Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy môn toán cao cấp cho sinh viên chuyên ngành kinh tế

Nội dung text: Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy môn toán cao cấp cho sinh viên chuyên ngành kinh tế

1. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG GIẢNG DẠY MÔN TOÁN CAO CẤP CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH KINH TẾ Phạm Mỹ Hạnh1 1Trường Đại học An Giang Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 09/08/2018 Ngày nhận kết quả bình duyệt: Teaching mathematics for economic students by using mathematical 19/09/2018 modelling and simulation of some practical situations will improve the Ngày chấp nhận đăng: 02/2019 quality of teaching as well as the student modelling knowledge. This article Title: represents some definitions and basic steps of mathematical modelling and Applying mathematical modelin simulation. Moreover, it also gives some examples of mathematical g and simulation modelling to clarify the steps as well as to improve the students’ learning method in teaching advanced skills when studying advanced mathematics. mathematics for economic students TÓM TẮT Keywords: Modelling, modelling methods, Dạy học các môn Toán cao cấp cho sinh viên chuyên ngành Kinh tế thông teaching advanced mathematics qua những bài toán thực tế bằng phương pháp mô hình hóa góp phần nâng Từ khóa: cao chất lượng giảng dạy, cũng như phát triển năng lực mô hình hóa của Mô hình hóa, phương pháp mô sinh viên. Bài báo sẽ giới thiệu một số khái niệm về mô hình hóa trong dạy hình hóa, giảng dạy toán cao học toán, các bước cơ bản của phương pháp mô hình hóa xuất phát từ một cấp bài toán thực tế. Ngoài ra, dựa trên một số ví dụ minh họa cụ thể, bài báo cũng đề xuất một số khuyến nghị nhằm nâng cao hiệu quả học tập các môn Toán cao cấp của sinh viên. 1. GIỚI THIỆU Mô hình là vật thay thế mang đầy đủ các tính chất hình hóa toán học. Hiện nay, mô hình toán học có của một vật thực tế. Qua nghiên cứu mô hình, ta nhiều ứng dụng trong vật lý cũng như trong các có thể nắm vững các thuộc tính của đối tượng cần ngành Khoa học Tự nhiên khác. Tuy nhiên, ngoài nghiên cứu mà không cần phải tiếp xúc với vật các ứng dụng trong khoa học tự nhiên, mô hình thật. Theo Kai Velten (2009), mô hình tốt nhất là toán học cũng thường được sử dụng trong các mô hình đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng đầy đủ ngành Kinh tế hay Khoa học Xã hội. Kai Velten các mục tiêu cần khảo sát, nói một cách khác nó (2009) cho rằng, một mô hình toán học là một bộ cũng có đủ sự phức tạp để chúng ta hiểu rõ cách ba thành phần (S, Q, M) hay (System, Question, hoạt động của hệ thống và giải quyết tình huống Mathematical statements); trong đó S là hệ thống, có vấn đề đã đặt ra. Lê Thị Hoài Châu (2014) Q là các câu hỏi hay vấn đề được đặt ra đối với hệ nhận định rằng, để sử dụng kiến thức và kỹ năng thống và M là tập hợp các mệnh đề toán học dùng toán vào việc giải quyết một vấn đề của thực tiễn, để tìm lời giải cho Q. người ta phải trải qua các bước của quá trình mô 59
2. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 Ngày nay, trước yêu cầu nâng cao chất lượng đào từng nhóm kiến thức toán học là một trong những tạo và phát huy tính tích cực của người học, giảng phương pháp giảng dạy hiệu quả, phát huy tính viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy. Trong tích cực của người học, góp phần nâng cao chất những năm gần đây, phương pháp dạy học thông lượng đào tạo, đáp ứng yêu cầu chuẩn đầu ra đối qua việc nghiên cứu tìm hiểu mô hình đã được áp với sinh viên nói chung và sinh viên chuyên dụng rộng rãi và đạt được nhiều kết quả khả quan. ngành Kinh tế, Trường Đại học An Giang nói Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình sử dụng riêng. trong dạy học Toán là mô hình trừu tượng sử 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ HOẠT dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống ĐỘNG DẠY HỌC MINH HỌA nào đó. Những mô hình toán học này thường có 2.1 Các quy trình trong phương pháp mô các dạng hàm số, đồ thị, phương trình, biểu đồ, hình hóa hoặc các mô hình ảo được thiết kế từ các chương trình của máy vi tính. Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), quá trình mô hình hóa có thể tóm tắt qua bốn bước sau: Qua quá trình giảng dạy, khảo sát về kết quả học tập trong những năm gần đây của sinh viên Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn chuyên ngành Kinh tế tại Trường Đại học An của vấn đề. Trong bước này cần xác định dữ liệu Giang, khi bắt đầu học các môn Toán cao cấp sinh đầu vào và yêu cầu cần đạt được, hay dữ liệu đầu viên thường gặp nhiều khó khăn trong việc nắm ra của vấn đề thực tiễn. vững các kiến thức toán. Bên cạnh đó, các em Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề không hiểu rõ các áp dụng của các kiến thức đã đang xét, với lưu ý rằng với cùng một vấn đề đang học với ngành học hay yêu cầu thực tiễn của công xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác việc trong tương lai. Vì thế, việc sử dụng các mô nhau. hình toán dựa trên các bài toán thực tế trong dạy Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để giải quyết học giúp sinh viên hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa bài toán hình thành ở bước 2. toán học với các vấn đề thực tiễn trong sản xuất. Qua quá trình tìm tòi lời giải cho các bài toán thực Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết quả thu được tế dựa trên các mô hình toán, sinh viên tự nâng trong bước 3. Nếu kết quả không phù hợp thì phải cao khả năng tư duy linh hoạt khi giải quyết các thực hiện lại quy trình. tình huống có vấn đề và ngày càng yêu thích, sáng Bốn bước này có mối quan hệ mật thiết với nhau tạo hơn học tập. Do đó, vận dụng tốt phương pháp và được thể hiện qua sơ đồ Hình 1. mô hình hóa thông qua các bài toán thực tế cho 60
3. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 Hình 1. Các bước trong quy trình mô hình hóa Trong bước 1, giảng viên cần xác định các tình hình đạt hiệu quả tốt nhất đáp ứng với mục tiêu huống có vấn đề trong thực tế và có dữ liệu đầu giảng dạy. Ngoài ra, người học có thể chủ động vào phù hợp với mục đích của hoạt động giảng trong việc xây dựng mô hình toán xuất phát từ dạy, học tập. Ngoài ra, giảng viên cần giúp người tình huống có vấn đề trong thực tế và đề xuất lời học xác định rõ dữ liệu đầu vào và kết quả đầu ra giải, khi đó giảng viên chỉ đóng vai trò hỗ trợ cần đạt được. Bước 2, giảng viên sẽ tổ chức cho trong việc đánh giá mô hình và kết quả tìm được người học xây dựng mô hình toán, cụ thể là thiết so với dữ liệu đầu vào. lập hệ thống các phương trình toán, hay một 2.2 Tổ chức các hoạt động dạy học cụ thể chương trình mô phỏng trên máy vi tính, dựa trên Theo chương trình khung các khối ngành Kinh tế các dữ liệu đầu vào, trong đó đặt ra yêu cầu phải của Trường Đại học An Giang, sinh viên năm xác định rõ mối quan hệ giữa các dữ liệu đã có và