John Bernoulli đã chỉ ra rằng, trong số tất cả các đường cong nối A với B thì viên bi sẽ mất ít thời gian nhất để lăn từ A đến B nếu nó đi theo đường Cycloid. Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, cũng đã chỉ ra rằng đường cong Cycloid là lời • giải cho bài toán "Tautochrone" sau. Cho dù đặt viên bi ở đâu trên cung Cycloid ngược thì nó cũng mất một khoảng thời gian như nhau để lăn về đáy. Điều này được ứng dụng khi ông phát minh ra đồng hồ quả lắc. Ông đề xuất rằng quả lắc nên được lắc theo cung Cycloid, bởi vì khi đó con lắc sẽ mất một khoảng thời gian như nhau để hoàn thành một chu kì dao động, cho dù là nó lắc theo một cung dài hay là ngắn. Mỗi đường cong trong mặt phẳng có thể được cho dưới các dạng sau: x = x(t), Dạng tham số • y = y(t).  Dạng hàm hiệny = f (x). • 7
8 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc Dạng hàm ẩn f (x, y)= 0. • 1. Điểm chính quy. Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f (x, y) = 0. Điểm M (x , y ) • 0 0 được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng ′ ′ fx (M) , fy (M) không đồng thời bằng 0. x = x (t) Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số • y = y (t) .  Điểm M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn  tại các đạo hàm x′ (t0) , y′ (t0) không đồng thời bằng 0. Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. • 2. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong. Chúng ta biết rằng hệ số góc k của tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M • chính là y′x(M). Do đó, nếu đường cong cho bởi phương trình f (x, y) = 0 thì nó xác định một hàm ẩn y = y(x) và đạo hàm của nó tính theo công thức fx′ k = y′x = . − fy′ Vậy – Phương trình tiếp tuyến tại M là fx′ (M) (d) : y y0 = (x x0) − − fy′ (M) − (1.1) f ′ (M) . (x x ) + f ′ (M) . (y y ) = 0. ⇔ x − 0 y − 0 – Phương trình pháp tuyến tại M là x x0 y y0 d′ : − = − . fx′ (M) fy′ (M) Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) chính quy là y y = f (x )(x x ). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương − 0 ′ 0 − 0 trình phổ thông. x = x (t) Nếu đường cong (C) cho bởi phương trình tham số thì • y = y (t)  dy dy/dt yt′ k = y′x = = = . dx dx/dt xt′ Do đó, 8
1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọcphẳng 9 – Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x (t0) , y (t0)) chính quy: y′(t0) x x (t0) y y (t0) (d) : y y(t0)= (x x(t0) − = − . − x′(t0) − ⇔ x′ (t0) y′ (t0) Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M (x (t0) , y (t0)) là ~n =(x′(t0), y′(t0)). – Phương trình pháp tuyến tại M: d′ : x′ (t ) . (x x (t )) + y′ (t ) . (y y (t )) = 0. 0 − 0 0 − 0 1.2 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số Định nghĩa 1.1. Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L). Quy tắc tìm hình bao Định lý 1.1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khử c từ hệ phương trình F (x, y, c) = 0 (1.2) F′ (x, y, c) = 0  c Chú ý 1.1. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1.2) bao gồm hình bao (E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho. 1.3 Bài tập Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong: a) y = x3 + 2x2 4x 3 tại ( 2, 5). − − − Phương trình tiếp tuyến y = 5 Lời giải. Phương trình pháp tuyến x = 2  −  1 x2 b) y = e − tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 . 9
10 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc Phương trình tiếp tuyến 2x y + 3 = 0 Lời giải. – Tại M1 ( 1, 1), − − Phương trình pháp tuyến x + 2y 1 = 0  − Phương trình tiếp tuyến 2x + y 3 = 0 – Tại M2 ( 1, 1), − − Phương trình pháp tuyến x 2y + 1 = 0  −  x = 1+t c. t3 tại A(2, 2). = 3 + 1 ( y 2t3 2t Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến y = x. – Phương trình pháp tuyến x + y 4 = 0. − 2 2 d. x 3 + y 3 = 5 tại M(8, 1). Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến x + 2y 10 = 0. − – Phương trình pháp tuyến 2x y 15 = 0. − − Bài tập 1.2. Tìm hình bao của họ đường cong sau: x 2 a. y = c + c b. cx2 + c2y = 1 c. y = c2 (x c)2 − Lời giải. a.Đặt F (x, y, c) := y x c2 = 0. − c − Điều kiện: c = 0. 6 F (x, y, c) = 0 F (x, y, c) = 0 Xét hệ phương trình: x′ x′ ( Fy′ (x, y, c) = 0 ⇔ ( 1 = 0. Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có F (x, y, c) = 0 y x c2 = 0 x = 2c3 − c − F (x, y, c) = 0 ⇔ 2c + x = 0 ⇔ y = 3c2 ( c′ ( − c2 ( x 2 y 3 nên 2 3 = 0. Do điều kiện c = 0 nên x, y = 0. Vậy ta có hình bao của họ − 2 3 6 6 đường cong là đường x y = 0 trừ điểm O (0, 0). 2 − 3 10
1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọcphẳng 11 b. Đặt F (x, y, c) := cx2 + c2y 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã − cho nên điều kiện: c = 0. 6 F (x, y, c) = 0 2cx = 0 Xét hệ phương trình: x′ , nhưng điểm kì 2 x = c = 0 ( Fy′ (x, y, c) = 0 ⇔ ( c = 0 ⇔ dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có 2 2 2 F (x, y, c) = 0 cx + c y = 1 x = c ⇔ 2 ⇔ 1 ( Fc′ (x, y, c) = 0 ( x + 2cx = 0 ( y = −c2 4 Do đó x, y = 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = x trừ điểm O(0, 0). 6 − 4 c. Đặt F (x, y, c) := c2 (x c)2 y = 0. − − F (x, y, c) = 0 F = 0 Xét hệ phương trình: x′ x′ F (x, y, c) = 0 ⇔ 1 = 0. ( y′ ( − Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có F (x, y, c) = 0 c2 (x c)2 y = 0 (1) − − F (x, y, c) = 0 ⇔ 2c (x c) 2c2 (x c) = 0. (2)  c′  − − − c = 0   4 (2) c = x , thế vào (1) ta được y = 0, y = x . ⇔  16 c = x  2  x4 Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y = 16 . 11
12 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc §2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Hàm véctơ Định nghĩa 1.2. Cho I là một khoảng trong R. Ánh xạ I Rn, → t r (t) =(x (t), x (t), , x (t)) Rn 7→ 1 2 ··· n ∈ được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu n = 2, ta viết r (t) = x (t) i + y (t) j. Nếu n = 3, ta viết r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k. Đặt M (x (t) , x (t) , , x (t)), quỹ tích M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của 1 2 ··· n hàm véctơ r (t). Giới hạn của hàm véctơ Người ta nói hàm véctơ r(t) có giới hạn là a khi t t nếu → 0 lim r (t) a = 0, t t0 | − | → kí hiệu lim r (t) = a, ở đó t t → 0 r(t) a = [x (t) a ]2 +[x (t) a ]2 + +[x (t) a ]2 | − | 1 − 1 2 − 2 ··· n − n q được hiểu là độ dài của véctơ r(t) a. − Tính liên tục của hàm véctơ Hàm véctơ r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t I nếu 0 ∈ lim r (t) = r (t0) . t t → 0 (Tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , x (t) , , x (t)). 1 2 ··· n 12
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 13 Đạo hàm của hàm véctơ Giới hạn, nếu có, của tỉ số ∆r r (t + h) r (t ) lim = lim 0 − 0 h 0 h h 0 h → → dr(t0) được gọi là đạo hàm của hàm véctơ r (t) tại t0, kí hiệu r′ (t0) hay dt , khi đó ta nói hàm véctơ r (t) khả vi tại t0. Chú ý 1.2. Nếu x (t) , x (t) , , x (t) khả vi tại t thì r (t) cũng khả vi tại t và 1 2 ··· n 0 0 r′ (t ) =(x′ (t ) , x′ (t ) , x′ (t )). 0 1 0 2 0 ··· n 0 Tích phân của hàm véc tơ Cho r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k liên tục trên [a, b]. Khi đó b b b b r(t)dt = x(t)dt i + y(t)dt j + z(t)dt k.       Za Za Za Za       Nếu R′(t)= r(t) thì b b r(t)dt = R(t) a= R(b) R(a). Z − a Một cách tổng quát, nếu r(t)=(x (t), x (t), , x (t)) thì 1 2 ··· n b b b b r(t)dt = x (t)dt, x (t)dt, , x (t)dt .  1 2 ··· n  Za Za Za Za   2.2 Đường cong trong Rn Định nghĩa 1.3. Tập hợp tất cả các điểm (x (t), x (t), , x (t)) Rn sao cho t biến thiên 1 2 ··· n ∈ trong khoảng I R được gọi là một đường cong cho bởi phương trình tham số. ⊂ Nói cách khác, mỗi đường cong C trong Rn được cho dưới dạng hàm véctơ I Rn, → t r (t) =(x (t), x (t), , x (t)). 7→ 1 2 ··· n Đặc biệt, nếu n = 2, đường cong C cho dưới dạng hàm véctơ r(t) = x(t)i + y(t)j hoặc dạng • x = x(t), tham số y = y(t).   13
14 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc nếu n = 3, đường cong C cho dưới dạng hàm véc tơ r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k hoặc • x = x(t), dạng tham số y = y(t),   z = z(t).  Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm véctơ Nếu hai điểm P, Q ứng với các véctơ r(t), r(t + h), thì r(t + h) r(t) = −→PQ là một véctơ r(t+h) r(t) − dây cung. Do đó, nếu h > 0 thì − có cùng phương cùng hướng với r(t + h) r(t). h − Khi h 0 thì véctơ này sẽ tiến tới một véctơ r (t) nào đó nằm trên đường thẳng tiếp tuyến → ′ của đường cong tại điểm P. Định nghĩa 1.4. Cho đường cong C cho bởi phương trình r = r(t). Nếu hàm véctơ r(t) khả vi thì a) véctơ r′(t) được gọi là véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm P(x(t), y(t)). r (t) b) Véctơ tiếp tuyến đơn vị là T(t)= ′ . r (t) | ′ | 2.3 Chuyển động của vật thể trong không gian Cho một vật thể chuyển động trong không gian sao cho quỹ đạo của nó là một đường cong có phương trình cho bởi hàm véctơ r = r(t). Khi đó, r(t + h) r(t) v(t)= lim − = r′(t) h 0 h → là véctơ vận tốc (velocity) của vật thể đó. Độ lớn của véctơ này, r(t) chính là vận tốc tức | | thời (speed) của vật thể đó tại thời điểm t, vì ds v(t) = r′(t) = = sự thay đổi của hàm khoảng cách theo thời gian. | | | | dt 14
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 15 Tương tự như trường hợp một chiều, véctơ gia tốc được định nghĩa bởi a(t)= v′(t)= r′′(t). Ví dụ 2.2. Một vật thể chuyển động với vị trí và vận tốc ban đầu là r(0)=(1, 0, 0) và v(0)= i j + k. Véctơ gia tốc của nó là a(t)= 4ti + 6tj + k. Tìm véctơ vận tốc và vị trí của − nó tại thời điểm t. Gợi ý: Dùng các công thức t t v(t)= v(t0)+ a(u)du, r(t)= r(t0)+ v(u)du. Z Z t0 t0 Trong phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các định luật của Newton để chứng minh Định luật về quỹ đạo chuyển động của các hành tinh. Định luật II Newton F = ma, • Luật vạn vật hấp dẫn F = GMm r = GMm u, • − r3 − r2 ở đó F là trường hấp dẫn trên hành tinh, m, M là khối lượng của hành tinh và mặt trời, G là hằng số hấp dẫn, và r là véctơ đơn vị của . r = r u = r r(t) | | | | Định lý 1.2 (Định luật Kepler). Các hành tinh chuyển động xung quanh mặt trời theo một quỹ đạo hình elip với mặt trời là một tiêu điểm. Chúng ta chứng minh một ý nhỏ trong Định luật trên, đó là: Chứng minh quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt phẳng. Hai định luật của Newton dẫn đến GM a = r a song song với r r a = 0. − r3 ⇒ ⇒ ∧ Ta có d (r v)= r′ v + r v′ = v v + r a = 0 + 0 = 0. dt ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Do đó, r v = h, ∧ ở đó h là một véctơ hằng số nào đó. Nghĩa là r = r(t) vuông góc với h với mọi giá trị của t. Nói cách khác, quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với h. 15
16 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc 2.4 Độ dài của đường cong Cho đường cong C cho bởi phương trình r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k, a t b, ở đó r(t) ≤ ≤ là một hàm véc tơ khả vi trên [a, b]. Khi đó, độ dài của C được cho bởi công thức b b 2 2 2 l = x (t) + y (t) + z (t) dt = r′(t) dt. ′ ′ ′ | | Za q Za Hàm độ dài được định nghĩa như sau: t t 2 2 2 s(t)= x (τ) + y (τ) + z (τ) dτ = r′(τ) dτ, ′ ′ ′ | | Za q Za nghĩa là độ dài của phần của đường cong C giữa r(a) và r(t). Khi đó, ds(t) 2 2 2 s′(t)= = x (t) + y (t) + z (t) = r′(t) . (1.3) dt ′ ′ ′ | | q 2.5 Độ cong của đường cong Cho đường cong r = r(t). Khi đó, véc tơ tiếp tuyến đơn vị T(t) được xác định bởi r (t) T(t)= ′ . r (t) | ′ | Véc tơ này xác định hướng của đường cong như hình vẽ dưới đây. Độ cong của đường cong tại một điểm P là một đại lượng đo "tốc độ" thay đổi hướng của đường cong tại điểm P đó. Một cách cụ thể, người ta định nghĩa độ cong của đường cong tại điểm P là "tốc độ" thay đổi của véc tơ tiếp tuyến đơn vị theo độ dài cung tại điểm P đó. Định nghĩa 1.5. Độ cong của đường cong r = r(t) là dT C = , ds ở đó T(t) là véc tơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong và s(t) là hàm độ dài. 16
