Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông - Lê Bá Long

102 trang Gia Huy 21/05/2022 3020

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông - Lê Bá Long", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_hoc_ung_dung_trong_dien_tu_vien_thong_le_ba.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông - Lê Bá Long

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG PGS.TS. LÊ BÁ LONG Giáo trình TỐN HỌC ỨNG DỤNG TRONG ĐIỆN TỬ VIỄN THƠNG (Dành cho học viên cao học chuyên ngành Điện tử-Viễn thơng) Hà Nội, 2009
NỘI DUNG Phần 1 Chương 1: Giải tích Fourier Chương 2: Wavelet Chương 3: Phép biến đổi laplace Phần 2 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Chương 5: Quá trình dừng Chương 6: Quá trình Poisson Chương 7: Lý thuyết sắp hàng Phụ lục ¾ Phụ lục A: Biến đổi Z của dãy các tín hiệu thường gặp ¾ Phụ lục B: Báng tĩm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier ¾ Phụ lục C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp ¾ Phụ lục D: Báng tĩm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace ¾ Phụ lục E: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp ¾ Phụ lục F: Giá trị hàm mật độ xác suất phân bố chuẩn tắc. Giá trị hàm phân bố chuẩn tắc
Chương 1: Giải tích Fourier GIẢI TÍCH FOURIER Cuối thế kỷ 18 nhà tốn học, nhà vật lý đồng thời là kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste Joseph Fourier đã cĩ khám phá kỳ lạ. Trong một kết quả nghiên cứu của mình về phương trình đạo hàm riêng mơ tả sự truyền nhiệt của vật thể, Fourier đã khẳng định rằng “mọi” hàm số đều cĩ thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vơ hạn các hàm lượng giác. Ban đầu khẳng định của Fourier đã khơng được các nhà tốn học cùng thời tin tưởng và chú ý đến. Tuy nhiên khơng lâu sau đĩ các nhà khoa học đã đánh giá cao khả năng ứng dụng và lĩnh vực ứng dụng rộng lớn của ý tưởng này. Phát hiện này của Fourier được xếp hạng “top ten” về thành tựu tốn học trong mọi thời đại, trong danh sách này cịn cĩ khám phá của Newton về phép tính vi tích phân, của Riemann về hình học vi phân, và 70 năm sau cĩ lý thuyết tương đối của Einstein. Giải tích Fourier là một thành phần khơng thể thiếu của tốn học ứng dụng hiện đại, nĩ được ứng dụng rộng rãi trong tốn lý thuyết, vật lý, kỹ thuật. Chẳng hạn, xử lý tín hiệu hiện đại bao gồm audio, tiếng nĩi, hình ảnh, video, dữ liệu địa chấn, truyền sĩng vơ tuyến, v.v đều được đặt cơ sở trên giải tích Fourier và những dạng khác của nĩ. Nhiều cơng nghệ tiên tiến hiện đại bao gồm truyền hình, CD và DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, phân tích và lưu trữ dấu vân tay theo cách này hay cách khác đều cĩ sử dụng những dạng khác nhau của lý thuyết Fourier. Về mặt lý thuyết người ta cĩ thể phân tích các tín hiệu âm thanh phát ra từ các nhạc cụ như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống . thành chuỗi Fourier để tìm ra các tần số cơ bản (tone, overtone, ). Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier cịn là một cơng cụ hiệu quả của âm nhạc điện tử hiện đại; một nhạc cụ điện tử cĩ thể được thiết kế sao cho cĩ thể tổ hợp các tơng sin và cosin thuần túy để phát ra các âm thanh kỳ diệu của nhạc cụ. Như vậy, cả hai cách tự nhiên và nhân tạo âm nhạc điện tử đều dựa vào các nguyên lý tổng quát của Fourier. Ý tưởng ban đầu của Fourier phân tích một hàm số tuần hồn thành tổng của một chuỗi các hàm lượng giác được mở rộng thành biểu diễn một véc tơ của khơng gian Hilbert theo hệ trực chuẩn đầy đủ. Vì vậy nếu cĩ một hệ trực chuẩn thì ta cĩ một cách khai triển Fourier. Trong chương này ta xét những vấn đề chính của giải tích Fourier Khơng gian Hilbert Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier hữu hạn Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier rời rạc và phép biến đổi Fourier nhanh. Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần hồn thành chuỗi Fourier, trong đĩ mỗi hàm số hồn tồn được xác định bởi các hệ số Fourier của nĩ và ngược lại. Cĩ ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (cơng thức 1.24, 1.28), 3
Chương 1: Giải tích Fourier dạng cực (cơng thức 1.36) và dạng phức (cơng thức 1.37, 1.41, 1.42). Phần 1 của mục này sẽ trình bày ba dạng của chuỗi Fourier, các cơng thức liên hệ giữa chúng và kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng nào trong mỗi trường hợp cụ thể. Trường hợp hàm khơng tuần hồn phép biến đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được xây dựng dựa vào cơng thức tích phân Fourier. Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ. Tín hiệu tuần hồn sẽ cĩ phổ rời rạc, cịn tín hiệu khơng tuần hồn sẽ cĩ phổ liên tục. Đối số của hàm tín hiệu là thời gian cịn đối số của biến đổi Fourier của nĩ là tần số, vì vậy phép biến đổi Fourier cịn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số. Trong thực tế ta thường phải tính tốn giá trị số của các tín hiệu được rời rạc hố bằng cách chọn mẫu tại một số hữu hạn các thời điểm, khi đĩ phổ tương ứng cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần số bằng phép biến đổi Fourier rời rạc. Ngồi ra để thực hiện nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật tốn biến đổi Fourier nhanh. Hướng ứng dụng vào viễn thơng: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vơ tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM 1.1. KHƠNG GIAN HILBERT Khái niệm khơng gian Hilbert là sự mở rộng của khái niệm khơng gian Euclide, đĩ là khơng gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vơ hướng. Khơng gian Euclide đã được trang bị trong chương trình tốn đại cương ở bậc đại học. 1.1.1. Tích vơ hướng Khái niệm tích vơ hướng của hai véc tơ của khơng gian véc tơ bất kỳ được khái quát từ tích vơ hướng uv = u v cos(u;v) . Trong khơng gian véc tơ n tích vơ hướng của hai véc tơ x = (xx12, , , xn ) , yy= ( 12, y, , yn ) Được định nghĩa như sau: x, yx=+11yx2y2++xnyn. (1.1) Tích vơ hướng giữ một vai trị rất quan trọng, và là một khái niệm được ứng dụng rộng rãi trong tốn học, cơ học, vật lý Biết tích vơ hướng của mọi cặp véc tơ thì cĩ thể suy ra độ dài của véc tơ (bình phương độ dài của véc tơ bằng tích vơ hướng của véc tơ ấy với chính nĩ) và gĩc giữa hai véc tơ (cosin của gĩc này bằng tích vơ hướng của hai véc tơ chia cho tích của hai độ dài của chúng). Thành thử trong khái niệm tích vơ hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo gĩc, và từ đĩ đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng Khái niệm tích vơ hướng được mở rộng đối với khơng gian véc tơ bất kỳ như sau: 4
Chương 1: Giải tích Fourier Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương của khơng gian véc tơ được gọi là một tích vơ hướng của khơng gian véc tơ đĩ. Như vậy tích vơ hướng uv, của hai véc tơ u , v trong khơng gian véc tơ H cĩ các tính chất cốt yếu sau: 1) uv,,= vu 2) uu12+=,,v u1v+u2,v 3) α=uv,αuv, với mọi số thực α 4) uu,> 0 nếu u ≠ 0 và uu,= 0 nếu u = 0 . Nếu H là khơng gian véc tơ trên trường số phức thì điều kiện 1) được thay bằng uv,= v,u , trong đĩ vu, là số phức liên hợp của số phức vu, . Một khơng gian véc tơ với tích vơ hướng được gọi là khơng gian tiền Hilbert. Với mỗi véc tơ v∈ H ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay mơđun của véc tơ v qua biểu thức vv= ,v. (1.2) Nếu v = 1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị. Cĩ thể kiểm chứng được 1) v ≥ 0 và v = 0 khi và chỉ khi v = 0 . 2) Với mọi α∈ : α=vv||α . 3) uv+≤u+v. ∞ Định nghĩa 1.1: Dãy các véc tơ {}un hội tụ về véc tơ u nếu lim uun −=0 , ta ký hiệu n=1 n→∞ lim un = u, vậy n→∞ lim uun=⇔∀ε>∃0, N: ∀n≥N; un−u 0,∃Nn: ∀ , m≥N; u−u<ε. {}n n=1 nm Cĩ thể chứng minh được rằng mọi dãy hội tụ là dãy cơ bản,tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng. 5
Chương 1: Giải tích Fourier Khơng gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là khơng gian Hilbert (đây là tính chất đầy đủ của khơng gian Hilbert). Ví dụ 1.1: Người ta chứng minh được khơng gian các dãy bình phương hội tụ ∞ 2⎪⎧ ∞ 2⎪⎫ l =ξ⎨()nn=0 :∑ |ξn|<∞⎬ (1.4) ⎩⎭⎪ n=0 ⎪ với tích vơ hướng xác định như sau ∞ ()ξnn;(η=) ∑ ξnηn (1.5) n=0 là một khơng gian Hilbert. Khơng gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn [ab; ] (theo nghĩa tích phân Lebesgue) Lx2= ()t: |x()t|2dt<∞ (1.6) []ab; { ∫[]ab; } với tích vơ hướng xác định như sau x()ty; (t) = x(t)y(t) (1.7) ∫[]ab; cũng là một khơng gian Hilbert. Chú ý rằng đối với các hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc thì tích phân Lebesgue trùng với tích phân theo nghĩa thơng thường. 2 2 Hội tụ trong khơng gian l và L[ab; ] (cơng thức 1.7) được gọi là hội tụ bình phương trung bình. 1.1.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với mọi uv, ∈ H, luơn cĩ uv, ≤ u⋅ v (1.8) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u,v phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng 0 thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều bằng 0 , do đĩ bất đẳng thức nghiệm đúng. Giả sử v ≠ 0 , với mọi t ∈ ta cĩ: ut+ v,0u+tv≥. 6
Chương 1: Giải tích Fourier 22 Mặt khác F()tu=+tv,u+tv=t2 v+2tv,u+u là một tam thức bậc hai đối ' 2 22 với t và luơn luơn khơng âm. Vì vậy ∆F =−vu,v u ≤0. Từ đĩ suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Khi u,v phụ thuộc thì u= kv (hoặc v= ku): 2 uv,,==kvv k⋅v =kv⋅v =u⋅v. ' Ngược lại nếu uv, =u⋅v thì ∆F = 0 . Do đĩ tồn tại t0 ∈ sao cho ut+ 00v,0u+=tv ⇒u=−t0v. Định lý đã được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào khơng gian n với tích vơ hướng (1.1) ta cĩ bất đẳng thức Bunnhiacopsky: 2 2222 ()x11yx++ nny≤( x1 + +xn)( y1 + +yn) (1.9) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x11= ty , ,xnn= ty . Hệ quả: ∞ 1) Nếu dãy các véc tơ {}un hội tụ về véc tơ u thì lim uvn , = u,v đúng với mọi v . n=1 n→∞ ∞ ∞ 2) Nếu dãy {}un hội tụ về u và {}vn hội tụ về v thì lim uvnm, = u,v. n=1 n=1 nm→∞, →∞ Chứng minh: 1) 0,≤−uvnnu,v=u−u,v≤un−uv→0 khi n →∞. 2) Hai dãy u ∞ và v ∞ hội tụ do đĩ chặn, vì vậy tồn tại C sao cho uC≤ , {}n n=1 {}n n=1 n vn ≤ C với mọi n . 0,≤unmv−u,v=−uun ,vm+u,vm−v≤−uun ,vm+u,vm−v ≤−uunmv+uvm−v≤C( un−u+vm−v) →0 khi n →∞, m →∞. 1.1.3. Hệ trực chuẩn, trực chuẩn hố Gram-Schmidt Định nghĩa 1.2: Hai véc tơ uv, ∈ H gọi là trực giao nhau, ký hiệu u⊥ v, nếu uv,0= . Hệ các véc tơ Sv= { 1, ,vn , } của H được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của hệ S đều trực giao nhau. 7
Chương 1: Giải tích Fourier Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Vậy hệ các véc tơ Se= { 1, ,en , } là hệ trực chuẩn khi thỏa mãn điều kiện ⎧1 nÕu ij= eeij, = δij trong đĩ δ=ij ⎨ là ký hiệu Kronecker (1.10) ⎩0 nÕu ij≠ 2 Ví dụ 1.2: Trong khơng gian véc tơ L[0;2π] các hàm bình phương khả tích với tích vơ hướng xác định bới cơng thức (1.7), hệ các hàm số sau là một hệ trực giao {1, cos nt ; sin nt ; n =1, 2, } (1.11) Thật vậy 22ππ ∫∫cos ntdt = sin ntdt =∀0 ; n (1.12) 00 2π ∫ cos nt sin mtdt = 0 ; ∀∀n, m (1.13) 0 22ππ ∫∫cos nt cos mtdt ==sin nt sin mtdt 0 ; ∀n ≠m (1.14) 00 22ππ ∫∫cos22ntdt ==sin ntdt π; ∀n ≠0 (1.15) 00 Định lý 1.2: Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử hệ Sv= { 1, ,vn , } trực chuẩn, khi đĩ nếu ξ11v++ ξmmv=0 thì ξ=iξ11v+ +ξmvm,vi=0 với mọi i= 1, ,m. Do đĩ S độc lập tuyến tính. Định lý đã được chứng minh. Định lý 1.3: Giả sử Su= { 1, ,un , } là một hệ các véc tơ độc lập tuyến tính của khơng gian Hilbert H . Khi đĩ ta cĩ thể tìm được hệ trực chuẩn Se' = { 1, ,en , } sao cho span{ee1, , kk} = span{u1, ,u}; với mọi k = 1,2, . Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S' theo các bước quy nạp sau đây mà được gọi là quá trình trực chuẩn hố Gram-Schmidt. u1 ♦) k = 1: Vì hệ S độc lập nên u1 ≠ 0 . Đặt e1 = . u1 8
