Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 8: Động lực học chất điểm - Huỳnh Vinh

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lý thuyết - Chương 8: Động lực học chất điểm - Huỳnh Vinh

1. Độ ng l ực h ọc nghiên c ứu các quy lu ật chuy ển độ ng c ơ h ọc của các v ật th ể dướ i tác d ụng c ủa l ực. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 628
2. 1. Đị nh lu ật 1 (Đị nh lu ật cơ bản của độ ng lực học) Dướ i tác dụng của lực, ch ất điểm sẽ chuy ển độ ng với gia tốc cùng giá cùng chi ều với lực tác dụng. F= m. a 8.1 F Ch ươ ng 8 m Qu ỹ đạ o chuy ển độ ng c ủa v ch ất điểm a Với: m là kh ối lượ ng của ch ất điểm – độ đo quán tính. F, a , v cùng thu ộc mặt ph ẳng mật ti ếp của qu ỹ đạ o tại vị trí ch ất điểm GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 629 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 631 * Nếu lực là tr ọng lượ ng, thì P= m. g 8.2 Trong đó: g là gia tốc tr ọng tr ườ ng. P §1. Các đị nh lu ật Newton g v Mặt đấ t C Tâm trái đấ t Kh ối lượ ng m quan hệ với tr ọng lượ ng P: P P= mg. ⇒ m = 8.3 g GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 630 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 632
3. 2. Đị nh lu ật 2 (Đị nh lu ật quán tính) Tham kh ảo cách tính gia t ốc tr ọng tr ườ ng g Ch ất điểm có kh ối lượ ng m không ch ịu tác dụng của lực nào sẽ đứ ng yên ho ặc chuy ển độ ng th ẳng đề u. m1. m 2 F = 0 v = 0 F m2 F= G d 2 Đứ ng yên F F m m G: h ằng s ố h ấp d ẫn m1 −11 F = 0 v= const d G= 6,67.10 ( N . m ² / kg ²) Chuy ển độ ng th ẳng đề u m - Tr ạng thái đứ ng yên hay chuy ển độ ng th ẳng đề u của ch ất điểm đượ c gọi là chuy ển độ ng theo quán tính. - Hệ quy chi ếu trong đó th ỏa mãn đị nh lu ật quán tính gọi là hệ quy chi ếu quán tính. GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 633 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 635 3. Đị nh lu ật 3 (Đị nh lu ật về tính độ c lập tác dụng của lực) m * Khi h << R thì: Dướ i tác dụng đồ ng th ời của một số lực, ch ất điểm có gia tốc bằng M. m P h PG=e = gm. tổng hình học các gia tốc mà ch ất điểm có đượ c khi từng lực tác dụng R2 riêng bi ệt. M Với: g= G e aaa= + + + a 8.4 R R2 1 2 n Me: Kh ối l ượ ng trái đấ t ak ( k = 1, n ) là gia tốc do lực F k gây ra. M R: Bán kính trái đấ t e Nhân m vào hai vế, ta có: * Giá tr ị gia t ốc tr ọng tr ườ ng g: ma= ma1 + ma 2 ++ ma n 24 Me = 5,9722.10 (kg) ⇔maF =1 + F 2 ++ F n n R = 6.371 (km) ⇔ma = ∑ F k 8.5 G= 6 , 67 . 10 −11 (N.m²/kg²) k =1 Do đó: g= 9,81 ( m / s 2 ) GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 634 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 636
