Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận

Nội dung text: Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận

1. Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 43 5(48) (2021) 43-51 Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận Using Markov chain Monte Carlo to estimate matrix- exponential distribution Lê Văn Dũnga, Trần Đông Xuânb,c* Le Van Dunga, Tran Dong Xuanb,c* aFaculty of Mathematics, the University of Da Nang - Da Nang University of Education and Science bViện Nghiên cứu Khoa học Cơ bản và Ứng dụng, Trường Đại học Duy Tân, TP. HCM, Việt Nam bInstitute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi Minh City 700000, Vietnam c Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam cFaculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam (Ngày nhận bài: 12/5/2021, ngày phản biện xong: 17/5/2021, ngày chấp nhận đăng: 21/9/2021) Tóm tắt Bài viết này trình bày về phương pháp ước lượng hàm phụ thuộc vào một hoặc nhiều phân phối mũ ma trận. Phương pháp được chúng tôi đề nghị sử dụng là Markov chain Monte Carlo nhằm xây dựng quá trình Markov dưới biến mũ ma trận kết hợp với mẫu Gibbs để thu được một dãy độ đo xác suất mũ ma trận dừng từ phân phối hậu nghiệm của quan trắc đã cho. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng dựa vào biến đổi Laplace-Stieltjes và biến đổi Laplace-Stieltjes ngược của phân phối mũ ma trận để đề ra công thức tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong mô hình rủi ro hai chiều. Từ khóa: Markov chain Monte Carlo; phân phối mũ ma trận; xác suất phá sản. Abstract In the article, we present a method of functional estimation to depend on one or a lot of matrix exponential distribution. The Markov chain Monte Carlo is used to create Markov process with variable of matrix exponential distribution to combine with Gibbs sampling to obtain a series of the matrix exponential ergodic for probability measure from posterior distribution of given observational data. Besides, the Laplace-Stieltjes and inverse Laplace-Stieltjes transform of the matrix exponential distribution are used to obtain a formula to calculate ruin probabilities based on two dimensional ruin model of insurance company. Keywords: Markov chain Monte Carlo; matrix exponential distribution; ruin probabilities. 1. Mở đầu hàng yêu cầu bồi thường tương ứng với quá Trong bài báo này, chúng tôi phát triển trình Poison. phương pháp ước lượng hàm của phân phối mũ Ý tưởng chính là tạo ra một dãy độ đo mũ ma trận từ phân phối bồi thường bảo hiểm chưa ma trận ngẫu nhiên dừng từ phân phối của biết. Phân phối này được áp dụng để tính xác thông tin quan sát và sử dụng tính dừng của dãy suất phá sản của công ty bảo hiểm với số khách để ước lượng các biến bằng trung bình mô *Corresponding Author: Tran Dong Xuan, Institute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi Minh City, 700000, Vietnam; Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Danang City 550000, Vietnam Email: trandongxuan@duytan.edu.vn
