Bài giảng Cơ học lượng tử - Đỗ Mười

109 trang Gia Huy 25/05/2022 2540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ học lượng tử - Đỗ Mười", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_hoc_luong_tu_do_muoi.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lượng tử - Đỗ Mười

TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG ĐỖ MƯỜI BÀI GIẢNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Lưu hành nội bộ Quảng Ngãi, tháng 7/2019 0
Lời nói đầu Cuốn bài giảng cơ học lượng tử này được biên soạn cho sinh viên sư phạm của bộ môn Vật lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử. Tài liệu chính khi biên soạn bài giảng này là cuốn sách cơ học lượng tử của các tác giả (GS.TSKH Lê Văn Hoàng [1], David J. Griffiths [2]) Người biên soạn chân thành cảm ơn và ghi nhận những ý kiến quý báu của đồng nghiệp để tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: dmuoi@pdu.edu.vn, phone: 0985949460 Tp. Quảng Ngãi, tháng 07 năm 2019 Người biên soạn Đỗ Mười 1
MỤC LỤC 1. LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ 5 1.1. Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck 5 1.1.1. Khái niệm về bức xạ vật đen 5 1.1.2. Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen 6 1.1.3. Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck 8 1.1.4. Ý nghĩa của lý thuyết Planck 10 1.2. Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein 11 1.2.1. Hiệu ứng quang điện 11 1.2.2. Lý thuyết cổ điển 12 1.2.3. Lý thuyết Einstein 12 1.2.4. Ý nghĩa của lý thuyết Einstein 13 1.3. Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr 13 1.3.1. Quang phổ vạch 13 1.3.2. Sự bất lực của vật lý cổ điển 15 1.3.3. Lý thuyết Bohr 15 1.3.4. Ý nghĩa của lý thuyết Bohr 17 1.4. Hiệu ứng Compton 17 1.4.1. Hạt photon hay sóng điện từ 17 1.4.2. Thí nghiệm tán xạ Compton 18 1.4.3. Giải thích hiệu ứng Compton 19 1.4.4. Ý nghĩa của hiệu ứng Compton 20 1.5. Kết luận 20 2. LƯỠNG TÍNH SÓNG – HẠT 23 2.1. Giả thuyết de Broglie 23 2.1.1. Lịch sử phát triển ý tưởng 23 2.1.2. Lưỡng tính sóng – hạt 24 2.1.3 Ý nghĩa lịch sử của giả thuyết de Broglie 25 2.2. Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của electron 26 2.2.1. Các mốc lịch sử 26 2.2.2. Thí nghiệm Davisson – Germer 26 2.2.3. Kết quả thí nghiệm và giải thích bằng sóng electron 27 2
3. HÀM SÓNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER 29 3.1. Khái niệm hàm sóng 29 3.2. Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian 30 3.2.1. Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do 30 3.2.2. Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mô bất kỳ 32 3.3. Phương trình Schrӧdinger dừng 33 3.4. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 34 4. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI 36 4.1. Giao thoa electron 36 4.2. Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô 38 4.3. So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển 39 5. CÁC CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 41 5.1. Hạt chuyển động trong hố thế 41 5.1.1. Hố thế vuông góc thành cao vô hạn 41 5.1.2. Hạt chuyển động qua rào thế dạng bậc thang 44 5.1.3. Dao động tử điều hòa 48 5.2. Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger 54 6. HÀM SÓNG, TOÁN TỬ VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 58 6.1. Hàm sóng 58 6.2. Toán tử 60 6.2.1. Khái niệm 60 6.2.2. Các phép tính trên toán tử 60 6.2.3. Toán tử Hermite 61 6.2.4. Bài toán hàm riêng trị riêng của toán tử Hermite 61 6.3. Mô tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử 62 6.3.1. Tiên đề về đại lượng vật lý 62 6.3.2. Tiên đề tương ứng 63 6.4. Sự phụ thuộc của đại lượng vật lý vào thời gian và các đại lượng bảo toàn 64 6.4.1. Toán tử đạo hàm của đại lượng vật lý theo thời gian 64 6.4.2. Các đại lượng bảo toàn trong cơ học lượng tử 65 7. ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VI MÔ 66 3
7.1. Đo đại lượng vật lý 66 7.2. Giá trị trung bình của đại lượng vật lý 66 7.3. Hai đại lượng vật lý đồng thời xác định 67 7.4. Hệ thức bất định Heisenberg 67 7.5. Ví dụ về ứng dụng hệ thức bất định 68 7.5.1. Động năng tối thiểu của hạt trong hố thế 68 7.5.2. Phát hiện ra khối lượng hạt pion 69 8. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HYDRO 71 8.1. Moment động lượng quỹ đạo 71 8.1.1. Toán tử moment động lượng quỹ đạo 71 8.1.2. Tọa độ cầu 72 8.2. Hàm riêng, trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo 73 8.3. Chuyển động trong trường xuyên tâm 78 8.4. Nguyên tử Hydro 79 8.4.1. Phương trình Schrӧdinger 79 8.4.2. Hàm bán kính 82 8.4.3. Năng lượng gián đoạn 86 8.4.4. Hàm sóng 87 8.4.5. Mẫu Bohr qua lý thuyết lượng tử 89 9. SPIN 92 9.1. Spin 1/2 93 9.2. Electron trong từ trường 97 9.3. Phép cộng momen động lượng: 102 4
1. LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ Vào nửa cuối thế kỷ XIX, những tiến bộ của kỹ thuật đo đạc cho phép tiến hành nhiều thí nghiệm đối với các hệ vi mô (nguyên tử, phân tử). Từ đó, một loạt các hiệu ứng vật lý mới được phát hiện và không thể giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Điều này đòi hỏi sự ra đời một lý thuyết mới cho cơ học về thế giới vi mô, sau này gọi là Cơ học lượng tử. Tuy nhiên, trước khi ra đời một lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, một số ý tưởng đã được đưa ra để giải thích các hiệu ứng mới. Các ý tưởng này mặc dù mang tính đột phá nhưng vẫn chưa đi được vào bản chất vật lý của thế giới vi mô, tuy đã giải thích trọn vẹn các kết quả thực nghiệm. Chính vì vậy, người ta gọi chúng là lý thuyết tiền lượng tử. Bài này sẽ trình bày các hiệu ứng vật lý đó cùng với các lý thuyết tiền lượng tử để giải thích chúng, bao gồm: Bức xạ vật đen và lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck; Hiệu ứng quang điện và lý thuyết hạt ánh sáng (photon) của Albert Einstein; Quang phổ vạch và mô hình nguyên tử của Niels Bohr với lý thuyết lượng tử quỹ đạo. Ngoài ra, trong bài này cũng trình bày hiệu ứng tán xạ Compton, được phát hiện năm 1923 như một sự tái khẳng định lý thuyết photon. Một kết quả thực nghiệm quan trọng khác là nhiệt dung riêng của chất rắn ở nhiệt độ thấp cũng cần lý thuyết lượng tử để giải thích. 1.1. Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck 1.1.1. Khái niệm về bức xạ vật đen Do dao động nhiệt của các hạt mang điện cấu tạo nên vật chất, các vật thể có khuynh hướng hấp thụ và bức xạ sóng điện từ. Sự phụ thuộc của cường độ bức xạ vào bước sóng (tần số) tạo nên phổ bức xạ. Phổ bức xạ nhiệt của vật thể có dạng liên tục với cấu trúc phổ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật. Một vật thể có thể vừa bức xạ vừa hấp thụ, đồng thời phản xạ các bức xạ tới trên bề mặt. Các vật thể hấp thụ hoàn toàn bức xạ tới được gọi là vật đen và đôi khi còn được gọi là vật đen tuyệt đối để nhấn mạnh sự hấp thụ hoàn toàn. Vật đen là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả các bức xạ điện từ đến bề mặt của vật. Các vật thể này luôn phát xạ trở lại môi trường xung quanh các bức xạ điện từ, tạo nên quang phổ đặc trưng cho nhiệt độ của vật gọi là bức xạ vật đen. Do vậy, ta phải hiểu vật đen không có nghĩa là có màu đen. Khi nhiệt độ càng cao, vật đen càng có khuynh hướng bức xạ điện từ ở vùng bước sóng khả kiến, tạo nên màu sáng cho vật đen. Mặt trời là một ví dụ về vật đen trong tự nhiên. Trong phòng thí nghiệm, người ta thường 5
sử dụng một hốc với lỗ rất nhỏ làm mô hình vật đen. Các tia bức xạ khi vào hốc có xác suất rất nhỏ để quay trở lại đúng lỗ và thoát ra ngoài sau khi phản xạ trên thành hốc cho nên hầu như tất cả các tia bức xạ đi vào hốc đều bị hấp thụ. Mô hình này rất thuận tiện để nghiên cứu phổ bức xạ vật đen. Việc nghiên cứu về bức xạ của vật thể rất quan trọng và được tiến hành bằng thực nghiệm lẫn lý thuyết vào nửa sau thế kỷ XIX. Vào thời gian này, kiến thức về cấu trúc nguyên tử, phân tử của vật chất vẫn đang rất hạn hẹp với mô hình Thompson cho nên các nghiên cứu sâu hơn là rất cần thiết. Bức xạ vật đen là công cụ tốt để tìm hiểu bản chất cấu tạo vật chất. Khi nghiên cứu bằng thực nghiệm về sự phát xạ của vật đen, người ta thu được đường cong thực nghiệm biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ năng lượng bức xạ vào bước sóng. Hình 1.1 biểu diễn phổ bức xạ vật đen ứng với các nhiệt độ khác nhau. Dựa vào các định luật vật lý cổ điển, các nhà khoa học đã nổ lực tìm kiếm công thức mô tả dúng phân bố của năng lượng bức xạ thu được từ thực nghiệm, tuy nhiên không thành công hoàn toàn. Hình 1.1: Phổ bức xạ nhiệt của vật đen ứng với các nhiệt độ khác nhau. 1.1.2. Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen Phần này sẽ điểm qua các lý thuyết cổ điển đã được đưa ra cuối thế kỷ XIX, trong đó nhiều thành tựu về bức xạ vật đen có ý nghĩa cho đến nay như định luật Stefan- Boltzmann về mật độ bức xạ nhiệt phụ thuộc bậc bốn vào nhiệt độ vật đen trong toàn miền thay đổi bước sóng; định luật Wien về sự dịch chuyển nhiệt độ cực đại theo bước sóng. Tuy nhiên, để giải thích sự phân bố bức xạ nhiệt theo bước sóng ở một nhiệt độ 6
cố định, các lý thuyết cổ điển như định luật Rayleigh-Jeans, định luật Wien về phân bố bức xạ nhiệt đều không thành công. Trước tiên ta xét công thức của Wien cc12 ,T 5 exp 1.1  T được đưa ra vào năm 1896 để mô tả mối quan hệ giữa mật độ năng lượng bức xạ của vật đen và bước sóng bức xạ khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực với nhiệt độ T. Ở đây, ,T d  là năng lượng bức xạ của một đơn vị thể tích trong hốc (vật đen) với bước sóng nằm trong khoảng ,d   . Hệ số c12 ,c là các hằng số được Wien chọn sao cho phù hợp với số liệu thực nghiệm của Paschen công bố trước đó, cũng trong năm 1896. Định luật phân bố bức xạ theo bước sóng được Wien xây dựng dựa trên các lập luận theo lý thuyết cổ điển và một số phép gần đúng, cho nên công thức trên còn được gọi là công thức xấp xỉ Wien. Công thức này khá phù hợp với thực nghiệm ở miền bước sóng ngắn, tuy nhiên không còn phù hợp với thực nghiệm cho vùng bước sóng dài được tiến hành sau đó. Điều này được minh họa trên Hình 1.2. Hình 1.2: Cường độ bức xạ vật đen theo định luật Wien, so sánh với số liệu thực nghiệm cho thấy có sự phù hợp rất tốt ở vùng bước sóng ngắn Sau khi một số thí nghiệm đo phân bố cường độ bức xạ cho vùng bước sóng dài chỉ ra sự không phù hợp của công thức Wien, Rayleigh đã sử dụng lý thuyết bức xạ điện từ cổ điển và phân bố Boltzmann để thu được công thức phân bố bức xạ trong 7
vùng bước sóng dài. Sau đó Jeans đã phát triển lý thuyết của Rayleigh và thu được công thức 8 ,T k T 1.2 4 B với k B là hằng số Boltzmann. Định luật Rayleigh-Jeans cho kết quả phù hợp với thực nghiệm trong vùng bước sóng dài nhưng hoàn toàn thất bại trong miền bước sóng ngắn, điều này được gọi là sự khủng hoảng vùng tử ngoại. 1.1.3. Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck Planck đưa ra giả thuyết năng lượng do vật đen phát xạ không liên tục mà gián đoạn theo từng lượng tử để tìm ra phân bố bức xạ vật đen theo bước sóng. Ông thu được công thức 2hc2 1 I,T  1.3 5 hc exp 1 kTB Trong đó h,c,kB lần lượt là hằng số Planck, vận tốc ánh sáng trong chân không, hằng số Boltzmann. I,T  là cường độ bức xạ, là năng lượng phát xạ bởi một đơn vị diện tích bề mặt vật đen trong một đơn vị thời gian theo một đơn vị góc khối tính trong một đơn vị bước sóng tại lân cận bước sóng  . Công thức liên hệ giữa cường độ bức xạ với mật độ năng lượng điện từ  ,T trong hốc ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực như sau c I,T,T   1.4 4 Có thể hiểu một cách định tính công thức này rằng: trong một đơn vị thời gian, bức xạ đi qua một đơn vị diện tích bề mặt vật đen sẽ chứa trong một khối trụ có thể tích bằng tốc độ ánh sáng c đơn vị thời gian đơn vị diện tích. Do đó, tổng năng lượng là c  . Năng lượng này phát xạ ra mọi hướng cho nên để tính mật độ năng lượng, ta chia cho tổng góc khối 4 . 8