4. 4. Đị nh lu ật 4 (Đị nh lu ật về tác dụng và ph ản tác dụng) Hai lực mà hai ch ất điểm tác dụng lên nhau bằng nhau về tr ị số, cùng đườ ng tác dụng nh ưng ng ượ c chi ều. Chú ý: Các lực tác dụng tươ ng hỗ này không tạo thành một hệ lực cân bằng vì chúng đặ t vào hai ch ất điểm khác nhau. §2. Ph ươ ng trình vi phân c ủa chuy ển độ ng điểm C F 21 F 12 (1) (2) Xét vật (1): F 12 : lực tác dụng F 21 : lực ph ản tác dụng GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 637 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 639 Xét hệ vật: 1. D ạng véc t ơ P1 n P n Xét chuy ển độ ng của ch ất điểm ch ịu tác dụng bởi ∑ F k : k =1 Véc tơ đị nh vị: r r t C = ( ) F 21 2 ɺɺ d r z F 1 P 2 F 12 Gia tốc chuy ển độ ng: a= r = 2 F 2 (1) (2) dt m Ph ươ ng trình vi phân của chuy ển độ ng: F n n2 n P3 ɺɺ d r P 4 mr= Fk ⇔ m = F k 8.6 Phân lo ại lực: ∑2 ∑ kdt k e =1 = 1 a Ngo ại lực F k : các vật ngoài tác dụng lên hệ vật e ɺ r ∼ Lưu ý: k k Fk( PP1 , 2 , , P n ) F= F(, trr , ) O i y Nội lực F k : các vật bên trong hệ tươ ng tác nhau i Fk ∼( F12 , F 21 )0 ∼ x GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 638 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 640
5. 2. Dạng tọa độ Descartes: Chi ếu ph ươ ng trình 8.6 lên các tr ục của hệ tr ục tọa độ z  n  d2 x n ɺɺ mx= ∑ F kx m2 = ∑ F kx dt F 1  k =1  k =1 z( t ) §3. Hai bài toán c ơ b ản c ủa độ ng  n 2 n F 2 ɺɺ d y m lực h ọc my=∑ Fky ⇔  m2 = ∑ F ky k=1  dt k = 1 F n n  d2 z n mzɺɺ = F ∑ kz  m2 = ∑ F kz  k =1  dt k =1 a r 8.7 y t O ( ) y x( t ) x GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 641 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 643 3. Dạng tọa độ tự nhiên: 1. Bài toán thu ận – Bài toán tìm l ực (Trùng pháp tuy ến) Đị nh vị s= s( t ) Bi ết chuy ển độ ng của ch ất điểm (, r v , a ) , tìm lực tác dụng lên ch ất điểm. b − n (Pháp tuy ến) n +O * Cách gi ải quy ết: Phép đạ o hàm ∑ F kτ a O ' Mặt ph ẳng m ật ti ếp b n k=1 n Ví dụ: Cho ch ất điểm kh ối lượ ng m, chuy ển độ ng trên đườ ng a Qu ỹ đạ o n ɺ chuy ển độ ng cong ph ẳng. Tìm ph ản lực theo ϕ , bi ết ϕϕϕ = (), t (0) = 0, ϕ (0) = 0 . ∑ F k m τ k=1 aτ n τ ∑ F kn (Ti ếp tuy ến) ϕ R k=1  n  n ma= F msɺɺ = F  τ∑ k τ a= ɺɺ s ,  ∑ kτ  k =1 τ  k =1  2  n  sɺ  sɺ2 n man= ∑ F kn Vì an = nên m= F ρ ∑ kn 8.8  k =1   ρ k =1  n  n ab = 0  ma= F b∑ kb 0 = ∑ Fkb  k =1  k =1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 642 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 644
