Giáo trình Giải tích - Tạ Lê Lợi

114 trang cucquyet12 5080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích - Tạ Lê Lợi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_ta_le_loi.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích - Tạ Lê Lợi

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z TAÏ LEÂ LÔÏI GIAÛI TÍCH 1 (Giaùo Trình) Löu haønh noäi boä Y Ñaø Laït 2008 Z
Höôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình Ñaây laø giaùo trình Giaûi tích 1 daønh cho sinh vieân naêm thöù nhaát ngaønh Toaùn hay ngaønh Toaùn Tin. Noäi dung ñeà caäp ñeán moät soá khaùi nieäm cô baûn nhaát cuûa giôùi haïn daõy vaø chuoãi soá thöïc, tính lieân tuïc, pheùp tính vi phaân vaø tích phaân cuûa haøm soá moät bieán soá thöïc. Ñeå ñoïc ñöôïc giaùo trình naøy sinh vieân chæ caàn bieát chuùt ít lyù thuyeát taäp hôïp vaø aùnh xaï, cuøng vôùi moät vaøi lyù luaän logic toaùn caên baûn (e.g. qui taéc tam ñoaïn luaän, phöông phaùp phaûn chöùng, phöông phaùp qui naïp). Giaùo trình ñöôïc trình baøy theo loái tuyeán tính, vaäy ngöôøi ñoïc laàn ñaàu neân ñoïc laàn löôït töøng phaàn theo thöù töï. Ñeå ñoïc moät caùch tích cöïc, sau caùc khaùi nieäm vaø ñònh lyù sinh vieân neân ñoïc kyõ caùc ví duï, laøm moät soá baøi taäp neâu lieàn ñoù. Ngoaøi ra hoïc toaùn phaûi laøm baøi taäp. Moät soá baøi taäp caên baûn nhaát cuûa moãi chöông ñöôïc neâu ôû phaàn cuoái cuûa giaùo trình. Veà nguyeân taéc neân ñoïc moïi phaàn cuûa giaùo trình. Tuy vaäy, coù theå neâu ôû ñaây moät soá ñieåm caàn löu yù ôû töøng chöông: I. Soá thöïc - Daõy soá. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû qua: khaùi nieäm giôùi haïn treân, giôùi haïn döôùi (ôû 2.4), tính khoâng ñeám ñöôïc cuûa R (muïc 4.5) II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc. III. Pheùp tính vi phaân. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû qua: khaûo saùt tính loài (muïc 4.5), veõ ñöôøng cong (muïc 4.7). IV. Pheùp tính tích phaân. Kyõ thuaät tính tích phaân (muïc 1.4) neân ñoïc khi laøm baøi taäp. V. Chuoãi soá. Coù theå boû qua Ñònh lyù Riemann (muïc 1.4). Ñeå vieäc töï hoïc coù keát quaû toát sinh vieân neân tham khaûo theâm moät soá taøi lieäu khaùc coù noäi dung lieân quan (ñaëc bieät laø phaàn höôùng daãn giaûi caùc baøi taäp). Khoù coù theå neâu heát taøi lieäu neân tham khaûo, ôû ñaây chæ ñeà nghò caùc taøi lieäu sau (baèng tieáng Vieät): [1] Jean-Marier Monier, Giaûi tích 1 , NXB Giaùo duïc. [2] Y.Y. Liasko, A.C. Boâiatruc, IA. G. Gai, G.P. Goâloâvac, Giaûi tích toaùn hoïc - Caùc ví duï vaø caùc baøi toaùn, Taäp I vaø Phaàn I (Taäp II), NXB Ñaïi hoïc vaø trung hoïc chuyeân nghieäp. Ngoaøi ra, sinh vieân neân tìm hieåu vaø söû duïng moät soá phaàn meàm maùy tính hoã trôï cho vieäc hoïc vaø laøm toaùn nhö Maple, Mathematica, Chuùc caùc baïn thaønh coâng!
Giaûi tích 1 Taï Leâ Lôïi Muïc luïc Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 1. Soá thöïc 1 2. Daõy soá 5 3. Caùc ñònh lyù cô baûn 10 4. Caùc ví duï 11 Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 1. Haøm soá 17 2. Giôù haïn cuûa haøm 25 3. Haøm soá lieân tuïc 31 Chöông III. Pheùp tính vi phaân 1. Ñaïo haøm - Vi phaân 37 2. Caùc ñònh lyù cô baûn 39 3. Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor 41 4. Moät soá öùng duïng 43 Chöông IV. Pheùp tính tích phaân 1. Nguyeân haøm - Tích phaân baát ñònh 57 2. Tích phaân xaùc ñònh 67 3. Moät soá öùng duïng 75 4. Tích phaân suy roäng 79 Chöông V. Chuoãi soá 1. Chuoãi soá 85 2. Caùc daáu hieäu hoäi tuï 89 Baøi taäp 95
I. Soá thöïc - Daõy soá Chöông naøy seõ ñeà caäp ñeán taäp caùc soá thöïc, laø taäp neàn cho caùc nghieân cöùu ôû caùc chöông sau. Phaàn tieáp theo seõ nghieân cöùu ñeán daõy soá thöïc cuøng vôùi khaùi nieäm cô baûn nhaát cuûa giaûi tích: giôùi haïnï. I. Soá thöïc Taäp hôïp caùc soá höõu tæ raát thuaän tieän khi bieåu dieãn vaø thöïc hieän caùc pheùp toaùn treân caùc soá, nhöng noù khoâng ñuû duøng. Chaúng haïn, ñaõ töø laâu ngöôøi ta nhaän thaáy ñöôøøng cheùo cuûa hình√ vuoâng laø voâ öôùc. Noùi moät caùch soá hoïc, khoâng coù soá höõu tæ q naøo maø q2 =2, i.e. 2 khoâng laø soá höõu tæ. Nhö vaäy, ta caàn môû roäng taäp soá höõu tæ ñeå coù theå ño hay bieåu dieãn moïi ñoä daøi. Taäp caùc soá ñöôïc theâm vaøo goïi laø caùc soá voâ tæ, coøn taäp môû roäng goïi laø taäp caùc soá thöïc. Coù nhieàu phöông phaùp xaây döïng taäp caùc soá thöïc. Trong giaùo trình naøy ta duøng phöông phaùp tieân ñeà. 1.1 Caùc tieân ñeà. Taäp caùc soá thöïc R laø moät tröôøng soá, ñöôïc saép thöù töï toaøn phaàn vaø ñaày ñuû, i.e. R thoaû 3 tieân ñeà sau: • Tieân ñeà veà caáu truùc tröôøng. Treân R coù pheùp coäng vaø nhaân: +:R × R → R, (x, y) → x + y · : R × R → R, (x, y) → xy Hai pheùp toaùn treân thoûa maõn: ∀x, y x + y = y + x (tính giao hoaùn) ∀x, y, z (x + y)+z = x +(y + z) (tính keát hôïp) ∃0, ∀x, x +0 = x (0 goïi laø soá khoâng) ∀x, ∃−xx+(−x)=0 (−x goïi laø phaàn töû ñoái cuûa x) ∀x, y xy = yx (tính giao hoaùn) ∀x, y, z (xy)z = x(yz) (tính keát hôïp) ∃1 =0, ∀x 1x = x (1 goïi laø soá moät) ∀x =0, ∃x−1 xx−1 =1 (x−1 goïi laø phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x) ∀x, y, z x(y + z)=xy + xz (tính phaân phoái) • Tieân ñeà veà thöù töï. Treân R coù moät quan heä thöù töï toaøn phaàn ≤ thoûa maõn: ∀x, y x ≤ y hoaëc y ≤ x ∀xx≤ x (tính phaûn xaï) ∀x, y x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y (tính ñoái xöùng) ∀x, y, z x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính baéc caàu) ∀x, y, z x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀x, y 0 ≤ x, 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy • Tieân ñeà veà caän treân ñuùng. Moïi taäp con cuûa R khaùc troáng vaø bò chaën treân ñeàu toàn taïi caän treân ñuùng thuoäc R.
2 Caùc khaùi nieäm bò chaën treân vaø caän treân ñuùng seõ ñöôïc laøm roõ sau. Tröôùc heát ta coù ñònh lyù sau (khoâng chöùng minh) Ñònh lyù. Toàn taïi duy nhaát tröôøng soá thöïc R. Tính duy nhaát theo nghóa laø neáu R laø moät tröôøng soá thöïc, thì toàn taïi moät song aùnh giöõa R vaø R baûo toaøn caùc pheùp toaùn coäng, nhaân vaø baûo toaøn thöù töï. Caùc kyù hieäu vaø thuaät ngöõ. n n Daáu toång: xi = x1 + ···+ xn. Daáu tích: xi = x1 ···xn. i=1 i=1x Pheùp tröø: x − y = x +(−y) Pheùp chia: = xy−1 y So saùnh: x ≤ y coøn vieát y ≥ x, ñoïc laø “x beù hôn hay baèng y” hay “ y lôùn hôn hay baèng x”. x xneáuu x ≤ y vaø x = y, ñoïc laø “øx beù hôn y” hay “y lôùn hôn x”. Neáu 0 0 t - ’ ’ ’ 1.2 Supremum - Infimum. Taäp A ⊂ R goïi laø bò chaën treân neáuu toàn taïi b ∈ R, sao cho x ≤ b, ∀x ∈ A. Khi ñoù b goïi laø moät caän treân cuûa A. Taäp A ⊂ R goïi laø bò chaën döôùi neáuu toàn taïi a ∈ R, sao cho a ≤ x, ∀x ∈ A. Khi ñoù a goïi laø moät caän döôùi cuûa A. Moät taäp bò chaën neáuu noù vöøa bò chaën treân vöøa bò chaën döôùi. b∗ goïi laø caän treân ñuùng cuûa A, kyù hieäu b∗ =supA, neáuu b∗ laø caän treân beù nhaát cuûa A. a∗ goïi laø caän döôùi ñuùng cuûa A, kyù hieäu a∗ =infA, neáuu a∗ laø caän döôùi lôùn nhaát cuûa A. 1 3 2n−1 1 Ví duï. Cho A = { 2 , 4 , ··· , 2n , ···}. Khi ñoù sup A =1, inf A = 2 . Ví duï. Taäp A = {q : q laø soá höõu tæ vaø q2 < 2} laø taäp khaùc troáng, bò chaën. Theo tieân ñeà veà caän treân ñuùng toàn taïi a∗ =infA vaø b∗ =supA thuoäc R. Tuy A laø taäp con cuûa taäp caùc soá höõu tæ nhöng a∗ vaø b∗ ñeàu khoâng laø soá höõu tæ, vì khoâng coù soá höõu tæ q maø q 2 =2. Nhaän xeùt. Taäp caùc soá höõu tæ laø moät tröôøng ñöôïc saép thöù töï, i.e thoaû hai tieân ñeà
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 3 ñaàu cuûa 1.1. Vaäy tieân ñeà thöù ba veà caän treân ñuùng laø coát yeáu ñoái vôùi tröôøng soá thöïc. Veà maët hình hoïc, taäp R ‘laøm ñaày’ caùc choã troáng cuûa taäp caùc soá höõu tæ treân ñöôøng thaúng. Khoâng nhaát thieát sup A ∈ A hay inf A ∈ A. Khi chuùng thuoäc A, ta ñònh nghóa: M laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa A vaø kyù hieäu M =maxA, neáuu M =supA vaø M ∈ A. m laø phaàn töû beù nhaát cuûa A vaø kyù hieäu m = min A, neáuu m =infA vaø m ∈ A. Baøi taäp: Cho A ⊂ R laø taäp bò chaën treân. Chöùng minh: a =supA khi vaø chæ khi a laø moät caän treân cuûa A vaø ∀>0, ∃x ∈ A : a − 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho x 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho 0 0 ñeàu toàn taïi n ∈ N, sao cho n ≤ x<n+1. Phaàn nguyeân cuûa x ∈ R, ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa: [x]= soá nguyeân n thoûa n ≤ x<n+1 Baøi taäp: Tính [0, 5], [−2, 5], [0, 0001].
4 Tính truø maät cuûa soá höõu tæ trong R. Vôùi moïi x, y ∈ R, x 0, toàn taïi r ∈ Q, sao cho |x − r| 0 vaø n ∈ N \{0} toàn taïi duy nhaát soá thöïc y>0, sao cho yn = x. √ Khi ñoù ta goïi y laø caên baäc n cuûa x vaø kyù hieäu y = n x. Chöùng minh: Xeùt taäp A = {t ∈ R : tn ≤ x}. Deã thaáy A = ∅ (vì chöùa t =0) vaø bò chaën treân (bôûi 1+x). Vaäy toàn taïi y =supA. Ta chöùng minh yn = x: Giaû söû yn y=supA, voâ lyù. Giaû söû yn >x. Laäp luaän töông töï nhö treân ta tìm ñöôïc k>0, (y − k)n >x, i.e y − k laø moät chaën treân cuûa A beù hôn y =supA, voâ lyù. √ √ √ √ Nhaän xeùt. Nhö vaäy treân R coøn coù pheùp toaùn laáy caên, chaúng haïn 2, 3, 3 5, 4 16. Baøi taäp: Caùc soá neâu treân, soá naøo voâ tæ? soá naøo höõu tæ? 1.6 Taäp soá thöïc môû roäng R. Trong nhieàu tröôøng hôïp ta caàn ñeán caùc soá ‘voâ cuøng lôùn’. Kyù hieäu ∞ goïi laø voâ cuøng vaø taäp R = R ∪{+∞, −∞}. Qui öôùc: Vôùi moïi x ∈ R, −∞ 0,x(+∞)=−∞ neáu x<0 x x = =0 +∞ −∞ ∞ Nhaän xeùt. Khoâng theå ñònh nghóa hôïp lyù: ∞−∞, 0 ∞, . ∞ Khi taäp con A khoâng bò chaën döôùi (treân) ta kyù hieäu inf A = −∞ (sup A =+∞).