Chương 1: Giải tích Fourier ♦) k = 2 : Xét eu22=− ,e1e1+u2, ta cĩ e2 ≠ 0 (vì nếu e2 = 0 thì u2= ke1, điều này e2 trái với giả thiết hệ S độc lập). Đặt e2 = , hệ {ee1, 2} trực chuẩn và e2 span{ee12, } = span{u1,u2}. ♦) Giả sử đã xây dựng được đến k −1. Nghĩa là tồn tại {ee1, , k−1} trực chuẩn sao cho span{ ee11, , k−} = span{ u1, ,uk−1}. Tương tự trên ta xét k−1 eukk= −+∑ ,eieiuk (1.16) i=1 ta cũng cĩ ek ≠ 0 ( vì nếu ek = 0 thì uk là tổ hợp tuyến tính của e1, ,ek−1, do đĩ là tổ hợp tuyến tính của u1, ,uk−1, điều này mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập). Đặt ek ek = (1.17) ek thì eeki⊥=; i1, ,k−1. Vậy hệ {e1, ,ek } trực chuẩn và span{ee11, , kk} ==span{ee, , −1,ek} span{u1, ,uk−1,uk}. 3 Ví dụ 1.3: Trong xét hệ 3 véc tơ độc lập: u1 = (1,1,1) , u2 = (−1,1,1) , u3 = (1, 2,1) . Hãy trực chuẩn hố hệ Su= { 12,,uu3} u1 ⎛⎞111 Bước 1: u1 = 3 ⇒ e1 ==⎜⎟,, . u1 ⎝⎠333 1⎛⎞1 1 1 ⎛⎞422 Bước 2: eu22=− , e1e1+u2=− ⎜⎟, , +(−1,1,1) =⎜⎟− , , 33⎝⎠33 ⎝⎠333 2 ⎛⎞211 e2 =−( 2,1,1) ⇒ e2 =−⎜⎟,, . 3 ⎝⎠666 Bước 3: eu33=− ,,e1e1− u3e2e2+u3 41⎛⎞11 1⎛211⎞⎛⎞11 =− ⎜⎟,, − ⎜− ,,⎟+(1,2,1)=⎜⎟0,,− 3⎝⎠333 6⎝666⎠⎝⎠22 1 ⎛⎞11 e3 =−(0,1, 1) ⇒ e3 =−⎜⎟0, , . 2 ⎝⎠22 {ee12,,e3} là hệ véc tơ trực chuẩn hố của hệ {uu12,,u3}. 9
Chương 1: Giải tích Fourier 2 Ví dụ 1.4: Xét hệ gồm ba hàm số st1(), s2 (t), s3(t) của khơng gian L[0;T ] cĩ đồ thị cho trong hình 1.1 st1() s2 (t) st3() 1 1 1 0 T /3 t 0 2/T 3 t 0 T /3 T t Hình 1.1: Đồ thị ba hàm st(), s(t), s(t) 1 2 3 Ba hàm số st1(), s2 (t), s3(t) độc lập tuyến tính, trực chuẩn hĩa Gram-Schmidt ba hàm số này ta được ba hàm et1(), e2 (t), e3(t) xác định như sau: T 2 T 3 ⎪⎧ 3/Tt nÕu 0≤≤T/3 st(),st() ==()st() dt ⇒=et() s()t=⎨ 11 ∫ 1 3 11T 0 ⎩⎪ 0 nÕu ng−ỵc l¹i T T st(),e(t) ==st()e(t)dt 21 ∫ 21 3 0 T ⎧1/ nÕu Tt3≤≤2T/3 et22()=−s()t e1()t=⎨ 3 ⎩0 nÕu ng−ỵc l¹i ⎪⎧ 3/TT nÕu /3≤≤t2T/3 Vậy et2 ()= ⎨ ⎩⎪ 0 nÕu ng−ỵc l¹i ⎧⎪ 3/TT nÕu 2 /3≤ t≤ T Tương tự et3()= ⎨ ⎩⎪ 0 nÕu ng−ỵc l¹i Hệ trực chuẩn et1(), e2 (t), e3(t) cĩ đồ thị et1() e2 (t) et3() 3/T 3/T 3/T 0 T t 0 T 2T t 0 2T T t 3 3 3 3 Hình 1.2: Đồ thị hệ trực chuẩn et1(), e2 (t), et3() 10
Chương 1: Giải tích Fourier 1.1.4. Hệ trực chuẩn đầy đủ, chuỗi Fourier ∞ Định lý 1.4: Giả sử e là một hệ trực chuẩn của khơng gian Hilbert H , với mọi u∈ H ta {}n n=1 cĩ: ∞ 1) Nếu ue=ξ∑ nn thì ξ=nnue, . n=1 ∞ Ta gọi ξ=nue, n là hệ số Fourier của u đối với en và chuỗi ∑ξnen gọi là chuỗi n=1 Fourier của u theo hệ e ∞ . {}n n=1 ∞ 2 2 2) ∑||ξ≤n u (bất đẳng thức Bessel). n=1 ∞ ⎛⎞∞ 3) Chuỗi e hội tụ và ue− ξ⊥e với mọi n . ∑ξnn ⎜∑ nn⎟n n=1 ⎝⎠n=1 ∞ nn Chứng minh: 1) u,emn= ξ=en,emlim ξkeek, m=lim ξkeek, m=ξm. ∑∑nn→∞ →∞ ∑ nk==11k=1 nnnn 2 ⎛⎞⎛⎞ 2) Với mọi n : uu=,,u=∑∑ξkke+⎜⎟u−ξkke∑∑ξkke+⎜⎟u−ξkke kk==11⎝⎠k=1⎝⎠k=1 nn n n =ξ∑∑kkee,,ξkk +∑ξkkeu−∑ξkke kk==11 k=1 k=1 nn n n +−ue∑∑ξkk,,ξkke+u−∑ξkkeu−∑ξkek kk==11 k=1 k=1 nn n n n 2 =ξ∑∑kkee,,ξkk +u−∑ξkkeu−∑ξkke≥∑|ξk|. kk==11 k=1 k=1 k=1 ∞ 2 2 Vậy ∑||ξ≤n u . n=1 mm m 2 3) Từ 1) và 2) ta cĩ : với mọi n , với mọi mn≥ : ∑∑ξkkee,0ξ=kk ∑ξk → khi kn==kn kn= ∞ n →∞, và vì khơng gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi Fourier ∑ξnen hội tụ. n=1 ∞∞ m Với mọi n : en,,u−ξ∑∑keekn= u−en,ξkeekn=,u−en,lim∑ξkek, kk==11m→∞ k=1 m =−eunn,lime,ξkek,=ξn−ξn=0. m ∑ →∞ k=1 Định lý đã được chứng minh. 11
Chương 1: Giải tích Fourier Định nghĩa 1.3: Hệ trực chuẩn e ∞ của khơng gian Hilbert được gọi là hệ trực chuẩn {}n n=1 H đầy đủ khi chỉ cĩ véc tơ 0 mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ, nghĩa là: ue,n = 0 với mọi n =1,2, thì u = 0 (1.18) Ví dụ 1.5: 1) Hệ các hàm ⎧⎫11 1 ⎨⎬, cos nt ; sin nt ; n =1, 2, (1.19) ⎩⎭2ππ π 2 là một hệ trực chuẩn đầy đủ của khơng gian Hilbert L[]0;2π . 2 2) Hệ các véc tơ eln ∈ , n =1, 2, e ∞ , trong đĩ e = (1,0,0, ) , e = (0,1,0, ) , (1.20) {}n n=1 1 2 là một hệ trực chuẩn đầy đủ của khơng gian Hilbert l2 . ∞ Định lý 1.5: Giả sử e là một hệ trực chuẩn của khơng gian Hilbert H , ξ=ue, là hệ số {}n n=1 nn Fourier u∈ H đối với en . Các mệnh đề sau đây tương đương: 1) e ∞ là một hệ trực chuẩn đầy đủ {}n n=1 ∞ 2) Với mọi u∈ H: ue=ξ∑ nn n=1 ∞ 3) Với mọi uv, ∈ H: uv, =ξ∑ nηn trong đĩ η=nve, n là hệ số Fourier của v đối n=1 với en . ∞ 2 2 4) Với mọi u∈ H: u =∑ ξn . n=1 ⎛⎞∞ Chứng minh: 1) ⇒ 2): Theo kết quả 3) của định lý 1.4 ta cĩ ue− ξ⊥e với mọi n , vậy ⎜∑ nn⎟n ⎝⎠n=1 ∞∞ theo định nghĩa của hệ trực chuẩn đầy đủ (cơng thức 1.17): ue−ξ∑∑nn=0 ⇒u=ξnen. nn==11 ∞∞ nn 2) ⇒ 3): uv, =ξ∑∑kke, ηmem =lim ∑ξkke, lim ∑ηmem km==11 nn→∞ k=1→∞ m=1 12
Chương 1: Giải tích Fourier nn k ∞ =ξlim keek, ηmm =lim ξkkη=ξkηk. nn∑∑ ∑ ∑ →∞ km==11 →∞ k=1k=1 ∞ 2 2 3) ⇒ 4): Cho u= v ta được uu==,u∑ ξn . n=1 ∞ 2 2 4) ⇒ 1): Giả sử ξ=nue,n=0 với mọi n =1,2, thì u = ∑ ξn =0 , do đĩ u = 0 . Vậy hệ n=1 e ∞ đầy đủ. {}n n=1 Định lý đã được chứng minh. Định lý 1.6: (Riesz–Fischer). Cho e ∞ là một hệ trực chuẩn đầy đủ của khơng gian Hilbert {}n n=1 . Nếu dãy số ξ ∞ thỏa mãn điều kiện H {}n n=1 ∞ 2 ∑ ξn <∞ (1.21) n=1 Thì sẽ cĩ một véc tơ duy nhất u∈ H nhận các số ξn làm hệ số Fourier và ∞ ∞ 2 2 ue= ∑ ξnn, u = ∑ ξn (1.22) n=1 n=1 mm m 2 Chứng minh: Với mọi mn≥ : ∑∑ξkkee, ξ=kk ∑ξk , điều kiện (1.19) kéo theo kn==kn k=n m ∞ 2 ∑ ξk →0 khi n →∞, và vì khơng gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi ∑ξnen hội tụ. kn= n=1 ∞ ∞ mm Đặt u=ξnen, ta cĩ u,enk=ξeek, n=lim ξkeek, n=lim ξkeek, n=ξn, vậy ∑ ∑∑mm→∞ →∞ ∑ n=1 kk==11k=1 u nhận ξ làm hệ số Fourier và vì hệ e ∞ đầy đủ nên ta cũng cĩ (1.21). Ngồi ra nếu cĩ véc n {}n n=1 tơ v nhận các số ξn làm hệ số Fourier thì uv− ,enn=ξ −ξn=0 với mọi n , do đĩ uv− = 0 . Vậy véc tơ u∈ H nhận các số ξn làm hệ số Fourier là duy nhất. Định lý đã được chứng minh. 13
Chương 1: Giải tích Fourier 1.2 CHUỖI FOURIER 1.2.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hồn chu kỳ 2 π 2 Trong khơng gian L[0;2π] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [0, 2π] tích vơ hướng xác định theo cơng thức (1.7) và hệ trực chuẩn (1.19) ta cĩ chuỗi Fourier của hàm x(t) là một chuỗi lượng giác vơ hạn cĩ dạng ∞ a0 x()ta∼ +∑(nncosnt+bsinnt) (1.23) 2 n=1 trong đĩ 22ππ 2π 11 a ==x(t)dt ; a x(t)cos ntdt ; b =x(t)sin ntdt ; n =1, 2, (1.24) 0 ππ∫∫nn∫ 00 0 1 Hệ số của số hạng thứ nhất xuất phát từ sự thuận lợi trong việc tính tốn sau này. 2 ∞ a0 Theo định lý 1.5 chuỗi Fourier +∑(anncos t+bnsin nt) của hàm x(t) với các hệ số 2 n=1 thỏa mãn (1.23) hội tụ về x()t theo nghĩa bình phương trung bình (1.3). Tuy nhiên chưa chắc hội tụ theo điểm, chính vì vậy người ta dùng ký hiệu ∼ thay cho dấu =. Các câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: (i) Khi nào chuỗi lượng giác vơ hạn (1.23) hội tụ? (ii) Loại hàm x(t) nào cĩ thể biểu diễn thành tổng của chuỗi Fourier? Nghĩa là cĩ thể thay dấu = thay cho dấu ∼ . Định lý 1.7(Định lý Dirichlet): Nếu hàm x(t) tuần hồn chu kỳ 2π, đơn điệu từng khúc và bị chặn (gọi là điều kiện Dirichlet), thì chuỗi Fourier hội tụ và dấu “ ∼ ” trong cơng thức (1.23) được thay bằng dấu “ = ”. Tại các điểm gián đoạn ta ký hiệu xt(0+ )+xt(−0) xt()= (1.25) 2 trong đĩ xt( +0), xt( −0) lần lượt là giới hạn phải và giới hạn trái của x(t) tại t . Ví dụ 1.6: Xét hàm số x(tt)= , −π < t < π; tuần hồn chu kỳ 2π. Vì x(t) là hàm lẻ nên các hệ số Fourier cĩ thể tính như sau 1 π 1 π at==dt0 , a = t cos ntdt = 0 , 0 π ∫ n π ∫ −π −π 14
Chương 1: Giải tích Fourier ππ π 122⎡⎤tncostsinnt 2 b ==t sin ntdt t sin ntdt =−+=(−1)n+1 . n ππ∫∫π⎢⎥nn2 −π 0 ⎣⎦n 0 Do đĩ chuỗi Fourier tương ứng ∞ n+1 sin nt ⎛⎞sin 2t sin 3t sin 4t tt∼2(∑ −=1) 2⎜⎟sin−+−+ (1.26) n=1 n ⎝⎠234 Áp dụng định lý 1.7 ta cĩ ∞ n+1 sin nt ⎧ttnÕu − π< <π 2(∑ −=1) ⎨ n=1 n ⎩ 0 nÕu t = ±π π Thay t = và chia hai vế cho 2 ta được 2 π 1111 =1−+−+− 43579 Ví dụ 1.7: Xét hàm số x()tt= , −π < t < π; tuần hồn chu kỳ 2π. Vì x(t) là hàm chẵn nên các hệ số Fourier cĩ thể tính như sau 1 π 1ππ2 b ==t sin ntdt 0 ; at= dt==tdtπ, n π ∫ 0 ππ∫∫ −π −π 0 π π ⎧ 02nÕu nk=≠0 22⎡⎤tnsintcosnt ⎪ a ==t cos ntdt += . n ∫ ⎢⎥2 ⎨ 4 ππ⎣⎦n n t=0 ⎪− nÕu nk=+21 0 ⎩ n2π Do đĩ chuỗi Fourier tương ứng ππ4 ∞ cos nt 4 ⎛⎞cos3t cos5t cos7t t∼−=−cost++++ (1.27) ∑ 2 ⎜⎟ 22ππn=1 n ⎝⎠92549 Thay t = 0 ta được π2 11 1 ∞ 1 =+1 + + + = . ∑ 2 8 9 25 49 n=0 (2n +1) Ví dụ 1.8: Xét hàm bước nhảy tuần hồn chu kỳ 2π xác định như sau ⎧10nÕu < t <π η=()t ⎨ ⎩00nÕu − π<t < Các hệ số Fourier 11ππ 11ππ a =η()t dt =dt =1, a = η=()t cosntdt cosntdt =0, 0 ππ∫∫n ππ∫∫ −π 0 −π 0 15
Chương 1: Giải tích Fourier ππ⎧ 2 11⎪ nÕu nk= 21+ b =η()t sinntdt =sinntdt =⎨nπ . n ππ∫∫ −π 0 ⎩⎪02nÕu nk= 1 2 ⎛⎞sin 3ttsin 5 sin 7t Chuỗi Fourier tương ứng η+()tt∼⎜⎟sin ++++ 23π ⎝⎠57 Hình 1.3: Đồ thị của hàm bước nhảy tuần hồn Áp dụng định lý 1.7 ta cĩ cơng thức ⎧0(nÕu 2kt+1)π< <2kπ 1 2 ⎛⎞sin 3ttsin 5 sin 7t ⎪ ++⎜⎟sin tk+++ =⎨1 nÕu 2 π<t<(2k+1)π 23π ⎝⎠57⎪ ⎩1/2 nÕu tk=π Các đồ thị sau tương ứng là đồ thị của tổng riêng lần lượt cĩ 3, 5 và 10 số hạng của chuỗi Fourier của hàm bước nhảy tuần hồn. Hình 1.4: Đồ thị các tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm bước nhảy tuần Từ các đồ thị trên ta nhận thấy rằng mặc dù hàm gốc gián đoạn nhưng các tổng riêng của chuỗi Fourier tương ứng là các hàm liên tục hội tụ, mặc dù chậm chạp. Tuy nhiên gần vị trí gián đoạn của hàm thì đồ thị của các tổng riêng Fourier vượt quá vị trí khoảng 9%. Vùng vượt quá vị trí này càng nhỏ khi số các số hạng của tổng riêng Fourier tăng lên, nhưng độ lớn của nĩ khơng thay đổi. Điều này giải thích tính chất khơng hội tụ đều của chuỗi Fourier. Hiện tượng này lần 16
Chương 1: Giải tích Fourier đầu tiên được nhà vật lý Josiah Gibbs (người Mỹ) phát hiện và ngày nay người ta gọi là hiện tượng Gibbs. 1.2.2 Khai triển Fourier của hàm tuần hồn chu kỳ T0 = 2l Trường hợp hàm tuần hồn với chu kỳ bất kỳ, ta cĩ thể đổi biến để đưa về chu kỳ 2π và áp dụng các kết quả ở mục trên. ⎛l ⎞ Giả sử x()t là một hàm tuần hồn chu kỳ 2l . Đặt yt()= x⎜t⎟ thì yt( ) tuần hồn chu ⎝⎠π kỳ 2π. Nếu x(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet thì yt() cũng thỏa mãn điều kiện Dirichlet, do đĩ cĩ thể khai triển thành chuỗi Fourier. ∞ a0 yt()=+∑()ancosnt+bnsinnt 2 n=1 trong đĩ yt( ) ở vế trái của đẳng thức trên được quy ước như (1.25). Thay biến số ta cĩ ∞ ⎛⎞ππa0 ⎛ nnπ⎞ x()ty==⎜⎟t +∑⎜anncos t+bsin t⎟ (1.28) ⎝⎠ll2 n=1⎝ l⎠ Các hệ số Fourier được tính theo cơng thức sau: 1122llnπ12lnπ ax==(t)dt; ax(t)cos tdt; b=x(t)sin tdt; n=1, 2, (1.29) 0 ll∫∫nnll∫l 00 0 Ví dụ 1.9: Xét hàm số x()tt= , −<1t <1; tuần hồn chu kỳ 2 . Vì x(t) là hàm lẻ nên các hệ số Fourier cĩ thể tính như sau 1 1 1 1 a==tdt0 , at= cos nπtdt=0, 0 1 ∫ n 1 ∫ −1 −1 11 1 1c⎡⎤tnosππtsinnt 2n+1 b ==t sin ntdt 2 t sin nπtdt =2 ⎢⎥−+=(−1) . n 1 ∫∫ nnππ2 −10 ⎣⎦()nπ 0 Do đĩ chuỗi Fourier tương ứng ∞ 2 n+1 sin ntππ2 ⎛⎞sin 2 t sin 3πt sin 4πt tt∼∑ (1−=) ⎜⎟sinπ−+−+. ππn=1 n ⎝⎠234 Nhận xét 1.1: 1. Hàm tuần hồn chu kỳ 2π là một trường hợp đặc biệt của hàm tuần hồn chu kỳ 2l , vì vậy các nhận xét sau đây được giả thiết là hàm tuần hồn chu kỳ 2l . Ngồi ra do tính chất tích phân của hàm tuần hồn nên các hệ số Fourier (1.24) cũng cĩ thể tính như sau: 17
Chương 1: Giải tích Fourier 1122lc++lc nπ 1 2lc+ nπ ax==()tdt; ax(t)cos tdt;bx= (t)sin tdt; n=∀1, 2, c 0 ll∫∫n ln ll∫ cc c Để cơng thức cĩ tính đối xứng người ta thường chọn cl= − : 11llnπ 1 l nπ ax==()tdt; ax(t)cos tdt; bx==(t)sin tdt; n1, 2, (1.30) 0 ll∫∫n ln ll∫ −−ll −l nπ nπ 2. Nếu x(t) là hàm lẻ tuần hồn chu kỳ 2l thì x()tcos t là hàm lẻ và x()tsin t là hàm l l chẵn, do đĩ các hệ số Fourier (1.24) thỏa mãn 2 l nπ aa==0; b= x(t)sin tdt; n=1, 2, (1.31) 0 nnll∫ 0 nπ nπ 3. Nếu x(t) là hàm chẵn tuần hồn chu kỳ 2l thì x()tcos t là hàm chẵn và x()ttsin là l l hàm lẻ, do đĩ các hệ số Fourier (1.29) thỏa mãn 22llnπ b ==0; a x(t)dt ; a =x(t)cos tdt ; n =1, 2, (1.32) nn0 ll∫∫l 00 4. Nếu x(t) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng (ab, ) . Ta cĩ thể mở rộng thành hàm tuần hồn chu kỳ 2lb= − a. Do đĩ x(t) cĩ thể khai triển thành chuỗi Fourier, các hệ số Fourier được tính như sau 22bb2nπ ax==()tdt; ax(t)cos tdt; 0 ba∫∫n ba ba −−aa− 22b nπ bx=(t)sin tdt; n=1, 2, (1.33) n ba∫ ba −−a 5. Nếu x(t) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng (0, l). Khi đĩ ta cĩ thể mở rộng thành hàm chẵn hoặc hàm lẻ tuần hồn chu kỳ 2l . Nếu mở rộng thành hàm chẵn thì các hệ số Fourier được tính theo cơng thức (1.32) và nếu mở rộng thành hàm lẻ thì các hệ số Fourier được tính theo cơng thức (1.31). 1.2.3 Dạng cực của chuỗi Fourier (Polar Fourier Series) Từ cơng thức (1.28) nếu ta đặt a AA= 0 ; =+a22b (1.34) 0 2 nnn và gĩc ϕ≤n, 0 ϕn<2π xác định bởi 18