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 17 Ta có dT dT/dt T (t) C = = = | ′ | (xem (1.3)). ds ds/dt r (t) ′ | | Định lý 1.3. Độ cong của đường cong r = r(t) được cho bởi công thức r (t) r (t) C(t)= | ′ ∧ ′′ |. (1.4) r (t) 3 | ′ | r (t) Chứng minh. Ta có T(t)= ′ r (t)= r (t) T(t)= s (t)T(t). Do đó, r (t) ⇒ ′ | ′ | ′ | ′ | r′′(t)= s′′(t)T(t)+ s′(t)T′(t). Vì T(t) T(t)= 0 nên ∧ 2 r′(t) r′′(t)=[s′(t)T(t)] [s′′(t)T(t)+ s′(t)T′(t)] = s′(t) [T(t) T′(t)]. (1.5) ∧ ∧ ∧ Hơn nữa, T(t) = T(t) T(t)= 1 nên đạo hàm 2 vế dẫn đến | | · T′(t) T(t)+ T(t) T′(t)= 0 T′(t) T(t)= 0, · · ⇒ · nghĩa là T(t) T (t). Thay vào (1.5) ta có ⊥ ′ 2 π 2 2 r′(t) r′′(t) = s′(t) T(t) T′(t) sin = s′(t) T′(t) = r′(t) T′(t) . | ∧ | | | | |k | 2 | | | | | | | | Do đó, r (t) r (t) T (t) | ′ ∧ ′′ | = | ′ | = C(t). r (t) 3 r (t) | ′ | | ′ | Độ cong của đường cong trong mặt phẳng. Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì áp dụng công thức (1.4) với hàm • véc tơ r =(x, f (x), 0)= ti + f (t)j + 0k ta được: y C (M) = | ′′| 2 3/2 (1 + y′ ) x = x (t) Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì áp dụng công thức • y = y (t)  (1.4) với hàm véc tơ r(t)=(x(t), y(t), 0)= x(t)i + y(t)j + 0k ta được:  x′ y′ x′′ y′′ C (M) = 2 2 3/2 (x′ + y′ ) 17
18 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (ϕ) thì: • r2 + 2r 2 rr ( ) = ′ − ′′ C M 3/2 (r2 + r 2) ′ Độ cong của đường cong trong không gian x = x(t), Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số y = y(t), thì   z = z(t)  2  2 2 y z z x x y ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ v uy′′ z′′ z′′ x′′ x′′ y′′ C(t)= u . t 3 (x 2 + y 2 + z 2) 2 ′ ′ ′ Ví dụ 2.3 (Cuối kì, K62). Tính độ cong của đường xoắn ốc cho bởi phương trình x = π cos t, y = sin t, z = t tại điểm ứng với t = 2 . Lời giải. Đặt r(t)=(cos t, sin t, t) r (t)=( sin t, cos t, 1), r (t)=( cos t, sin t, 0). ⇒ ′ − ′′ − − Ta có π π r′( ) r′′( ) ( 1, 0, 1) (0, 1, 0) 1 C = | 2 ∧ 2 | = | − ∧ − | = . r ( π ) 3 ( 1, 0, 1) 3 2 | ′ 2 | | − | 2.6 Đường cong trong không gian R3 Mỗi đường cong trong không gian R3 được định nghĩa, một cách đơn giản, là tốc đồ của một hàm véc tơ r : [a, b] R3, → r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k. Đường cong r = r(t) được gọi là trơn nếu như tồn tại r (t) liên tục và r (t) = 0 với ′ ′ 6 mọi t [a, b]. Một véc tơ tiếp tuyến của đường cong r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k là r (t) = ∈ ′ x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k. Do đó, Phương trình tiếp tuyến của γ tại điểm M(x , y , z ) chính quy: • 0 0 0 x x (t ) y y (t ) z z (t ) (d) : − 0 = − 0 = − 0 . x′ (t0) y′ (t0) z′ (t0) Phương trình pháp diện tại M: • (P) : x′ (t ) . (x x (t )) + y′ (t ) . (y y (t )) + z′ (t ) . (z z (t )) = 0. 0 − 0 0 − 0 0 − 0 18
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 19 2.7 Mặt cong trong không gian R3 Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian bởi một hàm véctơ một tham số r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, mỗi mặt cong trong không gian được biểu diễn dưới dạng r(u, v)= x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, tức là một hàm véc tơ phụ thuộc vào hai tham số u, v. Định nghĩa 1.6. Tập hợp tất cả các điểm (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R3 sao cho (u, v) biến ∈ thiên trong miền D R2 được gọi là một mặt cong cho bởi phương trình tham số. ⊂ Ví dụ 2.4. Mỗi mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 trong không gian có một tham số tự nhiên x = u, y = v, D = R2.   z = d+ax+by , − c 2 2 2 2 Ví dụ 2.5. Mỗi mặt cầu x + y+ z = R trong không gian đều có một tham số tự nhiên là x = u, y = v, D = (x, y) R2 : x2 + y2 R2 .  { ∈ ≤ }  z = R2 x2 y2, ± − − và một tham số trong tọap độ cầu  x = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ, D = (ϕ, θ) R2 : 0 ϕ 2π, 0 θ π.  { ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ }  z = R cos θ,  Như vậy, phương trình tham số của một mặt cong có thể không duy nhất. 19
20 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số Bài toán: Tìm mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S cho bởi phương trình tham số r(u, v)= x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k tại điểm P0 ứng với u = u0, v = v0. [Lời giải] Nếu ta cố định u = u thì r(u , v) xác định một đường cong C S trong 0 0 1 ⊂ không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ phương là ∂x ∂y ∂z r = (u , v )i + (u , v )j + (u , v )k. v ∂v 0 0 ∂v 0 0 ∂v 0 0 Tương tự như vậy, nếu ta cố định v = v thì r(u, v ) xác định một đường cong C S trong 0 0 2 ⊂ không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ phương là ∂x ∂y ∂z r = (u , v )i + (u , v )j + (u , v )k. u ∂u 0 0 ∂u 0 0 ∂u 0 0 Lấy tích có hướng của ru và rv ta được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S tại điểm P . Nếu tại P , r r = 0 thì ta nói mặt cong S là trơn tại P . 0 0 u ∧ v 6 0 Chú ý 1.3. Đường thẳng đi qua P0 và vuông góc với tiếp diện của S tại P0 được gọi là pháp tuyến của mặt S tại P . Nó nhận véctơ N = r r làm véctơ chỉ phương. 0 u ∧ v Ví dụ 2.6. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số x = u2, y = v2, z = u + 2v tại điểm (1, 1, 3). [Lời giải] Ta có ∂x ∂y ∂z r = i + j + k = 2ui + k, u ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z r = i + j + k = 2vj + 2k. v ∂v ∂v ∂v 20
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 21 Do đó, i j k ru rv = 2u 0 1 = 2vi 4uj + 4uvk. ∧ − − 0 2v 2 Điểm (1, 1, 3) ứng với giá trị u = v = 1 nên r r = ( 2, 4, 4). Vậy phương trình tiếp u ∧ v − − diện là 2(x 1) 4(y 1)+ 4(z 3)= 0 x + 2y 2z + 3 = 0. − − − − − ⇔ − Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y) thì S có một tham số x = u, hóa tự nhiên là y = v,   z = z(u, v). Khi đó, ru =(1, 0,zu′ ), rv =(0, 1, zv′ ) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là  i j k ru rv = 1 0 zu′ =( zu′ , zv′ , 1)=( z′x, zy′ , 1). ∧ − − − − 0 1 z v′ Do đó, phương trình tiếp diện tại là P(x0, y0, z0) z z = z′ (M) . (x x ) + z′ (M) . (y y ) . (1.6) − 0 x − 0 y − 0 Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z)= 0 Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn z = z(x, y) và các đạo hàm z′x, zy′ được tính theo công thức fx′ fy′ z′x = , zy′ = . − fz′ − fz′ Áp dụng công thức (1.6) ta được Phương trình tiếp diện tại M • fx′ (M) fy′ (M) z z0 = (x x0) (y y0) − − fz′(M) − − fz′(M) − f ′ (M) . (x x ) + f ′ (M) . (y y ) + f ′ (M) . (z z ) = 0. ⇔ x − 0 y − 0 z − 0 Phương trình pháp tuyến tại M • x x y y z z (d) : − 0 = − 0 = − 0 . fx′ (M) fy′ (M) fz′ (M) 21
22 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc 2.8 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong f (x, y, z) = 0 Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau . g (x, y, z) = 0  Đặt n = f (M) , f (M) , f (M) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt f x′ y′ z′  cong f (x, y, z) = 0 tại M. Đặt ng = g′x (M) , gy′ (M) , gz′ (M) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong g (x, y, z) = 0 tại M. Khi đó n n là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương f ∧ g trình tiếp tuyến là: f (M) . (x x ) + f (M) . (y y ) + f (M) . (z z ) = 0. PTTQ : x′ − 0 y′ − 0 z′ − 0  ( g′x (M) . (x x0) + gy′ (M) . (y y0) + gz′ (M) . (z z0) = 0.  x x − y y− −z z  0 = 0 = 0  PTCT : − − −  fy′ (M) fz′ (M) fz′ (M) fx′ (M) fx′ (M) fy′ (M) g′ (M) g′ (M) g′ (M) g′ (M) g′ (M) g′ (M)  y z z x x y    Bài tập 1.3. Giả sử −→p (t) , −→q (t) , −→α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng: d d−→p (t) d−→q (t) a. dt −→p (t) + −→q (t) = dt + dt d d−→p (t) b. dt α (t) −→p (t) = α (t) dt + α′ (t) −→p (t) d d−→q (t) d−→p (t) c. dt −→p (t) −→q (t) = −→p (t) dt + dt −→q (t) d. d p (t) q (t) = p (t) d−→q (t) + d−→p (t) q (t) dt −→ ∧ −→ −→ ∧ dt dt ∧ −→ Lời giải. a. Giả sử −→p (t) = (p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , −→q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó: d d p (t) + q (t) = (p (t) + q (t) , p (t) + q (t) , p (t) + q (t)) dt −→ −→ dt 1 1 2 2 3 3 = p1′ (t) + q1′ (t) , p2′ (t) + q2′ (t) , p3′ (t) + q3′ (t) = p1′ (t) , p2′ (t) , p3′ (t) + q1′ (t) , q2′ (t) , q3′ (t) d p (t) d q (t) = −→ + −→ dt dt 22
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 23 b. d α (t) p (t) dt −→ = [α (t) p1 (t)] ′ , [α (t) p2 (t)]′ , [α (t) p3 (t)]′ = α′ (t) p1 (t) + α (t) p1′ (t) , α′ (t) p2 (t) + α(t) p2′ (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p3′ (t) = α′ (t) p1 (t) , α′ (t) p2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p1′ (t) , α (t) p2′ (t) , α (t) p3′ (t) d−→p (t) = α (t) + α′ (t) p (t) dt −→ c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp. d. d p (t) q (t) dt −→ ∧ −→ d p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) = 2 3 , 3 1 , 1 2 dt q2 (t) q3 (t) q3 (t) q1 (t) q1 (t) q2 (t) ! = p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) = 2 3′ , 3 1′ , 1 2′ q2 (t) q′ (t) q3 (t) q′ (t) q1 (t) q′ (t) ! 3 1 2 p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) + 2′ 3 , 3′ 1 , 1′ 2 q′ (t) q3 (t) q′ (t) q1 (t) q′ (t) q2 (t) ! 2 3 1 d q (t) d p (t) = p (t) −→ + −→ q (t) −→ ∧ dt dt ∧ −→ Bài tập 1.4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x = a sin2 t a. tại điểm ứng với π > .  y = b sin t cos t t = 4 , (a, b, c 0)  z = c cos2 t t  x = e sin t √2 b.  y = 1 tại điểm ứng với t = 0.  t  z = e cos t √2  x a y b z c  − 2 − 2 − 2 Lời giải . a. – Phương trình tiếp tuyến: (d) : a = 0 = c − – Phương trình pháp diện: (P) : a x a c z c = 0. − 2 − − 2 √2 x y 1 z b. Phương trình tiếp tuyến: − − 2 – (d) : √2 = 0 = √2 . 2 2 – Phương trình pháp diện: (P) : √2 x + √2 z √2 = 0. 2 2 − 2 23
24 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc 2.9 Bài tập Bài tập 1.5. Tính độ cong của: a. y = x3 tại điểm có hoành độ x = 1 . − 2 Lời giải. y 192 C (M) = | ′′| = = 2 3/2 125 (1 + y′ ) x = a (t sin t) b. − (a > 0) tại điểm bất kì. y = a (1 cos t) ( − Lời giải. x′ y′ x′′ y′′ 1 1 C (M) = = = 2 2 3/2 ··· √ √ (x′ + y′ ) 2a 2 1 cos t − 2 2 2 c. x 3 + y 3 = a 3 tại điểm bất kì (a > 0). x = a cos3 t Lời giải. Phương trình tham số: , nên 3 ( y = a sin t x′ y′ x′′ y′′ 1 C (M) = = = 2 2 3/2 ··· 3a sin t cos t (x′ + y′ ) | | d. r = aebϕ, (a, b > 0) Lời giải. r2 + 2r 2 rr 1 ( ) = ′ − ′′ = C M 3/2 (r2 + r 2) aebϕ√1 + b2 ′ Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong: a) x2 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3). − 24
