›
›

Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định

pdf 123 trang Gia Huy 25/05/2022 1880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_vat_ly_dai_cuong_1_dai_hoc_su_pham_ky_thuat_nam_d.pdf

Nội dung text: Giáo trình Vật lý đại cương 1 - Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định

  1. LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình Vật lý đại cƣơng 1 đƣợc biên soạn theo chƣơng trình hiện hành, dùng cho sinh viên hệ đại học công nghệ và đại học sƣ phạm của trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định. Giáo trình gồm 7 chƣơng đƣợc chia thành 2 phần Cơ học và Nhiệt học. Phần Cơ học gồm các chƣơng: Động học chất điểm; Động lực học chất điểm và hệ chất điểm - động lực học vật rắn; Năng lƣợng - trƣờng hấp dẫn; Thuyết tƣơng đối hẹp Einstein. Phần Nhiệt học gồm các chƣơng: Mở đầu; Nguyên lý thứ nhất nhiệt động học; Nguyên lý thứ hai nhiệt động học. Giáo trình này đƣợc biên soạn với mục đích trợ giúp đắc lực cho sinh viên trong quá trình đào tạo theo học chế tín chỉ, do đó có một số phần chúng tôi đƣa vào để sinh viên tự nghiên cứu. Sau mỗi chƣơng đều có phần tổng kết chƣơng, hệ thống câu hỏi lý thuyết và bài tập giúp ngƣời học củng cố kiến thức, tự kiểm tra, đánh giá kết quả quá trình học tập của mình. Giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình đƣợc hoàn thiện hơn. Nam Định, 2010 Các tác giả 1
  2. MỤC LỤC PHẦN I: CƠ HỌC 7 Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 7 1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 7 1.1.1. Chuyển động và hệ qui chiếu 7 1.1.2. Chất điểm và hệ chất điểm 8 1.1.3. Phƣơng trình chuyển động của chất điểm 8 1.2. VẬN TỐC 10 1.2.1. Khái niệm vận tốc 10 1.2.2. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes 11 1.3. GIA TỐC 12 1.3.1. Khái niệm vectơ gia tốc 12 1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến 13 1.4. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG ĐẶC BIỆT 16 1.4.1. Chuyển động thẳng (an = 0) 16 1.4.2. Chuyển động tròn 16 1.4.3. Chuyển động ném xiên 19 Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 27 2.1. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON 27 2.1.1. Định luật Newton thứ nhất 27 2.1.2 Định luật Newton thứ hai 27 2.1.3. Phƣơng trình cơ bản của động lực học chất điểm 28 2.1.4. Định luật Newton thứ ba 28 2.2. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC ĐỂ KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT 29 2.2.1. Các lực liên kết 29 2.3.2. Một số bài toán cơ bản của động lực học chất điểm 30 2.3. CHUYỂN ĐỘNG TƢƠNG ĐỐI VÀ NGUYÊN LÍ TƢƠNG ĐỐI GALILEO 34 2.3.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển 34 2.3.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc 35 2
  3. 2.3.3. Nguyên lý tƣơng đối Galilê 36 2.3.4. Lực quán tính 36 2.4. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ ĐỘNG LƢỢNG 37 2.4.1. Thiết lập các định lí về động lƣợng 38 2.4.2. Ý nghĩa của động lƣợng và xung lƣợng 39 2.5. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƢỢNG 40 2.5.1. Định luật bảo toàn động lƣợng 40 2.5.2. Bảo toàn động lƣợng theo một phƣơng 41 2.5.3. Ứng dụng định luật bảo toàn động lƣợng 42 2.6. KHỐI TÂM 44 2.6.1. Khối tâm của hệ chất điểm 44 2.6.2. Vận tốc của khối tâm 45 2.6.3. Phƣơng trình chuyển động của khối tâm 46 2.7. MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM . 47 2.7.1. Mômen của một vectơ với một điểm 47 2.7.2. Định lí về mômen động lƣợng 47 2.7.3. Mômen động lƣợng của một hệ chất điểm 49 2.7.4. Định lý về mômen động lƣợng của hệ chất điểm 50 2.8. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG 51 2.8.1. Định luật bảo toàn mômen động lƣợng 51 2.8.2. Ứng dụng của định luật bảo toàn mômen động lƣợng 52 2.9. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN - PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 54 2.9.1. Chuyển động tịnh tiến 54 2.9.2. Chuyển động quay 56 2.9.3. Phƣơng trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định 58 2.9.4. Mômen quán tính của vật rắn quay 60 2.9.5. Áp dụng phƣơng trình cơ bản trong chuyển động quay để khảo sát chuyển động của cơ hệ 63 Chương 3. NĂNG LƢỢNG - TRƢỜNG HẤP DẪN 76 3.1. CÔNG VÀ CÔNG SUẤT 76 3.1.1. Công 76 3
  4. 3.1.2. Công suất của lực 77 3.1.3. Công và công suất của lực trong chuyển động quay của vật rắn 78 3.2. NĂNG LƢỢNG 80 3.2.1. Năng lƣợng 80 2. Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lƣợng 81 3.3 ĐỘNG NĂNG 82 3.3.1. Định nghĩa. 82 3.3.2. Biểu thức của động năng, định lý về động năng 82 3.3.3. Động năng của vật rắn quay 83 3.4. TRƢỜNG LỰC THẾ 85 3.4.1 Trƣờng lực thế 85 3.4.2 Thí dụ về trƣờng lực thế 85 3.5. THẾ NĂNG 88 3.5.1. Định nghĩa 88 3.5.2. Tính chất 89 3.5.3. Ý nghĩa của thế năng. 89 3.6. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG TRONG TRƢỜNG LỰC THẾ . 90 3.6.1. Cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng 90 3.6.2. Sơ đồ thế năng 91 3.7. VA CHẠM GIỮA CÁC VẬT 92 3.7.1. Va chạm đàn hồi 93 3.7.2. Va chạm mềm 94 3.8. ĐỊNH LUẬT NEWTON VỀ LỰC HẤP DẪN VŨ TRỤ 94 3.8.1. Định luật Newton về lực vạn vật hấp dẫn 94 3.8.2. Thí dụ 95 3.9. TRƢỜNG HẤP DẪN 97 3.9.1. Khái niệm 97 3.9.2. Định luật bảo toàn mômen động lƣợng của trƣờng hấp dẫn. 97 3.9.3. Tính chất thế của trƣờng hấp dẫn 98 3.9.4. Định luật bảo toàn cơ năng trong trƣờng hấp dẫn 98 3.10. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƢỜNG HẤP DẪN CỦA QUẢ ĐẤT 98 3.10.1. Vận tốc vũ trụ cấp 1 98 3.10.2. Vận tốc vũ trụ cấp 2 99 4
  5. Chương 4. THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN 107 4.1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN 107 4.1.1. Nguyên lí tƣơng đối: 107 4.1.2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: 107 4.2. ĐỘNG HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 107 4.2.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tƣơng đối Einstein 107 4.2.2. Phép biến đổi Lorentz 109 4.3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 111 4.3.1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả 111 4.3.2. Sự co ngắn của độ dài theo phƣơng chuyển động 112 4.3.3. Sự chậm lại của đồng hồ chuyển động (sự giãn của thời gian) 113 4.3.4. Phép biến đổi vận tốc 114 4.4. ĐỘNG LỰC HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH 115 4.4.1. Phƣơng trình cơ bản của chuyển động chất điểm 115 PHẦN 2. NHIỆT HỌC 124 Chương 1. MỞ ĐẦU 125 1.1. THÔNG SỐ TRẠNG THÁI VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI. ÁP SUẤT VÀ NHIỆT ĐỘ 125 1.1.1.Thông số trạng thái và phƣơng trình trạng thái 125 1.1.2. Khái niệm áp suất và nhiệt độ. 125 1.2. CÁC ĐỊNH LUẬT THỰC NGHIỆM VỀ CHẤT KHÍ 127 1.2.1. Định luật Boiler – Mariot 127 1.2.2. Định luật Gay – Lussac 128 1.2.3. Giới hạn ứng dụng của các định luật Boiler – Mariot và Gay – Lussac 128 1.3. PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CỦA KHÍ LÝ TƢỞNG 129 1.3.1. Khí lý tƣởng 129 1.3.2. Phƣơng trình trạng thái của khí lí tƣởng 129 Chương 2. NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT NHIỆT ĐỘNG HỌC 137 2.1. NỘI NĂNG CỦA HỆ NHIỆT ĐỘNG. CÔNG VÀ NHIỆT 137 2.1.1. Hệ nhiệt động 137 2.1.2. Nội năng 137 5
  6. 2.1.3. Công và nhiệt 138 2.2. NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT NHIỆT ĐỘNG HỌC 140 2.2.1. Nguyên lý thứ nhất nhiệt động học 140 2.2.2. Hệ quả 141 2.2.3. Ý nghĩa của nguyên lý thứ nhất 142 2.3. TRẠNG THÁI CÂN BẰNG VÀ QUÁ TRÌNH CÂN BẰNG 142 2.3.1. Định nghĩa 142 2.3.2. Công của áp lực trong quá trình cân bằng 143 2.3.3. Nhiệt trong quá trình cân bằng – nhiệt dung. 144 2.3.4. Nội năng của khí lý tƣởng. 145 2.4. DÙNG NGUYÊN LÝ THỨ NHẤT ĐỂ KHẢO SÁT CÁC QUÁ TRÌNH CÂN BẰNG CỦA KHÍ LÝ TƢỞNG 145 2.4.1. Quá trình đẳng tích 145 2.4.2. Quá trình đẳng áp 146 2.4.3. Quá trình đẳng nhiệt 148 2.4.4. Quá trình đoạn nhiệt 149 Chương 3. NGUYÊN LÝ THỨ HAI NHIỆT ĐỘNG HỌC 157 3.1. NGUYÊN LÝ THỨ HAI NHIỆT ĐỘNG HỌC 157 3.1.1. Những hạn chế của nguyên lý thứ nhất 157 3.1.2. Nguyên lý thứ hai nhiệt động học 158 3.1.3. Quá trình thuận nghịch và không thuận nghịch 158 3.1.4. Máy nhiệt 159 3.1.5. Chu trình Carnot và định lý Carnot 160 3.2. BIỂU THỨC ĐỊNH LƢỢNG CỦA NGUYÊN LÝ THỨ HAI 164 3.3. HÀM ENTROPY VÀ NGUYÊN LÝ TĂNG ENTROPY 165 3.3.1. Hàm Entropy 165 3.3.2. Nguyên lí tăng entropy 167 6
  7. PHẦN I: CƠ HỌC Chương 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Động học nghiên cứu các đặc trưng của chuyển động cơ học (phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo, quãng đường dịch chuyển, vận tốc, gia tốc) nhưng không xét đến nguyên nhân gây ra sự thay đổi trạng thái chuyển động. 1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1. Chuyển động và hệ qui chiếu a. Chuyển động Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với các vật khác trong không gian theo thời gian. b. Hệ qui chiếu Muốn xác định đƣợc vị trí của một vật chuyển động tại một thời điểm nào đó, ta phải xác định khoảng cách từ vật đó đến vật chọn làm mốc đƣợc quy ƣớc là đứng yên. Từ đó ngƣời ta đƣa ra định nghĩa về hệ qui chiếu. Hệ qui chiếu gồm: Vật chọn làm mốc gắn với một hệ trục tọa độ để xác định vị trí của vật. Đồng hồ đo thời gian để xác định thời gian chuyển động. Chuyển động của một vật chỉ có tính chất tương đối tùy theo hệ qui chiếu đƣợc chọn, đối với hệ qui chiếu này nó là chuyển động, nhƣng đối với hệ qui chiếu khác nó có thể là đứng yên. Ví dụ. Một hành khách đứng yên trên một toa tàu nhƣng vì tàu chuyển động đối với ga nên hành khách chuyển động đối với nhà ga. 7
  8. 1.1.2. Chất điểm và hệ chất điểm a. Chất điểm Bất kỳ vật nào trong tự nhiên cũng có kích thƣớc xác định. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán ta có thể bỏ qua kích thƣớc của vật đƣợc khảo sát. Khi đó ta có khái niệm về chất điểm. Chất điểm là vật có kích thước rất nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, những kích thước mà ta khảo sát. Nhƣ vậy, khái niệm chất điểm chỉ có tính tƣơng đối. Một vật thể đƣợc coi là chất điểm không phải do kích thƣớc tuyệt đối của nó xác định mà do tỉ số giữa kích thƣớc tuyệt đối và kích thƣớc của bài toán đang khảo sát quy định. Ví dụ. Khi xét chuyển động của Trái Đất quay quanh Mặt Trời ta có thể coi 6 8 Trái Đất và Mặt trời là những chất điểm mặc dù RTĐ  6.10 m, RMT  7.10 m. Nhƣng khoảng cách này rất nhỏ so với khoảng cách giữa tâm Mặt trời và tâm Trái đất cỡ 1,5.1011m. Mặt khác, khi nghiên cứu sự quay của Trái đất quanh trục của nó thì ta không thể xem Trái đất là chất điểm. Khi khảo sát chuyển động của vật đƣợc coi là chất điểm có thể bỏ qua sự vận động tƣơng đối với các phần của vật và sự chuyển động tự quay của nó. b. Hệ chất điểm Hệ chất điểm là một tập hợp các vật thể mà mỗi vật thể đƣợc coi nhƣ một chất điểm. Vật rắn là hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì trong hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động của hệ. 1.1.3. Phƣơng trình chuyển động của chất điểm Phương trình chuyển động là phương trình thiết lập sự phụ thuộc quãng đường đi được hoặc vị trí của vật vào thời gian. 8
  9. Tùy thuộc vào hệ tọa độ mà có các dạng phƣơng trình chuyển động khác nhau. Phƣơng trình chuyển động trong một số hệ tọa độ thƣờng dùng: a. Hệ tọa độ cong M + Giả sử chất điểm M chuyển động • trên một đƣờng cong (C). Trên (C) ta chọn ( C ) O điểm O làm gốc và một chiều dƣơng. • Vị trí chất điểm M ở thời điểm t bất Hình 1.1. Hệ tọa độ cong kì OM = s, với s là hoành độ cong của M. Phƣơng trình phƣơng trình chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa độ cong là: s = s(t). (1.1) b. Hệ tọa độ Descartes Trong hệ tọa độ Descartes vị trí mà chất điểm M trong không gian sẽ đƣợc xác định bằng vectơ OM có tọa độ x, y, z, trong đó OM là vectơ bán kính của chất điểm M: OM = r = xi + y j + zk . Khi chất điểm chuyển động, vị trí M thay đổi theo thời gian, các tọa độ x, y, z của M là các hàm của thời gian t: x = x(t), y = y(t), z = z(t), hay: r = r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k . (1.2) Các phƣơng trình (1.2) xác định vị trí của chất điểm tại thời điểm t đƣợc gọi là phương trình chuyển động của chất điểm. Vậy trong hệ tọa độ Descartes, phương trình chuyển động là phương trình liên hệ giữa tọa độ và thời gian. 1.1.4. Quỹ đạo và phƣơng trình quĩ đạo Quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường cong tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm trong không gian trong suốt quá trình chuyển động. 9