Công thức 1.3 hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm trên toàn miền thay đổi bước sóng. Ngoài ra, trong trường hợp bước sóng ngắn:  hc / kB T , do có xấp xỉ hc exp 1 kTB nên công thức Planck trở thành công thức Wien 1.1 . Trường hợp ngược lại khi  hc / kB T , ta có thể sử dụng khai triển Taylor và giữ lấy số hạng đầu tiên hc hc exp 1 kBB T k T khi đó công thức Planck hoàn toàn trùng khớp với công thức của Rayleight-Jeans. Điều này được minh hòa ở Hình 1.3. Planck đã sử dụng lý thuyết nhiệt động lực học, thông qua tính toán entropy để thu được công thức phân bố bức xạ 1.3 . Ở đây, ta sẽ chứng minh theo cách được trình bày trong khá nhiều sách hiện đại về vật lý nguyên tử. Ta có số sóng dừng trong một đơn vị thể tích trong hốc với bước sóng từ  đến  d  là 8 d  / 4 cho nên mật độ năng lượng trong hốc tương ứng là 8 ,T  1.5 4  Trong đó  là năng lượng trung bình của sóng dừng với bước sóng  . Ta tính năng lượng trung bình này theo quan điểm: sóng điện từ ứng với một bước sóng  cho trước, được phát ra do dao động nhiệt của các ion mang điện với các biên độ khác nhau, là tập hợp các dao động điện từ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực với năng lượng có giá trị thay đổi liên tục từ không đến vô cùng:  0 . Sử dụng phân bố Boltzmann, ta tính được  exp  d  kT  0 B kT 1.6   B exp  d 0 kTB 9
Thế (1.6) vào (1.5) và (1.4), thu được kết quả cổ điển – công thức (1.2) của Rayleigh- Jeans. Như đã nói, công thức Rayleight-Jeans không mô tả được thực nghiệm trong vùng bước sóng ngắn. Như vậy, cần phải thay đổi chuỗi lý luận từ (1.4)-(1.5)-(1.6), và Planck là người đã thay đổi bức tranh về năng lượng của bức xạ điện từ. Ông cho rằng bức xạ vật đen bao gồm một tập hợp các dao động điện từ nhưng với các giá trị năng lượng gián đoạn: εn = nε0, n = 0, 1, 2, và đây chính là các lượng tử năng lượng của bức xạ nhiệt. Khi đó, thay vì sử dụng (1.6), giá trị năng lượng trung bình của sóng dừng ứng với bước sóng λ được tính bằng công thức n0 n 0 exp kT   n1 B 0 1.7  n exp 00 exp 1 n0 kBB T k T Đem (1.7) thế vào (1.4)-(1.5) ta thu được công thức Planck (1.3). Ở đây để cho kết quả phù hợp với công thức Wien trong vùng bước sóng ngắn, Planck đã chọn ε0 = hν = hc/λ Hình 1.3: So sánh Rayleigh-Jeans với kết quả thực nghiệm phù hợp với lý thuyết Planck 1.1.4. Ý nghĩa của lý thuyết Planck Như vậy với giả thuyết về sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ điện từ, Max Planck đã tìm ra công thức phù hợp hoàn toàn với đường cong thực nghiệm biểu diễn sự phân bố năng lượng bức xạ nhiệt của vật đen theo bước sóng. Công thức này lần lượt trùng với công thức của Wien và công thức Rayleigh-Jeans trong hai miền tiệm cận bước sóng ngắn và bước sóng dài. Lý thuyết Planck tuy vậy vẫn chưa thể xem là lý 10
thuyết lượng tử trọn vẹn vì chưa giải thích được bản chất vật lý của sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ. nó chỉ đơn thuần là một giả thiết để thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, ý tưởng về sự lượng tử hóa năng lượng có tính cách mạng, đã thay đổi hoàn toàn cách suy nghĩ cổ điển và chính là cơ sở đầu tiên cho việc hình thành cơ học lượng tử. Planck được trao giải Nobel Vật lý năm 1918 cho thuyết lượng tử năng lượng. 1.2. Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein 1.2.1. Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng quang điện là hiện tượng electron được phát ra khi chiếu ánh sáng lên bề mặt kim loại. Các electron này được gọi là electron quang điện và sự dịch chuyển có hướng của chúng tạo nên dòng quang điện. Hình 1.4 trình bày sơ đồ thí nghiệm để khảo sát hiện tượng quang điện. Ngoài ra, ta có thể xác định được vận tốc của electron khi thoát ra khỏi bề mặt kim loại bằng cách áp điện thế ngược vào điện cực dương và điện cực âm sao cho dòng quang điện bằng không. Khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc thoát của electron và cường độ dòng quang điện bão hòa vào cường độ cũng như bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới, ta rút ra được các quy luật đặc biệt gọi là các định luật quang điện. Hình 1.4: Sơ đồ khảo sát hiệu ứng quang điện. Chùm ánh sáng được chiếu vào cathode làm bứt các electron, bay về anode tạo nên dòng quang điện Nội dung các định luật quang điện thể hiện qua các kết quả thực nghiệm sau (1) Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng ánh sáng tới nhỏ hơn một giá trị tới hạn λ ≤ λmax, giá trị λmax được gọi là bước sóng ngưỡng. 11
(2) Vận tốc của electron bứt ra không phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào bước sóng của chùm ánh sáng chiếu tới. (3) Cường độ dòng quang điện bão hòa không phụ thuộc vào bước sóng mà tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới. 1.2.2. Lý thuyết cổ điển Lý thuyết cổ điển về bức xạ điện từ gặp khó khăn khi giải thích hiệu ứng quang điện. Thật vậy, ánh sáng là sóng điện từ, nó có thể cung cấp năng lượng liên tục cho electron. Electron tích tụ dần năng lượng cho đến khi đủ lớn để vượt qua rào thế ở bề mặt kim loại và thoát ra. Tùy thuộc vào cường độ bức xạ lớn hay nhỏ mà thời gian tích tụ năng lượng nhanh hay chậm. Do đó, từ quan điểm cổ điển, hiệu ứng quang điện sẽ xảy ra với mọi bước sóng ánh sáng chiếu tới. Quy luật (1) rút ra từ quan sát thực nghiệm không thể giải thích được. Đồng thời cũng từ lý luận trên, ta thấy động năng của electron thoát ra phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới: cường độ càng lớn thì động năng electron thoát ra càng lớn. Do đó quy luật (2) cũng không giải thích được. Ngoài ra, lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được sự tỷ lệ thuận của cường độ dòng quang điện bão hòa với cường độ ánh sáng như quy luật thực nghiệm (3). Trong ba định luật quang điện thì định luật (2) và định luật (3) do Einstein phát hiện sau khi đưa ra lý thuyết của mình để giải thích định luật (1). Các định luật do tiên đoán lý thuyết của Einstein sau đó nhiều năm mới được thực nghiệm của Millikan kiểm chứng. 1.2.3. Lý thuyết Einstein Năm 1905, Einstein công bố một công trình quan trọng giải thích một cách trọn vẹn hiệu ứng quang điện. Ý tưởng chính của Einstein là giả thuyết về lượng tử ánh sáng, theo đó sóng điện từ khi tương tác với vật chất thể hiện như một dòng các lượng tử ánh sáng có năng lượng E = hν = hc/λ. Sau này khi Compton đưa ra hiệu ứng tán xạ mang tên ông vào năm 1923 và được trao giải Nobel Vật lý năm 1927, sóng điện từ được công nhận rộng rãi như là tập hợp các hạt độc lập gọi là photon, do Gilbert Lewis đặt tên năm 1926. Với giả thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein cho rằng khi một photon gặp một electron trong kim loại, nó sẽ bị hấp thụ hoàn toàn. Sau khi electron nhận được năng 12
lượng, nó sẽ tiêu tốn một công thoát W bằng năng lượng liên kết của nó trong kim loại và bứt ra khỏi bề mặt kim loại với động năng 1 hc m v2 W 1.8 2 ee  Dựa vào (1.8), ta thấy hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra khi hc/λ ≥ W hay khi bước sóng có giá trị nhỏ hơn giá trị tới hạn λmax = hc/W. Cũng từ (1.8), ta thấy động năng của electron bứt ra không phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào bước sóng của ánh sáng tới. Đặc biệt, công thức định lượng (1.8) do Einstein đưa ra đã mô tả sự phụ thuộc tuyến tính của động năng electron bứt ra vào nghịch đảo bước sóng, điều này đã được Millikan kiểm định bằng thực nghiệm vào năm 1914. Ngoài ra, do cường độ ánh sáng tới tỉ lệ thuận với số photon đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian, việc tăng cường độ ánh sáng tới, nghĩa là tăng số photon tới, sẽ dẫn đến việc tăng số electron bứt ra khỏi bề mặt kim loại trong một đơn vị thời gian. Vì thế dòng quang điện bão hòa sẽ tăng tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới. 1.2.4. Ý nghĩa của lý thuyết Einstein Như vậy, bằng lý thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein đã giải thích thành công quy luật về giá trị bước sóng tới hạn của hiệu ứng quang điện mà lý thuyết cổ điển không làm được, đồng thời tiên đoán hai quy luật quang điện khác. Lý thuyết của Einstein không những giải quyết được một vấn đề bế tắc của vật lý học cổ điển mà còn mở ra một tư duy hoàn toàn mới về bản chất của thế giới vi mô. Nếu Planck chỉ mới thấy năng lượng bức xạ là các đại lượng gián đoạn thì Einstein chỉ ra rằng ánh sáng là các hạt có năng lượng. Và đến khi mà các thí nghiệm của Compton về tán xạ tia X trên các electron được giải thích bằng lý thuyết va chạm giữa hạt photon và hạt electron thì cộng đồng các nhà vật lý mới hoàn toàn tin vào tính hạt của sóng điện từ. Đây cũng là gợi ý cho de Broglie đưa ra giả thuyết lưỡng tính sóng-hạt của vật chất vào năm 1924. Albert Einstein được trao giải Nobel vào năm 1921 cho việc giải thích hiệu ứng quang điện. 1.3. Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr 1.3.1. Quang phổ vạch Khái niệm quang phổ được dùng lần đầu tiên trong lĩnh vực quang học khi ánh sáng qua lăng kính được tách ra thành các màu khác nhau. Sau này, khái niệm quang phổ được sử dụng cho vùng sóng điện từ rộng hơn chứ không chỉ riêng vùng ánh sáng khả 13
kiến. Lúc này quang phổ được hiểu là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ bức xạ sóng điện từ theo bước sóng hoặc tần số. Năm 1859, hai nhà khoa học Gustav Kirchhoff và Robert Bunsen sau khi cùng nhau thực hiện các nghiên cứu đã phát hiện ra rằng các nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ ánh sáng với những giá trị bước sóng rời rạc λk. Những bước sóng này đặc trưng cho từng nguyên tử được gọi là quang phổ vạch hấp thụ hay phát xạ của nguyên tử. Trên Hình 1.5 biểu diễn quang phổ vạch của nguyên tử hydro, ta thấy phổ này có cường độ cực đại hoặc cực tiểu tại một số giá trị bước sóng nhất định. Đôi khi người ta không quan tâm đến cường độ bức xạ nên quang phổ vạch được hiểu là tập hợp các bước sóng (tần số) của sóng điện từ phát xạ hay hấp thụ của một nguyên tử. Hình 1.5: Quang phổ vạch của nguyên tử hydro: biểu diễn cường độ theo bước sóng và tập hợp các bước sóng rời rạc Các nhà khoa học nghiên cứu những quy luật của bước sóng trong quang phổ vạch và đến năm 1884, Johann Balmer đã đưa ra công thức tính bước sóng cho quang phổ nguyên tử hydro trong vùng ánh sáng khả kiến, sau này được gọi là dãy Balmer, như sau n2  C 1.9 n222 trong đó C = 3.6456 x 10-7 m và n = 3, 4, 5, là các số nguyên. Các nhà khoa học khác cũng bắt đầu tìm quy luật cho các phổ ngoài vùng khả kiến của nguyên tử hydro. Đặc biệt là công thức tổng quát của Johannes Rydberg đưa ra vào năm 1888 14
1 1 1 R H 22 1.10  nn12 7 -1 với RH = 1.09678 x 10 m là hằng số Rydberg; n1, n2 là hai số nguyên thõa mãn điều kiện n1 < n2. Dãy Balmer là trường hợp riêng của công thức (1.10) ứng với n1 = 2. Sau đó vào đầu thế kỷ XX, Theodore Lyman trong các năm từ 1906 đến 1914 đã tìm ra quang phổ nguyên tử hydro trong toàn miền tử ngoại. Dãy Lyman ứng với công thức của Rydberg khi n1= 1. Vào năm 1908, Friedrich Paschen đã tìm ra phổ nguyên tử hydro trong miền hồng ngoại gọi là dãy Pashen ứng với n1 = 3. Công thức (1.10) hoàn toàn đúng khi dãy Brackett (năm 1922, n1 = 4), dãy Pfund (năm 1924, n1 = 5), và dãy Humpreys (năm 1953, n1 = 6) được tìm thấy sau này. Các dãy khác cho phổ nguyên tử hydro cũng tiếp tục được tìm thấy nhưng không được đặt theo tên các nhà khoa học. 1.3.2. Sự bất lực của vật lý cổ điển Dựa trên quan điểm của vật lý cổ điển thì các quá trình vật lý chỉ có thể diễn ra một cách liên tục, các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ chỉ có thể biến thiên một cách liên tục chứ không thể gián đoạn khi trường ngoài thay đổi. Sóng điện từ phát ra từ nguyên tử là do chuyển động có gia tốc của hạt mang điện cho nên không thể tìm ra được cơ chế nào giúp cho phổ nguyên tử hydro có các bước sóng gián đoạn. Hơn nữa, lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được tính bền vững của nguyên tử. Theo mô hình nguyên tử Rutherford, electron chuyển động quanh hạt nhân phải liên tục phát xạ sóng điện từ, năng lượng của electron giảm dần một cách liên tục và cuối cùng nó sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ không tồn tại. 1.3.3. Lý thuyết Bohr Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, nhiều mô hình nguyên tử được đưa ra, nhưng đáng chú ý nhất là mô hình Rutherford trong đó hình dung nguyên tử bao gồm hạt nhân rất nặng mang điện tích dương và các electron nhẹ, mang điện tích âm chuyển động xung quanh. Mô hình này được đưa ra vào năm 1911 nhưng không thể giải thích được quang phổ vạch nguyên tử hydro cũng như sự bền vững của nguyên tử. Năm 1913, Niels Bohr đưa ra mô hình nguyên tử với các giả định: (1) Electron chuyển động theo một số quỹ đạo xung quanh hạt nhân gọi là quỹ đạo dừng. Khi ở trên quỹ đạo dừng này, electron không phát xạ sóng điện từ và có năng 15
