›
›

Giáo trình Phương pháp tính - Phạm Thị Ngọc Minh

pdf 58 trang haiha333 08/01/2022 5970
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Phương pháp tính - Phạm Thị Ngọc Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_phuong_phap_tinh_pham_thi_ngoc_minh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Phương pháp tính - Phạm Thị Ngọc Minh

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵng, 2013
  2. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.1. SAI S Ố 1.1. NH ẬP MÔN PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH 1.1.1. Gi ới thi ệu môn ph ươ ng pháp tính Ph ươ ng pháp tính là b ộ môn toán h ọc có nhi ệm v ụ gi ải đế n k ết qu ả b ằng s ố cho các bài toán, nó cung c ấp các ph ươ ng pháp gi ải cho nh ững bài toán trong th ực t ế mà không có l ời gi ải chính xác. Môn h ọc này là c ầu n ối gi ữa toán h ọc lý thuy ết và các ứng dụng c ủa nó trong th ực t ế. Trong th ời đạ i tin h ọc hi ện nay thì vi ệc áp d ụng các ph ươ ng pháp tính càng tr ở nên ph ổ bi ến nh ằm t ăng t ốc độ tính toán. 1.1.2. Nhi ệm v ụ môn h ọc - Tìm ra các ph ươ ng pháp gi ải cho các bài toán g ồm: ph ươ ng pháp (PP) đúng và ph ươ ng pháp g ần đúng. + Ph ươ ng pháp: ch ỉ ra k ết qu ả d ưới d ạng m ột bi ểu th ức gi ải tích c ụ th ể. + Ph ươ ng pháp g ần đúng: th ường cho k ết qu ả sau m ột quá trình tính lặp theo m ột quy lu ật nào đó, nó được áp d ụng trong trường h ợp bài toán không có l ời gi ải đúng ho ặc n ếu có thì quá ph ức t ạp. - Xác định tính ch ất nghi ệm - Gi ải các bài toán v ề c ực tr ị - Xấp x ỉ hàm: khi kh ảo sát, tính toán trên m ột hàm f(x) khá ph ức t ạp, ta có th ể thay hàm f(x) b ởi hàm g(x) đơ n gi ản h ơn sao cho g(x) ≈ f(x). Vi ệc l ựa ch ọn g(x) được gọi là phép x ấp x ỉ hàm. - Đánh giá sai s ố: khi gi ải bài toán b ằng ph ươ ng pháp g ần đúng thì sai s ố xu ất hi ện do s ự sai l ệch gi ữa giá tr ị nh ận được v ới nghi ệm th ực c ủa bài toán. Vì v ậy ta ph ải đánh giá sai s ố để t ừ đó ch ọn ra được ph ươ ng pháp t ối ưu nh ất. 1.1.3. Trình t ự gi ải bài toán trong ph ươ ng pháp tính - Kh ảo sát, phân tích bài toán - Lựa ch ọn ph ươ ng pháp d ựa vào các tiêu chí sau: + Kh ối l ượng tính toán ít + Đơ n gi ản khi xây d ựng thu ật toán + Sai s ố bé + Kh ả thi - Xây dựng thu ật toán: s ử d ụng ngôn ng ữ gi ả ho ặc s ơ đồ kh ối (càng m ịn càng tốt). - Vi ết ch ươ ng trình: s ử d ụng ngôn ng ữ l ập trình (C, C++, Pascal, Matlab, ) 1
  3. Môn: Ph ươ ng pháp tính - Th ực hi ện ch ươ ng trình, th ử nghi ệm, s ửa đổ i và hoàn ch ỉnh. 1.2. SAI S Ố 1.2.1. Khái ni ệm Gi ả s ử x là s ố g ần đúng c ủa x* (x* : s ố đúng), khi đó ∆ =x − x * gọi là sai s ố th ực s ự c ủa x. Vì không xác định được ∆ nên ta xét đến 2 lo ại sai s ố sau: - Sai s ố tuy ệt đố i : Gi ả s ử ∃∆x > 0 đủ bé sao cho x− x* ≤ ∆ x . Khi đó ∆x gọi là sai s ố tuy ệt đố i. ∆x - Sai s ố t ươ ng đối : δ x = . x 1.2.2. Các lo ại sai s ố Dựa vào nguyên nhân gây sai s ố, ta có các lo ại sau: - Sai s ố gi ả thi ết: xu ất hi ện do vi ệc gi ả thi ết bài toán đạt được m ột s ố điều ki ện lý t ưởng nh ằm làm gi ảm độ ph ức t ạp c ủa bài toán. - Sai s ố do s ố li ệu ban đầ u: xu ất hi ện do vi ệc đo đạ c và cung c ấp giá tr ị đầ u vào không chính xác. - Sai s ố ph ươ ng pháp : xu ất hi ện do vi ệc gi ải bài toán b ằng ph ươ ng pháp gần đúng. - Sai s ố tính toán : xu ất hi ện do làm tròn s ố trong quá trình tính toán, quá trình tính càng nhi ều thì sai s ố tích lu ỹ càng l ớn. 1.2.3. Sai s ố tính toán = = Gi ả s ử dùng n s ố g ần đúng xi (i 1, n ) để tính đạ i l ượng y, v ới = = y fx(i ) fxx (1 , 2 , , x n ) . Trong đó : - f là hàm kh ả vi liên t ục theo các đố i s ố x i. Khi đó sai s ố c ủa y được xác đị nh theo công th ức sau : n ∂f - Sai s ố tuy ệt đố i : ∆y = ∆ x ∑ ∂ i i=1 xi n ∂ ln f - Sai s ố t ươ ng đối : δ y= ∆ x ∑ ∂ i i=1 xi = =±± ±± - Tr ường h ợp f có d ạng t ổng : yfx(i ) xx1 2 x n 2
  4. Môn: Ph ươ ng pháp tính ∂f n = 1 ∀i suy ra ∆y = ∆ x ∂ ∑ i xi i=1 = = - Tr ường h ợp f có d ạng tích : yfx(i ) xx1 * 2 * * x n = =+++ lnf ln( xxx12 n ) (ln xx 1 ln 2 ln x n ) ∂lnf 1 n∆x n = ∀i suy ra δy=i = δ x . ∂ ∑ ∑ i xi x i i=1xi i = 1 n δ= δ Vậy y∑ x i i=1 x - Tr ường h ợp d ạng th ươ ng: y= f( x ) = 1 x2 ∂y 1 ∂y − x = ; = 1 ∂ ∂ 2 x1 x 2 x2 x2 1 −x xxxx ∆+∆ ⇒ ∆=y. ∆+ x1 . ∆= x 2112 x 12 2 2 2 x2 x2 ∆ ∆ ∆ δ==y x1 + x 2 = δ + δ ⇒ y x1 x 2 y x1 x 2 α - Tr ường h ợp d ạng l ũy th ừa : y= fx( ) = x (α > 0) ln y = ln f = αln x ∂ ln f α = ∂x x ∆x Suy ra δy= α = αδ x x Ví d ụ 1.1: Cho a ≈ 10,25 ; b ≈ 0,324 ; c ≈ 12,13 Tính sai s ố c ủa : 3 = a =3 − y1 ; y2 a bc b c Gi ải : 3
  5. Môn: Ph ươ ng pháp tính 4
  6. Môn: Ph ươ ng pháp tính BÀI T ẬP CU ỐI CH ƯƠ NG 1 1. Nêu khái ni ệm sai s ố tuy ệt đố i. 2. Nêu khái ni ệm sai s ố t ươ ng đối. 3. Dựa vào nguyên nhân gây sai s ố, trình bày các lo ại sai s ố. 4. Trình bày sai s ố tuy ệt đố i khi f là hàm có d ạng t ổng. 5. Trình bày sai s ố t ươ ng đối khi f là hàm có d ạng tích. a2 6. Cho a ≈ 10.25, b ≈ 0.324, c ≈ 12.13. Tính sai s ố c ủa y = . b c 7. Cho a ≈ 10.25, b ≈ 0.324, c ≈ 12.13. Tính sai s ố c ủa y= a4 − bc . 8. Tính th ể tích kh ối c ầu có đường kính d = 3.7cm và π = 3.14 ± 0.0016. 9. Một hình tr ụ có bán kính R = 2m, chi ều cao h = 3m. H ỏi ∆R và ∆h bằng bao nhiêu để th ể tích V có độ chính xác là ∆V = 0.1 m 3 ? 10. Một hình c ầu có bán kính đáy R = 5.87cm. Tính th ể tích hình c ầu v ới độ chính xác là 0.01cm 3? 11. Xác định sai s ố tuy ệt đố i c ủa các s ố g ần đúng sau n ếu bi ết sai s ố t ươ ng đối c ủa chúng: δ = a = 35,72; a 1% δ = b = 0,896; b 10% δ = c = 231,44; c 1% 12. Khi đo m ột s ố góc, ta nh ận được k ết qu ả sau: a = 45 0; b = 75 020’44” Hãy xác định sai s ố t ươ ng đối c ủa các s ố g ần đúng đó, n ếu sai s ố tuy ệt đố i c ủa phép đo là 1”. 13. Xác định s ố các ch ữ s ố đáng tin trong các s ố g ần đúng sau khi bi ết sai s ố tuy ệt đối c ủa chúng: ∆ = −3 a = 0,1132; a 0,1.10 ∆ = −1 b = 2,325; b 0,1.10 ∆ = c = 293,481; c 0,1 14. Hãy xác định s ố các ch ữ s ố đáng tin trong các s ố g ần đúng sau khi bi ết sai s ố tươ ng đối c ủa chúng là: δ = −1 a = 0,2218; a 0,2.10 δ = −2 b = 0,02425; b 0,5.10 δ = c = 0,000135; c 0,15 15. Quy tròn các s ố g ần đúng d ưới đây v ới 3 ch ữ s ố có ngh ĩa đáng tin và xác định sai s ố tuy ệt đố i, sai s ố t ươ ng đối c ủa chúng: a) 1,255 b) -392,85 5
  7. Môn: Ph ươ ng pháp tính c) 0,1545 d) 625,55 16. Đường kính c ủa m ột đường tròn được đo chính xác t ới 1mm là d = 0,842m. Tìm di ện tích hình tròn đó. 17. Tìm giá tr ị hàm u = xy 2z3 nếu: ∆ = x = 37,1 và x 0,3 y = 9,87 và ∆ = 0,11 y 18. Hãy xác định sai s ố tuy ệt đố i c ủa s ố x ấp x ỉ sau đây, cho bi ết sai s ố t ươ ng đối của nó: b = 12627; δ = 0,2% b 19. Tính sai s ố tuy ệt đố i gi ới h ạn và sai s ố t ươ ng đối gi ới h ạn c ủa th ể tích hình c ầu: 1 V= π d 3 6 nếu cho đường kính d = 3,5 ± 0,03cm và π = 3,14 ± 0,0016. 6
