Bài giảng Lập trình Matlab - Chương 2: Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab

97 trang Gia Huy 17/05/2022 4440

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lập trình Matlab - Chương 2: Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_lap_trinh_matlab_chuong_2_su_dung_symbolic_math_to.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lập trình Matlab - Chương 2: Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab

Chương 2: Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng 8 năm 2015 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 1/1
Nội dung Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 2/1
Mở đầu Tổng quan Phần mềm "Symbolic Math Toolbox" kết hợp tính toán "symbolic" vào môi trường số của phần mềm Matlab. Các công cụ này bổ sung cho khả năng tính toán số học và đồ họa của Matlab thêm một số dạng của tính toán toán học, được tóm tắt dưới bảng sau: Tiện ích Nội dung Giải tích (Calculus) Các phép tính đạo hàm, tích phân, giới hạn, tổng và khai triển chuỗi Taylor Đại số tuyến tính (Linear Algebra) Nghịch đảo, định thức, giá trị riêng, SVD và dạng chính tắc của các ma trận symbolic Rút gọn (Simplification) Các phương pháp rút gọn biểu thức đại số Nghiệm của phương trình Nghiệm symbolic và nghiệm số của phương (Solutions of Equations) trình đại số và phương trình vi phân Các hàm toán học đặc biệt Các hàm đặc biệt trong toán học ứng dụng (Specials Mathematical Functions) cổ điển Các phép biến đổi (Transforms) Fourier, Laplace, z và các dạng biến đổi ngược tương ứng. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 3/1
Các đối tượng Symbolic Các kiểu dữ liệu của Matlab và các đối tượng Symbolic tương ứng Ví dụ sau minh họa sự khác nhau giữa một dữ liệu chuẩn của Matlab, ví dụ double và đối tượng symbolic tương ứng. Ví dụ 1 Câu lệnh Matlab: Mặt khác, câu lệnh: >> sqrt(2) >> a=sqrt(sym(2)) cho kết quả là một số cho kết quả ans = a= 1.4142 2^(1/2) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 4/1
Các đối tượng Symbolic Các kiểu dữ liệu của Matlab và các đối tượng Symbolic tương ứng Chú ý 1.1 Matlab cho kết quả 2^(1/2) nghĩa là 21/2, bằng cách sử dụng ký hiệu symbolic cho phép toán căn bậc hai, mà không tính toán giá trị số cụ thể. Matlab lưu biểu thức symbolic này dưới dạng string thay thế cho 21/2. Ta có thể nhận được giá trị số của đối tượng symbolic bằng cách dùng lệnh double: >> double(a) ans = 1.4142 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 5/1
Các đối tượng Symbolic Các kiểu dữ liệu của Matlab và các đối tượng Symbolic tương ứng Chú ý 1.1 (tiếp) Khi ta tạo một phân số dạng symbolic, Matlab sẽ lưu tử số và mẫu số. Ví dụ >> sym(2)/sym(5) ans = 2/5 Matlab thực hiện các phép tính trên các đối tượng symbolic khác với trên các kiểu dữ liệu chuẩn. Ví dụ: >> 2/5+1/3 >> sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) ans = ans = 0.7333 11/15 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 6/1
Tạo các biến và các biểu thức Symbolic Các lệnh sym và syms sym và syms Cho phép ta xây dựng, biến đổi các số, biến và đối tượng thành symbolic. Ví dụ 2 Lệnh >> x=sym(’x’) >> a=sym(’alpha’) tạo ra các biến symbolic x hiển thị bởi x và a hiển thị bởi alpha. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 7/1
Tạo các biến và các biểu thức Symbolic Các lệnh sym và syms Ví dụ 3 √ 1 + 5 Giả sử ta muốn dùng symbolic để biểu diễn "tỷ lệ vàng" ρ = bằng 2 lệnh: >> rho=sym(’(1+sqrt(5))/2’) Bây giờ ta có thể thực hiện các phép toán khác nhau với rho. Ví dụ >> f=rho^2-rho-1 f = (5^(1/2)/2 + 1/2)^2 - 5^(1/2)/2 - 3/2 Sau đó rút gọn biểu thức f sẽ thu được >> simplify(f) ans = 0 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 8/1
Tạo các biến và các biểu thức Symbolic Các lệnh sym và syms Ví dụ 4 Giả sử muốn giải phương trình bậc hai f = ax2 + bx + c. Một cách tiếp cận là dùng lệnh f=sym(’a*x^2+b*x+c’) sẽ gắn biểu thức symbolic ax2 + bx + c cho biến f. Tuy nhiên, trong trường hợp này Symbolic Math Toolbox không tạo ra các biến tương ứng với các số hạng a, b, c, x của biểu thức. Để thực hiện các phép toán symbolic (ví dụ tích phân, đạo hàm, thay thế, etc) trên f, ta phải tạo các biến một cách rõ ràng. Cách tốt hơn đó là dùng các lệnh: >> a=sym(’a’); b=sym(’b’); c=sym(’c’) ; x=sym(’x’); hoặc đơn giản hơn syms a b c x; Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 9/1
Tạo các biến và các biểu thức Symbolic Lệnh findsym Để xác định các biến symbolic nào được có mặt trong biểu thức, sử dụng lệnh findsym. Ví dụ 5 Cho các biểu thức symbolic f và g được xác định bởi >> syms a b n t x z f = x^n; g = sin(a*t + b); Khi đó, ta có thể tìm các biến symbolic có mặt trong f bởi lệnh >> findsym(f) ans = n,x Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 10/1