6. 2. Bài toán ng ượ c – tìm chuy ển độ ng Bài gi ải: n + Phân tích lực tác dụng lên ch ất điểm (P , N ) Bi ết lực tác dụng lên ch ất điểm, tìm chuy ển độ ng (, r v , a ) . + Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng ϕ R ma= P + N (1) an * Cách gi ải quy ết: Gi ải ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng. N ⇒ ma(n + aτ ) = PN + (gt ) Ví dụ: Cho con lắc đơ n dao độ ng bé nh ư hình vẽ. Tìm ph ươ ng trình aτ chuy ển độ ng của con lắc. Bi ết th ời điểm khi t=0,ϕ (0) = ϕ 0 ,(0) v = v 0 . Chi ếu (1) lên các ph ươ ng ti ếp tuy ến và bán kính : O P τ ma= P.cosϕ = mg .cos ϕ  τ ma=− NP.sinϕ =− Nmg .sin ϕ n l ɺɺ ɺɺ ϕ aτ = R .ϕ mR.ϕ= mg .cos ϕ (a) Mà  nên  ɺ 2 ɺ 2 an = R .ϕ mR.ϕ= N − mg .sin ϕ (b) m GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 645 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 647 Gi ải ph ươ ng trình (a): Bài gi ải: g mR.ϕɺɺ= mg .cos ϕϕ⇒ ɺɺ = .cos ϕ + Phân tích lực tác dụng lên ch ất điểm (P , T ) R + Vi ết ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng O dgω d ω g ⇒ = .cosϕ⇒ d ϕ= .cos ϕϕ d ma= P + T (1) dtR dt R dϕ g g Chi ếu (1) lên các ph ươ ng ti ếp tuy ến: l ⇒ dω= .cos ϕϕωω dd⇒ = .cos ϕϕ d ϕ a dtR R n maτ =− P.sinϕ =− mg .sin ϕ g2 2 g ⇒ ωωd= cos ϕϕω d⇒ = sin ϕ + A T a (gt ) ∫R ∫ R Mà a = l .ϕ ɺɺ và sin ϕ ≈ ϕ nên: τ τ m ϕ(0)= 0 2 2g Với điều ki ện biên ⇒ A = 0 . Do đó: ϕɺ = .sin ϕ g 2  ɺ ϕɺɺ+. ϕ = 0⇒ ϕ ɺɺ +k . ϕ = 0 (a) ϕ(0)= 0 R l P g Gi ải ph ươ ng trình (b): N= 3 mg .sin ϕ Trong đó: k = l * Nếu bài toán yêu cầu vi ết mối quan hệ gi ữa ϕ và t – ph ươ ng trình chuy ển độ ng thì: Nghi ệm tổng quát của ph ươ ng trình vi phân (a) 2g 2 gdgϕ 2 d ϕt ϕ d ϕ ϕɺ2 = .sin ϕϕ⇒ ɺ = .sin ϕ⇒ = .sin ϕ ⇒ dt= ⇒ ∫ dt = ∫ R R dt R 2g 2 g ϕ()t= A .cos ktB + .sin kt .sinϕ0 0 .sin ϕ R R GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 646 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 648
7. Bài 8.1 Xác đị nh A, B từ điều ki ện ban đầ u của chuy ển độ ng: Kéo vật nặng có tr ọng lượ ng P đi lên theo ph ươ ng th ẳng đứ ng bởi ϕ(0)= ϕ (b)  0 một sợi dây mềm không tr ọng lượ ng với gia tốc là a = const . Hãy xác v(0)= v 0 (c) đị nh lực căng trong dây. Xem vật nh ư là ch ất điểm. Gi ải điều ki ện (b): ϕ (0) = ϕ 0 ⇒ A = ϕ 0 Vận tốc của con lắc: vt()= ω (). tl = ϕ ɺ (). tl =− klA .sin ktklB + .cos kt v Gi ải điều ki ện (c): v(0)= v0⇒ Bklv = 0⇒ Bvkl= 0 / Vậy ph ươ ng trình chuy ển độ ng của con lắc là: v v ϕϕ()t= .cos kt +0 .sin kt =+ ( ϕ )2 ( 0 ).sin( 2 kt + γ ) m 0 kl0 kl ϕ kl Với: γ = arctan 0 v0 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 649 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 651 Kéo lên nhanh d ần đề u, gia t ốc Kéo lên ch ậm d ần đề u, gia t ốc có chi ều h ướ ng lên có chi ều h ướ ng xu ống T+ mg = ma T+ mg = ma ⇒ T− mg = ma Kéo đề u: a = 0 ⇒ T− mg = − ma ⇒ ⇒ T= mg( + a ) T= mg T= mg( − a ) T T BÀI T ẬP CH ƯƠ NG 8 SINH VIÊN C ẦN GI ẢI QUY ẾT a Hai bài toán c ơ b ản c ủa độ ng l ực h ọc m m a mg mg GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 650 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 652
