Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn - Trịnh Anh Ngọc

166 trang cucquyet12 3780

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn - Trịnh Anh Ngọc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_phuong_phap_phan_tu_huu_han_trinh_anh_ngoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn - Trịnh Anh Ngọc

Baøi giaûng PHÖ‘NG PHAŸP PHAÀN TÖÛ HÖ’U HAœN c Trònh Anh Ngoïc 1/9/2009
i Muïc ñích . Sinh vieân naém ñöôïc noäi dung cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (PTHH). . Sinh vieân bieát aùp duïng phöông phaùp PTHH ñeå giaûi so· ca˘c ba¯i toa˘n xua·t hie‰n trong khoa hoÔc va¯ kyı thua‰t, ÒaÎc bie‰t, trong cÙ hoÔc va¯ va‰t ly˘. . Sinh vie‚n co˘ theÂ tˆÔ ÒoÔc ca˘c sa˘ch, ba¯i ba˘o ve‡ PTHH. Noäi dung 1. GiÙ˘i thie‰u 2. Ly˘ thuye·t cÙ ba˚n 3. PTHH trong cÙ hoÔc Taøi lieäu ñoïc theâm T.A. Ngoïc, Hoïc Matlab baèng thí duï, 2009. Rao S.S., The finite element method in engineering, Pergamon Press, 1989. Strang G., Fix G.J., An analysis of the finite element method, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1973. Ca‰p nha‰t: 9/2011
ii Toaùn hoïc khoâng phaûi laø Baø hoaøng, Toaùn hoïc laø Naøng haàu, Ngöôøi phuïc vuï cuûa caùc khoa hoïc (Mathematics is a servant, but not a queen). Nhö ta·t ca˚ chu˘ng ta Òe‡u bie·t, ha‡u he·t ca˘c ly˘ thuye·t toa˘n Òe‡u co˘ nguo‡n go·c tˆ¯ cÙ hoÔc va¯ va‰t ly˘, Òo‰ng lˆÔc pha˘t trieÂn cu˚a no˘ (ca˘c ly˘ thuye·t toa˘n) la¯ a˘p duÔng va¯o (phuÔc vuÔ cho) ca˘c nga¯nh khoa hoÔc co˘ theÂ îra·t xa" toaùn hoïc. Vieäc hoïc toaùn, laøm toaùn, vì theá, khoâng theå taùch rôøi caùc ngaønh khoa hoïc maø toaùn hoïc höôùng tôùi. Trong taøi lieäu naøy haàu he·t ca˘c thÌ duÔ ÒˆÙÔc trÏnh ba¯y la·y tˆ¯ nguo‡n ca˘c ba¯i toa˘n xua·t hie‰n trong cÙ hoÔc va¯ va‰t ly˘. —ie‡u na¯y ban Òa‡u co˘ theÂ la¯m "naûn loøng" caùc baïn sinh vieân choïn caùc höôùng giaûi tích, ñaïi soá, . . . ; tuy nhieân, vôùi vieäc tìm hieåu theâm caùc lyù thuyeát cô hoïc, vaät lyù töông öùng, vieäc hoïc toaùn seõ trôû neân thuaän lôïi hôn, vaø nhaát laø kie·n thˆ˘c toa˘n cu˚a ngˆÙ¯i hoÔc seı trÙ˚ ne‚n toa¯n die‰n hÙn. Trònh Anh Ngoïc
Baûng kyù hieäu nn so· nu˘t ne so· pha‡n tˆ˚ (e) xi nu˘t thˆ˘ i (thˆ˘ tˆÔ ÒÚa phˆÙng) cu˚a pha‡n tˆ˚ e xi nu˘t thˆ˘ i (thˆ˘ tˆÔ toa¯n cuÔc) LA ma tra‰n laép gheùp COORD ma traän toïa ñoä (e) (e) [x1 ,x2 ] phaàn töû e e e e T u = u1,u2 vectô chuyeån dòch nuùt phaàn töû e { } { } T u = u1,u2, ,unn vectô chuyeån dòch nuùt toaøn cuïc {[N}e] { } ma traän haøm daïng cuûa phaàn töû e [N] ma traän haøm daïng toaøn cuïc [Ke] ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû e [K] ma traän ñoä cöùng toaøn cuïc [M e] ma traän khoái löôïng cuûa phaàn töû e [M] ma traän khoái löôïng toaøn cuïc pe vectô taûi phaàn töû e {p } vectô taûi toaøn cuïc { } iii
Chöông 1 Giôùi thieäu 1.1 Daãn nhaäp . Phöông phaùp PTHH laø moät phöông phaùp giaûi so· tÏm nghie‰m xa·p xÊ cu˚a ca˘c phˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng xua·t hie‰n trong khoa hoÔc va¯ kyı thua‰t. Kha˘c vÙ˘i phˆÙng pha˘p sai pha‚n hˆıu haÔn, xa·p xÊ trˆÔc tie·p phˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng (xa·p xÊ ÒaÔo ha¯m), phˆÙng pha˘p pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn du¯ng co‚ng thˆ˘c bie·n pha‚n cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n (daÔng tÌch pha‚n cu˚a ba¯i toa˘n). Trong phˆÙng pha˘p PTHH Mie‡n cu˚a ba¯i toa˘n (mie‡n xa˘c ÒÚnh cu˚a phˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng) ÒˆÙÔc pha‚n hoaÔch tha¯nh ca˘c mie‡n con goÔi la¯ pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn, va¯ nghie‰m cu˚a phˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng ÒˆÙÔc xa·p xÊ baËng ca˘c Òa thˆ˘c ÒÙn gia˚n tre‚n mo„i pha‡n tˆ˚. . Kie·n thˆ˘c ca‡n bie·t: Toa˘n hoÔc cao ca·p (gia˚i tÌch, ÒaÔi so· tuye·n tÌnh), phˆÙng trÏnh va‰t ly˘ toa˘n, cÙ hoÔc ke·t ca·u1). . PhˆÙng tie‰n tÌnh toa˘n: pha‡n me‡m Matlab2). . LÚch sˆ˚ cu˚a PTHH + Co‚ng thˆ˘c PTHH Òa‡u tie‚n ÒˆÙÔc pha˘t trieÂn nhˆ la¯ phˆÙng pha˘p ma tra‰n cu˚a cÙ hoÔc ke·t ca·u. + Courant (1943) Òˆa ra he‰ go‡m ca˘c pha‡n tˆ˚ tam gia˘c (triangular ele- ments) laÈp ghe˘p vÙ˘i nhau va¯ cˆÔc tieÂu the· naÍng (potential energy) ÒeÂ 1)Hai mo‚n hoÔc cuo·i kho‚ng baÈt buo‰c pha˚i hoÔc trˆÙ˘c, sinh vie‚n co˘ theÂ tham kha˚o the‚m khi ca‡n. 2)Sinh vie‚n kho‚ng ye‚u ca‡u pha˚i bie·t ve‡ Matlab, ca˘ch sˆ˚ duÔng Matlab seı ÒˆÙÔc giÙ˘i thie‰u da‡n trong gia˘o trÏnh. 1
2 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU giaûi xa·p xÊ ba¯i toa˘n xoaén (cf. R. Courant, Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical Society, 49, 1-23,(1943)). + Clough ñeà nghò teân goïi "phaàn töû höõu haïn" (cf. M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin and L.J. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex stuctures, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-824 (1956)). + Phaùt trieån ban ñaàu cuûa phöông phaùp ñöôïc thöïc hieän bôûi caùc kyõ sö trong laõnh vöïc cô hoïc keát caáu; veà sau cô sôû toaùn hoïc ñöôïc thieát laäp cho PTHH, töø ñoù môû roäng aùp duïng PTHH cho caùc laõnh vöïc khaùc. 1.2 Pheùp tính bie·n pha‚n Ñeå ñôn giaûn ta xeùt tröôøng hôïp haøm moät bieán. Cho phieám haøm (functional) F (x,u,u0) vôùi u = u(x) vaø u0 = du/dx. Bie·n pha‚n (variation) cuûa u, kyù hieäu δu, laø moät haøm bieåu dieãn "bieán thieân cuûa u" u + δu töông töï nhö soá gia ∆x bieåu dieãn "bieán thieân cuûa x" x +∆x. Neáu u ñöôïc cho tröôùc taïi moät ñieåm (thöôøng laø ñieàu kieän bieân) thì bieán phaân cuûa u phaûi baèng khoâng taïi ñoù, thí duï u(x )= u δu(x ) = 0. 0 0 ⇒ 0 Vì bieán phaân δu trieät tieâu taïi caùc ñieåm ñöôïc cho tröôùc, nhöng laáy giaù trò tuøy yù taïi caùc ñieåm khaùc neân δu coøn ñöôïc goïi laø bie·n thie‚n a˚o. Töông töï nhö pheùp tính vi phaân cuûa haøm nhieàu bieán, bieán phaân caáp moät cuûa phieám haøm F taïi u ñöôïc ñònh nghóa laø F (x,u + αδu,u0 + αδu0) F (x,u,u0) δF = lim − . (1.1) α→0 α Duøng coâng thöùc vi phaân toaøn phaàn cho F (x,u + αv,u0 + αv0) taïi (x,u,u0) vôùi x coá ñònh, ∂F ∂F F (x,u + αδu,u0 + αδu0) F (x,u,u0) αδu + αδu0, − ≈ ∂u ∂u0
1.2. PHEÙP TÍNH BIEÁN PHAÂN 3 ta coù ∂F ∂F δF = δu + δu0. (1.2) ∂u ∂u0 Chuù yù söï töông töï giöõa bie·n pha‚n ca·p mo‰t vÙ˘i vi pha‚n toa¯n pha‡n cu˚a ha¯m F ∂F ∂F ∂F dF = dx + δu + δu0. ∂x ∂u ∂u0 VÙ˘i phe˘p tÌnh bie·n pha‚n x kho‚ng thay ÒoÂi khi u bie·n thie‚n tha¯nh u + δu ne‚n dx = 0 va¯ sˆÔ tˆÙng tˆÔ giˆıa δF va¯ dF trÙ˚ ne‚n roı ra¯ng. NghÛa la¯, toaùn töû bie·n pha‚n δ ta˘c Òo‰ng nhˆ toa˘n tˆ˚ vi pha‚n Òo·i vÙ˘i ca˘c bie·n phuÔ thuo‰c. Ta co˘ ca˘c co‚ng thˆ˘c sau: 1. δ(F G)= δF δG. ± ± 2. δ(F G)= δF G + F δG. F δF G F δG 3. δ = − . G G2 4. δ(F )n = nF n−1δF . d du 5. (δu)= δ . dx dx b b 6. δ u(x)dx = δu(x)dx. Za Za Thí duï 1.1. Phie·m ha¯m naÍng lˆÙÔng cu˚a da‡m chÚu uo·n: l b d2w 2 dw I(w)= + wf dx (l)M 2 dx2 − dx 0 Z0 " #
4 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU Söû duïng caùc coâng thöùc treân ta coù l d2δw d2w dδw δI(w)= b + δwf dx (l)M . dx2 dx2 − dx 0 Z0 Nhaän xeùt 1.1. Trong cô hoïc moâi tröôøng lieân tuïc, ta coù hai khaùi nieäm quan troïng: chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ vaø chuyeÂn dÚch a˚o. Bôûi ñònh nghóa, chuyeån dòch khaû dó laø chuyeån dòch ba·t ky¯ tho˚a Òie‡u kie‰n bie‚n Òo‰ng hoÔc, chuyeÂn dÚch a˚o la¯ hie‰u cu˚a hai chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ. Nhˆ va‰y chuyeÂn dÚch a˚o tho˚a Òieàu kieän bieân ñoäng hoïc thuaàn nhaát. Ne·u goÔi w la¯ mo‰t chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ, u la¯ chuyeÂn dÚch thˆÔc (mo‰t trˆÙ¯ng hÙÔp cu˚a chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ) thÏ chuyeÂn dÚch a˚o la¯ δu = w u. No˘i kha˘c Òi, chuyeÂn dÚch a˚o chÌnh la¯ bie·n pha‚n cu˚a chuyeÂn dÚch thˆÔc u,− hay chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ la¯ toÂng cu˚a chuyeÂn dÚch thˆÔc vÙ˘i chuyeÂn dÚch a˚o, w = u + δu. • Nhaän xeùt 1.2. SˆÔ tˆÙng tˆÔ giˆıa phe˘p tÌnh bie·n pha‚n vÙ˘i phe˘p tÌnh vi pha‚n: Phe˘p tÌnh vi pha‚n Phe˘p tÌnh bie·n pha‚n Ha¯m so· f(x) Phie·m ha¯m I(u) —o·i so· - x (so· thˆÔc) —o·i so· - u (ha¯m so·) So· gia vo‚ cu¯ng be˘ dx Bie·n pha‚n δu Vi pha‚n cu˚a ha¯m so·, df Bie·n pha‚n cu˚a phie·m ha¯m, δI —ie‡u kie‰n ÒaÔt cˆÔc trÚ cu˚a ha¯m so· —ie‡u kie‰n ÒaÔt cˆÔc trÚ cu˚a phie·m ha¯m df = 0 vÙ˘i moÔi dx δI = 0 vÙ˘i moÔi δu • 1.3 Caùc phöông phaùp so· PTHH ÒˆÙÔc xa‚y dˆÔng tre‚n cÙ sÙ˚ phˆÙng pha˘p bie·n pha‚n (variational method). MuÔc na¯y giÙ˘i thie‰u mo‰t so· theÂ hie‰n cu˚a no˘. 1.3.1 PhˆÙng pha˘p Ritz Gia˚i ba¯i toa˘n cˆÔc tieÂu ho˘a phie·m ha¯m I(v), v V (trong ca˘c ba¯i toa˘n cÙ hoÔc thÏ V la¯ ta‰p hÙÔp ta·t ca˚ ca˘c îchuyeÂn dÚchî kha˚∈ dÛ).
1.3. CAÙC PHÖ‘NG PHAŸP SO¡ 5 Phöông phaùp Ritz tìm nghieäm xa·p xÊ dˆÙ˘i daÔng toÂng hˆıu haÔn N uN = cjϕj + ϕ0, (1.3) j=1 X trong Òo˘ ϕi, i = 0, 1, ,N, la¯ ca˘c ha¯m choÔn trˆÙ˘c; ca˘c he‰ so· cj, goÔi la¯ he‰ so· Ritz, ÒˆÙÔc choÔn sao cho I(c , ,c ) := I(u ) min (1.4) 1 N N → —ie‡u kie‰n ca‡n ÒeÂ I(c1,c2, ,cN ) ÒaÔt cˆÔc trÚ la¯ ca˘c ÒaÔo ha¯m rie‚ng cu˚a no˘ Òo·i vÙ˘i mo„i he‰ so· Ritz trie‰t tie‚u: ∂I ∂I ∂I = = = = 0. (1.5) ∂c1 ∂c2 ··· ∂cN Trong ca˘c ba¯i toa˘n tuye·n tÌnh, he‰ (1.5) go‡m N phˆÙng trÏnh ÒaÔi so· tuye·n tÌnh vÙ˘i N aÂn c1,c2, ,cN . Tính cha·t cu˚a ca˘c ha¯m ϕi (i = 0, 1, ,N) . Ha¯m ϕ0 ÒˆÙÔc choÔn tho˚a Òieàu kieän bieân co·t ye·u (Òie‡u kie‰n bie‚n Dirichlet) cu˚a ba¯i toa˘n. . Ca˘c ha¯m ϕi, i = 1, 2, ,N, tho˚a Òie‡u kie‰n bie‚n co·t ye·u thua‡n nha·t. . HÙn nˆıa, ca˘c ϕi ca‡n tho˚a the‚m ca˘c Òie‡u kie‰n sau: (i) I(uN ) ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh to·t, (ii) VÙ˘i N ba·t ky¯, ta‰p hÙÔp ϕ la¯ Òo‰c la‰p tuye·n tÌnh, { i} (iii) ϕi la¯ Òa‡y Òu˚. Ca˘c ye‚u ca‡u (i){ } (iii) ba˚o Òa˚m, vÙ˘i ca˘c ba¯i toa˘n tuye·n tÌnh, sˆÔ ho‰i tuÔ cu˚a nghie‰m Ritz tÙ˘i nghie‰m chÌnh xa˘c khi N taÍng. SˆÔ ho‰i tuÔ ÒˆÙÔc hieÂu theo nghÛa sau I(u ) I(u ) khi N M. (1.6) N ≥ M ≤ 1.3.2 PhˆÙng pha˘p dˆ so· co˘ troÔng PhˆÙng pha˘p dˆ so· co˘ troÔng la¯ mo‰t toÂng qua˘t ho˘a cu˚a phˆÙng pha˘p Ritz. Cho L la¯ toa˘n tˆ˚ ÒaÔo ha¯m, xe˘t phˆÙng trÏnh toa˘n tˆ˚ Lu = f trong Ω, (1.7)
6 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU ngoaøi ra haøm u (nghieäm) coøn thoûa caùc ñieàu kieän bieân. Trong phöông phaùp dö so· co˘ troÔng, nghie‰m u ÒˆÙÔc xa·p xÊ theo ca˘ch gio·ng nhˆ phˆÙng pha˘p Ritz N uN = cjϕj + ϕ0, (1.8) j=1 X trong Òo˘ ϕ0 pha˚i tho˚a moÔi Òie‡u kie‰n bie‚n chÊ ÒÚnh cu˚a ba¯i toa˘n, va¯ ϕi pha˚i tho˚a daÔng thua‡n nha·t cu˚a ca˘c Òie‡u kie‰n chÊ ÒÚnh. Cuıng nhˆ phˆÙng pha˘p Ritz, vÙ˘i muÔc ÒÌch xa·p xÊ, ca˘c ha¯m ϕi cuıng pha˚i co˘ ca˘c tÌnh cha·t (i) (iii). Thay xa·p xÊ (1.8) va¯o phˆÙng trÏnh toa˘n tˆ˚ (1.7) ke·t qua˚ la¯ dˆ so· E = Lu f = 0. (1.9) N − 6 Ngay khi ϕ0 va¯ ca˘c ϕi Òaı ÒˆÙÔc choÔn, E la¯ ha¯m cu˚a ca˘c bie·n Òo‰c la‰p va¯ ca˘c tham so· cj. Trong phˆÙng pha˘p dˆ so· co˘ troÔng, ca˘c tham so· ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh baËng ca˘ch ÒaÎt tÌch pha‚n cu˚a tÌch dˆ so· co˘ troÔng vÙ˘i ca˘c ha¯m troÔng lˆÙÔng baËng 0, ψi(x,y)E(x,y,cj)dxdy = 0, (1.10) ZΩ trong Òo˘ ψi la¯ ca˘c ha¯m troÔng lˆÙÔng. HieÂn nhie‚n ψi pha˚i la¯ ta‰p Òo‰c la‰p tuye·n tÌnh. { } No˘i chung, ca˘c ha¯m troÔng lˆÙÔng ψi kho‚ng gio·ng ca˘c ha¯m ϕi. Tu¯y theo ca˘ch choÔn ψi ta co˘ ca˘c phˆÙng pha˘p kha˘c nhau: Phöông phaùp Galerkin ϕi = ψi. PTHH ÒˆÙÔc thie·t la‰p tre‚n cÙ sÙ˚ phˆÙng pha˘p na¯y. Khi toa˘n tˆ˚ L la¯ toa˘n tˆ˚ ÒaÔo ha¯m tuye·n tÌnh ca·p cha¸n, thÏ phˆÙng pha˘p Galerkin da„n ve‡ phˆÙng pha˘p Ritz. Phöông phaùp Petrov - Galerkin ϕ = ψ . i 6 i 1.3.3 Phöông phaùp bình phöông to·i thieÂu PhˆÙng pha˘p bÏnh phˆÙng to·i thieÂu (least-squares method) tÏm nghie‰m Ù˚ daÔng (1.8) va¯ xa˘c ÒÚnh ca˘c tham so· baËng ca˘ch cˆÔc tieÂu ho˘a tÌch pha‚n cu˚a bÏnh phˆÙng dˆ so·. —ie‡u kie‰n cˆÔc tieÂu: ∂ E2(x,y,c )dxdy = 0 ∂c j i ZΩ
1.3. CAÙC PHÖ‘NG PHAŸP SO¡ 7 hay ∂E Edxdy = 0. (1.11) ∂c ZΩ i 1.3.4 Phöông phaùp ñoàng vò Phöông phaùp ñoàng vò (collocation) hay phöông phaùp choïn ñieåm tìm nghieäm xa·p xÊ uN cu˚a phˆÙng trÏnh (1.7) Ù˚ daÔng (1.8) baèng caùch ñoøi hoûi dö soá trong phöông trình trieät tieâu taïi N ñieåm choïn tröôùc xi = (xi,yi) (i = 1, 2, ,N) trong mieàn Ω: i i E(x ,y ,cj) = 0 i = 1, 2, ,N (1.12) Söï choïn löïa caùc ñieåm xi laø co·t ye·u ÒeÂ nha‰n ÒˆÙÔc mo‰t he‰ phˆÙng trÏnh chÊnh (well-conditional) va¯ cho nghie‰m xa·p xÊ to·t. PhˆÙng pha˘p Òo‡ng vÚ la¯ mo‰t i trˆÙ¯ng hÙÔp ÒaÎc bie‰t cu˚a (1.10) vÙ˘i ψi(x)= δ(x x ), trong Òo˘ δ la¯ ha¯m delta Dirac − f(x0)δ(x x0)dx0 = f(x). − ZΩ Thí duï 1.2. Cho ba¯i toa˘n bie‚n: tÏm ha¯m u(x), 0 <x< 1, tho˚a phˆÙng trÏnh vi pha‚n u00 + f = 0, (1.13) va¯ ca˘c Òie‡u kie‰n bie‚n u(1) = g, (1.14) u0(0) = h, (1.15) − trong Òo˘ f(x) la¯ ha¯m va¯ g, h la¯ ca˘c haËng so· cho trˆÙ˘c. —ie‡u kie‰n bie‚n (1.14) la¯ Òie‡u kie‰n bie‚n co·t ye·u, Òie‡u kie‰n bie‚n (1.15) la¯ Òie‡u kie‰n bie‚n tˆÔ nhie‚n. —eÂ a˘p duÔng phˆÙng pha˘p PTHH gia˚i ba¯i toa˘n na¯y ta ca‡n pha˘t bieÂu ba¯i toa˘n dˆÙ˘i daÔng bie·n pha‚n. ? Coâng thöùc bie·n pha‚n (ye·u) Ky˘ hie‰u:
8 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU S = s s H1(0, 1),s(1) = g laø taäp hôïp caùc haøm thöû (töông töï nhö taäp hôïp caùc chuyeån{ | ∈ dòch khaû dó); } V = v v H1(0, 1),v(1) = 0 laø taäp hôïp caùc haøm troïng löôïng (töông töï nhö taäp hôïp{ | caùc∈ chuyeån dòch aûo)3).} Kyù hieäu H1(0, 1) chæ khoâng gian Sobolev caùc haøm cuøng vôùi ñaïo haøm ca·p 1 (ÒaÔo ha¯m suy ro‰ng) bÏnh phˆÙng kha˚ tÌch (thuo‰c L2(0, 1)). Nha‚n hai ve· phˆÙng trÏnh (2.118) vÙ˘i ha¯m troÔng lˆÙÔng v V ba·t ky¯, la·y tÌch pha‚n tˆ¯ 0 Òe·n 1, ta ÒˆÙÔc ∈ 1 (u00 + f)vdx = 0. (1.16) Z0 Du¯ng co‚ng thˆ˘c tÌch pha‚n tˆ¯ng pha‡n, sau mo‰t so· bie·n ÒoÂi, ta ÒˆÙÔc 1 1 u0(x)v0(x)dx = f(x)v(x)dx + hv(0). (1.17) Z0 Z0 GoÔi ϕ0 la¯ ha¯m thuo‰c S tho˚a Òie‡u kie‰n bie‚n co·t ye·u ϕ0(1) = g thÏ u = ϕ0 + w, w V , va¯ phˆÙng trÏnh tre‚n tha¯nh ∈ 1 1 1 w0(x)v0(x)dx = f(x)v(x)dx + hv(0) ϕ0 (x)v0(x)dx. (1.18) − 0 Z0 Z0 Z0 Tre‚n V Òˆa va¯o daÔng song tuye·n tÌnh (Òo·i xˆ˘ng) a : V V R, × → 1 a(w,v)= w0(x)v0(x)dx (1.19) Z0 va¯ daÔng tuye·n tÌnh l : V R → 1 1 l(v)= f(x)v(x)dx + hv(0) ϕ0 (x)v0(x)dx, (1.20) − 0 Z0 Z0 3)Trong trˆÙ¯ng hÙÔp g =0, V la¯ kho‚ng gian vectÙ co¯n S thÏ kho‚ng. 6
1.3. CAÙC PHÖ‘NG PHAŸP SO¡ 9 baøi toaùn bieân (2.118)-(1.15) daãn veà baøi toaùn bie·n pha‚n tuye·n tÌnh: TÏm w V tho˚a phˆÙng trÏnh bie·n pha‚n ∈ a(w,v)= l(v) (1.21) vÙ˘i moÔi v V . ∈ ? Phöông phaùp Galerkin TÏm nghie‰m xa·p xÊ dˆÙ˘i daÔng toÂng hˆıu haÔn (1.8). Ha¯m ϕ0 tho˚a Òie‡u kie‰n (1.14), ca˘c ha¯m ϕ tho˚a Òie‡u kie‰n thua‡n nha·t, ϕ V . i i ∈ Ne·u du¯ng phˆÙng pha˘p Galerkin, ψi = ϕi (i = 1, ,N), thÏ ta co˘ ba¯i toa˘n xa·p xÊ N 1 1 1 c ϕ0(x)ϕ0 (x)dx = f(x)ϕ (x)dx + hϕ (0) ϕ0 (x)ϕ0 (x)dx (1.22) i i j j j − 0 j i=1 0 0 0 X Z Z Z vÙ˘i j = 1, ,N. ? Phöông phaùp Ritz —eÂ y˘ raËng, ha¯m v trong phˆÙng trÏnh (1.17) la¯ bie·n pha‚n cu˚a u, ne‚n co˘ theÂ bie·n ÒoÂi nhˆ sau. 1 1 u0(x)(δu)0(x)dx f(x)δu(x)dx hδu(0) = 0 − − Z0 Z0 1 1 1 δ (u0(x))2dx f(x)u(x)dx hu(0) = 0 2 − − Z0 Z0 δI(u) = 0, (1.23) trong Òo˘ 1 1 1 I(u)= (u0(x))2dx f(x)u(x)dx hu(0) (1.24) 2 − − Z0 Z0 la¯ phie·m ha¯m naÍng lˆÙÔng (energy functional) lie‚n ke·t vÙ˘i ba¯i toa˘n. Tˆ¯ phˆÙng trÏnh (1.23) ta co˘ theÂ ke·t lua‰n: nghie‰m u cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n (2.118)-(1.15) la¯ ÒieÂm cˆÔc trÚ cu˚a phie·m ha¯m I. PhˆÙng pha˘p Ritz ÒˆÙÔc a˘p duÔng tˆ¯ Òa‚y.
