Tài liệu môn Giải tích 3 - Nguyễn Tiến Được

Nội dung text: Tài liệu môn Giải tích 3 - Nguyễn Tiến Được

1. TÀI LIỆU GT3 BÁ VJP PRO NO1 ∑∞ I. Chuỗi 풏=풏 풖풏 Điều kiện cần để 1 chuỗi hội tụ: lim 푛 = 0 푛→∞ → ế lim 푛 ≠ 0 ℎ표ặ ℎô푛 푡ồ푛 푡ạ𝑖 → ℎ ỗ𝑖 ℎâ푛 ì 푛→∞ ( Trước khi làm 1 câu về chuỗi có thể nhẩm nhanh giới hạn này trước khi làm ) 1. Chuỗi số Một số chuỗi số có sẵn Chuỗi Riemann ∞ 1 훼 > 1 → ℎ ỗ𝑖 ℎộ𝑖 푡ụ ∑ { 푛훼 훼 ≤ 1 → ℎ ỗ𝑖 ℎâ푛 ì 푛=1 Chuỗi hình học ∞ |푞| 1 → ℎ ỗ𝑖 ℎâ푛 ì 푛→∞ 푛 = 1 → 퐾ℎô푛 ế푡 푙 ậ푛 Note: Cách nhớ là un+1/un Dãy cứ giảm dần giảm dần => Hội tụ Tiêu chuẩn Cauchy ( Áp dụng tốt cho hàm cần hạ bậc n ) 1 → ℎ ỗ𝑖 ℎâ푛 ì 푛→∞ = 1 → 퐾ℎô푛 ế푡 푙 ậ푛 Note: Từ cách nhớ của TC D’ Alembert rồi suy ra Cauchy tương tự =)) Nguyễn Tiến Được – K64
2. Tiêu chuẩn tích phân ( Theo mình thấy thì TC này thường áp dụng cho dạng dưới đây nên mình không nói TCTP về mặt lí thuyết nữa ) ∞ 1 ∑ 푛. 푙푛 푛 푛=2 1 ó = > 0 ∀푛 ≥ 2 → ℎ ỗ𝑖 푙à ℎ ỗ𝑖 ươ푛 푛 푛. 푙푛 푛 1 é푡 ( ) = , ≥ 2 . 푙푛 ( ) 푙𝑖ê푛 푡ụ , ươ푛 , đơ푛 đ𝑖ệ 𝑖ả ∀ ≥ 2 lim ( ) = 0 ℎỉ →∞ ∞ ∞ 1 ∞ 1 ∫ ( ) = ∫ = ∫ (ln ) = { 2 2 . 푙푛 2 ln 1 Nếu I hội tụ => ∑∞ ℎộ𝑖 푡ụ 푛=2 푛.푙푛 푛 1 I phân kì => ∑∞ ℎâ푛 ì 푛=2 푛.푙푛 푛 Tiêu chuẩn so sánh ∞ ∞ Đặ푡 ∑ 푛 (1) ; ∑ 푣푛 (2) 푛=푛0 푛=푛0 ế ≤ 푣 ∀푛 , 푣 ℎộ𝑖 푡ụ → ℎộ𝑖 푡ụ + TC1 : { 푛 푛 푛 푛 ế 푛 ≤ 푣푛∀푛 , 푛 ℎâ푛 ì → 푣푛 ℎâ푛 ì Note: Cách nhớ: chuỗi dài hơn to hơn mà hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn cũng phải hội tụ. Chuỗi bé hơn nhỏ hơn mà phân kì thì chuỗi lớn hơn cũng phải phân kì 0 1 → ℎọ푛 푣 = 푣ớ𝑖 0 < 훼 < 1 푛 푛훼 → é푡 lim 푛 → 푠ử ụ푛 2 푛→∞ 푣푛 Nguyễn Tiến Được – K64
