Giáo trình Trí tuệ nhân tạo - Chương 4: Biểu diễn bài toán bằng logic và các phương pháp chứng minh - Trường Đại học Huế

Nội dung text: Giáo trình Trí tuệ nhân tạo - Chương 4: Biểu diễn bài toán bằng logic và các phương pháp chứng minh - Trường Đại học Huế

1. Chương 4 BIỂU DIỄN BÀI TOÁN BẰNG LOGIC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Như ta đã biết, không thể có phương pháp giải quyết vấn đề tổng quát cho mọi bài toán. Có thể phương pháp này phù hợp cho bài toán này, nhưng lại không phù hợp cho lớp bài toán khác. Điều này có nghĩa là khi nói tới một bài toán, ta phải chú ý đến phương pháp biểu diễn nó cùng với các phương pháp tìm kiếm trong không gian bài toán nhận được. 1. Biểu diễn bài toán nhờ không gian trạng thái (có các chiến lược tìm kiếm trên đồ thị biểu diễn vấn đề) 2. Quy về các bài toán con 3. Biểu diễn vấn đề nhờ logic hình thức (có các phương pháp suy diễn logic) và trong phần này sẽ trình bày phương pháp biểu diễn vấn đề nhờ logic hình thức và các phương pháp giải quyết vấn đề trên cách biểu diễn này. Logic hình thức thường dùng để thu gọn quá trình tìm kiếm lời giải. Trước khi giải quyết vấn đề, nhờ phân tích logic, có thể chứng tỏ rằng một bài toán nào đó có thể giải được hay không?. Ngoài ra, các kết luận logic rất cần ngay cả trong cách tiếp cận dựa trên không gian trạng thái và quy bài toán về bài toán con. Chẳng hạn, trong các phương pháp dựa trên không gian trạng thái, các kết luận logic dùng để kiểm tra một trạng thái nào đó có phải là trạng thái đích hay không?, Ngoài ra, logic hình thức có thể được sử dụng để giải quyết những bài toán chứng minh logic, chẳng hạn như chứng minh một khẳng định nào đó là 107
2. đúng khi biết những tiền đề ban đầu và các luật suy diễn. Đây là một dạng quen thuộc nhất và được các chuyên gia TTNT quan tâm ngay từ đầu. Ví dụ Ta có thể dùng các biểu thức logic để mô tả mối quan hệ của các thành phần trong 1 tam giác như sau: 1) a  b  c p 2) b  p  c a 3) a  p  c b 4) a  b  p c 5) S  c hc 6) a  b  C c 7) a  b  C S 8) a  b  c  p S 9) S  hc c (Trong đó: a, b, c là ký hiệu các cạnh, A, B, C là ký hiệu các góc tương ứng, p là ký hiệu nữa chu vi, và hc là đường cao xuất phát từ đỉnh C của tam giác) Giả sử ta biết các cạnh a, b và một góc C. Ta có thể có kết luận về đường cao hc không? 1. BI ỂU DI ỄN VẤN ĐỀ NHỜ LOGIC HÌNH THỨC 1.1. Logic mệnh đề Đây là kiểu biểu diễn tri thức đơn giản nhất và gần gũi nhất đối với chúng ta. a) Mệnh đề là một khẳng định, một phát biểu mà giá trị của nó chỉ có thể hoặc là đúng hoặc là sai. Ví dụ phát biểu "1+1=2" (có giá trị đúng) phát biểu "Trời mưa" 108
3. (Giá trị của mệnh đề không chỉ phụ thuộc vào bản thân mệnh đề đó. Có những mệnh đề mà giá trị của nó luôn đúng hoặc sai bất chấp thời gian nhưng cũng có những mệnh đề mà giá trị của nó lại phụ thuộc vào thời gian, không gian và nhiều yếu tố khác quan khác. Chẳng hạn như mệnh đề : "Con người không thể nhảy cao hơn 5m với chân trần" là đúng khi ở trái đất , còn ở những hành tinh có lực hấp dẫn yếu thì có thể sai.) b) Biểu thức logic - Ta ký hiệu mệnh đề bằng những chữ cái la tinh như a, b, c, và các ký hiệu này được gọi là biến mệnh đề - Biểu thức logic được định nghĩa đệ quy như sau: Các hằng logic (True, False) và các biến mệnh đề là các biểu thức logic Các biểu thức logic kết hợp với các toán tử logic (phép tuyển (), phép hội ( ), phủ định ( , ~, ), phép kéo theo ( , ), phép tương đương ( , )) là các biểu thức logic. Tức là nếu E và F là các biểu thức logic thì E  F, E  F, E F, E  F cũng là các biểu thức logic Thứ tự ưu tiên của các phép toán logic: , , , ,  Ví dụ Một số biểu thức logic: 1) True 2) p 3) p  (p  r) - Biểu thức logic dạng chuẩn: là biểu thức được xây dựng từ các biến mệnh đề và các phép toán , , . 109
4. Ví dụ p  ( p  r) (Chúng ta đã từng sử dụng logic mệnh đề trong chương trình rất nhiều lần (như trong cấu trúc lệnh IF THEN ELSE) để biểu diễn các tri thức "cứng" trong máy tính ! ) c) Bảng chân trị (bảng chân lý) Dùng để dánh giá giá trị của biểu thức logic. p q p p  q p  q p  p q p  q q T T F T T T T T T F F T F F F F F T T T F T T F F F T F F T T T Nhận xét - Mọi biểu thức logic đều có thể chuyển về các biểu thức logic dạng chuẩn nhờ vào: p q  p  q - Nếu có n biến mệnh đề trong biểu thức logic thì bảng chân trị sẽ có 2n trường hợp khác nhau đối với các biến mệnh đề. d) Đồng nhất đúng Một đồng nhất đúng là một biểu thức logic luôn luôn có giá trị True với bất kỳ giá trị nào của các biến mệnh đề trong biểu thức logic đó. Ví dụ (Có thể kiểm tra bằng cách dùng bảng chân trị) 1) p   p 2) 0 p 3) (p  q)  (p  r) q  r Ta thấy rằng biểu thức có dạng VT VP luôn có giá trị True (T) với mọi giá trị của a, b; chỉ có một trường hợp để a b có giá trị False (F) là a: True và b: 110
5. False. Như vậy, để chứng minh biểu thức 3) là một đồng nhất đúng, ta chỉ cần chứng minh nếu b: F thì a: F, không có trường hợp a: T và b: F. Thật vậy, giả sử VP: F nghĩa là q: F và r: F. Xét 2 trường hợp của p: - Nếu p: T thì VT: F - Nếu p: F thì VT: F Do đó biểu thức 3) là một đồng nhất đúng Bài tập. Biểu thức nào trong số các biểu thức sau đây là đồng nhất đúng? 1) p  q  r p  q 2) (p q) p 3) (( p q  (q r)) (p r) 1.2. Một số luật đại số Sau đây là một số đồng nhất đúng thường gặp a) Luật phản xạ (cho phép tương đương): p  p b) Luật giao hoán - phép tương đương: p  p - phép hội: p  q  q  p - phép tuyển: p  q  q  p c) Luật bắc cầu: - phép kéo theo: (p q)  (q r) (p r) - phép tương đương: (p  q)  (q  r) (p  r) d) Luật kết hợp: - phép hội: p  (q  r)  (p  q)  r - phép tuyển: p  (q  r)  (p  q)  r e) Luật phân phối: - phép  trên phép : p  (q  r)  (p  q)  (p  r) - phép  trên phép : p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 111
6. f) Phần tử trung hoà: - 0 (False) là phần tử trung hoà cho phép : p  0  p - 1 (true) là phần tử trung hoà cho phép : p  1  p g) Triệt tử - 0 (False) là triệt tử cho phép : p  0  0 - 1 (true) là triệt tử cho phép : p  1  1 112