  8. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.2. GI ẢI G ẦN ĐÚNG PH ƯƠ NG TRÌNH 2.1. GI ỚI THI ỆU Để tìm nghi ệm g ần đúng c ủa ph ươ ng trình f(x) = 0 c ần ti ến hành qua 2 bước: - Tách nghi ệm: xét tính ch ất nghi ệm c ủa ph ươ ng trình, ph ươ ng trình có nghi ệm hay không, có bao nhiêu nghi ệm, các kho ảng ch ứa nghi ệm n ếu có. Đối v ới b ước này, ta có th ể dùng ph ươ ng pháp đồ th ị, k ết h ợp v ới các đị nh lý mà toán h ọc h ỗ tr ợ. - Chính xác hoá nghi ệm: thu h ẹp d ần kho ảng ch ứa nghi ệm để h ội t ụ được đến giá tr ị nghi ệm g ần đúng v ới độ chính xác cho phép. Trong b ước này ta có th ể áp d ụng một trong các ph ươ ng pháp: + Ph ươ ng pháp chia đôi + Ph ươ ng pháp l ặp + Ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến + Ph ươ ng pháp dây cung 2.2. TÁCH NGHI ỆM * Ph ươ ng pháp đồ th ị: Tr ường h ợp hàm f(x) đơ n gi ản - Vẽ đồ th ị f(x) - Nghi ệm ph ươ ng trình là hoành độ giao điểm c ủa f(x) v ới tr ục x, t ừ đó suy ra s ố nghi ệm, kho ảng nghi ệm. Tr ường h ợp f(x) ph ức t ạp - Bi ến đổ i t ươ ng đươ ng f(x)=0 g(x) = h(x) - Vẽ đồ th ị c ủa g(x), h(x) - Hoành độ giao điểm c ủa g(x) và h(x) là nghi ệm ph ươ ng trình, t ừ đó suy ra s ố nghi ệm, kho ảng nghi ệm. * Định lý 1: Gi ả s ử f(x) liên t ục trên (a,b) và có f(a)*f(b) x = ± 1/3 Bảng bi ến thiên : 7
  9. Môn: Ph ươ ng pháp tính x -∞ −1/ 3 1/ 3 +∞ f’(x) + 0 - 0 + yCĐ > 0 +∞ f(x) -∞ CT Từ b ảng bi ến thiên, ph ươ ng trình có 1 nghi ệm x 0 ⇒ nghi ệm ph ươ ng trình x ∈(1,22;1,23) 8
  10. Môn: Ph ươ ng pháp tính f’(x) = 4x 3 -1 ≥ 4*1,22 3 - 1 = 6,264 = m ∀x ∈ (1,22;1,23) Theo định lý 2 : ∆x = 0,0047/6,264 = 0,0008 (vì x −α ≤ 0,008 ). 2.3. TÁCH NGHI ỆM CHO PH ƯƠ NG TRÌNH ĐẠI S Ố =n + n −1 ++ += Xét ph ươ ng trình đại s ố : fx( ) ax0 ax 1 axan− 1 n 0 (1) * Định lý 3: = = Cho ph ươ ng trình (1) có m1 max { a i } i1, n = = − m2 max { a i } i0, n 1 Khi đó m ọi nghi ệm x c ủa ph ươ ng trình đều th ỏa mãn : a m x=n ≤≤+ x1 1 = x 1+ 2 m2 an a 0 * Định lý 4: Cho ph ươ ng trình (1) có a 0 > 0, a m là h ệ s ố âm đầ u tiên. Khi đó m ọi nghi ệm ≤ = + m = = dươ ng c ủa ph ươ ng trình đều N1 a / a 0 , v ới amax{ aii } 0, n sao cho a i < 0. Ví d ụ 2.4: Cho ph ươ ng trình : 5x 5 - 8x 3 + 2x 2 - x + 6 = 0 Tìm c ận trên nghi ệm d ươ ng c ủa ph ươ ng trình trên. Gi ải : Ta có a 2 = -8 là h ệ s ố âm đầ u tiên, nên m = 2, a =max(8,1) = 8 Vậy c ận trên nghi ệm d ươ ng : N =1 + 8/5 * Định lý 5: Cho ph ươ ng trình (1), xét các đa th ức : ϕ =n =+++ n 1(x ) xf (1/ x ) a 0 ax 1 axn ϕ =−=−nnn −−1 + n − 2 −+− n 2(xfx ) ( ) ( 1) ( axax 012 ax ( 1) a n ) ϕ =−=−n nnn −−1 + n − 2 −+− n 3()xxf (1/)(1)( x axaxax 012n− n − (1)) a 0 Gi ả s ử N 0, N 1, N 2, N 3 là c ận trên các nghi ệm d ươ ng c ủa đa th ức f(x), φ1(x), φ2(x), φ3(x). Khi đó m ọi nghi ệm d ươ ng c ủa ph ươ ng trình (1) đều n ằm trong kho ảng [1/N 1, N 0] và m ọi nghi ệm âm n ằm trong kho ảng [-N2,-1/ N3] Ví d ụ 2.5: Xét ph ươ ng trình : 2 → = + 3x + 2x - 5 = 0 N0 1 5/3 (định lý 4) 9
  11. Môn: Ph ươ ng pháp tính 2 φ1(x) = 3 + 2x - 5x → N1 không t ồn t ại (a 0 −(1 + 5 / 3) =− 8 / 3 2.4. CHÍNH XÁC HÓA NGHI ỆM 2.4.1. Ph ươ ng pháp chia đôi a. Ý t ưởng Cho ph ươ ng trình f(x) = 0, f(x) liên t ục và trái d ấu t ại 2 đầu [a,b]. Gi ả s ử f(a) 0 (n ếu ng ược l ại thì xét –f(x)=0 ). Theo định lý 1, trên [a,b] ph ươ ng trình có ít nh ất 1 nghi ệm µ. Cách tìm nghi ệm µ: Đặt [a 0, b 0] = [a, b] và l ập các kho ảng l ồng nhau [a i,b i] (i=1, 2, 3, ) [a,( a−+ b − )/2 ] f(( a−+ b − ) / 2) > 0 []a, b = i i1 i 1 nếu i1 i 1 i i  + + < [](ai−1 b i − 1 ) / 2, b i f(( ai−1 b i − 1 ) / 2) 0 Nh ư v ậy: - Ho ặc nh ận được nghi ệm đúng ở m ột b ước nào đó: µ = (a i-1 + b i-1)/2 n ếu f((a i-1 + b i-1)/2) = 0 - Ho ặc nh ận được 2 dãy {a n} và {b n}, trong đó: {a n}: là dãy đơ n điệu t ăng và b ị ch ặn trên {b n}: là dãy đơ n điệu gi ảm và b ị ch ặn d ưới ∃ = = µ Nên liman lim b n là nghi ệm ph ươ ng trình. n→α n → α Ví d ụ 2.6: Tìm nghi ệm ph ươ ng trình: 2 x + x - 4 = 0 b ằng ph ươ ng pháp chia đôi Gi ải: - Tách nghi ệm: ph ươ ng trình có 1 nghi ệm x ∈ (1,2) - Chính xác hoá nghi ệm: áp d ụng ph ươ ng pháp chia đôi ( f(1) < 0) Bảng k ết qu ả: + an b n  an bn f   2  1 2 + 1 1.5 - 10
  12. Môn: Ph ươ ng pháp tính 1.25 1.5 - 1.375 1.5 + 1.375 1.438 + 1.375 1.406 + 1.375 1.391 - 1.383 1.391 + 1.383 1.387 - 1.385 1.387 - 1.386 1.387 = = liman lim b n 1.386 n→α n → 11 Kết lu ận: Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x ≈ 1.386 b. Thu ật toán - Khai báo hàm f(x) (hàm đa th ức, hàm siêu vi ệt) - Nh ập a, b sao cho f(a) 0 - Lặp c = (a+b)/2 nếu f(c) > 0 → b = c ng ược l ại a = c trong khi ( fc()>ε) /* ab − > ε và f(c) != 0 */ - Xu ất nghi ệm: c. 2.4.2. Ph ươ ng pháp l ặp a. Ý t ưởng Bi ến đổ i t ươ ng đươ ng: f(x) = 0 x = g(x) Ch ọn giá tr ị ban đầ u x 0∈ kho ảng nghi ệm (a,b), tính x 1 = g(x 0), x 2 = g(x 1), , x k = g(x k-1). Nh ư v ậy ta nh ận được dãy {x n}, n ếu dãy này h ội t ụ thì t ồn t ại gi ới h ạn =η lim xn (là nghi ệm ph ươ ng trình). n→∞ b. Ý ngh ĩa hình h ọc Hoành độ giao điểm c ủa 2 đồ th ị y=x và y=g(x) là nghi ệm ph ươ ng trình 11
  13. Môn: Ph ươ ng pháp tính Hình a Hình b Tr ường h ợp hình a: h ội t ụ đế n nghi ệm µ Tr ường h ợp hình b: không h ội t ụ đế n nghi ệm µ (phân ly nghi ệm) Sau đây ta xét định lý v ề điều ki ện h ội t ụ đế n nghi ệm sau m ột quá trình l ặp Định lý ( điều ki ện đủ ) Gi ả s ử hàm g(x) xác định, kh ả vi trên kho ảng nghi ệm [a,b] và m ọi giá tr ị g(x) đều thu ộc [a,b]. Khi đó n ếu ∃q > 0 sao cho |g’(x)| ≤ q < 1 ∀ x ∈ (a,b) thì: + Quá trình l ặp h ội t ụ đế n nghi ệm không ph ụ thu ộc vào x 0∈ [a,b] + Gi ới h ạn lim x =η là nghi ệm duy nh ất trên (a,b). →∞ n n Lưu ý: - Định lý đúng n ếu hàm g(x) xác định và kh ả vi trong (-∞,+ ∞), trong khi đó điều ki ện đị nh lý tho ả mãn. - Trong tr ường h ợp t ổng quát, để nh ận được x ấp x ỉ x n với độ chính xác ε cho tr ước, ta ti ến hành phép l ặp cho đế n khi 2 x ấp x ỉ liên ti ếp tho ả mãn: 1− q x+ − x ≤ ε n1 n q Ví d ụ 2.7: Tìm nghi ệm: x 3 - x - 1 = 0 b ằng ph ươ ng pháp l ặp. Gi ải: - Tách nghi ệm: ph ươ ng trình có m ột nghi ệm ∈ (1,2) - Chính xác hoá nghi ệm: x +1 x3 - x - 1 = 0 ⇔ x = x 3 - 1; x = ; x=3 x + 1 x2 Ch ọn g( x )=3 x + 1 12
  14. Môn: Ph ươ ng pháp tính 1 1 g'( x )=3 áp d ụng ph ươ ng pháp l ặp (ch ọn x 0 = 1) x g( x )=3 x + 1 1 1.260 1.260 1.312 1.312 1.322 1.322 1.324 1.324 1.325 1.325 1.325 -3 |x 4 - x5| ε - Xu ất nghiệm: x (ho ặc y) 2.4.3. Ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến a. Ý t ưởng Ch ọn x 0 ∈ kho ảng nghi ệm (a, b). Ti ếp tuy ến t ại A 0 (x 0, f(x 0)) c ắt tr ục x t ại điểm có hoành độ x 1, Ti ếp tuy ến t ại A 1 (x 1, f(x 1)) c ắt tr ục x t ại điểm có hoành độ x 2, , Ti ếp tuy ến t ại A k (x k, f(x k)) c ắt tr ục x t ại điểm có hoành độ x k, Cứ ti ếp t ục quá trình trên ta có th ể ti ến d ần đế n nghi ệm µ c ủa ph ươ ng trình. * Xây d ựng công th ức l ặp: Ph ươ ng trình ti ếp tuy ến t ại A k (x k, f(x k)) y - f(x k) = f’(x k)*(x - xk) Ti ếp tuy ến c ắt tr ục x t ại điểm có to ạ độ (x k+1 , 0) Do v ậy: 0 – f(x k) = f’(x k)*(x k+1 - xk) 13