Chương 1: Giải tích Fourier abnn cosϕ=nn, sin ϕ= (1.35) AAnn thì cơng thức (1.28) cĩ thể viết lại ∞∞ a0 nnππ ⎛nπ⎞ xt( ) =+∑anncos t+b sin t=A0 +∑Ancos⎜t−ϕn⎟ (1.36) 2 nn==11ll ⎝⎠l Cơng thức (1.28) được gọi là chuỗi Fourier dạng cầu phương (Quadrature Fourier Series). Cơng thức (1.36) được gọi là chuỗi Fourier dạng cực của x(t) . 1.2.4 Dạng phức của chuỗi Fourier (Complex Fourier Series) Thay cơng thức Euler eiiϕ + e−ϕ eiiϕ − e−ϕ cosϕ= , sin ϕ= 2 2i vào (1.23) ta được ∞∞iint −−nt int int aa00⎛⎞ee+−ee xt()=+∑∑()anncosnt+b sinnt =+⎜⎟an +bn 22nn==11⎝⎠22i ∞ aa0 ⎛⎞nn−+ibiint ⎛anibn⎞− nt =+∑⎜⎟ee+⎜⎟ 22n=1⎝⎠⎝2⎠ Vậy ta cĩ thể viết chuỗi Fourier dưới dạng phức ∞ iint −−2 titit2it xt()==∑ cne +c−−21e +c e +c0+c1e +c2e + (1.37) n=−∞ trong đĩ các hệ số Fourier phức cn xác định như sau ca00= /2 ac00= 2 cann=−(ibn)/2 hoặc acnn=+c−n (1.38) ca−nn=+()ibn/2 binn=−()cc−n Mặt khác, tương tự (1.7) ta cĩ tích vơ hướng các hàm phức 2π x;yx= ∫ (t)y(t)dt 0 ∞ Với tích vơ hướng này hệ các hàm ei mt là một hệ trực giao, nghĩa là thỏa mãn { }m=−∞ 2π iint − mt ⎧2π nÕu nm= ee dt= ⎨ (1.39) ∫ 0 nÕu nm≠ 0 ⎩ 19
Chương 1: Giải tích Fourier Vì vậy các hệ số Fourier phức (1.38) cĩ thể tính trực tiếp 1 π 1 c+π2 cx= ()te−i ntdt hoặc cx= ()te−i ntdt, ∀c (1.40) n 2 ∫ n 2 ∫ π −π π c Ví dụ 1.10: Xét hàm bước nhảy tuần hồn ví dụ 1.8 ⎧1 ⎪ nÕu n = 0 ππ2 11−−iint nt ⎪ ct=η()edt=edt=⎨ 0 nÕu n ch½n n≠0 n 22ππ∫∫ −π 0 ⎪ 1 ⎪ nÕu n lỴ ⎩inπ Vậy, hàm bước nhảy đơn vị cĩ khai triển Fourier 1 ie∞ (2mi+1) t η−()t ∼ ∑ . 22π m=−∞ m +1 Ví dụ 1.11: Tìm khai triển Fourier của hàm mũ tuần hồn x()t= eat . π 11ππe()ai− nt ce==ate−−i ntdte(a in)tdt= n 22ππ∫∫2π(ai−n) −π 0 t=−π π ee()ai−nt ()ai−nπ−−−e()a−inπ eaπ−eaπ ()a+inshaπ ==(1−)nn=(−1) . 2(π−ain) 2π−(ain) 2(π−ain) 22 t=−π π+()an Vậy hàm cĩ chuỗi Fourier tương ứng sh aaπ−∞ ( 1)n ( +in) eeat ∼ i nt . ∑ 22 π n=−∞ an+ Hàm tuần hồn chu kỳ T0 = 2l cĩ khai triển Fourier dạng phức nπ nπ ∞ it 1 cl+2 −it xt()∼ ce l , cx= ()tel dt, ∀c (1.41) ∑ n n 2l ∫ n=−∞ c 1 Nếu ký hiệu f0 = là tần số cơ bản của hàm tuần hồn chu kỳ T0 thì cơng thức (1.41) T0 được biểu diễn ∞ 1 cl+2 xt()∼ cein2 π f0t, cx= ()te−in2 π f0tdt, ∀c (1.42) ∑ n n 2l ∫ n=−∞ c Nhận xét 1.2: Cơng thức (1.34)-(1.38) cho thấy dạng cực, dạng phức và dạng cầu phương của chuỗi Fourier là hồn tồn tương đương, nghĩa là từ dạng này ta cĩ thể biểu diễn duy nhất qua dạng kia và ngược lại. Vậy thì dạng nào được ứng dụng tốt nhất. Câu trả lời phụ thuộc vào từng 20
Chương 1: Giải tích Fourier trường hợp cụ thể. Nếu bài tốn thiên về giải tích thì sử dụng dạng phức sẽ thuận lợi hơn vì việc tính các hệ số cn dễ hơn. Tuy nhiên khi đo các hàm dạng sĩng được thực hiện trong phịng thí nghiệm thì dạng cực sẽ thuận tiện hơn, vì các thiết bị đo lường như vơn kế, máy phân tích phổ sẽ đọc được biên độ và pha. Dùng các kết quả thí nghiệm đo được các nhà kỹ thuật cĩ thể vẽ các n vạch phổ một phía là các đoạn thẳng ứng với mỗi giá trị biên độ An tại tần số fnn =f0 =. T0 1.2.5 Đẳng thức Parseval Định lý 1.8: Đối với mọi hàm x(t) tuần hồn chu kỳ T0 = 2l thoả mãn điều kiện Dirichlet sẽ xảy ra đẳng thức Parseval cT+ 1 0 ∞ x()td2 t= c2 (1.43) T ∫ ∑ n 0 c n=−∞ Chứng minh: cT++cT cT+mnππ 110010⎛⎞∞∞it⎛−it⎞ x()td2 t==x()tx()tdt ⎜⎟cell⎜ce ⎟dt TT∫∫T∫⎜⎟∑∑mn⎜⎟ 00cc0c⎝⎠mn=−∞ ⎝=−∞ ⎠ cT+ mnππ 1 0 ∞∞it−it ==ccelldt c2 . T ∫ ∑∑mn n 0 c mn, =−∞ n=−∞ 1.2.6 Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier Đối với chuỗi hàm hội tụ, một vấn đề tự nhiên đặt ra là: khi lấy đạo hàm hoặc lấy tích phân của từng số hạng của chuỗi ta được chuỗi mới, chuỗi mới này cĩ hội tụ về đạo hàm hoặc tích phân của hàm tổng của chuỗi ban đầu khơng? Trường hợp chuỗi lũy thừa thì câu trả lời là khẳng định. Với ý tưởng này người ta thường tìm nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy thừa nếu nghiệm của phương trình khơng phải là hàm sơ cấp. Sự hội tụ của chuỗi Fourier tinh tế hơn vì vậy địi hỏi phải thận trọng khi áp dụng phương pháp lấy đạo hàm hoặc tích phân theo các số hạng. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống cả hai phép tốn này đem lại những kết quả thú vị và cung cấp một cơng cụ hữu ích để xây dựng chuỗi Fourier của các hàm tương đối phức tạp. 1.2.6.1 Tích phân của chuỗi Fourier Ta thấy rằng nguyên hàm luơn mịn hơn hàm gốc, vì vậy cĩ thể tiên đốn rằng sẽ khơng gặp khĩ khăn gì khi lấy tích phân của chuỗi Fourier. Tuy nhiên cĩ một trở ngại là nguyên hàm của một hàm tuần hồn chưa chắc là hàm tuần hồn. Chẳng hạn hàm hằng 1 là một hàm tuần hồn nhưng cĩ nguyên hàm, cụ thể x , khơng tuần hồn. Vì nguyên hàm của hàm sin , hàm cos là hàm −cos và hàm sin , do đĩ nguyên hàm của tất cả các hàm tuần hồn khác trong chuỗi 21
Chương 1: Giải tích Fourier a Fourier cũng là hàm tuần hồn. Vì vậy chỉ cĩ số hạng hằng 0 cĩ thể gây nên khĩ khăn khi lấy 2 tích phân của chuỗi Fourier. t Bổ đề 1.1: Giả sử x()t là hàm tuần hồn chu kỳ 2π, khi đĩ tích phân yt()= ∫ x(u)du là hàm 0 π tuần hồn chu kỳ 2π khi và chỉ khi ∫ x(td) t= 0 (cĩ giá trị trung bình bằng 0). −π Định lý 1.9: Nếu x(t) là hàm liên tục từng khúc, tuần hồn chu kỳ 2π và cĩ giá trị trung bình bằng 0 thì cĩ thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi Fourier của x(t) để nhận được chuỗi Fourier của nguyên hàm t π ∞ ⎡ ba⎤ 1 yt()=+x(u)du∼ m −nncosnt+sinnt , my= ()tdt (1.44) ∫ ∑ ⎢ nn⎥ 2π ∫ 0 n=1⎣ ⎦ −π Ví dụ 1.12: Hàm lẻ tuần hồn chu kỳ 2π và x(t) = t, do đĩ cĩ giá trị trung bình bằng 0. Theo ví dụ 1.6 ta cĩ chuỗi Fourier ∞ sin nt t ∼ 2(∑ −1)n−1 n=1 n Lấy tích phân từng số hạng của chuỗi Fourier ta được tt22π−∞ ( 1)n−1 π2⎛⎞cos 2 cos3tcos 4t ∼−=2 cos nt −2 cost −+−+ ∑ 2 ⎜⎟ 26 n=1 n 6 ⎝⎠4 9 16 1 π t22π Vì dx = . 22π ∫ 6 −π Nếu x(t) cĩ giá trị trung bình khác 0, chuỗi Fourier tương ứng cĩ số hạng a0 ≠ 0 ∞ a0 x()ta∼ ++∑()nncosntbsinnt 2 n=1 Trong trường hợp này kết quả của lấy tích phân sẽ là t π ab∞ ⎡ a⎤ 1 y()t =+x(u)du ∼ 0 t m +−nncosnt +sinnt ; m= y()tdt (1.45) ∫ 2 ∑ ⎢ nn⎥ 2π ∫ 0 n=1⎣ ⎦ −π Chú ý rằng vế phải của chuỗi (1.45) khơng phải là chuỗi Fourier. Ta cĩ thể viết lại dưới dạng khai triển chuỗi Fourier của hàm tuần hồn chu kỳ 2π như sau 22
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ ab0 ⎡ nan⎤ y()t −+t ∼ m ∑ ⎢−cosnt +sinnt⎥ (1.46) 2 n=1⎣ nn⎦ 1.2.6.2 Đạo hàm của chuỗi Fourier Phép tính đạo hàm ngược với phép lấy tích phân. Đạo hàm cĩ thể làm cho hàm xấu hơn. Vì vậy khi sử dụng phương pháp lấy đạo hàm của chuỗi Fourier x(t) chúng ta cần phải chú ý đến sự thỏa mãn điều kiện Dirichlet của x '(t) . Địi hỏi này được thỏa mãn nếu x(t) khả vi liên tục từng khúc đến cấp 2. Định lý 1.10: Nếu x(t) là hàm tuần hồn chu kỳ 2π và khả vi liên tục từng khúc đến cấp 2 thì cĩ thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi Fourier của x(t) để nhận được chuỗi Fourier của đạo hàm ∞ ω=()tx'(t)∼ ∑[nbnncosnt−nasinnt] (1.47) n=1 Ví dụ 1.13: Nếu đạo hàm chuỗi Fourier của hàm x()t= t (ví dụ 1.7) ta được 4 ⎛⎞sin 3ttsin 5 sin 7t xt'( ) ∼⎜⎟sin t++++. π ⎝⎠357 Mặt khác đạo hàm của x()t= t ta được hàm dấu dt ⎧ 10nÕu t > ==sign t ⎨ dt ⎩−10nÕu t < Vậy 4 ⎛⎞sin 3ttsin 5 sin 7t sign tt∼⎜⎟sin ++++ π ⎝⎠357 1.2.7 Chuỗi Fourier của hàm delta Hàm delta cịn gọi là hàm Dirac (hàm xung đơn vị), là một hàm số suy rộng. Hàm xung đơn vị tại t= t được ký hiệu là δ (t), hàm số này chỉ tập trung giá trị tại t= t. Vậy 0 t0 0 δ()t =0 với mọi t≠ t. (1.48) t0 0 Ngồi ra δ (t) là xung đơn vị nên tích phân của nĩ thỏa mãn điều kiện t0 ∞ δ ()tdt=1 (1.49) ∫ t0 −∞ Rõ ràng rằng khơng tồn tại hàm theo nghĩa thơng thường thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện trên, vì hàm thỏa mãn điều kiện (1.48) sẽ cĩ tích phân bằng 0. 23
Chương 1: Giải tích Fourier Kỹ sư người Anh Oliver Heaviside là người đầu tiên sử dụng hàm delta trong các ứng dụng thực tế của mình, mặc dù các nhà tốn học lý thuyết cùng thời cho rằng đĩ là ý nghĩ điên rồ. Ba mươi năm sau, nhà Vật lý lý thuyết nổi tiếng Paul Dirac đã sử dụng hàm delta trong lý thuyết cơ học lượng tử của mình, nhờ đĩ cuối cùng các nhà lý thuyết đã chập nhận hàm delta. Năm 1944 nhà tốn học Pháp Laurent Schwartz cuối cùng đã xây dựng được lý thuyết phân bố kết hợp với hàm suy rộng điều này giải thích cơ sở tồn tại của hàm delta. Cĩ hai cách khác nhau để xây dựng hàm delta: Cách thứ nhất xem hàm delta là giới hạn của dãy hàm trơn theo nghĩa bình thường. Cách thứ hai xem hàm delta như là một phiếm hàm tuyến tính của khơng gian hàm thích hợp. Cả hai đều quan trọng và đáng quan tâm. Tuy nhiên cách thứ nhất sẽ dễ dàng tiếp thu hơn, vì vậy ta chỉ xét phương pháp này. Phương pháp giới hạn xem hàm delta δ (t) là giới hạn của dãy hàm khả vi g(t) cĩ giá t0 n trị ngày càng tập trung tại t= t0 và cĩ tích phân luơn bằng 1. n Chẳng hạn xét dãy hàm gtn ()= thỏa mãn hai điều kiện π+(1 nt22) ⎧00nÕu t ≠ lim gtn ( ) = ⎨ (1.50) n→∞ ⎩∞ nÕu t = 0 ∞ 1 gt( )dt= arctan nt∞ = 1 (1.51) ∫ n π t=−∞ −∞ Hình 1.5: Đồ thị các hàm gn (t) 24
Chương 1: Giải tích Fourier Vì vậy, một cách hình thức ta đồng nhất giới hạn của dãy hàm gn (t) là hàm delta tập trung tại gốc t = 0 . lim gtn ( ) = δ=(t) δ0 (t) . (1.52) n→∞ Hình 1.5 cho thấy các hàm gn (t) cĩ giá trị ngày càng tập trung tại gốc t = 0 . Cần chú ý rằng cĩ nhiều cách chọn các hàm gn (t) cĩ giới hạn là hàm delta. Trường hợp hàm delta δ (t) cĩ giá trị tập trung tại t bất kỳ cĩ thể nhận được từ hàm t0 0 δ(t) bằng cách tịnh tiến δ ()tt=δ( −t). (1.53) t0 0 Vì vậy, cĩ thể xem δ (t) là giới hạn của dãy hàm t0 n gt ()=−g(tt)= (1.54) n n 0 22 π+()1(nt−t0 ) Đạo hàm và tích phân của hàm delta Từ cơng thức (1.48)-(1.49) ta cĩ Với mọi hàm liên tục x(t): l ⎧x()vvnÕu 0 δ=()udu η(t−v)=⎨ (1.56) ∫ v 0 nÕu tv< −∞ ⎩ Theo định nghĩa thơng thường của nguyên hàm, từ cơng thức (1.56) ta cĩ thể xem hàm bước nhảy là một nguyên hàm của hàm delta, do đĩ đạo hàm của hàm bước nhảy là hàm delta. Sự khác biệt ở đây là mặc dù hàm delta là hàm suy rộng nhưng hàm bước nhảy là hàm số theo nghĩa thơng thường. Cơng thức (1.56) cũng phù hợp với định nghĩa của hàm delta theo giới hạn t n 11 f (td) ==uarctan nt+ n ∫ 22 π 2 −∞ π+()1 nu Các hàm này sẽ hội tụ về hàm bước nhảy 25
Chương 1: Giải tích Fourier ⎧10nÕu t > ⎪ lim ftn ( ) = η=(t) ⎨1/ 2 nÕu t=0 n→∞ ⎪ ⎩00nÕu t 1 ⎩⎪5 6 Hàm số gián đoạn tại t =1 với bước nhẩy (cĩ đồ thị trong hình 1.7). 5 Do đĩ cĩ thể biểu diễn theo cơng thức (1.56) như sau ⎧−ttnÕu 1 ⎩⎪55 26
Chương 1: Giải tích Fourier Cơng thức đạo hàm (1.57) tương ứng ⎧−11nÕu t 1 ⎩⎪5 Đồ thị hàm x()t Đồ thị hàm x '(t) Hình 1.7: Đồ thị của x(t) và đạo hàm x '(t) ⎧− 2 Hàm số gián đoạn tại t = 0 với bước nhẩy −1 và tại t =1 với bước nhẩy (cĩ đồ thị trong hình e 1.8). Do đĩ đạo hàm suy rộng cĩ dạng ⎧− 21etnÕu Hình 1.8 27
Chương 1: Giải tích Fourier Tích phân của hàm bước nhảy η(tt− 0 ) gián đoạn là hàm dốc liên tục ρ−()tt0 t ⎧tt− 0nÕu t>>t0a η=()ttη( −t); η=()tdt u ()t =u(t−t)=⎨ (1.60) t0 0 ∫ tt00 0 0 nÕu at 0 utn ()−=t0 ⎨ n! (1.61) ⎪ ⎩ 0 nÕu tt< 0 Hình 1.9: Đồ thị của hàm dốc bậc nhất và hàm dốc bậc hai Ví dụ 1.16: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X xác định bởi cơng thức: FX ()xP= {X≤ x} , với mọi x ∈ . Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì tồn tại hàm mật độ xác suất f X (x) sao cho x FxX()= ∫ fX(t)dt, với mọi x ∈ −∞ Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc cĩ miền giá trị là một tập đếm được {xx12,, } thì các xác suất chỉ tập trung tại các giá trị này. Xác suất của X nhận các giá trị xkk ; = 1,2, gọi là hàm khối lượng xác suất pX ()xPkk=={Xx} 28
Chương 1: Giải tích Fourier Hàm phân bố được xác định từ hàm khối lượng xác suất theo cơng thức FxX ()=≤P{Xx} =∑ pX(xk) xxk ≤ Đồ thị của hàm phân bố FX ()x là cĩ dạng bậc thang liên tục phải tại các bước nhảy. Sử dụng cơng thức (1.55) và (1.59) ta cĩ thể viết lại x FxXX()==∑∑p()xk∫ pX()xkδ (t−xk)dt xxkk≤ −∞ x Vì vậy ta cĩ thể xem hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc là f X ()xp=−∑ Xk(x)δ (xxk). xk Khai triển Fourier của hàm delta Áp dụng cơng thức (1.56) tính hệ số Fourier ta cĩ 11π 11π 1 a =δ()t cosntdt =cosn0=, b = δ=()t sinntdt sinn0=0 (1.62) n ππ∫ πn ππ∫ -π -π Vậy hàm delta cĩ khai triển Fourier 11 δ+(tt) ∼(cos +cos 2t+cos3t+) (1.63) 2ππ eiktt+ e−ik Thay cos kt = (cơng thức Euler) vào (1.63) ta được 2 11∞ δ=()te∼∑ ikti()+e−−2 t+eit+1+eit+e2it+ (1.64) 22ππk=−∞ Cũng cĩ thể nhận được cơng thức khai triển trên bằng cách tính trực tiếp các hệ số theo cơng thức (1.40) 11π 1 ct=δ()eiktdt=eik0 =. k 22ππ∫ 2π -π Tổng riêng của chuỗi Fourier n 1 ikt sen = ∑ 2π kn=− là tổng của 2n +1 số hạng của cấp số nhân cĩ số hạng đầu tiên là e−int và cơng bội eit , do đĩ: 29
