›
›

Tóm tắt công thức Xác suất thống kê

pdf 16 trang haiha333 08/01/2022 5770
Download
Bạn đang xem tài liệu "Tóm tắt công thức Xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf2_tom_tat_cong_thuc_xstk.pdf

Nội dung text: Tóm tắt công thức Xác suất thống kê

  1. - 1 - Tóm tắt công thức Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). A1, A2, , An xung khắc từng đôi P(A1+A2+ +An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An). Ta có o A, B xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o PAPA( ) 1 ( ). P() AB P() AB Công thức xác suất có điều kiện: PAB(/) , PBA(/) . PB() PA() Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B). A1, A2, , An độc lập với nhau P(A1.A2. .An)=P(A1).P(A2). .P( An). Ta có o A, B độc lập P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C). k k n k Công thức Bernoulli: B(;;) k n p Cn p q , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2, , An được gọi là một phép phân Ai. A j  i j ;  i , j 1, n hoạch của  AAA1 2 n  o Công thức xác suất đầy đủ: n PBPAPBAPAPBAPAPBAPAPBA()  ().(/i i ) ().(/1 1 ) ().(/ 2 2 ) ( n ).(/ n ) i 1 o Công thức Bayes: PAPBA( ). ( / ) PAB(/) i i i PB() với PBPAPBAPAPBAPAPBA() ().(/1 1 ) ( 2 ).(/ 2 ) (n ).(/ n ) 2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối xác suất X x1 x2 xn P p1 p2 pn với pi P( X x i ), i 1, n .  Ta có: n  pi 1 và P{a f(X) b}=  pi i 1 a f( xi b - 1 - XSTK
  2. - 2 - Tóm tắt công thức Hàm phân phối xác suất FX()() x P X x  p i xi x Mode ModX x0 p 0 max{ pi : i 1, n } Median  pi 0,5 P( X xe ) 0,5 xi x e MedX xe P( X x ) 0,5 e  pi 0,5 xi x e Kỳ vọng n EX  ( xi . p i ) x1 . p 1 x 2 . p 2 x n . p n i 1 n E(()) X  (().) xi p i (). x1 p 1 (). x 2 p 2 (). x n p n i 1 Phương sai VarX E()() X2 EX 2 n 2 2 2 2 2 với E() X  (.) xi p i x1 . p 1 x 2 . p 2 x n . p n i 1 b. Biến ngẫu nhiên liên tục. f(x) là hàm mật độ xác suất của X f( x ) dx 1, b P{a X b} f ( x ). dx a Hàm phân phối xác suất x F()()() x P X x f t dt X Mode ModX x0 Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0. Median 1xe 1 MedXx Fx()() fxdx . e X e 2 2 Kỳ vọng EX x . f ( x ) dx . E( ( X )) ( x ). f ( x ) dx - 2 - XSTK
  3. - 3 - Tóm tắt công thức Phương sai VarX E()() X2 EX 2 với EX2 x 2 . f ( x ) dx . c. Tính chất - E( C ) C ,  Var ( C ) 0 , C là một hằng số. - E(),() kX kEX  Var kX k2 VarX - E() aX bY aEX bEY - Nếu X, Y độc lập thì E().,() XY EX EY  Var aX bY a2 VarX b 2 VarY - ()X VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn (XN ~ ( ; 2 )) X () , EX=ModX=MedX=  , VarX  2 ()x  2  1 2 Hàm mđxs f(,,) x  e 2 Với  0,   1: 2 x2 1 f() x e 2 (Hàm Gauss) 2 2 x t b  a  1 P(a X b) ( ) ( ) với ()x e2 dt (Hàm Laplace)   0 2 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode (tìm) SD Mode (tìm) STAT 1-Var Tính t2 x 1 ()x e2 dt Shift 3 2 x ) = Shift 1 7 2 x ) = 0 2 t2 x 1 F() x e2 dt Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 1 x ) = 2 Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Lưu ý: F( x ) 0,5 ( x ) b. Phân phối Poisson (XP ~ ( )) X () , EX VarX  .  M odX=k  -1k  k P(X=k)=e  , k k! - 3 - XSTK
  4. - 4 - Tóm tắt công thức c. Phân phối Nhị thức (X ~ B ( n ; p )) X ( ) {0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k (n 1) p 1 k ( n 1) p k k n k P(X=k)=C.n p . q ,q   p0 k n ,  k Nếu (n 30;  0,1 p 0,9; np 5, nq 5) thì X~ B ( n ; p ) N (  ; 2 ) với  n., p  npq 1 k  . P(X=k) f ( ),  0 k n ,  k   b  a  . P(a X<b) ( ) ( )   Nếu (n 30,  p  np 5) thì X~ B ( n ; p ) P (  ) với  np k . P(X=k) e  ,  k k! Nếu (n 30,  p 0,9, nq 5) n k P(X=k) e  ,  k với  nq (n k )! d. Phân phối Siêu bội (X ~ H ( N ; NA ; n )) X( ) {max{0; n ( N N AA )} min{n;N }} N n N EX=np, VarX=npq với p A , q=1-p. N 1 N (N 1)( n 1) 2 ( N 1)( n 1) 2 ModX k AA 1 k . NN 2 2 CCk n k P(X=k)=NNNAA , k X (  ) n CN N N Nếu 20 thì X~ H ( N ; N ; n ) B ( n ; p ) với p A . n A N k k n k P(X=k) Cn . p . q ,  k X (  ),  q 1 p . - 4 - XSTK