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 5 2. Daõy soá. 2.0 Khaùi nieäm. Khi thöïc hieän pheùp chia 1 cho 3 ta laàn löôït coù caùc soá haïng: 00, 30, 33 0, 333 0, 3333 ··· Archile ñuoåi ruøa vaø chaïy nhanh gaáp ñoâi ruøa neân khoaûng caùch ruùt ngaén daàn: 1 1 1 1 1 ··· 2 22 23 24 Thoâng tin lan truyeàn cöù moät ngöôøi bieát thì sau ñoù laïi thoâng tin cho moät ngöôøi khaùc: 1222 23 24 ··· Daõy 0-1: 010101 ··· Caùc daáu chaám chaám ñeå chæ caùc soá coøn tieáp tuïc, tieáp tuïc nöõa. Nhaän xeùt. • Caùc ví duï treân cho caùc daõy coù tính voâ haïn vaø coù thöù töï. 1 • Caùc soá haïng cuûa daõy ñaàu ‘caøng ngaøy caøng gaàn’ 3 , caùc soá haïng cuûa daõy thöù nhì ‘caøng ngaøy caøng gaàn’ vôùi 0. Coøn caùc soá haïng cuûa daõy thöù ba ‘caøng ngaøy caøng raát lôùn’. Daõy cuoái cuøng coù caùc soá haïng giao ñoäng. 2.1 Daõy soá. Moät daõy soá trong X ⊂ R laø boä voâ haïn coù thöù töï caùc soá trong X: (xn)n∈N = x0,x1,x2,x3, ··· Moät caùch chính xaùc, moät daõy trong X laø moät aùnh xaï x : N → X, n → xn = x(n) Veà maët hình hoïc, daõy treân ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñoà thò cuûa noù trong maët phaúng R2, i.e. daõy ñieåm { (n, xn): n ∈ N } x 6 s s s s xn s s s s s s s s s s - ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ 0 1 2 3 q q n q q q +∞ Taäp caùc soá töï nhieân N = {0, 1, 2, ···} laø voâ haïn (neáu n ∈ N, thì n +1 ∈ N) vaø coù thöù töï (0 < 1 < 2 < 3 < ···), neân ñöôïc duøng ñeå ‘ñaùnh soá’ caùc soá haïng cuûa daõy. Thöôøng ngöôøi ta cho daõy soá baèng caùc phöông phaùp: • Lieät keâ. Ví duï: caùc daõy cho ôû treân, moät daõy maõ hoaù bôûi baûng maõ Σ={0, 1, ··· ,N} laø daõy coù daïng (x0,x1,x2, ···), vôùi caùc xn ∈ Σ. −1 −2 −n • Haøm. Ví duï: caùc daõy ôû treân coù theå cho bôûi xn =3.10 +3.10 + ···+3.10 , 1 x = ,x =2n, hay x =1− (−1)n. n 2n n n
6 • Ñeä qui. Ví duï: Daõy xn = n! ñònh nghóa bôûi x0 =1,xn+1 =(n +1)xn (n ≥ 1). Daõy ñeä qui caáp 1: x0 ∈ R laø giaù trò ñaàu, xn+1 = f(xn) (n =0, 1, ···), trong ñoù f laø moät haøm soá cho tröôùc. Daõy Fibonacci: x0 =0,x1 =1,xn+1 = xn + xn−1 (n ≥ 2) laø daõy ñeä qui caáp 2. Baøi taäp: Tính möôøi soá√ haïng ñaàu cuûa daõy Fibonaci. Baøi taäp: Cho f(x)= 1+x hay f(x)=4λx(1 − x) (λ ∈{0.7, 0.8, 0.9}). Haõy veõ ñoà thò cuûa daõy xn+1 = f(xn), khi x0 =1. Baøi taäp: Chöùng minh taäp caùc soá nguyeân toá laø voâ haïn. Laäp thuaät toaùn tính xn = soá nguyeân toá thöù n. Chuù yù. Ta kyù hieäu phaân bieät taäp caùc soá {xn : n ∈ N} vôùi daõy soá (xn)n∈N laø boä thöù töï. 2.2 Giôùi haïn. Ñieåm a ∈ R goïi laø giôùi haïn cuûa daõy soá (xn)n∈N neáuu vôùi moïi >0, beù tuøy yù, ñeàu tìm ñöôïc soá töï nhieân N, ñuû lôùn vaø phuï thuoäc , sao cho khi n>N, thì |xn − a| 0, ∃N : n>N ⇒|xn − a| < Khi ñoù ta noùi daõy (xn) hoäi tuï veà a vaø kyù hieäu laø lim xn = a hay lim xn = a hay xn → a, khi n →∞ n→∞ x 6 s a + s a s s s s s s s s a − s s s s - ’ ’ ’ q’ q’ ’ ’ q’ q’ q’ q q q 0 1 2 3 N n +∞ Nhaän xeùt. • Ñònh nghóa giôùi haïn cuûa daõy khoâng phuï thuoäc vaøo höõu haïn soá haïng ñaàu cuûa daõy. • Deã thaáy: lim xn = a khi vaø chæ khi lim |xn − a| =0 n→∞ n→∞ • Veà maët hình hoïc, caùc ñieàu treân coù nghóa laø ñoà thò cuûa daõy tieäm caän vôùi ñöôøng thaúng {(x, y): y = a } trong R2. • Neáu (xn) hoäi tuï, thì giôùi haïn laø duy nhaát. Thöïc vaäy, neáu a vaø b cuøng laø giôùi haïn cuûa (xn), thì |a − b|≤|a − xn| + |xn − b|→0, khi n →∞. Vaäy |a − b| =0, hay a = b. 1 Baøi taäp: Xeùt x = √ , vôùi n =1, 2, ···. Theo ñònh nghóa haõy kieåm nghieäm n n lim xn =0, baèng caùch ñieàn tieáp vaøo baûng sau n→∞ 1 1 1 1 1 10 100 1.000 1.000.000 N 1 100
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 7 Nhaän xeùt. Neáu caøng beù, thì N caøng lôùn, i.e. 0 N. Töø ñoù coù theå tìm ñöôïc N phuï thuoäc sao cho f(N) 0. Goïi N nhö ñaõ tìm ñöôïc ôû treân. Khi n>N, ta coù |xn−a|≤f(N) 0, tieán haønh nhö sau: n→∞ np 1 1 1 Ta nhaän thaáy khi n>N, ta coù baát ñaúng thöùc | − 0| = 0, choïn soá nguyeân N> p , chaúng haïn N =[p ]+1. Khi ñoù neáu 1 1 n>N, thì | − 0| 0. Goïi N =[3/]. Khi n>N, ta coù 1 1 3 3 3 |x − | = |0, 33 ···3 − | 0, ∃N : n>N⇒ xn >E n→∞ Kyù hieäu lim xn = −∞, neáuu ∀E>0, ∃N : n>N⇒ xn 1   giao ñoäng neáu a ≤−1 2.4 Daõy con - Giôùi haïn rieâng. Cho daõy (xn). Cho moät daõy taêng caùc soá töï nhieân n <n < ···<n < ···, khi ñoù daõy (x ) goïi laø moät daõy con cuûa daõy (x ). 0 1 k nk k∈N n Noùi moät caùch khaùc, moät daõy con laø daõy cho bôûi qui taéc hôïp cuûa moät daõy caùc soá töï nhieân taêng vaø daõy (xn) : N −→ N −→ R k → n(k)=n → x = x k nk n(k) Ñieåm a ∈ R goïi laø moät giôùi haïn rieâng cuûa daõy neáuu toàn taïi moät daõy con cuûa noù hoäi tuï veà a. Chaúng haïn daõy ((−1)n) khoâng hoäi tuï, daõy con caùc soá haïng chæ soá chaün laø
8 daõy haèng (1), coøn daõy con caùc soá haïng chæ soá leû laø daõy haèng (−1). Vaäy daõy coù hai giôùi haïn rieâng laø 1 vaø −1. Nhaän xeùt. Töø ñònh nghóa suy ra: • Neáu daõy (xn) hoäi tuï veà a, thì moïi daõy con cuûa noù cuõng hoäi tuï veà a. • a laø moät giôùi haïn rieâng cuûa (xn) khi vaø chæ khi vôùi moïi >0, toàn taïi voâ soá chæ soá n ∈ N, sao cho |xn − a| 0, coù voâ soá soá haïng xn >M−, vaø chæ coù höõu haïn soá haïng xn >M+ . • lim inf xn = m höõu haïn khi vaø chæ khi vôùi moïi >0, coù voâ soá soá haïng xn <m+ vaø chæ coù höõu haïn soá haïng xn <m− . 2.5 Tính chaát cuûa giôùi haïn. (1) Tính bò chaën: Neáu (xn) hoäi tuï, thì toàn taïi M sao cho |xn| <M,∀n. (2) Tính baûo toaøn caùc pheùp toaùn: Giaû söû (xn) vaø (yn) laø caùc daõy hoäi tuï. Khi ñoù caùc xn daõy (xn + yn), (xnyn), (giaû thieát theâm lim yn =0) hoäi tuï, vaø yn n→∞ lim xn xn n→∞ lim (xn+yn) = lim xn+ lim yn , lim (xnyn) = lim xn lim yn , lim = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ yn lim yn n→∞ (3) Tính baûo toaøn thöù töï: Gæa söû (xn) vaø (yn) laø caùc daõy hoäi tuï vaø vôùi moïi n ñuû lôùn xn ≤ yn. Khi ñoù lim xn ≤ lim yn n→∞ n→∞ (4) Tính keïp (sandwich): Gæa söû vôùi moïi n ñuû lôùn ta coù xn ≤ yn ≤ zn, vaø lim xn = n→∞
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 9 lim zn = a. Khi ñoù lim yn = a. n→∞ n→∞ Chöùng minh: Gæa söû lim xn = a vaø lim yn = b. n→∞ n→∞ (1) Theo ñònh nghóa, vôùi =1, toàn taïi N, sao cho |xn − a| N. Goïi M =max{|x0|, ··· , |xN |, |a| +1}. Khi ñoù |xn| N. Vaäy khi n>N, thì |yn| = |b − b + yn|≥|b|−|yn − b| > |b|/2 vaø ta coù baát ñaúng thöùc xn a xnb − yna xnb − ab ab − yna − = = + yn b byn byn byn |x − a| |a||b − y | ≤ n + n |yn| |byn| |x − a| |a||b − y | ≤ n + n |b|/2 |b||b|/2 Khi n → +∞, veá phaûi vaø do vaäy veá traùi caùc baát ñaúng thöùc treân → 0. Suy ra söï toàn taïi caùc giôùi haïn vaø caùc coâng thöùc ôû (2). (3) Gæa söû khi n ñuû lôùn xn ≤ yn. Gæa söû phaûn chöùng laø a>b. Khi ñoù vôùi a−b = 2 > 0, thì vôùi moïi n ñuû lôùn, ta coù |xn − a| 0. Theo gæa thieát lim xn = lim zn = a, suy ra toàn taïi N1 sao cho: |xn − a| N1. Theo gæa thieát toàn taïi N2 sao cho xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ≥ N2. Khi n ≥ max(N1,N2), töø caùc baát ñaúng thöùc treân suy ra −<xn − a ≤ yn − a ≤ zn − a<, i.e. |yn − a| <. Vaäy lim yn = a. Nhaän xeùt. • Moät daõy bò chaën chöa chaéc hoäi tuï, chaúng haïn daõy ((−1)n). • Neáu caùc daõy (xn), (yn) hoäi tuï vaø xn <yn, ∀n, thì lim xn ≤ lim yn. n→∞ n→∞ p p Baøi taäp: Chöùng minh neáu lim xn = a, thì lim |xn| = |a| vaø lim |xn| = |a|. n→∞ n→∞ n→∞ Ví duï. Tính n2 − 3n +6 a) lim . n→∞ √3n2 √+4n +2 √ b) lim n( n +2− n +1). n→∞ Ñeå tính giôùi haïn ñaàu, chuù yù laø n2 (luõy thöøa baäc cao nhaát) laø voâ cuøng lôùn so vôùi n, neân ta ñöa n2 laøm thöøa soá chung: n2 − 3n +6 n2(1 − 3/n +6/n2) 1 − 3/n +6/n2 lim = lim = lim n→∞ 3n2 +4n +2 n→∞ n2(3 + 4/n +2/n2) n→∞ 3+4/n +2/n2 1 − lim 3/n + lim 6/n2 1 − 0+0 1 = = = 3 + lim 4/n + lim 2/n2 3+0+0 3
10 Ñeå tính giôùi haïn sau, ta nhaân löôïng lieân hieäp ñeå khöû caên: √ √ √ √ √ √ √ √ ( n +2− n +1)( n +2+ n +1) lim n( n +2 − n + 1) = lim n √ √ n→∞ n→∞ n +2+ n +1√ √ (n +2)− (n +1) n = lim n√ √ = lim √ n→∞ n +2+ n +1 n→∞ 2 1 n( 1+ n + 1+ n ) 1 1 = lim = n→∞ 2 1 2 1 1+ n + 1+ n (lim 1+ n + lim 1+ n ) 1 1 = √ √ = 1+ 1 2 3. Caùc ñònh lyù cô baûn. Theo ngoân ngöõ cuûa daõy soá, taäp caùc soá höõu tæ laø khoâng “ñaày ñuû” vì coù caùc daõy 1 soá trong Q nhöng khoâng hoäi tuï veà moät soá thuoäc Q, chaúng haïn daõy x =(1+ )n. n n Caùc ñònh lyù sau ñaây theå hieän tính ñaày ñuû cuûa taäp soá thöïc R. 3.1 Nguyeân lyù ñôn ñieäu bò chaën. Moät daõy ñôn ñieäu khoâng giaûm vaø bò chaën treân thì hoäi tuï, i.e. (xn ≤ xn+1, ∀n)&(∃M,xn 0. Theo ñònh nghóa cuûa caän treân beù nhaát: moïi xn ≤ a vaø toàn taïi xN sao cho a − N, a − <xn ≤ a<a+ , i.e |xn − a| <. Vaäy lim xn = a. Nhaän xeùt. Neáu (xn) khoâng giaûm nhöng khoâng bò chaën treân, thì lim xn =+∞. Töông töï, neáu (xn) khoâng taêng nhöng khoâng bò chaën döôùi, thì lim xn = −∞. 3.2 Nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau. Cho daõy caùc ñoaïn loàng nhau In =[an,bn], sao cho In ⊃ In+1, n ∈ N. Khi ñoù toàn taïi ñieåm chung cho moïi In, i.e. ∩n∈NIn = ∅ Chöùng minh: Töø gæa thieát ta coù an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. Vaäy daõy (an) khoâng giaûm vaø bò chaën treân coøn (bn) khoâng taêng vaø bò chaën döôùi. Theo nguyeân lyù treân toàn
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 11 taïi a = lim an vaø lim bn = b. Hôn nöõa, do tính baûo toaøn thöù töï, a ≤ b. Roõ raøng [a, b] ⊂ In, ∀n. 3.3 Ñònh lyù Bolzano-Weierstrass. Moïi daõy bò chaën ñeàu toàn taïi daõy con hoäi tuï. Chöùng minh: Ta tìm daõy con hoäi tuï baèng phöông phaùp chia ñoâi: Gæa söû a0 ≤ xn ≤ b0, ∀n. Chia ñoâi ñoaïn I0 =[a0,b0]. Moät trong hai ñoaïn chia chöùa voâ soá soá haïng xn, goïi laø I1. Choïn n1, xn1 ∈ I1. Töông töï, chia ñoâi I1 coù moät trong hai ñoaïn con chöùa voâ soá soá haïng xn, goïi laø I2. Choïn n2 >n1, xn2 ∈ I2. Laëp laïi caùch laøm treân, ta coù: a) I ⊃ I ⊃···⊃I b) Ñoä daøi ñoaïn I laø b0−a0 c) n 0, ∃N : n, m > N ⇒|xn − xm| 0, toàn taïi N: |xn − a| N. Vaäy vôùi m, n > N, |xn − xm|≤|xn − a| + |xm − a| N. Choïn M =max{|x0|, ··· , |xN |, |xN | +1}. Khi ñoù |xn|≤M,∀n. Theo ñònh lyù Bolzano-Weierstrass, toàn taïi daõy con (x ) hoäi tuï veà a. nk k∈N Ta chöùng minh daõy (x ) hoäi tuï veà a: töø baát ñaúng thöùc |x −a|≤|x −x |+|x −a|. n k k nk nk Do n ≥ k, khi k →∞, thì n →∞. Khi ñoù |x − x |→0, do laø daõy Cauchy; vaø k k k nk |xn − a|→0, do daõy con hoäi tuï veà a. Vaäy lim xk = a. k k→∞ Nhaän xeùt. Trong thöïc haønh, thöôøng duøng tieâu chuaån Cauchy döôùi daïng: |xn − xn+p|→0 , khi n →∞, vôùi moïi p =0, 1, ··· Nhö vaäy khoâng caàn bieát tröôùc hoaëc phoûng ñoaùn tröôùc giôùi haïn (neáu coù) cuûa moät daõy, tieâu chuaån Cauchy thuaän lôïi ñeå kieåm tra söï hoäi tuï cuûa moät daõy. 4. Caùc ví duï. 4.1 Moät soá giôùi haïn cô baûn. 1 a) lim =0 (p>0) n→∞ n√p b) lim n a =1 (a>0) n→∞ √ c) lim n n =1 n→∞ √ d) lim n n!=+∞ n→∞ np e) lim =0 (a>1) n→∞ an
12 f) lim an =0neáu |a| 1 n→∞ n→∞ Chöùng minh: a) Ñaõ chöùng minh. √ n b) Tröôøng hôïp a ≥ 1, xeùt xn = a − 1. Ta chöùng minh lim xn =0. n Theo coâng thöùc nhò thöùc Newton, do xn ≥ 0, ta coù a =(1+xn) ≥ 1+nxn. a − 1 Suy ra 0 ≤ x ≤ . Töø tính chaát sandwich lim x =0. n n n 1 Tröôøng hôïp 0 (coù theå chöùng minh baèng qui naïp), suy ra n n! > . 3 3 Töø ñoù deã suy ra giôùi haïn caàn tìm. 1 e) Vì a>1, a p =1+u (u>0). Theo coâng thöùc nhò thöùc Newton suy ra 1 n n n(n − 1) 2 (a p ) =(1+u) > u 2  p np n Suy ra lim = lim   =0. n 1 a (a p )n f) Suy töø e) vôùi p =0 4.2 Soá e. Hai daõy soá sau laø hoäi tuï veà cuøng moät giôùi haïn 1 1 1 1 n s =1+ + + ···+ vaø t = 1+ n 1! 2! n! n n Kyù hieäu lim sn = lim tn = e goïi laø cô soá Neper. n→∞ n→∞ 1 1 1 Chöùng minh: Daõy (s ) taêng, s =1+1+ + + ··· + < 1+ n n 1.2 1.2.3 1.2 n 1 1 1 1+ + + ···+ < 3. Vaäy theo nguyeân lyù ñôn ñieäu toàn taïi lim s = e. 2 n−1 n 2 2 2 1 n n n! 1 n 1 n n − 1 n − k +1 Ta coù t = 1+ = = n n k!(n − k)! nk k! n n n k=0 k=0 . n 1 1 k − 1 = 1 − 1 − k! n n k=0 Suy ra tn <tn+1 vaø tn ≤ sn < 3. Vaäy toàn taïi lim tn = e . Ta chöùng minh e = e .Dotn ≤ sn, suy ra e ≤ e. Maët khaùc, vôùi n ≥ m, ta coù 1 1 1 1 n − 1 tn =1+1+ 1 − + ···+ 1 − 1 − 2! n n! n n 1 1 1 1 m − 1 ≥ 1+1+ 1 − + ···+ 1 − 1 − 2! n m! n n
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 13 1 1 Khi m coá ñònh, n →∞, suy ra e ≥ 1+1+ + ···+ = s 2! m! m Cho m →∞,tacoùe ≥ e. Meänh ñeà. e laø soá voâ tæ. (e =2, 71828 ···). m Chöùng minh: Gæa söû phaûn chöùng e = ∈ Q. Theo chöùng minh treân, ta co n 1 1 0 . Vaäy (x ) khoâng thoûa m n n +1 2n 2 n tieâu chuaån Cauchy neân phaân kyø. 4.4 Bieåu dieãn thaäp phaân cuûa soá thöïc. Cho x ∈ R. Khi ñoù daõy soá nguyeân a a a =[x] ∈ Z,a =[10n(x − a − 1 −···− n−1 )] ∈{0, 1, ··· , 9}, thoûa 0 n 0 10 10n−1 a a x = a + 1 + ···+ n → x, khi n →∞ n 0 10 10n Noùi caùch khaùc, ta coù bieåu dieãn x = a0,a1a2 ···an ···. Suy ra taäp caùc soá höõu tæ laø truø maät trong R. Chöùng minh: Ñaët a0 =[x]. Ta coù a0 ≤ x<a0 +1, i.e. 0 ≤ x − a0 < 1. a a +1 Khi ñoù a = [10(x − a )] ∈{0, 1, ··· , 9} vaø thoûa 1 ≤ x − a < 1 . 1 0 10 0 10 (Veà maët hình hoïc, neáu chia [0, 1] thaønh möôøi ñoaïn baèng nhau, thì x − a0 thuoäc moät trong caùc ñoaïn ñoù). a 1 a a a +1 Do 0 ≤ x − a − 1 < , toàn taïi a ∈{0, 1, ··· , 9}, 2 ≤ x − a − 1 < 2 . 0 10 10 2 102 0 10 102 a a 1 Laëp lyù luaän treân, ôû böôùc thöù n ta coù 0 ≤ x − a − 1 −···− n < . 0 10 10n 10n a a Goïi a =[10n+1(x − a − 1 −···− n )]. Khi ñoù a ∈{0, 1, ··· , 9}, vaø n+1 0 10 10n n+1 a a a 1 0 ≤ x − a − 1 −···− n − n+1 < . 0 10 10n 10n+1 10n+1
14 1 Vaäy vôùi xn xaây döïng treân ta coù 0 ≤ x − xn < 10n . Suy ra lim xn = x. Nhaän xeùt. • Bieåu dieãn thaäp phaân moät soá thöïc nhö treân laø khoâng duy nhaát. Chaúng haïn, 1, 000 ···=0, 999 ··· 0, 5=0, 4999 ··· • Bieåu dieãn thaäp phaân soá höõu tæ hoaëc coù ñoä daøi höõu haïn hoaëc coù chu kyø. Chaúng haïn, 1 1 1 =0, 5 , =0, 333 ··· , 0, 123123123 ···= 123 × 2 3 103 − 1 Trong khi ñoù bieåu dieãn thaäp phaân soá voâ tæ luoân coù ñoä daøi voâ haïn vaø khoâng coù chu kyø. 4.5 Tính khoâng ñeám ñöôïc cuûa R. Ñeå xeùt ñeán soá löôïng phaàn töû cuûa moät taäp ta coù khaùi nieäm löïc löôïng . Hai taäp X, Y goïi laø cuøng löïc löôïng neáuu toàn taïi moät song aùnh töø X leân Y . Deã thaáy quan heä ‘cuøng löïc löôïng’ laø quan heä töông ñöông treân lôùp caùc taäp. Ba lôùp ñaùng quan taâm: (1) Moät taäp goïi laø höõu haïn n phaàn töû neáuu noù cuøng löïc löôïng vôùi {1, 2, ··· ,n}. (2) Moät taäp goïi laø (voâ haïn) ñeám ñöôïc neáuu noù cuøng löïc löôïng vôùi N. Moät song aùnh N → X coøn goïi laø moät pheùp ñaùnh soá thöù töï caùc phaàn töû cuûa X. Moät taäp höõu haïn hoaëc ñeám ñöôïc goïi laø taäp khoâng quaù ñeám ñöôïc. (3) Moät taäp goïi laø khoâng ñeám ñöôïc neáuu noù laø taäp voâ haïn vaø khoâng laø taäp ñeám ñöôïc. Ví duï. Caùc taäp 2N, Z, Q laø ñeám ñöôïc vì coù theå ñaùnh soá thöù töï ñöôïc (Baøi taäp). Meänh ñeà. R laø khoâng ñeám ñöôïc. Chöùng minh: Ta chöùng minh vôùi a, b ∈ R, a = b, khoaûng [a, b] laø khoâng ñeám ñöôïc. Gæa söû phaûn chöùng laø noù ñeám ñöôïc, i.e. [a, b]={xn : n ∈ N}. Chia ñoâi [a, b], coù moät ñoaïn I1, sao cho x1 ∈ I1. Laïi chia ñoâi I1, coù moät ñoaïn I2, sao cho x2 ∈ I2. Laëp laïi quaù trình naøy, ta coù daõy ñoaïn loàng nhau I1 ⊃ I2 ⊃···⊃In ⊃···, sao cho xn ∈ In. Theo nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau, toàn taïi x ∈∩n∈NIn. Vaäy x ∈ [a, b]. Maët khaùc, theo caùch xaây döïng x = xn, ∀n, neân x ∈ [a, b]. Maâu thuaãn. Nhaän xeùt. Vaäy coù theå noùi soá löôïng caùc soá höõu tæ laø ít hôn nhieàu so vôùi soá löôïng caùc soá voâ tæ. Baøi taäp: Ñeå hieåu theâm veà taäp ñeám ñöôïc, haõy chöùng minh caùc keát quaû: • Moät taäp con cuûa N laø khoâng quaù ñeám ñöôïc. (Hd: Neáu X ⊂ N voâ haïn, thì xaây döïng aùnh xaï töø N leân X: 0 → x0 = min X, n → min(X \{x0, ··· ,xn−1}) Roài chöùng minh aùnh xaï treân song aùnh) • Cho X laø taäp ñeám ñöôïc vaø f : X → Y laø toaøn aùnh. Khi ñoù Y khoâng quaù ñeám ñöôïc. (Hd: Xeùt aùnh xaï m : Y → X, m(y) = min f −1(y). Chöùng minh m laø song aùnh töø Y → m(Y ). Töø ñoù aùp duïng baøi taäp treân.)