Chương 1: Giải tích Fourier ⎛⎞11⎛⎞ ⎛⎞1 in⎜⎟+−t i⎜⎟n+t in(2 ++1)t i(n1)t −int ⎝⎠22⎝⎠ sin ⎜⎟nt+ 11−int ⎛⎞ee−−1e1e−e1⎝⎠2 se==⎜⎟ = = n ⎜⎟it it it /2 −it /2 1 22ππ⎝⎠ee−−112πe−e2πsin t 2 Hình 1.10: Đồ thị các tổng riêng của chuỗi Fourier hàm Delta 1.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER HỮU HẠN Mỗi hàm tuần hồn được xác định duy nhất bởi các hệ số Fourier của nĩ và ngược lại (cơng thức 1.23, 1.24, 1.28, 1.29), điều này được suy ra từ tính chất trực giao của hệ 1.11, 1.39. ∞ Tương tự ta cĩ thể chứng minh được hệ các hàm phức tuần hồn ein2π f là một hệ { }n=−∞ trực chuẩn trên đoạn []0,1 1 in22π−f iπmf ⎧1 nÕu nm= ee df= ⎨ . (1.65) ∫ 0 nÕu nm≠ 0 ⎩ Dựa vào hệ trực chuẩn này ta định nghĩa phép biến đổi Fourier hữu hạn của các tín hiệu rời rạc như sau. 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier hữu hạn ∞ Định nghĩa 1.4: Biến đổi Fourier hữu hạn của dãy tín hiệu rời rạc {x(n)}n=−∞ là 30
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ X(f)==F {}xn() ∑ xn()e−i2πnf (1.66) n=−∞ nếu chuỗi ở vế phải hội tụ. Cơng thức biến đổi ngược 1 x()nX==F −1{}(f) ∫ X(f)ein2πfdf (1.67) 0 Ví dụ 1.17: Tìm biến đổi Fourier hữu hạn của tín hiệu rời rạc x(n) = rect N (n) , N là 1 số tự nhiên. ⎧1 nÕu 0 ≤ n ≤ N −1 rect N (n) = ⎨ ⎩ 0 nÕu ng−ỵc l¹i ∞−N 1 1− e−πiN2 f Giải: Xf()==x(n)e−πin22f e−iπnf= ∑∑−if2π nn=−∞ =0 1− e ee−πiNf iπNf−πe−iNπ f sin Nf =⋅ =e−πiN(1−)f . ee−πif ifπ − e−ifπ sin πf Nhận xét 1.3: 1. Trong cơng thức biến đổi Fourier 1.66, 1.67 đối số f được ký hiệu cho tần số. Cĩ tài liệu khơng biểu diễn biến đổi Fourier qua miền tần số f mà qua miền tần số gĩc ω như sau ∞ 1 2π Xx(ω=) F {}()n= x()ne−ωin, x()nX= F −ω1 (ω=) X(ω)eindω (1.68) ∑ {}2π ∫ n=−∞ 0 Hai cách biểu diễn này tương ứng với nhau qua phép đổi biến số ω =π2 f . ∞ 2. Một điều kiện đủ để tín hiệu rời rạc {x(n)}n=−∞ tồn tại biến đổi Fourier hữu hạn là ∞ ∑ x(n) < ∞ . n=−∞ 3. Cơng thức biến đổi ngược 1.67 là khai triển Fourier dạng phức của hàm X (f ) đối với hệ trực chuẩn 1.65, nếu biến đổi Fourier xét trong miền ω thì biến đổi ngược của X (ω) là khai triển Fourier dạng phức đối với hệ trực giao 1.39. Vì vậy biến đổi ngược tồn tại khi X ()f (hoặc X (ω)) thỏa mãn điều kiện Dirichlet. 31
Chương 1: Giải tích Fourier 1.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier hữu hạn Tương tự phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier hữu hạn cĩ các tính chất sau: 1. Tuyến tính: FF{α+x()nyβ()n} =α{ x()n} +βF{ y()n} (1.69) ∞ Chứng minh: F {}α+x()n βyn()=∑ (α+x()n βyn())e−i2πnf n=−∞ ∞∞ =α ∑∑x()ne−πin22f+β y()ne−iπnf=αFF{}x()n +β {y()n}. nn=−∞ =−∞ 2. Trễ: −πin2 0 f X ()fx=⇒FF{ (n)} {x(n−n0 )} =eX(f). (1.70) ∞∞ −πin2 f −πin2200f −πi(n−n)f Chứng minh: F {}xn()−=n00∑∑x()n−n e =e xn()−n0e nn=−∞ =−∞ ∞ ==ex−πin2200f∑ ()ne−πin2 f e−iπnfF {}x()n. n=−∞ 3. Dịch chuyển ảnh: in2π f0 Xf( )=⇒FF{}x()n {e x()n} =X(f−f0 ). (1.71) 4. Điều chế: ⎧⎫in22π−f00iπnf ⎪⎪ee+ X ()ff−+0X(f+f0) FF{}xn()cos(2π=nf0 ) ⎨⎬xn() = . (1.72) ⎩⎭⎪⎪22 ∞ 5. Liên hợp phức: X(f)==F {}xn() ∑ xn()e−i2πnf n=−∞ ∞∞ ⇒=F {}x()nx∑∑()ne−πin22f=x()neiπnf=X(−f) (1.73) nn=−∞ =−∞ Do đĩ nếu x(n) thực thì X ()fX=(−f). ∞ 6. Biến số đảo: X(f)==F {}xn() ∑ xn()e−i2πnf n=−∞ 32
Chương 1: Giải tích Fourier ∞∞ ⇒F {}x()−nx=−∑∑()ne−πin2f=−x()ne−πi2(−n)(−f)=X(−f) (1.74) nn=−∞ =−∞ 7. Tích chập: FF{ x()ny∗=()n} { x()n}⋅F{ y()n} (1.75) ∞ Chứng minh: Ta cĩ z()n =∗xn() y()n =∑ xk()y(n−k) k=−∞ ∞∞⎛⎞∞∞⎛⎞ ⇒=Zf( ) x()ky(n−k)e−πin22f= x()ke−πikf y(n−k)e−πi2(n−k)f ∑∑⎜⎟∑∑⎜⎟ nk=−∞⎝⎠=−∞ n=−∞⎝k=−∞ ⎠ ∞∞⎛⎞ =−yn()ke−πin2(−k)fx(k)e−i2πkf=X(f)Y(f) ∑∑⎜⎟ kn=−∞⎝⎠=−∞ 8. Tích chập ảnh: FF{ x()ny⋅ ()n} =∗{ x()n} F{ y()n} (1.76) ∞ Chứng minh: F {}xn()⋅=y()n ∑ xn()y()ne−i2πnf. Theo 2.71 ta cĩ: n=−∞ ∞∞⎛⎞∞1 xn()y()ne−πin22f= ⎜⎟x(m)e−πi(m−n)udu y()ne−i2πnf ∑∑⎜⎟∑∫ nn=−∞ =−∞⎝⎠m=−∞ 0 1 ∞∞⎛⎞ x()me−πim2( −n)uy(n)e−i2πnfdu = ∫ ∑∑⎜⎟ 0 nm=−∞⎝⎠=−∞ 1 ⎛⎞∞∞⎛ ⎞ x(me)−πim22u y(n)e−πin(f−u)du X()f Y(f). ==∫⎜⎟∑∑⎜ ⎟∗ 0 ⎝⎠mn=−∞ ⎝=−∞ ⎠ 9. Biến đổi của hàm tương quan ∞ rx, y (n) = ∑ x(m)y(m − n) ⇒ F { rnxy, ()} = X(f)Y(f) (1.77) m=−∞ 2 Định lý Weiner-Khinchin: F {}rnxx, ()= X(f) . (1.78) ∞ Nếu x(n), y(n) thực, rx, y (n) = ∑ x(m)y(m − n) ⇒ F { rnxy, ()} =−X(f)Y( f). m=−∞ 33
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ Chứng minh: rnxy, ()= ∑ x(m)y(m−=n) x()n∗y(−n)⇒F { rnxy, ()} = X(f)Y(f). m=−∞ Hoặc ta cĩ thể chứng minh trực tiếp như sau: ∞∞⎛⎞ rn()=−x(m)y(mn)e−i2πnf F {}xy, ∑∑⎜⎟ nm=−∞⎝⎠=−∞ ∞∞⎛⎞ =−xm() y(m n)e−πin2(−m)fe−i2πmf ∑∑⎜⎟ mn=−∞ ⎝⎠=−∞ ∞∞⎛⎞ =−x()my(mn)e−πim2( −n)fe−i2πmf=X(f)Y(f). ∑∑⎜⎟ mn=−∞ ⎝⎠=−∞ 10. Đạo hàm ảnh: idX()f Xf( )=⇒FF{}x()n {nx()n}=⋅ (1.79) 2π df ∞∞1(de−πin2 f i d X f ) Chứng minh: F {}nx()n ==∑∑nx()n e−πin2 f x()n =⋅ nn=−∞ −πid22=−∞ fπ df 11. Đẳng thức Parseval: ∞ 1 ∞ 1 2 2 ∑ x()ny()n=−∫ X(f)Y( f)df; ∑ x()nX= ∫ (f)df. (1.80) n=−∞ 0 n=−∞ 0 Chứng minh: ∞∞⎛⎞11∞ in22ππf ⎛⎞inf x()ny()n==y()n⎜⎟X(f)e df X(f)⎜⎟y()ne df ∑∑⎜⎟∫∫⎜⎟∑ nn=−∞ =−∞ ⎝⎠00⎝⎠n=−∞ 11⎛⎞∞ ==Xf()⎜⎟y(n)ein2(π−f)df X()fY(−f)df. ∫∫⎜⎟∑ 00⎝⎠n=−∞ Ta cĩ thể tổng kết trong bảng sau. ∞ Tính chất Tín hiệu rời rạc {x(n)}n=−∞ Biến đổi Fourier X ()fx= F { (n)} Tuyến tính α+x()nβy(n) α+Xf() βY()f −πin2 f Trễ x()nn− 0 eX0 ()f 34
Chương 1: Giải tích Fourier in2π f0 Dịch chuyển ảnh ex(n) Xf()− f0 Xf()−+f00X(f+f) Điều chế x()nncos(2π f0) 2 Liên hợp phức x(n) X ()− f Biến số đảo x()−n Xf()− Tích chập x()ny∗ (n) Xf()Y()f Tích chập ảnh x()ny⋅ (n) Xf()∗Y()f ∞ Hàm tương quan rnxy, ()=−∑ x(m)y(mn) X ()fY()f m=−∞ idX()f Đạo hàm ảnh nx(n) ⋅ 2π df 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Khởi đầu chuỗi Fourier được xây dựng với mục đích giải quyết các bài tốn tương ứng với các hàm số xác định trong miền bị chặn hoặc hàm tuần hồn. Để giải quyết các bài tốn cĩ các hàm số xác định trên tồn bộ tập số thực −∞<t <∞ người ta mở rộng một cách tự nhiên phương pháp chuỗi Fourier, điều này đưa đến phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier là một cơng cụ mạnh mẽ và đĩng vai trị cốt yếu trong nhiều miền ứng dụng như: Giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển và trong nhiều lãnh vực khác của tốn lý thuyết cũng như tốn ứng dụng. Đối với các nhà tốn học phép biến đổi Fourier là cơ bản hơn phép biến đổi Laplace. Cơ sở của phép biến đổi Fourier là cơng thức tích phân Fourier, cơng thức này cĩ được bằng cách xét chuỗi Fourier trong khoảng khá lớn tùy ý, sau đĩ cho khoảng này tiến đến vơ cùng. 1.4.1 Cơng thức tích phân Fourier ∞ Định lý 1.11: Nếu hàm x(t) khả tích tuyệt đối trên tồn bộ trục thực ( ∫| x(t) | dt < ∞ ) và thoả −∞ mãn điều kiện Dirichlet thì cĩ đẳng thức 1 ∞ ∞ x()td=λx(u)cosλ(u−t)du (1.81) π ∫∫ 0 −∞ 35
Chương 1: Giải tích Fourier Chứng minh: Vì hàm x(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên tồn bộ trục thực nên với mọi l > 0 ta cĩ thể khai triển thành chuỗi Fourier trong khoảng (−l;l) (xem nhận xét và cơng thức 1.28). ∞ a0 ⎛⎞nnπ π x()ta=+∑⎜⎟nncos t+bsin t 2 n=1⎝⎠ll Các hệ số Fourier được tính theo cơng thức sau: 11llnnππ1l a ==x(u)du; a x(u)cos udu; b =x(u)sin udu ; n =1, 2, 0 ll∫∫nnll∫l −−ll −l ll 11∞ ⎡ nnππnπnπ⎤ ⇒=x(tx) ()udu+x()cuos ucos t+sin usin tdu 2ll∫∫∑ ⎢ llll⎥ −−lln=1 ⎣ ⎦ 11ll∞ nπ x(tx)=+()udu x()ucos (u−t)du (1.82) 2ll∫∫∑ l −−lln=1 ∞ Vì ∫| x(t) | dt < ∞ nên khi cho l → ∞ ta cĩ: −∞ ⎧ 1 l ⎪lim xu( )du= 0 l→∞ 2l ∫ ⎪ −l ⎨ (1.83) ⎪ 11∞∞l nnππ∞ ⎪lim ∑∑x(u)cos (u−=td) u lim x(u)cos (u−td) u ll→∞ ll∫∫→∞ l l ⎩ nn==11−−l ∞ π 1 ∞ Đặt ∆λ = , F()λ= xu()cosλ(u−t)du (1.84) l π ∫ −∞ 1 ∞∞∞ nπ ⇒−xu()cos (u t)du=∆λF()n∆λ (1.85) ll∑∑∫ nn==01−∞ Vế phải của (1.85) là tổng tích phân của hàm F(λ) trong khoảng [0, ∞) . Theo (1.84), l → ∞ khi và chỉ khi ∆λ→0 . Vậy lấy giới hạn hai vế của (1.82) khi cho l → ∞ và sử dụng (1.83)-(1.85) ta được ∞∞1 ∞ x()tF=λ( )dλ=dλx(u)cosλ(u−t)du. ∫∫π ∫ 00−∞ Cơng thức (1.81) được gọi là cơng thức tích phân Fourier. 36
Chương 1: Giải tích Fourier Vì hàm cosin là hàm chẵn và sin là hàm lẻ nên từ cơng thức (1.81) ta cũng cĩ: 11∞∞ ∞∞ x()td=λx(u)cosλ(u−t)du=λdx(u)cosλ(t−u)du 22ππ∫∫ ∫∫ −∞ −∞ −∞ −∞ 11∞∞ ∞∞ =λd x()u ()cosλ(t −u)+isinλ(t −u)du =dλx()u eitλ−()udu 22ππ∫∫ ∫∫ −∞ −∞ −∞ −∞ Vậy 1 ∞∞⎛⎞ x()tx=⎜(u)e−λiudu⎟eitλdλ (1.86) 2π ∫∫⎜⎟ −∞ ⎝⎠−∞ (1.86) được gọi là cơng thức tích phân Fourier phức. Nhận xét 2.4: 1. Các cơng thức trên đã sử dụng quy ước (1.25) tại những điểm khơng liên tục. 2. Nếu x(t) là hàm chẵn thì cơng thức (1.86) trở thành 2 ∞ ∞ x()tt=λcos dλx(u)cosλudu. (1.87) π ∫∫ 00 3. Nếu x(t) là hàm lẻ thì 2 ∞ ∞ x()t =λsin tdλx(u)sinλudu . (1.88) π ∫∫ 00 4. Các cơng thức tích phân Fourier, Định lý 1.11 được phát biểu và chứng minh cho trường hợp x(t) là hàm thực. Tuy nhiên do tính chất tuyến tính của tích phân nên các kết quả trên vẫn cịn đúng cho trường hợp hàm phức biến thực x(t) khả tích tuyệt đối cĩ phần thực, phần ảo thỏa mãn điều kiện Dirichlet. 5. Đổi biến λ=2πf ⇒dλ=2πdf và thay vào cơng thức (1.88) ta được ∞∞ ∞⎛⎞∞ x(t)==df x()u e−πif2(u−t)du ⎜x()u e−if2πudu ⎟ei2πftdf (1.89) ∫∫ ∫⎜∫ ⎟ −∞ −∞ −∞ ⎝⎠−∞ 1.4.2 Phép biến đổi Fourier Định nghĩa 1.5: Biến đổi Fourier (viết tắt là FT) của hàm x(t) khả tích tuyệt đối trên trục thực và thỏa mãn điều kiện Dirichlet là 37
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ X()f ==F {}xt() ∫ xt()e−πif2 tdt,f∈ (1.90) −∞ Trong kỹ thuật, nếu x(t) là hàm dạng sĩng (waveform) theo thời gian t thì Xf() được gọi là phổ hai phía của x(t) (two - sided spectrum), cịn tham số f chỉ tần số, cĩ đơn vị là Hz. Từ cơng thức tích phân Fourier (1.89) ta cĩ cơng thức biến đổi ngược ∞ x(tX)==F −12{}()f∫ X()feifπtdf (1.91) −∞ Hàm ảnh qua phép biến đổi Fourier Xf() cĩ thể viết dưới dạng cực Xf()= Xf()eiϕ(f) (1.92) trong đĩ Xf()= Xf()Xf() , ϕ=()f ∠Xf() (1.93) được gọi dạng biên độ - pha của phép biến đổi. Cặp x()tX,(f)được gọi là cặp biến đổi Fourier. 1.4.3 Tính chất phép biến đổi Fourier Tương tự các tính chất (1.69)-(1.80) của phép biến đổi Fourier hữu hạn, phép biến đổi Fourier cĩ các tính chất được tổng kết trong bảng sau: Tính chất Hàm x(t) Biến đổi Fourier Xf() 1. Tuyến tính α+x12()tβx(t) α+Xf12() βX()f 1 2. Đồng dạng x(at) Xf()/ a ||a 3. Liên hợp x(t) X()− f 4. Đối ngẫu Xt() x(− f ) −πiT2 d 5. Trễ x(t −Td ) eX()f b 6. Đồng dạng tịnh if2π x()at + b efa ⎛⎞ tiến X ⎜⎟ ||aa⎝⎠ 38
Chương 1: Giải tích Fourier if2π 0 t 7. Dịch chuyển ảnh ex(t) X ()f− f0 11 8. Điều chế x()tfcos2π 0 t Xf()−+f X(f+f) 2200 n d x(t) n 9. Đạo hàm ()if2(π Xf) dt n t 11 10. Tích phân x(u)du Xf()+δX(0)(f) ∫ if22π −∞ n n n ⎛⎞idX()f 11. Đạo hàm ảnh t x(t) ⎜⎟ ⎝⎠2π df n ∞ x ()tx∗=()t x(u)x(t−u)du 12. Tích chập 12∫ 12 Xf12()X()f −∞ 13. Tích x1(t)x2 (t) Xf12()∗ X()f Hàm δ trong tính chất 10. là hàm delta Dirac (xem mục 1.2.7). Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.90) ta nhận thấy rằng nếu x(t) là hàm thực chẵn thì biến đổi Fourier của nĩ cũng là hàm thực chẵn. Kết hợp với tính chất đối ngẫu 4. ta cĩ thể chuyển đổi vai trị của x(t) và Xf() cho nhau, nghĩa là Xf()=⇒FF{}x(t) {X(t)} =x(f) (1.94) 1.4.3 Định lý Parseval và định lý năng lượng Rayleigh Nếu x1(t), x2 (t) là hai hàm bình phương khả tích (gọi là hàm kiểu năng lượng) thì ta cĩ đẳng thức Parseval ∞∞ ∫∫x12()tx()tdt= X12(f)X (f)df (1.95) −∞ −∞ Khi x1(t) = x2(t) = x(t) ta cĩ định lý năng lượng Rayleigh ∞∞ 2 2 ∫∫x()tdt= X1(f) df (1.96) −∞ −∞ Như vậy cĩ thể chuyển tính năng lượng trong miền thời gian bằng tính năng lượng trong miền tần số. 39
Chương 1: Giải tích Fourier Cơng thức (1.96) cĩ thể chứng minh bằng cách sử dụng cơng thức tích phân Fourier như sau: ∞∞⎛⎞∞ x ()tx()tdt= x()t⎜⎟X (f)eif2π tdf dt ∫∫12 1⎜⎟∫2 −∞ −∞ ⎝⎠−∞ ∞∞⎛⎞ =⎜Xf() x(t)e−πif2 tdt⎟df ∫∫2 ⎜⎟1 −∞ ⎝⎠−∞ ∞ = ∫ X 12()fX()fdf. −∞ 1.4.4 Biến đổi Fourier của các hàm đặc biệt Ví dụ 1.18: Biến đổi Fourier của xung chử nhật hay hình hộp cĩ độ dài 2a ⎧1|nÕu ta| >,a0 ⎧ 1 nÕu f = 0 a ⎪ −πif2 t ⎪ a Π=a ()fedt=⎨e−πif2 t ∫ nÕu f ≠ 0 −a ⎪ −πif2 ⎩⎪ −a ⎧ 1 nÕu f = 0 ⎪ = ⎨sin(2afπ ) ⎪ nÕu f ≠ 0 ⎩ πf Đặt ⎧ 1 nÕu t = 0 ⎪ sinc(t) = ⎨sin(πt) (1.98) nÕu t ≠ 0 ⎩⎪ πt Ta cĩ F { Π=a ()ta} 2 sinc(2af). (1.99) Phép biến đổi Fourier ngược cho phép khơi phục lại giá trị của xung chử nhật Πa (t) (xem cơng thức (1.91)) 40
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ ⎧1 nÕu ||ta Tách phần thực và phần ảo (1.100) ta cĩ: ∞ ⎧π/2 nÕu ||ta ∞ sin (2ππft)sin(2a f ) df = 0 . ∫ f −∞ Khi a =1 ta cĩ xung hình vuơng: ⎧1|nÕu t | 1 Áp dụng cơng thức (1.94) ta cũng cĩ F { 2sinc(2tf)} = Π( ). Hình 1.11: Đồ thị của Π(t) và Π()f Cơng thức (1.100) khơi phục giá trị của Π(t) dựa vào tích phân vơ hạn của Π(f ) ∞ Π=(tf) F −π12{}Π()=∫ Π()feiftdf −∞ Tuy nhiên khi tính tốn số người ta chỉ tính tích phân trong khoảng hữu hạn. 25 50 Hai đồ thị sau đây tương ứng là đồ thị của ∫ eif2π tΠ()fdf và ∫ efif2π tΠ()df. −25 −50 41