  10. Phương trình quĩ đạo là phương trình liên hệ giữa các tọa độ của chất điểm trên quỹ đạo của nó. Để viết đƣợc phƣơng trình quĩ đạo ta phải khử biến số t trong các phƣơng trình chuyển động. Thí dụ: Phƣơng trình chuyển động của chất điểm có dạng: x = acosωt, y = bsinωt, z = 0, trong đó a, b, ω là các hằng số. x 2 y 2 Vậy phƣơng trình quĩ đạo của chất điểm: + = 1 và z = 0 là đƣờng a2 b2 elip nằm trong mặt phẳng xoy với các bán trục a, b. 1.2. VẬN TỐC Vận tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho phương, chiều, và sự nhanh hay chậm của chuyển động. 1.2.1. Khái niệm vận tốc a. Vận tốc trung bình Vận tốc trung bình là quãng đƣờng trung bình chất điểm đi đƣợc trong một đơn vị thời gian. (1. 3) Vận tốc trung bình chỉ đặc trƣng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển động trên cả quãng đƣờng ∆s. Trên quãng đƣờng này, nói chung độ nhanh chậm của chất điểm thay đổi từ điểm này đến điểm khác, và không bằng vtb. Vì vậy, để đặc trƣng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm, ngƣời ta phải tính tỉ số ∆s/∆t trong những khoảng thời gian vô cùng nhỏ ∆t 0, ta gọi đó là vận tốc tức thời. b. Vận tốc tức thời . 10
  11. Vận tốc tức thời (hay vận tốc ở thời điểm t bất kì) đặc trƣng cho độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm ở thời điểm t và có độ lớn bằng đạo hàm bậc nhất hoành độ cong của chất điểm !đối với thời gian. Vận tốc v là một đại lƣợng đại số: y Dấu của v xác định chiều chuyển động: nếu v > 0, vật chuyển động theo chiều dƣơng; nếu v < 0 vật chuyển động theo chiều âm. Độ lớn của v xác định độ nhanh hay chậm của chuyển động tại thời điểm đƣợc xét. O x Hình 1.5. Chuy$! "#%ng ném xiên c. Vectơ vận tốc: Để đặc trƣng đầy đủ cả về phƣơng chiều và độ nhanh chậm của chuyển động ngƣời ta đƣa ra một vectơ gọi là vectơ vận tốc. Vectơ vận tốc tại vị trí M là một vectơ v có phƣơng nằm trên tiếp tuyến với quĩ đạo tại M, chiều theo chiều chuyển động và có độ lớn bằng trị tuyệt đối của v: M’ M • ds ! v = . (1.4) • dt O • Hình 1.2. Véct! v"n t#c d. Đơn vị: m/s 1.2.2. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes Giả sử ở thời điểm t vật có vị trí xác định bởi r , ở thời điểm t + dt vật có vị trí r dr . Dễ thấy: dr = ds = MM', nên: dr v = , (1.5) dt trong đó: ! Hình 1.3 r = xi + y j + zk. 11
  12. ì dr d ì dx ïv = = (x.i + y.j + z.k) v = dt dt ï x dt ï ï ï dx dy dz ï dy Ta có: ív = i + j + k Þ ív y = (1.6) ï dt dt dt ï dt ï ï dz v = vx i + vy j + vz k v = ï ï z î î dt Độ lớn vận tốc được tính theo công thức : 2 2 2 2 2 2 æ dx ö æ dy ö æ dzö v = v + v + v = ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ (1.7) x y z è dt ø è dt ø è dt ø 1.3. GIA TỐC Gia tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho sự biến thiên của véctơ vận tốc về cả phương chiều và độ lớn. 1.3.1. Khái niệm vectơ gia tốc a. Vectơ gia tốc trung bình Vectơ gia tốc trung bình của chuyển động là độ biến thiên trung bình của vectơ vận tốc trong một đơn vị thời gian. Giả sử một vật chuyển động ở thời điểm t có vectơ vận tốc v , ở thời điểm t+∆t chất điểm có vectơ vận tốc v v thì đại lƣợng: , (1.8) là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian ∆t. b. Vectơ gia tốc tức thời Khi ∆t→0 thì đại lƣợng: , (1.9) gọi là vectơ gia tốc tức thời đặc trƣng cho sự biến thiên vận tốc ở từng thời điểm. * Trong hệ tọa độ Descartes: 12
  13. ì dv d ì dv d 2 x a = = (v .i + v .j + v .k) x ï x y z ï ax = = 2 ï dt dt dt dt ï 2 ï dvx dvy dvz ï dv d y ía = i + j + k Þ a = y = (1.10) dt dt dt í y 2 ï ï dt dt ïa = a i + a j + a k ï dv d 2z x y z a = z = ï ï z 2 î î dt dt * Độ lớn của gia tốc được tính theo công thức: æ 2 ö 2 æ 2 ö 2 æ 2 ö 2 2 2 2 d x d y d z a = ax + ay + az = ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ . (1.11) è dt 2 ø è dt 2 ø è dt 2 ø d. Đơn vị: m/s2 1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Gọi t là vec tơ chỉ phƣơng của vận tốc. Þ v = v.t (t =1) dv d(v.t) Þ a = = dt dt dv dt Þ a = t + v dt dt Nhƣ vậy, vectơ gia tốc đƣợc phân tích thành hai thành phần: thành dv phần đặc trƣng cho sự biến đổi về mặt độ lớn của vec tơ vận tốc ( ) gọi là dt gia tốc tiếp tuyến, thành phần đặc trƣng cho sự biến đổi về mặt phƣơng chiều dt của vec tơ vận tốc ( ) gọi là gia tốc pháp tuyến (hay gia tốc hƣớng tâm). dt dt Biến đổi v ta thu đƣợc: dt dt v 2 v = n, dt R trong đó n là vec tơ đơn vị hƣớng theo phƣơng pháp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang xét, chiều hƣớng về phần lõm của quỹ đạo. dv v 2 Þ a = t + n dt R 13
  14. ! ’ Thật vậy: M ! d! • ! dt dt dj ds M • ! ds = . . ! dt dj ds dt ! dt dt 1 ds Þ = . . dt dj ds dt R dj d! dt dt v Þ = . (*) dt dj R O Hình 1.4 trong đó: R là bán kính cong của quỹ đạo tại điểm đang xét. dt Xét là một vec tơ có: dt - Phương, chiều: 2 d(t) dt 2 = 2t = 0 (t = 1) dj dj dt Þ ^ t dj dt mà t có phƣơng tiếp tuyến với quỹ đạo, do đó có phƣơng pháp tuyến và có chiều dj hƣớng về phía lõm của quỹ đạo (Hình 1.4). - Độ lớn: Do: t = t ' = 1 dt Þ = t = 1 (*) dj (*) Chú ý trong hình tròn: cung = bán kính dây cung - Vậy: dt = n dj là véc tơ đơn vị hƣớng theo phƣơng pháp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang xét, chiều hƣớng về phía lõm của quỹ đạo. dt v 2 Þ v = n , dt R (điều phải chứng minh). 14
  15. a. Gia tốc tiếp tuyến dv Thành phần a = t là vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trƣng cho sự biến t dt thiên về độ lớn của vectơ vận tốc. Vectơ gia tốc tiếp tuyến có đặc điểm: Có phƣơng trùng với tiếp tuyến quĩ đạo tại điểm đƣợc xét. Có chiều là chiều chuyển động khi v tăng và ngƣợc lại. Có độ lớn bằng độ lớn đạo hàm vận tốc theo thời gian: dv a =| |. t dt b. Gia tốc pháp tuyến v2 Thành phần a = n là vectơ gia tốc pháp tuyến (hay gia tốc hƣớng n R tâm) đặc trƣng cho sự biến thiên về phƣơng, chiều của vectơ vận tốc. Vectơ gia tốc pháp tuyến có đặc điểm: Có phƣơng trùng với pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đƣợc xét. Có chiều hƣớng về phía lõm của quĩ đạo. Có độ lớn bằng: v 2 an= . R Nhƣ vậy, vectơ gia tốc có thể phân tích ra hai thành phần: a at an , 1.12) trong đó: dv a = t , (1.13) t dt v2 a = n. (1.14) n R Vì: at ^ an 2 2 2 2 2 æ dvö æ v ö Þ a = at + an = ç ÷ +ç ÷ . (1.15) è dt ø è R ø 15
  16. 1.4. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG ĐẶC BIỆT 1.4.1. Chuyển động thẳng (an = 0) a. Chuyển động thẳng đều Đặc điểm: Chuyển động thẳng (hƣớng vận tốc không đổi): an = 0. Chuyển động đều (độ lớn vận tốc không đổi): at = 0. Þ a = 0 Þ v = const mà: ds v = dt nên ta có: s = vt (1. 16) b. Chuyển động thẳng biến đổi đều Đặc điểm: Chuyển động thẳng: an = 0. Chuyển động biến đổi đều: at = const. Þ a = a = const t dv Þ a = a = t dt Þ v = vo + at (1.17) 1 s = s + v t + at 2 (1. 18) o o 2 2 2 vt - vo = 2as (1. 19) Nếu chọn chiều dƣơng trùng với chiều chuyển động thì: a > 0 → chuyển động nhanh dần đều. a < 0 → chuyển động chậm dần đều. 1.4.2. Chuyển động tròn 1.4.2.1. Vận tốc góc: 16
  17. a.Vận tốc góc trung bình: Vận tốc góc trung bình là góc quay trung bình của bán kính trong một đơn vị thời gian. Giả sử trong thời gian ∆t chất điểm chuyển động đƣợc quãng đƣờng ∆s tƣơng ứng với góc quay của bán kính là ∆ . Khi đó vận tốc góc trung bình trong khoảng thời gian ∆t là: . (1. 20) b. Vận tốc góc tức thời: . (1. 21) Vận tốc góc tức thời có giá trị bằng đạo hàm của góc quay theo thời gian. c. Vectơ vận tốc góc dj w = . (1. 22) dt Có: phương: nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, chiều: thuận chiều quay đối với chiều chuyển động, độ lớn: dj w = . dt d. Đơn vị: rad/s e. Hệ quả 1: v = w Ù R. (1. 23) Chứng minh: 17
  18. w Ù R = wR sin(w,R) = Rw ds R.dj * Về độ lớn: v = = = Rw dt dt Þ v = w Ù R * Về phƣơng chiều: 3 vec tơ v, w, R theo đúng thứ tự luôn tạo thành một tam diện thuận 3 mặt vuông. Vậy: v = wÙ R. f. Hệ quả 2: 2 an = Rw (1. 24) Chứng minh: v 2 R2w 2 a = = = Rw 2 n R R 1.4.2.2. Gia tốc góc a.Vectơ gia tốc góc trung bình: Vận tốc góc trung bình là độ biến thiên trung bình của vec tơ vận tốc góc trong một đơn vị thời gian. (1. 25) b. Vectơ gia tốc góc tức thời: (1. 26) Vectơ gia tốc góc có: phương: nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, chiều: cùng chiều với w khi b > 0 , ngược chiều với w khi b < 0, độ lớn: dw b = dt 18
  19. c. Đơn vị: rad2/s d. Hệ quả: at = b Ù R (1. 27) Chứng minh: b Ù R = bR sin(b,R) = bR dv d(wR) * Về độ lớn: at = = = bR dt dt Þ at = b Ù R * Về phƣơng chiều: 3 vec tơ at , b, R theo đúng thứ tự luôn tạo thành một tam diện thuận 3 mặt vuông. Vậy: at = b Ù R 1.4.3. Chuyển động ném xiên Giả sử vật đƣợc ném xiên với vận tốc ban đầu vo. Gia tốc chuyển động của vật tại mọi thời điểm là: a = g. Chọn hệ trục tọa độ oxy nhƣ Hình 5, gốc tọa độ trùng với vị trí bắt đầu ném, chiều dƣơng hƣớng lên trên. Ta có: ì dvx ïax = = 0 ì ï dt ïvx = C1 í Þ í dvy ïv = -gdt = C - gt ïa = = -g î y ò 2 îï y dt Tại t = 0: ìv = v = v .cosa ìC = v .cosa ìv = v .cosa í x 0 x 0 Þ í 1 0 Þ í x 0 îvy = v0 y = v0.sina îC2 = v0.sina îvy = v0.sina - gt Mặt khác: ì dx ì ïvx = x = ò vx dt = ò v0 cosa dt = C3 + v0 cosa.t ï dt ï Þ í Þ í dy 1 2 ï ïy = vy dt = (v0 sina - gt)dt = C4 + v0 sina.t - gt vy = î ò ò îï dt 2 19
  20. ! Tại t = 0: y ì x = 0 ìC 3 = 0 í Þ í î y = 0 îC 4 = 0 Vậy phƣơng trình chuyển động của vật ném xiên: O x ì x = v cosa.t Hình 1.5. Chuy$ %ng ném xiên ï 0 ! "# í 1 2 (1. 28) ï y = v0 sina.t - gt î 2 Rút t trên x thay vào y ta đƣợc phƣơng trình quỹ đạo: 1 2 y = - 2 2 gx + tana.x (1. 29) 2v0 .cos a Vậy quỹ đạo của chuyển động ném xiên là quỹ đạo parabol. M’ M • • ! O • Hình 1.2. Véct! v"n t#c 20
  21. TỔNG KẾT CHƢƠNG I 1. Hệ qui chiếu gồm: Vật chọn làm mốc gắn với một hệ trục tọa độ để xác định vị trí của vật. Đồng hồ đo thời gian để xác định thời gian chuyển động. 2. Véctơ vận tốc: Đặc trưng cho phương, chiều, và sự nhanh hay chậm của chuyển động: ds v = . dt 3. Véctơ gia tốc: Đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về , phương, chiều, và độ lớn: dv a = , dt a được phân tích thành hai thành phần: a = at + an , trong đó: at: là gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về trị số của vận tốc, dv at = t. dt an : là gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về phương, chiều của vận tốc, 2 v . an = n R 4. Chuyển động thẳng đều: an =0, at =0, 21
  22. Þ v = const, s = v.t 5. Chuyển động thẳng biến đổi đều: a = const , v =vo + at, 1 2, s =so + vot + at 2 2 2 vt - vo =2as. Chọn chiều dương là chiều chuyển động. a > 0→ chuyển động nhanh dần đều. a 0 , ngược chiều với w khi b < 0, - độ lớn: dw b = . dt c. Quan hệ giữa vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến, vận tốc góc và gia tốc góc: 22
  23. v = w ÙR 2 an = Rw at = b ÙR 8. Chuyển động ném xiên: Chọn trục oy là phương thẳng đứng, chiều hướng lên trên. Chọn trục ox có phương ngang, chiều dương hướng theo phương ném. a. Gia tốc. a = g b. Vận tốc. ìv = v .cosa í x 0 îvy = v0.sina - gt c. Phương trình chuyển động của vật: ì x = v cosa.t ï 0 í 1 2 ï y = v0 sina.t - gt î 2 b. Phương trình quỹ đạo: 1 2 y = - 2 2 gx + tana.x 2v0 .cos a 23
  24. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1.1. Hệ qui chiếu là gì? Tại sao nói khái niệm chuyển động hay đứng yên chỉ có tính tƣơng đối? Cho ví dụ minh họa. 1.2. Phân biệt vận tốc trung bình và vận tốc tức thời. Viết biểu thức và nêu các đặc điểm của véctơ vận tốc. 1.3. Viết biểu thức và nêu ý nghĩa vật lí của véc tơ gia tốc. 1.4. Nêu đặc điểm và viết biểu thức của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến trong chuyển động tròn đều. 1.5. Khi vận tốc không đổi thì vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian nào đó có khác vận tốc tức thời tại một thời điểm nào đó không? 1.6. Thiết lập các công thức liên hệ giữa quãng đƣờng, gia tốc, vận tốc và thời gian trong chuyển động thẳng biến đổi đều, chuyển động rơi tự do, chuyển động ném xiên. 1.7. Viết biểu thức và nêu các đặc điểm của véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc trong chuyển động tròn. Phân biệt, véctơ vận tốc và véctơ vận tốc góc, véctơ gia tốc và véctơ gia tốc góc về mặt phƣơng chiều? 1.8. Viết các công thức vectơ liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc trong chuyển động tròn. BÀI TẬP CHƢƠNG I Bài 1.1. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s2. Hỏi sau giây thứ nhất: a. Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh? b. Gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe? c. Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên vành bánh)? 24