lượng xác định. Tập hợp các mức năng lượng này tạo thành một phổ năng lượng gián đoạn. (2) Electron phát xạ hay hấp thụ năng lượng khi nó chuyển từ quỹ đạo dừng này qua quỹ đạo dừng khác. Năng lượng hấp thụ hay phát xạ là đại lượng gián đoạn Eh  Như vậy, với hai tiên đề trên, Bohr cho phép sử dụng lý thuyết chuyển động cổ điển vào hệ vi mô. Từ tiên đề (2), để có thể đưa ra mức năng lượng trên các quỹ đạo cho phép, Bohr đưa ra quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo Ln 1.11 nghĩa là moment động lượng quỹ đạo L của electron trên quỹ đạo dừng bằng số nguyên lần hằng số Planck rút gọn. Thật vậy, Bohr tính toán như sau cho nguyên tử hydro. Khi electron chuyển động trên quỹ đạo tròn, lực Coulomb đóng vai trò lực hướng tâm cho nên mv2 ke2 e 1.12 rr2 Trong đó me và e lần lượt là khối lượng và điện tích của electron; v, r lầ lượt là vận tốc và bán kính quỹ đạo của electron; k 1/ 4 0 là hằng số Coulomb. Từ công thức (1.12), 2 ta suy ra được vận tốc trên quỹ đạo của electron v ke / me r . Mặt khác quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo (1.11) cho ta biểu thức me vr n với n = 1, 2, 3, là số nguyên. Kết hợp lại cho ta bán kính quỹ đạo dừng là đại lượng gián đoạn n22 rn 2 1.13 ke me Thế (1.12) vào biểu thức tính năng lượng của electron 1 ke22 ke E m v2 1.14 2e r 2r ta thu được năng lượng phụ thuộc bán kính. Thế (1.13) vào (1.14), ta được công thức năng lượng electron khi ở trong trạng thái dừng m k24 e 1 E e 1.15 n 2n22 Như vậy, Bohr đã thu được mức năng lượng gián đoạn của electron trên các quỹ đạo dừng. Khi dịch chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác, electron sẽ phát xạ hay hấp thụ photon với năng lượng bằng hiệu số năng lượng của hai trạng thái 16
11 ER y 22 1.16 nn12 2 2 4 2 trong đó ký hiệu Rye 2 k m e / h 13.605692eV là đơn vị năng lượng Rydberg trong hệ đo nguyên tử. Dựa vào tiên đề thứ hai của mô hình Bohr, năng lượng photon bằng h hc / . Đem nó thế vào (1.16), ta thu được công thức thực nghiệm của Rydberg (1.10) với hằng số Rydberg theo lý thuyết là RHy R / hc . Từ công thức này ta tính được hằng số Rydberg lý thuyết qua các hằng số cơ bản. Kết quả thu được giá 71 trị lý thuyết RH 1.0973731568539 10 m cho thấy có sự phù hợp rất cao giữa lý thuyết Bohr với công thức thực nghiệm của Rydberg. 1.3.4. Ý nghĩa của lý thuyết Bohr Công thức lý thuyết của Bohr phù hợp hoàn toàn với công thức thực nghiệm của Rydberg. Hay nói khác hơn, lý thuyết Bohr hoàn toàn giải thích được một cách định lượng quang phổ vạch nguyên tử hydro và tính bền vững của nguyên tử. Tuy nhiên đây chỉ là lý thuyết tiền lượng tử vì vẫn chưa chỉ rõ bản chất vật lý của sự lượng tử hóa quỹ đạo electron, nhưng nó có tầm quan trọng trong việc phát triển tư duy và hiểu biết của nhân loại về thế giới vi mô. Niels Bohr được trao giải nobel vật lý vào năm 1922 cho sự phát triển lý thuyết cấu trúc nguyên tử và mô hình nguyên tử mang tên ông. Quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo là một giả thuyết mang tính cách mạng, sau đó đươc Arnorl Sommerfield mở rộng cho phép xét đến các quỹ đạo ellipse. 1.4. Hiệu ứng Compton 1.4.1. Hạt photon hay sóng điện từ Từ năm 1905 Einstein đã đưa ra giả thuyết lượng tử ánh sáng nhưng khái niệm về hạt ánh sáng vẫn chưa được các nhà khoa học chấp nhận ngay. Cho đến những năm hai mươi của thế kỷ XX, các nhà khoa học vẫn tranh luận xem trong các hiện tượng nào thì sóng điện từ (mà cụ thể là tia X) cần phải tính theo lý thuyết lượng tử Einstein và trong trường hợp nào thì tính theo lý thuyết sóng điện từ cổ điển Maxwell. Đặc biệt hiệu ứng giao thoa chùm tia X trên cấu trúc tinh thể được phát hiện vào năm 1912 càng khẳng định tia X là sóng điện từ với bước sóng rất ngắn. Trong một thời gian dài, rất ít thí nghiệm có đủ độ chính xác để kiểm chứng tính hạt hay sóng của ánh sáng. Mãi đến 17
năm 1914, Robert Millikan mới kiểm chứng được định lượng sự phụ thuộc động năng của electron quang điện vào bước sóng như công thức tiên đoán của Einstein. Do vậy, Einstein quay lại với vấn đề lượng tử ánh sáng và vào năm 1921 đề ra thí nghiệm kiểm chứng bằng cách đo ánh sáng phát ra từ nguyên tử chuyển động. Tuy nhiên, Schrӧdinger đã chỉ ra các tính toán trong thí nghiệm này của Einstein theo lý thuyết hạt ánh sáng sẽ trùng với hiệu ứng Doppler. Như vậy, cho đến 1922 vẫn chưa có thí nghiệm nào khẳng định lý thuyết hạt ánh sáng một cách thuyết phục. 1.4.2. Thí nghiệm tán xạ Compton Arthur Compton bắt đầu nghiên cứu tán xạ tia X lên vật chất từ những năm 1913 và đến những năm hai mươi của thế kỷ XX ông phát hiện tia gamma sau khi tán xạ sẽ mềm hơn rất nhiều (bước sóng sẽ dài hơn). Ông nghiên cứu kỹ hơn hiện tượng này bằng cách cho tia X tán xạ trên tinh thể graphite. Kết quả cho thấy sau khi tia X sau khi đi qua tinh thể graphite bị tán xạ theo nhiều phương. Trong phổ tán xạ, ngoài vạch có bước sóng λ của chùm tia tới còn có những vạch với bước sóng '  . Thực nghiệm chứng tỏ rằng  ' không phụ thuộc vào cấu trúc của tinh thể mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ của  , là góc hợp bởi phương truyền của tia X ban đầu và phương của tia X bị tán xạ. độ tăng bước sóng của tia X được xác định bởi công thức:  '  c 1 cos  1.17 12 Trong đó c 2.43 10 m là một hằng số chung cho mọi vật chất, sau này được gọi là bước sóng Compton của electron. Hình 1.6: Va chạm đàn hồi giữa photon và electron 18
1.4.3. Giải thích hiệu ứng Compton Theo lý thuyết sóng ánh sáng cổ điển, khi tia X truyền đến thanh graphite, nó làm cho các hạt mang điện trong thanh dao động cưỡng bức với cùng tần số của tia X, do đó các tia tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với tia tới. Như vậy, lý thuyết sóng ánh sáng không giải thích được hiệu ứng Compton. Công thức thực nghiệm (1.17) được Compton giải thích hoàn toàn bằng lý thuyết hạt ánh sáng của Einstein. Chúng ta có thể coi hiện tượng tán xạ tia X lên graphite như là một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một hạt lượng tử ánh sáng và một electron trong tinh thể. Trong phổ tán xạ, những vạch có bước sóng bằng bước sóng λ của tia X chiếu tới tương ứng với sự tán xạ của tia X lên các electron ở sâu trong nguyên tử, các electron này liên kết mạnh với hạt nhân. Còn các vạch có bước sóng lớn hơn λ tương ứng với sự tán xạ tia X lên các electron liên kết yếu với hạt nhân. Năng lượng liên kết của các electron này rất nhỏ so với năng lượng của photon, do đó các electron đó có thể xem là tự do. Năng lượng và xung lượng của photon trước và sau khi va chạm với electron lần lượt là hc hc  ,p hk/2;  ' ,p' hk'/2 1.18 ' trong đó các vector số sóng có độ lớn là k 2 /  , k' 2 /  ' có phương tạo với nhau góc  như trên Hình 1.6. Electron đứng yên trước khi va chạm nên xung lượng bằng không, và sau va chạm xung lượng có hướng tạo với hướng của photon ban đầu một góc  như trên Hình 1.6. Do vậy ta có 2 ' 2 4 '2 2 ' e mc,p e e 0,  e mc e pc,p e e 1.19 Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có phương trình hc hc m c2 m 2 c 4 p '2 c 2 1.20 e' e e Mặt khác, từ định luật bảo toàn xung lượng, ta có phương trình vector hk hk ' p' 1.21 22 e 19
Phương trình này tương đương với hai phương trình khi xét theo từng phương vuông góc và song song với phương tới của photon h h h h cos  p'' p cos   ''ee   1.22 hh 0 sin  p'' p sin  ''ee '2 '2 '2 Đem pe p e p e với các giá trị thành phần xung lượng như (1.22) thế vào (1.20) và bình phương hai vế phương trình, ta được công thức h  1 cos  1.23 mce Công thức (1.23) hoàn toàn trùng với kết quả thực nghiệm (1.17) với bước sóng Compton được tính theo công thức h 12 c 2.4263102389 10 m 1.24 mce Đây chính là bước sóng của photon có năng lượng bằng năng lượng nghỉ của electron. 1.4.4. Ý nghĩa của hiệu ứng Compton Như vậy, chỉ sau khi Compton làm thí nghiệm và phát hiện ra hiệu ứng Compton thì lý thuyết hạt ánh sáng mới được công nhận rộng rãi. Lúc này các nhà khoa học mới thật sự tin rằng hạt ánh sáng mang năng lượng và cả xung lượng. Năm 1926, Gilbert Lewis đã gọi hạt ánh sáng này là photon và đến năm 1927, Arthur Compton được trao giải nobel vật lý cho hiệu ứng mang tên ông. 1.5. Kết luận Trong phần này, chúng ta đã biết đến ba lý thuyết liên quan đến ba hiện tượng vật lý khác nhau. Các lý thuyết này vượt ra ngoài lý thuyết cổ điển và hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm, giải thích cả định tính và định lượng cho các hiện tượng vật lý (bức xạ vật đen, hiệu ứng quang điện, và quang phổ vạch hydro). Tuy chúng là các lý thuyết khác nhau nhưng đều có điểm chung là giả thuyết về sự lượng tử hóa năng lượng (điều này không thể giải thích được từ các quy luật vật lý trong thế giới vĩ mô), và chính điểm chung này đã dẫn đến tên gọi của cơ học của thế giới vi mô là Cơ học lượng tử. 20
Mặc dù giải thích được hoàn toàn thực nghiệm, các lý thuyết của Planck, Einstein và Bohr vẫn chưa thể coi là lý thuyết lượng tử do các giả thuyết này chưa đi sâu vào bản chất vật lý của thế giới vi mô. Các nhà khoa học quen gọi các lý thuyết từ 1900 đến trước năm 1925 là lý thuyết tiền lượng tử. Lý thuyết lượng tử chỉ bắt đầu khi Louis de Broglie giả thuyết về bản chất sóng của hạt vi mô (1924), được kiểm chứng bằng thí nghiệm nhiễu xạ chùm electron trên tinh thể của Davidsson và Germer (1927) và được phát triển vũ bão sau đó bằng một loạt các phát minh. Trước tiên phải kể đến việc xây dựng cơ học ma trận của Heisenberg (1925), xây dựng phương trình sóng Schrodinger (1926); tiếp theo, Max Born đưa ra ý nghĩa thống kê của hàm sóng (1926) với nguyên lý chồng chất trạng thái hoàn toàn xa lạ với vật lý cổ điển; và cuối cùng là hệ thức bất định Heisenberg (1927) chỉ ra hạn chế của các khái niệm cổ điển khi vận dụng vào thế giới vi mô. Các mốc thời gian ra đời cơ học lượng tử (i) 1900 - Bức xạ vật đen-Lượng tử năng lượng, Max Planck (Nobel 1918) (ii) 1902 - Hiệu ứng Zeeman (1986) được trao giải Nobel – tách phổ vạch nguyên tử trong từ trường, Pieter Zeeman (Nobel 1902) (iii) 1905 – Hiệu ứng quang điện – Lượng tử ánh sáng, Albert Einstein (Nobel 1921) (iv) 1913 – Quang phổ vạch – Mô hình Bohr, Niels Bohr (Nobel 1922) (v) 1913 – Hiệu ứng Stark – Tách phổ vạch nguyên tử trong điện trường, Johannes Stark (Nobel 1919) (vi) 1922 – Spin – Thí nghiệm Stern-Gerlach, Otto Stern (Nobel 1943) (vii) 1923 – Tán xạ Compton – Hạt photon, Arthur Compton (Nobel 1927) (viii) 1924 – Giả thuyết tính sóng của electron, Louis de Broglie (Nobel 1929) (ix) 1925 – Nguyên lý loại trừ Pauli, Wolfgang Pauli (Nobel 1945) (x) 1925 – Khái niệm Spin – Giải thích hiệu ứng Zeeman dị thường, Goerge Uhlenbeck và Samuel Goudsmit (xi) 1925 – Cơ học ma trận, Werner Heisenberg 21
1926 – Phương trình sóng, Erwin Schrodinger (Nobel 1933) (xii) 1926 – Ý nghĩa thống kê của hàm sóng, Max Born (Nobel 1954) (xiii) 1927 – Thí nghiệm Davisson-Germer – Nhiễu xạ chùm electron, Clinton Davisson (Nobel 1937) (xiv) 1927 – Nguyên lý bất định, Werner Heisenberg (Nobel 1932) (xv) 1928 – Phương trình Dirac – Cơ học lượng tử tương đối tính, Paul Dirac (Nobel 1933) Câu hỏi và bài tập 1.1 Nêu các lập luận để Wien đưa ra định luật về phân bố bức xạ nhiệt 1.2 Kiểm chứng sự phù hợp của công thức Wien về phân bố bức xạ với định luật Stefan-Boltzmann 1.3 Công thức của định luật Wien và định luật Rayleight-Jeans có thay đổi trong các hệ đơn vị khác hay không? 1.4 Hãy trình bày lý thuyết dẫn đến định luật Rayleight-Jeans 1.5 Kiểm chứng sự phù hợp của công thức phân bố bức xạ của Planck với định luật Boltzmann-Stefan 1.6 Tại sao phải đến khi Compton làm thí nghiệm tán xạ tia X trên electron thì lý thuyết hạt ánh sáng mới được công nhận 1.7 Hãy nêu các hạn chế của mô hình Bohr 1.8 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Balmer để thấy chúng nằm trong vùng khả kiến 1.9 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Lyman để thấy chúng nằm trong miền tử ngoại 1.10 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Paschen để thấy chúng nằm trong miền hồng ngoại 22