2.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọckhônggian 25 b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2, 1, 12). c) z = ln (2x + y) tại điểm ( 1, 3, 0) − x 2 y 2 z 3 Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến: (d) : −4 = −16 = 12− − – Phương trình tiếp diện: (P) : 4 (x 2) 16 (y 2) + 12 (z 3) = 0 − − − − x 2 y 1 z 12 b. – Phương trình pháp tuyến: (d) : −8 = −8 = −1 − – Phương trình tiếp diện: (P) : 8 (x 2) + 8 (y 1) (z 12) = 0. − − − − x+1 y 3 z c. – Phương trình pháp tuyến: (d) : 2 = −1 = 1 − – Phương trình tiếp diện: (P) : 2 (x + 1) + (y 3) z = 0. − − Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x2 + y2 = 10 a. tại điểm 2 2 A (1, 3, 4) ( y + z = 25 2x2 + 3y2 + z2 = 47 b. tại điểm 2 2 B ( 2, 6, 1) ( x + 2y = z − f (x, y, z) := x2 + y2 10 = 0 n = (2, 6, 0) Lời giải. a.Tacó − nên f . g (x, y, z) := y2 + z2 25 = 0 n = (0, 6, 8) ( − ( g Do đó n n = 4 (12, 4, 3). Vậy: f ∧ g − x 1 y 3 z 4 – Phương trình tiếp tuyến (d) : 12− = −4 = −3 − – Phương trình pháp diện (P) : 12 (x 1) 4 (y 3) + 3 (z 4) = 0 − − − − n f = ( 8, 6, 12) b. Tương tự, − , n f ng = 2 (27, 27, 4) nên n = ( 4, 4, 1) ∧ − ( g − − x+2 y 1 z 6 – Phương trình tiếp tuyến (d) : 27 = 27− = −4 – Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 (y 1) + 4 (z 6) = 0 − − 25
26 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc 26
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN KÉP 1.1 Định nghĩa Diện tích và tích phân xác định Cho f (x) là một hàm số xác định với a x b. ≤ ≤ b a Chia khoảng [a, b] này thành n khoảng nhỏ [xi 1, xi] với độ dài bằng nhau ∆x = − . • − n Chọn x∗ [xi 1, xi] bất kì. • i ∈ − 27
28 Chương 2. Tích phân bội Lập tổng Riemann • n S(n)= ∑ f (xi∗)∆x. i=1 Tổng Rieman này chính là diện tích của các hình chữ nhật trên hình vẽ. Lấy giới hạn để thu được tích phân xác định từ a đến b của hàm số f (x): • b f (x)dx = lim S(n), n ∞ Za → (với điều kiện là giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn các điểm xi∗). Thể tích và tích phân bội hai trên hình chữ nhật Một cách hoàn toàn tương tự như trên, xét hàm số f phụ thuộc vào hai biến số x, y xác định trên một hình chữ nhật đóng R =[a, b] [c, d]= (x, y) R2 : a x b, c y d . × { ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ } Gọi S là miền nằm phía dưới của mặt z = f (x, y) và phía trên của hình chữ nhật R, nghĩa là S = (x, y, z) R3 : 0 z f (x, y), (x, y) R . { ∈ ≤ ≤ ∈ } Chia miền R thành các miền hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng [a, b] thành • b a m khoảng con với độ dài bằng nhau và bằng −m , chia khoảng [c, d] thành n khoảng 28
1. Tích phân kép 29 con với độ dài bằng nhau và bằng d c . Như vậy, miền R được chia thành m n hình −n × chữ nhật con Rij =[xi 1, xi] [yj 1, yj] − × − mỗi hình chữ nhật con có diện tích ∆S = ∆x∆y. Trên mỗi hình chữ nhật R ta chọn một điểm (x , y ) bất kì. Khi đó thể tích của • ij ij∗ ij∗ phần con của S nằm phía trên của hình chữ nhật Rij có thể được xấp xỉ bằng f (xij∗ , yij∗ )∆S. Tiếp tục quá trình này và thu được công thức xấp xỉ thể tích của miền S: • m n V(S) ∑ ∑ f (xij∗ , yij∗ )∆S. ≈ i=1 j=1 Dễ dàng nhận thấy rằng nếu ta chia miền R càng nhỏ thì công thức xấp xỉ trên càng tốt. Định nghĩa 2.7. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f (x) trên miền hình chữ nhật R là m n f (x, y)dxdy = lim ∑ ∑ f (x∗ , y∗ )∆S, m,n ∞ ij ij ZZR → i=1 j=1 nếu như giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn điểm (xij∗ , yij∗ ). Chú ý 2.4. Nếu f (x, y) 0 thì thể tích của miền nằm phía dưới mặt cong z = f (x, y) và ≥ phía trên hình chữ nhật R =[a, b] [c, d] là × V = f (x, y)dxdy. ZZR 29
30 Chương 2. Tích phân bội Tích phân lặp và Định lý Fubini Giả sử f (x, y) là một hàm số khả tích trên R =[a, b] [c, d]. Xét hai tích phân lặp sau: × b d d b I = f (x, y)dy dx, I = f (x, y)dx dy. 1   2   Za Zc Zc Za     Định lý 2.4 (Định lý Fubini). Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên miền hình chữ nhật R =[a, b] [c, d] thì × b d d b f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx. ZZR Za Zc Zc Za Chứng minh. Trong khuôn khổ của Bài giảng này, thay vì đưa ra chứng minh cho trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp f (x, y) 0. Trước hết, thể tích ≥ của miền nằm phía dưới mặt z = f (x, y) và phía trên hình chữ nhật R được tính theo công thức. V = f (x, y)dxdy. ZZR Trong học phần Giải tích I, phần ứng dụng của tích phân xác định để tính thể tích, chúng ta có một công thức khác, đó là b V = A(x)dx, Za ở đó A(x) là diện tích của thiết diện của miền V cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox. Nhìn vào hình vẽ, có thể thấy A(x) diện tích của miền là miền nằm phía dưới đường z = f (x, y), ở đó x được cố định và c y d. Do đó, ≤ ≤ d b d A(x)= f (x, y)dy f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. ⇒ Zc ZZR Za Zc 30
1. Tích phân kép 31 Một cách hoàn toàn tương tự, d b f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx. ZZR Zc Za Tích phân kép trên miền bị chặn bất kì Nếu như miền D không phải là hình chữ nhật mà chỉ là miền bị chặn bất kì thì ý tưởng rất đơn giản là chọn một hình chữ nhật R chứa D và định nghĩa hàm số F với miền xác định là R bởi f (x, y), nếu (x, y) D, F(x, y)= ∈ 0, nếu (x, y) D.  6∈  Định nghĩa 2.8. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f (x, y) trên miền D được định nghĩa bằng f (x, y)dxdy = F(x, y)dxdy. ZZD ZZR Có một cách định nghĩa khác của tích phân kép như sau. Định nghĩa 2.9. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là ∆S1, ∆S2, , ∆Sn. Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M (xi, yi) và thành lập tổng tích n phân In = ∑ f (xi, yi) ∆Si. Nếu khi n ∞ sao cho max ∆Si 0 mà In tiến tới một giá i=1 → { → } trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, kí hiệu là f (x, y) dxdy. ZZD 31
32 Chương 2. Tích phân bội Cách định nghĩa này về cơ bản ý tưởng cũng giống như định nghĩa ở trên. Tuy nhiên, việc chia miền D thành n mảnh nhỏ như vậy dẫn đến việc khó hình dung. Thay vào đó, do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta "chủ động" chia D thành hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ như trong Định nghĩa 2.7. Chú ý 2.5. Nếu tồn tại tích phân kép f (x, y)dxdy thì ta nói hàm số f (x, y) khả tích ZZD trong miền D. Tính chất cơ bản: Tính chất tuyến tính: • [ f (x, y) + g (x, y)] dxdy = f (x, y) dxdy + g (x, y) dxdy ZZD ZZD ZZD k f (x, y) dxdy = k f (x, y) dxdy ZZD ZZD Tính chất cộng tính: Nếu D = D D , ở đó D và D không "chồng" lên nhau (có thể • 1 ∪ 2 1 2 ngoại trừ phần biên) thì f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy. ZZ ZZ ZZ D D1 D2 y D1 D2 O x 1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp. 1. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một trong hai tích phân lặp b d d d f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx. ZZD Za Zc Zc Zc 32
1. Tích phân kép 33 y d D c O a b x 2. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) thì, một cách hết sức đơn giản, ta chọn hình chữ nhật R =[a, b] [c, d] như × hình vẽ. y R d y = ψ(x) D y = ϕ(x) c O a b x Khi đó, b d f (x, y)dxdy = F(x, y)dxdy = dx F(x, y)dy, ZZD ZZR Za Zc ở đó, nhắc lại rằng, f (x, y), nếu (x, y) D, F(x, y)= ∈ 0, nếu (x, y) D.  6∈ Ta có  d ψ(x) ψ(x) F(x, y)dy = F(x, y)dy = f (x, y)dy, Zc ϕ(Zx) ϕ(Zx) bởi vì với y > ψ(x) hoặc y < ϕ(x) thì F(x, y)= 0. 33
34 Chương 2. Tích phân bội Do đó, tích phân kép trong trường hợp này được chuyển về tích phân lặp với thứ tự như sau: b ψ(x) f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy. ZZD Za ϕ(Zx) Một số miền có dạng hình thang cong có cạnh đáy song song với Oy khác được thể hiện ở hình vẽ sau: 3. Một cách hoàn toàn tương tự, nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) thì tích phân kép được chuyển về tích phân lặp với thứ tự như sau: d ψ(y) f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx. ZZD Zc ϕ(Zy) y x = ψ(y) x = ϕ(y) d D c O x 4. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 2,3 thì thông thường ta sẽ chia miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 2 hoặc 3 rồi sử dụng tính chất cộng tính để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 2, 3. Bài tập 2.1. Tính các tích phân sau: 34
1. Tích phân kép 35 R2 6 6 π 6 6 π a) x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) : 0 y 2 , 0 x 2 . ZZ ∈ D Lời giải. π π π π 2 2 2 2 π π I = dx x sin (x + y) dy = = hoặc I = dy x sin (x + y) dx = = 2 2 Z0 Z0 Z0 Z0 b) I = x2 (y x) dxdy, D giới hạn bởi y = x2 và x = y2. − ZZD y y = x2 x = y2 1 O 1 x Hình 2.1 Lời giải. 1 √x 1 I = dx x2y x3 dy = = . Z Z − −504 0 x2 Một số dạng bài tập cơ bản Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân. Chúng ta bắt đầu bằng bài toán sau đây: 1 1 2 Bài tập 2.2. Tính I = xdx ey dy. Z0 xZ2 2 Hàm số f (x, y) = xey liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên, nếu tính tích phân trên mà làm theo thứ tự dy trước dx sau như trong đề bài thì không tính 2 được, vì hàm số ey không có nguyên hàm sơ cấp! Do đó, nảy sinh nhu cầu đổi thứ tự lấy tích phân. 35
36 Chương 2. Tích phân bội y 2 x O 1 Hình 2.2 0 x 1, Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu diễn giải tích của miền D là ≤ ≤ x2 y 1.  ≤ ≤ 0 y 1, Ta vẽ miền D và biểu diễn nó lại dưới dạng ≤ ≤  0 x √y.  ≤ ≤ Do đó,  1 √y 1 1 2 1 y2 y2 x x=√y 1 y2 1 y2 1 I = dy xe dx = e x=0 dy = e .ydy = e = (e 1) . 2 2 4 0 4 − Z0 Z0 Z0 Z0 Quy trình làm bài toán đổi thứ tự lấy tích phân b ψ(x) Bài toán 1: Đổi thứ tự lấy tích phân dx f (x, y)dy Za ϕ(Zx) 1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là a 6 x 6 b, (D) : ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) .  2. Vẽ phác thảo miền D. y y = ψ(x) D y = ϕ(x) O a b x 36
1. Tích phân kép 37 3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải ci 6 y 6 di, tích của các miền con, ví dụ (Di) : ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) .  i i Sau đó viết  b ψ(x) di ψi(y) dx f (x, y) dy = ∑ dy f (x, y) dx. Z Z i Z Z a ϕ(x) ci ϕi(y) Làm tương tự với d ψ(y) Bài toán 2: Đổi thứ tự lấy tích phân dy f (x, y)dx. Zc ϕ(Zy) 1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là c 6 y 6 d, (D) : ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) .  2. Vẽ phác thảo miền D. y x = ψ(y) x = ϕ(y) d D c O x 3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Oy. Tìm biểu diễn giải ai 6 y 6 bi, tích của các miền con, ví dụ (Di) : ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) .  i i Sau đó viết  d ψ(y) bi ψi(x) dy f (x, y) dx = ∑ dx f (x, y) dy. Z Z i Z Z c ϕ(y) ai ϕi(x) Bài tập 2.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: 37
38 Chương 2. Tích phân bội 1 1 x2 − a) dx f (x, y) dy. Z Z 1 √1 x2 − − − y 1 D2 O 1 x D1 Hình 2.3 a) Chia miền D thành hai miền con D1, D2 như hình vẽ, với 1 6 y 6 0 0 6 y 6 1 D1 : − , D2 :  1 y2 6 x 6 1 y2  1 y 6 x 6 1 y. − − − − − − p p Vậy   p p √1 y2 √1 y 0 − 1 − I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx. Z Z Z Z 1 √1 y2 0 √1 y − − − − − 1+√1 y2 1 − b) dy f (x, y) dx. y Z0 2Zy − 2 1 O 1 2 x Hình 2.3 b) 1 6 x 6 2 Lời giải. Ta có biểu diễn giải tích của D là nên: 2 x 6 y 6 √2x x2  − − 2 √2x x2 − I = dx f (x, y) dy. Z1 2Zx − 38
1. Tích phân kép 39 2 √2x y c) dx f (x, y) dx. Z Z 0 √2x x2 2 − 1 O 1 2 x Hình 2.3 c) Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, với 0 6 y 6 1 0 6 y 6 1 1 6 y 6 2 D1 : 2 , D2 : , D3 : 2  y 6 x 6 1 1 y2 1 + 1 y2 6 x 6 2  y 6 x 6 2.  2 − −  −  2 p p Vậy:    1 √1 y2 1 − − 1 2 2 2 I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx + dy f (x, y) dx. Z Z Z Z Z Z 0 y2 0 1+√1 y2 1 y2 2 − 2 √ y √4 y2 2 2 − d) dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx. Z Z Z Z 0 0 √2 0 y √2 x O √2 Hình 2.3 d) 39