Chöông I. Soá thöïc - Daõy soá 15 • Taäp N2 laø ñeám ñöôïc. (Hd: Pheùp ñaùnh soá theo ñöôøng cheùo laø song aùnh. Cuï theå ñoù laø aùnh xaï: (m + n)(m + n +1) f : N2 → N,f(m, n)= + n ) 2 N 6 @I@bbbbbbr @Ibbbbbbr@ r @ @ @Irbbbbbb@r @r @ @ @ @I@rbbbbbb@r @r @r rbbbbbb@ r@ r@ r@ r @I@ @ @ @ @ rbbbbbb@ r @ r @ r @ r @ r - @ @ @ @ @ N • Neáu (Xn)n∈I laø moät hoï ñeám ñöôïc caùc taäp ñeám ñöôc, thì hôïp cuûa chuùng X = ∪n∈I Xn laø ñeám ñöôïc. (Hd: Ta coù song aùnh N → I, n → in vaø vôùi moãi n moät song aùnh N → Xn,m→ fn(m). 2 Vaäy N → X, (m, n) → fin (m) laø toaøn aùnh. Roài aùp duïng baøi taäp thöù hai) • Taäp moïi daõy soá maø caùc soá haïng chæ nhaän giaù trò 0 hay 1 laø khoâng ñeám ñöôïc. (Hd: Keát quaû naøy hôi laï? Ñeå chöùng minh duøng phaûn chöùng: giaû söû taäp X neâu treân ñeám ñöôïc, i.e. coù song aùnh N → X, n → xn, vôùi x0 = x0,0 x0,1 x0,2 ··· ··· x1 = x1,0 x1,1 x1,2 ··· ··· x2 = x2,0 x2,1 x2,2 ··· ··· . . . xn = xn,0 xn,1 xn,2 ··· xn,n ··· . . . . . Duøng qui taéc ñöôøng cheùo cuûa Cantor, xaây döïng daõy y =(yn) nhö sau: yn =1neáu xn,n =0, yn =0neáu xn,n =1. Khi ñoù y vöøa thuoäc X (vì laø daõy chæ coù 0, 1) vöøa khoâng thuoäc X (vì y = xn, ∀n)) 4.6 Coâng thöùc Stirling. Ñeà ñaùnh giaù ñoä lôùn cuûa n! ta coù coâng thöùc sau (khoâng chöùng minh): n n √ θn n!= 2πne12n , trong ñoù 0 <θ < 1 e n
II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc Haøm soá laø moät moâ hình toaùn hoïc ñeå moâ taû moái quan heä giöõa moät ñaïi löôïng phuï thuoäc vaøo moät ñaïi löôïng khaùc. Chöông naøy seõ ñeà caäp ñeán khaùi nieäm haøm soá vaø giôùi haïn cuûa haøm soá, nhaèm nghieân cöùu moái lieân quan cuûa söï bieán ñoåi cuûa caùc ñaïi löôïng. Phaàn cuoái seõ nghieân cöùu tính chaát cô baûn cuûa caùc haøm soá maø söï phuï thuoäc neâu treân laø “lieân tuïc”. 1. Haøm soá 1.1 Ñònh nghóa. Moät haøm soá (thöïc cuûa moät bieán thöïc) laø moät aùnh xaï f : X → Y, x → y = f(x) trong ñoù X, Y laø caùc taäp con cuûa R. Vaäy vôùi moãi giaù trò cuûa bieán x ∈ X, coù duy nhaát moät giaù trò y = f(x) ∈ Y . X goïi laø mieàn xaùc ñònh cuûa f f(X)={y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f(x)} goïi laø mieàn giaù trò cuûa f Thöôøng haøm ñöôïc cho bôûi 3 caùch sau: (1) Coâng thöùc: bieåu thò söï phuï thuoäc cuûa ñaïi löôïng y theo ñaïi löôïng x baèng moät coâng thöùc. Chaúng haïn, y =2πx, y = mx, y = mx2. Qui öôùc laø mieàn xaùc ñònh, neáu khoâng ñöôïc xaùc ñònh roõ, ñöôïc hieåu laø taäp: {x ∈ R : f(x) coù nghóa (thöïc) } √ x − 1 Ví duï. Haøm f(x)= coù mieàn xaùc ñònh laø x − 2 {x ∈ R : x − 1 ≥ 0,x− 2 =0} =[1, 2) ∪ (2, +∞). Ñoâi khi haøm coù theå cho bôûi nhieàu bieåu thöùc, nhö caùc haøm sau: Haøm phaàn nguyeân: f(x)=[x]=n laø soá nguyeân thoûa n ≤ x 0 1 neáu x ∈ D Haøm ñaëc tröng cuûa taäp D: χ (x)= D 0 neáu x ∈ D Baøi taäp: Tính [1, 5], [−π], [e], [sin x], sign (−2), sign (264), sign (−[0, 3]). Caùc haøm soá coøn coù theå cho döôùi daïng giôùi haïn, tích phaân, chuoãi haøm, seõ ñöôïc ñeà caäp ôû caùc phaàn sau.
18 (2) Ñoà thò: f = {(x, y):x ∈ X, y = f(x)} laø taäp con cuûa R × R = R2. Vieäc cho haøm bôûi ñoà thò coù thuaän lôïi veà maët tröïc quan. Bieåu dieãn hình hoïc cuûa R2 laø maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Descartes maø (0, 0) ñoàng nhaát vôùi goác O, R × 0 laø truïc Ox, coøn 0 × R laø truïc Oy laø 2 ñöôøng thaúng vuoâng goùc nhau. Khi ñoù moãi (x, y) ∈ R2 töông öùng 1-1 vôùi moät ñieåm treâm maët phaúng coù hình chieáu vuoâng goùc leân Ox laø (x, 0) vaø hình chieáu leân Oy laø (0,y). Nhö vaäy ñoà thò haøm f laø taäp con trong maët phaúng (thöôøng laø ñöôøng cong), maø khi nhìn vaøo noù ta coù thoâng tin veà haøm f (e.g. tính taêng giaûm, cöïc trò, nghieäm, ). y 6 s(x, f(x)) s - O x Ñeå veõ ñoà thò haøm soá ta thöôøng duøng 2 phöông phaùp sau: - Veõ tröïc tieáp: chaám moät soá ñieåm cuûa ñoà thò (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ··· , (xn,f(xn)) treân maët phaúng roài noái chuùng laïi bôûi caùc ñöôøng thaúng hay ñöôøng cong. Thöôøng ñöôøng cong nhaän ñöôïc caøng “gaàn” vôùi ñoà thò f khi soá ñieåm caøng nhieàu. Phöông phaùp naøy thöôøng ñöôïc duøng ñeå veõ ñoà thò baèng maùy tính. - Veõ qua vieäc khaûo saùt haøm soá: nhö ñaõ ñöôïc hoïc ôû trung hoïc, vaø seõ ñöôïc ñeà caäp ôû chöông sau. Phöông phaùp naøy xaùc ñònh ñieåm mang thoâng tin quan troïng cuûa haøm (mieàn xaùc ñònh, cöïc trò, uoán, nghieäm, ) cuõng nhö tính chaát cuûa haøm treân töøng mieàn (taêng, giaûm, tieäm caän, ) Baøi taäp: Veõ ñoà thò haøm phaàn nguyeân [x] vaø haøm daáu sign (x). (3) Laäp baûng: khi mieàn xaùc ñònh höõu haïn. Thöôøng duøng trong thí nghieäm, thöïc nghieäm hay kinh teá. x x0 x1 ··· xn y y0 y1 ··· yn Baøi taäp: Laäp caùc baûng cuûa caùc pheùp hoaùn vò 3 phaàn töû. 1.2 Caùc pheùp toaùn treân haøm. Coäng-Tröø-Nhaân-Chia: Cho f,g : X → R. Khi ñoù coù theå ñònh nghóa caùc haøm f f ± g, fg, (neáu g(x) =0, ∀x ∈ X) moät caùch töï nhieân nhö sau: g f f(x) (f ± g)(x)=f(x) ± g(x),fg(x)=f(x)g(x), (x)= ,x∈ X g g(x)
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 19 Haøm hôïp: Cho f : X → Y vaø g : Y → Z. Khi ñoù haøm hôïp g ◦ f : X → Z ñònh nghóa laø g ◦ f(x)=g(f(x)). Haøm ngöôïc: Cho f : X → Y laø song aùnh. Khi ñoù coù haøm ngöôïc f −1 : Y → X, ñònh nghóa laø f −1(y)=x ⇔ y = f(x). Baøi taäp: Veõ ñoà thò haøm phaàn dö f(x)=x − [x]. Baøi taäp: Cho f(x)=[x] vaø g(x)= sign (x). Tìm f ◦ g vaø g ◦ f. Chuùng coù baèng nhau? Baøi taäp: Chöùng minh ñoà thò haøm soá ngöôïc ñoái xöùng vôùi ñoà thò haøm soá qua phaân giaùc thöù nhaát. 1.3 Moät soá tính chaát ñaëc bieät cuûa haøm. Haøm ñôn ñieäu. Haøm f goïi laø khoâng giaûm (t.ö. taêng) treân X neáuu ∀x1,x2 ∈ X, x1 f(x2)) Ví duï. a) Haøm f(x)=xn, vôùi n ∈ N, laø haøm taêng treân [0, +∞). b) Haøm f(x)=[x] vaø g(x)= sign (x) laø haøm khoâng giaûm treân R. Baøi taäp: Tuøy theo n chaün hay leû, xeùt tính ñôn ñieäu cuûa f(x)=xn treân R. Haøm chaün - Haøm leû. Cho X laø taäp ñoái xöùng, i.e. neáu x ∈ X thì −x ∈ X. Haøm f goïi laø haøm chaün treân X neáuu f(−x)=f(x), ∀x ∈ X . Haøm f goïi laø haøm leû treân X neáuu f(−x)=−f(x), ∀x ∈ X . Ví duï. Caùc haøm x2, cos x laø chaün, coøn x3, sin x laø leû treân R. Nhaän xeùt. Moïi haøm f treân taäp ñoái xöùng laø toång cuûa moät haøm chaün vaø moät haøm leû: 1 1 f(x)= (f(x)+f(−x)) + (f(x) − f(−x)) 2 2 Baøi taäp: Chöùng minh Ñoà thò haøm soá chaün ñoái xöùng qua truïc tung Oy vaø haøm soá leû ñoái xöùng qua goác O. (xem toïa ñoä cuûa caùc ñieåm ñoái xöùng cuûa (x, y = f(x))) y 6 y = x (y, x) s (−x, y) s s(x, y) s(x + T,y) - s 0 x (−x, −y)
20 Haøm tuaàn hoaøn. Haøm f xaùc ñònh treân X goïi laø tuaàn hoaøn neáuu toàn taïi T>0 sao cho f(x + T )=f(x), ∀x ∈ X. Khi ñoù soá döông T nhoû nhaát thoûa ñieàu kieän treân goïi laø chu kyø cuûa f. Nhaän xeùt. Neáu x ∈ X, thì x + T ∈ X vaø . Vaäy x + nT ∈ X vôùi moïi n ∈ N. Hôn nöõa f(x + nT )=f(x). Baøi taäp: Ñoà thò moät haøm tuaàn hoaøn chu kyø T coù tính chaát gì? Ví duï. 2π a) Vôùi k ∈ Z \{0}, caùc haøm sin kx, cos kx tuaàn hoaøn, coù chu kyø . k b) Haøm phaàn dö f(x)=x − [x] laø tuaàn hoaøn, coù chu kyø laø 1. Baøi taäp: Chöùng minh haøm ñaëc tröng cuûa taäp Q: χQ, laø haøm tuaàn hoaøn nhöng khoâng coù chu kyø. 1.4 Caùc haøm sô caáp. • Caùc haøm soá sô caáp cô baûn laø caùc haøm: xα, ex, ln x, sin x, arctan x (hay coøn lyù hieäu arctg x). Sau ñaây ta nhaéc laïi caùc tính chaát cô baûn cuûa chuùng. x n Haøm exponent: exp(x)=ex = lim 1+ . n→+∞ n (1) Mieàn xaùc ñònh laø R, mieàn giaù trò laø (0, +∞). (2) Tính chaát caàn nhôù: e0 =1,ex+x = exex (3) Haøm ñôn ñieäu taêng. Chöùng minh: Tröôùc heát ta chöùng minh baát ñaúng thöùc: t n 1+ − 1 ≤|t|(e − 1) khi |t|≤1(∗) n t n n tk−1 Theo coâng thöùc nhò thöùc 1+ =1+t Ck , suy ra khi |t|≤1, ta coù n n nk k=1 t n n |t|k−1 n |t|k−1 1+ − 1 ≤|t| Ck ≤|t| Ck n n nk n nk k=1 k=1 n 1 1 n ≤|t| Ck = |t| 1+ − 1 ≤|t|(e − 1) n nk n k=1 x n Baây giôø ta chöùng minh (1). Cho x ∈ R. Xeùt daõy x = 1+ . Ta caàn chöùng n n minh (xn) coù giôùi haïn. Khi x>0, nhö ôû chöùng minh cho giôùi haïn cuûa e, (xn) laø daõy taêng. Ñeå chöùng minh
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 21 daõy bò chaën treân, goïi N ∈ N, x ≤ N. Khi ñoù N n 1 N.n 1 n.N x ≤ 1+ ≤ 1+ ≤ 1+ ≤ 3N n n n n Vaäy toàn taïi exp(x) = lim xn, khi x ≥ 0. n→+∞ 2 x n n (1 − ) x n2 Khi x 0 vaø ta coù 1+ = x n (1 − )n n x2 x2 Theo baát ñaúng thöùc (∗), vôùi t = , ta coù lim (1 − )n =1. Töø tính chaát giôùi haïn n n→∞ n2 x n 1 thöông lim 1+ = . Vaäy exp(x) xaùc ñònh vôùi moïi x ∈ R. n→+∞ n exp(−x) Deã thaáy e0 =1. Ngoaøi ra, ta coù n n x x n 1+ n 1+ n xx n = 1+ x+x n2(1 + x+x ) 1+ n n xx exex Cho n →∞, aùp duïng (∗) vôùi t = , ta coù =1. Vaäy ta coù (2). x+x ex+x n(1 + n ) Ñeå yù laø ex > 0 vaø et > 1 khi t>0. Neáu x<x, thì ex − ex = ex(1 − ex−x) < 0. Vaäy ex laø haøm taêng. Haøm logarithm cô soá töï nhieân: ln x laø haøm ngöôïc cuûa haøm ex. Mieàn xaùc ñònh laø (0, +∞), mieàn giaù trò laø R. Haøm ñôn ñieäu taêng. Tính chaát caàn nhôù: ln e =1, ln x +lnx =lnxx Haøm luõy thöøa: xα (α ∈ R). - Luõy thöøa nguyeân döông: vôùi n ∈ N, xn = x ···x (tích n laàn). Mieàn xaùc ñònh laø R. Khi n leû haøm taêng. Khi n chaün haøm giaûm treân (−∞, 0), taêng treân [0, +∞). 1 - Luõy thöøa nguyeân aâm: vôùi n ∈ N, x−n = . xn Mieàn xaùc ñònh laø R \ 0. Khi n leû haøm giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh. Khi n chaün haøm taêng treân (−∞, 0) vaø giaûm treân (0, +∞). 6 6 6 6 - - - - 1 1 y = x2n y = x2n+1 y = y = x2n+1 x2n
22 √ 1 - Haøm caên thöùc: vôùi n ∈ N, n x = x n . Noù laø haøm ngöôïc cuûa haøm luõy thöøa nguyeân xn. Khi n leû, haøm coù mieàn xaùc ñònh laø R vaø taêng. Khi n chaün, haøm coù mieàn xaùc ñònh laø [0, +∞) vaøtaêng. 6 6 - - √ √ y = 2n x y = 2n+1 x m √ m - Luõy thöøa höõu tæ: vôùi m, n ∈ Z,n>0, x n =(n x) . Mieàn xaùc ñònh phuï thuoäc n chaün hay leû vaø m döông hay aâm. Baøi taäp: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm luõy thöøa höõu tæ vaø mieàn ñôn ñieäu cuûa noù. - Luõy thöøa voâ tæ: khi α laø soá voâ tæ, xα = eα ln x. Mieàn xaùc ñònh laø (0, +∞). Haøm taêng khi α>0 vaø giaûm khi α 0). Mieàn xaùc ñònh laø R, mieàn giaù trò laø (0, +∞). Haøm taêng khi a>1 vaø giaûm khi 0 1) y = ax (0 0,a=1). a ln a Mieàn xaùc ñònh laø (0, +∞), mieàn giaù trò laø R. Haøm taêng khi a>1 vaø giaûm khi 0 <a<1. Tính chaát caàn nhôù: loga x +loga x =loga xx , loga x =loga b logb x. α loga x = α loga x. x y Haøm a vaø loga x laø caùc haøm ngöôïc cuûa nhau: y =loga x ⇔ a = x
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 23 y y 6 6 1 r - r - x 1 x y =loga x (a>1) y =loga x (0 <a<1) Caùc haøm löôïng giaùc: Coù theå duøng voøng troøn löôïng giaùc ñeå ñònh nghóa caùc haøm löôïng giaùc. Cho voøng troøn ñôn vò trong heä truïc Descartes. Moãi x ∈ R öùng vôùi moät ñieåm M treân ñöôøng troøn coù ñoä daøi cung töø (1, 0) ñeán M laø x mod 2π. Nhö vaäy, caùc giaù trò x khaùc nhau boäi laàn 2π seõ coù chung moät ñieåm treân ñöôøng troøn. Khi ñoù ñoä daøi ñaïi soá cuûa hình chieáu cuûa M leân truïc tung goïi laø sin x, vaø leân truïc hoaønh goïi laø cos x. 6 1 sin x M ] x s - −1 0 cos x −1 Haøm sin x: Mieàn xaùc ñònh laø R, mieàn giaù trò laø [−1, 1]. Laø haøm leû vaø tuaàn hoaøn chu kyø 2π. Haøm cos x: Mieàn xaùc ñònh laø R, mieàn giaù trò laø [−1, 1]. Laø haøm chaün vaø tuaàn hoaøn chu kyø 2π. Tính chaát caàn nhôù: sin2 x +cos2 x =1. sin x π Haøm tan x = : Mieàn xaùc ñònh vôùi moïi x = + kπ, k ∈ Z, mieàn giaù trò laø R. cos x 2 Laø haøm leû vaø tuaàn hoaøn chu kyø π. cos x Haøm cot x = : Mieàn xaùc ñònh vôùi moïi x = kπ, k ∈ Z, mieàn giaù trò laø R. Laø sin x haøm leû vaø tuaàn hoaøn chu kyø π.