  25. Bài 1.2. Ngƣời ta thả một hòn sỏi từ nóc nhà mái bằng 10 tầng cao 30m. Bỏ qua sức cản không khí. Biết gia tốc trọng trƣờng là g = 10m/s2. Tìm khoảng thời gian hòn sỏi đi qua tầng trên cùng và đi qua tầng cuối cùng. Bài 1.3. Ngƣời ta thả một vật rơi tự do từ đỉnh tháp cao h = 19,6m. Tính: a. Quãng đƣờng vật rơi đƣợc trong 0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi. b. Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của độ cao h. Bài 1.4. Một vật đƣợc ném lên từ mặt đất theo phƣơng thẳng đứng vận tốc ban đầu vo=20m/s. Bỏ qua sức cản không khí, lấy gia tốc trọng trƣờng g =10m/s2. a. Tính độ cao cực đại của vật đó và thời gian để đi lên đƣợc độ cao đó. b. Từ độ cao cực đại vật rơi xuống mặt đất hết bao lâu? Tính vận tốc của vật khi vật chạm đất. Bài 1.5. Từ độ cao h = 25m ngƣời ta ném một viên đá theo phƣơng hợp với mặt o phẳng nằm ngang một góc α = 60 với vận tốc ban đầu vo = 20m/s. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g = 10m/s2. a. Viết phƣơng trình chuyển động của viên đá. b. Viên đá đạt độ cao cực đại bao nhiêu và vào thời điểm nào? c. Tính thời gian viên đá đƣợc ném đi đến lúc viên đá chạm đất. Bài 1.6. Một hòn đá đƣợc ném lên từ mặt đất với vận tốc vo = 20m/s theo phƣơng hợp với phƣơng ngang một góc α = 60o. Xác định tầm xa và tầm cao mà viên đá đạt đƣợc. Bỏ qua sức cản của không khí. Bài 1.7. 25
  26. Một máy bay đang bay theo phƣơng hợp với phƣơng ngang một góc 30o (bay xuống) với vận tốc v = 200m/s thì thả một vật ở độ cao 1500m. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g = 10m/s2. a. Hỏi vật rơi đến mặt đất sau bao lâu và chỗ vật rơi cách chỗ thả bao xa theo phƣơng ngang? b. Tính vận tốc lúc vừa chạm đất và góc hợp bởi vectơ vận tốc và mặt đất lúc đó. Bài 1.8. Một chiếc ôtô chuyển động trên một đƣờng tròn bán kính 50m. Quãng đƣờng đi đƣợc trên quỹ đạo có công thức: s = -0.5t2 + 10t + 10. Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của ôtô lúc t = 5s. Đơn vị của quãng đƣờng s là mét (m). Bài 1.9. Một vôlăng đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị hãm lại. Sau một phút vận tốc của vôlăng còn là 180 vòng/phút. a. Tính gia tốc góc của vôlăng lúc bị hãm. b. Tính số vòng vôlăng quay đƣợc trong một phút bị hãm đó. Bài 1.10. Một tàu hỏa rời ga với vận tốc nhanh dần đều. Sau 3phút sẽ đạt đến v = 72km/h. Nhƣng sau 2 phút đi vào đoạn đƣờng cong có dạng cung tròn bán kính R = 800m. Tìm gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến và gia tốc toàn phần lúc bắt đầu vào đoạn đƣờng cong. 26
  27. Chương 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Trong chương trước, chúng ta đã nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu nguyên nhân gây ra các dạng chuyển động đó. 2.1. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON 2.1.1. Định luật Newton thứ nhất Nội dung định luật: Chất điểm cô lập (không chịu tác dụng của ngoại lực) nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là chuyển động thẳng đều. . (2.1) Từ định luật Newton thứ nhất ta thấy một chất điểm cô lập thì trong cả hai trƣờng hợp vận tốc đều không thay đổi, ta nói trạng thái chuyển động của nó đƣợc bảo toàn, tính chất này gọi là chuyển động theo quán tính. Vì vậy định luật Newton thứ nhất còn gọi là định luật quán tính. Thí dụ: khi ôtô đang chuyển động đột ngột dừng lại thì hành khách trên ôtô do quán tính sẽ bị ngả ngƣời về phía trƣớc. 2.1.2 Định luật Newton thứ hai Định luật Newton thứ hai xét chất điểm ở trạng thái không cô lập, nghĩa là chịu tác dụng của những vật khác. Nội dung định luật: Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp F ¹0 là một chuyển động có gia tốc và gia tốc này tỉ lệ tổng hợp lực tác dụng F và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chuyển động ấy: F a = k . m F Trong hệ SI thì k=1 nên: a = . (2.2) m 27
  28. Trƣờng hợp vật chịu tác dụng của nhiều lực F1,F2, thì F = åF i khi đó i phƣơng trình định luật Newton thứ hai đƣợc viết thành: F = åF i = ma i Nếu chất điểm đồng thời chịu tác dụ ng của nhi ề u lực, nhƣng lực tổng hợp bằng không F = åF i = 0 thì a = 0, vật không cô lập sẽ đứng yên hoặc i chuyển động thẳng đều. 2.1.3. Phƣơng trình cơ bản của động lực học chất điểm Phƣơng trình định luật Newton thứ hai có thể viết dƣới dạng: F = ma. (2.3) gọi là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm. 2.1.4. Định luật Newton thứ ba Nội dung định luật: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F': hai lực F và F'tồn tại đồng thời, cùng phương, ngược chiều, cùng độ lớn. F = -F'. (2.4) Thí dụ: khi đá quả bóng vào tƣờng thì A B quả bóng sẽ tác dụng một lực vào tƣờng nên tƣờng đã đã tác dụng lại một lực vào quả bóng, kết quả là làm quả bóng bị bật ra. F ' F Nếu F là lực tác dụng thì F ' là phản Hình 2.1. Cặp lực trực đối. lực và ngƣợc lại, hai lực này gọi là cặp lực trực đối. Có F+ F ' = 0 nhƣng nếu xét hai vật A và B riêng rẽ thì chúng không khử nhau vì điểm đặt của chúng lên hai vật khác nhau. Tuy nhiên, nếu xét hệ vật gồm hai vật A và B thì cặp lực này đóng vai trò là nội lực, tự động triệt tiêu vì chúng cùng tác dụng lên hệ đƣợc xét. Do vậy, từ định luật Newton thứ ba ta có: tổng các nội lực tương tác trong một hệ vật luôn bằng không (vì nội lực luôn tồn tại thành từng cặp lực trực đối). 28
  29. 2.2. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC ĐỂ KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT Để khảo sát chuyển động của các vật thì ta cần phải xác định đƣợc gia tốc chuyển động của vật thông qua phƣơng trình cơ bản của cơ học: F = ma. Vậy trƣớc hết ta cần xác định các lực tác dụng lên vật. Những lực này thƣờng gồm hai loại: lực tác dụng và lực liên kết. 2.2.1. Các lực liên kết Lực liên kết là lực tƣơng tác giữa các vật khi chúng tiếp xúc với nhau nhƣ: phản lực, lực ma sát, lực căng. R N a. Phản lực và lực ma sát v Khi một vật chuyển động trên mặt một vật khác thì mặt này sẽ lại tác dụng lên vật Fms một phản lực R gọi là phản lực bề mặt. Hình 2.2. Phản lực Phản lực R gồm hai thành phần: R = N + F . ms Trong đó: N gọi là phản lực pháp tuyến, có điểm đặt tại điểm tiếp xúc giữa vật và mặt giá đỡ, phƣơng vuông góc với mặt giá đỡ. Fms gọi là lực ma sát, có điểm đặt tại điểm tiếp xúc, phƣơng tiếp tuyến với mặt giá đỡ, ngƣợc chiều vận tốc và cản trở chuyển động của vật.  Phân loại các lực ma sát: 1. Ma sát nghỉ: là lực ma sát xuất hiện khi một vật đứng yên trên bề mặt của một vật khác. Chiều và độ lớn của lực ma sát nghỉ phụ thuộc vào lực tác dụng lên vật, phải thỏa mãn điều kiện tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng không để vật đứng yên. Vậy lực ma sát nghỉ không có giá trị xác định, giá trị cực đại của lực ma sát nghỉ là Fms = knN đạt đƣợc khi vật bắt đầu chuyển động, trong đó kn là hệ số ma sát nghỉ phụ thuộc vào bản chất vật liệu và trạng thái bề mặt tiếp xúc, N là phản lực pháp tuyến. Ở trạng thái chuyển động thì lực ma sát nghỉ sẽ chuyển thành lực ma sát trƣợt. 29
  30. 2. Ma sát trượt: là lực ma sát xuất hiện khi một vật trƣợt trên bề mặt của một vật khác. Nếu vận tốc chuyển động của vật không quá lớn thì: Fmst = ktN, (2.5) trong đó kt là hệ số ma sát trƣợt, thƣờng đƣợc coi bằng hệ số ma sát nghỉ. 3. Ma sát lăn: ma sát lăn không tồn tại khái niệm lực, chỉ tồn tại khái niệm mô men lực. Do đó không xuất hiện ma sát lăn trong các phƣơng trình lực. Mô men lực ma sát lăn xuất hiện khi một vật lăn trên bề mặt vật khác có tác dụng cản trở sự lăn của vật (xuất hiện trong phƣơng trình quay). Mô men ma sát lăn thƣờng rất nhỏ nên trong rất nhiều bài toán ngƣời ta thƣờng bỏ qua tác dụng của mô men ma sát lăn. b. Lực căng Giả xử vật có khối lƣợng m bị buộc vào sợi dây không giãn, dƣới tác dụng của ngoại lực F vật có một trạng thái động lực nào đó (đứng yên hay chuyển động với một gia tốc xác định) và dây bị căng. Khi đó dây tác dụng lực căng lên vật m. Lực căng tác dụng lên vật có các đặc điểm sau: Điểm đặt tác dụng lên vật đang xét, tại vị trí buộc vật. T M Phƣơng là phƣơng của sợi dây. • Chiều hƣớng về điểm giữa của sợi dây. P Độ lớn của lực căng trên cùng một đoạn dây là Hình 2.3. Lực căng giống hệt nhau. 2.3.2. Một số bài toán cơ bản của động lực học chất điểm Trình tự chung để giải một bài toán động lực học: Phân tích mọi lực tác dụng lên vật. Lập phương trình định luật II Niutơn dạng vectơ: F = ma. Chọn hệ trục tọa độ. Chiếu phương trình định luật II Niutơn lên hệ tọa độ đó. Dùng các điều kiện ban đầu để tính toán và biện luận. 30
  31. a. Chuyển động của vật trong mặt phẳng nằm ngang Bài toán 1: Vật có khối lƣợng m đƣợc đặt trên mặt phẳng nằm ngang chịu tác dụng của lực kéo F hợp với phƣơng nằm ngang một góc α. Biết vật chuyển động với gia tốc a và hệ số ma sát trƣợt với sàn là k. Tìm F theo a, k và α. Giải Phƣơng trình định luật II Niutơn: P + N + F + F = ma (1) ms y Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. Chiếu phƣơng trình (1) lên phƣơng N F oy ta đƣợc: x N – P + Fsinα = 0, hay: Fms P N = P - Fsinα. Hình 2.4. Chiếu phƣơng trình (1) lên phƣơng ox ta đƣợc: Fcosα – Fms = ma → Fcosα – kN = ma (vì Fms = kN) → Fcosα – k(P - Fsinα) = ma → Fcosα – k(mg - Fsinα) = ma m(a + kg) → F = cosa + k sina b. Chuyển động của vật trên mặt phẳng nghiêng và ròng rọc Bài toán 2: Một vật có khối lƣợng m đƣợc kéo lên mặt phẳng nghiêng một góc α. Trong đó lực kéo F hợp với mặt phẳng nghiêng một góc β, hệ số ma sát k. Xác định gia tốc của vật. Giải 31
  32. ! Phƣơng trình định luật II Niutơn: F + N + P + F = ma (2)! y ms x Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. ! ! Chiếu phƣơng trình (2) lên trục oy ta đƣợc: l N – Pcosα + Fsinβ = 0 ! ! hay: ! Hình 2.5 ! ! N = Pcosα - Fsinβ Chiếu phƣơng trình (2) lên trục ox ta đƣợc: Hình 2.7 ! Fcosβ - Fms – Psinα = ma → Fcosβ - kN– Psinα = ma B → Fcosβ – k(Pcosα - Fsinβ)– Psinα = ma α F(cosb + ksinb) - mg(kcosa + sina) → a = Hình 2.6 m Bài toán 3: Cho cơ hệ nhƣ Hình 2.6. Vật ! ! A và vật B lần lƣợt có khối lƣợng là mA và mB sao cho mA sina < mB. Khối lƣợng ròng rọc không đáng kể và coi ! ! sợi dây không giãn, khối lƣợng ! ! ! ! không đáng kể. Bỏ qua ma sát giữa ! ! ròng rọc và dây. Thả cho hai vật Hình 2.7 chuyển động. Hệ số ma sát giữa vật Hình 2.7 ! A và mặt phẳng nghiêng là k. Tìm gia tốc của hệ và lực! căng của sợi dây. Giải Bước 1: Phân tích lực và vẽ hình Vật mA: PA, TA , N, Fms Vật mB: PB , TB 32
  33. Bước 2: Viết phương trình cơ bản cho từng vật Vật mA: PA + TA + N + Fms = mA . aA (1) Vật mB: PB + TB = mB . aB (2) Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ Có bao nhiêu phƣơng chuyển động có bấy nhiêu hệ trục tọa độ Chiều dƣơng là chiều chuyển động Bước 4: Chiếu lên trục tọa độ Lực vuông góc với trục tọa độ thì hình chiếu bằng không. Lực cùng chiều dƣơng thì hình chiếu lấy dấu (+) và ngƣợc lại. Vì: mA sina < mB, nên vật B chuyển động từ trên xuống dƣới. Chọn chiều dƣơng là chiều chuyển động nhƣ hình vẽ. Chiếu (1) và (2) lên phƣơng chuyển động ta đƣợc: Vật mA: TA - Fms - P1 = mA . aA (3) Vật mB: PB - TB = mB . aB (4) Bước 5: Tìm các mối quan hệ khác  TA = TB = T (5), do khối lƣợng ròng rọc không đáng kể.  aA = aB = a (6), do sợi dây không giãn và luôn căng.  F = k.P (7), do vật không chuyển động theo phƣơng ms 2 vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên: N = P . 2 Bước 6: Giải hệ phương trình Cộng (3), (4) sau khi thay (5), (6), (7) ta đƣợc: PB - P1 - k.P2 = (mA + mB ). a P - P (k cosa + sina) Þ a = B A mA + mB 33
  34. ! ! Lực căng của sợi dây là: T = mB g - mB a mB g - kmA gcosa - mA gsina T = mB (g - ) mA + mB m m g T = (1+ sina + k cosa) A B mA + mB 2.3. CHUYỂN ĐỘNG TƢƠNG ĐỐI VÀ NGUYÊN LÍ TƢƠNG ĐỐI GALILEO 2.3.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển ! Xét hai hệ tọa độ: Oxyz (O) đứng yên và O‟x‟y‟z‟ (O‟) chuyển động với (O) sao cho O‟x‟ luôn luôn trƣợt dọc trục Ox, O‟y‟ song song và cùng chiều ! ‟ ‟ với Oy, O z song song và cùng chiều Oz . ! y x Xét một điểm M bất kỳ trong không gian có tọa độ: ! ! Đối với hệ O: x, y, z, t. ! l ! ! ‟ ’ ’ Đối với hệ O : x’, y , z’, t . ! ! Trong cơ học cổ điển: ! Hình 2.7 Hình 2.5 ! ! ! t = t’, x = x’ + OO’, y = y’, z = z’ (công thức biến đổi Galilê) hay thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộcHì nhhệ 2.7 qui chiếu, và vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc !hệ qui chiếu vì thế chuyển động có tính tƣơng đối phụ thuộc hệ qui chiếu. ’ Xét vật AB nằm dọc trục Ox: y y Giả xử điểm A có tọa độ: ·!M Đối với hệ O: x , y , z , t. A A A ‟ ’ ’ ’ ’ ’ Đối với hệ O : xA , y A, zA , t. O x O x ! Giả xử điểm B có tọa độ: z z’ Hình 2.8 ! Đối với hệ O: xB, yB, zB, t. ! ‟ ’ ’ ’ ! Đối với hệ O : x B, yB , z B, t. ! ! Hình 2.7 34 !
