Giáo trình môn Giải tích 3 - Nguyễn Xuân Thảo

pdf

91 trang haiha333 08/01/2022 3990

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình môn Giải tích 3 - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_mon_giai_tich_3_nguyen_xuan_thao.pdf

Nội dung text: Giáo trình môn Giải tích 3 - Nguyễn Xuân Thảo

Giáo trình GIẢI TÍCH 3
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 1. CH ƯƠ NG I. LÝ THUY ẾT CHU ỖI § 1. Đại c ươ ng v ề chu ỗi s ố • nh ngh a • Các tính ch t c b n • iu ki n c n chu i h i t 111 1 Đặt v ấn đề : 1+++++ + = 2 2 4 8 2n • Có ph i là c c ng mãi các s h ng c a v trái thì thành v ph i? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + = ? 1. Chu ỗi s ố: Định ngh ĩa: V i m i s t nhiên n, cho t ư ng ng v i m t s th c an, ta có dãy s kí hi u là {an}. Định ngh ĩa: ∞ Cho dãy s {an}, ta g i t ng vô h n a1+ a 2 + a 3 + là chu i s , ký hi u là ∑an , n=1 an là s h ng t ng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + + an là t ng riêng th n. N u lim Sn = S thì ta b o chu i h i t , n→∞ ∞ có t ng S và vi t: ∑an = S . n=1 ∞ Khi dãy {Sn} phân k thì ta b o chu i ∑an phân k . n=1 ∞ Ví d ụ 1. Xét s h i t và tính ∑ qn n=0 1− qn+1 Sqq=++++=12 qn , q < 1 n 1− q 1 limSn = , q < 1 n→∞ 1− q Phân k khi q ≥ 1 ∞ 1 ∑ qn =, q < 1. 1 q n=0 − ∞ 1 Ví d ụ 2. Xét s h i t và tính ∑ n n + 1 n=1 () 1 1 1 1111   11  1 S = + ++ =−+−++−    =−1 n 1.2 2.3n() n + 1 1223  n n+ 1  n + 1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1  limSn = lim 1 −  = 1 n→∞ n →∞ n + 1  ∞ 1 ∑ = 1 n n 1 n=1 ()+ ∞ 1 1 1 1 Ví d ụ 3. Xét s h i t , phân k ∑ (Chu i iu hoà) Sn =+1 + + + n 2 3 n n=1 Ly n > 2m+1 có 11 1 11111  1 1  Sn >++++1 =++++++++ 1  ++  232m+1  2345 8 2m+ 1 2 m + 1  111 1 1 >++++2.4. 2.m =+()m 1 2482m+1 2 Do ó Sn có th l n bao nhiêu tu ý, nên có lim Sn = ∞ n→∞ Chu i ã cho phân k ∞ 1 Ví d ụ 4. Chu i ngh ch o bình ph ư ng: ∑ 2 n=1 n 11 1 11 1 11 1 Sn =++++1 =+ 1 + ++ <+ 1 + ++ 22 3 2n 2 2.23.3nn . 1.22.3() nn− 1 111111    11  1 =+−+−+−++1     −=−<  2 2 122334   n− 1 n  n Sn tng và d ư ng ∃lim Sn = S n→∞ ∞ 1 = S ∑ 2 n=1 n Nh ận xét: ∞ • ∑an h i t thì liman = 0 (iu ki n c n chu i h i t ) n→∞ n=1 ứ Ch ng minh: Có an = Sn − S n−1 ; liman = lim (Sn − S n −1) = 0 n→∞n →∞ ∞ • Nu liman ≠ 0 ho c không t n t i thì chu i ∑an phân k . n→∞ n=1 • Thay i m t s h u h n s h ng u không làm thay i tính h i t hay phân k c a chu i. ∞ n Ví d ụ 5. ∑ n + 1 n=1 n lim= 1 ≠ 0 n→∞ n + 1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n ∑ phân k n 1 n=1 + ∞ n Ví d ụ 6. ∑()()()−1 =+− 1 11 ++− 1 + n=1 n 1 n ch½n Có lim()− 1 =  n→∞ −1 n lÎ. n Không t n t i lim()− 1 n→∞ ∞ n ∑()−1 phân k . n=1 35 21n + Ví d ụ 7. Tìm t ng (n u có) c a chu i s sau +++ + (S: 1) 2 4 36 n2 () n + 1 n ∞ n −1  Ví d ụ 8. ∑  (PK)  n 1 n=1 + Tính ch ất. Gi s limaan= , lim bb n = n→∞ n →∞ • lim (αan+ β b n ) = αβ ab + n→∞ • lim(abn n ) = ab . n→∞ a a • limn = ,b ≠ 0. n→∞ bn b §2. Chu ỗi s ố d ươ ng • nh ngh a • Các tiêu chu n h i t • Các nh lí so sánh ∞ 1. Định ngh ĩa: ∑an, a n > 0 n=1 ∞ Nh ận xét. ∑an h i t khi và ch khi Sn b ch n. n=1 Trong bài này ta gi thi t ch xét các chu i s d ng 2. Các định lí so sánh. Định lí 1. Cho hai chu i s d ư ng, an≤ b n , n tu ý ho c t m t lúc nào ó tr i ∞ ∞ ∑bn h i t ⇒ ∑an h i t n=1 n=1 ∞ ∞ ∑an phân k ⇒ ∑bn phân k n=1 n=1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ch ng minh. aa+ ++ abb 3 n 1 1 1 1 0 < < < nln n 3n+ 1 3 n ∞ 1 ∞ 1 1 ∑ phân k ∑ = h i t n 3n 1 n=2 n=1 1− ∞ 3 1 ∑ phân k ⇒ Chu i ã cho h i t ln n n=2 ∞ 3n2 + 2 n + 1 ∞ ()n+ 1 sin() 2 n β Ví d ụ 3. a) ∑ , (HT) b) ∑ , β ∈ » ; (HTT ) n () 7 3 n=1 2 3n + 2 n=1 n+2 n + 3 ∞ ∞ an Định lí 2. Cho hai chu i s d ư ng, lim=k ≠ 0 ⇒ ∑an và ∑bn cùng h i t n→∞ b n n=1 n=1 ho c cùng phân kì. ∞ ∞ Nh ận xét. i v i các chu i s d ư ng ∑an và ∑bn : n=1 n=1 ∞ ∞ an 1°/ N u lim= 0 và ∑bn h i t ⇒ ∑an h i t n→∞ b n n=1 n=1 ∞ ∞ an 2/ ° N u lim = ∞ và ∑bn phân kì ⇒ ∑an phân kì n→∞ b n n=1 n=1 ∞ n + 2 Ví d ụ 4. ∑ 3 n=1 2n − 3 Chu i d ư ng 2 2 1+ 1 + n+ 2 n 1 =.n = . n 3 33 2 3 232n− n1− 2 n 1 − 2n3 2 n 3 n + 2 1  lim :  = 1 n→∞ 2n3 2 n 2 
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 1 h i t ∑ 2 n=1 2n ∞ n + 2 h i t ∑ 3 n=1 2n − 3 ∞ 1 Ví d ụ 5. ,p > 0 ∑ p n=1 n 1 1 ∞ 1 ∞ 1 Khi 0 1, n tu ý, ch n m sao cho n 1 và phân kì v i 0 < p ≤ 1. ∞ 1 Ví d ụ 6. ∑ 3 n=1 n + 3 Chu i d ư ng 1 1 1 an = = ; bn = 3 3 n3 / 2 n + 3 n3 / 2 1+ n3 a limn = 1 n→∞ bn ∞ ∑bn h i t n=1 ∞ 1 h i t ∑ 3 n=1 n + 3
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 7 ∞ ∞ a1) ∑ ln1()+n +− 2 n − 1 (PK) a2) ∑ sin()n+ 1 − n − 1 (PK) n=2 n=2 1 ∞ π ∞ 1 b1) ∑n sin 2 (PK); b2) (2n − 1 ) (HT) ∑ n n=1 2 n n=1 ∞ n+ cos n ∞ n+ sin n c1) (HT) c2) (PK) ∑ 5 ∑ 3 n=1 n + 1 n=1 n + 1 ∞ ∞ 1 d1) ∑ ()n+2 − n − 1 (PK) d3) ∑ n( e n −1) (PK) n=2 n=2 ∞ n + 1 d3) sin (HT) ∑ 3 7 3 n=1 n+2 n + 3 e) Xét s h i t ∞ ln n 1 1) (HT) 2) (PK) ∑ 4 5 ∑ 1 n=1 n arcsin+ ln n n ∞ π  3) n ln 1+ arctan 2 (HT) ∑ 3  n=1 2 n  3) Các tiêu chu ẩn hội t ụ a) Tiêu chu ẩn D’Alembert a lim n+1 = l n→∞ an ∞ Khi l 1 ⇒ ∑an phân k . n=1 Ch ứng minh an+1 an+1 • l 0 bé l + ε < 1 ⇒ < l + ε, ∀ n ≥ n0. n→∞ an an a a an +1 • M t khác có a= n. n −1 0 . a ≤ ()l+ ε n− n 0 a → 0, n → ∞ na a a n 0 n0 n−1 n − 2 n 0 Do ó lim an = l n→∞
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn an+1 an+1 • l > 1: T lim = l , ch n ε bé l − ε > 1 ⇒ >l −ε > 1 ⇒ an + 1 > an n→∞ an an ⇒ phân kì Nh ận xét. Khi l = 1 không có k t lu n gì ∞ 1 Ví d ụ 1. ∑ n! n=1 1 a = > 0 n n! a 11n ! 1 limn+1 = lim : = lim = lim = 0 n n! a 3n+1 3 n 3 n+1 =: = an () n+1! nn ! + 1 a limn+1 = 0 0 n 2.5.8() 3n − 1 a 1.3.5( 2n− 12)( n + 1) 1.3.5 ( 2 n − 1 ) 2n + 1 n+1 = : = a2.5.8()() 3 nn−+ 13 2 2.5.8 () 3 nn −+ 1 3 2 n a 2 limn+1 = < 1 n→∞ an 3 Chu i ã cho h i t Ví d ụ 4 ∞ n!3 n ∞ n!2 n a1) (PK) a2) (HT) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ 7n ()n ! a3) (HT) ∑ 2n n=1 n ∞ 32n+ 1 ∞ 22n+ 1 b1) (PK) b2) (HT) ∑ n () ∑ n () n=1 4lnn + 1 n=1 5 lnn + 1 ∞ ()2n + 1!! ∞ ()2n !! b3) (HT) b4) (HT) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n ∞ 3n2 + 2 n + 1 c1) (HT) ∑ n () n=1 2 3n + 2 ∞ n!3 n ∞ n!π n d1) (PK) d2) (PK) ∑ n ∑ n n=1 n n=1 n b) Tiêu chu ẩn Cauchy n Gi s lim an = l n→∞ ∞ Nu l 1 ∑an phân k n=1 Nh ận xét. Nu l = 1, không có k t lu n gì n ∞ 2n − 1  Ví d ụ 5. ∑  3n + 2  n=1 2n − 1  a =  > 0 n 3n + 2  2n − 1 n a = n 3n + 2 n 2 liman = < 1 n→∞ 3 Chu i ã cho h i t 2 ∞ n + 1  n Ví d ụ 6. Xét s h i t , phân kì   (PK) ∑n  n=1 Ví d ụ 7. 2n− ln n 3n− ln n ∞ 3n2 + n + 1  ∞ 2n2 + n + 1  a1) ∑  (HT) a2) ∑  (HT) 2  2 n=1 4n+ cos n n=13n+ sin n 
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ nn5 n a3) ∑ 2 (HT) n n n=1 2()n + 1 n( n 4) n( n 4) ∞ n + 2  + ∞ n + 3  + b1)   (HT) b2)   (PK) ∑n + 3  ∑ n + 2  n=1 n=1 2 ∞ nn5 n c) ∑ 2 (HT) n n n=1 3()n + 1 c) Tiêu chu ẩn tích phân Có m i liên h hay không gi a: ∞ b fxdx()= lim fxdx () ∫b→+∞ ∫ a a ∞ k và ∑an= lim ∑ a n k →∞ n=1 n = 1 n n Hình 14.4 fxdxa()≤+1 a 2 ++ an ≤+ a 1 fxdx () , limf ( x )= 0 ∫ ∫ x→+∞ 1 1 Nu f(x) là hàm d ư ng gi m v i m i x ≥ 1, f(n) = an, khi ó ∞ ∞ ∑an và ∫ f( x ) dx cùng h i t ho c cùng phân k . n=1 1 ∞ 1 Ví d ụ 8. ∑ nln n n=2 1 f( x ) = d ư ng, gi m v i x ≥ 2 và có limf ( x )= 0 xln x x→+∞ ∞ b d()ln x b fxdx()= lim = limlnln() x = limlnln()()() b −=∞ lnln2 ∫b→∞ ∫ ln x b →∞2 n →∞ 2 2 +∞ ∫ f( x ) dx phân k 1 ∞ 1 ∑ phân k nln n n=2 ∞ 1 Tng quát có th xét h i t ch khi p > 1. ∑ p n=2 n()ln n
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 1 1 Ví d ụ 9. Ch ng minh r ng: 1− + − + = ln2 2 3 4 111 11 1 1  11 1  S =−+−++1 − =+++ 1  −+++  2n 234 212nn− 3 2124 n −  2 n  11 1  11 1  11 1  11 1  =++++1  − 2 +++  =++++ 1  −++++ 1  23 2n  24 2 n  23 2 n  23 n  1 1  =[][]ln2nono ++−++γ (1) ln γ (1) , víi γ = lim 1 +++− ln n  n→∞ 2 n  = ln2+o (1) → ln2 khi n →∞ Mt khác ta có 1 S= S + 2n+ 1 2 n 2n + 1 limS2n+ 1= lim S 2 n = ln2 n→∞ n+1 ∞ ()−1 = ln2 ∑ n n=1 11111 3 Ví d ụ 10. T ư ng t nh n ưc 1+−++−+ = ln2. 32574 2 Ví d ụ 11. Xét s h i t phân kì c a chu i s sau 1 ∞ ln ∞ ln() 1 + n ∞ ln n a) n (HT); b) (HT) c) (HT) ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 n=1 ()n + 2 n=1 ()n + 3 n=2 3n Happy new year 2011 !