24 y 6 1 r - 02π x r −1 y =sinx y 6 1 r - 02π x r −1 y =cosx Caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc: Haïn cheá treân moät mieàn ñôn ñieäu cuûa haøm löôïng giaùc, ta ñònh nghóa: π π π π Haøm arcsin x :[−1, 1] → [− , ], laø haøm ngöôïc cuûa haøm sin : [− , ] → [−1, 1]. 2 2 2 2 Haøm arccos x :[−1, 1] → [0,π], laø haøm ngöôïc cuûa haøm cos : [0,π] → [−1, 1]. π π π π Haøm arctan x : R → (− , ), laø haøm ngöôïc cuûa haøm tan : (− , ) → R. 2 2 2 2 Haøm arccot x : R → (0,π), laø haøm ngöôïc cuûa haøm cot : (0,π) → R. y 6 y 6 π 2 - - π π − 2 0 2 x 0 x π − 2 y =tanx y =arctanx • Caùc haøm sô caáp laø caùc haøm ñöôïc laäp thaønh bôûi moät soá haøm sô caáp cô baûn baèng caùc pheùp toaùn soá hoïc (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caùc pheùp hôïp thaønh. √ x2 + e−x tan 5x Chaúng haïn, f(x)=2x + 3 x − ln(ln(ln(x2 + 1))) hay f(x)=√ x − 1+sin( πx) x Cuõng ñeå yù laø caùc haøm: ax, log x, cos x, tan x, cot x, arcsin x =arctan √ , a 1 − x2
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 25 π x arccot x = − arctan x, arccos x = arccot √ ñöôïc xem laø khoâng cô baûn. 2 1 − x2 Sau ñaây laø caùc haøm sô caáp thöôøng gaëp khaùc: n Haøm ña thöùc: f(x)=a0 + a1x + ···+ anx , vôùi a0,a1, ··· ,an ∈ R cho tröôùc. Ví duï. Haøm baäc moät, nhö y =2x +1. Haøm baäc hai, nhö y = x2 +5x − 1. Haøm baäc ba, nhö y = x3 − 3x +1. P (x) Haøm höõu tæ: f(x)= , vôùi P, Q laø caùc haøm ña thöùc. Q(x) x − 1 x2 +1 Ví duï. Haøm nhaát bieán, nhö y = . Haøm baäc 2 treân baäc 1, nhö y = . x +1 x − 1 Caùc haøm Hyperbolic: caùc haøm sau goïi laø haøm coshyperbolic, sinhyperbolic, tanhy- perbolic vaø cotanhyperbolic ex + e−x ex − e−x sinh x cosh x cosh x = , sinh x = , tanh x = , coth x = 2 2 cosh x sinh x Baøi taäp: Chöùng minh caùc coâng thöùc: cosh2 x − sinh2 x =1 sinh(x + y)=sinhx cosh y +sinhy cosh x cosh(x + y)=coshx cosh y +sinhx sinh y. Veõ ñoà thò caùc haøm soá treân. 2. Giôùi haïn cuûa haøm. 2.1 Laân caän - Ñieåm tuï. Cho X ⊂ R vaø a ∈ R. Moät laân caän cuûa a laø moät khoaûng taâm a: {x ∈ R : |x − a| 0 naøo ñoù. a goïi laø ñieåm tuï cuûa X neáuu vôùi moïi laân caän U cuûa a, U ∩ X \{a} = ∅, noùi caùch khaùc toàn taïi moät daõy (xn) trong X \{a} hoäi tuï veà a. 1 Ví duï. Khoaûng môû (a, b) coù caùc ñieåm tuï laø moïi ñieåm x ∈ [a, b]. Taäp { : n ∈ N} chæ n coù moät ñieåm tuï laø 0. 2.2 Giôùi haïn. Cho f : X → R vaø a laø ñieåm tuï cuûa X. Haøm f goïi laø coù giôùi haïn L ∈ R khi x tieán tôùi a neáuu vôùi moïi >0 (beù tuøy yù), toàn taïi δ>0 (ñuû beù, phuï thuoäc a vaø ) sao cho khi x ∈ X maø 0 0, ∃δ>0:x ∈ X, 0 0, toàn taïi δ>0 sao cho ñoà thò cuûa f khi x ∈ (a−, a+) chöùa trong hình chöõ nhaät taâm (a, L) ñoä daøi caùc caïnh 2δ × 2.
26 Nhaän xeùt. Caùc nhaän xeùt sau xem nhö baøi taäp: • Ñònh nghóa theo ngoân ngöõ epsilon-delta ôû treân cuûa Cauchy töông ñöông vôùi ñònh nghóa theo ngoân ngöõ daõy cuûa Heine: ∀xn ∈ X \{a}, lim xn = a ⇒ lim f(xn)=L n→∞ n→∞ • Ta coù: lim f(x)=L ⇔ lim |f(x) − L| =0. x→a x→a • Giôùi haïn neáu coù laø duy nhaát. • Tieâu chuaån Cauchy: Toàn taïi lim f(x) khi vaø chæ khi x→a ∀>0, ∃δ>0:x, x ∈ X, 0 0 beù tuøy yù, choïn δ = . Khi x→0 ñoù vôùi moïi x maø |x − 0| 0 sao x→a y→L cho khi 0 < |x − a| <δthì f(x) = L. Khi ñoù lim g ◦ f(x) = lim g(y)=A. x→a y→L Chöùng minh: Duøng ñònh nghóa giôùi haïn theo daõy vaø tính chaát cuûa giôùi haïn daõy soá. 0 neáu x =0 Baøi taäp: Cho f(x)=g(x)= . Chöùng minh lim g(f(x)) = lim g(y). 1 neáu x =0 x→0 y→0 Ñieàu naøy coù maâu thuaãn vôùi 2.3 (4) ?
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 27 2.4 Giôùi haïn caùc haøm sô caáp. Neáu f laø haøm sô caáp vaø a thuoäc mieàn xaùc ñònh cuûa noù, thì lim f(x)=f(a). x→a Chöùng minh: Do caùc tính chaát (1) vaø (4) neâu treân, ta chæ caàn chöùng minh cho haøm soá sô caáp cô baûn. x n lim ex = ea : Khi |x|≤1, ta coù 1+ − 1 ≤|x|(e − 1). x→a n Khi n → +∞, ta coù |ex − 1|≤|x|(e − 1). Vaäy lim |ex − 1| =0, hay lim ex =1. x→0 x→0 Suy ra, khi ñoåi bieán u = x − a, ta coù lim ex = lim ex−aea = lim euea = ea x→a x→a u→0 lim sin x =sina : Ta coù 0 ≤|sin t|≤|t|. Suy ra x→a x + a x − a x − a | sin x − sin a| = |2cos sin |≤2| |→0, khi x → a. 2 2 2 Caùc giôùi haïn cuûa haøm ln x vaø arctan x suy töø tính lieân tuïc cuûa haøm ngöôïc (seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau). Heä quûa. Neáu toàn taïi lim f(x) > 0 vaø =1, vaø lim g(x) =0, thì x→a x→a lim f(x)g(x) = lim f(x)limx→a g(x) x→a x→a 2.5 Giôùi haïn moät phía. Cho f : X → R. L goïi laø giôùi haïn phaûi (t.ö. traùi) cuûa f(x) khi x tieán veà a neáuu ∀>0, ∃δ>0:|f(x) − L| 0. Ví duï. a) lim sign (x)=1coøn lim sign (x)=−1 x→0+ x→0− b) lim [x]=n, coøn lim [x]=n − 1, vôùi n ∈ Z. x→n+√ x→n− √ c) lim x − 1=0, coøn lim x − 1 khoâng toàn taïi vì mieàn xaùc ñònh cuûa haøm khoâng x→1+ x→1− chöùa caùc ñieåm x<1 Nhaän xeùt. Toàn taïi lim f(x) khi vaø chæ khi toàn taïi lim f(x) = lim f(x). x→a x→a+ x→a− Baøi taäp: Chöùng minh neáu f ñôn ñieäu treân (a, b), thì toàn taïi lim f(x) vaø lim f(x) + − x→x0 x→x0 vôùi moïi x0 ∈ (a, b)
28 2.6 Giôùi haïn voâ cuøng - Giôùi haïn ôû voâ cuøng. Coù theå môû roäng caùc khaùi nieäm treân khi a = ±∞ hay L = ±∞. Moät laân caän cuûa +∞ laø taäp daïng (R, +∞), moät laân caän cuûa −∞ laø taäp daïng (−∞, −R), vôùi R>0 naøo ñoù. Ta coù caùc ñònh nghóa lim f(x)=+∞⇔∀E>0, ∃δ>0:f(x) >E,∀x ∈ X, 0 0, ∃δ>0:f(x) 0, ∃R>0:|f(x) − L| R x→+∞ lim f(x)=L ⇔∀>0, ∃R>0:|f(x) − L| 0, lim xp =+∞ vaø lim =+∞. x→+∞ x→0+ xp b) Vôùi a>1, lim ax =+∞ vaø lim ax =0. x→+∞ x→−∞ c) Vôùi a>1, lim loga x =+∞ vaø lim loga x = −∞. x→+∞ x→0+ d) lim tan x = −∞ vaø lim tan x =+∞ x→ π + x→ π − 2 2 2.7 Daïng voâ ñònh. Trong nhieàu tröôøng hôïp ta khoâng theå duøng tính chaát toång, hieäu, tích, thöông ñeå tính giôùi haïn vì caùc pheùp toaùn khoâng coù nghóa, goïi laø caùc daïng voâ ñònh: 0 ∞ , , 0.∞, ∞−∞, 00, 1∞, ∞0. 0 ∞ Khi ñoù ta phaûi tìm caùc phöông phaùp khaùc nhau ñeå tính goïi laø khöû daïng voâ ñònh. Ví duï. Moät phöông phaùp ñeå khöû daïng voâ ñònh laø nhaân löôïng lieân hieäp. a) Tính lim x2 +7− x2 − 1 (daïng voâ ñònh ∞−∞) x→+∞ Ta nhaân löôïng lieân hieäp, ñeå khöû daïng voâ ñònh: √ √ √ √ ( x2 +7− x2 − 1)( x2 +7+ x2 − 1) lim x2 +7− x2 − 1 = lim √ √ x→+∞ x→+∞ x2 +7− x2 − 1 (x2 +7)− (x2 − 1) 8 = lim √ √ = lim √ √ x→+∞ x2 +7+ x2 − 1 x→+∞ x2 +7+ x2 − 1 8 = lim =0 x→+∞ +∞ √ 3 x − 1 0 b) Tính lim √ (daïng voâ ñònh ) x→1 x − 1 0
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 29 Ta nhaân löôïng lieân hieäp cuûa töû vaø cuûa maãu, ñeå khöû daïng voâ ñònh: √ √ √ √ √ √ 3 x − 1 3 x − 1 ( 3 x2 + 3 x +1)( x +1) x − 1 ( x +1) lim √ = lim √ √ √ √ = lim √ √ x→1 x − 1 x→1 x − 1 3 2 3 ( x +1) x→1 x − 1 3 2 3 √ ( x + x +1)√ ( x + x +1) x +1 1+1 2 = lim √ √ = √ √ = x→1 3 x2 + 3 x +1) 3 12 + 3 1+1) 3 Ví duï. Moät soá giôùi haïn cô baûn caàn bieát: sin x a) lim =1. x→0 x 1 x 1 b) lim (1 + ) = lim(1 + x) x = e. x→∞ x x→0 ln(x +1) c) lim =1. x→0 x ax − 1 d) lim =lna. x→0 x (1 + x)p − 1 e) lim = p. x→0 x π Chöùng minh: a) Khi 0 < |x| < , ta coù | sin x| < |x| < | tan x|. 2 x 1 Suy ra 1 < < . AÙp duïng tính chaát sandwich ta coù giôùi haïn caàn tìm. sin x | cos x| 1 1 1 b) Cho (x ) laø daõy tieán ñeán +∞. Ñaët n =[x ]. Ta coù ≤ ≤ . n k k n +1 x n k k k 1 nk 1 xk 1 nk+1 Suy ra 1+ ≤ 1+ ≤ 1+ . n +1 x n k k k 1 k 1 Töø lim 1+ = e vaø tính chaát sandwich, suy ra lim (1 + )x = e. k→∞ k x→+∞ x Ñoåi bieán vaø aùp duïng giôùi haïn vöøa chöùng minh, ta coù 1 1 y 1 1 lim (1+ )x = lim (1− )−y = lim ( )y = lim (1+ )y−1(1+ )=e x→−∞ x y→+∞ y y→+∞ y − 1 y→+∞ y − 1 y − 1 1 1 y Töông töï, ta coù lim(1 + x) x = lim (1 + ) = e. x→0 y→∞ y c) Ñoåi bieán vaø aùp duïng b) ta coù ln(x +1) 1 1 lim = lim ln(x +1)x = ln(lim(x +1)x )=lne =1 x→0 x x→0 x→0 ln(u +1) d) Ñoåi bieán u = ax − 1, x =log (u +1)= . Töø c) ta coù a ln a ax − 1 u ln a lim = lim =lna x→0 x u→0 ln(u +1) e) Ñoåi bieán vaø aùp duïng c), d) ta coù (1 + x)p − 1 ep ln(1+x) − 1 ep ln(1+x) − 1 p ln(1 + x) lim = lim = lim x→0 x x→0 x x→0 p ln(1 + x) x eu − 1 p ln(1 + x) = lim lim =lne.p = p u→0 u x→0 x
30 Ví duï. AÙp duïng caùc giôùi haïn treân. 2 1 − cos x 2sin2 x 1 sin x 1 sin u 2 1 a) lim = lim 2 = lim 2 = lim = x→0 2 x→0 2 x→0 x u→0 x x 2 2 2 u 2 3x (x−3) 3x u lim 3x x − 2 1 x−3 1 x−3 b) lim = lim 1+ = lim 1+ x→∞ = e3 x→∞ x − 3 x→∞ x − 3 u→∞ u tan x sin kx sin kx 1 Baøi taäp: Töø caùc giôùi haïn treân, tính: lim , lim , lim , lim(1+5x) x . x→0 x x→0 x x→0 sin lx x→0 2.8 Kyù hieäu o vaø O. Cho a ∈ R hay a = ±∞. Ñeå so saùnh caùc haøm soá taïi laân caän a, ngöôøi ta thöôøng duøng caùc kyù hieäu sau: f(x) f(x) ∼ g(x) khi x → a, neáuu lim =1, vaø noùi f(x) vaø g(x) laø töông ñöông. x→a g(x) f(x) f(x)=o(g(x)) khi x → a, neáuu lim =0, vaø noùi f(x)voâ cuøng beù so vôùi g(x). x→a g(x) f(x)=O(g(x)) khi x → a, neáuu ∃C>0:|f(x)|≤C|g(x)|, khi x thuoäc laân caän a. Vaäy f(x)=o(1), khi x → a ⇔ lim f(x)=0. x→a f(x)=O(1), khi x → a ⇔ f(x) bò chaën ôû laân caän a. f(x)=g(x)+o(g(x)), khi x → a ⇔ f(x) ∼ g(x) khi x → a. Chuù yù. Ñeå yù o(g(x)) vaø O(g(x)) laø kyù hieäu ñeå chæ lôùp haøm, khoâng laø haøm cuï theå. Thay vì vieát f(x) ∈ o(g(x)), theo thoùi quen ngöôøi ta vieát f(x)=o(g(x)). Baøi taäp: o(g(x)) − o(g(x)) = ? O(g(x)) − O(g(x)) = ? Coù theå duøng so saùnh ñeå tính giôùi haïn: Baøi taäp: Chöùng minh khi x → a ta coù: f(x) f1(x) Neáu f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x) , thì f(x)g(x) ∼ f1(x)g1(x), ∼ . g(x) g1(x) Tìm ví duï f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x), nhöng f(x)+g(x) ∼ f1(x)+g1(x). Baøi taäp: Chöùng minh khi x → a ta coù: Neáu f(x)=o(ϕ(x)), g(x)=o(ϕ(x)), thì f(x) ± g(x)=o(ϕ(x)) . Neáu f(x)=O(ϕ(x)), g(x)=O(ϕ(x)) , thì f(x)+g(x)=O(ϕ(x)) . Neáu f(x)=o(ϕ(x)) vaø g bò chaën thì f(x)g(x)=o(ϕ(x)) . Neáu f(x)=O(ϕ(x)) vaø g bò chaën thì f(x)g(x)=O(ϕ(x)) . Thöôøng caùc haøm maãu ñeå so saùnh laø: (x − a)n,ex, ln x.