2. LƯỠNG TÍNH SÓNG – HẠT Bài này sẽ bàn về lưỡng tính sóng – hạt của vật chất. Trước tiên, các sự kiện dẫn đến ý tưởng về lưỡng tính sóng – hạt của hạt vi mô được đề cập như một quá trình tiến triển nhận thức về thế giới vật lý. Sau đó, giả thuyết của Louis de Broglie cùng các công thức liên hệ tính chất sóng với tính chất hạt được đưa ra. Cuối cùng là thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của hạt electron và ý nghĩa lịch sử của giả thuyết lưỡng tính sóng – hạt được trình bày. 2.1. Giả thuyết de Broglie 2.1.1. Lịch sử phát triển ý tưởng Hiểu biết của nhân loại về cấu tạo vật chất được phát triển biện chứng theo thời gian. Trải qua quá trình đấu tranh lâu dài của các nhà khoa học như Huyghens, Euler, Young, Fresnel, Maxwell với lý thuyết hạt của Newton, lý thuyết sóng ánh sáng được công nhận. Nhưng đến năm 1905, Einstein đã lật lại vấn đề, đưa ra tính hạt của ánh sáng trong lý thuyết lượng tử ánh sáng khi giải thích hiệu ứng quang điện. Sau đó, trong một khoảng thời gian dài gần hai thập niên, nhiều thí nghiệm vật lý khác thay nhau khẳng định khi thì tính hạt, khi thì tính sóng của tia X. Tuy nhiên, các thí nghiệm thời đó đã không đủ thuyết phục trong việc khẳng định ánh sáng là sóng hay hạt. Phải đến năm 1923, khi Arthur Compton tiến hành thí nghiệm tán xạ tia X lên graphite và giải thích thành công kết quả thực nghiệm bằng giả thuyết lượng tử ánh sáng thì lý thuyết của Einstein mới được công nhận rộng rãi. Từ đó ánh sáng được cho là một hạt vật chất có năng lượng, có xung lượng và mang tính chất sóng; nó được đặt tên là photon vào năm 1926. Như vậy, ý tưởng về lưỡng tính sóng – hạt bắt nguồn từ ý tưởng về hạt photon. Tiếp sau đó, từ các nghiên cứu của Sommerfeld về lượng tử hóa quỹ đạo, de Broglie đã nhận thấy có sự liên hệ giữa tính gián đoạn của quỹ đạo với hiện tượng giao thoa và tạo sóng dừng. Chính những thành tựu đó gợi ý cho Louis de Broglie mở rộng lưỡng tính sóng – hạt sang cho các hạt có khối lượng như electron, proton và phát biểu giả thuyết về tính sóng cho hạt vi mô bất kỳ vào năm 1924. 23
2.1.2. Lưỡng tính sóng – hạt Theo Louis de Broglie, các hạt vật chất đều có tính chất sóng, chuyển động của mỗi vi hạt đều liên kết với một sóng tương ứng gọi là sóng vật chất. Một hạt có năng lượng E và xung lượng p chuyển động tự do sẽ liên kết với một sóng phẳng, đơn sắc r,t Aexp i  t k.r 2.1  trong đó A là biên độ sóng. Các đại lượng đặc trưng cho tính sóng bao gồm tần số góc ω và vector sóng k liên hệ với tính chất hạt bởi hệ thức Planck 2.2 E  và hệ thức de Broglie pk 2.3 trong đó h / 2 là hằng số Planck rút gọn. Sử dụng các hệ thức (2.2) và (2.3), hàm sóng trên được viết thành i  r,t Aexp  Et pr 2.4  và được gọi là sóng phẳng de Broglie. Ta có thể xác định được công thức tính bước sóng de Broglie cho một hạt tự do khối lượng m và xung lượng p bằng cách sử dụng công thức λ = 2π/k: 22  2.5 p 2mE trong đó k = | k |, pp . Chẳng hạn, từ công thức trên ta có thể tính được bước sóng de 10 Broglie cho một electron có động năng 1 eV là 12 10 m. Bước sóng này của electron có kích thước cỡ nguyên tử, phân tử cho nên khi chuyển động trong thế giới vi 10 mô (khoảng cách 10 m ), electron mang tính chất sóng. Công thức (2.5) chỉ đúng trong trường hợp năng lượng electron không cao khi mà mối liên hệ giữa năng lượng 24
và xung lượng là E = p2/2m. Trong các nguyên tử nặng với Z > 40, ta cần sử dụng công thức E2 = m2c4 + p2c2 cho liên hệ giữa năng lượng và xung lượng, khi đó 2c  2.6 E2 m 2 c 2 Vấn đề đặt ra là nếu nói hạt là sóng thì phát sinh một cách tự nhiên câu hỏi về ý nghĩa vật lý của sóng này. Ta đã biết, sóng là sự lan truyền trong không gian theo thời gian của một dao động vật lý nào đó. Ví dụ, sóng biển là sự lan truyền của các dao động quanh vị trí cân bằng của mực nước biển; sóng âm là sự lan truyền của các hạt vật chất quanh vị trí cân bằng, tạo nên sự lan truyền dao động của áp suất; sóng điện từ là sự lan truyền sự dao động của trường điện từ. Vậy sóng de Broglie là sự lan truyền của dao động vật lý nào ? Nhà vật lý người Đức, Max Born là người đưa ra câu trả lời đúng đắn vào năm 1926. Theo ông, sóng ở đây mang ý nghĩa thống kê, bình phương module hàm sóng chính là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí r bất kỳ vào thời điểm t. Như vậy, sóng là một tính chất nội tại của hạt, được đặc trưng bởi biên độ sóng và pha dao động. Ở đây, biên độ có ý nghĩa vật lý là bình phương module của nó là mật độ xác suất tìm thấy hạt. Pha của hàm sóng cũng có ý nghĩa vật lý quan trọng, thể hiện qua các hiện tượng có thể quan sát được trong thực nghiệm, ví dụ như hiệu ứng Aharonov-Bohm (sẽ xem xét chi tiết hơn trong các bài giảng chuyên đề vật lý hoặc tiểu luận, hoặc khóa luận tốt nghiệp). 2.1.3 Ý nghĩa lịch sử của giả thuyết de Broglie Giả thuyết của de Broglie là giả thuyết đầu tiên và tổng quát về tính chất sóng của vật chất. Đây là một trong những phát kiến vĩ đại nhất của con người về tính chất cơ bản của vật chất trong thế giới vi mô, làm nền tảng cho việc xây dựng cơ học lượng tử, phát kiến này đã mang về cho de Broglie giải Nobel vật lý năm 1929. Sau de Broglie, để mô tả động lực học thế giới vi mô, người ta xây dựng một hàm sóng  x, t thay vì đi tìm quỹ đạo xt như trong cơ học Newton của thế giới vĩ mô. Đây là sự thay đổi cơ bản trong việc mô tả trạng thái vật chất. Nó liên quan đến sự thay đổi trong nhận thức của con người về mức độ xác định của chuyển động. 25
2.2. Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của electron 2.2.1. Các mốc lịch sử Nhà khoa học đầu tiên đưa ra ý tưởng kiểm chứng tính chất sóng của hạt qua các thí nghiệm về nhiễu xạ chùm electron trên cấu trúc tuần hoàn mạng tinh thể là Walter Elsasser vào những năm 1920. Các thí nghiệm tương tự cũng được tiến hành bởi các nhà khoa học khác như E.G.Dymond và Patrick Blackett, James Chadwick và Charles Ellis. Tuy nhiên tất cả các thí nghiệm đó đều không thành công do vấn đề kỹ thuật tại thời điểm đó, cụ thể là thời đó chưa thể tạo ra môi trường chân không cao và chưa có các máy đếm hạt đủ nhạy. Từ năm 1921, Clinton Davisson thực hiện các nghiên cứu về tán xạ chùm electron lên tinh thể để khảo sát cấu trúc tinh thể bằng cách đo số lượng electron tán xạ theo góc. Năm 1923, ông cùng với học trò là Charles Kunsman đã công bố kết quả về sự phụ thuộc của số lượng electron tán xạ theo góc tán xạ trên tạp chí Science. Tuy nhiên, Davisson vẫn chưa thể giải quyết bài toán tìm cấu trúc tinh thể qua các thí nghiệm này. Năm 1926, ông đi du lịch sang Anh và tình cờ tham gia một hội thảo khoa học, trong đó có Max Born. Tại đây, ông được biết kết quả công bố năm 1923 của mình đã được Max Born sử dụng như một minh chứng cho giả thuyết de Broglie về tính sóng của electron. Đây cũng là lần đầu tiên ông được biết đến các thành tựu về lý thuyết lượng tử vừa mới được xây dựng trong những năm từ 1923 đến 1926 bởi Erwin Schrodinger, Albert Einstein, Louis de Broglie, Werner Heisenberg, Max Born. Sau cuộc gặp này, Davisson cùng với Germer làm lại thí nghiệm và giải thích trên quan điểm sóng electron, liên hệ được bức tranh nhiễu xạ qua công thức Bragg. Kết quả này được công bố trên tạp chí Nature năm 1927. Độc lập với Davisson, George Thomson đã làm thí nghiệm về nhiễu xạ chùm electron xuyên qua lá kim loại mỏng, công bố trên tạp chí Nature cùng năm 1927. Điều khá thú vị là George Thomson chính là con của Joseph Thomson, người tìm ra electron. Thomson và Davisson chia nhau giải Nobel Vật lý năm 1937. 2.2.2. Thí nghiệm Davisson – Germer Hình 2.1 là sơ đồ thí nghiệm của Davisson và Germer để kiểm tra tính chất sóng của electron, có thể mô tả ngắn gọn các dụng cụ chính trong thí nghiệm như sau: 26
+ Súng electron: chùm electron tạo ra do đốt nóng cathode được gia tốc bởi hiệu điện thế V0 và ra khỏi súng với động năng eV0. Một biến trở để thay đổi hiệu điện thế gia tốc V0 để cho phép điều chỉnh động năng electron ở đầu ra theo giá trị định trước. + Bia tinh thể nickel: tấm kim loại nickel được xử lý bề mặt và đặt sao cho chùm electron hướng thẳng vào bề mặt theo góc 900. Chùm electron sẽ tán xạ theo các hướng với góc tán xạ khác nhau. + Máy thu: máy đếm hạt có thể di chuyển trên vòng cung sao cho có thể ghi nhận số hạt electron cho các góc tán xạ khác nhau. Máy đếm hạt này có độ nhạy rất cao để có thể vẫn đếm tốt khi số hạt rất ít. + Buồng chân không: tất cả hệ thống được đặt trong buồng có độ chân không cao để thí nghiệm không bị nhiễu bởi các phân tử trong không khí. Hình 2.1: Sơ đồ thí nghiệm Davisson – Germer 2.2.3. Kết quả thí nghiệm và giải thích bằng sóng electron Hình 2.2 cho kết quả thí nghiệm Davisson-Germer ứng với động năng electron là 54eV. Đồ thị được vẽ trong hệ tọa độ cực, theo đó ứng với mỗi góc tán xạ θ, cường độ dòng electron I(θ), tỉ lệ với số electron N(θ), được biểu diễn bởi khoảng cách từ điểm đang xét trên đồ thị đến tâm O. Trên đồ thị, ta thấy cường độ dòng electron tán xạ cực đại tại góc θ = 0, sau đó cực tiểu gần góc θ = 350, rồi lại cực đại tại góc θ = 500. 27
Hình 2.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của dòng electron vào góc tán xạ trong tọa độ cực Cực đại ở góc 00 có thể được giải thích bằng cả lý thuyết hạt electron và lý thuyết sóng electron. Tuy nhiên, cực tiểu tại 350 và cực đại tại 500 chỉ có thể hiểu là do hiện tượng giao thoa sóng electron. Bằng cách điều chỉnh V0, Davisson thu được năng lượng khác nhau của electron và thu được các góc cực đại phù hợp với công thức Bragg. Như vậy, thí nghiệm Davisson – Germer kiểm chứng được tính chất sóng của electron theo như tiên đoán của de Broglie. Câu hỏi và bài tập 2.1 Dựa vào cơ sở nào để xác định ranh giới giữa thế giới vi mô và vĩ mô là 10-10m 2.2 Tại sao không thể xác định tính chất sóng của một hạt cát có kích thước cỡ 0.01 mm và khối lượng 0.05 g 2.3 Hãy kể vài thí nghiệm tán xạ trên tinh thể được thực hiện bằng các nguyên tử, phân tử khác. Trình bày chi tiết một trong số đó 28
3. HÀM SÓNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER Từ công trình của de Broglie cùng với kiểm chứng thực nghiệm của Davisson – Germer, sau đó là Thompson, ta thấy rằng động lực học của hạt được mô tả không phải bằng quỹ đạo (tọa độ, vận tốc) mà bằng một hàm sóng, bình phương module của nó mang ý nghĩa mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian tại một thời điểm bất kỳ. Vì vậy, cần phải tìm phương trình động lực học để xác định hàm sóng cho hạt vi mô bất kỳ. Trong thế giới vi mô, phương trình này sẽ đóng vai trò tương tự như phương trình Newton trong thế giới vĩ mô. Vào năm 1926, Erwin Shrӧdinger đã xây dựng phương trình sóng mà sau này được gọi theo tên ông, lý thuyết của Schrӧdinger phát triển mạnh mẽ và trở thành lý thuyết lượng tử hiện đại. 3.1. Khái niệm hàm sóng Trong thế giới vi mô, các hiện tượng vật lý chỉ có thể được giải thích bằng cách đưa vào tính chất sóng cho hạt vi mô. Giả thuyết lưỡng tính sóng – hạt de Broglie cùng với việc đưa ra ý nghĩa thống kê cho hàm sóng sau đó bao gồm hai kết luận: (i) Các hạt vi mô đều có tính chất sóng (ii) Hàm sóng của hạt vi mô tự do là hàm sóng phẳng, đơn sắc với tần số góc và vector số sóng của sóng phẳng này liên hệ lần lượt với năng lượng và xung lượng của hạt Như vậy, để mô tả trạng thái chuyển động của hạt vi mô, khái niệm quỹ đạo không còn thích hợp mà thay vào đó là hàm sóng  x, t . Max Born đã đưa ra ý nghĩa vật lý của hàm sóng: bình phương module hàm sóng là mật độ xác suất tìm thấy hạt. Giả sử trạng thái của hạt vi mô ở thời điểm ban đầu t = 0 được mô tả bởi hàm sóng  x,0 . Để tìm trạng thái của hạt ở thời điểm t, tức là tìm hàm sóng  x, t , ta cần biết quy luật biến đổi trạng thái của hạt, nghĩa là cần xây dựng một phương trình động lực học tương tự như phương trình định luật II Newton. Năm 1926, Erwin Schrӧdinger đã đưa ra phương trình mô tả sự biến đổi trạng thái theo thời gian của hệ lượng tử gần như là đồng thời với cơ học ma trận của Werner Heisenberg. Câu hỏi rất tự nhiên là phương trình Schrӧdinger đã được xây dựng dựa trên cơ sở nào. Trả lời câu hỏi này, Richard Feynman cho rằng nó không thể bắt nguồn từ những gì đã biết trước đó mà chỉ đơn thuần xuất phát trong đầu của Schrӧdinger như một ý tưởng thiên tài. Chúng ta sẽ lặp lại các lập luận của Schrӧdinger khi xây dựng phương trình sóng. 29