nhất được tiếp cận hai môn Toán cao cấp B1, 3 tín kết quả cần đạt được. chỉ, tương ứng với 45 tiết lý thuyết và Toán cao Đối với bước 3, người học cần chủ động vận dụng cấp B2 với 2 tín chỉ tương ứng với 30 tiết lý các kiến thức toán đã học có liên quan đến vấn đề thuyết. Môn Toán cao cấp B1 gồm các kiến thức cần giải quyết để tìm ra lời giải của bài toán và về giải tích như: Giới hạn hàm số, Phép tính vi giảng viên chỉ hỗ trợ khi cần thiết. Bước 4 là bước phân hàm một biến, Phép tính vi phân hàm nhiều kiểm định lại mô hình, giảng viên và người học biến, Phương trình vi phân và Lý thuyết chuỗi. cùng nhận định lại phương pháp giải; từ đó cải Học phần Toán cao cấp B2 gồm các kiến thức chủ tiến mô hình hoặc lời giải của bài toán, góp phần yếu về đại số tuyến tính như: Ma trận, Định thức, nâng cao chất lượng của mô hình. Ngoài ra, dựa Hệ phương trình tuyến tính, Phép biến đổi tuyến trên mô hình đã có, giảng viên và người học có tính, Chéo hóa ma trận. Với thời gian trên lớp khá thể cùng nhau cải tiến và xây dựng một mô hình ít và khối lượng kiến thức nhiều, các môn Toán mới. cao cấp B1 và B2 đã cung cấp những khối kiến Khi vận dụng phương pháp mô hình hóa trong thức tương đối mới và khó. Vì sinh viên năm nhất dạy học, tùy vào đối tượng người học cụ thể mà hầu hết là học sinh mới tốt nghiệp chương trình giảng viên vận dụng linh hoạt các bước, điều trung học phổ thông, nên còn nhiều bỡ ngỡ và chỉnh kết quả thực hiện ở từng bước sao cho mô chưa có phương pháp học tập phù hợp đối với bậc 61
4. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 đại học. Đa số sinh viên gặp khó khăn trong việc tình huống dẫn đến mô hình toán học trong ví dụ hiểu các kiến thức Toán cao cấp và chưa có kỹ 1. năng vận dụng các kiến thức này vào việc giải các Ví dụ 1. Một hãng sản xuất mỹ phẩm độc quyền bài toán, đặc biệt là các bài toán xuất phát từ các dự định bán ra thị trường hai loại sản phẩm nước tình huống thực tế. Do đó, việc xây dựng các mô hoa. Qua quá trình khảo sát nhu cầu thị trường và hình toán xuất phát từ các tình huống thực tế trong ước lượng giá bán tương ứng, hãng sản xuất có sản xuất sẽ góp phần nâng cao chất lượng của được bảng số liệu sau: hoạt động giảng dạy và học tập. Khi giảng dạy cho sinh viên về khái niệm phép tính vi phân hàm nhiều biến, giảng viên có thể xem xét Q1 50 70 90 100 150 200 250 300 P1 1250 1230 1210 1200 1150 1100 1050 1000 Q2 50 70 90 100 150 200 250 300 P2 1250 1210 1170 1150 1050 950 850 750 Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn QQ12, là số lượng sản phẩm thứ 1 và thứ 2 của vấn đề. (Đơn vị: Hộp). Dữ liệu đầu vào: Mối quan hệ giữa giá sản phẩm PP, là giá bán tương ứng đối với sản phẩm 12 với sản lượng và hàm chi phí sản xuất: thứ 1 và thứ 2 (Đơn vị: Trăm ngàn đồng). a) Tìm mối quan hệ giữa số lượng từng loại sản phẩm với giá bán. Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần b) Nếu chi phí sản xuất được doanh nghiệp sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa. xác định tương ứng theo sản lượng Bước 2: Xây dựng mô hình toán học. QQ, 12 i) Tìm mối quan hệ giữa giá thành sản phẩm và 22 CQQQQ=1 +3 1 2 + 2 sản lượng tương ứng, P1 và Q1; P2 và Q2. Qua bảng số liệu của tình huống đề bài nêu ra, Hãy xác định sản lượng tương ứng QQ12, để sinh viên có thể xác định được mối quan hệ tuyến doanh nghiệp này có được lợi nhuận tối đa. tính giữa giá thành sản phẩm và sản lượng của Đối với bài toán thực tế này, giảng viên có thể từng loại sản phẩm. Để giải thích rõ hơn mối quan giúp sinh viên xây dựng mô hình toán trong sản hệ này, giảng viên có thể yêu cầu sinh viên vẽ xuất hai loại sản phẩm, xác định rõ các dữ liệu biểu đồ minh họa cụ thể. đầu vào và yêu cầu kết quả cần đạt được. 62
5. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 1400 1200 1000 800 P1 600 P2 400 200 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Biểu đồ 1. Mối quan hệ giữa sản lượng và giá bán Qua Biểu đồ 1, sinh viên có được các nhận định iii) Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để sau: doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa tương ứng với - Nếu số lượng các sản phẩm tăng thì giá thành tìm cực trị không điều kiện của hàm lợi nhuận. sản phẩm sẽ giảm. Bước 3: Sinh viên giải bài toán tìm cực trị địa - Mối quan hệ giữa giá thành và sản lượng xác phương qua các bước tìm điểm dừng và kiểm tra định bởi hệ phương trình sau: điều kiện cực trị của điểm dừng. QP11+=1300 i) Giải hệ phương trình tìm điểm dừng. Tọa độ điểm dừng thỏa hệ phương trình sau: QP22+=0,5 675 Do đó, dữ liệu đầu vào bao gồm:  = 0 QQQ1 −4 1 − 3 2 + 1300 = 0 QP+=1300 11  −3QQ − 6 + 1350 = 0 = 0 12 QP22+=0,5 675 Q2 22 CQQQQ=1 +3 1 2 + 2 Tìm được QQ12==250, 100. Dữ liệu đầu ra: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa. ii) Tại điểm dừng QQ12==250, 100 ta ii) Xây dựng hàm doanh thu theo nguyên tắc có: bằng giá thành 1 đơn vị sản phẩm nhân với số sản 휕2 휕2 휕2 = 2 = −4 ; = = −3 ; = 2 phẩm: 휕푄1 휕푄1. 휕푄2 휕푄2 푅 = 푃1푄1 + 푃2푄2 = −6 = −푄2 − 2푄2 + 1300푄 1 2 1 Vì A 0, AC − B2 0 nên hàm số lợi + 1350푄2 nhuận đạt cực đại tại QQ==250, 100. Hàm lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ 12 đi chi phí sản xuất: Khi đó PP12==1050, 1150 và = 푅 − = −2푄2 − 3푄2 + 1300푄 1 2 1 = 230000. + 1350푄2 − 3푄1푄2 63
6. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết quả. i) Kiểm tra lại số liệu bài toán đã cho, giảng Trong bước này giảng viên cùng người học đánh viên cho sinh viên kiểm tra các số liệu bài toán, vẽ giá lại lời giải. Kiểm tra tính hợp lý của kết quả sơ đồ hoặc lập bảng tương ứng với các trường hợp tìm được với dữ liệu bài toán đã cho, đồng thời sản xuất của doanh nghiệp để kiểm tra doanh thu, phát triển bài toán cho những trường hợp khác. chi phí và lợi nhuận tương ứng. Bảng 1. Khảo sát doanh thu, chi phí và lợi nhuận của doanh nghiệp dựa trên số sản phẩm và giá bán tương ứng TH. Q1 Q2 P1 P2 DOANH THU CHI PHÍ LỢI NHUẬN 1 50 50 1250 1250 125000 12500 112500 2 70 70 1230 1210 170800 24500 146300 3 90 90 1210 1170 214200 40500 173700 4 100 100 1200 1150 235000 50000 185000 5 150 150 1150 1050 330000 112500 217500 6 200 200 1100 950 410000 200000 210000 7 250 250 1050 850 475000 312500 162500 8 300 300 1000 750 525000 450000 75000 9 250 100 1050 1150 377500 147500 230000 10 200 90 1100 1170 325300 102100 223200 11 150 70 1150 1210 257200 58900 198300 12 100 50 1200 1250 182500 27500 155000 Khi đó, sinh viên nhận thấy trong trường hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất. Vậy kết quả mô hình phù hợp với dữ liệu đầu vào của bài toán thực tế và đáp ứng tốt điều kiện đầu ra. 600000 500000 400000 DOANH THU 300000 CHI PHÍ 200000 LỢI NHUẬN 100000 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Biểu đồ 2. Mối quan hệ giữa doanh thu, chi phí và lợi nhuận 64
7. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 Tương ứng với các trường hợp khảo sát, Biểu đồ Giả sử x,, y z lần lượt là số lượng hamburger, 2 thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu, chi phí và xúc xích và pizza mà cửa hàng đó bán được. Khi lợi nhuận. Trong đó trường hợp 8, doanh thu và đó, ta có hệ phương trình tuyến tính sau: chi phí lớn nhất, nên lợi nhuận thấp nhất. Trường hợp 9, doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất. xz−=30 ii) Giảng viên có thể mở rộng mô hình bài yz−=50 toán này sang bài toán cực trị có điều kiện, khi bổ xz+=176 sung thêm các điều kiện biên cho chi phí sản xuất. Bước 3: Tìm lời giải cho mô hình toán. Ngoài ra, trong hoạt động sản xuất và kinh doanh, Sinh viên có thể dùng phương pháp thế trong kiến nhiều trường hợp các bài toán kinh tế thường dẫn thức toán phổ thông để giải hệ phương trình này, đến việc giải hệ phương trình. Khi sinh viên học hoặc sử dụng phương pháp Cramer để giải hệ và về hệ phương trình tuyến tính, một nội dung trong tìm được x=132, y = 220, z = 44. học phần Toán cao cấp B2, giảng viên có thể tham khảo ví dụ của Hendry Pollak sau: Bước 4: Phân tích và đánh giá kết quả lời giải và Ví dụ 2. Xét ví dụ của Hendry Pollak (1969) trang phát triển mô hình. 92. i) Phân tích và đánh giá kết quả lời giải: A take-away food shop sells hamburgers, Kết quả cửa hàng bán được 132 bánh sausages and pizzas. On one day the number of hamburger, 220 xúc xích và 44 bánh pizza. hamburgers sold was three times the number of Kiểm tra được kết quả đáp ứng yêu cầu bài toán, pizzas, and the number of sausages sold was five số bánh hamburger bán được gấp 3 lần số bánh times the number of pizzas. The number of pizza và số xúc xích bán được gấp 5 lần số bán hamburgers and pizzas sold was in total 176. How pizza. Tổng số bánh hamburger và pizza bán được many of each type of food was sold? trong ngày là 176. Tạm dịch, một cửa hàng bán thức ăn mang đi có ii) Mở rộng mô hình: bán bánh hamburger, xúc xích và pizza. Một - Nếu giá bán mỗi bánh hamburger, pizza và ngày, số bánh hamburger bán được gấp 3 lần số xúc xích tương ứng là $10, $20 và $5. Hỏi bánh pizza và số xúc xích bán được gấp 5 lần số trong ngày hôm đó doanh thu của cửa hàng bán pizza. Tổng số bánh hamburger and pizza bán đạt bao nhiêu? được trong ngày là 176. Hỏi cửa hàng đã bán - Để đạt doanh thu $5000 thì cửa hàng phải được mỗi loại bao nhiêu? bán ít nhất bao nhiêu hamburger, pizza và Bước 1: Nghiên cứu tình huống thực tế. xúc xích. Dữ liệu đầu vào: Số bánh hamburger bán được Để giải đáp câu hỏi thứ nhất, ta chỉ cần thực hiện gấp 3 lần số bánh pizza và số xúc xích bán được phép nhân hai ma trận, trong đó ma trận thứ nhất gấp 5 lần số bán pizza. Tổng số bánh hamburger là số lượng bánh hamburger, xúc xích và pizza and pizza bán được trong ngày là 176. bán được, ma trận thứ hai chỉ giá bán của từng Dữ liệu đầu ra: Tìm số lượng bánh hamburger, loại sản phẩm. pizza và xúc xích mà cửa hàng đã bán được trong 10 ngày đó. 132 220 44 . 5= 132 10 + 220 5 + 44 20 = $3300 Bước 2: Xây dựng mô hình toán. 20 Vậy doanh thu của cửa hàng trong ngày hôm đó là $3300. 65