40 Chương 2. Tích phân bội 0 6 x 6 √2 Lời giải. Biểu diễn giải tích của D là nên: x 6 y 6 √4 x2  − √2 √4 x2 − I = dx f (x, y) dy. Z0 Zx Bài tập 2.4. [Cuối kì, K62] Tính các tích phân lặp 1 2 1 2 2 2 a) dy ex dx b) dx ey dy. Z0 2Zy Z0 2Zx Bài tập 2.5. Chứng minh rằng 1 1 1 1 x y 1 x y 1 − dy dx = = − dx dy = .  (x + y)3  2 6  (x + y)3  −2 Z0 Z0 Z0 Z0     Hãy giải thích tại sao không đổi thứ tự lấy tích phân được trong tích phân trên. x y [Gợi ý] Hàm lấy tích phân f (x, y)= − không liên tục trên miền D =[0, 1] [0, 1] nên (x+y)3 × x y − dxdy (x + y)3 [0,1ZZ] [0,1] × có thể không tồn tại. Đây thực chất là một tích phân bội suy rộng. Dạng 2: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giả sử cần tính f (x, y) dxdy. | | ZZD Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy ta khảo sát dấu của hàm f (x, y). Do tính liên tục của hàm f (x, y) nên đường cong f (x, y) = 0 sẽ chia miền D + + thành hai miền, D và D−. Trên miền D , f (x, y) > 0, và trên miền D−, f (x, y) 6 0. Ta có công thức: f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy (2.1) | | − ZZ ZZ+ ZZ D D D− Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Vẽ đường cong f (x, y) = 0 để tìm đường cong phân chia miền D. 40
1. Tích phân kép 41 2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào + là D , miền nào là D−, ta xét một điểm (x0, y0) bất kì, sau đó tính giá trị f (x0, y0). + Nếu f (x0, y0) > 0 thì miền chứa (x0, y0) là D và ngược lại. + 3. Sau khi xác định được các miền D , D−, sử dụng công thức (2.1) để tính tích phân. Bài tập 2.6. Tính x + y dxdy, D := (x, y) R2 x 6 1 , y 6 1 ZZ | | ∈ || | | | D y 1 D+ x O 1 D − Hình 2.6 Lời giải. Ta có: 1 6 x 6 1, D+ = D x + y > 0 = − ∩ { }  x 6 y 6 1. −  1 6 x 6 1, D− = D x + y 6 0 = − ∩ { }  1 6 y 6 x. − − nên  8 I = (x + y) dxdy (x + y) dxdy = = . − 3 ZZ+ ZZ D D− Bài tập 2.7. Tính y x2 dxdy, D := (x, y) R2 x 6 1, 0 6 y 6 1 . ZZ | − | ∈ || | D p 41
42 Chương 2. Tích phân bội y 1 D+ D − x O 1 Hình 2.7 Lời giải. Chia miền D thành hai miền con 1 6 x 6 1, D+ = D (x, y) y x2 > 0 = − ∩ − x2 6 y 6 1, n o   6 6 2 1 x 1, D− = D (x, y) y x 6 0 = − ∩ − 0 6 y 6 x2. n o  Do đó  I = y x2dxdy + x2 ydxdy = I + I , − − 1 2 ZZ+ ZZ D q D− q trong đó π 1 1 1 3 2 2 2 x=sin t 4 π I = dx y x2dy = 1 x2 dx = cos4 tdt = = , 1 − 3 − 3 4 Z1 xZ2 q Z1 Z0 − − 1 x2 1 1 2 4 1 I = dx x2 ydy = x 3dx = x3dx = . 2 − 3 | | 3 3 Z1 Z0 q Z1 Z0 − − π 1 Kết luận I = 4 + 3 . Bài tập 2.8 (Cuối kì,K62). Tính tích phân a) x + y dxdy, b) x y dxdy, | | | − | ZZD ZZD ở đó D : x2 + y2 1. ≤ 42
1. Tích phân kép 43 Dạng 3: Tính tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối xứng. Định lý 2.5. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm lẻ đối với y (tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 0. ZZD Định lý 2.6. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm chẵn đối với y (tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 2 f (x, y) dxdy, ZZD ZZD+ trong đó D+ là phần nằm bên trên trục Ox của D (tương ứng phía phải trục Oy của D). Định lý 2.7. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn f ( x, y) = f (x, y) thì − − − f (x, y) dxdy = 0. ZZD Bài tập 2.9. Tính x + y dxdy. | | | | x +ZZy 61 | | | | y 1 D1 x O 1 Hình 2.9 Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f (x, y) = x + y là hàm chẵn với x, y nên | | | | 1 1 x − 4 I = 4 f (x, y) dxdy = 4 dx (x + y)dy = . ZZ Z Z 3 D1 0 0 43
44 Chương 2. Tích phân bội 1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép Phép đổi biến số tổng quát Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của hai họ đường cong. Xét tích phân kép I = f (x, y) dxdy, trong đó f (x, y) liên tục trên D. ZZD Thực hiện phép đổi biến số x = x (u, v) , (2.2) y = y (u, v)  thoả mãn:  x = x (u, v) , y = y (u, v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong • miền đóng Duv của mặt phẳng O′uv. Công thức (2.2) xác định song ánh từ D D. • uv → ′ ′ D(x,y) xu xv Định thức Jacobi J = ( ) = = 0 (u, v) Duv. • D u,v y′ y′ 6 ∀ ∈ u v Khi đó ta có công thức đổi biến số: I = f (x, y) dxdy = f (x (u, v) , y (u, v)) J dudv ZZ ZZ | | D Duv Chú ý: Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng • phức tạp về tính tích phân trên miền Duv đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân f (x, y). Để xác định được miền D , lưu ý rằng phép đổi biến số tổng quát sẽ biến biên của • uv miền D thành biên của miền Duv, biến miền D bị chặn thành miền Duv bị chặn. ′ ′ 1 D(u,v) ux uy Có thể tính J thông qua J− = ( ) = . • D x,y v′ v′ x y Bài tập 2.10. Chuyển tích phân sau sang hai biến u, v: 1 x u = x + y a) dx f (x, y) dxdy, nếu đặt v = x y Z0 Zx −  −  44
1. Tích phân kép 45 b) Áp dụng tính với f (x, y) = (2 x y)2. − − v 2 y 1 D x u O 1 O′ 2 Hình 2.10 Lời giải. Ta có u+v u = x + y x = 2 1 D (u, v) 1 1 , J− = = = 2. v = x y ⇒ y = u v D (x, y) 1 1 −   −2 − −   Hơn nữa 0 6 x 6 1 0 6 u 6 2 D Duv  x 6 y 6 x ↔ 0 6 v 6 2 u −  −   nên 2 2 u 1 − u + v u v I = du f , − dv. 2 2 2 Z0 Z0 1 6 xy 6 4 Bài tập 2.11. Tính I = 4x2 2y2 dxdy, trong đó D :  ZZ − x 6 y 6 4x. D  45 
46 Chương 2. Tích phân bội y y = 4x y = x 1 xy = 4 xy = 1 O 1 x Hình 2.11 Lời giải. Thực hiện phép đổi biến u = xy 1 6 u 6 4 y x 2y D J 1 = = = v y uv : , − y 1 2 . v = ⇒ 1 6 v 6 4 −2 x  x  x x Ta có   4 4 4 4 4 u 1 2u 3 45 I = du 4 2uv . dv = du u dv = udu = . v − 2v v2 − −2 − 4 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Dùng tích phân kép để chứng minh Công thức Euler (Giải tích III) Chứng minh công thức Euler sau ∞ 1 π2 ∑ 2 = . n=1 n 6 Có nhiều cách để chứng minh công thức này, một trong những cách đó là sử dụng khai triển Fourier. Sau đây tôi xin giới thiệu một phương pháp chứng minh khác dựa vào Tích 1 1 n n 1 phân kép. Trước hết, vì x dx = y dy = n+1 nên Z0 Z0 ∞ ∞ 1 1 ∞ 1 1 1 1 ∞ 1 1 1 n n n n 1 ∑ 2 = ∑ x dx y dy = ∑ (xy) dxdy = ∑ (xy) dxdy = dxdy. = n n= n= n= 1 xy n 1 0 Z0 Z0 0 Z0 Z0 Z0 Z0 0 Z0 Z0 − 46
1. Tích phân kép 47 Để tính được tích phân kép này ta thực hiện phép đổi biến x = u v, y = u + v. Khi đó − J = 2 và miền D sẽ biến thành miền Duv như hình vẽ (Tại sao? Phải dựa vào nhận xét phép đổi biến biến biên của miền D thành biên của miền Duv). x v 1 1 2 O 1 y O 1 u Ta có 1 1 I = dxdy = 2 dudv xy 2 + 2 Z 1 Z 1 u v D − Duv − 1 2 u 1 1 u (2.3) 1 − 1 = 4 du dv + 4 du dv. 1 u2 + v2 1 u2 + v2 Z0 Z0 − Z1 Z0 − 2 Vì z dt 1 t z 1 z = arctan = arctan a2 + t2 a a 0 a a Z0 nên 1 2 1 1 u 1 1 u I = 4 arctan du + 4 arctan − du = I1 + I2. √1 u2 √1 u2 √1 u2 √1 u2 Z0 Z1 − − 2 − − Đặt u = sin θ đối với tích phân I1 ta được π π π 6 6 6 cos θ sin θ π2 I1 = 4 arctan dθ = 4 arctan(tan θ)dθ = 4 θdθ = . (2.4) 1 sin2 θ 1 sin2 θ 18 Z0 − − Z0 Z0 p p Đặt u = cos 2θ đối với tích phân I2 ta được π π 6 6 2 sin 2θ 1 cos 2θ π2 I2 = 4 arctan − dθ = 8 arctan(tan θ)dθ = . √1 cos2 2θ √1 cos2 2θ 9 Z0 − − Z0 π2 π2 π2 Kết luận I = 18 + 9 = 6 . 47
48 Chương 2. Tích phân bội Phép đổi biến số trong toạ độ cực Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu thức r = OM−−→ x2 + y2 . Toạ độ cực của điểm M (x, y) là bộ (r, ϕ), trong đó .  \ ϕ =Ox, OM−−→ y  y M r = OM−−→ | | ϕ O x x x = r cos ϕ Công thức đổi biến: trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình y = r sin ϕ  dạng của miền D. Khi đó  D (x, y) J = = r và I = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. D (r ϕ) , ZZ Drϕ ϕ 6 ϕ 6 ϕ Đặc biệt, nếu miền lấy tích phân có dạng hình quạt 1 2 (xem hình vẽ) r (ϕ) 6 r 6 r (ϕ)  1 2 thì ϕ2 r2(ϕ)  I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr. Z Z ϕ1 r1(ϕ) y r = r2(ϕ) r = r1(ϕ) O x 48
1. Tích phân kép 49 Bài tập 2.12. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I = f (x, y) dxdy, trong đó D là ZZD miền xác định như sau: a) a2 6 x2 + y2 6 b2 y b a b O a x Hình 2.12a Lời giải. 2π b 0 6 ϕ 6 2π D : I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr a 6 r 6 b ⇒  Z0 Za  b) x2 + y2 > 4x, x2 + y2 6 8x, y > x, y 6 2x y O 2 4 8 x Hình 2.12b Lời giải. Ta có: π 3 8 cos ϕ π 6 ϕ 6 π D : 4 3 I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.  ⇒ 4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ Zπ Z  4 4 cos ϕ  49
50 Chương 2. Tích phân bội Bài tập 2.13. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau: R √R2 x2 − a) dx ln 1 + x2 + y2 dy (R > 0). Z Z 0 0 y O R x Hình 2.13 a Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền D là: 0 6 x 6 R 0 6 y 6 √R2 x2.  − x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π Chuyển sang toạ độ cực, đặt thì 2 y = r sin ϕ 0 6 r 6 R.   π 2 R  R π I = dϕ ln 1 + r2 rdr = ln 1 + r2 d 1 + r2 4 Z0 Z0 Z0 π = R2 + 1 ln R2 + 1 R2 . 4 − h i x2 + (y 1)2 = 1 b) Tính xy2dxdy, D giới hạn bởi − x2 + y2 4y = 0. ZZD  −  y 4 2 O x Hình 2.13 b 50
1. Tích phân kép 51 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π Đặt y = r sin ϕ ⇒ 2 sin ϕ 6 r 6 4 sin ϕ.    π 4sin ϕ  I = dϕ r cos ϕ. (r sin ϕ)2 rdr Z0 2sinZ ϕ = 0. Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và f (x, y)= xy2 là hàm số lẻ đối với x nên I = 0. Bài tập 2.14. Tính các tích phân sau: 2 2 dxdy 4y 6 x + y 6 8y, a) 2 , trong đó D : (x2+y2) x 6 y 6 x√3. ZZD   y 8 y = x√3 y = x 4 O x Hình 2.14a x = r cos ϕ π 6 ϕ 6 π Lời giải. Đặt 4 3 y = r sin ϕ ⇒ 4 sin ϕ 6 r 6 8 sin ϕ.   Do đó   π π 3 8sin ϕ 3 1 1 1 1 3 1 I = dϕ rdr = dϕ = 1 . r4 −2 64 sin2 ϕ − 16 sin2 ϕ 128 − √3 Zπ Z Zπ 4 4sin ϕ 4 1 x2 y2 b) − − trong đó 2 + 2 6 1+x2+y2 dxdy D : x y 1. ZZD r 51
52 Chương 2. Tích phân bội y 1 O 1 x Hình 2.14b x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6 1.   Ta có:  2π 1 1 1 r2 u=r2 1 1 u I = dϕ − rdr = 2π − du. s1 + r2 2 1 + u Z0 Z0 Z0 r Đặt 4t 1 u du = 2 dt t = − − (1+t2) 1 + u⇒  6 6 r 0 t 1.  1 1 1 4t 4dt dt I = π t 2 dt = π 2 + 4π 2 −(1 + t2) ! − 1 + t (1 + t2) Z0 Z0 Z0 1 t 1 = 4π arctan t 1 + 4π + arctan t 1 − 0 2 t2 + 1 2 0 π2 = . 2 x2 + y2 6 12 x2 + y2 > 2x c) xy trong đó 2+ 2 dxdy D :  x y x2 + y2 > 2√3y ZZD  x > 0, y > 0.     52
1. Tích phân kép 53 y 2√3 D2 D1 O 2 2√3 x Hình 2.14c Lời giải. Chia miền D thành hai miền D = D D như hình vẽ, 1 ∪ 2 6 6 π π 6 6 π 0 ϕ 6 6 ϕ 2 D1 = , D2 = 2 cos ϕ 6 r 6 2√3 2√3 sin ϕ 6 r 6 2√3.   Vậy I = I1 + I2, trong đó  π π 6 2√3 6 r2 cos ϕ sin ϕ 1 17 I = dϕ rdr = cos ϕ sin ϕ 12 4cos2 ϕ dϕ = = , 1 r2 2 − 32 Z0 2 cosZ ϕ Z0 π π 2 2√3 2 r2 cos ϕ sin ϕ 1 27 I = dϕ rdr = cos ϕ sin ϕ 12 12 sin2 ϕ dϕ = = . 2 r2 2 − 32 Zπ Z Zπ 6 2√3sin ϕ 6 11 Kết luận I = 8 . Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng. Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi. x2 y2 x = ar cos ϕ 1. Nếu D : 2 + 2 = 1, thực hiện phép đổi biến , J = abr. a b y = br sin ϕ   x = a + r cos ϕ 2. Nếu D : (x a)2 + (y b)2 = R2, thực hiện phép đổi biến , J = r. − − y = b + r sin ϕ  3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng. 53
54 Chương 2. Tích phân bội 4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến. 2 2 2 x2 y 6 Bài tập 2.15. Tính 9x 4y dxdy, trong đó D : 4 + 9 1. ZZ − D y 3 O 2 x Hình 2.15 Lời giải. x = 2r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt J = 6r, y = 3r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6 1.   Ta có:   2π 1 I = 6 36r2 cos2 ϕ 36r2 sin2 ϕ rdrdϕ = 6.36 cos 2ϕ dϕ r3dr = = 216 ZZ − Z | | Z Drϕ 0 0 R √Rx x2 − Bài tập 2.16. Tính dx Rx x2 y2dy, (R > 0). Z Z − − 0 √Rx x2 p − − y O R x Hình 2.16 Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là: 0 6 x 6 R R 2 R2 D : x + y2 6 .  √Rx x2 6 y 6 √Rx x2 ⇔ − 2 4 − − −  54