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn HAPPY NEW YEAR 2011 PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 2 § 3. Chu ỗi s ố v ới s ố h ạng có d ấu b ất kì • Chu ỗi v ới s ố h ạng có d ấu b ất kì • Tính ch ất c ủa chu ỗi h ội t ụ tuy ệt đố i • Chu ỗi đan d ấu 1. Đặt v ấn đề . 2. Chu ỗi v ới s ố h ạng có d ấu b ất kì ∞ ∞ ∞ Định ngh ĩa: ∑an được g ọi là h ội t ụ tuy ệt đố i ⇔ ∑ an h ội t ụ. Chu ỗi ∑an được g ọi n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ là bán h ội t ụ ⇔ ∑ an phân kì và ∑an h ội t ụ. n=1 n=1 ∞ ∞ Định lý. ∑ an h ội t ụ ⇒∑an hội t ụ. n=1 n=1 Ví d ụ 1. Xét s ự h ội t ụ tuy ệt đố i c ủa chu ỗi s ố sau ∞ n2 + n ∞ n 2 a) ()−1 2 ; b) sin n ∑ n ∑ n=1 2 n=1 ∞ n ∞ sin n c) sin(π () 2+ 3 ) (HTT Đ) d) (HTT Đ) ∑ ∑ 3 n=1 n=1 n Hng d n. ∞ n2 + n ∞ n 2 a) ()−1 2 b) sin n ∑ n ∑ n=1 2 n=1 2 ∞ n +) sin n ∈ » +) Xét ∑ 2 2n +) Không có lim sinn = 0 n=1 n→∞ a 1 2 +) limn+1 = < 1 Th ật v ậy, ph ản ch ứng có lim sinn = 0 n→∞ a 2 n→∞ n ⇒ ⇒ ∞ lim sin(2n + 1) = 0 lim sin(2n + 3) = 0 n n→∞ n→∞ +) h ội t ụ ∑ n ⇒ lim cos(2n + 1) = 0 n=1 2 n→∞ 2 ∞ n+ n ⇒ 2 2 n lim( sin(2n++ 1) cos(2 n += 1)) 0 (vô lí) +) ∑(− 1) 2 h ội t ụ n→∞ 2n ∞ n=1 +) ∑sin n2 phân kì. n=1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nh ận xét. ∞ ∞ 1°°°/ Nếu ∑ an phân kì theo tiêu chu ẩn D’Alembert ho ặc Cauchy ⇒ ∑an phân kì n=1 n=1 ∞ ∞ 2°°°/ ∑ an phân kì ⇒ ∑an phân kì ( đúng hay sai?) n=1 n=1 3. Chu ỗi đan d ấu ∞ n−1 Định ngh ĩa. ∑()−1an , a n > 0 được g ọi là chu ỗi đan d ấu n=1 ∞ n Chú ý. ∑()−1an , a n > 0 c ũng được g ọi là chu ỗi đan d ấu. n=1 Định lí Leibnitz ∞ ∞ n−1 n−1 Dãy {an} gi ảm, an > 0 , liman = 0 ⇒ ∑()−1 an h ội t ụ và có ∑()−1 an ≤ a 1 n→∞ n=1 n=1 Ch ứng minh: +) n= 2 m : • Có S2m =−+−++( aaaa 12) ( 34) ( a 212m− − a m ) ⇒ {S2m} t ăng • Saaaaa2m =−−−−−− 123( ) ( 45) ( a 22212m− − a m − ) −< aa m 1 • Từ đó ∃lim S2m = S và có S≤ a 1 m→∞ +) n=2 m + 1 : • S21m+= S 2 m + a 21 m + • Do lima2m+ 1 = 0 ⇒ lim S2m+ 1 = S . m→∞ m→∞ Định lí được ch ứng minh. Ví d ụ 2. Xét s ự h ội t ụ tuy ệt đố i và bán h ội t ụ c ủa các chu ỗi s ố sau ∞ n−1 ∞ ()−1 n−1 3.5.7 () 2n + 1 a) ∑ (Bán HT) e) ∑()−1 (HTT Đ) 2n − 1 2.5.8 () 3n − 1 n=1 n=1 ∞ n−1 ∞ ()−1 n−1 1.4.7 () 3n − 2 b) ∑ (Bán HT) f) ∑()−1 (PK) 7.9.11 () 2n + 5 n=1 n n=1 ∞ n+1 ∞ ()−1 n−1 1 c) (HTT Đ) g) ()−1 tan (HTT Đ) ∑ 3 ∑ n=1 ()2n − 1 n=1 n n ∞ n−1 ∞ n2 ()−1 n n+1 2 d) ∑ (PK) h) ∑()−1 (PK) 6n − 5 n! n=1 n=1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ∞ n n n−1 ln n i) ∑()−1 (PK) m) ∑()−1 (Bán HT) 2 n n=1 2n + 1 n=1 ∞ n ∞ n n + 1  ()n+ 1 sin() 2 n β k) ∑()−1   (PK) o) ∑ , β ∈ » (HTT Đ)  n + 2  3 7 3 n=1 n=1 n+2 n + 3 ∞ ∞ n n−1 n + 1 ()−1 l) ∑()−1 ln 2 (HTT Đ) p) ∑ (Bán HT) n n− ln n n=1 n=1 Hng d n. n−1 n−1 ∞ ()−1 ∞ ()−1 n b) +) ∑ là chu ỗi đan d ấu d) +) ∑ là chu ỗi đan d ấu 6n − 5 n=1 n n=1 1  1 n 1 ∞ n +)   gi ảm và có lim= 0 +) lim = ⇒ ∑ phân kì n  n→∞ n n→∞ 6n − 5 6 6n − 5 n=1 +) H ội t ụ theo Leibnitz n−1 n ∞ +) ∃lim() − 1 1 n→∞ 6n − 5 +) ∑ phân kì ⇒ bán h ội t ụ n ∞ n=1 n n +) ∑()−1 phân kì. 6n − 5 n=1 4. Tính ch ất c ủa chu ỗi h ội t ụ tuy ệt đố i ∞ a) ∑ an = S ⇒ chu ỗi s ố nh ận được t ừ chu ỗi này b ằng cách đổ i th ứ t ự các s ố h ạng n=1 và nhóm tu ỳ ý các s ố h ạng c ũng h ội t ụ tuy ệt đố i và có t ổng S ∞ ∞ b) Cho ∑an = S , ∑ an phân kì ⇒ có th ể thay đổ i th ứ t ự các s ố h ạng c ủa nó để n=1 n=1 chu ỗi thu được h ội t ụ và có t ổng là m ột s ố b ất kì cho tr ước ho ặc tr ở nên phân kì. ∞ ∞ Định ngh ĩa. Cho ∑an, ∑ b n , khi đó ta định ngh ĩa phép nhân chu ỗi: n=1 n = 1 ∞  ∞  ∞ n    ∑an  ∑ b n  = ∑ c n , ở đó cn= ∑ a knk b +1 − n=1  n = 1  n = 1 k =1 ∞ ∞ ∞  ∞  ⇒    c) ∑ an = S 1, ∑ bn = S 2 ∑an  ∑ b n  = SS1 2 n=1 n=1 n=1  n = 1  ∞ 1 ∞ 1 Ví d ụ 3.a) Xét s ự h ội t ụ c ủa tích các chu ỗi s ố sau: và . ∑ ∑ n−1 n=1 n n n=1 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n  k −1 1n+ 2 − k b) Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ ∑ ()−1 tan .ln 2  n+1 − k  n=1 k = 1 k k  Hng d n. ∞ 1 a) +) ∑ h ội t ụ tuy ệt đố i n=1 n n ∞ 1 +) h ội t ụ tuy ệt đố i ∑ n−1 n=1 2 ∞1  ∞ 1  +)  .  h ội t ụ ∑  ∑ n−1  n=1n n  n = 1 2  HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 3 § 4. Chu ỗi hàm số ••• Đặt v ấn đề . 1. Chu ỗi hàm s ố h ội t ụ ( ) Định ngh ĩa: Cho dãy hàm s ố {un x } xác định trên X , ta định ngh ĩa chu ỗi hàm s ố ∞ ()()() uxux1+ 2 + ≡ ∑ uxn (1) n=1 ∞ ∞ () ∑un x h ội t ụ t ại x0 ⇔ chu ỗi s ố ∑un () x 0 h ội t ụ n=1 n=1 ∞ ∞ () ∑un x phân kì t ại x0 ⇔ chu ỗi s ố ∑un () x 0 phân kì n=1 n=1 Tập các điểm h ội t ụ của (1) g ọi là t ập h ội t ụ c ủa nó. T ổng c ủa chu ỗi hàm s ố là hàm số xác đị nh trong t ập h ội t ụ c ủa nó. Ví d ụ 1. Tìm t ập h ội t ụ c ủa các chu ỗi hàm s ố sau ∞ ∞ cos nx ∞ 1 ∞ xn a) ∑ xn−1 b) ∑ c) ∑ ( x > 1) d) ∑ ( » ) 2 2 x n! n=1 n=1 n+ x n=1 n n=1 ∞ 2 ∞ sin( 2n+ 4 ) x n−1 π π e) ( » ) f) ()−1 e−ncos x ( −+k2π ) n n 5 n=1 n5() x − 3 Hướng d ẫn. ∞ a) ∑ xn−1 n=1 ∞ n−1 +) Xét chu ỗi s ố ∑ x0 (2) n=1 +) (2) h ội t ụ v ới x0 < 1 +) T ại x0 = 1, (2) phân kì +) T ập h ội t ụ: x < 1 ∞ cos nx b) ∑ 2 2 n=1 n+ x ∞ cos nx cos nx 1 +) Xét chu ỗi s ố 0 (2) +) 0 ≤ ⇒ (2) h ội t ụ v ới m ọi x ∑ 2 2 2 2 2 0 n=1 n+ x 0 n+ x0 n +) T ập h ội t ụ »
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 2. Tìm t ập h ội t ụ c ủa các chu ỗi hàm s ố sau ∞ n−1 n ()−1 x2n+ 3 ∞ n3 4 x − 3  3  a) 1) (−3 ≤x 0 ∨ x ≤− 2 ) 1 1 x ∑ n 2) ∑   ([0 ; + ∞ )) () 2 1+ x  n=1 n+1 x + 1 n=2 n −1 ∞ n 1 ∞ 2 3) ( x>1 ∨ x ≤− 3 ) ()x− x + 1 ∑ 3 n c) ∑ (0≤x ≤ 1 ) n=1 n+1() x + 2 () n=0 n+1 n + 2 2. Chu ỗi hàm s ố h ội t ụ đề u ∞ () ( ) Định ngh ĩa. ∑un x hội t ụ đề u đế n S x trên t ập X ⇔ ∀ε > 0 bé tu ỳ ý n=1 ( ) » ( ) ( ) ( ) ∃n0 ε ∈ : ∀n > n 0 ε , ta có Sn x− Sx 0 bé tu ỳ ý n=1 ( ) » ( ) ( ) ( ) ∃n0 ε ∈ : ∀p > q > n 0 ε , ta có SxSxp− q 0 (HTK Đ) 5 2 n! n=11+ n x n=1 Hướng dẫn.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn xn 1 ∞ 1 b) +) ≤,x ≤ 2 +) h ội t ụ n 3 4/ 3 ∑ 4/ 3 2 n n n n=1 n +) Chu ỗi đã cho h ội t ụ đề u và h ội t ụ tuy ệt đố i trên [−2 ; 2 ]. Ví d ụ 5. Xét s ự h ội t ụ đề u c ủa chu ỗi hàm 1  1  ∞ n  ∞ n  xdx xdx a) 1)   sinnx , x ∈ » (HT Đ) 2)   cosnx , x ∈ » (HT Đ) ∑∫ 2  ∑∫ 2  n=10 1+ x  n=10 1+ x  n ∞ n+1 2 x + 1  b) 1)   ,x ∈[] − 1;1 (HT Đ) ∑ n  +  n=1 3 x 2 n2 n ∞ n+1  2 x + 1  2)    ,x ∈[] − 1;1 (HT Đ) ∑ +   +  n=1 n2 x 2 ∞ c) Ch ứng minh r ằng chu ỗi hàm ∑ x2e−nx h ội t ụ đề u v ới x ≥ 0 n=1 n ∞ ()−1 d) 1) Ch ứng minh r ằng chu ỗi h ội t ụ đề u trên » ∑ 2 n=0 x+ n + 1 n ∞ ()−1 2) Ch ứng minh r ằng chu ỗi h ội t ụ đề u trên » ∑ 2 n=0 x+ n + 2 3. Tính ch ất c ủa chu ỗi hàm s ố h ội t ụ đề u ∞ () ( ) ( ) Định lí 1. Chu ỗi ∑un x h ội t ụ đề u v ề S x trên X , un x liên t ục trên X , v ới n=1 ∀n ∈ » ⇒ S( x ) liên t ục trên X . ∞ () ( ) ( ) Định lí 2. ∑un x h ội t ụ đề u đế n S x trên [a; b ], un x liên t ục trên [a; b ], ∀n n=1 b b∞  ∞ b ⇒ ()()()=  = ∫Sxdx ∫∑ uxdxn  ∑ ∫ uxdx n a an=1  n = 1 a ∞ ()() ( ) Định lí 3. ∑un x= Sx trên (a; b ) , các hàm un x kh ả vi liên t ục trên (a; b ) , n=1 ∞ () ( ) ∑un′ x h ội t ụ đề u trên (a; b ) ⇒ S x kh ả vi trên (a; b ) và có n=1 ∞  ′ ∞ ′()()()=  = ′ Sx∑ uxn  ∑ ux n n=1  n = 1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 6. Xét tính kh ả vi c ủa các hàm sau n ∞ ()−1 x ∞ x ∞ n2 a) f() x = ∑ ; b) f() x = ∑arctan (f′() x=∑ , x ∈ » ) n+ x 2 4 2 n=1 n=1 n n=1 n+ x Hướng d ẫn. a) +) x≠ − n là chu ỗi đan d ấu h ội t ụ theo Leibnitz n ∞ +) u′ () x = liên t ục ∀x ≠ − n, u ′ h ội t ụ đề u theo Dirichlet n 2 ∑ n ()n+ x n=1 ∞ n n +) fx′()()=−1 , xn ≠− ∑ 2 n=1 ()n+ x Ví d ụ 7 a) Tìm mi ền h ội t ụ và tính t ổng ∞ 3n+ 2 n ()x −1  1x 123 x − π  1) ∑ ()−1 ( (0 ; 2] ,S=−( x 1) ln + arctan +  ) 3n + 1 3 2 n=0  x−3 x + 3 3 363  ∞ 3n+ 2 n ()x + 1  1x+ 2 1 21 x + π  2) ∑ ()−1 ( (− 2;0) , S=+( x 1) ln + arctan +  ) 3n + 1 3 2 n=0  x+ x + 1 3 363  b) Tìm mi ền h ội t ụ và tính t ổng ∞ n−1 ∞ 2 ()−1 n n−1 n x −1 1) ∑ ()x + 1 ; 2) ∑()()()−1n + 1 x − 1 ( (0 ; 2) , S = ) n 2 n=1 n=1 x Hướng d ẫn. b1) H ội t ụ v ới x +1 < 1 và t ại x +1 = 1 ⇒ mi ền h ội t ụ [−2 ; 0 ] ∞ t n ∞ 1 +) Đặt t= −( x + 1) ⇒ s = − ∑ ⇒ s′() t=−∑ t n−1 =− n 1− t n=1 n=1 t ′() t ⇒ ( ) ( ) +) ∫sudu=ln u − 1 0 sts−0 = ln t − 1 0 +) s (0) = 0 ⇒ s( x) =ln( x + 2 ) HHHAHAAAVVVVEEEE AAA GGGOGOOOOODDDD UUUNUNNNDDDDEEEERRRRSSSSTTTTAAAANNNNDDDDIIIINNNNGGGG!!!!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 4 § 5 Chu ỗi lu ỹ th ừa • nh ngh a • Các tính ch t • Khai tri n thành chu i lu th a ••• Đặt v ấn đề 2 n 1. Định ngh ĩa. a0++ axax 1 2 ++ axn + (1) ∞ n Ký hi u là ∑ an x , ó an là các s th c, x là bi n s . n=0 ∞ n Ta b o chu i lu th a h i t (phân k ) t i x0 ⇔ chu i s ∑ an x 0 h i t (phân k ), n=0 ∞ ∞ n n chu i ∑ an x h i t trên kho ng (a; b ) ⇔ chu i s ∑ an x 0 h i t , x0 tu ý ∈ (a ; b ) . n=0 n=0 ∞ Ví d ụ 1. ∑ xn =+1 x + x 2 + n=0 ∞ 1 ã bi t h i t khi x x 0 n=0 a n+1 n Định lý 2. Nu lim = ρ (ho c lim an = ρ ) thì bán kính h i t R c a chu i lu n→∞ an n→∞ 1  , 0 < ρ < ∞ ∞ ρ th a a x n ưc xác nh b i R =  ∑ n 0, ρ = +∞ n=1  ∞, ρ = 0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nh ận xét. • Quy ưc vi t R = 0 kh ng nh 2), R = +∞ kh ng nh 3), t ó có th ∞ n phát bi u g n nh lý này nh ư sau: Mọi chu ỗi lu ỹ th ừa ∑ an x đều có m ột bán kính h ội n=0 tụ R v ới 0 ≤R ≤+∞ , khi đó chu ỗi h ội t ụ tuy ệt đố i v ới x R . a 1 • Cách tìm bán kính h i t R : R = lim n ho c R = lim n→∞ a n→∞ n n+1 an ∞ xn Ví d ụ 1. Tìm kho ng h i t c a chu i ∑ 2 n=1 n 2 a 1 1n + 1  n =: = 2 2   an+1 n ()n + 1  n  a limn = 1 n→∞ an+1 R = 1, chu i h i t v i x 1. x2 1 ∞ 1 Ti x = 1 có = , m t khác h i t , do ó chu i lu th a h i t t i x = 1. 2 2 ∑ 2 n n n=1 n Kho ng h i t là [−1; 1 ]. ∞ n + 2 Ví d ụ 2. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a xn ∑ n n=0 3 a n+2 n + 3 n + 2 n =: = 3 n n +1 an+1 3 3 n + 3 a limn = 3 n→∞ an+1 R = 3 , chu i h i t khi x 3 . ∞ ∞ n Ti x = 3 có ∑an x= ∑ () n + 2 phân k . n=0 n = 0 ∞ ∞ n n Ti x = − 3 có ∑an x= ∑ ()() −1 n + 2 phân k n=0 n = 0 Kho ng h i t : (−3 ; 3 ). ∞ xn Ví d ụ 3. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a ∑ n + 1 n=0 an  1 1n + 2   =: = an+1  nn+1 + 2 n + 1 an  lim  = 1 n→∞ an+1 
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn R = 1, chu i h i t v i x 1 ∞ 1 Khi x = 1 có ∑ phân k n + 1 n=1 n ∞ ()−1 Khi x = − 1 có là chu i an d u h i t ∑ n + 1 n=1 Kho ng h i t là [− 1; 1) . ∞ 2n n x Ví d ụ 4. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a: ∑ ()−1 . 2n ! n=0 () Không th dùng ngay công th c vì m t n a các h s c a chu i b ng 0 : a2n+ 1 = 0 n ∞ ()−1 t y = x 2 có chu i lu th a: y n ∑ 2n ! n=0 () n n +1 a ()−1() − 1 (2()n + 1) ! Có n =: = =++()() 2122n n an+1 ()2! n()2()n + 1 ! () 2! n a lim n = ∞ n→∞ an+1 Kho ng h i t : (−∞, ∞ ) Ví d ụ 5. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a 5 n2 ∞ ()n + 1 ∞ ∞ ()x + 2 a) ∑ x2n ( −1 <x < 1 ) b) ∑ xn! ( x ∈ » ) c) ( −3 ≤x ≤− 1 ) 2n + 1 ∑ n n=1 n=1 n=1 n 2 ∞ ()n! ∞ ()x − 3 2n d) ∑ xn ( −4 <x < 4 ) e) ∑ ( 2<x < 4 ) ()2n ! ()()n+1ln n + 1 n=1 n=1 ∞ n2 1  n 1 1 f) 1+  ()x − 1 ( 1− <x <+ 1 ) ∑n  e e n=1 ∞ ∞ n+1 2n + 3 g) n! x n! ( −1 <x < 1 ) h) ()−1 x2n− 1 ( x ≤ 1) ∑ ∑ 2 n=1 n=0 3n+ 4 n + 1 ∞ n+1 2n + 3 i) ()−1 x2n ( x ≤ 1) ∑ 2 n=0 3n+ 4 n + 5 ∞ n n+13 2 n 1 1  k) ()−1()x + 1 ( −−1 ; −+ 1 ) ∑ 2   n=1 n + 1 3 3  2n ∞ ()x − 1 l) ∑ (0<x < 2 ) ()()n+1ln n + 1 n=1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n2 1  n 1 1 m) 1+  ()x + 2 ( −−2 a + R ; nh n ưc kho ng h i t ta c n xét t i x = a – R và x = a + R . 2. Các tính ch ất c ủa chu ỗi lu ỹ th ừa ∞ n a) Chu i lu th a ∑ an x hi t u trên m i on [a; b ] nm trong kho ng h i t c a nó. n=0 ∞ n ( ) b) ∑ axn = Sx(), x < R ≠ 0 ⇒ S x liên t c trên kho ng (−R; R ). n=0 ∞ n ( ) c) ∑ axn = Sx(), x < R ≠ 0 ⇒ S x kh tích trên m i on [ab;] ⊂( − RR ; ) và có n=0 b∞  ∞  b  axn  dx=  axdx n  ∫∑n  ∑  ∫ n  an=0  n = 0  a  ∞ n ( ) d) ∑ axn = Sx(), x < R ≠ 0 ⇒ S x kh vi trên kho ng (−R; R ) và có: n=0 ∞  ∞ dn d n ∑axn  = ∑ ax n dx  dx () n=0  n = 0 ∞  ∞ n n Nh ận xét. Th c ch t t a) ta có: lim∑axn  = ∑ lim ax n xx→  xx → () 0n=0  n = 0 0 Ví dụ 1. Tìm bi u th c chu i lu th a c a ln( 1 + x) Mi n xác nh: x < 1. 1 f′( x ) = , ó t f(x) = ln(1 + x) 1+ x
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ∞ 1 1 n n fx′( )= =−=−∑()() x ∑ 1 x n x+1 1( − − x ) n=0 n = 0 x x ∞  n ftdt′() = − 1 tdtn  ∫ ∫ ∑ ()  0 0 n=0  ∞x ∞ n+1 n n x fxf()0−=() ∑()() − 1 tdtn  =− ∑ 1 ∫   n + 1 n=00 n = 0 ∞ n 2 3 4 n+1 x xxx Do f (0) = 0 nên có ln1()()+=−x∑ 1 =−+−+ x ,1 x < n 2 3 4 n=1 Ví d ụ 2. Tìm bi u di n chu i lu th a c a hàm tan −1 x π π t fx()tan=−1 x , −<< fx () 2 2 1 f′( x ) = 1+ x2 ∞ ∞ 1 1 n n = =−=−x21. x 2 n , x < 1 2 2 ∑() ∑ () 1+ x 1−() − x n=0 n = 0 x x x ∞  ∞x ∞ 2n+ 1 dt n n n x ftdt′() = =∑ () − 1 tdt2n  =−∑()()1t2n dt =− ∑ 1 ∫ ∫1+ t 2 ∫   ∫ 2n + 1 0 0 0 n=0  n=00 n = 0 ∞ 2n+ 1 3 5 7 n x x x x tan−1x − tan0 − 1 =∑ () − 1 =−+−+x, x < 1 2n + 1 3 5 7 n=0 x3 x 5 x 7 ⇒⇒⇒ tan −1 x =−+−+x, x < 1 3 5 7 ∞ xn Ví d ụ 3. Tính t ng ∑ n n=1 Có R = 1 , chu i h i t v i |x| < 1 ∞ xn t f( x ) = ∑ có n n=1 ∞xn−1 ∞ 1 fx′( ) =∑ n = ∑ x n−1 = n1− x n=1 n = 1 x x dt ftdt′( )= x < 1 ∫ ∫ 1− t 0 0 fxf()−( 0) =− ln1( − xx) , < 1 ⇒ fx()=− ln1( − xx) , < 1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 Ví d ụ 4. Bi u di n chu i lu th a c a hàm 2 ()1− x ∞  ∞ ∞ 1d 1  d n n−1 n =  = ∑ x  =∑nx =+ ∑ () nx1 , x 1 ) 2n − 1 2 1 − x n 2 n=1 n=1 x (x − 1) ∞ 2n − 1 c) (3 ) ∑ n n=1 2 ∞ 3n+ 2 n ()x −1  1x 123 x − π  d) ∑ ()−1 ( ()x −1 ln + arctan +  , 0<x ≤ 2 ) 3n + 1 3 2 n=0  x−3 x + 3 3 3 63  ∞ 3n+ 2 n ()x + 1  1x+ 2 1 21 x + π  e) ∑ ()−1 ((x + 1) ln + arctan +  , −2 <x < 0 ) 3n + 1 3 2 n=0  x+ x + 1 3 363  ∞ n−1 ()−1 n f) ∑ ()x + 1 ( lnx + 2 , −2 <x < 0 ) n n=1 ∞ 2 n−1 n x −1 g) ()()()−1n + 1 x − 1 ( , 0<x < 2 ) ∑ 2 n=1 x