Thay thế các biến symbolic Lệnh subs Ta có thể thay giá trị số cho một biến symbolic bằng cách sử dụng lệnh subs. Ví dụ 6 Để thay giá trị x = 2 trong biểu thức symbolic f = 2*x^2 - 3*x + 1 nhập vào lệnh >> subs(f,2) sẽ trả về giá trị của f(2): ans= 3 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 11/1
Thay thế các biến symbolic Lệnh subs Chú ý 1.2 Để thay thế một ma trận vào trong một biểu thức symbolic f, sử dụng lệnh polyvalm(sym2poly(f), A), sẽ thay thế x bởi A, và thay thế các hằng số trong f bởi một hằng số nhân với ma trận đơn vị. Khi một biểu thức có nhiều hơn một biến symbolic, ta có thể xác định biến cần thay thế. Ví dụ, để thay giá trị x = 3 trong biểu thức symbolic >> syms x y >> f = x^2*y + 5*x*sqrt(y) sử dụng câu lệnh >> subs(f, x, 3) sẽ thu được ans = 9*y+15*y^(1/2) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 12/1
Thay thế các biến symbolic Biến symbolic mặc định Nếu ta không xác định một biến để thay thế, Matlab sẽ chọn một biến mặc định theo qui tắc sau. Đối với biến một chữ cái, Matlab chọn biến gần với x nhất trong bảng chữ cái. Nếu có hai biến gần x như nhau, Matlab sẽ chọn biến đứng sau trong bảng chữ cái. Trong ví dụ trên, hai lệnh subs(f,3) subs(f,x,3) cho kết quả giống nhau. Ta có thể sử dụng lệnh findsym để xác định biến mặc định. Ví dụ >> syms s t >> g = s + t; >> findsym(g,1) sẽ trả về biến mặc định: ans = t Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 13/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biểu thức symbolic dạng dấu chấm động Xét giá trị ban đầu trong Matlab >> t = 0.1 Hàm sym có bốn tùy chọn cho việc trả về các biểu diễn symbolic của giá trị số lưu trữ trong t. Tùy chọn ’f’ >> sym(t,’f’) trả về một biểu diễn symbolic dưới dạng dấu chấm động ans = 3602879701896397/36028797018963968 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 14/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biểu thức symbolic dạng hữu tỷ Tùy chọn ’r’ >> sym(t,’r’) trả về dạng hữu tỷ 1/10 Đây là tùy chọn mặc định của hàm sym. Nghĩa là, nếu gọi sym mà không có thành phần thứ hai cũng giống như sử dụng sym với cùy chọn ’r’: sym(t) ans = 1/10 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 15/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biểu thức symbolic dạng hữu tỷ Tùy chọn ’e’ Tùy chọn ’e’ trả về dạng hữu tỷ của t cộng với sự sai khác giữa giá trị thực của dạng hữu tỷ của t và giá trị thực (máy) dưới dạng dấu chấm động trong dạng eps (độ chính xác tương đối dạng dấu chấm động) sym(t,’e’) ans = 1/10+eps/40 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 16/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biểu thức symbolic dạng thập phân Tùy chọn ’d’ Tùy chọn thứ tư ’d’ trả về dạng thập phân mở rộng đến số các chữ số có nghĩa, xác định bởi hàm digits: sym(t,’d’) ans = .10000000000000000555111512312578 Giá trị mặc định của digits là 32. Nếu muốn dạng ngắn hơn, ta có thể dùng lệnh như sau: digits(7) sym(t,’d’) ans = .1000000 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 17/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biến đổi ma trận symbolic về ma trận dạng số Một tính năng riêng của lệnh sym đó là chuyển một ma trận dạng số về dạng symbolic. Ví dụ, lệnh >> A = hilb(3) sẽ tạo ra ma trận Hilbert cấp 3: A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 18/1
Biến đổi giữa symbolic và số Biến đổi ma trận symbolic về ma trận dạng số Áp dụng lệnh sym lên A: >> A = sym(A) ta sẽ nhận được dạng symbolic của ma trận Hilbert cấp 3: A = [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 19/1
Biến đổi giữa symbolic và số Tạo các biến thực và phức Lệnh sym cho phép ta định rõ tính chất của biến symbolic bằng cách sử dụng tùy chọn ’real’. Các câu lệnh >> x = sym(’x’,’real’); y = sym(’y’,’real’); hoặc đơn giản hơn >> syms x y real >> z = x + i*y tạo các biến thực x và y. Do đó, z là một biến phức và ta có thể thực hiện các lệnh conj(x), conj(z), expand(z*conj(z)) sẽ trả về x, x-i*y, x^2+y^2 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 20/1
Biến đổi giữa symbolic và số Xóa các biến trong không gian làm việc của nhân Maple Khi ta tổ chức biến thực x với lệnh >> syms x real x trở thành một đối tượng symbolic trong không gian làm việc của Matlab và là một biến thực dương trong nhân làm việc của Maple. Nếu muốn bỏ thuộc tính thực của x, nhập vào >> syms x unreal Nếu bạn muốn xóa toàn bộ các định nghĩa biến trong không gian làm việc của nhân Maple, nhập vào >> maple restart Chú ý rằng lệnh >> clear x chỉ xóa biến x trong không gian làm việc cùa Matlab. Nếu sau đó ta nhập syms x mà không xóa x trong môi trường làm việc của nhân Maple thì Matlab sẽ xem x như là một số thực dương. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 21/1
Biến đổi giữa symbolic và số Tạo các hàm trừu tượng Nếu muốn tạo một hàm trừu tượng f(x), nhập vào >> f = sym(’f(x)’) Khi đó, f hoạt động như là f(x) và có thể xử lý bằng các lệnh Matlab. Ví dụ, để xây dựng tỷ sai phân cấp 1, viết >> df = (subs(f,’x’,’x+h’) - f)/’h’ hoặc >> syms x h >> df = (subs(f,x,x+h)-f)/h sẽ trả về df = (f(x+h)-f(x))/h Ứng dụng này rất hữu ích trong các phép biến đổi Fourier, Laplace và z−. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 22/1