1. Tích phân kép 55 x = R + rcosϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt 2 J = r, y = r sin ϕ ⇒ | | 0 6 r 6 R   2 Vậy   R R 2π 2 2 R2 1 R2 R2 πR3 I = dϕ r r2dr = 2π.− r2d r2 = . 4 − 2 4 − 4 − 12 Z0 Z0 r Z0 r Chú ý 2.6. Đối với Bài tập 2.16, nếu chỉ đổi biến số trong tọa độ cực thông thường x = r cos ϕ, π ϕ π , thì − 2 ≤ ≤ 2 y = r sin ϕ 0 r R cos ϕ.   ≤ ≤ Tích phân đã cho trở thành  π 2 R cos ϕ I = dϕ Rr cos ϕ r2 rdr. − Zπ Z0 q − 2 Tích phân này không dễ tính vì nó chứa biểu thức vô tỉ Rr cos ϕ r2. Đây là một ví dụ − điển hình về việc phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộngp không những biến miền lấy tích phân về miền đơn giản, mà còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân. Bài tập 2.17. Tính xydxdy, với ZZD a) D là hình tròn (x 2)2 + y2 6 1. − y O 1 3 x Hình 2.17a Lời giải. x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 ϕ 6 2π.    55 
56 Chương 2. Tích phân bội Ta có 2π 1 I = dϕ (2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0. Z0 Z0 Cách 2. Nhận xét D là miền đối xứng qua Ox và f (x, y) = xy là hàm lẻ đối với y nên I = 0. b) D là nửa hình tròn (x 2)2 + y2 6 1, y > 0. − y O 1 3 x Hình 2.17b Lời giải. x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 ϕ 6 π.   Ta có π 1  4 I = dϕ (2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = . 3 Z0 Z0 1.4 Bài tập ôn tập Bài tập 2.18. Tính ydxdy 3 (1 + x2 + y2) 2 [0,1ZZ] [0,1] × [Gợi ý] Nên tính tích phân này theo thứ tự dy trước, dx sau. 1 1 ydy I = dx 3 . (1 + x2 + y2) 2 Z0 Z0 Bài tập 2.19. Tính 56
1. Tích phân kép 57 a) x2 trong đó là miền giới hạn bởi các đường thẳng và I1 = y2 dxdy, D x = 2, y = x ZZD hyperbol xy = 1. 2 2 2 b) I2 = (x + y)dxdy, trong đó C là miền giới hạn bởi các parbaol y = x và x = y . ZZC [Đáp số] 9 33 a) I1 = 4 b) I2 = 140 Bài tập 2.20. Tính tích phân x2 sin xy I = dxdy, y ZZD trong đó D là miền giới hạn bởi bốn parabol x2 = ay, x2 = by, y2 = px, y2 = qx, (0 < a < b, 0 < p < q). x2 y2 [Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u = y , v = x . Bài tập 2.21. Tính tích phân I = xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường ZZD cong y = ax3, y = bx3, y2 = px, y2 = qx, (0 < b < a, 0 < p < q). x3 y2 [Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u = y , v = x . Bài tập 2.22. Chứng minh rằng 1 1 x − y e 1 dx e x+y dy = − . 2 Z0 Z0 [Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến u = x + y, v = y. Bài tập 2.23. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường xy = 4, xy = 8, xy3 = 5, xy3 = 15. [Gợi ý] Đặt u = xy, v = xy3. Đáp số S = 2 ln 3. Bài tập 2.24. Tính diện tích của miền giới hạn bởi bốn parabol y2 = x, y2 = 8x, x2 = y, x2 = 8y. y2 x2 279π [Gợi ý] Đặt u = x , v = y . Đáp số S = 2 . 57
58 Chương 2. Tích phân bội Bài tập 2.25. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường y = x3, y = 4x3, x = y3, x = 4y3. 1 [Đáp số] S = 8 . Bài tập 2.26. Chứng minh rằng x y sin 1 cos − dxdy = . x + y 2 x+y 1,ZZx 0,y 0 ≤ ≥ ≥ [Gợi ý] Đặt u = x y, v = x + y. − Bài tập 2.27. Tính tích phân x y I = + dxdy, a b ZZD r r x y trong đó D là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và parabol a + b = 1. p q 58
2. Tích phân bội ba 59 §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1 Định nghĩa và tính chất Tích phân bội ba trên miền hình hộp Giống như tích phân xác định của hàm số một biến số f (x) hay tích phân kép của hàm số hai biến số f (x, y), tích phân bội ba của hàm số ba biến số f (x, y, z) được định nghĩa một cách hoàn toàn tương tự. Trước hết, ta xét trường hợp đơn giản nhất, ở đó hàm số f (x, y, z) được định nghĩa trên một hình hộp chữ nhật B =[a, b] [c, d] [r, s]= (x, y, z) a x b, c y d, r z s . × × { | ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ } Chia B thành các hình hộp nhỏ bằng cách chia [a, b] thành l khoảng con với độ dài • bằng nhau ∆x, chia [c, d] thành m khoảng con với độ dài bằng nhau ∆y, chia [r, s] thành n khoảng con với độ dài bằng nhau ∆z. Khi đó, B được chia thành l m n × × hình hộp nhỏ Bijk =[xi 1, xi] [yj 1, yj] [zk 1, zk], − × − × − mỗi hình hộp con với thể tích ∆V = ∆x∆y∆z. Chọn mỗi điểm (x , y , z ) B và lập tổng tích phân • ijk∗ ijk∗ ijk∗ ∈ ijk l m n ∆ ∆ ∆ ∑ ∑ ∑ f (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ ) x y z. i=1 j=1 k=1 59
60 Chương 2. Tích phân bội Định nghĩa 2.10. Tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trên hình hộp B là l m n ∆ ∆ ∆ f (x, y, z)dxdydz = lim ∑ ∑ ∑ f (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ ) x y z, (2.5) l,m,n +∞ ZZZB → i=1 j=1 k=1 nếu giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn các điểm (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ ). Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trên B. Chú ý 2.7. Nếu chọn (xijk∗ , yijk∗ , zijk∗ )=(xi, yj, zk) thì công thức (2.5) trở thành l m n f (x, y, z)dxdydz = lim ∑ ∑ ∑ f (xi, yj, zk)∆x∆y∆z, l,m,n +∞ ZZZB → i=1 j=1 k=1 Định lý 2.8 (Định lý Fubini). Nếu hàm số f (x, y, z) liên tục trên hình hộp B = [a, b] × [c, d] [r, s] thì nó khả tích trên đó, và × b d s f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz. ZZZB Za Zc Zr Tích phân bội ba trên miền bị chặn bất kì Giống như cách định nghĩa tích phân kép, tích phân bội ba trên miền bị chặn V bất kì được định nghĩa như sau: Chọn hình hộp chữ nhật B chứa V và định nghĩa hàm số mới • f (x, y, z) nếu (x, y, z) V, g(x, y, z)= ∈ 0 nếu (x, y, z) V.  6∈ Định nghĩa  • f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz. ZZZV ZZZB Các tính chất cơ bản Tính chất tuyến tính • [ f (x, y, z) + g (x, y, z)] dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + g (x, y, z) dxdydz ZZZV ZZZV ZZZV k f (x, y, z) dxdydz = k f (x, y, z) dxdydz ZZZV ZZZV 60
2. Tích phân bội ba 61 Tính chất cộng tính: Nếu V = V V , ở đó V và V không "chồng" lên nhau (có thể • 1 ∪ 2 1 2 ngoại trừ phần biên) thì: f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz ZZZ ZZZ ZZZ V V1 V2 2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép. Tích phân ba lớp Tích phân hai lớp Tích phân lặp ⇒ ⇒ Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng. z z = z2(x, y) V z = z1(x, y) O y D x Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y), trong đó z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta có: z2(x,y) I = f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz (2.6) ZZZ ZZ Z V D z1(x,y) Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp 1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy. 2. Xác định biên dưới z = z1 (x, y) và biên trên z = z2 (x, y) của V. 61
62 Chương 2. Tích phân bội 3. Sử dụng công thức 2.6 để hoàn tất việc chuyển đổi. Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là: Xác định D và các biên z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y) như thế nào? Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V. Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học có ưu điểm là rất trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy có thể áp dụng cho nhiều bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Vì thế, chúng ta cố gắng thử cách vẽ hình trước. Muốn làm được điều này, đòi hỏi bạn đọc phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong không gian như mặt phẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn nữa cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt của các mặt. Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f (x, y, z) đôi khi giúp giảm được khối lượng tính toán đáng kể. Định lý 2.9. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0 (Oxy) và f (x, y, z) là hàm số lẻ đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 0. ZZZV Định lý 2.10. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0 (Oxy) và f (x, y, z) là hàm số chẵn đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 2 f (x, y, z) dxdydz, trong đó V+ là phần phía ZZZV ZZZV+ trên mặt phẳng z = 0 của V. Chú ý 2.8. Vai trò của z trong hai định lý trên có thể được thay đổi bằng x hoặc y. Hai định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số. Bài tập 2.28. Tính zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi: ZZZV 1 0 6 x 6 4   x 6 y 6 2x   0 6 z 6 1 x2 y2.  − −  q Lời giải.  1 2 2 1 1 4 2x √1 x y 4 2x 4 − − 1 1 10 43 I = dx dy zdz = dx 1 x2 y2 dy = x x3 dx = . 2 − − 2 − 3 3072 Z0 Zx Z0 Z0 Zx Z0 62
2. Tích phân bội ba 63 Bài tập 2.29. Tính x2 + y2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt ZZZ V x2 + y2 + z2 = 1 ( x2 + y2 z2 = 0. − z z = 1 x2 y2 − − p z = x2 + y2 p y O D x Hình 2.29 2 2 2 2 Lời giải. Do tính chất đối xứng, x + y dxdydz = 2 x + y dxdydz = 2I1, trong ZZZ ZZZ V V1 2 2 2 2 V1 : x + y 6 z 6 1 x y đó V là nửa phía trên mặt phẳng Oxy của V. Ta có − − 1  q 1 q  D : x2 + y2 6 ,  2 với D là hình chiếu của V1 lên Oxy. Ta có  √1 x2 y2 − − I = x2 + y2dxdy dz = x2 + y2 1 x2 y2 x2 + y2 dxdy. 1 − − − ZZ Z ZZ D √x2+y2 D q q 63
64 Chương 2. Tích phân bội 6 6 x = r cos ϕ 0 ϕ 2π Đặt J = r,  1 nên ( y = r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6  √2 1  1 √2 2π √2 2π 8 5√2 I = r3 1 r2 r dr dϕ = 2π r3 1 r2 r dr = (r= cos α) = . − . 1 − − − − 5 12 Z0 p Z0 Z0 p Vậy 4π 8 5√2 I = . − . 5 12 2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba Phép đổi biến số tổng quát Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I = f (x, y, z) dxdydz trong đó f (x, y, z) liên tục trên V. ZZZV Thực hiện phép đổi biến số x = x (u, v, w)  y = y (u, v, w) (2.7)   z = z (u, v, w)  thoả mãn  x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng V • uvw của mặt phẳng O′uvw. Công thức 2.7 xác định song ánh V w V. • uv → J = D(x,y,z) = 0 trong V . Khi đó • D(u,v,w) 6 uvw I = f (x, y, z) dxdydz = f [x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)] J dudvdw ZZZ ZZZ | | V Vuvw Chú ý 2.9. 1. Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền Vuvw, biến miền V bị chặn thành miền Vuvw bị chặn. 2. Có thể tính thông qua 1 D(u,v,w) . J J− = D(x,y,z) 64
2. Tích phân bội ba 65 x + y + z = 3 ± Bài tập 2.30. Tính thể tích miền V giới hạn bởi  x + 2y z = 1 biết V = dxdydz.  − ± ZZZ  x + 4y + z = 2 V ±  u = x + y + z Lời giải. Thực hiện phép đổi biến  v = x + 2y z  −  w = x + 4y + z.  u = 3  ± Vì phép đổi biến biến biên của V thành biên của Vuvw nên Vuvw giới hạn bởi:  v = 1  ±  w = 2. ± Ta có   1 1 1 1 D (u, v, w) 1 1 1 J− = = 1 2 1 = 6 J = V = dudvdw = .6.2.4 = 8. D (x y z) , , − ⇒ 6 ⇒ 6 ZZZ 6 1 4 1 Vuvw Bài tập 2.31. Tính a) (3x2 + 2y + z)dxdydz, trong đó V : x y 1, y z 1, z + x 1. | − |≤ | − |≤ | |≤ ZZZV b) dxdydz, trong đó V : x y + x + 3y + x + y + z 1. | − | | | | |≤ ZZZV [Gợi ý] u = x y, 1 u 1, − − ≤ ≤ a) Đặt v = y z,  1 v 1,  ⇒   − − ≤ ≤ w = z + x  1 w 1. − ≤ ≤     u = x y,  − b) Đặt v = x + 3y, u + v + w 1.  ⇒| | | | | |≤  w = x + y + z   Phép đổi biến số trong toạ độ trụ Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x2 + y2) thì ta hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ. Toạ độ trụ của điểm M(x, y, z) là bộ ba (r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của điểm M′ là hình chiếu của điểm M lên Oxy. 65
66 Chương 2. Tích phân bội z M r = OM−−→ | ′|  \ ϕ = Ox, OM−−→′ O  y ϕ M′ x x = r cos ϕ Công thức đổi biến  y = r sin ϕ   z = z. Định thức Jacobian của phép biến đổi là J = D(x,y,z) = r, ta có:  D(r,ϕ,z) I = f (x, y, z) dxdydz = f (rcosϕ, r sin ϕ, z) rdrdϕdz. ZZZ ZZZ V Vrϕz (x, y) D ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 Nếu miền V : ∈ , trong đó D : thì: ( z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y) ( r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) ϕ2 r2(ϕ) z2(r cos ϕ,r sin ϕ) I = dϕ rdr f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz. Z Z Z ϕ1 r1(ϕ) z1(r cos ϕ,r sin ϕ) z z = z2(r cos ϕ, r sin ϕ) V z = z1(r cos ϕ, r sin ϕ) O y D x 66