7. h) Tính luỹ đẳng - của phép : p  p  p - của phép : p  p  p i) Luật Demorgan (p  q)  p  q (p  q)  p  q j) Một số luật khác cho phép kéo theo - (p q)  (q p)  (p q) - (p  q) (p q) - p q  p  q k) (p)  p 1.3. Logic vị từ Biểu diễn tri thức bằng mệnh đề gặp phải một trở ngại cơ bản là ta không thể can thiệp vào cấu trúc của một mệnh đề. Hay nói một cách khác là mệnh đề không có cấu trúc . Điều này làm hạn chế rất nhiều thao tác suy luận . Do đó, người ta đã đưa vào khái niệm vị từ và lượng từ (:với mọi, : tồn tại) để tăng cường tính cấu trúc của một mệnh đề. Trong logic vị từ, một mệnh đề được cấu tạo bởi hai thành phần là các đối tượng tri thức và mối liên hệ giữa chúng (gọi là vị từ). Các mệnh đề sẽ được biểu diễn dưới dạng: Vị từ ( , , , ) Ví dụ Để biểu diễn vị của các trái cây, các mệnh đề sẽ được viết lại thành : Cam có vị Ngọt Vị (Cam, Ngọt) Cam có màu Xanh Màu (Cam, Xanh) 113
8. Kiểu biểu diễn này có hình thức tương tự như hàm trong các ngôn ngữ lập trình, các đối tượng tri thức chính là các tham số của hàm, giá trị mệnh đề chính là kết quả của hàm (thuộc kiểu BOOLEAN). Với vị từ, ta có thể biểu diễn các tri thức dưới dạng các mệnh đề tổng quát, là những mệnh đề mà giá trị của nó được xác định thông qua các đối tượng tri thức cấu tạo nên nó. Ví dụ 1) Chẳng hạn tri thức : "A là bố của B nếu B là anh hoặc em của một người con của A" có thể được biểu diễn dưới dạng vị từ như sau : Bố (A, B) = Tồn tại Z sao cho : Bố (A, Z) và (Anh(Z, B) hoặc Anh(B,Z)) Trong trường hợp này, mệnh đề Bố(A,B) là một mệnh đề tổng quát Như vậy nếu ta có các mệnh đề cơ sở là : a) Bố ("An", "Bình") có giá trị đúng (Anh là bố của Bình) b) Anh("Tú", "Bình") có giá trị đúng (Tú là anh của Bình) thì mệnh đề c) Bố ("An", "Tú") sẽ có giá trị là đúng. (An là bố của Tú). Rõ ràng là nếu chỉ sử dụng logic mệnh đề thông thường thì ta sẽ không thể tìm được một mối liên hệ nào giữa c và a,b bằng các phép nối mệnh đề , , . Từ đó, ta cũng không thể tính ra được giá trị của mệnh đề c. Sở dĩ như vậy vì ta không thể thể hiện tường minh tri thức "(A là bố của B) nếu có Z sao cho (A là bố của Z) và (Z anh hoặc em C)" dưới dạng các mệnh đề thông thường. Chính đặc trưng của vị từ đã cho phép chúng ta thể hiện được các tri thức dạng tổng quát như trên. 2) Câu cách ngôn "Không có vật gì là lớn nhất và không có vật gì là bé nhất!" có thể được biểu diễn dưới dạng vị từ như sau : LớnHơn(x,y) = x>y NhỏHơn(x,y) = x<y“ x,“ y : LớnHơn(y,x) và x, y : NhỏHơn(y,x) 114
9. 3) Câu châm ngôn "Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng" được hiểu là "chơi với bạn xấu nào thì ta cũng sẽ thành người xấu" có thể được biểu diễn bằng vị từ như sau : NgườiXấu (x) = y : Bạn(x,y) và NgườiXấu(y) Sử dụng vị từ làm toán hạng nguyên tử thay vì các biến mệnh đề đã đưa ra một ngôn ngữ mạnh mẽ hơn so với các biểu thức chỉ chứa mệnh đề. Thực sự, logic vị từ đủ khả năng diễn tả để tạo cơ sở cho một số ngôn ngữ lập trình rất có ích như Prolog (Programing Logic) và ngôn ngữ SQL. Logic vị từ cũng được sử dụng trong các hệ thống suy luận hoặc các hệ chuyên gia chẳng hạn các chương trình chẩn đoán tự động y khoa, các chương trình chứng minh định lý tự động 1.3.1. Cú pháp và ngữ nghĩa của logic vị từ a. Cú pháp Các ký hiệu - Hằng: được biểu diễn bằng chuỗi ký tự bắt đầu bằng chữ cái thường hoặc các chữ số hoặc chuỗi ký tự đặt trong bao nháy. Ví dụ: a,b, c, “An”, “Ba”, - Biến: tên biến luôn bắt đầu bằng chữ cái viết hoa. Ví dụ: X, Y, Z, U, V, - Vị từ: được biểu diễn bằng chuỗi ký tự bắt đầu bằng chữ cái thường. Ví dụ: p, q, r, s, like, Mỗi vị từ là vị từ của n biến (n 0). Các ký hiệu vị từ không có biến là các ký hiệu mệnh đề Ví dụ: like(X,Y) là vị từ của hai biến u(X) là vị từ một biến r là vị từ không biến - Hàm: f, g, cos, sin, mother, Mỗi hàm là hàm của n biến (n 1). Ví dụ: cos, sin là hàm một biến - Lượng từ: (với mọi),  (tồn tại). 115
10. Ví dụ:X, p(X) nghĩa là với mọi giá trị của biến X đều làm cho biểu thức p đúng. X, p(X) nghĩa là có ít nhất một giá trị của biến X để làm cho biểu thức p đúng. - Các ký hiệu kết nối logic:  (hội),  (tuyển), (phủ định), (kéo theo), (kéo theo nhau). - Các ký hiệu ngăn cách: dấu phẩy, dấu mở ngoặc và dấu đóng ngoặc. Các hạng thức Các hạng thức (term) là các biểu thức mô tả các đối tượng. Các hạng thức được xác định đệ quy như sau: - Các ký hiệu hằng và các ký hiệu biến là hạng thức - Nếu t1, t2, t3, ,tn là n hạng thức và f là một ký hiệu hàm n biến thì f(t1, t2, t3, ,tn) là hạng thức. Một hạng thức không chứa biến được gọi là một hạng thức cụ thể (ground term). Ví dụ: An là một ký hiệu hằng, mother là ký hiệu hàm một biến thì mother(“An”) là một hạng thức cụ thể Các công thức phân tử Chúng ta sẽ biểu diễn các tính chất của đối tượng, hoặc các quan hệ giữa các đối tượng bởi các công thức phân tử (câu đơn) Các công thức phân tử được xác định đệ quy như sau - Các ký hiệu vị từ không biến (các ký hiệu mệnh đề) là công thức phân tử - Nếu t1, t2, t3, ,tn là n hạng thức và p là vị từ của n biến thì p(t 1, t2, t3, ,tn) là công thức phân tử. Ví dụ: Hoa là một ký hiệu hằng, love là một vị từ hai biến, husband là hàm của một biến thế thì love(“Hoa”, husband(“Hoa”)) là một công thức phân tử. 116
11. Các công thức Từ công thức phân tử, sử dụng các kết nối logic và các lượng từ, ta xây dựng nên các công thức (các câu) Các công thức được xác định đệ quy như sau: - Các công thức phân tử là công thức - Nếu G và H là các công thức thì các biểu thức (GH), (GH), (G), (G H), (G H) là công thức - Nếu G là một công thức và X là biến thì các biểu thức x (G), x (G) là công thức Các công thức không phải là công thức phân tử sẽ được gọi là các câu phức hợp. Các công thức không chứa biến sẽ được gọi là công thức cụ thể. Khi viết các công thức ta sẽ bỏ đi các dấu ngoặc không cần thiết, chẳng hạn các dấu ngoặc ngoài cùng. Lượng từ phổ dụng (universal quantfier) cho phép mô tả tính chất của cả một lớp các đối tượng chứ không phải của một đối tượng mà không cần phi liệt kê ra tất cả các đối tượng trong lớp. Chẳng hạn sử dụng vị từ elephant(X) (đối tượng X là con voi) và vị từ color(X, “Gray”) (đối tượng X có màu xám) thì câu “tất cả các con voi đều có màu xám” có thể biểu diễn bởi công thức: X (elephant(X) color(X, “Gray”)) Lượng từ tồn tại (existantial quantifier) cho phép ta tạo ra các câu nói đến một đối tượng nào đó trong một lớp đối tượng mà nó có một tính chất hoặc thõa mãn một quan hệ nào đó. Chẳng hạn bằng cách sử dụng các câu đơn student(X) (X là sinh viên) và inside(X, “P301”) (X ở trong phòng 301), ta có thể biểu diễn câu “Có một sinh viên ở phòng 301” bởi biểu thức: x (student(X)  inside(X, “P301”)) Một công thức là công thức phân tử hoặc phủ định công thức phân tử được gọi là literal. Chẳng hạn, play(X, “Football”), like(“Lan”, “Rose”) là các 117