8. z Bài 8.2 Trong m ặt ph ẳng Oxy, l ực tác d ụng lên Một đoàn tàu ch ạy trên một đườ ng ray th ẳng đặ t trên mặt ph ẳng ch ất điểm là: ngang. Lúc tàu đang có vận tốc là v thì tàu tắt máy đồ ng th ời ti ến hành 0 hãm phanh. Bi ết rằng tổng lực hãm phanh và cản khác là hằng số bằng Q= ( F , F ) 1/12 tr ọng lượ ng đoàn tàu. Yêu cầu, kể từ khi tàu tắt máy hãy xác đị nh: x y R 1. Ph ươ ng trình chuy ển độ ng của tàu Q= mRk 2 y Q 2. Mất bao lâu để tàu dừng kt N 3. Quãng đườ ng đi đượ c đế n lúc dừng A * H ướ ng d ẫn: N x Vị trí và th ời điểm t ắt x( t ) m P máy (x = 0, t = 0, v = v ) 0 x O F c Theo ph ươ ng z, l ực ch ưa bi ết tác d ụng g mxtɺɺ()= − F⇒ ɺɺxt () = − c P lên ch ất điểm là l ực h ướ ng lên có độ 12  g  g lớn b ằng tr ọng l ượ ng c ủa v ật ( N = P). xtɺ( ) = − tA + ɺ  1 vt()= xt () =− tv + 0  12 x(0)= 0  A2 = 0  12 ⇒  ⇒ →  g 2 xɺ(0) = v A= v g xt( ) =− t + AtA +  0  1 0 xt( ) = − t2 + vt  24 1 2  24 0 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 653 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 655 Bài 8.3 Bài 8.4 Một ch ất điểm A có kh ối lượ ng m chuy ển độ ng trong mặt ph ẳng Một qu ả cầu nh ỏ có kh ối lượ ng m bu ộc vào một đầ u mút của lò xo nằm ngang có ph ươ ng trình: có độ cứng là k, đầ u kia cố đị nh. Ng ườ i ta kéo qu ả cầu kh ỏi vị trí cân xt()= R .cos kt bằng theo ph ươ ng tr ục lò xo một đoạn là a rồi th ả cho nó chuy ển độ ng.  A Bỏ qua ma sát gi ữa qu ả cầu và mặt ph ẳng tựa, lò xo làm vi ệc hoàn toàn yt()= R .sin kt  A đàn hồi. Yêu cầu lập ph ươ ng trình chuy ển độ ng của qu ả cầu trong hai Hãy tìm nh ững lực ch ưa bi ết tác dụng lên ch ất điểm. tr ườ ng hợp: 1. Không kể đế n cản của môi tr ườ ng * H ướ ng d ẫn: 2. Ch ịu cản từ môi tr ườ ng có hệ số cản nh ớt c, c < 4 mk . + Qu ỹ đạ o chuy ển độ ng là đườ ng tròn tâm O bán kính R trong hệ tr ục Oxy. N N + Các l ực tác d ụng lên ch ất điểm O m F c F lx m F c  2 x O x mx.ɺɺ ( t ) = F Fx = − mRk.cos kt  A x  ɺɺ ⇒ 2 myt.()A= F y  F y = − mRk .sin kt P P x( t ) x( t ) Flx = kx ɺɺ   mzt.()A= F z F z = 0 ɺ  Fc = cx GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 654 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 656