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n ∞ ()−1 1 1 π  h) ∑ ( ln3 + ) 3n+ 2 2 3  n=0 ()3n + 1 2 6 3  ∞ n + 1 ∞ n + 1 9 k1) ( 4) k2) ( ) ∑ n ∑ n 4 n=0 2 n=0 3 n+1 ∞ 1 ∞ ()−1 3 k3) ( ln2 ) k4) ( ln ) ∑ () n+1 ∑ () n+1 4 n=0 n + 1 2 n=0 n + 1 3 Hng d n. ∞ x x n 1 1 a) +) R = 1 +) S′()() x=∑ −1 x 2n = +) Stdt′() = dt 1+ x2 ∫ ∫ 1+ t 2 n=0 0 0 +) SxS( ) −(0) = arctan x ⇒ S( x) = arctan x ∞ 1 2n− 2 1  c) +) Xét chu i Sx() =∑()2 nx − 1 có S  = A 2 n=1 2  d∞  1 dx  1 1 + x 2 1  +) R = 1 +) S() x= x 2n− 1  = = . +) ∑ 2  2 S   = 3 dx  2 dx   2 2   n=1  1− x ()1− x 2 3. Khai tri ển thành chu ỗi lu ỹ th ừa ∞ (n) f( x ) n Định ngh ĩa. 0 ()x− x ưc g i là chu i Taylor c a hàm s f( x ) ti lân c n ∑ n! 0 n=0 im x0 . ∞ (n ) f (0) n Nu x0 = 0 ta có ∑ x ưc g i là chu i MacLaurin c a hàm s f( x ) . n! n=0 ∞ f (n ) (0) Định ngh ĩa. Nu ∑ xn = f( x ) ta b o hàm s f( x ) ưc khai tri n thành chu i n! n=0 Taylor Định lí 3. f( x ) có o hàm m i c p trong lân c n nào ó c a x0 , limRn ( x ) = 0 , n→∞ f (n+1)(ξ ) Rx() =( xx − ) n+1, ξ gi a x và x n (n + 1)! 0 0 ∞ (n ) f( x 0 ) n ⇒ fx()=∑ () xx − 0 n! n=0 Định lí 4. f( x ) có o hàm m i c p trong lân c n nào ó c a im x0 ; (n ) f(ξ ) ≤ M , ∀ξ thu c lân c n c a x0 nói trên ∞ (n ) f( x 0 ) n ⇒ fx()=∑ () xx − 0 . n! n=0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chú ý. • Có hàm kh vi vô h n không ưc khai tri n thành chu i Taylor, ví d 1  −  2 f( x ) = ex , x ≠ 0  0,x = 0 ⇒ f (n)(0)= 0 , n t nhiên b t k Th t v y có ngay 1 − 2 1 fxf()(0)− e x − 0 t 1 f′ x =lim = lim = lim x =lim = lim = 0 . () 1 2 t x→0x− 0 x → 0 x x → 0 t→∞et t →∞ 2t e e x T ó có o hàm m i c p t i x = 0 c ng b ng 0. Chu i Taylor c a hàm f(x) là 0 + 0 + 0 + 0 + Chu i này h i t , chúng h i t v 0 Nên f(x) nói trên không ưc khai tri n thành chu i Taylor f (n+ 1) (ξ ) • S d ư R( x ) = x n+1 nh n ưc do s d ng nh lý Rolle n ()n + 1 ! HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 5 § 5. Chu i lu th a (TT) • Khai tri ển m ột s ố hàm s ơ c ấp • Ứng d ụng 4. Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 4.1. M t s khai tri n 1°°°/ f( x ) = e x • f (n ) (0)= 1 • fxee(n ) ()= ∞ xn ∞ xn • ex =∑ , ∀∈− xAAA() ;,0 > ⇒ ex =∑ , ∀ x ∈ » n! n! n=0 n=0 2°°° f( x )= cos x π (− 1)k ,n = 2 k π  ••• f(n ) (0)= cos n =  • fx(n ) ( )= cos xn +  ≤∀∈ 1, x » 2 0,n= 2 k + 1 2  x2 x 4 x 2 n • cos1x=−+−+− (1)n + , x ∈ » 2! 4! (2)!n 3°°° f( x )= sin x x35 x x 21n− • sinx=−+−+− x ( 1)n−1 + , x ∈ » 3! 5! (2n − 1)! 4°°° f( x )= (1 + x )α , α∈ » α αα−( 1) αα−( 1) ( α−n + 1) • fx( )=++ 1 x x 2 + +xn +−<<, 1 x 1 1! 2! n! 5°°° f( x )= ln(1 + x ) x2 x 3 x n • ln(1)+=−x x + −+− (1)n−1 + ,1 −<<x 1 2 3 n 6°°° f( x )= arctan x x35 x x 21n− • arctanx=−+−+− x ( 1)n−1 + , x∈», −≤ 1 x ≤ 1 35 21n − Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Maclaurin a) fx()= ax ,0 < a ≠ 1 ∞ ln n a • ax= e xln a • exln a=∑ x n , x ∈ » n! n=0 b) f( x )= ln(2 + x ) x  x x • ln2()+=x ln21 +=+ ln2 ln1  + , −1 < < 1 2  2 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n ∞ x ∞ n x  n−1 ( ) n−1 x • ln1+  =∑() − 1 2 =∑() − 1 2  n n n=1 n=1 n.2 ∞ n n−1 x • ln2()()+=+−x ln2 1 ,2 −<< x 2 ∑ n n=1 n.2 1∞ 2 2n− 1x 2 n c) sin 2 x ( − ∑ , x ∈ » ) 2 (2)!n n=0 1+ x ∞ x2n+ 1 d) f( x )= ln (2∑ ,1− <x < 1 ) 1− x 2n + 1 n=0 x ∞ n + 2 ()−1 x2n 1 e) fx( ) = e−t dt ( ∑ , x ∈» ) ∫ n!() 2 n + 1 0 n=0 ∞n ∞ 2 n n−1x n − 1 x f) fx()ln(1= ++ xxx2 + 3 ) ( ()−1 +−() 1 ,11 −≤≤x ) ∑n ∑ n n=1 n = 1 n ∞ ()x2 n π g) fx( )= ex sin x ( sin , x ∈» ) ∑ n! 4 n=0 ∞ x2n h) f( x )= cosh x ( ∑ , x ∈» ) ()2n ! n=0 x ∞ 2n+ 1 sin t n x i) fx( ) = dt ( ∑ ()−1 , x ∈ » ) ∫ t ()()2n+ 1!2 n + 1 0 n=0 x dt x5 1.3.5 () 2 n − 1 k) f( x ) = ( x+++ x 4n+ 1 + , x < 1) ∫ 4 2.5 n!2n () 4 n + 1 0 1− t l) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex sin x m) Vi ết rõ các h ệ s ố đế n x6 : fx() = ex cos x Ví d 2. Khai tri ển thành chu ỗi Taylor t ại lân c ận điểm t ươ ng ứng a) fx()= ln, xx = 1 ∞ n n ()x −1 • lnx= ln1( + x − 1 ) • ln1()()+−x 1 = − 1 ∑ n n=1 1 b) f() x= ,4 x = x2 +3 x + 2 1 1 • f() x = − x+1 x + 2 () n 1 1  • fn ()() x= −1 n ! − n+1 n + 1  ()x+1() x + 2 
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn () n • fn()()4= − 1!5 n ( −− n1 − 6 −− n 1 ) ∞ n n • f()() x=−∑ 15()−−n1 − 6 −− n 1 () x − 4 n=0 x x c) f( x ) = , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa 1+ x 1+ x 2 3 n x1 x  1.3  x  1.3 () 2n− 3  x  (f() x =+  +   + +  + ) 1+ x 21 + x 2.41  + x  2.4 () 2n− 2 1 + x  x π  d) f( x )= cos , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x −  2 2  −  π π2 π n 1  2 ()x−() x −() x − ( 1−2 − 2 −− 2 +  )  2n− 1  2 1!2 2!2 (n − 1)!2  ∞ 2n− 1 π  n ()3n + π e) f( x )= sin3 x , theo chu ỗi lu ỹ th ừa c ủa x +  (∑()−1 ) 3  ()2n − 1 ! n=1 1 f) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 3) x2 −3 x + 2 1 g) f() x = theo lu ỹ th ừa c ủa (x − 2) x2 +3 x + 2 4.2. ng d ng c a chu i lu th a 1°°°/ Tính g n úng Ví d 3. Áp d ụng chu ỗi lu ỹ th ừa, tính g ần đúng a) sin18 ° v ới độ chính xác 10 −5 n−1 ∞ ()−1 • sin x= ∑ x 2n− 1 ()2n − 1 ! n=1 n−1 π∞ () −1 π 2n− 1 • sin18° = sin = ∑ 10() 2n − 1! 2n− 1 n=1 10 2n+ 1 π −5 • Rn < ≤ 10 ()2n + 1!10 2n+ 1 • n ≥ 3 1 2 b) ∫e−x dx v ới độ chính xác 10 −3 0 ∞ n ∞ 2n x 2 n x • ex = ∑ • e−x =∑ () − 1 n! n! n=0 n=0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 ∞2n+ 1 ∞ nx n 1 • I =−()1 =−() 1 ∑nn!21()+ ∑ nn !21() + n=00 n = 0 1 • R≤ ≤ 10−3 ⇒ n ≥ 4 n ()n+1!2() n + 3 c) Tính g ần đúng s ố e v ới độ chính xác 0,00001 (2,71828 ) 1 2 d) Tính g ần đúng ∫ e−x dx v ới độ chính xác 0,0001 (0,747 ) 0 ∞ dx e) v ới độ chính xác 10 −3 (0,118 ) ∫ 1+ x3 0 2°°°/ Tính gi i h n. x3 x 5 x 7 sin x−+ x − + Ví d 4. lim 3! 5! 7! x→0 x9 x3 x 5 x 7 x 9 • sin xx=− + − + + ox()9 3! 5! 7! 9! x9 + o() x 9 1 • A =lim 9! = x→0 x9 9! § 6 Chu i FOURIER • Chu ỗi l ượng giác, chu ỗi Fourier • Khai tri ển hàm s ố thành chu ỗi Fourier ••• t v n 1. Chu i l ưng giác, chu i Fourier a) Chu i l ưng giác nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác là chu ỗi hàm s ố có d ạng ∞ » a0 +∑( an cos nxb + n sin nxab ), nn , ∈ (1.1) n=1 Nh n xét. ∞ ∞ » 1°°°/ Nếu ∑an, ∑ b n h ội t ụ ⇒ chu ỗi (1.1) h ội t ụ tuy ệt đố i trên n=1 n = 1 ∞ ∞ 2°°°/ Tuy nhiên, ∑an, ∑ b n h ội t ụ không ph ải là điều ki ện c ần để chu ỗi (1.1) h ội t ụ. n=1 n = 1 b) Chu i Fourier
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn B . Với ∀p, k ∈ », ta có π π 1°/ ∫ sinkxdx = 0 2°/ ∫ coskx dx= 0, k ≠ 0 −π −π π π 0, k≠ p 3°/ coskx sin pxdx = 0 4°/ coskx cos px dx =  ∫ ∫ π,k = p ≠ 0 −π −π π 0, k≠ p 5°/ sinkx sin px dx =  ∫ π,k = p ≠ 0 −π • Gi ả s ử f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π và có ∞ a0 fx()= +∑ (cos an nxb + n sin) nx (1.2) 2 n=1 Sử dụng b ổ đề trên và tính toán ta có π π 1 1 a= fxdx( ) ; a= fx( )cos nxdxn , = 1,2, 0 π ∫ n π ∫ −π −π π 1 b= fx( )sin nxdxn , = 1,2, (1.3) n π ∫ −π ∞ a0 nh ngh a. Chu ỗi l ượng giác +∑(an cos nxb + n sin nx ) với các h ệ s ố a0 , an, b n xác 2 n=1 định trong (1.3) được g ọi là chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) . 2. iu ki n hàm s khai tri n ưc thành chu i Fourier nh ngha. Chu ỗi Fourier c ủa hàm f( x ) h ội t ụ v ề hàm f( x ) thì ta b ảo hàm f( x ) được khai tri ển thành chu ỗi Fourier. nh lí Dirichlet. Cho f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π, đơ n điệu t ừng khúc và b ị ch ặn trên [−π; π ] ⇒ chu ỗi Fourier c ủa nó h ội t ụ t ại m ọi điểm trên đoạn [−π; π ] và có Sx()= fx () , t ại điểm liên t ục c ủa f( x ) . fc(+ 0) + fc ( − 0) Còn t ại điểm gián đoạn x= c có S( c ) = . 2 Ví d 1. Khai tri ển thành chu ỗi Fourier hàm s ố f( x ) tu ần hoàn v ới chu kì 2π , xác định nh ư sau 1, 0 ≤x ≤ π a) f( x ) =  −1, −π≤x < 0 π 1 1 +) a= fxdx() =π−π=() 0 0 π∫ π −π
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn π 0 π 1 1 1 +) a= fx()cos nxdx =−()cosnxdx + cos nxdx = 0 n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 π 0 π 1 1 1 +) b= fx()sin nxdx =() −sinnxdx + sin nxdx n π ∫ π∫ π ∫ −π −π 0 nπ 2 2 n =()1 − cos n π =1 −() − 1  nπ nπ 4 1 1  +) fx() =sin x + sin3 x + sin5 x +  π 3 5  x, 0 ≤ x ≤ π π4∞ cos2()m + 1 x b) f( x ) =  (f() x = − ∑ ) −x, −π≤ x < 0 2 π 2  m=0 ()2m + 1 c) fxx( )=2 , −π< x <π π 1 2 π2 +) a= xdx2 = 0 π ∫ 3 −π π 1 +) b= x2 sin nxdx = 0 n π ∫ −π π 1 2 4()n 4 +) an = xcos nxdx =cosn π=− 1 π ∫ n2 n 2 −π π2 cosx cos2 x cos3 x cos4 x  f() x =−4 − + − + 3 1 4 9 16  1,−π≤x < 0 d) f( x ) =  0, 0 ≤x < π ∞ ∞ π2 cos() 2mx + 1n+1 sin nx (f() x =−+∑ +− ∑ ()1 ) 4 π 2 n m=0()2m + 1 n = 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 6 § 6 Chu i Fourier (TT) • Khai tri n hàm ch n, l • Khai tri n hàm tuàn hoàn chu kì b t kì 3. Khai tri n hàm ch n, l 3.1. Nu f( x ) là hàm s ch n ⇒ fx( )cos kx là hàm ch n, f( x )sin kx là hàm l π 2 ⇒ a= fx( )cos kxdx ; b =∀∈ 0, k » kπ ∫ k 0 π−x, 0 ≤ x ≤π Ví d 1. f( x ) =  tu n hoàn v i chu kì 2π , khai tri n hàm f( x ) thành π+x, −π≤ x < 0 chu i Fourier. +) f( − x) = fx( ) +) bk =0, ∀ k ∈ » π π 2  π 2() 2 () 2 x +) a0 =∫ fxdx = ∫ π − xdx =πx −  = π π π π 2  0 0 0 π π π 2 2 2π 2 sin kx  +) ak = fx() cos kxdx =()π − xcos kx dx =sin kx0 − xd   π ∫ π ∫ kπ ∫  k  0 0 0 π π  π 2x sin kx sin kx 2− cos kx 2 2 k = − − dx  = . =()1 − cos kπ =(1 −() − 1 ) ∫ 2 2 2 π k0 k  π k 0 π k π k 0  ∞ ∞ π 2 k π 4 +) f() x=+∑ ()1 −−() 1 cos kx = +∑ cos() 2n + 1 x 2 π k 2 2 2 k =1 n=0 π ()2n + 1 Ví d 2. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s cosin c a các hàm s sau π π ∞ cos() 2n− 1 x a) fx()=− 1 x ,0 ≤≤π x (1 − + ∑ ) 2 4 2 n=1 ()2n − 1 1 2∞  cos4()nx+ 1 cos4() nx + 3  c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( +∑  −  ) 2 41n 43 n  π n =1 + +  π 1, 0 ≤x ≤ ∞  2 π 2 cos 2 nx b) f( x ) =  ( − ∑ ) π 6 n2 0, <x ≤ π n=1  2 3.2. Nu hàm f( x ) là hàm s l ⇒ fx( )cos kx là hàm s l còn f( x )sin kx là hàm ch n π 2 ⇒ a==0; b fx ( )sin kxdxk , ∀∈ » k k π ∫ 0
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 3. Cho hàm s fxx( )= , −π≤ x ≤π , tu n hoàn v i chu kì 2π, khai tri n hàm f( x ) thành chu i Fourier +) Hàm f( x ) l ∗ +) ak =0, ∀ k ∈ » π π π 2 2 2− cos kx  +) bk = fx() sin kxdx = xsin kx dx = xd   π ∫ π ∫ π ∫ k  0 0 0 π π  π  2x cos kx cos kx 2π cosk π sin kx 2 k +1 = − + dx  = − +  =() − 1 ∫ 2 π k0 k  π k k 0  k 0  ∞ k +1 2 +) f()() x=∑ − 1 sin kx k k =1 Ví d 4. Khai tri n thành chu i Fourier theo các hàm s sin c a các hàm s sau ∞ sin nx a) fx()=π− x ,0 < x <π (2∑ ) n n=1 4∞ 1 nπ c) fxx( )= ( π− x ), 0 < x <π ( ∑ sin2 sin nx ) π n 4 n=1  π 1, 0 <x ≤ ∞  2 8 sin() 2n− 1 x b) f( x ) =  ( ∑ ) π π ()3 0, <x ≤ π n=1 2n − 1  2 3.3 Nu f( x ) tu n hoàn v i chu kì 2l , ơ n iu t ng khúc và b ch n trên on π l  [−l; l ]. i bi n x' = x ⇒ fx( )= f x '  ≡ Fx ( ') tu n hoàn v i chu kì 2π l π  a0 π π  S d ng khai tri n Fourier cho hàm này có fx( )= +∑ an cos nxb + n cos nx  , 2 l l  l l 1 1 πx ó a= fxdx( ) , a= fx( )cos ndx , ∀ n ∈ » ; 0 l ∫ n l∫ l −l −l l 1 πx b= fx( )sin n dx , ∀ n ∈ » n l∫ l −l Ví d 5. Khai tri n hàm tu n hoàn v i chu kì 2, fxx()=2 ,1 −≤≤ x 1 thành chu i Fourier +) f( x ) ch n +) bk =0, k = 1,2, 1 1 3 2 x 2 +) a0 =∫ xdx = = 3−1 3 −1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 1 2 2 +) an =∫ xcos nxdxπ = 2 ∫ x cos nxdx π −1 0 1 1 1  sin nπ x  x2 sin nπ x = 2∫ x2 d   =2 . sinnπ x − ∫ .2 xdx  n  n0 n  0 0  1 1 1  4 cosnxπ  4 cos nx π cos nx π =∫xd  = x. − ∫ dx  n nnn  0 n  0 0  1  4 cosnπ sin n π x n 4 = −  =−()1 2 2 nn n0  n ∞ 1n 4 +) fx() = +∑ () − 1 cos nxπ 3 n2 n=1 Ví d 6. Khai tri n thành chu i Fourier hàm s 0,− 3 ≤x ≤ 0  a) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 6  , 0<x ≤ 3 3 n 11∞  2() 21n−π x() − 1 nx π  ( −∑  cos + sin  ) 4 2 3n 3  π n =1 π ()2n − 1  0,− 2 ≤x ≤ 0  b) f( x ) =  x v i chu kì 2l = 4  , 0<x ≤ 2 2 n 11 2() 21n−π x() − 1 nx π  ( − cos + sin  ) ∑  2  4π  π ()2n − 1 2n 2  3.4. Nu f( x ) ơ n iu t ng khúc và b ch n trên [a; b ], mu n khai tri n f( x ) thành chu i Fourier, ta xây d ng hàm s g( x ) tu n hoàn v i chu kì ≥(b − a ) sao cho gx( )= fx ( ), ∀ x ∈ [ ab ; ]. Khai tri n hàm g( x ) thành chu i Fourier thì t ng c a chu i b ng f( x ) t i ∀x ∈ [ a; b ] (tr ra có ch ng là các im gián on c a f( x ) ). Vì hàm g( x ) không duy nh t nên có nhi u chu i Fourier bi u di n hàm s f( x ) , nói riêng n u hàm s g( x ) ch n thì chu i Fourier c a nó ch g m nh ng hàm s cosin, còn n u hàm s g( x ) l thi chu i Fourier ca nó ch g m nh ng hàm s sin. x Ví d 7. Khai tri n hàm s f() x= ,0 < x < 2 thành chu i Fourier theo các hàm s 2 cosin và thành chu i Fourier theo các hàm s sin. x a) +) Xét hàm g() x=, −≤≤ 2 x 2 , tu n hoàn chu kì 4 2 +) g( x) ≡ f( x), 0 < x < 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn +) Khai tri n Fourier hàm g( x ) có g( x ) ch n, do ó bk =0, k = 1, 2, 2 2 2 1 x2 a0 =∫ xdx = ∫ xdx == 2 2 2 0 −2 0 2 2 2 1 kxπ kx π 2 kπ x  ak = xcos dxx = cos dx = xd sin  2∫ 2 ∫ 2 ∫ kπ 2  −2 0 0 2 2 2 2 2kxπ 2 kx π 2  kπ x 4 k =xsin − sin dx =   cos =(() −1 − 1 ) ∫ 2 2 kπ20 k π 2 kπ  2 0 k π 0 ∞ 4 k kπ x +) g() x =+1∑ ()() −− 1 1cos k 2π 2 2 k =1 ∞ 8() 2n+ 1 π x =1 − ∑ cos ,x ≤ 2 2 2 2 n=0 ()2n + 1 π 8∞ 1() 21n+ π x +) f() x =−1∑ cos ,0 <<x 2 π 2 2 n=0 ()2n + 1 k +1 4∞ ()− 1 kπ x b) f() x=∑ sin , 0 < x < 2 π k 2 k =1 CH NG II. PH NG TRÌNH VI PHÂN §1. M U • t v n • Các quy lu t trong v tr u ưc vi t theo ngôn ng Toán h c • Môn i s gi i r t nhi u bài toán t nh • Tuy nhiên, h u h t các hi n t ưng t nhiên áng quan tâm l i liên quan t i s bi n i và th ưng ưc mô t b i các ph ươ ng trình có liên quan n s thay i v l ưng, ó là ph ươ ng trình vi phân. 1. Khái ni m c ơ b n ••• Ph ươ ng trình vi phân là ph ươ ng trình có d ng Fxyyy(,,,,,′ ′′ y (n ) )0= (1) trong ó x là bi n s c l p, y= y( x ) là hàm s ph i tìm, y′, y ′′ , , y (n ) là các o hàm c a nó. • Cp c a ph ươ ng trình vi phân. Là c p cao nh t c a o hàm c a y có m t trong ph ươ ng trình (1).