  15. Môn: Ph ươ ng pháp tính = − f( x k ) xk+1 x k f'() x k b. Ý ngh ĩa hình h ọc Định lý ( điều ki ện h ội t ụ theo Furier - điều ki ện đủ ) Gi ả s ử [a,b] là kho ảng nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f(x) = 0. Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên t ục, không đổ i d ấu, không tiêu di ệt trên [a,b]. Khi đó ta ch ọn x ấp x ỉ nghi ệm ban đầ u x 0∈[a,b] sao cho f(x 0)*f’’(x 0) > 0 thì quá trình l ặp s ẽ h ội t ụ đế n nghi ệm. Ví d ụ 2.8: Gi ải ph ươ ng trình: x 3 + x - 5 = 0 b ằng ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến Gi ải: - Tách nghi ệm: f(x) = x 3 + x - 5 f’(x) = 3x 2 + 1 > 0 ∀x limf ( x ) = −∞ ; limf ( x ) = +∞ x→−∞ x→+∞ Ph ươ ng trình trên có 1 nghi ệm duy nh ất. f(1)* f(2) = (-3)*5 0 ∀x ∈ (1, 2) f’(x) > 0 ∀x Tho ả mãn điều ki ện h ội t ụ Furier, áp d ụng ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến. Ch ọn v ới x 0 = 2 ( vì f(2). f’’(2) > 0) x f(x)/f’(x) 2 0.385 14
  16. Môn: Ph ươ ng pháp tính 1.615 0.094 1.521 0.005 1.516 0.000 1.516 Vậy nghi ệm x ≈ 1.516 c. Thu ật toán - Khai báo hàm f(x), fdh(x) - Nh ập x - Lặp y= x x = y – f(y)/fdh(y) trong khi |x - y| > ε - Xu ất nghi ệm: x (ho ặc y) 2.4.4. Ph ươ ng pháp dây cung a. Ý t ưởng Gi ả s ử [a, b] là kho ảng nghi ệm ph ươ ng trình f(x) = 0. G ọi A, B là 2 điểm trên đồ th ị f(x) có hoành độ t ươ ng ứng là a, b. Ph ươ ng trình đường th ẳng qua 2 điểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có d ạng: yfa−( ) xa − = fb()− fa () ba − Dây cung AB c ắt tr ục x t ại điểm có to ạ độ (x 1, 0) Do đó: 0−fa ( ) x − a = 1 fb()− fa () ba − (b− af )() a x= a − 1 fb()− fa () Nếu f(a)*f(x 1) < 0, thay b = x 1 ta có kho ảng nghi ệm mới là (a, x 1) Nếu f(b)*f(x 1) < 0, thay a = x 1 ta có kho ảng nghi ệm m ới là (x 1, b) Ti ếp t ục áp d ụng ph ươ ng pháp dây cung vào kho ảng nghi ệm m ới ta được giá tr ị x2. L ại ti ếp t ục nh ư th ế ta nh ận được các giá tr ị x 3, x 4, càng ti ến g ần v ới giá tr ị nghi ệm ph ươ ng trình. b. Ý ngh ĩa hình h ọc 15
  17. Môn: Ph ươ ng pháp tính Ví d ụ 2.9: Gi ải ph ươ ng trình x 3 + x - 5 = 0 b ằng ph ươ ng pháp dây cung. Gi ải: - Tách nghi ệm: Ph ươ ng trình có 1 nghi ệm x ∈ (1, 2) - Chính xác hoá nghi ệm: f(1) = - 3 0 Bảng k ết qu ả: a b x f(x) 1 2 1.333 -0.447 1.333 1.379 -0.020 1.379 1.385 -0.003 1.385 1.386 -0.000 1.386 1.386 Vậy nghi ệm ph ươ ng trình: x ≈ 1.386 c. Thu ật toán - Khai báo hàm f(x) - Nh ập a, b - Tính x = a – (b - a)f(a) / (f(b) - f(a)) - Nếu f(x)*f(a) ε Ng ược l ại Lặp a = x 16
  18. Môn: Ph ươ ng pháp tính x = a – (b - a)f(a) / (f(b) - f(a)) trong khi |x - a| > ε - Xu ất nghi ệm: x 17
  19. Môn: Ph ươ ng pháp tính BÀI T ẬP CU ỐI CH ƯƠ NG 2 1. Trình bày các b ước tìm nghi ệm g ần đúng c ủa ph ươ ng trình. 2. Trình bày cách tách nghi ệm b ằng ph ươ ng pháp đồ th ị. 3. Trình bày cách tách nghi ệm cho ph ươ ng trình đại s ố. 4. Có bao nhiêu ph ươ ng pháp chính xác hóa nghi ệm? Li ệt kê các ph ươ ng pháp đó? 5. Trình bày ý t ưởng c ủa ph ươ ng pháp chia đôi để chính xác hóa nghi ệm. 6. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp chia đôi để chính xác hóa nghi ệm. 7. Trình bày ý t ưởng ph ươ ng pháp l ặp để chính xác hóa nghi ệm. 8. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp l ặp để chính xác hóa nghi ệm. 9. Trình bày ý t ưởng ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến để chính xác hóa nghi ệm. 10. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến để chính xác hóa nghi ệm. 11. Trình bày ý t ưởng ph ươ ng pháp dây cung để chính xác hóa nghi ệm. 12. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp dây cung để chính xác hóa nghi ệm. 13. Tìm nghi ệm g ần đúng các ph ươ ng trình: a. x 3 – x + 5 = 0 b.x 3 – x – 1 = 0 c. sinx – x + 1/4 = 0 d. x 4 – 4x – 1= 0 bằng ph ươ ng pháp chia đôi v ới sai s ố không quá 10 - 3 14. Tìm nghi ệm g ần đúng các ph ươ ng trình: a. x 3 – x + 5 = 0 b. x 4 – 4x – 1 = 0 bằng ph ươ ng pháp dây cung v ới sai s ố không quá 10 -2 15. Tìm nghi ệm g ần đúng các ph ươ ng trình: a. e x – 10x + 7 = 0 b. x 3 + x – 5 = 0 bằng ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến v ới sai s ố không quá 10 -3 16. Dùng ph ươ ng pháp l ặp tìm nghi ệm d ươ ng cho ph ươ ng trình x 3 – x – 1000 = 0 với sai s ố không quá 10 -3 17. Tìm nghi ệm d ươ ng cho ph ươ ng trình: x 3 + x 2 –2x – 2 = 0. 18. Tìm nghi ệm âm cho ph ươ ng trình: x 4 - 3x 2 + 75x – 1000 = 0. 19. Dùng các ph ươ ng pháp có th ể để tìm nghi ệm g ần đúng cho ph ươ ng trình sau: cos2x + x – 5 = 0 20. Vi ết ch ươ ng trình tìm nghi ệm cho có d ạng t ổng quát: n n-1 f(x) = a 0x + a 1x + + a n-1x + a n = 0 a. Áp d ụng ph ươ ng pháp chia đôi 18
  20. Môn: Ph ươ ng pháp tính b. Áp d ụng ph ươ ng pháp dây cung 21. Vi ết ch ươ ng trình tìm nghi ệm cho ph ươ ng trình e x – 10x + 7 = 0 b ằng ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến. 22. Vi ết ch ươ ng trình xác định giá tr ị x 1, x 2 theo định lý 3. 23. Vi ết ch ươ ng trình tìm c ận trên c ủa nghi ệm d ươ ng ph ươ ng trình đại s ố theo đị nh lý 4. 19
  21. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.3. GI ẢI H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH ĐẠI S Ố TUY ẾN TÍNH 3.1. GI ỚI THI ỆU Cho h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính: + ++ = axax11 1 12 2 ax 1n n a 1 n + 1  + ++ = axax ax a +  21 1 22 2 2n n 2 n 1   + ++ = axaxn1122 n ax nnn a nn + 1 Hệ ph ươ ng trình trên có th ể được cho b ởi ma tr ận: aa11 12 aa 1n 11 n +    aa aa A = 21 22 2n 21 n +  nn +1     aa aa n1 n 2 nn nn + 1  d = Vấn đề : Tìm vect ơ nghi ệm x( xx1, 2 , , x n ) * Ph ươ ng pháp: - Ph ươ ng pháp đúng (Krame, Gauss, khai c ăn): Đặc điểm c ủa các ph ươ ng pháp này là sau m ột s ố h ữu h ạn các b ước tính, ta nh ận được nghi ệm đúng n ếu trong quá trình tính toán không làm tròn s ố. - Ph ươ ng pháp g ần đúng (Gauss Siedel, gi ảm d ư): Thông th ường ta cho ẩn s ố một giá tr ị ban đầ u, t ừ giá tr ị này tính giá tr ị nghi ệm g ần đúng t ốt h ơn theo m ột qui t ắc nào đó. Quá trình này được l ặp l ại nhi ều l ần và v ới m ột s ố điều ki ện nh ất đị nh, ta nh ận được nghi ệm g ần đúng. 3.2. PH ƯƠ NG PHÁP KRAME - Khai báo hàm Dt tính định th ức ma tr ận vuông c ấp n - Nh ập n, a ij (i=1, nj ; = 1, n + 1 ) - d = Dt (A) - Xét: + d = 0 + d ≠ 0 {d i = Dt(A i); x i = d i/d} 3.3. PH ƯƠ NG PHÁP GAUSS 3.3.1. Nội dung ph ươ ng pháp - Bi ến đổ i Ma tr ận A về ma tr ận tam giác trên 20
  22. Môn: Ph ươ ng pháp tính aa11 12 aa 1n 1 n + 1    aa aa A = 21 22 2n 2 n + 1      aa aa n1 n 2 nn nn + 1  aa11 12 aa 1n 11 n +    0a ' a ' a ' ⇒ A' = 22 2n 2 n + 1      0 0 a ' a ' nn nn +1  Cách bi ến đổ i A → A’: Th ực hi ện n-1 l ần bi ến đổ i Lần bi ến đổ i i (làm cho a ji = 0; j = i + 1 → n) b ằng cách: dòng j = dòng j + dòng i * m (m = -aji / a ij ) - Tìm nghi ệm theo quá trình ng ược: x n→ n n-1 → → x 1. Ví d ụ 3.1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình: + + = 2x1 4x 2 x3 3 4  + − = −  x3 1 x 2 2x 3 2  4x +11 x + 7x = 7  1 2 3 24 3 4  = − −  A 31 2 2  4 11 7 7    Nhân hàng 1 v ới -3 và nhân hàng 2 v ới 2 r ồi c ộng v ới nhau, nhân hàng 1 v ới -2 rồi c ộng v ới hàng 3 c ủa ma tr ận A ta được: 24 3 4  → − − −  0 10 13 16  03 1− 1    Nhân hàng 2 v ới 3 và nhân hàng 3 v ới 10 r ồi c ộng v ới nhau ta được: 24 3 4  → − − −  0 10 13 16  0 0− 29 − 58  x3 = 2; x 2 = -1; x 1 = 1. 3.3.2. Thu ật toán - Nh ập n, a ij (i=1, n , j=1, n + 1 ) (nh ập tr ực ti ếp ho ặc t ừ file) 21