12. literal. Một công thức là tuyển của các literal sẽ được gọi là câu tuyển. Chẳng hạn, male(X)  like(X,”Football”) là câu tuyển. Trong công thức X (G), hoặc X (G) trong đó G là một công thức nào đó thì mỗi xuất hiện của biến X trong công thức G được gọi là xuất hiện buộc. Một công thức mà tất cả các biến đều là xuất hiện buộc thì được gọi là công thức đóng. Ví dụ: Công thức X, p(X, f(a,X))  Y, q(Y) là công thức đóng, còn công thức X, p(X, f(Y,X)) không phải là công thức đóng vì sự xuất hiện của biến Y trong công thức này không chịu ràng buộc bởi một lượng tử nào cả (sự xuất hiện của Y gọi là sự xuất hiện tự do) b. Ngữ nghĩa Cũng như trong logic mệnh đề, nói đến ngữ nghĩa là chúng ta nói đến ý nghĩa của các công thức trong một thế giới hiện thực nào đó mà chúng ta sẽ gọi là một minh họa. Để xác định một minh họa, trước hết ta cần xác định một miền đối tượng (nó bao gồm tất cả các đối tượng trong thế giới thực mà ta quan tâm). Trong một minh họa, các ký hiệu hằng sẽ được gắn với các đối tượng cụ thể trong miền đối tượng, các ký hiệu hàm sẽ được gắn với một hàm cụ thể nào đó. Khi đó mỗi hạng thức cụ thể sẽ chỉ định một đối tượng cụ thể trong miền đối tượng. Chẳng hạn nếu An là một ký hiệu hằng, father là một ký hiệu hàm, nếu trong minh họa An ứng với một người cụ thể nào đó, còn father(X) gắn với hàm ứng với mỗi X là cha của nó, thì hạng thức father(“An”) sẽ chỉ người cha của An. Ngữ nghĩa của các câu đơn Trong một minh họa, các ký hiệu vị từ sẽ được gắn với một thuộc tính hoặc một quan hệ cụ thể nào đó. Khi đó, mỗi công thức phân tử (không chứa biến) sẽ chỉ định một sự kiện cụ thể. Đưng nhiên sự kiện này có thể là đúng (true) hoặc sai (false). Chẳng hạn, nếu minh họa, ký hiệu hằng Lan ứng với một cô gái cụ 118
13. thể nào đó còn student(X) ứng với thuộc tính X là sinh viên thì câu student (“Lan”) có giá trị chân lý là true hoặc false tùy thuộc trong thực tế Lan có phi sinh viên hay không. Ngữ nghĩa của các câu phức hợp Khi đã xác định được ngữ nghĩa của các câu đơn, ta có thể xác định được ngữ nghĩa của các câu phức hợp (được tạo thành từ các câu đơn bằng các liên kết các câu đơn bởi các kết nối logic) như trong logic mệnh đề Ví dụ: Câu student(“Lan”)  student(“An”) nhận giá trị true nếu cả hai câu student(Lan) và student(An) đều có giá trị true, tức là cả Lan và An đều là sinh viên. Ngữ nghĩa của các câu chứa các lượng từ Ngữ nghĩa của các câu X(G), trong đó G là một công thức nào đó được xác định là ngữ nghĩa của công thức là hội của tất cả các công thức nhận được từ công thức G bằng cách thay X bởi một đối tượng trong miền đối tượng. Chẳng hạn, nếu miền đối tượng gồm ba người {Lan, An, Hoa} thì ngữ nghĩa của câu X, student(X) được xác định là ngữ nghĩa của câu student(“Lan”)  student(“An”)  student(“Hoa”). Câu này đúng khi và chỉ khi cả ba câu thành phần đều đúng, tức là cả Lan, Hoa, An đều là sinh viên. Như vậy, công thức X (G) là đúng nếu và chỉ nếu mọi công thức nhận được từ G bằng cách thay X bởi một đối tượng bất kỳ trong miền đối tượng đều đúng, tức là G đúng cho tất cả đối tượng X trong miền đối tượng Ngữ nghĩa của công thức X (G) được xác định như là ngữ nghĩa của công thức là tuyển của tất c các công thức nhận được từ công thức G bằng cách thay X bởi một đối tượng trong miền đối tượng. Chẳng hạn, nếu ngữ nghĩa của câu younger(X, 20) là “X trẻ hn 20 tuổi” và miền đối tượng gồm ba người { Lan, Hoa, An} thì ngữ nghĩa của câu X younger(X, 20) là ngữ nghĩa của câu younger(“Lan”, 20)  younger(“Hoa”, 20)  younger(“An”, 20). Câu này nhận 119
14. giá trị True nếu và chỉ nếu ít nhất một trong ba người Lan, Hoa, An trẻ hơn 20 tuổi. Như vậy, công thức X(G) là đúng nếu và chỉ nếu một trong các công thức nhận được từ G bằng cách thay X bởi một đối tượng trong miền đối tượng là đúng. Các công thức tương đương Cũng như trong logic mệnh đề, ta nói hai công thức G và H tương đương (GH) nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai trong mọi minh hoạ. Ngoài các tương đương đã biết trong logic mệnh đề, trong logic vị từ còn có các tương đương khác liên quan tới các lượng từ. Giả sử G là một công thức, cách viết G(X) nói rằng công thức G có chứa các xuất hiện của biến X. Khi đó công thức G(Y) là công thức nhận được từ G(X) bằng cách thay tất cả các xuất hiện của X bởi Y. Ta nói G(Y) là công thức nhận được từ G(X) bằng cách đặt tên lại (biến X đổi tên lại là Y). Chúng ta có các tương đương sau đây: 1.X (G(X))  Y (G(Y)) X (G(X))  Y (G(Y)) Đặt tên lại biến đi sau lượng từ phổ dụng (tồn tại), ta nhận được công thức tương đương. 2. (X (G(X)))  X (G(X))  X (G(X))  X (G(X)) 3.X (G(X)  H(X))  X (G(X))  X (H(X)) x (G(X)  H(X))  X (G(X)) X (H(X)) Bài tập 1) Giả sử ta thiết lập vị từ có 3 đối số csg(C,S,G) biểu diễn câu: “Sinh viên S nhận điểm G trong học phần C”. Vậy với các giá trị cụ thể của vị từ chẳng hạn như csg(“Anhvan”, “An”, 8) thì có thể được diễn giải như thế nào? 120
15. 2) Giả sử ta có vị từ loves(X,Y) được diễn giải là: “X yêu Y”, như vậy các câu sau (biểu diễn trong logic vị từ) được hiểu như thế nào? X (Y (loves(X,Y)) Y (X (loves(X,Y)) 3) Giả sử ta có các vị từ: dog(X) (“X là chó”), cat(Y) (“Y là mèo”), animal(Z) (“Z là động vật”). Hãy biểu diễn câu sau trong logic vị từ: “chó, mèo đều là động vật”. 1.3.2. Chuẩn hoá các công thức Từ các câu phân tử, bằng cách sử dụng các kết nối logic và các lượng từ, ta có thể tạo ra các câu phức hợp có cấu trúc rất phức tạp. Để dễ dàng cho việc lưu trữ các câu trong bộ nhớ và thuận lợi cho việc xây dựng các thủ tục suy diễn, chúng ta cần chuẩn hoá các câu bằng cách đưa chúng về dạng chuẩn tắc hội (hội của các câu tuyển). Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày thủ tục chuyển một câu phức hợp thành một câu ở dạng chuẩn tắc hội tương đương. Thủ tục chuẩn hoá các công thức bao gồm các bước sau: a. Loại bỏ các kéo theo Để loại bỏ các kéo theo, ta chỉ cần thay công thức P Q bởi công thức tương đương  P  Q, thay P Q bởi ( P  Q )  (P   Q ) b. Chuyển các phủ định tới các phân tử Điều này được thực hiện bằng cách thay công thức ở vế trái bởi công thức ở vế phải trong các tương đương sau đây:  ( P)  P  (P  Q)   P   Q  (P  Q)   P   Q  (X (P))  X ( P)  (X (P))  X ( P) 121