10 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU Nhaän xeùt 1.3. Caùch trình baøy coâng thöùc bie·n pha‚n trong thÌ duÔ 1.2 la¯ theo ly˘ thuye·t bie·n pha‚n trong gia˚i tÌch ha¯m. Theo ly˘ thuye·t na¯y, ba¯i toa˘n bie·n pha‚n tuye·n tÌnh trˆ¯u tˆÙÔng ÒˆÙÔc ÒÚnh nghÛa nhˆ sau. Cho V la¯ kho‚ng gian Hilber, cho a : V V R la¯ daÔng song tuye·n tÌnh tre‚n V , ` : V R la¯ daÔng tuye·n tÌnh tre‚n×V . Ba¯i→ toa˘n: TÏm u V tho˚a → ∈ a(u,v)= `(v) (1.25) vÙ˘i moÔi v V ÒˆÙÔc goÔi la¯ ba¯i toa˘n bie·n pha‚n tuye·n tÌnh. ∈ —ie‡u kie‰n to‡n taÔi nghie‰m cu˚a ba¯i toa˘n bie·n pha‚n ÒˆÙÔc cho trong ÒÚnh ly˘ Lax - Milgram: —Únh ly˘ 1.1 (Lax - Milgram). Cho V la¯ kho‚ng gian Hilbert vÙ˘i tÌch vo‚ hˆÙ˘ng ( , ) va¯ chuaÂn tˆÙng ˆ˘ng . Ne·u · · k·k (i) a : V V R la¯ daÔng song tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc tre‚n V , kha˘ng tˆ¯, nghÛa la¯ to‡n taÔi haËng so·×α>→0 sao cho a(v,v) α v 2 ≥ k k vÙ˘i moÔi v V . ∈ (ii) ` : V R la¯ daÔng tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc tre‚n V . ThÏ ba¯i toa˘n bie·n→ pha‚n (1.25) to‡n taÔi va¯ duy nha·t nghie‰m. Chˆ˘ng minh ÒÚnh ly˘ Lax - Milgram dˆÔa tre‚n ÒÚnh ly˘ bieÂu die„n Riesz. —Únh ly˘ 1.2 (Riesz). Cho V la¯ kho‚ng gian Hilbert vÙ˘i tÌch vo‚ hˆÙ˘ng ( , ). Ne·u ` : V R la¯ daÔng tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc tre‚n V , thÏ to‡n taÔi duy nha·t vectÙ w· · V sao cho: → ∈ `(v)=(w,v), v V. ∀ ∈ Chˆ˘ng minh ÒÚnh ly˘ Lax - Milgram. Do a( , ) la¯ daÔng song tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc va¯ kha˘ng tˆ¯ tre‚n V ne‚n co˘ theÂ xem no˘ la¯· · tÌch vo‚ hˆÙ˘ng (mÙ˘i) xa˘c ÒÚnh tre‚n V vÙ˘i chuaÂn tˆÙng ˆ˘ng: v = a(v,v). k kα VÏ daÔng song tuye·n tÌnh a( , ) lie‚n tuÔcp ne‚n to‡n taÔi M > 0 sao cho vÙ˘i moÔi · · v V , ∈ α v 2 a(v,v) M v 2 √α v v √M v , k k ≤ ≤ k k ⇒ k k≤k kα ≤ k k nghÛa la¯ chuaÂn tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i chuaÂn tre‚n V . k·kα k·k Tˆ¯ gia˚ thie·t `( ) lie‚n tuÔc tre‚n V vÙ˘i chuaÂn ta suy ra no˘ cuıng lie‚n · k·k tuÔc tre‚n V vÙ˘i chuaÂn mÙ˘i. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ Riesz, to‡n taÔi u V sao cho ∈ `(v)= a(u,v), v V ; ∀ ∈
1.4. AÙP DUÏNG CUÛA PHÖ‘NG PHAŸP PTHH 11 nghóa laø baøi toaùn bie·n pha‚n (1.25) co˘ nghie‰m. Ne·u ba¯i toa˘n (1.25) co˘ hai nghie‰m u1, u2 thÏ a(u u ,v) = 0 u u = 0 u u = 0; 1 − 2 ⇒k 1 − 2kα ⇒k 1 − 2k nghÛa la¯ u1 = u2. Nhˆ va‰y, nghie‰m cu˚a ba¯i toa˘n (1.25) la¯ duy nha·t. Trong trˆÙ¯ng hÙÔp a Òo·i xˆ˘ng thÏ ba¯i toa˘n bie·n pha‚n tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i ba¯i toa˘n to·i ˆu, Òo·i tˆÙÔng cu˚a phˆÙng pha˘p Ritz: TÏm u V cˆÔc tieÂu ho˘a phie·m ha¯m ∈ 1 I(v)= a(v,v) l(v). (1.26) 2 − • 1.4 AÙp duïng cuûa phöông phaùp PTHH 1.4.1 Toång quan Qua˘ trÏnh gia˚i quye·t mo‰t ba¯i toa˘n trong khoa hoÔc va¯ kyı thua‰t baËng phˆÙng pha˘p PTHH ÒˆÙÔc theÂ hie‰n baËng sÙ Òo‡ mo‚ ta˚ tre‚n hÏnh 1.1 go‡m hai giai ÒoaÔn. HÏnh 1.1: SÙ Òo‡ gia˚i mo‰t ba¯i toa˘n khoa hoÔc va¯ kyı thua‰t. ? Giai ÒoaÔn 1 Gia˚i quye·t Ba¯i toa˘n va‰t ly˘ ÒˆÙÔc toa˘n hoÔc ho˘a baËng mo‚ hÏnh toa˘n hoÔc. Mo‚ hÏnh toa˘n hoÔc, sau Òo˘, ÒˆÙÔc rÙ¯i raÔc ho˘a va¯ gia˚i baËng phˆÙng pha˘p PTHH. ? Giai ÒoaÔn 2 —a˘nh gia˘ KieÂm tra Òo‰ tin ca‰y cu˚a ke·t qua˚ PTHH. Ca˘c loaÔi sai so·: (1) sai so· mo‚ hÏnh (mo‚ hÏnh toa˘n hoÔc, mo‚ hÏnh PTHH); (2) sai
12 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU so· thua‰t toa˘n; (3) sai so· la¯m tro¯n (bieÂu die„n so· trong ma˘y tÌnh). Hie‰u chÊnh (ne·u ca‡n). Trong cÙ hoÔc mo‚i trˆÙ¯ng lie‚n tuÔc phˆÙng pha˘p PTHH co˘ theÂ ÒˆÙÔc du¯ng cho nhie‡u loaÔi pha‚n tÌch: Pha‚n tÌch tuye·n tÌnh, tÛnh. Pha‚n tÌch tuye·n tÌnh, Òo‰ng. Pha‚n tÌch trÚ rie‚ng ve‡ co‰ng hˆÙ˚ng. Pha‚n tÌch bie·n daÔng lÙ˘n. Mo‚ pho˚ng phuÔc vuÔ thie·t ke·. —o·i tˆÙÔng cu˚a mo‚n hoÔc: AŸp duÔng phˆÙng pha˘p PTHH cho ca˘c ba¯i toa˘n bie‚n (phˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng), ÒaÎc bie‰t, ca˘c ba¯i toa˘n xua·t hie‰n trong cÙ hoÔc, ta‰p trung va¯o giai ÒoaÔn 1 mo‚ hÏnh PTHH va¯ gia˚i so·. 1.4.2 Moät so· ba¯i toa˘n cÙ hoÔc va¯ va‰t ly˘ Mo‰t so· ba¯i toa˘n cÙ hoÔc va¯ va‰t ly˘ seı ÒˆÙÔc du¯ng Òe·n trong gia˘o trÏnh. 1. Truye‡n nhie‰t (1-chie‡u) PhˆÙng trÏnh truye‡n nhie‰t trong thanh chie‡u da¯i L, tie·t die‰n A = A(x) ∂ ∂T ∂T kA +qA ˙ = cρ , 0 <x<L, (1.27) ∂x ∂x ∂t trong Òo˘ T = T (x,t) la¯ nhie‰t Òo‰ (tuye‰t Òo·i), q˙ to·c Òo‰ pha˘t sinh nhie‰t tre‚n ÒÙn vÚ theÂ tÌch (do nguo‡n nhie‰t), c la¯ nhie‰t dung, ρ la¯ ma‰t Òo‰ kho·i. Ca˘c trˆÙ¯ng hÙÔp ÒaÎc bie‰t: a) Ne·u q˙ = 0 ta co˘ phˆÙng trÏnh Fourier ∂ ∂T ∂T kA = cρ . (1.28) ∂x ∂x ∂t b) Ne·u qua˘ trÏnh dˆ¯ng ta co˘ phˆÙng trÏnh Poisson ∂ ∂T kA +qA ˙ = 0. (1.29) ∂x ∂x
1.4. AÙP DUÏNG CUÛA PHÖ‘NG PHAŸP PTHH 13 c) Ne·u qua˘ trÏnh dˆ¯ng va¯ q˙ = 0 ta co˘ phˆÙng trÏnh Laplace. ∂ ∂T kA = 0. (1.30) ∂x ∂x 2. Do¯ng cha˚y 1-chie‡u d (ρAu) = 0, (1.31) dx trong Òo˘ ρ la¯ ma‰t Òo‰ kho·i, A la¯ die‰n tÌch tie·t die‰n ngang, u la¯ va‰n to·c do¯ng cha˚y. Ne·u do¯ng cha˚y kho‚ng nhÙ˘t thÏ to‡n taÔi ha¯m ϕ(x), goÔi la¯ the· va‰n to·c, sao cho dϕ u = (1.32) dx va¯ phˆÙng trÏnh (1.31) tha¯nh d dϕ ρA = 0. (1.33) dx dx 3. Thanh chie‡u da¯i L chÚu ta˚i doÔc truÔc ∂u AE = lˆÔc ta˘c duÔng, 0 <x<L, (1.34) ∂x trong Òo˘ E la¯ mo‚Òun Young, A la¯ die‰n tÌch tie·t die‰n ngang, u la¯ chuyeÂn dÚch doÔc truÔc. Ne·u lˆÔc ta˘c duÔng la¯ haËng thÏ phˆÙng trÏnh tha¯nh ∂ ∂u AE = 0. (1.35) ∂x ∂x
14 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU —ie‡u kie‰n bie‚n cu˚a ca˘c ba¯i toa˘n tre‚n thuo‰c mo‰t trong ca˘c loaÔi: Dirichlet (cho gia˘ trÚ ha¯m caàn tìm), Neumann (cho giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm caàn tìm), vaø Robin (toå hôïp caû hai ñieàu kieän Dirichlet vaø Neumann). Ngoaøi ra, vôùi caùc baøi toaùn phuï thuoäc thôøi gian caàn phaûi cho caû ñieàu kieän ñaàu. 1.5 Caùc va·n Òe‡ toa˘n hoÔc lie‚n quan Tröôùc khi ñi vaøo lyù thuyeát cuûa phöông phaùp PTHH ta xeùt moät thí duï toång keát caùc vaán ñeà ñaõ trình baøy trong caùc muïc treân, ñoàng thôøi neâu baät caùc vaán ñeà lyù thuyeát caàn xeùt khi aùp duïng phöông phaùp PTHH cho baøi toaùn khoa hoïc kyõ thuaät. Caùc vaán ñeà ñöôïc trình baøy baèng ngoân ngöõ giaûi tích haøm vôùi muïc ñích gôïi yù caùc nghieân cöùu saâu hôn veà lyù thuyeát PTHH. . Ba¯i toa˘n bie‚n d2u = f trong (0, 1) (1.36) −dx2 u(0) = 0, u0(1) = 0. (1.37) . Ba¯i toa˘n bie·n pha‚n va¯ sˆÔ to‡n taÔi nghie‰m ye·u Neáu u laø nghieäm vaø v laø haøm baát kyø (ñuû trôn) sao cho v(0) = 0, thì tích phaân töøng phaàn cho a(u,v)=(f,v), (1.38) trong ñoù 1 a(u,v) := u0(x)v0(x)dx, (1.39) Z0 1 (f,v) := f(x)v(x)dx. (1.40) Z0 Ñöa vaøo khoâng gian haøm V = v H1(0, 1) : v(0) = 0 , (1.41) { ∈ } trong ñoù H 1(0, 1) laø khoâng gian Sobolev caùc haøm cuøng vôùi ñaïo haøm ca·p 1 (ÒaÔo ha¯m suy ro‰ng) bÏnh phˆÙng kha˚ tÌch (thuo‰c L2(0, 1)). ThÏ ta co˘ theÂ no˘i
1.5. CAÙC VAÁN —E¿ TOAŸN HOœC LIE¬N QUAN 15 nghieäm u cuûa (1.36)-(1.37) ñöôïc ñaÎc trˆng bÙ˚i u V sao cho a(u,v)=(f,v) v V, (1.42) ∈ ∀ ∈ pha˘t bieÂu na¯y ÒˆÙÔc goÔi co‚ng thˆ˘c bie·n pha‚n hay co‚ng thˆ˘c ye·u cu˚a ba¯i toa˘n (1.36)-(1.37). Nghie‰m cu˚a no˘ goÔi la¯ nghie‰m ye·u (weak solution) cu˚a ba¯i toa˘n cho. SˆÔ to‡n taÔi va¯ duy nha·t nghie‰m ye·u cu˚a ba¯i toa˘n Òang xe˘t ÒˆÙÔc suy ra ngay nhÙ¯ ÒÚnh ly˘ Lax-Milgram. Mo‰t va·n Òe‡ quan troÔng thˆÙ¯ng ÒˆÙÔc xe˘t: nghie‰m cu˚a (1.42) co˘ la¯ nghie‰m cu˚a ba¯i toa˘n (1.36)-(1.37) hay kho‚ng? Va·n Òe‡ na¯y lie‚n quan Òe·n tÌnh chÌnh quy cu˚a nghie‰m ye·u. VÙ˘i ba¯i toa˘n Òang xe˘t ta co˘ ke·t qua˚ sau. —Únh ly˘ 1.3. Gia˚ sˆ˚ f C0([0, 1]) va¯¯ u C2([0, 1]) tho˚a (1.42). ThÏ u tho˚a (1.36)-(1.37). ∈ ∈ Chˆ˘ng minh. Cho v V C1([0, 1]). ThÏ co‚ng thˆ˘c tÌch pha‚n tˆ¯ng pha‡n cho ∈ ∩ 1 (f,v)= a(u,v)= ( u00)vdx + u0(1)v(1). (1.43) − Z0 Va‰y, (f ( u00),v) = 0 vÙ˘i moÔi v V C1([0, 1]) sao cho v(1) = 0. —aÎt w = f +−u00 − C0([0, 1]). Ne·u w 0 thÏ∈ w∩co˘ mo‰t da·u xa˘c ÒÚnh trong khoa˚ng ∈ 6≡ 2 2 [x0,x1] [0, 1] na¯o Òo˘. ChoÔn v = (x x0) (x x1) trong [x0,x1] va¯ v 0 ⊂ − − 00 ≡ be‚n ngoa¯i khoa˚ng [x0,x1]. ThÏ (w,v) = 0 ma‚u thuaÂn. Va‰y u = f. Ba‚y giÙ¯ a˘p duÔng (1.43) vÙ˘i v = x ta co˘ ngay u0(1)6 = 0. Ta·t nhie‚n, u −V ne‚n u(0) = 0, ∈ va‰y u tho˚a (1.36)-(1.37). . Ba¯i toa˘n xa·p xÊ Galerkin va¯ sˆÔ to‡n taÔi nghie‰m xa·p xÊ Cho S V la¯ kho‚ng gian con hˆıu haÔn chie‡u ba·t ky¯. Ta xe˘t ba¯i toa˘n (1.42) vÙ˘i V ÒˆÙÔc⊂ thay bÙ˚i S, cuÔ theÂ la¯ u S sao cho a(u ,v)=(f,v) v S. (1.44) S ∈ S ∀ ∈ —Únh ly˘ 1.4. Cho trˆÙ˘c f L2(0, 1), ba¯i toa˘n (1.5) co˘ nghie‰m duy nha·t. ∈ Chˆ˘ng minh. Vie·t (1.5) theo ca˘c ha¯m cÙ sÙ˚ φi : 1 i n cu˚a S. Cho n { ≤ ≤ } uS = j=1 Ujφj, Kij = a(φj,φi), Fi = (f,φi) vÙ˘i i, j = 1, 2, ,n. —aÎt U = [Uj], K = [Kij] va¯ F = [Fi]. ThÏ (1.5) tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i phˆÙng trÏnh ma tra‰n P KU = F. (1.45)
16 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU Vì caùc haøm cô sôû φi laø ñoäc laäp tuye·n tÌnh ne‚n (1.45) duy nha·t nghie‰m, suy ra to‡n taÔi nghie‰m va¯ ÒÚnh ly˘ ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh. . —a˘nh gia˘ sai so· TrˆÙ˘c he·t ta xe˘t he‰ thˆ˘c trˆÔc giao cÙ ba˚n giˆıa u va¯ u S. Trˆ¯ (1.5) cho (1.42) ta ÒˆÙÔc a(u u ,w) = 0 w S. (1.46) − S ∀ ∈ Ba‚y giÙ¯ ÒÚnh nghÛa chuaÂn naÍng lˆÙÔng cu˚a v V la¯ ∈ v = a(v,v). k kE —a‚y la¯ chuaÂn tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i chuaÂnp trong H 1(0, 1). —Únh ly˘ dˆÙ˘i Òa‚y chÊ ra raËng vÙ˘i chuaÂn naÍng lˆÙÔng sai so· la¯ to·i ˆu. —Únh ly˘ 1.5. u u = min u v : v S . (1.47) k − SkE {k − kE ∈ } Chˆ˘ng minh. VÙ˘i v S ba·t ky¯ ∈ u u 2 = a(u u ,u u ) k − SkE − S − S = a(u u ,u v)+ a(u u ,v u ) − S − − S − S = a(u u ,u v) (do w = v u S va¯ (1.46)) − S − − S ∈ u u u v . ≤ k − SkEk − kE Ne·u u uS E = 0 thÏ u uS E u v E. Ne·u u us E = 0 baÈt Òa˙ng thˆ˘ck la¯ ta‡m− thˆÙ¯ng.k 6 La·yk inf− tre‚nk v≤kS ta− co˘k k − k ∈ u uS E inf u v E. k − k ≤ S k − k VÏ u S ne‚n ta cuıng co˘ S ∈ u uS E inf u v E u uS E. k − k ≤ S k − k ≤k − k Va‰y ÒÚnh ly˘ ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh. Ve‡ sau, thˆÙ¯ng ta pha˚i Òa˘nh gia˘ sai so· tre‚n cÙ sÙ˚ xa·p xÊ PTHH ÒˆÙÔc du¯ng (ca˘ch choÔn S). —eÂ minh hoÔa, ta xe˘t sai so· theo chuaÂn trong L2(0, 1).