Chương 1: Giải tích Fourier Hình 1.12 Ví dụ 1.19: Xung tam giác đơn vị ⎧1− | t | nÕu | t | 1 Áp dụng quy tắc tích phần từng phần ta được 11 2 Λ=()f ∫∫()1−te−πif2 tdt=2()1−tcos(2πft)dt=(sinc(f)) (1.102) −10 Áp dụng cơng thức (1.94) ta cũng cĩ F { sinc2 (t)} =Λ( f) . (1.103) Hình 1.13: Đồ thị của Λ(t) và biến đổi Fourier Λ()f Ví dụ 1.20: Xét xung dạng mũ suy giảm về phải ⎪⎧et−λt nÕu > 0 xtr ()= ⎨ . (1.104) ⎩⎪00nÕu t 0 Cĩ biến đổi Fourier 42
Chương 1: Giải tích Fourier ∞ −λ(2+ifπ)t∞ −λti− 2πft e 1 Xfr ()==ee dt−= ∫ λ +πif22λ+ifπ 0 t=0 Sử dụng cơng thức biến đổi Fourier ngược ta được ⎧ −λt ∞ etnÕu > 0 eif2π t ⎪ df = ⎨1/2 nÕu t = 0 ∫ λ+if2π −∞ ⎪00nÕu t λ;>0 Cĩ biến đổi Fourier 0 (2λ−ifπ )t0 λ−ti2πft e 1 Xfl ()==ee dt =. ∫ λ −πif22λ−ifπ −∞ t=−∞ Xung dạng mũ chẵn, hai phía −λ t xte ()= e ; λ>0 (1.106) Rõ ràng xel()tx=+()txr(t), do đĩ biến đổi Fourier sẽ là 11 2λ Xfel()=+X()f Xr()f= + = (1.107) λ−if22π λ+ifπ λ+224πf 2 Áp dụng biến đổi Fourier ngược ta cĩ cơng thức tính tích phân ∞∞if2π t −λ t 22λλefcos2πt ed==fdf. ∫∫222 222 −∞ λ+44πff−∞ λ+π −λ t Xung dạng mũ lẻ xo ()tt= (sgn)e −λt ⎪⎧etnÕu > 0 xt()=−x()t x()t= (1.108) orl⎨ λt ⎩⎪−etnÕu 0 11 4πf Xfor()=−X()f Xl()f= − =−i (1.109) λ+if22π λ−ifπ λ+224πf 2 Sử dụng cơng thức biến đổi Fourier ngược ta được 43
Chương 1: Giải tích Fourier ∞∞if2π t −λ t fe f sin 2πft (sgn te) =−4πi df=4π df (1.110) ∫222 ∫222 −∞ λ+44πff−∞ λ+π t 1 dx (t) Cĩ thể nghiệm lại được xt()=(sgnt)e−λ =e , o −λ dt 14 πf do đĩ Xfoe()=π(i2f)X(f)=−i . −λ λ+224πf 2 Mặt khác, vì hàm xung dạng mũ lẻ gián đoạn tại t = 0 với bước nhảy bằng 2, do đĩ đạo hàm của nĩ chứa hàm delta và thỏa mãn dx ()t −λ t o =−λet+2(δ )=−λx(t)+2δ(t) dt e Cơng thức này cũng thống nhất với kết quả của biến đổi Fourier 22 2 82πλf (2ifπ=)Xoe(f) =2− =2δ(f)−λX(f). λ+2244πff2 λ2+π22 Ví dụ 1.21: Xét hàm hữu tỉ 1 xt()= , c > 0 tc22+ Áp dụng cơng thức (1.96) và (1.106)-(1.107) ta cĩ ⎧⎫2λ −λ f F ⎨⎬= e ,0λ> . ⎩⎭λ+224πt2 ∞∞−πif22t −iπft −λ f 2λλee ⇒=edt= dt ∫∫222 22 2 −∞ λ+42πttπ−∞ +(λ/2π) ∞ −πif2 t e π −π2 cf ⇒=Xf() dt=e ∫ 22 c −∞ tc+ Vậy ⎧⎫1 π −π2 cf F ⎨⎬= e,c> 0 (1.111) ⎩⎭tc22+ c Ví dụ 1.22: Biến đổi Fourier của Hàm delta Dirac δ(t) tập trung giá trị tại t = 0 . Từ cơng thức (1.48)-(1.49) ta cĩ 44
Chương 1: Giải tích Fourier ⎧0 víi t ≠ 0 ∞ δ=()t ⎨ và δ()tdt= 1 (1.112) ∞=víi t 0 ∫ ⎩ −∞ ∞ 1. ∫ x()ttδ=()dtx(0) với mọi hàm x(t) liên tục tại 0. −∞ ∞∞ 2. FF{}δ=()tt∫∫δ()e−πif2tdt=1 ⇒δ(t)=−1{1}=ei2πftdf. (1.113) −∞ −∞ 3. Nếu giả thiết δ(t) là hàm chẵn thì ∞ δ=()ttδ(−)=∫ e±πif2 tdf. (1.114) −∞ 4. Áp dụng tính đồng dạng của biến đổi Fourier ta cĩ 1 δ()at =δ(t). (1.115) a 5. Đổi biến số lấy tích phân ta cĩ ∞ x()t00∗δ()t = ∫ xt()δ(t0−t)dt= xt(0) (1.116) −∞ với mọi hàm x(t) liên tục tại t0 . Một kết quả thú vị nhận được từ xung dạng mũ chẵn (1.106) là nếu lấy giới hạn khi λ→0 ta nhận được hàm hằng đồng nhất bằng 1. Mặt khác lấy giới hạn của biến đổi Fourier (1.107) của xung dạng mũ chẵn ta được 2λ ⎧00nÕu f ≠ lim = ⎨ (1.117) λ→0 λ+224πf 2⎩∞ nÕu f = 0 Giới hạn này giúp ta nhớ đến định nghĩa của hàm delta n λ 1 δ=()t lim =lim , trong đĩ n = . n→∞ π+(1 nt22) λ→0 π(λ2+t2) λ Ví dụ 1.23: Hàm bước nhảy ⎧1 nÕu t > 0 t η=()t⎨ =δ(λ)dλ (1.118) 0 nÕu t < 0 ∫ ⎩ −∞ 45
Chương 1: Giải tích Fourier Hàm η(t) khơng khả tích tuyệt đối trong tồn bộ trục thực nhưng theo tính chất tích phân của phép biến đổi Fourier (xen mục 1.4.3) ta cĩ thể mở rộng và xem t ⎪⎪⎧⎫11 FF{}η=()td⎨⎬δ(λ) λ= +δ(f). ∫ if22π ⎩⎭⎪⎪−∞ Ví dụ 1.24: Hàm dấu ⎧1 nÕu t > 0 sgn(tt) ==⎨ η( ) −η(−t) (1.119) ⎩ −1 nÕu t < 0 ⎛⎞11 ⎛1 1 ⎞−i FF{}sgn(tt) =η{( )}−F{η(−t)}=⎜⎟+δ( f) −⎜+δ(−f)⎟=. ⎝⎠if22π ⎝−πif22 ⎠πf Mặt khác từ các cơng thức (1.108)-(1.109) lấy giới hạn khi λ → 0 ta cũng nhận được −i F {}sgn(t) = . πf ∞ Ví dụ 1.25: Giả sử x(t) cĩ biến đổi Fourier là Xf()= ∫ e−πif2 tx(t)dt. Ta sẽ chứng minh −∞ t 11 biến đổi Fourier của yt()= x(u)du là Xf()+δX(0)(f). ∫ if22π −∞ ∞ Thật vậy, đặt cx=()tdt=X(0). Ta cĩ lim yt( ) = 0 và lim yt( ) = c, do đĩ hàm ∫ t→−∞ t→∞ −∞ zt()= y()t −ηc (t) cĩ giới hạn 0 khi t →±∞, và biến đổi Fourier cic Zf()=−Y()f δ()f+ 22πf Mặt khác zt'( ) = x(t) −δc(t) Do đĩ Xf() c c ic (2ifπ=)Z(f) X(f)−c ⇒=Zf() −=Y()f−δ()f+ if22π ifππ2 2f 11c 1 ⇒=Yf() X()f+δ()f=X()f+X(0)δ(f). if22ππif22 46
Chương 1: Giải tích Fourier 1.4.5 Các cặp biến đổi Fourier thường gặp Hàm x(t) Biến đổi Fourier Xf() Giải thích 1) Πa (t) 2saainc(2f) Tính chất A.2. và Ví dụ 1.12 2) 2sWWinc(2t) ΠW ()f Đối ngẫu với 1) 3) Λ(t /T ) TTsinc2( f) Tính chất A.2. và Ví dụ 1.13 1 4) et−λtηλ(); >0 Tính trực tiếp λ +πif2 1 5) te−λtηλ()t ; >0 Đạo hàm của 4) (2λ+ifπ )2 t 2λ 6) e−λ ;0λ> Ví dụ 1.15 λ+22(2πf ) 1 π −2πλ f 7) ;0λ> e Đối ngẫu của 6) t22+λ λ 8) δ(t) 1 Định nghĩa của δ(t) 9) 1 δ()f Đối ngẫu của 8) −i2πft 10) δ−()tt0 e 0 Trể của 8) i2π ft 11) e 0 δ()f − f0 Dịch chuyển ảnh δ−()f ff0+δ(+f0) 12) cos 2πf0t Cơng thức Euler và 11) 2 δ−()f f0−δ(f+f0) 13) sin 2πf0t Cơng thức Euler và 11) 2i −i 1 14) η(t) +δ()f Ví dụ 1.17 22πf −i 15) sgn(t) Ví dụ 1.18 πf 1 16) − isgn( f ) Đối ngẫu 15) πt 47
Chương 1: Giải tích Fourier 1.5 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT: Discrete Fourier Transform) Trong thực tế khi tính tốn các dữ liệu nhận được khơng thể là hàm liên tục mà thường là các dữ liệu số rời rạc. Chẳng hạn, ngay cả khi đo các tín hiệu liên tục người ta cũng chỉ thực hiện một số hữu hạn các lần đo, đĩ là một mẫu của tín hiệu đầy đủ. Các phương tiện số (CD, DVD, ) hoặc các dữ liệu thí nghiệm được lưu trữ trong máy tính cũng chỉ là các tín hiệu được lấy mẫu tại những khoảng thời gian rời rạc. Vì vậy mặc dù chuỗi Fourier về mặt lý thuyết là rất quan trọng khơng thể chối cải được nhưng theo quan điểm tính tốn cần phải chuyển các khơng gian hàm vơ hạn chiều về các khơng gian véc tơ hữu hạn chiều của các dữ liệu mẫu. Thơng thường một tín hiệu liên tục x(t) xác định trong đoạn [ab, ], máy tính chỉ cĩ thể lưu trữ các giá trị đo được của nĩ tại một số hữu hạn điểm mẫu at≤ 01<<t <tn ≤b. Đơn giản nhất người ta xét các điểm mẫu cách đều nhau. b− a ta=+jh, j= 0, ,n, trong đĩ h = là tốc độ mẫu. j n Khi xử lý tín hiệu x(t), biến số t chỉ tời gian và t j chỉ thời điểm lấy mẫu lần thứ j . Tốc độ mẫu h rất cao, thường lấy khoảng 10.10−33− 20.10− giây. Chuỗi Fourier thích hợp với các hàm tuần hồn, tổng của chuỗi Fourier rời rạc thích hợp với các tín hiệu được lấy mẫu tuần hồn. (trong thực tế các tín hiệu lấy mẫu hiếm khi tuần hồn, tuy nhiên vì mục đích tính tốn giải tích người ta thường mở rộng tuần hồn từ tín hiệu mẫu gốc). Để đơn giản ta chọn chu kỳ 2π (trường hợp chu kỳ khác cĩ thể nhận được bằng phép đổi biến). Ở đây ta chọn khoảng [0;2π] thay cho [−ππ; ]. Các điểm mẫu tương ứng 2π 4π 2 jπ 2(n −π1) t = 0 , t = , t = , t = , t = (1.120) 0 1 n 2 n j n n−1 n Tính tuần hồn địi hỏi x(0) =x(2π) , do đĩ giá trị tại điểm mẫu xn =2π được bỏ qua. Việc lấy mẫu (giá trị phức) của tín hiệu hoặc hàm số x(t) tại các điểm mẫu cung cấp một véc tơ mẫu ⎛2 jπ ⎞ x ==( xx01, , , xnn−−1) ( x(t0), x(t1), , x(t1)) , trong đĩ xxjj==()t x⎜⎟ (1.121) ⎝⎠n Sự lấy mẫu khơng thể phân biệt được giữa những hàm cĩ cùng giá trị mẫu tại tất cả các điểm mẫu, như vậy chúng phải được đồng nhất như nhau theo quan điểm lấy mẫu. Chẳng hạn hàm tuần hồn x()te==int cosnt+isinnt Cĩ các giá trị mẫu 48
Chương 1: Giải tích Fourier ⎛⎞22jjππ⎛ ⎞2 jiπ xxj ==⎜⎟exp⎜in ⎟=e =1 với mọi jn= 0, , −1 ⎝⎠nn⎝ ⎠ Vì vậy khơng thể phân biệt với hàm hằng ct()≡ 1, cả hai hàm đều cĩ véc tơ mẫu là (1,1, ,1) . Điều này dẫn đến một hệ quả quan trọng là việc lấy mẫu tại n điểm cách đều nhau khơng thể tách các tín hiệu tần số n . Một cách tổng quát hơn, hai tín hiệu mũ giá trị phức eeik()+nt∼ ikt (1.122) là khơng thể phân biệt khi lấy mẫu. Vì vậy chỉ cần chọn n hàm mũ phức đầu tiên sau đây làm cơ sở để biểu diễn cho các tín hiệu được lấy mẫu bất kỳ tuần hồn chu kỳ 2π với n điểm mẫu. it i2t in(−1)t xt0 ()=1, x1()te= , x2 ()t= e, xtn−1()= e (1.123) Đặc biệt hàm mũ tần số “âm” e−ikt cĩ thể chuyển về dạng ein(−k)t cĩ cùng giá trị mẫu. Chẳng hạn e−it và ein(−1)t cĩ cùng giá trị mẫu tại các điểm mẫu. Tuy nhiên ngồi giá trị mẫu hai hàm này hồn tồn khác nhau, hàm e−it cĩ tần số thấp cịn ein(1− )t cĩ tần số cao hơn. Hình sau cho sự so sánh đồ thị của e−it và ei7t với n = 8 điểm mẫu. Hình 1.14: Đồ thị của cost và cos7t với 8 điểm mẫu Hình 1.15: Đồ thị của sint và −sin 7t với 8 điểm mẫu Vì khơng thể phân biệt giá trị mẫu của các hàm mũ cĩ tần số lớn hơn n (xem cơng thức 1.122) do đĩ chỉ cĩ thể khai triển x(t) thành tổng của các hàm mũ cĩ cùng giá trị mẫu tại các điểm mẫu dưới dạng 49
Chương 1: Giải tích Fourier n−1 it i2(t i n−1)t ikt x()tp∼ ()t=+c01ce+c2e+ +cn−1e =∑ cke (1.124) k=0 trong đĩ x()tj = p(tj ) với mọi j= 0, ,n−1 (1.125) Như vậy pt() là đa thức lượng giác nội suy bậc ≤ n −1 đối với các dữ liệu mẫu x j = xt(j ). Nếu x(t) nhận giá trị thực thì đa thức lượng giác nội suy tương ứng được chọn là phần thực của pt(). Vì chúng ta làm việc với các dữ liệu là các véc tơ mẫu thuộc khơng gian phức hữu hạn chiều n , do đĩ ta cĩ thể chuyển chuỗi Fourier rời rạc về dạng véc tơ. Mẫu của các hàm của cơ sở gồm các hàm mũ (1.123) được biểu diễn dưới dạng véc tơ ikt01ikt12ikt iktn− i2/kππni4/kn i2(n−1)kπ/n ω=k (ee, ,e, ,e ) =(1,e ,e , ,e ) , k=0, ,n−1 (1.126) Vì vậy, điều kiện nội suy (1.125) được viết lại dưới dạng véc tơ x =ωcc00+1ω1+ +cn−1ωn−1 (1.127) Nĩi cách khác ta cĩ thể tính các hệ số Fourier rời rạc cc01, , ,cn−1 của x(t) bằng cách biểu diễn véc tơ mẫu x thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ mẫu hàm mũ cơ sở ωω01,, ,ωn−1. n Định lý 1.12: Hệ các véc tơ ωω01,, ,ωn−1 tạo thành một cơ sở trực chuẩn của với tích vơ hướng trung bình xác định như sau n−1 1 n xy; = ∑ x j y j ; x = (,xx01, ,xn−1), y = (yy01, , , yn−1)∈ (1.128) n j=0 Để chứng minh ta xét 22π π E ==eiin2/π cos +sin nn Lũy thừa n lần ta được E ni= ()ee2/ππnn==i2 1. Vậy E là một căn bậc n của 1: E = n 1 . Cĩ n số phức khác nhau là n căn bậc n của 1, trong đĩ cĩ 1 và các lũy thừa của E , cụ thể 22kkπ π E ki==ei2/kπ ncos +sin ; kn= 0, , −1 (1.129) nn 50
Chương 1: Giải tích Fourier Véc tơ ωk trong cơng thức (1.126) cĩ thể viết lại kk2(n−1)k ω=k (1,EE, , ,E ) ; kn= 0, , −1 (1.130) Từ cơng thức zznn−=1(−1)(1+z+z21+ +z− ) Suy ra kk2(n−1)k⎧ n nÕu k = 0 1++EE+ +E =⎨ (1.131) ⎩ 0 nÕu 0 < kn< Ngồi ra từ tính chất Ekn+ = Ek cĩ thể mở rộng cơng thức (1.131) cho mọi số nguyên k bất kỳ, kk2(n−1)k⎧ n nÕu kn lµ béi sè cđa 1++EE+ +E =⎨ (1.132) ⎩ 0 nÕu ng−ỵc l¹i Từ (1.128) và (1.132) ta cĩ nn−−11 11jk jl j()k−l ⎧1 nÕu kl= ωω=kl; ∑∑EE= E =⎨ k=0, ,n−1 (1.133) nnjj==00⎩ 0 nÕu kl≠ Vậy ωω01,, ,ωn−1 là một cơ sở trực chuẩn. Như vậy các hệ số cc01, , ,cn−1 trong cơng thức (1.127) là tọa độ của véc tơ x trong cơ sở này nn−−11n−1 11ikt jj−ikt 1− jk cxkk=ωx; =∑∑je= xje=∑E xj (1.134) nnjj==00nj=0 Nĩi cách khác, hệ số Fourier rời rạc ck cĩ được bằng cách lấy trung bình của các giá trị mẫu của hàm tích x()te−ikt . Chuyển từ tín hiệu x(t) thành các hệ số Fourier rời rạc gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc, ký hiệu n−1 1 − jk ⎛2 jπ ⎞ DFT {x(t)} ==X (k) (c01,c , ,cn−1) ; cxkj= ∑E , xxj = ⎜⎟ (1.135) n j=0 ⎝⎠n Biến đổi ngược n−1 jk IDFT {c01,c , ,cnn−−1} = {x0, x1, , x 1} , x j = ∑E ck (1.136) j=0 x01, x, , xn−1 là các giá trị mẫu của hàm x(t) và đa thức lượng giác p(t) thỏa mãn 51
Chương 1: Giải tích Fourier n−1 it i2(t i n−1)t ikt x()tp∼ ()t=+c01ce+c2e+ +cnk−1e =∑ ce. (1.137) k=0 22π π Ví dụ 1.26: Xét trường hợp n = 4 thì E = eii2/π 4=+cos sin =i. 44 Các véc tơ mẫu là ω=0 (1,1,1,1) , ω=1 (1, ii, −1, −) , ω2 =−(1, 1,1, −1) , ω3 =−(1, ii, −1, ) . Cho tín hiệu cĩ các giá trị mẫu ⎛π ⎞ ⎛⎞3π x0 = x(0) , xx1 = ⎜⎟, xx2 = (π), xx3 = ⎜⎟. ⎝⎠2 ⎝⎠2 Ta cĩ biểu diễn Fourier rời rạc x =ωcc00+1ω1+c2ω2+c3ω3 Trong đĩ 1 1 cx=ωx;(= +x+x+x), cx=ωx;(= −ix−x+ix) 004 0123 114 0123 1 1 c=ωx;(=x−x+x−x), cx=ωx;(= +ix−x−ix) 224 0123 334 0123 Chẳng hạn nếu x()tt=π2 −t2 thì x0 = 0, x1 = 7,4022 x2 = 9,8696 x3 = 7,4022 do đĩ c0 = 6,1685 c1 =−2,4674 c2 = −1,2337 c3 =−2,4674 Vì vậy đa thức lượng giác nội suy là phần thực của đa thức pt( ) =−6,1685 2,4674eit −1,2337ei23t −2,4674ei t (1.138) Cụ thể Re pt( ) = 6,1685 −−2,4674cost 1,2337cos2t−2,4674cos3t Trong hình sau chúng ta sẽ so sánh tín hiệu x(t) và các biểu diễn Fourier với n = 4 và n = 8. 52