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 31 Ví duï. Khi x → 0, töø caùc ví duï tröôùc ta coù caùc so saùnh: (1 + x)α =1+αx + o(x) hay (1 + x)α ∼ 1+αx ex =1+x + o(x) ex ∼ 1+x ln(1 + x)=x + o(x)ln(1+x) ∼ x sin x = x + o(x)sinx ∼ x x2 x2 cos x =1− + o(x)cosx ∼ 1 − 2 2 Ví duï. Khi x → +∞, ta coù: 1 1 n n m (a0 + a1x + ···+ anx ) m ∼ an x m (an =0) a + a x + ···+ a xn a xn 0 1 n ∼ n (a ,b =0) m m n m b0 + b1x + ···+ bmx bmx n loga x = o(x )(a>1,n>0) xn = o(ax)(a>1,n>0) Ví duï. Coù theå duøng√ so saùnh töông ñöông ñeå ñöa giôùi haïn veà daïng ñôn giaûn. 1+x − 1 √ x a) Ñeå tính lim , ta so saùnh 1+x − 1 ∼ vaø sin 2x ∼ 2x khi x → 0. √x→0 sin 2x 2 1+x − 1 x/2 1 Vaäy lim = lim = . x→0 sin 2x x→0 2x 4 ln(1 + sin x) b) Ñeå tính lim , ta so saùnh ln(1 + sin x) ∼ ln(1 + x) vaø x +tan3 x ∼ x→0 x +tan3 x x + x3 ∼ x khi x → 0. ln(1 + sin x) ln(1 + x) Vaäy lim = lim =1. x→0 x +tan3 x x→0 x Ví duï. Vôùi n ∈ N, khi n ñuû lôùn, theo coâng thöùc Stirling, ta coù n n √ n! ∼ 2πn, suy ra n!=O(nn),an = o(n!). e 3. Haøm soá lieân tuïc. 3.1 Ñònh nghóa. Cho f laø haøm xaùc ñònh treân moät taäp X chöùa a. Haøm f goïi laø lieân tuïc taïi a neáuu lim f(x)=f(a). x→a Nhö vaäy f lieân tuïc taïi a, töông ñöông vôùi moät trong caùc ñieàu sau • Haøm f xaùc ñònh taïi a, toàn taïi lim f(x)=L, vaø L = f(a). x→a • Ngoân ngöõ epsilon-delta: ∀>0, ∃δ>0:∀x ∈ X, |x − a| <δ ⇒|f(x) − f(a)| < • Ngoân ngöõ daõy: Moïi daõy (xn) trong X maø lim xn = a, thì lim f(xn)=f(a) n→∞ n→∞ Kyù hieäu C(X) taäp moïi haøm lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc X.
32 Haøm f goïi laø lieân tuïc phaûi taïi a neáuu lim f(x)=f(a). x→a+ Haøm f goïi laø lieân tuïc traùi taïi a neáuu lim f(x)=f(a). x→a− Nhaän xeùt. f lieân tuïc taïi a khi vaø chæ khi f lieân tuïc traùi vaø lieân tuïc phaûi taïi a. Moät haøm khoâng lieân tuïc taïi a goïi laø haøm giaùn ñoaïn taïi a. Meänh ñeà. Caùc haøm soá sô caáp laø lieân tuïc treân mieàn xaùc ñònh cuûa chuùng. Chöùng minh: Suy töø giôùi haïn caùc haøm sô caáp. Ví duï. 1 a) Haøm f(x)= giaùn ñoaïn taïi 0 vì khoâng xaùc ñònh taïi ñoù. x b) Haøm f(x)= sign x tuy xaùc ñònh taïi 0, nhöng giaùn ñoaïn taïi ñoù, vì lim f(x)= x→0− −1 = f(0) = 0. sin x sin x c) Haøm f(x)= , neáu x =0; vaø f(0) = L.Dolim f(x) = lim =1, neân f x x→0 x→0 x lieân tuïc taïi 0 neáu vaø chæ neáu 1=f(0) = L. 1 d) Haøm f(x)=sin , neáu x =0; f(0) = L. Khoâng theå coù giaù trò L naøo ñeå f lieân tuïc x 1 taïi 0, vì khoâng toàn taïi lim sin . x→0 x e) Haøm Dirichlet 0 neáu x höõu tæ D(x)= 1 neáu x voâ tæ khoâng lieân tuïc taïi moïi ñieåm. Thaät vaäy vôùi a höõu tæ khi ñoù f(a)=0, vaø do tính truø maät cuûa taäp soâ voâ tæ treân R, toàn taïi daõy (xn) goàm toaøn soá voâ tæ hoäi tuï veà a, nhöng f(xn)=1khoâng hoäi tuï veà f(a)=0. Töông töï laäp luaän cho a laø voâ tæ. 1 Baøi taäp: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm f(x)=x sin neáu x =0; f(0) = 0 vaø haøm x phaàn nguyeân g(x)=[x]. Haøm f goïi laø coù giaùn ñoaïn loaïi I taïi a neáuu toàn taïi lim f(x)=f(a−) vaø lim f(x)= x→a− x→a+ f(a+), nhöng coù “böôùc nhaûy” |f(a+) − f(a−)| =0. Haøm goïi laø coù giaùn ñoaïn loaïi II taïi a neáu noù coù giaùn ñoaïn taïi a nhöng khoâng laø giaùn ñoaïn loaïi I.
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 33 y 6 6 böôùc nhaûy s - lieân tuïc giaùn ñoaïn loaïi I caùc giaùn ñoaïn loaïi II x Baøi taäp: Xeùt caùc haøm ôû ví duï treân coù giaùn ñoaïn thuoäc loaïi naøo. Baøi taäp: Chöùng minh moät haøm ñôn ñieäu treân [a, b] chæ coù theå coù giaùn ñoaïn loaïi I. 3.2 Tính chaát. (1) Toång, hieäu, tích, thöông (vôùi ñieàu kieän maãu khaùc 0) cuûa caùc haøm lieân tuïc taïi a laø haøm lieân tuïc taïi ñoù. (2) Neáu f lieân tuïc taïi a vaø g lieân tuïc taïi f(a), thì haøm hôïp g ◦ f lieân tuïc taïi a. (3) Neáu f lieân tuïc taïi a vaø f(a) >L, thì f(x) >Lôû laân caän a, i.e. toàn taïi δ>0 sao cho f(x) >Lvôùi moïi x maø |x − a| 0 sao cho khi |x − a| f(a)− = > = L 2 2 Ví duï. Cho f vaø g laø caùc haøm lieân tuïc taïi a. Khi ñoù |f|, max(f,g), min(f,g) laø lieân tuïc taïi a. Thaät vaäy, |f| laø hôïp cuûa haøm f vaø haøm x →|x| (laø haøm lieân tuïc taïi 1 1 moïi ñieåm). Ngoaøi ra, ta coù max(f,g)= (f +g+|f −g|), min(f,g)= (f +g−|f −g|) 2 2 neân tính lieân tuïc suy töø tính chaát treân. Phaàn coøn laïi cuûa chöông naøy ñeà caäp ñeán 3 ñònh lyù cô baûn cuûa haøm lieân tuïc treân khoaûng. Veà maët tröïc quan, ñònh lyù sau phaùt bieåu laø neáu moät lieân tuïc treân moät khoaûng, thì noù coù ñoà thò laø ñöôøng lieàn neùt (khoâng coù böôùc nhaûy). Moät caùch chính xaùc, ta coù 3.3 Ñònh lyù giaù trò trung gian (Bolzano-Cauchy). Cho f lieân tuïc treân [a, b]. (1) Neáu f(a) vaø f(b) traùi daáu nhau, thì toàn taïi c ∈ (a, b) sao cho f(c)=0. (2) Toång quaùt hôn, neáu γ naèm giöõa f(a),f(b), thì toàn taïi c ∈ (a, b) sao cho f(c)=γ.
34 y 6 f(b) a1 = a a2 a3 a4 0 s s s s s s - b4 b1 = b x b2 b3 f(a) Chöùng minh: (1) Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû f(a) < 0 <f(b). Ta duøng phöông phaùp chia ñoâi ñeå tìm nghieäm c cuûa phöông trình f(c)=0: a + b Chia ñoâi ñoaïn [a, b] bôûi ñieåm t = . Neáu f(t)=0, thì c = t laø giaù trò caàn tìm. 2 Coøn 2 tröôøng hôïp: - Neáu f(t)f(a) < 0, thì ñaët a1 = a, b1 = t. - Neáu f(t)f(b) < 0, thì ñaët a1 = t, b1 = b. Khi ñoù f(a1) vaø f(b1) traùi daáu nhau. Laëp laïi caùch chia ñoâi [a1,b1] nhö treân. Tieáp tuïc quaù trình naøy, thì hoaëc sau höõu haïn böôùc ta tìm ñöôïc giaù trò c maø f(c)=0, b − a hoaëc ta coù moät daõy caùc ñoaïn loàng nhau [a ,b ],n ∈ N, maø b − a = vaø n n n n 2n f(an) < 0 <f(bn). Theo nguyeân lyù daõy ñoaïn loàng nhau toàn taïi an <c<bn, ∀n ∈ N. Ta chöùng minh f(c)=0. b − a Do b − a = → 0, khi n →∞, neân lim a = lim b = c.Dof lieân tuïc taïi c n n 2n n n vaø tính baûo toaøn thöù töï, neân f(c) = lim f(an) ≤ 0 vaø f(c) = lim f(an) ≥ 0. Vaäy n→∞ n→∞ f(c)=0. (2) Xeùt F (x)=f(x) − γ. Khi ñoù F lieân tuïc treân [a, b] vaø F (a)F (b) ≤ 0. AÙp duïng (1) ta coù c sao cho F (c)=f(c) − γ =0, i.e. f(c)=γ. Nhaän xeùt. Phöông phaùp chia ñoâi ôû chöùng minh treân cho pheùp tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa haøm lieân tuïc treân moät√ ñoaïn. Baøi taäp: Tính gaàn ñuùng 2 vôùi sai soá 10−1, baèng caùch tìm nghieäm x2−2=0treân [1, 2]. Heä quûa. Neáu haøm f lieân tuïc treân [a, b] vaø a, b laø hai nghieäm lieân tieáp cuûa f(x)=0, thì f khoâng ñoåi daáu treân (a, b). Heä quûa. Neáu haøm f lieân tuïc vaø ñôn ñieäu taêng (giaûm) treân [a, b], thì toàn taïi haøm ngöôïc f −1 lieân tuïc treân [f(a),f(b)] (treân [f(b),f(a)]) Chöùng minh: Roõ raøng khi f ñôn ñieäu treân [a, b], thì noù laø song aùnh töø [a, b] leân f[a, b]. Do ñònh lyù treân f[a, b] laø moät khoaûng vaø do tính ñôn ñieäu caùc ñaàu muùt cuûa khoaûng ñoù phaûi laø f(a),f(b). Nhö vaäy toàn taïi f −1 :[c, d] → [a, b].
Chöông II. Giôùi haïn vaø tính lieân tuïc 35 −1 Ñeå chöùng minh tính lieân tuïc cuûa f taïi y0 ∈ [c, d], cho (yn) laø daõy tieán veà y0. Ñaët −1 −1 x0 = f (y0) vaø xn = f (yn). Ta caàn chöùng minh xn → x0. Giaû söû phaûn chöùng laø coù moät daõy con (x ) tieán veà x = x .Dof ñôn aùnh, f(x) = f(x ). Maët khaùc, do f nk 0 0 lieân tuïc f(x ) → f(x). Nhöng daõy f(x )=y → y = f(x ), maâu thuaãn. nk nk nk 0 0 Ví duï. n a) Moïi ña thöùc baäc leû ñeàu coù nghieäm (thöïc). Thaät vaäy, cho f(x)=a0+a1x+···+anx , vôùi an =0vaø n leû. Do lim f(x)=− sign (an)∞ vaø lim f(x)= sign (an)∞, x→−∞ x→+∞ neân toàn taïi a n. Do daõy (xn) bò chaën, theo ñònh lyù Bolzano- Weierstrass, toàn taïi daõy con (x ) hoäi tuï veà c ∈ [a, b].Dof lieân tuïc, ta coù nk k∈N |f(c)| = lim |f(xn )| = lim nk =+∞ voâ lyù. k→∞ k k→∞ Töø tính bò chaën caùc giaù trò M =sup{f(x):a ≤ x ≤ b} vaø m =inf{f(x):a ≤ x ≤ b} laø höõu haïn. Ta chöùng minh toàn taïi α, β sao cho f(α)=M, f(β)=m. Theo tính chaát 1 cuûa sup, vôùi moïi n ∈ N, toàn taïi x ∈ [a, b] sao cho M − 0, ∃δ>0:∀x, x ∈ X, |x − x| 0, ∀δ>0:∃x, x ∈ X, |x − x| <δ, |f(x) − f(x)|≥
36 δ Cuï theå, ta tìm ñöôïc =1, vôùi moïi 0 0 coá ñònh, δ>0 laø phuï thuoäc a. Cuï theå, a caøng gaàn 0, thì δ caøng phaûi beù. 3.6 Ñònh lyù veà tính lieân tuïc ñeàu (Cantor). Neáu f lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], thì f lieân tuïc ñeàu treân ñoaïn ñoù Chöùng minh: Giaû söû phaûn chöùng f khoâng lieân tuïc ñeàu treân [a, b]. Khi ñoù toàn taïi >0 sao cho vôùi moïi n ∈ N, tìm ñöôïc xn,xn ∈ [a, b], sao cho 1 |x − x | < nhöng |f(x ) − f(x )|≥ (∗) n n n n n Do (x ) laø daõy bò chaën, neân toàn taïi daëy con (x ) hoäi tuï veà c ∈ [a, b].Do|x − c|≤ n nk nk |x − x | + |x − c|→0, khi k →∞ta cuõng coù (x ) hoäi tuï veà c.Dof lieân nk nk nk nk tuïc lim f(xn ) = lim f(xn )=f(c). Vaäy |f(xn ) − f(xn )| beù tuøy yù khi k ñuû lôùn. k→∞ k k→∞ k k k Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi (∗).
