›
›

Tài liệu tổng hợp các dạng toán Giải tích 2

pdf 47 trang haiha333 08/01/2022 7552
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu tổng hợp các dạng toán Giải tích 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_tong_hop_cac_dang_toan_giai_tich_2.pdf

Nội dung text: Tài liệu tổng hợp các dạng toán Giải tích 2

  1. Tích phân kép Chuyển sang tọa độ cực { | | | | ∬ ( ) ∬ ( ) ∬ √ ∬ √a a y 1 a. { ’: 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ O 1 x 1 1 1 1 ∬ ∫ ∫ √1 √1 0 0 y 1 ∫ ∫ (√1 ) (√1 ) | √1 0 -a O (√ 1) a x b. { D’: ≤ r ≤ a; ≤ ≤ NMHoàng Page 1
  2. a ∬ √ ∫ ∫ √ ∫ √ 0 0 √ √ ∫ | 0 0 ( ) là hàm ác định trên D  ℝ2 ∬ ( ) D z = f(x, y) z V yi y xi Mi ΔV x i ΔSi Phân hoạch D thành các miền nhỏ Δ 1 Δ 2 Δ n. Trên mỗ Δ i lấy Mi(xi, yi) ∑ ( )Δ 1 ∬ ( ) l m l m ∑ ( )Δ m (Δ ) 0 m (Δ ) 0 1 NMHoàng Page 2
  3. Nhận xét: 1. dS = dxdy ∬ ( ) ∬ ( ) 2. Nếu chọn f(x, y) = 1, (x, y) ∈ D f(xi, yi) = 1, i = 1 ∬ ( ): h c h ch h h h 3. ( ) ≥ 0 (x, y) ∈ D á : : r | á : ( ) h ∬ ( ) : h c h h ch h h Tính diện tích hình phẳng 2 D1 giới hạn bởi: y = 4ax; x + y = 3a (a > 0) ( 1) ∬ 1 2a y2 = 4ax = 4a(3a – y) = 12a2 – 4ay 2 2 y + 4ay – 12a = 0 9a Δ’ 4 2 + 12a2 = 16a2 a y1 = 2a x1 = a y2 = -6a x2 = 9a D1: -6 ≤ ≤ ; ≤ ≤ – y 4 -6a (D ) ∫ ∫ ∫ ( ) |( ) | | 4 1 6 6 6 4 64 |6 1 1 1 | NMHoàng Page 3
  4. Tính thể tích của hình trụ 2 V1 giới hạn bởi các mặt: x = 0; y = 0; x + y = 1; z = 0; z = x + xy + 1 z 1 ∬( 1) y 1 1 y O 1 x D 1 x : 0 ≤ ≤ 1; 0 ≤ ≤ 1 – x 1 1 1 1 ∫ ∫ ( 1) ∫ [( ) | ] 1 0 0 0 0 1 1 (1 ) 1 ∫ ( (1 ) 1 ) ∫( ) 0 0 1 4 1 ( ) | 4 0 Ứng dụng của tích phân 2 lớp để tính diện tích mặt cong z S: f = f(x, y) √ ∬ 1 y x D NMHoàng Page 4
  5. Tích phân bội ba h ( ) là hàm ác định trên V  Oxyz ∭ ( ) l m ∑ ( )Δ (Δ ) 0 1 z y x Nhận xét: f(x, y,z) = 1 (x, y, z) ∈ V z ∭ Cách tính: y TH1: V = [a, b]×[c, d]×[e, f] ∫ ∫ ∫ ( ) a x TH2: ( ) z ∬ ∫ ( ) S2: z = z2(x,y) ( ) ( ) ∬ ∫ ( ) S1: z = z1(x,y) ( ) y ( ) ∬ ∫ ( ) x ( ) D NMHoàng Page 5
  6. Tính tích phân sau: ∭ ớ ạ ở √ z √ S2 ∬ ∫ 0 y 1 ∬( ) S1 x { y 0 ≤ ≤ : 0 ≤ ≤ 1 ∫ ∫( ) -R R x 0 0 4 4 ( ) | 4 0 4 TH3: Công thứ đổi biến ( ) { ( ) ( )∈ ( ) | | 0 ( )∈ ∭ ( ( ); ( ); ( ))| | NMHoàng Page 6