  23. Môn: Ph ươ ng pháp tính - Bi ến đổi A → A’ (ma tr ận tam giác trên) + Lặp i = 1 → n -1 Tìm j sao cho a ji ≠ 0. + Xét aij = 0 → Hoán đổi dòng i và j cho nhau. + L ặp j = i + 1 → n m = -aij /a ii + Lặp k = i → n+1; a jk = a ik * m. - Tìm nghi ệm n  =− =→ xai in+1 ∑ axa ijj  / ii () in 1 = +  j i 1  Lặp i = n → 1 s = 0 Lặp j = i + 1 → n; S = S + a ij * x j. xi = (a in+1 - s)/a ii - Xu ất x i (i = 1 → n). 3.4. PH ƯƠ NG PHÁP L ẶP GAUSS - SIEDEL (T Ự S ỬA SAI) 3.4.1. Nội dung ph ươ ng pháp d d gd Bi ến đổ i h ệ ph ươ ng trình v ề d ạng: x= Bx + g d = x( xx1, 2 , , x n ) gd = trong đó: g() gg1, 2 , , g n B= {} b ij n Cách bi ến đổ i: + ++ = axax11 1 12 2 ax 1n n a 1 n + 1  + ++ = axax ax a +  21 1 22 2 2n n 2 n 1  axax+ ++ ax = a  n1122 n nnn nn + 1  n = −  ≠ x1 an+ 1∑ axaj 1 j j  / 11 ( 1) j=1     n  = −  ≠ xn a nn+1 ∑ axajn nj j  / nn ( )  j=1  22
  24. Môn: Ph ươ ng pháp tính Tổng quát: n = −  ≠ xi a in+1 ∑ ax ij j  / aji ii ( ) (*) j=1  ggd = 0 0 0 Cho h ệ ph ươ ng trình x ấp x ỉ nghi ệm ban đầ u: x0( xx 1, 2 , , x n ) ggd gd = 1 1 1 Thay x0 vào (*) để tính: x1( xx 1, 2 , , x n ) n 1= − 0  ≠ xi a in+1 ∑ ax ij j  / aji ii ( ) j=1  ggd ggd Tươ ng t ự, tính x2 , x3 n k+1 = − k  ≠ Tổng quát: xi a in+1 ∑ axaji ij j  / ii ( ) j=1  Quá trình l ặp s ẽ d ừng khi tho ả mãn tiêu chu ẩn h ội t ụ tuy ệt đố i: k+ i− k <ε ∀= xxi i ( in 1, ) = k k k Khi đó xk( xx1, 2 , , x n ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình. Điều ki ện h ội t ụ: Hệ ph ươ ng trình có ma tr ận l ặp B tho ả mãn: n = < r1 max∑ b ij 1 i j=1 n = < ho ặc r2 max∑ b ij 1 j i=1 n =2 < ho ặc r3 ∑∑ b ij 1 i=1 j = 1 thì quá trình s ẽ h ội t ụ đế n nghi ệm. Ví d ụ 3.2: 10 2 1 10    Gi ải h ệ ph ươ ng trình 1 10 2 10  1 1 10 8  =− − + x10,2 x 2 0,1 x 3 1  =− − + x20,1 x 1 0,2 x 3 1,2  =− − + x30,1 x 1 0,1 x 2 0,8 23
  25. Môn: Ph ươ ng pháp tính 0− 0,2 − 0,1  = − −  B 0,1 0 0,2  −0,1 − 0,1 0  gd g = (1;1,2;0,8 ) 3 = = = ε) t = 1 24
  26. Môn: Ph ươ ng pháp tính xi = y i} trong khi (t) - Xu ất x i (i =1 → n) 3.5. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢM D Ư 3.5.1. Nội dung ph ươ ng pháp Bi ến đổ i h ệ ph ươ ng trình v ề d ạng: − − −− = a1n+ 1 axax 11 1 12 2 ax 1 n n 0  − − −− = a+ axax ax 0  2n 1 21 1 22 2 2 n n (1)  a− axax − −− ax = 0  nn+1 n 11 n 22 nn n Chia dòng i cho a ii ≠ 0 − − −= b1n+ 1 bx 12 2 bx 13 3 x 1 0  − − −−= b+ bxbx x 0  2n 1 21 1 23 3 2 (2)  b− bxbx − −−= x 0  nn+1 n 11 n 22 n ggd = 0 0 0 Cho vect ơ nghi ệm ban đầ u x0( xx 1, 2 , , x n ) ggd Vì x0 không ph ải là nghi ệm nên: 0 0 00 b+ − bxbx − −= x R  11n 122 133 1 1 b− bxbx0 − 0 −−= xR 00  21n+ 211 233 2 2  b− bxbx0 − 0 −−= xR 00  nn+1 n 11 n 22 n n ggd 0 0 0 R1, R 2 , , R n là các s ố d ư do s ự sai khác gi ữa x0 với nghi ệm th ực c ủa h ệ ph ươ ng trình. 0= 00 0 Tìm Rsmax{ RR1 , 2 , , R n } và làm tri ệt tiêu phân t ử đó b ằng cách cho x s δ = 0 1= 0 + 0 một s ố gia xs R s ngh ĩa là xs x s R s . Tính l ại các s ố dư: R1 = 0 s 10=−δ =− 0 0 =→ RRbxRbRi i is* s i is * s () i 1 n 25
  27. Môn: Ph ươ ng pháp tính k <ε ∀ = Cứ ti ếp t ục quá trình l ặp trên cho đến khi: Ri ( i1, n ) thì = k k k Xk( xx1, 2 , , x n ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình. Ví d ụ 3.3: Gi ải h ệ ph ươ ng trình: 10− 2 − 2 6  − −  2 10 1 7  1 1− 10 8  Bi ến đổ i v ề h ệ ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng + + −= 0,6 0,2x2 0,2 x 3 x 1 0  + + −= 0,3 0,2x1 0,2 x 3 x 2 0  + + −= 0,8 0,1x1 0,1 x 2 x 3 0 ggd ggd = → = Cho x0(0,0,0) R 0 ( 0,6;0,7;0,8 ) 0= 0 ∀ = R3 max{ Ri } i 1,3 1= 0 + 0 = x3 x 3 R 3 0,8 1=+ 0 0 =+ = R2 R 2 bR 233. 0,7 0,1.0,8 0.78 1=+ 0 0 =+ = R1 R 1 bR 133. 0,6 0,2.0,8 0,76 ggd = () R1 0,76;0,78;0 Tươ ng t ự ta có b ảng k ết qu ả: x1 x2 x3 R1 R2 R3 0 0 0 0.6 0.7 0.8 0.8 0.76 0.78 0 0.78 0.92 0 0.08 0.92 0 0.18 0.17 0.96 0.04 0 0.19 0.99 0.07 0.02 0 0.99 0 0.03 0.01 0.99 0.01 0 0.01 1 0.01 0 0 1 0 0.01 0 1 0 0 0 26
  28. Môn: Ph ươ ng pháp tính Vậy nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình là x = (1; 1; 1) 3.5.2. Thu ật toán - Nh ập n, a ij , x i - Bi ến đổ i h ệ ph ươ ng trình (1) v ề d ạng (2) for (i=1, i =ε) thi t =1 /* cho lap*/ trong khi ( t ) - Xu ất nghi ệm: x[i] (i = 1 →n) Lưu ý: - Ph ươ ng pháp ch ỉ th ực hi ện được khi a ii ≠ 0, n ếu không ph ải đổi dòng. - Quá trình h ội t ụ không ph ụ thu ộc vào x 0 mà ch ỉ ph ụ thu ộc vào b ản ch ất của h ệ ph ươ ng trình. - Mọi h ệ ph ươ ng trình có giá tr ị riêng λ ≥ 1 đều h ội t ụ đến nghi ệm m ột cách nhanh chóng. 27
  29. Môn: Ph ươ ng pháp tính - Nếu các ph ần t ử a ii càng l ớn h ơn các ph ần t ử trên dòng bao nhiêu thì quá trình hội t ụ càng nhanh. 28
  30. Môn: Ph ươ ng pháp tính BÀI T ẬP CU ỐI CH ƯƠ NG 3 1. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp Krame gi ải h ệ. 2. Trình bày n ội dung ph ươ ng pháp Gauss gi ải h ệ. 3. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp Gauss gi ải h ệ. 4. Trình bày n ội dung ph ươ ng pháp Gauss - Siedel gi ải h ệ. 5. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp Gauss - Siedel gi ải h ệ. 6. Trình bày nội dung ph ươ ng pháp gi ảm d ư gi ải h ệ. 7. Trình bày thu ật toán ph ươ ng pháp gi ảm d ư gi ải h ệ. 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: 1,2x− 0,8 y = 1,0  −1,5x − 0,25 y =− 1,0 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x+ y + z = 1  x+2 y + 3 z =− 1 3x+ 4 y + 5 z = 2  10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x− y +2 z = 1  2x− y + 2 z = 5 x+ y +2 z = 1  11. Giải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x−2 y + z = 1  2x− y + 2 z = 5 x+2 y − z = 1  12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: 3y− 4 z = − 6  x+4 y + 5 z = 19  x+4 y + 2 z = 13 13. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x+2 y − 3 z =− 2  3x− y + 2 z = 7  5x+ 3 y + 4 z = 2 14. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x−2 y + 3 z = 6  −2x + y − z =− 1  5x− 3 y + z = 2 15. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: 29
  31. Môn: Ph ươ ng pháp tính 3x+ 4 yzt − +=− 3  2y− z = − 1  5x− 6 y + 2 t = 9 x+ y + z = 2 16. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: 3y− 4 z = − 6  x+4 y + 5 z = 19  x+4 y + 2 z = 13 17. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss Jordan: x+2 y − 3 z =− 2  3x− y + 2 z = 7  5x+ 3 y + 4 z = 2 18. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss (các phép tính l ấy đế n 5 s ố lẻ th ập phân): − − = 2,1x1 4,5 x 2 2,0 x 3 19,07  + + = 3,0x1 2,5 x 2 4,3 x 3 3,21  −6,0x + 3,5 x + 2,5 x =− 18,25  1 2 3 19. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss (các phép tính l ấy đế n 5 s ố lẻ th ập phân): − + = 3,2x1 1,5 x 2 0,5 x 3 1,8  + − = 8x1 12,5 x 2 5,0 x 3 15,5  + − = 1,0x1 4,1 x 2 1,,5 x 3 4,16 20. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss (các phép tính l ấy đế n 5 s ố lẻ th ập phân): + + = 8,64x1 1,71 x 2 5,42 x 3 10,21 − + + =  6,39x1 4,25 x 2 1,84 x 3 3,41  + − = 4,21x1 7,92 x 2 3,41 x 3 12,29 21. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss (các phép tính l ấy đế n 5 s ố lẻ th ập phân): + + = 5,5x1 7,1 x 2 6,2 x 3 23  + + = 7,1x1 10,5 x 2 8,2 x 3 32  + + = 6,2x1 8,2 x 2 10,5 x 3 33 22. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss (các phép tính l ấy đế n 5 s ố lẻ th ập phân): 30