  5. - 5 - Tóm tắt công thức Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) CCk. n k NNNAA P() X k n CN N>20n N p= A , q=1-p N n 30, np<5 Nhị thức: X~B(n;p) p 0,1 Poisson: X~ P()  =np k   P() X k Ck p k q n k P() X k e n k! n 30, np 5, nq 5 0,1<p<0,9 1 k  P()() X k f   b  a  P()()() a X b   với  np,   npq X  Chuẩn: X~ N(;)  2 Y Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)  y2 ()x  2  1 1 2 2 f(;;). x  e 2 f(). y e 2 2 - 5 - XSTK
  6. - 6 - Tóm tắt công thức II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình XX x x X 1 n x 1 n n n Phương sai không hiệu chỉnh (XXXX )2 ( ) 2 (x x )2 ( x x ) 2 Sˆ 2 1 n sˆ2 1 n X n x n Phương sai hiệu chỉnh (XXXX )2 ( ) 2 (x x )2 ( x x ) 2 S 2 1 n s2 1 n X n 1 x n 1 b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: xi x1 x2 xk n n n n i 1 2 k Khi đó Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể x n x n Giá trị trung bình x 1 1 k k n Phương sai không hiệu chỉnh (x x )2 n ( x x ) 2 n sˆ2 1 1 k k x n (x x )2 n ( x x ) 2 n Phương sai hiệu chỉnh s2 1 1 k k x n 1 c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [;)a b hay (;]a b thì ta sử dụng giá a b trị đại diện cho miền đó là để tính toán. 2 Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Thống kê Mode (tìm) SD Mode (tìm) STAT 1-Var x1 Shift , n1 M+  X FREQ x = n = xk Shift , nk M+ 1 1 Nhập số liệu   x = n = Nếu ni 1 thì chỉ cần k k nhấn xi M+ - 6 - XSTK
  7. - 7 - Tóm tắt công thức Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định: Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 = Giá trị trung bình ( x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 = Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh ( sˆ ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 = x Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 = chỉnh ( sx ) Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng. a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( đã biết) Ước lượng đối xứng. 1  ().;)z z  z   x x 2 n 2 2 2 Ước lượng chệch trái.  (z ) 0,5 z  z .   ; x ) n Ước lượng chệch phải.  (z ) 0,5 z  z .  x  ) n Trường hợp 2. ( chưa biết, n 30 ) Ước lượng đối xứng. 1 s ().;)z z  z   x x 2 n 2 2 2 Ước lượng chệch trái. s (z ) 0,5 z  z .   ; x ) n Ước lượng chệch phải. s (z ) 0,5 z  z .  x  ) n Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30) Ước lượng đối xứng. s 1 t  t .   x ; x ) 2 (n 1; ) ( n 1; ) n 2 2 Ước lượng chệch trái. s 1 t(n 1; )  t ( n 1; ) .   ; x ) n - 7 - XSTK
  8. - 8 - Tóm tắt công thức Ước lượng chệch phải. s 1 t(n 1; )  t ( n 1; ) .  x ; ) n b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ. Ước lượng đối xứng. 1 f(1 f ) ().;)z z  z   f f 2 n 2 2 2 Ước lượng chệch trái. f(1 f ) (z ) 0,5 z  z .   ; f ) n Ước lượng chệch phải. f(1 f ) (z ) 0,5 z  z .   f ) n c) Khoảng tin cậy cho phương sai. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính). Ước lượng không chệch. 2 2 1   , 1 1   2 2 (n 1; ) 2 1 (n 1;1 ) 2 2 (n 1) s2 ( n 1) s 2 (;) 2  1 Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1) s 1 1  (n 1;1 )  (0; ) 1 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1) s 1  2 (n 1; )  ( ; ) 2 Trường hợp 2. ( đã biết) k 2 2 - Tính (n 1) s  ni .( x i  ) i 1 Ước lượng không chệch. 2 2 1 2  , 1 1 1  2 (;)n 2 (n ;1 ) 2 2 (n 1) s2 ( n 1) s 2 (;) 2  1 - 8 - XSTK