3.2. Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian 3.2.1. Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do Đối với hạt tự do có khối lượng m và xung lượng p, ta đã biết hàm sóng chính là sóng phẳng, đơn sắc được đưa ra bởi de Broglie 1  x, t exp i  t kx  3.1 2 và được chuẩn hóa theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng, trong đó năng lượng và xung lượng được liên hệ với tần số và số sóng lần lượt theo hệ thức Planck và hệ thức de Broglie E  , p k 3.2 Như vậy, có thể nói lý thuyết của de Broglie với hạt tự do đóng vai trò trong thế giới vi mô như là định luật I Newton trong thế giới vĩ mô. Ta cần tìm phương trình chuyển động cho hạt tự do, là một phương trình vi phân mà nghiệm của nó là hàm sóng de Broglie. Lần lượt lấy đạo hàm riêng của hàm sóng de Broglie (3.1) theo tọa độ và thời gian:  x, t i  x, t 3.3 t  x, t ik x, t 3.4 x 2 x, t k2  x, t 3.5 x2 Ta đang xét cho hạt tự do phi tương đối tính nên sử dụng hệ thức năng lượng E p2 / 2m và hệ thức (3.2),thu được hệ thức tán sắc: 22k  3.6 2m Ta viết lại (3.3) và (3.5) dưới dạng như sau: 30
2 2 2k 2 2  x, t  x, t 2m x 2m  i x, t  x, t t Kết hợp hai phương trình này, cùng với sử dụng hệ thức (3.6), dẫn đến phương trình 22 i x, t  x, t 3.7 t 2m x2 Đây là phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do trong không gian một chiều. Đối với hạt tự do chuyển động trong không gian ba chiều, hàm sóng de Broglie có dạng 1 r, t exp i  t kr 3.8 3/2  2 Khảo sát tương tự như trường hợp một chiều, ta thu được phương trình sau 2  2  2  2 i r, t 2 2 2  r, t 3.9 t 2m  x  y  z với nghiệm của nó là hàm sóng de Broglie (3.8). Bây giờ, chúng ta xét ý nghĩa của từng thành phần trong (3.9). Định nghĩa toán tử  piˆ 3.10 x x và cho nó tác dụng vào (3.8) với chú ý pkxx , ta thu được pˆ xx r,t p  r,t 3.11 Như vậy, hàm sóng (3.8) là hàm riêng của toán tử pˆ x với nghiệm riêng là giá trị xung lượng theo trục Ox. Ta gọi pˆ x là toán tử xung lượng theo trục Ox. Tương tự, ta có pˆˆyz i  /  y;p i  /  z lần lượt là toán tử xung lượng theo trục Oy và Oz. Vế phải phương trình (3.9) trở thành: 31
2  2  2  2 11 ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 2 2 2 px p y p z p 3.12 2m  x  y  z 2m 2m Hệ thức (3.12) được xem là toán tử động năng. Toán tử ở vế trái phương trình (3.9) là i / t có hàm riêng là hàm sóng de Broglie (3.8) ứng với trị riêng là  , chính là năng lượng của hạt. Do đó, có thể xem toán tử này là toán tử năng lượng. 3.2.2. Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mô bất kỳ Xét chuyển động của hạt trong trường thế vô hướng V x, y,z,t . Ta xây dựng phương trình Schrӧdinger để xác định hàm sóng  x, y,z,t của hạt. Với hạt không tự do thì năng lượng bằng tổng động năng và thế năng. Do đó, phương trình Schrӧdinger phụ thuộc vào thời gian cho một hạt không tự do như sau  2  2  2  2 i x, y,z, t  2 2 2 V x, y,z, t  x, y,z, t 3.13 t  2m  x  y  z Viết lại phương trình này dưới dạng  i r,t Hr,tˆ  r,t 3.14 t trong đó Hˆ r, t là toán tử Hamilton hay còn gọi là Hamiltonian 2 1 Hˆ V r, t pˆ 2 V r, t 3.15 2m 2m ở đây, ta đã sử dụng ký hiệu toán tử Laplace 2  2  2 x2  y 2  z 2 toán tử xung lượng    pipjpkpˆ ˆx ˆ y ˆ z ii j k i  3.16 x  y  z 32
toán tử nabla     i j k x  y  z Như vậy, ta đã xây dựng được phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian cho hạt vi mô chuyển động trong trường thế năng vô hướng. 3.3. Phương trình Schrӧdinger dừng Ta xét quá trình dừng, đó là quá trình mà toán tử thế năng không phụ thuộc tường minh vào thời gian: Vr . Đây là trường hợp đặc biệt nhưng lại chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được thực nghiệm nghiên cứu. Ta viết hàm sóng trong phương trình (3.13) dưới dạng phân ly biến số  r,t  r  t 3.18 Với (3.18) thì phương trình (3.14) có thể biến đổi ở dạng 11 2  V r  r i  t 3.19  r 2m  t  t Ta thấy vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ, còn vế phải phụ thuộc thời gian, điều này chỉ xảy ra khi hai vế đều bằng hằng số, không phụ thuộc vào thời gian lẫn tọa độ. Vì cả hai vế của (3.19) đều có thứ nguyên năng lượng nên ta ký hiệu bằng hằng số E, mang ý nghĩa năng lượng của hệ. Từ đây ta thu được 2 V r  r E  r 3.20 2m  i t E  t 3.21 t Phương trình (3.20) là phương trình Schrӧdinger dừng. Còn phương trình (3.21) có dạng nghiệm chính xác như sau iEt  t Cexp 3.22 33
Hằng số c có thể gộp vào hàm tọa độ  r nên hàm sóng có dạng như sau iEt  r, t  r exp 3.23 là nghiệm của phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian. Hàm sóng này phải thỏa mãn các tính chất hữu hạn, đơn trị, liên tục và đối xứng. 3.4. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Max Born là người đầu tiên đưa ra ý nghĩa thống kê cho hàm sóng. Theo ông thì bình phương module hàm sóng chính là mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian 2 r,t  r,t * r,t  r,t 3.24 Ngoài ra thì tính chuẩn hóa của hàm sóng đòi hỏi nó thỏa mãn đẳng thức sau 2 dr r,t 1 3.25 Ý nghĩa của (3.25) là xác suất tìm thấy hạt trong toàn miền không gian phải bằng một. Từ ý nghĩa thống kê của hàm sóng, cùng với khái niệm mật độ xác suất r, t , ta đưa ra khái niệm mật độ dòng xác suất j r, t thỏa mãn phương trình liên tục sau đây  r, t j r, t 0 3.26 t Kết hợp (3.26) và (3.14), ta rút ra hệ thức cho mật độ dòng xác suất trong cơ học lượng tử i j r, t    3.27 2m Các tính toán về sau cho các bài toán cụ thể sẽ kiểm chứng được ý nghĩa thống kê của vector mật độ dòng xác suất. Câu hỏi và bài tập 3.1 Hãy xây dựng Hamiltonian cho các hệ sau 34
(a) Hạt chuyển động trong điện trường đều (b) Hạt chuyển động trong trường Coulomb (nguyên tử Hydro) (c) Hạt chuyển động trong điện từ trường ( A, ) 3.2 Chứng minh 2 .  35
4. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI Bản chất sóng của hạt đã dẫn đến một loạt các hiệu ứng chỉ xảy ra trong thế giới vi mô. Chẳng hạn như chồng chất trạng thái là một hiệu ứng lượng tử rất đặc biệt, khi một trạng thái có được từ sự chồng chất của các trạng thái xác định khác. Do tất cả các quy luật động lực học phi tương đối tính của thế giới vi mô đều bắt nguồn từ phương trình Schrӧdinger cho nên nguyên lý chồng chất trạng thái cũng phải được giải thích dựa vào phương trình động lực học lượng tử này. Ý nghĩa của hàm sóng chồng chất cũng được giải thích dưới góc độ thống kê. 4.1. Giao thoa electron Clinton Davisson và George Thomson đã kiểm tra tính sóng của electron bằng thí nghiệm về nhiễu xạ. Sau đó, nhiều nhà khoa học khác cũng đã kiểm chứng tính sóng của electron bằng thí nghiệm giao thoa chùm electron qua hai khe, tương tự như thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe. Trước tiên ta nhắc lại các điểm cơ bản của thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe. Sơ đồ thí nghiệm như trong Hình 4.1. Xét một điểm trên màn hứng sáng thì cường độ ánh sáng tại đó chính là tổng hợp cường độ của hai tia sáng đến từ hai khe khác nhau u  a cos  t kd12 a cos  t kd 2a cos  t kd cos k d / 2 Đây là kết quả của sự chồng chất sóng trong vật lý cổ điển. Hình 4.1: Thí nghiệm giao thoa ánh sáng qua hai khe Young Bây giờ ta lặp lại thí nghiệm trên nhưng thay nguồn phát ánh sáng bằng nguồn phát chùm electron. Để có thể đếm được số electron đến màn, ta thay màn hứng ánh sáng bằng màn huỳnh quang. Độ sáng của màn huỳnh quang sẽ tỉ lệ với mật độ 36
electron tại điểm sáng. Trong thí nghiệm này, đầu tiên cả hai khe đều mở, Hình 4.2 thể hiện kết quả theo hai kịch bản. Kịch bản A là theo dự đoán dựa vào quan điểm vật lý cổ điển, trong khi kịch bản B là kết quả thực, thu được từ thực nghiệm. Trong kịch bản A thì phân bố electron rơi trên màn từ mỗi khe sẽ có dạng Gauss, và tổng phân bố electron trên màn từ hai khe sẽ là tổng của hai phân bố trên, có dạng như trên hình vẽ. Kịch bản B là những gì xảy ra trong thí nghiệm của Claus Jonsson: trên hình là bức tranh giao thoa electron giống như hình ảnh trong thí nghiệm Young cho giao thoa ánh sáng. Bức tranh giao thoa này chỉ có thể giải thích cho tính sóng của electron. (A) (B) Hình 4.2: Thí nghiệm giao thoa hai khe với electron với hai kết quả khác nhau (A) từ quan điểm cổ điển; (B) từ thí nghiệm của Claus Jonsson Vấn đề đặt ra là làm thế nào mà các electron có thể giao thoa được với nhau ? Bây giờ, hãy phân tích thí nghiệm trong trường hợp hai khe đều mở theo lập luận thông thường. Hàm sóng của một Hàm Hàm sóng electron chỉ có thể hoặc là 1 x (cho các điện tử đi qua khe 1) hoặc là 2 x (cho các điện tử đi qua khe 2), do đó ta có thể chia các electron đến một điểm trên màn hình thành hai nhóm độc lập đi qua hai khe khác nhau. Do thí nghiệm với từng electron rơi đơn lẻ trên màn nên các electron này không tương tác với nhau và 37
việc chia hai nhóm electron là hoàn toàn hợp lý. Khi đó, mật độ electron rơi trên màn phải là xxx 12 (4.1) Tuy nhiên, điều này đã không xảy ra. Trong thí nghiệm với hai khe cùng mở, mật độ electron trên màn hình có giá trị cực đại, cực tiểu xen kẽ trong một bức tranh giao thoa như ta đã biết theo kịch bản B, vì vậy hệ thức (4.1) rõ ràng là không đúng. Vậy lập luận ở trên của chúng ta sai ở đâu? Điểm sai chính là ta cho rằng có thể phân biệt rạch ròi electron qua khe 1 và electron qua khe 2. Kết quả thực nghiệm trên buộc ta phải thay đổi quan điểm và hiểu rằng một electron khi bay ra khỏi nguồn phát nó có thể đi qua khe 1 hay khe 2 để rơi trên màn. Chúng ta không thể nào biết được trước khi rơi trên màn electron đã đi qua khe nào. Vì vậy, hàm sóng của electron có thể là tổng hợp của hai hàm sóng  xxx 12  (4.2) Và mật độ electron tại một điểm trên màn 2 xx  22    1 2 1 2 2 1 (4.3) 1 2 2 1 2 cos  1  2 trong đó 12, lần lượt là pha của các hàm sóng 12, . Công thức (4.3) giải thích được bức tranh giao thoa electron. Ta kết luận rằng công thức (4.3) hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm về hiện tượng giao thoa electron trong thí nghiệm bắn chùm electron qua hai khe. Đây không phải là giao thoa giữa hai chùm electron mà là giao thoa giữa hai hàm sóng của cùng một electron. 4.2. Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô Nếu hạt có thể ở trạng thái tương ứng với hàm sóng 1 x, t và có thể ở trạng thái 2 x,t thì hạt có thể ở trạng thái  x, t , với  x, t là tổ hợp tuyến tính của 1 x, t và 2 x,t 38
 x c1  1 x c 2  2 x (4.4) c12 ,c là những hằng số 2 2 Ý nghĩa vật lý của được xác định như sau: các đại lượng wc11 và wc22 lần lượt là xác suất đo được electron đi qua khe 1 hay khe 2. Do vậy, ta có 22 c12 c 1 Mở rộng: n  x, t  cjj  x, t (4.5) j1 2 Xác suất để tìm thấy hệ trong trạng thái  j x, t là c j . Do vậy, ta có hệ thức n 2  c1j j0 4.3. So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển Trong vật lý cổ điển, nguyên lý chồng chất được áp dụng khi cộng các đại lượng vật lý cụ thể. Ví dụ, ta có điện tích 1 tạo ra một điện trường E1 , điện tích 2 tạo ra điện trường E2 thì khi cả hai điện tích cùng tồn tại, điện trường tổng hợp sẽ là chồng chất hai điện trường riêng lẻ: EEE 12. Tương tự như vậy, chồng chất của hai sóng tới một điểm chính là tổng của hai sóng. Tuy nhiên, sự chồng chất trong thế giới vi mô là chồng chất trạng thái chứ không phải chồng chất đại lượng vật lý. Ví dụ, trạng thái 1 ứng với hạt có năng lượng E1, trạng thái 2 ứng với hạt có năng lượng E2 thì khi ở trạng thái chồng chất của hai trạng thái 1 và 2, năng lượng của hạt không phải là E1 + E2 mà khi đo sẽ có giá trị E1 hoặc E2. Tương tự như vậy đối với mật độ hạt. Như vậy, sự chồng chất các đại lượng vật lý của hệ vi mô không tuân theo quy luật chồng chất như trong cổ điển mà hoàn toàn theo quy luật thống kê. 39
Câu hỏi và bài tập n 4.1 Chứng minh hàm sóng chồng chất dạng tổng quát  x,t  cjj x,t là nghiệm j 1 của phương trình Schrӧdinger 22d 4.2 Chứng minh rằng Hamiltonian Hˆ V x,t là toán tử tuyến tính 2m dx2 40
5. CÁC CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU Bài này sẽ trình bày lời giải chính xác của phương trình Schrӧdinger cho một số bài toán chuyển động một chiều, bao gồm: chuyển động trong hố thế vuông góc thành cao vô hạn, chuyển động qua rào thế dạng bậc thang, và dao động tử điều hòa. Đây là các dạng chuyển động vi mô một chiều đơn giản nhưng lại rất quan trọng. Qua lời giải chính xác về hàm sóng và năng lượng, ta sẽ có cái nhìn tổng quát về bản chất của chuyển động trong thế giới vi mô, từ đó các hiệu ứng lượng tử khác biệt với cổ điển sẽ được thảo luận và phân tích. 5.1. Hạt chuyển động trong hố thế 5.1.1. Hố thế vuông góc thành cao vô hạn Cho một hạt khối lượng m chuyển động trong trường thế năng có dạng hố thế vuông góc, thành cao vô hạn, bề rộng hố thế là L = 2a. Ta có thể chọn hố thế như Hình 5.1, thế năng của hạt được viết như sau 0, a x a Vx (5.1) , x a Hình 5.1: Đường thế năng dạng hố thế vuông góc thành cao vô hạn Vì thế năng không phụ thuộc thời gian nên hạt chuyển động dừng với năng lượng xác định E và hàm sóng có dạng  x exp iEt / , trong đó  x là nghiệm của phương trình Schrӧdinger dừng 22d  2 V x  x E  x (5.2) 2m dx 41