2. Tích phân bội ba 67 x2 + y2 6 1 Bài tập 2.32. Tính x2 + y2 dxdydz, trong đó V : ZZZ ( 1 6 z 6 2. V z 2 V 1 y O x Hình 2.32 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ thì  0 6 r 6 1    z = z  1 6 z 6 2. Ta có     2π 1 2 3π I = dϕ r2dr zdz = = . 4 Z0 Z0 Z1 Bài tập 2.33. Tính z x2 + y2dxdydz, trong đó: ZZZ V p a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a (a > 0). b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0 (a > 0) 67
68 Chương 2. Tích phân bội z O y x Hình 2.33a x = r cos ϕ Lời giải. a) Đặt  y = r sin ϕ   z = z.  π π  6 ϕ 6 − 2 2 Từ x2 + y2 = 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó:   0 6 r 6 2 cos ϕ   0 6 z 6 a.  Vậy  π 2 2 cos ϕ a 16a2 I = dϕ r2dr zdz = = . 9 Zπ Z0 Z0 − 2 68
2. Tích phân bội ba 69 z O y x Hình 2.33b x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. b) Đặt  y = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 a    z = z  0 6 z 6 a2 r2. −   Ta có   p 2π a √a2 r2 a − a2 r2 2πa5 I = dϕ r2dr zdz = 2π r2. − dr = . 2 15 Z0 Z0 Z0 Z0 y = z2 + x2 Bài tập 2.34. Tính I = ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi: ( y = ph. ZZZV 69
70 Chương 2. Tích phân bội z O h y x Hình 2.34 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  z = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 h    y = y  r 6 y 6 h.   Do đó   2π h h h h2 r2 πh4 I = dϕ rdr ydy = 2π r. − dr = . 2 4 Z0 Z0 Zr Z0 x2 + y2 = z2 Bài tập 2.35. Tính I = x2 + y2dxdydz trong đó V giới hạn bởi: ZZZ ( z = 1. V p 70
2. Tích phân bội ba 71 z y O x Hình 2.35 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 1    z = z  r 6 z 6 1.   Do đó   2π 1 1 1 π I = dϕ r2dr dz = 2π r2 (1 r) dr = . − 6 Z0 Z0 Zr Z0 x2 + y2 1 dxdydz ≤ Bài tập 2.36. Tính 2 , trong đó V : √x2+y2+(z 2) ( z 1. ZZZV − | |≤ 71
72 Chương 2. Tích phân bội z O y x Hình 2.36 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ J = r, V :  0 6 r 6 1 ⇒ rϕz  | |   z′ = z 2  3 6 z′ 6 1. − − − Ta có     2π 1 1 − dz I = dϕ rdr ′ √r2 + z 2 Z0 Z0 Z3 ′ − 1 2 2 z′= 1 = π r. ln z′ + r + z′ z =−3 dr ′ − Z0 p 1 1 = 2π r ln r2 + 1 1 dr r ln r2 + 9 3 dr  − − −  Z0 p Z0 p = 2π (I I ) .  1 − 2 2 2 Vì lim r ln √r + 1 1 = lim r ln √r + 9 3 = 0 nên thực chất I1, I2 là các tích phân r 0 − r 0 − xác→ định. → Đặt √r2 + 1 = t rdr = tdt, ta có ⇒ r ln r2 + 1 1 dr − Z p = t ln (t 1) dt Z − t2 1 t2 = ln (t 1) dt 2 − − 2 t 1 Z − t2 1 t2 t = − ln (t 1) + C. 2 − − 4 − 2 72
2. Tích phân bội ba 73 Do đó 2 2 t 1 t t √ 1 1 1 I = − ln (t 1) 2 = ln √2 1 √2 1 . 1 2 − − 4 − 2 |1 2 − − 4 − 2 − 2 2 Tương tự, I = t 9 ln (t 3) t 3t + C nên 2 −2 − − 4 − 2 2 2 t 9 t 3t √ 1 1 3 I = − ln (t 3) 10 = ln √10 3 √10 3 . 2 2 − − 4 − 2 |3 2 − − 4 − 2 − Kết luận √2 1 I = 2π (I1 I2) = π ln − + 3√10 8 √2 . − √10 3 − − ! − Phép đổi biến số trong toạ độ cầu Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu, và khi hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y2 + z2 thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu. Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó: r = OM−−→ \   θ = Oz,OM−−→   \ ϕ = Ox, OM−−→′ .    z M r = OM−−→ | | θ O y ϕ M′ x x = r sin θ cos ϕ Công thức của phép đổi biến là:  y = r sin θ sin ϕ   z = r cos θ.   73
74 Chương 2. Tích phân bội Định thức Jacobian J = D(x,y,z) = r2 sin θ. Ta có công thức đổi biến D(r,θ,ϕ) − f (x, y, z) dxdydz = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r2 sin θdrdθdϕ. ZZZ ZZZ V Vrθϕ ϕ 6 ϕ 6 ϕ , (ϕ ϕ 6 2π) 1 2 2 − 1 Đặc biệt, nếu miền Vrθϕ :  θ1 (ϕ) 6 θ 6 θ2 (ϕ) thì   r1 (θ, ϕ) 6 r 6 r2 (θ, ϕ)  ϕ2 θ2(ϕ) r2(θ,ϕ) I = dϕ sin θdθ f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2dr. Z Z Z ϕ1 θ1(ϕ) r1(θ,ϕ) 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 Bài tập 2.37. Tính x2 + y2 + z2 dxdydz, trong đó V : 2 2 2 ZZZ ( x + y 6 z . V z V1 y O x Hình 2.37 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt  y = r sin θ sin ϕ   z = r cos θ. 2 2 2 2 2 2 Do 1 6 x +y + z 6 4 nên 1 r 2. Trên mặt nón có phương trình x + y = z nên  ≤ ≤ 0 6 ϕ 6 2π π π  6 6 θ = 4 . Vậy cận lấy tích phân là 0 θ  4  1 6 r 6 2.   74
2. Tích phân bội ba 75 Ta có π 2π 4 2 π 5 √ 2 2 4 r 2 4.31π 2 I = 2 dϕ sin θdθ r .r dr = 2.2π. ( cos θ) 0 . 1 = 1 . − 5 5 − 2 ! Z0 Z0 Z1 Bài tập 2.38. Tính x2 + y2 + z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. ZZZ V p z y O x Hình 2.38 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt  y = r sin θ sin ϕ   z = r cos θ. π Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 .  2 Do x2 + y2 + z2 6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy π π 2π 2 cos θ 2 1 π I = dϕ sin θdθ r.r2dr = 2π. sin θ. cos4 θdθ = . 4 10 Z0 Z0 Z0 Z0 Phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng. 1. Tương tự như khi tính tích phân kép, nếu miền V có dạng hình ellipsoid hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta có thể nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi. 75
76 Chương 2. Tích phân bội 2 2 2 2. – Nếu V : x + y + z 1 thì thực hiện phép đổi biến a2 b2 c2 ≤ x = ar sin θ cos ϕ  y = br sin θ sin ϕ , J = abcr2 sin θ −   z = cr cos θ  2  2 2 – Nếu V : (x a) + (y b) + (z c) R2 thì thực hiện phép đổi biến − − − ≤ x = a + r sin θ cos ϕ  y = b + r sin θ sin ϕ , J = r2 sin θ −   z = c + r cos θ   3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r. 4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến. 2 2 2 Bài tập 2.39. Tính 2 2 , trong đó là nửa của khối ellipsoit x +y z 6 z x + y dxdydz V a2 + b2 ZZZ V p 1, z > 0, (a, b > 0) . Lời giải. 1. Toạ độ trụ suy rộng. 2. Toạ độ cầu suy rộng. z = bz′ x = ar sin θ cos ϕ Đặt  x = ar cos ϕ Đặt  y = ar sin θ sin ϕ    y = ar sin θ.  z = br cos θ Ta có Ta có   0 6 ϕ 6 2π, 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 1, , J = a2br 0 6 θ 6 π , , J = a2br2 sin θ.   2   0 6 z 6 √1 r2. 0 6 r 6 1. ′ − Vậy Vậy   2 π 2π 1 √1 r 2π 2 1 − 2 2 I = dϕ dr bz′.ar.a brdz′ I = dϕ dθ br cos θ.ar sin θ.a b sin θdr Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 1 2π 1 1 r2 = 2a3b2π r2. − dr = 2a3b2π cos θ sin2 πdθ r4dr 2 Z0 Z0 Z0 2πa3b2 2πa3b2 = . = . 15 15 76
2. Tích phân bội ba 77 2 2 2 2 2 2 Bài tập 2.40. Tính x y z , ở đó x y z 6 > . a2 + b2 + c2 dxdydz V : a2 + b2 + c2 1, (a, b, c 0) ZZZV x = ar sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt  y = br sin θ sin ϕ , ta có   z = cr cos θ D (x, y, z) J =  = abcr2 sin θ, V = 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π, 0 6 r 6 1 . D (r, θ, ϕ) rϕz′ { } Vậy 2π π 1 4π I = abc dϕ dθ r2.r2 sin θ = abc. 5 Z0 Z0 Z0 Tọa độ cầu vs Tọa độ cầu suy rộng Phép đổi biến số không những có tác dụng làm đơn giản miền lấy tích phần, mà trong nhiều tình huống nó còn có tác dụng làm đơn giản hóa biểu thức tính tích phân. Trong bài tập sau đây, phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng sẽ làm cho biểu thức tính tích phân đơn giản hơn rất nhiều so với phép đổi biến trong tọa độ cầu thông thường. Bài tập 2.41. Tính z x2 y2 z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. ZZZ − − − V p z y O x Hình 2.41 Lời giải. 77
78 Chương 2. Tích phân bội 1. Tọa độ cầu thông thường 2. Tọa độ cầu suy rộng x = r sin θ cos ϕ x = r sin θ cos ϕ, Đặt  y = r sin θ sin ϕ Đặt y = r sin θ sin ϕ,     z = r cos θ.  1 z = 2 + r cos θ. Ta có Ta có   0 6 ϕ 6 2π, 0 ϕ 2π, ≤ ≤ 0 6 θ 6 π 0 θ π,  2    ≤ ≤ 0 6 r 6 cos θ. 0 r 1 . ≤ ≤ 2     1 π 2π π 2 2π 2 cos θ 1 I = dϕ dθ r2.r2 sin θdr I = dϕ dθ r cos θ r2.r2 sin θdr 4 − Z0 Z0 Z0 r Z Z Z − 0 0 0 p π2 = . tích phân này không dễ tính 64 Bài tập 2.42. [Cuối kì, K62] Tính tích phân bội ba (4z x2 y2 z2)dxdydz, ở đó V là − − − ZZZV hình cầu x2 + y2 + z2 4z. ≤ Lời giải. 1. Tọa độ cầu thông thường 2. Tọa độ cầu suy rộng x = r sin θ cos ϕ x = r sin θ cos ϕ, Đặt  y = r sin θ sin ϕ Đặt y = r sin θ sin ϕ,     z = r cos θ. z = 2 + r cos θ. Ta có Ta có   0 6 ϕ 6 2π, 0 ϕ 2π, ≤ ≤  6 6 π 0 θ 2 0 θ π,     ≤ ≤ 0 6 r 6 4 cos θ. 0 r 2. ≤ ≤     π  2π π 2 2π 2 4 cos θ I = dϕ dθ (4 r2)r2 sin θdr I = dϕ dθ (4r cos θ r2)r2 sin θdr Z Z Z − Z Z Z − 0 0 0 0 0 0 256π = . tích phân này tính hơi dài 15 78
2. Tích phân bội ba 79 Tọa độ cầu vs Tọa độ trụ Nói chung thì việc sử dụng tọa độ cầu hay tọa độ trụ phụ thuộc vào hai yếu tố chính: hình dáng của miền V và biểu thức tính tích phân. Nếu miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu và biểu thức tính tích phân có chứa x2 + • y2 + z2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu (khi đó x2 + y2 + z2 = r2). Nếu miền V có dạng hình trụ hoặc có chứa mặt nón, mặt paraboloid và biểu thức • tính tích phân có chứa x2 + y2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ (khi đó x2 + y2 = r2). Trong nhiều trường hợp thì chúng ta có thể sử dụng được đồng thời cả tọa độ trụ lẫn tọa độ cầu. Chẳng hạn như, tính (x2 + y2)dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu ZZV x2 + y2 + z2 1, z 0. ≤ ≥ z O y x 1. Tọa độ cầu. 2. Tọa độ trụ. x = r sin θ cos ϕ, x = r cos ϕ, Đặt y = r sin θ sin ϕ, Đặt y = r sin ϕ,     z = r cos θ. z = z.    0 ϕ 2π,  0 ϕ 2π,  ≤ ≤  ≤ ≤ Ta có 0 θ π , Ta có 0 r 1,  2   ≤ ≤  ≤ ≤ 0 r 1. 0 z √1 r2. ≤ ≤ ≤ ≤ −     π 2 2π 2 1 2π 1 √1 r − I = dϕ dθ r2 sin2 θ.r2 sin θdr I = dϕ dr r2.rdz Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 4π 4π = . = . 15 15 79
80 Chương 2. Tích phân bội Tuy nhiên, cũng có những tình huống mặc dù miền lấy tích phân là hình cầu nhưng việc sử dụng tọa độ trụ lại thuận tiện hơn (vì biểu thức tính tích phân có chứa x2 + y2). Chẳng hạn như, tính 1 x2 y2dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu ZZ − − V p x2 + y2 + z2 1, z 0 (xem hình vẽ của ví dụ phía trên). ≤ ≥ 1. Tọa độ cầu. 2. Tọa độ trụ. x = r sin θ cos ϕ, x = r cos ϕ, Đặt y = r sin θ sin ϕ, Đặt y = r sin ϕ,     z = r cos θ. z = z.    0 ϕ 2π,  0 ϕ 2π,  ≤ ≤  ≤ ≤ Ta có 0 θ π , Ta có 0 r 1,  2  ≤ ≤  ≤ ≤  0 r 1. 0 z √1 r2. ≤ ≤ ≤ ≤ −     π 2π 1 √1 r2 2π 2 1 − 2 I = dϕ dθ 1 r2 sin2 θ.r2 sin θdr I = dϕ dr 1 r .rdz − − Z Z Z Z0 Z0 Z0 p 0 0 0 p π (tích phân này không dễ tính) = . . 2 Tác giả tin rằng các bạn độc giả sau khi làm một vài ví dụ sẽ tự rút cho mình được kinh nghiệm và quyết định được là sẽ sử dụng phép đổi biến nào thích hợp. 2.4 Bài tập ôn tập Bài tập 2.43 (Cuối kì, K62). Tính tích phân bội ba xzdxdydz, ở đó V là miền thỏa ZZZV mãn x2 + y2 + z2 2x 2y 2z 2. − − − ≤− [Gợi ý] Nhận xét rằng miền V có dạng (x y)2 + y 1)2 +(z 1)2 1. Nếu thực hiện − − − ≤ x = 1 + r sin θ cos ϕ, phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng y = 1 + r sin θ sin ϕ, thì   z = 1 + r cos θ   2π π 1  I = dϕ dθ (1 + r sin θ cos ϕ)(1 + r cos θ)r2 sin θdr. Z0 Z0 Z0 80
2. Tích phân bội ba 81 u = x 1, − Tích phân này tính được nhưng dài dòng. Nếu tinh tế hơn một chút, đặt v = y 1, thì   − w = z 1 − 2 2 2 V′ : u + v + w 1 và  ≤  I = (u + 1)(w + 1)dudvdw ZZZ V′ = uwdudvdw + ududvdw + wdudvdw + dudvdw. ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ V′ V′ V′ V′ Dựa vào tính đối xứng của miền lấy tích phân và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân ta có uwdudvdw = 0, ududvdw = 0, wdudvdw = 0. ZZZ ZZZ ZZZ V′ V′ V′ Do đó, 4 I = dudvdw = π. ZZZ 3 V′ Bài tập 2.44. Tính dxdydz I = , (1 + x + y + z)3 ZZZV trong đó V là tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1. [Đáp số] I = 1 ln 2 5 . 2 − 8 Bài tập 2.45. Tính zdxdydz, ZZZV trong đó V là nửa trên của ellipsoid x2 y2 z2 + + 1, (z 0). a2 b2 a2 ≤ ≥ πabc2 [Đáp số] I = 4 . Bài tập 2.46. Tính các tích phân sau x2 y2 z2 x2 y2 z2 a) I1 = 2 + 2 + 2 , trong đó B là ellipsoid 2 + 2 + 2 1. B a b c a b c ≤ ZZZ b) , trong đó làm miền giới hạn bởi mặt nón 2 h2 2 2 và mặt I2 = zdxdydz C z = R2 (x + y ) ZZZ C phẳng z = h. 81