Biến đổi giữa symbolic và số Dùng sym để truy cập các hàm của Maple Ta có thể truy cập hàm tính giai thừa k bằng cách sử dụng lệnh sym >> kfac = sym(’k!’) Khi đó, để tính 5! hoặc n!, viết >> syms k n >> subs(kfac,k,5), subs(kfac,k,n) ans = 120 ans = factorial(n) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 23/1
Biến đổi giữa symbolic và số Tạo một ma trận symbolic Ta có thể tạo một ma trận vòng A từ Để thay A(2,3) bằng beta và b bằng các phần tử a, b, c bằng cách nhập alpha, dùng các lệnh >> syms a b c >> syms alpha beta; >> A=[a b c; b c a; c a b] >> A(2,3) = beta; >> A = subs(A,b,alpha) A = sẽ thu được [ a, b, c] [ b, c, a] A = [ c, a, b] [ a, alpha, c] [ alpha, c, beta] [ c, a, alpha] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 24/1
Biến đổi giữa symbolic và số Tạo các hàm toán học dạng symbolic Sử dụng biểu thức symbolic Tạo các M-file Các lệnh M-file cho phép ta dùng các hàm tổng quát hơn. Giả sử, muốn tạo hàm >> syms x y z  sin(x)  x 6= 0 >> r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) sinc(x) = x >> t = atan(y/x)  1 x = 0 >> f = sin(x*y)/(x*y) ta viết file sinc.m có nội dung sau tạo ra các biểu thức symbolic r, t, function z = sinc(x) và f. Ta có thể dùng diff, int, if isequal(x,sym(0)) subs, và các hàm khác trong Symbolic z = 1; Math Toolbox để xử lý các biểu thức else trên. z = sin(x)/x; end Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 25/1
Nội dung Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 26/1
Giải tích Đạo hàm Để minh họa việc tính đạo hàm sử dụng Symbolic Math Toolbox, trước hết tạo biểu thức symbolic >> syms x >> f = sin(5*x) Khi đó, lệnh >> diff(f) sẽ tính đạo hàm của f theo đối x: >> ans = 5*cos(5*x) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 27/1
Giải tích Đạo hàm Để tính đạo hàm cấp hai của f, nhập vào >> diff(f,2) ans = (-25)*sin(5*x) Ta có thể nhận được cùng kết quả trên bằng cách dùng lệnh >> diff(diff(f)) ans = (-25)*sin(5*x) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 28/1
Giải tích Đạo hàm Chú ý 2.1 Khi lấy đạo hàm của một hằng số, trước hết ta phải định nghĩa hằng số đó như là một biểu thức symbolic. Ví dụ >> c = sym(’5’); >> diff(c) ans = 0 Nếu ta chỉ nhập >> diff(5) sẽ trả về ans = [] Bởi vì 5 không phải là một biểu thức symbolic. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 29/1
Giải tích Đạo hàm của các hàm nhiều biến Để tính đạo hàm riêng của một hàm nhiều biến, ta phải xác định biến muốn lấy đạo hàm. Ví dụ, cho biểu thức symbolic >> syms s t >> f = sin(s*t) Khi đó, lệnh >> diff(f,t) sẽ tính đạo hàm riêng của f theo đối t. Kết quả là ans = s*cos(s*t) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 30/1
Giải tích Đạo hàm của các hàm nhiều biến Để tính đạo hàm của f theo đối s, nhập vào >> diff(f,s) sẽ trả về ans = t*cos(s*t) Nếu ta không chỉ rõ biến lấy đạo hàm, Matlab sẽ chọn biến mặc định được xác định bởi lệnh symvar: >> symvar(f, 1) ans = t Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 31/1
Giải tích Đạo hàm của các hàm nhiều biến Để tính đạo hàm riêng cấp hai theo đối t, nhập vào >> diff(f, t, 2) sẽ trả về ans = -s^2*sin(s*t) Chú ý rằng lệnh diff(f,2) sẽ cho cùng kết quả vì t là biến mặc định. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 32/1
Giải tích Giới hạn Symbolic Math Toolbox cho phép tính giới hạn của các hàm số một cách trực tiếp. Các lệnh >> syms h n x >> limit((cos(x+h) - cos(x))/h, h, 0) sẽ trả về ans = -sin(x) và >> limit((1 + x/n)^n, n, inf) sẽ trả về ans = exp(x) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 33/1
Giải tích Giới hạn một phía x Để tính giới hạn trái lim , nhập vào x→0− |x| >> limit(x/abs(x),x,0,’left’) ans = -1 x Để tính giới hạn phải lim , nhập vào x→0+ |x| >> limit(x/abs(x),x,0,’right’) ans = 1 Vì các giới hạn trái khác giới hạn phải nên giới hạn 2 phía không tồn tại. Trong trường hợp này, Matlab trả về giá trị trừu tượng NaN (not a number). Ví dụ, >> limit(x/abs(x),x,0) ans = NaN Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 34/1
Giải tích Tích phân Nếu f là một biểu thức symbolic thì >> int(f) sẽ trả về tích phân bất định hay nguyên hàm của f. Tương tự như phép tính đạo hàm, >> int(f,v) sử dụng đối tượng symbolic v như là biến lấy tích phân. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 35/1
Giải tích Tích phân Ta có thể xem hoạt động của lệnh int ở bảng sau: Hàm toán học Lệnh Matlab  Z log x n = −1 n  x dx = xn+1 int(x^n) hay int(x^n,x) ngược lại  n + 1 π/2 Z sin(2x)dx = 1 int(sin(2*x),0,pi/2) hay 0 int(sin(2*x),x,0,pi/2) g = cos at + b g=cos(a*t+b) Z 1 g(t)dt = sin(at + b) int(g) hay int(g,t) a Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 36/1