  35. Chiều dài của thanh AB trong O: Đối với hệ O: l = xB - xA. ‟ ’ ’ ’ Đối với hệ O : l = x B - xA . Mà ta lại có: ’ xB = x B + OO’, ’ ’ xA = xA + OO . l = l’. Vì vậy, khoảng cách không thay đổi trong các hệ qui chiếu quán tính hay khoảng cách là tuyệt đối. Kết luận: Trong cơ học cổ điển Niutơn: Thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Vị trí không gian có tính tương đối phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Khoảng cách có tính tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. 2.3.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc Giả xử hệ O‟ chuyển động tịnh tiến với hệ O với vận tốc V . Xét chuyển động của chất điểm M: Đối với hệ O chất điểm M đƣợc xác định bởi vectơ r có vận tốc v, đối với hệ O‟ thì đƣợc xác định bởi vectơ r' có vận tốc v' nên ta có: ' ' r = r + OO . Vận tốc của chất điểm M đối với O: dr dr' dOO' v = = + , (2. 6) dt dt dt hay: v = v' +V . (Định lý cộng vận tốc) (2. 7) Từ (2.7) ta có: dv dv' dV = + , (2.8) dt dt dt 35
  36. hay: a = a' + A. (Định lý cộng gia tốc) (2.9) Kết luận: Định lý cộng vận tốc: Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với một hệ qui chiếu O bằng tổng hợp vectơ vận tốc của chất điểm đó đối với hệ qui chiếu O’ chuyển động tịnh tiến với hệ qui chiếu O và vectơ vận tốc tịnh tiến của hệ qui chiếu O’ với hệ qui chiếu O. Định lý cộng gia tốc: Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với một hệ qui chiếu O bằng tổng hợp vectơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ qui chiếu O’ chuyển động tịnh tiến với hệ qui chiếu O và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ qui chiếu O’ với hệ qui chiếu O. 2.3.3. Nguyên lý tƣơng đối Galilê Phƣơng trình chuyển động của chất điểm trong hệ O: F = ma. Giả sử hệ O‟ chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì A = 0 nên a = a' . Vậy F = ma' → phƣơng trình chuyển động của chất điểm trong hệ O‟ nên định luật II Niutơn cũng thỏa mãn trong hệ O‟, kết quả là hệ O‟ cũng là một hệ quán tính. Nội dung nguyên lý Galilê: Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu quán tính cũng là hệ qui chiếu quán tính hay các định luật Niutơn được nghiệm đúng trong hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu quán tính. 2.3.4. Lực quán tính Xét hệ qui chiếu O1 chuyển động tịnh tiến với hệ qui chiếu quán tính O ‟ với gia tốc A. Gọi a, a1 lần lƣợt là gia tốc của chất điểm đối với hệ O và O . 36
  37. Vậy ta có: a = a1 + A → ma = ma1 + mA . Vì O là hệ qui chiếu quán tính nên định luật II Niutơn nghiệm đúng: ma = F . Do đó: F = ma1 + mA, ma1 = F +(-mA). Phƣơng trình này không có dạng nhƣ phƣơng trình định luật II Niutơn hay khi khảo sát chuyển động của chất điểm trong một hệ tịnh tiến có gia tốc với hệ qui chiếu quán tính, ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực: Fqt = -mA. (2.10) Lực gọi là lực quán tính. Hệ O1 gọi là hệ qui chiếu không quán tính (hay hệ qui chiếu phi quán tính). Vậy hệ qui chiếu phi quán tính là hệ qui chiếu chuyển động với gia tốc A ¹ 0 so với hệ qui chiếu quán tính. Nên phƣơng trình động lực của chất điểm trong hệ O1 là : ma = F + Fqt . (2.11) Đặc điểm của lực quán tính: là lực ảo chỉ xuất hiện trong hệ qui chiếu phi quán tính và luôn cùng phương ngược chiều với gia tốc chuyển động của hệ qui chiếu không quán tính. 2.4. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ ĐỘNG LƢỢNG. Từ định luật II Newton ta có thể suy ra một số phát biểu khác, đó là các định lý về động lƣợng. 37
  38. 2.4.1. Thiết lập các định lí về động lƣợng a. Định lí thứ nhất về động lượng Một chất điểm có khối lƣợng m chịu tác dụng của lực F thì theo định luật Newton thứ hai ta có: ma = F dv Þ m = F dt d(mv) Þ = F (vì m = const) dt Vectơ K = mv gọi là vectơ động lượng của chất điểm. Khi đó ta có: dK = F . (2.12) dt Định lí thứ nhất về động lượng: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó. Biểu thức (2.12) là biểu thức của định lí thứ nhất về động lƣợng. b. Định lí thứ hai về động lượng Từ (2.12) ta có: dK = Fdt. (2.13) Tích phân hai vế của (2.13) trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta đƣợc: . (2.14) t2 Tích phân ò Fdt của lực F theo t từ t1 đến t2 gọi là xung lƣợng của lực t1 F trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Định lí thứ hai về động lượng: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng 38
  39. lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. Trƣờng hợp F không đổi theo thời gian thì ta có: . Khi đó ta có thể phát biểu: Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó. 2.4.2. Ý nghĩa của động lƣợng và xung lƣợng a. Ý nghĩa của động lượng Động lƣợng (đại lƣợng kết hợp cả vận tốc và khối lƣợng) đặc trƣng cho chuyển động về mặt động lực học. Thí dụ. Giả thiết có một quả cầu thứ nhất đến va chạm với quả cầu thứ hai đang đứng yên. Sau va chạm vận tốc của quả cầu thứ hai không chỉ phụ thuộc vào vận tốc của quả cầu thứ nhất trƣớc va chạm mà còn phụ thuộc vào khối lƣợng của quả cầu thứ nhất. Hay nói cách khác sự truyền chuyển động do va chạm của quả cầu thứ nhất đến quả cầu thứ hai phụ thuộc vào động lƣợng của quả cầu thứ nhất. Vậy trong các hiện tượng va chạm, động lượng là một đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động. b. Ý nghĩa của xung lượng Xung lƣợng của một lực trong khoảng thời gian ∆t đặc trƣng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó. Nhƣ vậy, tác dụng của lực không những phụ thuộc vào cƣờng độ lực mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng. Cùng một lực nhƣng thời gian tác dụng càng lâu thì động lƣợng biến thiên nhiều và ngƣợc lại, nếu thời gian tác dụng rất ngắn thì dù lực lớn động lƣợng cũng biến thiên ít. Thí dụ. 39
  40. Nếu ta kéo từ từ tờ giấy đặt dƣới đáy cốc nƣớc thì cốc đang đứng yên sẽ chuyển động, động lƣợng biến thiên. Tuy nhiên, nếu ta giật nhanh tờ giấy trong một khoảng thời gian rất ngắn thì cốc nƣớc vẫn đứng yên, động lƣợng của cốc nƣớc không thay đổi. 2.5. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƢỢNG 2.5.1. Định luật bảo toàn động lƣợng Xét một hệ chất điểm chuyển động, áp dụng định luật Newton II cho các chất điểm, ta có: F 1 = m1a1 ; F 2 = m2a 2; F n = mna n. Từ các phƣơng trình đó, ta suy ra phƣơng trình của cả hệ: n n n d(miv i) åFi = åmia i = å = F (2.15) i=1 i=1 i=1 dt Với F là tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ (tổng hợp các nội lực tƣơng tác giữa các chất điểm của hệ bằng không). Nếu hệ là cô lập, F = 0, thì: n d(m v ) i i = 0. å dt i=1 Từ đó ta suy ra: m v + m v + m v = const. (2.16) 1 2 2 n n Biểu thức (2.16) đƣợc phát biểu thành định luật bảo toàn động lƣợng: Động lượng tổng hợp của một hệ cô lập luôn luôn được bảo toàn. Chú ý. Các trường hợp được phép áp dụng định luật bảo toàn động lượng: Hệ cô lập; 40
  41. Tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không; Các hiện tượng đạn nổ, va chạm, trong khoảng thời gian rất ngắn xảy ra va chạm (vì khi đó nội lực rất lớn so với ngoại lực, có thể coi ngoại lực rất nhỏ và bỏ qua tác dụng của nó). 2.5.2. Bảo toàn động lƣợng theo một phƣơng Xét bài toán sau: Một khẩu đại bác có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hỏi ta đƣợc phép áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng cho hệ viên đạn và khẩu đại bác trong trƣờng hợp nào dƣới đây: 1. Viên đạn đƣợc bắn ra theo phƣơng ngang. 2. Viên đạn đƣợc bắn theo phƣơng hợp với phƣơng ngang một góc 30o hƣớng lên phía trên. Các ngoại lực tác dụng lên hệ trong cả hai trƣờng hợp đều chỉ có trọng lực ( P) và phản lực ( N trong trƣờng hợp 1 và N ' trong trƣờng hợp 2) của mặt đất tác dụng lên hệ. Trong trường hợp 1, theo phƣơng thẳng đứng hệ không chuyển động, do đó, tổng các lực tác dụng lên hệ theo phƣơng thẳng đứng phải bằng không: P + N = 0. Vậy tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không, động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn. Trong trường hợp 2, theo phƣơng thẳng đứng hệ có chuyển động (viên đạn bay lên phía trên). Do đó, tổng các lực tác dụng lên hệ theo phƣơng thẳng đứng khác không: P + N ' ¹ 0. cụ thể N' > P. Do vậy, các ngoại lực không triệt tiêu nhau, động lƣợng của hệ không đƣợc bảo toàn. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp này, không có lực tác dụng lên hệ theo phƣơng nằm ngang, nghĩa là hình chiếu của lực theo phƣơng ngang bằng 41
  42. không thì ta có thể áp dụng định luật bảo toàn động lƣợng theo phƣơng cụ thể nhƣ sau: Nếu một hệ chất điểm không cô lập, và tổng ngoại lực F ¹ 0 nhƣng hình chiếu của F theo một phƣơng x nào đó luôn luôn bằng không thì nếu chiếu phƣơng trình vectơ: n d(m v ) å i i = F . 1 dt lên phƣơng x, ta đƣợc: n d(mivix ) å = Fx 1 dt Þ m v1x + m2v2x + + mnvnx = const. (2.17) Khi đó hình chiếu của vectơ động lƣợng tổng hợp của hệ lên phƣơng Ox luôn luôn đƣợc bảo toàn. 2.5.3. Ứng dụng định luật bảo toàn động lƣợng a. Giải thích hiện tượng súng giật lùi khi bắn Giả sử có một khẩu súng khối lƣợng M đặt trên giá nằm ngang. Trong nòng có một viên đạn khối lƣợng m. Nếu bỏ qua lực ma sát thì tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ (gồm súng và đạn) theo phƣơng ngang bằng không. Do đó tổng động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn. Trƣớc khi bắn, động lƣợng của hệ bằng không. Khi bắn, đạn bay về phía trƣớc với vận tốc v , súng giật lùi về phía sau với vận tốc V . Vì động lƣợng bảo toàn nên động lƣợng của hệ sau khi bắn sẽ là sẽ là: m v + MV = 0. Do đó: mv V = - , M Hình 2.9 dấu trừ chứng tỏ V ngƣợc chiều với v . Nếu khối lƣợng M của súng càng lớn thì vận tốc giật lùi của nó càng nhỏ. b. Chuyển động phản lực 42
  43. Ta có thể vận dụng định luật Newton III và định luật bảo toàn động lƣợng để giải thích chuyển động phản lực của tên lửa. Giả sử có một vật chứa một hỗn hợp khí nóng, ban đầu đứng yên. Nếu hỗn hợp khí phụt ra phía sau thì theo định luật bảo toàn động lƣợng, vật sẽ tiến về phía trƣớc. Đó là nguyên tắc chuyển động của tên lửa. Ta gọi khối lƣợng tổng cộng ban đầu của hệ tên lửa là Mo, đứng yên đối với hệ qui chiếu đã chọn. Trong quá trình chuyển động, tên lửa luôn phụt khí nóng ra phía sau, do đó khối lƣợng của nó giảm dần, vận tốc tăng dần. Ta gọi khối lƣợng của tên lửa tại thời điểm t là M, vận tốc của nó là v . Động lƣợng của tên lửa lúc đó là K 1 = Mv1 . Qua một khoảng thời gian dt, tên lửa phụt ra sau một khối lƣợng khí là dM1. Nếu vận tốc phụt khí đối với tên lửa luôn luôn không đổi và bằng u thì vận tốc phụt khí đối với hệ qui chiếu đang quan sát bằng u + v và động lƣợng của khối khí phụt ra là dM 1(u + v ). Sau khi phụt khí một lƣợng dM1, khối lƣợng của hệ tên lửa còn bằng M - dM1, vận tốc của nó tăng lên thành v + dv . Đặt dM1 =- dM là độ giảm khối lƣợng hệ tên lửa. Vậy động lƣợng của tên lửa sau khi phụt khí là : ( M + dM)(v + dv ). Động lƣợng của hệ sau khi phụt khí (ở thời điểm t’=t+dt ) là: K 2 = -dM(u + v ) + ( M + dM)(v + dv ), (với dM1=-dM). Bỏ qua lực cản tác dụng lên phƣơng chuyển động của tên lửa, theo định luật bảo toàn động lƣợng: K = K ta suy ra: 1 2 - dM(u + v ) + ( M + dM)(v + dv ) = M v1 . Khai triển các phép tính, bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bậc hai dM .dv , ta đƣợc: M .dv = dM.u Chọn chiều chuyển động làm chiều dƣơng, chiếu các vectơ lên phƣơng chuyển động, ta đƣợc: M.dv = -dM.u 43
  44. dM.u dv = - . M Tích phân hai vế của phƣơng trình trên từ lúc đầu có vận tốc bằng không, khối lƣợng Mo đến lúc có vận tốc v, khối lƣợng M, ta đƣợc: M v = uln 0 , (công thức Xiôncôpxki). M Theo công thức này, muốn cho vận tốc của tên lửa lớn thì vận tốc phụt khói u phải lớn và tỷ số Mo /M cũng phải lớn. 2.6. KHỐI TÂM 2.6.1. Khối tâm của hệ chất điểm a) Định nghĩa: Khối tâm của một hệ chất điểm là điểm đặt trọng tâm của hệ. Xét hệ gồm 2 chất điểm có khối lƣợng m1, m2 đặt tại các điểm tƣơng ứng M1, M2 trong trọng trƣờng. Trọng lực tác dụng lên các chất điểm m1, m2 là 2 véctơ: P 1 và P 2 . Tổng hợp 2 lực này có điểm đặt tại G nằm trên phƣơng M1, M2 thoả mãn: M G m g m 1 = - 2 = - 1 M2G m1g m2 => m1 M1G + m2 M2G = 0. Dạng véc tơ: Hình 2.10 m1 M1G + m2 M2G = 0. (2.18) Điểm G thỏa mãn (2.18) đƣợc gọi là khối tâm của hệ hai chất điểm. Trƣờng hợp tổng quát: khối tâm của một hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2 mn là một điểm G được xác định bởi đẳng thức: m1 M1G + m2 M2G + + mn MnG = 0, (2.19) n hay: å mi MiG = 0. (2.20) i=1 44