  9. - 9 - Tóm tắt công thức Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1) s 1 1  (n ;1 ) (0; ) 1 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1) s 1  2 (n ; ) ( ; ) 2 3. Kiểm định tham số. a) Kiểm định giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( đã biết) HHo:,:  o 1   o 1 x  (),.z z  z o n 2  2 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 HHo:,:  o 1   o x  (z ) 0,5 z ,  z o . n  - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. HHo:,:  o 1   o x  (z ) 0,5 z ,  z o . n  - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 2. ( chưa biết, n 30 ) HHo:,:  o 1   o 1 x  (),.z z  z o n 2 s 2 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 HHo:,:  o 1   o x  (z ) 0,5 z ,  z o . n s - 9 - XSTK
  10. - 10 - Tóm tắt công thức - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. HHo:,:  o 1   o x  (z ) 0,5 z ,  z o . n s - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30) HHo:,:  o 1   o x o t ,.  t n 2 (n 1; ) s 2 - Nếu t t : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n 1; ) 2 - Nếu t t : Chấp nhận Ho. (n 1; ) 2 HHo:,:  o 1   o x  t,.  t o n (n 1; ) s - Nếu t t(n 1; ) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu t t(n 1; ) : Chấp nhận Ho. HHo:,:  o 1   o x  t,.  t o n (n 1; ) s - Nếu t t(n 1; ) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu t t(n 1; ) : Chấp nhận Ho. b) Kiểm định tỉ lệ. Ho:,: p p o  H1 p p o 1 k f po (),,.z z  f  z n 2 n p(1 p ) 2 2 o o - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 Ho:,: p p o  H1 p p o k f po (z ) 0,5 z ,  f ,  z . n n po(1 p o ) - 10 - XSTK
  11. - 11 - Tóm tắt công thức - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Ho:,: p p o  H1 p p o k f po (z ) 0,5 z ,  f ,  z . n n po(1 p o ) - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. c) Kiểm định phương sai. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s. 2 2 2 2 HHo:,:  o 1   o 2 2 2 2 2 2 (n 1) s 1 1  , 2  ,  2 (n 1;1 ) 2 (n 1; ) 2 2 2 o 2 2  2 - Nếu : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2  1 2 2 2 - Nếu 1   2 : Chấp nhận Ho. 2 2 2 2 HHo:,:  o 1   o (n 1) s2 1 2  2 , 2 1 (n 1;1 ) 2 o 2 2 - Nếu  1 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2 - Nếu  1 : Chấp nhận Ho. 2 2 2 2 HHo:,:  o 1   o (n 1) s2 2  2 , 2 2 (n 1; ) 2 o 2 2 - Nếu  2 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2 - Nếu  2 : Chấp nhận Ho. 4. Kiểm định so sánh tham số. a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình. Trường hợp 1. (1,  2 đã biết) HHo :,:1  2  1  1  2 1 x1 x 2 (),z z  z 2 2  2 2 2 1 2 n1 n 2 - 11 - XSTK
  12. - 12 - Tóm tắt công thức - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 HHo :,:1  2  1  1  2 x1 x 2 (z ) 0,5 z ,  z 2  2 1 2 n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. HHo :,:1  2  1  1  2 x1 x 2 (z ) 0,5 z ,  z 2  2 1 2 n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 2. (1,  2 chưa biết, n1 n 2 30 ) HHo :,:1  2  1  1  2 1 x1 x 2 (),z z  z 2 s2 s 2 2 2 1 2 n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 HHo :,:1  2  1  1  2 x1 x 2 (z ) 0,5 z ,  z s2 s 2 1 2 n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. HHo :,:1  2  1  1  2 x1 x 2 (z ) 0,5 z ,  z s2 s 2 1 2 n1 n 2 - 12 - XSTK