16. c. Loại bỏ các lượng từ tồn tại Giả sử p(X,Y) là các vị từ có nghĩa rằng “Y lớn hơn X” trong miền các số. Khi đó công thức x (y (P(x,y))) có nghĩa là “với mọi số X, tồn tại Y sao cho số Y lớn hơn X”. Ta có thể xem Y trong công thức đó là hàm của đối số X, chẳng hạn f(X) và loại bỏ lượng tử Y, công thức đang xét trở thành X (P(X,f(X))). Ví dụ: f(X)=X+1, khi đó X (P(X,f(X)))  X (P(X, X+1)) nghĩa là với mọi giá trị của X thì X+1 lớn hơn X. Một cách tổng quát, giả sử Y(G) là một công thức con của công thức đang xét và nằm trong miền tác dụng của các lượng từ X 1, ,Xn. Khi đó ta có thể xem Y là hàm của n biến X1, ,Xn, chẳng hạn f(X1, ,Xn). Sau đó ta thay các xuất hiện của Y trong công thức G bởi hạng thức f(X1, ,Xn) và loại bỏ các lượng từ tồn tại. Các hàm f được đưa vào để loại bỏ các lượng từ tồn tại được gọi là hàm Scholem. Ví dụ: Xét công thức sau X (Y (P(X,Y))  U (V (Q(a,V)  Y ( R(X,Y)))) (1) Công thức con Y (P(X,Y) nằm trong miền tác dụng của lượng từ X, ta xem Y là hàm của X: f(X). Các công thức con V (Q(a,V)) và Y ( R(X,Y)) nằm trong miền tác dụng của các lượng tử X, U ta xem V là hàm g(X,U) và Y là hàm h(X,U) của hai biến X, U. Thay các xuất hiện của Y và V bởi các hàm tương ứng, sau đó loại bỏ các lượng từ tồn tại, từ công thức (1) ta nhận được công thức: X (P(X,f(X))  U (Q(a,g(X,U))   R(X,h(X,U)))) (2) d. Loại bỏ các lượng từ phổ dụng Sau bước 3 trong công thức chỉ còn lại các lượng từ phổ dụng và mọi xuất hiện của biến đều nằm trong miền tác dụng của các lượng từ phổ dụng. Ta có thể loại bỏ tất cả lượng từ phổ dụng, công thức (2) trở thành công thức: P(X,f(X))  Q(a,g(X,U))   R(X,h(X,U))) (3) 122
17. Cần chú ý rằng, sau khi được thực hiện bước này tất cả các biến trong công thức được xem là chịu tác dụng của các lượng tử phổ dụng. e. Chuyển các tuyển tới các literal Bước này được thực hiện bằng cách thay các công thức dạng: P(QR) bởi (PQ)(PR) và thay (PQ)R bởi (PQ)(PR). Sau bước này công thức trở thành hội của các câu tuyển nghĩa là ta nhận được các công thức ở dạng chuẩn tắc hội. Chẳng hạn, công thức (3) được chuyển thành công thức sau: (P(X,f(X))  Q(a,g(X,U)))  (P(X,f(X))   R(X,h(X,U))) (4) f. Loại bỏ các hội Một câu hội là đúng nếu và chỉ nếu tất cả các thành phần của nó đều là đúng. Do đó công thức ở dạng chuẩn tắc hội tương đương với tập các thành phần. Chẳng hạn, công thức (4) tơng đơng với tập hai câu tuyển sau: P(f(X))  Q(a,g(X,U)) P(f(X))   R(X,h(X,U)) (5) g. Đặt tên lại các biến Đặt tên lại các biến sao cho các biến trong các câu khác nhau có tên khác nhau, chẳng hạn hai câu (5) có hai biến cùng tên là X, ta cần đổi tên biến X trong câu hai thành Z, khi đó các câu (5) tương đương với các câu sau: P(f(X))  Q(a,g(X,U)) P(f(Z))   R(Z,h(Z,U)) (5’) Như vậy, khi tri thức là một tập hợp nào đó các công thức trong logic vị từ, bằng cách áp dụng thủ tục trên ta nhận được cơ sở tri thức chỉ gồm các câu tuyển (tức là ta luôn luôn có thể xem mỗi câu trong cơ sở tri thức là tuyển của các literal). Hoàn toàn tương tự như trong logic mệnh đề, mỗi câu tuyển có thể biểu diễn dưới dạng một kéo theo, vế trái của kéo theo là hội của các câu phân 123
18. tử, còn vế phải là tuyển của các câu phân tử. Dạng câu này được gọi là câu Kowlski, một trường hợp quan trọng của câu Kowlski là câu Horn (luật if- then) Bài tập 1) Gọi vị từ nt(X) có nghĩa là “X là số nguyên tố” và vị từ sl(X) có nghĩa là “X là số lẻ”. Hãy diễn giải ý nghĩa của công thức: X (nt(X) and sl(X)). Viết lại công thức trên sau khi lấy phủ định và diễn gii ý nghĩa của công thức đó. 2)Biến đổi công thức sau về dạng chuẩn tắc hội XY ((b(X)  c(X))  (d(Y)  b(Y)) 3) Gọi p(X,Y,Z) có nghĩa là: Z=X*Y, là một vị từ 3 biến trên tập số thực. Khi đó tính chất giao hoán của phép nhân X*Y=Y*X được diễn tả như sau: X,Y (p(X,Y,Z)) p(Y,X,Z) Hãy chuẩn hóa công thức trên (đưa về dạng chuẩn tắc hội) 1.3.3. Các luật suy diễn Tất cả các luật suy diễn đã được đưa ra trong logic mệnh đề đều đúng trong logic vị từ cấp một. Bây giờ ta đưa ra một luật suy diễn quan trọng trong logic vị từ liên quan tới lượng tử phổ dụng a. Luật thay thế phổ dụng Giả sử G là một câu, câu X(G) là đúng trong một minh hoạ nào đó nếu và chỉ nếu G đúng với tất cả các đối tượng nằm trong miền đối tượng của minh hoạ đó. Mỗi hạng thức t ứng với một đối tượng, vì thế nếu câu X (G) đúng thì khi thay tất cả các xuất hiện của biến X bởi hạng thức t ta nhận được câu đúng. Công thức nhận được từ công thức G bằng cách thay tất ar các xuất hiện của x bởi t được ký hiệu là G[X/t]. Luật thay thế phổ dụng (universal instatiation) phát biểu rằng, từ công thức X (G) suy ra công thức G[X/t]. 124
19. X (G) G[X/t] Chẳng hạn, từ câu X, like(X, “Football”) (mọi người đều thích bóng đá), bằng cách thay X bởi An ta suy ra câu like(“An”, “Football”) (An thích bóng đá). b. Hợp nhất Trong luật thay thế phổ dụng, ta cần sử dụng phép thế các biến bởi các hạng thức để nhận được các công thức mới từ công thức chứa các lượng tử phổ dụng. Ta có thể sử dụng phép thế để hợp nhất các câu phân tử (tức là để các câu trả lời thành đồng nhất). Chẳng hạn xét hai câu phân tử like(“An”,Y) và x, like(X, “Football”) mà để cho đơn giản ta bỏ đi các lượng tử phổ dụng. Sử dụng phép thế [X/An. Y/Football] hai câu trên trở thành đồng nhất like(“An”, “Football”). Trong các suy diễn, ta cần sử dụng phép hợp nhất các câu bởi các phép thế. Chẳng hạn, cho trước hai câu friend(X,”Ba”) good(X) (mọi bạn của Ba đều là tốt) friend(“Lan”,Y) ( Lan là bạn của của tất cả mọi người) Ta có thể hợp nhất hai câu friend(X,”Ba”) good(X) và friend(“Lan”,Y) bởi phép thay thế [X/Lan, Y/Ba] friend(“Lan”,”Ba”) good(“Lan”) friend(“Lan”,”Ba”) Từ hai câu này, theo luật Modus Ponens, ta suy ra câu good(“Lan”) (Lan là người tốt) Một cách tổng quát, một phép thế  là một dãy các cặp X i/ti,  = [X1/t1 X2/t2 Xn/tn] trong đó các X i là các biến khác nhau, các t i là các hạng thức và các X i không có mặt trong ti (i=1, ,n). Áp dụng phép thế  vào công thức G, ta nhận được công thức G0, đó là công thức nhận được từ công thức G bằng cách thay mỗi sự xuất hiện của các X i bởi ti. Chẳng hạn, nếu G=p(X,Y,f(a,X)) và =[X/b, Y/g(Z)] thì G0=P(b,g(Z),f(a,b)). 125