III. Pheùp tính vi phaân Chöông naøy nghieân cöùu tính chaát cuûa caùc haøm coù theå xaáp xæ bôûi haøm tuyeán tính taïi laân caän moät ñieåm naøo ñoùù: caùc haøm khaû vi. Khaùi nieäm naøy cho pheùp nghieân cöùu saâu hôn tính chaát ñòa phöông cuûa moät haøm: tính ñôn ñieäu, cöïc trò, tieäm caän, ; hay hình daïng cuûa moät ñoà thò, moät ñöôøng cong, . Ñeå xaáp xæ haøm bôûi haøm ña thöùc baäc cao hôn, chöông naøy seõ neâu leân coâng thöùc Taylor, ñöôïc xem laø coâng thöùc neàn taûng cuûa pheùp tính vi phaân haøm 1 bieán. 1. Ñaïo haøm - Vi phaân 1.1 Haøm khaû vi. Cho f :(a, b) → R. Haøm f goïi laø khaû vi taïi x0 neáuu f coù theå xaáp xæ bôûi moät haøm baäc nhaát taïi x0, i.e. toàn taïi L ∈ R sao cho f(x0 +∆x)=f(x0)+L∆x + o(∆x) , khi ∆x → 0 hay laø f(x)=f(x0)+L(x − x0)+o(x − x0) , khi x → x0 y 6 y = f(x )+L(x − x ) 0 0 f(x0) s - x0 x Meänh ñeà. Haøm f khaû vi taïi x0 khi vaø chæ khi giôùi haïn sau ñaây toàn taïi vaø höõu haïn f(x +∆x) − f(x ) L = lim 0 0 ∆x→0 ∆x Chöùng minh: Suy tröïc tieáp töø ñònh nghóa. Nhaän xeùt. Neáu f khaû vi taïi x0, thì f lieân tuïc taïi x0. Ñieàu ñoù suy töø f(x) − f(x0)=L(x − x0)+o(x − x0) → 0, khi x → x0 Moät haøm lieân tuïc khoâng nhaát thieát khaû vi, chaúng haïn haøm f(x)=|x| ôû ví duï phaàn sau. 1.2 Ñaïo haøm - Vi phaân. Haøm f goïi laø coù ñaïo haøm taïi x0 neáuu giôùi haïn ôû meänh ñeà treân toàn taïi (coù theå baèng voâ cuøng). Khi ñoù giôùi haïn ñoù goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi x0 vaø kyù hieäu laø f (x0), i.e. f(x0 +∆x) − f(x0) f(x) − f(x0) f (x0) = lim = lim ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
38 Khi f (x0) höõu haïn, haøm tuyeán tính L : R → R, ∆x → L(∆x)=f (x0)∆x, goïi laø vi phaân cuûa f taïi x0 vaø kyù hieäu laø df (x0). (x0 +∆x) − x0 Nhaän xeùt. Neáu f(x)=x, thì f (x0) = lim =1, ∀x0 ∈ R. ∆x→0 ∆x Suy ra dx(∆x)=∆x. Vaäy coù theå vieát df df (x )=f (x )dx hay f (x )= (x ) 0 0 0 dx 0 Ñoâi khi ta caàn khaùi nieäm ñaïo haøm phía phaûi (traùi) cuûa f taïi x0, f(x0 +∆x) − f(x0) f+(x0) = lim ∆x→0+ ∆x f(x0 +∆x) − f(x0) f−(x0) = lim ∆x→0− ∆x Nhaän xeùt. Toàn taïi f (x0) khi vaø chæ khi toàn taïi f+(x0),f−(x0) vaø f+(x0)=f−(x0). Ví duï. a) Haøm f(x)=ex coù ñaïo haøm f (x)=ex : ex+∆x − ex ex(e∆x − 1) lim = lim = ex ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x b) Haøm f(x)=sinx coù ñaïo haøm f (x)=cosx : ∆x ∆x sin(x +∆x) − sin x 2cos(x + )sin lim = lim 2 2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x ∆x sin = lim cos(x + ) lim 2 =cosx ∆x→0 2 ∆x→0 ∆x 2 c) Haøm f(x)=|x| lieân tuïc, khoâng khaû vi taïi x0 =0vaø coù ñaïo haøm 2 phía taïi ñoù: f(0 + ∆x) − f(0) |∆x| = khoâng toàn taïi giôùi haïn khi ∆x → 0. ∆x ∆x Laáy giôùi haïn theo phía, ta coù |∆x| |∆x| f+(0) = lim =1 f−(0) = lim = −1 ∆x→0+ ∆x ∆x→0− ∆x √ √ 3 ∆x d) Haøm f(x)= 3 x khoâng khaû vi taïi 0 vaø coù ñaïo haøm f (0) = lim = ∞. ∆x→0 ∆x 1.3 YÙ nghóa cuûa ñaïo haøm. Cho haøm y = f(x) xaùc ñònh ôû laân caän x0. Vôùi moãi giaù trò x gaàn x0, kyù hieäu ∆x = x − x0 goïi laø soá gia cuûa bieán taïi x0, ∆y = f(x0 +∆x) − f(x0) goïi laø soá gia cuûa haøm töông öùng.
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 39 • Xaáp xæ baäc 1: haøm f khaû vi taïi x0 khi vaø chæ khi ∆y = f (x0)∆x + o(∆x). Khi ñoù vi phaân f (x0)∆x laø xaáp xæ tuyeán tính toát nhaát cho ∆y ôû laân caän x0. Noùi caùch khaùc, haøm y = f(x0)+f (x0)(x − x0) laø xaáp xæ baäc 1 toát nhaát cuûa haøm y = f(x) taïi laân caän x0. • Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán: Trong heä toïa ñoä Descartes vuoâng goùc xeùt caùc ñieåm M0(x0,f(x0)), M(x0 +∆x, f(x0 +∆x)) treân ñoà thò haøm f. Khi ñoù tæ soá ∆y = Ñoä doác cuûa M M = tang goùc taïo bôûi M M vaø Ox. ∆x 0 0 Neáu f khaû vi taïi x0, thì ñoà thò cuûa noù coù tieáp tuyeán taïi M0 vaø f (x0)=Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò cuûa f taïi (x0,f(x0)). Phöông trình tieáp tuyeán ñoù laø y = f(x0)+f (x0)(x − x0) • Vaän toác: Neáu f(x) bieåu dieãn quaõng ñöôøng ñi cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm x, thì tæ soá ∆y = Vaän toác trung bình trong thôøi gian ∆x. ∆x Neáu f khaû vi taïi x0, thì f (x0) laø vaän toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm x0. ∆y • Moät caùch toång quaùt, ñaïo haøm f (x0) = lim bieåu thò söï bieán thieân cuûa ñaïi ∆x→0 ∆x löôïng y = f(x) theo ñaïi löôïng x taïi x0. 1.4 Qui taéc tính. f • Giaû söû f,g laø caùc haøm khaû vi taïi x . Khi ñoù caùc haøm f ± g, fg, (vôùi ñieàu kieän 0 g g(x0) =0) laø khaû vi taïi x0 vaø ta coù (1) (f ± g) (x0)=f (x0) ± g (x0) (2) (fg) (x0)=f (x0)g(x0)+f(x0)g (x0) f f (x )g(x ) − g(x )f(x ) (3) ( )(x )= 0 0 0 0 0 2 g g(x0) • Giaû söû f khaû vi taïi x0 vaø g khaû vi taïi f(x0). Khi ñoù g ◦ f khaû vi taïi x0 vaø (4) (g ◦ f) (x0)=g (f(x0))f (x0) • Giaû söû f ñôn ñieäu thöïc söï, i.e. taêng hay giaûm, vaø f (x0) =0. Khi ñoù haøm ngöôïc −1 f khaû vi taïi y0 = f(x0) vaø 1 (5) (f −1)(y )= 0 f (x0) Chöùng minh: Coâng thöùc (1) suy töø tính chaát giôùi haïn cuûa toång, hieäu. Coâng thöùc (2) suy töø f(x+∆x)g(x+∆x)−f(x)g(x)=(f(x+∆x)−f(x))g(x+∆x)+f(x)(g(x+∆x)−g(x)) Chia hai veá cho ∆x, roài cho ∆x → 0, ta coù coâng thöùc.
40 Töông töï, coâng thöùc (3) suy töø f(x +∆x) f(x) (f(x +∆x) − f(x))g(x) − f(x)(g(x +∆x) − g(x)) − = g(x +∆x) g(x) g(x +∆x)g(x) Ñeå chöùng minh (4) ta coù g(f(x +∆x)) − g(f(x)) g(f(x +∆x)) − g(f(x)) = (f(x +∆x) − f(x)) f(x +∆x) − f(x) Ñaët y = f(x), ∆y = f(x +∆x) − f(x), thay vaøo g(f(x +∆x)) − g(f(x)) g(y +∆y) − g(y) f(x +∆x) − f(x) = ∆x ∆y ∆x Theo giaû thieát khi ∆x → 0, thì ∆y → 0 vaø ta coù (4). −1 −1 Coâng thöùc (5) suy töø (4) vì f ◦f(x)=x, neân (f ) (y0)f (x0)=1, vôùi y0 = f(x0) Nhaän xeùt. Coâng thöùc (4) goïi laø coâng thöùc ñaïo haøm hôïp vaø trong thöïc haønh thöøông ñöôïc vieát döôùi daïng sau dg dg dy = hay g = g y dx dy dx x y x trong ñoù g = g(y) vaø y = f(x). 1.5 Ñaïo haøm caùc haøm sô caáp. Vôùi ñieàu kieän bieåu thöùc coù nghóa vaø x laø bieán, ta coù (xα) = αxα−1 (ax) = ax ln a Ñaëc bieät: (ex) = ex 1 1 (log x) = Ñaëc bieät: (ln x) = a x ln a x (sin x) =cosx (cos x) = − sin x 1 (tan x) = cos2 x 1 ( cotan x) = − sin2 x 1 (arcsin x) = √ 1 − x2 1 (arccos x) = −√ 1 − x2 1 (arctan x) = 1+x2 1 ( arccot x) = − 1+x2 Chöùng minh: Suy töø qui taéc tính vaø ñaïo haøm haøm ex vaø sin x (baøi taäp) Ví duï. Tính ñaïo haøm theo coâng thöùc. a) Cho f(x)=eax sin bx. Khi ñoù f (x)=(eax) sin bx + eax(sin bx) = aeax sin bx + eaxb cos bx = eax(a sin bx + b cos bx)
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 41 b) Cho g(x)=xx. Ñeå tính g(x), xeùt ln g(x)=x ln x. g(x) 1 Theo coâng thöùc ñaïo haøm hôïp =lnx + x =lnx +1. g(x) x Suy ra g(x)=g(x)(ln x +1)=xx(ln x +1) 2. Caùc ñònh lyù cô baûn 2.1 Ñònh lyù Fermat. Gæa söû f :(a, b) → R khaû vi taïi x0. Neáu f ñaït cöïc trò taïi x0, thì f (x0)=0 Chöùng minh: Gæa söû f ñaït cöïc ñaïi taïi x0 (ñoái vôùi cöïc tieåu thì xeùt −f). Khi ñoù ∆y = f(x0 +∆x) − f(x0) ≤ 0, khi ∆x ñuû beù. ∆y ∆y Vaäy f+(x0) = lim ≤ 0 vaø f−(x0) = lim ≥ 0. ∆x→0+ ∆x ∆x→0− ∆x Do f (x0)=f+(x0)=f−(x0), neân f (x0)=0. y 6 f(x0) c c - x0 x c 3 Nhaän xeùt. Khi f (x0)=0chöa chaéc f ñaït cöïc trò taïi x0. Chaúng haïn haøm f(x)=x . 2.2 Ñònh lyù Rolle. Neáu f laø haøm lieân tuïc treân [a, b], khaû vi treân (a, b) vaø f(a)=f(b), thì toàn taïi c ∈ (a, b): f (c)=0 Chöùng minh: Do f lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], neân toàn taïi x1,x2 ∈ [a, b] sao cho: f(x1)= max f(x)=M vaø f(x2) = min f(x)=m. x∈[a,b] x∈[a,b] Neáu m = M, thì f laø haøm haèng neân f (x)=0vôùi moïi x ∈ (a, b). Neáu m<M,dof(a)=f(b) neân x1 hoaëc x2 khaùc hai ñaàu muùt a, b. Theo ñònh lyù Fermat f (x1)=0hoaëc f (x2)=0.
42 y 6 s s s - a c b x 2.3 Ñònh lyù gía trò trung bình. Neáu f,g laø caùc haøm lieân tuïc treân [a, b] vaø khaû vi treân (a, b), thì toàn taïi c ∈ (a, b): f(b) − f(a) f (c) = g(b) − g(a) g(c) Ñaëc bieät, toàn taïi c ∈ (a, b): f(b) − f(a)=f (c)(b − a). Chöùng minh: Xeùt haøm F (x)=(f(b)−f(a))(g(x)−g(a))−(g(b)−g(a))(f(x)−f(a)). Deã kieåm tra F lieân tuïc treân [a, b], khaû vi treân (a, b) vaø F (a)=F (b)=0. Theo ñònh lyù Fermat toàn taïi c ∈ (a, b): F (c)=(f(b) − f(a))g(c) − (g(b) − g(a))f (c)=0. Ñaúng thöùc cuoái trong ñònh lyù treân goïi laø coâng thöùc soá gia höõu haïn vaø coù theå vieát döôùi daïng f(x0 +∆x) − f(x0)=f (x0 + θ∆x)∆x, trong ñoù x0,x0 +∆x ∈ (a, b) vaø 0 <θ<1 phuï thuoäc vaøo x0, ∆x. Suy ra |f(x) − f(y)|≤ sup |f (c)||x − y|, vôùi moïi x, y ∈ [a, b]. c∈(a,b) Ví duï. a) Neáu f (x)=0, ∀x ∈ (a, b), thì f laø haøm haèng treân (a, b). b) Neáu f (x)=g(x), ∀x ∈ (a, b), thì f − g laø haøm haèng, i.e. f = g+ const. c) Do (sin x) =cosx coù trò tuyeät ñoái bò chaën bôûi 1, neân ta coù baát ñaúng thöùc | sin x − sin y|≤|x − y|, ∀x, y ∈ R 1 Töông töï, (arctan x) = ≤ 1, neân 1+x2 | arctan x − arctan y|≤|x − y|, ∀x, y ∈ R
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 43 3. Ñaïo haøm caáp cao - Coâng thöùc Taylor. Ñaïo haøm caáp 1 cho pheùp xaáp xæ haøm f taïi laân caän moät ñieåm x0 bôûi haøm baäc 1. Hoûi coù theå xaáp xæ bôûi ña thöùc baäc cao hôn, vôùi ñoä sai soá beù hôn? i.e. n f(x0 +∆x)= Ña thöùc baäc n theo ∆x + o(∆x ) , khi ∆x → 0 Ñeå traû lôøi caâu hoûi treân, ta caàn khaùi nieäm sau. 3.1 Ñaïo haøm caáp cao. Neáu f khaû vi taïi moïi ñieåm thuoäc (a, b), thì f laø haøm xaùc ñònh treân (a, b). Neáu f khaû vi taïi x0, thì ta coù ñaïo haøm caáp hai f (x0)=(f ) (x0). Ñònh nghóa ñeä qui ñaïo haøm caáp n cuûa f taïi x0: (0) (n+1) (n) f (x0)=f(x0),f (x0)=(f ) (x0) Vi phaân caáp n cuûa f taïi x0, ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa n (n) n d f(x0)=f (x0)dx dnf(x ) Vaäy vi phaân caáp n taïi moät ñieåm laø ña thöùc thuaàn nhaát baäc n vaø f (n)(x )= 0 . 0 dxn Kyù hieäu Cn(a, b) khoâng gian caùc haøm f khaû vi ñeán caáp n treân (a, b) vaø f (n) lieân tuïc treân (a, b). Khi ñoù ta noùi f thuoäc lôùp Cn. 3.2 Qui taéc tính. Gæa söû f,g laø caùc haøm khaû vi ñeán caáp n taïi x0 vaø α laø soá. Khi ñoù (n) (n) (n) (1) (f + g) (x0)=f (x0)+g (x0). (n) (n) (2) (αf) (x0)=αf (x0). n (n) k (k) (n−k) (3) (fg) (x0)= Cnf (x0)g (x0) (coâng thöùc Leibniz). k=0 Chöùng minh: Baèng phöông phaùp qui naïp, (Baøi taäp) Baøi taäp: Chöùng minh caùc coâng thöùc ñaïo haøm caáp n sau: (xα)(n) = α(α − 1) ···(α − n +1)xα−n (ax)(n) = ax(ln a)n (−1)n−1(n − 1)! (log x)(n) = a xn ln a (n) n π (sin ax) = a sin(ax + n 2 ) 3.3 Coâng thöùc Taylor. Gæa söû f coù ñaïo haøm ñeán caáp n +1treân (a, b) chöùa x0. Khi ñoù vôùi moïi x ∈ (a, b), toàn taïi 0 <θ<1 sao cho f (x ) f (n)(x ) f (n+1)(x + θ(x − x )) f(x)=f(x )+ 0 (x−x )+···+ 0 (x−x )n+ 0 0 (x−x )n+1 0 1! 0 n! 0 (n +1)! 0 Chöùng minh: Khi x coá ñònh, goïi M laø soá thoûa n 1 f(x)=f(x )+ f (k)(x )(x − x )k + M(x − x )n+1. 0 k! 0 0 0 k=1
44 n 1 Xeùt haøm h(t)=f(x) − f(t) − f (k)(t)(x − t)k − M(x − t)n+1. k! k=1 Ta coù h(x)=h(x0)=0. Theo ñònh lyù Rolle toàn taïi c = x0 + θ(x − x0), 0 <θ<1, sao cho h(c)=0, i.e. 1 f (n+1)(c) − f (n+1)(c)(x − c)n +(n +1)M(x − c)n =0, hay M = n! (n +1)! Nhaän xeùt. Ña thöùc sau goïi laø ña thöùc Taylor baäc n cuûa f taïi x0: 1 1 T f(x)=f(x )+ f (x )(x − x )+···+ f (n)(x )(x − x )n n 0 1! 0 0 n! 0 0 • Neáu f coù ñaïo haøm ñeán caáp n, thì f coù theå xaáp xæ bôûi ña thöùc Taylor baäc n, i.e. ta coù bieåu dieãn f(x)= Tnf(x)+Rn(x) vôùi phaàn dö Taylor baäc n: Rn(x)=f(x) − Tnf(x). Bieåu dieãn treân coøn goïi laø khai trieån Taylor cuûa haøm f taïi x0. (n) • Deã kieåm tra R(x0)=R (x0)=··· = R (x0)=0. Töø ñoù (baèng qui naïp) ta coù phaàn dö daïng Peano: n Rn(x)=o((x − x0) ) khi x → x0 • Neáu f coù ñaïo haøm ñeán caáp n +1, thì ta coù phaàn dö daïng Lagrange: f (n+1)(x + θ(x − x )) R (x)= 0 0 (x − x )n+1, vôùi θ ∈ (0, 1) n (n +1)! 0 Hôn nöõa, neáu ñaïo haøm caáp n +1bò chaën bôûi M, thì coâng thöùc treân cho pheùp ñaùnh gía cuï theå sai soá cuûa phaàn dö M |R (x)|≤ |x − x |n+1 n (n +1)! 0 2 2 Chuù yù. Ñieàu kieän f(x)=a0 + a1(x − x0)+a2(x − x0) + o(x − x0) , khoâng suy ra 2 3 f coù ñaïo haøm caáp 2 taïi x0. Chaúng haïn, f(x)=1+x + x + x D(x), trong ñoù D laø haøm Dirichlet.