Giải tích Tích phân Một trong các vấn đề của tích phân symbolic đó là "giá trị" của các tham số. +∞ Z 2 Ví dụ, nếu ta muốn tính tích phân I = e−ax dx mà không gắn dấu cho a, −∞ Matlab sẽ coi như a là một số phức và do đó sẽ cho kết quả dưới dạng phức. Nếu ta chỉ quan tâm trường hợp a là số thực dương, ta có thể tính tích phân trên như sau: >> syms a positive; Bây giờ ta có thể sử dụng các lệnh >> syms x; >> f = exp(-a*x^2); >> int(f,x,-inf,inf) sẽ trả về ans = 1/(a)^(1/2)*pi^(1/2) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 37/1
Giải tích Tích phân Nếu ta muốn tính tích phân trên với a là một số thực bất kỳ: >> syms a real >> f=exp(-a*x^2); >> F = int(f, x, -inf, inf) F = piecewise([1/a^(1/2)*pi^(1/2), signum(a) = 1],[Inf, otherwise]) Ta có thể dùng lệnh pretty(F) để nhận được dạng dễ đọc hơn: { 1/2 { pi { signum(a~) = 1 { 1/2 { a~ { { Inf otherwise Ký hiệu ~ sau a cho ta biết a là một số thực và signum(a~) là dấu của a. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 38/1
Giải tích Tích phân +∞ Z 2 Để tính tích phân I = e−ax dx với a là một số phức, nhập vào −∞ >> syms a x unreal >> f = exp(-a*x^2); >> F = int(f, x, -inf, inf) sẽ trả về F = piecewise([a 0, pi^(1/2)/a^(1/2)], [Otherwise, int(1/exp(a*x^2), x = -Inf Inf)]) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 39/1
Giải tích Tích phân Ta có thể sử dụng lệnh int để tính tích phân nhiều lớp. Ví dụ, để tính tích Z 1 Z 1−x2 phân 2 lớp I = xydydx ta dùng các lệnh sau 0 1−x >> syms x y; >> firstint=int(x*y,y,1-x,1-x^2) firstint = (x^2*(x - 1)^2*(x + 2))/2 >> answer=int(firstint,x,0,1) answer = 1/24 hoặc gọn hơn >> int(int(x*y,y,1-x,1-x^2),x,0,1) ans = 1/24 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 40/1
Giải tích Tích phân Hoàn toàn tương tự ta có thể tính tích phân 3 lớp, ví dụ 3 3−x 3−x−y Z Z Z I = xyzdzdydx 0 0 0 bởi các lệnh >> syms x y z; >> I=int(int(int(x*y*z,z,0,3-x-y),y,0,3-x),x,0,3) I = 81/80 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 41/1
Giải tích Tính tổng Ta có thể tính các tổng symbolic bằng cách sử dụng lệnh symsum. Ví dụ, chuỗi 1 1 1 + + + ··· 22 32 π2 có tổng là , trong khi chuỗi hàm 6 1 + x + x2 + 1 có tổng là , với |x| > syms x k >> s1 = symsum(1/k^2,1,inf) >> s2 = symsum(x^k,k,0,inf) s1 = 1/6*pi^2 s2 = -1/(x-1) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 42/1
Giải tích Chuỗi Taylor Các câu lệnh >> syms x >> f = 1/(5+4*cos(x)) >> T = taylor(f,8) cho kết quả T = 1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6 chứa tất cả các số hạng có bậc nhỏ hơn 8 trong khai triển chuỗi Taylor tại lân cận x = 0 (khai triển Maclaurin) của hàm f(x): ∞ (n) X f (a) n (x − a) . n! n=0 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 43/1
Giải tích Chuỗi Taylor Các câu lệnh >> syms x >> g = exp(x*sin(x)) >> t = taylor(g,12,2); tạo ra 12 số hạng đầu khác 0 của chuỗi Taylor tại lân cận x = 2 của g. Tiếp theo, ta vẽ đồ thị của cả hai hàm g và xấp xỉ Taylor t của nó: xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd); ezplot(t, [1,3]); hold on; plot(xd, yd, ’r-.’) title(’Taylor approximation vs. actual function’); legend(’Taylor’,’Function’) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 44/1
Rút gọn Xét các biểu thức dạng symbolic khác nhau của cùng một hàm toán học: >> syms x >> f = x^3-6*x^2+11*x-6 >> g = (x-1)*(x-2)*(x-3) >>h = -6+(11+(-6+x)*x)*x Nhập vào các lệnh >> pretty(f), pretty(g), pretty(h) ta nhận được 3 2 x - 6 x + 11 x - 6 (x - 1) (x - 2) (x - 3) -6 + (11 + (-6 + x) x) x Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 45/1
Rút gọn collect Câu lệnh >> collect(f) xem f như là một đa thức đối với biến symbolic x, và gộp tất cả các hệ số cùng bậc của x. Sau đây là một vài ví dụ f collect(f) (x-1)*(x-2)*(x-3) x^3-6*x^2+11*x-6 x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6 (1+x)*t + x*t 2*x*t+t Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 46/1
Rút gọn expand Câu lệnh >> expand(f) khai triển biểu thức f bằng cách áp dụng tính chất phân phối của phép nhân lên phép cộng và các đồng nhất thức đối với phép cộng được mô tả bởi bảng sau: f expand(f) a*(x+y) a*x+a*y (x-1)*(x-2)*(x-3) x^3-6*x^2+11*x-6 x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6 exp(a+b) exp(a)*exp(b) cos(x+y) cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) cos(3*acos(x)) 4*x^3-3*x Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 47/1
Rút gọn horner Câu lệnh >> horner(f) biến đổi một đa thức thành dạng Horner hay biểu diễn lồng nhau. Một số ví dụ f horner(f) x^3-6*x^2+11*x-6 x*(x*(x - 6) + 11) - 6 1.1+2.2*x+3.3*x^2 x*((33*x)/10 + 11/5) + 11/10 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 48/1
Rút gọn factor Nếu f là một đa thức với các hệ số hữu tỷ, lệnh >> factor(f) biểu diễn f thành tích các đa thức hữu tỷ bậc nhỏ hơn. Nếu f là bất khả qui, Matlab sẽ trả về kết quả chính là f. Sau đây là một vài ví dụ f factor(f) x^3-6*x^2+11*x-6 (x-1)*(x-2)*(x-3) x^3-6*x^2+11*x-5 x^3-6*x^2+11*x-5 x^6+1 (x^2+1)*(x^4-x^2+1) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 49/1