20. Với hai câu phân tử G và H mà tồn tại phép thế  sao cho G 0 và H0 trở thành đồng nhất (G0=H0) thì G và H được gọi là hợp nhất được, phép thế  được gọi là hợp nhất tử của G và H. Chẳng hạn, hai câu Like(An,y) và Like(x, Football) là hợp nhất được bởi hợp nhất tử [X/An, Y/Football]. Vấn đề đặt ra là với hai câu phân tử bất kỳ G và H, chúng có hợp nhất được không và nếu có thì làm thế nào tìm được hợp nhất tử?. c. Luật Modus Ponens tổng quát Giả sử Pi, Pi’ (i=1, ,n) và Q là các công thức phân tử sao cho tất cả các cặp câu Pi, Pi’ hợp nhất được bởi phép thế , tức là P i0=Pi0’ (i=1, ,n). Khi đó ta có luật: (Pi   Pn Q), Pi’, ,Pn’ Q’ Trong đó Q’=Q Ví dụ: Giả sử ta có các câu student(X)  male(X) like(X,“Football”) và student(“Anh”), male(“Anh”). Với phép thế  = [X/Anh], các cặp câu student(X), student(“Anh”) và male(X), male(“Anh”) hợp nhất được. Do đó ta suy ra câu like(“Anh”, “Football”). d. Luật phân giải tổng quát - Luật phân giải trên các câu tuyển Giả sử ta có hai câu tuyển A1   Am  C và B1   Bn   D, trong đó Ai (i=1, , m) và Bj (j=1, , n) là các literal, còn C và D là các câu phân tử có thể hợp nhất được bởi phép thế , C=D. Khi đó ta có luật: A1   Am  C, B1   Bn   D A1’   Am’  B1’   Bn’ Trong đó Ai’=Ai (i=1, , m) và Bj’=Bj (j=1, , n) 126
21. Trong luật phân giải này, hai câu ở tử số (giả thiết) của luật được gọi là hai câu phân giải được, còn hai câu ở mẫu số (kết luận) của luật được gọi là phân giải thức của hai câu ở tử số. Ta sẽ ký hiệu của hai câu A và B là Res(A,B). Ví dụ: Giả sử ta có hai câu A=hear(X, “Music”)  play(x, “Tennis”) và B=play(“An”,Y)  study(“An”). Hai câu play(X,“Tennis”) và play(“An”, Y) hợp nhất được bởi phép thế =[X/An, Y/Tennis]. Do đó từ hai câu đã cho, ta suy ra câu hear(“An”, “Music”)  study(“An”). Trong ví dụ này, hai câu A= hear(X, “Music”)  play(X, “Tennis”) và B= play(“An”, Y)  study(“An”) là phân giải được và phân giải thức của chúng là hear(“An”, “Music”)  study(“An”). - Luật phân giải trên các câu Horn Câu Horn (luật If- then) là câu có dạng: P1   Pm Q Trong đó Pi (i=1, , m; m 0) và Q là các câu phân tử. Giả sử, ta có hai câu Horn P1   Pm  S Q và R1   Rn T, trong đó hai câu S và T hợp nhất được bởi phép thế , S=T. khi đó ta có luật: P1   Pm  S Q, R1   Rn T P1’   Pm’  R1’   Rn’ Q’ Trong đó, Pi’=Pi (i=1, , m), Rj’=Rj (j=1, , n), Q’=Q Trong thực tế, chúng ta thường sử dụng trường hợp riêng sau đây. Giả sử S và T là hai câu phân tử, hợp nhất được bởi phép thế . Khi đó ta có luật: P1   Pm  S Q, T P1’   Pm’ Q’ Trong đó Pi’=Pi (i=1, , m) và Q’=Q 127
22. Ví dụ: Xét hai câu student(X)  male(X) play(X, “Football”) và male(“Ba”). Hai câu male(“Ba”) và male(X) hợp nhất được với phép thế [X/Ba], do đó từ hai câu trên ta suy ra student(“Ba”) play(“Ba”, “Football”). 1.3.4. Thuật toán hợp nhất Về mặt cú pháp, hạng thức và công thức phân tử có cấu trúc giống nhau, do đó ta gọi các hạng thức và các công thức phân tử là các biểu thức đơn . Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày thuật toán xác định hai biểu thức đơn cho trước có hợp nhất được hay không và nếu được thuật toán sẽ cho ra hợp nhất tử tổng quát nhất. Như ta đã biết, một phép thế  là một danh sách [X 1/t1 X2/t2 Xn/tn], trong đó các Xi là các biến khác nhau, ti là các hạng thức không chứa Xi (i=1, ,n). Kết quả áp dụng phép thế  vào biểu thức E là biểu thức E nhận được từ E bằng cách thay mỗi xuất hiện của biến X i bởi ti. Hai biểu thức được xem là hợp nhất được nếu tồn tại phép thế  để chúng trở thành đồng nhất và khi đó  được gọi là hợp nhất tử của chúng. Chẳng hạn, xét hai biểu thức sau: know(“An”, X) know(Y, husband(Z)) Với phép thế  = [Y/An, X/ husband(Z)], cả biểu thức trên trở thành know(“An”, husband(Z)) Tuy nhiên, nếu hai biểu thức hợp nhất được thì nói chúng sẽ có vô số hợp nhất tử. Chẳng hạn, ngoài hợp nhất tử đã nêu, hai câu know(“An”, X) và know(Y, husband(Z)) còn có các hợp nhất tử sau: [Y/An, X/ husband(“Hoa”), Z/ Hoa] [Y/An, X/ husband(“Lan”), Z/ Lan] Chúng ta sẽ gọi hợp thành của hai phép thế  và  là phép thế  sao cho với mọi biểu thức E ta có E()=E(). Nói cụ thể hơn, hợp thành của phép thế 128
23.  = [X1/t1 X2/t2 Xn/tm] và = [Y 1/s1 Y2/s2 Yn/sn] là phép thế = [X 1/t1 X2/t2 Xn/tm, Y1/s1 Y2/s2 Yn/sn] trong đó ta cần loại bỏ các cặp Y i/si mà Yi trùng với một Xk nào đó. Ví dụ Xét hai phép thế:  = [X/a, V/g(Y,Z)]  = [X/b, Y/c, Z/f(X), V/h(a)] khi đó hợp thành của chúng là phép thế:  = [X/a, V/g(c,f(X)), Y/c, Z/f(X)] Quan sát ví dụ trên ta thấy rằng phép thế  áp đặt nhiều hạn chế cho các biến hn là . Do đó ta sẽ nói rằng phép thế  tổng quát hơn phép thế . Chẳng hạn, phép thế đã đưa ra ở trên [Y/An, X/ husband(Z)] tổng quát hơn phép thế [Y/An, X/ husband(“Hoa”), Z/ “Hoa”]. Giả sử E và F là hai biểu thức đơn hợp nhất được. Ta gọi hợp nhất tử tổng quát nhất của E và F là hợp nhất tử  sao cho  tổng quát hơn bất kỳ hợp nhất tử  nào của E và F. Nói một cách khác,  là hợp nhất tử tổng quát nhất của E và F nếu với mọi hợp nhất tử  của E và F đều tồn tại phép thế  sao cho =. Chẳng hạn với E và F là các câu know(“An“, X) và know(Y, husband(Z)) thì hợp nhất tử tổng quát nhất là:  = [Y/An, X/ husband(Z)] Sau đây chúng ta sẽ trình bày thuật toán hợp nhất, đó là thuật toán có ba tham biến: hai biểu thức đơn E, F và hợp nhất tử tổng quát nhất là . Thuật toán sẽ dừng và cho ra hợp nhất tử tổng quát nhất  nếu E và F hợp nhất được. Nếu E và F không hợp nhất được, thuật toán cũng sẽ dừng và cho thông báo về điều đó. Ta sẽ giả sử rằng E và F chứa các biến có tên khác nhau, nếu không ta chỉ cần đặt tên lại các biến. Trong thuật toán ta cần tìm sự khác biệt giữa hai biểu thức. Sự khác biệt đựoc xác định như sau: Đọc hai biểu thức đồng thời từ trái sang phải cho tới khi gặp hai ký hiệu khác nhau trong biểu thức. Trích ra hai biểu thức con bắt đầu từ các ký hiệu khác nhau đó. Cặp biểu thức con đó tạo thành sự khác biệt giữa hai biểu 129
