Một phân tích tri thức luận lịch sử phép đẳng cấu nhóm trong đại số trừu tượng

Nội dung text: Một phân tích tri thức luận lịch sử phép đẳng cấu nhóm trong đại số trừu tượng

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 75 (03/2021) No. 75 (03/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN LỊCH SỬ PHÉP ĐẲNG CẤU NHÓM TRONG ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG A historically epistemological analysis of group isomorphism in abstract algebra TS. Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Đẳng cấu và đồng cấu là hai trong số những chủ đề trung tâm của đại số trừu tượng. Về mặt hình thức, một đẳng cấu là một song ánh, và về mặt phi hình thức, là một ánh xạ bảo toàn tập hợp và các mối quan hệ giữa các phần tử. Bài báo này trình bày một phân tích tri thức luận lịch sử làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm đẳng cấu nhóm và xác định các đặc trưng tri thức luận của đối tượng này. Từ khóa: đặc trưng tri thức luận, đẳng cấu, đồng cấu, nhóm, phân tích tri thức luận ABSTRACT Isomorphism and homomorphism are two of the central topics to abstract algebra. Formally, an isomorphism is bijective morphism. Informally, an isomorphism is a map that preserves sets and relations among elements. This paper presents a historically epistemological analysis that clarifies the emergence and development of the concept of group isomorphism and determines the epistemological characteristics of this knowledge object. Keywords: epistemological characteristic, isomorphism, homomorphism, group, epistemological analysis 1. Đặt vấn đề G nếu và chỉ nếu có một cạnh đi từ ( ) đến 1.1. Sự cần thiết nghiên cứu phép (푣) trong H. đẳng cấu Theo các nhà đại số, đẳng cấu và đồng Phép đẳng cấu là một khái niệm rất tổng cấu là hai trong số những chủ đề trung tâm quát, xuất hiện trong một số lĩnh vực của của đại số trừu tượng [1]. Đối với một nhà toán học. Trong Giải tích, phép biến đổi toán học có kinh nghiệm, đẳng cấu là một Laplace là một ánh xạ đẳng cấu đưa phương khái niệm đơn, thống nhất, và là một đối trình vi phân phức tạp thành phương trình tượng duy nhất. Tuy nhiên, những sinh viên đại số đơn giản; một đẳng cấu giữa hai (SV) lần đầu tiên tiếp cận khái niệm này không gian Hilbert là một song ánh bảo toàn trong học phần đại số trừu tượng hiếm khi phép cộng và phép nhân vô hướng. Trong lý hiểu được điều đó. Đối với họ, đẳng cấu là thuyết đồ thị, một đẳng cấu giữa hai đồ thị một khái niệm phức tạp và phức hợp, bao G và H là một ánh xạ từ các nút của G đến gồm và kết nối với nhiều khái niệm khác, và các nút của H bảo toàn “cấu trúc cạnh” theo bản thân các khái niệm đó có thể chỉ được nghĩa có một cạnh đi từ nút u đến nút v trong họ hiểu một phần. Ví dụ, sự hiểu biết về Email: nguyenaq2014@gmail.com 39
2. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) đẳng cấu nhóm liên quan đến sự hiểu biết về đưa ra được một trường hợp đẳng cấu nhóm. các khái niệm của nhóm, hàm số và phép Đối với câu 3, SV chỉ cần chỉ ra được lượng hóa. Ngược lại, học về đẳng cấu có hai nhóm đã cho không cùng bản số thì thể là cơ hội để họ củng cố sự hiểu biết về không thể thiết lập song ánh, và do đó không các khái niệm liên quan này. thể đẳng cấu được. Tuy nhiên, SV có thể 1.2. Tồn tại nhữngkhó khăn và sai lầm thiết lập một phép đồng cấu giữa hai nhóm, của sinh viênkhi tiếp cận đẳng cấu nhóm chẳng hạn đồng cấu tầm thường. Tháng 10 năm 2019, một phỏng vấn Kết quả thực nghiệm cho thấy: khảo sát nhỏ được tiến hành trên 5 SV, mà Đối với câu hỏi 1, bốn SV A, C, D, và chúng tôi mã hóa là A, B, C, D, và E, năm E đều trả lời bằng định nghĩa, rằng “đồng thứ 3 ngành Toán của Trường Đại học Sài cấu nhóm là một ánh xạ f đi từ nhóm thứ Gòn và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên nhất G sang nhóm thứ hai H sao cho ảnh của về khái niệm đẳng cấu nhóm. Các SV này tích hai phần tử tùy ý trong G bằng tích của đã kết thúc học phần Đại số đại cương ở cuối hai ảnh của hai phần tử đó trong H”. Khi năm thứ hai với thời lượng 60 tiết, diễn ra được hỏi nghĩa của đẳng thức ( ∗ ) = trong 15 tuần. Mục đích của khảo sát là tìm ( ). ( ) là gì thì ba SV A, C, D nói không hiểu những khó khăn và sai lầm của SV về biết, và SV E và B thì cho biết đồng cấu là đẳng cấu nhóm sau khi học xong các học một ánh xạ bảo toàn phép toán của nhóm phần trên. Nội dung thực nghiệm gồm ba ban đầu trong nhóm thứ hai. câu hỏi: Về yêu cầu cho một ví dụ đồng cấu, thì Câu 1. Anh/Chị hãy cho biết một đồng chỉ duy nhất SV B đưa ra được đồng cấu: cấu nhóm là gì? Hãy cho một ví dụ về đồng : (푍, +) → ( 푍, +): ( ) = , trong đó cấu nhóm. ∈ (푍, +), ∈ ( 푍, +), ∈ 푍. Câu 2. Anh/Chị hãy cho biết một đẳng Đối với câu hỏi 2, cả năm SV đều trả cấu nhóm là gì? Hãy cho một ví dụ về đẳng lời rằng: “đẳng cấu nhóm là một đồng cấu cấu nhóm. nhóm và là song ánh giữa hai tập hợp”. Khi Câu 3. Cho hai nhóm Z5 và 5Z. Có thể được hỏi nghĩa của đẳng cấu nhóm là gì, thì thiết lập một đẳng cấu giữa hai nhóm đã cho cả bốn SV A, C, D, và E đều chỉ trả lời rằng không? Tại sao? Có thể thiết lập một đồng hai nhóm có số phần tử bằng nhau mà không cấu giữa hai nhóm đã cho không? Tại sao? đề cập đến mối quan hệ về cấu trúc của hai Câu trả lời mong đợi: nhóm đẳng cấu. Chỉ duy nhất SV B trả lời Đối với