2. 44 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 phỏng của hàm độ đo trong dãy. Trọng tâm của Biến ngẫu nhiên Z được gọi là phân phối bài báo này là đề ra công thức tính xác suất phá ME nếu hàm mật độ và hàm phân phối của nó sản của mô hình rủi ro hai chiều dựa vào công được định nghĩa với z ≥ 0 có dạng: thức biến đổi Laplace-Stietjes và mô phỏng quá 0, z 0 f (z) αaexp(A z ) ; F(z) 1 trình Markov theo biến mũ ma trận. Cụ thể hơn, 1 αexp(zA ) A a, z 0 đối với quan trắc Xx từ phân phối mũ ma (2.1) trận, chúng ta thiết lập một phương pháp mô trong đó, phỏng từ phân phối có điều kiện theo quá trình Markov với thời gian đạt đến đã cho. Mô p ≥ 1 và 0 ≤ 0 ≤ 1, phỏng này được thực hiện như thuật toán là vector hàng 1 × p, Metropolis-Hastings (MH). Bên cạnh đó, mẫu A là ma trận p × p, Gibb (Gibbs sampler) được sử dụng để suy luận a là ma trận cột p × 1. và trong mỗi bước lặp, chúng tôi sử dụng thuật toán MH để khôi phục lại quá trình Markov. Rõ ràng F(z) trong phương trình (2.1) là hàm phân phối với các tham số α, A và vì nó liên Bài báo được trình bày như sau: Phần 1 là 0 tục phải với z = 0. Đó là, phần mở đầu của bài báo; một số tính chất của lim (1) α exp(zA A 1 a) phân phối mũ ma trận, phân tích Bayes và 0 z 0 phương pháp Markov chain Monte Carlo được đưa ra trong Phần 2. Phần 3 được dành để xây tham số 0 được biết như điểm mass tại 0. dựng thuật toán và mô tả mục đích của hỗn hợp Chúng ta không xét trường hợp 0 = 1 vì tiên nghiệm (hyper-prior) đối với trường hợp ít khi 0 1thì sẽ dẫn đến hàm phân phối tầm thông tin tiên nghiệm (prior), cải thiện hỗn hợp thường (trivial distribution function). Khi đó, xích Markov của quá trình Markov. Mô hình chúng ta có thể nói phân phối ME có biểu diễn rủi ro hai chiều và công thức tính xác suất phá (α, A, a) với cấp p. Biến đổi Laplace-Stieltjes sản của công ty bảo hiểm được trình bày trong (LST) của (2.1) được cho bởi: Phần 4. Cuối cùng, kết luận và một vài suy nghĩ *  z 1 f ( ) e dF(z) α (  I A ) a 0 ,  tiếp theo được thảo luận trong Phần 5. 0 2. Một vài kiến thức liên quan sao cho ()   với  . (2.2) 2.1. Phân phối mũ ma trận (matrix- Đạo hàm (2.2) k lần theo  và đặt exponential distributions)  0, moment thứ k được viết dưới dạng: Trong phần này, chúng tôi giới thiệu lớp m ( 1)k 1 k!αA (k 1) a . phân phối mũ ma trận (ME), đọc giả có thể k tham khảo Lipsky [1, chương 3] và Asmussen Asmussen và Bladt [1] chứng minh rằng tất [5] để thấy nhiều tính chất quan trọng của phân cả các phân phối trong lớp phân phối ME có phối này. cùng biến đổi Laplace-Stieltjes hữu tỷ có dạng: p1 a1 a 2  a p  f()*  ,a,a,,a,b,b,,b . p 1 p 0 1 2 p 1 2 p b1 b 2  b p   p1 p 1 p Chúng ta xem a1 a 2  a p  và b1 b 2  b p   lần lượt là tử số và mẫu số của LST.
3. Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 45 Ví dụ: a. Hàm mật độ của phân phối hyper-exponential (GH) là n n  z f (z)  ii  e i , với z ≥ 0, 1,,, 2 n ,  i 1 và 1  2  n 0 . i1 i1 Theo Botta, Harris và Marchal [3], phân phối GH có biểu diễn ME(α, A, a) như sau: 1100  00   α ( , , , ); A 22 ; a 1 2 n 00 nn  b. Mỗi phân phối phase-type (PH) có biểu Trường hợp được xét trong bài báo này,  có diễn ME(α, A, -Ae), trong đó α là vector xác biểu diễn (,,)α A a của phân phối ME. suất trạng thái ban đầu và A là cường độ Cụ thể, phương pháp đề ra được dùng để chuyển trạng thái của xích Markov thời gian ước lượng tham số  chưa biết. Trước tiên, phân liên tục với hữu hạn trạng thái. tích Bayes chỉ ra một phân phối tiên nghiệm G 2.2. Phân tích Bayes trên không gian  , ý tưởng biểu diễn thông tin ban đầu (không chắc chắn) về . Tuy nhiên, Trong phần này, chúng tôi trình bày một chúng ta sẽ quay lại bài toán xác định phân cách ngắn gọn các khái niệm cơ bản trong ước phối tiên nghiệm sau. Bây giờ, mật độ lượng Bayes. Để hiểu chi tiết phần này, đọc giả f (.∣  ) được hiểu như phân phối có điều có thể tham khảo tài liệu [4]. kiện  cho trước, sao cho f và G liên kết với Chúng ta xét quan trắc nhau trong định nghĩa phân phối liên hợp (joint X x ,X x , ,X x của biến ngẫu nhiên 1 1 2 2 n n distribution) P trên không gian X , trong đó độc lập cùng phân phối X từ hàm phân phối i X là không gian trạng thái với hàm mật độ f (.∣  ), trong đó   là tham số của X (X ,X , ,X ) . Khi đó, kết luận được chưa biết (có thể có số chiều lớn hoặc thậm chí 1 2 n đưa ra thông qua phân phối hậu nghiêm là vô hạn). Chúng ta đặt (x1 ,x 2 , ,x n ) sao cho (posterior distrubution), G* đạt được từ P với f(x∣ ) f(x1 ∣  )f(x 2 ∣  ) f(x n ∣  ). điều kiện của dữ liệu x sao cho dG* dP(.∣ x) g()*  ()  ()   L(x)f(x)f(x∣ ∣ ∣  )f(x ∣  ). dG dG 1n Vì vậy, hàm mật độ hậu nghiệm sẽ tương Suy luận về h sẽ được biểu diễn bằng phân ứng với hàm mật độ tiên nghiệm tỉ lệ với hàm phối hậu nghiệm của h hoặc các tham số cụ thể Likelihood L. của phân phối này, ví dụ như trung bình của nó Khi đó, phân phối hậu nghiệm G* biểu diễn là suy luận đầy đủ về  , kết hợp với thông tin tiên h E[h( ∣ x)] h(  )G ( d  ) , (3.1) nghiệm G và thông tin dữ liệu L.  hay phân vị của phân phối hậu nghiệm h nếu h là Trong ví dụ cụ thể, người ta quan tâm đến phân phối một chiều. Trung bình hậu nghiệm một hoặc nhiều hàm đặc biệt h  h( ) của tham h* trong (3.1) thường được xem là ước lượng số. Trong trường hợp của chúng ta, h là phân Bayes của h mặc dù đôi khi điều này không phối ME được biểu diễn thông qua hàm phân chính xác. Bởi vì, có nhiều tham số khác của phối (cdf) chẳng hạn.