Viết lại (5.2) như sau 2m '' x V x E  x 0 2 (5.3) Vì giá trị thế năng ở bên ngoài giếng bằng vô cùng nên phương trình (5.3) có nghiệm  x0 khi x > a hoặc x < -a. Điều này có ý nghĩa vật lý phù hợp với bức tranh cổ điển. Bên trong hố thế, phương trình viết lại thành '' x k2  x 0 (5.4) Với hệ số thực dương k 2mE / Phương trình (5.4) có nghiệm tổng quát như sau E x Acoskx Bsin kx (5.5) trong đó hai hằng số A và B chưa được xác định. Nghiệm (5.5) phải thỏa mãn các điều kiện liên tục, đơn trị và hữu hạn. Ta có điều kiện biên  a 0,  a 0 (5.6) Điều kiện biên (5.6) dẫn tới việc hàm sóng cần thỏa mãn đồng thời hai phương trình Acos ka Bsin ka 0 (5.7) Acos ka Bsin ka 0 điều này sẽ xảy ra khi và chỉ khi Acoska 0, Bsin ka 0 (5.8) Từ đây ta có hai họ nghiệm, trong đó họ nghiệm chẵn là 1  x coskx, coska 0 (5.9) E a và họ nghiệm lẻ là 1  x sin kx, sin ka 0 (5.10) E a 42
ở đây, (5.9) và (5.10) là các hàm sóng chuẩn hóa, nghĩa là 2 1  x dx 1 A a Các giá trị năng lượng mà hạt có thể có được tính từ điều kiện ràng buộc như sau. Với các nghiệm chẵn thì n coska 0 k , n 1,3,5, 2a suy ra năng lượng 2 2 2 E k22 n (5.11) n 2m 8ma2 tương ứng với hàm sóng 1n n x cos x ,n 1,3,5, (5.12) a 2a Tương tự, đối với dạng hàm lẻ n sin ka 0 k , n 2,4,6, 2a (5.13) 1n n x sin x , n 2,4,6, a 2a Kết hợp cả hai trường hợp chẵn và lẻ lại, số sóng và năng lượng của hạt có các giá trị gián đoạn n 22 k , E n2 , n 1,2,3, (5.14) 2an 8ma2 Mỗi giá trị năng lượng trong (5.14) được gọi là một mức năng lượng. Mỗi trạng thái của hạt được đặc trưng bởi một hàm sóng tương ứng với một mức năng lượng. Trạng thái có năng lượng thấp nhất gọi là trạng thái cơ bản, các trạng thái có năng lượng cao hơn, n >1, được gọi là trạng thái kích thích. Nhận xét: 43
Trên hình 5.2, các mức năng lượng của hạt trong hố thế được thể hiện, đồng thời mật độ xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ cũng được biểu diễn (a) (b) Hình 5.2: Hàm sóng và các mức năng lượng (a); mật độ xác suất tìm thấy hạt (b) -Trước tiên là sự gián đoạn của năng lượng, khi hạt vi mô chuyển động trong hố thế thì năng lượng không thể có giá trị tùy ý mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn. Điều này không xảy ra trong thế giới vĩ mô, ở đó hạt có thể có giá trị năng lượng liên tục. -Thứ hai là sự tồn tại một giá trị cận dưới cho năng lượng, năng lượng luôn lớn hơn không ngay cả khi thế năng bằng không, điều này cho thấy rằng động năng của hạt không thể bằng không. Đây chính là điểm khác biệt cơ bản so với cơ học cổ điển. 5.1.2. Hạt chuyển động qua rào thế dạng bậc thang Xét hạt chuyển động một chiều với hàm thế năng dạng bậc thang vuông góc, xem Hình 5.3. Đây là một dạng rào thế có bề rộng vô hạn, với hàm thế năng là hàm bậc thang như sau 0, x 0 Vx (5.15) V0 , x 0 44
Hình 5.3: Rào thế bậc thang có bề rộng vô hạn Để giải phương trình Schrӧdinger dừng ta chia không gian thành hai miền và viết phương trình cho từng miền. Trong miền I (x < 0), phương trình Schrӧdinger có dạng 2 '' x k1  x 0 (5.16) với k1 2mE / . Đây là phương trình vi phân có nghiệm chính xác ik11 x ik x I x Ae Be (5.17) Trong miền II ( x0 ), phương trình Schrӧdinger có dạng 2 '' x k2  x 0 (5.18) và có nghiệm ik22 x ik x II x Ce De (5.19) với k20 2m E V / . Ở đây, xét trường hợp EV 0 khi hạt có năng lượng cao hơn thế năng bậc thang. Hàm sóng thu được bao gồm hai sóng de Broglie ứng với động lượng của hạt tương ứng là k và k nên ta gọi là sóng tới và sóng phản xạ. Có bốn hệ số A, B, C, D cần xác định trong khi chỉ có ba phương trình: hai phương trình từ điều kiện liên tục tại biên và một phương trình chuẩn hóa hàm sóng. Do đó, ta có quyền chọn tùy ý một hệ số liên quan đến trạng thái vật lý của hệ. Trong trường hợp này, không còn điều kiện nào áp đặt lên năng lượng E cho nên nó có giá trị tùy ý trong miền liên tục. Việc chọn một hệ số tùy ý cho phép xét trường hợp chuyển động với D = 0, tức là trong miền II chỉ có sóng truyền qua Ceik2 x , trong khi miền I vừa có sóng tới Aeik1 x vừa có sóng phản xạ Be ik1 x . Ngoài ra hàm sóng có thể chuẩn hóa 45
không dựa trên ý nghĩa thống kê nếu ta chỉ quan tâm đến việc tính các hệ số truyền qua và hệ số phản xạ. Không làm mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa hàm sóng bằng cách chọn A = 1, khi đó nghiệm của phương trình Schrӧdinger trong miền I và II lần lượt là ik11 x ik x I x e Be (5.20) ik2 x  II x Ce (5.21) Các điều kiện biên cho hàm sóng I 0  II 0 ,  ' I 0  ' II 0 (5.22) Dẫn đến hệ phương trình xác định hệ số 2 C 1 B C 1 k21 / k (5.23) 1 B k / k C 1 k / k 21 B 21 1 k21 / k Với 2m E V0 V k / k 1 0 (5.24) 21 2mE E Nên khi năng lượng rất lớn so với thế bậc thang VE0 , giá trị k21 / k 1 dẫn đến hệ số B0 , trường hợp này xem như không có sóng phản xạ trong miền I. Trong trường hợp năng lượng của hạt chỉ cao hơn giá trị rào thế một ít thì B0 , hạt không vượt qua rào thế hoàn toàn mà vẫn có xác suất bị phản xạ trở lại. Đây chính là một điểm khác biệt nữa giữa cơ học vi mô và cơ học vĩ mô. Người ta định nghĩa hệ số phản xạ và truyền qua như sau jj R,T RT (5.25) jj00 Với j0, j R , j T lần lượt là mật độ dòng xác suất của sóng tới, sóng phản xạ và sóng truyền qua. Ta thu được kết quả 46
k22 k k j 1 , j B 1 , j C 2 0m R m T m (5.26) 22k RB,TC 2 k1 Cuối cùng thay các hệ số B, C ở (5.23) vào (5.26), thu được 2 1 k / k 4k / k R,T 2 1 2 1 (5.27) 1 k / k 2 21 1 k21 / k Từ (5.27) ta thấy T + R = 1 với mội giá trị của k1 và k2. Điều này chứng tỏ tồn tại định luật bảo toàn số hạt trung bình: tổng mật độ dòng phản xạ và mật độ dòng truyền qua bằng mật độ dòng tới. Bây giờ ta xét trường hợp hạt chuyển động với năng lượng của hạt nhỏ hơn chiều cao rào thế: EV 0 . Với miền I (x < 0), ta có phương trình Schrӧdinger như (5.16), tuy nhiên với miền II x0 , phương trình Schrӧdinger được viết thành '' x 2  x 0 (5.28) với  2m V0 E / . Ta chọn nghiệm trong miền II sao cho khi x thì hàm sóng triệt tiêu. Lúc này hàm sóng cho hai miền I và II là ik11 x ik x I x e Be (5.29) x  II x Ce (5.30) Các hệ số tính được từ điều kiện liên tục tại điểm x = 0 là 1  i / k 2 B,C 1 1 i  / k11 1 i  / k Từ đây, ta tính được các hệ số phản xạ và truyền qua 2 1  i / k R 1 1, T 0 (5.31) 1  i / k1 47
Như vậy, khi hạt huyển động với năng lượng nhỏ hơn chiều cao rào thế thì hạt sẽ bị phản xạ toàn phần. Tuy nhiên, do hệ số C khác không nên hạt dù bị phản xạ toàn phần vẫn có xác suất xuất hiện trong miền II, là miền cấm cổ điển. Vì xác suất tồn tại trong miền II này giảm rất nhanh theo x nên sau khi xuyên qua rào thế được một đoạn rất nhỏ nào đó thì hạt lại trở lại miền I, và như vậy hạt vẫn bị phản xạ toàn phần. 5.1.3. Dao động tử điều hòa Dao động tử điều hòa là một bài toán trọng tâm của cơ học lượng tử. Đây là bài toán chuyển động của hạt trong hố thế dạng parabol, do đó các tính chất của nghiệm bài toán này đều có thể đoán nhận được từ bài toán hạt chuyển động trong hố thế. Một hạt với khối lượng m chịu tác dụng của lực hồi phục sẽ dao động điều hòa với tần số góc  k / m . Khi đó hàm thế năng có dạng 1 V x  m22 x (5.32) 2 Ta xét chuyển động của hạt trong thế giới vi mô thì phương trình Schrӧdinger dừng cho dao động tử điều hòa có dạng 22 d122  2 m  x  x E  x (5.33) 2m dx 2 Hàm sóng của dao động tử sẽ có dạng  x,t  x exp iEt / , mô tả trạng thái có năng lượng E xác định. Để thuận lợi, ta viết (5.33) trong hệ đo lường không thứ nguyên. Đặt x  a,E  b, với , là hai thông số không thứ nguyên thay cho tọa độ và năng lượng tương ứng; trong khi a và b là hai hằng số có thứ nguyên lần lượt là độ dài và năng lượng. Phương trình Schrӧdinger viết thành 2 2 4 2 2 1 d 1 m a 2 ma b  2 2  2    0 2 d 2 Chọn a và b dạng a , b  (5.34) m 48
Ta thu được phương trình Schrӧdinger không thứ nguyên dạng 2 1 d 1 2  2     0 (5.35) 2 d 2 Về mặt hình thức phương trình (5.33) có thể viết trong hệ đo tự nhiên ( m1  ) 2 1 d 1 2  2 x  x E  x (5.36) 2 dx 2 với đơn vị độ dài là /m và đơn vị năng lượng là  . Phương trình (5.36) hoàn toàn tương đương với phương trình (5.35) sau khi đổi đơn vị đo như ở trên. Trong các phần sau sẽ sử dụng (5.36) trong việc tính toán. Năng lượng gián đoạn Xét (5.36) trong miền tiệm cận x , khi đó xE2 nên số hạng Ex có thể bỏ qua, phương trình trở thành dx2 x2  x 0 (5.37) dx2 Hàm sóng của hệ có dạng 1 x2  x f x e 2 (5.38) trong đó fx phải thỏa mãn điều kiện hữu hạn của hàm sóng. Thế (5.38) vào (5.36), ta thu được phương trình cho d2 f x df x 2x 2E 1 f x 0 (5.39) dx2 dx Phương trình này có thể giải chính xác với nghiệm có dạng chuỗi lũy thừa 2j fx a0 axax 1 2  ax j (5.40) j0 49
trong đó a j là các hệ số cần tìm Từ (5.39) và (5.40), ta thu được j  j1j2a j 2 2j12Eax j 0 (5.41) j0 Để đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của x thì 2a20 1 2E a 0, 6a 3 2E a 0, 31 (5.42) j1j2a j 2 2j12Ea j 0 Ta thu được hàm chẵn như sau 2 4 2 j feven x b 0 bx 1 bx 2  bx j (5.43) j0 Với 1 2E bb 102 5 2E bb 2112 (5.44) 4j 1 2E bb j 1 2j 1 2j 2 j ở đây ta đã sử dụng ký hiệu baj 2 j Tương tự, ta có hàm lẻ 3 5 2 j 1 fodd x cxcx 0 1 cx 2  cx j (5.45) j0 Với 50
3 2E cc 106 7 2E cc 2120 (5.46) 4j 3 2E cc j 1 2j 2 2j 3 j Bây giờ xét chuỗi lũy thừa (5.43) bằng cách tính tỉ số b 4j 1 2E 1 j1  j (5.47) bj 2j 1 2j 2 j Và so sánh với tỉ số tương tự của chuỗi 2 1 exx  2 j j0 j! Từ đây ta có x x2 feven x  e (5.48) Xét chuỗi (5.45), chứng minh tương tự thu được x x2 fodd x  xe (5.49) Như vậy, với bất kỳ nghiệm fx nào của phương trình (5.39), nghiệm chẵn (5.43) hay nghiệm lẻ (5.45) thì hàm sóng (5.38) cũng đều không hữu hạn tại vô cùng do biểu hiện tiệm cận. Do đó, trong hàm sóng vật lý, hàm số không thể tồn tại dưới dạng chuỗi vô hạn như (5.43) và (5.45). Điều này dẫn đến điều kiện giới hạn đối với giá trị năng lượng khả dĩ của dao động tử điều hòa. Hạt chỉ có thể tồn tại ở các trạng thái có năng lượng E có giá trị sao cho các chuỗi (5.43) và (5.45) bị ngắt thành đa thức. Từ (5.44), ta thấy b 0 E 2n 1/ 2 . Điều này kéo theo tất cả các hệ số nc 1 c bjc j n bằng không và hàm trở thành đa thức bậc chẵn 2nc, ký hiệu như sau H x b bx24 bx bx 2nc 2ncc 0 1 2 n 51
Hàm sóng 1 x2 x H x e2  x 0 2ncc 2n thỏa mãn điều kiện vật lý Tương tự với nghiệm lẻ, thu được H x c x c x35 c x c x2nc 1 2ncc 1 0 1 2 n 1 x2  x H x e 2 2ncc 1 2n 1 tuân theo điều kiện hữa hạn tại vô cùng Tổng hợp các kết quả trên, thu được năng lượng dao động tử điều hòa có các giá trị gián đoạn 1 En n  , n 0,1,2, (5.50) 2 Như vậy, điều kiện hữu hạn ràng buộc đối với hàm sóng đã dẫn đến sự gián đoạn năng lượng của hệ. Điều này phù hợp với các đặc điểm tổng quát của bài toán chuyển động một chiều khi hạt bị giam hãm trong miền không gian giới hạn. Ta thấy các mức năng lượng cách đều nhau khoảng E , do đó khi hạt chuyển từ trạng thái cao xuống trạng thái thấp, photon phát ra có năng lượng ENphoton . Photon phát ra hoặc hấp thụ vào chỉ theo số nguyên lần của lượng tử năng lượng . Đến đây ta có thể giải thích lý thuyết Planck rõ ràng hơn. Xem minh họa trên Hình 5.4. Hình 5.4: Mức năng lượng và hàm sóng của dao động tử điều hòa 52
Hàm sóng của dao động tử điều hòa Hàm sóng của dao động tử điều hòa có thể viết dưới dạng 1 x2 2  n x A n H n x e (5.51) Hxn là đa thức Hermite, có dạng nx 2 n 2 de H x 1 ex (5.52) n dxn Hệ số An được tính từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng x 2 *x  xdx1 A2 Hxedx1 2 x n n n n 2 H2 x e x dx 2 n n! n Từ đây suy ra 1 An (5.53) 2n n! 2 Hình 5.5 biểu diễn mật độ xác suất xx  cùng với đường biểu diễn mật độ xác suất cổ điển cl . Ta thấy rằng hiệu ứng lượng tử giảm dần theo chiều tăng bậc kích thích của trạng thái lượng tử và đượng mật độ xác suất lượng tử tiến dần đến đường cổ điển khi hạt vi mô chuyển động ở trạng thái kích thích cao. 53