  45. b) Tọa độ khối tâm: Toạ độ của khối tâm G đối với một gốc toạ độ O đƣợc xác định OG = OMi + MiG. (2.21) Nhân 2 vế (2.20) với mi rồi lấy tổng theo i chạy từ 1 đến n: n n åmiOG = å(miOMi + mi MiG), i=1 i=1 thay vào (2.19) ta có: n å mi OM i i=1 OG = n . (2.22) å mi i=1 Đặt: OG = R = (X,Y,Z); OM = r = (x ,y ,z ). i i i i i n m r å i i (2.22) trở thành: R = i=1 . (2.23) n å mi i=1 Trong hệ tọa độ Đềcác ta có: n n n å mi xi å mi yi å mizi i=1 i=1 i=1 X = n ; Y = n ; Z = n . (2.24) å mi å mi å mi i=1 i=1 i=1 2.6.2. Vận tốc của khối tâm dR Theo định nghĩa vận tốc đƣợc xác định bởi V = . Vậy: dt n dr m i dR å i dt V = = i=1 , dt n å mi i=1 dr với: v = i . i dt Ta thu đƣợc: 45
  46. n å miv i i=1 V = n , (2.25) å mi i=1 n với åmivi = P là tổng động lƣợng của hệ ta có: i=1 n P = åmiV . i=1 Động lượng tổng hợp của một hệ chất điểm bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm của hệ có khối lượng bằng khối lượng của cả hệ, có vận tốc bằng vận tốc khối tâm của hệ. 2.6.3. Phƣơng trình chuyển động của khối tâm Giả sử hệ có n chất điểm, các chất điểm lần lƣợt chịu tác dụng của các lực F 1 , F 2 F n và chuyển động với gia tốc a 1 , a 2 a n thỏa mãn hệ thức: F i = mia i, dv với: a = i . i dt Ta có: n dv n m i m a dV å i dt å i i a = = i=1 = i=1 dt n n å mi å mi i=1 i=1 n åFi F i=1 a = n = n , m åmi å i i=1 i=1 trong đó: n F = åFi là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm. i=1 Vậy ta có: n F = (åmi )a . (2.26) i=1 46
  47. Phƣơng trình (2.26) giống nhƣ phƣơng trình chuyển động của một chất điểm. Từ đó ta kết luận: Chuyển động của khối tâm của một hệ chất điểm giống như chuyển động của một chất điểm mang khối lượng bằng tổng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ. 2.7. MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM 2.7.1. Mômen của một vectơ với một điểm Cho vectơ V và một điểm O cố định trong không gian. a, Định nghĩa: M Mômen của V đối với điểm O là một vectơ kí hiệu M xác định bởi công thức: M = OM Ù V = r Ù V. (2.27) b, Đặc điểm: O Là vectơ gốc tại O. Phƣơng vuông góc với mặt phẳng M H V Hình 2.11 xác định bởi O và V (hoặc r và V ). Có chiều là chiều thuận đối với chiều quay từ sang V . Độ lớn M = r.V.sin(r,V ) = d.V (2.28) 2.7.2. Định lí về mômen động lƣợng a. Định nghĩa mômen động lượng: Mômen động lượng của một chất điểm đối với điểm O cho trước là vectơ: L = r Ù K = r Ù (mv), (2.29) trong đó r là bán kính vectơ từ điểm O đến chất điểm. 47
  48. Nếu chất điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn (O, r) ta có: v = w Ù r Þ L = r Ù (mw Ù r). L Áp dụng công thức: w a Ù (b Ù c) = b. (a. c) - c. (a. b) Þ L = mw.(r)2 - r(r.mw) = mr 2w , r vì: w^r Þ r. w = 0. v Đặt: I = mr2 gọi là mô men quán tính của chất M Hình 2.12 điểm đối với tâm O. Vậy mômen động lƣợng của một chất điểm chuyển động tròn đối với tâm O là: L = Iw. (2.30) b. Định lí về mômen động lượng Ta có: L = r Ù mv. dL d dr d Þ = (r Ù mv) = Ù mv + r Ù (mv) dt dt dt dt dL d Þ = v Ù mv + r Ù (mv) dt dt dL d Þ = r Ù (mv). (2.31) dt dt Từ biểu thức của định lí 1 về động lƣợng: d(mv) = F. dt Thay vào (2.31) ta có: dL = r Ù F. (2.32) dt Kí hiệu: M = r Ù F gọi là mô men của lực F đối với điểm O. Vậy (2.32) đƣợc viết lại: 48
  49. dL = M F /O. dt Nội dung định lí: Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm O cho trước của một chất điểm chuyển động bằng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác dụng lên chất điểm đó. Biểu thức: dL = M F /O. (2.33) dt Hệ quả: Khi chất điểm luôn chịu tác dụng của lực xuyên tâm (phƣơng của lực tác dụng F luôn đi qua điểm O cố định) thì mômen động lƣợng của chất điểm đƣợc bảo toàn. dL M F /O = 0 Þ = 0 Þ L = const. dt 2.7.3. Mômen động lƣợng của một hệ chất điểm a, Định nghĩa Xét một hệ chất điểm m1,m2 mn đang chuyển động với vận tốc v 1 ,v 2 v ntại thời điểm t vị trí của các chất điểm đƣợc xác định bởi các véc tơ bán kính r 1 ,r2 rn so với gốc tọa độ O. Mômen động lƣợng của hệ chất điểm đối với điểm O đƣợc xác định bởi: n n L = åL i = å(ri Ù miv i ). (2.34) i=1 i=1 Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O bằng tổng mômen động lượng của các chất điểm đối với điểm O. b, Các trường hợp riêng Mômen động lượng của hệ chất điểm quay quanh một trục cố định Mômen động lƣợng của chất điểm đối với trục quay đƣợc xác định bởi: L i = ri Ù miri = Iiw i, 49
  50. 2 với Ii = mi.ri là mômen quán tính của chất điểm đối với trục , w ilà vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay quanh trục . Khi đó mômen động lƣợng của hệ cho bởi: n L = åIiw i . (2.35) i=1 Nếu mọi chất điểm của hệ quay với cùng vận tốc góc quanh trục thì mômen động lượng của hệ là: n n L = åIiw i = (åIi )w . i=1 i=1 Đặt: n I = å Ii i=1 Þ L = I w . (2.36) 2.7.4. Định lý về mômen động lƣợng của hệ chất điểm Theo định lý về mômen động lƣợng của chất điểm (mi,ri) đối với điểm O ta có: dL i =M , dt (Fi /O) với M là tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên chất điểm mi (Fi /O) Xét hệ n chất điểm có mômen động lƣợng lần lƣợt là L1, L2, , Ln, chịu tác dụng của mômen ngoại lực: M , M , , M . (F1/O) (F2 /O) (Fn /O) Viết biểu thức định lý về mômen động lƣợng cho n chất điểm và cộng các phƣơng trình lại ta có: n dL n i = M . (2.37) å å (Fi /O) i=1 dt i=1 Mặt khác: n n dL i d dL å = (åL i ) = . i=1 dt dt i=1 dt Kí hiệu: 50
  51. n n L = åL i = å(ri Ù miv i ) là mômen động lƣợng của hệ chất điểm. i=1 i=1 n M =M là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên å (Fi /O) (F/O) i=1 các chất điểm đối với điểm O. Ta có định lý về mômen động lƣợng đối với hệ chất điểm: dL =M . (2.38) dt Phát biểu: “Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vectơ mômen động lượng của hệ chất điểm bằng tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm đó (đối với một điểm O bất kì).” Từ phƣơng trình (2.38) ta có: dL =M .dt . Lấy tích phân phƣơng trình trên từ thời điểm t1 đến t2 ứng với sự biến thiên của L từ L 1 đến L 2 ta đƣợc: t 2 DL = L -L = M dt 2 1 ò , (2.39) t1 t 2 trong đó ò M dt gọi là xung lƣợng của mômen lực M trong khoảng thời t1 gian . Nếu M không đổi ta có: DL = L 2 -L1 =M .Dt . 2.8. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG 2.8.1. Định luật bảo toàn mômen động lƣợng Theo định lý về mômen động lƣợng ta có: dL =M . dt 51
  52. Nếu: dL M = 0 Þ = 0 Þ L = const . (2.40) dt Vậy: Khi không chịu tác dụng của ngoại lực hoặc chịu tác dụng của ngoại lực nhưng tổng mômen của ngoại lực đối với gốc O bằng không thì tổng mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O là một đại lượng bảo toàn. Áp dụng định luật bảo toàn trong trƣờng hợp hệ chất điểm quay quanh một trục cố định khi M = 0 ta được: L = åIiw i = const. i Nếu hệ chất điểm là vật rắn quay xung quanh trục cố định thì mọi chất điểm trên vật rắn chuyển động với cùng vận tốc góc: wi =w. Khi đó: L = Iw = const, với: I = åIi gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay. i Trong thực tế, vật rắn luôn chịu tác dụng của các ngoại lực nhƣng nếu mômen lực đối với trục quay bằng không M = 0 do F = 0 hoặc do F có giá đi qua trục quay Δ, thì khi đó mômen động lượng của vật rắn cũng được bảo toàn. Trƣờng hợp M ≠ 0 nhƣng hình chiếu của nó lên phƣơng nào đó bằng không, thì mômen động lƣợng của vật rắn đƣợc bảo toàn theo phƣơng đó. 2.8.2. Ứng dụng của định luật bảo toàn mômen động lƣợng a. Vật rắn quay xung quanh một trục có mômen quán tính thay đổi Trong một số trƣờng hợp, một số phần của vật rắn dịch chuyển đối với nhau nên mômen quán tính của vật thay đổi, nhƣng nếu mômen ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay quanh một trục bằng không (M = 0) thì dù I thay đổi, vectơ mômen động lƣợng của vật rắn cũng đƣợc bảo toàn: L = Iw = const 52
  53. Từ đó nếu I tăng thì  giảm và ngƣợc lại nếu I giảm thì  tăng. Ví dụ 1. Khi diễn viên múa balê quay ngƣời trên đầu mũi giày, nếu bỏ qua ma sát thì trọng lực và phản lực của sàn diễn tác dụng lên ngƣời đều có phƣơng hoặc cắt hoặc trùng với trục quay đi qua khối tâm của ngƣời nên mômen tổng hợp của chúng đối với trục quay bằng không do đó mômen động lƣợng của ngƣời đƣợc bảo toàn. Vì thế, khi diễn viên hạ tay xuống thì I giảm nên vận tốc quay w tăng (diễn viên quay nhanh), nếu giang tay ra thì I tăng nên vận tốc quay giảm (diễn viên quay chậm lại) Tƣơng tự nhƣ vậy diễn viên xiếc nhào lộn ngƣời trên không, vận động viên nhảy cầu bơi muốn quay nhanh hơn thì phải cuộn ngƣời lại, còn nếu muốn quay chậm lại thì phải duỗi thẳng ngƣời. Ví dụ 2. Một ngƣời hai quả tạ đứng trên ghế Giucôxki đang quay (Hình 2.13a). Nếu ngƣời đó hạ tay xuống (I giảm), ghế quay nhanh lên ( tăng); nếu ngƣời đó giang ngang tay ra (I tăng), ghế sẽ quay chậm lại ( giảm). b. Hệ gồm nhiều phần quay Xét hệ gồm hai vật quay có mômen quán tính I1 , I 2 và vận tốc góc w1 , w2 . Nếu mômen ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không, thì mômen động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn: L = I1w1 + I2w 2 = const. Nếu lúc đầu hệ đứng yên L = 0, thì mômen động lƣợng của 0 hệ sẽ bằng không tại thời điểm t bất kỳ sau đó: I 1w1 + I2w 2 = 0, Hình 2.13. Ghế Guicôpxki hay: I 1w1 = -I2w 2. 53
  54. Ta suy ra: I2w 2 w1 = - , I1 tức là hai phần của hệ sẽ quay ngƣợc chiều nhau. Có thể quan sát hiện tƣợng này nhờ thí nghiệm trên ghế Giucôpxki (Hình 2.13b). Một ngƣời đứng trên ghế Giucôpxki, một tay giữ trục thẳng đứng của một bánh xe. Lúc đầu, hệ (gồm ngƣời, bánh xe, ghế) đứng yên, nên mômen động lƣợng của hệ bằng không. Sau đó, ngƣời này cho bánh xe quay với vận tốc góc w1 thì ghế sẽ quay với vận tốc góc w2 ngƣợc chiều với w1. 2.9. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN - PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Chuyển động của vật rắn nói chung phức tạp, đƣợc qui về tổng hợp của hai dạng chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Sau đây ta sẽ xét riêng các dạng chuyển động đó. 2.9.1. Chuyển động tịnh tiến a. Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho trong quá trình chuyển động đường thẳng nối hai điểm bất kì trên vật rắn cũng luôn luôn song song Hình 2.14. Chuyển động tịnh tiến với chính nó. Ví dụ: Chuyển động của ngăn kéo của bàn giấy, chuyển động của ô tô trên mặt đƣờng nằm ngang . b. Tính chất Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó có quĩ đạo giống nhau và cùng chuyển động một quãng đƣờng nhƣ nhau trong một khoảng thời gian. Do đó, tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn tịnh tiến có cùng véc tơ vận tốc và gia tốc. 54
  55. c. Phương trình động lực học của vật rắn tịnh tiến Giả thiết vectơ là vectơ gia tốc chung của các chất điểm của vật rắn a có khối lƣợng m1, m2, , mi, và lần lƣợt chịu tác dụng của các lực F 1 , F 2 , , F i , Theo phƣơng trình Newton ta có: F 1 = m1a , F 2 = m2a , (2.41) F i = mia . Từ hệ phƣơng trình trên cho thấy, điều kiện cần để một vật rắn chuyển động cùng chiều là: các lực tác dụng lên vật rắn F , F , , F , cùng phƣơng 1 2 i và cùng chiều. Cộng các phƣơng trình (2.41) ta thu đƣợc: F = ( m )a , (2.42) å i å i i i trong đó: n m = å mi là khối lƣợng của vật rắn, 1 n F = åFi là tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn, (vì tổng các nội 1 lực luôn triệt tiêu). Viết lại (2.42): F = ma. (2.43) Phƣơng trình (2.42) là phƣơng trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến; nó giống nhƣ phƣơng trình chuyển động của một chất điểm có khối lƣợng m bằng khối lƣợng của cả vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Mặt khác, đó cũng là phƣơng trình chuyển động của khối tâm vật rắn. Nhƣ vậy, các kết quả nghiên cứu chuyển động của chất điểm có thể áp dụng cho vật rắn chuyển động tịnh tiến. 55
  56. 2.9.2. Chuyển động quay a. Tính chất chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định Khi một vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục Δ cố định thì: Mọi điểm của vật rắn sẽ có quỹ đạo tròn nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục quay Δ và có tâm nằm trên trục quay Δ. Trong cùng một khoảng thời gian Δt, bán kính của mọi điểm của vật rắn đều quay đƣợc một góc Δφ nhƣ nhau. Mọi điểm của vật rắn có cùng vận tốc góc: dj w = , dt và gia tốc góc: dw b = . dt Tại mỗi thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật rắn cách trục quay một đoạn r liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức: v w = , r a và: b = t . r Trên đây là các tính chất động học của vật rắn quay quanh một trục cố định. Sau đây ta sẽ xét chuyển động quay của vật rắn về mặt động lực học và thiết lập phƣơng trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định. Các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động quay của vật rắn về mặt động lực học là: mômen lực, mômen động lượng và mômen quán tính. b. Tác dụng của lực trong chuyển động quay của vật rắn Xét một vật rắn quay xung quanh một trục cố định Δ dƣới tác dụng của lực F . Khi đó điểm đặt M của lực F vạch một quỹ đạo tròn bán kính r nằm 56
