Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 4)

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 4)

1. BÀI 4 1
2.  §4: Hạng ma trận 4.1. Định nghĩa. - Cho A là một ma trận cỡ mxn và một số k ≤ min{m,n}. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi (m-k) hàng và (n-k) cột. Định thức của ma trận con cấp k của A gọi là định thức con cấp k của A. Ví dụ: 1 234 12 A12 A 2 468 24 2 4 A12 3579 4 8 2 3 4 234 4 6 8 A123 2 5 7 9
3.  §4: Hạng ma trận -Đ/n: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 có trong A. Kí hiệu: rank(A) hoặc r(A) 3
4.  §4: Hạng ma trận 2 0000 A1 0 O 0000 0 0 24 A13 0000 0 0 4
5.  §4: Hạng ma trận a b cd A x yz t 5
6.  §4: Hạng ma trận Ví dụ: a b c A có duy nhất 1 định A xyz thức con cấp 3 và đó là định thức con có u v w cấp lớn nhất 6
7.  §4: Hạng ma trận 7
8.  §4: Hạng ma trận 8
9.  §4: Hạng ma trận 9
10.  §4: Hạng ma trận 4.2. Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp a. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) là ma trận thỏa mãn hai tính chất: (i) Các hàng khác không nằm trên các hàng không (hàng có tất cả các phần tử là 0) (ii) Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. Ví dụ 0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 3 0000 0 0 0000 0 0 10
11.  §4: Hạng ma trận b. Định lí: Nếu A là ma trận bậc thang thì hạng của A bằng số hàng khác không của nó. Ví dụ: 0 1 0 0 0 2 rank 0 0 0 0 3 3 0000 0 0 0000 0 0 12 3 4 01 5 6 rank 00 12 4 00 0 1 11
12.  §4: Hạng ma trận Chứng minh định lí: aa a a 1112 1r 1 n a11 a 12 a 1r 0a a a 0a a 22 2r 2 n A12 r 22 2r 12 r a a A 0 0 rr rn 0 0 arr 0 0 0 0 Các MT con cấp > r chứa ít nhất 1 hàng = 0 0 0 0 0 12
13.  §4: Hạng ma trận “Sử dụng các phép biến Chú ý: đổi sơ cấp trên ma trận” A B (ma trận bậc thang) ? Vấn đề: r(A) = r(B) 13
14.  §4: Hạng ma trận Chú ý: Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. 14
15.  §4: Hạng ma trận “biến đổi sơ cấp A B (ma trận bậc thang) r(A) = r(B) 15
16.  §4: Hạng ma trận 16
17.  §4: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 13 201 4 03 3 401 A 00589 1 r( A ) 3 00 0 000 00 0 000 17
18.  §4: Hạng ma trận  Ví dụ: Tìm hạng của ma trận: 112 0 21 13 A 452 1 17 3 2 18
19.  §4: Hạng ma trận  Lời giải. 1120 1120 2113 0 -1? -5 3 A  h2 ( 2) h 1 h 4 h 452 1 3 1 h 1 h 0 9 10 -1 4 1 17 3 2 0 8 5 2 19
20.  §4: Hạng ma trận 1120 1120 2113 0153  h2 ( 2) h 1 h3 4 h 1 4521 h 1 h 09101 4 1 1732 0852 11 20 11 2 0 h 9 h 3 2 0 1 53 0 1 53   h4 ( 1) h 3 h4 8 h 2 0 0 -35 26 0 0 35 26 0 0 -35 26 00 0 0 r(A) 3 20
21.  §4: Hạng ma trận  Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau: 1 5 6 m 0 r(A) = 2 A 0 4 7 m 0 r(A) = 3 0 0 m0 21
22.  §4: Hạng ma trận  Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận sau: 19 0 7 02 4 8 B 0 0 (m20 1) ( m0 1) 00 0 0 m 1 r( A ) 2 m 1 r( A ) 3 m 1 r( A ) 3 22
23.  §4: Hạng ma trận  Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận sau: 1 2 2 1 2 2 h2 h 3 c c A 2 m 1 2 3  1 5 4 1 4 5 2 1 m 23
24.  §4: Hạng ma trận 1 2 2 0 3 6 0 0 3m 42 3m 42 0 m 14 r(A) = 2 3m 42 0 m 14 r(A) = 3 24
25.  §4: Hạng ma trận  Bài tập: Biện luận theo a, b hạng của ma trận sau: 120 1 213 0 A 0 3 a b 333 1 25