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính. Là ph ươ ng trình vi phân (1) khi F là b c nh t i vi yyy,′ , ′′ , , y (n ) . D ng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p n là (n ) ( n − 1) y+ axy1() ++ an− 1 () xyaxybx′ + n () = () trong ó ax1( ), , axn ( ) là nh ng hàm s cho tr ưc. • Nghi m c a ph ươ ng trình vi phân (1) là hàm s tho mãn (1) • Gi i ph ươ ng trình vi phân (1) là tìm t t c các nghi m c a nó. Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình vi phân sau a) y′ = cos x b) y′ = ln x c) y′ = x5 e x d) y′ = x4 sin x 2. Mt s ng d ng a) Sinh tr ưng t nhiên và thoái hoá dP • S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t dt dA b) Lãi lu ti n = rA , A là l ưng ô la trong qu ti t ki m t i th i im t, tính theo dt nm, r là t l lãi lu ti n tính theo n m. dN c) S phân rã phóng x = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x dt dA d) Gi i c = − λA, λ là h ng s gi i c c a thu c dt dx e) Ph ươ ng trình t ng tr ưng t nhiên = kx dt Ví d 2. Theo s li u t i www.census.gov vào gi a n m 1999 s dân toàn th gi i t ti 6 t ng ưi và ang t ng thêm kho ng 212 ngàn ng ưi m i ngày. Gi s là m c t ng dân s t nhiên ti p t c v i t l này, h i r ng: (a) T l t ng k hàng n m là bao nhiêu? (b) Vào gi a th k 21, dân s toàn th gi i s là bao nhiêu? (c) Hi sau bao lâu s dân toàn th gi i s t ng g p 10 l n–ngh a là t t i 60 t mà các nhà nhân kh u h c tin là m c t i a mà hành tinh c a chúng ta có th cung c p y l ươ ng th c? (a) Ta tính dân s theo t và th i gian theo n m. L y t = 0 ng v i gi a n m 1999 , nên P0 = 6 . S ki n P t ng lên 212 ngàn hay là 0,000212 t ng ưi trong m t ngày t i t = 0 có ngh a là P’ (0) = (0,000212)(365,25) ≈ 0,07743 t m t n m. T ph ươ ng trình t ng dân s t nhiên P’ = kP v i t = 0 , ta nh n ưc P '(0) 0,07743 k = ≈ ≈ 0, 0129, P(0) 6 Nh ư v y, s dân th gi i ang t ng theo t l kho ng 1,29% m t n m vào n m 1999 . Vi giá tr k này, ta có hàm cho s dân th gi i là P(t) = 6 e0,0129 t. (b) V i t = 51 ta có d báo P(51) = 6 e(0,0129)(51) ≈ 11,58 (t ) s là s dân c a th gi i vào gi a n m 2050 (nh ư th k t n m 1999 mi qua m t n a th k , dân s th gi i ã t ng g n g p ôi).
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ln10 (c) Dân s th gi i s t t i 60 t khi mà 60 = 6e 0,0129 t; ngh a là khi t = ≈ 178; 0, 0129 tc là n m 2177 . dT f) Quá trình ngu i i và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t dt ca môi tr ưng Ví d 3. Mt mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ưc cho vào m t cái lò 375 0 F vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ưi ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)? Gi i. Ta tính th i gian theo phút và coi lúc 5 gi chi u là t = 0. Ta c ng gi thi t (có v không th c t ) r ng t i m i lúc, nhi t T(t) c a c mi ng th t là u nh ư nhau. Ta có T(t) < A = 375, T(0) = 50 và T(75) = 125 . Vì th dT dT =k(375 − T ) ; = kdt ; −ln(375 −=+T ) kt C ; 375−T = Be −kt . dt ∫375 − t ∫ Vì T(0) = 50 nên B = 325 , v y T = 375(1 − e−kt ). Ta l i th y T = 125 khi t = 75 . Thay các 1 250 giá tr ó vào ph ươ ng trình trên s ưc k = −ln( ) ≈ 0,0035. 75 325 Sau cùng, ta gi i ph ươ ng trình 150 = 375 – 325e (–0,0035) t, i v i t = –[ln(225/325)]/(0,0035) ≈ 105 (phút) là t t c th i gian n ưng th t theo yêu cu t ra. B i vì mi ng th t ưc t vào lò lúc 5 gi chi u, ta s l y nó ra kh i lò vào kho ng 6 gi 45 phút. dy g) Quy lu t Torricelli Ay() = − agy2 , ó, v là th tích n ưc trong thùng, A(y) là dt di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c nưc thoát ra kh i l h ng Ví d 4. Mt cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng bát là 4ft ưc ch a y n ưc vào th i im t = 0. Vào th i im này, ng ưi ta m m t l tròn ưng kính 1in áy bát. H i sau bao lâu s không còn nưc trong bát? Gi i. Ta nh n th y trong hình, da vào tam giác 2 2 2 vuông có A(y) = πr = π[16–(4–y) ] = π(8y – y ), vi g = 32ft/s 2, ph ươ ng trình trên có Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu dy 1 π(8y – y 2) = − π( )2 2.32 y ; dt 24 1 16 2 1 (8y1/2− y 3/2 ) dy = − dt ; y3/2− y 5/2 =− tC + . ∫ ∫ 72 3 5 72 16 2 448 Do y(0) = 4 , ta có C =⋅43/2 − 4 5/2 = . 3 5 15 448 Bình ht n ưc khi y = 0 , ngh a là khi t=72 ⋅ ≈ 2150 (); s tc là kho ng 35 phút 50 15 giây. Có th coi là sau gn 36 phút, bát s không còn nưc.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 5. Mt a bay r ơi xu ng b m t M t tr ng v i vn t c 450 m/s. Tên l a hãm c a nó, khi cháy, s t o ra gia t c 2,5 m/s 2 (gia t c tr ng tr ưng trên m t tr ng ưc coi là bao gm trong gia t c ã cho). V i cao nào so v i b m t M t tr ng thì tên l a c n ưc kích ho t m b o "s ti p t nh nhàng", t c là v = 0 khi ch m t? a bay trong Ví d 5 • Ph ươ ng trình: v(t) = 2,5t − 450 . • áp s : x0 = 40,5 km. Do ó tên l a hãm nên ưc kích hot khi a bay cao 40,5 km so v i b m t M t tr ng, và nó s ti p t nh nhàng sau 3 phút gi m t c. Ví d 6. Bài toán ng ưi b ơi Bài toán v ng ưi b ơi dy v 2 Ph ươ ng trình vi phân cho qu o c a ng ưi b ơi qua sông là =0 1 − x ( 2 ) dx v s a 3. Các mô hình toán Quá trình mô hình toán. Ví d 1. Su t bi n i theo th i gian c a dân s P(t) trong nhi u tr ưng h p ơn gi n v i t dP l sinh, t không i th ưng t l v i s dân. Ngh a là: = kP (1) dt vi k là h ng s t l . Quy lu t thoát n ưc c a Torricelli . Ph ươ ng trình (1) mô t quá trình thoát n ưc kh i b ch a.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 2. Quy lu t c a Torricelli nói r ng su t bin i theo th i gian c a kh i l ưng nưc V trong m t b ch a t l v i c n b c hai c a sâu y c a n ưc trong b : dV = − k y , vi k là m t h ng s . dt Nu b ch a là m t hình tr tròn xoay v i di n tích áy là A, thì V = Ay , và dV /dt = dy A.( dy /dt ). Khi ó ph ươ ng trình có d ng: = − h y , trong ó h = k/A là m t h ng s . dt Ví d 3. Quy lu t gi m nhi t c a Newton có th phát bi u nh ư sau: Su t bi n i i v i th i gian c a nhi t T(t) ca m t v t th t l v i hi u s gi a T và nhi t A ca môi dT tr ưng xung quanh. Ngh a là = −k( T − A ). (2) dt trong ó, k là m t h ng s d ươ ng. Nh n th y r ng n u T > A, thì dT/dt 0, và T s tng lên. Quy lu t gi m nhi t c a Newton, Ph ươ ng trình (2) mô t m t hòn á nóng b ngu i i trong n ưc Vy, m t quy lu t v t lý ã ưc di n gi i thành m t ph ươ ng trình vi phân. N u ta ã bi t các giá tr c a k và A, thì ta có th tìm ưc m t công th c t ưng minh cho T(t), ri da vào công th c ó, ta có th d oán nhi t sau ó c a v t th § 2. Ph ươ ng trình vi phân c p m t • i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 • Ph ươ ng trình vi phân khuy t ••• t v n 1. i c ươ ng v ph ươ ng trình vi phân c p 1 Dng t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân c p 1 là F(,, x y y ′ )= 0 (1) ho c y′ = fxy( , ) (2) nh lí v s t n t i và duy nh t nghi m • f( x , y ) liên t c trên mi n D ⊂ »2 • (x0 ; y 0 ) ∈ D ⇒ trong lân c n Uε( x 0 ) nào ó c a x0 , t n t i ít nh t m t nghi m y= y( x ) c a ph ươ ng trình ∂f (2) tho mãn y( x ) = y . N u ngoài ra (x , y ) liên t c trên D thì nghi m trên là duy nh t 0 0 ∂y Chú ý - Vic vi phm iu kin ca nh lí có th s phá v tính duy nht
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dy • = 2 y dx 1 • fy () x, y = gián on t i (0 ; 0) y 2 • Có hai nghi m tho mãn: y1 = x ; y 2 = 0. - Vi ph m gi thi t nh lí có th làm bài toán vô nghi m dy • x= 2 y , y(0) = 1 dx dy d x • Nghi m: = 2 ⇒ ln|y| = 2ln|x| + ln| C| ⇒ y = Cx2 y x • y(0) = 1 , không có C nào ⇒ vô nghi m. - Có hay không ph ươ ng trình vi phân không tho mãn gi thi t và có duy nh t nghi m? - Bài toán Cauchy y′ = fxy(, ), yx (0 ) = y 0 - Nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân (2) là hàm s y= ϕ ( x , C ) : • ϕ(x , C ) tho (2) v i m i C • ∀(;),xy ∈∃=ϕ DCC :(,) xC = y 00 0 0x= x 0 0 Khi ó ϕ(x , C 0 ) ưc g i là nghi m riêng - Nghi m kì d là nghi m không n m trong h nghi m t ng quát - Tích phân t ng quát là nghi m t ng quát d ưi d ng n φ(,x y , C ) = 0 - Khi cho tích phân t ng quát m t giá tr c th ta có tích phân riêng φ(,,x y C 0 ) = 0 2. Ph ươ ng trình vi phân khuy t a) F(, x y ′ )= 0 +) y′ = f( x ) ⇒ y= ∫ fxdx( ) +) x= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ x= f( t ) ; y= ∫ tf′( tdt ) Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình sau x= y′2 − y ′ + 2 +) y′ = t +) x= t2 − t + 2 2 t 2 +) dy= tdx ⇒ y= tt()2 − 1 dt = t3 −+ C ∫ 3 2 2 t 2 +) Nghi m xtt=−+22, yt = 3 −+ C 3 2 b) F(, y y ′ )= 0 dy 1 +) y′ = f( y ) ⇒ dx = ⇒ x= dy f( y ) ∫ f( y ) f′( t ) +) y= f( y ′ ) , t y′ = t ⇒ y= f( t ) , x= dt ∫ t
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn f′( t ) +) F(, y y ′ )= 0 , t y= f( t ) ⇒ y′ = g( t ) ⇒ x= dt ∫ g( t ) Ví d 2. Gi i ph ươ ng trình y2+ y ′ 2 = 4 +) y= 2 sin t ⇒ dy= 2 cos tdt = 2 cos t dx +) N u cost ≠ 0 ⇒ dt= dx ⇒ t= x + c ⇒ y=2 sin ( x + c ) là nghi m t ng quát π +) N u cost = 0 ⇒ t=()2 x + 1 ⇒ y = ± 1 (Nghi m kì d ) 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 7 §2. Ph ươ ng trình vi phân cấp m ột (TT) 3. Ph ươ ng trình vi phân phân li bi ến s ố a) Định ngh ĩa. f(y) dy = g(x) dx b) Cách gi ải. ∫fydy() = ∫ gxd() x Fy() = ∫ gxd() x dy Ví d ụ 1. 1°/ 2x= 1 − y 2 dx dy dx dy dx +) = , |y| 0 +) ∫= ∫ 1 − y 2 2 x 1 − y 2 2 x +) sin −1y = x+ C +) y=sin ( x + C ) +) y = ± 1 là nghi m 2°/ y' = 1 + x + y + xy dy +) y' = (1 + x)(1 + y) +) =()1 +x() 1 + y dx dy x2 +) =()1 + x dx , y ≠ −1, ln 1 +y =+ x + C 1 + y 2 +) y = −1 là nghi m kì d 3°/ ( xy2+ xdx) +−( y xydy 2 ) = 0 (1+y2 = C( 1 − x 2 ) ) 4°/ tanx sin2 ydx+ cos 2 x cot ydy = 0 ( cot2y= tan 2 x + C ) Cx 5°/ y− xy′ − a(1 + x2 y ) = 0 ( y= a + ) 1 + ax 6°/ x++ xy y′ ( y + xy ) = 0 ( xy+=ln( Cx ( + 1)) ( y + 1) ) 7°/ y′ =( x + y ) 2 (arctan ( x+ y) = x + C ) 8°/ (2x− ydx ) +−+ (4 x 2 y 3) dy = 0 (5x+ 10 yC += 3ln10( xy −+ 5 6 )) 9°/ y′ =4 x + 2 y − 1 ( 4xy+−− 2 12ln( 4 xy −++=+ 2 12 ) xC ) c) M ột s ố ứng d ụng 1°°°/ Sinh tr ưởng t ự nhiên và thoái hoá dP • S t ng dân s : =()β − δ x , β là t l sinh, δ là t l ch t dt dA 2°°°/ Lãi lu ỹ ti ến = rA dt A là l ưng ô la trong qu ti t ki m t i th i im t, tính theo n m r là t l lãi lu ti n tính theo n m. dN 3°°°/ Sự phân rã phóng x ạ = − kN , k ph thu c vào t ng lo i ng v phóng x dt
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dA 4°°°/ Gi ải độ c = − λA , λ là h ng s gi i c c a thu c dt dx 5°°°/ Ph ươ ng trình t ăng tr ưởng t ự nhiên = kx dt dT 6°°°/ Quá trình ngu ội đi và nóng lên =k() A − T , k là h ng s d ươ ng, A là nhi t dt ca môi tr ưng Ví d ụ 2. Mt mi ng th t 4-lb có nhi t ban u là 50 0 F, ưc cho vào m t cái lò 375 0 F vào lúc 5 gi chi u. Sau 75 phút ng ưi ta th y nhi t mi ng th t là 125 0 F. H i t i khi nào mi ng th t t nhi t 150 0 F (v a chín t i)? dT • =k(375 − T ) , T(0)= 50 , T(75)= 125 dt dT • = kdt ⇒ 375 −T = Be −kt ∫375 − T ∫ • Thay T(0) = 50, T(75) = 125 ⇒ B = 325, k ≈ 0,0035 • t ≈ 105 phút t c vào lúc kho ng 6h45’ . dy 7°°°/ Quy lu ật Torricelli Ay() = − agy2 , ó v là th tích n ưc trong thùng, A(y) là dt di n tích ti t di n th ng n m ngang c a bình cao y so v i áy, 2gy là t c nưc thoát ra kh i l h ng Ví d ụ 3. Mt cái bát d ng bán c u có bán kính mi ng bát là 4ft ưc ch a y n ưc vào th i im t = 0. Vào th i im này, ng ưi ta m m t l tròn ưng kính 1 inch áy bát. Hi sau bao lâu s không còn n ưc trong bát? 2 2 • A(y) = πr = π(8 y − y ), 2 dy 1  • π(8 y − y2) = −π   2.32 y ; dt 24  163 2 5 1 ••• y2− y 2 =− tC + . 3 5 72 448 • y(0) = 4 ⇒ C = . 15 Tháo n ước t ừ m ột bát bán c ầu • t≈ 2150 ( s ); tc là kho ng 35 phút 50 giây. xy+ xy − 9 x Ví d ụ 4. y′ +sin = sin , y (π ) = π (C =2, ln tan = 2 − 2 sin ) 2 2 4 2 4. Ph ươ ng trình thu ần nh ất (đẳng c ấp) a) Đặt v ấn đề • Nhi u ng d ng d n n các ph ươ ng trình vi phân không phân li • Ch ng h n, mt máy bay xu t phát t im (a ; 0) t úng phía ông c a n ơi nó n, là m t sân bay t t i g c t a (0 ; 0) . Máy bay di chuy n v i v n t c không i v0 liên quan n gió, mà th i theo úng h ưng Nam v i v n t c không i w. Nh ư ã th hin trong Hình v, ta gi thit rng phi công luôn gi hưng bay v phía gc ta .