3. b) Chuỗi đan dấu 푛 푛 ó (−1) → 퐾ℎô푛 ℎả𝑖 ℎ ỗ𝑖 ươ푛 Một số tiêu chuẩn cho chuỗi đan dấu ∞ ∞ 푛 ∑ 푛 = ∑ (−1) . 푛 푣ớ𝑖 푛 > 0 ∀ 푛 ≥ 푛0 푛=푛0 푛=푛0 Tiêu chuẩn Leibnitz ( Phát triển từ tiêu chuẩn Dirichlet mục d ) 푛+1 ≤ 푛 ∀푛 Nếu {ℎ { 푛} 푙à ã đơ푛 đ𝑖ệ 𝑖ả ∀푛 ≥ 푛0 lim 푛 = 0 푛→∞ → ℎ ỗ𝑖 đã ℎ표 푙à ℎ ỗ𝑖 đ 푛 ấ ℎộ𝑖 푡ụ 푡ℎ푒표 푡𝑖ê ℎ ẩ푛 퐿푒𝑖 푛𝑖푡 Tiêu chuẩn D’ Alembert và Cauchy mở rộng ( Khi sử dụng sẽ loại bỏ được (-1)n nhờ dấu trị tuyệt đối. Thường dùng trong các bài xét sự HTTĐ nhưng mình vẫn thấy phù hợp cho chuỗi đan dấu) lim | 푛+1| = 푛→∞ 푛 lim |√ 푛| = 푛→∞ 1 → ℎ ỗ𝑖 푛=푛0 푛 푣à 푛=푛0 푛 ℎâ푛 ì c) Sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi ∞ ∞ ∑ 푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푡 ệ푡 đố𝑖 ↔ ∑ | 푛| ℎộ𝑖 푡ụ 푛=푛0 푛=푛0 ∞ ∞ ∞ ∑ 푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푛ℎư푛 ∑ | 푛| ℎâ푛 ì → ∑ 푛 á푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푛=푛0 푛=푛0 푛=푛0 ∞ ∞ → Đị푛ℎ 푙í: ∑ | 푛| ℎộ𝑖 푡ụ → ∑ 푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푛=푛0 푛=푛0 ∞ ∞ 푛ℎ𝑖ê푛 푛ế ∑ | 푛| ℎâ푛 ì 푡ℎì ℎô푛 푠 ∑ 푛 ℎâ푛 ì đượ 푛=푛0 푛=푛0 ∞ ′ ℎư푛 푛ế ∑ | 푛| ℎâ푛 ì 푡ℎ푒표 푙푒 푒 푡 ℎ ℎ ở ộ푛 푛=푛0 ∞ → ∑ 푛 ũ푛 ℎâ푛 ì 푛=푛0 Nguyễn Tiến Được – K64
4. d) Một vài tiêu chuẩn nâng cao ( Sưu tầm by Trần Bá Hiếu ) Tiêu chuẩn Dirichlet và Abel +∞ ℎ표 ℎ ỗ𝑖 푠ố ∑ 푛 푛 푛=1 − 𝑖 𝑖 ℎ푙푒푡: +∞ +) ã á 푡ổ푛 𝑖ê푛 ủ ℎ ỗ𝑖 ∑ 푛 푙à ị ℎặ푛 푛=1 +) 푛 푙à ã đơ푛 đ𝑖ệ ℎộ𝑖 푡ụ đế푛 0 +∞ => ∑ 푛 푛 푙à ộ푡 ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎộ𝑖 푡ụ 푛=1 − 푒푙: +∞ +) ∑ 푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푛=1 +) 푛 푙à ộ푡 ã 푠ố đơ푛 đ𝑖ệ ị ℎặ푛 +∞ => ∑ 푛 푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푛=1 Tiêu chuẩn chuỗi số mở rộng +∞ +∞ ℎ표 2 ℎ ỗ𝑖 푠ố ươ푛 ∑ 푛 푣à ∑ 푛 푡ℎỏ ã푛 푛=1 푛=1 +) lim 푛 = ≠ 0 푛→+∞ 푛 +∞ +) ã 푠ố { 푛}| 푙à đơ푛 đ𝑖ệ 푛 푛=푛0 +∞ +∞ => ∑ 푛 푣à ∑ 푛 ù푛 ℎâ푛 ỳ, ℎ표ặ á푛 ℎộ𝑖 푡ụ, ℎ표ặ ù푛 푛=1 푛=1 ℎộ𝑖 푡ụ 푡 ệ푡 đố𝑖 Nguyễn Tiến Được – K64