  32. Môn: Ph ươ ng pháp tính + + + = 1,5x1 1,4 x 2 1,3 x 3 1,2 x 4 5,8  1,4x+ 1,6 x + 1,2 x + 1,3 x = 5,9 1 2 3 4  + + + = 1,3x1 1,2 x 2 1,7 x 3 1,4 x 4 6,06  + + + = 1,2x1 1,3 x 2 1,4 x 3 1,5 x 4 5,81 23. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng phươ ng pháp Gauss – Jordan: − + = x12 x 2 x 3 1  − + = 2x1 x 2 2 x 3 5  + − =− x12 x 2 3 x 3 2 24. Có 3 lo ại th ực ph ẩm: - Lo ại 1 ch ứa 1 đơn v ị vitamin A, 2 đơn v ị vitamin B, 3 đơn v ị vitamin C - Lo ại 2 ch ứa 2 đơn v ị vitamin A, 0 đơn v ị vitamin B, 3 đơn v ị vitamin C - Lo ại 3 ch ứa 3 đơn v ị vitamin A, 1 đơ n v ị vitamin B, 2 đơn v ị vitamin C. Ng ười ta mu ốn ch ọn m ột kh ẩu ph ần cung c ấp “11 đơn v ị vitamin A, 9 đơn v ị vitamin B, 20 đơ n v ị vitamin C”. a. Tìm t ất c ả s ố l ượng th ực ph ẩm c ủa m ỗi lo ại có th ể có đả m b ảo đầ y đủ nhu c ầu về vitamin nh ư trên. b. N ếu giá đơ n v ị c ủa các lo ại th ực ph ẩm l ần l ượt là 600 đồng, 550 đồ ng, 500 đồng thì có kh ẩu ph ần nào tr ị giá 1000 đồ ng? 25. Một xí nghi ệp điện t ử s ản xu ất 2 lo ại Board cho máy in. C ả 2 lo ại đề u được x ử lý trong 2 phân x ưởng A và B. Th ời gianc ần thi ết cho m ỗi lo ại trong m ỗi phân xưởng cho b ởi b ảng sau ( đơn v ị: phút) Lo ại 1 Lo ại 2 Phân x ưởng A 4 3 Phân x ưởng B 1 2 Có 3 công nhân trong phân x ưởng A và ch ỉ có 1 công nhân ở trong phân x ưởng B. Tìm s ản l ượng c ủa m ỗi lo ại trong 1 gi ờ. 0,0001x+ x = 0,999 26. Cho h ệ ph ươ ng trình 1 2  − = x15 x 2 0,002 a) Gi ải b ằng cách c ộng hai ph ươ ng trình. b) Gi ải h ệ b ằng Gauss. Có điều gì b ất th ường không? 31
  33. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.4. NỘI SUY VÀ PH ƯƠ NG PHÁP BÌNH PH ƯƠ NG BÉ NH ẤT 4.1. GI ỚI THI ỆU Trong toán h ọc ta th ường g ặp các bài toán liên quan đến kh ảo sát và tính giá tr ị các hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong th ực t ế có tr ường h ợp ta không xác định được bi ểu th ức c ủa hàm f(x) mà ch ỉ nh ận được các giá tr ị rời r ạc: y 0, y 1, , y n tại các điểm tươ ng ứng x 0, x 1, , x n. Vấn đề đặ t ra là làm sao để xác đị nh giá tr ị c ủa hàm t ại các điểm còn l ại. Ta ph ải xây d ựng hàm φ(x) sao cho: φ(x i) = y i = f(x i) v ới i= 0, n φ(x) ≈ f(x) ∀x thu ộc [a, b] và x ≠ x i - Bài toán xây d ựng hàm φ(x) g ọi là bài toán n ội suy. - Hàm φ(x) g ọi là hàm n ội suy c ủa f(x) trên [a, b]. - Các điểm x i (i= 0, n ) g ọi là các m ốc n ội suy. Hàm n ội suy c ũng được áp d ụng trong tr ường h ợp đã xác định được bi ểu th ức của f(x) nh ưng nó quá ph ức t ạp trong vi ệc kh ảo sát, tính toán. Khi đó ta tìm hàm n ội suy x ấp x ỉ v ới nó để đơn gi ản phân tích và kh ảo sát h ơn. Trong tr ường h ợp đó ta ch ọn n+1 điểm b ất k ỳ làm m ốc n ội suy và tính giá tr ị t ại các điểm đó, t ừ đó xây d ựng được hàm n ội suy (b ằng công th ức Lagrange, công th ức Newton, ). Tr ường h ợp t ổng quát: hàm n ội suy φ(x) không ch ỉ tho ả mãn giá tr ị hàm t ại mốc nội suy mà còn tho ả mãn giá tr ị đạ o hàm các c ấp t ại m ốc đó. φ’(x 0) = f’(x 0); φ’(x 1) = f’(x 1); φ”(x 0) = f”(x 0); φ”(x 1) = f”(x 1); Ngh ĩa là ta tìm hàm n ội suy c ủa f(x) th ỏa mãn nh ững giá tr ị sau: xi x0 x1 xn yi = f(x i) y0 y1 y n y’ i = f(x i) y’ 0 y’ 1 y’ n y” i = f(x i) y” 0 y” 1 y” n 32
  34. Môn: Ph ươ ng pháp tính 4.2. ĐA TH ỨC N ỘI SUY LAGRANGE Gi ả s ử f(x) nh ận giá tr ị y i tại các điểm t ươ ng ứng x i (i= 0, n ) , khi đó đa th ức nội suy Lagrange c ủa f(x) là đa th ức b ậc n và được xác đị nh theo công th ức sau: n = i Lxn()∑ ypx i n () i=0 (xxxx−− )( ) ( xx − )( xx − ) ( xx − ) TS( x ) pi () x = 01i− 1 i + 1 n = (*) n −− − − − (xxxxi01 )( i ) ( xx iiii− 1 )( xx + 1 ) ( xx in ) M S (*) là đa th ức b ậc n đố i v ới x và th ỏa mãn: 1 khi j = 1 pi ( x ) = n  ≠ 0 khi j i Đặt W(x) = (x - x0)(x - x1) (x - xn) W( x ) Suy ra: TS( x ) = ; MS = W’(x ) − i x x i n y L() x= Wx () ∑ i n (x− xW ) '( x ) i=0 i i 4.2.1. Nội suy b ậc nh ất (n ội suy tuy ến tính) Khi n = 1 ta có b ảng s ố li ệu nh ư sau: x x0 x1 y = f(x) y0 y1 Đa th ức n ội suy b ậc nh ất có d ạng: L1(x) = y 0.p 0(x) + y 1.p 1(x) x− x Trong đó: p( x ) = 1 0 − x0 x 1 x− x p( x ) = 0 1 − x1 x 0 Suy ra: x− x x− x Lxy().=1 + y . 0 =+ AxB 1 0− 1 − xx01 xx 10 4.2.2. Nội suy b ậc hai Khi n = 2 ta có b ảng s ố li ệu nh ư sau: 33
  35. Môn: Ph ươ ng pháp tính x x0 x1 x2 y = f(x) y0 y1 y2 Đa th ức n ội suy b ậc hai có d ạng: L2(x) = y 0.p 0(x) + y 1.p 1(x) + y 2.p 2(x) ( x− x)( x − x ) Trong đó: p( x ) = 1 2 0 ()()− − x0 x 1 x 0 x 2 ( x− x)( x − x ) p( x ) = 0 2 1 ()−() − x1 x 0 x 1 x 2 ( x− x)( x − x ) p( x ) = 0 1 2 ()−() − x2 x 0 x 2 x 1 Suy ra: =2 + + L2 ( x ) Ax Bx C với A, B, C là h ằng s ố. 4.2.3. Nội suy b ậc ba Khi n = 3 ta có b ảng s ố li ệu nh ư sau: x x0 x1 x2 x3 y = f(x) y0 y1 y2 y3 Đa th ức n ội suy b ậc ba có d ạng: L3(x) = y 0.p 0(x) + y 1.p 1(x) + y 2.p 2(x) + y 3.p 3(x) ( xx−)( xx −)( xx − ) Trong đó: p( x ) = 1 2 3 0 ()()()− − − x010 xx x 2 x 0 x 3 ( xx−)( xx −)( xx − ) p( x ) = 0 2 3 1 ()−() −() − xx1 0 xx 1 2 xx 1 3 ( xx−)( xx −)( xx − ) p( x ) = 0 1 3 2 ()−() −() − x2 x 0 x 212 xx x 3 ( xx−)( xx −)( xx − ) p( x ) = 0 1 2 3 ()()()− − − x3 x 0 x 313 xx x 2 Suy ra: =3 + 2 ++ Lx3( ) Ax Bx Cx D với A, B, C, D là h ằng s ố. Ví d ụ 4.1: 34
  36. Môn: Ph ươ ng pháp tính Cho hàm f(x) tho ả mãn: xi 0 1 2 4 f(x i) 2 3 -1 0 Tìm hàm n ội suy c ủa f(x), tính f(5) Gi ải: Vì n = 3 nên đa th ức n ội suy b ậc ba có d ạng: L3(x) = y 0.p 0(x) + y 1.p 1(x) + y 2.p 2(x) + y 3.p 3(x) ( x−1)( x − 2)( x − 4 ) x3−7 x 2 + 14 x − 8 Trong đó: p( x ) = = 0 ()()()−−− − 010203 6 ( x−0)( x − 2)( x − 4 ) x3−6 x 2 + 8 x p( x ) = = 1 ()()()− − − 101214 3 ( x−0)( x − 1)( x − 4 ) x3−5 x 2 + 4 x p( x ) = = 2 ()()()−−− − 202124 4 ( x−0)( x − 1)( x − 2 ) x3−3 x 2 + 2 x p( x ) = = 3 ()()()− − − 404142 24 Suy ra: = + + + Lx3(). ypx 00( ) ypx 11 .( ) ypx 22 .( ) ypx 33 . ( ) =()()()() + − + 2.px0 3. px 1 1. px 2 0. px 3 Thay vào ta được m ột đa th ức b ậc 3. Từ đó, thay x = 5 vào ta có được giá tr ị hàm f(5). 4.3. ĐA TH ỨC N ỘI SUY LAGRANGE V ỚI CÁC M ỐI CÁCH ĐỀ U Gi ả s ử hàm f(x) nh ận giá tr ị y i tại các điểm t ươ ng ứng x i (i = 0 → n) cách đều một kho ảng h. Đặt x− x t = 0 h khi đó: x - x0 = h.t xi - x0 = h.i x - x1 = h.(t - 1) xi - x1 = h.(i - 1) 35
  37. Môn: Ph ươ ng pháp tính x - xi-1 = h.(t - i + 1) xi - xi-1 = h x - xi+1 = h.(t - i - 1) xi - xi+1 = -h x - xn = h.(t - n) xi - xn = -h.(n - i) − −+ −− − + = tt( 1) ( ti 1)( ti 1) ( tn ) pn ( x0 ht ) − ii(− 1) 1( − 1)n i .1.2 ( ni − ) − − = tt( 1) ( tn ) − − − n− i (t ii ). !.( n i )!.( 1) − n y (− 1) n i Lx(+ ht ) =− tt ( 1) ( tn − ) ∑ i n 0 (t− iin ) !( − i )! i=0 − tt(− 1) ( tn − ) n y(− 1)n i . C i L( x+ ht ) = ∑ i n n 0 n! ( t− i ) i=0 i với C n là t ổ h ợp n c ủa i ph ần t ử. Ví d ụ 4.2: Tìm hàm n ội suy c ủa f(x) tho ả mãn: xi 0 2 4 f(x i) 5 -2 1 Gi ải: − −0 − 1 2  =tt( 1)( t 2) 5 C2 − 2 C 2 + 1 C 2 L2(2 t )   2!t− 0 t − 1 t − 2  − − =t( t 1)( t 2) 5 + 4 + 1  2t t− 1 t − 2  1 =5(t2 −−+ 1)( t 2) 4 tt ( −+− 2) tt ( 1)  2   =1 2 −+=−+  2 10tt 24 10  5 tt 12 5 2 Vậy hàm n ội suy c ủa f(x) là: =5 2 − + Lx2 () x 65 x 4 36