  7. Các mặt thường gặp 1. Mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 z Oxy: z = 0; z = a Oyz: x = 0; x = a C Oxz: y = 0; y = a B A y ( ): 1 x c 2. Mặt cầu: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) z I(-A, -B, -C), R = √ 3. Mặt trụ: x2 + y2 = R2 y2 + z2 = R2 y x2 + z2 = R2 x z 4. Mặt nón: x2 + y2 = z2 x2 + z2 = y2 y y2 + z2 = x2 x z 5. Mặt paraboloid: x2 + y2 = z y2 + z2 = x 2 2 x + z = y y x z 6. Mặt Ellypsoid: 1 y c x NMHoàng Page 7
  8. z Đổi biến sang tọa độ trụ: z ( ) ( ) M ọ đ c ọ đ { y y r x 0 ≤ ≤ M' x 0 ≤ ≤ - ≤ ≤ 0 | | | 0| 0 0 1 ∭ ( ) Tính tích phân ∭ √ ớ ạ ở a z a V ∬ ∫ √ 0 2 y ∬ [( √ ) | ] O 0 x D ∬ √ 0 ≤ ≤ { | 0 ≤ ≤ a a r a a ∫ ∫ r r ∫ [( ) | ] ∫ ∫ 16 NMHoàng Page 8
  9. z Đổi biến sang tọa độ cầu: z ( ) ( θ ) M ọ đ c r ọ đ c θ θ y y { θ θ x M' 0 ≤ ≤ x 0 ≤ θ ≤ 0 ≤ ≤ θ | θ | θ θ ∭ ( θ θ θ) θ θ Tính tích phân ∭( ) đ ở a z a a y x 0 ≤ ≤ θ { | 0 ≤ θ ≤ θ θ 0 ≤ ≤ NMHoàng Page 9
  10. ∫ ∫ ∫ 4 θ θ ∫ θ θ ∫( θ θ) θ 0 0 0 0 0 θ θ ∫(1 θ) ( θ) ( θ ) | 0 θ 0 1 4 (0 0 1 ) 1 Ứng dụng của tích phân 3 lớp: Tính th tích ∭ Tính thể tính hình Ellypsoid a z { : ≤ 1 c c 0 0 |0 0| c b y 0 0 c a x ∭ c θ 0 ≤ ≤ 1 { θ | 0 ≤ θ ≤ θ 0 ≤ ≤ 1 1 4 c ∫ ∫ ∫ θ θ c θ |θ 0 c θ 0 0 0 NMHoàng Page 10
  11. Tích phân đường loại 1 1. Tí p â đường loại I trên cung phẳng ⏜ ( ) ác định trên cung ⏜ y B M y i i ΔS ∫ ( ) l m ∑ ( )Δ i m (Δ ) 0 1 ̂ A ⏜ Nhận xét: Nếu f(x, y) = 1; (x, y)∈ xi O x l ∫ : h c h đ à c ⏜ ⏜ 2. Cách tính: TH1: ⏜ ( ) a H số góc củ là ’( ) √1 ( ) ∫ ( ( ))√1 ( ) TH2: ⏜ ( ) a ∫ ( ( ) )√1 ( ) (t) TH3: ⏜ { a t (t) ∫ ( ( ) ( ))√ ( ) ( ) Tí tí p â đường loại I sau: ∫ đ ạ t ẳ ( ) ( ) √ ∫ √ đ ở a NMHoàng Page 11
  12. y a. : ; 0 ≤ ≤ 1 1 1 1 ∫ √ √ 4 A 0 2 ∫ l ( √ ) √ 1 O 1 x 4 1 ∫ l ( √ ) | 1 4 0 0 √ 1 4 √ √ l (1 √ ⁄ ) l √ ⁄ l l ( ) 4 √4 √ ⁄ ( ) b. L: ( ) 4 m ( ) h : | : ( ) ( ) á h h m ố h củ : { ∈ [0 ] t: { ∈ [0 ] ∫ √( ) 4 0 ∫ √ ∫ √ 4 4 4 0 0 ∫ √ ∫ √ ∫ | | 4 4 0 0 0 NMHoàng Page 12
  13. ∫ | | ∫ | | (∫ ∫ ) 4 4 4 0 0 ( | | ) 4 0 3. Tí p â đường loại I trên cung ⏜  Oxyz f(x, y, z) xác định trên ⏜  Oxyz ( ) Giả sử: ⏜ { ( ) ≤ ≤ ( ) ∫ ( ( ) ( ) ( ))√ ( ) ( ) ( ) Tính tích phân: a ∫ √ đ { : { { { √ ≥ 0 ≤ ≤ √ √ ∫ √ ∫ √ ⏟ ≥ 0 ⏟ ≤ 0 ⁄ ⁄ √ √ 4 √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ≥0 ⁄ ⁄ √ √ ⁄ √ ⁄ √ ∫ c | ⁄ ⁄ ⁄ √ √ √ √ NMHoàng Page 13
  14. ⁄ ⁄ √ √ 4 √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ 0 ⁄ ⁄ √ √ ⁄ √ ⁄ √ ∫ c | ⁄ ⁄ ⁄ √ √ √ √ Cách 2: ∫ √ ∫ √ ∫ l NMHoàng Page 14