  13. - 13 - Tóm tắt công thức - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. (1  2 chưa biết, n1, n 2 30 ) HHo :,:1  2  1  1  2 2 2 x1 x 2 2 (n1 1). s 1 ( n 2 1). s 2 t ,  t , với s 2 (n1 n 2 2; ) 1 1 n n 2 2 s2 () 1 2 n1 n 2 - Nếu t t : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n n 2; ) 1 2 2 - Nếu t t : Chấp nhận Ho. (n n 2; ) 1 2 2 HHo :,:1  2  1  1  2 2 2 x1 x 2 2 (n1 1). s 1 ( n 2 1). s 2 t(n n 2; ) ,  t , với s 1 2 1 1 n n 2 s2 () 1 2 n1 n 2 - Nếu t t : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n n 2; ) 1 2 2 - Nếu t t : Chấp nhận Ho. (n n 2; ) 1 2 2 HHo :,:1  2  1  1  2 2 2 x1 x 2 2 (n1 1). s 1 ( n 2 1). s 2 t(n n 2; ) ,  t , với s 1 2 1 1 n n 2 s2 () 1 2 n1 n 2 - Nếu t t : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n n 2; ) 1 2 2 - Nếu t t : Chấp nhận Ho. (n n 2; ) 1 2 2 b) Kiểm định so sánh tỉ lệ. k1 k 2 k 1 k 2 f1 ,,  f 2  f n1 n 2 n 1 n 2 Ho :,: p1 p 2  H 1 p 1 p 2 1 f1 f 2 (),z z  z 2 1 1 2 2 f(1 f ).( ) n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2 - Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 - 13 - XSTK
  14. - 14 - Tóm tắt công thức Ho :,: p1 p 2  H 1 p 1 p 2 f1 f 2 (z ) 0,5 z ,  z 1 1 f(1 f ).( ) n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. Ho :,: p1 p 2  H 1 p 1 p 2 f1 f 2 (z ) 0,5 z ,  z 1 1 f(1 f ).( ) n1 n 2 - Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu z z : Chấp nhận Ho. c. Kiểm định so sánh phương sai. - 1,  2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa cho. 2 2 2 2 HHo :,:1  2  1  1  2 s2 - f  1 , f f ( n 1; n  1;1 ), f f ( n 1; n 1;)  2 1 1 2 2 1 2 s2 2 2 f f1 - Nếu : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. f f2 - Nếu f1 f f 2 : Chấp nhận Ho. 2 2 2 2 HHo :,:1  2  1  1  2 s2 - f 1 ,  f f ( n 1; n 1;1 )  2 1 1 2 s2 - Nếu f f1 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu f1 f : Chấp nhận Ho. 2 2 2 2 HHo :,:1  2  1  1  2 s2 - f 1 ,  f f ( n 1; n 1; )  2 2 1 2 s2 - Nếu f f2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu f f2 : Chấp nhận Ho. 5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. - 14 - XSTK
  15. - 15 - Tóm tắt công thức n n n n x y x y i i  i  i r i 1 i 1 i 1 a. Hệ số tương quan mẫu: n n n n n x2()() x 2 n y 2 y 2 i  i  i  i i 1 i 1 i 1 i 1 y A Bx Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: x với n n n n n n x y x y y B. x i i  i  i i  i B i 1 i 1 i 1 A i 1 i 1 n n và n . n x2() x 2 i  i i 1 i 1 b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số: xi x1 x2 xk y y y y i 1 2 k ni n1 n2 nk Ta tính theo công thức thu gọn như sau: k k k n n x y n x n y i i i  i i  i i r i 1 i 1 i 1 Hệ số tương quan mẫu: k k k k n n x2()() n x 2 n n y 2 n y 2 i i  i i  i i  i i i 1 i 1 i 1 i 1 y A Bx Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: x với k k k k k n n x y n x n y n y B. n x i i i  i i  i i i i  i i B i 1 i 1 i 1 A i 1 i 1 k k và n . n n x2() n x 2 i i  i i i 1 i 1 - 15 - XSTK
  16. - 16 - Tóm tắt công thức c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Hồi quy Mode (tìm) REG Mode (tìm) STAT tuyến tính Lin A+BX x1 , y1 Shift , n1 M+  X Y FREQ x , y Shift , n M+ x1 = y1 = n1 = Nhập số liệu k k k    x = y = n = ni 1 thì chỉ cần nhấn k k k xi , yi M+ Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định: Hệ số tương quan Shift 2  3 = Shift 1 7 3 = mẫu (r) Hệ số hằng: A Shift 2  1 = Shift 1 7 1 = Hệ số ẩn (x): B Shift 2  2 = Shift 1 7 2 = Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1 Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì không cần kích hoạt nữa. . - 16 - XSTK