24. thức đã cho. Ví dụ: Sự khác biệt giữa hai câu like(X,f(a,g(Z)) và like(X,Y) là cặp (f(a,g(Z),Y), còn sự biệt giữa hai câu know(X,f(a,U)) và know(X,f(a,g(b))) là cặp (U,g(b)). Thuật toán hợp nhất được mô tả bởi thủ tục đệ quy sau: Procedure Unify(E, F, ); Begin 1. Xác định sự khác biệt giữa E và F; 2. If không có sự khác biệt then {thông báo thành công; stop} 3. If sự khác biệt là cặp (X, t), trong đó X là biến, t là hạng thức không chứa X then begin 3.1. E  E[X/t]; F F[X/t]; {tức là áp dụng phép thế [X/t] vào các biểu thức E và F} 3.2.   [X/t]; {hợp thành của phép thế ? và phép thế [X/t] } 3.3. Unify(E, F, ); end else {thông báo thất bại; stop} End; Thuật toán hợp nhất trên luôn luôn dừng sau một số bước hữu hạn bước vì cứ mỗi lần bước 3 được thực hiện thì số biến còn lại trong hai biểu thức sẽ bớt đi một mà số biến trong hai biểu thức là hữu hạn. Để biết hai biểu thức P và Q có hợp nhất được hay không ta chỉ cần gọi thủ tục Unify(P,Q, ), trong đó  là phép thế rỗng. P(a, X, f(a,g(X,Y))) 130
25. P(U, h(a), f(U,V)) (1) Sự khác biệt giữa hai biểu thức này là (a,U). Thế U bởi a ta nhận được hai biểu thức sau: P(a, X, f(a,g(X,Y))) P(a, h(a), f(a,V)) (2) Và phép thế  =[U/a] Sự khác biệt giữa hai biểu thức (2) là (X,h(a)). Thế x bởi h(a), ta có hai biểu thức sau: P(a, h(a), f(a,g(h(a),Y))) P(a, h(a), f(a,V)) (3) Và phép thế  =[U/a, X/h(a)] Sự khác biệt giữa hai biểu thức (3) là (g(h(a),Y), V). Thế V bởi g(h(a),Y), hai biểu thức (3) trở thành đồng nhất: P(a, h(a), f(a,g(h(a),Y))) (4) Như vậy hai câu (1) hợp nhất được vi hợp nhất tử tổng quát nhất là:  =[U/a, X/h(a), V/g(h(a),Y)] 2. Một số thuật giải chứng minh. Một trong những vấn đề khá quan trọng của logic mệnh đề là chứng minh tính đúng đắn của phép suy diễn (a b). Đây cũng chính là bài toán chứng minh thường gặp trong toán học. Rõ ràng rằng với hai phép suy luận cơ bản của logic mệnh đề (Modus Ponens, Modus Tollens) cộng với các phép biến đổi hình thức, ta cũng có thể chứng minh được phép suy diễn. Tuy nhiên, thao tác biến đối hình thức là rất khó cài đặt được trên máy tính. Thậm chí điều này còn khó khăn với cả con người! Với công cụ máy tính, bạn có thể cho rằng ta sẽ dễ dàng chứng minh được mọi bài toán bằng một phương pháp "thô bạo" là lập bảng chân trị . Tuy về lý thuyết, 131
26. phương pháp lập bảng chân trị luôn cho được kết quả cuối cùng nhưng độ phức tạp của phương pháp này là quá lớn, O(2n) với n là số biến mệnh đề. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu hai phương pháp chứng minh mệnh đề (ở mục 2.1 v à 2.2) với độ phức tạp chỉ có O(n ). Bài toán Cho tập các giả thiết dưới dạng các biểu thức logic mệnh đề GT={GT1, GT2, GTn}. Hãy chứng minh tập kết luận KL={KL1, KL2, , KLm}. 2.1. Thuật giải Vương Hạo Cơ sở lý luận Cho các giả thiết GT 1, GT2, ,GTn. Để chứng minh tập kết luận KL1, KL2, ,KLm, ta chứng minh GT1, GT2, ,GTn KL1, KL2, ,KLm: True Thuật giải bao gồm các bước sau: B1: Phát biểu lại giả thiết và kết luận của vấn đề theo dạng chuẩn sau : GT1, GT2, , GTn KL1, KL2, , KLm Trong đó các GTi và KLi là các biểu thứclogic dạng chuẩn (chỉ chứa 3 phép toán cơ bản :  ,  ,  ) B2: Nếu GTi có phép  thì tách thành hai dòng con. Nếu ở Kli có phép  thì tách thành hai dòng con. Ví dụ: p  ( p  q) q thì tách thành 2 dòng: p   p q và p  q q Hoặc nếu cóp  q q  r thì tách thành 2 dòng: P  q q và p  q r B3: Một dòng được chứng minh nếu: 132
27. 1) Tồn tại chung một mệnh đề ở cả hai phía. Ví dụ : p  q q  r: True 2) Tồn tại 2 mệnh đề phủ định lẫn nhau (p và p) Ví dụ: p   p q: True B4 : a) Nếu một dòng không còn phép nối  hoặc  ở cả hai vế và ở 2 vế không có chung một biến mệnh đề thì dòng đó không được chứng minh. b) Một vấn đề được chứng minh nếu tất cả dòng dẫn xuất từ dạng chuẩn ban đầu đều được chứng minh. Ví dụ 1) Cần chứng minh rằng từ a  b c và b  c d và a và b, suy ra d (a  b  c)  (b  c  d)  a  b d a  (b  c  d)  a  b d: T (b  c)  (b  c  d)  a  b d b  (b  c  d)  a  b d: T c  (b  c  d)  a  b d c  b  a  b d: T c  (c  d)  a  b d c  c  a  b d: T c  d  a  b d: T Cây suy diễn trong giải thuật Vương Hạo 133
28. 2) Xét các câu đúng sau: “Nếu trời mưa thì Lan mang theo dù” “Nếu Lan mang theo dù thì Lan không bị ướt” “Nếu trời không mưa thì Lan không bị ướt” a) Xây dựng các câu trên bằng các biểu thức logic mệnh đề b) Hãy chứng minh rằng “Lan không bị ướt” bằng phương pháp Vương Hạo Lời giải a) r: “Trời mưa” u: “Lan mang theo dù” w: “Lan bị ướt” Lúc đó, ta có các biểu thức logic đúng sau: r u u w r w Ta phải chứng minh (r u)  (u w)  (r w) w: True 2.2. Thuật giải Robinson Thuật giải này do Robinson đề xuất và hoạt động dựa trên phương pháp chứng minh phản chứng. Phương pháp chứng minh phản chứng: Bài toán Chứng minh phép suy luận (a b) là đúng (với a là giả thiết, b là kết luận). Phản chứng: giả sử b sai suy ra  b là đúng. Bài toán được chứng minh nếu a đúng và  b đúng sinh ra một mâu thuẫn. 134
29. B1 : Phát biểu lại giả thiết và kết luận của vấn đề dưới dạng chuẩn như sau: GT1, GT2, ,GTn KL1, KL2, , KLm Trong đó : GTi và KLj là các biểu thức logic dạng chuẩn (chỉ chứa các phép toán :  ,  ,  ) B2 : Giả sử KL 1, KL2, KLm là đúng, lúc đó ta có các biểu thức logic đúng sau: { GT1, GT2, , GTn ,  KL1,  KL2, ,  KLm } B3 : Sau đó đưa về dạng chuẩn hội (tích các tổng) Ví dụ: p q  t  p  (q  t) (p  q)  (p t) B4 : Xây dựng một mệnh đề mới bằng cách áp dụng đồng nhất đúng: (p  q)  (p  r) q  r Nghĩa là: nếu (p q)  (p r): True thì có thêm biểu thức r  t: True và đưa vào tập giả thiết. Lặp lại quá trình trên cho đến khi sinh ra 2 mệnh đề có chân trị đối nhau (có sự mâu thuẫn) và bài toán lúc đó kết luận là được chứng minh, hoặc không tạo thêm mệnh đề mới nào gây mâu thuẫn và lúc này kết luận không chứng minh được. Ví dụ 1) Xét bài toán: Sau khi đưa về dạng chuẩn hội, để đơn giản, ta viết các biểu thức (chỉ chứa phép ) trên từng dòng. Ta có: 1.a  b  c 2.b  c  d 135