82 Chương 2. Tích phân bội 2 2 2 2 2 c) I3 = z dxdydz, trong đó D là phần chung của hình cầu x + y + z R và hình ZZZ D ≤ cầu x2 + y2 + z2 2Rz. ≤ 2 2 2 d) I4 = (x + y + z) dxdydz, trong đó V là phần chung của paraboloid x + y 2az ZZZ V ≤ và hình cầu x2 + y2 + z2 3a2. ≤ Bài tập 2.47. Tính thể tích của vật thể giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng 0xy, mặt bên là các mặt phẳng x = 0, x = a, y = 0, y = b, phía trên bởi paraboloid elliptic x2 y2 z = + , (p > 0, q > 0). 2p 2y Bài tập 2.48. Tính tích phân I = x2 + y2 + z2dxdydz, ZZZV q trong đó V là miền giới hạn bởi mặt x2 + y2 + z2 = z. π [Đáp số] I = 10 . Bài tập 2.49. Tính I = zdxdydz, ZZZV trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 và x2 + y2 + z2 = 6. 11π [Đáp số] I = 3 . Bài tập 2.50. Tính tích phân xyz I = dxdydz, x2 + y2 ZZZV trong đó V là vật thể giới hạn phía trên bởi mặt (x2 + y2 + z2)2 = a2xy và phía dưới bởi mặt z = 0. 82
3. Các ứng dụng của tích phân bội 83 §3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 3.1 Tính diện tích hình phẳng Công thức tổng quát: S = dxdy ZZD y = 2x x Bài tập 2.51. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:  y = 2−   y = 4.   y x x y = 2− y = 2 4 1 O x Hình 2.51 Lời giải. Nhận xét: D = D D , ở đó 1 ∪ 2 2 6 x 6 0 0 6 x 6 2 D − , D 1 x 2 x ( 2− 6 y 6 4 ( 2 6 y 6 4. Do đó 3 S = dxdy = dxdy + dxdy = 2 dxdy = = 2 8 . ZZ ZZ ZZ ZZ − ln 2 D D1 D2 D1 83
84 Chương 2. Tích phân bội y2 = x, y2 = 2x Bài tập 2.52. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi: ( x2 = y, x2 = 2y. y y = x2 x2 = 2y 2x = y2 x = y2 O x Hình 2.52 Lời giải. Ta có S = dxdy. Thực hiện phép đổi biến ZZD y2 u = x 1 6 u 6 2  Duv : , x2 ⇒ 6 6  v = ( 1 v 2  y   và y2 2y 1 D (u, v) x2 x J− = = −2x x2 = 3. D (x, y) 2 − y − y Vậy 1 1 S = dudv = . ZZ 3 3 Duv y = 0, y2 = 4ax Bài tập 2.53. Tính diện tích miền D giới hạn bởi ( x + y = 3a, y 6 0 (a > 0) . 84
3. Các ứng dụng của tích phân bội 85 y 3a 3a O x 6a − Hình 2.53 6a 6 y 6 0 − Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D :  y2 nên  6 x 6 3a y  4a − 0 3a y 0  − y2 S = dxdy = dy dx = 3a y dy = 18a2. − − 4a ZZD Z6a yZ2 Z6a − 4a − x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x Bài tập 2.54. Tính diện tích miền D giới hạn bởi ( x = y, y = 0. y y = x O 2 4 x Hình 2.54 π x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 Lời giải. Ta có S = dxdy. Đặt thì D : 4 nên ( y = r sin ϕ  6 6 ZZD  2 cos ϕ r 4 cos ϕ π π 4 4 cos ϕ 4 1  3π 3 S = dϕ rdr = 12 cos2 ϕdϕ = + . 2 4 2 Z0 2 cosZ ϕ Z0 85
86 Chương 2. Tích phân bội Bài tập 2.55. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r = 2 cos ϕ. √3 Chú ý: r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a. • r = 2a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a, 0), bán kính a. • r = 2a sin ϕ là phương trình đường tròn tâm (0, a), bán kính a. • y O x Hình 2.55 Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn: 2 π r = 1 = cos ϕ ϕ = . √3 ⇔ ± 6 Do đó π 2 cos ϕ π 6 √3 6 1 4 √3 π S = 2 dϕ rdr = 2. cos2 ϕ 1 dϕ = . 2 3 − 6 − 18 Z0 Z1 Z0 2 Bài tập 2.56. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x2 + y2 = 2a2xy (a > 0). 86
3. Các ứng dụng của tích phân bội 87 y r = a sin 2ϕ p O x Hình 2.56 x = r cos ϕ Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong ( y = r sin ϕ tương đương với r2 = a2 sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.56). Ta có π 3π 0 6 ϕ 6 , π 6 ϕ 6 D : 2 2   0 6 r 6 a sin 2ϕ Do tính đối xứng của hình vẽ nên p π π 2 a√sin 2ϕ 2 S = 2 dϕ rdr = a2 sin 2ϕdϕ = a2. Z0 Z0 Z0 Bài tập 2.57. Tính diện tích của miền giới hạn bởi đường Lemniscate (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2)(a > 0). − y r = a 2 cos 2ϕ p O x Hình 2.57 87
88 Chương 2. Tích phân bội [Gợi ý] Phương trình của đường Lemniscate trong tọa độ cực là r2 = 2a2 cos 2ϕ, và do tính đối xứng của miền nên π 4 a√2 cos 2ϕ S a2 = dϕ rdr = . 4 2 Z0 Z0 Bài tập 2.58. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y3 = axy (a > 0) (Lá Descartes). y 1 2 1 O 2 x Hình 2.58 TCX: y = x 1 − − 3 x = r cos ϕ Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong tương đương ( y = r sin ϕ với a sin ϕ cos ϕ r = . sin3 ϕ + cos3 ϕ Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.58). Ta có π 0 6 ϕ 6 2 D :  a sin ϕ cos ϕ  0 6 r 6 .  sin3 ϕ + cos3 ϕ  Do đó  a sin ϕ cos ϕ π 3 3 π 2 sin ϕ+cos ϕ 2 +∞ a2 sin2 ϕ cos2 ϕ t=tan ϕ a2 1 d t3 + 1 a2 S = dϕ rdr = dϕ = . = . 2 3 3 2 2 3 (t3 + 1)2 6 Z0 Z0 Z0 sin ϕ + cos ϕ Z0 Bài tập 2.59. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0) (đường Cardioids hay đường hình tim) 88
3. Các ứng dụng của tích phân bội 89 y a O 2a x a − Hình 2.59 Lời giải. Ta có D = 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a (1 + cos ϕ) { } nên π a(1+cos ϕ) π 3πa2 S = 2 dϕ rdr = a2 (1 + cos ϕ)2 dϕ = = . 2 Z0 Z0 Z0 3.2 Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát: V = dxdydz ZZZV Các trường hợp đặc biệt 1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z = f (x, y) , f (x, y) > 0 và liên tục trên D thì V = f (x, y) dxdy. (Xem hình vẽ dưới ZZD đây). 89
90 Chương 2. Tích phân bội z = f (x, y) z y O D x 2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D, z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: V = z (x, y) z (x, y) dxdy | 1 − 2 | ZZD z = z (x, y) z 1 Ω z = z2(x, y) y O D x 3x + y > 1 Bài tập 2.60. Tính thể tích miền giới hạn bởi  3x + 2y 6 2   y > 0, 0 6 z 6 1 x y. − −  90 
3. Các ứng dụng của tích phân bội 91 z O y x Hình 2.60 Lời giải. 2 2y 1 −3 1 1 1 V = f (x, y) dxdy = dy (1 x y) dx = 1 2y + y2 dy = . − − 6 − 18 ZZD Z0 1Zy Z0 −3 z = 4 x2 y2 Bài tập 2.61. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi − − ( 2z = 2 + x2 + y2. z 2z = 2 + x2 + y2 z = 4 x2 y2 O − − y x Hình 2.61 91
92 Chương 2. Tích phân bội x2 + y2 = 2 Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong: nên hình chiếu của V lên mặt phẳng ( z = 2, 2 2 Oxy là D : x2 + y2 2. Hơn nữa trên D thì 4 x2 y2 > 2+x +y nên ta có: ≤ − − 2 2 + x2 + y2 V = 4 x2 y2 dxdy. − − − 2 ZZD x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt thì ( y = r sin ϕ ( 0 6 r 6 √2. Do đó 2π √2 3 V = dϕ 3 r2 rdr = = 3π. − 2 Z0 Z0 0 6 z 6 1 x2 y2 Bài tập 2.62. Tính thể tích của V : − − ( y > x, y 6 √3x. z 1 O 1 y Hình 2.62 x Lời giải. Do x y √3x nên x, y 0. Ta có ≤ ≤ ≥ V = 1 x2 y2 dxdy. − − ZZD π π x = r cos ϕ 6 ϕ 6 Đặt thì 4 3 ( y = r sin ϕ  6 6  0 r 1.  92
3. Các ứng dụng của tích phân bội 93 Vậy π 3 1 π V = dϕ 1 r2 rdr = . . . = . − 48 Zπ Z 4 0 x2 + y2 + z2 6 4a2 Bài tập 2.63. Tính thể tích V : ( x2 + y2 2ay 6 0. − z 2a O 2a 2a x y Hình 2.63 Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên V = 4 4a2 x2 y2dxdy, − − ZZD q x2 + y2 2ay 6 0 trong đó D là nửa hình tròn D : − ( x > 0. π x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 Đặt thì 2 ( y = r sin ϕ  6 6  0 r 2a sin ϕ.  93
94 Chương 2. Tích phân bội Vậy π 2 2a sin ϕ V = 4 dϕ 4a2 r2rdr − Z0 Z0 p π 2 3 1 2 2 r= a ϕ = 4.− 4a2 r2 2 sin dϕ 2 3 − r=0 Z0 π 2 4 = 8a3 8a3 cos3 ϕ dϕ 3 − Z0 32a3 π 2 = . 3 2 − 3 z = 0  x2 y2 z = + Bài tập 2.64. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi  2 2  a b  x2 y2 2x + = . a2 b2 a  z   x2 y2 z = a2 + b2 4 V O 2a x Hình 2.64 2 2 Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D : x + y 2x . Do tính chất a2 b2 ≤ a đối xứng của miền V nên: x2 y2 V = 2 + dxdy, a2 b2 ZZD+ 94
3. Các ứng dụng của tích phân bội 95 2 trong đó + là nửa ellipse + x2 y 2x > D D : a2 + b2 a , y 0 ≤ π x = ar cos ϕ 0 6 ϕ 6 Đặt thì J = abr, 2 ( y = br sin ϕ | |  6 6  0 r 2 cos ϕ. Vậy π  2 2 cos ϕ 3π V = 2 dϕ r2rdr = = . 2 Z0 Z0 az = x2 + y2 Bài tập 2.65. Tính thể tích của miền V :  z = x2 + y2.  z q  a a O a y − Hình 2.65 Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong: x2 + y2 x2 + y2 = a2 z = x2 + y2 = a ⇔ z = a q ( Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là D : x2 + y2 a2. ≤ Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên: x2 + y2 V = x2 + y2 dxdy. − a ZZD q 95
96 Chương 2. Tích phân bội x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt thì ( y = r sin ϕ ( 0 6 r 6 a. Vậy 2π a r2 πa3 V = dϕ r rdr = = . − a 6 Z0 Z0 3.3 Tính diện tích mặt cong Mặt z = f (x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D. Giả thiết f (x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: 2 2 σ = 1 + p + q dxdy, p = fx′ , q = fy′ ZZD q z = f (x, y) z y O D x Ví dụ 3.1 (Cuối kì, K62). Tính diện tích của phần mặt paraboloid x = y2 + z2 thỏa mãn x 1. ≤ y2 + z2 1, Lời giải. i) Ta có miền D : ≤ nên x = 0   2 2 2 2 S = 1 +(xy′ ) +(xz′ ) dydz = 1 + 4y + 4z dydz. ZZD q ZZD q 2π 1 y = r cos ϕ, √ 2 π √ ii) Đặt S = dϕ r 1 + 4r dr = 6 (5 5 1). z = r sin ϕ ⇒ −  Z0 Z0  96
3. Các ứng dụng của tích phân bội 97 3.4 Bài tập ôn tập 2 2 Bài tập 2.66. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hình trụ elliptic x y , mặt a2 + b2 = 1 2 phẳng và paraboloid elliptic 2z x2 y > . z = 0 c = p2 + q2 (c 0) Bài tập 2.67. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt hyperbolic xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, yz = 25, yz = 49. [Gợi ý] Đặt u = xy, v = xz, w = yz. Đáp số V = 64. 97
98 Chương 2. Tích phân bội 98
CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ. §1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ. 1.1 Giới thiệu b Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) = f (x, y) dx, trong đó f (x, y) khả Za tích theo x trên [a, b] với mỗi y [c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số ∈ tính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích. 1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1) Tính liên tục. Định lý 3.11. Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số liên × tục trên [c, d]. Tức là: b b lim I (y) = I (y0) lim f (x, y) dx = f (x, y0) dx y y0 ⇔ y y0 → → Za Za (có thể chuyển dấu lấy giới hạn vào bên trong biểu thức tính tích phân) 1 Ví dụ 1.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân y f (x) , với là hàm số I (y) = x2+y2 dx f (x) Z0 dương, liên tục trên [0, 1] . 99
100 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. Lời giải. Nhận xét rằng hàm số y f (x) liên tục trên mỗi hình chữ nhật g (x, y) = x2+y2 [0, 1] [c, d] và [0, 1] [ d, c] với 0 0. Khi đó f (x) > m > 0 x [0, 1] và với ε > 0 thì: [0,1] ∀ ∈ 1 1 ε f (x) ε.m x I (ε) = dx > dx = m.arctan , x2 + ε2 x2 + ε2 ε Z0 Z0 1 1 ε f (x) ε.m x I ( ε) = − dx 6 − dx = m.arctan . − x2 + ε2 x2 + ε2 − ε Z0 Z0 Suy ra I (ε) I ( ε) > 2m. arctan x 2m. π khi ε 0 , tức là I (ε) I ( ε) không | − − | ε → 2 → | − − | tiến tới 0 khi ε 0 , I (y) gián đoạn tại y = 0 . → 1 y2 x2 Ví dụ 1.2. Xét tính liên tục của hàm số I (y) = − dx. (x2+y2)2 Z0 1 Lời giải. Tại y = 0 , I (0) = 1 dx = ∞, nên hàm số I (y) không xác định tại − x2 − Z0 y = 0. Tại y = 0, cũng có thể sử dụng Định lý 3.11 để khảo sát tính liên tục của I(y). Khi 6 y2 x2 đó phải xét hàm số f (x, y) = − trong khoảng [0, 1] [c, d] với d > c > 0 bất kì x2+y2)2 × (để tránh điểm y = 0) giống như trong Ví dụ 1.1. Tuy nhiên, trong trường hợp này có thể tính được I(y) một cách trực tiếp như sau: 1 1 x2 + y2 2x.x x 1 I (y) = − dx = d = . (x2 + y2)2 x2 + y2 1 + y2 Z0 Z0 Do đó I (y) xác định và liên tục với mọi y = 0. 6 2) Tính khả vi. Định lý 3.12. Nếu i) f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d], × ii) f ′ (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d] y × 100