1.5. CAÙC VAÁN —E¿ TOAŸN HOœC LIE¬N QUAN 17 Muo·n Òa˘nh gia˘ u uS ta du¯ng ca˘ch chˆ˘ng minh "ñoái ngaãu". Cho w laø nghieäm cuûa k − k w00 = u u treân [0, 1] vôùi w(0) = w0(1) = 0. − − S Nhôø tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc u u 2 = (u u ,u u ) k − Sk − S − S = (u u , w00) − S − = a(u u ,w) (vì (u u )(0) = w0(1) = 0) − S − S = a(u u ,w v) (do (1.46) − S − vôùi moïi v S. Töø baát ñaúng thöùc Schwarz cho chuaån naêng löôïng ta suy ra ∈ u u u u w v / u u k − Sk ≤ k − S kEk − kE k − Sk u u w v / w00 . ≤ k − S kEk − kE k k Baây giôø laáy inf treân v S ta coù ∈ 00 u uS u uS E inf w v E/ w . k − k≤k − k v∈V k − k k k Vaäy, ta thaáy chuaån L2(0, 1) cuûa sai so· co˘ theÂ nho˚ hÙn chuaÂn naêng löôïng ra·t nhie‡u, mie„n la¯ w co˘ theÂ xa·p xÊ to·t bÙ˚i mo‰t ha¯m na¯o Òo˘ trong S. Co˘ ly˘ ÒeÂ gia˚ sˆ˚ raËng ta co˘ theÂ la·y v S ga‡n w, nghÛa la¯ gia˚ sˆ˚ ∈ 00 inf w v E w (1.48) v∈V k − k ≤ k k vÙ˘i be˘. AŸp duÔng (1.48) ta ÒˆÙÔc u u u u . k − Sk≤ k − SkE AŸp duÔng (1.48) mo‰t la‡n nˆıa vÙ˘i w thay baèng u, vaø duøng ñònh lyù 1.5 ta ñöôïc u u u00 . k − SkE ≤ k k Toå hôïp caùc ñaùnh giaù treân ta ñöôïc —Únh ly˘ 1.6. u u u u 2 u00 = 2 f . (1.49) k − Sk≤ k − SkE ≤ k k k k Ta tha·y u u ca·p trong khi u u ca·p 2. k − SkE k − S k
18 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU 1.6 Khoâng gian Sobolev —eÂ trÏnh ba¯y phˆÙng pha˘p PTHH ta ca‡n Òe·n ca˘c kho‚ng gian ha¯m Sobolev. 1.6.1 Khoâng gian Lebesgue Cho ta‰p mÙ˚ Ω Rd co˘ bie‚n Γ trÙn tˆ¯ng ma˚nh. Theo ly˘ thuye·t tÌch pha‚n Lebesgue mo‰t me‰nh⊂ Òe‡ phuÔ thuo‰c x Ω ÒˆÙÔc goÔi la¯ "ñuùng haàu heát" (h.h.) treân Ω neáu noù ñuùng vôùi moïi x ngoaïi tröø∈ caùc x thuoäc moät taäp coù ñoä ño khoâng (khoâng ñaùng keå). Ta ñoàng nhaát hai haøm baèng nhau h.h. Vôùi 1 q , ta ñònh nghóa khoâng gian Lebesgue, Lq(Ω), laø taäp hôïp ≤ ≤ ∞ caùc haøm thöïc v xaùc ñònh treân Ω sao cho v Lq(Ω) < , trong ñoù v Lq(Ω) ñöôïc ñònh bôûi k k ∞ k k 1/q v q = v(x) dx k kL (Ω) | | ZΩ khi 1 q < , ≤ ∞ v ∞ = ess sup v(x) : x Ω := inf C : v(x) C h.h. k kL (Ω) {| | ∈ } { | |≤ } khi q = . ∞ q AÙnh xaï v v Lq(Ω) thoûa ñònh nghóa veà chuaån treân L (Ω). Hôn nöõa, q 7→ k k khoâng gian L (Ω) vôùi chuaån q laø khoâng gian Banach. k·kL (Ω) Ba·t Òa˙ng thˆ˘c Ho¨lder Vôùi 1 p, q sao cho 1/p + 1/q = 1, ≤ ≤∞ p q uv 1 u p v q u L (Ω), v L (Ω). (1.50) k kL (Ω) ≤k kL (Ω)k kL (Ω) ∀ ∈ ∈ Khi p = q = 1, baát ñaúng thöùc naøy coøn ñöôïc goïi laø ba·t Òa˙ng thˆ˘c Cauchy hay ba·t Òa˙ng thˆ˘c Schwarz. Baát ñaúng thöùc tam giaùc aùp duïng cho Lq(Ω) ñöôïc goïi laø ba·t Òa˙ng thˆ˘c Minkowski: q u + v q u q + v q u,v L (Ω). (1.51) k kL (Ω) ≤k kL (Ω) k kL (Ω) ∀ ∈ 1.6.2 —aÔo ha¯m suy ro‰ng (ÒaÔo ha¯m ye·u) Cho v laø haøm lieân tuïc xaùc ñònh treân Ω, giaù (support) cuûa v laø bao ñoùng cuûa taäp v : v(x) = 0, x Ω . Neáu taäp naøy laø compact (bò chaën), thì v ñöôïc goïi laø coù giaù{ compact6 trong∈ Ω.}
1.6. KHOÂNG GIAN SOBOLEV 19 ∞ Kyù hieäu (Ω) hay C0 (Ω) laø taäp hôïp caùc haøm coù giaù compact trong Ω. —eÂ ÒÚnh nghÛaD ÒaÔo ha¯m ye·u, ta Òˆa va¯o kho‚ng gian ha¯m: L1 (Ω) = v : v L1(K) vÙ˘i moÔi compact K trong Ω . loc { ∈ } 1 0 Chu˘ y˘ raËng Lloc(Ω) chˆ˘a ta·t ca˚ ca˘c ha¯m thuo‰c lÙ˘p C (Ω). Ky˘ hie‰u dˆÙ˘i Òa‚y ÒˆÙÔc du¯ng ÒeÂ chÊ mo‰t ÒaÔo ha¯m rie‚ng cu˚a ha¯m v ∂|α|v Dαv = , ∂xα1∂xα2 ∂xαd 1 2 ··· d trong Òo˘ α = (α1, α2, ,αd) la¯ mo‰t Òa chÊ so·, vÙ˘i α1, α2, ,αd la¯ ca˘c so· nguye‚n kho‚ng a‚m, va¯ α = α1 + α2 + + αd la¯ Òo‰ da¯i cu˚a α. 1 | | ··· α Ha¯m v Lloc(Ω) ÒˆÙÔc goÔi la¯ co˘ ÒaÔo ha¯m suy ro‰ng, Dwv, ne·u to‡n taÔi ha¯m u L1 (Ω)∈ sao cho ∈ loc u()ϕ(x)dx =( 1)|α| v(x)Dαϕ(x)dx ϕ (Ω). − ∀ ∈ D ZΩ ZΩ α Ne·u u to‡n taÔi ta vie·t Dwv = u. Ne·u v C|α|(Ω), thÏ ÒaÔo ha¯m suy ro‰ng Dα v to‡n taÔi va¯ baËng Dαv. ∈ w 1.6.3 Khoâng gian Sobolev 1 α VÙ˘i r = 1, 2, va¯ v Lloc(Ω), gia˚ sˆ˚ ca˘c ÒaÔo ha¯m suy ro‰ng D v to‡n taÔi vÙ˘i moÔi α r. Ta ÒÚnh∈ nghÛa chuaÂn Sobolev | |≤ 1/q α q v r,q = D v q k kW (Ω)  k kL (Ω) |Xα|≤r   khi 1 q < . Khi q = , ÒÚnh nghÛa ≤ ∞ ∞ α v W r,∞(Ω) = max D v L∞(Ω). k k |α|≤r k k Kho‚ng gian Sobolev ÒˆÙÔc ÒÚnh nghÛa bÙ˚i r,q 1 W (Ω) = v L (Ω) : v r,q < , 1 q . { ∈ loc k kW (Ω) ∞} ≤ ≤∞
20 CHÖ‘NG 1. GI‘ŸI THIEƒU r,q W r,q (Ω) thoûa ñònh nghóa chuaån. Hôn nöõa, W (Ω) laø khoâng gian Banach k·kvôùi chuaån naøy. r,q Kyù hieäu W0 (Ω) laø ñaày ñuû hoùa cuûa (Ω) ño·i vÙ˘i chuaÂn W r,q (Ω). 1,q D k·k VÙ˘i Ω co˘ bie‚n trÙn va¯ v W (Ω), haÔn che· tre‚n bie‚n Γ, v|Γ, co˘ theÂ ÒˆÙÔc bieÂu die„n nhˆ la¯ ha¯m trong∈ Lq(Γ), 1 q . —ie‡u na¯y kho‚ng kha˙ng ÒÚnh gia˘ trÚ tˆ¯ng ÒieÂm cu˚a v tre‚n Γ co˘ nghÛa.≤ Tˆ¯≤∞ tÌnh cha·t na¯y ta co˘ W r,q(Ω) = v W r,q(Ω) : Dαv = 0 trong L2(Γ), α 0, phuÔ thuo‰c chÊ va¯o Ω, sao cho v 2 C v 1 . (1.54) k kL (Ω) ≤ | |H (Ω) Ne·u Ω bÚ chaÎn, ba·t Òa˙ng thˆ˘c na¯y a˘m chÊ nˆ˚a chuaÂn 1 tˆÙng ÒˆÙng |·|H (Ω) vÙ˘i chuaÂn 1 . ToÂng qua˘t, r tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i chuaÂn 1 . k·kH (Ω) k·kH (Ω) k·kH (Ω)
Baøi taäp chöông 1 21 Xeùt khoâng gian Lq(Ω), 1 q < . Vôùi f Lp(Ω), trong ñoù 1/p + 1/q = 1, ñaÎt ≤ ∞ ∈ L(v)= f(x)v(x)dx, v Lq(Ω). ∈ ZΩ Theo ba·t Òa˙ng thˆ˘c Ho¨lder, L la¯ daÔng tuye·n tÌnh bÚ chaÎn theo chuaÂn Lq(Ω): q L(v) f p v q , v L (Ω). ≤k kL (Ω)k kL (Ω) ∈ Nhˆ va‰y f Lp(Ω) co˘ theÂ xem nhˆ phie·m ha¯m tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc tre‚n Lq(Ω). Do —Únh∈ ly˘ bieÂu die„n Riesz Lp(Ω) la¯ kho‚ng gian Òo·i nga„u cu˚a Lq(Ω). ChÊ so· p goÔi la¯ chÊ so· Òo·i nga„u cu˚a q. VÙ˘i 1 q va¯ r la¯ so· nguye‚n dˆÙng, kho‚ng gian Òo·i nga„u cu˚a kho‚ng gian Sobolev≤ ≤ ∞W r,q(Ω) ÒˆÙÔc ky˘ hie‰u bÙ˚i W −r,p(Ω), trong Òo˘ p la¯ chÊ so· Òo·i nga„u cu˚a q. ChuaÂn: L(v) −r,p L W −r,p(Ω) = sup , L W (Ω). k k r,q v r,q ∈ 06=v∈W (Ω) k kW (Ω) Baøi taäp chöông 1 1.1. Cho phie·m ha¯m I(u) ÒÚnh bÙ˚i 1 1 I = [ (u0)2 + u2 + 2xu]dx. 2 − Z0 TÌnh bie·n pha‚n ca·p mo‰t δI cu˚a phie·m ha¯m I. —S: 1 δI = [ u0(δu)0 +(u + x)δu]dx. − Z0 1.2. Cho ba¯i toa˘n bie‚n: tÏm ha¯m u tho˚a phˆÙng trÏnh vi pha‚n u00 + u + x = 0, 0 <x< 1,
22 Baøi taäp chöông 1 vôùi caùc ñieàu kieän bieân u(0) = u(1) = 0 a) Tìm phie·m ha¯m naÍng lˆÙÔng lie‚n ke·t vÙ˘i ba¯i toa˘n. b) Gia˚i ba¯i toa˘n baèng phöông phaùp Galerkin hoaëc Ritz vôùi ϕ0(x) = 0, ϕ1(x) = sin(πx), ϕ2(x) = sin(2πx), ϕ3(x) = sin(3πx). HD: S = V = v H1(0, 1),v(0) = v(1) = 0 . Baøi toaùn bie·n pha‚n: { ∈ } 1 [ u0v0 + uv + xv]dx = 0 − Z0 vÙ˘i moÔi v V . ∈ a) —eÂ tÏm phie·m ha¯m naÍng lˆÙÔng lie‚n ke·t vÙ˘i ba¯i toa˘n, thay v baËng ky˘ hie‰u bie·n pha‚n δu cu˚a u. b) Nghie‰m xa·p xÊ daÔng: u3 = c1ϕ1 + c2ϕ2 + c3ϕ3 = c1 sin(πx)+ c2 sin(2πx)+ c3 sin(3πx). Thay va¯o phˆÙng trÏnh bie·n pha‚n ta ÒˆÙÔc he‰: 3 c1(π π) 2 = 0 −c (4π3− π)+1− =0  − 2 − c (27π3 3π) 2 = 0  − 3 − −  Gia˚i: 2 1 2 c = , c = , c = . 1 π(π2 1) 2 −π(4π2 1) 3 3π(9π2 1) − − − Va‰y, 2sin(πx) sin(2πx) 2 sin(3πx) u = + . 3 π(π2 1) − π(4π2 1) 3π(9π2 1) − − − So sa˘nh ke·t qua˚ vÙ˘i nghie‰m chÌnh xa˘c u = sin x x, hÏnh 1.2. cx sin1 −
Baøi taäp chöông 1 23 Hình 1.2: Nghieäm chính xaùc vaø nghieäm xa·p xÊ. 1.3. Cho phie·m ha¯m I(u) ÒÚnh bÙ˚i b I(u)= F (x,u,ux,uxx)dx, Za trong Òo˘ u = u(x), x [a,b], ca˘c ky˘ hie‰u ux, uxx ÒeÂ chÊ ÒaÔo ha¯m ca·p mo‰t va¯ hai cu˚a u theo bie·n x∈. a) TÌnh δI. b) TÏm Òie‡u kie‰n ca‡n ÒeÂ I ÒaÔt cˆÔc trÚ. —S: b ∂F ∂F ∂F a) δI = δu + δu + δu dx. ∂u ∂u x ∂u xx Za x xx b) δI = 0. Bie·n ÒoÂi δI, b ∂F d ∂F d2 ∂F δI = + δudx ∂u − dx ∂u dx2 ∂u Za x xx ∂F d ∂F b ∂F b + δu δu + δu . ∂u − dx ∂u ∂u x x xx a xx a
24 Baøi taäp chöông 1 Do bie·n pha‚n δu tu¯y y˘, tˆ¯ Òie‡u kie‰n δI = 0 suy ra ∂F d ∂F d2 ∂F + = 0, (1.55) ∂u − dx ∂u dx2 ∂u x xx ∂F d ∂F b δu δu = 0, (1.56) ∂u − dx ∂u x xx a ∂F b δu = 0. (1.57) ∂u x xx a PhˆÙng trÏnh (1.55) ÒˆÙÔc goÔi la¯ phˆÙng trÏnh Euler hay phˆÙng trÏnh Euler- Lagrange; ca˘c phˆÙng trÏnh (1.56), (1.57) cho Òieàu kieän bieân. 1.4. Xeùt baøi toaùn bieân d du L[u] := p(x) + q(x)u = f(x), 0 <x< 1, (1.58) −dx dx u(0) = u(1) = 0. (1.59) a) Duøng phöông phaùp dö so· co˘ troÔng tÏm nghie‰m xa·p xÊ vÙ˘i ϕj (x)= ψ(x) = sin jπx, j = 1, 2, ,N. b) Chˆ˘ng to˚ raËng: ne·u du¯ng (1.10) vÙ˘i ψ (x)= δ(x x ), j = 1, 2, ,N, j − j trong Òo˘ δ(x) la¯ ha¯m delta Dirac tho˚a ∞ δ(x) = 0, x = 0; δ(x)dx = 1, 6 Z−∞ va¯ 0 <x1 <x2 < <xN < 1. thÏ ta ÒˆÙÔc ke·t qua˚ cu˚a phˆÙng pha˘p Òo‡ng vÚ; nghÛa la¯, nghie‰m tho˚a phˆÙng trÏnh vi pha‚n (1.58) taÔi ca˘c ÒieÂm xj.
Baøi taäp chöông 1 25 Hình 1.3: Baøi taäp 1.5. 1.5. —o‰ voıng cu˚a da‡m chieàu daøi L, chòu uo·n dˆÙ˘i ta˘c duÔng cu˚a ta˚i troÔng pha‚n bo· Òe‡u p, tho˚a phˆÙng trÏnh d4w EI p = 0, (1.60) dx4 − trong Òo˘ E la¯ mo‚Òun Young, I la¯ mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a da‡m. Baèng phöông phaùp Galerkin, tìm ñoä voõng cuûa daàm vôùi caùc ñieàu kieän bieân (ngaøm): w(0) = w(L) = 0, (1.61) dw dw EI (0) = EI (L) = 0. (1.62) dx dx
26 Baøi taäp chöông 1
Chöông 2 Lyù thuye·t cÙ ba˚n uoân luoân coù caùch bieåu dieãn to·t hÙn! L aét chöôùc roài saùng taïo. B —a‚y la¯ chˆÙng da¯i nha·t trÏnh ba¯y: ca˘c y˘ tˆÙ˚ng cÙ ba˚n cu˚a phˆÙng pha˘p PTHH, ca˘ch a˘p duÔng PTHH gia˚i ba¯i toa˘n khoa hoÔc kyı thua‰t, co¯n goÔi la¯ mo‚ hÏnh ho˘a PTHH. VÙ˘i ÒÚnh hˆÙ˘ng ˆ˘ng duÔng PTHH gia˚i ca˘c ba¯i toa˘n khoa hoÔc kyı thua‰t, ca˘ch thˆ˘c mo‚ hÏnh ho˘a va¯ ca˚ la‰p trÏnh tÌnh toa˘n PTHH ÒˆÙÔc trÏnh ba¯y cho mo‰t ba¯i toa˘n cÙ hoÔc ke·t ca·u ÒÙn gia˚n - ba¯i toa˘n ke˘o thanh doÔc truÔc. Do ca˘ch trÏnh ba¯y va·n Òe‡ co‚ ÒoÔng, du¯ng ngo‚n ngˆı ma tra‰n, ne‚n co‚ng vie‰c cu˚a ngˆÙ¯i ÒoÔc kha˘ naÎng ne‡. Haıy ÒoÔc kyı cho tha·u Òa˘o va¯ kieÂm tra caÂn tha‰n ca˘c bˆÙ˘c baËng gia·y bu˘t. 2.1 PTHH nhˆ la¯ phˆÙng pha˘p xa·p xÊ ha¯m YŸ tˆÙ˚ng cÙ ba˚n cu˚a PTHH la¯ xa·p xÊ ha¯m. —aÎc ÒieÂm cu˚a phe˘p xa·p xÊ na¯y la¯ gia˘ trÚ xa·p xÊ cu˚a ha¯m taÔi mo‰t ÒieÂm chÊ phuÔ thuo‰c va¯o gia˘ trÚ (cho trˆÙ˘c) cu˚a ha¯m taÔi va¯i ÒieÂm îkha˘ ga‡nî no˘. Cho ha¯m f(x) xa˘c ÒÚnh tre‚n mie‡n Ω Rd (d = 1, 2, 3). ⊂ 2.1.1 Phe˘p pha‚n hoaÔch PTHH Xa·p xÊ ha¯m baÈt Òa‡u baËng sˆÔ pha‚n hoaÔch Ω tha¯nh ca˘c mieàn con Ω(e), goïi laø phaàn töû höõu haïn (finite element), coù hình hoïc ñôn giaûn. Caùc phaàn töû höõu haïn 27
28 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N ñöôïc xaùc ñònh nhôø caùc ñieåm, goïi laø nu˘t (node) hÏnh hoÔc. Noùi chung, pheùp phaân hoaïch phaûi thoûa hai ñieàu kieän: 1) Hoäi caùc phaàn töû taïo thaønh mieàn Ωh xaáp xæ mieàn Ω, Ω Ω = Ω(e); ≈ h e [ Hình 2.1: Xaáp xæ PTHH mieàn Ω. 2) Caùc phaàn töû höõu haïn khaùc nhau khoâng "daãm leân" nhau. Giöõa hai phaàn töû coù chung nhau hôn hai nuùt hình hoïc, thì phaàn bieân cuûa chuùng ñi qua caùc ñieåm chung naøy phaûi truøng nhau. Noùi khaùc ñi, pheùp phaân hoaïch PTHH khoâng laøm xuaát hieän caùc "loã hoãng". Hình 2.2: Tính chaát cuûa pheùp phaân hoaïch. 2.1.2 Caùc loaïi phaàn töû höõu haïn Tuøy theo thöù nguyeân d cuûa mieàn Ω vaø soá ñieåm nuùt (cuûa phaàn töû) ta coù caùc loaïi phaàn töû höõu haïn khaùc nhau. Vieäc choïn loaïi phaàn töû goùp phaàn chæ ñònh caùch xaáp xæ haøm trong phaàn töû aáy. 1) Phaàn töû 1-chieàu laø caùc ñoaïn thaúng hay cong (hình 2.3)
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 29 Hình 2.3: Phaàn töû höõu haïn 1-chieàu. Hình 2.4: Phaàn töû höõu haïn 2-chieàu. 2) Phaàn töû 2-chieàu laø caùc tam giaùc hoaëc töù giaùc vôùi caùc caïnh laø ñöôøng cong baäc nhaát, baäc hai hay baäc ba (hình 2.4). 3) Phaàn töû 3-chieàu laø caùc khoái töù dieän, luïc dieän (hình 2.5). 2.1.3 Phaàn töû tham chie·u Moät ñaëc ñieåm quan troïng cuûa xaáp xæ phaàn töû höõu haïn laø tính ñòa phöông cuûa pheùp xaáp xæ. Xaáp xæ cuûa haøm treân moãi phaàn töû chæ phuï thuoäc vaøo caùc giaù trò cuûa haøm taïi caùc nuùt, goïi laø nu˘t no‰i suy, naèm trong phaàn töû aáy. Vì vaäy ta coù theå xaây döïng pheùp xaáp xæ treân moät phaàn töû ñaëc thuø (cuøng loaïi, ñôn giaûn) Ωr goïi laø phaàn töû tham chie·u. Xaáp xæ cuûa haøm treân moät phaàn töû thöïc Ω(e) baát kyø coù
30 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Hình 2.5: Phaàn töû höõu haïn 3-chieàu. theå nhaän ñöôïc nhôø pheùp bieán ñoåi (song aùnh) τ (e) bie·n phaàn töû tham chie·u tha¯nh pha‡n tˆ˚ thˆÔc. Thí duï 2.1. Phaàn töû tham chie·u 1-chieàu la¯ ÒoaÔn Ωr = [0, 1] tre‚n truÔc toÔa Òo‰ (e) ξ vÙ˘i ca˘c nu˘t ξ1 = 0 va¯ ξ2 = 1. VÙ˘i phaàn töû thöïc Ω treân truïc toïa ñoä x vôùi (e) r (e) caùc nuùt töông öùng xi, xj, pheùp bie·n ÒoÂi τ : ξ x, bie·n Ω tha¯nh Ω , la¯ a˘nh xaÔ affine 7→ τ (e)(ξ)= aξ + b, trong Òo˘ ca˘c haèng so· a, b ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh bÙ˚i ca˘c tˆÙng ˆ˘ng: (e) τ (ξ1) = xi, a = xj xi, (e) − τ (ξ2) = xj ⇔ b = xi Nhˆ va‰y, phe˘p tˆÙng ˆ˘ng giˆıa ÒieÂm ξ Ωr vÙ˘i ÒieÂm x Ω(e): ∈ ∈ x = (1 ξ)x + ξx (0 ξ 1). (2.1) − i j ≤ ≤ Nhaän xeùt 2.1. Trong hÏnh hoÔc affine, ÒieÂm x naèm treân ñoaïn thaúng no·i hai ÒieÂm xi, xj ÒˆÙÔc bieÂu die„n dˆÙ˘i daÔng mo‰t toÂ hÙÔp tuye·n tÌnh cu˚a hai ÒieÂm na¯y x = λ1xi + λ2xj
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 31 Hình 2.6: Pheùp bie·n ÒoÂi τ(e). vÙ˘i λ , λ 0 va¯ λ + λ = 1. Khi Òo˘, (λ , λ ) goÔi la¯ toÔa Òo‰ troÔng ta‚m 1 2 ≥ 1 2 1 2 (barycentric coordinates) cu˚a x Òo·i vÙ˘i hai ÒieÂm xi, xj. So sa˘nh vÙ˘i co‚ng thˆ˘c bie·n ÒoÂi (2.1), ta co˘: λ = 1 ξ, λ = ξ. 1 − 2 Hai ha¯m na¯y xa˘c ÒÚnh phe˘p bie·n ÒoÂi τ (e) : [0, 1] [x ,x ]. → i j • Nhaän xeùt 2.2. Ca˘c ha¯m λ1, λ2 la¯ ca˘c Òa thˆ˘c ba‰c nha·t theo ξ, trong Òo˘ ca˘c he‰ so· ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh tˆ¯ Òieàu kieän Kronecker λi(ξk)= δik. • Thí duï 2.2. Phaàn töû tham chie·u 2-chieàu tam giaùc la¯ tam gia˘c Ωr vÙ˘i ca˘c ÒÊnh ξ = (0, 0), ξ = (1, 0), ξ = (0, 1) trong maÎt pha˙ng toÔa Òo‰ ξη. Pha‡n tˆ˚ tam 1 2 3 (e) gia˘c ba·t ky¯ Ω vÙ˘i ca˘c nu˘t xi =(xi,yi), xj =(xj,yj), xk =(xk,yk) trong maÎt pha˙ng toÔa Òo‰ xy ÒˆÙÔc bie·n ÒoÂi tˆ¯ pha‡n tˆ˚ tham chie·u nhÙ¯ phe˘p bie·n ÒoÂi x = Aξ + B, (2.2) trong Òo˘ a a b A = 11 12 , B = 1 (2.3) a a b 21 22 2
32 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N laø ma traän vaø vectô haèng ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc heä thöùc: x = Aξ + B, i 1 x = Aξ + B,  j 2 x = Aξ + B,  k 3  Giaûi ra, ta ñöôïc x x x x x A = j − i k − i , B = i . (2.4) y y y y y j − i k − i i Nhö vaäy, söï töông öùng giöõa ñieåm ξ vaø ñieåm x: x x x x = (1 ξ η) i + ξ j + η k (2.5) y − − yi yj yk hay x = (1 ξ η)x + ξx + ηx . (2.6) − − i j k Caùc haøm λ = 1 ξ η, λ = ξ, λ = η. (2.7) 1 − − 2 3 laø caùc toïa ñoä troïng taâm cuûa x ñoái vôùi ba ñieåm x i, xj, xk. Hình 2.7: Phaàn töû tham chieáu tam giaùc 3 nuùt.