30. 3. a 4. b Giả sử d đúng, ta có thêm các biểu thúc đúng sau: 5.d 6.b  c (Res 1A, 3) 7.a  c (Res 1B, 4) 8.c  d (Res 2A, 4) 9.b  c (Res 2C, 5) 10.c (Res 3, 7A) 11.c (Res 4, 9A) Mâu thuẫn giữa 10 và 11. Chứng minh xong. 2.3. Chứng minh bằng luật phân giải trên logic vị từ Trong phần logic mệnh đề, ta đã đưa ra các luật suy diễn quan trọng như: luật Modus Ponens, luật Modus Tolens, luật bắc cầu, , luật phân giải. Chúng ta đã chỉ ra rằng luật phân giải là luật đầy đủ cho bác bỏ. Điều đó có nghĩa là bằng phương pháp chứng minh bác bỏ, chỉ sử dụng luật phân giải ta có thể chứng minh được một công thức có là hệ quả logic của một tập các công thức cho trước hay không. Kết quả quan trọng này sẽ được mở rộng sang logic vị từ. Giả sử ta có một cơ sở tri thức (CSTT) gồm các câu trong logic vị từ. Chúng ta luôn luôn xem CSTT đều đúng. Chẳng hạn minh hoạ đó là thế giới thực của vấn đề mà chúng ta đang quan tâm và CSTT gồm các câu mô tả sự hiểu biết của chúng ta về thế giới hiện thực đó. Không mất tính tổng quát, ta có thể xem các câu trong CSTT là các câu tuyển. Chúng ta có thể sử dụng luật phân giải để suy ra các câu mới là hệ quả logic của CSTT. 136
31. Ví dụ: Giả sử CSTT gồm các câu tuyển sau:  P(W)  Q(W) (1) P(X)  R(X) (2)  Q(Y)  S(Y)` (3)  R(z)  S(z) (4) Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một chứng minh của câu S(a) từ CSTT trên bằng luật phân giải. Áp dụng luật phân giải cho câu (2) và (4) với phép thế [X/a, Z/a], ta suy ra câu sau: P(a)  S(a) (5) Áp dụng luật phân giải cho câu (1) và (3) với phép thế [w/a, y/a] ta nhận được câu:  P(a)  S(a) (6) Áp dụng luật phân giải cho câu (5) và (6), ta suy ra câu S(a)  S(a). Câu này tương đương với câu S(a). Chứng minh bằng cách áp dụng các luật suy diễn để dẫn tới điều cần phải chứng minh (như chứng minh trên) được gọi là chứng minh diễn dịch (deduction proof). Nhưng cần biết rằng luật phân giải không phải là luật đầy dủ cho diễn dịch, tức là từ một tập tiên đề, chỉ sử dụng luật phân giải chúng ta không thể sinh ra tất cả các câu là hệ quả logic của tiên đề đã cho. Tuy nhiên định lý phân giải (trong mục logic mệnh đề) vẫn còn đúng trong logic vị từ cấp một là thoã được hay không thoã được. Nếu một tập câu là không thax được thì qua một số bước áp dụng luật phân giải sẽ sinh ra một câu rỗng (tức là dẫn tới mâu thuẫn). Để chứng minh câu H là hệ quả logic của tập các câu {G 1, G2, , Gn} (các tiên đề), ta có thể áp dụng phương pháp chứng minh bác bỏ, tức là chứng minh tập câu {G1, G2, , Gn,  H} không thoã được. Mặt khác, ở trên ta đã chỉ ra rằng 137
32. luật phân giải cho phép ta xác định được một tập câu là thoã được hay không thoã được. Vì vậy luật phân giải được xem là luật đầy đủ cho bác bỏ. Ví dụ Từ CSTT gồm các câu (1) đến (4) trong ví dụ trên, ta có thể chứng minh được câu S(a) bằng phưng pháp bác bỏ như sau. Thêm vào CSTT câu:  S(a) (7) (lấy phủ định của câu cần chứng minh), áp dụng luật phân gii cho câu (3) và (7) với phép thế [y/a], ta suy ra câu:  Q(a) (8) Từ câu (1) và (8) với phép thế [w/a], ta nhận được câu:  P(a) (9) Từ câu (4) và (7) với phép thế [z/a], ta suy ra câu:  R(a) (10) Từ câu (2) và (10) với phép thế [x/a], ta nhận được câu: P(a) (11) Áp dụng luật phân gii cho câu (9) và (11) ta nhận được câu rỗng (mâu thuẫn:  P(a) và P(a)). Thủ tục tổng quát sử dụng luật phân gii để chứng minh một công thức H có là hệ qu logic của một tập công thức G=[G1, G2, ,Gn] Procedure Proof_by_Resolution; Input: tập G=[G1, G2, ,Gn] các công thức {các tiên đề}, công thức cần chứng minh H Begin 1. Biến đổi các công thức Gi (i=1, ,n) vµ  H về dạng chuẩn hội; 2. Từ các dạng chuẩn hội nhận được ở bước 1, thành lập tập các câu tuyển C; 3. Repeat 138
33. 3.1. Chọn ra hai câu A và B trong C; 3.2. If A và B phân gii được then Tính phân gii thức Res(A,B); 3.3. If Res(A,B) là câu mới then Thêm Res(A,B) vào tập C; Until nhận được câu rỗng hoặc không có câu mới nào được sinh ra; 4. If câu rỗng được sinh ra then Thông báo H đúng Else Thông báo H sai; End; 3. Ví dụ và bài tập. Để trình bày gọn, chúng ta quy ước - Phép và (hội hay tích) Ví dụ a và b được ký hiệu a  b hoặc ab - Phép hoặc (tuyển hay tổng) Ví dụ a hoặc b được ký hiệu a  b hoặc a+b - Phép phủ định Ví dụ phủ định của a được ký hiệu a - Phép kéo theo (suy ra) Ví dụ a kéo theo b được ký hiệu a b Ví dụ 1 Cho các khẳng định đúng với các ý nghĩa như sau: a một người có nhóm máu A b một người có nhóm máu B c một người có nhóm máu AB o một người có nhóm máu O t mẫu máu của một người có xét nghiệm T dương tính 139
34. s mẫu máu của một người có xét nghiệm S dương tính Hãy viết các biểu thức logic diễn tả những ý tưởng sau: a. Nếu xét nghiệm T dương tính thì người đó có nhóm máu A hoặc AB b. Nếu xét nghiệm S dương tính thì người đó có nhóm máu B hoặc AB c. Nếu một người có nhóm máu B thì xét nghiệm S sẽ dương tính d.Một người có nhóm máu A, B, AB hoặc O Lời giải a. t a+c b. s b+c c. b s d. a + b+ c + o Ví dụ 2. Hãy biểu diễn các tri thức sau bằng logic mệnh đề a. Nếu n là số nguyên chẵn và n là số nguyên tố thì n=2 b. Số n là chính phương thì n tận cùng bằng 1, 4, 5, 6 hoặc 9 Lời giải a. Gọi a : “là một số nguyên chẵn”, b : “là một số nguyên tố”, c : “số nguyên 2”. Lúc đó, tri thức sẽ được biểu diễn như sau: ab c b. Gọi a : “là một số chính phương”, b : “số có chữ số tận cùng bằng 1” c : “số có chữ số tận cùng bằng 4” d : “số có chữ số tận cùng bằng 5” e : “số có chữ số tận cùng bằng 5” f : “số có chữ số tận cùng bằng 9”. Lúc đó, tri thức sẽ được biểu diễn như sau: a b+c+d+e+f 140
35. Ví dụ 3 Cho các biểu thức logic mệnh đề đúng sau 1. a f 2. a (f p) 3. p+q d 4. a 5. ad g Hãy dùng phương pháp Robinson và Vương Hạo để chứng minh hoặc bác bỏ g1 Lời giải - Chuyển về dạng chuẩn a f a + f a (f p)  a +(f p)  a + (f + p)  a + f + p p+q d  (p+q)+d  (pq)+d  (p + d)(q + d) ad g  (ad)+g  a+d+g - Dùng phương pháp phân giải Robinson Giả sử g1, ta có các biểu thức đúng sau 1.a + f 2.a + f + p 3.p + d 4.q + d 5. a 6.a+d+g 7.g 8.a+d res(6 3,7) 9.d res(5, 8 1) 141
36. 10. a +f +d res(23,31) 11. a + d res(12,102) 12. d res(5,111) Ta thấy 9) kết hợp 12) sẽ cho ra câu rỗng (tức là có sự mâu thuẫn). Vì vậy g1. - Dùng phương pháp Vương Hạo Ta cần chứng minh: (a)(a + f )(a + f + p)(p + d)(q + d)(a+d+g) g: true(I) (1) (2) (3) (4) (5) Để chứng minh (I) tách (1), biểu thức (I) trở thành: I.1) (a)(a)(a + f + p)(p + d)(q + d)(a+d+g) g : true I.2) af (a + f + p)(p + d)(q + d)(a+d+g) g Chứng minh I.2) tách 2), I.2) trở thành I.2.1) af (a)(p + d)(q + d)(a+d+g) g: true I.2.2) af (f)(p + d)(q + d)(a+d+g) g: true I.2.3) afp(p + d)(q + d)(a+d+g) g Chứng minh I.2.3) tách 3), I.2.3) trở thành I.2.3.1)afp(p)(q + d)(a+d+g) g: true I.2.3.2) afpd(q + d)(a+d+g) g Chứng minh I.2.3.2) tách 5), I.2.3.2) trở thành I.2.3.2.1) afpd(q + d)(a) g : true I.2.3.2.2) afpd(q + d)(d) g : true I.2.3.2.3) afpd(q + d)g g : true (I) được chứng minh, vì vậy g1 142