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Máy bay h ng v g c ưng bay y = f(x) ca máy bay th a mãn ph ươ ng trình vi phân dy 1 2 2 =(vy0 − wx + y ) dx v0 x dy y  b) Định ngh ĩa. = F   (1) dx x  c) Cách gi ải y dy dv • t v = ⇒ =v + x x dx dx dv • Bi n i (1) thành ph ương trình phân ly: x= Fv( ) − v . dx Ví d ụ 1 dy4 x2+ 3 y 2 1°/ Gi i ph ươ ng trình: = dx2 xy dy x  3  y  y 1 x dy dv • =2  +   • v = ⇒ = , y = vx ⇒ =v + x dx y  2  x  x v y dx dx dv 2 3 dv2 v v 2 + 4 • v+ x = + v • x = + = ; dx v 2 dxv2 2 v 2v 1 • dv= dx ⇒ ln(v2 + 4) = ln x + ln. C ∫v 2 + 4 ∫ x y 2 • v2 +4 = C x ⇒ +4 = C x ⇒ y2+4 x 2 = kx 3 . x2 2°/ Gi i: xy 2y' = x3 + y3 x2 y +) y = 0 không là nghi m +) y ≠ 0; y′ = + y 2 x y 1 +) u = ⇒ y = xu ⇒ y' = u + xu' +) u+ xu′ = u + x u2 3 3 3 +) u = 3 ln |x| + C ⇒ y = x (3 ln |x| + C) 3°/ (x + 2 y)dx − x dy = 0 (x + y = C x2) x 4°/ (x − y)y dx = x2 dy ( x= Ce y ) 5°/ 2xy3′ = y( 2 x 2 − y 2 ) ( x= ± yln Cx )
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x+ y 6°/ xy′ − y =( x + y )ln ( y= − xln ln Cx ) x x − 7°/ (3 y2 + 3 xy + x2)dx = ( x2 + 2 xy )dy ((x+ y ) 2 = Cx 3 e x+ y ) 1− 3x − 3 y 8°/ y′ = ((3xy++ 2ln xy +−= 10 ) 1 +x + y 9°/ (2xy−+ 4) dx +−+ ( x 2 y 5) dy = 0 ((xy+− 1)3 = Cxy ( −+ 3) ) 2 10 °/ y′ = y 2 − (1−=xy Cx3 (2 + xy ), xy =− 2 ) x2 y Ví d ụ 2. 1°/ xy′ − y = y(ln y − ln x ) , y(1) = e ( x = ln ) x x y 2°/ (x2− y 2 ) dy = 2 xydx ( y=0, x ′ = − , ng c p) 2y 2 x 3°/ ydx2=( xy − x 2 ) dy (ey/ x = Cyy, = 0, x = 0 ) −1 4°/ (x− yydx ) = xdy2 ( yx=()ln Cx , y = 0, x = 0 ) 5°/ xy′ −= y x2 + y 2 , y (1) = 0 ( y+ x2 += y 2 CxC 2 , = 1 ) 5. Ph ươ ng trình tuy ến tính a) Đặt v ấn đề • Ph ươ ng trình i s tuy n tính c p m t ax = b luôn gi i ưc • Li u có th xây d ng ưc cách gi i i v i ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p m t hay không? dy b) Định ngh ĩa. + p(x) y = q(x) ho c x′ + pyx() = qy () (1) dx c) Ph ươ ng pháp gi ải p( x ) dx ••• Tính th a s tích phân ρ(x )= e ∫ , • Nhân hai v c a ph ươ ng trình vi phân v i ρ(x) , • ư a v trái c a ph ươ ng trình ưc xét v d ng o hàm c a m t tích: Dx (ρ()() xyx) = ρ ()(). xqx • Tích phân ph ươ ng trình này ρ()()xyx=∫ ρ ()() xqxdx + C , ri gi i theo y nh n ưc nghi m t ng quát c a ph ươ ng trình vi phân. dy 11 Ví d ụ 1. 1°/ Gi i bài toán giá tr ban u −=y e−x / 3 , y (0) =− 1. dx 8 11 (− 1) dx • Có p(x) = –1 và q(x) = e−x / 3 , th a s tích phân là ρ(x )= e∫ = e −x . 8 dy 11 • Nhân c hai v c a ph ươ ng trình ã cho v i e–x ưc e−x− ey − x = e − 4 x / 3 dx 8
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d 11 • (e−x y ) = e − 4 x / 3 dx 8 11 33 • ey−x= e −4/3 x dx =− e − 4/3 x + C , ∫ 8 32 33 • yx( )= Cex − e − x / 3 . 32 • Thay x = 0 và y = –1 vào ta có C = 1/32 , nghi m riêng c n tìm là 1 33 1 yx()=− ex e− x/3 = (33). e x − e − x /3 32 32 32 2°/ Gi i ph ươ ng trình y' + 3 y = 2 x.e −3x 3dx +) p = 3, q = 2 x.e−3x +) ρ = e∫ = e3x d +) e3x ( y' + 3 y) = 2 x +) (y. e3x ) = 2 x dx +) y.e 3x = x2 + C ⇒ y = ( x2 + C)e−3x dy 3°/ Gi i: (x+ y. e y ) = 1 dx dx − dy +) −x = y. e y +) ρ =e∫ = e −y dy d +) e−y(x' − x) = y +) ()xe−y = y dx 1 1  +) xe−y = y2 + C ⇒ x= y2 + Ce  y 2 2  4°/ yx′(2+ 1) = 4 xy + 2 ( y=(2 x + 1)( C + ln 2 x ++ 1 1 ) 5°/ y= xy(′ − x cos) x ( y= xC( + sin x ) ) 6°/ (x+ y2 ) dy = ydx ( x= y2 + Cy ) 1 7°/ ydx2 −(2 xy + 3) dy = 0 ( x= Cy 2 − ) y 8°/ (1+ydx2 ) =+( 1 y 2 sin y − xydy) ( x1+ y2 + cos yC = ) 9°/ (2x+ ydy ) = ydx + 4 ln ydy ( x=2 ln yy −++ 1 Cy 2 ) ĐỊNH LÝ 1. Ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp m ột Nu hàm p(x) và q(x) liên t c trên m t kho ng m I ch a im x0, thì bài toán giá tr ban u dy + p(x)y = q(x), y(x0) = y0 (2) dx có nghi m duy nh t y(x) trên I, cho b i công th c −∫pxdx() ∫ pxdx ()  yxe()= (() qxe ) dxC +  (3) ∫  vi m t giá tr C thích h p.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chú ý: • nh lý 1 cho ta bi t m i nghi m c a ph ươ ng trình (1) u n m trong nghi m t ng quát cho b i (3). Nh ư v y ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c p m t không có các nghi m kì d . • Giá tr thích h p c a h ng s C–cn gi i bài toán giá tr ban u v i ph ươ ng trình (2) – có th ch n “m t cách t ng” b ng cách vi t x t  − ∫ptdt()x ∫ pudu ()  yxe()=x0 y + e x 0 .() qtdt  0 ∫  x0  Các c n x0 và x nêu trên t vào các tích phân b t nh trong (3) m b o tr ưc cho ρ(x 0) = 1 và vì th y(x 0) = y 0. Ví d ụ 2. Gi s h Erie có th tích 480 km 3 và v n t c c a dòng ch y vào (t h Huron) và c a dòng ch y ra (vào h Ontario) u là 350 km 3/n m. Gi s t i th i im t = 0 (n m), n ng ô nhi m c a h Erie – mà nguyên nhân là ô nhi m công nghi p và nay ã ưc gi m b t – b ng 5 l n so v i h Huron. N u dòng ch y ra ã ưc hoà tan hoàn toàn v i n ưc h , thì sau bao lâu n ng ô nhi m c a h Erie s g p 2 l n h Huron? dx r • Phươ ng trình vi phân c p 1: =rc − x dt V dx • Ta vi t l i nó theo d ng tuy n tính c p 1: +px = q dt vi h s h ng p= r/ V , q= rc và nhân t tích phân ρ = ept . • x() t= cV + 4 cVe −rt/ V . • xác nh khi nào x(t)=2cV , ta c n gi i ph ươ ng trình: V 480 cV+4 cVe−rt/ V = 2 cV ; t =ln4 = ln4 ≈ 1,901 (n m). r 350 Ví d ụ 3. M t bình dung tích 120 gallon (gal) lúc u ch a 90 lb (pao-kho ng 450g) mu i hoà tan trong 90 gal n ưc. N ưc m n có n ng mu i 2 lb/gal ch y vào bình v i v n tc 4 gal/phút và dung d ch ã ưc tr n u s ch y ra kh i bình v i v n t c 3 gal/phút. H i có bao nhiêu mu i trong bình khi bình y? dx 3 • Ph ươ ng trình vi phân : +x = 8 dt90 + t • Bình s y sau 30 phút, và khi t = 30 ta có l ưng mu i trong bình là : 90 4 x(30)= 2(90 +− 30) ≈ 202 (lb). 120 3 Ví d ụ 4. 1 a) 1°/ (2xy+ 3) dy − ydx2 = 0,(0) y = 1 ( x= y 2 − ) y y 2 2°/ 2ydx+− ( y2 6 xdy ) = 0, y (1) = 1 ( x=(1 + y ) ) 2 b) 1°/ ydx−( x + y2 sin y ) dy = 0 ( x=( C − cos y ) y , y = 0 )
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2°/ (1+ydx2 ) − (arctan y −= xdy ) 0 ( x=arctan y − 1 + Ce − arctan y ) y π  c) 1°/ y′ − = xcos xy ,   = π ( y= x + xsin x ) x 2  ex 2°/ yy′ − =, y (1) = e ( y=(1 + ln x ) e x ) x ex y ex + C 3°/ y′ = − ( y = ) x+1 x + 1 x + 1 y x 4°/ y′ =1 + ( y=( x + ln xC + ) ) x( x + 1) x + 1 y 2 d) 1°/ 2ydx−− (6 x y2 ) dy = 0, y (1) = 1 ( x=(1 + y ) ) 2 1  2°/ (y+ 2) dx +−+ ( y x 2) dy = 0, y (1) = 1 ( x=−ln y + 2(  y + 2) ) 3  ex − e + 1 e) 1°/ xy′ +−= y ex 0, y (1) = 1 ( y = ) x y x 2°/ xy′ − −= x0, y (1) = 0 ( y=() x −1 + ln x ) x + 1 x + 1 6. Ph ươ ng trình Bernoulli dy a) Định ngh ĩa. +pxy() = qxy () α , α ≠ 0, α ≠ 1 ho c x′ + pyx() = qyx (),α α ≠ 0 (2) dx b) Cách gi ải • Vi y ≠ 0 , t v= y 1−α ••• Bi n i ph ươ ng trình (2) thành ph ươ ng trình tuy n tính: dv +−(1α )pxv ( ) =− (1 α ) qx ( ). dx dy3 2 x Ví d ụ 1. 1°/ −y = dx2 x y • Là ph ươ ng trình Bernoulli v i p(x) = −3/(2 x), q(x) = 2 x, α = −1 và 1 − α = 2 3 ⇒ yy′ − y2 = 2 x 2x dv 3 • t: v= y 2 ta thu ưc ph ươ ng trình tuy n tính: −v = 4 x dx x (− 3/x ) dx +) Nhân t tích phân ρ =e∫ = x −3. −3 4 −3 4 −3 2 4 +) Dx ( x v ) = ⇒ x v= − + C ⇒ x y= − + C x2 x x • y2= −4 x 2 + Cx 3 . 2°/ y′ +2 y = ye2 x ( y( ex+ Ce2 x ) = 1; y = 0 ) 3°/ xy2y′ = x2 + y3 (y3 = Cx 3 − 3 x2)
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ yy′ =4 cos xy + tan x ( y−3= Ccos 3 x − 3sin x cos 2 xy ; = 0 ) 5°/ (x+ 1)( yy′ +2 ) =− y ( yx(+ 1)(ln x ++= 1 C ) 1, y = 0 ) 6°/ 3xdy= 4(1 + x sin x − 3 y3 sin xdx ) ( y3(3+ ce cos x ) === xx , 0, y 0 ) 1 Ví d ụ 2 1°/ y′ +2 xy = 2 x3 y 3 ( y−2=( Ce 2x2 ++= 2 x 2 1), y 0 ) 2 y 2°/ y′ + + y 2 = 0 ( y−1 =+(1 x )(ln1 ++ xCy ), = 0 ) x + 1 3°/ xy2 y′ = x 3cos x + y 3 ( y=3 xx( sin x + cos xC + ) −1 4°/ (x+ 1)( yy′ +2 ) =− y ( yyx=0, =+() 1() ln x ++ 1 C  ) 7. Ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần a) Định ngh ĩa. Ph ươ ng trình P(x, y)d x + Q(x, y)d y = 0 (1) ưc g i là ph ươ ng trình vi phân toàn ph n n u các hàm P(x, y) và Q(x, y) liên t c cùng vi các o hàm riêng c p m t trên mi n ơn liên D và có ∂P ∂ Q = (2) ∂y ∂ x Ví d ụ 1. 1°/ Gii ph ươ ng trình vi phân (6 xy – y3)dx + (4 y + 3 x2 – 3 xy 2)dy = 0 • P(x, y ) = (6 xy – y3) ; Q(x, y ) = (4 y + 3 x2 – 3 xy 2) ∂P ∂Q • = 6 x – 3 y2 = ⇒ Ph ươ ng trình vi phân toàn ph n ∂y ∂x ∂F • = P() x, y ⇒ F(x, y) = (6xy− y3 ) dx = 3 x2y – xy 3 + g(y). ∂x ∫ ∂F ∂F • = Q() x, y ⇒ = 3 x2 – 3 xy 2 + g' (y) = 4 y + 3 x2 – 3 xy 2, ∂y ∂y 2 • g' (y) = 4y ⇒ g(y) = 2y + C1, 2 3 2 • F(x, y) = 3 x y – xy + 2 y + C1. • Tích phân tng quát 3x2y – xy 3 + 2 y2 = C 2°/ (2 x + 3 y)d x + (3 x + 2 y)d y = 0 ⇒ 2 +) P = 2 x + 3 y; Q = 3 x + 2 y Qx = Py = 3 +) F=∫ ()2 x + 3 ydx = x + 3 xy + g(y) 2 +) Fy(y) = 3 x + 2 y ⇒ 3 x + g' (y) = 3 x + 2 y ⇒ g(y) = y +) x2 + 3 xy + y2 = C y2  2 y 3°/ 4−  dx + dy = 0 ((4x2+ y 2 ) = Cx ) x2  x 4°/ e−y dx+(1 − xe − y ) dy = 0 ( y+ xe−y = C ) y 5°/ dx+( y3 + ln xdy ) = 0 ( 4y ln x+ y4 = C ) x 2x y2− 3 x 2 6°/ dx+ dy = 0 ( x2− y 2 = Cy 2 ) y3 y 4
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn xdy− ydx y 7°/ xdx+ ydy = ( x2+ y 2 −2 arctan = C ) x2+ y 2 x 8°/ 2cosx2 ydx+ (2 y − x 2 sin2) ydy = 0 ( x2cos 2 yy+ 2 = C ) x  ( x2 + 1)cos y 9°/ +2  dx + dy = 0 ( x2 +1 = 2( Cxy − 2 ) sin ) siny  cos 2 y − 1 b) Th ừa s ố tích phân Ph ươ ng trình vi phân Px(,) ydx+ Qx (,) ydy = 0 v i Qx′≠ P y ′ có th ưa v ph ươ ng trình vi phân toàn ph n khi tìm ưc µ(x ) ≠ 0 (ho c µ(y ) ≠ 0 ) sao cho ph ươ ng trình ∂ ∂ µPdx+ µ Qdy = 0 có ()µQ= () µ P . Khi ó hàm µ(x ) ( µ ( y )) ưc g i là th a s ∂x ∂ y tích phân, và ưc tính nh ư sau. Q′− P ′ • N u x y = ϕ(x ) ⇒ µ(x ) = e −∫ ϕ(x ) dx Q Q′− P ′ • N u x y = ψ (y ) ⇒ µ(y ) = e ∫ψ (y ) dy P Ví d ụ 2. 1 °/ (x+ y2 )2 dx − xydy = 0 (1) 2 Qx′− P y ′ −4y 2 −∫ dx 1 +) = = +) µ(x ) = e x = ϕ −2xy x x2 +) x = 0 là nghi m x+ y2 2 y +) x ≠ 0: (1) ⇔ dx− dy = 0 là ph ươ ng trình vi phân toàn ph n x2 x x y 1− 2 t y 2 +) dt+ dt = C +) ln x− = C là tích phân t ng quát ∫t ∫ x x 1 0 1 y 2°/ (x2 − ydx ) + xdy = 0 ( µ =,x += C , x = 0 ) x2 x 1 3°/ 2tanx ydx+ ( x2 − 2sin) ydy = 0 ( µ =cosyx ,2 sin y + cos2 yC = ) 2 4°/ (e2x − y 2 ) dx + ydy = 0 ( µ =e−2x, y 2 = ( C − 2) xe 2 x ) 1 x 5°/ (1+ 3x2 sin ydx ) − x cot ydy = 0 ( µ =, x3 + = C ) siny sin y Ví d ụ 3. a) 1°/ ex(22+− x ydx2 ) − 2 eydy x = 0 (2xex− ey x 2 = C ) 1 2°/ (2xy+ xy23 )( dx ++ x 2 xy 32 )0 dy = ( xy2+ xy 3 3 = C ) 3 3°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( x )[ ( y+ cos y ) dx +− (1 sin y ) dy ] = 0 x x (hKeey=1 , ( + cos y ) = C )