Hình 5.5: Mật độ xác suất theo lý thuyết cổ điển và lượng tử cho trạng thái kích thích cao (n>>1) 5.2. Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger Phương pháp đại số có thể sử dụng để giải phương trình Schrӧdinger (5.36) cho dao động tử điều hòa. Phương pháp đại số ở đây dựa trên việc sử dụng các toán tử hủy, sinh lượng tử được định nghĩa như sau 1 d 1 d aˆˆ x , a x (5.54) 22 dx dx Các toán tử sinh, hủy thỏa mãn hệ thức giao hoán a,aˆˆ 1 (5.55) Vector trạng thái chân không 0 được định nghĩa như sau aˆ 0 0 (5.56) Dirac là người đưa ra cách kí hiệu  cho vector trạng thái, ông gọi nó là vector ket, xuất phát từ chữ bracket. Trong ngôn ngữ đại số, vector trạng thái chân không được chuẩn hóa bởi phương trình 0 0 1 (5.57) Phép nhân vô hướng hai vector ký hiệu là 54
 * x x dx (5.58) Ta quay lại dao động tử điều hòa với việc biểu diễn Hamiltonian trong (5.36) qua các toán tử sinh, hủy (5.54). Kết quả thu được 1 Hˆ aˆˆ a (5.59) 2 Không cần giải phương trình vi phân, ta sẽ chứng minh vector trạng thái chân không 0 là vector riêng của toán tử Hˆ . Ta có ˆ 11 H 0 aˆˆ a 0 0 (5.60) 22 cho thấy là trạng thái riêng của , ứng với trị riêng ½. Tiếp theo, ta xây dựng các vector riêng khác, chẳng hạn như a0ˆ , cũng làm tương tự như (5.60) ˆ 13 Haˆ 0 a ˆa ˆ a ˆ 0 a ˆ 0 22 Như vậy cũng là vector riêng của toán tử Hamiltonian và trị riêng ứng với vector này là E1 3/ 2 Ta ký hiệu 1 A1 aˆ 0 , với A1 là hệ số chuẩn hóa có thể tính từ điều kiện chuẩn hóa 11 1 A0aa02 ˆˆ 1 A 1 11 1 aˆ 0 Bằng cách tác dụng lên vector chân không nhiều lần với toán tử sinh aˆ , ta thu được vector 1 n n aˆ 0 (5.61) n! 55
ˆ và chứng minh nó là vector riêng của toán tử H ứng với trị riêng là En n 1/ 2 , số lượng tử n = 0, 1, 2, là các số nguyên không âm. Chú ý rằng vector trạng thái n đã được chuẩn hóa n n 1 với n là vector bra trong không gian đối ngẫu 1 n 0 aˆ n n! Chú ý là ở đây ta đã sử dụng hệ đơn vị tự nhiên, mỗi đơn vị năng lượng ứng với giá trị  . Như vậy, lời giải thu được bằng phương pháp đại số hoàn toàn phù hợp với kết quả thu được bằng phương pháp giải tích. Ngoài ra,sử dụng hệ thức giao hoán (5.55) và định nghĩa chân không (5.56), ta có thể chứng minh được các công thức sau đây aˆ n n n 1 aˆ n n 1 n 1 (5.62) aˆˆ a n n n Các công thức này sẽ thuận lợi trong việc tính toán đại số cũng như giải thích được tên gọi của các toán tử cũng như trạng thái. Câu hỏi và bài tập 5.1 Tại sao việc chọn hố thế vuông góc như Hình 5.1 không làm mất tính tổng quát của bài toán 5.2 Tìm hàm sóng của hạt chuyển động trong hố thế năng vuông góc có thành cao hữu hạn trong trường hợp năng lượng cao hơn hố thế 5.3 Nếu không giải phương trình Schrӧdinger thì ta có thể biết được năng lượng của hệ là gián đoạn hay liên tục hay không ? 5.4 Chứng minh rằng khi E << V0 thì T gần bằng không giống như trường hợp cơ học cổ điển 5.5 Viết tường minh đa thức Hermite từ dạng vi phân nx 2 n 2 de H x 1 ex n dxn 56
5.6 Tại sao hàm sóng của dao động tử điều hòa trong hệ đo tự nhiên có đơn vị tương ứng với a 12/ m / 14/ , trong đó a là đơn vị chiều dài trong hệ đo tự nhiên 57
6. HÀM SÓNG, TOÁN TỬ VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong bài này, hàm sóng sẽ được trình bày với việc xem xét các thông tin về đại lượng vật lý có thể có trong hàm sóng. Các khái niệm tổng quan về toán tử sẽ được trình bày, các tiên đề về toán tử đặc trưng cho đại lượng vật lý cũng được đưa ra. Tiếp theo là khái niệm đạo hàm theo thời gian trong cơ học lượng tử được đưa ra, dẫn đến phương trình chuyển động cho toán tử trong cơ học lượng tử. Cuối cùng, định luật bảo toàn trong thế giới vi mô được khảo sát với việc đưa ra các tính chất của toán tử để đại lượng vật lý được bảo toàn. 6.1. Hàm sóng Tiên đề về hàm sóng: Trạng thái của vi hạt ở thời điểm t được mô tả bởi hàm 2 sóng  r,t với đại lượng r,t  r,t là mật độ xác suất tìm thấy hạt Từ tiên đề này, ta có xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích vi phân dr dxdydz quanh tọa độ r tại thời điểm t là 2 dP r,t  r,t dr (6.1) Ta sẽ xem xét các thông tin vật lý chứa trong hàm sóng. Trước hết, hàm sóng chứa thông tin về xác suất tìm thấy hạt trong không gian, tại một thời điểm bất kỳ thì hạt có quyền tồn tại ở bất kỳ điểm nào trong không gian, chỉ với xác suất khác nhau. Tiếp theo, năng lượng cũng là một thông tin được chứa trong hàm sóng. Không mất tính tổng quát, xét trường hợp hạt chuyển động trong trường thế năng không phụ thuộc thời gian. Giả sử ta biết được hàm sóng của hạt tại một thời điểm nào đó  r . Khi đó, nếu hàm sóng của hạt là nghiệm riêng của Hamiltonian thì hạt có năng lượng E xác định, E là trị riêng ứng với hàm riêng đó. Hàm sóng tại thời điểm bất kỳ có dạng  r,t  r exp iE / . Như vậy, hàm sóng có được cho biết năng lượng của hạt. Tuy nhiên nếu hàm sóng tại một thời điểm xác định  r không phải là nghiệm riêng của Hamiltonian thì ta vẫn có thể có thông tin về năng lượng bằng cách phân tích hàm sóng theo bộ hàm riêng của Hamiltonian. Chẳng hạn, hàm sóng chuẩn hóa của hạt phân tích thành 58
 r c1  1 r c 2  2 r (6.2) Với 12, là các hàm riêng chuẩn hóa của Hamiltonian, lần lượt ứng với các trị riêng 2 E1, E2, xác suất để đo được năng lượng E1 là c1 , xác suất để đo được năng lượng E2 là 2 c2 . Ta không thể biết trước được giá trị đo được là E1 hay E2 mà chỉ biết được xác suất tương ứng là và . Sau nhiều lần đo, ta sẽ có giá trị trung bình của năng lượng 22 E c1 E 1 c 2 E 2 (6.3) Như vậy, biết được hàm sóng tại một thời điểm bất kỳ, ta có thể biết được xác suất đo được một giá trị năng lượng cụ thể của hạt và từ đó biết được giá trị trung bình của năng lượng. Xét trường hợp tổng quát hơn, hàm sóng của hạt tại một thời điểm xác định có thể khai triển thành N  r  cjj  r (6.4) j1 Bộ hàm sóng cơ sở của Hamiltonian thỏa mãn điều kiện trực giao và chuẩn hóa, nghĩa là * r  r dr  (6.5) j k jk Với ký hiệu delta Kronecker 0, j k  jk 1, j k Các hệ số cj (j = 1, 2, ,N) có thể tính được từ hàm sóng  r theo công thức c * r  r dr (6.6) jj 59
2 Hệ số khai triển trong (6.60) có ý nghĩa là bình phương module hệ số này c j là xác suất để hạt tồn tại ở trạng thái  j r tương ứng. 6.2. Toán tử 6.2.1. Khái niệm Toán tử là một phép toán mà khi tác dụng lên một hàm số ux nào đó sẽ biến hàm này thành một hàm số vx khác Auˆ x v x ở đây ta sử dụng dấu mũ để ký hiệu toán tử như thường dùng, tuy nhiên trong một số sách chuyên khảo thì toán tử được viết không có dấu mũ. Hamiltonian là một ví dụ về toán tử mà ta hay sử dụng 22d Hˆ V x 2m dx2 6.2.2. Các phép tính trên toán tử (1) Cộng toán tử Cˆ AB ˆ ˆˆ Cux ˆ Aux ˆ Bux (6.7) (2) Nhân toán tử Cˆ AB ˆˆˆ Cu ˆ x A ˆ Bu x (6.8) Các toán tử A,Bˆ ˆ giao hoán với nhau nếu ABˆˆˆˆ BA . Tuy nhiên, phần lớn các toán tử không giao hoán nhau ABˆˆˆˆ BA . Toán tử giao hoán của hai toán tử được gọi là ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ giao hoán tử A,B AB BA (3) Liên hợp phức của toán tử: Aˆ * là toán tử liên hợp phức của toán tử Aˆ nếu * Aˆˆ u x Au x 60
(4) Chuyển vị toán tử: Toán tử Bˆ được gọi là toán tử chuyển vị của toán tử Aˆ nếu như với hai hàm số u12 x ,u x bất kỳ ta có đẳng thức u xAuˆ xdx u xBuˆ xdx (6.9) 1 2 2 1 Thường sử dụng ký hiệu BAˆ ˆ cho toán tử chuyển vị. Ví dụ, ta có thể chứng minh toán tử chuyển vị của d/dx là –d/dx (5) Toán tử liên hợp của một toán tử là một toán tử vừa chuyển vị, vừa liên hợp phức của nó. Toán tử liên hợp được ký hiệu là AAˆˆ * , ta có thể lấy liên hợp phức trước rồi thực hiện chuyển vị sau hay ngược lại đều có cùng kết quả 6.2.3. Toán tử Hermite Toán tử được gọi là tuyến tính nếu như với hai hàm số bất kỳ ux1 và ux2 toán tử này thỏa mãn hệ thức ˆ ˆ ˆ Aux 1 ux 2 Aux 1 Aux 2 (6.10) Toán tử là toán tử tự liên hợp nếu như nó bằng chính toán tử liên hợp của nó AAˆˆ Toán tử tuyến tính và tự liên hợp được gọi là toán tử Hermite. Các toán tử này đóng vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử. 6.2.4. Bài toán hàm riêng trị riêng của toán tử Hermite Hàm số  x là hàm riêng của toán tử Aˆ nếu toán tử này tác dụng lên hàm số đó và thu lại được chính hàm số đó nhân cho một hằng số Aˆ  x  x (6.11)  là một con số và được gọi là trị riêng của toán tử . Có hai trường hợp xảy ra: + Các trị riêng có thể thay đổi một cách liên tục, ta có phổ liên tục các trị riêng + Trị riêng chỉ nhận các giá trị gián đoạn, ta có phổ gián đoạn các trị riêng 61
ˆ An x  n  n x , với n nguyên 6.3. Mô tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử 6.3.1. Tiên đề về đại lượng vật lý Mỗi một đại lượng vật lý a trong cơ học cổ điển tương ứng với một toán tử tuyến tính tự liên hợp Aˆ trong cơ học lượng tử. Các trị riêng của toán tử là các giá trị khả dĩ đo được của đại lượng vật lý đó. Câu hỏi được đặt ra hiển nhiên là có thể tìm thấy thông tin về các đại lượng vật lý khác trong hàm sóng hay không? Câu trả lời là có. Hàm sóng chứa tất cả thông tin về các đại lượng đặc trưng của hệ vật lý. Thông tin về năng lượng của hệ có thể thu được từ hàm sóng bằng cách sử dụng Hamiltonian, toán tử tương ứng với năng lượng. Tương tự, chúng ta có thể thu được thông tin về một đại lượng vật lý a bất kỳ từ hàm sóng nhờ sử dụng toán tử Aˆ tương ứng với đại lượng vật lý a. Gọi  x, t là hàm sóng của hệ, nếu hàm sóng này là nghiệm riêng của toán tử ứng với trị riêng  thì đại lượng a của hệ có giá trị xác định là . Trong trường hợp hàm sóng của hệ không phải là hàm riêng của toán tử Aˆ thì đại lượng vật lý a của hệ không có giá trị cụ thể, mỗi lần đo nó có thể có giá trị tùy ý trong phổ các giá trị riêng của toán tử . Nghĩa là giá trị khả dĩ đo được của đại lượng a sẽ là một trong các trị riêng 1,  2 , ,  n trong trường hợp phổ trị riêng gián đoạn; hoặc một giá trị  nào đó if   trong trường hợp phổ trị riêng liên tục. Trường hợp trị riêng gián đoạn, ta có thể biết được xác suất để đại lượng vật lý a có được giá trị cụ thể k bằng cách khai triển hàm sóng tại thời điểm đang xét theo bộ hàm riêng chuẩn hóa của toán tử tuyến tính tự liên hợp Aˆ  x c1  1 c 2  2 c N  N (6.12) trong đó hệ số khai triển 62
c * x  x dx kk (6.13) 2 Xác suất để đại lượng vật lý a có giá trị k là ck Trong trường hợp toán tử có phổ trị riêng liên tục, ta sẽ phân tích hàm sóng như sau f x c  x d   (6.14) i và hệ số khai triển được tính bằng công thức c * x  x dx (6.15)  2 cho ta xác suất để đại lượng vật lý a có giá trị từ   d  là cd  . Như vậy, để biết được thông tin về đại lượng vật lý a, ta cần tìm toán tử tương ứng với nó. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra lúc này là làm thế nào để xây dựng các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý. Câu trả lời nằm trong tiên đề về toán tử sau đây. 6.3.2. Tiên đề tương ứng Các toán tử trong cơ học lượng tử có quan hệ với nhau tương tự như các quan hệ của các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển. Như vậy, ta chỉ cần biết vài toán tử quan trọng rồi xây dựng các toán tử còn lại dựa vào các công thức liên hệ giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn, theo tiên đề tương ứng, ta có toán tử moment động lượng quỹ đạo như sau 63
Lˆ rˆˆ p i r  ˆ  lx ypˆˆ z zp y i y z zy (6.16) ˆ  ly zpˆˆ x xp z i z x xz ˆ  lz xpˆˆ y yp x i x y yx Cần nhấn mạnh là tiên đề tương ứng chỉ có giá trị một chiều. Thật vậy, ta sẽ thấy một số toán tử trong cơ học lượng tử không có đại lượng vật lý tương đương trong cơ học cổ điển. 6.4. Sự phụ thuộc của đại lượng vật lý vào thời gian và các đại lượng bảo toàn 6.4.1. Toán tử đạo hàm của đại lượng vật lý theo thời gian dfˆ Xét đại lượng vật lý f, toán tử đạo hàm của f theo thời gian ký hiệu là . Toán dt tử này phải thỏa mãn điều kiện sau đây: df df (6.17) dt dt df dfˆ  dV; f  fˆ  dV (6.18) dt dt df d *  fˆ   fˆ dV f ˆ     f ˆ dV (6.19) dt dt  t  t  t Từ phương trình Schrӧdinger ta có  1 Hˆ ti * 1 Hˆ  ti Ta thu được 64
df  fˆ 1 * fHˆˆˆˆ Hf  dV (6.20) dt  t i Từ (6.19) và (6.20) ta thu được dfˆf ˆ 1f ˆ 1 fHˆˆ Hf ˆ ˆ f,H ˆ ˆ (6.21) dt t i t i 1 f,Hˆˆˆˆ f,H : Dấu ngoặc Poisson lượng tử i  (6.21) là phương trình chuyển động cho toán tử 6.4.2. Các đại lượng bảo toàn trong cơ học lượng tử Từ (6.21), ta thấy điều kiện để đại lượng vật lý bảo toàn trong cơ học lượng tử là: fˆ 0 f không phụ thuộc vào t một cách tường minh t fˆ giao hoán với Hˆ Câu hỏi và bài tập 6.1 Hạt chuyển động trong hố thế vuông góc thành cao vô hạn có bề rộng a (0 < x < a) sẽ có các trạng thái với năng lượng gián đoạn. Cho một trạng thái được mô tả bởi hàm sóng 1 xx  x sin 1 2 3 cos 2a aa a. Nêu ý nghĩa vật lý hàm sóng trên theo quan điểm của nguyên lý chồng chất trạng thái. Tính xác suất để hạt ở trạng thái cơ bản b. Tính năng lượng trung bình của hạt. Cho biết hàm sóng trên mô tả trạng thái tại thời điểm t = 0, hãy viết hàm sóng tại thời điểm t bất kỳ  x,t và chứng tỏ năng lượng trung bình không phụ thuộc thời gian 6.2 Tại sao toán tử đặc trưng cho đại lượng vật lý cần phải tuyến tính và tự liên hợp? 65
7. ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VI MÔ Bài này sẽ xem xét việc đo đại lượng vật lý trong thế giới vi mô để thấy được sự khác biệt với thế giới vĩ mô. Tiên đề về trị trung bình được đưa ra và điều kiện để hai đại lượng vật lý đo được đồng thời cũng được thảo luận. Khái niệm quan trọng trong việc đo đại lượng vật lý vi mô là độ bất định và hệ thức bất định Heisenberg cũng được chứng minh. 7.1. Đo đại lượng vật lý Thông thường để thu được kết quả tin cậy thì một đại lượng vật lý được đo nhiều lần, mà trạng thái của hệ không thay đổi trong các lần đo. Trong hệ vĩ mô, đại lượng vật lý bao giờ cũng được xác định theo nghĩa là tất cả các lần đo đều cho một giá trị duy nhất, tất nhiên là có sai số dụng cụ đo. Sai số càng nhỏ thì độ tin cậy của giá trị đo càng lớn. Trong thế giới vi mô, đại lượng vật lý không phải bao giờ cũng được xác định, chẳng hạn như nếu hệ có hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng của toán tử Aˆ ứng với các giá trị riêng khác nhau thì đại lượng vật lý a sẽ không được xác định. Nghĩa là mỗi lần đo sẽ có giá trị khác nhau và là một trong các trị riêng nào đó của toán tử Aˆ . Ta không thể nào biết trước đại lượng vật lý sẽ có giá trị cụ thể nào khi đo. Nếu đo nhiều lần, ta có thể tính được xác suất để có được một giá trị đo cụ thể. Xác suất này chính bằng bình phương module của hệ số khai triển hàm sóng theo các hàm riêng của toán tử Aˆ . 7.2. Giá trị trung bình của đại lượng vật lý Ta tính f ở trạng thái  x f  * x fˆ  x dx  x  cn  n x ;  x c m  m x (7.1) nm 2 f cnn f n Công thức này đúng cho cả trường hợp phổ trị riêng gián đoạn và liên tục. Hàm sóng được mặc định là chuẩn hóa trong các chứng minh. 66
7.3. Hai đại lượng vật lý đồng thời xác định Trong thế giới vĩ mô, đại lượng vật lý nào cũng được xác định theo nghĩa là dù có đo bao nhiêu lần cũng đều nhận cùng một giá trị, nếu trạng thái của hệ không thay đổi trong các lần đo. Tuy nhiên, trong thế giới vi mô, bên cạnh các đại lượng vật lý xác định, cũng có các đại lượng vật lý không xác định theo nghĩa là với mỗi lần đo, ta có một giá trị khác nhau. Các giá trị đo khác nhau này xuất hiện hoàn toàn ngẫu nhiên và chúng có xác suất được quy định ngay trong hàm sóng mô tả trạng thái của hệ. Xét Aˆ tương ứng với đại lượng vật lý a, Bˆ tương ứng với đại lượng vật lý b. Giả sử n là hàm riêng nhưng thỏa mãn điều kiện ˆ ABˆ ˆ  x b a  x An x a n  n x n n n n Bˆ  x b  x BAˆ ˆ  x a b  x n n n n n n n ABˆˆˆˆ BA Vậy, điều kiện để hai đại lượng vật lý đo được đồng thời là hai toán tử tương ứng với chúng phải giao hoán với nhau. 7.4. Hệ thức bất định Heisenberg Xét tọa độ x, x là giá trị trung bình của x, x x x là độ lẹch của x so với giá trị trung bình x0 x 22 x x x 22 x x : trung bình của bình phương độ lệch xx 2 : độ bất định khi xác định tọa độ x 2 ppxx : độ bất địnhvề px khi xác định px x.  p (7.2) x 2 67
Bằng cách sử dụng phương pháp tam thức bậc hai, chúng ta sẽ chứng minh hệ thức này một cách đơn giản, việc chứng minh hệ thức này được xem như một bài tập. Đây là hệ thức do Werner Heisenberg đưa ra vào năm 1927. Hệ thức này đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý vi mô và đem lại cho Heisenberg giải Nobel vật lý năm 1932. Hệ thức bất định trên chỉ ra rằng, không tồn tại trạng thái mà trong đó tọa độ và xung lượng của các hạt đồng thời có giá trị xác định. Trong trạng thái mà tọa độ càng xác định ( x càng nhỏ) thì xung lượng càng bất định ( px càng lớn) và ngược lại. Vì thế mà khái niệm quỹ đạo của hạt trong cơ học lượng tử không còn ý nghĩa. Cần lưu ý rằng việc không thể xác định đồng thời tọa độ và xung lượng của hạt không phải do hạn chế của dụng cụ đo mà do chính bản chất sóng của thế giới vi mô, thể hiện qua việc hai toán tử tương ứng không giao hoán nhau. Trong hệ tọa độ cầu, người ta cũng hay sử dụng hệ thức bất định cho tọa độ góc ˆ  và hình chiếu moment động lượng lz trên trục Oz. Ta có  l (7.3) z 2 Ngoài ra, ta còn có hệ thức bất định giữa cặp chính tắc năng lượng và thời gian Et  (7.4) 2 7.5. Ví dụ về ứng dụng hệ thức bất định 7.5.1. Động năng tối thiểu của hạt trong hố thế Ta bắt đầu bằng hiệu ứng lượng tử sau: một hạt chuyển động bị giam hãm trong miền không gian giới hạn sẽ có động năng thấp nhất lớn hơn không. Ví dụ, trong bài toán dao động tử điều hòa với hàm thế năng V x  m22 x / 2, năng lượng nhỏ nhất từ giải phương trình Schrӧdinger là E1  / 2 0 (7.5) Hệ thức bất định cho ta công thức 68
2 x  p x2 (7.6) x 2 2 4px Mặt khác, năng lượng trung bình của hệ cho bởi 1 1 1 1 2 E Hˆ ˆˆ p2 m 2 x 2 p 2 m 2 2m xx 2 2 2 2 4ˆpx 2 Đặt biến Y là trung bình bình phương xung lượng Yp ˆ x , có thể viết lại bất đẳng thức ở trên 122 m 1 E f Y Y 2m 8 Y 1 Hàm số fY với giá trị biến số Y dương có một cực tiểu ứng với Ym  tương 2 1 1 ứng với fY . Như vậy, năng lượng trung bình thấp nhất của hệ là Emin , 2 2 đây là điều cần chứng minh. 7.5.2. Phát hiện ra khối lượng hạt pion Hideki Yakawa đã sử dụng hệ thức bất định Heisenberg để ước lượng khối lượng của hạt mang tương tác hạt nhân. Sau này thực nghiệm xác nhận tìm ra hạt pion phù hợp với tiên đoán của ông. Yukawa nhận giải Nobel vật lýcho phát minh lý thuyết meson này vào năm 1949. Lập luận của Yukawa như sau: hai hạt nucleon bất kỳ tương tác với nhau bởi lực hạt nhân. Cần phải có một hạt X mang tương tác hạt nhân, tương tự như hạt photon mang tương tác điện từ. Đặt mX là khối lượng hạt cần tìm. Tương tác hạt nhân là tương tác tầm ngắn, điều này nghĩa là khác với tương tác điện từ, có khoảng cách tương tác vô hạn, tương tác hạt nhân chỉ xảy ra trong khoảng cách R 1.5 10 15 m. Ngoài khoảng cách đó, lực hạt nhân nhanh chóng biến mất. Như vậy giữa các hạt nucleon có sự trao đổi hạt X với nhau ngay cả khi chúng đang đứng yên. Điều này không thể có được do định luật bảo toàn năng lượng. Do đó, quá trình này là quá trình ảo, hạt X là hạt ảo và chỉ có thể xảy ra trong thế giới vi mô, khi mà định luật bảo toàn năng lượng chỉ đúng 69
cho giá trị trung bình, còn với các giá trị tức thời thì định luật này có thể bị phá vỡ trong một khoảng thời gian nhất định, được xác định từ công thức ước lượng Et Độ bất định thời gian chính bằng thời gian trao đổi hạt X: t R / c 0.5 10 23 s . Trong khoảng thời gian đó, độ bất định về năng lượng là mức độ phá vỡ định luật bảo 2 toàn năng lượng và bằng năng lượng hạt X: E mX c /  t 131.8MeV . Với kết quả này, Yukawa tiên đoán khối lượng hạt mang tương tác hạt nhân khoảng 260 lần khối lượng electron, điều này được thực nghiệm kiểm chứng khi phát hiện ra hạt pion. Câu hỏi và bài tập 7.1 Trong trường hợp đại lượng không xác định, sai số do đo đạc thể hiện ở đâu? Cho ví dụ minh họa. 7.2 Nếu hàm sóng có được từ đo đạc các đại lượng vật lý thì pha của hàm sóng có thể đo được từ thực nghiệm hay không? 7.3 Chứng minh nếu hai toán tử Hermite có chung bộ hàm riêng thì giao hoán với nhau ˆ ˆ ˆˆ ˆ 7.4 Cho A,B là toán tử tuyến tính tự liên hợp, hãy chứng minh C i A,B là toán tử tuyến tính tự liên hợp 7.5 Khi xét hạt chuyển động trong hố thế vuông góc cao vô hạn, ta có hiệu ứng lượng tử là năng lượng của hạt bao giờ cũng cao hơn đáy của hố thế một giá trị 2 2 2 E1 /8 ma 22 a. Hãy tính các giá trị trung bình x,x , pxx , p cho trạng thái cơ bản b. Hãy giải thích cận dưới của năng lượng sử dụng hệ thức bất định Heisenberg 70
8. CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HYDRO Bài này sẽ trình bày bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử, đó là chuyển động trong trường xuyên tâm. Đầu tiên, chúng ta xây dựng moment động lượng quỹ đạo và giải bài toán hàm riêng, trị riêng của các toán tử tương ứng. Sau đó, bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm được khảo sát tổng quát, rồi áp dụng cho nguyên tử hydro. 8.1. Moment động lượng quỹ đạo 8.1.1. Toán tử moment động lượng quỹ đạo Trong bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm, tính chất đối xứng cầu dẫn đến sự bảo toàn moment động lượng quỹ đạo. Do đó, ta cần phải khảo sát moment động lượng quỹ đạo theo quan điểm cơ học lượng tử. Trong vật lý cổ điển, moment động lượng của hạt có khối lượng m, xung lượng p và vector bán kính r được cho bởi công thức L r p l i l j l k x y z (8.1) lx yp z zp y , l y zp x xp z , l z xp y yp x Với tiên đề về toán tử của cơ học lượng tử, ta có thể xây dựng toán tử moment động lượng quỹ đạo từ (8.1) như sau ˆ ˆ ˆ ˆ L rˆˆ p lx i l y j l z k (8.2) và các toán tử hình chiếu trên các trục tọa độ tương ứng ˆ  lx ypˆˆ z zp y i y z zy ˆ  ly zpˆˆ x xp z i z x (8.3) xz ˆ  lz xp y ypˆ x i x y yx Toán tử bình phương moment động lượng quỹ đạo được định nghĩa như sau 71
ˆ2 ˆ ˆ ˆˆˆ 2 2 2 L L.L lx l y l z (8.4) Các giao hoán tử của hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lˆ ,l ˆ i lˆ x y z lˆ ,l ˆ i lˆ (8.5) y z x lˆ ,l ˆ i lˆ z x y Giao hoán tử của bình phương moment động lượng quỹ đạo với các toán tử hình chiếu của nó Lˆ2 ,lˆ L ˆ 2 ,l ˆ L ˆ 2 ,l ˆ 0 x y z (8.6) 8.1.2. Tọa độ cầu Ta viết các toán tử moment động lượng quỹ đạo trong tọa độ cầu qua phép biến đổi tọa độ x r sin cos y r sin sin (8.7) z r cos Trong đó 0 r, 0  , 0 2 là các biến đổi tọa độ trong hệ tọa độ cầu. Từ phép biến đổi (8.7), ta có phép biến đổi ngược sau đây 2 2 2 y r x y z , arctan x (8.8) z  arccos 2 2 2 x y z Sử dụng (8.7), (8.8) cho các biểu thức (8.3), ta thu được 72
ˆ  lx i sin cos cot   ˆ  ly i cos sin cot  (8.9)   liˆ z  Đem (8.9) thế vào công thức của Lˆ2 ta thu được  221  Lˆ22 cot (8.10)   222  sin 8.2. Hàm riêng, trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo Xét bài toán trong tọa độ cầu, khi đó phần góc có thể phân ly trong toán tử ˆ2 ˆ L,  cho nên ta sẽ xây dựng hàm riêng của toán tử lz trước. Gọi  là hàm riêng cần tìm, ta có phương trình  l lˆ  l   i z  (8.11) zz với lz là trị riêng của phương trình. Dễ thấy nghiệm của (9.11) có dạng hàm e mũ:  m C exp im với m lz / . Ta cần đòi hỏi hàm sóng thu được phải đơn trị, nghĩa là mm  2 (8.12) Điều này dẫn đến exp im exp im 2 exp im 2 1 (8.13) m 0 , 1 , 2 , Sau khi chuẩn hóa theo điều kiện 2   d  m m' mm' 0 hàm sóng có dạng 73
1  exp im (8.14) m 2 Như vậy, ta đã thu được hàm sóng mô tả phân bố hạt theo góc . Điều kiện liên tục hàm sóng đã dẫn đến sự gián đoạn giá trị hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lz m , m 0 , 1 , 2 , (8.15) Bây giờ ta xét bài toán trị riêng cho toán tử L,ˆ2  , ta có phương trình sau LY,LY,ˆ22   (8.16) với Lˆ2 là giá trị bình phương moment động lượng quỹ đạo. Do có sự tách biến cho nên ta có thể chọn hàm sóng dưới dạng 1 Y  ,    eim   (8.17) m 2 với số lượng tử từ m là số nguyên. Thế (8.17) vào (8.16), ta thu được phương trình cho hàm sóng   là 22m cot 22       sin  (8.18)  L/22 Ta giải phương trình (8.18) với điều kiện hàm sóng   liên tục,đơn trị và hữu hạn trong toàn miền thay đổi  : 0  . Đặt biến số mới  cos , khi đó     sin      22 2   22 1      Phương trình (8.18) trở thành phương trình vi phân bậc hai 2 2 2     m 1  22 2     0 (8.19)    1  74
với biến số 11  . Đây là phương trình Legendre liên kết. Phương trình này có hai điểm đặc biệt, phân kỳ tại  1 nên ta sẽ tìm nghiệm có dạng    11   u  để khử kỳ dị, trong đó u  là chuỗi lũy thừa theo  . Ta tìm các giá trị  00, bằng cách xét hàm tiệm cận khi  1. Với trường hợp  2  1, đặt  1, lúc đó hàm sóng sẽ có dạng    b0 b 1  b 2  . Tương tự, với điểm tiệm cận  1, ta thu được  m/2. Như vậy dạng hàm sóng cần tìm là m /22 m / 22j   11  ua    j  (8.20) j 0 Thế (8.20) vào (8.19) và rút gọn, ta thu được 1 22 u''  2  1 m u '   m m u  0 (8.21) Nghiệm của phương trình này là chuỗi lũy thừa với các số hạng chỉ có thể lấy bậc chẵn hoặc bậc lẻ 2jj 2 1 u   a2jj  , u  a 2 1  (8.22) jj 00 Đem thế (8.22) vào (8.21) ta thu được hệ thức truy hồi để tính các hệ số chuỗi như sau j m j m 1  aa (8.23) jj 2 jj 21 Từ (8.23), ta thu được hệ thức a 1 j 2  j ajj cho thấy tính hội tụ của chuỗi (8.22) cần phải xem xét. Các nghiên cứu cụ thể hơn cho thấy chuỗi này thực sự không hội tụ. Tuy nhiên, tồn tại những giá trị  sao cho chuỗi lũy thừa (8.22) trở thành đa thức. Thật vậy, nếu  ll 1 với l là số nguyên không âm thì chuỗi (8.22) sẽ trở thành đa thức lũy thừa với thành phần có sỗ mũ cao nhất là 75