37. Bài tập1. Biểu diễn các tri thức sau dưới dạng logic mệnh đề a. Trong tam giác vuông, tổng bình phương chiều dài hai cạnh góc vuông bằng bình phương chiều dài cạnh huyền b. Một số nguyên dương có chữ số hàng đơn vị bằng 5 thì số đó chia hết cho 5 c.Nếu x là số lẻ và bình phương của x tận cùng bằng 1 thì x tận cùng bằng 1 hoặc bằng 9 d. Trong tam giác vuông, chiều dài của đườn trung tuyến xuất phát từ góc vuông bằng nữa chiều dài của cạnh huyền Bài tập 2. Cho các biểu thức logic mệnh đề đúng sau 1. n+c+d p 2. qp c 3. qc f +h 4.n+p+h 5. nq Hãy dùng phương pháp Robinson và Vương Hạo để chứng minh hoặc bác bỏ f 1 Bài tập 3. Cho các biểu thức logic mệnh đề đúng sau 1. abc c 2. abc p 3. as h 4. abcp s 5. abd Hãy dùng phương pháp Robinson và Vương Hạo để chứng minh hoặc bác bỏ sh 1 Bài tập 4. Ta có cơ sở tri thức của hệ chuyên gia về bệnh cảm cúm như sau: 143
38. 1) “Nếu bệnh nhân rát họng và viêm nhiễm thì viêm họng và đi chữa họng“ 2)“Nếu thân nhiệt >37 0 thì sốt” 3) “ Nếu ốm trên 7 ngày và sốt thì viêm nhiễm” 4)“Nếu sốt và ho và kèm theo khó thở hoặc kèm theo tếng ran thì viêm phổi” a) Hãy biểu diễn các tri thức trên dưới dạng logic mệnh đề. b) Có một bệnh nhân khai : “Thân nhiệt > 370 “ và “ốm trên 7 ngày”. Dùng phương pháp chứng minh Robinson và Vương Hạo để kết luận bệnh nhân này bị "viêm nhiễm". Bài tập 5. Ta có cơ sở tri thức mô tả mối quan hệ của các thành phần trong một tam giác như sau: - Nếu biết 3 cạnh của 1 tam giác ta có thể biết nủa chu vi của tam giác đó - Nếu biết 2 cạnh và nữa chu vi của một tam giác thì ta có thể biết được cạnh còn lại của tam giác đó -Nếu biết được diện tích và một cạnh của một tam giác thì ta có thể biết được chiều cao tương ứng với cạnh đó - Nếu biết 2 cạnh và một góc kẹp giữa 2 cạnh đó của một tam giác thì ta có thể biết được cạnh còn lại của tam giác đó. - Nếu biết 2 cạnh và một góc kẹp giữa 2 cạnh đó của một tam giác thì ta có thể biết được diện tích của tam giác đó - Nếu biết ba cạnh và nữa chu vi của một tam giác thì ta biết được diện tích của tam giác đó - Nếu biết diện tích và đường cao của một tam giác thì ta biết được cạnh tương ứng với đường cao của tam giác đó Giả sử biết được 2 cạnh và và góc kẹp giữ hai cạnh đó. Bằng phương pháp Robinson, hãy chứng minh rằng ta có thể suy ra được đường cao tương ứng với cạnh còn lại 144
39. Hướng dẫn Ký hiệu a: cạnh a của tam giác k: đường cao tương ứng với cạnh a b: cạnh b của tam giác l: đường cao tương ứng với cạnh b c: cạnh c của tam giác m: đường cao tương ứng với cạnh c A: góc tương ứng với cạnh a S: diện tích của tam giác B: góc tương ứng với cạnh b p: nữa chu vi của tam giác C: góc tương ứng với cạnh c - Các tri thức đó được biểu diễn dưới dạng logic mệnh đề như sau: 10) abc p 19) bcA a 11) bpc a 20) abC S 12) apc b 21) acB S 13) abp c 22) bcA S 14) Sa k 23) abcp S 15) Sb l 24) Sk a 16) Sc m 25) Sl b 17) abC c 26) Sm c 18) acB b Sau đó dùng phương pháp Robinson (GT={a, b}, KL={m}) Bài tập 6. Biểu diễn các tri thức sau dưới dạng logic vị từ a. Bất kỳ người nào cũng có cha mẹ b. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ c. Chuồn chuồn bay thấp thì mưa Lời giải a. Ký hiệu NGUOI(X): nghĩa là X là người 145
40. CHAME(X, Y): X là cha mẹ của Y X ( NGUOI(X) Y: CHAME (Y, X)) b. Ký hiệu P(X): X là số nguyên tố lớn hơn 2 Q(X): X là số lẽ X ( P(X) Q(X)) c. Ký hiệu BAY(X,Y): con vật X bay với độ cao Y TROIMUA: trời mưa BAY(“chuồn chuồn”, “thấp”) TROIMUA Bài tập 7. Giả sử chúng ta biết các thông tin sau đây: 1) Ông Ba nuôi một con chó 2) Hoặc ông Ba hoặc ông Am đã giết con mèo Bibi 3) Mọi người nuôi chó đều yêu quý động vật 4) Ai yêu quý động vật cũng không giết động vật 5) Chó mèo đều là động vật Ai đã giết Bibi? Lời giải - Biểu các thông tin trên dưới dạng logic vị từ cấp một như sau Để biểu diễn các tri thức trên trong logic vị từ cấp một, chúng ta cần sử dụng các hằng D, Ba, An, Bibi, các vị từ Dog(x) (x là chó), Cat(y) (y là mèo), Rear(u,v) (u nuôi v), AnimalLover(u) (u là người yêu quý động vật), Kill(u,v) (u giết v), Animal(x) (x là động vật). Sử dụng các hằng và các vị từ trên, chúng ta có thể chuyển các trên thành các câu trong logic vị từ cấp một như sau: 1) Dog(“D”) Rear(“Ba”, “D”) 2) Cat(“Bibi”) (Kill(“Ba”, “Bibi”) + Kill(“Am”, “Bibi”)) 3) X (Y(Dog(Y) Rear(X,Y)) AnimalLover(X))) 146
41. 4) U (AnimalLover(U) (V AnimalLover(V)  Kill(U,V))) 5) Z (Dog(Z) Animal(Z)) W (Cat(W) Animal(W)) -Chuyển về dạng chuẩn và dùng phương pháp phân giải Robinson 1) Dog(“D”) 2) Rear(“Ba”, “D”) 3) Cat(“Bibi”) 4) Kill(“Ba”, “Bibi”) + Kill(“Am”, “Bibi”) 5) Dog(Y) + Rear(X,Y) + AnimalLover(X) 6) AnimalLover(U) + Animal(V) + Kill(U,V) 7) Dog(Z) + Animal(Z) 8) Cat(W) + Animal(W) Giả sử Kill(T, “Bibi”) đúng 9) Kill(T, “Bibi”) Từ câu (4) và câu (9) với phép thế [t/Am], ta nhận được câu: 10) Kill(“Ba”, “Bibi”) Từ câu (6) và câu (10) với phép thế [u/Ba, v/Bibi], ta nhận được câu: 11) AnimalLover(“Ba”) + Animal(“Bibi”) Từ câu (3) và câu (8) với phép thế [w/Bibi], ta nhận được câu: 12) Animal(“Bibi”) Từ câu (11) và câu (12), ta nhận được câu: 13) AnimalLover(“Ba”) Từ câu (1) và câu (5), với phép thế [y/D] ta nhận được câu: 14)  Rear(X, “D”) + AnimalLover(X) Từ câu (2) và câu (14), với phép thế [x/Ba] ta nhận được câu: 15) AnimalLover(“Ba”) Từ câu (13) và câu (15) ta suy ra câu rỗng (có sự mâu thuẫn). Như vậy ông Am đã giết con mèo Bibi. 147
42. Bài tập 8. Giả sử chúng ta biết các thông tin sau đây: a. Mọi người đếu chết b. Mọi phụ nữ đều chết c. Thần thánh không chết d. Tất cả cả những người bệnh phải được điều trị e. Beatrice là phụ nữ f. Christel là phụ nữ g. Marta là phụ nữ h. Socrate là người i. Zeus là thần thánh k. Socrate bị bệnh Dùng phương pháp phân giải Robinson để có thể suy ra được Socrate có được điều trị hay không? 148