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 33 Toång quaùt, trong Rd PTHH ñôn giaûn nha·t la¯ d-ÒÙn hÏnh - bao lo‡i cu˚a d d + 1 ÒieÂm xi (i=1,2,. . . ,d+1) Òo‰c la‰p tuye·n tÌnh trong R . d-ÒÙn hÏnh tham chie·u co˘ ca˘c ÒÊnh: ξ = (0, 0, , 0), 1 ξ = (1, 0, , 0), 2 ξ = (0, 1, , 0), 3 ··· ξ = (0, 0, , 1). d+1 Ky˘ hie‰u: x =(x1,x2, ,xd) la¯ ÒieÂm thuo‰c pha‡n tˆ˚ thˆÔc; T ξ =[ξ1, ξ2, ,ξd] la¯ ÒieÂm thuo‰c pha‡n tˆ˚ tham chie·u. T xi =[xi,1,xi,2, ,xi,d] la¯ ca˘c ÒÊnh cu˚a pha‡n tˆ˚ thˆÔc. Phe˘p bie·n ÒoÂi Affine giˆıa pha‡n tˆ˚ tham chie·u va¯ pha‡n tˆ˚ thˆÔc: x = Aξ + B. (2.8) Tˆ¯ Òie‡u kie‰n Aξ + B = x ta co˘ ngay i i x x x 1,1 i+1,1 − 1,1 x1,2 xi+1,2 x1,2 B = x1 =  .  , A(:,i)= xi+1 x1 =  .−  , (i = 1, ,d). . − .      x1,d   xi+1,d x1,d     −      Phe˘p bie·n ÒoÂi: d x = 1 ξk x1 + ξ1x2 + ξ2x3 + + ξdxd+1 − ! ··· Xk=1 = λ x + λ x + λ x + + λ x , 1 1 2 2 3 3 ··· d+1 d trong Òo˘ λi la¯ toÔa Òo‰ troÔng ta‚m cu˚a x: d λ = 1 ξ , λ = ξ , λ = ξ , ,λ = ξ . 1 − k 2 1 3 2 d+1 d Xk=1
34 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Thí duï 2.3. Phaàn töû tham chie·u 2-chieàu töù giaùc. Xeùt phaàn töû töù giaùc ba·t ky¯ (e) Ω vÙ˘i ca˘c nu˘t xi = (xi,yi), xj = (xj,yj), xk = (xk,yk), xl = (xl,yl) trong maÎt pha˙ng toÔa Òo‰ xy, Òˆa va¯o he‰ toÔa ÒÚa phˆÙng co˘ ca˘c ÒˆÙ¯ng toÔa Òo‰ ξ, η la¯ hai hoÔ ÒˆÙ¯ng tha˙ng pha‚n Òeàu bo·n caÔnh cu˚a tˆ˘ gia˘c (hÏnh 2.8a)). La·y ÒieÂm trung ta‚m cu˚a hai hoÔ na¯y la¯m go·c baËng ca˘ch ÒaÎt ξ = η = 0, veı ca˘c truÔc ξ, η theo hˆÙ˘ng taÍng cu˚a ξ ,η, Òo‡ng thÙ¯i la·y gia˘ trÚ tre‚n bo·n caÔnh la¯ 1, thÏ ta thu ÒˆÙÔc hÏnh vuo‚ng Ωr vÙ˘i ca˘c ÒÊnh: ± ξ =( 1, 1), ξ = (1, 1), ξ = (1, 1), ξ =( 1, 1) 1 − − 2 − 3 4 − trong he‰ toÔa Òo‰ ξη (hÏnh 2.8b)). HÏnh vuo‚ng Ω(e) la¯ pha‡n tˆ˚ tham chie·u 2-chie‡u tˆ˘ gia˘c. HÏnh 2.8: Pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn tˆ˘ gia˘c. —eÂ xa‚y dˆÔng phe˘p bie·n ÒoÂi tˆ¯ pha‡n tˆ˚ tham chie·u Ωr sang pha‡n tˆ˚ thˆÔc Ω(e) ta ca‡n Òe·n mo‰t so· kha˘i nie‰m cu˚a ly˘ thuye·t no‰i suy sie‚u haÔn. —Únh nghÛa 2.1. Cho la¯ kho‚ng gian vectÙ va¯ ˜ la¯ kho‚ng gian con Òo˘ng cu˚a no˘. Mo‰t a˘nh xaÔ tuye·nL tÌnh P : ˜ co˘ tÌnhL cha·t luıy Òa˙ng (idempotent), nghÛa la¯ L → L P P = P, ◦ ÒˆÙÔc goÔi la¯ phe˘p chie·u tˆ¯ le‚n ˜. L L Cho la¯ kho‚ng gian ca˘c ha¯m (hai bie·n) lie‚n tuÔc xa˘c ÒÚnh tre‚n Ωr, va¯ ˜ la¯ kho‚ngL gian ca˘c ha¯m lie‚n tuÔc tre‚n Ωr, sao cho ÒaÔo ha¯m theo ξ to‡n taÔi va¯ L la¯ haËng so·. Xe˘t phe˘p chie·u P : ˜ xa˘c ÒÚnh bÙ˚i L→ L 1 ξ ξ + 1 P (f)= − f( 1, η)+ f(1, η). (2.9) ξ 2 − 2
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 35 Ta tha·y, P(f) giˆı nguye‚n gia˘ trÚ cu˚a ha¯m f doÔc theo ca˘c caÔnh tha˙ng Òˆ˘ng ξ = 1 cu˚a pha‡n tˆ˚ tham chie·u, va¯ no‰i suy tuye·n tÌnh gia˘ trÚ cu˚a no˘ giˆıa ± ξ = 1 va¯ ξ = 1 doÔc theo ca˘c caÔnh naËm ngang η = const. − TˆÙng tˆÔ cho ca˘c ÒˆÙ¯ng naèm ngang η = 1 ± 1 η η + 1 P (f)= − f(ξ, 1) + f(ξ, 1). (2.10) η 2 − 2 Tích cuûa hai pheùp chie·u Pξ va¯ Pη, (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) P P (f) = − − f( 1, 1) + − f(1, 1) ξ ◦ η 4 − − 4 − (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) + f(1, 1) + − f( 1, 1) 4 4 − (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) = − − f(ξ )+ − f(ξ ) 4 1 4 2 (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) + f(ξ )+ − f(ξ ), (2.11) 4 3 4 4 cuıng la¯ mo‰t phe˘p chie·u. BaËng ca˘ch kieÂm trˆÔc tie·p, du¯ng (2.9) - (2.11), co˘ theÂ chÊ ra raèng P (f)+ P (f) P P (f)= ξ η − ξ ◦ η 1 ξ ξ + 1 = − f( 1, η)+ f(1, η) 2 − 2 1 η η + 1 + − f(ξ, 1) + f(ξ, 1) 2 − 2 (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) − − f(ξ ) − f(ξ ) − 4 1 − 4 2 (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) f(ξ ) − f(ξ ) (2.12) − 4 3 − 4 4 noäi suy haøm f chính xaùc treân caû bo·n caÔnh cu˚a hÏnh vuo‚ng Ωr.
36 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Baây giôø, ta xaây döïng pheùp bie·n ÒoÂi pha‡n tˆ˚ tham chie·u Ωr tha¯nh pha‡n tˆ˚ thˆÔc Ω(e), x = x(ξ, η), y = y(ξ, η). —eÂ y˘ raËng ca˘c ÒieÂm (1, η), 1 η 1 (tre‚n caÔnh ξ ξ ), tˆÙng ˆ˘ng vÙ˘i ca˘c − ≤ ≤ 2 3 ÒieÂm (x,y) tre‚n caÔnh x2x3; do Òo˘, x + x x x x(1, η)= 2 3 + η 3 − 2 . (2.13) 2 2 TˆÙng tˆÔ vÙ˘i ca˘c caÔnh co¯n laÔi, ta co˘: x + x x x x( 1, η)= 1 4 + η 4 − 1 , (2.14) − 2 2 x + x x x x(ξ, 1) = 4 3 + ξ 3 − 4 , (2.15) 2 2 x + x x x x(ξ, 1) = 2 1 + ξ 2 − 1 . (2.16) − 2 2 Du¯ng co‚ng thˆ˘c (2.12) vÙ˘i f thay baèng x, sau moät so· bie·n ÒoÂi, ta thu ÒˆÙÔc: (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) x = x − − + x − 1 4 2 4 (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) +x + x − . (2.17) 3 4 4 4 Do tÌnh Òo·i xˆ˘ng, baËng ca˘ch thay x,x1,x2,x3,x4, tˆÙng ˆ˘ng, baèng y,y1,y2,y3,y4 trong coâng thöùc treân ta thu ñöôïc coâng thöùc bie·n ÒoÂi cho tha¯nh phaàn tung
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 37 ñoä. —aÎt: (1 ξ)(1 η) N (ξ, η) = − − , (2.18) 1 4 (1 + ξ)(1 η) N (ξ, η) = − , (2.19) 2 4 (1 + ξ)(1 + η) N (ξ, η) = , (2.20) 3 4 (1 ξ)(1 + η) N (ξ, η) = − . (2.21) 4 4 Khi Òo˘ co‚ng thˆ˘c bie·n ÒoÂi co˘ theÂ vie·t dˆÙ˘i daÔng vectÙ: 4 x = xiNi(ξ). (2.22) i=1 X Nhaän xeùt 2.3. Phe˘p chie·u (2.9) co˘ theÂ de„ da¯ng ÒˆÙÔc toÂng qua˘t ho˘a tha¯nh no‰i suy ha¯m f chÌnh xa˘c doÔc theo m + 1 ÒˆÙ¯ng tha˙ng Òˆ˘ng ξ = ξi, 1= ξ < ξ < <ξ = 1, − 0 1 m m v Pv(f)= f(ξi, η)θi (ξ), (2.23) i=0 X trong Òo˘ v ξ ξj θi (ξ)= − , ξi ξj Yj6=i − i = 0, 1, ,m la¯ nhˆıng ha¯m no‰i suy Lagrange cÙ sÙ˚. Trong khuo‚n khoÂ ly˘ v thuye·t no‰i suy sie‚u haÔn (transfinite interpolation), ca˘c ha¯m θi ÒˆÙÔc goÔi la¯ ca˘c ha¯m uo·n (blending function). VÏ ca˚ hai ha¯m so· P(f) va¯ Pv(f) tru¯ng vÙ˘i f taÔi
38 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N moät so· kho‚ng Òe·m ÒˆÙÔc ca˘c ÒieÂm ne‚n chu˘ng co˘ te‚n goÔi la¯ no‰i suy sie‚u haÔn, toa˘n tˆ˚ tˆÙng ˆ˘ng ÒˆÙÔc goÔi la¯ toa˘n tˆ˚ no‰i suy sie‚u haÔn. Co‚ng thˆ˘c tˆÙng tˆÔ (2.23) cho ca˘c ÒˆÙ¯ng naËm ngang η = ηj , 1= η < η < <η = 1, − 0 1 n n h Ph(f)= f(ξ, ηj )θj (η), (2.24) j=0 X trong Òo˘ h η ηi θj (η)= − ,  = 0, 1, ,n. ηj ηi Yj6=i − TÌch cu˚a hai phe˘p chie·u Pv va¯ Ph: m n P P (f)= f(ξ , η )θv(ξ)θh(η). (2.25) h ◦ v i j i j i=0 j=0 X X Toa˘n tˆ˚ tÌch P P cuıng la¯ mo‰t phe˘p chie·u, va¯ P P (f) no‰i suy ha¯m f h ◦ v h ◦ v chÌnh xa˘c taÔi (m +1)(n + 1) ÒieÂm (ξi, ηj), i = 0, 1, ,m, j = 0, 1, ,n. Ha¯m P P (f) ÒˆÙÔc goÔi la¯ no‰i suy Lagrange lˆÙıng Òa thˆ˘c cu˚a ha¯m f taÔi ca˘c ÒieÂm h ◦ v (ξi, ηj ). Phe˘p chie·u P P kho‚ng la¯ no‰i suy sie‚u haÔn. Ta co˘ mo‰t ca˘ch toÂ hÙÔp h ◦ v hai toa˘n tˆ˚ Pv va¯ Ph ÒeÂ co˘ ÒˆÙÔc mo‰t toa˘n tˆ˚ no‰i suy sie‚u haÔn ma¯ ta‰p chÌnh xa˘c chˆ˘a toa¯n bo‰ ca˘c ÒˆÙ¯ng ξ = ξi, η = ηj . —o˘ la¯ toÂng Boolean P P = P + P P P . (2.26) v ⊕ h v v − v ◦ h —Únh ly˘ 2.1. Cho ca˘c toa˘n tˆ˚ P va¯ P . ThÏ (P P )(f) no‰i suy ha¯m f chÌnh v h v ⊕ h xa˘c doÔc theo ca˘c ÒˆÙ¯ng ξ = ξi, η = ηj, i = 0, 1, ,m, j = 0, 1, ,n. Ha¯m (P P )(f) ÒˆÙÔc goÔi la¯ no‰i suy Lagrange hai chie‡u sie‚u haÔn. v ⊕ h • Nha‰n xe˘t 2.4. Ta co˘ theÂ tÏm co‚ng thˆ˘c bie·n ÒoÂi dˆÙ˘i daÔng mo‰t Òa thˆ˘c ba‰c nha·t theo tˆ¯ng bie·n: x = a0 + a1ξ + a2η + a3ξη.
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 39 Vôùi caùch choïn naøy thì khi ξ = const (hay η = const) ña thöùc trôû thaønh baäc nha·t theo y (hay x), tˆÙng ˆ˘ng vÙ˘i ÒˆÙ¯ng tha˙ng. • 2.1.4 Xa·p xÊ ha¯m tre‚n pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn Phe˘p xa·p xÊ ha¯m baËng phaàn töû höõu haïn söû duïng caùc haøm noäi suy Lagrange. Baäc to·i Òa cu˚a Òa thˆ˘c xa·p xÊ qui ÒÚnh loaÔi pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn va¯ so· nu˘t no‰i suy 1) ca‡n thie·t. ThÌ duÔ 2.4. TrˆÙ¯ng hÙÔp 1-chieàu, ña thöùc baäc nha·t. Ca˘c Òa thˆ˘c p1(x) = 1, p2(x) = x la‰p tha¯nh cÙ sÙ˚ cu˚a kho‚ng gian ca˘c Òa thˆ˘c ba‰c 1. Ha¯m xa·p xÊ cu˚a u = u(x) co˘ theÂ bieÂu die„n dˆÙ˘i daÔng ≤ a1 uh(x)=[p1(x) p2(x)] =[p(x)] a . (2.27) a2 { } ‘¤ Òa‚y ta sˆ˚ duÔng ca˘c ky˘ hie‰u thu goÔn: [p(x)]=[p (x) p (x)], a = a a T . 1 2 { } { 1 2} Tˆ¯ ye‚u ca‡u ha¯m xa·p xÊ va¯ ha¯m chÌnh xa˘c co˘ gia˘ trÚ baËng nhau taÔi ca˘c nu˘t no‰i suy xi, xj, ta co˘: [p(x )] a = u , [p(x )] a = u i { } i j { } j hay dˆÙ˘i daÔng ma tra‰n p (x ) p (x ) a u 1 i 2 i 1 = i p (x ) p (x ) a u 1 j 2 j 2 j 1 x a u i 1 = i . 1 x a u j 2 j 1)Pha‚n bie‰t vÙ˘i nu˘t hÏnh hoÔc.