  57. trong mặt phẳng vuông góc với trục Δ, có tâm nằm trên trục này, lực F đƣợc phân tích thành 3 thành phần: . (2.44) Trong đó: F t : thành phần tiếp tuyến vuông góc với bán kính r tức là cùng phƣơng với tiếp tuyến của quỹ đạo, và cùng phƣơng với vectơ Hình 2.15. Các thành phần lực vận tốc tại điểm đó, nằm trong mặt phẳng quỹ đạo vuông góc với trục quay Δ . Lực này có tác dụng làm cho vật quay quanh trục quay Δ. F n : thành phần lực theo phƣơng bán kính, nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Thành phần này chỉ có tác dụng kéo vật rắn dời khỏi trục Δ. : Thành phần song song với trục quay Δ không gây ra chuyển động quay, chỉ làm cho vật trƣợt dọc theo trục quay. Nhƣ vậy: Tác dụng của lực F làm cho vật rắn quay quanh trục cố định Δ chỉ tương đương với tác dụng của thành phần tiếp tuyến F t của lực này. Mặt khác, tác dụng của lực F làm vật rắn quay quanh trục Δ còn phụ thuộc vào khoảng cách r = OM từ điểm đặt M của lực đến trục Δ. Do đó, để đặc trƣng cho tác dụng của lực F trong chuyển động quay của vật rắn quanh trục Δ, ngƣời ta đƣa ra đại lƣợng vật lý gọi là mômen lực M đối với trục quay Δ. M Mômen của lực F t đối với trục quay Δ là một vectơ xác định bởi: M = r Ù Ft . (2.45) Mômen lực M có: Độ lớn M = r.Ft .sin(r ,Ft ) = r.Ft, Phƣơng vuông góc với mặt phẳng chứa ( r ,Ft ), 57
  58. Chiều sao cho ba vectơ r , Ft , M theo thứ tự đó hợp thành tam diện thuận, Đơn vị đo của mômen lực là N.m. Chú ý: Mômen của một lực với một trục bằng không khi: - Lực đó bằng không - Lực // với trục quay. - Lực có giá đi qua trục quay Với F = F1 + F2 ta có: = + . 2.9.3. Phƣơng trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định Ta xét một vật rắn khối lƣợng m chịu tác dụng của ngoại lực F có mômen đối với trục quay cố định Δ là M làm vật quay quanh trục cố định Δ với gia tốc góc b . Ta tƣởng tƣợng chia vật rắn thành nhiều phần tử có kích thƣớc vô cùng nhỏ so với kích thƣớc vật rắn, mỗi phần tử có khối lƣợng mi, cách trục quay một khoảng ri, chịu tác dụng của ngoại lực F i có thành phần lực tiếp tuyến F ti . Khi đó có thể coi mỗi phần tử là một chất điểm, khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn không đổi. Mỗi chất điểm sẽ vạch nên một quĩ đạo Hình 2.16 tròn bán kính ri nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay Δ, có gia tốc tiếp tuyến a ti . Theo định luật Newton II, ta viết đƣợc: F ti = ma ti. (2.46) Nhân hữu hƣớng bên trái của (2.46) với r 1 = OM i và thay: 58
  59. a ti = b Ù ri , ta đƣợc: r i Ù Fti = ri Ù mi (b Ù ri ), (2.47) trong đó: r i Ù Fti = M F ti , 2 r i Ù mi(b Ù ri ) = mib (ri .ri ) - miri (b .ri ) = miri b , (vì b ^ri nên b .ri = 0). Viết lại (2.47) ta có: 2 M = miri b (2.48) F ti Lấy tổng các phƣơng trình (2.48) cho tất cả các phần tử chất điểm của vật rắn ta đƣợc: M = ( m .r2 ).b , (2.49) å F ti å i i i i trong đó: M = M là tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn; å F ti i 2 åmi.ri = I là mômen quán tính của một vật rắn đối với trục quay Δ. i (Bằng tổng mômen quán tính của các chất điểm cấu tạo nên vật rắn đối với trục quay Δ). Trong hệ SI, đơn vị đo mômen quán tính I là kg.m2. Phƣơng trình (2.49) trở thành: M = Ib, (2.50) M hay: b = . (2.51) I Phƣơng trình (2.50) đƣợc gọi là phương trình cơ bản của động lực học vật rắn quay quanh một trục cố định. Đối với vật rắn quay xung quanh một trục quay chuyển động ta có thể đƣa về bài toán quay quanh một trục quay cố định bằng cách lựa chọn hệ quy chiếu thích hợp. 59
  60. Phƣơng trình (2.50) có dạng tƣơng tự phƣơng trình cơ bản của động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến: F = ma , trong đó: Mômen lực M đặc trƣng cho tác dụng của ngoại lực lên vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống nhƣ F . Gia tốc góc b đặc trƣng cho biến thiên trạng thái của vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống nhƣ gia tốc . a Mômen quán tính I đặc trƣng cho quán tính của vật rắn chuyển động quay, đóng vai trò nhƣ khối lƣợng m. Thật vậy, cùng mômen lực M tác dụng, nếu mômen quán tính I càng lớn thì gia tốc góc càng nhỏ, vận tốc góc càng ít biến đổi, nghĩa là trạng thái chuyển động quay của vật rắn càng ít thay đổi. Chú ý: Có thể xây dựng đƣợc công thức (2.50) dựa trên định lý về mômen động lƣợng của hệ chất điểm. Thật vậy: Do mọi chất điểm của vật rắn quay xung quanh một trục cố định đều chuyển động với cùng vận tốc góc w nên mômen động lƣợng của vật rắn là: L = I w . Định lý về mômen động lƣợng đối với vật rắn: dL d(Iw ) = = M , dt dt trong đó M là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. dw Þ M = I dt Þ M = I b 2.9.4. Mômen quán tính của vật rắn quay Từ biểu thức mômen quán tính của một vật rắn đối với trục quay Δ 2 åmi.ri = I, i 60
  61. ta thấy mômen quán tính của vật rắn quay không những phụ thuộc vào khối lƣợng của vật rắn mà còn phụ thuộc vào khoảng cách từ các chất điểm của nó đến trục quay. Hai vật cùng khối lƣợng nhƣng khối lƣợng của vật nào phân bố càng xa trục quay thì mômen quán tính của vật đó càng lớn, do đó quán tính của nó càng lớn. Nếu khối lƣợng của vật phân bố liên tục trong toàn thể tích của nó, ta chia vật thành những phần tử có khối lƣợng vô cùng nhỏ dm, khi đó phép lấy tổng trở thành phép lấy tích phân cho toàn vật rắn: I = ò r2dm. (2.52) a. Mômen quán tính của vật rắn đồng chất đối với trục đối xứng  Ta xét một số ví dụ về tìm mô men quán tính của vật rắn đồng chất đối với trục đối xứng. Ví dụ 1: Tính mômen quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài l, khối lƣợng M đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G của thanh và vuông góc với thanh. Hình 2.17 Xét một phần tử rất nhỏ của thanh khối lƣợng dm, chiều dài dx, cách trọng tâm một đoạn x. Mômen quán tính của phần tử dm đới với trục quay Δ0 là: 2 dIo = x . dm. (2.53) Vì thanh đồng chất nên khối lƣợng của các đoạn trên thanh tỉ lệ với chiều dài của các đoạn đó: dm dx = , M l M hay: dm = dx. l (2.53) trở thành: M dI = x 2dx. 0 l Vậy mômen quán tính I0 của thanh đối với trục Δ0 là: 61
  62. l 2 M 2 1 2 I0 = ò x dx = Ml . l l 12 - 2 Ví dụ 2: Tính mômen quán tính I0 của một đĩa tròn đồng chất bán kính R, khối lƣợng M đối với trục Δ0 của đĩa. Ta phân tích đĩa thành những phần tử hình vành khăn, bán kính x, bề rộng dx, khối lƣợng dm. Phần tử hình vành khăn đƣợc coi nhƣ là tập hợp các điểm cùng cách trục Δ0 một khoảng x. Mômen quán tính của phần tử hình vành khăn này là: 2 dIo = x . dm. Vì đĩa đồng chất nên khối lƣợng của các phần tử trên đĩa tỉ lệ với diện tích của phần tử: dm dS = , M pR2 với dS là diện tích phần tử vành khăn: dS = 2pxdx. Ta thu đƣợc: 2xdx dm = M , R2 2x 3dx dI = M . 0 R2 Vậy mômen quán tính của đĩa đối với trục quay Δ0 là: R 2 M 3 MR I0 = 2 ò 2x dx = . R 0 2 Chú ý. Biểu thức trên không phụ thuộc vào chiều dày của đĩa, vì vậy nó cũng áp dụng đƣợc để tính mômen quán tính của một vật hình trụ đặc đồng chất.  Mômen quán tính của một số vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với trục của chúng: 62
  63. 2 . Vành tròn rỗng, trụ rỗng: I0 = mr , (2.54) 1 . Đĩa tròn, trụ đặc: I = mr2, (2.55) 0 2 2 . Khối cầu : I = mr2, (2.56) 0 5 ml2 . Thanh đồng chất dài l: I = , (2.57) 0 12 1 . Mặt hình chữ nhật cạnh a, b: I = m(a2 + b2). (2.58) 0 12 Với m là khối lƣợng của vật, r là bán kính của vật. b. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay không trùng với trục đối xứng. Định lý Steiner - Huyghens Nhiều trƣờng hợp ta phải tìm mômen quán tính I đối với một trục quay bất kỳ, không trùng với trục đối xứng. Trong trƣờng hợp trục quay Δ song song với trục đối xứng thì mômen quán tính đƣợc xác định dựa vào định lý Steiner- Huyghens nhƣ sau: Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục Δ song song với trục đối xứng Δo bằng mômen quán tính của vật đối với trục đối xứng Δo cộng với tích khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách x giữa hai trục đó: 2 I = I0 + mx . (2.59) 2.9.5. Áp dụng phƣơng trình cơ bản trong chuyển động quay để khảo sát chuyển động của cơ hệ Bài toán: Cho cơ hệ nhƣ hình vẽ. Cho biết khối A lƣợng của các vật lần lƣợt là: mA = 3 kg, mB = 2 kg, khối lƣợng của ròng rọc là m = 0,6 kg. Coi sợi dây không giãn, khối lƣợng không đáng kể, ròng rọc là một đĩa tròn. Hệ số ma sát giữa bản A và mặt phẳng B ngang là k = 0,25. Lấy g = 9,8 m/s2. Tìm gia tốc của hệ. 63
  64. Giải N Bước 1: Phân tích lực và vẽ hình TA T’A Fms A Vật mA: PA, TA , N, Fms T’B PA Vật mB: P , T B B TB Ròng rọc: T 'A, T 'B B Bước 2: Viết phương trình cơ bản cho từng vật PB Vật mA: PA + TA + N + Fms = mA . aA (1) Vật mB: PB + TB = mB . aB (2) Ròng rọc: MT' A + MT 'B = I. b (3) Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ Đối với phƣơng trình tịnh tiến, có bao nhiêu phƣơng chuyển động có bấy nhiêu hệ trục tọa độ, chiều dƣơng là chiều chuyển động. Đối với phƣơng trình quay, chọn trục tọa độ trùng với phƣơng trục quay, chiều dƣơng thuận chiều quay. Bước 4: Chiếu lên trục tọa độ Lực vuông góc với trục tọa độ thì hình chiếu bằng không. Lực cùng chiều dƣơng thì hình chiếu lấy dấu (+) và ngƣợc lại. Đối với phƣơng trình quay, lực nào gây ra chuyển động cùng chiều quay thực thì mômen của nó lấy dấu (+) và ngƣợc lại. Chiếu (1), (2) và (3) lên trục tọa độ ta đƣợc: Vật mA: TA - Fms = mA. aA (1') Vật mB: PB - TB = mB . aB (2') Ròng rọc: T 'B . r -T 'A . r = I.b (3') Bước 5: Tìm các mối quan hệ khác 64
  65. T'B = TB , T'A = TA a a = a = a, b = A B r 2 I = m.r , F = k.P 2 ms A (3') Þ T ' -T ' = m. a (3'') B A 2 Bước 6: Giải hệ phương trình Cộng (1'), (2'), (3'') ta đƣợc: m P - k.P = (m + m + ). a B A A B 2 P - k.P Þ a = B A m (m + m + ) A B 2 Thay số: 2 a = 4.62 (m/s ) 65
  66. TỔNG KẾT CHƢƠNG II 1. Định luật Newton thứ nhất: Chất điểm tự do (cô lập) nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là chuyển động thẳng đều. 2. Định luật Newton thứ hai: F a = k . m F Trong hệ SI thì k =1 nên a = . m 3. Định luật Newton thứ ba: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F ' : hai lực Fvà F ' tồn tại đồng thời, cùng phương, ngược chiều, cùng độ lớn. Hay F+ F ' = 0. 4. Nguyên lí tương đối Galileo: Trong cơ học cổ điển Niutơn: Thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Vị trí không gian có tính tương đối phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Khoảng cách có tính tuyệt đối không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Định lí cộng vận tốc: v = v' + V, trong đó: v là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O đứng yên, v' là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O’ đang chuyển động với vận tốc V so với hệ qui chiếu O. Định lí cộng vận tốc: ' a = a + A, trong đó: a là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O đứng yên, a' là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O’ đang chuyển động với vận tốc A so với hệ qui chiếu O. 66
  67. Nguyên lý Galilê: Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu quán tính cũng là hệ qui chiếu quán tính hay các định luật Niutơn được nghiệm đúng trong hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu quán tính. 5. Các định lí về động lượng: Định lí thứ nhất về động lượng: dK = F. dt Định lí thứ hai về động lượng: . 6. Định luật bảo toàn động lượng: Động lượng tổng hợp của một hệ cô lập luôn luôn được bảo toàn. F = 0 Þ m v + m v + m v = const 1 2 2 n n 7. Định nghĩa mômen động lượng: Mômen động lượng của chất điểm: L = r Ù P = r Ù mv. Mômen động lượng của chất điểm chuyển động tròn (hoặc vật rắn quay quanh trục cố định): L = Iw. Mômen động lượng của hệ chất điểm: n n L = åL i = å(ri Ù miv i ) i=1 i=1 8. Định lí về mômen động lượng (đối với chất điểm và hệ chất điểm): dL = M. dt 9. Định luật bảo toàn mômen động lượng: 67
  68. M = 0 Þ L = const Khi không chịu tác dụng của ngoại lực hoặc chịu tác dụng của ngoại lực nhưng tổng mômen của ngoại lực đối với gốc O bằng không thì tổng mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O là một đại lượng bảo toàn. 10. Chuyển động của vật rắn: Phương trình của vật rắn chuyển động tịnh tiến: F = ma Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định: M = Ib 68