4. 46 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 phân phối hậu nghiệm thú vị hơn trung bình MCMC được sử dụng trong nhiều nhánh của của nó. Một khoảng như [u.025 ,u .975 ]với u là Toán và Kinh tế nhưng thuật toán MCMC khác phân vị của phân phối hậu nghiệm  , là khoảng nhau. Trong phần này, chúng ta sẽ giải thích và tin cậy (credibility interval) 95% đối với  . khai thác mẫu Gibb (Geman (1984) và thuật Chú ý thể hiện của khoảng tin cậy này thì khác toán Metropolis-Hastings (MH) (Hastings, hoàn toàn với khoảng tin cậy truyền thống và 1970). có khởi đầu (genesis) phức tạp hơn. Cơ bản của mẫu Gibb là chọn hữu hạn biến Vấn đề khó khăn còn lại của suy luận ngẫu nhiên Y (Yv ) v V với phân phối mục tiêu (Bayesian inference) liên quan đến việc chỉ rõ (target distribution) liên hợp . Khi đó, mẫu xác suất tiên nghiệm G, biểu diễn hậu nghiệm Gibb dẫn đến các bước như sau: Trước tiên, 00 G* và tính tích phân tương ứng với G* như chọn phần tử ban đầu y (yv ) v V tùy ý. Sau đó, phương trình (3.1). số phần tử của V là V  {1,2, ,∣∣ V } và tạo ra các biến ngẫu nhiên từ điều kiên đầy đủ Để cho đơn giản, người ta thường sử dụng (Yv∣ Y V {v} ) bằng cách: họ phân phối tiên nghiệm liên hợp. Một họ 1 0 phân phối được nói là liên hợp đối với bài Lấy y1từ (Y1∣ yV {1} ) ; toán suy luận Bayes, nếu nó đóng dưới phân 1 01 tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm (prior-to- Lấy y2 từ (Y2 ∣ yV {1,2} , y1 ); posterior), i.e. G thì G* với dữ liệu x bất Lấy y1 từ (Y∣ y0 , y 1 , y 1 ) ; kì. Họ liên hợp đôi khi thuận lợi trong việc số 3 3 V {1,2,3} 12 hóa bài toán bởi bản thân nó là hỗn hợp tham số Tiếp tục cho đến khi lấy được y1 ∣∣V (hyper-parameter)  , i.e. {G ,  H}. Khi đó, phân tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm có thể từ (Y∣ y0 ,y,y,,y 1 1 1 ) . ∣∣V V {V}∣ ∣12 ∣ V ∣ 1 được tóm tắt bằng cách chỉ ra hỗn hợp tham số Mỗi bước như trên được xem như bước đi hậu nghiệm * phụ thuộc như thế nào với hỗn của quá trình. Khi tất cả các vị trí được quá hợp tham số tiên nghiệm  và dữ liệu x. trình đi qua, một bước chuyển từ 00 11 2.3. Phương pháp Markov Chain Monte Carlo y (yv ) v V đến y (yv ) v V được chọn. Quá Phương pháp Markov chain Monte Carlo trình lặp lại cho đến khi tạo thành công các giá 0 1 n (MCMC) có ứng dụng đầu tiên trong vật lý trị y , y , , y , Các điểm tạo thống kê (Metropolis et al., 1953). Phương được nhờ mối liên hệ của Markov chain, trong đó,  đóng vai trò phân phối tương đương. Do pháp này được sử dụng để mô tả hoạt động của tính dừng (ergodicity), tích phân của hàm h hệ thống hat nguyên tử và phân tử phức tạp. tương ứng với  được xấp xỉ bằng trung bình Ứng dụng đầu tiên của MCMC trong mô hình của mẫu Gibbs thống kê là tính tích phân của phân phối hậu 1 n nghiệm Bayes trong bài toán phức tạp (Gelfand h(y) (dy) h(yv ). (3.2) n  and Smith, 1990; Gilks et al., 1996). Bên cạnh v1 đó, MCMC cũng được sử dụng để phân tích Trong suy luận Bayes, mục tiêu thường là Likehood truyền thống (Geyer and Thompson, phân phối có điều kiện của Y được cho bởi tập 1992). Trong thời gian gần đây, phương pháp quan trắc của biến ngẫu * này được ứng dụng nhiều trong các ngành khác nhiên Y y ,  A  V . Điều chỉnh cần phải nhau như Thống kê, Kinh tế, (xem Green đạt được một mẫu từ phân phối có điều kiện (2001)). này, nghĩa là trạng thái bắt đầu phải thỏa
5. Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 47 0* y y ,  A và các trạng thái trong A không quan sát từ chu kỳ thử nghiệm (burn-in period) được cập nhật. của mẫu MH được bỏ trước khi mẫu Gibbs Thuật toán Metropolis–Hastings thì không được cập nhật. Trong phần này, mẫu Gibbs cần thiết gắn liền với một trạng thái cụ thể nào. được sử dụng trong trường hợp V2 và phân Chúng ta sẽ khử nhiễu ở vị trí tiếp theo và viết phối mục tiêu là phân phối có điều kiện của các bước lặp lại như một kí hiệu thay vì viết lên ( ,Y) với dữ liệu x đã cho,  (,)αA là biểu diễn trên. Thuật toán MH cấu trúc như một xích ME và Y là tập đầy đủ các trạng thái của quá trình Markov. Khi đó, chúng ta sử dụng phân Markov {Yn } bằng cách lấy Z = z với mọi n từ phân phối đề nghị yn để đạt được xích di phối liên hợp đơn giản để lấy mẫu  với y (và x) được cho và sử dụng thuật toán MH để lấy chuyển đến Yzn1 và chấp nhận đề nghị này mẫu Y với ( ,x) đã cho. với xác suất thích hợp a(z, yn ) . Nhìn chung, phân phối đề nghị là tùy ý, nhưng kết quả của 3. Lấy mẫu của phân phối mũ ma trận thuật toán phụ thuộc vào xác suất chấp nhận. Vì 3.1. Lấy mẫu từ quá trình Markov liên hợp vậy, thuật toán Metropolis–Hastings là với biến mũ ma trận Lấy điểm Yy00 bất kỳ; Đặt X là biến ngẫu nhiên với phân phối ME Trong n bước, lấy Z = z từ (.∣ y ) , đặt n và J là quá trình Markov liên hợp. Chúng ta sẽ Yzn1 với xác suất a yn ,z và Yn 1 = y n với mô phỏng quá trình Markov J từ phân phối có xác suất điều kiện của J với điều kiện X = x đã cho, 1-a yn , z , trong đó xác suất chấp trong đó X là thời gian đạt đến của quá trình nhận được xác định như sau: Markov với ma trận cường độ chuyển A và d phân phối xác suất ban đầu (α ,0) . (z) d yn a(y ,z) min 1, Ý tưởng của chúng tôi là sử dụng quá trình n d (y ) Markov này để thu được trạng thái đạt đến tại z n d thời điểm x. Với một quá trình Markov khác, Nếu y thì chúng ta nói về một mẫu phụ trạng thái đạt đến sẽ cách xa thời điểm x và sử thuộc. Trong bài báo này, tất cả thuật toán MH dụng thay thế này như đề nghị trong thuật toán là mẫu phụ thuộc. Metropolis–Hastings. Nhìn chung, cả hai thuật toán Gibbs và MH Đặt Jt là quá trình Markov với ma trận đều là loại bỏ tiên nghiệm thử nghiệm ban đầu cường độ A và phân phối ban đầu πα ( ,0) . Khi và chỉ giữ lại trung bình (3.2) cho tất cả các giá đó, phân phối của Js là πAexp( s) , do đó trị đạt được sau bước thử nghiệm này. Bài toán qi (s) : P (J s i) π exp( A s) e i, với phương pháp MCMC có thể hội tụ rất chậm nếu xích Markov tạo ra không tốt và nó có thể là xác suất của quá trình Markov ở trạng thái khá khó để đánh giá sự hội tụ trong các tình i tại thời điểm s, trong đó ei là vector cột với huống thực tế. phần tử thứ i bằng 1, tất cả các phần tử khác bằng 0. Vì tt  iie , mật độ của x có thể biểu Một biến thể của thuật toán được biết như i "Metropolis-trong-Gibbs'', trong đó, một bước diễn đơn giản bởi hàm q như sau: MH được sử dụng để thay thế bước cập nhật fX (x)  q i t i . i Gibbs (Gibbs updating) tại trạng thái đơn. Thực vậy, thuật toán cuối cùng được trình bày trong Phân phối tiên nghiệm của xích Markov đối bài báo này là một biến thể như trên, trong đó với trạng thái đạt đến chính xác là