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( y )[ (1− sin x ) dx + (cos x + x ) dy ] = 0 y y (hKeex=1 , ( + cos x ) = C ) b) 1°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i hx()([ y+ ln) xdx − xdy ] = 0 C1 1 y (h=, − ln x −−= C ) x2 x xx 2°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i hy( )[ y (1+ xydx ) − xdy ] = 0 C x x 2 (h=, + = C ) y2 y 2 2x y2− 3 x 2 x2 1 c) 1°/ dx+ dy = 0 ( − = C ) y3 y 4 y3 y y y 4 2°/ dx+( y3 + ln xdy ) = 0 ( +yln x = C ) x 4 y  y 4 3°/ sinx+  dx ++ ( y3 ln xdy ) = 0 ( −cosx ++ yxC ln = ) x  4 y2   y  y 2 4°/ sinx−  dx + cos y + 2  dy = 0 ( −cosx + sin y += C ) x2  x  x d) 1°/ Tìm h( y ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( y )[ (1− sin x ) dx + (cos x + x ) dy ] = 0 (hCeex=y, y ( + cos x ) = C ) 2°/ Tìm h( x ) ph ươ ng trình sau là toàn ph n và gi i h( x )[ ( y+ cos y ) dx +− (1 sin y ) dy ] = 0 (hCeey=x, x ( + cos y ) = C HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 8 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai ••• Đặt v ấn đề . Bài tr c ã h c xong ph ơ ng trình vi phân c p m t và có ng d ng thú v sau: • Ph ơ ng trình logistic c a ra (vào kho ng n m 1840 ) b i nhà toán h c và nhân chng h c ng i B P.F. Verhulst và nó tr thành m t mô hình cho s t ng tr ng dân s . • Trong ví d sau ây chúng ta so sánh mô hình t ng tr ng t nhiên và mô hình logistic cho d li u iu tra dân s M vào th k 19, sau ó a ra d án so sánh cho th k 20. Ví d ụ. Dân s n c M n m 1850 là 23.192 tri u. N u l y P0 = 5,308 . • Th các d li u t = 50, P = 23,192 (v i th i im 1850 ) và t = 100, P = 76212 (v i th i im 1900 ) vào ph ơ ng trình logistic dP =kP() M − P (1) dt (5,308) M ta có h hai ph ơ ng trình = 23,192 ; 5,308+ (M − 5,308) e −50 kM (5.308) M = 76,212 . 5,308+ (M − 5,308) e −100 kM • Gi i h này ta có M=188,121, k = 0,000167716 . 998,546 • Th vào (1) ta có P( t ) = (2) 5,308+ (182,813) e−(0,031551) t Dân s th c Mô hình dân s Sai s Mô hình Nm Sai s logistic ca n c M dng m dng m logistic 1800 5.308 5.308 0.000 5.308 0.000 1810 7.240 6.929 0.311 7.202 0.038 1820 9.638 9.044 0.594 9.735 -0.097 1830 12.861 11.805 1.056 13.095 -0.234 1840 17.064 15.409 1.655 17.501 -0.437 1850 23.192 20.113 3.079 23.192 0.000 1860 31.443 26.253 5.190 30.405 1.038 1870 38.558 34.268 4.290 39.326 -0.768 1880 50.189 44.730 5.459 50.034 0.155 1890 62.980 58.387 4.593 62.435 0.545 1900 76.212 76.212 0.000 76.213 -0.001 1910 92.228 99.479 -7.251 90.834 1.394 1920 106.022 129.849 -23.827 105.612 0.410 1930 123.203 169.492 -46.289 119.834 3.369 1940 132.165 221.237 -89.072 132.886 -0.721 1950 151.326 288.780 -137.454 144.354 6.972 1960 179.323 376.943 -197.620 154.052 25.271 1970 203.302 492.023 -288.721 161.990 41.312 1980 226.542 642.236 -415.694 168.316 58.226 1990 248.710 838.308 -589.598 173.252 76.458 2000 281.422 1094.240 -812.818 177.038 104.384 Hình 1.7.4. So sánh k t qu c a mô hình d ng m và mô hình logistic vi dân s thc ca nc M (tính theo triu)
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Nh ng d oán theo mô hình d ng m P( t )= (5,308) e (0,026643) t và theo mô hình d ng logistic (2) i chi u v i k t qu th ng kê dân s th c c a M , ta th y − C 2 mô hình u cho k t qu t t trong giai on th k 19 − Mô hình d ng m cho s li u phân k ngay t th p niên u tiên c a th k 20, trong khi mô hình logistic có k t qu t ơ ng i t t cho t i t n nh ng n m 1940. − n cu i th k 20 mô hình d ng m cho k t qu v t quá xa dân s th c c a M , còn mô hình logistic l i cho s li u d oán th p h ơn s li u th c. ••• Sai s ố trung bình o m c cho phép c a mô hình h p lí v i d li u th c t : là cn b c hai c a trung bình các bình ph ơ ng c a các sai s thành ph n. • T b ng 1.7.4 trên c: mô hình d ng m có sai s trung bình là 3.162 , còn mô hình logistic có sai s trung bình là 0.452 . Do ó mô hình logistic d oán t c t ng tr ng dân s n c M su t th k 20 t t h ơn mô hình d ng m . 1. Đại c ươ ng ••• Định ngh ĩa. Fx(,, y y′ , y ′′ )= 0 (1) hoc y′′= fxyy(, , ′ ) (2) Ví d ụ. a) yy′′+ y ′ 2 + xy = 0 b) y′=3 xy + y ′′ + 1 ••• Định lí v ề s ự t ồn t ại và duy nh ất nghi ệm ∂f ∂f 3 Nu f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) , f(, x y , y ′ ) liên t c trên D ⊂ » , (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D thì ∂y ∂y′ (2) có nghi m duy nh t trong Uε ( x 0 ) tho mãn yx()0= y 0 , yx′ () 0 = y 0′ ••• V ề m ặt hình h ọc: nh lí trên kh ng nh n u (,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D ⇒ trong Uε ( x0 , y 0 ) có ng tích phân duy nh t c a ph ơ ng trình (2) i qua (x0 , y 0 ) và h s góc c a ti p tuy n c a nó t i im này b ng y0′ . Định ngh ĩa. Hàm y= ϕ(( xCC ,1 , 2 ) là nghi m t ng quát c a (2) ⇔ +) ϕ(,x C1 , C 2 ) tho mãn (2) v i ∀C1, C 2 0 0 0 0 +) ∀(,xyy0 0 , 0′ ) ∈ D nêu trong nh lí tìm c c1, c 2 : y= ϕ(, xcc1 , 2 ) tho mãn 0 0 0 0 ϕ(,xcc , ) = y 0 , ϕ′(,xcc , ) = y 0 ′ 1 2 x= x 0 1 2 x= x 0 0 0 Hàm ϕ(,x c1 , c 2 ) c g i là nghi m riêng Định ngh ĩa. H thc φ(,,x y c1 , c 2 )= 0 xác nh nghi m t ng quát c a (2) d i d ng 0 0 n c g i là tích phân t ng quát. H th c φ(,,xyc1 , c 2 ) c g i là tích phân riêng ••• M ột s ố ứng d ụng • Là mô hình toán h c c a nh ng h c ơ h c và m ch in. dx2 dx • Ph ơng trình mô t dao ng t do c a ch t im m+ c + kx = 0, ó ch t dt 2 dt im có kh i l ng m, các h ng s d ơ ng k, c .
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Ph ơ ng trình mô t dao ng c ng b c c a ch t im b i tác ng c a ngo i l c F( t ) dx2 dx m+ c + kx = F( t ). dt 2 dt 2. Ph ươ ng trình khuy ết a) F(, x y ′′ )= 0 Cách gi ải. t y′ = p ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(, x p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) . Gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) 2 Ví d ụ 1. 1°/ x=() y′′ + y ′′ + 1 2 • p= y ′ ⇒ x=() p′ + p ′ + 1 2 2 2 3 t • t p′ = t ⇒ x= t + t + 1 và dp= tdx = t(2 t + 1) ⇒ p= t + + c 1 3 2 2  2 3 t • T y′ = p ⇒ y= pdx = t ++ c1  (2 t + 1) dt ∫ ∫ 3 4  45 5 4 1 3 2 =t + t + t +++ ct1 ctc 1 2 15 12 6 • Tích phân t ng quát c a ph ơ ng trình ã cho là 2 45 5 4 1 3 2 x= t + t + 1, y= t + t + tctctc +++1 1 2 15 12 6 1 2°/ y′′ = ( y= x(ln xC +1 ) + C 2 ) x x3 3°/ y′′ = x + sin x ( y= −sin xCxC +1 + 2 ) 6 x2 3  4°/ y′′ = ln x ( y=ln x −++  CxC1 2 ) 2 2  2 x− 1 x 2 5°/ y′′ = arctan x ( y=arctan x −+++ ln(1 xCxC ) 1 2 ) 2 2 b) F(, xy′ , y ′′ )= 0 Cách gi ải. t p= y ′ ⇒ ph ơ ng trình vi phân c p m t F(,, x p p ′ )= 0 ⇒ p= ϕ( x , c ) , gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) Ví d ụ 2. 1°/ (1−−=xyxy2 )′′ ′ 2, y (0) = 0, y ′ (0) = 0 x 2 • p= y ′ ⇒ (1−x2 ) p′ − xp = 2 ⇒ p′ − p =, x ≠± 1 là ph ơ ng trình vi 1−x2 1 − x 2 phân tuy n tính c p 1, có nghi m t ng quát −x − x − x −dx − dx dx ∫2 ∫ 22 ∫ 2 pce=1 1−x + e 1 − x e 1 − x dx ∫ 1 − x2 1 1 1 −−−−ln 1x2 ln 1 x 22 ln 1 − x 2 c 1 2 =ce2 + e 2 e 2 dx =1 + dx 1 ∫ 2 ∫ 1 − x 1−x2 1 − x 2 1 − x 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn c 2 =1 + arcsin x 1−x2 1 − x 2 c1 2 2 y′ = + arcsin x ⇒ y=()arcsin xc +1 arcsin xc + 2 1−x2 1 − x 2 • y(0)= 0 ⇒ c2 = 0 y′(0)= 0 ⇒ c1 = 0 • Nghi m c n tìm : y= (arcsin x ) 2 2 x x 2°/ y′′= y ′ + x ( y= Ce1 + C 2 −− x ) 2 y′ 1 3 2 3°/ y′′ = + x ( y= x + Cx1 + C 2 ) x 3 x ′ +1 y 2 C 4°/ xy′′= y ′ ln ( y=( CxCe1 − ) 1 + C 2 ) x 1 2 2 2 5°/ (1+x ) y′′ + y ′ += 1 0 ( y=+(1 C1 ) ln xC +−+1 CxC 1 2 ) 2 2 2 2 6°/ x y′′= y ′ (CxCy1−=1 ln Cx 1 ++ 1 C 2 ;2 y =+ x CyC ; = ) 2 2 2 3 7°/ 2xyy′ ′′= y ′ − 1 (9CyC1 (−= 1 ) 4( Cx1 + 1) ; yCx =± ) 2 3 2 x2 x 8°/ y′′+ y ′ = xy ′′ ( yC=1 −+ CxCy 2 ; =+ C ) 21 12 3 3 212 5 5 42 p 9°/ y′′+ xy ′′ = 2 y ′ ( xCp=+23 py ; = p + CpC 1 + += CyC 2 ; ) 5 41 6 2 3 2 10 °/ 2(yy′ ′′+ 2) = xy ′′ (3();;Cy1=− xC 1 + CyCyC 2 = =− 2 x ) Ví d ụ 3 2  y′ 4 1 a). 1 °/ y′′+= xyy2 () ′,()() 1 = 2, y ′ 1 = 1 ( y=5 − (1 − 3ln x ) 3  ) x 2 2°/ (x++ 1) yxy′′ () ′2 = yy ′ ,(0) = 1, y ′ (0) = 2 ( y=++ln(1 x2 ) 2arctan x + 1 ) 1 x4 x 33 x 2 1 b). y′′− yxx ′ =−( 1), y()() 2 = 1, y ′ 2 =− 1 ( y= − − ++3 x ) x − 1 862 3 x3 x 4 7 c). 2xy′′−+= 6 yx ′2 0, y( 1) = 0, y ′ ( 1) = 1 ( y = + − ) 6 8 24 2 2 3 d). 1+()y′ = 2 xy ′ y ′′ ( y=( Cx1 − 1) + C 2 ) 3C1 c) Fy(, y′ , y ′′ )= 0 dp dp dp  Cách gi i. t p= y ′ ⇒ = p ⇒ F y, p , p  = 0 là ph ơ ng trình vi phân c p dx dy dy  mt, gi i ra có p= ϕ( x , c ) , gi i ph ơ ng trình vi phân c p m t y′ = ϕ( x , c ) ta c nghi m c n tìm.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 4. 1°/ 2yy′′= y ′ 2 + 1 dp dp • p= y ′ ⇒ y′′ = p , thay vào có 2yp= p 2 + 1 dy dy 2p dy • dp=, y ≠ 0 1 + p2 y 2 2 ⇔ lny= ln(1 + p ) + ln c 1 hay y= c1(1 + p ) dy x • T p= y ′ ⇒ dx= =2 cdpp1 , ≠ 0 ⇒ p= + c 2 p 2c1 2  2 x  (x+ 2 c1 c 2 ) • Nghi m t ng quát y= c11 + + c 2   =c1 + 2c2   4c1 b  2 • t 2cc1 2= − ac , 2 1 = b ⇒ 2by−  = ( xa − ) là parabol ph thu c 2 tham s và 2  có ng chu n là tr c Ox . 2 3 2 2°/ y′+2 yy ′′ = 0 ( y= CxC1( + 2 ) , y = C ) 2 3°/ yy′′+1 = y ′ (Cy1= ±sin( CxC 1 + 2 ) ) y− C 1 4°/ y′′= 2 yy ′ ( yC=112tan( CxC + );ln =+−== 2 CyCyx 12 ;()1; yC ) y+ C 1 2 3 5°/ yy′′= y ′ − y ′ ( yC+1ln y =+ xCy 2 , = C ) 2 2 6°/ 2yy′′= y + y ′ ( yC=1(1 ± ch( xC + 2 )) ) 2 −y y 3 7°/ y′′+ y ′ = 2 e (e+ C1 =( xC + 2 ) 2 2 3 8°/ y′=(3 y − 2 yy ′ ) ′′ ( x=3 Cp1 + ln Cpy 2 ; = 2 Cp 1 += py ; C ) 2 y− C 2 9°/ y′(1+ y ′ ) = ay ′′ ( x− C1 = a ln sin ) a C x 10 °/ yy′′= y ′(1 + y ′ ) (Cy1−=1 Ce 2 1 ; y =− Cxy ,0 = ) 2 2 2 11 °/ yy′′+ y ′ = 1 ( y= x + Cx1 + C 2 ) Ví d ụ 5. (Bài toán v n t c v tr c p 2). Xác nh v n t c nh nh t phóng m t v t th ng ng vào v tr sao cho v t không tr l i trái t, gi thi t s c c n không khí không áng k . • Kh i l ng trái t là M , v t phóng là m, kho ng cách gi a tâm trái t và tâm v t Mm phóng là r , theo nh lu t h p d n c a Newton, l c hút tác d ng lên v t là f= k , k r 2 là h ng s h p d n. d2 r Mm • Ph ơ ng trình chuy n ng c a v t là m=− k, r (0) = Rr ,′ (0) = v 0 , ó R dt2 r 2 là bán kính trái t, v0 là vn tc lúc phóng.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dv dv M kM v 2 1 • t v= r ′ ⇒ r′′ = v ⇒ v= − k ⇒ vdv= − dr ⇒ =kM + c 1 dr dr r 2 r 2 2 r 2 2 2  v0 kM v Mv0 kM • T v(0)= 0 có v( R ) = v 0 ⇒ c1 = − ⇒ =+ −  ≥ 0 2 R2 2r 2 R  3 2kM −11 m 5 Cho r → ∞ ⇒ v0 ≥ ≈ 11,2 km/s (do k = 6, 68.10 , R = 63.10 m. R kg. s 2 • V n t c v tr c p hai là 11,2 km/s Ví d ụ 6 1 a). yy′′−= y ′2 y 4 , y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y = ) 1 − x x2 + 1 b) . 1. 2yyy′′−= ′2 1, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = ) 2 2. yy′′+= y ′2 1, y( 0) = 1, y ′ ( 0) = 1 ( y= x + 1) x2 + 1 c). 2yyy′′−−= ′2 1 0, y( 1) = 1, y ′ ( 1) = 1 ( y = ) 2 2 2 2 d). 1+()y′ = 2 yy ′′ (CxC1 (+2 ) = 4( Cy 1 − 1) ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 9 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai (TT) ••• Đặt v ấn đề . Mô hình toán h ọc c ủa h ệ c ơ h ọc và m ạch điện d ẫn đế n ph ươ ng trình vi dx2 dx 1 phân c ấp hai m+ c + kx = 0 ; LI′′+ RI ′ + I = Et ′ ( ) dt2 dt C k là h ệ s ố co dãn c ủa lò xo; c là h ệ s ố gi ảm xóc; m là kh ối l ượng v ật th ể 3. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp hai a) Định ngh ĩa. y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx () (1) b) Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính thu ần nh ất y′′+ pxy() ′ + qxy () = 0 (2) Định lí 1. y1, y 2 là các nghi ệm c ủa (2) ⇒ cy11+ cy 22 c ũng là nghi ệm c ủa (2), ∀c1, c 2 ∈ » y2( x ) ••• Định ngh ĩa. Các hàm y1(), x y 2 () x là độc l ập tuy ến tính trên [a; b ] ⇔ ≠ h ằng y1( x ) số trên [a; b ]. Trong tr ường h ợp ng ược l ại ta nói các hàm này ph ụ thu ộc tuy ến tính. Ví d ụ 1. a) ex, e 2 x b) x2 +2 x + 1, x + 1 c) tanx , 2tan x Định ngh ĩa. Cho các hàm y1(), x y 2 () x , khi đó định th ức Wronsky c ủa các hàm này là y1 y 2 W( y1 , y 2 ) = y1′ y 2′ Định lí 2. Các hàm y1, y 2 ph ụ thu ộc tuy ến tính trên [a; b ] ⇒ W(, y1 y 2 )= 0 trên đoạn đó Chú ý. N ếu W(, y1 y 2 )≠ 0 t ại x0 nào đó thu ộc [a; b ] ⇒ độc l ập tuy ến tính Định lí 3. Cho y1, y 2 là các nghi ệm c ủa (2), W(, y1 y 2 )≠ 0 t ại x0 ∈ [ a; b ], các hàm px( ), qx ( ) liên t ục trên [a; b ] ⇒ Wyy(1 , 2 )≠ 0, ∀ x ∈ [ ab ; ] Định lí 4. Các nghi ệm y1, y 2 c ủa (2) độ c l ập tuy ến tính trên [a; b ] ⇒ Wyy(1 , 2 )≠ 0, ∀ x ∈ [ ab ; ] Định lí 5. Cho y1, y 2 là các nghi ệm độ c l ập tuy ến tính ⇒ nghi ệm t ổng quát c ủa (2) là y= cy11 + cy 22 . Ví d ụ 2. y′′ + y = 0 Định lí 6. Bi ết nghi ệm riêng y1 ≠ 0 c ủa (2) ⇒ tìm được nghi ệm riêng y2 c ủa (2) độ c l ập tuy ến tính v ới y1 và có d ạng y2() x= yxux 1 ()() Hệ qu ả. Với gi ả thi ết c ủa đị nh lí 6, nghi ệm y2 tìm được theo công th ức sau 1 y= y e−∫ p( x ) dx dx (Liouville). 