Rút gọn simplify Hàm simplify rất hữu dụng trong việc rút gọn các biểu thức nói chung. Sau đây là một số ví dụ: f simplify(f) x*(x*(x-6)+11)-6 x^3-6*x^2+11*x-6 (1-x^2)/(1-x) x+1 (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3) ((2*a+1)^3/a^3)^(1/3) syms x y positive log(x)+log(y) log(x*y) exp(x) * exp(y) exp(x+y) cos(x)^2 + sin(x)^2 1 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 50/1
Rút gọn simple Hàm simple trả về dạng ngắn nhất có thể của một biểu thức. Simple có rất nhiều dạng, mỗi dạng lại cho một kết quả khác nhau. Dạng simple(f) hiển thị kết quả ngắn nhất, ví dụ câu lệnh simple(cos(x)^2 + sin(x)^2) cho kết quả: ans = 1 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 51/1
Rút gọn simple Đôi khi, hàm simple cải tiến kết quả cho bởi hàm simplify. Ví dụ, khi áp dụng các ví dụ cho bởi simplify, simple cho kết quả đơn giản hơn (hoặc ít nhất ngắn hơn). Xét các ví dụ sau: f simplify(f) simple(f) (1/a^3+6/a^2+12/a+8)^(1/3) ((2*a+1)^3/a^3)^(1/3) (2*a+1)/a syms x y positive log(x)+log(y) log(x*y) log(x*y) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 52/1
Rút gọn simple Hàm simple đặc biệt hiệu quả trong việc rút gọn các biểu thức lượng giác. Sau đây là một số ví dụ: f simple(f) cos(x)^2+sin(x)^2 1 2*cos(x)^2-sin(x)^2 3*cos(x)^2-1 cos(x)^2-sin(x)^2 cos(2*x) cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2) cos(x)+i*sin(x) cos(x)+i*sin(x) exp(i*x) cos(3*acos(x)) 4*x^3-3*x Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 53/1
Đại số tuyến tính Các phép toán đại số cơ bản Các phép toán đại số cơ bản trên các đối tượng symbolic cũng giống như đối với lớp double. Ví dụ, các lệnh >> syms t; >> G = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)] tạo ra G = [ cos(t), sin(t) ] [ -sin(t), cos(t) ] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 54/1
Đại số tuyến tính Các phép toán đại số cơ bản Cả hai câu lệnh >> A = G*G và >> A = G^2 tạo ra A = [cos(t)^2-sin(t)^2, 2*cos(t)*sin(t)] [ -2*cos(t)*sin(t), cos(t)^2-sin(t)^2] Áp dụng hàm simple A = simple(A) A = [ cos(2*t), sin(2*t)] [-sin(2*t), cos(2*t)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 55/1
Đại số tuyến tính Các phép toán đại số cơ bản Ma trận G là ma trận trực giao (G0 = G−1), có thể kiểm chứng điều này bởi >> I = G.’ *G sẽ tạo ra I = [cos(t)^2+sin(t)^2, 0] [ 0, cos(t)^2+sin(t)^2] Đơn giản hóa: >> I = simple(I) I = [1, 0] [0, 1] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 56/1
Đại số tuyến tính Các phép toán cơ bản trong đại số tuyến tính Lệnh >> H = hilb(3) tạo ra ma trận Hilbert cấp 3 H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 Biến đổi H thành ma trận symbolic >> H = sym(H) H = [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 57/1
Đại số tuyến tính Các phép toán cơ bản trong đại số tuyến tính Tính nghịch đảo: >> inv(H) ans = [ 9, -36, 30] [ -36, 192, -180] [ 30, -180, 180] và định thức >> det(H) ans= 1/2160 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 58/1
Đại số tuyến tính Các phép toán cơ bản trong đại số tuyến tính Ta có thể sử dụng toán tử \ để giải hệ đại số tuyến tính: >> b = [1 1 1]’ >> x = H\b % Giải hệ Hx = b x= 3 -24 30 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 59/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Các giá trị riêng dạng symbolic của ma trận vuông A hoặc giá trị riêng và vector riêng dạng symbolic của A được tính bằng các lệnh tương ứng sau >> E = eig(A) >> [V,E] = eig(A) Các giá trị riêng của A là nghiệm của đa thức đặc trưng det(A-x*I), được tính bởi >> poly(A) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 60/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Xét ma trận H H = [8/9, 1/2, 1/3] [1/2, 1/3, 1/4] [1/3, 1/4, 1/5] Ma trận này là suy biến, do đó có ít nhất một giá trị riêng bằng 0. Câu lệnh >> [T,E] = eig(H) tạo ra các ma trận T và E. Các cột của T là các vector riêng của H T = [ 1, 28/153+2/153*12589^(1/2), 28/153-2/153*12589^(12)] [ -4, 1, 1] [ 10/3, 92/255-1/255*12589^(1/2), 292/255+1/255*12589^(12)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 61/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Tương tự, các thành phần trên đường chéo chính của E là các trị riêng của H: E = [0, 0, 0] [0, 32/45+1/180*12589^(1/2), 0] [0, 0, 32/45-1/180*12589^(1/2)] Sẽ dễ dàng hiểu được cấu trúc của các ma trận T và E nếu ta chuyển chúng về dạng thập phân: >> Td = double(T) >> Ed = double(E) sẽ cho Td = Ed = 1.0000 1.6497 -1.2837 0 0 0 -4.0000 1.0000 1.0000 0 1.3344 0 3.3333 0.7051 1.5851 0 0 0.0878 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 62/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Giá trị riêng đầu tiên bằng 0. Vector riêng tương ứng (cột đầu tiên của T d). Hai giá trị riêng còn lại là kết quả của việc áp dụng công thức toàn phương đối với