  15. Tích phân đường loại 2 1. Đ ĩa P(x, y), Q(x, y) là 2 hàm xác định trên ⏜ : đ m đ u : đ m cuối ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 ( 1; 1) (Δ ; Δ ) ∫ ( ) ( ) l m ∑ ( )Δ ( )Δ Δ 0 ⏜ 1 Δ 0 Nhận xét: ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ⏜ ⏜ 2. Cách tính: TH1: ⏜ : y = y(x) Khi A → B thì x: xA → xB ∫ [ ( ( )) ( ( )) ( )] TH2: ⏜ : x = x(y) Khi A → B thì y: yA → yB ∫ [ ( ( ) ) ( ) ( ( ) )] (t) TH3: ⏜ { (t) Khi A → B thì t: tA → tB ∫ [ ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )] NMHoàng Page 15
  16. Tính tích phân loại II sau: ∫( ) ( ) ( )tớ ( ) T p ươ trì sau ( ) ( ) 2; (iii): y = √ 1 1 ( ): ∫ | 1 1 0 0 1 1 ( ): ∫( ( ) ) ∫( ) 0 0 4 1 1 1 1 4 ( ) | 0 1 1 ( ): ∫(( ) ) ∫( ) 0 0 4 1 1 1 1 ( ) | 0 ∫ t u ư đ a y b -a a x -b 1 { 0 ≤ ≤ ∫ [ ( )] ∫ ( ) 0 0 NMHoàng Page 16
  17. 3. M i liên hệ giữa tí p â đường loại II và tích phân 2 lớp (Công thức Green): D là miền cong trong Oxy mà y c L là 1 đ ng cong kín: L D P(x, y); Q(x, y) là 2 hàm xác định trên D O x ( ) ( ) ∫ ∬( ) L Tí tí p â đường loại II sau: ∫( ) C: x2 + y2 = R2 lấy theo chi u ư c chi u đ ng h ∫( ) ( s ) C: x2 + y2 = ax là nửa đường tròn trên trụ đ t ì (a ) tới O(0, 0) 2 2 a. P(x, y) = -x y = -x 2 2 y Q(x, y) = xy = y Theo Green: 1 ∬( ) R x 0 ≤ ≤ { : | 0 ≤ ≤ 4 4 ∫ ∫ 1 4 0 0 NMHoàng Page 17
  18. b. C: ( - ) 4 y m A O a x Theo Green: C = AmOA – OA ∫ ( ) ( s ) ⏟ 1 ∫( ) ( s ) ⏟ 0 : | : 0 → ∫ 0 0 0 Tính J1 x x P(x, y) = e Siny – my = e Cosy – m x x Q(x, y) = e Cosy – m = e Cosy 1 ∬ m m m m 1 ử đ 4 I2 = J1 + J2 = m NMHoàng Page 18
  19. Tích phân mặt loại 1 ∬ ( ) √1 Cách tính: ∬ ( ( ))√ √ ∬ ( ( ) ) ∬ ( ( ) )√ Tính tích phân mặt loại I sau: ∬ ( ) p ầ ặt ầu a z y a S: z = − − a D a y a a x D x NMHoàng Page 19
  20. √ √ 1 1 ∬( )( ) √ ∬ √ ( ) { |0 ≤ ≤ 0 ≤ ≤ ∫ ∫ √ ∫ √ 0 0 0 √ 0 ∫ ( ) ∫( 4) 0 6 ( ) | ( ) 0 1 NMHoàng Page 20
  21. Tích phân mặt loại 2 ∬ Cách tính: Tính từng giá trị ∬ ; ∬ ; ∬ ∬ ( ( )) ( ⃗⃗ ) ∬ [ ∬ ( ( )) ( ⃗⃗ ) ∬ ( ( ) ) ( ⃗⃗ ) ∬ [ ∬ ( ( ) ) ( ⃗⃗ ) ∬ ( ( ) ) ( ⃗⃗ ) ∬ [ ∬ ( ( ) ) ( ⃗⃗ ) Tính tích phân mặt loại II sau: ∬ ặt đ a ướ NMHoàng Page 21
  22. √ ∬ √ 0 ≤ ≤ { | 0 ≤ ≤ ∬ √ ∫ ∫ √ 0 0 Stokes: z S L y x M c c là đ ng cong kín L ác định trên S ∫ ∬( ) ( ) ( ) L Chiều trên L phải phù hợp v h ng trên S theo quy tắc cá đ h ốc. Tí tí p â đường loại II sau: ∫( ) ( ) ( ) L: x2 + y2 + z2 = a2; x + y + z = 0 chi u tr ư c chi u đ ng h nhìn từ p ía ươ trục Ox. Theo Stokes: P = y + z, Q = z + x, R = x + y ∬(1 1) (1 1) (1 1) 0 NMHoàng Page 22