40 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Giaûi ra ta ñöôïc u x u x a = i j − j i , 1 x x j − i u u a = j − i . 2 x x j − i Suy ra x x x x u (x)= u j − + u − i . h i x x j x x j − i j − i —ˆa va¯o ca˘c ky˘ hie‰u: x x x x N (x)= j − , N (x)= − i , i x x j x x j − i j − i ta co˘ theÂ vie·t laÔi u (x)= u N (x)+ u N (x)=[N] u . h i i j j { } Ca˘c ha¯m Ni(x), Nj(x) ÒˆÙÔc goÔi la¯ ca˘c ha¯m daÔng (shape function), [N] la¯ ma tra‰n ha¯m daÔng. Nhaän xeùt 2.5. Ca˘c ke·t qua˚ tre‚n co˘ theÂ tÏm ÒˆÙÔc khÙ˚i Òi tˆ¯ pha‡n tˆ˚ tham chie·u. Ha¯m xa·p xÊ: a u¯ (ξ)=[1 ξ] 1 . h a 2 Chu˘ y˘, da·u gaÔnh tre‚n Òa‡u ha¯m xa·p xÊ ÒeÂ chÊ no˘ la¯ ha¯m xa˘c ÒÚnh tre‚n pha‡n tˆ˚ tham chie·u. Ca˘c ha¯m u¯(ξ), u¯h(ξ) lie‚n he‰ vÙ˘i u(x), uh(x) qua phe˘p ÒoÂi bie·n (thÌ duÔ 2.1), u(x(ξ))=u ¯(ξ), uh(x(ξ))=u ¯h(ξ). ThˆÔc hie‰n ca˘c bˆÙ˘c tÌnh toa˘n tˆÙng tˆÔ, ta ÒˆÙÔc: u¯ (ξ) =u ¯ N¯ (ξ) +u ¯ N¯ (ξ)=[N¯] u¯ , h 1 1 2 2 { } trong Òo˘ N¯ (ξ) = 1 ξ, N¯ (ξ)= ξ. 1 − 2
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 41 Caùc haøm daïng truøng vôùi caùc haøm toïa ñoä troïng taâm cuûa x. Nhöõng phaàn töû höõu haïn vôùi pheùp xa·p xÊ co˘ tÌnh cha·t na¯y ÒˆÙÔc goÔi la¯ pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn Òa˙ng tham so· (isoparametric). • Toång quaùt xa·p xÊ baèng ña thöùc baäc N. Ca˘c Òa thˆ˘c cÙ sÙ˚ cu˚a kho‚ng N gian ca˘c Òa thˆ˘c ba‰c N: p1(x) = 1, p2(x) = x, ,pN+1(x) = x . —eÂ xa‚y dˆÔng xa·p xÊ ta ca‡n≤N + 1 nu˘t no‰i suy. Trong trˆÙ¯ng hÙÔp na¯y ngoa¯i hai nu˘t Ù˚ bie‚n (nu˘t hÏnh hoÔc) ta ca‡n Òˆa va¯o N 1 nu˘t naèm beân trong phaàn − töû. —eÂ ÒÙn gia˚n, ta ky˘ hie‰u x1,x2, ,xN+1 la¯ ca˘c nu˘t no‰i suy cu˚a phaàn töû, u1,u2, ,uN+1 laø giaù trò cuûa haøm u(x) taïi caùc nuùt töông öùng. Döïa vaøo thí duï 2.4 ta thie·t la‰p ca˘c ha¯m daÔng nhˆ sau. Ha¯m xa·p xÊ a1 a  2  uh(x)=[p1(x) p2(x) pN+1(x)] . =[p(x)] a , (2.28)  .  { }   aN+1     trong Òo˘ [p(x)]=[p (x) p (x) p (x)], a = a a a T . (2.29) 1 2 N+1 { } { 1 2 N+1} Tˆ¯ Òie‡u kie‰n ha¯m xa·p xÊ va¯ ha¯m chÌnh xa˘c co˘ gia˘ trÚ baËng nhau taÔi ca˘c nu˘t no‰i suy, ta co˘ he‰ phˆÙng trÏnh ÒaÔi so· tuye·n tÌnh xa˘c ÒÚnh a1, ,aN+1 p1(x1) p2(x1) pN+1(x1) a1 u1 p (x ) p (x ) p (x ) a u  1 2 2 2 N+1 2   2   2  . . . . = . . . .  .   .         p1(xN+1) p2(xN+1) pN+1(xN+1)  aN+1 uN+1             N     1 x1 x1 a1 u1 1 x xN a u  2 2   2   2  . . . . = . . . .  .   .   N       1 xN x  aN+1 uN+1  N             P a = u , (2.30) { } { }
42 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N trong ñoù N 1 x1 x1 u1 1 x xN u  2 2   2  P = . . . , u = . . (2.31) . . . { }  .   N     1 xN x  uN+1  N        Giaûi phöông trình (2.30) ta ñöôïc a = P−1 u , { } { } roài thay vaøo (2.28) ta thu ñöôïc caùc haøm daïng u = ([p(x)]P−1) u =[N(x)] u (2.32) h { } { } vôùi −1 [N(x)]=[N1(x) N2(x) NN+1(x)]=[p(x)]P (2.33) laø ma traän caùc haøm daïng. Nhaän xeùt 2.6. Do caùc ña thöùc p1(x), p2(x), , pN+1(x) ñoäc laäp tuye·n tÌnh ne‚n ca˘c ha¯m daÔng N1(x), N2(x), , NN+1(x) cuıng Òo‰c la‰p tuye·n tÌnh. Theo ngo‚n ngˆı ÒaÔi so· tuye·n tÌnh, ca˘c gia˘ trÚ nu˘t u1, u2, , uN+1 co˘ theÂ xem la¯ toÔa Òo‰ cu˚a vectÙ uh(x) trong cÙ sÙ˚ go‡m ca˘c ha¯m daÔng; co¯n ca˘c tham so· a1, a2, , aN+1 la¯ toÔa Òo‰ cu˚a uh(x) trong cÙ sÙ˚ go‡m ca˘c Òa thˆ˘c p1(x), p2(x), , pN+1. Theo Òo˘, ta goÔi u1, u2, , uN+1 la¯ ca˘c tham so· nu˘t, co¯n a1, a2, , aN+1 la¯ ca˘c tham so· suy ro‰ng, xa·p xÊ theo co‚ng thˆ˘c (2.28) goÔi la¯ xa·p xÊ phi nu˘t. • Thí duï 2.5. Tröôøng hôïp 2-chieàu, ña thöùc baäc nha·t. Xa·p xÊ ha¯m u(x,y) baËng Òa thˆ˘c ba‰c nha·t thÏ pha‡n tˆ˚ thÌch hÙÔp la¯ tam gia˘c 3 nu˘t. Ca˘c Òa thˆ˘c p1(x,y) = 1, p2(x,y)= x, p3(x,y)= y la‰p tha¯nh cÙ sÙ˚ cu˚a kho‚ng gian ca˘c Òa thˆ˘c hai bie·n co˘ ba‰c 1. Ky˘ hie‰u: ≤ [p(x,y)]=[p (x,y) p (x,y) p (x,y)], a = a a a T . 1 2 3 { } { 1 2 3} Ha¯m xa·p xÊ uh(x,y) ÒˆÙÔc bieÂu die„n dˆÙ˘i daÔng: u (x,y)=[p(x,y)] a . (2.34) h { } He‰ phˆÙng trÏnh xa˘c ÒÚnh a { } P a = u , (2.35) { } { }
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 43 trong ñoù 1 x1 y1 a1 u1 P = 1 x2 y2 , a = a2 , u = u2 .   { }   { }   1 x3 y3  a3   u3        Giaûi heä phöông trình (2.35), roài thay vaøo (2.34) ta thu ñöôïc u (x,y)=[N(x,y)] u h { } trong ñoù x y y x + x( y + y ) y( x + x ) N (x,y) = 2 3 − 2 3 − 3 2 − − 3 2 , 1 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 x y + y x + x( y + y )+ y( x + x ) N (x,y) = − 1 3 1 3 − 3 1 − 3 1 , 2 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 x y y x + x( y + y ) y( x + x ) N (x,y) = 1 2 − 1 2 − 2 1 − − 2 1 . 3 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 Nhaän xeùt 2.7. Vieäc tìm caùc haøm daïng tuy ñôn giaûn nhöng ra·t de„ sai so˘t khi tÌnh toa˘n baèng "tay chaân". Ta coù theå duøng Matlab ñeå thöïc hieän caùc tính toaùn naøy. Script file hd2D3N.m döôùi ñaây tìm caùc haøm daïng trong thí duï treân hd2D3N.m % xay dung ham dang cho PTHH 2-D, 3 nut clear all syms x y x1 y1 x2 y2 x3 y3 a1 a2 a3 % da thuc co so p=[1 x y]; % cac he so a=[a1; a2; a3]; % da thuc xap xi uh=p*a syms u1 u2 u3 % ma tran gia tri da thuc co so tai cac nut PP(1,:)=subs(p,x,y,x1,y1); PP(2,:)=subs(p,x,y,x2,y2);
44 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N PP(3,:)=subs(p,x,y,x3,y3); % gia tri nut u=[u1;u2;u3]; % tinh cac he so aa=inv(PP)*u; % xac dinh cac ham dang kq=simplify(subs(uh,a,aa)) N1=simple(maple(’coeff’,kq,u1)) N2=simple(maple(’coeff’,kq,u2)) N3=simple(maple(’coeff’,kq,u3)) • Nhaän xeùt 2.8. Phöông phaùp xaây döïng haøm daïng trong caùc thí duï treân coù theå toång quaùt hoùa cho tröôøng hôïp haøm caàn xa·p xÊ xa˘c ÒÚnh trong Rd. GoÔi M la¯ d d so· chie‡u cu˚a kho‚ng gian ca˘c Òa thˆ˘c tre‚n R co˘ ba‰c N, N (R ). —eÂ xa‚y dˆÔng ca˘c ha¯m daÔng "ñaày ñuû" ta caàn M nuùt noäi suy. Kyù≤ hieäu:P d x =(x1,x2, ,xd) laø ñieåm trong R ; p (x), p (x), ,p (x) laø moät cô sôû cuûa (Rd); { 1 2 M } PN xi (i = 1, 2, ,M) laø caùc nuùt noäi suy. Sô ñoà thie·t la‰p ca˘c ha¯m daÔng 1. [p(x)]=[p1(x) p2(x) pM (x)]; p1(x1) p2(x1) pM (x1) p1(x2) p2(x2) pM (x2) 2. P =  . . . ; . . .    p1(xM ) p2(xM ) pM (xM )      −1 3. [N]=[N1(x) N2(x) NM (x)]=[p(x)]P . • 2.1.5 —aÔo ha¯m va¯ tÌch pha‚n theo toÔa Òo‰ tham chie·u Trong caùc baøi toaùn cô hoïc, vaät lyù, thöôøng caùc haøm caàn tìm vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù coù maët trong phöông trình xaùc ñònh. Neáu duøng haøm xaáp xæ treân caùc phaàn töû thöïc Ω(e) seõ raát phöùc taïp (khoâng thuaän tieän). Baèng caùch ñöa vaøo khaùi nieäm phaàn töû tham chieáu Ωr vaø aùnh xaï τ (e), haøm vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù ñöôïc tính toaùn treân phaàn töû tham chieáu. Döôùi ñaây ta xeùt tröôøng hôïp 2-chieàu.
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 45 Goïi u¯h laø haøm xa·p xÊ cu˚a u¯ tre‚n pha‡n tˆ˚ tham chie·u, ta co˘ u¯ (ξ, η)=[N¯(ξ, η)] u¯ . h { } Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c bie·n ÒoÂi: x = τ (e)(ξ) x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) (2.36) ⇒ va¯ co‚ng thˆ˘c ÒaÔo ha¯m ha¯m hÙÔp ta co˘: ∂ ∂x ∂x T ∂ ∂ ∂ ∂ξ = ∂ξ ∂η ∂x = = JT , (2.37)  ∂   ∂y ∂y   ∂  ∂ξ ∂x     ∂η  ∂ξ ∂η  ∂y       trong Òo˘ J la¯ ma tra‰n Jacobi cu˚a phe˘p bie·n ÒoÂi τ (e), ∂x ∂x ∂ξ ∂η J =  ∂y ∂y  .  ∂ξ ∂η    Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c (2.37) ta suy ra ∂ ∂ξ ∂η ∂ ∂ ∂ ∂x = ∂x ∂x ∂ξ hay = J−T . (2.38)  ∂   ∂ξ ∂η   ∂  ∂x ∂ξ     ∂y  ∂y ∂y  ∂η       va¯ ta co˘ co‚ng thˆ˘c tÌnh ÒaÔo ha¯m cu˚a ha¯m u trong he‰ toÔa Òo‰ thˆÔc baËng ca˘c ÒaÔo ha¯m cu˚a u¯ trong he‰ toÔa Òo‰ tham chie·u: ∂u ∂ξ ∂η ∂u¯ ∂u¯ ∂x ∂x ∂x ∂ξ −T ∂ξ  ∂u  =  ∂ξ ∂η   ∂u¯  = J  ∂u¯  . (2.39)       ∂y  ∂y ∂y  ∂η ∂η         Co‚ng thˆ˘c ÒoÂi bie·n (2.36) cho phe˘p ta chuyeÂn tÌch pha‚n cu˚a mo‰t ha¯m u tre‚n pha‡n tˆ˚ thˆÔc Ω(e) tha¯nh tÌch pha‚n tre‚n pha‡n tˆ˚ tham chie·u Ωr ÒÙn
46 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N giaûn hôn: u(x,y)dxdy = u¯(ξ, η) J dξdη, (2.40) (e) r | | ZΩ ZΩ trong ñoù J kyù hieäu trò tuyeät ño·i ÒÚnh thˆ˘c cu˚a ma tra‰n Jacobi. | | Thí duï 2.6. Cho pha‡n tˆ˚ tam gia˘c Ω vÙ˘i ca˘c ÒÊnh x1 = (1, 1), x2 = (3, 2), x3 = (2, 3) (trong toÔa Òo‰ xy). Cho u = x + y, v = xy la¯ hai ha¯m xa˘c ÒÚnh tre‚n Ω. 1) Thie·t la‰p co‚ng thˆ˘c ÒoÂi toÔa Òo‰, bie·n pha‡n tˆ˚ tham chie·u Ωr, tam gia˘c vÙ˘i ca˘c ÒÊnh ξ = (0, 0), ξ = (1, 0), ξ = (0, 1) (toÔa Òo‰ ξη), tha¯nh tam gia˘c Ω. 1 2 3 Xa˘c ÒÚnh J va¯ J−1. 2) Du¯ng u va¯ v kieÂm tra laÔi co‚ng thˆ˘c (2.39). 3) TÌnh u vdΩ. ∇ ·∇ ZΩ Giaûi. 1) Nhˆ trong thÌ duÔ 2.2, Ω ÒˆÙÔc bie·n ÒoÂi tˆ¯ Ωr nhÙ¯ phe˘p bie·n ÒoÂi x = 1+2ξ + η, y = 1+ ξ + 2η Ma tra‰n Jacobi va¯ ÒÚnh thˆ˘c cu˚a no˘: 2 1 J = , det J = 3. 1 2 Tˆ¯ Òa‚y suy ra 1 2 1 J−1 = − . 3 1 2 − 2) BieÂu die„n u va¯ v theo toÔa Òo‰ ξη: u¯ = u(x(ξ, η),y(ξ, η))=2+3(ξ + η), v¯ = v(x(ξ, η),y(ξ, η))=1+3(ξ + η) + 5ξη + 2(ξ2 + η2).
2.1. PTHH NHÖ LAØ PHÖ‘NG PHAŸP XA¡P X∆ HAÿM 47 —aÔo ha¯m u va¯ v trong toÔa Òo‰ xy ∂u ∂u ∂v ∂v = = 1, = y, = x. ∂x ∂y ∂x ∂y —aÔo ha¯m u¯ va¯ v¯ trong toÔa Òo‰ ξη ∂u¯ ∂u¯ ∂v¯ ∂v¯ = = 3, =3+5η + 4ξ, =3+5ξ + 4η. ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η KieÂm co‚ng thˆ˘c (2.39) trˆÙ¯ng hÙÔp ha¯m u: Ve· tra˘i: 1 . 1 Ve· pha˚i: 1 2 1 3 1 − = . 3 1 2 3 1 − KieÂm co‚ng thˆ˘c (2.39) trˆÙ¯ng hÙÔp ha¯m v: Ve· tra˘i: y 1+ ξ + 2η = . x 1 + 2ξ + η Ve· pha˚i: 1 2 1 3 + 5η + 4ξ 1+ ξ + 2η − = . 3 1 2 3 + 5ξ + 4η 1 + 2ξ + η − 3) Tˆ¯ ke·t qua˚ tre‚n ta co˘ u v = (1, 1)(1 + ξ + 2η, 1 + 2ξ + η)T =2+3(ξ + η). ∇ ·∇
48 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N AÙp duïng coâng thöùc ñoåi bie·n so· trong tÌch pha‚n (2.40) u vdΩ = (2+3(ξ + η)) 3 dξdη ∇ ·∇ r | | ZΩ ZΩ 1 1−ξ = 3 dξ (2+3(ξ + η))dη Z0 Z0 1 3 1−ξ = 3 (2+3ξ)η + η2 dξ 2 Z0 0 ! 1 1 7 3 21 3 = 3 2ξ ξ2 dξ = ξ 3ξ2 ξ3 = 6. 2 − − 2 2 − − 2 Z0 0 2.2 Caùc böôùc thie·t la‰p mo‚ hÏnh PTHH MuÔc na¯y trÏnh ba¯y ca˘ch thie·t la‰p mo‚ hÏnh PTHH cho ca˘c ba¯i toa˘n khoa hoÔc kyı thua‰t. Ta seı tÏm hieÂu chi tie·t ca˘c bˆÙ˘c thie·t la‰p, bao go‡m cÙ sÙ˚ ly˘ thuye·t va¯ ca˘ch thˆ˘c thˆÔc hie‰n. Va·n Òe‡ ÒˆÙÔc trÏnh ba¯y tho‚ng qua mo‰t ba¯i toa˘n ÒÙn gia˚n cu˚a cÙ hoÔc ke·t ca·u nhaËm la¯m roı ly˘ do va¯ y˘ nghÛa cu˚a ca˘c bˆÙ˘c thˆÔc hie‰n. Nhˆ seı tha·y, sau Òo˘, ca˘ch a˘p duÔng PTHH cho ca˘c ba¯i toa˘n bie‚n cuıng tˆÙng tˆÔ. 2.2.1 Pha‚n tÌch ˆ˘ng sua·t cu˚a thanh nhie‡u na·c ThÌ duÔ 2.7. TÏm ˆ˘ng sua·t pha‚n bo· trong thanh nhie‡u na·c Òo·i xˆ˘ng truÔc, bÚ nga¯m chaÎt mo‰t Òa‡u, Òa‡u co¯n laÔi bÚ ke˘o bÙ˚i lˆÔc doÔc truÔc p. Thanh co˘ ca˘c die‰n tÌch tie·t die‰n ngang A(1) = 2cm2, A(2) = 1cm2 tre‚n ca˘c ÒoaÔn da¯i l(1) = l(2) = 10cm. Cho mo‚Òun Young E(1) = E(2) = E = 2 106kg/cm2, p = 1kg. × Co‚ng thˆ˘c bie·n pha‚n2) Theo ly˘ thuye·t thanh chÚu ke˘o ne˘n doÔc truÔc, bie·n daÔng cu˚a thanh ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh bÙ˚i chuyeÂn dÚch q = q(x) taÔi ca˘c ÒieÂm thuo‰c no˘. Ta co˘ ca˘c he‰ thˆ˘c sau: 2)NgˆÙ¯i ÒoÔc kho‚ng quen vÙ˘i cÙ hoÔc ke·t ca·u co˘ theÂ cha·p nha‰n ca˘c co‚ng thˆ˘c ÒˆÙÔc giÙ˘i thie‰u Ù˚ Òa‚y.
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 49 Hình 2.9: Thanh nhieàu na·c. Bie·n daÔng (Òo‰ giaın tˆÙng Òo·i) dq = . (2.41) dx ÷Ÿng sua·t dq σ = E = E , (2.42) dx trong Òo˘ E la¯ mo‚Òun Young (ÒÚnh lua‰t Hooke). The· naÍng toa¯n pha‡n cu˚a thanh I = NaÍng lˆÙÔng bie·n daÔng Co‚ng cu˚a lˆÔc ngoa¯i − = Π W , (2.43) − p trong Òo˘ L 1 Π = σ(x)(x)dAdx, (2.44) 2 Z0 ZA(x) Wp = pq(L). (2.45) Ba¯i toa˘n ÒˆÙÔc gia˚i dˆÔa tre‚n nguye‚n ly˘ co‚ng a˚o: chuyeÂn dÚch thˆÔc la¯ chuyeÂn dÚch la¯m cˆÔc tieÂu ho˘a the· naÍng toa¯n pha‡n cu˚a thanh. Ky˘ hie‰u: L = l(1) + l(2) la¯ chie‡u da¯i thanh; S = q q H1(0, L),q(0) = 0 la¯ ta‰p hÙÔp ca˘c chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ (ha¯m thˆ˚); { | ∈ }
50 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N V = s s H1(0, L),s(0) = 0 laø khoâng gian caùc chuyeån dòch aûo (haøm troïng löôïng).{ | Do∈ ñieàu kieän bieân co·t} ye·u la¯ thua‡n nha·t ne‚n V = S. Du¯ng ca˘c co‚ng thˆ˘c (2.41), (2.42) cho bieÂu thˆ˘c the· naÍng (2.43)-(2.45) ˆ˘ng vÙ˘i chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ q, ta ÒˆÙÔc L E dq 2 I(q)= dAdx pq(L). (2.46) 2 dx − Z0 ZA(x) Nhaän xeùt 2.9. Ve‡ phˆÙng die‰n toa˘n hoÔc, ba¯i toa˘n pha‚n tÌch ˆ˘ng sua·t cu˚a thanh nhie‡u na·c Ù˚ Òa‚y la¯ ba¯i toa˘n to·i ˆu: tÏm ha¯m q(x), 0 x L, la¯m cˆÔc tieÂu phie·m ha¯m I(q) xa˘c ÒÚnh bÙ˚i (2.46). ≤ ≤ • AÙp duïng PTHH BˆÙ˘c 1 - Pha‚n hoaÔch Thanh ÒˆÙÔc xem nhˆ mo‰t ke·t ca·u go‡m 2 pha‡n tˆ˚: pha‡n tˆ˚ thˆ˘ nha·t la¯ pha‡n thanh giÙ˘i haÔn bÙ˚i ca˘c tie·t die‰n x1 = 0, x2 = 10, pha‡n tˆ˚ thˆ˘ hai la¯ pha‡n thanh giÙ˘i haÔn bÙ˚i ca˘c tie·t die‰n x2 = 10, x3 = 20 (ve‡ phˆÙng die‰n toa˘n hoÔc, ÒoaÔn [0, L] ÒˆÙÔc pha‚n hoaÔch tha¯nh ca˘c ÒoaÔn con [x1,x2], [x2,x3]). HÏnh 2.10: Pha‡n tˆ˚ thanh [xi,xi+1], lˆÔc ta˘c duÔng le‚n pha‡n tˆ˚. BˆÙ˘c 2 - Xa·p xÊ ha¯m tre‚n tˆ¯ng pha‡n tˆ˚ ChuyeÂn dÚch (ha¯m q(x)) tre‚n mo„i pha‡n tˆ˚ ÒˆÙÔc xa·p xÊ bÙ˚i Òa thˆ˘c ba‰c nha·t (pha‡n tˆ˚ e) q(e) = q(e)N (e)(x)+ q(e)N (e)(x)=[N](e) q (e). (2.47) 1 1 2 2 { } (e) (e) (e) (e) (e) (e) T trong Òo˘ [N] = [N1 (x) N2 (x)] la¯ ma tra‰n ha¯m daÔng, [q] = q1 q2 goÔi la¯ chuyeÂn dÚch nu˘t pha‡n tˆ˚3). { } 3)Ky˘ hie‰u u(e) chÊ nhaËm muÔc ÒÌch "nha·n maÔnh" noù laø thu heïp cuûa haøm u treân phaàn töû e.