x^2-64/45*x+253/2160 là nhân tử bậc hai trong khai triển factor(poly(H)): >> syms x >> g = simple(factor(poly(H))/x); >> solve(g) ans = [ 32/45+1/180*12589^(1/2)] [ 32/45-1/180*12589^(1/2)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 63/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Các lệnh trong Symbolic Math Toolbox >> syms t >> A = sym([0 1; -1 0]); >> G = expm(t*A) trả về G= [ cos(t), sin(t)] [ -sin(t), cos(t)] Tiếp theo, lệnh >> g = eig(G) g = [ cos(t)+(cos(t)^2-1)^(1/2)] [ cos(t)-(cos(t)^2-1)^(1/2)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 64/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng Ta có thể dùng simple để rút gọn g nhiều lần: for j = 1:4 [g,how] = simple(g) end sẽ cho ta kết quả tốt nhất: g = [ cos(t)+(-sin(t)^2)^(1/2)] [ cos(t)-(-sin(t)^2)^(1/2)] how = mwcos2sin g = [ cos(t)+i*sin(t)] [ cos(t)-i*sin(t)] how = radsimp Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 65/1
Đại số tuyến tính Giá trị riêng g = [ exp(i*t)] [ 1/exp(i*t)] how = convert(exp) g = [ exp(i*t)] [ exp(-i*t)] how = simplify Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 66/1
Đại số tuyến tính Dạng Jordan chính tắc Dạng Jordan chuẩn tắc nhận được từ việc chéo hóa một ma trận bằng các phép biến đổi đồng dạng. Với ma trận đã cho A, tìm một ma trận không suy biến V sao cho inv(V)*A*V hay gọn hơn J=V\A*V "càng gần với ma trận đường chéo càng tốt". Với hầu hết các ma trận, dạng Jordan chính tắc là ma trận đường chéo của các giá trị riêng và các cột của ma trận chuyển vị của ma trận các vector riêng. Điều này luôn đúng nếu A là ma trận đối xứng hoặc có các giá trị riêng phân biệt. Một số ma trận không đối xứng cùng các giá trị riêng bội không thể chéo hóa được. Câu lệnh >> J = jordan(A) tính dạng Jordan chuẩn tắc của A. Câu lệnh >> [V,J] = jordan(A) trả về thêm ma trận V có các cột là các vector riêng mở rộng của A. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 67/1
Đại số tuyến tính Dạng Jordan chính tắc Dạng chính tắc Jordan rất "nhạy cảm" với các nhiễu. Điều này gây khó khăn cho việc tính dạng Jordan với kết quả dạng dấu chấm động. Điều này cũng đòi hỏi phải biết chính xác ma trận A. Các phần tử của A phải là các số nguyên hoặc tỷ số của các số nguyên nhỏ. Ví dụ: >> A = sym([12,32,66,116;-25,-76,-164,-294; 21,66,143,256;-6,-19,-41,-73]) A = [ 12, 32, 66, 116] [ -25, -76, -164, -294] [ 21, 66, 143, 256] [ -6, -19, -41, -73] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 68/1
Đại số tuyến tính Dạng Jordan chính tắc Khi đó >> [V,J] = jordan(A) V = [ 4, -2, 4, 3] [ -6, 8, -11, -8] [ 4, -7, 10, 7] [ -1, 2, -3, -2] J = [ 1, 1, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 2, 1] [ 0, 0, 0, 2] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 69/1
Đại số tuyến tính Dạng Jordan chính tắc Ta thấy A có giá trị riêng bội tại 1, chỉ có hai vector riêng V(:,1) và V(:,3). Chúng thỏa mãn A*V(:,1) = 1*V(:,1) A*V(:,3) = 2*V(:,3) Hai cột còn lại của V là các vector riêng mở rộng của 2: A*V(:,2) = 1*V(:,2) + V(:,1) A*V(:,4) = 2*V(:,4) + V(:,3) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 70/1
Đại số tuyến tính Phân tích giá trị kỳ dị (SVD) Nếu A là một ma trận symbolic dạng dấu chấm động hay biến số chính xác thì >> S = svd(A) tính các giá trị kỳ dị của A và >> [U,S,V] = svd(A); tạo ra hai ma trận trực giao U, V , và ma trận đường chéo S sao cho A = U ∗ S ∗ V 0; Xét ma trận cấp n với các phần tử A(i,j) = 1/(i-j+1/2). Với n = 5 ta có [ 2 -2 -2/3 -2/5 -2/7] [2/3 2 -2 -2/3 -2/5] [2/5 2/3 2 -2 -2/3] [2/7 2/5 2/3 2 -2] [2/9 2/7 2/5 2/3 2] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 71/1
Đại số tuyến tính Phân tích giá trị kỳ dị (SVD) Điều này dẫn đến việc rất nhiều giá trị kỳ dị của A gần với π. Cách rõ nhất để tạo ra ma trận này: for i=1:n for j=1:n A(i,j) = sym(1/(i-j+1/2)); end end Cách thuận tiện nhất để tạo ra ma trận A là [J,I] = meshgrid(1:n); A = sym(1./(I - J+1/2)); Vì các phần tử của A là các tỷ lệ của các số nguyên nhỏ nên hàm vpa(A) tạo ra một biểu diễn biến số chính xác. Do đó S = svd(vpa(A)) sẽ tính các giá trị kỳ dị một cách hoàn toàn chính xác. Với n = 16 và digits(30), kết quả sẽ là Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 72/1
Đại số tuyến tính Phân tích giá trị kỳ dị (SVD) S = [ 1.20968137605668985332455685357 ] [ 2.69162158686066606774782763594 ] [ 3.07790297231119748658424727354 ] [ 3.13504054399744654843898901261 ] [ 3.14106044663470063805218371924 ] [ 3.14155754359918083691050658260 ] [ 3.14159075458605848728982577119 ] [ 3.14159256925492306470284863102 ] [ 3.14159265052654880815569479613 ] [ 3.14159265349961053143856838564 ] [ 3.14159265358767361712392612384 ] [ 3.14159265358975439206849907220 ] [ 3.14159265358979270342635559051 ] [ 3.14159265358979323325290142781 ] [ 3.14159265358979323843066846712 ] [ 3.14159265358979323846255035974 ] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 73/1