  23. Ostrogradsky: Tích phân m t loại II và tích phân 3 l p. z V: Miền trong Oxyz có biên là mặt cong kín (h ng ra ngoài) là các hàm ác định trên V O y x ∬ ∭ ( ) Ví dụ: ∬ S: phía bên ngoài biên t di n gi i hạn bởi các m t: x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = 0. Giải: z a a y a x Theo Ostrogradsky: P = x, Q = y; R = z 1 1 ∭ NMHoàng Page 23
  24. Phương trình vi phân ươ trì tu ến tính cấp n: (n) (n-1) Dạng TQ: a0(x)y + a1(x)y an(x)y = b(x) (n) (n-1) Dạng chính tắc: y + p1(x)y + pn(x)y = f(x) Dạng thuần nhất: b(x) = 0 hoặc f(x) = 0 Nghiệm của PTVP là hàm thuộc 1 trong các dạng sau: ( ) : Nghiệm ở dạng tường minh ( )} φ( ) : Nghiệm ở dạng ẩn (t) Nghiệm ở dạng tham số (t)} : Đồ thị của nghiệm được gọi là đường tích phân ươ trì p â ấp 1: F( ’) Dạng 1: Khuyế : F( ’) 0 TH1: ’ ( ) y = ∫ ( ) TH2: ( ’) ’ x = g(t) ’( ) y = ∫ ( ) (t) Vậy nghiệm: { ∫ t (t) t Ví dụ: Giải ptvp sau: a. ’ x b. ’ ’2 Giải: ∫ ∫ ( ) ∫ ’ x = t + t2 dy = tdx = t(1 + 2t)dt ∫ (1 ) t t ậ ệ ủa pt { t t NMHoàng Page 24
  25. Dạng 2: Khuyế : F( ’) 0 TH1: ’ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) TH2: ( ’) ’ y = g(t) ( ) ( ) ∫ (t) ậ ệ { (t) t ∫ t Ví dụ: Giải các ptvp sau: a. ’ 2 + 4 b. ’ ’3 Giải: 1 4 ∫ c 4 4 ’ y = t + t3 1 1 ∫ l | | t |t| ậ ệ ủa pt { t t Dạng 3: PTVP biến phân ly: f(x)dx = g(y)dy ∫ ( ) ∫ ( ) Ví dụ: Giải ptvp sau: (1 + x)ydx + (1 – y)xdy = 0 Giải: (1 + x)ydx + (1 – y)xdy = 0 (1 + x)ydx = (y – 1)xdy x = 0, y = 0: là 2 nghi m của pt 0: NMHoàng Page 25
  26. 1 1 1 1 ∫ ∫ l | | l | | ậ ệ ủa pt { | | | | Dạng 4: PTVP dạng thu n nhất: ( ) t: = u y = ux ( ( )) ( ) ( ) y = ux ’ ’ ② ② ’ ( ) ( ) ( ) u ∫ ∫ (u) u Ví dụ: Giải ptvp sau: a a Giải: t: y = ux, u = u(x) 1 y = ux ’ ’ 1 | | a ar ta ( ( ) ) NMHoàng Page 26
  27. Dạng 5: PTVP tuyến tính bậc 1: Dạng TQ: a0( ) ’ a1(x)y = b(x) ① Dạng chính tắc: ’ p(x)y = f(x) ② Dạng thuần nhấ ươ g ứng: ’ p(x)y = 0 ②’ PHƯƠNG PHÁP G Ả PHƯƠNG TRÌNH V PHÂN CHÍNH TẮC B1: Giả PT P ②’ B : Dù g p ươ g p áp b ến thiên hằng số để tìm nghiệm của ② 2 Giải ptvp: ’ 2xy = 2xex Bước 1: Giải ptvp: y’ 2xy = 0 ①’ = 2xy = 2xdx ∫ ∫ lny = x2 + C 2 Vậy nghiệm của ’ là: y = ex C 2 Bước 2: y = ex C; C = C(x) 2 2 ’ ’ x + 2xex C h à ’ à đ ợc: 2 2 2 2 ’ x + 2xex C 2xex C = 2xex ’ C = ∫ C = x2 + K 2 Vậy nghiệm của là: y = (x2 + K)ex NMHoàng Page 27