Chương 1: Giải tích Fourier 2 Hình 1.16: Biến đổi Fourier của 2πt− túng với n = 4 và n = 16 Kết quả của đồ thị chỉ ra rằng cĩ cản trở đáng kể đối với phép biến đổi Fourier rời rạc đĩ là trong khi đa thức lượng giác nội suy một cách chính xác từ các giá trị mẫu của tín hiệu nhưng dáng điệu dao động cao làm cho chúng vượt xa các điểm mẫu (hình 1.16). Tuy nhiên khĩ khăn này cĩ thể khắc phục được một cách linh hoạt. Vấn đề là ta đã khơng chú ý đầy đủ đến các tần số được biểu diễn trong tổng Fourier (1.134). Hình 1.17 cho ta thấy rằng các hàm mũ cĩ tần số cao và tần số thấp cĩ thể cho cùng dữ liệu mẫu nhưng cĩ sự khác nhau rõ rệt trong khoảng giữa các điểm mẫu. Một nửa các số hạng đầu trong cơng thức tổng Fourier (1.134) cĩ tần số thấp, nửa cịn lại cĩ tần số cao hơn. Ta thay các hàm mũ tần số cao này bằng các hàm mũ tần số thấp hơn tương ứng, như vậy sẽ giảm bớt sự dao động của các hàm mũ. n Cụ thể với 0 <≤k thì e−ikt và ein(−k)t cĩ cùng các giá trị mẫu, nhưng hàm e−ikt cĩ tần 2 số thấp hơn ein(−k)t. Vì vậy ta sẽ thay các hàm mũ trong các số hạng nửa sau của tổng Fourier (1.134) bằng các hàm mũ tương ứng cĩ tần số thấp hơn. Nếu n=2m+1 là một số lẻ thì ta cĩ thể xét đa thức lượng giác nội suy như sau m −−imt it it imt ikt pt()=+c−−mme +c10e +c +c1e + +c e =∑ cke (1.139) km=− Nếu n= 2m là một số chẵn thì ta cĩ thể xét đa thức lượng giác nội suy như sau m−1 −−imt it it i(1m−)t ikt pt( ) =+c−−me +c10e +c +c1e + +cm−1e =∑ cke (1.140) km=− Trở lại ví dụ trên, ta thay đa thức lượng giác nội suy (1.137) bằng đa thức dạng (1.139) pt( ) =−1,2337e−−i2t −2,4674e it +6,1685 −2,4674eit Re pt( ) =−6,1685 4,9348cost−1,2337cos2t (1.141) 53
Chương 1: Giải tích Fourier Hình 1.17 sau đây so sánh đồ thị của hàm gốc 2πt− t2 và các đa thức lượng giác nội suy gồm các hàm mũ tần số thấp ứng với n = 4 và n =16 . 2 Hình 1.17: Biến đổi Fourier tần số thấp của 2πt− t ứng với n = 4 và n = 16 Như vậy, bằng cách sử dụng tần số thấp ta cĩ thể nội suy một hàm cho trước bằng đa thức lượng giác cùng giá trị mẫu. Người ta chứng minh được rằng nếu hàm x(t) liên tục, tuần hồn chu kỳ 2π, và khả vi liên tục từng khúc thì đa thức lượng giác nội suy (1.139)-(1.140) hội tụ đều về x(t) khi số các điểm mẫu n →∞. Trường hợp hàm x(t) khơng liên tục thì xuất hiện hiện tượng Gibbs tại các điểm khơng liên tục. Hình 1.18 sau đây minh họa hiện tượng Gibbs của đồ thị các đa thức nội suy hàm x()t= t ứng với 6, 8 và 16 điểm mẫu. Hình 1.18: Biến đổi Fourier của hàm x()tt= 54
Chương 1: Giải tích Fourier Nén và khử nhiễu Các tín hiệu thực nghiệm, nhiễu cĩ khuynh hướng ảnh hưởng tới các mode tần số cao, trong khi đĩ những đặc điểm chủ yếu thiên về tích lũy ở tần số thấp. Vì vậy, một phương pháp rất đơn giản nhưng hiệu quả để khử tín hiệu nhiễu là phân tích nĩ thành các mode Fourier như cơng thức (1.124) sau đĩ loại trừ các thành phần tần số cao. Điểm chính ở đây là định rõ điểm phân biệt tần số thấp và tần số cao, tức là phân biệt giữa tín hiệu với nhiễu. Sự lựa chọn này phụ thuộc vào tính chất của tín hiệu đo được và đặt nhiệm vụ cho xử lí tín hiệu. Để áp dụng một cách chính xác quy trình khử nhiễu, tốt hơn hết ta sử dụng dạng dao động thấp theo cơng thức (1.139), (1.140) của đa thức nội suy lượng giác, trong đĩ các số hạng tần số thấp xuất hiện khi k nhỏ. Vì vậy, để khử các thành phần tần số cao chúng ta thay tổng đầy đủ bằng l ikt qx()= ∑ cke (1.142) kl=− 1 trong đĩ số l<(1n+) đặc trưng cho điểm phân biệt giữa tần số thấp và tần số cao, các hệ số 2 ck thỏa mãn cơng thức (1.134). Nĩi cách khác, thay vì giữ tất cả n thành phần, thì 21ln+ các mode Fourier tần số thấp thường sẽ đủ để biểu diễn phiên bản khử nhiễu của tín hiệu gốc. Hình 1.19 biểu diễn tín hiệu và tín hiệu bị sai lệch do tác động của nhiễu ngẫu nhiên. Chúng ta dùng n ==28 512 điểm mẫu trong tính tốn. Để khử nhiễu, ta chỉ giữ lại 21l + =11 tần số thấp nhất. Nĩi cách khác thay vì lấy tất cả 512 hệ số Fourier cc−−256, , 1,c0,c1, ,c255 , ta chỉ tính 11 hệ số ứng với tần số thấp nhất cc−55, , . 5 ikt Tổng Fourier tương ứng ∑ cek biểu diễn tín hiệu đã sạch nhiễu. k=−5 Đồ thị cuối cùng biểu diễn đồng thời tín hiệu gốc và tín hiệu đã khử nhiễu. Sự sai lệch giũa hai đồ thị nhỏ hơn 0,15 trên tồn đoạn [0,2π] . Tín hiệu gốc Tín hiệu nhiễu 55
Chương 1: Giải tích Fourier Tín hiệu được khử nhiễu So sánh tín hiệu gốc và tín hiệu đã khử nhiễu Hình 1.19: Khử nhiễu của tín hiệu Chương trình MATLAB dùng lệnh X = fft(x) (1.142) n n để tính DFT (cơng thức (1.135)), trong đĩ xx= và Xc= (cơng thức được tính ứng { j} j=1 { j} j=1 với j =1, ,n thay cho j =−0, ,n 1). x = ifft(X ) (1.143) để tính biến đổi ngược IDFT (cơng thức (1.136)). 56
Chương 2: Wavelet CHƯƠNG 2: WAVELET “Lý thuyết Wavelet” là kết quả của sự nổ lực chung giữa các nhà tốn học, các nhà vật lý và các nhà kỹ thuật đã mang lại. Sự liên kết này đã tạo nên luồng ý tưởng vượt ra khỏi việc xây dựng các cơ sở hoặc các phép biến đổi mới. Stéphane Mallat Giải tích wavelet là một phương pháp mới, mặc dù nền tảng tốn học của nĩ bắt nguồn từ cơng trình của Joseph Fourier thế kỷ 19. Giải tích Fourier phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các sĩng hình sin với nhiều tần số khác nhau. Một cách tương tự, giải tích wavelet phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các phiên bản của wavelet gốc (wavelet mẹ) với các thang độ (scaling) và trễ (shifting) khác nhau. Alfred Haar được xem là người đầu tiên đề cập đến wavelet vào năm 1909, ngày nay người ta gọi các wavelet đĩ là các Haar wavelet. Khái niệm wavelet trình bày dưới dạng lý thuyết như hiện nay lần đầu tiên được Jean Morlet và các đồng nghiệp ở Trung tâm Vật lý lý thuyết Marseille đưa ra. Các phương pháp wavelet được phát triển và ứng dụng một cách nhanh chĩng và hiệu quả, cĩ thể kể đến những đĩng gĩp chính trong lãnh vực này là của Y. Meyer và các đồng nghiệp. Hầu hết các thuật tốn chính ngày nay đang sử dụng đều dựa trên cơng trình của Stephane Mallat 1988 và kể từ đĩ lý thuyết wavelet trở thành lý thuyết cả thế giới quan tâm. Ở Mỹ, một nhĩm các nhà khoa học cĩ nhiều cơng trình liên quan đến lý thuyết wavelet, cĩ thể kể đến như Ingrid Duabechies, Ronald Coifman, và Victor Wickerhauser. Lý thuyết wavelet được phát triển rất nhanh chĩng, các bài báo tốn học và ứng dụng về lý thuyết này được xuất bản hàng tháng. Đã cĩ toolbox wavelet của phần mềm MATLAB, cĩ trang web riêng theo địa chỉ và cĩ Hội wavelet quốc tế. 2.1 HAAR WEVELET Chuỗi Fourier lượng giác là một cơng cụ cực mạnh được sử dụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng cĩ nhược điểm đáng kể, đĩ là: Các hàm cơ bản ekikt =+cos tisin kt xác định và liên tục trên tồn đoạn [−π;π], do đĩ khơng thích nghi tốt với các tín hiệu được địa phương hĩa, trong đĩ ý nghĩa của dữ liệu chỉ tập trung trong miền tương đối nhỏ. Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac δ(t) cĩ giá trị tập trung tại t = 0 . Do đĩ ta cĩ các hệ số Fourier π 11 ct=δ()e−iktdt= (2.1) k 22π ∫ π −π 57
Chương 2: Wavelet và chuỗi Fourier tương ứng 11∞ ∑ eeikt =+() −−2it +eit +1+eit +e2it + (2.2) 22ππk =−∞ làm mất hồn tồn tính chất địa phương chỉ tập trung giá trị tại x = 0 của hàm Dirac. Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao cĩ đủ các tính chất tốt như hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa phương hĩa của các tín hiệu. Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet. Giống như các hàm lượng giác, các hàm wavelet cĩ bản sao rời rạc nhận được bằng cách lấy mẫu. Phép biến đổi wavelet rời rạc cĩ thể tính tốn một cách nhanh chĩng, do dĩ rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp và các dữ liệu ảnh nhiều chiều. Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà tốn học Hungary) giới thiệu năm 1910. Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), xác định như sau ϕ=1()tϕ()t≡1, 0≤ t ≤ 1, (2.3) 58
Chương 2: Wavelet Hàm Haar wavelet thứ hai gọi là wavelet mẹ (mother wavelet) ⎧ 10<<t 1/2 ϕ=2()ttω()=⎨ (2.4) ⎩−11/2<<t 1 Giá trị của hàm ω(t) tại những điểm rời rạc khơng quan trọng lắm, nhưng tương tự trường 1 hợp khai triển Fourier ta quy ước cho ω()t = 0 tại các điểm t = 0, ,1. 2 Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet mẹ, được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau ⎧ 10<<t 1/4 ⎧ 00<<t 1/2 ⎪ ⎪ ϕ=3()tt⎨−1 1/4<<1/2 ϕ=4()tt⎨ 1 1/2<<3/4 (2.5) ⎪ ⎪ ⎩ 01/2<<t 1 ⎩−<13/4t <1 Hàm scaling ϕ(t) và wavelet mẹ ω(t) được mở rộng lên tồn bộ tập số thực bằng cách cho nhận giá trị 0 bên ngồi khoảng cơ bản: ⎧ 10<<t 1/2 ⎧10<<t 1 ⎪ ϕ=()t ⎨ ω=()tt⎨−1 1/2<<1 (2.6) ⎩0 nÕu ng−ỵc l¹i ⎪ ⎩0 nÕu ng−ỵc l¹i Khi đĩ ta cĩ các biểu diễn khác ϕ=()ttη()−η(t−1) (2.7a) ω=()ttϕ(2)− ϕ(2t−=1) η(t)− 2η(t−+1/2) η(t−1) (2.7b) ϕ=3()ttω(2), ϕ4()t=ω(2t−1) (2.7c) Trong khơng gian các hàm xác định trong đoạn [0,1] ta xét tích vơ hướng L2 xác định như sau 1 x,(yx= ∫ t)y(t)dt. (2.8) 0 Với tích vơ hướng này ta cĩ thể kiểm tra được 4 hàm Haar wavelet trực giao nhau. Hiển nhiên các hàm Haar wavelet cĩ thể rời rạc hĩa như sau. Nếu ta chia đoạn [0,1] thành 4 khoảng: ⎛⎞1 ⎛⎞11 ⎛⎞13 ⎛⎞3 ⎜⎟0, ⎜⎟, ⎜⎟, ⎜⎟,1 (2.9) ⎝⎠4 ⎝⎠42 ⎝⎠24 ⎝⎠4 trên mỗi khoảng các hàm Haar wavelet nhận giá trị khơng đổi, do đĩ ta cĩ thể biểu diễn mỗi hàm tương ứng với một véc tơ của 4 mà mỗi thành phần là giá trị của hàm Haar wavelet trong các khoảng này. Như vậy ta cĩ 4 véc tơ wavelet mẫu 59
Chương 2: Wavelet v1 = ()1,1,1,1 , v2 =−()1,1, 1, −1 , v3 =−(1, 1, 0, 0 ), v4 = (0,0,1, −1) (2.10) 1 Tạo thành một cơ sở trực giao wavelet của 4 với tích vơ hướng trọng số trung bình xác định 4 như sau: 11 x = ()x ,,xx,x, y = ()yy,,y,y ; xy; =+()x yxy+xy+xy (2.11) 1234 1234 4411 2 2 33 4 4 Nếu x()tx∼ x = (12,x,x3,x4) và yy()∼ y = (y1,y2,y3,y4) là hai hàm nhận giá trị hằng trong các khoảng trên, khi đĩ L2 tích vơ hướng của xt() và yt() và 1 tích vơ hướng trong 4 với trọng số trung bình của x = (,x xx, ,x) và y = (,yy,y,y) 4 1234 1234 bằng nhau. 1 11 x;(y==xt)y(t)dt (xy+xy +xy+xy)=xy; (2.12) ∫ 4411 22 33 44 0 Như vậy L2 tích vơ hướng (2.8) của hai hàm xt(), yt() hằng trong các khoảng (2.9) bằng tích vơ hướng trung bình trong 4 của véc tơ cĩ các thành phần là mẫu của xt(), yt(). Nĩi cách khác tương ứng: x()tx f = (1,x2,x3,x4) là một ánh xạ đẳng cự giữa các hàm nhận giá trị hằng trong các khoảng dạng (2.9) và các véc tơ của 4 . Từ tính chất biểu diễn duy nhất của véc tơ bất kỳ của 4 thành tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trực giao (2.10) ta cũng cĩ cách biểu diễn duy nhất tương ứng của các hàm nhận giá trị hằng trong các khoảng (2.9) theo cơ sở các hàm Haar wavelet: x()t=c1ϕ1()tc+ϕ22()tc+3ϕ3()tc+ϕ44(t) Véc tơ mẫu tương ứng x=+cc11v2vvv2+c33+c4 4 Trong đĩ các hệ số được tính như sau x;;ϕ xv c ==kk (2.12) k 22 ϕkkv Áp dụng cơng thức (2.11) ta tính được 1 1 cx=+()x+x+x, cx=−()x 14 1234 32 12 60
Chương 2: Wavelet 1 1 cx=+()x−x−x, cx=−()x 214 234 42 34 Định nghĩa 2.1: Giá của hàm x(t) xác định trong miền I , ký hiệu supp x , là bao đĩng của tập {tI∈ :(xt)≠ 0}. Nhận xét 2.1: Từ định nghĩa trên ta cĩ thể suy ra các kết quả sau: 1) Nếu xa()≠ 0 thì ax∈supp . 2) a∈supp x khi và chỉ khi tồn tại dãy tan → và xt()n ≠ 0. 3) a∉supp x khi và chỉ khi xt()≡ 0 trong một lân cận nào đĩ của a . Một cách trực quan ta thấy rằng giá của hàm càng bé thì tính chất địa phương hĩa càng cao. Chẳng hạn giá của hàm Haar wavelet mẹ: suppω=[0,1] 1 (mặc dù ω()t =0 tại các điểm x = 0, ,1 nhưng cĩ giới hạn khác 0 tại những điểm này) 2 Giá của các hàm Haar wavelet con ϕ3(t), ϕ4 (t): ⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤ suppϕ=3 0, , suppϕ=4 ,1 ⎣⎢ 2⎦⎥ ⎣⎢2 ⎦⎥ suppϕ⊂3 suppω, suppϕ4 ⊂ωsupp Như vậy giá trị của hai hàm Haar wavelet con cĩ tính chất địa phương hĩa cao hơn hàm Haar wavelet mẹ. Trường hợp đặc biệt hàm δ(t) cĩ giá là một điểm trong khi đĩ giá của các hàm lượng giác Fourier là đoạn []−π,π . Chúng ta cĩ thể tịnh tiến và phân bậc giá của các hàm theo cách sau: ⎡ab+ δ+δ⎤ supp x = [ab, ] ⇒=supp y , với yt()= x(rt−δ) (2.13) ⎣⎢ rr⎦⎥ 1 Như vậy nếu phân bậc giá trị đối số t theo hệ số r thì giá của hàm bị nén theo hệ số . r Sự phân bậc (scaling) Sự phân bậc của hàm wavelet được hiểu một cách đơn giản là sự kéo dài hoặc nén lại. 61