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 101 thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và b ′ I′ (y) = fy (x, y) dx , Za nói cách khác, có thể đưa dấu đạo hàm vào trong dấu tích phân. Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau: 1 α n a) In (α) = x ln xdx , n là số nguyên dương. Z0 Lời giải. Với mỗi α > 0, hàm số f (x, α) = xα lnn x, n = 0, 1, 2, liên tục theo ∗ n x trên [0, 1] α n+1 ∂ fn(x,α) α n+1 ∞ Vì lim x ln x = 0 nên ∂α = x ln x liên tục trên [0, 1] (0, + ). ∗ x 0+ × → α n Nghĩa là hàm số fn (x, α) = x ln x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.12 nên: 1 1 1 ′ d α n 1 d α n 1 α n In 1 (α) = x ln − xdx = x ln − x dx = x ln xdx =In (α) . − dα dα Z0 Z0 Z0 ′ ′ ′ (n) Tương tự, In 2 = In 1, , I2 = I1, I1 = I0 , suy ra In (α) = [I0 (α)] . Mà − − 1 (n) n α 1 1 ( 1) n! I0 (α) = x dx = In (α) = = − . α + 1 ⇒ α + 1 (α + 1)n+1 Z0 π 2 b) ln 1 + y sin2 x dx, với y > 1. Z 0 Lời giải. Xét hàm số f (x, y) = ln 1 + y sin2 x thoả mãn các điều kiện sau: f (x, y) = ln 1 + y sin2 x xác định trên 0, π (1, +∞) và với mỗi y > 1 • 2 × − cho trước, liên tục theo trên π . f (x, y) x 0,2 2 ′ sin x π Tồn tại f (x, y) = 2 xác định, liên tục trên 0, (1, +∞) . • y 1+y sin x 2 × π π 2 2 2 Theo Định lý 3.12, I (y) = sin x dx = dx . ′ 1+y sin2 x 1 +y sin2 x Z0 Z0 101
102 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. Đặt = thì = dt 6 6 +∞ . t tanx dx 1+t2 , 0 t +∞ +∞ t2dt 1 1 1 I′ (y) = = dt (t2 + 1)(1 + t2 + yt2) y t2 + 1 − 1 + (y + 1) t2 Z0 Z0 1 +∞ 1 +∞ = arctan t arctan t y + 1 y " 0 − y + 1 0 # p π 1 p π 1 = 1 = . . 2y − 1 + y! 2 1 + y 1 + 1 + y Suy ra p p p π 1 I (y) = I′ (y) dy = . dy = π ln 1 + 1 + y + C. Z Z 2 1 + y 1 + 1 + y p Do I (0) = 0 nên C = π ln 2pvà I (y) = πpln 1 + 1 + y π ln 2. − − p 3) Tính khả tích. Định lý 3.13. Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] [c, d] thì I (y)là hàm số khả × tích trên [c, d], và: d d b b d I (y) dy := f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx     Zc Zc Za Za Zc     1 xb xa < < Ví dụ 1.4. Tính ln−x dx, (0 a b). Z0 xb xa Lời giải. Hàm lấy tích phân f (x) = ln−x mặc dù không xác định tại x = 0 nhưng xb xa lim ln−x = 0 nên có thể xếp tích phân này vào loại tích phân xác định. x 0+ → Ta có: b b xb xa xy − = F (x, b) F (x, a) = F′ (x, y) dy = xydy; F (x, y) := ln x − y ln x Za Za nên: 1 1 b b 1 b xb xa 1 b + 1 − dx = xydy dx = xydx dy = dy = ln . ln x     y + 1 a + 1 Z0 Z0 Za Za Z0 Za     Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. 102
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 103 1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi b(y) J (y) = f (x, y) dx, với y [c, d] , a 6 a (y) , b (y) 6 b y [c, d] . ∈ ∀ ∈ a(Zy) 1) Tính liên tục Định lý 3.14. Nếu i) hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d], × ii) các hàm số a (y) , b (y) liên tục trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6 b y [c, d] ∀ ∈ thì J (y) là một hàm số liên tục (đối với y) trên [c, d]. 2) Tính khả vi Định lý 3.15 (Định lý Leibniz). Nếu i) hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d], × ii) hàm số f ′ (x, y) liên tục trên [a, b] [c, d], y × iii) các hàm số a (y) , b (y) khả vi trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6 b y [c, d] ∀ ∈ thì J (y) là một hàm số khả vi (đối với y) trên [c, d], và: b(y) J′ (y) = f (b (y) , y) b′ (y) f (a (y) , y) a′ (y) + f ′ (x, y) dx. y − y y a(Zy) 1+y dx Ví dụ 1.5. Tìm lim 2 2 . y 0 1+x +y → Zy 1+y Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số = dx liên tục tại = dựa vào định I (y) 1+x2+y2 y 0 Zy 1+y 1 dx dx π lý 3.14, nên lim 2 2 = I (0) = 2 = . y 0 1+x +y 1+x 4 → Zy Z0 103
104 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. 1.4 Bài tập Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân b Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. Za d B1. Biểu diễn f (x, y) = F (x, y) dy. Zc B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân: b b d d b I (y) = f (x, y)dx = F (x, y) dy dx = F (x, y) dx dy.     Za Za Zc Zc Za     Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân. b Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. Za b ′ B1. Tính I′ (y) bằng cách I′ (y) = fy (x, y) dx. Za B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I (y) bằng cách I (y) = I′ (y) dy + C. Z B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C. Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.13 hoặc chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.12. 104
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 105 1 xb xa < < Bài tập 3.1. Tính ln−x dx, (0 a b). Z0 Lời giải. Cách 1: Đổi TT lấy TP Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP xb xa − = F (x, b) F (x, a) 1 ln x − xb xa Đặt I(b)= − dx. b ln x Z ′ 0 = Fy (x, y) dy Za Ta có b = xydy 1 b 1 Za I′(b)= x dx = . y b + 1 x Z0 F (x, y) := . ln x nên: nên 1 1 b xb xa − dx = xydy dx ln x   I(b)= I′(b)db = ln(b + 1)+ C. Z0 Z0 Za Z b  1  = xydx dy Thay giá trị đặc biệt b = a vào biểu   Za Z0 thức tính tích phân I(b) ta được b   1 = dy y + 1 I(a)= 0 C = ln(a + 1). Za ⇔ − b + 1 = ln . Do đó b+1 . a + 1 I = ln a+1 Bài tập 3.2. Tính tích phân sau: 1 1 x 2 2 a) I (y) = arctan y dx. b) J(y)= ln x + y dx. Z Z 0 0 [Gợi ý] a) B1. Kiểm tra I (y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi. 2 B2. Nhận xét rằng ( )= 1 y . I′ y 2 ln 1+y2 2 B3. ( )= 1 + 1 y + I y arctan y 2 y ln 1+y2 C. 1 B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y0 vào để tính C. Chẳng hạn, I(1)= arctan xdx, 0 và tính được C = 0. Z 105
106 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. b) B1. Kiểm tra J(y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi. 1 B2. Tính I′(y)= 2 arctan y . B3. I(y)= ln(1 + y2) 2 + 2y arctan 1 . − y 1 2 B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y0 vào để tính C. Chẳng hạn, I(0)= ln x dx, và 0 tính được C = 0. Z y2 x2 < 2 − 2 2 , 0 x, y 1, Bài tập 3.3. Cho hàm số f (x)= (x +y ) ≤ 0, x = y = 0.  Chứng minh rằng  1 1 1 1 π π = f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx = , 4   6   − 4 Z0 Z0 Z0 Z0     1 nghĩa là hàm số I(y) = f (x, y)dx khả tích trên đoạn [0, 1] nhưng không thể đổi thứ tự Z0 lấy tích phân được trong trường hợp này. Hãy giải thích vì sao. Bài tập 3.4. Chứng minh hàm Bessel π 1 I (x)= cos(nϕ x sin ϕ)dϕ n π − Z0 thỏa mãn phương trình Bessel 2 2 2 x I′′(x)+ xI (x)+(x n )I = 0, n = 0, 1, 2, . . . n n − n 106
§2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ. +∞ Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I (y) = f (x, y)dx, y [c, d]. Các kết quả ∈ Za dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới dấu tích phân không bị chặn). Mục đích chính cũng là nghiên cứu các tính chất liên tục, khả vi, khả tích của I(y). Tuy nhiên, các điều kiện để I(y) thỏa mãn các tính chất liên tục, khả vi, khả tích sẽ không còn đơn giản như đối với tích phân xác định phụ thuộc tham số nữa. 2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. Giả thiết f (x, y) là hàm số xác định trên [a, ∞) [c, d], • × với mỗi y [c, d] cố định, f (x, y) khả tích theo x trên [a, b], b > a. • ∈ ∀ Định nghĩa 3.11. Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là ∞ hội tụ tại y [c, d] nếu f (x, y )dx hội tụ, nghĩa là với mọi ǫ > 0, tồn tại b(ǫ, y ) > • 0 0 0 ∈ Za a (phụ thuộc vào ǫ và y0) sao cho b ∞ I(y ) f (x, y )dx = f (x, y )dx b(ǫ, y ). 0 − 0 0 0 Z Z a b hội tụ trên [c, d] nếu I (y) hội tụ tại mọi y [c, d], • ∈ hội tụ đều trên [c, d] nếu với mọi ǫ > 0, tồn tại b > a (chỉ phụ thuộc vào ǫ mà không • ǫ phụ thuộc vào y) sao cho b ∞ I(y) f (x, y)dx = f (x, y)dx b và với mọi y [c, d]. − ǫ ∈ Z Z a b ∞ Ví dụ 2.6. I(y)= sin(yx)dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi y = 0. 6 Z1 107
108 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. +∞ yx Ví dụ 2.7. a) Tính I(y)= ye− dx (y > 0). Z0 b) Chứng minh rằng I(y) hội tụ đều tới 1 trên [y0, +∞) với mọi y0 > 0. c) Giải thích tại sao I(y) không hội tụ đều trên (0, +∞). [Gợi ý] ∞ yx a) I(y)= e− = 1 với mọi y > 0. − 0 b) Theo định nghĩa, muốn chỉ ra I(y) hội tụ đều tới 1 trên [y0, +∞) ta phải chỉ ra với mỗi ǫ > 0, tồn tại số bǫ chỉ phụ thuộc vào ǫ, không phụ thuộc vào y sao cho b yx I(y) ye− dx b . − ∀ ǫ Z 0 Thật vậy, b yx by by by 1 1 I(y) ye− dx = 1 (1 e− ) = e− e− 0 ln . − | − − | ≤ y ǫ Z 0 0 1 1 Do đó, có thể chọn bǫ = ln . y0 ǫ c) Ta có b yx by by I(y) ye− dx = 1 (1 e− ) = e− . − | − − | Z 0 b yx 1 1 1 1 ∞ Muốn I(y) ye− dx ǫ thì e− ǫ b y ln ǫ . Tuy nhiên, y ln ǫ + khi − 0 ⇔ → Z y 0+ . Do đó, không thể chọn được hằng số b chỉ phụ thuộc vào ǫ thỏa mãn yêu → ǫ cầu của hội tụ đều. +∞ Ví dụ 2.8. Chứng minh rằng ax a với > và với mọi . e− cos yx = y2+a2 a 0 y Z0 [Gợi ý] a y e ax cos yxdx = e ax cos yx + e ax sin yx, − 2 + 2 − 2 + 2 − Z − a y a y +∞ nên ax a e− cos yxdx = a2+y2 . Z0 108
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 109 1) Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass Định lý 3.16. Nếu i) f (x, y) 6 g (x) , (x, y) [a, +∞] [c, d], | | ∀ ∈ × +∞ ii) tích phân suy rộng g (x) dx hội tụ, Za +∞ thì tích phân suy rộng I (y) = f (x, y)dx hội tụ đều đối với y [c, d]. ∈ Za Ví dụ 2.9. Chứng minh rằng ∞ a) ( )= cos yx là hội tụ đều trên I y x2+1 R. Z0 +∞ yx b) I(y)= ye− dx (y > 0) hội tụ đều trên [y0, +∞) với mọi y0 > 0. Z0 +∞ c) I(y)= e yx cos αx hội tụ đều trên khoảng [a, b] với mọi 0 < a < b và α R. − ∈ Z0 2) Tính liên tục Định lý 3.17. Nếu i) hàm số f (x, y) liên tục trên [a, +∞] [c, d], × +∞ ii) tích phân suy rộng I (y) = f (x, y)dx hội tụ đều đối với y [c, d] ∈ Za thì I (y) là một hàm số liên tục trên [c, d], nghĩa là +∞ +∞ +∞ lim I(y)= lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx = f (x, y0)dx = I(y0). y y0 y y0 y y0 → → Za Za → Za ∞ cos yx Ví dụ 2.10. Tính lim 2 . y 0 x +1 → Z0 109
110 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. +∞ yx Ví dụ 2.11. Chứng minh rằng I(y) = ye− dx không liên tục phải tại y = 0, Z0 nghĩa là +∞ +∞ yx yx lim ye− dx = lim ye− dx. y 0+   6 y 0+ → Z0 Z0 → Hãy giải thích tại sao không chuyển được dấu giới hạn vào trong biểu thức tính tích phân trong trường hợp này. 3) Tính khả vi Định lý 3.18. Nếu i) các hàm số f (x, y) và f ′ (x, y) liên tục trên [a, +∞] [c, d], y × +∞ ii) tích phân suy rộng I (y) = f (x, y)dx hội tụ với mỗi y [c, d], ∈ Za +∞ iii) tích phân suy rộng f ′ (x, y)dx hội tụ đều đối với y [c, d] y ∈ Za +∞ ′ thì I (y) là hàm số khả vi trên [c, d] và I′ (y) = fy (x, y) dx. Za +∞ Ví dụ 2.12. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số = arctan(x+y) I (y) 1+x2 dx Z∞ − là một hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I′ (y) rồi suy ra biểu thức của I (y). Lời giải. Ta có: 1) f (x, y) = arctan(x+y) liên tục trên [ ∞, +∞] [ ∞, +∞]. 1+x2 − × − +∞ +∞ 2) arctan(x+y) 6 π 1 , mà 1 = hội tụ, nên = arctan(x+y) hội tụ 1+x2 2 . 1+x2 1+x2 π I (y) 1+x2 dx Z∞ Z∞ − − đều trên [ ∞, +∞]. − Theo Định lý 3.17, I (y) liên tục trên [ ∞, +∞]. − +∞ Hơn nữa f ′ (x, y) = 1 6 1 , y; do đó f ′ (x, y)dx hội tụ đều trên y (1+x2)[1+(x+y)2] 1+x2 ∀ y Z∞ − +∞ 1 [ ∞, +∞]. Theo Định lý 3.18, I (y) khả vi trên [ ∞, +∞], và: I′ (y) = 2 dx. − − (1+x2)[1+(x+y) ] Z∞ − 110