  69. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 2.1. Phát biểu định luật Newton thứ nhất. Định luật này áp dụng cho những trƣờng hợp nào? 2.2. Phát biểu định luật Newton thứ hai. 2.3. Phát biểu định luật Newton thứ ba. Nêu ý nghĩa của định luật này. 2.4. Khái niệm khối tâm của hệ chất điểm? So sánh chuyển động của khối tâm của hệ chất điểm với chuyển động tịnh tiến của vật rắn và chuyển động của chất điểm. 2.5. Thiết lập các định lí về động lƣợng. 2.6. Phát biểu định luật bảo toàn động lƣợng. Viết biểu thức. 2.7. Định nghĩa và định lý về mômen động lƣợng của chất điểm và hệ chất điểm. 2.8. Phát biểu định luật bảo toàn mômen động lƣợng. Viết biểu thức. 2.9. Thành phần nào của lực có tác dụng thực sự gây ra chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định? Phân tích tại sao? 2.10. Viết phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay. So sánh với phƣơng trình cơ bản trong chuyển động tịnh tiến. BÀI TẬP CHƢƠNG II Bài 2.1. Một ôtô khối lƣợng m = 1000kg chạy trên đoạn đƣờng thẳng. Hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đƣờng k = 0,1. Hãy xác định lực kéo của động cơ ôtô khi: a. Ôtô chạy thẳng nhanh dần đều với gia tốc 2m/s2 trên đƣờng phẳng ngang. b. Ôtô chạy thẳng đều lên dốc có độ nghiêng 4% (góc nghiêng α của mặt đƣờng có sinα = 0,04). 69
  70. Bài 2.2. Một xe có khối lƣợng 150kg chuyển động với vận tốc 2m/s. Hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đƣờng là k = 0,1. Xe đang chuyển động thì tắt máy. Hỏi xe chạy đƣợc quãng đƣờng là bao nhiêu thì mới dừng hẳn? Cho g = 10m/s2. Bài 2.3. Một vật trƣợt trên mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc α = 30o. Ban đầu vật đứng yên, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k = 0,2. Lấy g = 9,8m/s2. Hãy xác định: a. Gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng. b. Vận tốc của vật sau khi đi đƣợc quãng đƣờng s = 0,9m. Bài 2.4. Một vật A có khối lƣợng m1 = 3kg A nằm trên một mặt phẳng nghiêng góc α =30o so với mặt phẳng ngang. Vật A đƣợc nối với B vật B có khối lƣợng m2 = 2kg bằng một sợi α dây không giãn qua một ròng rọc (Hình 2.18). Hình 2.18 Khối lƣợng sợi dây không đáng kể. Hệ số ma sát giữa vật A và mặt phẳng nghiêng là μ = 0.1. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các vật, lực căng của dây và áp lực lên ròng rọc khi: a. Khối lƣợng của ròng rọc không đáng kể. b. Ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất khối lƣợng m = 0.4kg. Bài 2.5. Một vật có khối lƣợng m trƣợt trên mặt phẳng nghiêng góc α = 30o so với phƣơng ngang với hệ số ma sát μ = 0.2. Tại thời điểm quan sát vật đang trƣợt lên với vận tốc vo = 3m/s. Hỏi: a. Vật m còn chuyển động tiếp đƣợc bao xa nữa? b. Khoảng thời gian vật lên độ cao cực đại rồi trở về vị trí quan sát. 70
  71. Bài 2.6. A Cho cơ hệ nhƣ Hình 2.19, khối lƣợng của hai vật A, B lần lƣợt là m1 = 200g, m2 = 300g. Hệ số ma sát trƣợt giữa vật A và mặt bàn là k = 0,2. Hai vật đƣợc thả ra cho chuyển động B vào lúc vật B cách mặt đất một đoạn h = 50cm. Hãy tính các đại lƣợng sau trong trƣờng hợp ròng Hình 2.19 rọc có khối lƣợng không đáng kể và ròng rọc có khối lƣợng m =100g: a. Lực căng của dây khi hai vật đang chuyển động. b. Vận tốc của mỗi vật khi vật B vừa bắt đầu chạm đất. c. Nếu đổi vị trí hai vật A và B cho nhau thì độ lớn lực căng trong hai trƣờng hợp có thay đổi không? Tại sao? Bài 2.7. Một vật trƣợt không vận tốc ban đầu từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc α = 30o. Chiều dài mặt phẳng nghiêng bằng l = 50cm, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k = 0,1. Hỏi sau bao lâu vật trƣợt hết mặt phẳng nghiêng? Bài 2.8. Hai vật m1 = 100g, m2 = 20g đƣợc treo vào hai đầu dây của một ròng rọc cố định. Ban đầu hai vật cân bằng và cách mặt đất một khoảng h = 2m. Giả sử m2 chuyển động đi xuống. Xác định sức căng của dây và thời gian để m2 rơi xuống chạm đất. Bài 2.9. Hai vật m1 = 200g và m2 = 300g đƣợc treo vào hai đầu dây của một ròng rọc cố định. Ban đầu vật m2 ở độ cao 4m so với mặt đất và vật m1 ở sát mặt đất. Khi buông tay, vật m2 chuyển động không vận tốc ban đầu. Coi ma sát không đáng kể, bỏ qua khối lƣợng dây và ròng rọc. a. Xác định gia tốc của vật và sức căng dây. b. Vận tốc và quãng đƣờng của hệ sau 1,5s. 71
  72. Bài 2.10. Vòng xiếc là một vành tròn bán kính R = 8m, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Một ngƣời đi xe đạp trên vòng xiếc này, khối lƣợng cả xe và ngƣời là 80kg. Lấy g = 9,8m/s2 tính lực ép của xe lên vòng xiếc tại điểm cao nhất với vận tốc tại điểm này là v = 10 m/s. Bài 2.11. Một chiếc xe có khối lƣợng 20kg có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Trên xe có đặt một hòn đá có khối lƣợng 2kg (Hình 2.20). Hệ số ma sát giữa hòn đá và xe là 0,25. Xác định gia tốc của hòn đá và xe trong hai trƣờng hợp: F a. Lực F = 2N. b. Lực F = 20N. Bài 2.12. Hình 2.20 a. Tại thời điểm t = 0 một vật rắn bắt đầu quay quanh trục cố định xuyên qua vật với gia tốc góc không đổi. Sau 5s quay đƣợc góc 25rad. Tính vận tốc góc tức thời tại thời điểm 5s trên và góc mà vật quay đƣợc trong giây thứ 5. b. Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 24 rad/s thì bị hãm. Bánh xe quay chậm dần đều với độ lớn gia tốc góc là 2 rad/s2. Tính thời gian từ lúc hãm đến lúc bánh xe dừng lại và góc mà vật quay đƣợc trong 2s cuối. c. Một vật rắn quay quanh một trục cố định đi qua vật có phƣơng trình chuyển động 10 t 2 (rad). Tính vận tốc góc và góc mà vật quay đƣợc sau 5s kể từ lúc t = 0. Bài 2.13. Một bánh xe có mômen quán tính đối với trục quay cố định là 6kg.m2 đang đứng yên thì chịu tác dụng của mômen lực 30N.m đối với trục quay. Bỏ qua mọi lực cản. Sau bao lâu kể từ lúc bắt đầu quay bánh xe đạt tới vận tốc góc là 100 rad/s và số vòng mà một điểm trên vành bánh đã quay đƣợc. 72
  73. Bài 2.14. Một sàn quay có dạng một tấm phẳng tròn đặc khối lƣợng 200kg và quay quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt sàn tại tâm O của nó với vận tốc góc 15vòng/phút. Một ngƣời có khối lƣợng 50kg đang đứng ở mép sàn. Hãy xác định vận tốc góc của sàn quay khi ngƣời này di chuyển dọc theo bán kính đến tâm của sàn. Bài 2.15. Một thanh gỗ mỏng dài 0,5m có thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua một điểm đầu của thanh. Một viên đạn khối lƣợng 10g bay theo phƣơng ngang với vận tốc 40m/s tới đâm xuyên vào dầu dƣới của thanh gỗ và mắc lại ở đó. Khối lƣợng của thanh gỗ bằng 0,6kg phân bố đều trên toàn thanh. Hãy xác định vận tốc góc của thanh gỗ sau khi viên đạn đâm xuyên vào nó. Bài 2.16. Ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất khối lƣợng m = 200g, bán kính r = 10cm có thể quay quanh trục nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh không dãn và khối lƣợng không đáng kể vắt qua hai ròng rọc hai đầu của sợi dây gắn hai vật A,B khối lƣợng m1 500g và m2 400g . Lúc đầu hệ đứng yên, buông cho hai vật chuyển động, lấy g = 9,8m/s2. a. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc. b. Tính lực căng của dây. c. Tính góc quay của ròng rọc sau 2s kể từ lúc các quả cân bắt đầu chuyển động. Bài 2.17. M,r Một trục quay hình trụ đặc bán kính r và khối lƣợng M M = 10kg có thể quay quanh một trục nằm ngang. Một sợi dây không dãn đƣợc quấn thành một lớp sít nhau trên thân trục quay và đầu tự do của sợi dây có treo một vật nặng khối lƣợng m = 2kg (Hình 2.21). Bỏ qua ma sát của trục m Hình 2.21 73
  74. quay, lực cản của không khí và khối lƣợng của sợi dây. Lấy gia tốc trọng trƣờng g = 9,8m/s2. Hãy xác định: a. Gia tốc của vật nặng. b. Lực căng của dây treo vật nặng. Bài 2.18. Một vật nặng khối lƣợng m =10kg trƣợt trên một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc 300 và làm quay một bánh xe có dạng một trụ tròn bán kính r = 0,26m và khối lƣợng M = 2,5kg (Hình 2.22). Hệ số ma sát giữa vật nặng và mặt phẳng nghiêng là k = 0,25. Bỏ qua ma sát của trục quay và khối lƣợng của sợi dây. Lấy gia tốc trọng trƣờng g = 9,80m/s2. Hãy xác định: M,r a. Gia tốc dài của vật nặng và gia tốc góc của bánh xe. m;k b. Lực căng của dây kéo. Hình 2.22 Bài 2.19. Một bánh đà (vôlăng) có dạng một đĩa phẳng tròn đang quay quanh trục của nó với vận tốc 480 vòng/phút thì bị tác dụng một mômen lực hãm. Bánh đà có khối lƣợng 500kg và bán kính 20cm. Hãy xác định mômen của lực hãm trong hai trƣờng hợp: a. Bánh đà dừng lại sau khi hãm 50s. b. Bánh đà dừng lại sau khi quay thêmđƣợc 300 vòng. Bài 2.20. Một ngƣời ngồi trên một chiếc ghế quay (ghế Giucốpxki) sao cho phƣơng của trọng lực tác dụng lên ngƣời và ghế trùng với trục quay của ghế. Ngƣời đó giang hai tay và mỗi tay cầm một quả tạ có khối lƣợng 2,0kg. Khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục quay của ghế là 0,80m. Cho ngƣời và ghế quay với vận tốc 30 vòng/phút. Mômen quán tính của ngƣời và ghế (không kể các quả tạ) đối với trục quay là 2,5kg.m2. Hãy xác định vận tốc quay của ngƣời và ghế khi ngƣờiđó co hai tay lại 74
  75. để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục quay chỉ còn bằng 0,60m. Bài 2.21. Trên thân một ống trụ khối lƣợng 1,5kg, ngƣời ta quấn một sợi dây không dãn thành một lớp xít nhau. Đầu tự do của sợi dây gắn trên giá cố định (Hình 2.23). Ống trụ đƣợc thả để tự chuyển động dƣới tác dụng của trọng lực. Khối lƣợng và đƣờng kính của sợi dây nhỏ không đáng kể. 2.23 Lấy gia tốc trọng trƣờng g = 9,80m/s2. Hãy xác định: Hình a. Gia tốc của ống trụ. b. Lực căng của sợi dây. Bài 2.22. A Cho cơ hệ nhƣ Hình 2.24. Cho biết khối lƣợng của các vật lần lƣợt là: mA = 2kg, mB = 3kg, khối lƣợng của ròng rọc là m = 0,4 kg. Coi sợi dây không giãn, khối lƣợng không đáng kể, ròng rọc là một đĩa tròn. Cho = 30o. Hệ số ma sát giữa bản A và bản B với mặt phẳng tiếp xúc là k = 0,25. Lấy 2 Hình 2.24 B g = 9,8 m/s . Tìm gia tốc của hệ. 75
  76. Chương 3. NĂNG LƢỢNG - TRƢỜNG HẤP DẪN 3.1. CÔNG VÀ CÔNG SUẤT 3.1.1. Công Trong vật lý, khi một lực tác dụng lên một vật (hoặc một hệ vật), làm cho vật di chuyển (điểm đặt lực di chuyển), thì ta nói rằng lực đó thực hiện một công. Thành phần lực theo phƣơng dịch chuyển càng lớn, quãng đƣờng di chuyển càng dài thì công đó càng lớn. Từ đó ta có định nghĩa công nhƣ sau. a. Định nghĩa F Fs Giả sử vật chịu tác dụng của lực không đổi F và M M’ điểm đặt lực di chuyển theo một đoạn thẳng MM' s Hình 3.1 (Hình 3.1). Thì công A của lực thực hiện trên đoạn chuyển dời MM' là một đại lƣợng đƣợc xác định bởi tích: A = F.s.cosα, (3.1) Hay: A F.s , (3.2) A = FS . s, (3.3) trong đó α là góc tạo bởi giữa và s , FS là hình chiếu của vectơ lên phƣơng của . Nhận xét: Công A là đại lƣợng vô hƣớng, có thể có giá trị dƣơng hoặc âm. 0 A > 0 khi 2 khi đó ta nói là lực phát động, và A là công phát động. A < 0 khi 2 khi đó ta nói là lực cản, và A là công cản. A = 0 khi 2 , nghĩa là nếu lực vuông góc với phƣơng dịch chuyển thì không thực hiện công. b. Trường hợp tổng quát 76
  77. Lực làm cho vật chuyển dời trên đƣờng cong AB và trong quá trình đó lực F thay đổi cả về phƣơng, chiều và độ lớn, trong trƣờng hợp này ta chia đƣờng cong AB thành những đoạn chuyển dời vi phân ds ≈ MM' sao cho mỗi đoạn này có thể coi nhƣ thẳng và có thể viết ds MM', trên đó lực không đổi. Công của lực thực hiện đƣợc trên đoạn chuyển dời vô cùng nhỏ ds đƣợc gọi là công nguyên tố dA. Theo theo định nghĩa (3.2), dA công này bằng: dA = F ds (3.4) Công của lực thực hiện trên quãng đƣờng ds M’ AB bằng tổng tất cả các công nguyên tố thực hiện M bởi lực trên tất cả các quãng đƣờng nguyên tố ds A B F của đƣờng cong AB. Hình 3.2 Công này bằng tích phân dA lấy từ A đến B: A A A = ò dA = ò Fd s (3.5) B B Chú ý. Khái niệm công chỉ tồn tại khi có lực tác dụng và điểm đặt lực dịch chuyển. Vì vậy, khi nói đến công cần nói rõ đó là công của lực nào, và tƣơng ứng với quãng đƣờng dịch chuyển nào. c. Đơn vị Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của công là Jun viết tắt là J: 1J = 1N.1m 3.1.2. Công suất của lực Trong thực tế, lực F đƣợc tạo ra bởi một máy nào đó. Nếu lực F thực hiện đƣợc công A trong khoảng thời gian càng ngắn thì năng suất làm việc của máy đó càng cao. Do đó, để đặc trƣng cho năng suất làm việc của máy, ngƣời ta đƣa ra khái niệm công suất. a. Công suất trung bình Giả sử trong khoảng thời gian Δt, một lực F nào đó thực hiện công ΔA, tỷ số: 77