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 51 Nhaän xeùt 2.10. Do ñieàu kieän ngaøm cuûa chuyeån dòch (ñieàu kieän bieân cuûa baøi (1) (1) toaùn), q1 = 0, neân haøm N1 (x) khoâng coù maët trong bieåu thöùc xaáp xæ cuûa (1) q. Tuy nhieân, ñeå thuaän tieän, trong thöïc haønh ta vaãn tính ñe·n q1 trong qua˘ (1) trÏnh thie·t la‰p phˆÙng trÏnh xa·p xÊ. Vie‰c khˆ˚ q1 kho˚i phˆÙng trÏnh seı ÒˆÙÔc thˆÔc hie‰n sau. • Bie·n daÔng va¯ ˆ˘ng sua·t tre‚n mo„i pha‡n tˆ˚ ÒˆÙÔc xa·p xÊ bÙ˚i d (e) = [N](e) q (e) =[B]e q (e), (2.48) dx { } { } σ(e) = E(e)[B]e q (e), (2.49) { } trong Òo˘ [B]e = (d/dx)[N](e) (ÒaÔo ha¯m cu˚a mo‰t ma tra‰n la¯ ma tra‰n vÙ˘i ca˘c pha‡n tˆ˚ la¯ ÒaÔo ha¯m cu˚a pha‡n tˆ˚ tˆÙng ˆ˘ng trong ma tra‰n Òa‡u). BˆÙ˘c 3 - Thie·t la‰p phˆÙng trÏnh PTHH Ne·u xe˘t rie‚ng tˆ¯ng pha‡n tˆ˚ thÏ the· naÍng cu˚a pha‡n tˆ˚ ÒˆÙÔc tÌnh theo co‚ng thˆ˘c (tˆÙng tˆÔ nhˆ the· naÍng toa¯n pha‡n) 2 E(e)A(e) xe+1 dq(e) I(e)(q(e),q(e)) = dx p(e)q(e) + p(e)q(e), (2.50) 1 2 2 dx − 2 2 1 1 Zxe (e) (e) trong Òo˘ p1 , p2 la¯ lˆÔc ta˘c duÔng le‚n ca˘c Òa‡u mu˘t cu˚a pha‡n tˆ˚. ‘¤ Òa‚y ta quy ˆÙ˘c hˆÙ˘ng dˆÙng cu˚a lˆÔc ta˘c duÔng le‚n pha‡n tˆ˚ hˆÙ˘ng ra ngoa¯i pha‡n tˆ˚ (hÏnh 2.10) Do tÌnh cha·t co‰ng tÌnh cu˚a naÍng lˆÙÔng, co‚ng thˆ˘c the· naÍng toa¯n pha‡n co˘ theÂ vie·t: 2 2 2 E(e)A(e) xe+1 dq(e) I = I(e) = dx p(e)q(e) + p(e)q(e) . 2 dx − 2 2 1 1 e=1 e=1 " xe # X X Z —ˆa va¯o ky˘ hie‰u p (e) = pe pe T , goÔi la¯ vectÙ ta˚i pha‡n tˆ˚, va¯ du¯ng co‚ng { } {− 1 2}
52 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N thöùc (2.47) ta coù 2 2 E(e)A(e) xe+1 d[N](e) I = q (e) dx q (e)T p (e) . (2.51) 2 dx { } −{ } { } e=1 " xe # X Z —eÂ y˘ raèng, d[N](e) q (e) =[B](e) q (e) dx { } { } laø voâ höôùng neân ta coù theå vie·t 2 d[N](e) q (e) = q (e)T [B](e)T [B](e) q (e). dx { } { } { } Ne·u la·y bie·n pha‚n ta seı ÒˆÙÔc: 2 d[N](e) δ q (e) = δq (e)T [B](e)T [B](e) q (e) + q (e)T [B](e)T [B](e) δq (e) dx { } { } { } { } { } = 2 δq (e)T [B](e)T [B](e) q (e) { } { } —a˙ng thˆ˘c cuo·i nha‰n ÒˆÙÔc tˆ¯ nha‰n xe˘t: ca˘c vo‚ hˆÙ˘ng δq (e)T [B](e)T [B](e) q (e), { } { } q (e)T [B](e)T [B](e) δq (e) la¯ chuyeÂn vÚ cu˚a nhau. { } { } —ie‡u kie‰n cˆÔc trÚ cho phie·m ha¯m I: δI = 0 2 xe+1 δq (e)T E(e)A(e) [B](e)T [B](e)dx q (e) p (e) = 0 { } { } −{ } e=1 xe X Z 2 δq (e)T [k](e) q (e) p (e) = 0, (2.52) { } { } −{ } e=1 X trong Òo˘ ma tra‰n xe+1 [k](e) = E(e)A(e) [B](e)T [B](e)dx, (2.53) Zxe
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 53 ñöôïc goïi laø ma tra‰n Òo‰ cˆ˘ng phaàn töû. —ˆa va¯o vectô chuyeån dòch toaøn cuïc, bie·n pha‚n cu˚a no˘ va¯ vectô taûi toaøn cuïc co˘ tha¯nh pha‡n la¯ chuyeÂn dÚch, bie·n pha‚n cu˚a chuyeÂn dÚch va¯ no‰i lˆÔc taÔi ca˘c nu˘t cu˚a toa¯n bo‰ thanh q = q q q T , δq = δq δq δq T , p = p p p T , { } { 1 2 3} { } { 1 2 3} { } { 1 2 3} ta co˘ theÂ vie·t 2 2 δq (e)T [k](e) q (e) = δq T [K] q , δq (e)T p (e) = δq T p , { } { } { } { } { } { } { } { } e=1 e=1 X X va¯ phˆÙng trÏnh (2.52) tha¯nh δq T ([K] q + p ) = 0, (2.54) { } { } { } trong Òo˘ [K] co˘ daÔng K11 K12 K13 [K]= K K K ,  21 22 23  K31 K32 K33   goÔi la¯ ma traän ñoä cöùng toaøn cuïc. Trˆ¯ nu˘t thˆ˘ nha·t do Òie‡u kie‰n ra¯ng buo‰c δq1 = 0, ca˘c bie·n pha‚n co¯n laÔi δq2, δq3 la¯ tu¯y y˘, baËng ca˘c la·y ca˘c bie·n pha‚n na¯y la‡n lˆÙÔt baËng 1, ta suy ra: 0 K q + K q + K q = 0 p × 11 1 12 2 13 3 × 1 K21q1 + K22q2 + K23q3 = p2 K31q1 + K32q2 + K33q3 = p3 PhˆÙng trÏnh thˆ˘ nha·t tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i 0 = 0. He‰ phˆÙng trÏnh suy bie·n, ca‡n pha˚i loaÔi phˆÙng trÏnh na¯y kho˚i he‰. Ta seı trÙ˚ laÔi va·n Òe‡ na¯y sau. Nhˆ va‰y, no˘i chung, vÏ bie·n pha‚n la¯ tu¯y y˘, phˆÙng trÏnh (2.54) tha¯nh [K] q = p . (2.55) { } { } PhˆÙng trÏnh (2.55) ÒˆÙÔc goÔi la¯ phöông trình PTHH. Do hai pha‡n tˆ˚ ke‡ nhau co˘ chung nhau mo‰t ÒieÂm nu˘t ne‚n phe˘p la·y toÂng trong ca˘c phˆÙng trÏnh (2.54) pha˚i ÒˆÙÔc hie‰n theo mo‰t ca˘ch ÒaÎc bie‰t, goÔi la¯ pheùp laép gheùp.
54 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Tröôùc khi tie·n ha¯nh ca˘c bˆÙ˘c tie·p theo ta cuÔ theÂ ho˘a ca˘c bˆÙ˘c 1-3 qua Òo˘ giÙ˘i thie‰u sÙ Òo‡ tÌnh toa˘n PTHH. TrˆÙ˘c he·t, trong thˆÔc ha¯nh, vie‰c pha‚n hoaÔch Ù˚ bˆÙ˘c 1 ÒˆÙÔc thˆÔc hie‰n baËng ca˘ch Òˆa va¯o hai ma tra‰n: * Ma tra‰n toÔa Òo‰ ca˘c nu˘t COORD COORD =[x1, x2, x3] =[0, 10, 20]. * Ma tra‰n laép gheùp LA moâ taû söï lieân ke·t giˆıa ca˘c pha‡n tˆ˚. Ma tra‰n na¯y goàm 2 doøng (so· phaàn töû) vaø 2 coät (so· nu˘t hÏnh hoÔc cu˚a phaàn töû). Moãi doøng cuûa LA öùng vôùi moät phaàn töû, LA(e, 1) vaø LA(e, 2) laø thöù töï cuûa nuùt 1 vaø 2 trong caùch ñaùnh so· toa¯n cuÔc. 1 2 LA = . 2 3 BˆÙ˘c thˆ˘ 2 va¯ 3 ÒˆÙÔc thˆÔc hie‰n nhˆ nhau cho mo„i phaàn töû (ñaây laø ñaëc ñieåm cuûa PTHH). Thanh goàm 3 nuùt neân chuyeån dòch xaáp xæ ñöôïc xaùc ñònh bôûi vectô chuyeån dòch toaøn cuïc (toaøn boä thanh), q1 q = q . { }  2   q3    Trong khi ñoù moãi phaàn töû chæ coù hai nuùt, neân vectô chuyeån dòch phaàn töû, thí duï phaàn töû e, coù daïng (e) (e) q1 q = (e) . { } ( q2 ) Nhaän xeùt töông töï vôùi vectô taûi toaøn cuïc vaø vectô taûi phaàn töû, p1 (e) (e) p1 p = p2 , p = (e) . { }   { } ( p2 )  p3   
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 55 Ma traän ñoä cöùng phaàn töû, ñöôïc tính nhö sau. x x x x [N](e) = e+1 − , − e , x x x x e+1 − e e+1 − e (e) 1 (e)T (e) 1 1 1 [B] = [ 1, 1] [B] [B] = − , x x − ⇒ (x x )2 1 1 e+1 − e e+1 − e − (e) (e) (e) E A 1 1 [k] = − . l 1 1 e − Nhö ñaõ noùi ôû treân, ñeå thie·t la‰p phˆÙng trÏnh PTHH ta pha˚i la·y "toång" hay laép gheùp caùc phaàn töû caù bieät laïi vôùi nhau. Pheùp laép gheùp ma traän ñoä cöùng vaø vectô taûi phaàn töû ñöôïc thöïc hieän nhö sau. Tröôùc heát khôûi taïo ma traän ñoä cöùng vaø vectô taûi toaøn cuïc 0 0 0 0 [K]= 0 0 0 , [p]= 0 .     0 0 0 0     Phaàn töû thöù nhaát ñöôïc gheùp vaøo döïa treân lieân heä giöõa thöù töï ñòa phöông vaø thöù töï toaøn cuïc theo ma traän laép gheùp, thöù töï ñòa phöông 1 2 k(1) K k(1) K p(1) p 11 7→ 11 12 7→ 12 − 1 7→ 1 thöù töï toaøn cuïc 1 2 ⇒ k(1) K k(1) K p(1) p 21 7→ 21 22 7→ 22 2 7→ 2 (muõi teân aùm chæ söï coäng vaøo). Do ñoù 7→ k(1) k(1) 0 p(1) 11 12 − 1 [K]= k(1) k(1) 0 , p = p(1) .  21 22  { }  2  0 0 0  0      Töông töï vôùi phaàn töû thöù hai thöù töï ñòa phöông 1 2 k(2) K k(2) K p(2) p 11 7→ 22 12 7→ 23 − 1 7→ 2 thöù töï toaøn cuïc 2 3 ⇒ k(2) K k(2) K p(2) p 21 7→ 32 22 7→ 33 2 7→ 3
56 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N (1) (1) (1) k11 k12 0 p1 (1) (1) (2) (2) (1)− (2) [K]=  k21 k22 + k11 k12  , [p]=  p2 p1  . (2) (2) −(2) 0 k k  p   12 22  2     Cho ñe·n ba‚y giÙ¯ gia˘ trÚ cu˚a ta˚i ÒaÎt taÔi ca˘c nu˘t va„n chˆa ÒˆÙÔc ba¯n tÙ˘i. Tha‰t ra, theo dˆı lie‰u cu˚a ba¯i toa˘n, ta chÊ bie·t gia˘ trÚ cu˚a ta˚i ÒaÎt taÔi nu˘t thˆ˘ (2) ba, p2 = p. Tuy nhie‚n, dˆÔa va¯o nguye‚n ly˘ ta˘c duÔng tˆÙng ho„ ta co˘ ngay (1) (2) p2 = p1 , nghÛa la¯ (1) p1 [p]= −0    p    (1) vÙ˘i p1 la¯ ta˚i (chˆa bie·t) ta˘c duÔng taÔi nu˘t bÚ nga¯m (nu˘t cho Òie‡u kie‰n bie‚n co·t ye·u). Nhˆ seı tha·y trong bˆÙ˘c ke· tie·p phˆÙng trÏnh co˘ chˆ˘a p1 seı ÒˆÙÔc khˆ˚ ma·t, co¯n p seı ÒˆÙÔc ga˘n gia˘ trÚ lˆÔc cho trˆÙ˘c. VÏ va‰y, trong tÌnh toa˘n thˆÔc ha¯nh, ta co˘ theÂ ÒaÎt 0 p = 0 , { }    0    nghÛa la¯ kho‚ng ca‡n laÈp ghe˘p vectÙ ta˚i pha‡n tˆ˚ (xem sÙ Òo‡ kho·i, hÏnh 2.11). BˆÙ˘c 4 - Khˆ˚ Òie‡u kie‰n bie‚n (Òieàu kieän chuyeån dòch vaø löïc) —ie‡u kie‰n chuyeÂn dÚch: do nu˘t 1 ÒˆÙÔc cho trˆÙ˘c chuyeÂn dÚch, q1 = 0, phˆÙng trÏnh thˆ˘ nha·t tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i 0 = 0 ne‚n ÒeÂ he‰ phˆÙng trÏnh kho‚ng suy bie·n ta pha˚i khˆ˚ aÂn q1 va¯ loaÔi phˆÙng trÏnh tˆÙng ˆ˘ng kho˚i he‰ phˆÙng trÏnh. Ca˘ch khˆ˚ aÂn Òaı bie·t va¯ loaÔi phˆÙng trÏnh tˆÙng ˆ˘ng ma¯ kho‚ng la¯m thay ÒoÂi kÌch thˆÙ˘c cu˚a ca˘c ma tra‰n tham gia trong he‰ phˆÙng trÏnh (??). —eÂ la¯m roı phˆÙng pha˘p ta trÏnh ba¯y cho trˆÙ¯ng hÙÔp toÂng qua˘t, phˆÙng trÏnh PTHH
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 57 coù daïng K11q1 + K12q2 + + K1dqd + + K1nqn = p1 K21q1 + K22q2 + + K2dqd + + K2nqn = p2 . . Kd1q1 + Kd2q2 + + Kddqd + + Kdnqn = pd . . Kn1q1 + Kn2q2 + + Kndqd + + Knnqn = pn trong ñoù qd = g ñöôïc cho tröôùc. Thay qd baèng g vaøo caùc phöông trình tröø phöông trình thöù d, roài chuyeån soá haïng ñaõ bieát sang ve· hai thÏ ve· hai trÙ˚ tha¯nh p K g (j = d); j − jd 6 rie‚ng phˆÙng trÏnh d ÒˆÙÔc thay baËng phˆÙng trÏnh 1qd = g; cuo·i cu¯ng ta co˘: K q + K q + + 0 q + + K q = p K g 11 1 12 2 d 1n n 1 − 1d K21q1 + K22q2 + + 0 qd + + K2nqn = p2 K2dg . − . 0 q1 + 0 q2 + + 1 qd + + 0 qn = g . . K q + K q + + 0 q + + K q = p K g n1 1 n2 2 d nn n n − nd VÙ˘i ca˘ch la¯m na¯y thÏ ma tra‰n Òo‰ cˆ˘ng [K] chuyeÂn tha¯nh ma tra‰n nha‰n ÒˆÙÔc tˆ¯ no˘ baËng ca˘ch cho ca˘c phaàn töû doøng d vaø coät d baèng khoâng, rieâng phaàn töû ôû doøng d, coät d cho baèng 1 K11 K12 0 K1n K21 K22 0 K2n  .  .   .  0 0 1 0   .   .     K K 0 K   n1 n2 nn    Caùc thaønh phaàn cuûa vectô taûi ñöôïc hieäu chænh theo coâng thöùc treân, rieâng phaàn töû ôû doøng d ñöôïc laáy baèng g.
58 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N —ie‡u kie‰n lˆÔc: do nu˘t 3 cho trˆÙ˘c lˆÔc ke˘o p, ta "coäng theâm" p(3) = p(3) + p. BˆÙ˘c 5 - Gia˚i he‰ phˆÙng trÏnh —STT. BˆÙ˘c 6 - Ha‰u xˆ˚ ly˘ Tính öùng suaát trong caùc phaàn töû nhôø coâng thöùc (2.49). Caùc böôùc tính toaùn PTHH coù theå toùm löôïc baèng sô ñoà treân hình 2.11. 2.2.2 Laäp trình tính toaùn PTHH Nhö moät thí duï veà caùch laäp trình tính toaùn PTHH, döôùi ñaây laø chöông trình thanhnn.m ñöôïc vieát baèng ngoân ngöõ Matlab. Taát nhieân, nhö caâu chaâm ngoân ôû ñaàu chöông, ñaây khoâng phaûi laø chöông trình toát nhaát ñeå thöïc hieän muïc ñích - phaân tích öùng suaát thanh nhieàu naác; chöông trình ñöôïc vieát theo saùt caùc böôùc chung cuûa vieäc moâ hình hoùa PTHH ñeå ngöôøi môùi baét ñaàu deã theo doõi, "baét chöôùc roài saùng taïo" caùc chöông trình tính khaùc. Söu lieäu chöông trình thanhnn.m4) MuÔc ÒÌch: phaân tích öùng suaát thanh nhieàu naác. Te‚n: Nga¯y ca‰p nha‰t: Bie·n - Mo‚ ta˚ bie·n nn toång soá nuùt ne toång soá phaàn töû coord vectô toïa ñoä caùc nuùt la ma traän laép gheùp para ma traän caùc tham soá hình hoïc vaø vaät lieäu dcond ñieàu kieän chuyeån dòch fcond ñieàu kieän löïc ke ma traän ñoä cöùng phaàn töû gk ma traän ñoä cöùng toaøn cuïc gp vectô taûi toaøn cuïc q vectô chuyeån dòch nuùt toaøn cuïc sigma vectô öùng suaát caùc phaàn töû 4)Söu lieäu chöông trình laø phaàn khoâng theå thieáu khi laäp trình, noù cung caáp nhöõng thoâng tin caàn thieát ñeå chuyeån giao chöông trình cho ngöôøi söû duïng. Thöôøng boán muïc ñaàu ñöôïc ñöa vaøo trong phaàn ñaàu cuûa chöông trình.
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 59 Hình 2.11: Sô ñoà kho·i mo‚ hÏnh ho˘a PTHH.
60 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Ca·u tru˘c dˆı lie‰u cu˚a vectÙ, ma tra‰n 1) Vectô toïa ñoä caùc nuùt coord, kích thöôùc 1 nn, × coord(i) = toïa ñoä nuùt toaøn cuïc thöù i. 2) Ma traän laép gheùp la, kích thöôùc ne 2 × la(e,1) = thöù töï toaøn cuïc cuûa nuùt thöù nhaát cuûa phaàn töû e, la(e,2) = thöù töï toaøn cuïc cuûa nuùt thöù hai cuûa phaàn töû e. 3) Ma traän caùc tham soá hình hoïc vaø vaät lieäu para, kích thöôùc ne 3 × para(e,1) = chieàu daøi cuûa phaàn töû e, para(e,2) = dieän tích tieát dieän cuûa phaàn töû e, para(e,3) = moâñun Young cuûa phaàn töû e. 4) Ñieàu kieän chuyeån dòch dcond, kích thöôùc 1 2 × dcond(1) = thöù töï toaøn cuïc cuûa nuùt cho tröôùc chuyeån dòch, dcond(2) = giaù trò cuûa chuyeån dòch. 5) Ñieàu kieän löïc fcond, kích thöôùc 1 2 × fcond(1) = thöù töï toaøn cuïc cuûa nuùt cho löïc ngoaøi, fcond(2) = giaù trò cuûa löïc. Chöông trình thanhnn.m thann.m % chuong trinh phan tich ung suat cua thanh nhieu nac % T.A. Ngoc % update: 25/9/2009 % bien - mo ta % nn tong so nut % ne tong so phan tu % coord vecto toa do cac nut % la ma tran lap ghep % para ma tran cac tham so hinh hoc va vat lieu % dcond dieu kien chuyen dich % fcond dieu kien luc % ke ma tran do cung phan tu % pe vecto tai phan tu
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 61 % gk ma tran do cung toan cuc % gp vecto tai toan cuc % q vecto chuyen dich nut toan cuc % sigma vecto ung suat phan tu clear all % TIEN XU LY nn=3; ne=2; coord=[0 10 20]; la=[1 2; 2 3]; para=[10 2 2*10^6; 10 1 2*10^6]; fcond=[3 1000]; dcond=[1 0]; % XU LY gk=zeros(nn,nn); gp=zeros(nn,1); % tinh ma tran do cung va vecto tai toan cuc for e=1:ne i=la(e,1); j=la(e,2); x1=coord(i); x2=coord(j); le=para(e,1); ae=para(e,2); ee=para(e,3); % ma tran do cung phan tu ke=ae*ee/le*[1 -1; -1 1]; % lap ghep gk(i,i)=gk(i,i)+ke(1,1); gk(i,j)=gk(i,j)+ke(1,2); gk(j,i)=gk(j,i)+ke(2,1); gk(j,j)=gk(j,j)+ke(2,2); % vecto tai phan tu pe=[0; 0]; % lap ghep gp(i)=gp(i)+pe(1); gp(j)=gp(j)+pe(2); end; % dua vao dieu kien nut for i=1:size(fcond,1) gp(fcond(i,1))=gp(fcond(i,1))+fcond(i,2);
62 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N end for i=1:size(dcond,1) for j=1:nn gp(j)=gp(j)-gk(j,dcond(i))*dcond(i,2); end for j=1:nn gk(dcond(i,1),j)=0.0; gk(j,dcond(i,1))=0.0; end gk(dcond(i,1),dcond(i,1))=1.0; gp(dcond(i,1))=dcond(i,2); end q=inv(gk)*gp; % HAU XU LY disp(sprintf(’ n %s’,’KET QUA’)) % xuat chuyen dich\ disp(sprintf(’ n %s’,’CHUYEN DICH CUA CAC NUT’)) disp(sprintf(’%s’,’nut’))\ for i=1:nn disp(sprintf(’%d t t %f’,i,q(i))) end \ \ % xuat ung suat cua cac phan tu disp(’ung suat trong cac phan tu (kg/cm^2)’); for e=1:ne sigma(e)=para(e,3)*(q(la(e,2))-q(la(e,1)))/para(e,1); end disp(sprintf(’ n %s’,’UNG SUAT CUA CAC PHAN TU’)) disp(sprintf(’%s’,’phan\ tu’)) for e=1:ne disp(sprintf(’%d t t%f’,e,sigma(e))) end \ \ Ke·t qua˚ chaÔy chˆÙng trÏnh: KET QUA CHUYEN DICH CUA CAC NUT nut 1 0.000000 2 0.002500 3 0.007500 ung suat trong cac phan tu (kg/cm∧2) UNG SUAT CUA CAC PHAN TU
2.2. CAÙC BÖ‘ŸC THIE¡T LAƒP MO¬ HÃNH PTHH 63 phan tu 1 500.000000 2 1000.000000 2.2.3 Moät caùch tie·p ca‰n kha˘c Khi thie·t la‰p mo‚ hÏnh PTHH cu˚a ba¯i toa˘n pha‚n tÌch ˆ˘ng sua·t cu˚a thanh nhie‡u na·c ta Òaı du¯ng ca˘ch ÒaÎt ba¯i toa˘n theo nguye‚n ly˘ naÍng lˆÙÔng (nguye‚n ly˘ co‚ng a˚o) cu˚a cÙ hoÔc ke·t ca·u pha˘t bieÂu cho thanh chÚu ke˘o ne˘n. Ca˘c pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn theo ca˘ch ÒaÎt na¯y la¯ ca˘c ÒoaÔn thanh ca·u tha¯nh thanh nhie‡u na·c, chu˘ng co˘ y˘ nghÛa va‰t ly˘ cuÔ theÂ. Ba‚y giÙ¯ ta xe˘t ba¯i toa˘n theo ca˘ch ÒaÎt mÙ˘i cu˚a ly˘ thuye·t ca˘c ba¯i toa˘n bie‚n. AŸp duÔng phˆÙng trÏnh vi pha‚n mo‚ ta˚ bie·n daÔng cu˚a thanh chÚu ta˚i doÔc truÔc, bo˚ qua lˆÔc kho·i ta˘c duÔng le‚n thanh, phˆÙng trÏnh (1.35), ta ÒˆÙÔc ca˘c phˆÙng trÏnh vi pha‚n xa˘c ÒÚnh chuyeÂn dÚch cu˚a thanh nhie‡u na·c d dq A(1)E = 0, 0 <x<l(1), (2.56) dx dx d dq A(2)E = 0, l(1) <x<L. (2.57) dx dx Theo gia˚ thie·t cu˚a ba¯i toa˘n Òie‡u kie‰n bie‚n cho nghie‰m: q(0) = 0, (2.58) dq p E (L) = . (2.59) dx A(2) Ngoa¯i ra, chuyeÂn dÚch q co¯n pha˚i tho˚a Òie‡u kie‰n lie‚n tuÔc va¯ tˆÙng ta˘c taÔi ÒieÂm pha‚n ca˘ch x = l(1) q(l(1)−) = q(l(1)+), (2.60) dq dq A(1)E (l(1)−) = A(2)E (l(1)+). (2.61) dx dx —ˆa va¯o kho‚ng gian ha¯m V = s s H 1(0, L), s(0) = 0 . La·y s V tu¯y y˘, nha‚n hai ve· phˆÙng trÏnh (2.56){ (hay| ∈ phˆÙng trÏnh (2.57))} vÙ˘i s, la·y∈ tÌch
64 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Hình 2.12: Caùc haøm cô sôû. phaân töø 0 ñe·n L l(1) 2 L 2 (1) d q (2) d q A E 2 sdx + A E 2 sdx = 0. dx (1) dx Z0 Zl TÌch pha‚n tˆ¯ng pha‡n, du¯ng ca˘c Òieàu kieän (2.59)-(2.61), ta ñöôïc (1) l dq ds L dq ds A(1)E dx + A(2)E dx ps(L) = 0. (2.62) dx dx (1) dx dx − Z0 Zl Baøi toaùn bie·n pha‚n: tÏm q V tho˚a (2.62) vÙ˘i moÔi s V . Du¯ng phˆÙng pha˘p Galerkin, lˆu y˘ Òe·n nha‰n xe˘t∈ 2.10, vÙ˘i ca˘c ha¯m cÙ sÙ˚∈ (hÏnh 2.12) x2−x ne·u 0= x1 x x2 ϕ (x)= x2−x1 ≤ ≤ 1 0 ne·u x <x x = L 2 ≤ 3
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 65 x−x1 ne·u x1 x x2 x2−x1 ϕ2(x)= x3−x ≤ ≤ ne·u x2 <x x3 x3−x2 ≤ 0 ne·u x1 x x2 ϕ3(x)= x−x2 ≤ ≤ ne·u x2 <x x3 x3−x2 ≤ Thay 3 2 q q ϕ = [N](e) q (e) ≈ i i { } i=1 e=1 X X va¯o (2.62) vÙ˘i s la·y la‡n lˆÙÔt la¯ ϕj (j = 1, 2, 3) ta ÒˆÙÔc 2 xe+1 E(e)A(e) [B](e)T [B](e)dx q (e) p = 0 { } −{ } e=1 xe X Z 2 [k]e q (e) p = 0 { } −{ } e=1 X [K] q = p , { } { } trong Òo˘ p = 0 0 p T . { } { } Sau khi khˆ˚ Òie‡u kie‰n bie‚n co·t ye·u ta nha‰n laÔi ÒˆÙÔc phˆÙng trÏnh PTHH trong thÌ duÔ 2.7. 2.3 AÙp duïng PTHH cho caùc baøi toaùn bieân Nhˆ Òaı trÏnh ba¯y Ù˚ tre‚n, phˆÙng pha˘p pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn co˘ theÂ a˘p duÔng cho ca˘c ba¯i toa˘n bie‚n. Ca˘c tha¯nh pha‡n chÌnh cu˚a phˆÙng pha˘p PTHH cho nghie‰m cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n: i. Pha˘t bieÂu bie·n pha‚n hay pha˘t bieÂu ye·u ba¯i toa˘n; va¯ ii. Gia˚i xa·p xÊ phˆÙng trÏnh bie·n pha‚n nhÙ¯ PTHH. MuÔc na¯y giÙ˘i thie‰u ca˘ch tÏm nghie‰m xa·p xÊ PTHH cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n tho‚ng qua mo‰t so· thÌ duÔ, qua Òo˘ giÙ˘i thie‰u ca˘ch nhÏn va·n Òe‡ theo quan ÒieÂm gia˚i tÌch ha¯m.