Giải phương trình Giải các phương trình đại số Nếu S là một biểu thức symbolic thì lệnh >> solve(S) sẽ tìm giá trị của các biến symbolic có trong S (có thể xác dịnh bởi lệnh findsym) sao cho S = 0. Ví dụ syms a b c x S = a*x^2 + b*x + c; solve(S) sẽ cho kết quả là một vector symbolic mà các thành phần là 2 nghiệm của phương trình S = 0: ans = [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 74/1
Giải phương trình Giải các phương trình đại số Nếu ta muốn giải phương trình với biến định trước, ta phải chỉ rõ biến đó, ví dụ nếu ta giải S = 0 theo đối b >> b = solve(S,b) b = -(a*x^2+c)/x Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 75/1
Giải phương trình Giải các phương trình đại số Chú ý 2.2 Chú ý rằng các ví dụ trên đều giả thiết phương trình có dạng f(x) = 0. Nếu muốn giải phương trình dạng f(x) = q(x), ta phải sử dụng một chuỗi trích dẫn. Nói riêng, lệnh >> s = solve(’cos(2*x)+sin(x)=1’) cho ta một vector chứa 4 nghiệm: s = [ 0] [ pi] [ 1/6*pi] [ 5/6*pi] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 76/1
Giải phương trình Giải hệ phương trình đại số Giả sử cần tìm nghiệm (x, y) của hệ phương trình (x2y2 = 0 y x − = α 2 >> syms x y alpha >> [x,y] = solve(x^2*y^2, x-y/2-alpha) x = [ 0] [ 0] [ alpha] [ alpha] y = [ -2*alpha] [ -2*alpha] [ 0] [ 0] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 77/1
Giải phương trình Giải hệ phương trình đại số Do đó, vector nghiệm >> v = [x, y] v= xuất hiện các thành phần dư thừa. Nguyên nhân là do phương trình ban đầu x2y2 = 0 có 2 nghiệm x = ±0, y = ±0. Thay đổi hệ thành eqs1 = ’x^2*y^2=1, x-y/2-alpha’ [x,y] = solve(eqs1) tạo ra 4 nghiệm phân biệt: x = y = [ 1/2*alpha+1/2*(alpha^2+2)^(1/2)] [ -alpha+(alpha^2+2)^(1/2)] [ 1/2*alpha-1/2*(alpha^2+2)^(1/2)] [ -alpha-(alpha^2+2)^(1/2)] [ 1/2*alpha+1/2*(alpha^2-2)^(1/2)] [ -alpha+(alpha^2-2)^(1/2)] [ 1/2*alpha-1/2*(alpha^2-2)^(1/2)] [ -alpha-(alpha^2-2)^(1/2)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 78/1
Giải phương trình Giải hệ phương trình đại số Cách làm trên chỉ thích hợp với hệ có ít phương trình. Rõ ràng, nếu ta xét một hệ 10 phương trình, 10 ẩn, sẽ phải nhập vào [x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve( ) Điều này thật bất tiện và tốn thời gian. Nhằm tránh khó khăn này, solve sẽ trả về một cấu trúc mà các trường của nó chính là các nghiệm. Nói riêng, ta xét hệ u2 − v2 = a2, u + v = 1, a2 − 2a = 3, lệnh S = solve(’u^2-v^2 = a^2’,’u + v = 1’,’a^2-2*a = 3’) S = a: [2x1 sym] u: [2x1 sym] v: [2x1 sym] Các nghiệm được lưu trong các trường của S. Ví dụ S.a ans = [ 3] [ -1] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 79/1
Giải phương trình Giải hệ phương trình đại số Tương tự đối với các nghiệm u, v. Cấu trúc S bây giờ có thể xử lý bằng trường và các chỉ số để truy cập tới các nghiệm cụ thể. Ví dụ, nếu ta muốn kiểm tra nghiệm thứ hai, có thể dùng lệnh sau s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)] s2 = [ -1, 1, 0] Câu lệnh sau M = [S.a, S.u, S.v] tạo ra một ma trận nghiệm M = [ 3, 5, -4] [ -1, 1, 0] có các dòng chứa các nghiệm của hệ. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 80/1
Giải phương trình Giải hệ phương trình đại số Hệ tuyến tính có thể giải bằng lệnh solve bằng cách sử dụng phép chia ma trận. Ví dụ clear u v x y syms u v x y S = solve(x+2*y-u, 4*x+5*y-v); sol = [S.x;S.y] và A = [1 2; 4 5]; b = [u; v]; z = A\b cho các kết quả sol = z = [ -5/3*u+2/3*v] [ -5/3*u+2/3*v] [ 4/3*u-1/3*v] [ 4/3*u-1/3*v] Do đó sol và z tạo ra cùng một nghiệm, mặc dù chúng được gắn với các biến khác nhau. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 81/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Hàm dsolve tìm các nghiệm symbolic của phương trình vi phân thường. Các phương trình được mô tả bằng các biểu thức symbolic, trong đó chữ cái D dùng để ký hiệu đạo hàm. Các ký hiệu D2, D3, , Dn tương ứng với các đạo hàm các cấp 2, 3, . . . , n tương ứng. Do đó D2y sẽ tương d2y đương với . dt2 Các biến phụ thuộc sẽ đi sau D và biến độc lập mặc định là t. Chú ý rằng tên của biến symbolic không được chứa ký tự D. Có thể dùng biến độc lập khác bằng cách nhập nó như là thông số cuối của dsolve. Các điều kiện đầu có thể được mô tả như là các phương trình phụ, nếu không có điều kiện đầu, các nghiệm sẽ chứa các hằng số C1,C2, Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 82/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Cú pháp của dsolve có thể được mô tả trong bảng sau: Cú pháp Phạm vi y=dsolve(’Dy=y0*y’) Một phương trình, một nghiệm [u,v]=dsolve(’Du=v’,’Dv=u’) Hai phương trình, hai nghiệm S=dsolve(’Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-f’) Ba phương trình, nghiệm cấu trúc Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 83/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Ví dụ 7 Câu lệnh >> dsolve(’Dy=1+y^2’) sử dụng y như là biến phụ thuộc và t là biến độc lập mặc định. Kết quả: ans = tan(t+C1) Để thêm điều kiện đầu, ta dùng >> y = dsolve(’Dy=1+y^2’,’y(0)=1’) y = tan(t+1/4*pi) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 84/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Ví dụ 8 Các phương trình phi tuyến có thể có nhiều nghiệm, ngay cả khi điều kiện đầu đã cho: >> x = dsolve(’(Dx)^2+x^2=1’,’x(0)=0’) x = [ sin(t)] [ -sin(t)] Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 85/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Ví dụ 9 Xét phương trình vi phân cấp hai với hai điều kiện đầu. Các lệnh >> y = dsolve(’D2y=cos(2*x)-y’,’y(0)=1’,’Dy(0)=0’, ’x’); >> simplify(y) tạo ra ans = 4/3*cos(x)-2/3*cos(x)^2+1/3 Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 86/1