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 45 3.4 Coâng thöùc Maclaurin. Coâng thöùc Taylor taïi x0 =0coøn goïi laø coâng thöùc Maclaurin. Sau ñaây laø caùc khai trieån cuûa moät soá haøm sô caáp. x xn eθx ex =1+ + ···+ + xn+1 1! n! (n +1)! x3 x2n−1 (−1)n cos θx sin x = x − + ···+(−1)n−1 + x2n+1 3! (2n − 1)! (2n +1)! x2 x2n (−1)n+1 cos θx cos x =1− + ···+(−1)n + x2n+2 2! (2n)! (2n +2)! x2 xn (−1)nxn+1 ln(1 + x)=x − + ···+(−1)n−1 + 2 n (n + 1)(1 + θx)n+1 α(α − 1) ···(α − n +1) (1 + x)α =1+αx + ···+ xn+ n! α(α − 1) ···(α − n)(1 + θx)α−n−1 xn+1 (n +1)! Ví duï. Khi khai trieån haøm sô caáp coù theå duøng hôïp cuûa caùc khai trieån treân. Khai trieån ñeán caáp 6, taïi laân caän 0: 1 1 x4 x6 e−x2 =1+(−x2)+ (−x2)2 + (−x2)3 + O((−x2)4)=1− x2 + − + O(x8) 2! 3! 2 6 3 1 3 − 1 1 3 3 3 2 3 3 x 3 6 9 √ =(1+x ) 2 =1− x + (x ) + O((x ) )=1− + x + O(x ) 1+x3 2 8 2 8 4. Moät soá öùng duïng 4.1 Tính xaáp xæ. Neáu f khaû vi ñeán caáp n +1, thì coù theå xaáp xæ f(x) bôûi ña thöùc Taylor baäc n taïi x0: 1 1 f(x +∆x) ≈ f(x )+ f (x )∆x + ···+ f (n)(x )∆xn 0 0 1! 0 n! 0 Vôùi sai soá |f (n+1)(x + θ∆x)| |R (∆x)| = 0 |∆x|n+1 = o(∆xn) n (n +1)! Ví duï. √ √ n n a) Ñeå tính xaáp xæ 1+x khi x beù, coù theå duøng vi phaân cuûa haøm 1+x taïi x0 =1 √ √ √ 1 n 1+x ≈ n 1+(n 1+x)| x =1+ x x=1 n Muoán sai soá beù hôn caàn khai trieån caáp cao hôn. b) Ñeå tính e vôùi sai soá <, duøng coâng thöùc xaáp xæ 1 1 1 e ≈ 1+ + + ···+ 1! 2! n!
46 eθ 3 vôùi sai soá |R | = | |≤ . n (n +1)! (n +1)! Vaäy neáu yeâu caàu =10−3, ta caàn tính ñeán n =6. Coøn neáu yeâu caàu =10−6, caàn n =9. Ví duï. Duøng khai trieån Taylor tính giôùi haïn. 1 a) Tính lim (x − x2 ln(1 + )). x→+∞ x 1 1 1 1 Ta coù ln(1 + )) = − + o( ). x x 2x2 x2 1 1 1 1 Vaäy x − x2 ln(1 + )= + x2o( ) → , khi x → +∞. √x 2 x2 2 ex2 − 1 − x2 + x3 b) Tính lim . x→0 ln(1 + x2) √ 1 3 Ta coù ex2 − 1 − x2 + x3 =1+x2 +o(x3)−(1+ (−x2 +x3)+o(x2)= x2 +o(x2). 2 2 vaø ln(1 + x2)=x2 + o(x2). √ 3 2 ex2 − 1 − x2 + x3 x 3 Vaäy lim = lim 2 = . x→0 ln(1 + x2) x→0 x2 2 Nhaän xeùt. Caùc giôùi haïn ôû ví duï treân coù theå duøng qui taéc L’Hospital sau ñaây (tuy nhieân tieán haønh qui taéc naøy ôû ví duï b) seõ phöùc taïp hôn). 0 ∞ 4.2 Qui taéc L’Hospital. Ñeå tính giôùi haïn caùc daïng voâ ñònh , caùc qui taéc sau 0 ∞ raát höõu ích. Meänh ñeà. Cho f,g laø caùc haøm khaû vi treân khoaûng I coù theå tröø taïi x0 ∈ I. (1) Neáu g (x) =0, ∀x ∈ I vaø limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x)=0, thì f(x) f (x) lim = lim x→x0 g(x) x→x0 g(x) (2) Neáu g (x) =0, ∀x ∈ I vaø limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x)=∞, thì f(x) f (x) lim = lim x→x0 g(x) x→x0 g(x) (vôùi ñieàu kieän caùc giôùi haïn veá phaûi toàn taïi, coù theå baèng voâ cuøng). Chöùng minh: (1) Tröôøng hôïp x0 = ±∞: Do gæa thieát coù theå thaùc trieån f,g thaønh haøm lieân tuïc taïi x0 khi cho f(x0)=g(x0)=0. f(x) − f(x ) f (c) Theo ñònh lyù giaù trò trung bình, toàn taïi c naèm giöõa x ,x: 0 = . 0 g(x) − g(x0) g (c) Khi x → x0, thì c → x0 vaø ta coù ñaúng thöùc caàn chöùng minh. 1 1 Tröôøng hôïp x = ±∞: AÙp duïng tröôøng hôïp treân cho haøm F (t)=f( ),G(t)=g( ). 0 t t (2) Chöùng minh töông töï.
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 47 Ví duï. ln x 1/x a) Vôùi p>0, ta coù lim = lim =0 x→+∞ xp x→+∞ pxp−1 b) Vôùi p>0, duøng qui taéc L’Hospital nhieàu laàn ñeán khi p ≤ k,tacoù xp pxp−1 p(p − 1) ···(p − k +1)xp−k lim = lim = ···= lim =0 x→+∞ ex x→+∞ ex x→+∞ ex 0 ∞ Nhaän xeùt. Coù theå ñöa caùc daïng voâ ñònh veà daïng hay theo caùch sau: 0 ∞ f Daïng 0.∞: duøng bieán ñoåi fg = 1/g 1 1 1/g − 1/f Daïng ∞−∞: duøng bieán ñoåi f − g = − = 1/f 1/g 1/fg Caùc daïng 1∞, 00, ∞0: khi ñoù f g = eg ln f , vaäy laáy log ta coù g ln f laø daïng 0.∞. Ví duï. ln x 1/x xp a) Vôùi p>0, ta coù lim xp ln x = lim = lim = lim =0 −p −p−1 x→0+ x→0a+ x x→0+ −px x→0+ −p 1 1 sin x − x cos x − 1 − sin x b) lim − = lim = lim = lim =0 x→0 x sin x x→0 x sin x x→0 sin x + x cos x x→0 2cosx +sinx lim x ln x c) lim xx = lim ex ln x = ex→0+ = e0 =1 x→0+ x→0+ 2 1 d) lim(1 + x ) ex−x−1 (daïng 1∞) x→0 2 1 ln(1 + x ) 0 Ñaët y =(1+x2) ex−x−1 . Khi ñoù ln y = (daïng ) ex − x − 1 0 2x 2 1 2x 2 Ta coù lim ln y = lim 1+x = lim lim = lim =2 x→0 x→0 ex − 1 x→0 1+x2 x→0 ex − 1 x→0 ex 2 1 2 Vaäy lim(1 + x ) ex−x−1 = e . x→0 Nhaän xeùt. Baøi taäp sau cho thaáy moät soá tröôøng hôïp khoâng theå duøng qui taéc L’Hospital f(x) Baøi taäp: Cho f(x)=sin2 x sin 1 , g(x)=ex − 1. Chöùng minh toàn taïi lim , nhöng x x→0 g(x) f (x) khoâng toàn taïi lim . x→0 g(x) 4.3 Khaûo saùt tính ñôn ñieäu. Meänh ñeà. Cho f laø haøm khaû vi treân moät khoaûng I. Khi ñoù (1) f khoâng giaûm (t.ö. khoâng taêng) treân I khi vaø chæ khi f ≥ 0 (t.ö. f ≤ 0) treân I. (2) Neáu f > 0 (t.ö. f < 0) treân I, thì f taêng (t.ö. giaûm) treân I. Chöùng minh: Döïa vaøo ñònh nghóa vaø ñònh lyù gía trò trung bình. Ví duï. Duøng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá coù theå chöùng minh moät soá baát ñaúng thöùc,
48 chaúng haïn a) ex > 1+x (x =0) 1 1 b) (xp + yp) p > (xq + yq) q (0 0 khi x>0. Suy ra f giaûm treân (−∞, 0) vaø taêng treân (0, +∞). Vaäy f(x)=ex − x>f(0) = 1 vôùi moïi x =0. Ñoù laø baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh. t t 1 Baát ñaúng thöùc b) töông ñöông vôùi tính ñôn ñieäu giaûm cuûa haøm g(t)=(x + y ) t treân (0, +∞). ln(xt + yt) Ñeå chöùng minh ta caàn xeùt daáu ñaïo haøm g(t). Ta coù ln g(t)= . t t t t t t x +y t x +y g (t) −x ln( t ) − y ln( t ) Tính toaùn ta coù = x y . g(t) t2(xt + yt) Suy ra g(t) 0. Vaäy g giaûm treân (0, +∞). 4.4 Khaûo saùt cöïc trò. Ñeå giaûi baøi toaùn cöïc trò coù theå duøng 2 keát quûa sau: Meänh ñeà. Cho f laø haøm khaû vi treân khoaûng I. Khi ñoù (1) Neáu f (x0)=0vaø f (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x qua x0, thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0, i.e. f(x0) ≥ f(x) vôùi moïi x thuoäc laân caän x0. (2) Neáu f (x0)=0vaø f (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x qua x0, thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0, i.e. f(x0) ≤ f(x) vôùi moïi x thuoäc laân caän x0. Chöùng minh: Suy töø söï bieán thieân cuûa haøm soá theo ñaïo haøm. Meänh ñeà. Cho f laø haøm khaû vi ñeán caáp n treân moät khoaûng I chöùa x0. Neáu (n−1) (n) f (x0)=f (x0)=···= f (x0)=0vaø f (x0) =0. Khi ñoù (n) (1) Neáu n chaün vaø f (x0) > 0, thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0. (n) (2) Neáu n chaün vaø f (x0) 1+x (x =0): Xem ví duï ôû phaàn tröôùc. b) Cho f(x)=ex + e−x +2cosx. Ta coù f (x)=ex − e−x − 2sinx, f (0) = 0 f (x)=ex + e−x − 2cosx, f (0) = 0 f (3)(x)=ex − e−x +2sinx, f (3)(0) = 0 f (4)(x)=ex + e−x +2cosx, f (4)(0) = 4 > 0 Vaäy haøm ñaït cöïc tieåu taïi x =0√ . 2 c) Tìm max, min√ bieåu thöùc x 1 − x . Haøm f(x)=x 1 − x2, xaùc ñònh vôùi moïi x ∈ [−1, 1]. Döïa vaøo ñònh lyù Weierstrass
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 49 haøm f lieân tuïc treân ñoaïn [−1, 1] neân toàn taïi max, min treân ñoù. Theo ñònh lyù Fermat caùc ñieåm nghi ngôø laø cöïc trò laø caùc ñieåm x maø f (x)=0, hay 2 ñieåm ñaàu muùt f(−1),f(1). 1 − 2x2 1 Ta coù f (x)=√ =0 ⇔ x = ±√ . 1 − x2 2 1 1 1 1 So saùnh caùc giaù trò f(√ )= ,f(−√ )=− ,f(−1) = 0,f(+1) = 0. Suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 fmax = f = f(√ )= ,fmin = f(−√ )=− 2 2 2 2 d) Tìm hình truï coù theå tích lôùn nhaát khi dieän tích maët S khoâng ñoåi: Goïi r laø baùn kính ñaùy vaø h laø chieàu cao hình truï. Khi ñoù theå tích vaø dieän tích xung quanh cuûa hình truï laø V = πr2h vaø s = πr2 + πr2 +2πrh. s − 2πr2 Theo giaû thieát s laø haèng, neân h = . Vaäy baøi toaùn laø caàn tìm giaù trò lôùn nhaát 2πr cuûa haøm s − 2πr2 1 s V (r)=πr2 = r(s − 2πr2), vôùi r ∈ [0, ] 2πr 2 π 1 s Ta coù V (r)= (s − 6πr2), V (r)=0 ⇔ r = . 2 6π s Do V ñoåi daáu töø döông sang aâm khi r qua , neân V (r) ñaït max taïi ñoù. Khi ñoù 6π s h =2 =2r. Vaäy theå tích V ñaït giaù trò lôùn nhaát khi chieàu cao baèng ñöôøng kính 6π hình truï. 4.5 Khaûo saùt tính loài, loõm. Cho f laø haøm xaùc ñònh treân khoaûng I. Haøm f goïi laø loài neáuu vôùi moïi x1,x2 ∈ I vaø 0 <t<1 f(tx1 +(1− t)x2) ≤ tf(x1)+(1− t)f(x2) Haøm f goïi laø loõm neáuu vôùi moïi x1,x2 ∈ I vaø 0 <t<1 f(tx1 +(1− t)x2) ≥ tf(x1)+(1− t)f(x2) Veà maët hình hoïc f laø haøm loài khi vaø chæ khi moïi cung cuûa ñoà thò f naèm döôùi daây cung chaén cung ñoù. Töông töï, f laø loõm khi vaø chæ khi moïi cung cuûa ñoà thò f naèm treân daây cung chaén cung ñoù.