2 1 ∫ 2 y1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 3. a) y′′− y ′ = 0 −∫ ( − 1) dx x x +) D ễ th ấy y1 = 1 là nghi ệm +) y2 =∫ e dxe = +) y= C1 + Ce 2 b) xy2 ′′− xy ′ − y = 0 1 1−∫ dx 1 1 +) y1 = x là nghi ệm +) y2 = x ex dxx = dx = ∫x2 ∫ x 3 −2 x C2 +) y= C1 x + x −2x c) (2x+ 1) y′′ + 4 xy ′ − 4 y = 0 ( y= Cx1 + Ce 2 ) x2 x d) xy′′−(2 x + 1) y ′ ++ ( x 1) y = 0 ( y= Ce1 + Cxe 2 ) 2 e) y′′ −2(1 + tan x ) y = 0 ( yC=1tan xC + 2 (1 + x tan) x ) c) Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính không thu ần nh ất y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx () (1) Định lí 1. Nghi ệm t ổng quát c ủa (1) có d ạng y= y + Y , ở đó y là nghi ệm t ổng quát của (2), Y là nghi ệm riêng c ủa (1). Định lí 2. (Nguyên lí ch ồng nghi ệm) Nếu y1 là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx1 (). y2 là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx2 (). Thì có y= y1 + y 2 là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình y′′+ pxy() ′ + qxy () =+ fx1 () fx 2 (). Ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố Lagrange • Bi ết nghi ệm t ổng quát c ủa (2) là y= cy11 + cy 22 cy11′+ cy 22′ = 0 • Gi ải h ệ sau  có c1=φ 1( x ) + k 1 , c2=φ 2( x ) + k 2 cy11′′+ cy 22′′ = fx( ) • Nghi ệm t ổng quát c ủa (1) là yy=11(()φ xk ++ 1 ) y 22 (() φ xk + 2 ) 2 − x Ví d ụ 4. a 1) y′′− y ′ = e x x3 ∫ dx x x +) y1 = 1 là nghi ệm +) y2 =∫ e dx = e +) y= C1 + Ce 2  x x x  2 − x x e2 e C1′+ C 2′ e = 0 C1′ = − e C1 = dx − dx   x3  ∫x2 ∫ x 3 +) Gi ải h ệ  ⇔  ⇔  x2 − x x C1′.0 + Ce 2′ = e  2 − x  1 1  x3 C2′ = C2= − + K 2  x3  x x 2 x x ex 1  e Ta có C1 = dxed +  =+ K 1 ∫x2 ∫  x 2  x 2 x  x e x 1 1  x e +) Nghi ệm t ổng quát y=1.  ++ Ke1  −+=+ KKKe 212  + x2  xx 2  x
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2) x2 y′′+ xy ′ − y = x 2 C2 +) Theo ví d ụ 3 có y= C1 x + x  1  1  1  x C1′ x+ C 2′ = 0 C1′+ C 2′ = 0 C1′ = C1= + K 1  x  x2  2  2 +) Gi ải h ệ  ⇔  ⇔  ⇔   1   1  x2  x3 C1′.1+ C 2′  −  = 1 C1′− C 2′ = 1 C2′ = − C2= − + K 2  x2   x2  2  6 3 2 x  1  x  K2 x +) Nghi ệm t ổng quát yxK= +1  +−+ K 2  =K1 x + + 2  x  6  x 3 2 3 3 b 1) x y′′− xy ′ = 3 x ( y1 = x ) 2 2 2 x C 2 2) xy′′+ xy ′ − y = x ( y= + C1 x + ) 3 x 3 2 1 x− x c) xy(′′ − y ) = x − 2 ( y=− + Ce1 + Ce 2 ) x 2 1 d. 1) xx(+ 1) y′′ = 2 y , bi ết nghi ệm riêng y1 =1 + x 1 1x + 1 2  ( yC=11 ++  Cx 2 +−− 1 ln( x + 1) ) x x x  2 2) yxy′′tan+ ′ (tan x −+ 2) 2cot yx = 0 , bi ết nghi ệm riêng y1 = sin x 2 ( yC=1sin xC + 2 sin x ) z 3) xy2′′+4 xy ′ + ( x 2 + 2) ye = x bằng cách đổi hàm s ố y = x2 C C e x ( y=1cos x + 2 sin x + ) x2 x 22 x 2 u e. 1) xy′′+2 y ′ + xy = x bằng cách đổi hàm s ố y = x 1 ( y=( C1 cos xC + 2 sin xx + ) ) x 2 sin x sinx− sin x 2) yy′′+ ′ tan xy − cos x = 0 , bi ết nghi ệm riêng y1 = e ( y= Ce1 + Ce 2 ) 1 −x −2 xxx −− 2 x 3) y′′+3 y ′ + 2 y = ( yCe=+1 Ce 2 ++( e e ) ln(1 + e ) ) ex + 1 y′ y f. 1) y′′ − + = 0 bi ết nghi ệm riêng y1 = x ( y= Cx1 + Cx 2 ln x ) x x 2 2xy′ 2 y 2 2) y′′ − + = 0 bi ết nghi ệm riêng y1 = x ( y= Cx1 + Cx 2 ( − 1) x2+1 x 2 + 1
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn y g. 1) xy22′′−(6 x + 2) xy ′ + (9 x 2 ++= 6 x 2) y 4 xe 33 x bằng cách đặ t u = x 3x 2 3 ( y= e( CxCx1 + 2 + 2 x ) 2) xy′′+−2(1 xy ) ′ +− ( x 2) ye = −x bằng cách đặ t u= yx x e x1 − x ( yC=1 + Ce 2 + e ) x4 x xcos x 1+ sin x h. 1) yy′′ + =cos x + tan x ( yK=1cos xK + 2 sin x + sin x − ln ) 2 2 1− sin x xsin x 1+ cos x 2) yy′′ + =sin x + cot x ( yK=1cos xK + 2 sin x − cos x − ln ) 2 2 1− cos x HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 10 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai (TT) 4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp hai có h ệ s ố không đổ i y′′++= py ′ qy fx( ), pq , ∈ » (1) a) Ph ươ ng trình thu ần nh ất y′′+ py ′ + qy = 0 (2) Cách gi ải. • Gi ải ph ươ ng trình đặc tr ưng k2 + pk + q = 0 (3) kx kx • (3) có hai nghi ệm th ực k1≠ k 2 ⇒ (2) có nghi ệm t ổng quát y= ce11 + ce 2 2 k x • (3) có nghi ệm kép k1 ⇒ (2) có nghi ệm t ổng quát y= e1 ( cx1 + c 2 ) • (3) có 2 nghi ệm ph ức k1,2 =γ ± i β ⇒ (2) có nghi ệm t ổng quát γ x yec=(1 cosβ xc + 2 sin β x ) Ví d ụ 1. a) y′′−3 y ′ + 2 y = 0 b) y′′+4 y ′ + 4 y = 0 c) y′′+ y ′ + y = 0 d) y′′−4 y ′ + 5 y = 0 e) 4y′′+ 4 y ′ + y = 0 f) y′′+4 y ′ + 3 y = 0 2 Gi ải a) • k−3 k + 2 = 0 ⇔ k1=1, k 2 = 2 x2 x • Nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 2 2 −2x b) +) k+4 k + 4 = 0 ⇔ (k + 2) = 0 ⇔ k1= k 2 = − 2 +) y= e( Cx1 + C 2 ) x − 2 3 3 c) +) k+ k +1 = 0 ⇔ k1,2 = −1 ± i 3 +) yeC=2 (cos1 xC + 2 sin x ) 2 2 b) Ph ươ ng trình không thu ần nh ất y′′+ py ′ + qy = fx( ) (1) α x 1°°°/ Khi fx( )= e Pxn ( ), α ∈ » α x • N ếu α không là nghi ệm c ủa (3) ⇒ nghi ệm riêng c ủa (1) có d ạng Y= e Qxn( ) , Qn( x ) là đa th ức b ậc n c ủa x . α x • Nếu α là nghi ệm đơ n c ủa (3) ⇒ nghi ệm riêng c ủa (1) có d ạng Y= xe Qn ( x ) . 2 α x • N ếu α là nghi ệm kép c ủa (3) ⇒ nghi ệm riêng c ủa (1) có d ạng Y= xe Qxn ( ) . Ví d ụ 2. a) y′′+3 y ′ − 4 yx = 2 x−4 x Giải • k+3 k − 4 = 0 ⇔ k1=1, k 2 = − 4 • y= ce1 + ce 2 1 3 • α = 0 ⇒ Y= Ax + B , thay vào ta có −4Ax + 34 A − B =∀ x , x ⇔ A=−; B =− 4 16 x 3 ⇒ Y = − − 4 16 x−4 x x 3 • Nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 −− 4 16
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 3 x x xx x b) y′′−2 y ′ + y = 2 xe ( y= Ce1 + Cxe 2 + e ) 3 c) y′′ − y = e x 2 x− x Gi ải • k −1 = 0 ⇔ k = ± 1 • y= Ce1 + Ce 2 • α = 1 là nghi ệm đơn ⇒ Y= xex A , do đó A( xex+ 2 e x ) − Axe xx = e 1 1 ⇒ A = ⇒ Y= xe x 2 2 x− xx x • Nghi ệm t ổng quát y= Ce1 + Ce 2 + e 2 −x − 4 x xxx−4x − 4  x 1  − x d) y′′+3 y ′ − 4 yxe = + e ( yCeCe=+1 2 − e −+  e ) 5 636  x 2 x− x x 2 e) y′′ − y =2 e − x ( y= Ce1 + Ce 2 +++ xe x 2) 3x 3x− x 1 1 2 3 x f) y′′−2 y ′ − 3 yx = (1 + e ) ( yCe=1 + Ce 2 +−+(23) x (2 xxe − ) ) 9 16 2°°°/ Khi fx()= Pxm ()cosβ xPx + n ()sin β x • N ếu ±i β không là nghi ệm c ủa (3) thì nghi ệm riêng c ủa (1) có d ạng YQx=l()cosβ xRx + l ()sin β xl , = max(, mn ) • N ếu ±i β là nghi ệm c ủa (3) ⇒ nghi ệm riêng c ủa (1) có d ạng YxQx=[ l()cosβ xRx + l ()sin β x ] Ví d ụ 3. a) y′′ + y = xsin x 2 Gi ải • k +1 = 0 ⇔ k= ± i • yc=1cos xc + 2 sin x • ±i β là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặc tr ưng ⇒ nghi ệm riêng có d ạng Y= xAxB[( + )cos x ++ ( CxD )sin x ] • Tính Y′, Y ′′ thay vào có [4Cx++ 2( AD )] cos x +−+−[ 4 Ax 2( CB )] sin xxxx = sin , ∀  1 A = − 4C = 0 4   A+ D = 0 B = 0 x ⇔  ⇔  ⇒ Y=()sin xxx − cos −4A = 1 C = 0 4 C− B = 0  1 D =  4 x • Nghi ệm t ổng quát ycxcx=1cos + 2 sin +() sin x − cos x 4 1 b) y′′ + y = cos x ( yC=1cos xC + 2 sin x + xx sin ) 2 x2 x c) y′′−3 y ′ + 2 yx = cos x ( yCeCe=++−1 2 (0,1 x 0,12) cos x −− (0,3 x 0,34) sin x ) d) y′′ +9 y = cos 2 x
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 Gi ải • k +9 = 0 ⇔ k= ± 3 i • yC=1cos 3 xC + 2 sin 3 x • yA=cos 2 xB + sin 2 x • y′′ = −4 A cos2 xB − 4 sin2 x 1 1 • 5A cos2 xBx+ 5 sin2 = cos2 x ⇔ A = và B = 0 ⇒ y= cos 2 x 5 5 1 • Nghi ệm t ổng quát yC=1cos 3 xC + 2 sin 3 x + cos 2 x 5 e) y′′−2 yy ′ += sin x + sh x 2 x1x−3 x x 1  2 x ( yCxCe=+(1 2 ) + cos x + e +− x  e ) 2 4 1025  2x f) yyye′′−4 ′ − 8 = + sin 2 x 2x 2 x ( yeCxCx=(1 cos2 + 2 sin2 ) ++ 0,25 e 0,1cos2 x + 0,5sin2 x ) g) yy′′ +=4 2sin2 x − 3cos2 x + 1 x 1 ( yCxCx=1cos2 + 2 sin2 − (3sin2 x + 2cos2) x + ) 4 4 h) yy′′ + = 2 x cos x cos2 x x x2 x 3 ( yCxCx=1cos + 2 sin ++ cos x sin x − cos3 x + sin3 x ) 4 4 8 32 −x i) xy′′+2(1 − xy ) ′ +− ( x 2) ye = , b ằng cách đặ t z= xy xC2 x1 − x ( yCe=1 + e + e ) x4 x 1 k) y′′ + y = ( yC=1cos xC + 2 sin xxx − cos + sin x lnsin x ) sin x x e x x l) y′′−2 y ′ + y = ( y=( C1 + Cxe 2 ) + xe ln x ) x x π  m) y′′ + y = tan x ( yC=++1cos xC 2 sin x cos x lncot  +  ) 2 4  x− xxx − x n) y′′ − y = tanh x ( yCeCe=1 + 2 ++( ee ) arctan e ) o) xy2′′−2 xy ′ += 2 y 3, xx 2 > 0 , b ằng cách đặ t x= e t 23 2 2 ( yxCCx=(1 + 2 ln) + x ln x ) 2 α x α x Chú ý. 1°/ Khi fx()= ePx[ m ()cosβ xPx + n ()sin β x ], đặt y= e z để đưa v ề 2 °/ 2°/ f( x ) b ất kì dùng ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố Lagrange Ví d ụ 4. x x x e a) 1) y′′ + y = xe + cos x ( yCxCx=1cos + 2 sin + sin x +− ( x 1) ) 2 2 −x x 1 −x 2) y′′ + y =sin xex + ( yC=1cos xC + 2 sin x − cos xex + ( + 1) ) 2 2 1 3) y′′ + y = ( yxK=−+(1 ) cos x + (ln sin xK + 2 ) sin x ) sin x
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 4) y′′ + y = ( yK=+(1 lncos x )cos xKxx ++ ( 2 )sin ) cos x 1 −−xxx2 −− x 2 x b) y′′+3 y ′ + 2 y = ( ye=+( e ) ln( e ++ 1) Ce1 + Ce 2 ) ex + 1 3x 2 3 x x 2 c) 1) y′′−6 y ′ + 9 y = 3 xe − 8 ( y=+( C1 Cx 2 − 4 xe ) ++ ) 3 9 −x 2  −x e −x x 2) y′′+2 y ′ += ye + ( y= e C1 +−+ Cxxx 2 ln x +  ) x 2  x 3) y′′ + y = cot x ( yC=1cos xC + 2 sin x + sin x ln tan ) 2 x π  4) y′′ + y = tan x ( yC=+−1cos xC 2 sin x cos x ln cot  +  ) 2 4  x d) 1) y′′−3 y ′ += 2 ye 32x + 2cos e x 2 x2 x 2 x8 x x x ( yCe=+++1 Ce 2 3 xe e (sin + 2 cos ) ) 3 2 2 2) yyye′′−+=3 ′ 2x (3 − 4) x + 5sin2 x x2 x x 1 ( yCeCe=+1 2 +++(2 xxe 1) (3cos2 x − sin2) x ) 4 e−x 3) y′′+2 y ′ += y 4 xe x + x −−x x xxx −− ( yCe=1 + Cxe 2 +−−( x 1) e xe + xe ln x ) 4) y′′+2 y ′ += y 3 xex − cot 2 x 3 x x ( yCxCxex=1cos + 2 sin + ( −+ 1) 2cos x lntan ) 4 2 3 3 3 x x 4 4  5 x e) 1) 5y′′− 6 y ′ + 5 ye = 5 cos x ( yeC=5 1cos xC + 2 sin x  − e5 cos x ) 5 5  9 3 3 3 x x 4 4  5 x 2) 5y′′− 6 y ′ + 5 ye = 5 sin x ( yeC=5 1cos xC + 2 sin x  − e5 sin x ) 5 5  9 1 x f) 1) yy′′ + = 2 cos x cos 2 x ( yCxCx=1cos + 2 sin − cos3 x + sin x ) 8 2 x 1 2) yy′′ +9 = 2 sin 2 xx cos ( yC=1cos 3 xC + 2 sin 3 x − cos 3 x + sin x ) 6 8 xcos x 1+ sin x 3) yy′′ + =cos x + tan x (yK=1cos xK + 2 sin x + sin x − ln ) 2 2 1− sin x xsin x 1+ cos x 4) yy′′ + =sin x + cot x (yK=1cos xK + 2 sin x − cos x − ln ) 2 2 1− cos x HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 11 §3. Ph ươ ng trình vi phân cấp hai (TT) 4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp hai có h ệ s ố không đổ i c) Ph ươ ng trình Euler xy2 ′′+ axy ′ += by0, ab , ∈ » Cách gi ải. • Đặt x= e t ⇒ t= ln x dy dy dt1 dy dy • y′ = =. = ⇒ xy ′ = dx dt dx xdt dt d d1 dy  1dy 1 d dy  dt • y′′= y ′ = .  = − + .  . dx dx x dt  x2 dt x dt dt  dx 1dy 1 dy2 1 d2 y dy  d2 y dy = − + = −  ⇒ x2 y ′′ = − x2 dt x 2 dt 2 x2 dt 2 dt  dt2 dt dy2 dy dy dy2 dy • Thay vào có − +a + by = 0 ⇔ +−(a 1) + by = 0 là ph ươ ng trình dt2 dt dt dt2 dt vi phân tuy ến tính c ấp hai có h ệ s ố không đổ i Ví d ụ 1. Gi ải ph ươ ng trình vi phân a) x2 y′′+2 xy ′ − 6 y = 0 (1) b) x2 y′′−9 xy ′ + 21 y = 0 c) xy2 ′′+ xy ′ + y = x y′ y 2 d) xy2′′−2 xy ′ ++− 2 yx 20 x 3 = e) y′′ − + = x x2 x Gi ải a) • x= e t ⇒ t= ln x 1 dy 1 d2 y dy  dy d2 y dy • y′ = . , y′′ = −  ⇒ xy ′ = , x2 y ′′ = − x dt x2 dt 2 dt  dt dt2 dt dy2 dy dy d2 y dy • Thay vào ta có − +2 − 6y = 0 ⇔ + −6y = 0 (2) dt2 dt dt dt2 dt • Ph ươ ng trình đặc tr ưng r2 + r −6 = 0 ⇔ r=2, r = − 3 2t− 3 t • (2) có nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 2 lnx− 3 ln x 2 c2 • (1) có nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 =c1 x + x3 Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình vi phân xy2′′−2 xy ′ += 2 y 3, xx 2 > 0 b ằng cách đặ t x= e t 23 2 2 ( yCCxx=(1 + 2 ln ) + x ln x ) 2