  38. Môn: Ph ươ ng pháp tính 4.4. NỘI SUY NEWTON 4.4.1. Sai phân Cho hàm f(x) và h là h ằng s ố, khi đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) :được g ọi là sai phân c ấp 1 đố i v ới b ước h. 2 ∆ f(x) = [f(x)] :sai phân c ấp 2 Tổng quát: ∆kf(x) = ∆[∆k-1f(x)] :sai phân c ấp k Cách l ập b ảng sai phân: 2 3 n xi f(x i) ∆f(x i) ∆ f(x i) ∆ f(x i) ∆ f(x i) x0 y0 x1 y1 ∆f(x 0) 2 x2 y2 ∆f(x 1) ∆ f(x 0) 2 3 x3 y3 ∆f(x 2) ∆ f(x 1) ∆ f(x 0) n xn yn ∆f(x n) ∆ f(x 0) 4.4.2. Công th ức n ội suy Newton Gi ả s ử hàm f(x) nh ận giá tr ị yi t ại các m ốc xi cách đề u một kho ảng h. Khi đó hàm n ội suy Newton là m ột đa th ức b ậc n được xác đị nh nh ư sau: =ϕ + ϕ ++ ϕ LxCn ()00 () xCx 11 () Cn n () x (*) ϕ = 0(x ) 1; − − − ϕ=xx0 ϕ = ( xxxx 0 )( 1 ) Trong đó: 1()x ;() 2 x ; h h2 2! − − − ϕ = (xx0 )( xx 1 ) ( xx n− 1 ) n (x ) ; hn n ! Lớp các hàm φi(x) có tính ch ất sau: −ϕ (x ) = 0 ∀= i 1, n i 0 −∆ϕ = ϕ k()x k −1 () x = * Xác định các h ệ s ố Ci ( i 0, n ) Sai phân c ấp 1 c ủa L n(x): ∆Lx() =∆ Cϕ () xC +∆ ϕ () xC +∆ ϕ () x ++∆ C ϕ () x (1) n 00 11 22 n n =ϕ + ϕ ++ ϕ CxCx10( ) 21 ( ) Cn n − 1 ( x ) 37
  39. Môn: Ph ươ ng pháp tính Sai phân c ấp 2 c ủa L n(x): ∆2Lx() =∆ Cϕ () xC +∆ ϕ () x ++∆ C ϕ () x (2) n 10 21n n − 1 =ϕ + ϕ ++ ϕ CxCx20( ) 31 ( ) Cn n − 2 ( x ) Sai phân c ấp n c ủa L n(x): ∆n =∆ϕ = (n) LxCn() n0 () xC n Thay x=x 0 vào (*), (1), (2), , (n) ta được: = =∆ =∆2 =∆ n CLxCLxC00102n(); n (); Lx n (); ; 0 C nn Lx () 0 Vì L n(x) ≈ f(x) nên: Ln(x 0) ≈ f(x 0); ∆Ln(x 0) ≈ ∆f(x 0); 2 2 n n ∆ Ln(x 0) ≈ ∆ f(x 0); ; ∆ Ln(x 0) ≈ ∆ f(x 0) Vậy: − − − ≈ +∆xx0 +∆ 2 ( xxxx 0 )( 1 ) Lxn () fx ()()0 fx 0 fx () 0 h h2 2! − − − + + ∆ n (xx0 )( xx 1 ) ( xx n− 1 ) f ( x 0 ) hn n ! Ví d ụ 4.3: Xây d ựng hàm n ội suy th ỏa mãn: xi 1 2 3 4 5 yi 2 4 5 7 8 Gi ải: Lập b ảng sai phân: 2 3 4 xi f(x i) ∆f(x i) ∆ f(x i) ∆ f(x i) ∆ f(x i) 1 2 2 4 2 3 5 1 -1 4 7 2 1 2 5 8 1 -1 -2 -4 Hàm n ội suy Newton: 38
  40. Môn: Ph ươ ng pháp tính xx−( xxxx −− )( ) ( xxxxxx −−− )( )( ) L( x )=+ 2 20 − 01 + 2. 012 n 1 2! 3! (xx− )( xxxx − )( − )( xx − ) −4 0 1 2 3 4! 4.5. NỘI SUY T ỔNG QUÁT Xây d ựng hàm n ội suy c ủa f(x) th ỏa mãn giá tr ị hàm và giá tr ị đạ o hàm các c ấp theo b ảng giá tr ị sau: xi x0 x1 xn yi=f(x i) y0 y1 yn y’ i=f’(x i) y’ 0 y’ 1 y’ n y’’ i=f’’(x i) y” 0 y” 1 y” n k k (k) (k) (k) y i=f (x i) y0 y1 yn Gi ả s ử hàm n ội suy c ần tìm là đa th ức b ậc m: H m(x) k = + m n∑ S i (S i: S ố gi ả thi ết được cho ở đạ o hàm c ấp i) i=1 Hm(x) = Ln(x) + W(x)H p(x) (Vì H m(x i)=L n(x i)+W(x i)H p(x i)=y i) Với W(x) = (x-x0).(x-x1).(x-xn) p = m - (n+1) Đạo hàm c ấp 1: H’ m(x) = L’ n(x) + W(x)H’ p(x) + W’(x)H p(x) Xét t ại các điểm x i: H'( x) =+ L’( x) 2WxH'( ) ( x) + W’xH( ) ( x) = y mi ni%(&(' ipi ipii 0 ⇒ Hp() x i Đạo hàm c ấp 2: H” m(x) = L”n(x) + 2W’(x)H”p(x) + W”(x)H p(x) + W(x)H”p(x) Xét t ại các điểm x i: H"( x) =+ L"( x) 2W'( x) H'( x) + W"( x) H( x) + W( x) H"( x ) mi ni ipi ipi%((&((' ipi 0 = y" i ⇒ H'p() x i 39
  41. Môn: Ph ươ ng pháp tính (k-1) Tươ ng t ự: Đạ o hàm đến c ấp k suy ra H p (x i) Ta xác định hàm H p(x) th ỏa mãn: xi x0 x1 xn Hp(x i) h0 h1 hn H’ p(x i) h’0 h’1 h’n (k-1) (k-1) (k-1) (k-1) Hp (x i) h0 h1 hn Về b ản ch ất, bài toán tìm hàm H p(x) hoàn toàn gi ống bài toán tìm hàm H m(x). Tuy nhiên ở đây b ậc c ủa nó gi ảm đi (n+1) và gi ả thi ết v ề đạ o hàm gi ảm đi m ột c ấp. Ti ếp t ục gi ải t ươ ng t ự nh ư trên, cu ối cùng đư a v ề bài toán tìm hàm n ội suy Lagrange (không còn đạo hàm). Sau đó thay ng ược k ết qu ả ta được hàm n ội suy Hecmit c ần tìm H m(x). Ví d ụ 4.4: Tìm hàm n ội suy c ủa hàm f(x) tho ả mãn: xi 0 1 3 f(x i) 4 2 0 f’(x i) 5 -3 Gi ải: Hàm n ội suy c ần tìm là đa th ức H 4(x). H4(x) = L 2(x) + W(x)H 1(x) W(x) = (x-0).(x-1).(x-3) = x 3 - 4x 2 + 3x 4(x− 1)( x − 3) xx ( − 3) 1 Lx( )= + 2 =−+( xx2 7 12 ) 2 3− 2 3 2 7 Hx'()=−+ x( 3 x2 −+ 83 x) HxWxHx () + ()'() 4 3 3 1 1 7 22 H'(0)=−+ 3 H (0) = 5⇒ H (0) = 43 1 1 9 5 2 H' (1)=− xH − 2 (1) =− 3⇒ H (1) = 43 1 1 3 Tìm hàm H 1(x) th ỏa mãn 40
  42. Môn: Ph ươ ng pháp tính xi 0 1 H1(x i) 22/9 2/3 22 (x− 1) 2 ( x −−+ 1) 16 x 22 2 H( x )= . + . = ⇒ H (1) = 1 9(01)3(10)− − 91 3 Vậy xx2 −+7 12 xxx ( −−−+ 1)( 3)( 16 x 22) H( x ) = + 4 3 9 4.6. PH ƯƠ NG PHÁP BÌNH PH ƯƠ NG BÉ NH ẤT Gi ả s ử có 2 đạ i l ượng (v ật lý, hoá h ọc, ) x và y có liên h ệ ph ụ thu ộc nhau theo một trong các d ạng đã bi ết sau: • y = f(ax + b) • y = a + bx + cx 2 Tuy ến tính • y = a + bcosx + csinx • y = a.e bx • y = a.x b Phi tuy ến tính nh ưng ch ưa xác định được giá tr ị c ủa các tham s ố a, b, c. Để xác đị nh được các tham s ố này, ta tìm cách tính m ột s ố c ặp giá tr ị t ươ ng ứng (x i, y i), i=1, 2, ,n b ằng th ực nghi ệm, sau đó áp d ụng ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất. * Tr ường h ợp: y = ax + b Gọi εi sai s ố t ại các điểm x i εi = y i - a - bx i n = ε 2 Khi đó t ổng bình ph ươ ng các sai s ố: S ∑ i i=1 Mục đích c ủa ph ươ ng pháp này là xác định a, b sao cho S là bé nh ất. Nh ư v ậy a, b là nghi ệm h ệ ph ươ ng trình: ∂S = 0 ∂a  (1) ∂S  = 0  ∂b Ta có: 41
  43. Môn: Ph ươ ng pháp tính =2 ++ 2 22 −− + S∑( yi a b x i2 ay iii 2 bx y 2 abx i ) ∂S n =()2a − 2 y + 2 bx ∂ ∑ i i a i=1 ∂S n =()2bx2 − 2 x y + 2 ax ∂ ∑ i ii i b i=1  n n + = nab∑ xi ∑ y i  i=1 i = 1 (1) ⇔  n n n  +2 = axbx∑i ∑ i ∑ xy ii  i=1 i = 1 i = 1 Gi ải h ệ ph ươ ng trình ta được: a, b. * Tr ường h ợp y = a + bx + cx 2 Gọi εi là sai s ố t ại các điểm x i. 2 εi = y i - a - bx i - cx i n = ε 2 Khi đó t ổng bình ph ươ ng các sai s ố: S ∑ i i=1 Các h ệ s ố a, b xác đị nh sao cho S là bé nh ất. Nh ư v ậy a, b, c là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình:  n n n ∂S nabxcx+ +2 = y = 0 ∑i ∑ i ∑ i ∂a  i=1 i = 1 i = 1   ∂S  n n n n =⇔0  axbxcx +2 + 3 = xy ∂ ∑i ∑ i ∑ i ∑ ii b  i=1 i = 1 i = 1 i = 1 ∂S  = 0 n n n n ∂  axbxcx2+ 3 + 4 = xy 2  c  ∑i ∑ i ∑ i ∑ ii  i=1 i = 1 i = 1 i = 1 Gi ải h ệ ph ươ ng trình ta được a, b, c. * Tr ường h ợp: y = ae bx . Lấy Logarit c ơ s ố e hai v ế: lny = lna +bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x. Ta đư a v ề d ạng: Y = A + BX Gi ải h ệ ph ươ ng trình ta được A, B => a = e A, b = B * Tr ường h ợp y = ax b. Lấy Logarit c ơ s ố 10 hai v ế: logy = loga + blogx Đặt Y = logy; A = loga; B = b; X = logx 42