  78. , (3.6) xác định công trung bình của lực thực hiện trong một đơn vị thời gian và đƣợc gọi là công suất trung bình của lực thực hiện trong khoảng thời gian Δt. b. Công suất tức thời Để tính công suất tại từng thời điểm, ta lấy Δt rất nhỏ, tức là cho Δt → 0. Giới hạn của khi Δt → 0 đƣợc gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) của lực, ký hiệu là P và bằng: . (3.7) Vậy: công suất (của máy tạo ra lực) là một đại lượng bằng đạo hàm của công theo thời gian. Theo (3.2) ta có: dA = F .ds . Vậy giữa công suất, lực, và vận tốc có mối liên hệ sau: dA Fds P = = . dt dt P = F.v. (3.8) Vậy: Công suất có giá trị bằng tích vô hướng của các lực tác dụng với véctơ chuyển dời. c. Đơn vị của công suất Công suất có đơn vị là Watt (W): 1W = 1J/1s. Trong thực tế ngƣời ta còn dùng đơn vị công suất là mã lực (sức ngựa), 1mã lực ≈ 736W. 3.1.3. Công và công suất của lực trong chuyển động quay của vật rắn Trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định, các chất điểm của vật rắn quay có quãng đƣờng dịch chuyển là khác nhau và việc xác định quãng đƣờng dịch chuyển của điểm đặt lực gặp rất nhiều khó khăn. 78
  79. Vì vậy, trong chuyển động quay, từ định nghĩa công chúng ta cần xây dựng một công thức tính công khác phụ thuộc vào các đại lƣợng có thể xác định dễ dàng hơn. Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định Δ, lực tiếp tuyến Ft làm cho vật rắn quay (Hình 3.3) thì khi đó, công vi phân của lực tiếp tuyến là: Hình 3.3 dA = Ft.ds = Ft.ds. Mặt khác: ds = r. d , với d là góc quay ứng với chuyển dời ds. Vậy: dA = r. Ft . Ta có, mômen của lực đối với trục quay Δ là: M = r. Ft, (do Ft^r). Viết lại: dA = M. dq. (3.9) Ta suy ra công của mômen lực thực hiện đƣợc khi làm cho vật quay từ góc  đến  là: 1 2 q 2 A = òM dq. (3.10) q1 Công suất của mômen lực là: dA dq P = = M dt dt Hay: P = M .w (3.11) 79
  80. Dạng véc tơ: dA = F.ds = F.v.dt t t dA = F.(w Ùr).dt t dq . dA = F.( Ùr).dt t dt dA = Ft.(dq Ùr) Áp dụng công thức hoán vị vòng quanh: a.(bÙc) = b.(c Ùa) = c.(aÙb). Vậy: . . 3.2. NĂNG LƢỢNG 3.2.1. Năng lƣợng Năng lượng là một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Trong tự nhiên có nhiều dạng vận động vật chất khác nhau. Mỗi dạng vận động vật chất cụ thể có một dạng năng lƣợng cụ thể. Vận động cơ học (chuyển động cơ học) là sự thay đổi vị trí trong không gian, có dạng năng lƣợng gọi là cơ năng. Vận động nhiệt là sự chuyển động hỗn loạn của các phân tử cấu tạo nên một vật, có dạng năng lƣợng tƣơng ứng là nội năng, vận động điện từ có dạng năng lƣợng tƣơng ứng là năng lƣợng điện từ Vật lý học khẳng định rằng một vật ở trạng thái xác định thì có một năng lƣợng xác định. Khi trạng thái của vật thay đổi thì năng lƣợng của nó thay đổi. Do đó có thể nói năng lượng là hàm của trạng thái. Khi xét đến các quá trình vận động cơ học, ta thấy sự thay đổi trạng thái chuyển động có nghĩa là vật chuyển động có gia tốc, điều này liên quan đến lực tƣơng tác giữa vật với các vật khác. Lực tƣơng tác lên vật làm cho vật di chuyển, tức là lực tƣơng tác đã thực hiện một công lên vật. Như vậy sự thay đổi năng lượng của một vật là kết quả của việc trao đổi công giữa vật với bên ngoài. Nếu xét các dạng vận động khác ta cũng có kết luận nhƣ vậy. Khi vật 80
  81. (hoặc hệ vật) thực sự nhận công (A > 0) thì năng lƣợng của vật tăng, còn khi vật thực sự truyền công lên ngoại vật (A 0, A < 0, và A = 0 ta có thể phát biểu nhƣ sau: Năng lượng không tự nhiên sinh ra mà cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ chuyển từ hệ này sang hệ khác. Phát biểu đó chính là định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng.Vì năng lƣợng đặc trƣng cho mức độ vận động của vật chất, cho nên định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lƣợng là sự phản ánh về mặt khoa học tự nhiên tính không thể tiêu diệt đƣợc sự vận động của vật chất. Từ định luật này, ta suy ra rằng khi hệ thực sự thực hiện công lên vật khác (tức là hệ nhận công âm, A < 0) thì năng lƣợng của hệ giảm. Vì năng lƣợng của hệ có hạn nên bản thân hệ không thể thực hiện công mãi đƣợc. Muốn tiếp tục thực hiện công, hệ phải nhận năng lƣợng từ một nguồn khác để 81
  82. bù vào phần năng lƣợng bị giảm trong quá trình làm việc. Tóm lại, theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lƣợng: không thể có một hệ thực hiện công mãi mãi mà không nhận thêm năng lượng từ một nguồn bên ngoài. Một hệ sinh công mãi mãi mà không nhận năng lƣợng từ một nguồn bên ngoài đƣợc gọi là một động cơ vĩnh cửu. Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lƣợng khẳng định sự không tồn tại của động cơ vĩnh cửu. Trong phần cơ học ta chỉ xét dạng năng lƣợng ứng với chuyển động cơ học của các vật gọi là cơ năng gồm có thế năng và động năng. 3.3 ĐỘNG NĂNG 3.3.1. Định nghĩa. Động năng là phần cơ năng ứng với sự chuyển dời vị trí của các vật. 3.3.2. Biểu thức của động năng, định lý về động năng Xét chất điểm khối lƣợng m chịu tác dụng của một tổng hợp lực F làm cho nó di chuyển từ vị trí (1) đến vị trí (2) trên đƣờng cong (c) (Hình 3.4). Công của lực F thực hiện trong quá trình này là: 2 A = F ds . ò v 1 ds M’ Theo định luật Newton II: M (1) dv F F = ma = m . (2) dt Hình 3.4 Từ đó, thay vào biểu thức tính công A, ta đƣợc: 2 2 dv A = m .ds = mv.dv. ò dt ò 1 1 Nếu m không đổi, ta có thể viết: 2 mv 2 2 mv 2 A = ò d( ) = ò d( ). 1 2 1 2 Tại các vị trí (1) và (2) chất điểm có vận tốc tƣơng ứng là v1, v2 . Thực hiện phép tích phân, ta đƣợc: 82
  83. mv 2 mv 2 A = 2 - 1 . (3.14) 2 2 Theo (3.12), công này bằng độ biến thiên động năng của chất điểm khi chuyển từ trạng thái có v sang trạng thái có v cho nên ta suy ra: 1 2 A =W -W . (3.15) d 2 d1 Động năng của chất điểm tại vị trí 1: mv 2 W = 1 . d1 2 Động năng của chất điểm tại vị trí 2: mv 2 W = 2 . d 2 2 Tổng quát: Động năng của chất điểm khối lƣợng m có vận tốc v là: mv 2 W = (3.16) d 2 Chú ý. Biểu thức động năng (3.16) đƣợc phép áp dụng cho trƣờng hợp chất điểm và vật rắn chuyển động tịnh tiến vì trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm trên vật rắn có cùng vectơ vận tốc. Từ (3.14) - (3.16) ta phát biểu định lý về động năng nhƣ sau: Độ biến thiến động năng của một chất điểm trong một quãng đường nào đó bằng công của tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm trên quãng đường đó. 3.3.3. Động năng của vật rắn quay Khi vật rắn quay, các chất điểm trên vật rắn có vận tốc khác nhau. Do dó, ta không thể xác định đƣợc động năng của vật rắn quay dựa vào biểu thức động năng của chất điểm. Giả sử dƣới tác dụng của lực tiếp tuyến Ft điểm đặt lực lên vật rắn quay đƣợc một góc dq. Công nguyên tố trên dq là: 83
  84. dA = dq. M . (3.17) Phƣơng trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục: M = Ib, dw trong đó: b = . dt Thay vào (3.17) ta có: 2 dw w w 2 dA = I. .dq = I.w.dw = I.d( ) = I.d( ). dt 2 2 Nếu I = const ta được: æ Iw 2 ö dA = dç ÷ . è 2 ø Công toàn phần do mômen lực làm quay vật rắn từ lúc có vận tốc góc   1 đến 2 là: w 2 w2 æ Iw 2 ö A = dA = ò dç ÷ ò è 2 ø w 1 w1 Iw 2 Iw 2 A = 2 - 1 . (3.18) 2 2 Vậy động năng của vật rắn quay quanh trục cố định là: Iw 2 W = . (3.19) d 2 Nếu vật rắn vừa quay vừa tịnh tiến, động năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng quay và động năng tịnh tiến: Iw 2 mv 2 W = + . (3.20) d 2 2 Nếu vật rắn tròn xoay lăn không trƣợt trên mặt phẳng thì vận tốc tịnh tiến v và vận tốc góc quay ω liên hệ với nhau theo công thức v = rw, trong đó r là bán kính tiết diện của vật rắn: 1 æ I ö W m + v 2. (3.21) d 2 è r2 ø 84
  85. 3.4. TRƢỜNG LỰC THẾ 3.4.1 Trƣờng lực thế Nếu một chất điểm chuyển động trong một không gian nào đó luôn luôn chịu tác dụng của một lực, thì khoảng không gian đó đƣợc gọi là trường lực. Trƣờng hợp tổng quát lực F tác dụng lên chất điểm phụ thuộc vào vị trí của chất điểm trong trƣờng lực. Do đó, lực F là một hàm của các tọa độ và cũng có thể là hàm của thời gian. Trong phạm vi chƣơng trình này, ta chỉ xét trƣờng hợp là một hàm của các tọa độ không gian, tức là: F = F (r) = F(x,y,z) (3.22) Nếu lực F tác dụng lên chất điểm di chuyển từ điểm (1) đến điểm (2) trong trƣờng lực thì công của lực F trong quá trình đó bằng: 2 2 A12 = ò dA = ò F .ds 1 1 Nếu công A12 của lực F không phụ thuộc vào dạng của quãng đƣờng dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đầu và điểm cuối của quãng đƣờng thì ngƣời ta nói F (r) là lực thế, trường lực F (r) là một trường lực thế. Ví dụ: Trƣờng hấp dẫn, trƣờng tĩnh điện là những trƣờng lực thế. 3.4.2 Thí dụ v ề trƣờng lực thế H a, Trường hấp dẫn Để giải thích lực hấp dẫn giữa các vật, ngƣời ta cho rằng xung quanh một vật có khối lƣợng tồn tại một trƣờng lực gọi là trƣờng hấp dẫn. Biểu hiện cụ thể của trƣờng hấp dẫn là nó tác dụng lên bất kỳ vật nào có khối lƣợng đặt trong nó. Hình 3.5 Ta giả sử xét chất điểm có khối lƣợng m’ chuyển động từ điểm (1) sang điểm (2) trong trƣờng hấp dẫn của chất điểm có khối lƣợng m theo đƣờng cong (C) (Hình 3.5). 85
  86. Công nguyên tố của lực F do m tác dụng lên m’ trong chuyển dời vi phân d s là: dA = Fd s = F.ds.cosa, trong đó: dscosa » MP » r'-r = dr, PH là hình chiếu của d s lên phương của lực F . Với lực hấp dẫn F hƣớng từ m' đến m, thì α là góc tù, do đó dscosa < 0 nên: F d s = -F.PH, NQ » PH » MQ + MN » dr. Mặt khác lực hấp dẫn xác định bởi: GMm F = r2 với G là hằng số hấp dẫn. Công A12 do lực hấp dẫn thực hiện đƣợc trên cả quãng đƣờng từ điểm (1) đến điểm (2) là: 2 2 A12 = ò F ds = - ò Fdr (*) 1 1 2 GMm GMm GMm A12 = ò 2 dr = - 1 r r1 r2 Công này không phụ thuộc vào hình dạng của quãng đƣờng di chuyển của chất điểm m’, chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đầu (r1) và điểm cuối (r2) của quãng đƣờng dịch chuyển. Vậy, trường hấp dẫn của chất điển có khối lượng m là một trường lực thế. Chú ý: Có thể dễ dàng biến đổi đƣợc công thức (*) theo cách khác nhƣ sau: 86
  87. 2 2 A12 = ò F ds = ò Fdr, 1 1 Mm F = - G r, r3 Mm Þ dA = - G rdr, r3 2 Mm r Þ dA = - G d , r3 2 Mm r2 Þ dA = - G d , r3 2 Mm Þ dA = - G dr, r2 Hình 3.6 Þ dA = - Fdr. b. Trường tĩnh điện Giả sử xét chuyển động của điện tích điểm q’ từ điểm (1) đến điểm (2) trong trƣờng lực F của điện tích điểm q đứng yên (Hình 3.6). Trƣờng lực F do q tác dụng lên q’ đƣợc gọi là trƣờng tĩnh điện.Theo định nghĩa, công nguyên tố do lực tĩnh điện F thực hiện trên quãng đƣờng ds là: dA = Fd s = F.ds.cosa. Từ hình (3.6) ta thấy: r = OM; r'= OQ + QM' » r + dr; ds = MM', dscosa » MP » r'-r = dr. Vậy công do lực F thực hiện đƣợc trên cả quãng đƣờng từ (1) đến (2): 2 r2 A12 = ò dA = ò F .ds . 1 r1 Lực Coulomb do q tác dụng lên q’ tại điểm cách nó một khoảng r là: q.q' F = 2 . 4pee0.r Thay công thức đó của lực vào biểu thức tính A12, ta tính đƣợc: 2 r2 r2 qq' A = dA = F.ds = dr 12 ò ò ò 4pee r2 1 r1 r1 0 . qq' qq' A12 = - 4pee0r1 4pee0r2 87
  88. Kết quả cho thấy, công này không phụ thuộc vào dạng quãng đƣờng di chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đầu và điểm cuối của quãng đƣờng di chuyển. Vậy: trường tĩnh điện là trường thế. 3.5. THẾ NĂNG 3.5.1. Định nghĩa Khi một chất điểm dịch chuyển từ M đến N trong trƣờng lực thế thì công AMN chỉ phụ thuộc vào hai vị trí M và N. Từ tính chất này của trƣờng lực thế ta định nghĩa: 1. Thế năng tại điểm M(x,y,z) của một chất điểm trong trường lực thế là công của lực thế làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí M đến điểm góc tính thế năng: Wt (M) = AMO. 2. Chọn O làm gốc tính thế năng. Wt (M) = AMO, Wt (N) = ANO. Vì công của lực thế không phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc vào dạng đƣờng đi nên: AMO = AMNO = AMN + ANO, Þ AMN = AMO - ANO, Þ AMN =Wt(M ) -Wt(N ). (3.23) (3.23) là biểu thức định lý về thế năng. 3. Việc chọn gốc để tính thế năng là hoàn toàn tùy ý. Nếu chọn một điểm O‟ O làm gốc tính thế năng thì theo định lý về thế năng: W 't(M ) = Wt(M ) + AOO' . Vậy thế năng tại mỗi điểm là một đại lƣợng đƣợc định nghĩa sai khác một hằng số cộng. 88
  89. 4. Ví dụ. Thế năng của một vật trong trọng trƣờng của quả đất Gọi M là khối lƣợng của quả đất, m là khối lƣợng của vật ,vật m cách tâm quả đất một khoảng r là: GMm W = + C. (3.24) t r Với C là một hằng số tùy ý, phụ thuộc vào cách chọn gốc thế năng. Trƣờng hợp thế năng của chất điểm tại vị trí có độ cao h là: Wt = mgh + C Trong trƣờng tĩnh điện từ định nghĩa thế năng ta có: qq' AMN = + C (3.25) 4pee0r1 3.5.2. Tính chất a, Thế năng tại mỗi điểm là một đại lƣợng đƣợc xác định sai khác một hằng số cộng phụ thuộc vào gốc tính thế năng, nhƣng hiệu thế năng giữa hai điểm là một đại lƣợng hoàn toàn xác định. b, Giữa công của trƣờng lực và hiệu thế năng giữa hai điểm đƣợc xác định: M AMN = ò F ds =Wt (M) - Wt (N) N Vậy nếu chất điểm dịch chuyển trên một đƣờng cong kín M trùng với N thì công lực thế thực hiện luôn bằng 0: M AMN = ò F ds = 0. (3.26) N 3.5.3. Ý nghĩa của thế năng. Thế năng là một dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác. Thế năng của chất điểm trong trọng trƣờng của Trái Đất là một đại lƣợng đặc trƣng cho tƣơng tác giữa Trái Đất và chất điểm gọi là thế năng tƣơng tác giữa Trái Đất và chất điểm. 89