  28. Dạng 6: PTVP dạng Bernoulli: α 0 1: ến tính y' + p(x)y = f(x)yα α 0 1: h ến 0: ở thành ptvp thu n nhất -α 1-α 0: y ’ p(x)y = f(x) t z = y1 α ’ (1 α) -α ’ y α ’ 1 α ( ) ( ) 1 α ’ ( α)p(x)z = (1 α) ( ) ② Giải ptvp: ’ 3y3 (α ) ① y = 0 là nghi m củ 0: ’ -3 + xy-2 = x3 t: z = y-2 ’ -2y-3 ’ ② Bước 1: Giả : ’ 2xz = 0 ②’ lnz = x2 + C 2 z = ex C 2 Bước 2: z = ex C; C = C(x) 2 2 ’ ’ x + 2xex C h à ’ à ② đ ợc: 2 2 2 ’ x + 2xex C 2xex C = 2x3 ∫ NMHoàng Page 28
  29. t t = x2 dt = 2xdx ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) 1 Vậy nghiệm của ① { Dạng 7: PTVP toàn ph n Vi phân: y = f(x) ’( ) w = f(x, y) dw = dx + dy Phương trình vi phân toàn phần: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 P, Q thỏa mãn: = Định lý: Nế là h à h n thì u(x, y) sao cho: du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 u(x, y) = C y Nghiệm của ptvp toàn phần: y u(x, y) = C ( ) ( ) y ∫ ( ) ∫ 0 O x x ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 0 x Ví dụ: Giải ptvp sau: (x + y – 1)dx + (x – y2 +3)dy = 0 Giải: P(x, y) = x + y – 1 = 1 2 Q(x, y) = x – y + 3 = 1 Vậy nghi m có dạng: u(x, y) = C NMHoàng Page 29
  30. Chọn (x0, y0) = (1, 1) ( ) ∫( 1) ∫( ) 0 0 ( ) | ( ) | 0 0 ậ ệ ươ trì p â ấp 2: Dạng TQ: F( ’ ’’) Dạng PTVP tuyến tính cấp 2: Tổng quát: a0( ) ’’ a1(x)y’ a2(x)y = b(x) Chính tắc: ’’ p( ) ’ q( ) ( ) ② Thuần nhất: ’’ p( ) ’ q( ) ②’ Khi p(x) = p; q(x) = q ② ’’ p ’ q ( ) ②’ ’’ p ’ q ươ p p ải PTVP ②’: ’’ p ’ q Giả h ơ h đ c : k2 + pk + q = 0 (✳) TH1: pt (✳) có 2 nghi m phân bi t: k1, k2 ’ Nghi m tổng quát củ ② là: TH2: pt (✳) có nghi m kép: k = k0 ’ Nghi m tổng quát củ ② là: ( ) TH3: pt (✳) có 2 nghi m ph c: k1 α β 2 α β ’ α Nghi m tổng quát củ ② là: ( sβ β ) ươ p p ả T ② ’’ ’ q ( ) ước 1: Giải ptvp thu n nhấ ơ ②’ ’’ p ’ q Giả sử nghi m TQ củ ②’ là: ước 2: Tìm 1 nghi m riêng Y củ ② Kết luận nghiệm của pt ② là: y = + Y NMHoàng Page 30