Chương 2: Wavelet x()tt= sin ; a=1 1 xt()= sin2t; a= 2 1 xt()= sin4t; a= 4 1 1 Hình 2.2: Đồ thị của hàm x(tt)= sin ứng với các hệ số phân bậc a =1, a = , a = 2 4 Hệ số phân bậc càng nhỏ thì hàm càng được nén nhiều hơn. xt()= ψ=()t ; a 1 1 xt()= ψ=(2t); a 2 1 xt()= ψ=(4t); a 4 1 Hình 2.3: Đồ thị của hàm x()t= ψ()tứng với các hệ số phân bậc a =1, a = , 2 Đối với hàm sin ωt hệ số phân bậc là nghịch đảo của tần số gĩc ω. Đối với hàm wavelet hệ số phân bậc liên quan đến tần số của tín hiệu. 62
Chương 2: Wavelet Sự tịnh tiến theo thời gian (shifting) Sự tịnh tiến theo thời gian của các hàm wavelet được hiểu một cách đơn giản là trễ hoặc đến sớm của tín hiệu. Hàm wavelet ψ(t) Hàm wavelet trễ ψ−(tk) Hình 2.4 Địi hỏi then chốt của một cơ sở wavelet là phải chứa các hàm với giá bé tùy ý. Cơ sở các hàm Haar wavelet đầy đủ như thế cĩ thể nhận được từ hàm Haar wavelet mẹ bằng phép tịnh tiến và phân bậc giá. Chúng ta bắt đầu từ hàm scaling ϕ(t). Với mỗi số tự nhiên j ≥ 0 , trước hết ta nén hàm Haar wavelet mẹ sao cho giá của nĩ là khoảng cĩ độ dài bằng 2− j : ω=()tω(2j t), cĩ giá supp w = ⎡0, 2− j ⎤ . j,0 j,0 ⎣ ⎦ j − j Tiếp tục dịch chuyển ω j,0 để lấp đầy đoạn [0,1] bởi 2 đoạn con mà mỗi đoạn cĩ độ dài 2 , bằng cách xác định j j ω=jk,,()ttωj0( −k)=ω(2 t−k), trong đĩ k = 0,1, ,2 −1. (2.14) Áp dụng cơng thức (2.13) ta cĩ 21j − suppω=⎡⎤2−−jjk, 2 (k+1) , do đĩ suppω=0, 1 (2.15) jk, ⎣⎦∪ jk, [] k =0 Trường hợp j = 0 các hàm xác định theo cơng thức (2.14) chỉ bao gồm hàm Haar wavelet mẹ ω0,0()tt=ω(). Trường hợp j =1 cơng thức (2.14) xác định hai hàm Haar wavelet con ϕ3(x) và ϕ4(x) ω=1,0 ()ttω(2), ω1,1()tt=ω(2 −1). Trường hợp j = 2 cơng thức (2.14) xác định bốn cơ sở: 63
Chương 2: Wavelet ω=2,0()ttω(4), ω=2,1()ttω(4 −1), ω2,2()tt=ω(4 −2), ω2,3()tt=ω(4 −3). Tám hàm Haar wavelet ϕ , ω0,0 , ω1,0 , ω1,1 , ω2,0 , ω2,1 , ω2,2 , ω2,3 nhận giá trị hằng 1 trên 8 khoảng cĩ độ dài , với giá trị mẫu tương ứng là các cột của ma trận 8 ⎡⎤11101000 ⎢⎥ ⎢⎥11 1 0−10 0 0 ⎢⎥11−10 0 1 0 0 ⎢⎥ 11−−10 0 10 0 W = ⎢⎥ 8 ⎢⎥11− 010010 ⎢⎥ ⎢⎥11−−0100 10 ⎢⎥11−−0 10001 ⎢⎥ ⎣⎦⎢⎥11−−0 1000−1 8 Cĩ thể kiểm tra được các cột của ma trận W8 tạo thành hệ véc tơ trực giao của khơng gian . Định lý 2.1: Hàm Haar wavelet ϕ(t) và các hàm ω jk, (t) tạo thành hệ trực giao theo tích vơ hướng (2.8). − j−1 Chứng minh: Theo cơng thức (2.8) hàm ω jk, (t) nhận giá trị 1 trong khoảng cĩ độ dài 2 và nhận giá trị −1 trong khoảng cũng cĩ độ dài 2− j−1. Vậy 1 ωϕjk,;=∫ωj,k(td)t=0 (2.16) 0 Với hai hàm ω jk, (t), ωlm, (t), giả sử j ≤ l , khi đĩ giá của chúng hoặc rời nhau hoặc giá của ωlm, (t) chứa trong giá của ω jk, (t). Trường hợp giá rời nhau thì ωωjk,,()tlm()t≡0 do đĩ 1 ωωjk,,;(lm =∫ωjk,tt)ωl,m()dt=0. 0 Trường hợp giá của ωlm, (t) chứa trong giá của ω jk, (t) thì giá của ωlm, (t) chứa trong khoảng mà ω jk, (t) nhận giá trị 1 hoặc −1, vì vậy ω j,,k()ttω=lm() ±ωlm,(t). Theo cơng thức (2.16) ta cĩ 11 ωωjk,,;(lm =∫∫ωjk,tt)ωl,m()dt=±ωl,m(t)dt=0 00 Hơn nữa ta cĩ 64
Chương 2: Wavelet 1 1 2 2 2 − j ϕ=∫ dt =1, ω=jk,,∫ωjk()tdt=2 (2.17) 0 0 Trên cơ sở hệ trực giao ϕ(t) và các hàm ω jk, (t) ta cĩ thể định nghĩa chuỗi wavelet của tín hiệu xt(): ∞−21j x()tc∼ 0,ϕ+()t∑∑cjkωj,k()t (2.18) jk==00 Các hệ số được tính theo cơng thức sau: 1 22−−jjk+ −1 2(− j k+1) x;ϕ x;ω jk, cx==()tdt, c ==2(jxtd)t−2jx(td)t (2.19) 0 2 ∫ jk, 2 ∫∫ ϕ 0 ω jk, 22−−jjkk+2−j−1 2.2 DAUBECHIES WAVELET Hệ các hàm Haar wavelet là các hàm hằng trong các đoạn, vì vậy khi sử dụng chúng để biểu diễn các tín hiệu liên tục sẽ gặp trở ngại lớn, đây là một yếu điểm của phương pháp này. Chẳng hạn với hàm tuyến tính đơn giản x = at + b cũng địi hỏi cần nhiều giá trị mẫu, vì vậy cần số lượng lớn các hàm Haar wavelet để biểu diễn. Đặc biệt thuật tốn nén và khử nhiễu trên cơ sở hàm Haar wavelet hoặc thiếu chính xác hoặc kém hiệu quả, do đĩ ít được sử dụng trong thực tế. Trong một thời gian dài người ta nghĩ rằng địi hỏi cùng lúc về tính địa phương hĩa cao, tính trực giao và biểu diễn chính xác các tín hiệu của các hàm đơn giản là khơng thể đồng thời thỏa mãn. Tuy nhiên đến năm 1988 trong luận án của mình nhà tốn học Bỉ, Ingrid Daubechies đã giới thiệu ví dụ thứ nhất của các hàm wavelet cơ sở thỏa mãn đồng thời ba tiêu chuẩn trên. Trong những năm sau đĩ, các hàm wavelet đã được phát triển và áp dụng trong ngành cơng nghiệp cơng nghệ cao. Một số ứng dụng cĩ ý nghĩa của các hàm wavelet hiện đại cĩ thể kể đến là nén các dữ liệu vân tay của FBI, format ảnh kiểu mới JPEG2000 khơng giống với chuẩn JPEG đã sử dụng phương pháp Fourier. Cơng nghệ wavelet cịn được kết hợp chặt chẽ với kỹ thuật nén và khơi phục ảnh. Hình 2.5: Hàm“hat” 65
Chương 2: Wavelet Trong mục này chúng ta trình bày một cách ngắn gọn ý tưởng cơ bản theo cách xây dựng các hàm của Daubechies. Lược đồ chung xây dựng một hệ các hàm wavelet bất kỳ đều bắt nguồn từ hai hàm cơ bản là hàm scaling và hàm wavelet mẹ, sau đĩ tiếp tục theo dạng cơng thức (2.7b) (2.15). Vì vậy chỉ cần tập trung vào tính chất của hàm scaling. Hàm scaling phải thỏa mãn phương trình giản cĩ dạng p ϕ(tc) =∑ kpϕ−(2tk) =c01ϕ(2t) +cϕ(2t−1) + +cϕ−(2tp) (2.20) k =0 Từ tính chất trực giao và địa phương hĩa cĩ thể suy ra giá trị các hằng số c0 , c1, , cp . Ví dụ 2.1: Hàm Haar scaling theo cơng thức (2.6) thỏa mãn cơng thức (2.20) với cc01==1, cụ thể ϕ=()ttϕ(2)+ϕ(2t−1) (2.21) Hàm “hat” , hình 9.2, cĩ cơng thức xác định ảnh ⎧ tt01≤≤ ⎪ ϕ=()tt⎨2− 1≤t≤2 (2.22) ⎪ ⎩0 nÕu ng−ỵc l¹i Cĩ thể kiểm tra được, hàm “hat” thỏa mãn phương trình (2.20) với các hệ số 1 cc==, c = 1, tức là 022 1 11 ϕ=()ttϕ(2)+ϕ(2t−1)+ϕ(2t−2) (2.23) 22 Cần chú ý rằng phương trình giản (2.20) là phương trình hàm, việc giải phương trình dạng này hồn tồn khơng đơn giản, ngay cả chứng minh tồn tại nghiệm cũng rất khĩ khăn. Từ một nghiệm của phương trình giản, ta xây dựng wavelet mẹ dưới dạng mở rộng cơng thức (2.7a) của hàm Haar wavelet như sau p k ω=(tc) ∑(−1) pk−−ϕ(2t−k) =cpϕ(2t) −cp12ϕ(2t−1) +cp−ϕ(2t−2) + ±c0ϕ(2t−p) (2.24) k=0 Các wavelet con cĩ được bằng cách phân bậc và tịnh tiến của hàm wavelet mẹ theo cơng thức (2.15) j ω=jk, ()ttω(2 −k) (2.25) Trong mơ hình tổng quát, chúng ta khơng cần phải hạn chế xét trong khoảng [0,1] vì vậy với mỗi j ≥ 0 thì k trong cơng thức (2.25) là số nguyên tùy ý. 66
Chương 2: Wavelet Tính chất địa phương hĩa của wavelet địi hỏi hàm scaling cĩ giá bị chặn, nghĩa là ϕ()t ≡0 với mọi giá trị t ngồi đoạn [ab, ] nào đĩ. Tích phân hai vế của cơng thức (2.20) ta được b ∞∞p ∫∫ϕ=()tdt ϕ=()tdt ∑ ck ∫ϕ(2t−k)dt (2.26) a −∞ k =0 −∞ Đổi biến số ut=2 −k trong các tích phân cuối, ta được ∞∞b 11 ϕ−(2t k)dt = ϕ(u)du = ϕ(u)du (2.27) ∫∫22∫ −∞ −∞ a Từ (2.26), (2.27) nhận được cc01+ ++ cp =2 (2.28) Ví dụ 2.2: Áp cơng thức (2.28) vào phương trình giản đơn giản nhất ta được ϕ()tt= 2ϕ(2) (2.30) trong đĩ chỉ cĩ duy nhất hệ số khác 0 là c0 = 2 . Với sai khác một hằng số nhân, phương trình 1 (2.30) cĩ nghiệm duy nhất với giá bị chặn là hàm δ(t). Các nghiệm khác, chẳng hạn ϕ()t =, t cĩ giá khơng bị chặn, khơng phải là hàm địa phương hĩa. Vì vậy khơng được dùng để xây dựng các hàm wavelet. Điều kiện trực giao được xét với L2 tích vơ hướng ∞ x,yx= ∫ (t)y(t)dt −∞ Cĩ thể chứng minh được rằng tính chất trực giao của hệ các hàm wavelet mẹ (2.24) và các wavelet con (2.25) xây dựng từ hàm scaling thỏa mãn phương trình giản (2.20) được suy ra từ tính chất trực giao của hàm scaling khi tịnh tiến đối số theo mọi số nguyên tùy ý ϕϕ()tt; ( −m) =0 với mọi m ≠ 0 (2.31) Thay điều kiện (2.31) vào các phương trình (2.20)-(2.24)-(2.25) ta suy ra ⎧20nÕu m = ∑ cc2mk+ k= ⎨ (2.32) 02≤≤kp−m ⎩00 nÕu m ≠ Phương trình (2.28) và (2.32) là địi hỏi cơ bản để xác định cơ sở các wavelet trực giao. Chẳng hạn, phương trình (2.28) và (2.32) với hai hệ số khác khơng c0 , c1 tương ứng là 22 cc01+ = 2 , cc01+ = 2. 67
Chương 2: Wavelet Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm duy nhất cc01= =1, dẫn đến phương trình giản Haar (2.7b). Trường hợp cĩ ba hệ số khác khơng c0 , c1 , c2 phương trình (2.28) và (2.32) trở thành 222 cc01+ +c2=2 , ccc01+ +2=2, cc02= 0 . Hệ phương trình cĩ nghiệm hoặc cc01==1, c2 = 0 hoặc c0 = 0 , cc12= =1, cả hai kết quả này đều suy ra phương trình giản Haar (2.7b). Đặc biệt hàm “hat” (2.22) khơng sinh ra hệ wavelet trực giao (khơng thỏa mãn điều kiện (2.31)). Phương trình (2.28) và (2.32) với bốn hệ số khác khơng c0 , c1 , c2 , c3 2222 cc01++c2+c3=2, cccc01+ ++23=2 , cc02+ c1c3= 0. Daubecchies đã tìm được nghiệm khơng tầm thường của hệ phương trình trên là 13+ 33+ 33− 13− c = , c = , c = , c = (2.33) 0 4 1 4 2 4 3 4 Phương trình giản Daubechies tương ứng 13++33 3−3 1−3 ϕ()tt= ϕ(2)+ ϕ−(2t1)+ ϕ(2t−2)+ ϕ(2t−3) (2.34) 44 4 4 Giải phương trình giản Ta tìm nghiệm của phương trình giản (2.20) bằng cách tìm điểm bất động ϕ = F(ϕ) của tốn tử F trong khơng gian vơ hạn chiều của các hàm số. Để tìm điểm bất động ϕ = F(ϕ) ta xuất phát từ hàm Haar scaling (hàm hộp) ⎧10<<t 1 ϕ=0()t ⎨ ⎩0 nÕu ng−ỵc l¹i Bằng quy nạp ta được p ϕ=n+1()tc∑ kϕn(2t−k), n = 0,1, 2, (2.35) k=0 Định lý 2.2: Dãy hàm ϕn (t) xác định bởi (2.35) hội tụ đều về hàm ϕ()t thỏa mãn phương trình (2.20) và được gọi là hàm scaling Daubecchies. Hình sau là đồ thị của 6 hàm ϕ0 ()t , ϕ1(t), , ϕ5(t) xác định bởi (2.35) với các hệ số thỏa mãn (2.33). 68
Chương 2: Wavelet Hình 2.6: Đồ thị của các hàm ϕ ()t , ϕ (t), , ϕ (t) 0 1 5 Tính chất trực giao của hệ các hàm Daubechies wavelet (hàm scaling thỏa mãn phương j trình giản (2.20), wavelet mẹ (2.24) và các wavelet con ω jk, =ω(2 t−k) , j ≥ 0 ) với các hệ số ck thỏa mãn phương trình (2.28) và (2.32) được suy ra từ tính chất trực giao tịnh tiến nguyên của hàm Daubechies scaling (2.31). Mặt khác theo cách tìm hàm Daubechies scaling ϕ(t) theo Định lý 2.1 ta lại thấy: • Hàm Haar scaling ϕ0 (t) thỏa mãn trực giao tịnh tiến nguyên ϕϕ00()tt; ( −k) =0 với mọi k =±±1, 2, • Bằng quy nạp ta cũng cĩ ϕϕnn++11()tt; ( −k) =0 với mọi k =±±1, 2, 2 22 ϕ0 =1 và ϕnn+1 =ϕ Suy ra hàm Daubechies scaling ϕϕ()tt; ( −k) =0 với mọi k =±±1, 2, và ϕ2 =1. 2 − j Từ cơng thức (2.25) ta cũng cĩ ωjk, =2 . Hàm Daubechies wavelet mẹ tương ứng với các hệ số (2.33) và hàm scaling (2.34) 13−−33 3+3 1+3 ω()ttt= ϕ(2)− ϕ−(2 1)+ ϕ(2t−2)− ϕ(2t−3) (2.36) 44 4 4 Giá của hàm Daubechies scaling ϕ(t) và wavelet mẹ ω(t) suppϕ=suppω=[0,3]. Khai triển Daubechies wavelet của hàm cĩ giá chứa trong khoảng [0,3] cĩ dạng ∞−21j x()tc∼ 0ϕ+()t∑∑cjk,ωj,k()t (2.37) jk==00 69
Chương 2: Wavelet Các hệ số c0 , c j,k được tính dựa vào tính chất trực giao của hệ các hàm Daubechies wavelet, 3 cx0 =ϕ;(=∫ xt)ϕ(t)dt, (2.38a) 0 2(− j k+3) 3 j− j cjk,,=ωx; jk =2 ∫∫x()tωj,k()tdt=x(2 (t+k))ωj,k(td) t (2.38b) 2− j k 0 Hình 2.7: Đồ thị của hàm Daubechies scaling ϕ()t và wavelet mẹ ω()t Trong trường hợp hàm cần khai triển cĩ giá lớn hơn khoảng [0,3] , người ta thêm vào khai triển các số hạng tương ứng bằng cách tịnh tiến các wavelet cĩ giá chứa giá của hàm cần khai triển. Hoặc theo cách ngược lại, người ta đổi biến để đưa giá của hàm cần khai triển chứa trong khoảng [0,3] . 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET Phép biến đổi Wavelet được Morlet và cộng sự giới thiệu từ những năm 80 của thế kỷ 20, trong đĩ ơng ta đã sử dụng phép biến đổi Wavelet để đánh giá các dữ liệu địa chấn. Kể từ đấy nhiều dạng khác nhau của phép biến đổi Wavelet được phát triển và cĩ nhiều ứng dụng. Phép biến đổi Wavelet thời gian liên tục cịn được gọi là phép biến đổi Wavelet tích phân (integral wavelet transform, viết tắt IWT), đã được ứng dụng trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên, dạng thơng dụng nhất là phép biến đổi Wavelet rời rạc (discrete wavelet transform, viết tắt DWT), được sử dụng trong lĩnh vực kỹ thuật bao gồm nén ảnh, khử nhiễu, tính tích phân số, và nhận dạng. 2.3.1 Phép biến đổi Wavelet thời gian liên tục Biến đổi Wavelet Wbx (,a) của tín hiệu thời gian liên tục xt() được định nghĩa theo cơng thức sau 70