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §4. Hệ phươ ng trình vi phân ••• Đặt v ấn đề − Các quy lu ật c ủa t ự nhiên không di ễn ra đơn l ẻ mà g ồm nhi ều quá trình đan xen nhau − H ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính gi ải quy ết nhi ều bài toán nêu trên, ch ẳng h ạn nh ư : 1°°°/ Ví d ụ 1. Xét h ệ hai kh ối l ượng và hai lò xo nh ư trong Hình 1, với m ột l ực tác độ ng t ừ bên ngoài f( t ) bên ph ải kh ối l ượng m2 . Ta kí hi ệu x( t ) là hàm v ị trí (sang ph ải) c ủa kh ối l ượng m1 t ừ tr ạng thái cân b ằng (khi h ệ b ất độ ng và cân b ằng v ới f( t )= 0 ) và y( t ) là v ị trí c ủa kh ối l ượng m2 t ừ tr ạng thái t ĩnh c ủa nó. mx"=− kx + ky ( − x ) Hình 1. Hệ kh ối l ượng và − Có mô hình toán là  1 1 2 lò xo trong Ví d ụ 1 my2"=− kyx 2 ( − )() + ft 2°°°/ Ví d ụ 2. Xét hai thùng n ước mu ối được n ối v ới nhau nh ư trong Hình 2. Thùng 1 ch ứa x(t) pounds mu ối trong 100 gallon của n ước bi ển và thùng 2 ch ứa y( t ) pounds mu ối trong 200 gallon n ước bi ển. N ước bi ển trong m ỗi thùng được gi ữ nguyên b ởi các vòi b ơm và n ước bi ển thùng này sang thùng khác v ới t ốc độ ch ỉ ra trên Hình 2. Thêm n ữa n ước nguyên ch ất ch ảy vào thùng 1 v ới t ốc độ 20gal/phút và n ước muối trong thùng 2 ch ảy ra v ới t ốc độ 20gal/phút Hình 2. Hai thùng n ước  3 1 bi ển trong Ví d ụ 2 x′ = − x + y  10 20 − Có mô hình toán là  3 3 y′ = x − y  10 20 3°°°/ Ví d ụ 3. Xét m ạch điện nh ư trong Hình 3, ở đó I1(t) kí hi ệu c ủa dòng điện ch ạy qua c ảm bi ến L và I2 (t) kí hi ệu c ủa dòng điện ch ạy qua điện tr ở R2 . Dòng điện ch ạy qua điện tr ở R1 là I= I1 − I 2 theo hướng đã ch ỉ. dI 1  +25I1 − 25 I 2 = 50 Hình 3. M ạng điện  dt − Có mô hình toán là  trong Ví d ụ 3 dI dI 21− 3 2 − 50I =  dt dt 2 1. Đại c ươ ng −−− Định ngh ĩa. Hệ ph ươ ng trình vi phân chu ẩn t ắc c ấp m ột có d ạng y1′ = fxyy 1(, 12 , , , y n )  y2′ = fxyy 2(, 12 , , , y n )  (1)   yn′ = fxyy n(,1 , 2 , , y n )
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∂fi −−− Định lí 1. Gi ả s ử các hàm fxyyi(,1 , 2 , , y n ) và các đạo hàm riêng (,xyy1 , 2 , , y n ) ∂y j liên t ục trên D ⊂ »n+1. 0 0 0 Cho (,xyy0 1 , 2 ,, yn ) ∈ D , khi đó ∃Uε ( x 0 ) để (1) có nghi ệm duy nh ất tho ả mãn các 0 điều ki ện yxi (0 )= yii , = 1, n Định ngh ĩa. Ta b ảo (,y1 , y n ) , ở đó yi= ϕ i(,, xcc1 2 , , c n ) là nghi ệm t ổng quát c ủa hệ (1) ⇔ • tho ả mãn h ệ (1) ∀ c1, c 2 , , c n 0 0 0 ⇒ 0 • ∀ (,xyy0 1 , 2 , , y n ) tho ả mãn định lí 1 ∃ci = c i sao cho các hàm s ố y= ϕ (, xcc0 , 0 , , c 0 ) tho ả mãn điều ki ện y= yi0, = 1, n i i 1 2 n i x= x 0 i Nghi ệm riêng c ủa (1) nh ận được t ừ nghi ệm t ổng quát khi cho ci , i= 1, n các giá tr ị xác đị nh 2. Cách gi ải • Ph ươ ng trình vi phân c ấp n : y(n) = fxyy(,,,,′ y ( n −1) ) luôn đư a v ề h ệ ph ươ ng trình vi phân chu ẩn t ắc c ấp 1: Đặt y= y 1, có y1′ = y 2  y2′ = y 3    yn′ −1 = y n yn′ = fxyy(,1 , 2 , , y n ) Ng ược l ại, h ệ PTVP chu ẩn t ắc luôn đưa v ề ph ươ ng trình c ấp cao b ằng cách kh ử nh ững hàm s ố ch ưa bi ết t ừ các ph ươ ng trình c ủa h ệ, được g ọi là ph ươ ng pháp kh ử  y 2 y′ = y′ =5 y + 4 z y′ = y + z  y′ = z Ví d ụ 1. a)  b)  c)  z d)  z′ =4 y + 5 z z′ = y + z + x y z′ = y z′ =  2 y′ = z yC=1cos xC + 2 sin x e)  ( ) z′ = − y zC=2cos xC − 1 sin x yeC=−x ( cos xC + sin) x y′ = y + 5 z  1 2 f)  ( ) 1 −x z′ = −() y + 3 z z= eCC[](21 − 2 )cos xCC −+ ( 12 2 )sin x  5 −2x y′ = −3 y − z y=( C1 − C 2 − Cxe 1 ) g)  ( ) −2x z′ = y − z z=( Cx1 + Ce 2 ) Gi ải a) • T ừ ph ươ ng trình th ứ nh ất ⇒ y′′=5 y ′ + 4 z ′ • Thay z′ =4 y + 5 z vào phương trình 1 có y′′=5 y ′ + 16 y + 20 z
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 • T ừ ph ươ ng trình 1 ⇒ z=( y′ − 5 y ) , thay vào ta có y′′−10 y ′ + 9 = 0 4 x9 x • Nghi ệm t ổng quát y= ce1 + ce 2 x9 x x9 x • y′ = ce1 + 9 ce 2 , thay vào ph ươ ng trình đầu có z= − ce1 + ce 2 1 2C c) +) zz′′= 2 z ′ 2 +) z = − +) y = 1 2 C1 x+ C 2 (C1 x+ C 2 ) 3. H ệ ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính thu ần nh ất v ới h ệ s ố h ằng s ố  dy 1  =ay111 + ay 122 ++ ay 1 n n  dx dy 2  =ay211 + ay 222 ++ ay 2 n n a) Định ngh ĩa  dx (1)   dy n =ayn11 + ay n 22 ++ ay nnn  dx ở đó aij ∈ » dy 1  =ay111 + ay 12 2  dx b) Cách gi ải. Để đơn gi ản ta xét h ệ  (2) dy 2 =ay211 + ay 22 2  dx a− λ a • Gi ải ph ươ ng trình đặc tr ưng 11 12 = 0 (3) a21 a 22 − λ • N ếu (3) có 2 nghi ệm th ực phân bi ệt λ1, λ 2 ⇒ (2) có nghi ệm t ổng quát là (y1 , y 2 ) ở đó y1= cy 111 + cy 212 ; y2= cy 121 + cy 222 λ x λ x λ x λ x ở đó y11= p 11 e 1 , y21= p 21 e 1 , y12= p 12 e 2 , y22= p 22 e 2 , (p1k , p 2 k ) là vect ơ riêng ứng v ới giá tr ị riêng λk ,k = 1, 2 y′ = y + 2 z y′ = y − 5 z y′ = y − z Ví d ụ 1. Gi ải các h ệ sau a)  b)  c)  z′ =4 y + 3 z z′ =2 y − z z′ = y + 3 z Gi ải a) Cách 1. Ph ươ ng pháp kh ử: y′′−4 y ′ − 5 y = 0 −x5 x 1  y= Ce1 + Ce 2 • y′′= y ′ + 2 z ′ v ới z′ =4 y + 3 z và z=( y′ − y ) ⇔ ⇔ 1 −x5 x 2 z=( y′ − y ) z= − Ce1 + 2 Ce 2  2 Cách 2. Ph ươ ng pháp toán t ử Lx1+ Ly 2 = ft 1 ( ) Hệ  , ở đó Li là các toán t ử tuy ến tính Lx3+ Ly 4 = ft 2 ( ) LL ftL( ) LL Lft( ) 12x = 1 2 ; 12y = 11 LL34 ftL 2( ) 4 LL34 Lft 32 ( )
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn (D− 1) y − 2 z = 0 d •  , D ≡ 4y+ (3 − D ) z = 0 dx D −1 − 2 • Ta có =(D − 1)(3 − D ) +=−+ 8 DD2 4 + 5 4 3 − D −+y′′4 y ′ + 5 y = 0 • H ệ ⇔  −+z′′4 z ′ + 5 z = 0 2 • Ph ươ ng trình đặc tr ưng −k +4 k + 5 = 0 ⇔ k1= −1, k 2 = 5 −x5 x −x5 x • Ta có y= ce1 + ce 2 ; z= ce3 + ce 4 • Thay y, z vào ph ươ ng trình 1 ta có −x5 xxx − 5 − xx 5 0=−y′ + y + 2 z =−ce12 ce.5 +++ ce 12 ce 2( ce 34 + ce ) −x − 5 x =+(2cce13 2) +−+ (4 c 24 2) ce , ∀ x 2c1+ 2 c 3 = 0 c3= − c 1 ⇒  ⇔  −4c2 + 2 c 4 = 0 c4= 2 c 2 −x5 x −x5 x • Nghi ệm t ổng quát (y , z ) , ở đó y= ce1 + ce 2 ; z= − ce1 + 2 ce 2 1− λ 2 2 Cách 3. • = 0 ⇔ λ−4 λ − 5 = 0 ⇔ λ1=5, λ 2 = − 1 4 3 − λ (1− 5)p11 + 2 p 21 = 0 • λ1 = 5 :  ⇔ 4p11− 2 p 21 = 0 4p11+ (35) − p 21 = 0 Ch ọn p11=1, p 21 = 2 (11−−()) p12 + 2 p 22 = 0 • λ2 = − 1:  ⇔ 2p12+ 2 p 22 = 0 4p12−−−() 31() p 22 = 0 Ch ọn p12=1, p 22 = − 1 5x 5x −x −x • H ệ nghi ệm c ơ b ản là y1 = e ; z1 = 2 e ; y2 = e ; z2 = − e 5x− x 5x− x • Nghi ệm t ổng quát: ( y; z ), ở đó y= ce1 + ce 2 ; z=2 ce1 − ce 2 Ví d ụ 2  dx   =2x + y t5 t t1 5 t  dt x= Ce1 + Ce 2 x= − Ce1 + Ce 2 a)  (  ho ặc  3 ) t5 t dy y= − Ce1 + 3 Ce 2  t5 t =3x + 4 y y= Ce1 + Ce 2  dt dx  =x − 3 y t t  dt xeC=(1 cos3 tC + 2 sin3) t yeC=(1 cos3 tC + 2 sin3) t b)  ( ho ặc  ) dy yeC=t ( sin3 tC − cos3) t xeC=t ( sin3 tC − cos3) t  =3x + y  1 2  1 2  dt Chú ý. Ph ươ ng pháp toán t ử gi ải được h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính không thu ần nh ất với h ệ s ố h ằng s ố HHHAHAAAVVVVEEEE AAA GGGOGOOOOODDDD UUUNUNNNDDDDEEEERRRRSSSSTTTTAAAANNNNDDDDIIIINNNNGGGG!!!!
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY ẾT CHU ỖI BÀI 12 CH ƯƠ NG 3. PH ƯƠ NG PHÁP TOÁN T Ử LAPLACE §1. Phép bi ến đổ i Laplace và phép bi ến đổ i ng ược • Phép bi n i Laplace • Tính ch t c a phép bi n i Laplace • Phép bi n i Laplace ng c 1. Đặt v ấn đề • Th ng g p trong th c t các ph ơ ng trình vi phân 1 mx′′+ cx ′ + kx = F( t ) ; LI′′+ RI ′ + I = Et ′ ( ) C tơ ng ng v i h th ng gi m sóc và chu i m ch RLC, F( t ) và E′( t ) nói chung là gián on, khi ó ph ơ ng pháp nh ã bi t khá b t ti n. Có hay không ph ơ ng pháp ti n l i h ơn? • Phép bi n i Laplace: L {ft( )}( s) = Fs( ) bi n ph ơ ng trình vi phân v i n hàm f( t ) thành m t ph ơ ng trình i s v i n hàm F( s ) - có l i gii c tìm ra d h ơn nhi u. Ch ng h n nh i v i ph ơ ng trình vi phân c p cao (n) ( n −1) y+ ay1 + ayayfxn− 1 ′ += n (), vi iu ki n ban u nh n c công th c nghi m t ng minh bi u di n qua tích ch p Laplace. • Gi i m t l p ph ơ ng trình vi phân c p cao v i h s hàm s ( iu này không th làm c v i các ph ơ ng pháp ã bi t), ch ng h n xy′′−+(4 x 1) y ′ + 221( x +=) y 0 • Gi i h ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p cao  n ()n () y1=∑ ayfx 1k k + 1   k =1   n  ()n () yn=∑ ayfx nkk + n  k= n • Gi i m t l p h ph ơ ng trình vi phân tuy n tính c p cao v i h s hàm s . 2. Phép bi ến đổ i Laplace ∞ • Định ngh ĩa: Fs()()=L {} ft() s = ∫ eftdt−st ( ) , ó s, f( t ) ∈ » 0 • Nh ận xét. Phép bi n i Laplace xác nh v i s, f( t ) ∈ ». Nh ng trong ch ơ ng này ta ch c n s d ng s, f( t ) ∈ » Ví d ụ 1. Tính L {1}(s) ∞ ∞ −st1 − st  1 − bs 1  1 • =edt =− e =−lim  e +  = , s > 0 ∫ sb→∞  s s  s 0 0 • Không t n t i L {1}(s) khi s ≤ 0.
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d ụ 2. ft() = eat , t ≥ 0 . Tính L (eat ), a ∈ » . ∞ ∞ b e()s− a t  • L {}eat() s= eedt− stat = e −( sat − ) dt =−lim   ∫ ∫ b→∞ s− a  0 0 0 1 1 =lim( 1 − e−()s − a b ) = , n u s> a b→∞ s− a s− a • Phân kì khi s≤ a Ví d ụ 3. Cho ft() = ta, a > − 1 . Tính L {f( t )} và L {tn}, n ∈ » ∞ • L {}ta() s= ∫ e− sta tdt . 0 ∞ u du 1Γ (a + 1) • t u= st⇒ t = , dt = có {}ta= eudu− u a =, s > 0 (2.1) L a+1∫ a + 1 s s s s 0 n! • L {}tn =, s > 0 sn+1 3. Tính ch ất c ủa phép bi ến đổ i Laplace Định lý 1. Tính tuy ến tính c ủa phép bi ến đổ i Laplace Cho α, β là h ng s và ∃ L {f( t)}( s ) và L {g( t)}( s ) , khi ó L {αft( ) + β gt( )}( s ) =αL{fts( )}( ) + β L { gts( )}( ), ∀ s Ch ứng minh. ∞ +) L {}αβf+ gs()()() =∫ e−st () αβ ft + gtdt 0 b +) =lim e−st ()α ft()() + β gtdt b→∞ ∫ 0 b b +) =lime−stα ftdt()() + lim e − st β gtdt b→∞∫ b →∞ ∫ 0 0 ∞ ∞ +) =α∫e−st ftdt()() + β ∫ e − st gtdt 0 0 +) =αL{f} + β L { g }. 3 Ví d ụ 4. Tính L {3t2 + 4 t 2 } 1  • Ta có Γ  = π 2  5  3  33  3 1  31  13 • Γ= Γ  +1  = Γ  =Γ +=1  . . Γ  = π 2  2  22  22  22  24
PGS. TS. Nguy ễn Xuân Th ảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 3 3   • L34tt2+2  = 3 L{} t 2 + 4 L { t 2 }   S d ng (2.1) ta có Γ (3) 2! • L {}t2 = =, s > 0 s3 s 3 5  3 Γ     3 π • {}t 2 =2 = L 5 5 s24. s 2 5  3  Γ     2!   6 π • 3t2 + 4 t 2 = 3. + 4 2 = + 3 L   3 5 3 5   s s s s 2 Ví d ụ 5. Tính L{coshkt} , L{ sinh kt} , L{ cos kt} , L { sin kt } ekt+ e − kt  1 • L{}cosh kt = L   =(L{}{}ekt + L e − kt ) 2  2 1 1 1  s • Theo ví d 2 có L {}cosh kt = +  =,s > k > 0 2 s− k s + k  s2− k 2 k • Tơ ng t L {}sinh kt = , s> k > 0 s2− k 2 ∞ ∞ e−st s • L {}()coskts= e−st cos ktdt =()ksin kt − s cos kt = ∫ s2+ k 2 s2+ k 2 0 0 eikt+ e − ikt  1 1 1  s (ho cL{}cos kt = L   = +  =,s > 0 ) 2  2 s− ik s + ik  s2+ k 2 k • Tơ ng t L {}sinkt= , s > 0 s2+ k 2 Ví d ụ 6. Tính L {3e2t + 2sin 2 3 t } • L {3e2t + 2sin 2 3 t } =L {3e2t + 1 − cos6 t } • =3L{e2t } + L{} 1 − L {} cos6 t 3 1 s • = + − s− 2 s s2 + 36 3s3 + 144 s − 72 • =,s > 2 s( s− 2)( s 2 + 36)