Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc

Nội dung text: Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc

1. Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc Trần Thế Anh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn: GS.TS. Nguyễn Hữu Dư Năm bảo vệ: 2013 Keywords. Phương pháp toán sơ cấp; Bất đẳng thức tuyến tính; Bất đẳng thức sai phân; Toán học.
2. 3 Mở đầu Bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của tất cả các nhánh của Toán học và trong các khoa học khác. Nó xuất hiện đầu tiên vào thế kỉ XVIII nhờ công của các nhà toán học K.F.Gauss (1777-1855), A.L.Cauchy (1789-1857) và P.L.Chebyshev (1821-1894) và ngày càng phát triển sâu rộng, trở thành trung tâm thu hút sự chú ý của các nhà Toán học. Ngày càng nhiều bất đẳng thức ra đời và trở thành công cụ quan trọng phục vụ cho các lĩnh vực khoa học nói chung và Toán học nói riêng. Vì thế, việc nghiên cứu bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức sai phân, một bài toán quan trọng của lý thuyết phương trình sai phân là hết sức cần thiết. Các kết quả nghiên cứu theo lĩnh vực này được áp dụng ngày càng nhiều trong các lĩnh vực như lý thuyết xác suất, thống kê, tổ hợp, lý thuyết số, hình học, toán kinh tế, sinh học, tâm lý, xã hội học Vì lẽ đó, việc nghiên cứu bất đẳng thức sai phân có ý nghĩa thực tiễn rất to lớn. Dạng tổng quát của bất đẳng thức sai phân là φn(x1, ········· , xn) ≤ 0, n ∈ N. Nếu ta có thể giải được biến xn theo các biến còn lại thì ta nhận được bất đẳng thức sai phân dưới dạng như sau xn ≤ fn(x1, ········· , xn−1). Bài toán chính của các bất đẳng thức sai phân là tìm cách ước lượng độ tăng của (xn), tức là tìm dãy (φn) sao cho ta có ước lượng xn ≤ φn, ∀n ∈ N. Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản cùng một số các định lý, các bất phương trình, bất đẳng thức sai phân liên quan đến bất đẳng thức Gronwall-Bellman. Nội dung chính của bản luận văn là trình bày lại chương 4 và chương 9 trong tài liệu " Difference equations and inequalities- Theory, Methods and Applications " của tác giả Ravi P. Agarwal, đồng thời cố gắng tìm tòi, khám phá ra thêm các ứng dụng của nó để phục vụ cho việc giảng dạy toán ở phổ thông. Luận văn gồm phần mở đầu và hai chương. • Chương 1. Bất đẳng thức sai phân một biến Chúng ta biết rằng các bất đẳng thức đã cung cấp cho ta một nguyên lý so
3. 4 sánh rất tổng quát trong việc nghiên cứu các tính chất định tính cũng như định lượng của nghiệm của các phương trình liên quan. Bất đẳng thức nổi tiếng Gronwall là một trong các ví dụ cho toán tử không đổi κ trong đó nghiệm chính xác của phương trình w = p + κw cung cấp một cận trên trong số tất cả các nghiệm của bất phương trình u ≤ p + κu. Chúng ta sẽ bắt đầu chương này với bất đẳng thức Gronwall, tiếp theo là các bất đẳng thức phi tuyến, sai phân, hệ hữu hạn các bất đẳng thức, và cuối cùng là bất đẳng thức Opial và Wirtinger. • Chương 2. Bất đẳng thức sai phân nhiều biến độc lập Các bất đẳng thức ở chương 1 được mở rộng cho các hàm m biến độc lập. Các bất đẳng thức này được sử dụng như một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các phương trình sai phân từng phần. Chúng ta sẽ bắt đầu chương này với khái niệm về hàm Riemann rời rạc và sử dụng hàm này để nghiên cứu về các bất đẳng thức tuyến tính Gronwall và Wendroff. Tiếp theo là các bất đẳng thức phi tuyến và bất đẳng thức sai phân bậc cao với hai biến độc lập. Sau đó, chúng ta chuyển qua xem xét không gian tuyến tính nhiều chiều với các bất đẳng thức tuyến tính và phi tuyến trong không gian này. Cuối cùng, chúng ta sẽ mở rộng các bất đẳng thức Opial và Wirtinger với hai biến độc lập.
4. 71 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT 1- Lê Đình Định, Bài tập Phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2012. 2- Phan Huy Khải, Bất đẳng thức và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2010. TIẾNG ANH 3- Ravi P. Agarwal, Difference equations and inequalities- Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker, Inc, 2000.