  44. Môn: Ph ươ ng pháp tính Ta đư a v ề d ạng: Y = A + BX Gi ải h ệ ph ươ ng trình ta được A, B => a = 10 A, b = B. Ví d ụ 4.5: Cho bi ết các c ặp giá tr ị c ủa x và y theo b ảng sau: xi 0,65 0,75 0,85 0,95 1,15 yi 0,96 1,06 1,17 1,29 1,58 Lập công th ức th ực nghi ệm c ủa y d ạng ae bx . Gi ải Ta có: y = ae bx Lấy Logarit c ơ s ố e hai v ế: lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x. Ta đư a v ề d ạng: Y = A + BX Xi = x i 0,65 0,75 0,85 0,95 1,15 Yi = lny i -0,04 0,06 0,18 0,25 0,46 2 ƩXi ƩXi ƩXiYi ƩYi 4,35 3,93 0,92 0,89 Ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất: A, B là nghi ệm h ệ ph ươ ng trình:  n n + = nAB∑ Xi ∑ Y i  i=1 i = 1  n n n  +2 = AXBX∑i ∑ i ∑ XY ii  i=1 i = 1 i = 1 5A+ 4.35 B = 0.89  4.35A+ 3.93 B = 0.92  Gi ải h ệ ph ươ ng trình ta được: A = -0.69, B = 1. Suy ra: a = e A = 1/2, b = B =1. Vậy f(x) = 1/2 ex. 43
  45. Môn: Ph ươ ng pháp tính BÀI T ẬP CU ỐI CH ƯƠ NG 4 1. Nêu công th ức n ội suy Lagrange. 2. Nêu công th ức n ội suy Lagrange v ới các m ối cách đề u. 3. Nêu công th ức n ội suy Newton. 4. Nêu công th ức n ội suy t ổng quát. 5. Trình bày ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất v ới tr ường h ợp f là hàm tuy ến tính b ậc nh ất f(x) = ax + b. 6. Trình bày ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất v ới tr ường h ợp f là hàm tuy ến tính b ậc hai f(x) = ax 2 + bx + c. 7. Trình bày ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất v ới tr ường h ợp f là hàm phi tuy ến tính dạng f(x) = ae bx . 8. Trình bày ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất v ới tr ường h ợp f là hàm phi tuy ến tính dạng f(x) = ax b. 9. Cho b ảng giá tr ị hàm x 1,50 1,54 1,56 1,60 1,63 1,70 y 3,873 3,924 3,950 4,000 4,037 4,123 Sử d ụng công th ức n ội suy Lagr ăng tìm giá tr ị hàm t ại các điểm: a) 1,52. b) 1,55. c) 1,58. d) 1,61. 10. Cho b ảng giá tr ị hàm x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 y 0,5652 0,6375 0,7147 0,7973 0,8861 0,9817 1,0848 1,1964 1,3172 1,4482 1,5906 Sử d ụng công th ức n ội suy Newton xác đị nh giá tr ị hàm t ại các điểm: a) 1,0113. b) 1,0428. c) 1,9592. d) 1,9728. 11. Cho giá tr ị c ủa hai đạ i l ượng x, y trong b ảng sau: i 1 2 3 4 5 xi 0,56 0,84 1,14 2,44 3,16 yi -0,80 -0.97 -0,98 1,07 3,66 Tìm x ấp x ỉ hàm d ưới d ạng b ậc 2: y = ax 2 + bx + c. 44
  46. Môn: Ph ươ ng pháp tính 12. Cho b ảng giá tr ị hàm x 19 22 25 28 32 35 y 0,66 0,367 0,223 0,14 0,084 0,06 Tìm hàm x ấp x ỉ b ằng ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất sau đó đánh giá sai s ố của hàm x ấp x ỉ n ếu: 13. Quan h ệ gi ữa y và x là tuy ến tính: y = ax + b; 14. Quan h ệ gi ữa y và x là tam th ức b ậc hai: y = ax 2 + bx + c; 15. Quan h ệ gi ữa y và x là hàm m ũ: y = ae bx . 16. Cho b ảng s ố liệu: x 2 3 4 y 16 26,5 211,5 Hãy l ập đa th ức n ội suy Lagr ăng t ươ ng ứng. 17. Hai đại l ượng x và y ph ụ thu ộc theo quy lu ật y = ax + b. Hãy xác định a, b b ằng ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất, bi ết: x -1 0 1 3 y 0,5 1 1,5 2,5 18. Cho hàm s ố f(x) th ỏa mãn: x 0 2 4 y 5 -2 1 Xây d ựng hàm n ội suy Newton. 19. Cho hàm s ố f(x) th ỏa mãn: x -1 0 1 2 y 3 1 -2 4 Xây d ựng hàm n ội suy Newton. 20. Cho hàm s ố f(x) th ỏa mãn: x 1 2 3 4 y 17 27,5 76 210,5 45
  47. Môn: Ph ươ ng pháp tính Xây d ựng hàm n ội suy Newton. 21. Cho hàm s ố f(x) th ỏa mãn: x 1 2 3 4 5 y 3 2 7 -1 0 Xây d ựng hàm n ội suy Lagr ăng c ủa f(x), tính f(3,5). 22. Cho hàm s ố f(x) th ỏa mãn: x 1 2 3 4 7 y 17,0 27,5 76 210,5 1970 Xây d ựng hàm n ội suy Lagr ăng c ủa f(x), tính f(5). 46
  48. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.5. TÍNH G ẦN ĐÚNG ĐẠ O HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 5.1. TÍNH G ẦN ĐÚNG ĐẠ O HÀM Ng ười ta th ường dùng m ột s ố ph ươ ng pháp để tính g ần đúng đạ o hàm c ủa hàm f(x) t ại x trong đó ph ươ ng pháp áp d ụng đa th ức n ội suy th ường được dùng nh ất. Gi ả s ử ng ười ta ph ải tính x ấp x ỉ đạ o hàm c ủa hàm s ố f(x) trên đoạn (a,b). Tr ước hết ng ười ta thay hàm f(x) b ằng đa th ức n ội suy P(x), sau đó l ấy đạ o hàm P'(x) và coi là xấp x ỉ c ủa đạ o hàm f'(x). Ví d ụ 5.1: Gi ả s ử ta xác đị nh được đa th ức n ội suy là: 3 P3(x) = 8x - 29x + 5 2 Khi đó, đạo hàm P 3’(x) = 24x - 29 được xem là x ấp x ỉ c ủa f’(x). 5.2. TÍNH G ẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Xét hàm s ố f(x) liên t ục trên [a,b], n ếu xác đị nh được nguyên hàm F(x) ta có công th ức tính tích phân: b fxdx()= Fb () − Fa () ∫a Nh ưng trong đa s ố các tr ường h ợp ta không xác đị nh được nguyên hàm ho ặc không xác định được bi ểu th ức c ủa f(x) mà ch ỉ nh ận được các giá tr ị c ủa nó t ại nh ững điểm r ời r ạc. Trong tr ường h ợp nh ư v ậy ta có th ể s ử d ụng các công th ức g ần đúng sau để tính tích phân: - Công th ức hình thang. - Công th ức Parabol. - Công th ức Newton - Cotet. 5.2.1. Công th ức hình thang Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau v ới kho ảng cách h = (b - a)/n theo các điểm chia: x 0 = a, x 1 = a + h, , x n = b. bx x x =1 + 2 ++n = ∫∫fxdx()= fxdx () ∫ fxdx () ∫ fxdxS () a xa0 x 1 x n− 1 S là di ện tích gi ới h ạn b ởi đường cong f(x), x = a, x = b, và tr ục x. 47
  49. Môn: Ph ươ ng pháp tính Xét trên [x 0, x 1], ta xem đường cong f(x) là đường th ẳng: 1 SS≈ = hyy() + 1.h thang 2 01 Tươ ng t ự: 1 S≈ hy() + y 22 1 2 1 S≈ hy()− + y n2 n1 n Vậy: b 1 fxd( ) x≈ hy() ++++ 2 y 2 y 2 y− + y ∫a 2 012n 1 n 5.2.2. Công th ức Parabol Chia [a, b] thành 2n đoạn b ằng nhau v ới kho ảng cách h = (b - a)/2n theo các điểm chia: x 0 = a, x 1 = a + h, , x 2n = b. b x x x ∫∫fxdx()=2 fxdx () + ∫ 4 fxdx () ++ ∫ 2 n fxdx () a x0 x 2 x 22n− Xét trên [x 0, x 2] xem đường cong f(x) là Parabol (n ội suy b ậc 2 c ủa 3 điểm x 0, x1, x 2): (x− x)( x − x ) (xxxx−−)( ) ( xxxx −−)( ) fxLxy()≈= () 1 2 + y02 + y 01 20−− 1 −− 2 −− ()()xxxx0102() xxxx 1012() () xxxx 2021() x x 2≈ 2 ∫fxdx() ∫ L2 () xdx x0 x 0 Thay x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h vào ta có: x 2 ≈h () + + ∫ fxdx( ) y0 4 y 1 y 2 x0 3 48
  50. Môn: Ph ươ ng pháp tính Tươ ng t ự: x 4 ≈h () + + ∫ fxdx( ) y2 4 y 3 y 4 x2 3 x 2n ≈h () + + ∫ fxdx( ) y22n− 4 y 21 n − y 2 n x2n− 2 3 Vậy: b ≈h ( ++++ + + ) ∫ fxdx( ) y0 4 yy 1 2 2 2 y 22n− 4 y 212 n − y n a 3 Ví d ụ 5.2: Tính tích phân sau theo 3 cách: 5 dx I = ∫ 1 1+ x2 Gi ải: 5 dx π Cách 1: I=∫ =arctan x 5 = arctan5 −≈ 0.588 1 1+ x2 1 4 Cách 2: Chia [1,5] thành 4 đoạn th ẳng b ằng nhau (h = 1) v ới các điểm chia: xi 1 2 3 4 5 yi 1/2 1/5 1/10 1/17 1/26 Theo công th ức hình thang: I ≈ (1/2 + 2/5 +2/10 + 2/17 +1/26)/2 ≈ 0.628 Cách 3: Công th ức Parabol: I ≈ (1/2 + 4/5 +2/10 + 4/17 +1/26)/3 ≈ 0.591 5.2.3. Công th ức Newton-Cotet Chia [a, b] thành n đoạn b ằng nhau v ới kho ảng cách h = (b - a)/n theo các điểm chia: x 0 = a, x 1 = a + h, , x n = b. Đặt x = a + (b - a)t => dx = (b - a) dt xi a a + h a + 2h b yi 0 1/n 2/n 1 Khi đó: b 1 1 fxdx()=−() ba fa (())()() +− batdt =− baφ tdt ∫a ∫0 ∫ 0 với Ф(t) = f(a + (b - a)t) Xem Ф(t) là hàm n ội suy Lagrange c ủa n + 1 điểm: t 0, t 1, , t n. 49
  51. Môn: Ph ươ ng pháp tính 1 2  2 tt−− () t − 1() tt −− 0  () t − 1 n n  n φ()()tLty≈= + y + n 012 1  1121    −−− ( 1)  −− 0   − 1  nn  nnnn    1 n − 1  ()t−0 t −  t −  n  n  + y n 1 n − 1  ()1− 0 1 −  1 −  n  n  1 1 Khi đó: φ()t dt≈ L () t dt ∫0 ∫ 0 n Đặt 1 i− 1  i + 1  ()tt−−0  t −  t −  () t − 1 1 n  n  n  Pi = dt n ∫0 i  i1  ii− 1  ii + 1  i  −−0   −  −  − 1  n  nn  nnnn   n  b n Vậy; fxdx( ) ≈() b − a yp i ∫a ∑ i n i=0 Xét n = 1 (h = b - a) 1 t −1 1 P0 = dt = − 1 ∫0 0− 1 2 1 t − 0 1 P1 = dt = 1 ∫0 1− 0 2 b y y  h fxdxba( ) =−()0 += 1  () yy − (Công th ức hình thang) ∫a 2 2  2 0 1 i Giá tr ị P n được tra trong b ảng sau: i n Pn 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 9/71 16/45 2/15 16/45 9/70 5 19/288 25/95 25/144 25/144 25/95 19/288 50