5. Tiêu chuẩn Raabe +∞ 푛 ℎ표 ℎ ỗ𝑖 푠ố ươ푛 ∑ 푛 푣à lim 푛 ( − 1) = 푛→+∞ 푛+1 푛=1 푛ế > 1 푡ℎì ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎộ𝑖 푡ụ 푛ế 1 푡ℎì ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎộ𝑖 푡ụ 푛ế 1 푡ℎì ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎộ𝑖 푡ụ 푛ế 1 푡ℎì ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎộ𝑖 푡ụ 푛ế < 1 푡ℎì ℎ ỗ𝑖 푠ố ℎâ푛 ỳ 2. Chuỗi hàm ∞ ó ạ푛 ∑ 푛( ) 푛=푛0 a) Sự hội tụ đều Nguyễn Tiến Được – K64
6. Định nghĩa ∞ ∑ 푛( ) ℎộ𝑖 푡ụ đề đế푛 푆( ) 푡 ê푛 푡ậ ↔ ∀휀 > 0 é 푡ù ý 푛=푛0 ∃ 푛0(휀) ∈ : ∀푛 > 푛0(휀), 푡 ó |푆푛( ) − 푆( )| 0, ∀ ∈ ∃푛0: |푆푛+ ( ) − 푆푛( )| 푛0, ∀ ∈ ∞ → ∑ 푛( ) ℎộ𝑖 푡ụ đề 푡 ê푛 푛=푛0 TC Weierstrass (Thường sử dụng) | ( ) ≤ ∀푛 ∈ , ∀ ∈ Nếu { 푛 푛 ∑∞ 푛=푛0 푛 ℎộ𝑖 푡ụ ∞ → ∑ 푛( ) ℎộ𝑖 푡ụ đề 푡 ê푛 푛=푛0 Note: Bài toán tìm miền hội tụ, sử dụng đến tính chất của sự hội tụ đều thường áp dụng cho dạng đặc biệt của chuỗi hàm đó là chuỗi lũy thừa nên mình không nói sâu về chuỗi hàm nữa mà nói vào chuỗi lũy thừa luôn b) Chuỗi lũy thừa ∞ 푛 ó ạ푛 ∑ 푛. 푛=푛0 +) á푛 í푛ℎ ℎộ𝑖 푡ụ 푅 ủ ℎ ỗ𝑖 푙ũ 푡ℎừ : 1 푅 = lim | 푛 | ℎ표ặ 푅 = lim 푛→∞ 푛→∞ 푛+1 √ 푛 Khi đó chuỗi lũy thừa hội tụ ∀ ∈ (−푅; 푅) Xét tại các điểm x=R và x=-R => Miền hội tụ +) 퐿ú 푛à 푡 푠ử ụ푛 푡í푛ℎ ℎấ푡 ℎ ỗ𝑖 푙ũ 푡ℎừ ℎộ𝑖 푡ụ đề 푡 ê푛 𝑖ề푛 ℎộ𝑖 푡ụ 푣à 푡í푛ℎ ℎấ푡 ủ ộ푡 ℎ ỗ𝑖 ℎộ𝑖 푡ụ đề 푡 ó: ∞ ∞ 푛 푛 ∫ ( ∑ 푛. ) = ∑ (∫ 푛. ) 푛=푛0 푛=푛0 hoặc ∞ ∞ ( ∑ . 푛) = ∑ ( . 푛) 푛 푛 푛=푛0 푛=푛0 Nguyễn Tiến Được – K64