8. An Giang University Journal of Science – 2019, Vol. 22 (1), 59 – 66 Để cửa hàng đạt doanh thu $5000 thì bài toán có hợp cụ thể. Ngoài ra, giảng viên có thể yêu cầu nhiều lời giải, giảng viên có thể cho sinh viên các nhóm sinh viên tự khảo sát và nghiên cứu các phân chia các tình huống, trong đó có thể tham tình huống thực tế, tham khảo tài liệu chuyên khảo các trường hợp sau: ngành, từ đó xây dựng mô hình toán đối với tình Trường hợp 1: Tăng số lượng pizza bán được, vì huống mà sinh viên đã nghiên cứu. Thông qua các giá bán pizza là cao nhất và số lượng bánh pizza hoạt động tự học và tự nghiên cứu các mô hình cửa hàng bán được hiện là thấp nhất. Sinh viên có toán dựa trên một số bài toán thực tế dưới sự thể đề xuất các chính sách khuyến mãi kích cầu hướng dẫn của giảng viên, người học sẽ chủ động nhằm tăng số lượng sản phẩm bán được. trong việc lĩnh hội tri thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào các hoạt động thực tiễn. Trường hợp 2: Tăng số lượng xúc xích bán được, vì xúc xích có giá thấp nhất và có số lượng bán Ngoài ra, việc khai thác tốt các tình huống mô được nhiều nhất. hình hóa từ các bài toán thực tiễn không những giúp phát triển năng lực mô hình hóa của sinh Trường hợp 3: Tăng giá bán của mỗi loại sản viên mà còn thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa phẩm. Tuy nhiên, đối với trường hợp này nếu tăng các kiến thức toán cao cấp đối với lĩnh vực kinh tế giá, thì theo quy luật cung cầu, số lượng sản phẩm nói riêng và thực tiễn cuộc sống nói chung. Bên bán được có thể sẽ thấp hơn so với ban đầu, sinh cạnh các ứng dụng trong lĩnh vực giảng dạy và viên cần đề xuất việc tăng giá phù hợp để doanh nghiên cứu, việc xây dựng và kiểm chứng mô thu đạt mục tiêu $5000. hình trong lĩnh vực kinh tế còn mang tính dự báo Trường hợp 4: Giảm giá các sản phẩm. Trong góp phần định hướng tốt cho hoạt động sản xuất trường hợp này cần xem xét đến chi phí sản xuất, kinh doanh. giảng viên có thể bổ sung thêm thông tin về chi TÀI LIỆU THAM KHẢO phí sản xuất, để đảm bảo cửa hàng đạt doanh thu $5000. Kai Velten. (2009). Mathematical modelling and simulation. WILEY-VCH Verlag, Weinheim. Vì đây là bài toán mở nên có nhiều đáp án để lựa chọn, giảng viên có thể bổ sung thêm các yêu cầu Lê Thị Hoài Châu. (2014). Mô hình hóa trong dạy khác nhằm tìm ra lời giải tối ưu cho từng trường học khái niệm đạo hàm. Tạp chí Khoa học Đại hợp. học Sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh, 65. 3. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Nguyễn Danh Nam. (2013). Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ Tóm lại, phương pháp mô hình hóa dựa trên các thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học Cán bộ trẻ bài toán thực tế giúp sinh viên tìm hiểu thêm một các trường đại học sư phạm toàn quốc năm số ứng dụng của toán cao cấp trong đời sống và ý 2013. NXB. Đà Nẵng, tr. 512 - 516. nghĩa của các kiến thức toán học. Để hoạt động giảng dạy dựa trên phương pháp mô hình hóa đạt Nguyễn Quốc Hưng. (2013). Toán cao cấp C1 và được hiệu quả thì cả giảng viên lẫn người học một số ứng dụng trong kinh doanh. NXB. Đại phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu học Quốc Gia TP. HCM. tài liệu, đi sâu vào thực tế hoạt động sản xuất kinh Trần Trung. (2011). Vận dụng mô hình hóa vào doanh. Tuy nhiên, với khối lượng kiến thức Toán dạy học môn toán ở trường phổ thông. Tạp chí cao cấp khá rộng, giảng viên có thể lựa chọn một Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 6. số kiến thức cụ thể để đưa vào các mô hình toán Werner Blum, Peter L.Galbraith, Hans-Wolfgang dựa trên các bài toán thực tế trong sản xuất. Bên Henn & Mogens Niss. (2007). Modelling and cạnh đó, các tình huống của những bài toán thực Application in mathematics education. The tế có thể được sử dụng như là các bài tập nhóm để 14th ICMI Study. Springer. sinh viên theo từng nhóm sẽ nghiên cứu, đề xuất mô hình toán và tìm lời giải đối với từng trường 66