Chương 2: Wavelet ∞ 1 ⎛tb− ⎞ Wbx (,a)=x(t)Ψ⎜⎟dt (2.39) ∫ a a −∞ ⎝⎠ trong đĩ ψ(t) là wavelet. Nếu ψ(t) là đáp ứng xung băng thơng thì phân tích Wavelet được xem là phân tích băng thơng. Sự thay đổi của tham số a kéo theo sự thay đổi tần số trung tâm và độ rộng băng thơng. Sự biến thiên của b mang ý nghĩa sự chuyển dịch theo thời gian, vì vậy với mỗi a cố định cơng thức (2.39) cĩ thể xem là tích chập của xt() với nghịch đảo thời gian và hàm wavelet được chỉnh lại: 1 ⎛⎞−t Wtxa(,a)=∗x(t) Ψ(t), Ψ=a ()t Ψ⎜⎟. a ⎝⎠a 1 1 ⎛⎞t Nhân tử được đưa vào cơng thức trên là để đảm bảo cho mọi hàm được chỉnh Ψ ⎜⎟ a a ⎝⎠a với a ∈ cĩ cùng năng lượng. Khác với phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (short-time Fourier transform viết tắt STFT) gọi là phân tích thời gian – tần số, phân tích wavelet được gọi là phân tích thời gian – phân bậc, vì hàm wavelet cĩ tính phân bậc. Tương tự phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace ta cần tìm điều kiện để phép biến đổi Wavelet cĩ biến đổi ngược. Người ta chứng minh được rằng điều kiện để cĩ biến đổi Wavelet ngược là 2 ∞ Ψ()f C= df<∞ (2.40) ψ ∫ f −∞ trong đĩ Ψ(f ) là biến đổi Fourier của wavelet ψ (t). Dĩ nhiên để thỏa mãn điều kiện (2.40) hàm wavelet phải thỏa mãn ∞ Ψ(0) = ∫ ψ (td) t= 0 (2.41) −∞ 2.3.2 Tính biến đổi Wavelet dựa vào biến đổi Fourier Ký hiệu 1 ⎛t− b⎞ ψ ab, ()t = ψ ⎜⎟ (2.42) a ⎝⎠a Phép biến đổi Wavelet của hàm xt() trong cơng thức (2.39) cĩ thể viết dưới dạng tích vơ hướng Wbx(,a)= x(t);ψ b,a(t) (2.43) Áp dụng đẳng thức Parceval ta được 71
Chương 2: Wavelet ∞∞ ib2π f Wx (b,a)==X(f);ΨΨba,,()f ∫Xf() ba()fdf=a∫Xf()Ψ(af)e df (2.44) −∞ −∞ 2.3.3 Các wavelet phân tích thời gian – phân bậc Phân tích thời gian – phân bậc là một trong những mục đích mà phép biến đổi Wavelet cĩ lợi thế. Các wavelet giải tích là đặc biệt phù hợp cho mục đích này. Cũng giống như phân tích tín hiệu, chỉ chứa các tần số dương. Nĩi cách khác biến đổi Fourier của các wavelet giải tích ψ ba, (t) thỏa mãn Ψba, (f ) với mọi f ≤ 0 (2.45) Xét tín hiệu x()t=cos2πf0 t cĩ biến đổi Fourier tương ứng 11 x()tf=πcos2 t ↔δ()f −f+δ(f+f) (2.46) 0 2200 Theo cơng thức (2.44) ta cĩ ∞∞1 W (,b a)==a X (f )ΨΨ(af )eib22ππfdf a ()δ(f −f )+δ(f +f )(af )eibfdf x ∫∫2 00 −∞ −∞ 1 ib22π−f iπbf =+aa⎡⎤ΨΨ()fe00(−af)e 2 ⎣⎦⎢⎥00 Vậy với wavelet giải tích ta cĩ 1 ib2π f Wb(,a)= aΨ(af)e 0 (2.47) x 2 0 Vì đối số của hàm mũ trong cơng thức (2.47) chỉ phụ thuộc b , tần số của xt() cĩ thể suy ra từ pha của Wbx (,a). Cường độ của Wbx (,a) độc lập với b , do đĩ biên độ của xt() cĩ thể xem là độc lập với thời gian. Điều này cĩ nghĩ là cường độ của Wbx (,a) biểu diễn trực tiếp phân bố thời gian – tần số của năng lượng tín hiệu. Wavelet Morlet Wavelet phức cĩ dạng cải tiến từ hàm Gaus như sau được gọi là Wavelet Morlet if2π t 22 ψ ()te= 0 e−β t /2 (2.48) Chú ý rằng Wavelet Morlet khơng thỏa mãn điều kiện tồn tại phép biến đổi Wavelet ngược (2.40) mà chỉ thỏa mãn dưới dạng xấp xỉ. Tuy nhiên bằng cách chọn các tham số f0 và β trong cơng thức (2.48) thì điều kiện (2.40) của wavelet Morlet cĩ thể chấp nhận được. Chẳng hạn, ta cĩ phép biến đổi Fourier của Wavelet Morlet 2π −π2(22ff− )/β2 Ψ()fe=>0 0, với mọi f (2.49) β 72
Chương 2: Wavelet −9 Bằng cách chọn f0 ≥β ta cĩ Ψ()f ≤⋅2,710 với mọi f ≤ 0 . 2.3.4 Cơng thức phép biến đổi Wavelet ngược Để tìm cơng thức phép biến đổi Wavelet ngược, trước hết ta xác định cơng thức tích vơ hướng của hai tín hiệu xt() và yt() theo biến đổi Wavelet 1 ∞∞ dadb xy;(= W b,a)W(b,a) (2.50) C ∫∫ xy 2 ψ −∞ −∞ a trong đĩ Cψ thỏa mãn điều kiện (2.40). −1 Ký hiệu pba ()= F {X(f)Ψ(af)} Từ cơng thức (2.44) ta cĩ ∞ ib2π f Wbxa(,a)==a∫ X(f)Ψ(af)e df ap(b) −∞ −1 Tương tự, ký hiệu qba ()= F {Y(f)Ψ(af)} ∞ ib2π f Ta được Wbya(,a)==a∫ Y(f)Ψ(af)e df aq(b) −∞ Thay vào vế phải của cơng thức (2.50) ta được ∞∞ dadb ∞ 11∞ ∞ W (b,a)W (b,a) ==p ()b q ()b dbda p ;q da ∫∫ xy 2 ∫||aa∫ aa ∫|| aa −∞ −∞ a −∞ −∞ −∞ 2 ∞∞∞Ψ()aν 1 ==PQa;(da Xν);Y(ν)dadν ∫∫||aaa ∫ −∞ −∞ −∞ 22 ∞∞ΨΨ()afν () Đổi biến số f =aν ta cĩ ddν= f=C. ∫∫afψ −∞ −∞ Thay vào cơng thức trên ta được ∞∞ dadb ∞ ∞ Wb( ,a)W(b,a) =νC XY( ) (ν)dν=C x()ty()tdt=C x;y. ∫∫ xy 2 ψψ∫ ∫ ψ −∞ −∞ a −∞ −∞ Như vậy ta đã chứng minh xong cơng thức (2.50). Xét trường hợp đặc biệt yt(')=δ(t'−t)=δt ('t) 73
Chương 2: Wavelet ∞ x;(δ=t ∫ xt')δ(t'−t)=x(t) (2.51) −∞ Thay vào cơng thức (2.50) ta được ∞∞ ∞ 11⎛⎞t '− b da db xW;(δ=txb,a)δ−(t't)ψ⎜⎟dt' (2.52) Ca∫∫ ∫ 2 ψ −∞ −∞ ||a −∞ ⎝⎠a Từ (2.51) và (2.52) ta được ∞∞ 11⎛⎞t − b da db xt()=ψWx (b,a) ⎜⎟ (2.53) Ca∫∫ 2 ψ −∞ −∞ ||a ⎝⎠a 74
Chương 3: Phép biến đổi Laplace CHƯƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Nhiều vấn đề trong kỹ thuật, trong điện tử viễn thơng, trong lý thuyết mạch , đưa về giải các phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân của các hàm nào đĩ, nghĩa là phải giải các phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng. Việc giải trực tiếp các phương trình này nĩi chung rất khĩ. Kỹ sư Heaviside là người đầu tiên đã vận dụng phép biến đổi Laplace để giải quyết các bài tốn liên quan đến mạch điện. Phép biến đổi Laplace cĩ vai trị quan trọng trong lý thuyết điều khiển, phân tích các hệ tuyến tính, điện tử và trong nhiều lãnh vực khác của khoa học và kỹ thuật. Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm gốc theo biến t thành hàm ảnh theo biến s . Với phép biến đổi này việc tìm hàm gốc thoả mãn các biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng ) được quy về tính tốn các biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm. Trong mục ta này giải quyết hai bài tốn cơ bản của phép biến đổi Laplace là tìm biến đổi thuận, biến đổi nghịch và một vài ứng dụng của nĩ. Các hàm số trong chương này được ký hiệu là x(t), y(t), thay cho f (x), g(x), , vì x(t), y(t) được ký hiệu cho các tín hiệu phụ thuộc vào thời gian t . 3.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE THUẬN 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 3.1: Giả sử x(t) là hàm số thực xác định với mọi t > 0 . Biến đổi Laplace của hàm số x(t) được định nghĩa và ký hiệu: ∞ L {}x(t) = X (s) = ∫ e−st x(t)dt (3.1) 0 Trong cơng thức (3.1) x(t) được gọi là hàm gốc, X (s) được gọi là hàm ảnh của phép biến đổi. Phép biến đổi Laplace của hàm số x(t) được gọi là tồn tại nếu tích phân (3.1) hội tụ với giá trị s trong miền nào đĩ. Trường hợp ngược lại ta nĩi phép biến đổi Laplace của hàm số x(t) khơng tồn tại. 75
Chương 3: Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh X (s) là thực hay phức. Theo thĩi quen người ta thường ký hiệu các hàm gốc bằng các chữ bé x(t), y(t), cịn các biến đổi của nĩ bằng các chữ in hoa X (s), Y (s), Đơi khi cũng được ký hiệu bởi ~x(s), ~y(s), 3.1.2 Điều kiện tồn tại Định nghĩa 3.2: Hàm biến thực x(t) được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn 3 điều kiện sau: 1. x(t) = 0 với mọi t 0, α0 ≥ 0 sao cho x()tM≤ eα0t ,∀>t0. (3.2) α0 được gọi là chỉ số tăng của x(t) . Rõ ràng α0 là chỉ số tăng thì mọi số α1> α0 cũng là chỉ số tăng. Ví dụ 3.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function) ⎧ 00nÕu t < η=()t ⎨ (3.3) ⎩10nÕu t ≥ Hàm bước nhảy đơn vị η(t) liên tục với mọi t ≥ 0 , khơng tăng hơn ở mũ với chỉ số tăng α0 = 0 . Ví dụ 3.2: Các hàm sơ cấp cơ bản x(t) đều liên tục và khơng tăng nhanh hơn hàm mũ. Nhưng vẫn chưa phải là hàm gốc vì khơng thoả mãn điều kiện 1. của định nghĩa 3.2. Tuy nhiên hàm số sau: ⎧ 00nÕu t < xt()η=()t ⎨ (3.4) ⎩ xt() nÕu t≥ 0 là một hàm gốc. Định lý 3.1: Nếu x(t) là hàm gốc với chỉ số tăng α0 thì tồn tại biến đổi Laplace 76
Chương 3: Phép biến đổi Laplace ∞ L {}x(t) = X (s) = ∫ e−st x(t)dt 0 xác định với mọi số phức s=α+iβ sao cho α >α0 và lim X (s) = 0 . Re(s)→∞ Hơn nữa hàm ảnh X (s) giải tích trong miền Re(s) >α0 với đạo hàm ∞ X '(s) = ∫ (−t)e−st x(t)dt (3.5) 0 Chứng minh: Với mọi s=α+iβ sao cho α >α0 , ta cĩ: ∞ ∞ xt()e−st ≤ Me(α0 −α)t mà ∫ e(α−0 α)tdt hội tụ. Vậy tích phân ∫ x(t)e−st dt hội tụ tuyệt 0 0 đối nên hội tụ. Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace X (s) và ∞∞ ∞ Xs()≤=∫∫x()te−−sttdt x()teαe−iβtdt=∫x()te−αtdt 00 0 ∞ ∞ ()α−αt ()α−αt Me 0 M ≤=∫ Me 0 dt =. α00−α α−α 0 0 M Vì lim =⇒0 lim Xs( ) =0 . α→∞ α−α0 Re(s)→∞ ∞ ∞ ∞ ∂ Vì tích phân x(t)e−st dt hội tụ và tích phân ()x(t)e−st dt = x(t)e−st (−t)dt hội ∫ ∫ ∂s ∫ 0 0 0 tụ đều trong miền {ssRe( ) ≥α1} với mọi α1 , α1>α0 (theo định lý Weierstrass), suy ra hàm ∞ ∂ ảnh cĩ đạo hàm X '(s) = (x(t)e−st )dt tại mọi s thuộc mọi miền trên. Do đĩ X (s) giải ∫ ∂s 0 tích trong miền Re(s) >α0 . Nhận xét 3.1: 1. Theo định lý 3.1 thì mọi hàm gốc đều cĩ ảnh qua phép biến đổi Laplace. Tên gọi "hàm gốc" là do vai trị của nĩ trong phép biến đổi này. 77
Chương 3: Phép biến đổi Laplace 1 2. Định lý 3.1 chỉ là điều kiện đủ chứ khơng cần. Chẳng hạn hàm x(t) = khơng phải là hàm t ∞ 1 ∞ 1 1 1 1 gốc vì lim = ∞ , nhưng tích phân e−st dt = e−st dt + e−st dt tồn tại với + t ∫ t ∫ t ∫ t t→0 0 0 1 mọi s thỏa mãn Re(s) > 0. 3. Từ ví dụ 3.2, cơng thức (3.4) suy ra rằng mọi hàm sơ cấp cơ bản x(t) đều cĩ biến đổi Laplace L {x()tη()t} . Tuy nhiên, để đơn giản thay vì viết đúng L {x()tη()t} thì ta viết tắt L {x()t }. Chẳng hạn ta viết L {sin t} thay cho L {η()ttsin} , L {1} thay cho L {η()t } . 4. Ta quy ước các hàm gốc liên tục phải tại 0. Nghĩa là lim x(t) = x(0) . t→0+ ∞ ∞ e−st 1 Ví dụ 3.3: Vì hàm η()t cĩ chỉ số tăng α = 0 do đĩ biến đổi L {}1 = ed−st t== 0 ∫ −ss 0 0 với mọi s, Re(s)> 0 . ∞ −st Ví dụ 3.4: Hàm sin t cĩ chỉ số tăng α0 = 0 do đĩ biến đổi L {}sin t = X (s) = ∫ e sin t dt 0 tồn tại với mọi s, Re(s)> 0 . Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta được: ∞∞ −−st ∞∞st ⎛⎞−st 2 −st Xs()=−coste − se costdt=1−⎜⎟se sint −s e sintdt 00∫∫ 00⎝⎠ 1 ⇒+(1 sX2 ) (s) =1 ⇒X(s) = . 1+ s2 3.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 3.1.3.1 Tính tuyến tính Định lý 3.2: Nếu x(t), y(t) cĩ biến đổi Laplace thì với mọi hằng số A, B, Ax(t) + By(t) cũng cĩ biến đổi Laplace và L{Axt()+=By()t} AL{xt()} +BL{y()t} . (3.6) Chứng minh: Nếu hai tích phân của vế phải của đẳng thức sau tồn tại thì tích phân của vế trái cũng tồn tại và cĩ đẳng thức. 78
Chương 3: Phép biến đổi Laplace ∞ ∞ ∞ L {}Ax(t) + By(t) = ∫ e−st (Ax(t) + By(t))dt = A∫ e−st x(t)dt + B ∫ e−st y(t)dt . 0 0 0 54 Ví dụ 3.5: LL{}54+=sint5{1}+4L{sint}=+. s s2 +1 3.1.3.2 Tính đồng dạng Định lý 3.3: Nếu X (s) = L {x(t)} thì với mọi a > 0 , 1 ⎛ s ⎞ L {}x(at) = X ⎜ ⎟ . (3.7) a ⎝ a ⎠ Chứng minh: Đổi biến số u = at ta được: u ∞ ∞ −s st du 1 ⎛ s ⎞ L {}x(at) = e− x(at)dt = e a x(u) = X ⎜ ⎟ . ∫ ∫ a a ⎝ a ⎠ 0 0 11 ω Ví dụ 3.6: L {}sin ω=t ⋅ 2=22. ω ⎛⎞s s + ω ⎜⎟+1 ⎝⎠ω 3.1.3.3 Tính dịch chuyển ảnh Định lý 3.4: Nếu X (s) = L {x(t)} thì với mọi a ∈ , L {exat ()t} = X(s− a) . (3.8) Chứng minh: ∞∞ at −st at −−()sat L {}ex()t ==∫∫e ex()tdt e x()tdt=X()s−a. 00 1 Ví dụ 3.7: LLeeat =⋅at 1 = { } { } s − a ⎪⎪⎧⎫eeω−tt+−ω s ⎪⎧eωte−ωt⎪⎫ω ⇒ωLL{}ch tt=⎨⎬=22, L{}sh ω=L⎨⎬=22. ⎩⎭⎪⎪22ss− ω−⎩⎪⎭⎪ω ω Ví dụ 3.8: L etat sin ω= . { } ()sa−+22ω 3.1.3.4 Tính trễ Định lý 3.5: Nếu X (s) = L {x(t)} thì với mọi a ∈ , 79
Chương 3: Phép biến đổi Laplace L {η−()tax()t−a} =e−sa X(s). (3.9) ∞∞ Chứng minh: L {}η−()t axt()−a =∫∫e−−stη−()t axt()−a dt=e st xt()−adt. 0 a Đổi biến số u = t − a , ta được ∞∞ L {}η−()t axt()−a =∫∫e−−st xt()−adt=e s()u+a xu()du=e−as X(s). a 0 Đồ thị của hàm η()ta−x(t−a) cĩ được bằng cách tịnh tiến đồ thị của η()tx(t) dọc theo trục hồnh một đoạn bằng a . Nếu x(t) biểu diễn tín hiệu theo thời gian t thì x(t − a) biểu diễn trễ a đơn vị thời gian của quá trình trên. x x x(t) x(t − a) a O t O t x x η()tx(t) η()ta−−x()ta O O a t t e−as Ví dụ 3.9: L {}η−()ta= . s Ví dụ 3.10: Hàm xung (Impulse) là hàm chỉ khác khơng trong một khoảng thời gian nào đĩ. ⎧ 0 nÕu ta Hàm xung đơn vị trên đoạn []a;b : 80
Chương 3: Phép biến đổi Laplace ⎧ 0 nÕu ta Hàm xung bất kỳ (3.10) cĩ thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị x()tt=η( −a)ϕ()t−η(t−b)ϕ()t=ηab, ()tϕ()t (3.12) ee−as − −bs LL{}η=ab, ()tt{}η( −a) −L{}η(t−a) = . s Đồ thị xung cơng thức (1.10) Đồ thị xung ηab, (t) cơng thức (1.11) ⎧ 0 nÕu t π Theo cơng thức (3.12) ta cĩ thể viết xt( ) =η(t)sint−η(t−π)sint=η(t)sin t+η(t−π)sin(t−π) 11ee−π−s + πs Vậy L {}xt() =+= . ss22++11s2+1 Ví dụ 3.12: Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang ⎧ 0 nÕu t 3 ⎪ ⎪ 2 nÕu 0 < t < 1 x(t) = ⎨ ⎪ 4 nÕu 1 < t < 2 ⎩⎪1 nÕu 2 < t < 3 x()tt=η2 0,1()+4η1,2()t+η2,3(t) =2[]η(tt)(−η−+1)4[2η(t−1)(−ηt−+1)][η(t−2)(−ηt−3)] =η2(tt)+2η(−1)−3η(t−2)−η(t−3). 81