50 y c 6 tf(x1)+(1− t)f(x2) s s f(tx +(1− t)x ) s s 1 2 c c s c - x1 tx1 +(1− t)x2 x2 x Ñieåm M(x0,f(x0)) goïi laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm f neáuu M phaân caùc giöõa phaàn loài vaø phaàn loõm cuûa ñoà thò haøm f. Baøi taäp: Baèng qui naïp chöùng minh baát ñaúng thöùc Jensen: Neáu f loài treân I, thì vôùi moïi x1, ··· ,xn ∈ I, t1, ··· ,tn ≥ 0,t1 + ···+ tn =1, f(t1x1 + ···+ tnxn) ≤ t1f(x1)+···+ tnf(xn) Vieát caùch khaùc, vôùi moïi x1, ··· ,xn ∈ I, α1, ··· ,αn ≥ 0, α x + ···+ α x α f(x )+···+ α f(x ) f( 1 1 n n ) ≤ 1 1 n n , α1 + ···+ αn α1 + ···+ αn Meänh ñeà. Cho f coù ñaïo haøm caáp 1 hay 2 treân khoaûng I. Khi ñoù (1) f loài (loõm) neáu vaø chæ neáu f khoâng giaûm (khoâng taêng). (2) f loài (loõm) neáu vaø chæ neáu f ≥ 0 (f ≤ 0). (3) f loài (loõm) neáu vaø chæ neáu ñoà thò f naèm treân (döôùi) tieáp tuyeán baát kyø. Chöùng minh: Chæ caàn chöùng minh cho tröôøng hôïp f loài. Theo moái quan heä giöõa tính ñôn ñieäu vaø ñaïo haøm ta coù (1) ⇔ (2). Coøn (2) ⇔ (3) suy töø tính chaát hình hoïc cuûa tính loài. Tröôùc heát ta coù tính chaát töông ñöông cuûa tính loài: Haøm f loài treân I khi vaø chæ khi vôùi moïi x1,x2 ∈ I maø x1 <x2 vaø x = tx1 +(1−t)x2 ∈ (x1,x2), ta coù f(x)= f(tx1 +(1− t)x2) ≤ tf(x1)+(1− t)f(x2) ⇔ (x2 − x1)f(x) ≤ (x2 − x)f(x1)+(x − x1)f(x2) ⇔ (x2 − x)f(x)+(x − x1)f(x) ≤ (x2 − x)f(x1)+(x − x1)f(x2) ⇔ (x2 − x)(f(x) − f(x1)) ≤ (x − x1)(f(x2) − f(x)) f(x) − f(x ) f(x ) − f(x) ⇔ 1 ≤ 2 x − x1 x2 − x Baây giôø chöùng minh (1). (⇒) Neáu f loài treân I, thì theo baát ñaúng thöùc treân, khi cho x → x1, x → x2 roài so saùnh, ta coù f (x1) ≤ f (x2), i.e. f khoâng taêng. (⇐) Neáu f khoâng taêng, thì vôùi x1,x2 ∈ I vaø x1 <x2, khi x ∈ (x1,x2), ta coù
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 51 f(x) − f(x1) = f (c1), vôùi c1 naøo ñoù trong (x1,x) x − x1 f(x2) − f(x) = f (c2), vôùi c2 naøo ñoù trong (x, x2) x2 − x f(x) − f(x ) f(x ) − f(x) Töø ñoù tính khoâng taêng cuûa f , suy ra 1 ≤ 2 . x − x1 x2 − x Theo tính chaát töông ñöông neâu treân, suy ra f laø loài treân I. Heä quûa. Cho f coù ñaïo haøm caáp treân khoaûng I. Neáu f (x0)=0vaø f (x) ñoåi daáu khi x qua x0, thì M(x0,f(x0)) laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm f. Ví duï. a) Haøm f(x)=lnx laø loõm treân I =(0, ∞). Töø baát ñaúng thöùc Jensen vôùi x1, ···xn > 0, ta coù x + ···+ x ln x + ···+lnx ln 1 n ≥ 1 n n n Suy ra trung bình coïng lôùn hôn trung bình nhaân: x1 + ···+ xn √ ≥ n x ···x n 1 n −1 Thay xk bôûi xk vaøo baát ñaúng thöùc treân, ta coù trung bình nhaân lôùn hôn trung bình ñieàu hoøa: √ n n x ···x ≥ , (x , ··· ,x > 0) 1 n 1 1 1 n + ···+ x1 xn c) Haøm f(x)=ex laø haøm loài. Töø baát ñaúng thöùc Jensen ta coù t1x1+t2x2 x1 x2 e ≤ t1e + t2e ,x1,x2 ∈ R,t1,t2 > 0,t1 + t2 =1 t1x1 t2x2 −1 −1 Ñaët a = e ,b= e vaø p = t1 ,q = t2 , ta coù ap bq 1 1 ab ≤ + , (a, b > 0,p,q>0, + =1) p q p q 1 1 Baøi taäp: AÙp duïng baát ñaúng thöùc treân chöùng minh vôùi p, q > 0 vaø + =1, ta coù: p q Baát ñaúng thöùc Holder¨ : 1 1 n n n p q a b ≤ |a |p |b |q k k k k k=1 k=1 k=1 Baát ñaúng thöùc Minkowski: n n n p p p p p |ak + bk| ≤ |ak| + |bk| k=1 k=1 k=1
52 4.6 Khaûo saùt haøm soá. Khaûo saùt moät haøm soá nhaèm muïc ñích coù nhöõng thoâng tin caên baûn vaø caàn bieát veà haøm soá ñoù. Thöôøng nhöõng thoâng tin ñoù laø: mieàn xaùc ñònh, tính chaün leû, chu kyø, chieàu bieán thieân, cöïc trò, tính loài loõm, tieäm caän vaø moät soá giaù trò ñaëc bieät cuûa haøm soá ñoù. Nhöõng thoâng tin naøy ñöôïc theå hieän tröïc quan qua ñoà thò cuûa haøm soá. x3 Ví duï. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm y = . x2 − 1 Mieàn xaùc ñònh: R \{±1}. x2(x2 − 3) √ y = ,y =0 ⇔ x =0,x= ± 3 (x2 − 1)2 2x(x2 +3) y = ,y =0 ⇔ x =0 (x2 − 1)3 Tieäm caän ñöùng: x = ±1,vì lim y = ∞. x→±1 x Tieäm caän xieân: y = x,vìy = x + neân lim (y − x)=0. x2 − 1 x→±∞ Baûng bieán thieân: √ √ x −∞ − 3 −10 1 3+∞ y +0−||−0 −||−0+ √ −3 3 2 +∞ +∞ √ y −∞ −∞|| 0 −∞|| 3 3 +∞ 2 Ñoà thò: y 6 y = x √ 3 3 s 2 s - √ √ − 3 −1 1 3 x √ s − 3 3 2 √ Baøi taäp: Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y = x + x2 − 1 4.7 Veõ ñöôøng cong. • Ñöôøng cong cho bôûi phöông trình tham soá. x = x(t) Cho phöông trình tham soá ,t∈ (α, β) y = y(t)
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 53 Trong heä truïc Descartes, phöông trình treân xaùc ñònh ñöôøng cong C = {(x, y):x = x(t),y = y(t),α 0). Mieàn xaùc ñònh laø R. Caùc haøm coù chu kyø 2π, neân chæ xeùt treân moät chu kyø t ∈ [0, 2π]. x(t)=−3a cos2 t sin t, x(t)=0 ⇔ t =0,π/2,π,3π/2, 2π. y(t)=3a sin2 t cos t, y(t)=0 ⇔ t =0,π/2,π,3π/2, 2π. Do −a ≤ x(t),y(t) ≤ a, neân ñoà thò khoâng coù tieäm caän. Baûng bieán thieân: t 0 π/2 π 3π/22π x 0 − 0 − 0 + 0 + 0 a a x 0 −a 0 y 0 + 0 − 0 − 0 + 0 a y 0 0 −a 0 Ñoà thò: y 6 a - −a 0 a x −a Nhaän xeùt. y • Ta coù (x(t)) = − tan t, vaäy tieáp tuyeán vôùi ñoà thò naèm ngang khi t =0,π,2π vaø x thaúng ñöùng khi t = π/2, 3π/2. • Khöû t, ta coù phöông trình ñöôøng Astriod: x2/3 + y2/3 = a2/3
54 Ví duï. Laù Descartes: x3 + y3 − 3axy =0 (a>0). Ñoåi bieán y = tx, thay vaøo: x3 + t3x3 − 3atx2 =0. Ta coù phöông trình tham soá cuûa ñöôøng cong:  3at  x =  3 1+t (t = −1)  3at2  y = 1+t3 1 − 2t3 1 x =3a ,x =0 ⇔ t = √ (1 + t3)2 3 2 2 − t3 √ y =3a ,y =0 ⇔ t =0, 3 2 (1 + t3)2 y Tieäm caän: khi t →−1, x →∞,y →∞vaø ta coù → k = −1 y − kx →−a x Vaäy ñöôøng cong tieäm caän ñöôøng thaúng y = −x − a. Baûng bieán thieân: √ √ t −∞ −101/ 3 2 3 2+∞ x + || ++√0 −−√ +∞ 3 3 x 0 ||−∞ 0 a 4 a 2 0 y −||−0 ++√ √0 − +∞ 3 3 y 0 −∞|| 0 a 2 a 4 0 Ñoà thò: y 6 √ 3 @ a 4 @s @ @ @ @ @ @ @ t √ - @ a 3 4 x @ @ y = −x − a @ @ @ @ @ @ @ dy t(2 − t3) Nhaän xeùt. Ta coù (x(t)) = , vaäy tieáp tuyeán vôùi ñoà thò naèm ngang khi √ dx 1 −√2t3 t =0, 3 2 vaø thaúng ñöùng khi t =1/ 3 2.
Chöông III. Pheùp tính vi phaân 55 • Ñöôøng cong cho trong toïa ñoä cöïc. Ngoaøi toïa ñoä Descartes, trong nhieàu tröôøng hôïp ngöôøi ta coøn duøng toïa ñoä cöïc , xaây döïng nhö sau: Trong maët phaúng coá ñònh moät goác O vaø moät nöûa truïc Ox. Khi ñoù ta coù aùnh xaï: → → → (r, ϕ) ∈ R+ × [0, 2π) öùng vôùi ñieåm M maø | OM | = r vaø (Ox, OM)=ϕ Caëp (r, ϕ) goïi laø toïa ñoä cöïc cuûa M, r goïi laø baùn kính , ϕ laø goùc cöïc. y 6 y M0 0 ¨¨* ¨¨ ¨r ¨ ¨¨ ¨ ϕ ¨s ¨ - O x0 x Neáu (x, y) laø toïa ñoä Descartes vaø (r, ϕ) laø toïa ñoä cöïc cuûa M, thì ta coù caùc heä thöùc:  x = r cos ϕ  r = x2 + y2 vaø x y y = r sin ϕ  cos ϕ = , sin ϕ = r r Baøi taäp: Vieát toïa ñoä cöïc cuûa caùc ñieåm coù toïa ñoä Descartes: (1, 0), (1, 1), (0, 1), (−1, 1), vaø (−1, 0). Thöôøng ngöôøi ta duøng toïa ñoä cöïc suy roäng khi cho ϕ ∈ R ôû coâng thöùc treân. Baây giôø cho haøm soá r = r(ϕ),ϕ∈ Φ trong toïa ñoä cöïc suy roäng. Khi ñoù haøm soá xaùc ñònh ñöôøng cong C = {M(x, y):x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ, ϕ ∈ Φ} Chaúng haïn, haøm haèng r = a (a>0), xaùc ñònh ñöôøng troøn taâm O baùn kính a. Ñeå veõ C coù theå duøng phöông phaùp cuûa ñöôøng cong cho bôûi tham soá ϕ nhö phaàn treân. Moät caùch thoâng duïng hôn laø khaûo saùt tröïc tieáp söï bieán thieân cuûa baùn kính r theo goùc cöïc ϕ. Ví duï. Ñöôøng xoaén logarithm: r = ae−kϕ (a>0,k >0). Mieàn xaùc ñònh: vôùi moïi ϕ ∈ R. r = −ake−kϕ < 0. Suy ra r giaûm (khi ϕ taêng) Ñoà thò
56 6 - x Ví duï. Hoa 3 caùnh: r = a sin 3ϕ. Mieàn xaùc ñònh laø R. Haøm coù chu kyø laø 2π/3, hôn nöõa laø haøm leû neân chæ caàn xeùt π ϕ ∈ [0, ]. 3 π r =3a cos 3ϕ, r =0 ⇔ ϕ = . 6 Baûng bieán thieân: ϕ 0 π/6 π/3 r +0− a r 0 0 Ñoà thò - 0 x a
IV. Pheùp tính tích phaân Chöông naøy seõ ñeà caäp ñeán moät khaùi nieäm cô baûn cuûa giaûi tích: tích phaân. Noù laø coâng cuï ñeå xeùt ñeán caùc tính chaát toaøn cuïc, chaúng haïn caùc baøi toaùn lieân quan ñeán kích thöôùc nhö tính dieän tích, theå tích, ñoä daøi, , hay caùc keát luaän vôùi caùc töø “noùi chung”, “trung bình”, “haàu heát”, Tuy vaäy khaùi nieäm naøy coù moái quan heä chaët cheõ vôùi khaùi nieäm ñaïo haøm, chuùng coù theå xem laø caùc pheùp toaùn ngöôïc cuûa nhau thoâng qua coâng thöùc Newton-Leibniz. Phaàn cuoái chöông seõ neâu moät soá aùp duïng. Ñeå gôïi yù cho pheùp tính tích phaân, ta coù theå lieân heä ñeán baøi toaùn dieän tích: Cho f laø haøm lieân tuïc treân [a, b] vaø khoâng aâm. Goïi F (x) laø dieän tích hình giôùi haïn bôûi f treân [a, x]. Khi so saùnh phaàn dieän tích treân [x, x +∆x], vôùi caùc dieän tích hình chöõ nhaät, ta coù min f.∆x ≤ F (x +∆x) − F (x) ≤ max f.∆x [x,x+∆x] [x,x+∆x] Khi cho ∆x → 0, ta coù moái quan heä F (x)=f(x). y 6 max f [x,x+∆x] min f [x,x+∆x] - abxx+∆x x Töông töï nhö vaäy ñoái vôùi moái quan heä giöõa vaän toác f vaø quaõng ñöôøng ñi F cuûa moät chuyeån ñoäng theo thôøi gian x. 1. Nguyeân haøm - Tích phaân baát ñònh Phaàn naøy ta nghieân cöùu baøi toaùn ngöôïc cuûa baøi toaùn laáy ñaïo haøm. 1.1 Ñònh nghóa. Cho f :(a, b) → R. Haøm F goïi laø nguyeân haøm cuûa f neáuu F (x)=f(x) hay dF (x)=f (x)dx , ∀x ∈ (a, b) Nhaän xeùt. F vaø G laø caùc nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) khi vaø chæ khi F − G = const. Hoï moïi nguyeân haøm cuûa f goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f vaø kyù hieäu f(x)dx.
58 Vaäy neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b), thì f(x)dx = F (x)+C, trong ñoù C laø haèng soá tuøy yù. Töø ñònh nghóa, ñaïo haøm vaø tích phaân laø hai pheùp toaùn ngöôïc cuûa nhau: f(x)dx = f(x) vaø F (x)dx = F (x) Baøi toaùn 1. Nhöõng haøm naøo coù nguyeân haøm? Baøi toaùn 2. Tìm nguyeân haøm cuûa moät haøm ñaõ cho. Nhaän xeùt. ÔÛ phaàn sau seõ chöùng minh moïi haøm lieân tuïc laø coù nguyeân haøm. 1 Haøm f(x)=(x sin ) coù nguyeân haøm nhöng khoâng lieân tuïc. x Haøm f(x)= sign(x) khoâng coù nguyeân haøm (taïi sao?). Baøi toaùn ñaàu seõ ñöôïc xeùt ôû phaàn sau. Sau ñaây laø caùc qui taéc chính ñeå tìm nguyeân haøm. 1.2 Qui taéc tính. Tính tuyeán tính. Neáu f,g coù nguyeân haøm treân moät khoaûng vaø α, β ∈ R, thì treân khoaûng ñoù (αf(x)+βg(x))dx = α f(x)dx + β g(x)dx Coâng thöùc ñoåi bieán. Neáu x = ϕ(t) laø haøm coù ñaïo haøm lieân tuïc treân khoaûng J, vaø f(x) coù nguyeân haøm treân khoaûng I = ϕ(J), thì f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ(t)dt = f(ϕ(t))dϕ(t) Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn. Neáu u, v laø caùc haøm coù ñaïo haøm lieân tuïc treân moät khoaûng, thì treân ñoù u(x)v(x)dx = u(x)v(x) − v(x)u(x)dx Hay vieát theo loái vi phaân udv = uv − vdu. Chöùng minh: Suy töø ñònh nghóa vaø coâng thöùc ñaïo haøm: toång, tích vaø hôïp. Töø ñaïo haøm caùc haøm sô caáp, tính ngöôïc laïi, ta coù
Chöông IV. Pheùp tính tích phaân 59 1.3 Tích phaân moät soá haøm sô caáp. Vôùi x thuoäc moät khoaûng maø haøm döôùi daáu tích phaân xaùc ñònh vaø C laø haèng treân moãi khoaûng ñoù, ta coù xα+1 xαdx = + C (α = −1) α +1 1 dx =ln|x| + C x ax axdx = + C Ñaëc bieät: exdx = ex + C ln a sin xdx = − cos x + C cos xdx =sinx + C 1 dx =tanx + C cos2 x 1 dx = − cotan x + C sin2 x dx 1 x = arctan + C x2 + a2 a a dx 1 x + a = ln + C 2 2 x − a 2a x − a dx x √ =arcsin + C a2 − x2 a dx √ √ =ln|x + x2 ± a2| + C 2 2 x ± a x a2 x a2 − x2dx = a2 − x2 + arcsin + C 2 2 a x a2 x2 ± a2dx = x2 ± a2 ± ln |x + x2 ± a2| + C 2 2 Baøi taäp: Haõy kieåm tra ñaïo haøm veá phaûi baèng haøm trong daáu tích phaân ôû veá traùi. Ví duï. x x 1 x − 1 2 3 2 a) (2 +sinx − √ )dx = 2 dx + sin xdx − x 3 dx = − cos x − x 3 + C 3 x ln 2 2 dx 1 dx x b) = . Ñoåi bieán t = . Suy ra dx = adt. x2 + a2 a2 x 2 a +1 a dx 1 dt 1 1 x Thay vaøo ta coù = = arctan t + C = arctan + C x2 + a2 a t2 +1 a a a π π c) Ñeå tính a2 − x2dx, coù theå ñoåi bieán x = a sin t, t ∈ [− , ]. 2 2 Khi ñoù dx = a cos tdt, thay vaøo ta coù a2 − x2dx = a2 1 − sin2 t cos tdt = a2 cos2 tdt cos 2t +1 a2 sin 2t a2 = a2 dt = ( + t)+C = (sin t cos t + t)+C 2 2 2 2 x x a2 x Thay t =arcsin vaøo a2 − x2dx = a2 − x2 + arcsin + C |a| 2 2 a
60 ex − e−x d) Ñeå tính x2 + a2dx, coù theå ñoåi bieán x = a sinh t = a . 2 Khi ñoù dx = a cosh tdt vaø x2 + a2 = a2(sinh2 t +1)=a2 cosh2 t. Thay vaøo ta coù cosh 2t +1 x2 + a2dx = a2 cosh2 tdt = a2 dt 2 a2 a2 = (sinh 2t +2t)+C = (2 sinh t cosh t +2t)+C 4 4 √ 2x x + x2 + a2 Töø phöông trình e2t − et − 1=0, ta coù t =ln . Vaäy a a x a2 x2 + a2dx = x2 + a2 + lnx + x2 + a2| + C 2 2 dx dx Baøi taäp: Tính: √ , √ . a2 − x2 x2 ± a2 Ví duï. Daïng f α(x)f (x)dx, tính baèng ñoåi bieán. 3 2 3 1 d(x +5) 1 2 3 3 a) x x3 +5= (x +5)2 = (x +5)2 + C. 3 3 3 sin5 x b) sin4 x cos xdx = sin4 xd(sin x)= + C. 5 sin x d(cos x) c) tan xdx = dx = − = − ln | cos x| + C cos x cos x Baøi taäp: Tính: (ax + b)αdx, cos3 x sin xdx, cotan xdx. Ví duï. Caùc daïng P (x)lnxdx, P (x)eaxdx, P (x)sinaxdx, P (x)cosaxdx, trong ñoù P laø ña thöùc, coù theå duøng tích phaân töøng phaàn. n a) Tính In = x ln xdx. Khi n = −1, tích phaân töøng phaàn, ñaët dx u =lnx ⇒ du = x xn+1 dv = xndx v = n +1 xn+1 1 xn+1 xn+1 Ta coù I = ln x − xndx = ln x − + C n n +1 n +1 n +1 (n +1)2 ln x ln2 x Khi n = −1, I−1 = dx = ln xd(ln x)= + C x 2 b) Tính I = (x2 + x +1)sinxdx. Tích phaân töøng phaàn vôùi u = x2 + x +1 ⇒ du =(2x +1)dx dv =sinxdx v = − cos x Ta coù I = −(x2 + x +1)cosx + (2x +1)sinxdx. Tích phaân töøng phaàn laàn nöõa, ñaët