9. Bài 8.5 Bài 8.6 Một ch ất điểm có kh ối lượ ng m ch ịu tác dụng của một lực theo Một vật nh ỏ đượ c xem nh ư ch ất điểm có kh ối lượ ng m đượ c ném ph ươ ng ngang x là F = Qsin(kt) + Q. Tìm ph ươ ng trình chuy ển độ ng ngang từ độ cao h. Vận tốc ngay khi vật rời tay là v0. Yêu cầu: của ch ất điểm bi ết khi t= 0(s) thì ch ất điểm ở vị trí x0 và có vận tốc v0. 1. Vi ết ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật. 2. Mất bao lâu thì vật ti ếp đấ t? 3. Vật đượ c ném xa bao nhiêu theo ph ươ ng ngang? m 4. Ngay khi vật ti ếp đấ t thì vật có vận tốc và gia tốc bao nhiêu? F x O 5. Nếu vật đượ c ném trong môi tr ườ ng có cản với hệ số cản là c rất bé thì ph ươ ng trình chuy ển độ ng của vật th ế nào? * H ướ ng d ẫn: y F= ma⇒ Q.sin kt+ Q = mxɺɺ t = 0 v0 Q Qv Q t M( x , y ) ⇒ ɺɺx=.sin kt + ⇒ ∫ dv= ∫ (sin ktdt + 1) m mv m 0 h 0 Q1t Q 1 1 mg ⇒ vtv()−=− (cos ktt + )⇒ vt ()=− (cos ktt +++ ) v 0 mk0 mk k 0 x O GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 657 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 659 1. Theo ph ươ ng trình độ ng lực học Q 1 1  ⇒ dx=( − cos ktt +++ ) vdt  0  ∑ Fx= ma x 0= mxɺɺ ( t ) m k k  ⇒  x t F ma −mg = mytɺɺ ( ) Q 1 1  ∑ y= y  ⇒ dx=( − cos ktt +++ ) vdt ∫ ∫ m k k 0  ɺɺx( t )= 0 x0 0 ⇒  ɺɺ Q1 t 2 1  t  y( t ) = − g ⇒ xtx()−=0  ( − sin kt +++ t) vt0  m k2 2 k  0 Lấy tích phân, ta có: 2  ɺ Q1 t 1 vtx ()= xt () = C 1 ⇒  xt()=− (2 sin kt ++++ t) vtx0 0 ɺ m k2 k vty ()= yt () =− gt + D 1 xt( ) = Ct + C  1 2  g 2  yt( ) =− t + DtD1 + 2  2 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 658 GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 660
10. Tìm các hằng số tích phân từ điều ki ện ban đầ u của chuy ển độ ng 1. Kh ối lượ ng của hệ vx (0) = v 0 C1= v 0 Chuy ển độ ng của một cơ hệ ngoài vi ệc ph ụ thu ộc vào lực tác dụng còn   ph ụ thu ộc vào tổng kh ối lượ ng và phân bố các kh ối lượ ng của hệ đó. vy (0)= 0  D = 0 ⇒  1 Xét cơ hệ gồm n ch ất điểm có kh ối lượ ng tươ ng ứng là m , m , , m . C = 0 1 2 n x(0)= 0  2 Kh ối lượ ng của hệ: bằng tổng kh ối lượ ng của tất cả các ph ần tử hợp    y(0) = h D2 = h thành hệ đó. Thay tất cả vào ph ươ ng trình vận tốc và ph ươ ng trình chuy ển độ ng ta có: M= m ( k = 1, n ) 9.1 + Ph ươ ng trình chuy ển độ ng: ∑ k xt( ) = vt0  g m m2 ⇒ 2 1  1 2 y= h − 2 x : ph ươ ng trình qu ỹ đạ o  yt( ) = h − gt 2v0 m m  2 3 4 + Ph ươ ng trình vận tốc: m5 mn vx ( t ) = v 0  Sv gi ải ti ếp vty ( ) = − gt GV Hu ỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bô ̣ Slide 661 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 663 2. Kh ối tâm của hệ Ký hi ệu kh ối tâm: C a. Đố i v ới h ệ ch ất điểm (v ật r ắn) z * D ạng véc t ơ: m1 Ch ươ ng 9 n C m. r m ∑ k k 2 k =1 r r rC = 9.2 1 C M r2 mn * Trong h ệ tr ục Descartes Oxyz: rn  1 n O y xC= ∑ m k. x k M  k =1 x  1 n  yC= ∑ m k. y k M k =1  9.3  1 n zC= ∑ m k. z k  M k =1 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 662 GV Huỳ nh Vinh – ĐHBK Đà Nẵ ng Lưu hà nh nộ i bô ̣ Slide 664