66 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N 2.3.1 Baøi toaùn 1-chieàu Thí duï 2.8. Kyù hieäu Ω=(0, 1). Giaûi phöông trình vi phaân cho u: d2u + f = 0, x Ω, (2.63) dx2 ∈ thoûa caùc ñieàu kieän bieân u(1) = g, (2.64) du (0) = h. (2.65) −dx ÔÛ ñaây f : Ω¯ R laø haøm cho tröôùc, coøn g, h laø caùc so· thˆÔc cho trˆÙ˘c. —a‚y la¯ ba¯i toa˘n trong−→ thÌ duÔ 1.2, chˆÙng 1. Ba¯i toa˘n na¯y co˘ nghie‰m gia˚i tÌch: 1 y u(x)= g + (1 x)h + f(z)dz dy. (2.66) − Zx Z0 Ky˘ hie‰u: S = s s H1(Ω),s(1) = g la¯ ta‰p hÙÔp ca˘c ha¯m thˆ˚ ; { | ∈ } V = v v H1(Ω),v(1) = 0 la¯ ta‰p hÙÔp ca˘c ha¯m troÔng lˆÙÔng. { | ∈ } Ba¯i toa˘n bie·n pha‚n: Cho f,g,h nhˆ trˆÙ˘c. TÏm u S sao cho vÙ˘i moÔi w V ∈ ∈ 1 dw du 1 dx = wfdx + w(0)h. (2.67) dx dx Z0 Z0 DˆÙ˘i Òa‚y, ÒeÂ ÒÙn gia˚n ta goÔi ba¯i toa˘n bie‚n (2.63) - (2.65) la¯ ba¯i toa˘n (S), co¯n ba¯i toa˘n bie·n pha‚n (2.67) la¯ ba¯i toa˘n (W)5). Ve‡ phˆÙng die‰n toa˘n hoÔc (tÌnh chaÎt cheı) ta ca‡n chˆ˘ng minh: 5)S la¯ chˆı Òa‡u cu˚a Strong, a˘m chÊ pha˘t bieÂu (hay daÔng) maÔnh cu˚a ba¯i toa˘n. W la¯ chˆı Òa‡u cu˚a Weak, a˘m chÊ pha˘t bieÂu (hay daÔng) ye·u cu˚a ba¯i toa˘n.
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 67 —Únh ly˘ 2.2. Döôùi caùc giaû thie·t thÌch hÙÔp ta co˘: (a) Ne·u u la¯ nghie‰m cu˚a (S) thÏ u cuıng la¯ nghie‰m cu˚a (W). (b) Ne·u u la¯ nghie‰m cu˚a (W) thÏ u cuıng la¯ nghie‰m cu˚a (S). Chˆ˘ng minh (a) Vì u laø nghieäm cuûa (S) neân 1 d2u 0= w + f dx − dx2 Z0 vôùi moïi w V . Tích phaân töøng phaàn ve· pha˚i, ∈ 1 dw du 1 du 1 0= dx wfdx w . dx dx − − dx Z0 Z0 0 Du¯ng Òieàu kieän bieân (2.65) vaø w(1) = 0, ta ñöôïc: 1 dw du 1 dx = wfdx + w(0)h. (2.68) dx dx Z0 Z0 Hôn nöõa, vì u laø nghieäm cuûa (S) neân noù thoûa u(1) = g vaø vì vaäy u S. Cuo·i cu¯ng, vÏ u tho˚a (2.68) vÙ˘i moÔi w V ne‚n u tho˚a ÒÚnh nghÛa nghie‰m∈ ye·u cho bÙ˚i (W). ∈ (b) Ba‚y giÙ¯ gia˚ sˆ˚ u la¯ nghie‰m ye·u. Va‰y u S, suy ra u(1) = g, va¯ ∈ 1 dw du 1 dx = wfdx + w(0)h dx dx Z0 Z0 vÙ˘i moÔi w V . TÌch pha‚n tˆ¯ pha‡n ve· tra˘i va¯ du¯ng w(1) = 0, ta ÒˆÙÔc ∈ 1 d2u du 0= w + f dx + w(0) (0) + h . (2.69) dx2 dx Z0 —eÂ chˆ˘ng minh u la¯ nghie‰m cu˚a (S) chÊ ca‡n chˆ˘ng minh raËng (2.69) da„n Òe·n:
68 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N d2u (i) dx2 + f = 0 treân Ω; vaø du (ii) dx (0) + h = 0. —a‡u tie‚n ta chˆ˘ng minh (i). —Únh nghÛa w trong (2.69) bÙ˚i d2u w = φ + f , dx2 trong Òo˘ φ trÙn; φ> 0 vÙ˘i moÔi x Ω; va¯ φ(0) = φ(1) = 0. Cha˙ng haÔn, ta co˘ theÂ la·y φ(x)= x(1 x). Do w(1) =∈ 0 ne‚n w V . Thay w va¯o (2.69) thÏ ÒˆÙÔc − ∈ 1 d2u 2 0= φ + f dx + 0. dx2 Z0 ≥0 | {z } Suy ra (i) pha˚i ÒˆÙÔc tho˚a. Du¯ng (i) trong (2.69) ÒeÂ chˆ˘ng minh (ii), cuÔ theÂ la¯ du 0= w (0) + h . dx Ta co˘ theÂ choÔn w V sao cho w(0) = 0. Va‰y (ii) cuıng ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh ∈ 6 —aÎt: 1 dw du a(w,u) = dx, (2.70) dx dx Z0 1 (w, f) = wfdx (2.71) Z0 la‡n lˆÙÔt la¯ daÔng song tuye·n tÌnh Òo·i xˆ˘ng lie‚n tuÔc, daÔng tuye·n tÌnh lie‚n tuÔc tre‚n V . PhˆÙng trÏnh bie·n pha‚n (W) co˘ theÂ vie·t laÔi: a(w,u)=(w, f)+ w(0)h. (2.72)
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 69 AÙp duïng PTHH cho baøi toaùn bie·n pha‚n la¯ xa‚y dˆÔng ca˘c xa·p xÊ höõu haïn chieàu cu˚a S va¯ V , ky˘ hie‰u Sh va¯ V h tˆÙng ˆ˘ng. ChÊ so· tre‚n h lie‚n he‰ vÙ˘i lˆÙ˘i hay phe˘p pha‚n hoaÔch mie‡n xa˘c ÒÚnh cu˚a ba¯i toa˘n Ω tha¯nh ca˘c pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn. Tho‚ng thˆÙ¯ng ta muo·n Sh S va¯ V h V , xa·p xÊ nhˆ va‰y goÔi la¯ xa·p xÊ trong. Tˆ¯ Òie‡u kie‰n bie‚n ta tha·y⊂ ne·u uh ⊂Sh, wh V h thÏ uh(1) = g, wh(1) = 0. Cho trˆÙ˘c ha¯m gh Sh. MoÔi ha¯m u∈ Sh co˘∈ theÂ bieÂu die„n dˆÙ˘i daÔng uh = vh + gh, trong Òo˘ v∈h V h. Tˆ¯ phˆÙng∈ trÏnh (2.72), ta co˘ phˆÙng trÏnh ∈ a(wh,uh)=(wh, f)+ wh(0)h (2.73) xa˘c ÒÚnh nghie‰m ye·u xa·p xÊ uh tho˚a (2.73) vÙ˘i moÔi wh V h; hay xa˘c ÒÚnh ∈ vh V h (uh = vh + gh) tho˚a ∈ a(wh,vh)=(wh, f)+ wh(0)h a(wh, gh) (2.74) − To˘m laÔi, ta co˘ daÔng Galerkin cu˚a ba¯i toa˘n (xa·p xÊ), ky˘ hie‰u (G), ÒˆÙÔc pha˘t bieÂu nhˆ sau: Cho trˆÙ˘c f,g,h nhˆ tre‚n, tÏm uh = vh + gh, vh V h, sao cho vÙ˘i moÔi wh V h ∈ ∈ a(wh,vh)=(wh, f)+ wh(0)h a(wh, gh). − Cho Òe·n Òa‚y, ta co˘ ba¯i toa˘n xa·p xÊ cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n ban Òa‡u. AŸp duÔng PTHH cho ba¯i toa˘n, thˆÔc cha·t, la¯ xa‚y dˆÔng kho‚ng gian xa·p xÊ V h baËng PTHH (xa·p xÊ ha¯m). Xaây döïng khoâng gian xa·p xÊ V h baèng PTHH Mie‡n Ω ÒˆÙÔc chia tha¯nh ne pha‡n tˆ˚ hˆıu haÔn (ÒoaÔn con) bÙ˚i nn = ne+1 ÒieÂm nu˘t: 0= x1 x 2
70 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N ? N (2 i nn 1) lieân ke·t vÙ˘i nu˘t i (nu˘t trong): i ≤ ≤ − x−xi−1 ne·u xi−1 x xi hi−1 xi+1−x ≤ ≤ Ni(x)= ne·u xi xi+1  ? Nnn lie‚n ke·t vÙ˘i nu˘t nn: 0 ne·u x . —ie‡u na¯y co˘ nghÛa la¯ ne·u w V thÏ to‡n taÔi ca˘c haËng so· thˆÔc c , i = 1, 2, ,nn 1 sao cho ∈ i − nn−1 wh = c N + c N + + c N = c N =[N] c , (2.76) 1 1 2 2 nn−1 nn−1 i i { } i=1 X
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 71 trong ñoù [N]=[N N N ], c T = c c c . 1 2 nn−1 { } { 1 2 nn−1} —eÂ xa˘c ÒÚnh ca˘c ha¯m uh Sh ta Òˆa va¯o ha¯m g h ÒÚnh nghÛa nhˆ sau h h h ∈ g = gNnn, khi Òo˘ ne·u u S thÏ to‡n taÔi ca˘c so· thˆÔc qi, i = 1, 2, ,nn 1, sao cho ∈ − nn−1 uh = q N + gN =[N] q + gN , (2.77) i i nn { } nn i=1 X trong Òo˘ q T = q q q . { } { 1 2 nn−1} Ba‚y giÙ¯ thay (2.76) va¯ (2.77) va¯o phˆÙng trÏnh Galerkin (2.74), ro‡i du¯ng tÌnh song tuye·n tÌnh cu˚a a, va¯ tÌnh tuye·n tÌnh cu˚a ca˘c bieÂu thˆ˘c co¯n laÔi, ta ÒˆÙÔc: nn−1 nn−1 nn−1 nn−1 c a(N , N )q = c (N , f)+ h c N (0) g c a(N , N ). i i j j i i i i − i i nn i,j=1 i=1 i=1 i=1 X X X X h h VÏ phˆÙng trÏnh tre‚n tho˚a vÙ˘i moÔi w V ne‚n no˘ tho˚a vÙ˘i ca˘c ci tu¯y y˘, suy ra: ∈ nn−1 a(N , N )q =(N , f)+ hN (0) ga(N , N ) (2.78) i j j i i − i nn j=1 X vÙ˘i moÔi i = 1, 2, ,nn. Ky˘ hie‰u: Kij = a(Ni, Nj), pi =(Ni, f)+ hNi(0) ga(Ni, Nnn) thÏ (2.78) trÙ˚ tha¯nh: − nn−1 Kij qj = pi. (2.79) j=1 X hay dˆÙ˘i daÔng ma tra‰n [K] q = p , { } { } T T trong Òo˘ [K]=[Kij], q = q1 q2 qnn , p = p1 p2 pnn , Òo·i chie·u vÙ˘i muÔc trˆÙ˘c, la‡n{ lˆÙÔt} la¯{ ma tra‰n Òo‰ cˆ˘ng} { toa¯n} cuÔc,{ vectÙ chuyeÂn} dÚch, vectÙ ta˚i toa¯n cuÔc (sau khi khˆ˚ Òie‡u kie‰n bie‚n).
72 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Nhaän xeùt 2.11. Lo·i trÏnh ba¯y Ù˚ Òa‚y, theo quan ÒieÂm toa¯n cuÔc, ne‚u ba‰t y˘ tˆÙ˚ng cÙ ba˚n cu˚a PTHH la¯ xa·p xÊ kho‚ng gian ha¯m V baËng kho‚ng gian hˆıu haÔn chieàu V h. Tuy nhieân, trong thöïc haønh giaûi caùc baøi toaùn bieân ngöôøi ta tie·n ha¯nh theo quan ÒieÂm ÒÚa phˆÙng. • Thie·t la‰p phˆÙng trÏnh PTHH (Galerkin) theo quan ÒieÂm ÒÚa phˆÙng Sau khi Òaı pha‚n hoaÔch mie‡n Ω (bˆÙ˘c 1), choÔn Òa thˆ˘c no‰i suy cho tˆ¯ng phaàn töû (böôùc 2). Böôùc 3, thie·t la‰p phˆÙng trÏnh PTHH ÒˆÙÔc thˆÔc hie‰n baèng (e) caùch xeùt phöông trình (2.63) treân phaàn töû höõu haïn Ω = (xe,xe+1). Thöïc hieän tính toaùn töông töï nhö khi thieát laäp coâng thöùc bie·n pha‚n, xe+1 d2u + f wdx. dx2 Zxe TÌch pha‚n tˆ¯ng phaàn: xe+1 dw du xe+1 du du dx = wfdx + (x )w(x ) (x )w(x ). dx dx dx e+1 e+1 − dx e e Zxe Zxe Duøng caùc kyù hieäu xe+1 dw du xe+1 a(e)(w,u)= dx, (w, f)(e) = wfdx, dx dx Zxe Zxe coâng thöùc treân coù theå vie·t laÔi: du du a(e)(w,u)=(w, f)(e) + (x )w(x ) (x )w(x ). dx e+1 e+1 − dx e e Theo ca˘ch xa·p xÊ ha¯m tre‚n Ω(e), wh =[N](e) c (e) va¯ uh =[N](e) q (e), thÏ { } { } 2 (e) (e) (e) (e) (e) cα a (Nα , Nβ )qβ = α,βX=1 2 2 du(e) du(e) c(e)(N (e), f)(e) + c(e) (x )N (e)(x ) (x )N (e)(x ) . α α α dx e+1 α e+1 − dx e α e α=1 α=1 X X
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 73 (e) Do caùc cα laø tuøy yù neân 2 (e) (e) (e) (e) a (Nα , Nβ )qβ = Xβ=1 du(e) du(e) (N (e), f)(e) + (x )N (e)(x ) (x )N (e)(x ) . α dx e+1 α e+1 − dx e α e Kyù hieäu: (e) (e) (e) (e) kαβ = a (Nα , Nβ ), du(e) du(e) p(e) = (N (e), f)(e) + (x )N (e)(x ) (x )N (e)(x ) , α α dx e+1 α e+1 − dx e α e so· haÔng lie‚n quan Òe·n bie‚n pha‡n tˆ˚ | {z } phˆÙng trÏnh tha¯nh: [k](e) q (e) = p (e), { } { } (e) (e) (e) (e) trong Òo˘ [k] = [kαβ] va¯ p =[pβ ] la‡n lˆÙÔt la¯ ma tra‰n Òo‰ cˆ˘ng va¯ vectÙ ta˚i phaàn töû. Cuï theå, trong{ } tính toaùn thöïc haønh, ma traän ñoä cöùng phaàn töû ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: 1 1 1 [k](e) = − ; h 1 1 e − coøn vectô taûi phaàn töû, xaáp xæ PTHH haøm f cuøng kieåu, ñöôïc tính nhö sau. xe+1 2 xe+1 (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) pα =(Nα , f) )= Nα fdx = Nα Nβ dx f(xβ ), xe xe Z Xβ=1 Z suy ra he 2f(x )+ f(x ) p (e) = e e+1 . { } 6 f(xe) + 2f(xe+1)
74 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Chuù yù, ôû ñaây ta khoâng ñöa vaøo so· haÔng lie‚n quan Òe·n bie‚n cu˚a pha‡n tˆ˚, vÏ no˘ seı bÚ trie‰t tie‚u (khˆ˚ la„n nhau) khi laÈp ghe˘p ne·u bie‚n naèm beân trong, hoaÎc seı ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh tˆ¯ Òieàu kieân bieân baøi toaùn ne·u bie‚n naèm treân bieân cuûa mieàn. Trong baøi toaùn ñang xeùt, taïi nuùt ñaàu (phaàn töû thöù nhaát), du du (x )N (1)(x )= h, (x )N (1)(x ) = 0. −dx 1 1 1 −dx 1 2 1 Do ñoù, ta chæ caàn "coäng theâm" h vaøo thaønh phaàn thöù nhaát (öùng vôùi nuùt 1) cuûa vectô taûi toaøn cuïc (xem chöông trình pthh26.m). Phaàn coøn laïi ñöôïc thöïc hieän töông töï nhö ñaõ trình baøy trong muïc tröôùc. Chöông trình pthh28.m Chöông trình ñöôïc vieát cho thí duï 2.8 vôùi caùc soá lieäu cuï theå: f(x)= 6x, g = 1, h = 2. Nghieäm chính xaùc: u = x3 + 2x 4. Ngöôøi ñoïc neân− ñoái chieáu− vôùi chöông− trình thanhnn.m ñeå thaáy caùc thaønh− phaàn chung cuûa caùc chöông trình PTHH. pthh28.m % chuong trinh thi du 2.8, f=-6x, g=-1, h=-2 % T.A. Ngoc % update: 25/9/2009 % bien - mo ta % nn tong so nut % ne tong so phan tu % coord vecto toa do cac nut % la ma tran lap ghep % dcond dieu kien Dirichlet % fcond dieu kien Neumann % ke ma tran do cung phan tu % pe vecto tai phan tu % gk ma tran do cung toan cuc % gp vecto tai toan cuc % q vecto chuyen dich nut toan cuc % chuong trinh goi function ffunc - ham f clear all % TIEN XU LY ne=10; nn=ne+1; coord=0:1/ne:1;
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 75 for e=1:ne la(e,1)=e; la(e,2)=e+1; end fcond=[1 -2]; dcond=[nn -1]; % XU LY gk=zeros(nn,nn); gp=zeros(nn,1); % tinh ma tran do cung va vecto tai toan cuc for e=1:ne i=la(e,1); j=la(e,2); x1=coord(i); x2=coord(j); % ma tran do cung phan tu ke=1/abs(x2-x1)*[1 -1; -1 1]; % lap ghep gk(i,i)=gk(i,i)+ke(1,1); gk(i,j)=gk(i,j)+ke(1,2); gk(j,i)=gk(j,i)+ke(2,1); gk(j,j)=gk(j,j)+ke(2,2); % vecto tai phan tu pe=abs(x2-x1)/6*[2*ffunc(x1)+ffunc(x2); ffunc(x1)+2*ffunc(x2)]; % lap ghep gp(i)=gp(i)+pe(1); gp(j)=gp(j)+pe(2); end; % dua vao dieu kien nut for i=1:size(fcond,1) gp(fcond(i,1))=gp(fcond(i,1))+fcond(i,2); end for i=1:size(dcond,1) for j=1:nn gp(j)=gp(j)-gk(j,dcond(i,1))*dcond(i,2); end for j=1:nn gk(dcond(i,1),j)=0.0; gk(j,dcond(i,1))=0.0; end gk(dcond(i,1),dcond(i,1))=1.0;
76 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N gp(dcond(i,1))=dcond(i,2); end q=inv(gk)*gp; % HAU XU LY disp(sprintf(’ n %s’,’ KET QUA SO VOI NGHIEM CX’)) % nghiem chinh\ xac u=x^3+2*x-4 ucx=coord.^3+2*coord-4; % xuat chuyen dich disp(sprintf(’%s’,’nut uxx ucx’)) for i=1:nn disp(sprintf(’%d t t%f t%f’,i,q(i),ucx(i))) end \ \ \ disp(sprintf(’%s%e’,’sai so cuc dai: ’, max(abs(q-transpose(ucx))))) Haøm ñöôïc goïi trong thí duï 2.8: ffunc.m function v=ffunc(x) % ham duoc goi trong thi du 2.6 v=-6*x; Ke·t qua˚ chaÔy chˆÙng trÏnh: KET QUA SO VOI NGHIEM CX nut uxx ucx 1 -4.000000 -4.000000 2 -3.592000 -3.592000 3 -3.136000 -3.136000 4 -2.584000 -2.584000 5 -1.888000 -1.888000 6 -1.000000 -1.000000 sai so cuc dai: 1.776357e-015 Chu˘ thÌch ve‡ la‰p trÏnh Matlab (1) Mo‰t vectÙ X vÙ˘i ca˘c tha¯nh pha‡n nguye‚n dˆÙng ÒˆÙÔc Matlab "xem nhö" aùnh xaï töø N vaøo N, 1 X(1), 2 X(2), , n X(n). 7→ 7→ 7→ Matlab cho pheùp thöïc hieän pheùp toaùn hôïp noái hai aùnh xaï kieåu G(X) mieãn sao G laø vectô coù chieàu daøi lôùn hôn caùc X(i). Thí◦ duï: >> X=[2 3]