Giải phương trình Giải các phương trình vi phân Ví dụ 10 Điều mấu chốt trong ví dụ này là bậc của phương trình và các điều kiện đầu. Để giải phương trình vi phân thường  d3y  = u dx3  u(0) = 1, u0(0) = −1, u00(0) = π ta sử dụng các lệnh >> u = dsolve(’D3u=u’,’u(0)=1’,’Du(0)=-1’,’D2u(0) = pi’,’x’) u = (pi*exp(x))/3 - (cos((3^(1/2)*x)/2)*(pi/3 - 1))/exp(x/2) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2)*(pi + 1))/(3*exp(x/2)) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 87/1
Giải phương trình Giải các hệ phương trình vi phân Hàm dsolve có thể giải hệ phương trình vi phân có hoặc không có điều kiện đầu. Ví dụ, xét hệ hai phương trình tuyến tính cấp 1 >> S = dsolve(’Df = 3*f+4*g’, ’Dg = -4*f+3*g’) Nghiệm tính được sẽ có dạng cấu trúc S. Ta có thể xác định các giá trị của f và g bằng cách nhập f = S.f f = exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)) g = S.g g = exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t)) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 88/1
Giải phương trình Giải các hệ phương trình vi phân Nếu ta muốn thêm điều kiện đầu: >> [f,g] = dsolve(’Df=3*f+4*g, Dg =-4*f+3*g’, ’f(0) = 0, g(0) = 1’) f = exp(3*t)*sin(4*t) g = exp(3*t)*cos(4*t) Một số ví dụ khác : Phương trình vi phân Lệnh Matlab dy + 4y(t) = e−t y=dsolve(’Dy+4*y=exp(-t)’,’y(0)=1’) dt y(0) = 1 d2y + 4y(x) = e−2x y=dsolve(’D2y+4*y=exp(-2*x)’,’y(0)=1’,’y(pi)=0’ dx2 y(0) = 0, y(π) = 0 ,’x’) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 89/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Cú pháp F = fourier(f) F = fourier(f,v) F = fourier(f,u,v) Mô tả F=fourier(f) là biến đổi Fourier của biểu thức symbolic vô hướng f với biến mặc định là x. Kết quả trả về mặc định là hàm theo biến w: f = f(x) =⇒ F = F (w). Hàm F (w) được định nghĩa bởi +∞ Z F (w) = f(x)e−iwxdx −∞ Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 90/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Mô tả (tiếp) Nếu f = f(w) thì kết quả trả về là một hàm theo t : F = F (t). F = fourier(f,v) tạo một hàm F của đối symbolic v thay vì biến mặc định w +∞ Z F (v) = f(x)e−iwxdx −∞ F = fourier(f,u,v) tạo f là hàm theo u và F là hàm theo v thay vì các biến mặc định tương ứng là x và w +∞ Z F (v) = f(x)e−iwudu −∞ Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 91/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Ví dụ 11 Biến đổi Fourier Lệnh Matlab 2 f(x) = e−x f=exp(-x^2); +∞ Z √ 2 F [f](w) = f(x)e−iwxdx = πe−w /4 fourier(f) trả về −∞ pi^(1/2)/exp(w^2/4) g(w) = e−|w| exp(-abs(w)) +∞ Z 2 F [g](t) = g(w)e−iwtdt = fourier(g) trả về 1 + t2 −∞ 2/(v^2 + 1) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 92/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Ví dụ (tiếp) Biến đổi Fourier Lệnh Matlab f(x) = x.e−x syms u x +∞ Z F [f](u) = f(x)e−xudx f=x*exp(-abs(x)) trả về −∞ -(4*u*i)/(u^2 + 1)^2 2 sin v f(x, v) = e−x |v| syms v u; syms x real v +∞ Z F [f(v)] (u) = f(x, v)e−ivudv f = exp(-x^2*abs(v))*sin(v)/v; −∞ u − 1 u + 1 = − arctan + − arctan fourier(f) x2 x2 piecewise([x <> 0, atan((u + 1)/x^2) - atan(1/x^2*(u - 1))]) Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 93/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Cú pháp f = ifourier(F) f = ifourier(F,u) f = ifourier(F,v,u) Mô tả f = ifourier(F) là biến đổi Fourier ngược của biểu thức symbolic vô hướng F với biến mặc định là w. Kết quả trả về mặc định là một hàm của x F = F (w) =⇒ f = f(x). Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 94/1
Biến đổi tích phân Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược Mô tả (tiếp) Nếu F = F (x), ifourier trả về hàm theo đối t : f = f(t). Bằng cách định nghĩa +∞ 1 Z f(x) = F (w)eiwxdw, 2π −∞ f = ifourier(F,u) tạo ra hàm f(u) thay vì theo biến mặc định x +∞ 1 Z f(u) = F (w)eiwudw. 2π −∞ f = ifourier(F,v,u) tạo một hàm f theo đối u và F là hàm theo đối v theay vì các biến mặc định là x và w. Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 95/1
Biến đổi tích phân (Tự đọc help) Biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 96/1
Biến đổi tích phân (Tự đọc help) Biến đổi Z và biến đổi Z− ngược Sử dụng Symbolic Math Toolbox trong Matlab 97/1