7. Đây chính là tính chất sử dụng cho dạng bài tính tổng và khai triển Taylor hay Maclaurin. Các bài về dạng này thì vô số kể, có thể làm trong đề cương trên Sami là đủ rồi còn muốn MacBook hay HBTN thì mình chịu nhé =)) Bảng khai triển Maclaurin thường gặp ∞ 2 3 푛 ∈ 푅 푒 = 1 + + + + ⋯ = ∑ 1! 2! 3! 푛! 푛=0 ∞ 2 4 2푛 ∈ 푅 cos = 1 − + − ⋯ = ∑(−1)푛 2! 4! 2푛! 푛=0 ∞ 3 5 2푛−1 ∈ 푅 sin = − + − ⋯ = ∑(−1)푛−1 3! 5! (2푛 − 1)! 푛=1 ∞ 1 | | < 1 = 1 + + 2 + ⋯ = ∑ 푛 1 − 푛=0 ∞ 2 3 푛+1 | | < 1 ln(1 + ) = − − − − ⋯ = ∑ − 2 3 푛 + 1 푛=0 ∞ 3 5 2푛+1 | | ≤ 1 arctan = − + + ⋯ = ∑(−1)푛 3 5 2푛 + 1 푛=0 ∞ 훼(훼 − 1) (훼 − 푛 + 1) | | < 1 (1 + )훼 = 1 + ∑ 푛 푛! 푛=1 3. Chuỗi Fourier Tổng quát ∞ ( ) = 0 + ∑( cos 푛 + sin 푛 ) ∀ , ∈ 푅 2 푛 푛 푛 푛 푛=1 Một số bổ đề ∀ , ∈ 푍 1) ∫ sin = 0 − 2) ∫ cos = 0, ≠ 0 − 3) ∫ cos . sin = 0 − Nguyễn Tiến Được – K64
8. 0 , ≠ 4) ∫ cos . cos = { − , = ≠ 0 0, ≠ 5) ∫ sin . sin = { − , = ≠ 0 Các trường hợp đặc biệt Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π (Thường gặp) ∞ ( ) = 0 + ∑( cos 푛 + sin 푛 ) 2 푛 푛 푛=1 1 0 = ∫ ( ) − 1 푛 = ∫ ( ) cos 푛 푣ớ𝑖 푛 = 1,2,3, − 1 푛 = ∫ ( ) sin 푛 푣ớ𝑖 푛 = 1,2,3, − (*) Định lý Dirichlet: Cho f (x) tuần hoàn với chu kì 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên  ;  chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn  ;  và có S(x) f (x), tại điểm liên tục của f (x). ( +0)+ ( −0) Còn tại điểm gián đoạn x c có 푆( ) = 2 (*) Đẳng thức Parseval: Nếu f(x) thỏa mãn định lý Dirichlet thì thỏa mãn đẳng thức sau: ∞ 1 2 ∫ 2( ) = 0 + ∑( 2 + 2) 2 푛 푛 − 푛=1 Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2l bất kì ∞ 푛 푛 ( ) = 0 + ∑ ( cos + sin ) 2 푛 푙 푛 푙 푛=1 1 푙 0 = ∫ ( ) 푙 =푙 1 푙 푛 푛 = ∫ ( ) cos 푣ớ𝑖 푛 = 1,2,3, 푙 −푙 푙 1 푙 푛 푛 = ∫ ( ) sin 푣ớ𝑖 푛 = 1,2,3, 푙 −푙 푙 Hàm số f(x) là hàm chẵn → ( ) cos 푛 푙à ℎà ℎẵ푛 , ( ) sin 푛 푙à ℎà 푙ẻ Nguyễn Tiến Được – K64