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 77 X = 2 3 >> G=[0.1 0.2 0.3 0.4; 0.2 0.3 0.4 0.5; 0.3 0.4 0.5 0.6] G = 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 >> G(1,X) ans = 0.2000 0.3000 >> G(X,1) ans = 0.2000 0.3000 >> G(X,X) ans = 0.3000 0.4000 0.4000 0.5000 Töø nhaän xeùt naøy ñoaïn maõ trong voøng laÎp theo phaàn töû cuûa chöông trình treân coù theå vie·t: i=la(e,:); x=coord(i); % ma tran do cung phan tu ke=1/abs(x(2)-x(1))*[1 -1; -1 1]; % lap ghep gk(i,i)=gk(i,i)+ke; % vecto tai phan tu pe=abs(x(2)-x(1))/6*[2*ffunc(x(1))+ffunc(x(2)); ffunc(x(1))+2*ffunc(x(2))]; % lap ghep gp(i)=gp(i)+pe; (2) Du¯ng ky˘ tˆÔ go‰p ':' ñoaïn maõ khöû ñieàu kieän bieân Dirichlet coù theå vieát: for i=1:size(dcond,1) gp(:)=gp(:)-gk(:,dcond(i,1))*dcond(i,2); gk(dcond(i,1),:)=0.0; gk(:,dcond(i,1))=0.0; gk(dcond(i,1),dcond(i,1))=1.0; gp(dcond(i,1))=dcond(i,2); end
78 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N 2.3.2 Baøi toaùn 2-chieàu Thí duï 2.9. Cho Ω laø taäp môû bò chaÎn trong R2 vÙ˘i bie‚n Γ, xe˘t ba¯i toa˘n bie‚n elliptic: ⊂ u = f(x), x Ω, (2.80) − 4 ∈ u = 0 tre‚n Γ, (2.81) trong Òo˘ f = f(x), x =(x,y)), la¯ ha¯m cho trˆÙ˘c thuo‰c lÙ˘p L2(Ω). PhˆÙng trÏnh ÒaÔo ha¯m rie‚ng trong ba¯i toa˘n tre‚n goÔi la¯ phˆÙng trÏnh Poisson. No˘ la¯ mo‚ hÏnh toa˘n hoÔc cu˚a nhie‡u ba¯i toa˘n gaÎp trong va‰t ly˘. ThÌ duÔ, goÔi u la¯ nhie‰t Òo‰ pha‚n bo· trong va‰t theÂ chie·m mie‡n Ω R3. Ne·u qua˘ trÏnh da„n nhie‰t la¯ dˆ¯ng ta co˘ ca˘c he‰ thˆ˘c sau: ⊂ ∂u qi = ki(x) , x Ω, i = 1, 2, 3 (ÒÚnh lua‰t Fourier), (2.82) ∂xi ∈ q = f, x Ω (ÒÚnh lua‰t ba˚o toa¯n naÍng lˆÙÔng), (2.83) 5· ∈ Ù˚ Òa‚y q = (q1,q2,q3), qi ky˘ hie‰u do¯ng nhie‰t theo hˆÙ˘ng xi, ki(x) la¯ Òo‰ da„n nhie‰t taÔi x theo hˆÙ˘ng xi, f(x) la¯ ma‰t Òo‰ nguo‡n nhie‰t taÔi x. Ne·u ki(x) 1, x Ω, i = 1, 2, 3, khˆ˚ q trong (2.82) - (2.83) ta ÒˆÙÔc u = f trong Ω. ≡ ∈ i − 4 . Pha˘t bieÂu ye·u 1 1 —ˆa va¯o kho‚ng gian ha¯m H0 (Ω) = v H (Ω) v = 0 tre‚n Γ . La·y w H1(Ω) tu¯y y˘, tÌch vo‚ hˆÙ˘ng w vÙ˘i hai{ ve·∈ phˆÙng trÏnh| (2.80), } ∈ 0 w udx = wfdx. (2.84) − 4 ZΩ ZΩ VÏ ∂ ∂u ∂ ∂u ∂w ∂u ∂w ∂u w u = w + w , 4 ∂x ∂x ∂y ∂y − ∂x ∂x − ∂y ∂y ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u w + w dx = w dΓ = 0, ∂x ∂x ∂y ∂y ∂n ZΩ ZΓ (trong bie·n ÒoÂi cuo·i ta Òaı du¯ng co‚ng thˆ˘c Gauss vÙ˘i n la¯ vectÙ pha˘p tuye·n
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 79 ñôn vò ngoaøi neân (2.84) trôû thaønh ∂u w udx = wfdx + w dΓ. (2.85) 5 · 5 ∂n ZΩ ZΩ ZΓ Duøng ñieàu kieän w = 0 treân Γ, cuo·i cu¯ng, ta ÒˆÙÔc co‚ng thˆ˘c bie·n pha‚n cu˚a ba¯i toa˘n bie‚n: w udx = wfdx. (2.86) 5 · 5 ZΩ ZΩ —ˆa va¯o daÔng song tuye·n tÌnh (Òo·i xˆ˘ng) a( , ) va¯ daÔng tuye·n tÌnh `( ) tre‚n 1 · · · H0 (Ω) ÒÚnh bÙ˘i: a(w,u) = w udx, (2.87) 5 · 5 ZΩ `(w) = wfdx; (2.88) ZΩ ba¯i toa˘n bie·n pha‚n tˆÙng ˆ˘ng: tÏm u H 1(Ω) sao cho ∈ 0 a(w,u)= `(w) w H1(Ω). (2.89) ∀ ∈ 0 . Söï toàn taïi vaø duy nha·t cu˚a nghie‰m ye·u Trong nha‰n xe˘t 1.3 ngay sau thÌ duÔ 1.2, chˆÙng 1, ta Òaı îtho‚ng ba˘oî: sˆÔ to‡n taÔi va¯ duy nha·t nghie‰m (ye·u) cu˚a ba¯i toa˘n bie·n pha‚n ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh nhÙ¯ ÒÚnh ly˘ Lax - Milgram, va¯ trong trˆÙ¯ng hÙÔp daÔng song tuye·n tÌnh a( , ) Òo·i xˆ˘ng thÏ ba¯i toa˘n bie·n pha‚n tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i ba¯i toa˘n to·i ˆu. Ba‚y giÙ¯,· · trˆÙ˘c khi a˘p duÔng PTHH cho ba¯i toa˘n Òang xe˘t, ta seı chˆ˘ng minh sˆÔ to‡n taÔi nghie‰m, sˆÔ tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i ba¯i toa˘n to·i ˆu cu˚a ba¯i toa˘n na¯y. Boå ñeà 2.1 (Poincare˘ -Fredrichs). Gia˚ sˆ˚ Ω Rn la¯ ta‰p mÙ˚ bÚ chaÎn vÙ˘i bie‚n Γ Òu˚ trÙn va¯ cho u H1(Ω); thÏ to‡n taÔi mo‰t haèng⊂ so· c(Ω), Òo‰c la‰p Òo·i vÙ˘i u sao cho ∈ 0 n ∂u 2 u(x) 2dx c(Ω) (x) dx. (2.90) | | ≤ ∂xi ZΩ i=1 ZΩ X
80 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N 1 1 Chˆ˘ng minh. Vì moïi haøm u H0 (Ω) laø giôùi haïn trong H (Ω) cuûa moät daõy ∞ ∞ ∈ um m=1 C0 (Ω), neân chæ caàn chöùng minh ba·t Òa˙ng thˆ˘c na¯y vÙ˘i u { ∞ } ⊂ ∈ C0 (Ω). —eÂ ÒÙn gia˚n, ta trÏnh ba¯y chˆ˘ng minh cho trˆÙ¯ng hÙÔp Ω=(a,b) (c, d) R2. Chˆ˘ng minh cho Ω toÂng qua˘t la¯ tˆÙng tˆÔ. × ⊂ HieÂn nhie‚n, x ∂u x ∂u u(x,y)= u(a,y)+ (ξ,y)dξ = (ξ,y)dξ, c<y<d. ∂x ∂x Za Za Ro‡i, bÙ˚i ba·t Òa˙ng thˆ˘c Cauchy - Schwarz, b d x ∂u 2 u(x,y) 2dxdy = (ξ,y)dξ dxdy | | ∂x ZΩ Za Zc Za b d x ∂u 2 (x a) (ξ,y) dξ dxdy ≤ − ∂x Za Zc Za ! 2 b b d ∂u (x a)dx (ξ,y) dξdy ≤ − × ∂x Za Za Zc 1 ∂u 2 (b a)2 (x,y) dxdy. ≤ 2 − ∂x ZΩ TˆÙng tˆÔ, 1 ∂u 2 u(x,y) 2dxdy (d c)2 (x,y) dxdy. | | ≤ 2 − ∂y ZΩ ZΩ Co‰ng hai ba·t Òa˙ng thˆ˘c vˆ¯a tÏm, ta ÒˆÙÔc ∂u 2 ∂u 2 u(x,y) 2dxdy c(Ω) (x,y) + (x,y) dxdy, | | ≤ ∂x ∂y ZΩ ZΩ ! 2 2 −1 trong Òo˘ c(Ω) = ( (b−a)2 + (d−c)2 ) .
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 81 Deã daøng kieåm tra baøi toaùn bie·n pha‚n (2.89) tho˚a ca˘c Òie‡u kie‰n cu˚a ÒÚnh ly˘ Lax - Milgram ne‚n co˘ nghie‰m (ye·u) duy nha·t (du¯ng ba·t Òa˙ng thˆ˘c Poincare˘ -Fredrichs). . Baøi toaùn cöïc tieåu hoùa (to·i ˆu) Do tÌnh Òo·i xˆ˘ng cu˚a daÔng song tuye·n tÌnh a( , ) ne‚n ba¯i toa˘n bie·n pha‚n (2.89) co˘ theÂ pha˘t bieÂu laÔi nhˆ la¯ ba¯i toa˘n cˆÔc tieÂu· · ho˘a. —eÂ chÌnh xa˘c hÙn, 1 R ta ÒÚnh nghÛa phie·m ha¯m toa¯n phˆÙng (quadratic functional) J : H0 (Ω) bÙ˚i → 1 J(v)= a(v,v) `(v), v H1(Ω). (2.91) 2 − ∈ 0 1 Boå ñeà 2.2. Cho u la¯ nghie‰m ye·u (duy nha·t) cu˚a (2.89) trong H0 (Ω) va¯ gia˚ sˆ˚ raËng a( , ) la¯ daÔng song tuye·n tÌnh Òo·i xˆ˘ng tre‚n H1(Ω); thÏ u la¯ ca˘i cˆÔc tieÂu ho˘a duy · · 0 nha·t cu˚a J( ) tre‚n H1(Ω). · 0 1 Chˆ˘ng minh. Cho u la¯ nghie‰m ye·u duy nha·t cu˚a (2.89) trong H0 (Ω) va¯ vÙ˘i v H1(Ω), xe˘t J(v) J(u): ∈ 0 − 1 1 J(v) J(u) = a(v,v) a(u,u)+ `(v u) − 2 − 2 − 1 1 = a(v,v) a(u,u) a(u,v u) 2 − 2 − − 1 = [a(v,v) 2a(u,v)+ a(u,u)] 2 − 1 = [a(v,v) a(v,u) a(u,v)+ a(u,u)] (do tÌnh Òo·i xˆ˘ng) 2 − − 1 = a(v u,v u). 2 − − VÏ (2.90) ne‚n to‡n taÔi haËng so· dˆÙng c0 sao cho a(v u,v u) c0 v u H1(Ω). Va‰y, − − ≥ k − k 1 J(v) J(u) c v u 1 0 J(v) J(u) v H (Ω); − ≥ 0k − kH (Ω) ≥ ⇒ ≥ ∀ ∈ 0 nghÛa la¯ u cˆÔc tieÂu ho˘a J( ) tre‚n H 1(Ω). · 0
82 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N Hôn nöõa, deã tha·y u la¯ ca˘i cˆÔc tieÂu ho˘a duy nha·t. De„ da¯ng chˆ˘ng minh J( ) lo‡i, nghÛa la¯ · J((1 θ)v + θw) (1 θ)J(v)+ θJ(w) θ [0, 1], v,w H1(Ω). − ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈ 0 [Du¯ng Òo‡ng nha·t thˆ˘c 1 (1 θ)J(v)+ θJ(w)= J((1 θ)v + θw)+ θ(1 θ)a(v w,v w) − − 2 − − − va¯ ba·t Òa˙ng thˆ˘c a(v w,v w) 0.] − − ≥ HÙn nˆıa, ne·u u cˆÔc tieÂu ho˘a J( ) thÏ J( ) co˘ mo‰t Òie‡m dˆ¯ng (stationary point) taÔi u; cuÔ theÂ, · · J(u + λv) J(u) J 0(u)v = lim − = 0 λ→0 λ vÙ˘i moÔi v H1(Ω). VÏ ∈ 0 J(u + λv) J(u) λ − = a(u,v) `(v)+ a(v,v), λ − 2 ta ke·t lua‰n raËng ne·u u cˆÔc tieÂu ho˘a J( ) thÏ · λ 1 lim[a(u,v) `(v)+ a(v,v)] = a(u,v) `(v) = 0 v H0 (Ω), λ→0 − 2 − ∀ ∈ Òie‡u na¯y chˆ˘ng minh boÂ Òe‡ dˆÙ˘i Òa‚y. 1 1 Boå ñeà 2.3. Gia˚ sˆ˚ u H0 (Ω) cˆÔc tieÂu ho˘a J( ) tre‚n H0 (Ω); thÏ u la¯ nghie‰m (duy nha·t) cu˚a ba¯i toa˘n (2.89).∈ Ba¯i toa˘n (2.89) ÒˆÙÔc goÔi· la¯ phˆÙng trÏnh Euler - lagrange cho ba¯i toa˘n cˆÔc tieÂu ho˘a na¯y. BoÂ Òe‡ na¯y la¯ Òa˚o cu˚a boÂ Òe‡ trˆÙ˘c. Ca˚ hai boÂ Òeà bieåu dieãn söï töông ñöông cuûa baøi toaùn (2.89) vôùi baøi toaùn cöïc tieåu hoùa: tìm u H 1(Ω) sao cho ∈ 0 J(u) J(v) v H1(Ω). (2.92) ≤ ∀ ∈ 0
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 83 . Xa·p xÊ PTHH Baây giôø ta aùp duïng PTHH ñeå xa·p xÊ ba¯i toa˘n bie·n pha‚n (2.89), du¯ng pha‡n tˆ˚ tam gia˘c vÙ˘i no‰i suy tuye·n tÌnh. BˆÙ˘c 1: pha‚n hoaÔch mie‡n Ω bÙ˚i lˆÙ˘i ca˘c tam gia˘c Ωe. BˆÙ˘c 2: xa·p xÊ ha¯m baËng Òa thˆ˘c ba‰c nha·t tre‚n tˆ¯ng pha‡n tˆ˚ (pha‡n tˆ˚ tam gia˘c 3 nu˘t ), vÙ˘i phaàn töû Ωe laø tam giaùc vôùi caùc nuùt ñöôïc ñaùnh so· thˆ˘ tˆÔ 6) ÒÚa phˆÙng ngˆÙÔc chie‡u kim Òoàng hoà xi =(xi,yi), i = 1, 2, 3, u(e) =[N](e) q (e) { } (e) (e) (e) trong ñoù N =[N1 (x,y) N2 (x,y) N3 (x,y)], x y y x + x( y + y ) y( x + x ) N (e)(x,y) = 2 3 − 2 3 − 3 2 − − 3 2 , 1 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 x y + y x + x( y + y )+ y( x + x ) N (e)(x,y) = − 1 3 1 3 − 3 1 − 3 1 , 2 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 x y y x + x( y + y ) y( x + x ) N (e)(x,y) = 1 2 − 1 2 − 2 1 − − 2 1 . 3 x y y x x y + y x + x y y x 2 3 − 2 3 − 1 3 1 3 1 2 − 1 2 q (e) = q(e) q(e) q(e) T vôùi q(e) = u(e)(x ), i = 1, 2, 3. { } { 1 2 3 } i i BˆÙ˘c 3: töø phöông trình u = f(x), x Ωe − 4 ∈ ta coù coâng thöùc bieán phaân cuûa baøi toaùn phaùt bieåu cho phaàn töû Ωe vôùi bieân Γe: ∂u w udx = wfdx + w dΓe. (2.93) 5 · 5 e e ∂n ZΩ ZΩ ZΓ Kyù hieäu nhö trong thí duï tröôùc, a(e)(w,u)= w udx, (w, f)(e) = wfdx, 5 · 5 e ZΩ ZΩ 6)Caùch ñaùnh soá naøy nhaèm muïc ñích pheùp bieán ñoåi töø phaàn töû Ωe sang phaàn töû tham chieáu (xem thí duï 2.2) coù Jacobian döông.
84 CHÖ‘NG 2. LYŸ THUYE¡T C‘ BA¤N coâng thöùc treân coù theå vie·t laÔi: ∂u a(e)(w,u)=(w, f)(e) + w dΓe. e ∂n ZΓ TˆÙng tˆÔ nhˆ thÌ duÔ trˆÙ˘c, tÌnh ma tra‰n Òo‰ cˆ˘ng pha‡n tˆ˚, (e) (e) (e) (e) (e) (e) T kαβ = a (Nα , Nβ )= Nα ( Nβ ) dx, α,β = 1, 2, 3. e 5 · 5 ZΩ Nhˆng ÒeÂ tÌnh tÌch pha‚n tre‚n Ωe thÏ, kha˘c vÙ˘i thÌ duÔ trˆÙ˘c, ta caàn ñoåi bie·n ÒeÂ bie·n ÒoÂi mie‡n Ωe tha¯nh mie‡n ÒÙn gia˚n hÙn gio·ng nhau cho moÔi pha‡n tˆ˚. Mo‰t ca˘ch tˆÔ nhie‚n, mieàn ñôn giaûn ñöôïc choïn laø phaàn töû tham chieáu 2-chieàu (xem thí duï 2.2), tam giaùc Ωr vôùi caùc ñænh ξ = (0, 0), ξ = (1, 0), ξ = (0, 1) 1 2 3 trong maët phaúng toïa ñoä ξη, laàn löôït töông öùng vôùi caùc nuùt x1, x2, x3. Pheùp bieán ñoåi töông öùng giöõa ñieåm ξ =(ξ, η) vôùi ñieåm x =(x,y): x = (1 ξ η)x + ξx + ηx . (2.94) − − 1 2 3 Ma traän Jacobi cuûa pheùp bie·n ÒoÂi: ∂x ∂x x x x x J = ∂ξ ∂η = 2 1 3 1 . (2.95)  ∂y ∂y  y − y y − y 2 − 1 3 − 1  ∂ξ ∂η    —Únh thˆ˘c Jacobi (Jacobian): J = det J =(x x )(y y ) (x x )(y y ). (2.96) 2 − 1 3 − 1 − 3 − 1 2 − 1 —eÂ bie·n ÒoÂi ha¯m dˆÙ˘i da·u tÌch pha‚n, ta du¯ng co‚ng thˆ˘c ÒaÔo ha¯m ha¯m hÙÔp, ∂φ ∂φ˜ ∂ξ ∂φ˜ ∂η = + , (2.97) ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂φ ∂φ˜ ∂ξ ∂φ˜ ∂η = + , (2.98) ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y
2.3. AÙP DUÏNG PTHH CHO CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN 85 trong ñoù φ = φ(x,y), φ˜ = φ(x(ξ, η),y(ξ, η)). Döôùi ñaây, da·u "˜" ñaët treân ñaàu moät bieåu thöùc ñeå chæ bieåu thöùc ñöôïc vieát trong heä toïa ñoä ñòa phöông ξη. Daïng ma traän: T ∂φ ∂ξ ∂η ∂φ¯ ∂ξ ∂ξ ∂φ¯ ∂x ∂x ∂x ∂ξ ∂x ∂y ∂ξ  ∂φ  =  ∂ξ ∂η   ¯  =  ∂η ∂η   ¯  .  ∂φ   ∂φ        ∂x  ∂y ∂y  ∂η  ∂x ∂y  ∂η                 Neáu thay φ trong (2.97), (2.98) laàn löôït baèng x,y, ta nhaän ñöôïc heä thöùc: ∂x ∂x ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂η ∂x ∂y  ∂y ∂y   ∂η ∂η  = I3  ∂ξ ∂η   ∂x ∂y      ∂ξ ∂ξ ∂x ∂y −1 1 y3 y1 (x3 x1) = J = − − − ; (2.99) ⇒  ∂η ∂η  J (y2 y1) x2 x1 − − −  ∂x ∂y    töø ñoù suy ra: ∂φ ∂φ¯ −T ∂ξ ∂x = J   , (2.100)  ∂φ  ∂φ¯      ∂x   ∂η          hay φ = rφ˜ J−1, 5 5 trong ñoù =[∂/∂x, ∂/∂y], r =[∂/∂ξ, ∂/∂η]. 5 5 Nhaän xeùt 2.12 (Pheùp bieán ñoåi ñaïo haøm). Caùc coâng thöùc (??), (2.100) cho pheùp ta tính caùc ñaïo haøm ∂φ/∂x, ∂φ/∂y theo caùc ñaïo haøm cuûa φ ñoái vôùi ξ, η. Caùc coâng thöùc naøy coù theå môû roäng cho tröôøng hôïp 3-chieàu, vôùi pheùp bieán ñoåi mieàn (song aùnh) baát kyø, vaø caû caùc ñaïo haøm caáp cao.