câu 1, SV nêu được đồng cấu hai nhóm đẳng cấu là hai nhóm “tương nhóm là phép bảo toàn cấu trúc nhóm của đương nhau” về mặt cấu trúc, và khi được nhóm ban đầu trong nhóm thứ hai, và đưa ra hỏi tại sao gọi là “tương đương nhau” thì SV một trường hợp đồng cấu nhóm. B nói “vì nó được ký hiệu là ≅ ”. Đây Đối với câu 2, SV nêu được phép đẳng là một câu trả lời gián tiếp (với việc viện đến cấu nhóm là ánh xạ bảo toàn cấu trúc nhóm ký hiệu), không cho thấy cách hiểu của SV của nhóm thứ nhất trong nhóm thứ hai và đối với mệnh đề “tương đương nhau về mặt ngược lại, nghĩa là hai nhóm giống nhau về cấu trúc”. mặt cấu trúc. SV phải viết được phép đẳng Về yêu cầu cho một ví dụ đẳng cấu, thì cấu là đồng cấu, song ánh, và ánh xạ ngược bốn SV A, C, D, E không đưa ra được ánh cũng là một đẳng cấu. Trong câu hỏi này, SV xạ đẳng cấu. 40
3. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN SV B sử dụng lại đồng cấu đã được nêu hỏi này, một trong những phân tích có thể ra trong câu hỏi 1, chứng minh nó là một tính đến là tìm hiểu đặc trưng tri thức luận song ánh, và đã thành công. của khái các khái niệm đang bàn đến. Đó là Đối với câu hỏi 3, tất cả 5 SV đều cho nghiên cứu mà chúng tôi sẽ thực hiện trong rằng Z5 và 5Z không đẳng cấu với nhau vì bài viết này. có bản số khác nhau, và do đó không thể 2. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm thiết lập một đẳng cấu giữa hai nhóm này. Thuật ngữ “đẳng cấu nhóm” dẫn xuất Riêng SV B đã cố gắng trình bày bảng từ tiếng Hy Lạp “iso”, nghĩa là “bằng nhau”, Cayley đóng cho Z5 và một bảng Cayley và “morphosis”, nghĩa là “hình thành” hay không đóng cho 5Z, để cho thấy bản số của “tạo hình dáng”. nhóm 5Z lớn hơn bản số của nhóm Z5. Định nghĩa đồng cấu nhóm: “Một phép Về phần thiết lập đồng cấu giữa Z5 và đồng cấu giữa hai nhóm được định nghĩa 5Z, cả 3 SV C, D, và E đều không đưa ra như sau: “Cho (G, *) và (H, .) là hai nhóm. được một đồng cấu. SV A tuyên bố rằng Một ánh xạ 휑: → sao cho không thể thiết lập đồng cấu, và SV B 휑: ( ∗ ) = 휑( ). 휑( ) với mọi , ∈ đưa ra đồng cấu tầm thường : 푍5 → được gọi là một phép đồng cấu” [2]. 5푍: ( ) = 0, ∀ ∈ 푍5. “Khi các phép toán của nhóm G và H Kết quả thực nghiệm cho thấy 4/5 SV không được viết ra rõ ràng, thì điều kiện không hiểu nghĩa của khái niệm đồng cấu đồng cấu trở thành đơn giản là 휑( ) = nhóm và đẳng cấu nhóm. Họ chỉ ghi nhớ 휑( )휑( ) ” [2]. định nghĩa tường minh đồng cấu nhóm và “Một ánh xạ 휑: → được gọi là đẳng cấu nhóm, mà không nhận ra nghĩa phép đẳng cấu và G và H được gọi là đẳng bảo toàn cấu trúc của nhóm ban đầu trong cấu được viết là ≅ , nếu: nhóm thứ hai qua phép đồng cấu, và hai (1) 휑 là một đồng cấu (nghĩa là nhóm đẳng cấu có thể được xem là một, hay 휑( ) = 휑( )휑( )), và nói cách khác thì nhóm này là bản sao của nhóm kia. (2) 휑 là một song ánh” [2]. Việc thiết lập một ánh xạ đồng cấu là Như vậy, phép đồng cấu là một ánh xạ một kiểu nhiệm vụ khó khăn cho SV mặc dù bảo toàn cấu trúc của nhóm nguồn trong họ có thể thiết lập ánh xạ đồng cấu tầm nhóm thứ đích. Nó không đòi hỏi các nhóm thường giữa hai nhóm. Một ghi nhận khá lý nguồn và đích có cùng bản số. Luôn tồn tại thú là SV xem xét bản số hai nhóm có bằng ít nhất một đồng cấu giữa các nhóm, chẳng nhau không trước khi cố gắng thiết lập đẳng hạn đồng cấu tầm thường, trong đó mỗi cấu. Như vậy là họ nhấn mạnh đặc trưng phần tử của G được ánh xạ cho tương ứng “song ánh” nhưng dường như có khó khăn với phần tử đơn vị của H. trong việc hiểu đặc trưng “bảo toàn phép Hai nhóm G và H là đẳng cấu nếu có toán”, hay “bảo toàn cấu trúc”. một song ánh giữa chúng bảo toàn các phép Việc không hiểu nghĩa cũng như không toán của nhóm. Về mặt trực giác, G và H có xây dựng được ánh xạ đồng cấu cho thấy tồn thể xem là một, mặc dầu các phần tử và các tại khó khăn ở SV khi tiếp cận khái niệm phép toán có thể được viết khác nhau trong đồng cấu nhóm và đẳng cấu nhóm. Khó G và H. Do đó bất kỳ tính chất nào mà G có, khăn ấy có nguồn gốc từ đâu ? Để trả lời câu nếu nó chỉ phụ thuộc vào cấu trúc nhóm của 41
4. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) G, (chẳng hạn tính chất giao hoán của điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh nhóm), thì nó cũng có trong H. Lưu ý rằng cũng quan trọng không kém bản thân phát điều này chính thức minh giải cho việc viết minh đó. Phân tích này giúp ta hiểu đầy đủ tất cả các phép toán của nhóm là “.”, vì việc hơn sự tiến triển của tri thức, từ đó hiểu rõ thay đổi ký hiệu của phép toán không làm hơn các hiện tượng dạy học tri thức đang thay đổi cấu trúc của nhóm. bàn đến [4, p. 20]. 3. Nghiên cứu tri thức luận lịch sử 3.2. Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm đẳng cấu khái niệmđẳng cấu 3.1. Nghiên cứu tri thức luận lịch sử Quá trình hình thành, phát triển khái một tri thức niệm đồng cấu, đẳng cấu nhóm trong Đại số “Nghiên cứu (hay phân tích) tri thức trừu tượng có mối liên hệ mật thiết với sự luận” được sử dụng theo nghĩa của các nhận thức tính tương tự giữa các cấu trúc thuật ngữ étude épistémologique, analyse trong và ngoài toán học, các nghiên cứu tinh épistémologique trong tiếng Pháp. thể học, và với lịch sử hình thành của lý thuyết “Étude épistémologique nghiên cứu nhóm liên quan đến Đại số cổ điển, nhóm các những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức hoán vị, và giải phương trình đại số. (đối với chúng tôi là tri thức toán học), quan Tính tương tự của Gottfried W. Leibniz tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay Lịch sử toán học tràn đầy các ví dụ kiến thức. Ở đây thuật ngữ tiến triển được khám phá sự tương tự giữa các “cấu trúc”, hiểu theo nghĩa rộng nhất: nó có thể liên chẳng hạn có thể nghĩ đến các lớp tương quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức đương trong lý thuyết số học của Gauss, của một hệ thống, một thể chế hay một cá hoặc các định lý đối ngẫu trong hình học thể. Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những xạ ảnh. tư tưởng tiến bộ mà còn đến cả những trì trệ, Khái niệm “đẳng cấu” được định nghĩa những bước lùi” [3]. chính thức trong “Chuyên luận về các phép Nghiên cứu tri thức luận cho phép làm thế và phương trình đại số”1 của Jordan vào rõ: năm 1870, được xem là thành tựu đỉnh cao - Ý nghĩa của tri thức, những bài toán, của hai trục phát triển lý thuyết nhóm các những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải hoán vị, một của Galois, một của Cauchy, quyết; tạo nên một bản giao hưởng về các chủ đề - Những trở ngại cho sự hình thành tri lớn của đại số cổ điển. Tuy nhiên, khái niệm thức; tổng quát về đẳng cấu đã được nhận thức lần - Những điều kiện sản sinh ra tri thức, đầu tiên bởi Leibniz thông qua ý tưởng về những bước nhảy cần thiết trong quan niệm tính tương tự : để thúc đẩy quá trình hình thành và phát Khi xác định rõ “sự phù hợp” giữa các triển tri thức [4]. nhánh khác nhau của toán học mà Descartes Phân tích tri thức luận lịch sử một tri đã nói, Leibniz lần đầu tiên trên thực tế, thức là một phân tích quá khứ để khám phá thoáng thấy khái niệm tổng quát về đẳng cấu những mò mẫm, những lệch lạc, những mà ông gọi là “tính tương tự” và khả năng chướng ngại khác nhau, những điều kiện “xác định” các quan hệ hoặc phép toán đẳng cho phép xuất hiện các khái niệm khoa học cấu với nhau; ông đã đưa ra ví dụ phép cộng mới. Trong phân tích tri thức luận lịch sử, và nhân. Nhưng những quan điểm táo bạo 42
5. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN này vẫn không có tiếng vang giữa những hệ). Từ đó, ngoài đẳng thức, tôi có được ký người cùng thời với ông, và người ta phải hiệu của tính tương tự là “~” . Ví dụ, nếu có: chờ đợi sự mở rộng của Đại số diễn ra vào 2 − 2 = 2 và 푙2 − 2 = 푛2, thì chúng giữa thế kỷ 19 để thấy sự khởi đầu của việc ta có: ; ; ∽ 푙 ; ; 푛, nghĩa là nói: thực hiện các ước mơ của Leibniz. Nhưng các quan hệ giữa a, b, c có cùng các mối chỉ với khái niệm hiện đại về cấu trúc, cuối quan hệ tương ứng với l, m, n” [7]. cùng người ta mới nhận ra rằng mọi cấu trúc Couturat bình luận trong phần thứ hai đều mang trong mình một khái niệm về rằng Leibniz lần nữa nhận thức “tính tương đẳng cấu, và không cần thiết phải đưa ra tự” như một đồng nhất hình thức, giữa các định nghĩa đặc biệt về đẳng cấu cho từng phép toán khác nhau, cho phép chúng ta trao loại cấu trúc [5]. đổi chúng với nhau: Năm 1927, Hermann Weyl, một nhân Không có gì trở ngại để đổi chỗ hai vật quan trọng khác của toán học thế kỷ 20, phép toán khác nhau nhưng tương tự được tuyên bố rằng “các miền đẳng cấu có thể kết hợp với nhau, nếu chúng ta thấy rằng được xem là có cùng cấu trúc”. Nhân tiện theo cách ấy chúng không được phân biệt, trong cuốn sách “Sự đối xứng”2 (1952), Weyl mà chỉ được chuyển đổi theo các cách khác dường như cũng gán cho Leibniz là nguồn nhau. Do đó, ab + cd có thể tương ứng với gốc của liên kết giữa cấu trúc và đẳng cấu: (a + b). (c + d) nếu chúng ta biểu diễn phép Một phép biến đổi bảo toàn cấu trúc của nhân bằng “+”, và phép cộng bằng “.” [8]. không gian được các nhà toán học gọi là một Hai phân tích của Couturat cho thấy nếu tự đẳng cấu. Leibniz nhận ra rằng đây là ý không phải Leibniz đã có một ý tưởng dù tưởng dựa trên khái niệm hình học về sự chưa rõ ràng về khái niệm đẳng cấu tổng đồng dạng” [6]. quát, thì ít nhất nghiên cứu của ông cũng Nhưng định nghĩa của Leibniz về khái hướng tới một chủ nghĩa biểu tượng hình niệm tính tương tự được đưa ra bởi thức trong toán học. Nó có thể là nền tảng Bourbaki, trong đó xác định các mối quan cho sự phát triển khái niệm đẳng cấu, ngay hệ hoặc các phép toán, lại không trùng khớp cả khi sự phát triển này thực sự mất nhiều với định nghĩa được đưa ra bởi Weyl. thời gian. Các đối tượng toán học khác nhau Về định nghĩa tính tương tự theo nghĩa thực sự được kết nối, xem xét tính đồng nhất xác định các mối quan hệ hoặc phép toán hình thức giữa các mối quan hệ hoặc các của Leibniz, Bourbaki đề cập đến các trang phép toán trong mỗi một đối tượng. 301-303 của cuốn sách “Logic của Leiniz”3 Vào tháng 9 năm 1677, Leibniz đã viết của Louis Couturat, mà trong đó Couturat cho Jean Gallois, giám đốc của tạp chí phân tích hai phần. Trong phần đầu tiên Journal des Savants một bức thư, trong đó mang tên “Matheseos Universalis. Pars ông giải thích định nghĩa mới về tính tương prior”, Leibniz đề xuất biểu diễn cho “tính tự của mình: tương tự”, hoặc sự bằng nhau về hình thức Sau khi đã xem xét kỹ, tôi nhận ra rằng giữa hai mối quan hệ, bằng một ký hiệu mới: hai sự vật hoàn toàn tương tự khi chúng “Ngoài các ký hiệu tỷ lệ và tỷ số, đôi không được nhận dạng bằng cách nào khác khi tôi thêm một ký hiệu cho các mối quan hơn là bằng compresence4. Đề xuất này hệ nói chung. Theo cách đơn giản nhất, nó cũng quan trọng trong siêu hình, cũng như cho biết tỷ lệ giữa các lớp quan hệ (loại quan trong hình học và giải tích. Và dù sao theo 43
6. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) hiểu biết tốt nhất của tôi, không một ai đã Nhưng các luận điểm của Mitscherlich công bố nó [9]. được hỗ trợ đặc biệt bởi nhà hóa học nổi Từ thời điểm đó, Leibniz lặp đi lặp lại tiếng người Thụy Điển Berzelius, người đã rằng ông sở hữu một khái niệm, đó là “tương xem chúng như một cách để củng cố lý tự”, mà việc sử dụng nó không chỉ liên quan thuyết điện hóa về tổ hợp của chính mình. đến toán học mà còn tất cả các khía cạnh Theo lý thuyết này, các chất khác nhau có định tính trong thực tế. Hai vật được nói là thể sở hữu các nhóm nguyên tử tương tự, với “tương tự” nếu “chúng không thể phân biệt điều kiện là các tổ hợp hóa học này là do các được khi được nhìn thấy trong sự tách biệt kết nối giữa các nguyên tử có điện tích trái với nhau”. Chẳng hạn, hãy xem xét hai vòng dấu. Năm 1836, nhà hóa học Auguste tròn, một cái lớn và một cái nhỏ hơn. Laurent trở lại giả thuyết này, bằng cách đề Leibniz nói rằng chúng là “tương tự”, bởi vì: xuất rằng các phép thế trong các hợp chất “Chúng không thể phân biệt được ngoại hóa học diễn ra độc lập với điện tích của các trừ khi ta nhìn thấy chúng cùng lúc, vì với nguyên tử. Lần này, chính Berzelius là cách này ta mới thấy rõ rằng cái này lớn hơn người phản đối, tin chắc rằng các phép thế cái kia. Bạn có thể phản đối: hôm nay tôi sẽ không thể chống lại các lực điện. Nhưng đo cái này, ngày mai đo cái kia, và vì thế tôi Laurent thậm chí đã tưởng tượng ra một đại sẽ phân biệt chúng ngay cả khi không nhìn diện hình học của những khả năng thay thế thấy hai cái cùng lúc với nhau. Nhưng tôi này: một lăng trụ giống nhau, hoặc dạng nói rằng đó vẫn là cách nhận thức rõ về nguyên thủy (hạt nhân), có thể được tìm chúng không phải bằng trí nhớ, mà bởi thấy trong các loại hợp chất khác nhau và có compresence5: bởi vì phép đo vòng tròn đầu thể cho phép các phép thay thế khác nhau tiên không có trong trí nhớ của bạn” [9]. như trong tinh thể học. Đẳng cấu của Eilhard Mitscherlich Điều đáng chú ý là khái niệm đẳng cấu Từ “đẳng cấu” được sử dụng lần đầu hóa học được thành lập bởi Mitscherlich tiên bởi nhà hóa học người Đức Eilhard không được định nghĩa theo thuật ngữ logic Mitscherlich vào khoảng năm 1819. Ông hay toán học chính xác: nó trộn lẫn một số quan sát thấy rằng các chất với các tính chất khía cạnh như có cùng dạng tinh thể với một khác nhau có thể kết tinh theo một cách gần chất khác (phép đồng phôi); khả năng cho như giống hệt nhau, mà ông gọi là “đẳng hai tinh thể tạo thành một tinh thể đơn (kết cấu”, nhưng cũng có một số chất hóa học tinh); và thực tế có thành phần hóa học tương tự đôi khi có thể kết tinh thành các tương tự, ngoại trừ một số thay thế của các dạng khác nhau mà ông gọi là “lưỡng hình”. nguyên tố gần gũi về mặt hóa học. Mãi cho Do đó, dạng tinh thể của một chất và thành đến sau này, các quy tắc về việc thiết lập phần hóa học của nó không trùng khớp. Các danh tính của sự phân bố tương đối của các SV của Haüy, như nhà khoáng vật học vị trí bị chiếm giữ bởi các nguyên tử (sự Beudant, đã nghi ngờ về kết luận của khoa đẳng cấu cấu trúc) được phát hiện. học về hình học của người Đức dựa trên sự Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng, ngay từ so sánh và sự tương đồng để phát triển: những năm 1820, trước khi có định nghĩa “Từ đẳng cấu không thể được hiểu theo toán học “chính thức” về cấu trúc và khái nghĩa chặt chẽ, thường thì nó chỉ ám chỉ niệm đẳng cấu, đã có một xu hướng suy nghĩ phép so sánh” [10]. liên quan mật thiết đến khoa học động lực 44
7. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN học Đức phản ánh về cách các nguyên tắc giải thức như sau: nhất định của một tổ chức tự bảo toàn chúng Cho ( ) = 0 là phương trình đa thức thông qua các phép biến đổi. bậc n, với các nghiệm 1, 2, 3, , 푛. Lý thuyết nhóm liên quan đến Đại số Chọn một hàm hữu tỷ 푅( 1, 2, 3, , 푛) cổ điển, nhóm các hoán vị, và giải phương của các nghiệm và các hệ số của ( ) trình đại số (Lagrange mô tả các phương pháp cụ thể để Năm 1770, khi Lagrange viết luận văn làm việc này). Xem xét các giá trị khác nhau cơ bản “Suy nghĩ về lời giải các phương mà ta giả định là 푅( 1, 2, 3, , 푛) nhận trình đại số”6, thì những vấn đề lớn về đại số được với 푛! hoán vị các nghiệm đều tập trung vào các phương trình đa thức. 1, 2, 3, , 푛 của ( ). Nếu các giá trị Chẳng hạn, có những câu hỏi mang tính lý này được ký hiệu bởi 1, 2, 3, , , thì thuyết liên quan đến sự tồn tại và bản chất các phương trình giải thức được cho bởi của các nghiệm như: “Mọi phương trình đều ( ) = ( − 1). ( − 2) ( − ) [11, có nghiệm?”, “Có bao nhiêu nghiệm?”, p. 19]. “Chúng là nghiệm thực, phức, dương, âm?”, Điều quan trọng cần lưu ý là các hệ số và các câu hỏi mang tính thực hành liên của ( ) là các hàm đối xứng theo quan với các phương pháp chính xác và các , , , , , do đó chúng là các đa thức phương pháp gần đúng tìm nghiệm [11]. 