9. 2 → 푛 = ∫ ( ) cos ; 푛 = 0 ∀푛 ∈ 0 Hàm số f(x) là hàm lẻ → ( ) cos 푛 푙à ℎà 푙ẻ, ( ) sin 푛 푙à ℎà ℎẵ푛 2 → 푛 = ∫ ( ) sin ; 푛 = 0 ∀푛 ∈ 0 II. Phương trình vi phân cấp một 퐹( , , ′) = 0 ℎ표ặ ′ = ( ; ) 1. Phương trình vi phân khuyết 퐹( , ′) = 0 +) ′ = ( ) → = ∫ ( ) +) = ( ′), đặ푡 ′ = 푡 → = (푡); = ∫ 푡 ′(푡) 푡 퐹( , ′) = 0 1 +) ′ = ( ) → = ( ) → = → = ∫ ( ) ( ) ′(푡) +) = ( ′), đặ푡 ′ = 푡 → = (푡); = ∫ 푡 푡 ′(푡) +) 퐹( , ′) = 0, đặ푡 = (푡) → ′ = (푡) → = ∫ 푡 (푡) 2. Phương trình vi phân phân li biến số ( ) = ( ) → 퐹( ) = ∫ ( ) 3. Phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) ′ = 퐹 ( ) +) Đặ푡 푣 = → ′ = 푣 + 푣′ +) 퐾ℎ𝑖 đó 푡푣 푡 ở 푡ℎà푛ℎ 푡푣 ℎâ푛 푙𝑖 4. Phương trình vi phân tuyến tính ′ + ( ) = 푞( ) ℎ표ặ ′ + ( ) = 푞( ) Nghiệm tổng quát: = 푒− ∫ ( ) . [∫(푞( ). 푒∫ ( ) ) + ] 5. Phương trình Bernoulli ′ + ( ) = 푞( ) 훼 ℎ표ặ ′ + ( ) = 푞( ) 훼 +) ế 훼 = 1 → ′ + [ ( ) − 푞( )] = 0 → 푃 푃 푡ℎ ầ푛 푛ℎấ푡 Nguyễn Tiến Được – K64
10. +) ế 훼 ≠ 1 → −훼. ′ + ( ) 1−훼 = 푞( ) ′ Đặ푡 = 1−훼 → ′ = (1 − 훼) −훼. ′ → −훼. ′ = 1 − 훼 ℎ 푣à표 푃 푡 đượ : 1 ′ + ( ) = 푞( ) → ′ + (1 − 훼) ( ) = (1 − 훼)푞( ) 1 − 훼 → 푃 푃 푡 ế푛 푡í푛ℎ 6. PTVP toàn phần ′ ′ 푃( , ) + 푄( , ) = 0 푡ℎỏ ã푛 푄 = 푃 ℎ𝑖ệ ủ 푃 푃 푙à: ∫ 푃( , 0) + ∫ 푄( , ) = 0 0 ℎ표ặ ∫ 푄( 0, ) + ∫ 푃( , ) = 푡 표푛 đó 0, 0 푡ù ℎọ푛 0 0 (*)Nhân tử tích phân: PT 푃( , ) + 푄( , ) = 0 không phải là PTVP toàn phần nếu tồn tại hàm số h(x,y) sao cho: ℎ( , )[푃( , ) + 푄( , ) ] = 0 푙à 푃 푃 푡표à푛 ℎầ푛 ′ ′ [ℎ( , )푃( , )] = [ℎ( , )푄( , )] → ℎ( , ) ọ𝑖 푙à 푛ℎâ푛 푡ử (*)Cách tìm nhân tử h(x,y) ′ ′ 푃 − 푄 1: ế = ℎỉ ℎụ 푡ℎ ộ 푣à표 푡ℎì ℎ( ) = 푒− ∫ 푄 ′ ′ 푃 − 푄 2: ế = ′ ℎỉ ℎụ 푡ℎ ộ 푣à표 푡ℎì ℎ( ) = 푒∫ ′ 푃 CHÚC MỌI NGƯỜI THI TỐT, FULL A+ <3 - From NTĐ with love - Nguyễn Tiến Được – K64