6. 48 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 q (x)t : P{J i∣ X x} ii , (5.1) điều này suy ra từ i x fX (x) q (x)t dx P{J i∣∣ X [x, x dx)} P{J i X x}f (x)dx. i ixx X Đặt Px P(.∣ X x) là phân phối cần tìm và nếu trạng thái đạt đến xảy ra trước thời điểm x. P* P(.∣ X x) là phân phối của J , 0 t x với Khi đó, những trường hợp khác được chấp nhận. x t điều kiện Xx . Do đó, Px là phân phối mục Tính Markov mạnh của J t suy ra * tiêu và Px là phân phối đề nghị. Sau cùng, J , 0 t x và X là độc lập có điều kiện với J t t chúng ta mô phỏng quá trình ban đầu và loại bỏ được cho. Do đó, P({J} {j}∣∣ J ) P({J}* {j} J ). xt t x t t x x x t t x t t x x * Phân phối Px tại thời điểm x được cho bởi q (x) * : P{J i∣ X x} i i x qj (x) j nn bởi vì P(X x)  P{J j} qj (x) . Vì vậy, chúng ta có j 1x j 1 dP P ({J : t x} {j : t x}) x {J , t x} x t t t dPx P x ({J t : t x} {j t : t x}) P({J:tx t x} {j:t t x}J∣ j )P(J x j ) x x x x P({J:t* x} {j:t x}J∣ j )P(J j ) x t tx x x x x Px (J j ) xx jx . P (J j ) x x x jx Trong phần chính, phân số này có thể được Phân phối dừng của xích Markov trong cấu sử dụng như trọng số đối với quá trình mẫu trúc quá trình Markov xây dựng theo cách tính * quan trọng dựa vào mẫu từ Px thay vì Px .Tuy này sẽ là Px . Vì vậy, thuật toán trở thành: nhiên, tính trọng số quan trọng này thường là Lấy mẫu từ P P(.∣ X x) có thể được hoàn rất khó, vì thế chúng ta tính phân số này bằng x thành như sau: mũ ma trận. 1. Sinh ra {j , t x} từ P* P(.∣ X x) bằng Để thực hiện điều này, chúng ta xây dựng t x cách loại bỏ mẫu; xích Markov dừng với Px giữ vai trò là phân * phối tương đương nhờ vào thuật toán MH 2. Sinh ra {jt , t x} từ Px P(.∣ X x) bằng * cách loại bỏ mẫu; với Px là phân phối đề nghị. Điều này lặp lại việc thay thế mẫu tiềm năng 3. Lấy U ~ U[0,1] ; của mẫu đã cho j (jt , t x) bằng mẫu mới 4. Nếu U min{1,tjj / t } thì thay {j t } t x xx * j (jt , t x), đạt được bằng cách lấy mẫu từ Px . bằng{jt } t x ; Xác suất chấp nhận MH a(j, j ) là tỉ số 5. Trở về bước (2). * t j j j a(j, j ) x x x , 3.2. Mẫu Gibbs (Gibbs ampler) * t jj j xxx Mẫu Gibbs đã sử dụng đối với việc thay phân số này dễ dàng được tính. phiên suy luận giữa mẫu từ phân phối có điều
7. Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 49 kiện của quá trình Markov J với xi là vốn ban đầu của công ty i; (αA , ), x ,x , ,x đã cho và phân phối có điều 1 2 n ci là phí bảo hiểm của công ty i; kiện của (,)αAvới dữ liệu y đã cho đầy đủ. N(t) S(t)  zk , N(t) là quá trình đếm Poison Đối với bước đầu tiên, chúng ta sử dụng k1 thuật toán MH đã trình bày trong phần trước. với bước nhảy không âm, zk là các biến Bước tiếp theo, chúng ta sử dụng tính chất liên ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối [2]. hợp của phân phối tiên nghiệm đối với dữ liệu Chúng ta kí hiệu F(x) là hàm phân phối của đầy đủ. Tóm lại, chúng ta có thuật toán sau: bồi thường z;k  là trung bình thời gian đến của và  là trung bình của z. Chúng ta cũng Mẫu Gibbs đầy đủ: Xác định i, ij , k giả sử rằng công ty thứ hai được gọi là bảo i ,i 1,2,  ,p và đặt  { i ,i 1,2,  ,p}. hiểm lại sẽ nhận lượng phí trên lượng trả ra ít 1. Tạo ra α, Aij ,i j và ti ,i  1,2, ,p từ phân phối tiên nghiệm; hơn công ty thứ nhất, đó là cc p 12 p . 2. Tạo ra J = (J1 ,J 2 , ,J N ) , với mỗi Ji là 12 (7.1) 12 quá trình Markov có trạng thái đạt đến Thời điểm đầu tiên τ khi có ít nhất một công tại thời điểm xi đạt được nhờ sử dụng một số bước cố định của thuật toán MH; ty phá sản là 3. Tính thống kê (x,x1 2 ): inf t 0:X(t) 1 0hayX 2 (t) 0. b {Bii ,i 1,2,  ,p}, z {Z ,i 1,2,  ,p} và Xác suất phá sản trong thời gian hữu hạn N {Nij ,i 1,2,  ,p} từ dữ liệu ; (x,x1 2 ) Pr((x,x  1 2 ) t) . 4. Lấy α, Aij ,i j và ti ,i  1,2, ,p từ điều Xi (t) xi kiện đầy đủ: Đặt U(t)i u i ptS(t) i với ui và i i α~ Dir( β b ) c p i t ~ Gamma(1/ ( z ), N  ),i 1,2,  ,p i . i i i i0 i0 i tij ~ Gamma(1/ ( i z i ), N ij  ij ),i j 5. Trở về bước (2). Theo cách này, sau một chu kỳ thử nghiệm chắc chắn, chúng ta đưa ra một dãy trạng thái xấp xỉ của phân phối (độ đo) được lấy ra từ lớp phân phối ME đã cho. Dãy này có thể được sử dụng theo nhiều cách để thu được thông tin về hàm của độ đo ME chưa biết. 3.3. Quá trình rủi ro hai chiều (two- Hình 1. two-dimensional risk process dimensional risk process) Nếu vốn ban đầu uu21 , hai đường thẳng Trong phần này, chúng ta xét mô hình rủi ro này không giao nhau. Trường hợp này, suy ra hai chiều (hai công ty bảo hiểm hoặc hai nhánh trực tiếp từ lý thuyết phá sản một chiều; xem của công ty bảo hiểm) chia lượng bồi thường Rolski et all [6], chúng ta sẽ không thảo luận trong phần này. Tiếp theo, chúng ta xét trường cho mỗi khách hàng theo tỉ lệ 1 và 2 với hợp uu . 12  1 và nhận phí tương ứng là c12 ,c . 12 Đặt Xi là quá trình rủi ro của công ty i Nếu Ui (t) là quá trình rủi ro, thì biến đổi Laplace (Laplace transform) của hàm phá sản là X(t)i x i ct i  i S(t), i 1,2
8. 50 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 * (s) 00 exp( sui )d  (u i ) exp( su i )  (u i )du i , Ch ứ ng minh. (7.2) Chúng ta sử dụng LST bậc ba của hàm phá (u ) trong đó  (u)i . Nếu hàm  có ba biến [1] u i (s)  (b) (s )  (b)  (z,s,b) (z  (s)) 1 m độc lập (t,ui , y), trong đó, y được hiểu là số tiền b s b sm thâm hụt của công ty tại thời điểm phá sản. Khi (7.6) đó, định nghĩa biến đổi Laplace tương ứng với mỗi biến là và *1 * zt (s) cs  (f (s) 1) cs  (α (s I A ) a 1). (z,uii , y) 0 e  (t,u , y)dt * sui (t,s, y) 0 e  (t,uii , y)du * by (t,uii ,b) 0 e  (t,u , y)dy. Chúng ta thấy rằng (s)  (b) Định nghĩa của biến đổi Laplace bậc hai là c α (s I A ) 11 (b I A ) a . bs (z,uii ,b) 00 exp( zt by)  (t,u , y)dtdy. Thế vào phương trình LST bậc ba (7.5), ta Định nghĩa của biến đổi Laplace bậc ba là được s s  (z,s,b) m )(s α I A )(s 1 I A )(b 1 I A ) 1 a (z,s,b) 000 exp( at by sui )  (t,u i , y)dtdydu i . m (sm )  (s) α(s I A ) 1 (s I A ) 1 (b I A ) 1 a m 11 Khi hàm mật độ của số tiền bồi thường c α (s I A ) (sm I A ) a (claims) có phân phối ME π(s I A ) 11 (b I A ) a 1 f(t) α exp( A t), a 1 π (s I A ) a π[s I ( A aπ )] 11 (b I A). a thì biến đổi Laplace của hàm mật độ phá sản được tính theo định lý sau: Sử dụng LST ngược, chúng ta thu được (7.4) Định lý 1. Nếu Ui (t) là quá trình rủi ro với số và (7.3). ■ tiền bồi thường có phân phối ME (,)αA và m là (sm 0 một số dương bất kì, thì LST của hàm phá sản Khi z = 0 ) và y = 0, xác suất phá sản là trong miền thời gian hữu hạn được tìm thấy từ * định lý 1 như sau:  i(z,u i , y)π exp( Q u i )exp( A y) a , (7.3) *(z,u,y)  (t,u,0)dt  (t,u,0) π exp( Q u). a 1 i 0 i i i i(z,u i ,b) π exp( Q u i )(b I A ) a , (7.4) 1 1 4. Kết luận i (z,s,b) π (s I Q ) (b I A ) a , (7.5) Trong bài báo này, chúng tôi đã sử dụng với phương Markov chain Monte Carlo để ước  (Q u )k Q A aπ, π α (s I A ) 1 , exp( Q u ) i , lượng các tham số của phân phối mũ ma trận từ czi k! số liệu bồi thường bảo hiểm của khách hàng. s m là nghiệm không âm của phương trình Sau đó, chúng tôi dụng biến đổi Laplace- Lundberg Steiject và biến đổi Laplace-Steiject ngược của * phân phối mũ ma trận để đưa ra công thức tính (sm ) cs  (f (s) 1) m, * xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn và f (s) là LST của hàm mật độ bồi thường f(t). của công ty bảo hiểm trong mô hình rủi ro hai chiều. Bên cạnh đó, phân phối mũ ma trận còn
9. Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 51 có ứng dụng trong lý thuyết xếp hàng distribution functions. Stochastic Models, 3 (1987), 115-148. (queueing theory), lý thuyết đổi mới (renewal [4] Jose, M. Bernardo, Adrian F. M. Smith. Bayesian theory) [7]. Theory, John Wiley & Sons, Chichester and New York, 1994, pp 611. Tài liệu tham khảo [5] Lipsky, L. Queueing Theory: A linear algebraic [1] Asmussen, Søren, and Mogens Bladt. "Renewal approach. Springer Science & Business Media, theory and queueing algorithms for matrix- 2008, pp. 548. exponential distributions." Matrix-analytic methods [6] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., & Teugels, in stochastic models. Marcel Dekker Incorporated, J. Stochastic processes for insurance and 1996, 313-341. finance (Vol. 505). John Wiley & Sons, 2009, pp [2] Avram, F., Palmowski, Z., & Pistorius, M. R. Exit 662. problem of a two-dimensional risk process from the [7] Bladt, M., & Nielsen, B. F. Matrix-exponential quadrant: exact and asymptotic results. The Annals distributions in applied probability (Vol. 81). New of Applied Probability (2008), 2421-2449. York: Springer, 2017. [3] Botta, R. F., Harris, C. M., & Marchal, W. G. Characterizations of generalized hyperexponential