  52. Môn: Ph ươ ng pháp tính BÀI T ẬP CU ỐI CH ƯƠ NG 5 1. Nêu công th ức tính g ần đúng đạ o hàm trong tr ường h ợp bài toán m ốc cách đều. 2. Trình bày công th ức hình thang tính g ần đúng tích phân xác đị nh. 3. Trình bày công th ức Parabol tính g ần đúng tích phân xác đị nh. 4. Trình bày công th ức Newton-Cotet tính g ần đúng tích phân xác đị nh. 5. Tính giá tr ị đạ o hàm c ấp 1, c ấp 2, n ếu giá tr ị c ủa hàm được cho trong bảng sau: xi 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 yi = f(x i) 0,4000 1,4848 2,6813 3,9975 5,3456 6,2465 6. Tính g ần đúng y’(50) c ủa hàm s ố y = logx d ựa vào b ảng giá tr ị đã cho sau: xi 50 55 60 yi = log(x i) 1,6990 1,7404 1,7782 7. Cho hàm f(x) b ởi b ảng sau: xi 50 55 60 65 yi = log(x i) 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129 Áp d ụng đa th ức n ội suy tính g ần đúng đạ o hàm c ủa hàm f(x) t ại x = 50 và sso sánh v ới k ết qu ả tính tr ực tiếp. 8. Cho hàm f(x) b ởi b ảng sau: xi 0,98 1,00 1,02 yi = f(x i) 0,7739332 0,7651977 0,7563321 Tính g ần đúng đạ o hàm c ủa hàm f(x) t ại x = 1. 9. Tính giá tr ị đạ o hàm c ấp 1 và c ấp 2, n ếu giá tr ị c ủa hàm được cho trong bảng sau: 51
  53. Môn: Ph ươ ng pháp tính xi 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 yi = f(x i) 1,266 1,326 1,393 1,469 1,553 1,647 10. Cho hàm y = f(x) d ưới d ạng b ảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 12,3 11,1 7,2 4,1 6,3 8,8 9,2 10,8 13,1 8 Tính tích phân: I= ∫ fxdx( ) theo công th ức hình thang. 0 t2 2 x − 11. Trong k ĩ thu ật ta th ường g ặp tích phân xác su ất: ϕ(x ) = e2 dt π ∫ 2 0 Hãy tính φ(1) theo công th ức hình thang n ếu chia kho ảng tích phân thành 10 ph ần 2 −t bằng nhau. Cho b ảng giá tr ị hàm d ưới d ấu tích phân y = e 2 . x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 y 1 0,9950 0,9802 0,9560 0,9231 0,8822 0,8353 0,7827 0,7261 0,6670 0,6065 12. 1 1 Cho tích phân I= ∫ dx 1+ x2 0 Bằng cách phân ho ạch đoạn [0, 1] thành 4 đoạn b ằng nhau, tính g ần đúng tích phân trên theo công th ức hình thang. 13. Cho tích phân 1 sin x I= dx ∫ x 0 a) B ằng cách phân ho ạch [0, 1] thành 6 đoạn b ằng nhau. Tính g ần đúng tích phân đã cho b ằng công th ức hình thang và công th ức Simpson. Đánh giá sai s ố? b) Tính g ần đúng tích phân trên b ằng công th ức hình thang v ới sai s ố không quá 3.10 -4. 14. Cho hàm f(x) d ưới d ạng b ảng sau: 52
  54. Môn: Ph ươ ng pháp tính x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 y 1,0000 0,9801 0,9211 0,8253 0,6967 Tính tích phân c ủa hàm sau theo công th ức hình thang. 0,8 I= ∫ fxdx( ) 0 15. Cho hàm f(x) d ưới d ạng b ảng sau: x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y 1,50 0,75 0,50 0,75 1,50 2,75 4,50 6,75 10,00 Tính tích phân c ủa hàm sau theo công th ức hình thang. 4 I= ∫ fxdx( ) 0 16. Cho hàm f(x) d ưới d ạng b ảng sau: x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 y 1,000 0,990 0,962 0,917 0,862 0,800 0,735 0,671 0,609 0,555 0,500 Tính tích phân c ủa hàm sau theo công th ức hình thang. 1 I= ∫ fxdx( ) 0 17. Cho hàm f(x) d ưới d ạng b ảng sau: x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 y 1 1/1,1 1/1,2 1/1,3 1/1,4 1/1,5 1/1,6 1/1,7 1/1,8 1/1,9 1/2 Tính tích phân c ủa hàm sau theo công th ức hình thang. 1 I= ∫ fxdx( ) 0 18. Cho tích phân 53
  55. Môn: Ph ươ ng pháp tính 1 sin x I= dx ∫ x 0 Hãy phân ho ạch đoạn [0, 1] thành 10 đoạn b ằng nhau r ồi tính g ần đúng tích phân đã cho b ằng công th ức hình thang. 54
  56. Môn: Ph ươ ng pháp tính TÀI LI ỆU THAM KH ẢO [1] Ralston A, A first course in numberical analysis. McGraw – Hill, NewYork, 2001, 576 pages. [2] Đỗ Th ị Tuy ết Hoa, Giáo trình môn Ph ươ ng pháp tính , Đại h ọc Đà N ẵng, 2007, 68 trang. [3] Phan V ăn H ạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Th ịnh, Ph ươ ng pháp tính , NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật, 1996. [4] Phan V ăn H ạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Th ịnh, Ph ươ ng pháp tính (ph ần bài t ập) , NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật, 1996, 204 trang. [5] Tạ V ăn Đĩ nh, Ph ươ ng pháp tính , NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật, 2009, 118 trang. [6] Đặng Qu ốc L ươ ng, Ph ươ ng pháp tính trong k ỹ thu ật, NXB Xây D ựng, 2001, 133 trang. [7] Dươ ng Th ủy V ỹ, Giáo trình Ph ươ ng pháp tính , NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật, 2007, 180 trang. [8] Tr ần V ăn Chính, Ph ươ ng pháp tính v ới C++, NXB Đại h ọc Qu ốc gia TPHCM, 2008. [9] Nguy ễn Hoài S ơn, Ph ươ ng pháp tính ứng d ụng trong tính toán K ỹ thu ật, NXB Đại h ọc Qu ốc gia TPHCM, 2008, 260 trang. [10] Nguy ễn Tr ọng Khiêm, Bài gi ảng Ph ươ ng pháp tính, NXB Khoa h ọc và K ỹ thu ật, 2009. 55
  57. Môn: Ph ươ ng pháp tính MỤC L ỤC Trang CH ƯƠ NG.1. SAI S Ố 1 1.1. NH ẬP MÔN PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH 1 1.1.1. Gi ới thi ệu môn ph ươ ng pháp tính 1 1.1.2. Nhi ệm v ụ môn h ọc 1 1.1.3. Trình t ự gi ải bài toán trong ph ươ ng pháp tính 1 1.2. SAI S Ố 2 1.2.1. Khái ni ệm 2 1.2.2. Các lo ại sai s ố 2 1.2.3. Sai s ố tính toán 2 CH ƯƠ NG.2. GI ẢI G ẦN ĐÚNG PH ƯƠ NG TRÌNH 7 2.1. GI ỚI THI ỆU 7 2.2. TÁCH NGHI ỆM 7 2.3. TÁCH NGHI ỆM CHO PH ƯƠ NG TRÌNH ĐẠI S Ố 9 2.4. CHÍNH XÁC HÓA NGHI ỆM 10 2.4.1. Ph ươ ng pháp chia đôi 10 2.4.2. Ph ươ ng pháp l ặp 11 2.4.3. Ph ươ ng pháp ti ếp tuy ến 13 2.4.4. Ph ươ ng pháp dây cung 15 CH ƯƠ NG.3. GI ẢI H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH ĐẠI S Ố TUY ẾN TÍNH 20 3.1. GI ỚI THI ỆU 20 3.2. PH ƯƠ NG PHÁP KRAME 20 3.3. PH ƯƠ NG PHÁP GAUSS 20 3.3.1. Nội dung ph ươ ng pháp 20 3.3.2. Thu ật toán 21 3.4. PH ƯƠ NG PHÁP L ẶP GAUSS - SIEDEL (T Ự S ỬA SAI) 22 3.4.1. Nội dung ph ươ ng pháp 22 3.4.2. Thu ật toán 24 3.5. PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢM D Ư 25 3.5.1. Nội dung ph ươ ng pháp 25 3.5.2. Thu ật toán 27 56
  58. Môn: Ph ươ ng pháp tính CH ƯƠ NG.4. NỘI SUY VÀ PH ƯƠ NG PHÁP BÌNH PH ƯƠ NG BÉ NH ẤT 32 4.1. GI ỚI THI ỆU 32 4.2. ĐA TH ỨC N ỘI SUY LAGRANGE 33 4.2.1. Nội suy b ậc nh ất (n ội suy tuy ến tính) 33 4.2.2. Nội suy b ậc hai 33 4.2.3. Nội suy b ậc ba 34 4.3. ĐA TH ỨC N ỘI SUY LAGRANGE V ỚI CÁC M ỐI CÁCH ĐỀ U 35 4.4. NỘI SUY NEWTON 37 4.4.1. Sai phân 37 4.4.2. Công th ức n ội suy Newton 37 4.5. NỘI SUY T ỔNG QUÁT 39 4.6. PH ƯƠ NG PHÁP BÌNH PH ƯƠ NG BÉ NH ẤT 41 CH ƯƠ NG.5. TÍNH G ẦN ĐÚNG ĐẠ O HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . 47 5.1. TÍNH G ẦN ĐÚNG ĐẠ O HÀM 47 5.2. TÍNH G ẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH 47 5.2.1. Công th ức hình thang 47 5.2.2. Công th ức Parabol 48 5.2.3. Công th ức Newton-Cotet 49 PHÒNG KHOA H ỌC GV biên so ạn Nguy ễn Vi ết Tu ấn Ph ạm Th ị Ng ọc Minh 57