Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_ii_ma_tran_dinh_thuc_he_p.pdf
Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính (Phần 5)
- BÀI 5 1
- §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. 5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng: axax111 122 ax 1n n b 1 axax21 1 22 2 ax 2n n b 2 (*) axaxm11 m 22 axb mn n m trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1, ,m, j=1, ,n). 2
- §5: Hệ phương trình tuyến tính - Nếu bi = 0 với mọi i=1,2, ,m thì hệ được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất. Ví dụ 235xx1 2 x 3 x 4 2 Hệ 4 phương trình 4 ẩn x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 3853x1 x 2 x 3 x 4 2 Là hệ không thuần nhất 4x2 2 x 3 7 x 4 9 3
- §5: Hệ phương trình tuyến tính + Ma trận gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình A [ aij ] m n (*). b1 b + Ma trận b 2 gọi là ma trận hệ số tự do của hệ phương trình (*). bm x1 x + Ma trận x 2 gọi là ma trận ẩn số của hệ phương trình (*). xn 4
- §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình 235x1 x 2 xx 34 2 x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 3853x1 x 2 x 3 x 4 2 4x2 2 x 3 7 x 4 9 2351 2 x1 1234 0 x A , b , x 2 3853 2 x3 0427 9 x4 5
- §5: Hệ phương trình tuyến tính Ma trận bổ sung của hệ (*): Ab s A A|b Ví dụ: Cho hệ phương trình 235x1 x 2 xx 34 2 2 35 12 x12 x 2 3 x 3 4 x 4 0 1 23 40 Abs A [A|b] 38532x1 x 2 x 3 x 4 38532 4x2 27 x 3 x 4 9 0 42 79 Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ bs i của A và ngược lại. 6
- §5: Hệ phương trình tuyến tính Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng Ax b ( ) gọi là dạng ma trận của hệ (*). Ví dụ: 2x 7 y z 9 271 x 9 3x y 4 z 0 314 y 0 5x 9 y 2 z 5 592 z 5 7
- §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.2. Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được gọi là hệ Cramer Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 8
- 5.2 Hệ Crame Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy nhất (x1, x2, ,xn) được xác định bởi công thức D x j j D 9
- 5.2 Hệ Crame 10
- 5.2 Hệ Crame Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 11
- 5.2 Hệ Crame 12
- 5.2 Hệ Crame 13
- 5.2 Hệ Crame 14
- 5.2 Hệ Crame Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1 1 2 x1 x 2 2 x 3 1 D1 5 1 3 = -19 2x x 3 x 5 1 2 3 1 2 1 3x1 2 x 2 x 3 1 1 1 2 D2 2 5 3 = -29 1 1 2 3 1 1 D 2 1 3 = -8 1 1 1 3 2 1 D3 2 1 5 = -9 3 2 1 15
- 5.2 Hệ Crame D x 1 19 1 D 8 D x 2 29 2 D 8 D x 3 9 3 D 8 16
- §5: Hệ phương trình tuyến tính 5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss 5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân một số ( 0 ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. Đổi chỗ hai PT của hệ. Nhân một số ( 0 ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ. x y z 1 x y x z y1 z 1 pt3 2 pt2 pt 3 2x y 3 z 2 2 x y 2x 3 z 4 y 2 2 z 10 x 2 y z 5 2x 4 y2 x 2 z y 1 30 z 2 17
- 5. Giải hệ PT bằng PP Gauss Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng. VD x y z 1 x y z 1 x y z 1 pt2 ( 2) pt 1 3y 5 z 0 pt3 pt 2 2x y 3 z 2 pt3 ( 1) pt 1 3y 4 x 2 y z 5 3y 4 3y 5 z 0 1 1 11 1 1 11 1 1 11 h ( 2) h h3 h 2 A 2 1 32 2 1 0 3 50 0 3 04 h3 ( 1) h 1 0 3 50 1 2 15 0 3 04 18