  31. α TH1: f(x) = e Pn(x); Pn( ): đ h c bậc n α: h hả là h m củ (✳) α ( ) α:1 h m đơ củ (✳) α ( ) ✳ α ( ) [α: h m củ ( ) TH2: f(x) = Pm( ) sβ n( ) β : h hả là h m củ (✳) ( ) sβ ( ) β [ : h m củ (✳) [ ( ) sβ ( ) β ] l = max(m,n) Giải ptvp: ’’ ’ 4y = x ① (α , P1(x) = x) Bước 1: Giả : ’’ ’ 4y = 0 ’ 1 k2 + 3k 4 = 0 [ 1 4 ước 2: Y = Q1(x) = ax + b Y’ Y’’ 0 3a 4(ax + b) = x 3a 4ax 4b = x 1 4 0 4 { { 4 1 16 Vậy nghi m củ là: y = Giải ptvp: ’’ ① ( m(x) = 0, Qn(x) = x) ước 1: Giả ’’ 0 ’ k2 + 1 = 0 k = ±i s ước 2: Y = R1(x)Cos2x + S1(x)Sin2x = (ax + b)Cos2x + (cx + d)Sin2x Y’ 2(ax + b)Sin2x + cSin2x + 2(cx + d)Cos2x = Cos2x(a + 2cx + 2d) + Sin2x(c – 2ax – 2b) NMHoàng Page 31
  32. Y’’ = 2cCos2x – 2(a + 2cx +2d)Sin2x – 2aSin2x + 2(c – 2ax – 2b)Cos2x = Cos2x(4c – 4ax – 4b) – Sin2x(4a + 4cx + 4d) Cos2x(4c – 4ax – 4b) – Sin2x(4a + 4cx + 4d) + (ax + b)Cos2x + (cx + d)Sin2x = xSin2x Cos2x(4c – 3ax – 3b) + Sin2x( 4a – 3cx – 3d) = xSinx 0 c 1 4 4 0 { 0 1 c 4c 0 { 0 s ậ h m củ là: s s Chuỗi Chuỗi s : ∑ u ⏟ u u u ⏟ u p ầ ư Sn = u1 + u2 un: Tổng riêng th n : h à c ổ là l m [ ; : h Nế h i t thì l m 0 Nếu l m 0 h h 1 1 1 1 1 ∑ 1 (✳): h ỗ đ ề h 1 1 1 l m 0 Giả sử (✳) h i t : 1 1 1 1 NMHoàng Page 32
  33. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; l m ( ) 0 ( l ) (✳) phân k Chuỗi s ươ ∑ 1 1 un > 0; n 1 Sn = u1 + u2 un: ă : h l m [ : h Nhận xét: ế ⏟ ị ch h h n n 1. Đ nh lý so sánh thứ nhất: ∑ ∑ : ch ỗ ơ hỏ m : ≤ 0 1 1 h đ : Nế h h ② h Nế ② h i t h h i t Ví dụ: Xét sự hội tụ phân kỳ của các chuỗi: a ∑ ∑ Giải: 1 1 c : ≤ 1 1 à: ∑ h ∑ h 1 1 1 1 c : ≤ NMHoàng Page 33
  34. 1 1 à: ∑ h ∑ h 1 1 2. Đ nh lý so sánh thứ hai: ∑ ∑ : ch ỗ ơ 1 1 0: h h ② h l m [ : ② h h h ( 0 ): à ② c h h c h Nhận xét: Nếu un và vn là ơ đ ơ h à ② c h i t ho c phân k Ví dụ: Xét sự hội tụ phân kỳ của các chuỗi sau: a ∑ ∑ ar ta ∑ √ Giải: 1 à: ∑ ∑ ( ) h ∑ h 1 1 c 1 1 1 1 à: ∑ h ∑ c h 1 1 1 c ( ) √ 1 à: ∑ ( ) h ∑ h √ NMHoàng Page 34
  35. 3. Đ nh lý so sánh thứ ba: f(x) liên t c ơ ảm [1 ) Un = f(x)  1 h đ : ∫ ( ) ∑ c h h c h 1 1 Nhận xét: 1 ch ỗ ∑ (✳) α 1 α < 0: (✳) phân k α 0: (✳) phân k α 1: (✳) phân k α 0 α 1: α 1: (✳) h i t α 1: (✳) phân k Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi sau: a ∑ ∑ ( ) √ ∑ ( s ) Giải: 1 1 1 1 1 1 1 à: ∑ h ∑ h 1 1 1 l (1 ) √ √ 1 1 à: ∑ h ∑ l (1 ) h √ √ 1 1 1 1 c (1 ) ( ) 1 1 à: ∑ h ∑ (1 ) h NMHoàng Page 35
  36. 4. Quy tắc ’ rt/ au ∑ 1 : ơ l m 1 L L 1: h } [L < 1: h l m √ L L 1: h c ế l ậ Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi sau: a ∑ a ∑ (a ) α Giải: 1 ( 1) 1 1 1 → ∑ h 1 α α α 1 α α ( ) → ( 1) ( 1) 1 1 ∑ h α < 1 ∑ h α 1 h h α 1 1 ∑ ∑ : { α α h h α ≤ 1 Chuỗi s hạng với dấu t a đổi: ∑ ∈ 1 ② ∑| | ∈ : ơ 1 Định lý: Nế ② h i t h h i t . Ví dụ: Xét hội tụ, phân kỳ của chuỗi: NMHoàng Page 36