1 2 3 푛 theo các hàm sơ cấp đối xứng của Khoảng 1600 trước Công nguyên, , , , , ; nghĩa là chúng là các đa người Babylon cổ đại đã biết cách giải 1 2 3 푛 thức theo các hệ số của phương trình ban phương trình bậc hai bằng phương pháp lắp đầu ( ) = 0. Lagrange đã chứng tỏ rằng k đầy hình vuông. Các phương pháp đại số để chia hết 푛! Đây chính là nguồn gốc của định giải phương trình bậc ba và bậc bốn được lý Lagrange trong lý thuyết nhóm. Chẳng đưa ra vào khoảng năm 1540. Một trong hạn, nếu ( ) = 0 là một phương trình bậc những bài toán lớn trong hai thế kỷ tiếp theo bốn với các nghiệm , , , , thì là nghiệm đại số của phương trình bậc năm. 1 2 3 4 퐑( , , , ) có thể được xem là + Đây là nhiệm vụ Lagrange đặt ra cho chính 1 2 3 4 1 2 , và hàm số này giả định nhận ba giá trị mình trong bài báo năm 1770. 3 4 phân biệt dưới 24 hoán vị của , , , . Trong bài báo này, Lagrange trước tiên 1 2 3 4 phân tích các phương pháp khác nhau đã Vì thế, phương trình giải thức của một biết, được phát minh bởi Viète, Descartes, phương trình bậc bốn là phương trình bậc Euler và Bezout, để giải các phương trình ba. Tuy nhiên, khi tiến hành phân tích này bậc ba và bậc bốn. Ông đã chỉ ra rằng đặc cho phương trình bậc năm, Lagrange đã tìm điểm chung của các phương pháp này là được phương trình giải thức bậc sáu [11]. giảm bậc các phương trình ban đầu thành Mặc dù không thành công trong việc các phương trình phụ, được gọi là các giải quyết vấn đề về khả năng giải được phương trình giải thức7. Các phương trình bằng căn thức của phương trình bậc năm, phụ có bậc nhỏ hơn các phương trình ban công trình của Lagrange là một cột mốc đầu một bậc. Tiếp theo, Lagrange đã cố quan trọng. Đây là lần đầu tiên một liên kết gắng phân tích tương tự các phương trình đa được thực hiện giữa các cách giải của thức có bậc tùy ý n. Với mỗi phương trình phương trình đa thức và các hoán vị nghiệm như thế, ông liên kết với một phương trình của nó. Trong thực tế, nghiên cứu về các 45
8. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) hoán vị của các nghiệm của một phương đến mãi năm 1846 mới được Liouville xuất trình là một nền tảng của lý thuyết tổng quát bản. Ngoài những thành tựu kỹ thuật của của Lagrange về phương trình đại số. Ông mình, Galois buộc phải phát triển một cách suy đoán điều này hình thành nên những chắc chắn sau đó theo hai cách. Một mặt, vì nguyên tắc thực sự của cách giải phương ông phát hiện ra các định lý mà ông không trình”. Mặc dù Lagrange đã nói về hoán vị thể đưa ra bằng chứng dựa trên các khái mà không xem xét “tính toán” các hoán vị niệm và tính toán được xác định rõ ràng, nên (ví dụ, không xem xét phép toán hoặc tính không thể tránh khỏi việc những người kế đóng của chúng), nhưng có thể nói rằng nhiệm của ông thấy cần phải lấp đầy các mầm mống của khái niệm nhóm là một khoảng trống. Mặt khác, sẽ không đủ nếu nhóm các hoán vị hiện diện trong công trình chỉ chứng minh tính đúng đắn của các định của ông. lý này; bản chất của chúng, cốt lõi của lý Galois là người đầu tiên sử dụng thuật thuyết nhóm của chúng, phải được trích xuất ngữ “nhóm” để biểu thị một tập hợp các [12]. hoán vị được đóng theo phép nhân: “Nếu có Người đóng góp chính khác cho lý các phép thế S và T trong cùng nhóm, người thuyết hoán vị trong nửa đầu thế kỷ XIX là ta chắc chắn có thay thế ST”. Ông nhận ra Cauchy. Trong một số bài báo lớn vào năm rằng các tính chất quan trọng nhất của 1815 và 1844, ông đã mở đầu lý thuyết về phương trình đại số được phản ánh trong các các nhóm hoán vị như một chủ đề tự chủ tính chất nhất định của một nhóm có liên động. Trước Cauchy, hoán vị không phải là quan duy nhất với phương trình, gọi là một đối tượng của nghiên cứu độc lập mà là “nhóm của phương trình”. Để mô tả các tính một phương sách hữu ích cho việc điều tra chất này, ông đã phát minh ra khái niệm cơ các cách giải phương trình đa thức. Mặc dù bản nhóm con chuẩn tắc và sử dụng nó để Cauchy nhận thức rõ về công việc của có hiệu quả tuyệt vời [11]. Lagrange và Ruffini (công trình của Galois Trong khi vấn đề của các phương trình chưa được công bố vào thời điểm đó), ông giải thức làm bận tâm Lagrange, Ruffini và “chắc chắn không được truyền cảm hứng Abel, thì ý tưởng cơ bản của Galois là bỏ trực tiếp bởi cách trình bày lý thuyết nhóm qua chúng, vì việc xây dựng một phương đương đại về vấn đề khả năng giải được các trình giải thức đòi hỏi kỹ năng tuyệt vời và phương trình đại số” [12]. không dựa trên một phương pháp luận rõ Thành tựu đỉnh cao của hai trục phát ràng. Thay vào đó, Galois lưu ý rằng sự tồn triển lý thuyết nhóm các hoán vị, một của tại của một phương trình giải thức tương Galois, một của Cauchy, tạo nên một bản đương với sự tồn tại của một nhóm con giao hưởng về các chủ đề lớn, là công trình chuẩn tắc có chỉ số nguyên tố trong “nhóm quan trọng và có ảnh hưởng lớn của Jordan của phương trình”. Cái nhìn sâu sắc này đã vào năm 1870: “Chuyên luận về các phép chuyển sự xem xét từ phương trình giải thức thế và phương trình đại số”8. Mặc dù tác giả sang nhóm phương trình và các nhóm con đã nêu trong lời nói đầu rằng “mục đích của của nó. tác phẩm là để phát triển phương pháp của Nghiên cứu của Galois đã chậm được Galois và biến nó thành một lĩnh vực nghiên hiểu và sử dụng. Trên thực tế, trong khi nó cứu thuần túy, bằng cách chỉ ra với phương được thực hiện vào khoảng năm 1830, thì tiện nào nó có thể giải quyết tất cả các vấn 46
9. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN đề chính của lý thuyết phương trình”, thực thể là các chỉ số trong hai chuỗi hợp thành tế đó là lý thuyết nhóm, bản thân nó không là như nhau (khái niệm nhóm thương không phải là một nhánh của lý thuyết về khả năng được công nhận rõ ràng tại thời điểm này); giải được các phương trình, hình thành nên và ông đã thực hiện một nghiên cứu rất kỹ đối tượng nghiên cứu trung tâm. lưỡng về tính siêu việt và tính nguyên thủy Sự cố gắng tổng hợp toán học dựa trên cho các nhóm hoán vị, thu được các kết quả các ý tưởng chính là một đặc điểm nổi bật mà hầu hết trong số đó chưa được thay thế. trong nghiên cứu của Jordan, cũng như của Ông cũng đưa ra một chứng minh rằng An một số nhà toán học khác trong thời kỳ này, đơn giản cho n> 4. chẳng hạn Klein. Khái niệm về một nhóm Theo lời của Jordan, (hoán vị) dường như cung cấp cho Jordan “Một nhóm  được gọi là đẳng cấu với một ý tưởng quan trọng như vậy. Cách tiếp một nhóm G khác, nếu ta có thể thiết lập cận của ông cho phép ông trình bày thống giữa các phép thế của chúng một tương ứng nhất các kết quả của Galois, Cauchy và sao cho: 1 Mỗi phép thế của G tương ứng những người khác. Việc ông áp dụng khái với một phép thế duy nhất của , và mỗi niệm nhóm vào lý thuyết phương trình, hình phép thế của  tương ứng với một hay nhiều học đại số, hàm siêu việt và cơ học lý thuyết phép thế của G; 2 Tích của hai phép thế tùy cũng là một phần của chủ đề thống nhất và ý của G tương ứng với tích của các phép thế tổng hợp. “Trong cuốn sách của mình, tương ứng lần lượt của chúng. Jordan đã băng qua tất cả các hình học đại Phép đẳng cấu được gọi là mériédrique, số, lý thuyết số và lý thuyết hàm để tìm kiếm nếu nhiều phép thế của G tương ứng với cùng các nhóm hoán vị thú vị” [13]. Trong thực một phép thế của , và được gọi là tế, mục tiêu của ông là một cuộc khảo sát tất holoédrique trong trường hợp ngược lại” [14]. cả các toán học theo các lĩnh vực khác nhau Như vậy, một “đẳng cấu mériédrique trong đó lý thuyết về các nhóm hoán vị đã tương ứng với một “đồng cấu” hiện đại, được áp dụng hoặc dường như có thể được trong khi một “đẳng cấu holoédrique” tương áp dụng. “Tác phẩm đại diện một đánh giá ứng với một “đẳng cấu” hiện đại. về toàn bộ toán học đương đại từ quan điểm về sự xuất hiện của tư duy lý thuyết - nhóm “Giả sử rằng, để cố định các ý tưởng, G ở dạng lý thuyết - hoán vị [12]. chứa m phép thế 1, 2, , tương ứng Chuyên luận thể hiện bản chất của hầu với cùng một phép thế  của nhóm . Cho  ′ hết các ấn phẩm của Jordan về các nhóm cho là một phép thế khác tùy ý của , và là −1 đến thời điểm đó (ông đã viết hơn 30 bài báo một phép thế của G tương ứng với nó: 1 ′ về các nhóm trong giai đoạn 1860 – 1880) tương ứng với 훾−1훾′, và tiếp theo mỗi trong −1 ′ −1 và hướng sự chú ý đến một số lượng lớn các m phép thế ′, 2 1 , , 1 ′ tương vấn đề khó khăn, đưa ra nhiều khái niệm cơ ứng với 훾훾−1훾′ = 훾. Mỗi phép thế của  do bản. Ví dụ, ông đã làm rõ các khái niệm về đó có m phép thế tương ứng trong G, bậc đẳng cấu và đồng cấu cho các nhóm (phép của  sẽ nhỏ hơn bậc của G m lần. thế), lần đầu tiên đưa ra thuật ngữ “nhóm có Nhóm  chứa phép thế I. Cho thể giải được” với ý nghĩa kỹ thuật, đưa ra ℎ1, ℎ2, , ℎ là các phép thế tương ứng của khái niệm về chuỗi hợp thành và đã chứng G: chúng tạo thành một nhóm mà mọi phép minh một phần định lý Jordan – Hölder, cụ thế trong G đều hoán vị được. Vì cho là 47
10. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) một trong các phép thế này,  là phép thế về toán học của thời đại của mình. Ông đã −1 tương ứng với nó: ℎ1 có tương ứng cố gắng đạt được sự tổng hợp như vậy bằng 훾−1 훾 = : do đó nó thuộc vào dãy cách dựa vào khái niệm nhóm hoán vị, mà ℎ1, ℎ2, , ℎ ” [14]. giai đoạn tiếp theo của sự phát triển toán học Ngay sau khi trình bày định nghĩa phép cho thấy đã bị hạn chế quá mức, tạo nên cả đẳng cấu giữa hai nhóm phép thế trong vinh quang và những hạn chế của cuốn sách “Chuyên luận về các phép thế và phương ông ấy ” [12]. trình đại số” ở trang 56, Jordan đưa ra bài Mériédrique của Auguste Bravais và toán xác định các nhóm đẳng cấu với một Camille Jordan nhóm G các phép thế cho trước. Trong phần Về khái niệm đẳng cấu mériédrique mà lời giải bài toán, ông chứng minh rằng bài Jordan định nghĩa trong tác phẩm “Chuyên toán quy thành việc xác định các nhóm bắc luận về các phép thế và phương trình đại số”, cầu đẳng cấu với nhóm G. [10] lưu ý rằng Jordan đã đề cập đến khái Phép đẳng cấu nhóm tiếp tục được niệm medriedry tương ứng trong luận văn của Jordan nghiên cứu trong chương II. “Các ông về các nhóm chuyển động12, và được xem phép thế tuyến tính”, khi ông nghiên cứu các là xuất hiện lần đầu trong lý thuyết nhóm. nhóm đẳng cấu với nhóm tuyến tính. Ngay trong phần mở đầu luận văn, Jordan Một phần quan trọng của chuyên luận công khai thừa nhận rằng ông đã mượn khái đã được dành cho một nghiên cứu về “nhóm niệm này từ các nghiên cứu về tinh thể học tuyến tính” và một số nhóm nhỏ của nó. của Auguste Bravais (1845-1851). Theo thuật ngữ hiện đại, chúng tạo thành Trong luận văn của mình, Jordan nhắm các nhóm được gọi là nhóm cổ điển, cụ thể đến việc phân loại “tất cả các nhóm chuyển là nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm đơn động có thể có trong không gian ba chiều môđula9, nhóm trực giao10 và nhóm ngẫu Euclide” và phát hiện rằng một số nhóm đối11. Jordan đã xem xét các nhóm này chỉ “lớn hơn” chứa các nhóm “nhỏ hơn” khác. trên các miền hữu hạn, và đã chứng minh Jordan gọi các nhóm lớn hơn là “chính” và tính đơn giản của chúng trong một số trường những nhóm nhỏ hơn là “meriedric”. Đối hợp nhất định. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng với ông, một nhóm là meriedric nếu nó "chỉ ông đã lấy các nhóm này thành các nhóm chứa một phần nhất định các chuyển động hoán vị thay vì các nhóm ma trận hoặc biến tạo thành một trong những nhóm chính" Cần đổi tuyến tính. phải nói rằng nhóm lớn nhất trong số tất cả “Chuyên luận về các phép thế và các nhóm chính là nhóm của tất cả các phương trình đại số” của Jordan là một bước chuyển động xoắn ốc13, tức là nhóm được ngoặt trong sự phát triển của lý thuyết tạo thành bởi bất kỳ phép quay nào xung nhóm. Tuy nhiên, quan điểm lý thuyết – quanh một trục, và bất kỳ phép tịnh tiến cho hoán vị của ông đã sớm bị vượt qua bởi quan cùng một trục [15]. niệm về một nhóm là một nhóm các phép Về phần Bravais, về cơ bản, ông tạo ra biến đổi. “Chuyên luận đánh dấu một bước sự khác biệt giữa hai loại cấu trúc lớn: “cấu đột phá trong quá trình tiến hóa và ứng dụng trúc phân tử” và “cấu trúc tinh thể” hơn là khái niệm nhóm lý thuyết – hoán vị. Đó là hai loại nhóm lớn. Cấu trúc phân tử là sự sắp một biểu hiện mong muốn sâu sắc của xếp đa diện của “các thành phần phân tử” Jordan để mang lại một tổng hợp khái niệm [16] bao quanh trọng tâm của phân tử. Nói 48
11. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN cách khác, đó là mô hình được lặp lại định nhất định từ một nhóm các phép biến đổi kỳ bên trong tinh thể. Bravais đã lập chỉ mục sang một nhóm khác. Trong một động thái tất cả các đối xứng có thể có của “các khối cuối cùng in dấu từ vựng của toán học, ông đa diện phân tử” này, trong đó ít nhất một đưa vào từ tinh thể học các khái niệm về điểm vẫn cố định và đếm được 32 lớp hoặc đẳng cấu toàn bộ hay đẳng cấu từng phần nhóm tinh thể. vào trong định nghĩa đẳng cấu nhóm. Ngoài cấu trúc “cụ thể” này của các Theo Jordan, cấu trúc của tinh thể có thể khối đa diện phân tử, Bravais tưởng tượng phản ánh hoàn toàn hoặc một phần các tính một cấu trúc “trừu tượng” hơn là mạng tinh chất của mạng tinh thể mà nó có liên quan. thể (mà ông gọi là mạng lưới nếu nó là hai Theo cùng tư tưởng đó, Jordan cho rằng khi chiều, hoặc sự lắp ráp nếu nó là ba chiều), xét hai nhóm người ta có thể chuyển một trong đó trọng tâm của các khối đa diện phần hay toàn bộ các tính chất của phép toán phân tử khác nhau được phân bố. Lần này, trong nhóm này sang tính chất của phép toán Bravais không tính đến hình dạng của các trong nhóm kia. Ông nói thêm: “khái niệm khối đa diện. Ông gọi cấu trúc tinh thể này đẳng cấu thường có thể hữu ích, vì tính là "sự sắp xếp tương đối các trọng tâm của tương tự về các tính chất mà các nhóm đẳng các phân tử của các thể kết tinh" và phát cấu hiện diện giữa chúng. Do đó, trong nhiều hiện ra 14 cấu trúc mạng tinh thể có thể. trường hợp ta có thể thay thế việc xem xét Bravais đã tự hỏi làm thế nào một “sự trực tiếp một nhóm bởi việc xem xét của bất tương ứng”, hoặc một “sự chuyển đổi” các kỳ nhóm đẳng cấu nào với nó”. tính chất đối xứng có thể xảy ra giữa hai cấu 3.3. Quan niệm gắn liền vớikhái niệm trúc, phân tử và tinh thể: đẳng cấu Vì với bất kỳ cấu trúc phân tử nhất định Từ các kết quả phân tích trong phần 3.2, nào cũng có cấu trúc tinh thể tương đối cho phép chúng tôi xác định được các quan tương ứng, rất có thể tính đối xứng phân tử niệm ảnh hưởng đến quá trình hình thành sẽ xác định cấu trúc của tập hợp tinh thể đó. khái niệm đẳng cấu nhóm sau: Chúng tôi sẽ tạm thời chỉ ra rằng tính đối Quan niệm trừu tượng của lý thuyết xứng của phân tử có xu hướng được truyền nhóm mà các nhà toán học đã cố gắng xây đến tập hợp tinh thể mà sẽ được hình thành dựng bao gồm Lagrange, Gausse, Abel, [16]. Galois, Cauchy, Ruffini. Như Bravais đã lưu ý, sự tương ứng này Quam niệm về đẳng cấu trong tinh thể đôi khi là “chính xác”, hoặc “đầy đủ” và đôi học của Bravais ảnh hưởng đến tư tưởng của khi “không chính xác”, hoặc “không đầy Jordan thể hiện trong định nghĩa đẳng cấu đủ”. Nếu nó là “đầy đủ”, thì có “đẳng cấu nhóm của ông. holoédrique”; nếu không, thì có “đẳng cấu 3.4. Đặc trưng tri thức luận của khái mériédrique” theo nghĩa là một mạng trừu niệm đẳng cấu tượng có nhiều phép đối xứng hơn mô hình Các kết quả phân tích trong phần 3.2 cụ thể (khối đa diện phân tử) mà nó chứa. cho phép xác định các đặc trưng tri thức Trong ấn phẩm “Chuyên luận về các luận của khái niệm đẳng cấu: phép thế và phương trình đại số” (1870), Đặc trưng về tính tương tự của Leibniz. Jordan chấp nhận ý tưởng của Bravais về Đặc trưng về bảo toàn cấu trúc. đẳng cấu từng phần chuyển đổi các tính chất Đặc trưng về đồng dạng hình học. 49
12. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 75 (03/2021) Đặc trưng về ánh xạ: toàn ánh, song Tồn tại các khó khăn trong việc xây ánh, ánh xạ ngược. dựng phép đẳng cấu giữa hai nhóm ở SV khi Đặc trưng về bản số của nhóm. lần đầu tiên tiếp cận tri thức đẳng cấu Đặc trưng trừu tượng của nhóm. nhóm. Các khó khăn này có nguồn gốc từ 3.5. Chướng ngại tri thức luận hai chướng ngại tri thức luận: chướng ngại Từ kết quả phân tích lịch sử hình thành về sự tích hợp của nhiều khái niệm toán học khái niệm đẳng cấu nhóm, chúng tôi xác trong định nghĩa đẳng cấu, và chướng ngại định được chướng ngại tri thức luận của về sự trừu tượng của khái niệm nhóm cũng đẳng cấu nhóm là: như sự đồng cấu trúc. Chướng ngại về sự tích hợp nhiều khái 5. Kết luận niệm toán học trong định nghĩa của đồng Ý tưởng về đẳng cấu có khởi nguồn cấu và đẳng cấu: ánh xạ, song ánh, đơn ánh, hình thành trước tiên về sự nhận thức tính toàn ánh, nhóm, hệ thức bảo toàn cấu trúc. tương tự của các đối tượng trong toán học Chướng ngại trừu tượng hóa: đẳng cấu và ngoài toán học của Leibniz, từ nhận nhóm gắn liền với tính trừu tượng của nhóm thức tính đồng dạng hình học của các cũng như tính trừu tượng về sự đồng dạng mạng tinh thể và tập hợp tinh thể của cấu trúc giữa các nhóm. Bravais, từ nhận thức tính đồng dạng hình Các chướng ngại này SV sẽ phải đương học tinh thể của các chất hóa học của đầu khi tiếp cận khái niệm đẳng cấu nhóm Mitscherlich, và từ nhận thức đồng cấu trong học phần Đại số đại cương. trúc của các nhóm trong lý thuyết nhóm 4. Giả thuyết nghiên cứu trừu tượng của Jordan. Từ các kết quả phân tích tri thức luận ở Jordan đã tổng hợp tất cả các ý tưởng trên và với hai khó khăn xác định được trong lớn về lý thuyết nhóm của Lagrange, thực nghiệm khảo sát trên SV: Galois, Cauchy, cùng với các ý tưởng của - Không hiểu được tính bảo toàn cấu Leibniz, Bravais về tính tương tự của các trúc của phép đồng cấu và đẳng cấu. cấu trúc tinh thể để sáng tạo ra khái niệm - Không xây dựng được ánh xạ đồng đồng cấu và đẳng cấu nhóm. Sự đẳng cấu cấu và đẳng cấu giữa hai nhóm. nhóm cho phép các nhà toán học thay vì Chúng tôi xây dựng giả thuyết H về các xem xét cụ thể các tính chất của một khó khăn của SV khi lần đầu tiếp cận khái nhóm thì xem xét nhóm đẳng cấu với niệm đẳng cấu như sau: nhóm ban đầu. Chú thích: 1 Treatise on Substitutions and Algebraic Equations 2 Symmetry 3 La logique de Leibniz 4 Trong triết học, compresence là sự hiện diện đồng thời cùng với nhau của hai đặc tính hoặc hai tính chất 5 Sự hiện diện đồng thời cùng với nhau của hai đặc tính hoặc hai tính chất 6 “Reflections on the solution of algebraic equations” 7 Một phương trình giải thức của một phương trình đại số ( ) = 0 bậc n là một phương trình ( ) = 0, với các hệ số phụ thuộc vào các hệ số của ( ), sao cho nếu các nghiệm của phương trình này được biết, thì các nghiệm 1, , 푛 của phương trình ( ) = 0 cho trước có thể tìm được bằng cách giải các phương trình đơn giản hơn có bậc không vượt quá n. Một biểu thức hữu tỷ = ( 1, , 푛) thỉnh thoảng được gọi là một phương trình giải thức. (Encyclopedia of Mathematics) 50
13. NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 8 Treatise on Substitutions and Algebraic Equations 9 Unimodular group 10 Orthogonal group 11 Symplectic group 12 Group of mouvements 13 Helicoidal motion TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Melhuish K, “Determining what to assess: a methodology for concept domain analysis as applied to group theory”, 15th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, 736-744, 2015. [2] Dummit D. S, Foote R. M, Abstract Algebra (3rd ed.), Hoboken, NJ: Wiley, 2004. [3] Dorier J. L, “Recherches en histoire et en didactique des mathématiques sur l'algèbre linéaire - Perspective théorique sur leurs interactions”, Docteur en sciences de l'Homme et Société, majeure en education Mathématiques, Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1997. [4] Lê Thị Hoài Châu, “Sự cần thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt động dạy học và đào tạo giáo viên”, Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ, 6 2017. [5] Bourbaki. N, “Theorie des ensembles” in Elements de mathematique: Les structures fondamentales de l'analyse, Paris: Hermann, 1957. [6] Weyl H, Symmetry, Princeton: Princeton University Press, 1980. [7] Leibniz G.W, "Matheseos universalis", Pars prior, 7, 53-76, 1971. [8] Leibniz G.W, “Lingua rationalis”, Philosophische Schriften, 28-30, 1960. [9] Leibniz G.W, Gottfried W, Paul R, Sämtliche schriften und briefe, Berlin: Akademie- Verlag, 1950. [10] Timmermans B, “Prehistory of the concept of mathematical structure: Isomorphism between group theory, crystallography and philosophy”, The Mathematical Intelligencer, 34(3), 41-54, 2012. [11] Kleiner I, A History of Abstract Algebra. Secaucus, United States: Birkhäuser Boston Inc, 2007. [12] Wussing H, The genesis of the abstract group concept: a contribution to the history of the origin of abstract group theory, Courier Corporation, 2007. [13] Klein F, “Development of Mathematics in the 19th Century: Appendices", in Kleinian Mathematics from an Advanced Standpoint, Math Science Press, 1979, 1–361. [14] Jordan M. C, Traité des substitutions et des équations algébriques, Gauthier-Villars, 1870. [15] Jordan M. C, Œuvres de Camille Jordan, Gauthier-Villars, 1964. [16] Bravais A, Études cristallographiques, Bachelier, 1851. Ngày nhận bài: 10/6/2020 Biên tập xong: 15/3/2021 Duyệt đăng: 20/3/2021 51