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b Hệ có nghiệm r(A) r(A) Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có + r(A) r(A) hệ vô nghiệm + r(A) r(A) n hệ có nghiệm duy nhất + r(A) r(A) r n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số 19
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Chứng minh. Xét hệ phương trình tổng quát sau: Giả sử A có hạng là r 20
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta có ma trận bổ sung tương ứng 21
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: aa'11 ' 12 a ' 1r a ' 1 n b'1 0a ' a ' a ' b' 22 2r 2 n 2 A' 0 0 a 'rr a ' rn b 'r 0 0 0 0 b r 1 0 0 0 0 bn 22
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có: Nếu r(A) r(A) thì tồn tại ít nhất một trong các br+1, br+2 , ,bn khác 0 nên hệ pt vô nghiệm. Nếu r(A) r(A) n thì hệ là hệ Cramer, nên có nghiệm duy nhất. Nếu r(A) r(A) r n thì chuyển các ẩn xr+1, xr+2, , xn sang vế phải ta được hệ: axax'11 1 ' 12 2 axbax ' 1nr 1 ' 1, rr 1 1 ax ' 1, nn axax'211 ' 222 axbax ' 2nr 2 ' 2,11 rr ax ' 2, nn 23 axax'r1122 ' r axbax ' rrrrrrr ' ,11 ax ' rnn ,
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss axax'11 1 ' 12 2 axbax ' 1nr 1 ' 1, rr 1 1 ax ' 1, nn axax'211 ' 222 axbax ' 2nr 2 ' 2,11 rr ax ' 2, nn axax'r1122 ' r axbax ' rrrrrrr ' ,11 ax ' rnn , Ta gán cho các ẩn xr+1, xr+2, , xn các giá trị cụ thể ta sẽ được một hệ Cramer với r ẩn x1, ,xr. Do đó, trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số. Các ẩn x1, ,xr gọi là các ẩn cơ sở (cơ bản), còn xr+1, xr+2, , xn gọi là các ẩn tự do hay ẩn phụ (tham số). 24
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 5.3.3. Phương pháp Gauss bs Bđsc Hệ Ax=b A =[A|b] Bbs=[B|c] (bậc thang) theo hàng Khi đó: + r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs) + Ax b Bx c 25
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 26
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss h2 2 h 1 h4 4 h 1 h5 h 1 12 11 0 12 11 0 01 1 1 1 011 1 1 h3 7 h 2 h h h h 2 3 0 73 23 4 8 2 0 0 10 5 10 h5 h 2 08 25 2 0 0 10 3 10 0 12 0 2 003 1 3 27
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 12 11 0 12 11 0 011 1 1 011 1 1 0 0 10 5 10 h3 3 h 5 001 2 1 0 0 10 3 10 0 0 10 3 10 00 3 1 3 003 1 3 12 110 12 110 011 11 011 11 h4 10 h 3 17h5 5 h 4 h ( 3 )h 001 21 001 21 5 3 00 0 17 0 0 0 0 17 0 000 50 000 00 r(Abs ) r(A) 4 Hệ có nghiệm duy nhất 28
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 12 110 011 11 Hệ tương đương với 001 21 x 2 xxx 0 1 234 x1 1 0 0 0 17 0 x x x 1 2 3 4 x2 0 000 00 x3 2 x 4 1 x 3 1 17x 0 4 x4 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;0;1;0) 29
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 30
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 31
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: Abs 32
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 33
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss 34
- §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss 35
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss VD3. Giải hệ phương trình: x1 2 x 2 3 x 3 1 (K55-đề 1) 23x1 x 2 7 x 3 3 x1 x 2 4 x 3 2 VD4: Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a, b x1 3 xx 23 4 x 4 0 27x1 x 2 22 x 3 x 4 8 x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b (Đề 2-K53) 36