  37. ∑ Giải: | | | | 1 : ∑ ≤ 1 1 ∑ h ∑ h Định lý Leibnitz: Chuỗ đ ấu: un : chuỗi số ơ ±(u1 u2 + u3 u4 ) Xét chuỗ đ ấu: u1 u2 + u3 u4 u ả (u u u u ) ế { u ① ộ tụ T { Tổ u Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi sau: ( ) a ∑ ( ) ∑ ( ) Giải: 1 ( 1) → 0 ∑ h 1 1 1 1 ( ) → 0 1( 4) ( 4) 4 ( ) ∑ h 1 ( 4) NMHoàng Page 37
  38. Dãy hàm: : ( ( )) ∈  1 1. H i t đ m: un(x) h i t đ m đến u(x) ( ) → ( ) 2. H i t đều: ( ) ⇒ ( ) Mô tả: y = u(x) + ε y = u(x) y = u(x) ε a b u(x) – ε < un(x) < u( ) ε ,n ∈ [a,b], n n0 ε < un(x) – u( ) < ε ,n ∈ [a,b], n n0 | ( ) ( )| < ε ,n ∈ [a,b], n n0 Chuỗi hàm: : ( ( )) ∈  1 ∑ ( ) ⏟ 1 ( ) ( ) ( ) ⏟ 1 ( ) 1 ( ) Tổ r t ứ ( ) ầ ư t ứ ( ) → ( ) : h ỗ h đ m ∑ ( ) ( ) 1 ( ) ⇒ ( ) : h ỗ h đề NMHoàng Page 38
  39. Định lý: ch ỗ hàm: ∑ ( ) hỏ m : 1 | ( )| ≤ ∈ ≥ 1 } ① ộ tụ đ u ∑ h 1 Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi: ∑ ∈ Giải: | | 1 1 | ( )| ≤ ≤ ∈ 1 à: ∑ h 1 h đị h l ∑ h 1 Chuỗ ũ t ừa: 1 ∑ 0 1 1 0 a0, a1, a2 : H số của chuỗ n anx : Số hạng tổng quát của chuỗ Miền h i t : { ∈ ∑ a ộ tụ} x = 0 h i t 0 ∈ D Định lý Abel: Nếu chuỗ h i t tại x0 h h i t tại x: |x| < |x0| ộ tụ ⏞ → | 0| 0 | 0| NMHoàng Page 39
  40. Nếu chuỗ h tại x0 h h tại x: |x| > |x0| p â ỳ p â ỳ ⏞ ⏞ → | 0| 0 | 0| p â ỳ ộ tụ p â ỳ ⏞ ⏞ ⏞ → ⏟ 0 ⏟ ưa đ ưa đ R: bán kính h i t ( ) [ ) Miền hội t của ①: D ( ] [[ ] Cách tìm bán kính hội tụ: 0 1 l m | | 0 {0} } 1 l m √ 0 ( m h m ạ ) [ Tìm miền hội t của chuỗi: ∑ ( ) ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( )( 1) l m 1 0 0 1 l m (1 ) 1 l m (1 ) l m | | 0 l m 0 NMHoàng Page 40
  41. ∑ ( ) √ √( ) → 1 1 1 R = 1 Xét tại x = R = 1: ∑ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 l m ( ) l m (1 ) l m [(1 ) ] 0 1 1 1 (✳) phân k Xét tại x = -R = -1: ∑ ( ) ( 1) ( ) 1 1 l m | | 0 l m 0 1 l m |( ) ( 1) | l m ( ) 0 1 1 (✳✳) phân k Vậy mi n hội tụ: (- ) Khai triển chuỗ ũ t ừa của một hàm: ( ) ác định trên (a, b), x0 ∈ (a, b): → a ( ) ∑ ( 0) 0 1( 0) ( 0) x = x0: f(x0) = a0 n–1 ’( ) 1 + 2a2(x – x0) n(x – x0) ( ) x = x0: ’( 0) = a1 = n 2 ’’( ) 2 + 2.3a3(x – x0) ( – 1)(x – x0) ( 0) ( ) x = x0: a ( )( ) a NMHoàng Page 41