- 5.4. Hệ PTTT thuần nhất 5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 37
- §5: Hệ PTTT thuần nhất 38
- §5: Hệ PTTT thuần nhất 39
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung a11 a 12 a 1n 0 a a a 0 Abs 21 22 2n am1 a m 2 a mn 0 Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số 40
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp: Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình 41
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Tóm lại: Hệ thuần nhất n ẩn - chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi r(A)=n - có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)≠n. VD1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường. 42
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A)<3. 43
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Cách 1. Ta có: 1 2 1 Biến đổi A 0 3 1 sơ cấp 0 0m 2 Do đó với m 2 r ()3 A Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm không tầm thường 44
- §5: Hệ PTTT thuần nhất Cách 2. Vì r(A)<3 detA=0 nên 1 2 1 det(A ) 2 1 3 1 1 m (3m 6) 0 m 2 45
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 1. Cho hệ phương trình x1 x 2 xx 34 1 2x1 x 2 x 3 3 x 4 8 với a, b là tham số 3xxx1 2 2 3 b 443x1 x 2 x 3 ax 4 14 a) Giải phương trình với a=4, b=-5 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô nghiệm. (Đề 1-K52) (Đ/s: a) (3;1;-2;1) b) a=10, b≠-11) 46
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 2. Cho hệ phương trình x1+ x 2 x 34 ax 5 2x1 2 xx 23 - 3 x 4 10 với a, b là tham số 2xxx1 2 34 +x b 2x1 3 x 2 4 x 3 2 x 4 11 a) Giải phương trình với a=1, b=3 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô số nghiệm. (Đề 2-K52) (Đ/s: a) (2;-1;1;3) b) a=-1, b=-9) 47
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 3. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo a và b x1 2 x 2 - 4 xx 34 4 i) 3xx1 5 2 x 3 2 x 4 7 (Đề 1-K53) 2x1 3 x 2 ax 3 -3 x 4 b x1 3 xx 23 4 x 4 5 ii) 2x1 7-2 xx 2 3 2 x 4 8 (Đề 2-K53) x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b 48
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình x1 x 2 2 xx 34 3 2 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2 i) (Đề 3-K54) 3xx12 2 x 3 x 4 2 2xx1 6 2 7 x 3 13 x 4 10 x1 2 x 2 xx 34 4 2xxx123 4 x 4 =3 ii) (Đề 4-K54) xx12 2 xx 34 1 24x1 x 2 46 x 3 x 4 6 49
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 4. Giải hệ phương trình x1 x 2 2 xx 34 3 2 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2 i) (Đề 3-K54) 3xx12 2 x 3 x 4 2 2xx1 6 2 7 x 3 13 x 4 10 x1 2 x 2 xx 34 4 2xxx123 4 x 4 =3 ii) (Đề 4-K54) xx12 2 xx 34 1 24x1 x 2 46 x 3 x 4 6 50
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 5. Tìm giá trị của tham số thực a để hệ có nghiệm duy nhất x1 x 2 x 3 1 i) 2x1 ax 2 3 x 3 2 (Đề 3-K51) 3x1 ax 2 ( a 1) x 3 5 x1 2 x 2 x 3 3 ii) 2x1 ax 2 ax 3 5 (Đề 4-K51) 3x1 5 x 2 ( a 2) x 3 7 51
- MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 6. Cho hệ phương trình 2x1 6 x 2 16 xx 34 0 x1 3 x 2 x 3 2 x 4 0 xx1 7 2 17 xx 3 3 4 = 0 4xx12 7 x 3 2 x 4 0 i) ii) x1 4 x 2 10 xx 34 + = 0 9x1 3 x 2 14 xx 34 + 0 2x1 2 x 2 4 x 3 3 x 4 0 x1 4 x 2 3 x 3 3 x 4 0 (Đề 1-hè 2010) (Đề 2-hè 2010) a) Giải hệ khi λ=1 b) Với giá trị nào của λ thì số chiều của không gian nghiệm bằng 2? 52