  42. Khai triển Taylor: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 0 0 ( ) ( )( ) 0: ( ) ( ) 0 Khai tri n Maclaurin Một s khai triển Maclaurin quan trọng: 1 ( ) 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 4 1 l (1 ) ( 1) ( 1) 4 1 1 c ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 4 1 ( 1) ( ) 4 ( ) Chuỗ ư ng giác: 0 ∑( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 Tổng riêng th n: ( ) 0 ∑( ) 1 NMHoàng Page 42
  43. Một s bài tập quan trọng: 1. f(x) là hàm chẵn: ∫ ( ) ∫ ( ) 0 2. f(x) là hàm lẻ: ∫ ( ) 0 3. f(x) là hàm tu n hoàn chu k 2k: α ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 0 α ∫ (m ) , ∈ 0 m 0 ∫ ( ) { m 0 ∫ ( ) (m ) , m ∈ 0 m ∫ (m ) ( ) { m 0 m 0 0 m ∫ (m ) ( ) {0 m 0 m 0 Tổng riêng thứ n: a ( ) ∑(a s ) Hàm tu n hoàn chu k Nế l m ( ) ( ) S(x): tu n hoàn chu k Chuỗi Fourier: → S(x): tu n hoàn chu k NMHoàng Page 43
  44. ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 a ∫ ( ) a ∫ ( ) s ∫ ( ) Đ u kiệ để f(x) khai triể đư c thành chuỗ ư ng giác: Định lý: f(x) thỏa mãn: f(x) tu n hoàn chu k ( ) ’( ): l c từng khúc trên [ ] h đ : ( ) đ ợc khai tri n thành chuỗi Fourier c th : ( ): là đ m l c ỗ r r ( ) {1 [ ( ) ( )]: là đ m á đ ạ Nhận xét: f(x) liên t c tại a f(a) = f(a+) = f(a ) Hệ quả: f(x) thỏa mãn: f(x) tu n hoàn chu k f(x) liên t c trên [ ] ’( ) l c từng khúc trên [ ] h đ : h ỗi Fourier = f(x) NMHoàng Page 44
  45. Ví dụ: Cho f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ đ nh bởi: ( ) { ếu ếu Viết khai triển Fourier của f(x) Giải: y -2 - O 2 3 4 x Các đ m á đ ạ : ∈ ℤ Xét ∈ ℤ 0 1 1 1 ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 1 0 0 1 1 ∫ ( ) ∫ 0 0 1 1 1 0 ế chẵ ∫ ( ) ∫ ( 1) { ế lẻ 0 1 ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ∑ Xét x = ∈ ℤ 1 1 ( ) ( ( ) ( )) NMHoàng Page 45
  46. Ví dụ: Cho f(x) tuần hoàn chu kỳ đ nh bởi: f(x) = x trên [- ] Viết khai triển Fourier của f(x) Giải: y -2 - O 2 3 x ác đ m gián đ ạn: x = (2n – 1) ∈ ℤ Xét ( – 1) ∈ ℤ 1 1 ∫ ( ) ∫ 0 0 1 1 ∫ ( ) ∫ 0 ( là hàm lẻ) 1 1 1 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) 0 0 1 1 1 [ | ∫ ] [ | | ] 0 0 0 0 ế chẵ { ế lẻ ( ) 4 ( 1) 1 1 4 ( ) ( ) ∑ Xét x = (2n – 1) ∈ ℤ 1 ( ) ( ( ) ( )) 0 NMHoàng Page 46
  47. Chú ý: f(x) tu n hoàn chu k 2k : F( ) ( ) F(x) tu n hoàn chu k Thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) a ( ) ∑(a s ) (✳) n Thay x = vào (✳) ( ) 0 ∑ ( ( ) ( )) a ∫ ( ) a ∫ ( ) s ∫ ( ) NMHoàng Page 47